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1.8: Relacionar funciones trigonométricas - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Indique las relaciones recíprocas entre funciones trigonométricas y utilice estas identidades para encontrar valores de funciones trigonométricas.
  • Indique las relaciones de cociente entre funciones trigonométricas y utilice identidades de cociente para encontrar valores de funciones trigonométricas.
  • Indique el dominio y rango de cada función trigonométrica.
  • Indique el signo de una función trigonométrica, dado el cuadrante en el que se encuentra un ángulo.
  • Enuncie las identidades pitagóricas y use estas identidades para encontrar valores de funciones trigonométricas.

Identidades recíprocas y pitagóricas

Los dos tipos más básicos de identidades trigonométricas son las identidades recíprocas y las identidades pitagóricas. Las identidades recíprocas son simplemente definiciones de los recíprocos de las tres razones trigonométricas estándar:
[ sec theta = frac {1} { cos theta} quad csc theta = frac {1} { sin theta} quad cot theta = frac {1} { tan theta}
]

Además, recuerde las definiciones de las tres razones trigonométricas estándar (seno, coseno y tangente):
[ begin {array} {l}
sin theta = frac {o p p} {h y p}
cos theta = frac {a d j} {h y p}
tan theta = frac {o p p} {a d y}
end {matriz}
]

Si miramos más de cerca las relaciones entre el seno, el coseno y la tangente, notaremos que ( frac { sin theta} { cos theta} = tan theta )
[ frac { sin theta} { cos theta} = frac { left ( frac {opp} {hyp} right)} { left ( frac {adj} {hyp} right) } = frac {opp} {hip} * frac {hip} {adj} = frac {opp} {adj} = tan theta
]

Identidades pitagóricas
Las identidades pitagóricas se basan, por supuesto, en el teorema de Pitágoras. Si recordamos un diagrama que se presentó en el Capítulo (2, ) podemos construir estas identidades a partir de las relaciones en el diagrama:

Usando el Teorema de Pitágoras en este diagrama, vemos que (x ^ {2} + y ^ {2} = 1 ^ {2}, ) entonces (x ^ {2} + y ^ {2} = 1. ) Pero, también recuerda que, en el círculo unitario, (x = cos theta ) y (y = sin theta )

Sustituir esta igualdad nos da la primera Identidad pitagórica:
[x ^ {2} + y ^ {2} = 1
] o
[ cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1
] Esta identidad generalmente se expresa en la forma:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
]

Si tomamos esta identidad y la dividimos en ambos lados por ( cos ^ {2} theta, ), esto resultará en la primera de dos Identidades pitagóricas adicionales:
[ frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} = frac {1} { cos ^ {2} theta}
] o
[ tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
]

Dividir entre ( sin ^ {2} theta ) nos da el segundo:
[ frac { sin ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = frac {1} { sin ^ {2} theta}
] o
[1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
] Entonces, las tres identidades pitagóricas que usaremos son:
[ begin {array} {l}
sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
end {matriz}
]

Estas identidades pitagóricas a menudo se expresan en otros términos, como:
[ begin {array} {l}
sin ^ {2} theta = 1- cos ^ {2} theta
cos ^ {2} theta = 1- sin ^ {2} theta
tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta-1
cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta-1
end {matriz}
]

Ahora que tenemos algunas identidades básicas con las que trabajar, usémoslas para verificar la igualdad de algunas declaraciones más complicadas. El proceso de verificación de identidades trigonométricas implica cambiar un lado de la expresión dada al otro lado. dado que en realidad no son ecuaciones, no las trataremos de la forma en que tratamos las ecuaciones. Es decir, no sumaremos ni restaremos nada a ambos lados del enunciado (ni multiplicaremos ni dividiremos por nada en ambos lados).

Otra razón para no tratar una identidad trigonométrica como una ecuación es que, en la práctica, este proceso generalmente involucra solo un lado de la declaración. En la resolución de problemas, los matemáticos suelen utilizar identidades trigonométricas para cambiar la apariencia de un problema sin cambiar su valor. En este proceso, una expresión trigonométrica se cambia a otra expresión trigonométrica en lugar de mostrar que dos expresiones trigonométricas son iguales, que es lo que haremos.


Las identidades trigonométricas que hemos discutido en esta sección se resumen a continuación:

La forma sin ( theta ) o ( cos theta ) se usa típicamente, sin embargo, se puede usar cualquier letra para representar el ángulo en cuestión siempre que sea la MISMA letra en todas las expresiones. Por ejemplo, podemos decir que:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
] o podemos decir que

[ sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1
] sin embargo:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} x neq 1
] porque ( theta ) y (x ) podrían ser ángulos diferentes.

Identidades de cociente

Las definiciones de las funciones trigonométricas nos llevaron a las identidades recíprocas, que se pueden ver en el Concepto sobre ese tema. También nos llevan a otro conjunto de identidades, las identidades cocientes.

Considere primero las funciones seno, coseno y tangente. Para ángulos de rotación (no necesariamente en el círculo unitario) estas funciones se definen de la siguiente manera:

( begin {alineado} sin theta & = dfrac {y} {r} cos theta & = dfrac {x} {r} tan theta & = dfrac {y} {x } end {alineado} )

Dadas estas definiciones, podemos mostrar que ( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ), siempre que ( cos theta neq 0 ):

( dfrac { sin theta} { cos theta} = dfrac { dfrac {y} {r}} { dfrac {x} {r}} = dfrac {y} {r} times dfrac {r} {x} = dfrac {y} {x} = tan theta ).

La ecuación ( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ) es por tanto una identidad que podemos usar para encontrar el valor de la función tangente, dado el valor del seno y el coseno .

Echemos un vistazo a algunos problemas que involucran identidades cocientes.

1. Encuentra el valor de ( tan theta )?

Si ( cos theta = dfrac {5} {13} ) y ( sin theta = dfrac {12} {13} ), ¿cuál es el valor de ( tan theta ) ?

( tan theta = dfrac {12} {5} )

( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} = dfrac { dfrac {12} {13}} { dfrac {5} {13}} = dfrac {12} {13} times dfrac {13} {5} = dfrac {12} {5} )

2. Muestre que ( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} )

( cos theta sin theta = dfrac { dfrac {x} {r}} { dfrac {y} {r}} = dfrac {x} {r} times dfrac {r} { y} = dfrac {x} {y} = cot theta )

3. ¿Cuál es el valor de ( cot theta )?

Si ( cos theta = dfrac {7} {25} ) y ( sin theta = dfrac {24} {25} ), ¿cuál es el valor de ( cot theta ) ?

( cot theta = dfrac {7} {24} )

( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} = dfrac { dfrac {7} {25}} { dfrac {24} {25}} = dfrac {7} {25} times dfrac {25} {24} = dfrac {7} {24} )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Si ( sin theta = dfrac {63} {65} ) y ( cos theta = dfrac {16} {65} ), ¿cuál es el valor de ( tan theta ) ?

Solución

( tan theta = dfrac {63} {16} ). Podemos ver esto en la relación de la función tangente:

( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} = dfrac { dfrac {63} {65}} { dfrac {16} {65}} = dfrac {63} {65} times dfrac {65} {16} = dfrac {63} {16} )

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Si ( tan theta = dfrac {40} {9} ) y ( cos theta = dfrac {9} {41} ), ¿cuál es el valor de ( sin theta ) ?

Solución

( sin theta = dfrac {40} {41} ). Podemos ver esto en la relación de la función tangente:

( begin {alineado} tan theta & = dfrac { sin theta} { cos theta} sin theta & = ( tan theta) ( cos theta) sin theta & = dfrac {40} {9} times dfrac {9} {41} sin theta & = dfrac {40} {41} end {alineado} )

Revisar

Complete cada espacio en blanco con una función trigonométrica.

  1. Si ( cos theta = dfrac {1} {2} ) y ( cot theta = dfrac { sqrt {3}} {3} ), ¿cuál es el valor de ( sin theta )?
  2. Si ( tan theta = 0 ) y ( cos theta = −1 ), ¿cuál es el valor de ( sin theta )?
  3. Si ( cot theta = −1 ) y ( sin theta = - dfrac { sqrt {2}} {2} ), ¿cuál es el valor de ( cos theta )?

Vocabulario

TérminoDefinición
Identidad del cocienteLa identidad del cociente es una identidad que relaciona la tangente de un ángulo con el seno del ángulo dividido por el coseno del ángulo.

Recursos adicionales

Video: Las identidades recíproca, cociente y pitagórica

Identidades de Cofunction

Una identidad de cofunción es una relación entre una función trigonométrica de un ángulo y otra función trigonométrica del complemento de ese ángulo.

En un triángulo rectángulo, puede aplicar lo que se denominan "identidades cofuncionales". Se denominan identidades de cofunciones porque las funciones tienen valores comunes. Estas identidades se resumen a continuación.


Definición de funciones trigonométricas y fórmulas básicas # 038

En un triángulo rectángulo ABC, ∠CAB = A y ∠BCA = 90 ° = π / 2. AC es la base, BC la altitud y AB es la hipotenusa.

Nos referimos a la base como el lado adyacente y a la altitud como el lado opuesto. Hay seis razones trigonométricas, también llamadas funciones trigonométricas o funciones circulares. Con referencia al ángulo A, las seis relaciones son:

se llama seno de A, y se escribe sinA

se llama coseno de A, y se escribe como cosA

se llama la tangente de A, y se escribe tanA

Obviamente, $ large tanA = frac $

Los recíprocos de seno, coseno y tangente se denominan cosecante, secante y cotangente de A respectivamente. Los escribimos como cosecA, secA, cot A respectivamente.

Dado que la hipotenusa es el lado mayor en un triángulo rectángulo, sin A y cos A nunca pueden ser mayores que la unidad y cosecA y sec A nunca pueden ser menores que la unidad.

Por lo tanto, | sinA | ≤ 1, | cos A | ≤ 1, | cosec A | ≥ 1, | seg A | ≥1, mientras que tan A y cot A pueden tener cualquier valor numérico comprendido entre - ∞ y + ∞

Notas:

♦ El método mencionado anteriormente que relaciona funciones trigonométricas con ángulos y lados de un triángulo se llama definición geométrica de funciones trigonométricas.

♦ Las seis funciones trigonométricas tienen una propiedad muy importante en común que es periodicidad.

♦ Recuerde que las razones trigonométricas son números reales y permanecen iguales siempre que los ángulos sean reales.

Fórmulas básicas:

Es posible expresar una razón trigonométrica en términos de cualquiera de las otras razones:

es decir, todas las funciones trigonométricas se han expresado en términos de cotθ. Esto se deja como ejercicio para que obtenga estos resultados. Solo como una pista para ti, expresa el denominador de fracción que define cot defines como unidad (es decir, la base como unidad) y forma un triángulo rectángulo para expresar los lados y continuar.

Ilustración: Exprese tanθ en términos de cosθ.

$ cos grande theta = frac = frac<1> $ donde OB se toma como unidad y OA = x

Ilustración: Si sinθ + sin 2 θ = 1, entonces demuestre que

cos 12 θ + 3 cos 10 θ + 3 cos 8 θ + cos 6 θ - 1 = 0.

Dado que sinθ = 1 - sin 2 θ = cos 2 θ

Izquierda = cos 6 θ (cos 2 θ + 1) 3-1

Ilustración:Pruebalo :

(tanθ + cotθ) 2 = tan 2 θ + cot 2 θ + 2

= seg 2 θ - 1 + cosec 2 θ - 1 + 2

(i) Si sen x + cos x = my sec x + cosec x = n, demuestre que n (m 2 & # 8211 1) = 2 m.

(ii) Si x sin 3 θ + y cos 3 θ = sinθ y x sinθ & # 8211 y cosθ = 0, demuestre que x 2 + y 2 = 1

(iv) Si a sec α + btan α = d y b sec α + a tan α = c, demuestre que a 2 + c 2 = b 2 + d 2


Contenido

En esta sección, la misma letra mayúscula denota un vértice de un triángulo y la medida del ángulo correspondiente la misma letra minúscula denota un borde del triángulo y su longitud.

Dado un ángulo agudo A = θ de un triángulo rectángulo, la hipotenusa c es el lado que conecta los dos ángulos agudos. El lado b adyacente a θ es el lado del triángulo que conecta θ al ángulo recto. Se dice que el tercer lado a es opuesto a θ.

Si se da el ángulo θ, entonces todos los lados del triángulo rectángulo están bien definidos hasta un factor de escala. Esto significa que la relación de dos longitudes de lados depende solo de θ. Por tanto, estas seis razones definen seis funciones de θ, que son las funciones trigonométricas. Más precisamente, las seis funciones trigonométricas son: [4] [5]

seno sin ⁡ θ = una c = o p p o s i t e h y p o t e n u s e < Displaystyle sin theta = < frac > = < frac < mathrm > < mathrm >>> cosecante csc ⁡ θ = do a = h y p o t e n u s e o p p o s i t e < displaystyle csc theta = < frac > = < frac < mathrm > < mathrm >>>
coseno cos ⁡ θ = segundo c = a re j a c e norte t h y p o t e norte u s e < Displaystyle cos theta = < frac > = < frac < mathrm > < mathrm >>> secante sec ⁡ θ = do segundo = h y p o t e norte u s e a re j a c e norte t < Displaystyle sec theta = < frac > = < frac < mathrm > < mathrm >>>
tangente tan ⁡ θ = una segundo = o p p o s i t mi una re j una c e norte t < Displaystyle tan theta = < frac > = < frac < mathrm > < mathrm >>> cotangente cuna ⁡ θ = segundo a = a re j a c e norte t o p p o s i t e < Displaystyle cot theta = < frac > = < frac < mathrm > < mathrm >>>

En aplicaciones geométricas, el argumento de una función trigonométrica es generalmente la medida de un ángulo. Para este propósito, cualquier unidad angular es conveniente, y los ángulos se miden más comúnmente en unidades convencionales de grados en las que un ángulo recto es 90 ° y un giro completo es 360 ° (particularmente en matemáticas elementales).

Sin embargo, en cálculo y análisis matemático, las funciones trigonométricas generalmente se consideran de manera más abstracta como funciones de números reales o complejos, en lugar de ángulos. De hecho, las funciones sen y cos se pueden definir para todos los números complejos en términos de la función exponencial mediante series de potencias [7] o como soluciones a ecuaciones diferenciales dados valores iniciales particulares [8] (vea abajo), sin referencia a ninguna noción geométrica. Las otras cuatro funciones trigonométricas (tan, cot, sec, csc) se pueden definir como cocientes y recíprocos de sin y cos, excepto donde aparece cero en el denominador. Se puede probar, para argumentos reales, que estas definiciones coinciden con definiciones geométricas elementales. Si el argumento se considera un ángulo expresado en radianes. [7] Además, estas definiciones dan como resultado expresiones simples para las derivadas e integrales indefinidas para las funciones trigonométricas. [9] Por lo tanto, en entornos más allá de la geometría elemental, los radianes se consideran la unidad matemáticamente natural para describir las medidas de los ángulos.

Cuando se emplean radianes (rad), el ángulo se da como la longitud del arco del círculo unitario subtendido por él: el ángulo que subtiende un arco de longitud 1 en el círculo unitario es 1 rad (≈ 57,3 °), y un el giro completo (360 °) es un ángulo de 2 π (≈ 6.28) rad. Por número real X, las notaciones pecan X, porque X, etc. se refieren al valor de las funciones trigonométricas evaluadas en un ángulo de X rad. Si se pretenden unidades de grados, el signo de grado debe mostrarse explícitamente (por ejemplo, sin x °, porque x °, etc.). Usando esta notación estándar, el argumento X para las funciones trigonométricas satisface la relación X = (180X/ π) °, de modo que, por ejemplo, sin π = sin 180 ° cuando tomamos X = π. De esta manera, el símbolo de grado puede considerarse como una constante matemática tal que 1 ° = π / 180 ≈ 0.0175.

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir como valores de coordenadas de puntos en el plano euclidiano que están relacionados con el círculo unitario, que es el círculo de radio uno centrado en el origen O de este sistema de coordenadas. Mientras que las definiciones de triángulos rectángulos permiten la definición de las funciones trigonométricas para ángulos entre 0 y π 2 < textstyle < frac < pi> <2> >> radianes (90 °), las definiciones de círculos unitarios permiten el dominio de funciones trigonométricas que se extenderán a todos los números reales positivos y negativos.

Las funciones trigonométricas cos y sin se definen, respectivamente, como X- y y-valores de coordenadas del punto A. Eso es,

Las otras funciones trigonométricas se pueden encontrar a lo largo del círculo unitario como

Al aplicar la identidad pitagórica y los métodos de prueba geométrica, se puede demostrar fácilmente que estas definiciones coinciden con las definiciones de tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de seno y coseno, es decir

mantener para cualquier ángulo θ y cualquier entero k. Lo mismo es cierto para las otras cuatro funciones trigonométricas. Al observar el signo y la monotonicidad de las funciones seno, coseno, cosecante y secante en los cuatro cuadrantes, se puede demostrar que 2 π es el valor más pequeño para el cual son periódicas (es decir, 2 π es el período fundamental de estas funciones ). Sin embargo, después de una rotación en un ángulo π < displaystyle pi>, los puntos B y C ya regresan a su posición original, por lo que la función tangente y la función cotangente tienen un período fundamental de π. Es decir, las igualdades

mantener para cualquier ángulo θ y cualquier entero k.

Las expresiones algebraicas para los ángulos más importantes son las siguientes:

Escribir los numeradores como raíces cuadradas de números enteros consecutivos no negativos, con un denominador de 2, proporciona una manera fácil de recordar los valores. [12]

Tales expresiones simples generalmente no existen para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto. Para un ángulo que, medido en grados, es múltiplo de tres, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas, consulte Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales. Estos valores del seno y el coseno pueden entonces construirse con regla y compás.

Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y raíz cúbica de un número complejo no real. La teoría de Galois permite demostrar que, si el ángulo no es múltiplo de 3 °, las raíces cúbicas no reales son inevitables.

Para un ángulo que, medido en grados, es un número racional, el seno y el coseno son números algebraicos, que pueden expresarse en términos de raíces n. Esto se debe al hecho de que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos.

Para un ángulo que, medido en grados, no es un número racional, entonces o el ángulo o tanto el seno como el coseno son números trascendentales. Este es un corolario del teorema de Baker, probado en 1966.

Valores algebraicos simples Editar

La siguiente tabla resume los valores algebraicos más simples de funciones trigonométricas. [13] El símbolo ∞ < displaystyle infty> representa el punto en el infinito en la línea real proyectada extendida que no está firmada, porque, cuando aparece en la tabla, la función trigonométrica correspondiente tiende a + ∞ < displaystyle + infty> en un lado y - ∞ < displaystyle - infty> en el otro lado, cuando el argumento tiende al valor en la tabla.

La tendencia moderna en matemáticas es construir geometría a partir del cálculo en lugar de lo contrario. [ cita necesaria ] Por lo tanto, excepto a un nivel muy elemental, las funciones trigonométricas se definen utilizando los métodos de cálculo.

Las funciones trigonométricas son diferenciables y analíticas en cada punto donde están definidas, es decir, en todas partes para el seno y el coseno, y, para la tangente, en todas partes excepto en π / 2 + k π para cada entero k.

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, y su período primitivo es 2 π para el seno y el coseno, y π para la tangente, que aumenta en cada intervalo abierto (π / 2 + k π, π / 2 + (k + 1) π). En cada punto final de estos intervalos, la función tangente tiene una asíntota vertical.

En cálculo, hay dos definiciones equivalentes de funciones trigonométricas, ya sea usando series de potencias o ecuaciones diferenciales. Estas definiciones son equivalentes, ya que a partir de una de ellas es fácil recuperar la otra como propiedad. Sin embargo, la definición mediante ecuaciones diferenciales es de alguna manera más natural, ya que, por ejemplo, la elección de los coeficientes de la serie de potencias puede parecer bastante arbitraria, y la identidad pitagórica es mucho más fácil de deducir a partir de las ecuaciones diferenciales.

Definición por ecuaciones diferenciales Editar

El seno y el coseno son funciones diferenciables únicas tales que

Al diferenciar estas ecuaciones, se obtiene que tanto el seno como el coseno son soluciones de la ecuación diferencial

Aplicando la regla del cociente a la definición de la tangente como el cociente del seno por el coseno, se obtiene que la función tangente verifica

Expansión de la serie Power Editar

Aplicando las ecuaciones diferenciales a series de potencias con coeficientes indeterminados, se pueden deducir relaciones de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de las funciones seno y coseno. Estas relaciones de recurrencia son fáciles de resolver y dan a la serie expansiones [14]

El radio de convergencia de estas series es infinito. Por lo tanto, el seno y el coseno pueden extenderse a funciones completas (también llamadas "seno" y "coseno"), que son (por definición) funciones de valores complejos que están definidas y son holomórficas en todo el plano complejo.

Al definirse como fracciones de funciones completas, las otras funciones trigonométricas pueden extenderse a funciones meromorfas, es decir funciones que son holomorfas en todo el plano complejo, excepto algunos puntos aislados llamados polos. Aquí, los polos son los números de la forma (2 k + 1) π 2 < textstyle (2k + 1) < frac < pi> <2> >> para la tangente y la secante, o k π < displaystyle k pi> para la cotangente y la cosecante, donde k es un entero arbitrario.

Las relaciones de recurrencias también se pueden calcular para los coeficientes de la serie de Taylor de las otras funciones trigonométricas. Estas series tienen un radio de convergencia finito. Sus coeficientes tienen una interpretación combinatoria: enumeran permutaciones alternas de conjuntos finitos. [15]

uno tiene las siguientes expansiones de serie: [16]

Expansión de fracción parcial Editar

Hay una representación en serie como expansión de fracción parcial donde se resumen las funciones recíprocas recién traducidas, de modo que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: [17]

Esta identidad se puede probar con el truco de Herglotz. [18] Combinando el (-norte) th con el norte El término conduce a series absolutamente convergentes:

De manera similar, se puede encontrar una expansión de fracción parcial para las funciones secante, cosecante y tangente:

Expansión infinita de productos Editar

El siguiente producto infinito para el seno es de gran importancia en el análisis complejo:

Para la prueba de esta expansión, vea Sine. De esto se puede deducir que

Relación con la función exponencial (fórmula de Euler) Editar

Esta fórmula se considera comúnmente para valores reales de x, pero sigue siendo válida para todos los valores complejos.

Resolviendo este sistema lineal en seno y coseno, se pueden expresar en términos de la función exponencial:

Cuando x es real, esto puede reescribirse como

La mayoría de las identidades trigonométricas se pueden demostrar expresando funciones trigonométricas en términos de la función exponencial compleja usando las fórmulas anteriores y luego usando la identidad e a + b = e a e b < displaystyle e ^= e ^ e ^> para simplificar el resultado.

Definiciones usando ecuaciones funcionales Editar

También se pueden definir las funciones trigonométricas utilizando varias ecuaciones funcionales.

Por ejemplo, [19] el seno y el coseno forman el par único de funciones continuas que satisfacen la fórmula de la diferencia

cos ⁡ (x - y) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y

En el plano complejo Editar

Aprovechando la coloración del dominio, es posible graficar las funciones trigonométricas como funciones de valores complejos. En el gráfico se pueden ver varias características únicas de las funciones complejas, por ejemplo, las funciones seno y coseno pueden verse como ilimitadas a medida que la parte imaginaria de z < displaystyle z> se vuelve más grande (ya que el color blanco representa el infinito), y el hecho de que las funciones contengan ceros o polos simples es evidente por el hecho de que el tono gira alrededor de cada cero o polo exactamente una vez. La comparación de estos gráficos con los de las funciones hiperbólicas correspondientes resalta las relaciones entre los dos.

Muchas identidades interrelacionan las funciones trigonométricas. Esta sección contiene las más básicas para conocer más identidades, consulte Lista de identidades trigonométricas. Estas identidades pueden probarse geométricamente a partir de las definiciones de círculo unitario o las definiciones de triángulo rectángulo (aunque, para las últimas definiciones, se debe tener cuidado con los ángulos que no están en el intervalo [0, π / 2], ver Demostraciones de identidades trigonométricas). Para pruebas no geométricas que usan solo herramientas de cálculo, se pueden usar directamente las ecuaciones diferenciales, de una manera similar a la de la prueba anterior de la identidad de Euler. También se puede usar la identidad de Euler para expresar todas las funciones trigonométricas en términos de exponenciales complejos y usar propiedades de la función exponencial.

Paridad Editar

El coseno y la secante son funciones pares, las otras funciones trigonométricas son funciones impares. Eso es:

Periodos Editar

Todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas del período 2 π. Este es el período más pequeño, a excepción de la tangente y la cotangente, que tienen π como período más pequeño. Esto significa que, por cada entero k, uno tiene

Identidad pitagórica Editar

La identidad pitagórica, es la expresión del teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Es

Fórmulas de suma y diferencia Editar

Las fórmulas de suma y diferencia permiten expandir el seno, el coseno y la tangente de una suma o una diferencia de dos ángulos en términos de senos y cosenos y tangentes de los propios ángulos. Estos se pueden derivar geométricamente, utilizando argumentos que datan de Ptolomeo. También se pueden producir algebraicamente usando la fórmula de Euler.

Cuando los dos ángulos son iguales, las fórmulas de suma se reducen a ecuaciones más simples conocidas como fórmulas de doble ángulo.

Estas identidades se pueden utilizar para derivar las identidades de producto a suma.

esta es la sustitución tangente de medio ángulo, que permite reducir el cálculo de integrales y antiderivadas de funciones trigonométricas al de fracciones racionales.

Derivadas y antiderivadas Editar

Las derivadas de las funciones trigonométricas resultan de las del seno y el coseno aplicando la regla del cociente. Los valores dados para las antiderivadas en la siguiente tabla se pueden verificar diferenciándolos. El número C es una constante de integración.

Alternativamente, las derivadas de las 'co-funciones' se pueden obtener usando identidades trigonométricas y la regla de la cadena:

Las funciones trigonométricas son periódicas y, por lo tanto, no inyectivas, por lo que estrictamente hablando, no tienen una función inversa. Sin embargo, en cada intervalo en el que una función trigonométrica es monótona, se puede definir una función inversa, y esto define las funciones trigonométricas inversas como funciones multivaluadas. Para definir una verdadera función inversa, uno debe restringir el dominio a un intervalo donde la función es monótona y, por lo tanto, es biyectiva desde este intervalo a su imagen por la función. La elección común para este intervalo, llamado conjunto de valores principales, se da en la siguiente tabla. Como es habitual, las funciones trigonométricas inversas se indican con el prefijo "arco" antes del nombre o la abreviatura de la función.

Las notaciones sen −1, cos −1, etc. se usan a menudo para arcsin y arccos, etc. Cuando se usa esta notación, las funciones inversas se pueden confundir con las inversas multiplicativas. La notación con el prefijo "arc" evita tal confusión, aunque "arcsec" para arcsecant se puede confundir con "arcsecond".

Al igual que el seno y el coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden expresar en términos de series infinitas. También se pueden expresar en términos de logaritmos complejos.

Ángulos y lados de un triángulo Editar

En estas secciones, A, B, C denotan los tres ángulos (interiores) de un triángulo, y a, b, c denotan las longitudes de los respectivos bordes opuestos. Están relacionados por varias fórmulas, que son nombradas por las funciones trigonométricas que involucran.

Ley de los senos Editar

El ley de los senos establece que para un triángulo arbitrario con lados a, byc y ángulos opuestos a esos lados A, B y C:

donde Δ es el área del triángulo o, de manera equivalente,

Se puede probar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y usando la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos en un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en triangulación, una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia cerrada accesible.

Ley de los cosenos Editar

El ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno o regla del coseno) es una extensión del teorema de Pitágoras:

En esta fórmula, el ángulo en C es opuesto al lado c. Este teorema se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectos y usando el teorema de Pitágoras.

La ley de los cosenos se puede utilizar para determinar un lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. También se puede utilizar para encontrar los cosenos de un ángulo (y, en consecuencia, los ángulos en sí) si se conocen las longitudes de todos los lados.

Ley de las tangentes Editar

Todos los siguientes forman la ley de las tangentes [20]

La explicación de las fórmulas en palabras sería engorrosa, pero los patrones de sumas y diferencias, para las longitudes y los ángulos opuestos correspondientes, son evidentes en el teorema.

Ley de los cotangentes Editar

> (el radio del círculo inscrito para el triángulo)

> (el semiperímetro del triángulo),

entonces todos los siguientes forman la ley de los cotangentes [20]

En palabras, el teorema es: la cotangente de un medio ángulo es igual a la razón del semiperímetro menos el lado opuesto a dicho ángulo, al inradio del triángulo.

Funciones periódicas Editar

Las funciones trigonométricas también son importantes en física. Las funciones seno y coseno, por ejemplo, se utilizan para describir el movimiento armónico simple, que modela muchos fenómenos naturales, como el movimiento de una masa unida a un resorte y, para ángulos pequeños, el movimiento pendular de una masa que cuelga de un resorte. cuerda. Las funciones seno y coseno son proyecciones unidimensionales de movimiento circular uniforme.

Las funciones trigonométricas también resultan útiles en el estudio de funciones periódicas generales. Los patrones de onda característicos de las funciones periódicas son útiles para modelar fenómenos recurrentes como ondas sonoras o luminosas. [21]

En condiciones bastante generales, una función periódica F(X) se puede expresar como una suma de ondas sinusoidales u ondas coseno en una serie de Fourier. [22] Denotando las funciones de base seno o coseno por φk , la expansión de la función periódica F(t) toma la forma:

Por ejemplo, la onda cuadrada se puede escribir como la serie de Fourier

En la animación de una onda cuadrada en la parte superior derecha se puede ver que solo unos pocos términos ya producen una aproximación bastante buena. A continuación se muestra la superposición de varios términos en la expansión de una onda de diente de sierra.

Si bien el primer estudio de la trigonometría se remonta a la antigüedad, las funciones trigonométricas que se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de la cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). Las funciones de seno y verseno (1 - coseno) se remontan al jyā y koti-jyā funciones utilizadas en la astronomía india del período Gupta (Aryabhatiya, Surya Siddhanta), a través de la traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. [23] (Ver tabla de seno de Aryabhata).

Las seis funciones trigonométricas en uso actual se conocían en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos, utilizada para resolver triángulos. [24] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos persas y árabes, incluyendo el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. [24] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. Hacia 830, Habash al-Hasib al-Marwazi descubrió la cotangente y produjo tablas de tangentes y cotangentes. [25] [26] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1 ° a 90 °. [26] The trigonometric functions were later studied by mathematicians including Omar Khayyám, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Jamshīd al-Kāshī (14th century), Ulugh Beg (14th century), Regiomontanus (1464), Rheticus, and Rheticus' student Valentinus Otho.

Madhava of Sangamagrama (c. 1400) made early strides in the analysis of trigonometric functions in terms of infinite series. [27] (See Madhava series and Madhava's sine table.)

Los términos tangente y secante were first introduced by the Danish mathematician Thomas Fincke in his book Geometria rotundi (1583). [28]

The 17th century French mathematician Albert Girard made the first published use of the abbreviations pecado, porque, y broncearse in his book Trigonométrie. [29]

In a paper published in 1682, Leibniz proved that sin X is not an algebraic function of x . [30] Though introduced as ratios of sides of a right triangle, and thus appearing to be rational functions, Leibnitz result established that they are actually transcendental functions of their argument. The task of assimilating circular functions into algebraic expressions was accomplished by Euler in his Introduction to the Analysis of the Infinite (1748). His method was to show that the sine and cosine functions are alternating series formed from the even and odd terms respectively of the exponential series. He presented "Euler's formula", as well as near-modern abbreviations (sin., cos., tang., cot., segundo., y cosec.). [23]

A few functions were common historically, but are now seldom used, such as the chord, the versine (which appeared in the earliest tables [23] ), the coversine, the haversine, [31] the exsecant and the excosecant. The list of trigonometric identities shows more relations between these functions.

  • crd(θ) = 2 sin(
  • θ / 2 )
  • versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin 2 (
  • θ / 2 )
  • coversin(θ) = 1 − sin(θ) = versin(
  • π / 2 − θ)
  • haversin(θ) =
  • 1 / 2 versin(θ) = sin 2 (
  • θ / 2 )
  • exsec(θ) = sec(θ) − 1
  • excsc(θ) = exsec(
  • π / 2 − θ) = csc(θ) − 1

La palabra seno derives [32] from Latin seno, meaning "bend bay", and more specifically "the hanging fold of the upper part of a toga", "the bosom of a garment", which was chosen as the translation of what was interpreted as the Arabic word jaib, meaning "pocket" or "fold" in the twelfth-century translations of works by Al-Battani and al-Khwārizmī into Medieval Latin. [33] The choice was based on a misreading of the Arabic written form j-y-b ( جيب ), which itself originated as a transliteration from Sanskrit jīvā, which along with its synonym jyā (the standard Sanskrit term for the sine) translates to "bowstring", being in turn adopted from Ancient Greek χορδή "string". [34]

La palabra tangente comes from Latin tangens meaning "touching", since the line touches the circle of unit radius, whereas secante stems from Latin secans—"cutting"—since the line cuts the circle. [35]

The prefix "co-" (in "cosine", "cotangent", "cosecant") is found in Edmund Gunter's Canon triangulorum (1620), which defines the cosinus as an abbreviation for the sinus complementi (sine of the complementary angle) and proceeds to define the cotangens similar. [36] [37]


Fast 16-bit approximation of cos(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

Parámetros

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 120 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of cos(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

Parámetros

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 253 of file trig8.h.

Fast 16-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

Parámetros

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 30 of file trig8.h.

Fast 16-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

Parámetros

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 88 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

Parámetros

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 159 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

Parámetros

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 217 of file trig8.h.


Awk only provides sin(), cos() y atan2(), the three bare necessities for trigonometry. They all use radians. To calculate the other functions, we use these three trigonometric identities:

tangente arcoseno arcocosina
tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ >> tan ⁡ ( arcsin ⁡ y ) = y 1 − y 2 >>>> tan ⁡ ( arccos ⁡ x ) = 1 − x 2 x >>>>

With the magic of atan2(), arcsine of y is just atan2(y, sqrt(1 - y * y)), and arccosine of X is just atan2(sqrt(1 - x * x), x). This magic handles the angles arcsin(-1), arcsin 1 y arccos 0 that have no tangent. This magic also picks the angle in the correct range, so arccos(-1/2) es 2*pi/3 and not some wrong answer like -pi/3 (though tan(2*pi/3) = tan(-pi/3) = -sqrt(3).)

atan2(y, x) actually computes the angle of the point (x, y), in the range [-pi, pi]. When x > 0, this angle is the principle arctangent of y/x, in the range (-pi/2, pi/2). The calculations for arcsine and arccosine use points on the unit circle at x 2 + y 2 = 1. To calculate arcsine in the range [-pi/2, pi/2], we take the angle of points on the half-circle x = sqrt(1 - y 2 ). To calculate arccosine in the range [0, pi], we take the angle of points on the half-circle y = sqrt(1 - x 2 ).


Ex 3.3 Class 11 Maths Question 1.
Prove that:
Solución.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 2.

Solución.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 3.

Solución.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 4.

Solución.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 5.
Find the value of:
(i) sin 75°
(ii) tan 15°
Solución.
(i) sin (75°) = sin (30° + 45°)

(ii) tan 15° = tan (45° – 30°)

Prove the following:
Ex 3.3 Class 11 Maths Question 6.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 7.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 8.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 9.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 10.
sin(n +1 )x sin(n + 2)x + cos(n +1 )x cos(n + 2)x = cosx
Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 11.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 12.
sin 2 6x – sin 2 4x= sin 2 x sin10x
Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 13.
cos 2 2x – cos 2 6x = sin 4x sin 8x
Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 14.
sin2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos 2 x sin 4x
Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 15.
cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)
Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 16.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 17.

Solución.
We have,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 18.

Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 19.

Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 20.

Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 21.

Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 22.
cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot3x cotx = 1
Solución.
We know that 3x = 2x + x.
Por lo tanto,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 23.

Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 24.
cos 4x = 1 – 8 sin 2 x cos 2 x
Solución.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 25.
cos 6x = 32 cos6 x – 48 cos 4 x + 18 cos 2 x -1
Solución.

We hope the NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions Ex 3.3 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions Ex 3.3, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Mathematica Q&A: Plotting Trig Functions in Degrees

Got a question about Mathematica? The Wolfram Blog has answers! We’ll regularly answer selected questions from users around the web. You can submit your question directly to the Q&A Team using this form.

This week’s question comes from Brian, who is a part-time math teacher:

How do you plot trigonometric functions in degrees instead of radians?

Trigonometric functions in Mathematica tal como Sin[x] y Cos[x] llevar X to be given in radians:

To convert from degrees to radians, multiply by π &frasl 180. This special constant is called Grado en Mathematica.

The symbol ° is a handy shorthand for Grado and is entered as Esc-d-e-g-Esc. You can also find this symbol in the Basic Math Assistant palette in the Palettes menu of Mathematica.

Using either Grado or °, you can plot trigonometric functions in degrees:

That answers the main question, but here’s a related hint.

When plotting trigonometric functions in degrees, you might also want to manually specify exactly where Mathematica draws tick marks. You can do this using the Ticks option:

(Here, Range[0, 360, 45] specifies the tick marks on the X axis, and Automático uses the default tick marks on the y axis.)

El Ticks option is very flexible. You can specify where tick marks are drawn, what labels they should have, how long they are, and even colors and styles.

Download the Computable Document Format (CDF) file for this post to see how to get the custom tick marks used in this plot:

If you have a question you’d like to see answered in this blog, you can submit it to the Q&A Team using this form.


Formal Definitions

Consider the following right triangle:

The sides with respect to angle θ heta θ are

sin ⁡ θ = ( opposite ) ( hypotenuse ) = b c cos ⁡ θ = ( adjacent ) ( hypotenuse ) = a c tan ⁡ θ = ( opposite ) ( adjacent ) = b a . comenzar sin heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac cos heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac an heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac. fin sin θ cos θ tan θ ​ = ( hypotenuse ) ( opposite ) ​ = c b ​ = ( hypotenuse ) ( adjacent ) ​ = c a ​ = ( adjacent ) ( opposite ) ​ = a b ​ .

We also have the following reciprocal functions


Course Content Menu

Chapter 1 - The Six Trigonometric Functions

LessonsTareaExamen
1.1 - The Rectangular Coordinate System1.11.1
1.2 - Angles, Degrees and Special Triangles1.21.2
1.3 - Trigonometric Functions1.31.3
1.4 - Introduction to the Unit Circle1.41.4
Chapter 1 Test ( 15 questions )
Chapter 2 - Trigonometry

LessonsTareaExamen
2.1 - Right Triangle Trigonometry2.12.1
2.2 - Other Angles and Trigonometric Functions2.22.2
2.3 - Solving Right Triangles2.32.3
2.4 - Applications2.42.4
Chapter 2 Test ( 18 questions )
Chapter 3 - Radian Measure

LessonsTareaExamen
3.1 - Reference Angle3.13.1
3.2 - Radians and Degrees3.23.2
3.3 - Circular Functions3.33.3
3.4 - Arc Length and Area of a Sector3.43.4
3.5 - Velocity3.53.5
Chapter 3 Test ( 22 questions )
Chapter 4 - Graphs of Trigonometric Functions

LessonsTareaExamen
4.1 - Graphs of Basic Trigonometry Functions4.14.1
4.2 - Amplitude and Period4.24.2
4.3 - Phase Shift4.34.3
4.4 - Equations of Graphs4.44.4
4.5 - Relations & Functions4.54.5
4.6 - Inverse Trigonometric Functions4.64.6
Chapter 4 Test ( 26 questions )
Chapter 5 - Trigonometric Identities

LessonsTareaExamen
5.1 - Proving Identities5.15.1
5.2 - Sum and Difference Formulas5.25.2
5.3 - Double-Angle Formulas5.35.3
5.4 - Half-Angle Formulas5.45.4
5.5 - More Identities5.55.5
Chapter 5 Test ( 22 questions )
Chapter 6 - Trigonometric Equations

LessonsTareaExamen
6.1 - Trigonometric Equations6.16.1
6.2 - More Trigonometric Equations6.26.2
6.3 - Trigonometric Equations & Multiple Angles6.36.3
6.4 - Parametric Equations6.46.4
Chapter 6 Test ( 20 questions )
Chapter 7 - Triangles

LessonsTareaExamen
7.1 - Law of Cosines7.17.1
7.2 - Law of Sines7.27.2
7.3 - Area of a Triangle7.37.3
7.4 - Vectors7.47.4
Chapter 7 Test ( 27 questions )
Chapter 8 - Polar Coordinates & Complex Numbers

LessonsTareaExamen
8.1 - Complex Numbers8.18.1
8.2 - Trigonometric Form of a Complex Number8.28.2
8.3 - Products and Quotients in Trigonometric Form8.38.3
8.4 - Roots of a Complex Number8.48.4
8.5 - Polar Coordinates8.58.5
8.6 - Equations with Polar Coordinates and Their Graphs8.68.6
Chapter 8 Test ( 21 questions )
Trigonometry Final Exam


1.8: Relating Trigonometric Functions - Mathematics

Chapter 4 - Trigonometry and the Unit Circle <- link to CEMC Waterloo

​ 4.1 Angles and Angle Measure - CEMC Radian Measure

Choose at least 5 from Practice section (at least one of 12 and 13)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

Extension # 19 (engineering), 24, C5

Choose at least 5 from Practice section (at least two letters each)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

4.3 Trigonometric Ratios (Unit Circle Worksheet)

Choose at least 4 from Practice section (at least three letters each)

Choose at least 5 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

​4.4 Intro to Trig Equations - CEMC - Trig Equations

Choose at least 5 from Practice section (at least three letters each)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 2 from the Create Connections section

Ch4 Review - ​ Pages 215-217 &ndash 4.1 # 1-6 (at least 3)

​​Ch4 ​Trigonometry Unit Test

Chapter 5 - Trigonometric Functions and Graphs

5.1 Graphing Sine and Cosine Functions

Assigned: Pages 233-237 - # 3, 4cd, 5, 6-10, 12, 14, 15, 18 ,19, C2, C4

5.2 Transformations of Sinusoidal Functions

Assigned: Part 1 - Trig Graphs Practice

Pages 250-255 - # 5, 7, 9, 10, 13, 15, 16, 21, 23, C2, C3

Assigned: Pages 262-265 - Student Choice

5.4 Equations & Graphs of Trig Functions

Assigned: Pages 275-281 - # 1, 3, 7, 8, 10, 11, 17, 19,21, C1, C2

Trigonometry Function and Graphs Review

Ch5 Trig Functions and Graphs Test

Graphing Calculator and/or GEOGEBRA App part of test

Chapter 6 - Trigonometric Identities

6.1a Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities

​​ Assigned: Practice in Study Guide # 1 - 11 1 - 6

6.1b Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities

Assigned: Pages 296-298 - # 1, 5, 6 (graph calc/app), 7, 9, 12, 14, C1, C2

6.2 Sum, Difference, and Double Angle Identities

Assigned: Pages 306-308 - # 1ace, 2ace, 3, 4ace, 5-8, 10

6.3a Proofs using basic identities

6.3b Proofs using sum and difference identities

6.3c Proofs using double angle identities

Extension page 315 # 16, 17, 18, 19

6.4 Solving Trig Equations using identities

Assigned: Pages 320-321 - # 1, 2acd, 3, 5, 6, 8-12, 15, 16

Assigned: Pages 322-323 - # 1bd, 2cd, 3, 7bc, 8d, 9bc, 11, 12, 13c, 17, 19

Chapter 7/8 - Exponential & Logarithmic Functions

7.3 Solving Exponential Equations: Part 1

​​ Assigned: Pages 364-365 # 1-3, C1, C2

Practice in Study Guide # 1 - 8

Extension page 365 # 16, 17

8.1 Understanding Logarithms

​​ Assigned: Pages 380-382 # 2-7, 12-14

Practice in Study Guide # 1 - 15

Practice in Study Guide # 1 - 4

Extension page 381 # 21, 22, 24

​​ Assigned: Pages 400-403 # 1-3,7-11, 15, C2, C3

Practice in Study Guide # 1 - 13

Practice in Study Guide # 14 - 20

8.4 Solving Exponential Equations: Part 2

​​ Assigned: Pages 412-415 # 2, 7, C1

Practice in Study Guide # 1 - 12

Extension page 415 # 19, 22

8.4 Solving Logarithmic Equations

​​ Assigned: Pages 412-415 # 1ac, 4, 5, 6, 8e

Practice in Study Guide # 1 - 4

Practice in Study Guide # 5 - 16- 4

Extension page 415 # 20, 21

8.3 Law of Logarithms - Change of Base

​​ Assigned: Practice in Study Guide # 1 - 3

Practice in Study Guide # 4, 5

Practice in Study Guide # 6

Extension page 402 # 19, 20

7.1/7.2 Characteristics & Transformations of Exponential Functions

​​ Assigned: Pages 342-343 # 1-4, 5ac

Pages 351-355 # 1abc, 2, 3abc, 4d, 6abc, 7ab, C1, C2b

Practice in Study Guide # 1-3

8.1/8.2 Characteristics & Transformations of Logarithmic Functions

​​ Assigned: Pages 380-381 # 1,b, 7, 9, 10, 15, 16, 17, C1

Pages 389-391 # 1a, 2, 4ab, 5ac, 6ac, 10a Ext 15, 16a, 17

Practice in Study Guide # 1-7

7.1 Applications of Exponential Growth and Decay

​​ Assigned: Pages 342-344 # 6, 7b, 8ac, 9ad, 10acd, 11, 12

8.1-8.4 Application of Logarithmic Scales

​​ Assigned: Selected Problems # 1-11

Ch7&8 Exponents and Logarithms Test - Part A (Lessons 1 - 6)

Ch7&8 Exponents and Logarithms Test - Part B (Lessons 7 - 10)

Chapter 2 - Radical Functions

2.1 Radical Functions and Transformations

Assigned: Pages 72-77 : Practice section #1-5 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E) section

at least 1 question from Create Connections (CC) section

2.2 Square Root of a Function

Assigned: Pages 86-89 : at least 5 from Practice section (all parts)

at least 5 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 from Create Connections (CC) section

2.3 Solving Radical Equations

Assigned: Pages 96-98 : Practice section #1-7 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 2 questions from CC section

Assigned: Pages 99-101 : #1-6 [at least 4 (all parts)]

# 13-15 (pick 2) 16 all 17 or 18

Radical Functions Test - Feb 27/28 (may stay up to 30 minutes extra)

Chapter 9 - Rational Functions <- link to CEMC Waterloo

9.1 Transformations of Rational Functions

Assigned: Pages 442-445 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

# 7, 8, 9 and at least 7 more from Apply/Extend (A/E) section

at least 1 question from Create Connections (CC) section

9.2 Analyzing Rational Functions

Assigned: Pages 451-456 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

at least 9 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 from Create Connections (CC) section

9.3 Connecting Graphs to Rational Equations

Assigned: Pages 465-467 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 468-469 : #1-11 [at least 10]

Chapter 10 - Function Operations <- link to CEMC Waterloo

10.1 Sums and Differences of Functions

Assigned: Pages 483-487 : Practice section #1-8 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 2 question from Create Connections (CC) section

10.2 Products and Quotients of Functions

Assigned: Pages 496-498 : Practice section #1-5 (at least 2 letters each)

at least 8 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 question from Create Connections (CC) section

10.3 Composition of Functions

Assigned: Pages 507-509 : Practice section #1-7 (at least 2 letters each)

at least 12 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 510-511 : 10.1 - at least 4 questions

10.2 - at least 4 questions

10.3 - at least 5 questions

Chapter 3 - Polynomial Functions <- link to CEMC Waterloo

3.1 Characteristics of Polynomial Functions

Assigned: Pages 114-117: Practice section #1-4 (at least 2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 124-125: at least 4 from Practice section (2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

Assigned: Pages 133-135: at least 4 from Practice section (2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

3.4 Equations and Graphs of Polynomial Functions

Assigned: Pages 147-152: at least 4 from Practice section (2 letters each)


Ver el vídeo: APLICACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS 1º AÑO (Diciembre 2021).