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11: 06 Asignación previa a la clase - Mecánica de matrices

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11: 06 Asignación previa a la clase - Mecánica de Matrix

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Contenido

ET Jaynes, un promotor del uso de la probabilidad bayesiana en la física estadística, sugirió una vez que la teoría cuántica es "[una] mezcla peculiar que describe en parte realidades de la naturaleza, en parte información humana incompleta sobre la naturaleza, todo mezclado por Heisenberg y Bohr en una tortilla que nadie ha visto cómo descifrar ". [15] QBism se desarrolló a partir de los esfuerzos para separar estas partes utilizando las herramientas de la teoría de la información cuántica y la teoría personalista de la probabilidad bayesiana.

Hay muchas interpretaciones de la teoría de la probabilidad. En términos generales, estas interpretaciones caen en una de tres categorías: las que afirman que una probabilidad es una propiedad objetiva de la realidad (la escuela de la propensión), las que afirman que la probabilidad es una propiedad objetiva del proceso de medición (frecuentistas) y las que afirman que una probabilidad es una construcción cognitiva que un agente puede utilizar para cuantificar su ignorancia o grado de creencia en una proposición (bayesianos). QBism comienza afirmando que todas las probabilidades, incluso las que aparecen en la teoría cuántica, se consideran más correctamente como miembros de esta última categoría. Específicamente, QBism adopta una interpretación bayesiana personalista en la línea del matemático italiano Bruno de Finetti [16] y el filósofo inglés Frank Ramsey. [17] [18]

Según QBists, las ventajas de adoptar este punto de vista de la probabilidad son dobles. Primero, para los QB, el papel de los estados cuánticos, como las funciones de onda de las partículas, es codificar de manera eficiente las probabilidades de modo que los estados cuánticos sean, en última instancia, grados de creencia en sí mismos. (Si se considera una sola medición que es un mínimo, POVM informacionalmente completo, esto es especialmente claro: un estado cuántico es matemáticamente equivalente a una sola distribución de probabilidad, la distribución sobre los posibles resultados de esa medición. [19]) Con respecto a los estados cuánticos como grados de creencia implica que el evento de un estado cuántico que cambia cuando ocurre una medición —el "colapso de la función de onda" - es simplemente el agente que actualiza sus creencias en respuesta a una nueva experiencia. [13] En segundo lugar, sugiere que se puede pensar en la mecánica cuántica como una teoría local, porque se puede rechazar el criterio de realidad de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR). El criterio EPR establece: "Si, sin perturbar de ninguna manera un sistema, podemos predecir con certeza (es decir, con probabilidad igual a la unidad) el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de realidad correspondiente a esa cantidad". [20] Los argumentos de que la mecánica cuántica debe considerarse una teoría no local dependen de este principio, pero para un QBist, no es válido, porque un personalista bayesiano considera que todas las probabilidades, incluso aquellas iguales a la unidad, son grados de creencia. [21] [22] Por lo tanto, mientras que muchas interpretaciones de la teoría cuántica concluyen que la mecánica cuántica es una teoría no local, los QB no lo hacen. [23]

Fuchs introdujo el término "QBism" y esbozó la interpretación en más o menos su forma actual en 2010, [24] llevando más lejos y exigiendo coherencia de las ideas abordadas anteriormente, sobre todo en publicaciones de 2002. [25] [26] Varios artículos posteriores han ampliado y elaborado sobre estos fundamentos, en particular un Reseñas de Física moderna artículo de Fuchs y Schack [19] y Revista estadounidense de física artículo de Fuchs, Mermin y Schack [23] y notas de conferencias de Enrico Fermi Summer School [27] de Fuchs y Stacey. [22]

Antes del artículo de 2010, el término "bayesianismo cuántico" se utilizó para describir los desarrollos que desde entonces han llevado al QBism en su forma actual. Sin embargo, como se señaló anteriormente, el QBism se suscribe a un tipo particular de bayesianismo que no se adapta a todos los que podrían aplicar el razonamiento bayesiano a la teoría cuántica (ver, por ejemplo, la sección Otros usos de la probabilidad bayesiana en la física cuántica a continuación). En consecuencia, Fuchs eligió llamar a la interpretación "QBism", pronunciado "cubismo", preservando el espíritu bayesiano a través del CamelCase en las dos primeras letras, pero distanciándolo del bayesianismo de manera más amplia. Como este neologismo es un homófono del cubismo, el movimiento artístico, ha motivado comparaciones conceptuales entre los dos, [28] y la cobertura mediática del QBism ha sido ilustrada con arte por Picasso [7] y Gris. [29] Sin embargo, el QBism en sí no fue influenciado ni motivado por el cubismo y no tiene linaje para una conexión potencial entre el arte cubista y los puntos de vista de Bohr sobre la teoría cuántica. [30]

Según QBism, la teoría cuántica es una herramienta que un agente puede utilizar para ayudar a gestionar sus expectativas, más parecida a la teoría de la probabilidad que a una teoría física convencional. [13] La teoría cuántica, afirma QBism, es fundamentalmente una guía para la toma de decisiones que ha sido moldeada por algunos aspectos de la realidad física. Los principales principios del QBism son los siguientes: [31]

  1. Todas las probabilidades, incluidas las iguales a cero o uno, son valoraciones que un agente atribuye a sus grados de creencia en los posibles resultados. A medida que definen y actualizan las probabilidades, los estados cuánticos (operadores de densidad), los canales (mapas de conservación de trazas completamente positivos) y las mediciones (medidas positivas valoradas por el operador) también son juicios personales de un agente.
  2. La regla de Born es normativa, no descriptiva. Es una relación a la que un agente debe esforzarse por adherirse en sus asignaciones de probabilidad y estado cuántico.
  3. Los resultados de la medición cuántica son experiencias personales para el agente que juega con ellos. Diferentes agentes pueden conferir y ponerse de acuerdo sobre las consecuencias de una medición, pero el resultado es la experiencia que cada uno de ellos tiene individualmente.
  4. Un aparato de medición es conceptualmente una extensión del agente. Debe considerarse análogo a un órgano sensorial o una prótesis, al mismo tiempo una herramienta y una parte del individuo.

Las reacciones a la interpretación de QBist han variado de entusiastas [13] [28] a fuertemente negativas. [32] Algunos que han criticado QBism afirman que no cumple con el objetivo de resolver paradojas en la teoría cuántica. Bacciagaluppi sostiene que el tratamiento de QBism de los resultados de medición no resuelve en última instancia el problema de la no localidad, [33] y Jaeger encuentra que la suposición de QBism de que la interpretación de la probabilidad es clave para que la resolución sea antinatural y poco convincente. [12] Norsen [34] ha acusado al QBism de solipsismo, y Wallace [35] identifica al QBism como un ejemplo de instrumentalismo. Los QBistas han argumentado insistentemente que estas caracterizaciones son malentendidos, y que QBism no es ni solipsista ni instrumentalista. [17] [36] Un artículo crítico de Nauenberg [32] en el Revista estadounidense de física provocó una respuesta de Fuchs, Mermin y Schack. [37] Algunos afirman que puede haber inconsistencias, por ejemplo, Stairs sostiene que cuando una asignación de probabilidad es igual a uno, no puede ser un grado de creencia como dicen los QB. [38] Además, aunque también plantea preocupaciones sobre el tratamiento de las asignaciones de probabilidad uno, Timpson sugiere que QBism puede resultar en una reducción del poder explicativo en comparación con otras interpretaciones. [1] Fuchs y Schack respondieron a estas preocupaciones en un artículo posterior. [39] Mermin abogó por QBism en un 2012 Física hoy artículo, [2] que provocó un debate considerable. Varias críticas adicionales de QBism que surgieron en respuesta al artículo de Mermin, y las respuestas de Mermin a estos comentarios, se pueden encontrar en el Física hoy foro de lectores. [40] [41] Sección 2 de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford La entrada sobre QBism también contiene un resumen de las objeciones a la interpretación y algunas respuestas. [42] Otros se oponen al QBism por motivos filosóficos más generales, por ejemplo, Mohrhoff critica el QBism desde el punto de vista de la filosofía kantiana. [43]

Ciertos autores encuentran que QBism es internamente autoconsistente, pero no suscriben la interpretación. [44] Por ejemplo, Marchildon encuentra QBism bien definido de una manera que, para él, las interpretaciones de muchos mundos no lo están, pero en última instancia prefiere una interpretación bohmiana. [45] De manera similar, Schlosshauer y Claringbold afirman que QBism es una interpretación consistente de la mecánica cuántica, pero no ofrecen un veredicto sobre si debería ser preferible. [46] Además, algunos están de acuerdo con la mayoría, pero quizás no con todos, los principios básicos de la posición de QBism Barnum, [47] así como con la de Appleby, [48] son ​​ejemplos.

La cobertura mediática popularizada o semi-popularizada de QBism ha aparecido en Científico nuevo, [49] Científico americano, [50] Naturaleza, [51] Noticias de ciencia, [52] la Comunidad FQXi, [53] el Frankfurter Allgemeine Zeitung, [29] Revista Quanta, [16] Eón, [54] y Descubrir. [55] En 2018, dos libros de divulgación científica sobre la interpretación de la mecánica cuántica, Ball's Más allá de lo extraño y Ananthaswamy A través de dos puertas a la vez, secciones dedicadas a QBism. [56] [57] Además, Harvard University Press publicó un tratamiento popularizado del tema, QBism: el futuro de la física cuántica, en 2016. [13]

La literatura filosófica también ha discutido el QBism desde los puntos de vista del realismo estructural y de la fenomenología. [58] [59] [60]

Interpretaciones de Copenhague Editar

Las opiniones de muchos físicos (Bohr, Heisenberg, Rosenfeld, von Weizsäcker, Peres, etc.) a menudo se agrupan como la "interpretación de Copenhague" de la mecánica cuántica. Varios autores han desaprobado esta terminología, alegando que históricamente es engañosa y oculta diferencias entre físicos que son tan importantes como sus similitudes. [14] [61] QBism comparte muchas características en común con las ideas a menudo etiquetadas como "la interpretación de Copenhague", pero las diferencias son importantes para combinarlas o considerar QBism como una modificación menor de los puntos de vista de Bohr o Heisenberg, por ejemplo, sería una tergiversación sustancial. [10] [31]

QBism considera que las probabilidades son juicios personales del agente individual que utiliza la mecánica cuántica. Esto contrasta con las visiones más antiguas del tipo de Copenhague, que sostienen que las probabilidades están dadas por estados cuánticos que a su vez están fijados por hechos objetivos sobre los procedimientos de preparación. [13] [62] QBism considera que una medida es cualquier acción que realiza un agente para obtener una respuesta del mundo y el resultado de esa medida es la experiencia que la respuesta del mundo induce en ese agente. Como consecuencia, la comunicación entre agentes es el único medio por el cual diferentes agentes pueden intentar comparar sus experiencias internas. Sin embargo, la mayoría de las variantes de la interpretación de Copenhague sostienen que los resultados de los experimentos son piezas de realidad independientes del agente a las que cualquiera puede acceder. [10] QBism afirma que estos puntos en los que difiere de las interpretaciones previas del tipo de Copenhague resuelven las oscuridades que muchos críticos han encontrado en este último, cambiando el papel que juega la teoría cuántica (aunque QBism todavía no proporciona una ontología subyacente específica ). Específicamente, QBism postula que la teoría cuántica es una herramienta normativa que un agente puede usar para navegar mejor por la realidad, en lugar de un conjunto de mecanismos que la gobiernan. [22] [42]

Otras interpretaciones epistémicas Editar

Los enfoques de la teoría cuántica, como QBism, [63] que tratan los estados cuánticos como expresiones de información, conocimiento, creencia o expectativa se denominan interpretaciones "epistémicas". [6] Estos enfoques difieren entre sí en lo que consideran que los estados cuánticos son información o expectativas "sobre", así como en las características técnicas de las matemáticas que emplean. Además, no todos los autores que defienden puntos de vista de este tipo proponen una respuesta a la pregunta de qué concierne la información representada en los estados cuánticos. En palabras del artículo que presentó el modelo de juguete de Spekkens,

si un estado cuántico es un estado de conocimiento, y no es conocimiento de variables ocultas locales y no contextuales, entonces ¿de qué es conocimiento? Actualmente no tenemos una buena respuesta a esta pregunta. Por lo tanto, permaneceremos completamente agnósticos sobre la naturaleza de la realidad a la que pertenece el conocimiento representado por los estados cuánticos. Esto no quiere decir que la pregunta no sea importante. Más bien, vemos el enfoque epistémico como un proyecto inconcluso y esta pregunta como el obstáculo central para su finalización. No obstante, argumentamos que incluso en ausencia de una respuesta a esta pregunta, se puede defender el punto de vista epistémico. La clave es que uno puede esperar identificar los fenómenos que son característicos de los estados de conocimiento incompleto, independientemente de qué se trate este conocimiento. [64]

Leifer y Spekkens proponen una forma de tratar las probabilidades cuánticas como probabilidades bayesianas, considerando así los estados cuánticos como epistémicos, que afirman que están "estrechamente alineados en su punto de partida filosófico" con el QBism. [65] Sin embargo, permanecen deliberadamente agnósticos sobre qué propiedades físicas o entidades estados cuánticos son información (o creencias), a diferencia del QBism, que ofrece una respuesta a esa pregunta. [65] Otro enfoque, defendido por Bub y Pitowsky, sostiene que los estados cuánticos son información sobre proposiciones dentro de espacios de eventos que forman redes no booleanas. [66] En ocasiones, las propuestas de Bub y Pitowsky también se denominan "bayesianismo cuántico". [67]

Zeilinger y Brukner también han propuesto una interpretación de la mecánica cuántica en la que la "información" es un concepto fundamental y en la que los estados cuánticos son cantidades epistémicas. [68] A diferencia del QBism, la interpretación de Brukner-Zeilinger trata algunas probabilidades como objetivamente fijas. En la interpretación de Brukner-Zeilinger, un estado cuántico representa la información que tendría un observador hipotético en posesión de todos los datos posibles. Dicho de otra manera, un estado cuántico pertenece en su interpretación a un óptimamente informado agente, mientras que en QBism, ninguna El agente puede formular un estado para codificar sus propias expectativas. [69] A pesar de esta diferencia, en la clasificación de Cabello, las propuestas de Zeilinger y Brukner también se denominan "realismo participativo", como lo son el QBism y las interpretaciones tipo Copenhague. [6]

Baez y Youssef propusieron interpretaciones bayesianas o epistémicas de las probabilidades cuánticas a principios de la década de 1990. [70] [71]

Puntos de vista de Von Neumann Editar

R. F. Streater argumentó que "[e] l primer bayesiano cuántico fue von Neumann", basando esa afirmación en el libro de texto de von Neumann Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. [72] Blake Stacey no está de acuerdo, argumentando que las opiniones expresadas en ese libro sobre la naturaleza de los estados cuánticos y la interpretación de la probabilidad no son compatibles con el QBismo, o de hecho, con cualquier posición que podría llamarse bayesianismo cuántico. [14]

Mecánica cuántica relacional Editar

También se han hecho comparaciones entre QBism y la mecánica cuántica relacional (RQM) adoptada por Carlo Rovelli y otros. [73] Tanto en QBism como en RQM, los estados cuánticos no son propiedades intrínsecas de los sistemas físicos. [74] Tanto QBism como RQM niegan la existencia de una función de onda universal absoluta. Además, tanto QBism como RQM insisten en que la mecánica cuántica es fundamentalmente local teoría. [23] [75] Además, Rovelli, al igual que varios autores de QBist, aboga por la reconstrucción de la teoría cuántica a partir de principios físicos para aportar claridad al tema de los fundamentos cuánticos. [76] (Los enfoques de QBist para hacerlo son diferentes de los de Rovelli, y se describen a continuación). Una distinción importante entre las dos interpretaciones es su filosofía de probabilidad: RQM no adopta la escuela Ramsey-de Finetti del bayesianismo personalista. [6] [17] Además, RQM no insiste en que el resultado de una medición sea necesariamente la experiencia de un agente. [17]

Otros usos de la probabilidad bayesiana en física cuántica Editar

El QBism debe distinguirse de otras aplicaciones de la inferencia bayesiana en física cuántica y de los análogos cuánticos de la inferencia bayesiana. [19] [70] Por ejemplo, algunos en el campo de la informática han introducido una especie de red bayesiana cuántica, que, según ellos, podría tener aplicaciones en "diagnóstico médico, seguimiento de procesos y genética". [77] [78] La inferencia bayesiana también se ha aplicado en la teoría cuántica para actualizar las densidades de probabilidad sobre estados cuánticos, [79] y los métodos MaxEnt se han utilizado de manera similar. [70] [80] Los métodos bayesianos para la tomografía de proceso y estado cuántico son un área activa de investigación. [81]

Las preocupaciones conceptuales sobre la interpretación de la mecánica cuántica y el significado de la probabilidad han motivado el trabajo técnico. Una versión cuántica del teorema de Finetti, introducido por Caves, Fuchs y Schack (reprobando independientemente un resultado encontrado usando diferentes medios por Størmer [82]) para proporcionar una comprensión bayesiana de la idea de un "estado cuántico desconocido", [83 ] [84] ha encontrado aplicación en otros lugares, en temas como la distribución de claves cuánticas [85] y la detección de entrelazamientos. [86]

Los partidarios de varias interpretaciones de la mecánica cuántica, incluido el QBism, han sido motivados para reconstruir la teoría cuántica. El objetivo de estos esfuerzos de investigación ha sido identificar un nuevo conjunto de axiomas o postulados de los cuales se puede derivar la estructura matemática de la teoría cuántica, con la esperanza de que con tal reformulación, las características de la naturaleza que hicieron de la teoría cuántica la forma en que es. podría identificarse más fácilmente. [51] [87] Aunque los principios centrales del QBism no exigen tal reconstrucción, algunos QBistas, Fuchs, [26] en particular, han argumentado que la tarea debe continuar.

Un tema destacado en el esfuerzo de reconstrucción es el conjunto de estructuras matemáticas conocidas como medidas simétricas, informativamente completas y positivas valoradas por el operador (SIC-POVM). La investigación fundamental de QBist estimuló el interés en estas estructuras, que ahora tienen aplicaciones en la teoría cuántica fuera de los estudios fundamentales [88] y en matemáticas puras. [89]

La reformulación QBist más extensamente explorada de la teoría cuántica implica el uso de SIC-POVM para reescribir estados cuánticos (puros o mixtos) como un conjunto de probabilidades definidas sobre los resultados de una medición de la "Oficina de Estándares". [90] [91] Es decir, si se expresa una matriz de densidad como una distribución de probabilidad sobre los resultados de un experimento SIC-POVM, se pueden reproducir todas las predicciones estadísticas implícitas en la matriz de densidad a partir de las probabilidades SIC-POVM. [92] La regla de Born asume entonces el papel de relacionar una distribución de probabilidad válida con otra, en lugar de derivar probabilidades de algo aparentemente más fundamental. Fuchs, Schack y otros han comenzado a llamar a esta reformulación de la regla de Born la urgleichung, del alemán para "ecuación primaria" (ver Ur- prefijo), debido al papel central que juega en su reconstrucción de la teoría cuántica. [19] [93] [94]

La siguiente discusión presupone cierta familiaridad con las matemáticas de la teoría de la información cuántica y, en particular, el modelado de los procedimientos de medición mediante POVM. Considere un sistema cuántico al que está asociado un espacio de Hilbert d < textstyle d> -dimensional. Si un conjunto de d 2 < textstyle d ^ <2>> proyectores de rango 1 Π ^ i < displaystyle < hat < Pi >> _> satisfactorio

Tenga en cuenta que el urgleichung es estructuralmente muy similar a la ley de probabilidad total, que es la expresión

La segunda igualdad está escrita en la imagen de Heisenberg de la dinámica cuántica, con respecto a la cual la evolución temporal de un sistema cuántico es capturada por las probabilidades asociadas con una medición SIC rotada = < estilo de texto <>> = << sombrero > ^ < daga> < sombrero >_< sombrero > >> del estado cuántico original ρ ^ < displaystyle < hat < rho >>>. Luego, la ecuación de Schrödinger se captura completamente en el urgleichung para esta medición:

Aquellos QBists que encuentran prometedor este enfoque están persiguiendo una reconstrucción completa de la teoría cuántica que presenta al urgleichung como el postulado clave. [93] (La urgleichung también se ha discutido en el contexto de la teoría de categorías. [96]) Las comparaciones entre este enfoque y otros no asociados con QBism (o de hecho con cualquier interpretación particular) se pueden encontrar en un capítulo de libro de Fuchs y Stacey. [97] y un artículo de Appleby et al. [93] A partir de 2017, los esfuerzos de reconstrucción de QBist alternativos se encuentran en las etapas iniciales. [98]


El libro de texto principal para este curso (ambos semestres) es de Michael Peskin y Daniel Schroeder. En gran medida, el curso se basa en este libro y debería seguirlo bastante de cerca, pero no espere una coincidencia del 100%.

Dado que tanto el curso como el libro de texto principal son de naturaleza introductoria, muchas preguntas quedarían sin respuesta. El mejor libro de referencia para encontrar las respuestas es el de Steven Weinberg. Los dos primeros volúmenes de esta serie de tres volúmenes se basan en un curso de dos años que el Dr. Weinberg solía enseñar aquí en UT & mdash pero, por supuesto, también contienen mucho material adicional. En una primera aproximación, el libro del Dr. Weinberg le enseña todo lo que siempre quiso saber acerca de QFT y más, lo que desafortunadamente es demasiado para un curso de un año de instrucción. (El volumen 3 de Weinberg trata sobre la supersimetría, un tema fascinante que no podría cubrir en absoluto en este curso).

Le dije a la librería del campus que uso el libro de Peskin como libro de texto para 396 K y 396 L (otoño de 2015, otoño de 2016 y primavera de 2017), el volumen 1 de Weinberg como un libro de texto complementario para el 396 K (otoño de 2015 y otoño 2016) y el vol. 2 como libro de texto complementario del 396 L (primavera de 2017). Espero que la tienda haya almacenado los libros en consecuencia, pero debes comprarlos mientras duren las existencias.


Empiece a leer el Capítulo 3 en Fetter y Walecka.

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  1. La figura de arriba muestra una caja de masa que se desliza sobre la superficie sin fricción de un plano inclinado (ángulo & # 952). El propio plano inclinado tiene una masa M y está apoyado sobre una superficie horizontal sin fricción. Escriba el lagrangiano para este sistema en términos de las coordenadas generalizadas X y sy resuelva las ecuaciones de movimiento, asumiendo que el sistema está inicialmente en reposo.

Introducción a los métodos de elementos finitos

La idea de una versión en línea de los métodos de elementos finitos surgió hace poco más de un año. Los artículos sobre las Clases Masivamente Abiertas en Línea (MOOC) habían estado sacudiendo el mundo académico (al menos suavemente), y parecía que su escritor apenas había experimentado con métodos de enseñanza. Particularmente convincente fue el hecho de que ya se habían reportado algunos éxitos con las clases de programación de computadoras en el formato en línea, especialmente como MOOC. Los métodos de elementos finitos, con la centralidad que tiene la programación informática en la enseñanza de este tema, parecían un candidato obvio para la experimentación en el formato online. Desde allí hasta las videoconferencias que está a punto de ver, tomó casi un año. Primero tuve que desviarme por otra asignatura, Continuum Physics, para la que también hay disponibles videoconferencias, y cuya grabación en este formato sirvió como prueba para la presente serie de conferencias sobre métodos de elementos finitos.

Aquí están, entonces, alrededor de 50 horas de conferencias que cubren el material que normalmente enseño en una clase introductoria de posgrado en la Universidad de Michigan. El tratamiento es matemático, lo cual es natural para un tema cuyas raíces se encuentran profundamente en el análisis funcional y el cálculo variacional. Sin embargo, no es formal porque el objetivo principal de estas conferencias es convertir al espectador en un desarrollador competente de código de elementos finitos. Dedicamos tiempo al análisis funcional rudimentario y al cálculo variacional, pero esto es solo para resaltar la base matemática de los métodos, lo que a su vez explica por qué funcionan tan bien. Gran parte del éxito del método de los elementos finitos como marco computacional radica en el rigor de su base matemática, y esto debe apreciarse, aunque solo sea de la manera elemental que se presenta aquí. Se asume un trasfondo en PDE y, lo que es más importante, en álgebra lineal, aunque el espectador encontrará que desarrollamos todas las ideas relevantes que se necesitan.

El desarrollo en sí se centra en las formas clásicas de ecuaciones diferenciales parciales (PDE): elíptica, parabólica e hiperbólica. En cada etapa, sin embargo, hacemos numerosas conexiones con los fenómenos físicos representados por las PDE. Para mayor claridad, comenzamos con PDE elípticas en una dimensión (elasticidad linealizada, conducción de calor en estado estable y difusión de masa). Luego pasamos a PDE elípticas tridimensionales en incógnitas escalares (conducción de calor y difusión de masa), antes de finalizar el tratamiento de PDE elípticas con problemas tridimensionales en incógnitas vectoriales (elasticidad linealizada). A continuación vienen las PDE parabólicas en tres dimensiones (conducción de calor inestable y difusión de masa), y las conferencias terminan con PDE hiperbólicas en tres dimensiones (elastodinámica lineal). Intercaladas entre las conferencias están las respuestas a las preguntas que surgieron de un pequeño grupo de estudiantes graduados y académicos postdoctorales que siguieron las conferencias en vivo. En los puntos adecuados de las conferencias, interrumpimos el desarrollo matemático para diseñar el marco de código, que es completamente de código abierto y basado en C ++.

Se espera que estas conferencias sobre métodos de elementos finitos complementen la serie sobre física continua para proporcionar un punto de partida desde el cual el investigador experimentado o estudiante graduado avanzado pueda embarcarse en el trabajo en física computacional (continua).

Hay varias personas a las que debo agradecer: Shiva Rudraraju y Greg Teichert por su trabajo en el marco de codificación, Tim O'Brien por organizar las grabaciones, Walter Lin y Alex Hancook por su trabajo de cámara y edición de posproducción, y Scott Mahler por hacer disponibles los estudios.


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6.837 Introducción a los gráficos por computadora Tarea 5: Representación de vóxeles

En esta tarea y en la siguiente, hará que su trazador de rayos sea más rápido utilizando una estructura de datos de aceleración espacial. Esta semana nos centraremos en la implementación de una estructura de datos de cuadrícula y en la intersección de cuadrícula de rayos rápidos. La semana que viene usará la cuadrícula para acelerar su trazador de rayos.

Para probar su estructura de cuadrícula, implementará la cuadrícula como una primitiva de modelado. El modelado volumétrico se puede implementar afectando un valor de opacidad binario para cada celda de la cuadrícula. This is the equivalent of the discrete pixel representation of 2D images. Each volume element (or voxel) will be rendered as a solid cube. You can easily rasterize simple primitives in a grid (similar to pixel rasterization). For example, to rasterize a sphere, simply compare the distance between the center of a voxel and the sphere center to the sphere radius. You will use the grid to store the objects of your scene. In order to test your object insertion code, you will render cells that contain one or more objects as opaque and use color to visualize the density.

Initially, you may assume that no transformations are used. This way you may effectively ignore the group hierarchy and insert all primitives by scanning the scene in a depth-first manner. For the later test cases you will need to correctly transform the bounding boxes of each primitive before rasterizing it to the grid.

Tareas

To avoid creating an infinite bounding box, don't try to compute the bounding box of a Plane (la BoundingBox of this primitive should be NULL). Don't include this infinite primitive when computing the bounding box of a group. Test your bounding box code by printing out the intermediate and scene bounding boxes for various test cases from previous assignments. Make sure your code handles scenes whose bounding box no include the origin.

Internal to your grid class, an array of norteX X nortey X nortez boolean values stores whether each voxel is opaque or transparent. Later we'll replace this array of booleans with an array of arrays of Objects3D.

Note that this function is no pure virtual. Initially this function will do nothing. Override this function for spheres by implementing the corresponding method for the Esfera clase. This method sets the opaqueness of each voxel which mayo intersect the sphere. You can do this by comparing the center of voxel to the sphere center and radius. Your computation should be conservative: you must label cells which might overlap the sphere, but it's also ok to label cells opaque which do not overlap the sphere. You may ignore the 2nd argument (Matrix *m) for this part, it will be used later in the assignment.

You will need a place to store the information for the current ray and the current grid cell. Implement a MarchingInfo class that stores the current value of tmin the grid indices I, j, y k for the current grid cell the next values of intersection along each axis (t_next_x, t_next_y, y t_next_z) the marching increments along each axis (d_tx, d_ty, d_tz), and the sign of the direction vector components (sign_x, sign_y, y sign_z). To render the occupied grid cells for visualization you will also need to store the surface normal of the cell face which was crossed to enter the current cell. Write the appropriate accessors and modifiers.

This function computes the marching increments and the information for the first cell traversed by the ray. Make sure to treat all three intersection cases: when the origin is inside the grid, when it is outside and the ray hits the grid, and when it is outside and it misses the grid. Test your initializeRayMarch routine by manually casting simple axis-aligned rays into a low-resolution grid. Also test more general cases. Make sure to test ray origins which are inside and outside the scene bounding box. Next, implement:

This update routine choose the smallest of the next t values (t_next_x, t_next_y, y t_next_z), and updates the corresponding cell index. Test your nextCell ray marching code using the same strategy as for initialization. Manually compute the marching sequence corresponding to a particular ray and then print the steps taken by your code. Try other origins and directions to make sure that your code works for all orientations (in particular, test both positive and negative components of the direction).

GLCanvas::initialize method has been modified to take in two additional parameters, the Grid, and a boolean indicating whether to visualize the grid or not. Insert the following commands within your Grid intersection routines as appropriate:

To specify an entire cell, call AddHitCellFace 6 times. In the examples below, a color gradient has been used to show the order in which the cells are traversed (white, purple, . orange, red). This gradient is optional, but can be helpful in debugging. To see the ray intersections more clearly, you may wish to turn off the transparent ray rendering in RayTree::paint()

In the examples below, a color gradient has been used to visualize the number of primitives which overlap each grid cell. Cells colored white have just 1 primitive, purple have 2 primitives, . and cells colored red have many more. You should implement a similar visualization, but you may use a different color scheme.

You are not required to handle transformations in your Sphere::insertIntoGrid método. Si m &ne NULL, it's ok to fall back on the Object3D::insertIntoGrid implementación. To explicitly call a parent class method, pre-pend the method with the class name:

Ideas for Extra Credit

  • Implement a special case for transformations of triangle primitives to get a tighter bounding box
  • Test if the plane of the triangles intersects the grid cells (less useful for small triangles)
  • Volumetric rasterization of other fun implicit objects

Input Files

New Triangle Models

Sample Results




Visualize Hit Cells Visualize Entered Faces




Note: the grid voxelization of the green triangle uses an optional special case for transformed triangles and will look different if you have not implemented this option.

Note: the grid voxelization of the blue rhombus uses an optional special case for transformed triangles and will look different if you have not implemented this option.


Energetic Materials

5.1 Computational model

To directly simulate the condensed-phase chemical reactivity of HMX, we use the SCC-DFTB method to determine the interatomic forces and simulate the decomposition at constant-volume and temperature conditions. The initial condition of the simulation included six HMX molecules in a cell, corresponding to the unit cell of the δ phase of HMX ( Fig. 10 ) with a total of 168 atoms. It is well known [76] that HMX undergoes a phase transition at 436 K from the β phase (two molecules per unit cell with a chair molecular conformation, density = 1.89 g/cm 3 ) to the δ phase (with boat molecular conformation, density = 1.50 g/cm 3 ). We thus chose the δ phase as the initial starting structure so as to include all the relevant physical attributes of the system prior to chemical decomposition. The calculation started with the experimental unit cell parameters and atomic positions of δ HMX. The atomic positions were then relaxed in an energy minimization procedure. The resulting atomic positions were verified to be close to the experimental positions.

The volume of the cell was then reduced to the final density of the simulation. The atomic structure was subsequently fully optimised at the corresponding cell volume. Our intention is to study the high- pressure and high- temperature chemistry of HMX in general, so the exact density and temperature used in our simulation is somewhat arbitrary. We used a density of 1.9 g/cm 3 and a temperature of 3500 K. This state is in the neighborhood of the Chapman-Jouget state of β-HMX (3500 K, 2.1 g/ cm 3 ) as predicted through thermochemical calculations described later. The closest experimental condition corresponding to our simulation would be a sample of HMX, which is suddenly heated under constant volume conditions, such as in a diamond anvil cell.

The molecular dynamics simulation was conducted at constant volume and constant temperature. Periodic boundary conditions, whereby a particle exiting the cell on one side is reintroduced on the opposing side with the same velocity were imposed. Constant temperature conditions were implemented through simple velocity rescaling. The probability to rescale atom velocities was chosen to be 0.1 per time step. A dynamic time-step of 0.5 fs was used, and snapshots at 2.5 fs steps were collected.

A procedure was implemented to identify the product molecules of interest: H2O, N2, CO2, and CO. Covalent bonds were identified according to bond distance. This is motivated by the difference between covalent (1 - 1.7 Å) and van der Waals bond distances (

3 Å). We chose maximum bond distances of: R (O-H) = 1.3, R (CO) = 1.7, and R(N-N) = 1.5 Å in the molecule identification procedure. The results of the molecular identification procedure were confirmed through visual examination of representative simulation steps. We note that the procedure may incorrectly identify transition states as being molecular species. Since transition states are short lived, and since we apply the procedure to small molecules, this problem should not significantly affect the time averaged concentrations reported here.


11: 06 Pre-Class Assignment - Matrix Mechanics

We have discussed assignment operator overloading for dynamically allocated resources here . This is a an extension of the previous post. In the previous post, we discussed that when we don’t write our own assignment operator, compiler created assignment operator does shallow copy and that cause problems. What happens when we have references in our class and there is no user defined assignment operator. For example, predict the output of following program.

Compiler doesn’t creates default assignment operator in following cases

1. Class has a nonstatic data member of a const type or a reference type
2. Class has a nonstatic data member of a type which has an inaccessible copy assignment operator
3. Class is derived from a base class with an inaccessible copy assignment operator

When any of the above conditions is true, user must define assignment operator. For example, if we add an assignment operator to the above code, the code works fine without any error.


Ver el vídeo: 2020-10-06 Lab Bases de Datos (Agosto 2022).