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6.4: Resolución de sistemas con eliminación gaussiana

6.4: Resolución de sistemas con eliminación gaussiana


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Objetivos de aprendizaje

  • Escribe la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones.
  • Escribe el sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada.
  • Realice operaciones de fila en una matriz.
  • Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices.

Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo (18 ^ {th} ) y principios del (19 ^ {th} ), pero todavía se le considera uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus contribuciones a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de matrices cambiaron la forma en que los matemáticos han trabajado durante los últimos dos siglos.

Encontramos por primera vez la eliminación gaussiana en Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables. En esta sección, revisaremos esta técnica para resolver sistemas, esta vez usando matrices.

Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma matricial, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, que se convierten en las entradas de la matriz. Usamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, esencialmente reemplazando los signos iguales. Cuando un sistema está escrito en esta forma, lo llamamos un matriz aumentada.

Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones (2 × 2 ).

[ begin {align *} 3x + 4y & = 7 4x-2y & = 5 end {align *} ]

Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada:

( left [ begin {array} {cc | c} 3 & 4 & 7 4 & -2 & 5 end {array} right] )

También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama matriz de coeficientes.

( begin {bmatrix} 3 y 4 4 y −2 end {bmatrix} )

Un tres por tres sistema de ecuaciones tal como

[ begin {align *} 3x-y-z & = 0 x + y & = 5 2x-3z & = 2 end {align *} ]

tiene una matriz de coeficientes

( begin {bmatrix} 3 & −1 & −1 1 & 1 & 0 2 & 0 & −3 end {bmatrix} )

y está representado por la matriz aumentada

( left [ begin {array} {ccc | c} 3 & −1 & −1 & 0 1 & 1 & 0 & 5 2 & 0 & −3 & 2 end {array} right] )

Observe que la matriz está escrita de modo que las variables se alineen en sus propias columnas: (x ) - términos van en la primera columna, (y ) - términos en la segunda columna y (z ) - términos en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar (ax + by + cz = d ) para que las variables se alineen. Cuando falta un término variable en una ecuación, el coeficiente es (0 ).

Cómo: dado un sistema de ecuaciones, escribir una matriz aumentada

  1. Escribe los coeficientes de los términos (x ) - como los números en la primera columna.
  2. Escribe los coeficientes de los términos (y ) como los números en la segunda columna.
  3. Si hay (z ) - términos, escriba los coeficientes como números en la tercera columna.
  4. Dibuja una línea vertical y escribe las constantes a la derecha de la línea.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones

Escribe la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones dado.

[ begin {align *} x + 2y-z & = 3 2x-y + 2z & = 6 x-3y + 3z & = 4 end {align *} ]

Solución

La matriz aumentada muestra los coeficientes de las variables y una columna adicional para las constantes.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & −1 & 3 2 & −1 & 2 & 6 1 & −3 & 3 & 4 end {array} right] )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Escribe la matriz aumentada del sistema de ecuaciones dado.

[ begin {align *} 4x-3y & = 11 3x + 2y & = 4 end {align *} ]

Respuesta

( left [ begin {array} {cc | c} 4 & −3 & 11 3 & 2 & 4 end {array} right] )

Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada

Podemos usar matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están sobrecargados por las variables. Sin embargo, es importante entender cómo moverse de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más sencilla e intuitiva. Aquí, usaremos la información en una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): escribir un sistema de ecuaciones a partir de una forma de matriz aumentada

Encuentre el sistema de ecuaciones a partir de la matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & −3 & −5 & -2 2 & −5 & −4 & 5 - 3 & 5 & 4 & 6 end {array} right] )

Solución

Cuando las columnas representan las variables (x ), (y ) y (z ),

[ left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & -5 & -2 2 & -5 & -4 & 5 - 3 & 5 & 4 & 6 end {array} right] rightarrow begin {align *} x -3y-5z & = -2 2x-5y-4z & = 5 -3x + 5y + 4z & = 6 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Escribe el sistema de ecuaciones a partir de la matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & −1 & 1 & 5 2 & −1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -9 end {array} right] )

Respuesta

( begin {align *} x-y + z & = 5 2x-y + 3z & = 1 y + z & = -9 end {align *} )

Realización de operaciones de fila en una matriz

Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las diversas operaciones de fila que se puede realizar en una matriz, como la suma, la multiplicación por una constante y el intercambio de filas.

Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que usamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a escalón de fila forma, en la que hay unos en el diagonal principal desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, y ceros en cada posición debajo de la diagonal principal como se muestra.

Forma escalonada de fila ( begin {bmatrix} 1 & a & b 0 & 1 & d 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

Usamos operaciones de fila correspondientes a operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es equivalente a fila en una forma más simple. Aquí están las pautas para obtener la forma escalonada.

  1. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es (1 ). Se llama un principal (1).
  2. Todas las filas de ceros se colocan en la parte inferior de la matriz.
  3. Cualquier (1 ) inicial está debajo y a la derecha de un (1 ) inicial anterior.
  4. Cualquier columna que contenga un (1 ) inicial tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna.

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir el matriz de coeficientes para formar filas escalonadas y hacer sustitución hacia atrás para encontrar la solución.

  1. Intercambiar filas. (Notación: (R_i ↔ R_j ))
  2. Multiplica una fila por una constante. (Notación: (cR_i ))
  3. Suma el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila. (Notación: (R_i + cR_j ))

Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que rápidamente lograrán el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para encontrar soluciones, usamos la eliminación de Gauss, un método que usa operaciones de fila para obtener una (1 ) como la primera entrada, de modo que la fila (1 ) pueda usarse para convertir la filas restantes.

ELIMINACIÓN GAUSSIANA

El método de eliminación de Gauss se refiere a una estrategia utilizada para obtener la forma escalonada de una matriz. El objetivo es escribir la matriz (A ) con el número (1 ) como la entrada en la diagonal principal y tener todos los ceros debajo.

(A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {bmatrix} xrightarrow {Después de space Gaussian space eliminación} A = begin {bmatrix} 1 & b_ {12} & b_ {13} 0 & 1 & b_ {23} 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

El primer paso de la estrategia gaussiana incluye obtener (1 ) como la primera entrada, de modo que la fila (1 ) se pueda usar para alterar las filas siguientes.

Cómo: Dada una matriz aumentada, realizar operaciones de fila para lograr la forma escalonada de fila

  1. La primera ecuación debe tener un coeficiente principal de (1 ). Intercambie filas o multiplique por una constante, si es necesario.
  2. Utilice operaciones de fila para obtener ceros en la primera columna debajo de la primera entrada de (1 ).
  3. Utilice operaciones de fila para obtener (1 ) en la fila 2, columna 2.
  4. Utilice operaciones de fila para obtener ceros en la columna 2, debajo de la entrada de 1.
  5. Utilice operaciones de fila para obtener (1 ) en la fila 3, columna 3.
  6. Continúe este proceso para todas las filas hasta que haya un (1 en cada entrada en la diagonal principal y solo haya ceros debajo.
  7. Si alguna fila contiene todos ceros, colóquela en la parte inferior.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolver un sistema (2 × 2 ) por eliminación gaussiana

Resuelve el sistema dado por eliminación gaussiana.

[ begin {align *} 2x + 3y & = 6 x-y & = dfrac {1} {2} end {align *} ]

Solución

Primero, escribimos esto como una matriz aumentada.

( left [ begin {array} {cc | c} 2 & 3 & 6 1 & −1 & 12 end {array} right] )

Queremos un (1 ) en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr intercambiando la fila 1 y la fila 2.

(R_1 leftrightarrow R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 2 & 3 & 6 end {array} right] )

Ahora tenemos una (1 ) como la primera entrada en la fila 1, columna 1. Ahora obtengamos una (0 ) en la fila 2, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la fila 1 por (- 2 ) y luego agregue el resultado a la fila 2.

(- 2R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 0 & 5 & 5 end {array} right] )

Solo tenemos un paso más, multiplicar la fila 2 por ( dfrac {1} {5} ).

( dfrac {1} {5} R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 0 & 1 & 1 end {array} right] )

Utilice la sustitución hacia atrás. La segunda fila de la matriz representa (y = 1 ). Reemplaza (y = 1 ) en la primera ecuación.

[ begin {align *} x- (1) & = dfrac {1} {2} x & = dfrac {3} {2} end {align *} ]

La solución es el punto ( left ( dfrac {3} {2}, 1 right) ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resuelve el sistema dado por eliminación gaussiana.

Respuesta

((2, 1))

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones

Utilizar eliminación gaussiana para resolver el (2 × 2 ) dado sistema de ecuaciones.

[ begin {align *} 2x + y & = 1 4x + 2y & = 6 end {align *} ]

Solución

Escriba el sistema como un matriz aumentada.

( left [ begin {array} {cc | c} 2 & 1 & 1 4 & 2 & 6 end {array} right] )

Obtenga un (1 ) en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la primera fila por ( dfrac {1} {2} ).

( dfrac {1} {2} R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & dfrac {1} {2} & dfrac {1} {2} 4 & 2 & 6 fin {matriz} derecha] )

Luego, queremos un (0 ) en la fila 2, columna 1. Multiplique la fila 1 por (- 4 ) y agregue la fila 1 a la fila 2.

(- 4R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & dfrac {1} {2} & dfrac {1} {2} 0 & 0 & 4 end {array} derecho])

La segunda fila representa la ecuación (0 = 4 ). Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver un sistema dependiente

Resuelve el sistema de ecuaciones.

[ begin {align *} 3x + 4y & = 12 6x + 8y & = 24 end {align *} ]

Solución

Llevar a cabo operaciones de fila en la matriz aumentada para intentar lograr forma escalonada.

(A = left [ begin {array} {cc | c} 3 & 4 & 12 6 & 8 & 24 end {array} right] )

(- dfrac {1} {2} R_2 + R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 0 & 0 & 0 6 & 8 & 24 end {array} right] )

(R_1 leftrightarrow R_2 = left [ begin {array} {cc | c} 6 & 8 & 24 0 & 0 & 0 end {array} right] )

La matriz termina con todos ceros en la última fila: (0y = 0 ). Por tanto, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para encontrar la solución genérica, regrese a una de las ecuaciones originales y resuelva para (y ).

[ begin {align *} 3x + 4y & = 12 4y & = 12-3x y & = 3- dfrac {3} {4} x end {align *} ]

Entonces, la solución para este sistema es ( left (x, 3− dfrac {3} {4} x right) ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Realización de operaciones de fila en una matriz aumentada (3 × 3 ) para obtener la forma escalonada de fila

Realice operaciones de fila en la matriz dada para obtener la forma escalonada de fila.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 2 & -5 & 6 & 6 - 3 & 3 & 4 & 6 end {array} right] )

Solución

La primera fila ya tiene (1 ) en la fila 1, columna 1. El siguiente paso es multiplicar la fila 1 por (- 2 ) y agregarla a la fila 2. Luego, reemplace la fila 2 con el resultado.

(- 2R_1 + R_2 = R_2 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 - 3 & 3 & 4 & 6 end {array} right] )

A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 1.

(3R_1 + R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 0 & -6 & 16 & 15 end {array} right] )

A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 2.

(6R_2 + R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 4 & 15 end {array} right] )

El último paso es obtener un 1 en la fila 3, columna 3.

( dfrac {1} {3} R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & dfrac {21} {2} end {array} derecho])

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Escribe el sistema de ecuaciones en forma escalonada por filas.

[ begin {align *} x − 2y + 3z & = 9 −x + 3y & = −4 2x − 5y + 5z & = 17 end {align *} ]

Respuesta

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & - dfrac {5} {2} & dfrac {5} {2} & dfrac {17} {2} 0 & 1 & 5 & 9 0 & 0 & 1 & 2 fin {matriz} derecha] )

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices

Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con un matriz aumentada, y luego cómo usar las operaciones de fila y la sustitución hacia atrás para obtener la forma escalonada de fila. Ahora tomaremos forma escalonada un paso más para resolver un sistema de ecuaciones lineales de (3 ) por (3 ). La idea general es eliminar todas las variables menos una usando operaciones de fila y luego reemplazarlas para resolver las otras variables.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales usando matrices.

[ begin {align *} x-y + z & = 8 2x + 3y-z & = -2 3x-2y-9z & = 9 end {align *} ]

Solución

Primero, escribimos la matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 2 & 3 & -1 & -2 3 & -2 & -9 & 9 end {array} right] )

A continuación, realizamos operaciones de fila para obtener la forma escalonada de fila.

(- 2R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 5 & -3 & -18 3 & -2 & -9 & 9 end {array} right] )

(- 3R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 5 & -3 & -18 0 & 1 & -12 & -15 end {array} right] )

La forma más fácil de obtener un (1 ) en la fila 2 de la columna 1 es intercambiar (R_2 ) y (R_3 ).

(Intercambiar espacio R_2 espacio y espacio R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 1 & -12 & -15 0 & 5 & -3 & -18 end {array} derecho])

Luego

(- 5R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 1 & -12 & -15 0 & 0 & 57 & 57 end {array} right] )

(- dfrac {1} {57} R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 1 & -12 & -15 0 & 0 & 1 & 1 end {array} right] )

La última matriz representa el sistema equivalente.

[ begin {align *} x − y + z & = 8 y − 12z & = −15 z & = 1 end {align *} ]

Usando la sustitución hacia atrás, obtenemos la solución como ((4, −3,1) ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales usando matrices

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando matrices.

[ begin {align *} −x − 2y + z & = −1 2x + 3y & = 2 y − 2z & = 0 end {align *} ]

Solución

Escribe la matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} -1 & -2 & 1 & -1 2 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & -2 & 0 end {array} right] )

Primero, multiplique la fila 1 por (- 1 ) para obtener una (1 ) en la fila 1, columna 1. Luego, realice operaciones de fila para obtener la forma escalonada.

(- R_1 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 2 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & -2 & 0 end {array} right] )

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 0 2 & 3 & 0 & 2 end {array} right] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 0 0 & -1 & 2 & 0 end {array} right] )

(R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right] )

La última matriz representa el siguiente sistema.

[ begin {align *} x + 2y − z & = 1 y − 2z & = 0 0 & = 0 end {align *} ]

Vemos por la identidad (0 = 0 ) que este es un sistema dependiente con un número infinito de soluciones. Luego encontramos la solución genérica. Al resolver la segunda ecuación para (y ) y sustituirla en la primera ecuación, podemos resolver (z ) en términos de (x ).

[ begin {align *} x + 2y − z & = 1 y & = 2z x + 2 (2z) −z & = 1 x + 3z & = 1 z & = dfrac {1 − x} {3} end {align *} ]

Ahora sustituimos la expresión de (z ) en la segunda ecuación para resolver (y ) en términos de (x ).

[ begin {align *} y − 2z & = 0 z & = dfrac {1 − x} {3} y − 2 left ( dfrac {1 − x} {3} right) & = 0 y & = dfrac {2−2x} {3} end {align *} ]

La solución genérica es ( left (x, dfrac {2−2x} {3}, dfrac {1 − x} {3} right) ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resuelve el sistema usando matrices.

[ begin {align *} x + 4y-z & = 4 2x + 5y + 8z & = 1 5x + 3y-3z & = 1 end {align *} ]

Respuesta

((1,1,1))

Preguntas y respuestas: ¿Se puede resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante eliminación gaussiana?

Sí, un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño puede resolverse mediante eliminación gaussiana.

Cómo: Dado un sistema de ecuaciones, resolver con matrices usando una calculadora

  1. Guarde la matriz aumentada como una variable de matriz ([A], [B], [C],…. )
  2. Utilizar el árbitro( función en la calculadora, llamando a cada variable de matriz según sea necesario.

Ejemplo ( PageIndex {9A} ): Resolver sistemas de ecuaciones con matrices usando una calculadora

Resuelve el sistema de ecuaciones.

[ begin {align *} 5x + 3y + 9z & = -1 -2x + 3y-z & = -2 -x-4y + 5z & = 1 end {align *} ]

Solución

Escribe la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones.

( left [ begin {array} {ccc | c} 5 & 3 & 9 & -1 - 2 & 3 & -1 & -2 - 1 & -4 & 5 & 1 end {array} right] )

En la página de la matriz de la calculadora, ingrese la matriz aumentada de arriba como la variable de matriz ([A] ).

([A] = left [ begin {array} {ccc | c} 5 & 3 & 9 & -1 - 2 & 3 & -1 & -2 - 1 & -4 & 5 & 1 end {array} right] )

Utilizar el árbitro( función en la calculadora, llamando la variable de matriz ([A] ).

ref ([A])

Evaluar

[ begin {array} {cc} { left [ begin {array} {ccc | c} 1 & dfrac {3} {5} & dfrac {9} {5} & dfrac {1} {5 } 0 & 1 & dfrac {13} {21} & - dfrac {4} {7} 0 & 0 & 1 & - dfrac {24} {187} end {array} right] rightarrow} & { begin { alinear *} x + dfrac {3} {5} y + dfrac {9} {5} z & = - dfrac {1} {5} y + dfrac {13} {21} z & = - dfrac {4} {7} z & = - dfrac {24} {187} end {align *}} end {array} ]

Usando la sustitución hacia atrás, la solución es ( left ( dfrac {61} {187}, - dfrac {92} {187}, - dfrac {24} {187} right) ).

Ejemplo ( PageIndex {9B} ): Aplicar (2 × 2 ) matrices a las finanzas

Carolyn invierte un total de ($ 12,000 ) en dos bonos municipales, uno que paga (10.5% ) de interés y el otro que paga (12% ) de interés. El interés anual devengado por las dos inversiones el año pasado fue ($ 1335 ). ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

Solución

Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Sea (x = ) la cantidad invertida a (10.5% ) de interés y (y = ) la cantidad invertida a (12% ) de interés.

[ begin {align *} x + y & = 12,000 0.105x + 0.12y & = 1,335 end {align *} ]

Como matriz, tenemos

( left [ begin {array} {cc | c} 1 & 1 & 12,000 0.105 & 0.12 & 1,335 end {array} right] )

Multiplica la fila 1 por (- 0.105 ) y suma el resultado a la fila 2.

( left [ begin {array} {cc | c} 1 & 1 & 12,000 0 & 0.015 & 75 end {array} right] )

Luego,

[ begin {align *} 0.015y & = 75 y & = 5,000 end {align *} ]

Entonces (12,000−5,000 = 7,000 ).

Por lo tanto, ($ 5,000 ) se invirtió a (12% ) de interés y ($ 7,000 ) a (10.5% ) de interés.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Aplicar (3 × 3 ) matrices a las finanzas

Ava invierte un total de ($ 10,000 ) en tres cuentas, una paga (5% ) intereses, otra paga (8% ) intereses y la tercera paga (9% ) intereses. El interés anual devengado por las tres inversiones el año pasado fue ($ 770 ). La cantidad invertida en (9% ) fue el doble de la cantidad invertida en (5% ). ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

Solución

Tenemos un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Sea (x ) la cantidad invertida a (5% ) de interés, sea (y ) la cantidad invertida a (8% ) de interés y sea (z ) la cantidad invertida a (9% ) interés. Por lo tanto,

[ begin {align *} x + y + z & = 10,000 0.05x + 0.08y + 0.09z & = 770 2x − z & = 0 end {align *} ]

Como matriz, tenemos

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 0.05 & 0.08 & 0.09 & 770 2 & 0 & -1 & 0 end {array} right] )

Ahora, realizamos la eliminación gaussiana para lograr la forma escalonada por filas.

(- 0.05R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 0 & 0.03 & 0.04 & 270 2 & 0 & -1 & 0 end {array} right] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 0 & 0.03 & 0.04 & 270 0 & -2 & -3 & -20,000 end {array} right] )

( dfrac {1} {0.03} R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 0 & 1 & dfrac {4} {3} & 9,000 0 & -2 & -3 y -20,000 end {matriz} derecha] )

(2R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10,000 0 & 1 & dfrac {4} {3} & 9,000 0 & 0 & - dfrac {1} {3 } & - 2,000 end {matriz} right] )

La tercera fila nos dice (- dfrac {1} {3} z = −2,000 ); entonces (z = 6,000 ).

La segunda fila nos dice (y + dfrac {4} {3} z = 9,000 ). Sustituyendo (z = 6,000 ), obtenemos

[ begin {align *} y + dfrac {4} {3} (6,000) & = 9,000 y + 8,000 & = 9,000 y & = 1,000 end {align *} ]

La primera fila nos dice (x + y + z = 10,000 ). Sustituyendo (y = 1,000 ) y (z = 6,000 ), obtenemos

[ begin {align *} x + 1,000 + 6,000 & = 10,000 x & = 3,000 end {align *} ]

La respuesta es ($ 3,000 ) invertido al (5% ) de interés, ($ 1,000 ) invertido al (8% ) y ($ 6,000 ) invertido al (9% ) de interés.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Una pequeña empresa de calzado obtuvo un préstamo de ($ 1,500,000 ) para ampliar su inventario. Parte del dinero se pidió prestada a (7% ), parte se pidió prestada a (8% ) y parte se pidió prestada a (10% ). La cantidad prestada a (10% ) fue cuatro veces la cantidad prestada a (7% ), y el interés anual de los tres préstamos fue ($ 130,500 ). Utilice matrices para encontrar la cantidad prestada a cada tasa.

Respuesta

($ 150 000 ) en (7% ), ($ 750 000 ) en (8% ), ($ 600 000 ) en (10% )

Conceptos clave

  • Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y constantes de un sistema de ecuaciones. Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema original de ecuaciones. Vea Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • Las operaciones de fila incluyen multiplicar una fila por una constante, agregar una fila a otra fila e intercambiar filas.
  • Podemos usar la eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones. Consulte Ejemplo ( PageIndex {3} ), Ejemplo ( PageIndex {4} ) y Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • Las operaciones de fila se realizan en matrices para obtener la forma escalonada de fila. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ).
  • Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice operaciones de fila para obtener la forma escalonada de fila. Reemplazar para encontrar las soluciones. Vea Ejemplo ( PageIndex {7} ) y Ejemplo ( PageIndex {8} ).
  • Se puede usar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones usando matrices. Vea el ejemplo ( PageIndex {9} ).
  • Muchos problemas del mundo real se pueden resolver utilizando matrices aumentadas. Vea Ejemplo ( PageIndex {10} ) y Ejemplo ( PageIndex {11} ).


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