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2.2: Ecuaciones de rectas y funciones cuadráticas - Matemáticas

2.2: Ecuaciones de rectas y funciones cuadráticas - Matemáticas


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1. Líneas paralelas y líneas perpendiculares

Definimos líneas paralelas y perpendiculares de la siguiente manera:

[m_1 = - dfrac {1} {m_2}. ]

[x = constante. ]

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto ((5,4) ) que es vertical

Solución

Sabemos que la forma de la ecuación es:

[x = constante ]

Dado que pasa por ((5,4) ) que, como coordenada x 5, esa constante debe ser 5. Concluimos que la ecuación de la recta es

[x = 5. ]

Para investigar de forma interactiva ecuaciones de líneas, vaya a

mathcsjava.emporia.edu/~greenlar/ParPerp/ParPerp.html

2. Funciones cuadráticas en forma estándar

Recuerda cuál es la función

Vemos que el vértice se desplaza 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba. Hay estiramiento vertical por un factor de tres. En general, decimos que una cuadrática está en forma estándar si se ve así:

[y = a (x-h) ^ 2 + k. ]

Aquí, (h ) representa el desplazamiento horizontal, (k ) representa el desplazamiento vertical y (a ) representa el factor de estiramiento. Si (a ) es negativo, la parábola es cóncava hacia abajo (parece un ceño fruncido).

Para poner una cuadrática en forma estándar, completamos el cuadrado.

3. Aplicaciones:

Ley de movimiento de Newton:

Newton descubrió que si se lanza un objeto desde una altura inicial de (s_0 ) pies con una velocidad inicial de (v_0 ) pies por segundo, entonces la posición de la función del objeto es

[s = -16t ^ 2 + v_0t + s_0 ]

[t = 1,74 ; text {y} ; t = -1,74 ]

Observe que una media de tiempo negativa no es la solución, por lo que la pelota golpea el suelo después de 1,74 segundos.

Para saber qué tan alto llegará la bola, estamos después de la coordenada (s ) del vértice. Ponemos la ecuación en forma estándar

Ahora podemos decir que la pelota alcanzará una altura de 9,77 pies, ( frac {25} {32} ) segundos después de haber sido lanzada.

Para saber cuándo la pelota superará los 2 metros, resolvemos

Usando la fórmula cuadrática encontramos las raíces en

2. Calcular

5. Reagruparse:

6. Factoriza los paréntesis internos usando la segunda parte como sugerencia:

7. Multiplica la constante externa:

Larry Green (Colegio Comunitario de Lake Tahoe)

  • Integrado por Justin Marshall.


El dominio de una función es el conjunto de todos los valores permitidos de la variable independiente, comúnmente conocido como valores x. Para encontrar el dominio, necesito identificar valores particulares de x que pueden hacer que la función & # 8220misbehave & # 8221 y excluirlos como entradas válidas a la función.

Los valores de x que pueden resultar en las siguientes condiciones son no incluido en el dominio de la función.

Ahora, ¿qué tal el rango de una función?


2.2: Ecuaciones de rectas y funciones cuadráticas - Matemáticas

El tema de la resolución de ecuaciones cuadráticas se ha dividido en dos secciones para el beneficio de quienes lo ven en la web. Como sección única, el tiempo de carga de la página habría sido bastante largo. Esta es la segunda sección sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas.

En la sección anterior, analizamos el uso de la factorización y la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ecuaciones cuadráticas. El problema es que estos dos métodos de solución no siempre funcionarán. No todas las cuadráticas son factorizables y no todas las cuadráticas tienen la forma requerida para la propiedad de la raíz cuadrada.

Ahora es el momento de comenzar a buscar métodos que funcionen para todas las ecuaciones cuadráticas. Entonces, en esta sección veremos cómo completar el cuadrado y la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática,

Completando el cuadrado

El primer método que veremos en esta sección es completar el cuadrado. Se llama así porque utiliza un proceso llamado completar el cuadrado en el proceso de solución. Entonces, primero debemos definir qué es completar el cuadrado.

y observe que el x 2 tiene un coeficiente de uno. Eso es necesario para hacer esto. Ahora, a esto agreguemos (< left (< frac<2>> derecha) ^ 2> ). Hacer esto da lo siguiente factorizable ecuación cuadrática.

Este proceso se llama completando el cuadrado y si hacemos toda la aritmética correctamente, podemos garantizar que la cuadrática se factorizará como un cuadrado perfecto.

Hagamos un par de ejemplos para completar el cuadrado antes de ver cómo usamos esto para resolver ecuaciones cuadráticas.

Este es el número que agregaremos a la ecuación.

Observe que conservamos el signo menos aquí aunque siempre desaparecerá después de cuadrar las cosas. La razón de esto será evidente en un segundo. Ahora completemos el cuadrado.

Ahora, esta es una cuadrática que, con suerte, puede factorizar con bastante rapidez. Sin embargo, observe que siempre se factorizará como (x ) más el número azul que calculamos anteriormente que está entre paréntesis (en nuestro caso, es -8). Ésta es la razón por la que se deja el signo menos. Se asegura de que no cometamos ningún error en el proceso de factorización.

Aquí está el número que necesitaremos esta vez.

Es una fracción y eso sucederá con bastante frecuencia con estos, así que no se entusiasme con eso. Además, déjelo como una fracción. No convierta a decimal. Ahora completa el cuadrado.

Este no es tan fácil de factorizar. Sin embargo, si recuerda nuevamente que esto SIEMPRE factorizará como (y ) más el número azul anterior, no tenemos que preocuparnos por el proceso de factorización.

Ahora es el momento de ver cómo usamos completar el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática. El proceso se ve mejor cuando trabajamos con un ejemplo, así que hagámoslo.

Haremos el primer problema en detalle dando explícitamente cada paso. En los problemas restantes, haremos el trabajo sin tanta explicación.

Paso 1 : Divida la ecuación por el coeficiente de x 2 término. Recuerde que completar el cuadrado requería un coeficiente de uno en este término y esto garantizará que lo obtendremos. Sin embargo, no necesitamos hacer eso para esta ecuación.

Paso 2 : Establece la ecuación de modo que las (x ) estén en el lado izquierdo y la constante en el lado derecho.

Paso 3 : Completa el cuadrado del lado izquierdo. Sin embargo, esta vez necesitaremos agregar el número a ambos lados del signo igual en lugar de solo el lado izquierdo. Esto se debe a que tenemos que recordar la regla de que lo que hacemos en un lado de una ecuación, debemos hacerlo en el otro lado de la ecuación.

Primero, aquí está el número que sumamos a ambos lados.

Paso 4 : Ahora, en este punto, observe que podemos usar la propiedad de la raíz cuadrada en esta ecuación. Ese fue el propósito de los primeros tres pasos. Hacer esto nos dará la solución a la ecuación.

[x - 3 = pm sqrt 8 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 3 pm sqrt 8 ]

Y ese es el proceso. Hagamos las partes restantes ahora.

No pondremos explícitamente en los pasos esta vez ni daremos mucha explicación para esta ecuación. Dicho esto, tenga en cuenta que esta vez tendremos que dar el primer paso. No tenemos un coeficiente de uno en el x 2 término y, por lo tanto, primero tendremos que dividir la ecuación por ese.

Aquí está el trabajo de esta ecuación.

¡No olvide convertir las raíces cuadradas de números negativos en números complejos!

Nuevamente, no daremos mucha explicación a este problema.

En este punto, debemos tener cuidado al calcular el número para completar el cuadrado, ya que (b ) ahora es una fracción por primera vez.

En este caso, observe que en realidad podemos hacer la aritmética aquí para obtener dos soluciones enteras y / o fraccionarias. Siempre debemos hacer esto cuando solo hay números enteros y / o fracciones en nuestra solución. Aquí están las dos soluciones.

Un comentario rápido sobre la última ecuación que resolvimos en el ejemplo anterior está en orden. Dado que recibimos números enteros y fracciones como soluciones, podríamos haber factorizado esta ecuación desde el principio en lugar de completar el cuadrado. En casos como este, podríamos usar cualquiera de los métodos y obtendremos el mismo resultado.

Ahora, la realidad es que completar el cuadrado es un proceso bastante largo y es fácil cometer errores. Por lo tanto, rara vez lo usamos para resolver ecuaciones. Sin embargo, eso no significa que no sea importante conocer el proceso. Lo usaremos en varias secciones en capítulos posteriores y se usa a menudo en otras clases.

Fórmula cuadrática

Este es el método final para resolver ecuaciones cuadráticas y siempre funcionará. No solo eso, sino que si puede recordar la fórmula, también es un proceso bastante simple.

Podemos derivar la fórmula cuadrática completando el cuadrado de la fórmula cuadrática general en forma estándar. Hagámoslo y lo tomaremos un poco lento para asegurarnos de que todos los pasos estén claros.

Primero, DEBEMOS tener la ecuación cuadrática en forma estándar como ya se señaló. Luego, necesitamos dividir ambos lados por (a ) para obtener un coeficiente de uno en el x 2 término.

Luego, mueva la constante al lado derecho de la ecuación.

Ahora, necesitamos calcular el número que necesitaremos para completar el cuadrado. Nuevamente, esto es la mitad del coeficiente de (x ), al cuadrado.

Ahora, agregue esto a ambos lados, complete el cuadrado y obtenga denominadores comunes en el lado derecho para simplificar un poco las cosas.

Ahora podemos usar la propiedad de la raíz cuadrada en esto.

Resuelva para (x ) y también simplificaremos un poco la raíz cuadrada.

Como último paso, notaremos que tenemos denominadores comunes en los dos términos y los sumaremos. Hacer esto da,

Entonces, resumiendo, siempre que comencemos en forma estándar,

y eso es muy importante, entonces la solución a cualquier ecuación cuadrática es,

Trabajemos con un par de ejemplos.

La parte importante aquí es asegurarse de que antes de comenzar a usar la fórmula cuadrática, primero tengamos la ecuación en forma estándar.

Entonces, lo primero que debemos hacer aquí es poner la ecuación en forma estándar.

En este punto podemos identificar los valores para usar en la fórmula cuadrática. Para esta ecuación tenemos.

Observe el "-" con (c ). Es importante asegurarse de llevar los signos menos junto con las constantes.

En este punto, realmente no hay nada más que hacer que conectarse a la fórmula.

Hay dos soluciones para esta ecuación. También hay algunas simplificaciones que podemos hacer. Sin embargo, debemos tener cuidado. Uno de los errores más grandes en este punto es "cancelar" dos 2 en el numerador y el denominador. Recuerde que para cancelar algo del numerador o denominador, debe multiplicarse por el numerador o denominador completo. Dado que el 2 en el numerador no se multiplica por el denominador completo, no se puede cancelar.

Para hacer alguna simplificación aquí, primero necesitaremos reducir la raíz cuadrada. En ese momento podemos hacer algunas cancelaciones.

Es una respuesta mucho más agradable de tratar y, por lo tanto, casi siempre haremos este tipo de simplificación cuando sea posible.

Ahora, en este caso, no se entusiasme con el hecho de que la variable no es una (x ). Todo funciona igual independientemente de la letra utilizada para la variable. Entonces, primero obtengamos la ecuación en forma estándar.

Ahora, esto no es del todo en la forma estándar típica. Sin embargo, debemos hacer un punto aquí para no cometer un error muy común que muchos estudiantes cometen cuando aprenden por primera vez la fórmula cuadrática.

Muchos estudiantes simplemente obtendrán todo de un lado como lo hemos hecho aquí y luego obtendrán los valores de (a ), (b ) y (c ) según la posición. En otras palabras, a menudo los estudiantes dejarán que (a ) sea el primer número en la lista, (b ) sea el segundo número en la lista y luego (c ) sea el número final en la lista. Sin embargo, esto no es correcto. Para la fórmula cuadrática (a ) es el coeficiente del término al cuadrado, (b ) es el coeficiente del término con solo la variable en él (no al cuadrado) y (c ) es el término constante. Entonces, para evitar cometer este error, siempre debemos poner la ecuación cuadrática en la forma estándar oficial.

Ahora podemos identificar el valor de (a ), (b ) y (c ).

[a = 3 hspace <0.25in> b = - 5 hspace <0.25in> c = 11 ]

Nuevamente, tenga cuidado con los signos negativos. Necesitan dejarse llevar por los valores.

Finalmente, conecte la fórmula cuadrática para obtener la solución.

Al igual que con todos los otros métodos que hemos analizado para resolver ecuaciones cuadráticas, no olvide convertir las raíces cuadradas de números negativos en números complejos. Además, cuando (b ) es negativo, tenga mucho cuidado con la sustitución. Esto es particularmente cierto para la porción cuadrada debajo del radical. Recuerde que cuando eleve al cuadrado un número negativo, se volverá positivo. Uno de los errores más comunes aquí es apresurarse y olvidarse de soltar el signo menos después de cuadrar (b ), así que tenga cuidado.

No daremos muchos detalles con este que hicimos para los dos primeros. Aquí está la forma estándar de esta ecuación.

Estos son los valores de la fórmula cuadrática, así como la fórmula cuadrática en sí.

Ahora, recuerde que cuando obtenemos soluciones como esta, debemos dar un paso adicional y determinar realmente las soluciones enteras y / o fraccionarias. En este caso son,

Ahora, al igual que con completar el cuadrado, el hecho de que obtuvimos soluciones enteras y / o fraccionarias significa que también podríamos haber factorizado esta ecuación cuadrática.

Entonces, una ecuación con fracciones en ella. El primer paso entonces es identificar la pantalla LCD.

Entonces, parece que tendremos que asegurarnos de que ni (y = 0 ) ni (y = 2 ) estén en nuestras respuestas para que no obtengamos una división por cero.

Multiplique ambos lados por la pantalla LCD y luego ponga el resultado en forma estándar.

[comenzar izquierda (y derecha) izquierda ( right) left (< frac <3> <>> derecha) & = izquierda (< frac <1> + 1> derecha) izquierda (y derecha) izquierda ( right) 3y & = y - 2 + y left ( right) 3y & = y - 2 + - 2y 0 & = - 4 años - 2 final]

Bien, parece que tenemos los siguientes valores para la fórmula cuadrática.

[a = 1 hspace <0.25in> b = - 4 hspace <0.25in> c = - 2 ]

Conectando la fórmula cuadrática da,

Tenga en cuenta que ambos serán soluciones, ya que ninguno de ellos es los valores que debemos evitar.

Vimos una ecuación similar a esta en la sección anterior cuando estábamos mirando ecuaciones de factorización y definitivamente sería más fácil resolver esto factorizando. Sin embargo, usaremos la fórmula cuadrática de todos modos para hacer un par de puntos.

Primero, reorganicemos un poco el orden para que se parezca más a la forma estándar.

Aquí están las constantes para usar en la fórmula cuadrática.

[a = - 1 hspace <0.25in> b = 16 hspace <0.25in> c = 0 ]

Hay dos cosas a tener en cuenta sobre estos valores. Primero, tenemos un (a ) negativo por primera vez. No es gran cosa, pero es la primera vez que vemos uno. En segundo lugar, y lo que es más importante, uno de los valores es cero. Esto esta bien. Ocurrirá en alguna ocasión y de hecho, tener uno de los valores cero hará el trabajo mucho más sencillo.

Aquí está la fórmula cuadrática para esta ecuación.

Reducirlos a números enteros / fracciones da,

Entonces obtenemos las dos soluciones, (x = 0 ) y (x = 16 ). Estas son exactamente las soluciones que hubiéramos obtenido al factorizar la ecuación.

Hasta este punto, tanto en esta sección como en la sección anterior, solo hemos analizado ecuaciones con coeficientes enteros. Sin embargo, este no tiene por qué ser el caso. Podríamos tener coeficientes que sean fracciones o decimales. Entonces, trabajemos un par de ejemplos para que podamos decir que también hemos visto algo así.

Hay dos formas de trabajar esta. Podemos dejar las fracciones o multiplicar por el MCD (10 en este caso) y resolver esa ecuación. De cualquier manera dará la misma respuesta. Aquí solo haremos el caso fraccional, ya que ese es el punto de este problema. Debería probar de la otra forma para verificar que obtiene la misma solución.

En este caso, aquí están los valores de la fórmula cuadrática y la fórmula cuadrática funcionan para esta ecuación.

En estos casos, generalmente damos el paso adicional de eliminar la raíz cuadrada del denominador, así que también hagámoslo,

Si borras las fracciones y recorres la fórmula cuadrática, deberías obtener exactamente el mismo resultado. Para la práctica, deberías intentarlo.

En este caso, no se entusiasme con los decimales. La fórmula cuadrática funciona exactamente de la misma manera. Aquí están los valores y la fórmula cuadrática que funcionan para este problema.

Ahora, esta será la única diferencia entre estos problemas y aquellos con coeficientes enteros o fraccionarios. Cuando tenemos coeficientes decimales, generalmente seguimos adelante y calculamos los dos números individuales. Entonces, hagámoslo

Observe que usamos algunos redondeos en la raíz cuadrada.

En el transcurso de las dos últimas secciones, hemos resuelto bastante. Es importante que comprenda la mayor parte, si no todo, de lo que hicimos en estas secciones, ya que se le pedirá que haga este tipo de trabajo en algunas secciones posteriores.


Raíces complejas

Ahora, con suerte, comenzará a comprender por qué presentamos los números complejos al comienzo de este módulo. Considere la siguiente función: [látex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ látex], y el gráfico de abajo:

¿Esta función tiene raíces? Probablemente sea obvio que esta función no cruza el eje x, por lo tanto, no tiene intersecciones con el eje x. Recuerde que las intersecciones con el eje x de una función se encuentran estableciendo la función igual a cero:

En el siguiente ejemplo, resolveremos esta ecuación. Verá que hay raíces, pero no son intersecciones x porque la función no contiene pares (x, y) que estén en el eje x. Llamamos a estas raíces complejas.

Al establecer la función igual a cero y usar la fórmula cuadrática para resolver, verá que las raíces contienen números complejos:

Ejemplo

Encuentra las intersecciones con el eje x de la función cuadrática. [látex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ látex]

Las intersecciones con el eje x de la función [látex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ látex] se obtienen estableciéndola igual a cero y resolviendo para x, ya que los valores y de las intersecciones con el eje x son cero .

Sustituye estos valores en la fórmula cuadrática.

Las soluciones de estas ecuaciones son complejas, por lo tanto, no hay intersecciones en x para la función [látex] f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 [/ látex] en el conjunto de números reales que se pueden trazar en el cartesiano. Plano coordinado. La gráfica de la función se traza en el plano de coordenadas cartesianas a continuación:

Gráfica de función cuadrática sin intersecciones x en los números reales.

Observe cómo la gráfica no cruza el eje x, por lo tanto, no hay intersecciones con el eje x reales para esta función.

El discriminante

El Fórmula cuadrática no solo genera las soluciones de una ecuación cuadrática, sino que nos informa sobre la naturaleza de las soluciones. Cuando consideramos el discriminante, o la expresión debajo del radical, [látex]^ <2> -4ac [/ latex], nos dice si las soluciones son números reales o números complejos, y cuántas soluciones de cada tipo podemos esperar. A su vez, podemos determinar si una función cuadrática tiene raíces reales o complejas. La siguiente tabla relaciona el valor del discriminante con las soluciones de una ecuación cuadrática.

Valor del discriminante Resultados
[látex]^ <2> -4ac = 0 [/ látex] Una solución racional repetida
[látex]^ <2> -4ac & gt0 [/ latex], cuadrado perfecto Dos soluciones racionales
[látex]^ <2> -4ac & gt0 [/ latex], no es un cuadrado perfecto Dos soluciones irracionales
[látex]^ <2> -4ac & lt0 [/ latex] Dos soluciones complejas

Una nota general: el discriminante

Para [látex] un^ <2> + bx + c = 0 [/ latex], donde [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] y [latex] c [/ latex] son ​​números reales, el discriminante es la expresión debajo del radical en la fórmula cuadrática: [látex]^ <2> -4ac [/ látex]. Nos dice si las soluciones son números reales o números complejos y cuántas soluciones de cada tipo podemos esperar.

Ejemplo

Usa el discriminante para encontrar la naturaleza de las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

  1. [látex]^ <2> + 4x + 4 = 0 [/ látex]
  2. [látex] 8^ <2> + 14x + 3 = 0 [/ látex]
  3. [látex] 3^ <2> -5x - 2 = 0 [/ látex]
  4. [látex] 3^ <2> -10x + 15 = 0 [/ látex]

Calcule el discriminante [látex]^ <2> -4ac [/ latex] para cada ecuación e indique el tipo esperado de soluciones.

  1. [látex]^ <2> + 4x + 4 = 0 [/ látex] [látex]^ <2> -4ac = < left (4 right)> ^ <2> -4 left (1 right) left (4 right) = 0 [/ látex]. Habrá una solución racional repetida.
  2. [látex] 8^ <2> + 14x + 3 = 0 [/ látex] [látex]^ <2> -4ac = < left (14 right)> ^ <2> -4 left (8 right) left (3 right) = 100 [/ látex]. Como [látex] 100 [/ látex] es un cuadrado perfecto, habrá dos soluciones racionales.
  3. [látex] 3^ <2> -5x - 2 = 0 [/ látex] [látex]^ <2> -4ac = < left (-5 right)> ^ <2> -4 left (3 right) left (-2 right) = 49 [/ látex]. Como [látex] 49 [/ látex] es un cuadrado perfecto, habrá dos soluciones racionales.
  4. [látex] 3^ <2> -10x + 15 = 0 [/ látex] [látex]^ <2> -4ac = < left (-10 right)> ^ <2> -4 left (3 right) left (15 right) = - 80 [/ látex]. Habrá dos soluciones complejas.

Hemos visto que una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales, una solución real o dos soluciones complejas.

Resumamos cómo el discriminante afecta la evaluación de [látex] sqrt <<^ <2>> -4ac> [/ latex] y cómo ayuda a determinar el conjunto de soluciones.

  • Si [látex] b ^ <2> -4ac & gt0 [/ látex], entonces el número debajo del radical será un valor positivo. Siempre puedes encontrar la raíz cuadrada de un positivo, por lo que evaluar la fórmula cuadrática dará como resultado dos soluciones reales (una sumando la raíz cuadrada positiva y otra restando).
  • Si [látex] b ^ <2> -4ac = 0 [/ látex], entonces sacará la raíz cuadrada de 0, que es 0. Dado que sumar y restar 0 dan el mismo resultado, el & # 8220 [látex ] pm [/ late] '' parte de la fórmula no importa. Habrá una solución real repetida.
  • Si [látex] b ^ <2> -4ac & lt0 [/ látex], entonces el número debajo del radical será un valor negativo. Como no puedes encontrar la raíz cuadrada de un número negativo usando números reales, no existen soluciones reales. Sin embargo, puede utilizar números imaginarios. Entonces tendrás dos soluciones complejas, una sumando la raíz cuadrada imaginaria y otra restando.

Ejemplo

Usa el discriminante para determinar cuántas y qué tipo de soluciones tiene la ecuación cuadrática [látex] x ^ <2> -4x + 10 = 0 [/ látex].

El resultado es un número negativo. El discriminante es negativo, por lo que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas.

Respuesta

La ecuación cuadrática [látex] x ^ <2> -4x + 10 = 0 [/ látex] tiene dos soluciones complejas.


La función cuadrática

donde a, byc son constantes numéricas y c no es igual a cero.

Tenga en cuenta que si c fuera cero, la función sería lineal.

Una ventaja de esta notación es que se puede generalizar fácilmente agregando más términos. Podríamos, por ejemplo, escribir ecuaciones como

y = a + bx + cx 2 + dx 3

y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4

La fórmula cuadrática

En muchos libros, las ecuaciones cuadráticas se escriben como

En este caso, la fórmula cuadrática viene dada por

Tenga en cuenta que el denominador es entonces 2a en lugar de 2c.

Algunos ejemplos comunes de la función cuadrática

Observa que la gráfica de la función cuadrática es una parábola. Esto significa que es una curva con un solo bache. La gráfica es simétrica alrededor de una línea llamada eje de simetría. El punto donde el eje de simetría se cruza con la parábola se conoce como vértice.

Graficar la función cuadrática

Construya una tabla con valores de x y f (x).

Conecte los puntos de datos con una línea suave.

Esto se hace fácilmente con Excel.

Ejemplo 1 f (x) = 12 - 8x + x 2

Ejemplo 2 f (x) = -4 + 5x -x 2

La fórmula cuadrática, un ejemplo.

En general, la oferta de un producto básico aumenta con el precio y la demanda disminuye. El mercado de la mercancía está en equilibrio cuando la oferta es igual a la demanda.

En este ejemplo, estamos considerando dos funciones de la misma variable independiente, precio. Queremos encontrar el precio de equilibrio y la demanda correspondiente.

La función de oferta es una ecuación cuadrática dada por S (p) = 2p + 4p 2

La función de demanda es una función lineal dada por D (p) = 231 - 18p

Para encontrar la intersección de las dos curvas, establezca la oferta igual a la demanda y resuelva para p.

S (p) = 2p + 4p 2 = 231 - 18p = D (p)

Después de recolectar términos obtenemos la ecuación cuadrática

Tenga en cuenta que esto tiene la forma de la ecuación cuadrática

Resuelve la ecuación mediante la fórmula cuadrática donde a = 231, b = -20 y c = -4.

Dado que el precio no puede ser negativo, se puede eliminar el valor de -10,5. La oferta será igual a la demanda cuando el precio sea de $ 5,50. A ese precio es posible encontrar la oferta y la demanda correspondientes.


Qué estudiar para el tema 2: funciones y ecuaciones

Funciones y funciones compuestas

Definición de una función, notación de función f (x), funciones compuestas (f (g (x)). La notación parece extraña, pero trata de verla como una función dentro de una función.

Funciones inversas
Cómo encontrar la inversa de una función de dos maneras: matemáticamente (cambie x, y luego resuelva para y) y gráficamente (refleje a lo largo de la línea y = x).

Funciones gráficas

Estos aparecen en todas partes del curso, por lo que son cosas como max. y min. puntos, asíntotas (donde la función no está definida), la intersección con el eje y (muy fácil, simplemente establezca x = 0) y la intersección con el eje x más difícil (establezca y = 0).

Intersecciones de gráficos

Encontrar las coordenadas de donde se encuentran dos funciones diferentes. Esto se puede hacer con una calculadora gráfica (preguntando a su calculadora por el punto de intersección), o con la mano (estableciendo una ecuación igual a la otra, resolviendo de alguna manera, dependiendo de la situación).

Trabajar con ecuaciones cuadráticas (por ejemplo: y = x ^ 2), graficarlas, encontrar los "ceros", las "raíces" o las "soluciones", esto significa que todos hacen lo mismo: encontrar el lugar donde la gráfica cruza el eje x Hay muchos métodos para hacer esto: graficar, factorizar, completar el cuadrado o usar la ecuación cuadrática. Muy importante es el discriminante (parte de la ecuación cuadrática): le ayuda a saber cuántas soluciones reales tiene una gráfica, es decir, cuántas veces cruza el eje x.

Transformaciones

Saber cómo usar transformaciones para mover una función hacia arriba o hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, estirarla o comprimirla (horizontal o verticalmente) y reflejarse en el eje xoy.


CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS

El eje de simetría & # xa0 de una parábola & # xa0 es una línea vertical que divide la & # xa0parabola & # xa0 en dos mitades congruentes. El eje de simetría & # xa0 & # xa0 siempre pasa por el vértice de la & # xa0parabola & # xa0. La coordenada x del vértice es la ecuación del eje de simetría & # xa0 & # xa0 de la parábola & # xa0.

El punto en el que la parábola corta el eje x se conoce como intercepto x. Para encontrar el intercepto x tenemos que poner y = 0.

El punto en el que la parábola corta el eje y se conoce como intersección con el eje y. Para encontrar la intersección con el eje y tenemos que poner x = 0.

Podemos obtener los ceros de una función cuadrática aplicando y = 0. Los ceros de una función cuadrática y las intersecciones x son iguales.

El vértice & # xa0 & # xa0 de una parábola & # xa0 & # xa0 es el punto donde la parábola & # xa0 & # xa0 cruza su eje de simetría.

El vértice de la parábola es el punto más alto o más bajo también conocido como valor máximo o valor mínimo de la parábola.

Punto simétrico a la intersección con el eje Y:

La intersección con el eje y (y otros puntos) se pueden reflejar a través del eje de simetría para encontrar otros puntos en la gráfica de la función.

Los puntos & # xa0 que tienen la misma distancia horizontal del eje se conocen como puntos simétricos.

Los puntos simétricos también se conocen como punto de espejo.

Encuentre la ecuación del eje de simetría, intersecciones en xey, ceros, vértice y punto simétrico a la intersección en y. Dibuja la gráfica de la función.

y & # xa0 = & # xa0 a x 2 & # xa0 + bx + c,

La parábola dada es simétrica con respecto al eje y.

Como a & gt 0, la parábola está abierta hacia arriba.

x intersecciones son -1 y 2

Resolviendo la ecuación cuadrática anterior usando la fórmula cuadrática, obtenemos

La fórmula para encontrar la coordenada x del vértice es

Sustituye x = 1 en la función de ecuación dada.

El vértice de la parábola es (1, -2)

Punto simétrico a la intersección con el eje Y:

El punto simétrico a la intersección con el eje y tendrá la misma distancia horizontal desde el eje de simetría.

Para encontrar ese punto tenemos que sustituir la intersección con el eje y en la función dada. & # Xa0

Entonces, los puntos simétricos a la intersección con el eje y son

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Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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Comentarios

Todo esta en el contexto

Es una gran vergüenza que estos conceptos rara vez se enseñen en las escuelas enmarcados en un contexto histórico y de aplicación como lo han sido en este artículo.

Y tambien la descripcion

Estoy de acuerdo contigo. Los niños también necesitan saber que una ecuación cuadrática es una forma de describir una cosa física, como el arco de un puente. Nunca entendí eso y nadie me lo dijo. Lo descubrí por mi cuenta cuando, como adulto, volví a estudiar matemáticas. Si pudieran ver que las matemáticas son un lenguaje descriptivo que todos usamos, ya sea que nos demos cuenta o no, entonces A) entenderían más fácilmente las matemáticas y B) verían su valor en lugar de cuestionar su valor.

Babilonios?

Simplemente quisquilloso aquí, pero no en 3000 a.C. ser los sumerios, no los babilonios? Ha pasado un tiempo desde que hice estudios del Cercano Oriente, pero estoy bastante seguro de que los babilonios no aparecieron hasta mediados del tercer milenio antes de Cristo.

Sí, tienes razón, no estaban

Sí, tienes razón, todavía no estaban.

Gracias.

La información sobre fórmulas cuadráticas me ha ayudado a visualizar y comprender claramente el concepto para posibles aplicaciones. ¡¡Increíble!!
Soy uno que ha luchado en el tema pero decidido a entenderlo.

¡Muy buena historia!

Oye,
Me gusta mucho su sitio web. Por primera vez, veo la importancia de la fórmula cuadrática. Sin embargo, necesito ayuda con un paso, usando el campo triangular para desarrollar c = ax ^ 2 + bx. ¿Por qué la altura es 2x para los dos triángulos rectángulos? Probablemente sea fácil, pero es un paso que es misterioso para mí y para mi largo día de trabajo, cerebro cansado.

Área de campo triangular

Gran artículo, maravillosa introducción a las ecuaciones cuadráticas.

Tuve exactamente la misma dificultad, y después de más de 50 años, mis matemáticas escolares están muy, muy oxidadas.

Debe haber una buena razón por la que eligieron esas formas particulares de denotar la base y la altura del triángulo (en lugar de solo byh), y supongo que es correcto. Todavía no entiendo realmente esa parte.

Sin embargo, si usa esas expresiones en la fórmula del área para un triángulo (área = la mitad de la altura del tiempo base), entonces sale.

También perplejo

Podría seguir hasta el ejemplo del campo triangular. Sospecho que hay algo de factorización y cancelación.

Sin embargo, este artículo me resultó útil para explicar POR QUÉ tenemos ecuaciones cuadráticas, y saber por qué las tenemos me ayuda a entender por qué / dónde / cómo podríamos aplicarlas en situaciones de la vida real. Esto nunca me lo enseñaron en la escuela. En cambio, solo tuvimos que reconocer cuándo una ecuación era cuadrática, aprender la fórmula y luego aplicarla.

Re: ¡Historia muy guay! Gracias por tu rectificación.

Sí, la fórmula que sigue ahora tiene sentido. La altura de la perpendicular ahora tiene sentido donde es "2x" y no "2x / m".

Apreciación

101 cosas cuadráticas

Disfruté mucho este artículo. La combinación de la historia, que me encanta, con el álgebra, con la que lucho, facilitó mi comprensión de los conceptos de funciones. Agradecí especialmente ver las secciones cónicas y la aplicación de cada una en ecuaciones gráficas. Todos ustedes me dieron un momento de "aaha". Sigan con el buen trabajo. Debra

Eso es tan primer grado

Aprendí a factorizar cuadráticas en primer grado. Son mansos. Aprendí cómo las funciones pueden modelar "cualquier cosa" cuando veía los videos de álgebra de desviaciones estándar.

Sin embargo, los polinomios más generalizados pueden ser difíciles de factorizar.

Bueno esta bien..

Bueno, debes haber sido el alumno de primer grado más inteligente del mundo, ni siquiera puedo entender esto en el octavo grado.

Gran trabajo

Debe haber sido un gran esfuerzo resaltar el significado de las ecuaciones cuadráticas. Inmensamente impresionado. Aprecio el buen trabajo.

INCREÍBLE

La investigación realizada sobre la ecuación cuadrática es increíble. Siempre me pareció aburrido, pero lo que está escrito es simplemente genial.
the Babylonians and the Greeks are awesome i really loved reading it and hence forth in 11std i would surely do it thoroughly.thank you very much authors

INTERESTING

I always said that had no meaning at all, and why learn it if I won't ever use it again. This article has completely shut me up. I enjoyed every bit of this arcticle, very interesting introduction on Quadratic Equations. The information providded on quadratics had seriously helped me understand it a lot more. Its amazing how they use physical things such as the bridge and the arch to solve the dimensions.

United States needs to change mathematics instruction from K-12

This helped me understand the relevance of the quadratic equation. Incorporating the history of mathematics demonstrates how mathematics helps people become more efficient to finding solutions to world problems. Many students shut down mentally and emotionally when it comes to mathematics. in the United States. I'm trying to find ways to help change the way we instruct in the United States.

Bad teachers

I don't think that I ever had a math instructor that actually knew the subject until I reached college. It was a true joy to ask questions and get real answers. The US is crippled in math and science because k-12 education has become a union racket to employ the otherwise useless. The best way to change the way we instruct is to abolish all state funded public schools, disband public unions that kick back campaign money to the supposed representatives and let the parents and local school boards freely fire the worthless drones.

Math Teachers and Low pay

Actually, the reason why we can't get good math teachers is becuase the industry hires them at a much higher rate of pay then what the schools can pay. We get the "left overs" to choose from. I lucked out, and happened to get 3 very good math teachers. But I was the exception, and clearly not the rule.

Mirtha Abreu - Use of Quadratic Equation

This has definitely helped me understand quadratic equations. This is a subject that I have previously struggles with an after reading this article, I can understand it much better. I enjoyed learning about the history of quadratic equations and reading the explanations. Great article and very well put out!

Word Confusion

Part of the Quadratic Equation Article states:

"which is in turn proportional to the square of the length of the side. In mathematical terms, if (x) is the length of the side of the field, (m) is the amount of crop you can grow on a square field of side length 1, and (c) is the amount of crop that you can grow, then"

"m" and "c" sound like the same thing? Is this a typo?

The two are different: m is

The two are different: m is the amount you can grow on a field of unit side length and c the amount you can grow on the field under consideration (side length x).

Too really help. expand more on the triangle

Please expand on how you derived the labels on the Triangle and how then they fulfill the equation c = ax^2 + bx.

I still don't like the Irrational ones though.

"At this point the Greeks gave up algebra and turned to geometry."

Honestly? So did I! I am an artist, I think graphically. Geometry, Geography, Cartography, Orthography, etc. have always come to me easily. Irrational Quadratic Equations (IQE), as taught in most public schools in the United States of America, make absolutely no sense, and serve no discernible purpose in the real world.

My own instructors dedicated 50% or more of their courses to IQE, frustrating me to no end, because they wouldn't move on to anything else once they reached them. They constantly asked on written assignments to merely, "Solve.", equations. Then they always complained about the result I wrote, even when it was correct, because they wanted me to, "Show my work."

The process of going through the formula was more important to them than the result. None of them understood that I used a different means to get to the result, that was faster, and just as accurate. I didn't understand why they insisted upon writing mathematical expressions that were needlessly complex to denote an equation that was effectively upside down, backwards, and turned inside out. For them, algebraic notation was a mathematical puzzle to be taken apart and put back together, providing 'proof' that the expression was true at all points in the progression.

I skipped the algebraic notation and went directly to the result. I didn't need 'proof', I just wanted to get the work done. I knew in my heart that no one would actually write equations of the sort they expressed when attempting to solve real world issues in an expedited manner.

This article is very well written. I wish I had come across something of this sort thirty years ago, when it could have done me some good. Instead, it wasn't until I took classes in Trigonometry that it all fell into place. Trigonometry did for me, as an artist, what Algebra did for my high school instructors. Trigonometry acted as a mathematical bridge between Arithmetic, Geometry and Algebra, that I could traverse at will.

Unta Glebin Gloutin Globin

Red Ronin, The Cybernetic Samurai

360 degrees, 365.25 days

I think it is nearly impossible that the Babylonians thought there were 360 days in a year. I think you are implying that the number of degrees in a circle were chosen because the earth moves through almost one degree of its orbit each day. It's more likely that they chose 360 degrees as an outgrowth of their love for the number 60 - because it has so many factors. If you choose 60 for the internal angle of an equilateral triangle you get 360 degrees in a circle.

360 degrees, 365.25 days

The radius of a circle will fit inside the circle six times exactly to form a hexagon the corners of the hexagon each touch the circumference of the circle. Babylonians did indeed have a love for the number 60 and if each of the sides of the hexagon are divided into 60 and a line drawn from each 60th to the centre of the circle then there are 360 divisions in the circle.

Much appreciated

Thanks for going to the trouble of explaining the history and applications of quadratic equations. The point of it all was never explained to me when I was thrown into the deep end with them, age 10. Now that I've been asked to explain them to a friend's son, your material is helping to demystify things. Matt, North Wales, UK

Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I can't get beyond c = a x^2 + b x. How is this equation derived from the figure given? There's no explanation as to what "a" and "b" actually represent?

Re: Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I was wondering the same thing. In the diagram I take ax to be the base of the smaller triangle but then where is x in the equation coming from? Are a and x equal?

Also don't understand how that 1st 2 triangles field eqn works

I'm also stuck on that 1st example of the field comprising 2 triangles and how we get to the quadratic equation from that. I would love to go through the rest of this article but don't want to until I've overcome the hurdle of understanding this. Please, someone?

The area of the smaller of

The area of the smaller of the two triangles is ax^2/m and the area of the larger one is bx/m (from the standard formula for the area of triangles). This means that the area of the whole field is ax^2/m+bx/m. Since the amount of crop that can be grown on a field of unit area is m, the amount of crop that can be grown on a field of area ax^2/m+bx/m is m(ax^2/m+bx/m) = ax^2+bx.

Area of smaller triangle

But why is the base of one triangle ax and of the other simply b. Where does that ax value come from?

Area of smaller triangle

can someone please explain terrys question-why is one base ax and the other one simply b. also why is the height 2x/m. where does the m come from.

Explanations

I can understand Anon's frustration back in Jan '16. So often in mathematical explanations I've read I find myself tripping over a missing step. Like a mathematical pothole. It's usually something so obvious to the mathematician who wrote it that it didn't seem to need mentioning. ( Like where that little square came from- though I did eventually work that one out). The problem is that if you are trying to follow a set of mathematical steps even if you solve the missing one (as with me and the small square) you have been diverted away from the main problem and lost the thread: And then probably give up and go off and do something else instead.

Explanations

It's just a quadratic equation in standard form tweaked ie ax^2 + bx + c vs c = ax^2 + bx and if a is anything other than 1, then you remove it, etc

Will try to help you clarify

I'm pretty sure when they sought out ways to derive a quadratic equation to help them reason triangular regions they had to think frontwards and backwards. First, I believe you need to understand how the height 2x/m came into play (why it was used). First, keep in mind that "m" represents a basic unit of 1. That would mean that 2x/m (the height for BOTH triangles would appear to be 2x. But are their heights 2x? Let's think about it, when finding the area of a right triangle we eventually divide the area by 2 after multiplying the b x the h. Knowing this, it is mathematically reasonable why the coefficient of "2" was put in front of x-it would get divided back out and preserve what they really wanted for the height of the triangle/ length of one side of the land "x". This mean that the small triangular area would be ax times x or (ax^2). The larger triangular area would be b times x or bx for its area. You asked though "what is "a" and "b"? look at length of base "a", compared to the triangles height that we previously deduced to really be "x". "a" represents a coefficient thats taking a fraction of base length "x" for the small base is being represented in terms of the height of the triangle or length of the land. Base b ls obviously the second width of the scalene triangle or width of land that IF represented with bx instead of b (like it is) would have created a bx^2 term instead of the bx we need to figure out the area the land in addition to other things. This is my perception after being confused there for a minute too. I hope this helped you or someone just a little although it's years later- just discovered this awesome forum:).

Super Confused

I really can't follow what you're saying. I just want to know where that expression for the height comes from. So I called it h to get the total area of the triangle as h(ax+b)/2. Total total yield of this area will be hm(ax + b)/2.
So I can appreciate that ax must be something relating that smaller triangle to the height, and if I set h = x, I get m(ax^2 + bx)/2 for the total yield. Substituting h = 2x/m gives ax^2 + bx which is the area of two quadrilaterals with the same height of x and 2 sides of ax and b. So the yield, which should be a product of area and the coefficient m is now rendered as the areas of two squares without having anything to do with that coefficient anymore. Taking the height to be x again and the bases as they are, the total yield for the aggregate quadrilateral is m(ax^2 + bx), and for the triangles would be that over 2. Rearranging gives ax^2 + bx = 2yield /m. So if the yield of the quadrilateral (divided by m) of height x is ax^2 + bx, then the height at which the yeild of the triangles is equal to that is 2x/m. I can see all that but I just can't grasp what on earth is going on and its doing my head in


Quadratic equation calculator

This calculator solves quadratic equations by completing the square, This is a number you may add on both sides. Then you can use the binomial formula. A quadratic equation is an equation with a variable that may appear as square, i.e. in the form x .

Quadratic equations are solved by using the first or second binomial formula. Simply add a number, then use the binomial formula ""backwards"" (this technique is called completing the square).

Another technique is: use the general solution for quadratic equations of the kind x +px+q. The p,q-formula gives those solutions.


Ver el vídeo: Lesson Standard Form of Quadratic Function (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Esam

    Respuesta rápida)))

  2. Lincoln

    ¡Temed la ira del autor, haters!

  3. Gianluca

    Tu idea es magnífica

  4. Paton

    Tienes razón.



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