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6.6: Dividir polinomios

6.6: Dividir polinomios



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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Dividir un polinomio por un monomio
  • Dividir un polinomio por un binomio

Nota

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Agregar: ( dfrac {3} {d} + dfrac {x} {d} )
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 1.7.1.
  2. Simplifica: ( dfrac {30 x y ^ {3}} {5 x y} )
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 6.5.37.
  3. Combinar términos semejantes: (8 a ^ {2} +12 a + 1 + 3 a ^ {2} -5 a + 4 )
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.3.37.

Dividir un polinomio por un monomio

En la última sección, aprendiste a dividir un monomio por un monomio. A medida que continúe aumentando su conocimiento de polinomios, el siguiente procedimiento es dividir un polinomio de dos o más términos por un monomio.

El método que usaremos para dividir un polinomio por un monomio se basa en las propiedades de la suma de fracciones. Entonces, comenzaremos con un ejemplo para revisar la suma de fracciones.

( begin {array} {ll} { text {La suma,}} & { dfrac {y} {5} + dfrac {2} {5}} { text {simplifica a}} & { dfrac {y + 2} {5}} end {matriz} )

Ahora haremos esto a la inversa para dividir una sola fracción en fracciones separadas.

Enunciaremos la propiedad de la suma de fracciones aquí tal como la aprendió y al revés.

ADICION DE FRACCION

Si a, byc son números donde (c neq 0 ), entonces

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} quad text {y} quad dfrac {a + b} {c} = dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} ]

Usamos la forma de la izquierda para sumar fracciones y usamos la forma de la derecha para dividir un polinomio por un monomio.

( begin {array} {ll} { text {Por ejemplo,}} & { dfrac {y + 2} {5}} { text {se puede escribir}} & { dfrac {y} {5} + dfrac {2} {5}} end {matriz} )

Usamos esta forma de adición de fracciones para dividir polinomios por monomios.

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIAL

Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada término del polinomio por el monomio.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {7 y ^ {2} +21} {7} )

Respuesta

( begin {array} {ll} & dfrac {7 y ^ {2} +21} {7} text {Divide cada término del numerador por el denominador.} & dfrac {7 y ^ { 2}} {7} + dfrac {21} {7} text {Simplifica cada fracción.} & Y ^ {2} +3 end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {8 z ^ {2} +24} {4} )

Respuesta

(2 z ^ {2} +6 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {18 z ^ {2} -27} {9} )

Respuesta

(2 z ^ {2} -3 )

Recuerda que la división se puede representar como una fracción. Cuando se le pida que divida un polinomio por un monomio y aún no esté en forma de fracción, escriba una fracción con el polinomio en el numerador y el monomio en el denominador.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra el cociente: ( left (18 x ^ {3} -36 x ^ {2} right) div 6 x )

Respuesta

( begin {array} {ll} & left (18 x ^ {3} -36 x ^ {2} right) div 6 x text {Reescribir como fracción.} & dfrac {18 x ^ {3} -36 x ^ {2}} {6 x} text {Divide cada término del numerador por el denominador.} & dfrac {18 x ^ {3}} {6 x} - dfrac {36 x ^ {2}} {6 x} text {Simplificar.} & 3 x ^ {2} -6 x end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra el cociente: ( left (27 b ^ {3} -33 b ^ {2} right) div 3 b )

Respuesta

(9 segundo ^ {2} -11 segundo )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Encuentra el cociente: ( left (25 y ^ {3} -55 y ^ {2} right) div 5 y )

Respuesta

(5 años ^ {2} -11 años )

Cuando dividimos por un negativo, debemos tener mucho cuidado con los signos.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {12 d ^ {2} -16 d} {- 4} )

Respuesta

( begin {array} {ll} & dfrac {12 d ^ {2} -16 d} {- 4} text {Divide cada término del numerador por el denominador.} & dfrac {18 x ^ {3} -36 x ^ {2}} {6 x} text {Simplifica. Recuerda, restar un negativo es como sumar un positivo.} & -3 d ^ {2} +4 d end {matriz } )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Hallar el cociente: ( dfrac {25 y ^ {2} -15 y} {- 5} )

Respuesta

(- 5 años ^ {2} +3 años )

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {42 b ^ {2} -18 b} {- 6} )

Respuesta

(- 7 segundo ^ {2} +3 segundo )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {105 y ^ {5} +75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} )

Respuesta

( begin {array} {ll} & dfrac {105 y ^ {5} +75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} text {Separe los términos.} & dfrac { 105 y ^ {5}} {5 y ^ {2}} + dfrac {75 y ^ {3}} {5 y ^ {2}} text {Simplify.} & 21 y ^ {3} + 15 años end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {60 d ^ {7} +24 d ^ {5}} {4 d ^ {3}} )

Respuesta

(15 días ^ {4} +6 días ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {216 p ^ {7} -48 p ^ {5}} {6 p ^ {3}} )

Respuesta

(36 p ^ {4} -8 p ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Encuentra el cociente: ( left (15 x ^ {3} y-35 x y ^ {2} right) div (-5 x y) )

Respuesta

( begin {array} {ll} & left (15 x ^ {3} y-35 xy ^ {2} right) div (-5 xy) text {Reescribe como una fracción.} & dfrac {15 x ^ {3} y-35 xy ^ {2}} {- 5 xy} text {Separa los términos. ¡Ten cuidado con los signos!} & dfrac {15 x ^ {3} y } {- 5 xy} - dfrac {35 xy ^ {2}} {- 5 xy} text {Simplificar.} & -3 x ^ {2} +7 y end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Encuentra el cociente: ( left (32 a ^ {2} b-16 a b ^ {2} right) div (-8 a b) )

Respuesta

(- 4 una + 2 segundo )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentre el cociente: ( left (-48 a ^ {8} b ^ {4} -36 a ^ {6} b ^ {5} right) div left (-6 a ^ {3} b ^ {3} derecha) )

Respuesta

(8 a ^ {5} b + 6 a ^ {3} b ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2} +27 x ^ {2} y ^ {2} -9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ { 2} y} )

Respuesta

( begin {matriz} {ll} & dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2} +27 x ^ {2} y ^ {2} -9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ {2} y} text {Separe los términos.} & Dfrac {36 x ^ {3} y ^ {2}} {9 x ^ {2} y} + dfrac {27 x ^ {2} y ^ {2}} {9 x ^ {2} y} - dfrac {9 x ^ {2} y ^ {3}} {9 x ^ {2} y} text {Simplificar .} & 4 x y + 3 yy ^ {2} end {matriz} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {40 x ^ {3} y ^ {2} +24 x ^ {2} y ^ {2} -16 x ^ {2} y ^ {3}} {8 x ^ { 2} y} )

Respuesta

(5 x y + 3 y-2 y ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {35 a ^ {4} b ^ {2} +14 a ^ {4} b ^ {3} -42 a ^ {2} b ^ {4}} {7 a ^ { 2} b ^ {2}} )

Respuesta

(5 a ^ {2} +2 a ^ {2} b-6 b ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {10 x ^ {2} +5 x-20} {5 x} )

Respuesta

( begin {array} {ll} & dfrac {10 x ^ {2} +5 x-20} {5x} text {Separe los términos.} & dfrac {10 x ^ {2}} {5 x} + dfrac {5 x} {5 x} - dfrac {20} {5 x} text {Simplificar.} & 2 x + 1- dfrac {4} {x} end {matriz } )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Encuentra el cociente: ( dfrac {18 c ^ {2} +6 c-9} {6 c} )

Respuesta

(3 c + 1- dfrac {3} {2 c} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentre el cociente: ( dfrac {10 d ^ {2} -5 d-2} {5 d} )

Respuesta

(2 d-1- dfrac {2} {5 d} )

Dividir un polinomio por un binomio

Para dividir un polinomio por un binomio, seguimos un procedimiento muy similar a la división larga de números. Así que observemos detenidamente los pasos que damos cuando dividimos un número de 3 dígitos, 875, por un número de 2 dígitos, 25.

Escribimos la división larga
Dividimos los dos primeros dígitos, 87, por 25.
Multiplicamos 3 por 25 y escribimos el producto debajo de 87.
Ahora restamos 75 de 87.
Luego bajamos el tercer dígito del dividendo, 5.
Repite el proceso, dividiendo 25 en 125.

Verificamos la división multiplicando el cociente por el divisor.

Si hicimos la división correctamente, el producto debería ser igual al dividendo.

[ begin {array} {l} {35 cdot 25} {875} checkmark end {array} ]

Ahora dividiremos un trinomio por un binomio. Mientras lee el ejemplo, observe cuán similares son los pasos al ejemplo numérico anterior.

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Encuentra el cociente: ( left (y ^ {2} +10 y + 21 right) div (y + 3) )

Respuesta

y + 7

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Encuentra el cociente: ( left (m ^ {2} +9 m + 20 right) div (m + 4) )

Respuesta

m + 5

Cuando el divisor tiene signo de resta, debemos tener mucho cuidado cuando multiplicamos el cociente parcial y luego restamos. Puede ser más seguro mostrar que cambiamos los signos y luego agregamos.

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Encuentra el cociente: ( left (2 x ^ {2} -3 x-20 right) div (x-4) )

Respuesta

2x + 5

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Encuentra el cociente: ( left (3 x ^ {2} -16 x-12 right) div (x-6) )

Respuesta

3x + 2

Cuando dividimos 875 entre 25, no teníamos resto. Pero a veces la división de números deja un resto. Lo mismo ocurre cuando dividimos polinomios. En Ejercicio ( PageIndex {25} ), tendremos una división que deja un resto. Escribimos el resto como una fracción con el divisor como denominador.

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} +5 x ^ {2} +8 x + 6 right) div (x + 2) )

Respuesta

(x ^ {2} +3 x + 2 + dfrac {2} {x + 2} )

Ejercicio ( PageIndex {27} )

Encuentra el cociente: ( left (2 x ^ {3} +8 x ^ {2} + x-8 right) div (x + 1) )

Respuesta

(2 x ^ {2} +6 x-5- dfrac {3} {x + 1} )

Mira los dividendos en Ejemplo, Ejemplo, y Ejemplo. Los términos se escribieron en orden descendente de grados y no faltaron grados. El dividendo en Ejemplo será (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 ). Falta un término (x ^ {3} ). Agregaremos (0x ^ {3} ) como marcador de posición.

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 right) div (x + 2) )

Respuesta

Observe que no hay un término (x ^ {3} ) en el dividendo. Agregaremos (0x ^ {3} ) como marcador de posición.

Escríbalo como un problema de división larga. Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar con marcadores de posición para los términos faltantes.
Dividir X4 por X.
Pon la respuesta X3, en el cociente sobre el X3 término.
Multiplicar X3 veces X + 2. Alinee los términos semejantes.
Reste y luego baje el siguiente término.
Dividir −2X3 por X.
Pon la respuesta, −2X2, en el cociente sobre el X2 término.
Multiplica −2X2 veces X + 1. Alinee los términos semejantes.
Resta y reduce el siguiente término.
Dividir 3X2 por X.
Pon la respuesta, 3X, en el cociente sobre el X término.
Multiplica 3X veces X + 1. Alinee los términos semejantes.
Resta y reduce el siguiente término.
Dividir -X por X.
Pon la respuesta, −1, en el cociente sobre el término constante.
Multiplica −1 por X + 1. Alinee los términos semejantes.
Cambie los signos, agregue.
El resultado debe ser (x ^ {4} -x ^ {2} +5 x-2 )

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} +3 x + 14 right) div (x + 2) )

Respuesta

(x ^ {2} -2 x + 7 )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {4} -3 x ^ {3} -1000 right) div (x + 5) )

Respuesta

(x ^ {3} -8 x ^ {2} +40 x-200 )

En el ejercicio ( PageIndex {31} ), dividiremos entre (2a − 3 ). A medida que dividimos, tendremos que considerar tanto las constantes como las variables.

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Encuentra el cociente: ( left (8 a ^ {3} +27 right) div (2 a + 3) )

Respuesta

Esta vez mostraremos la división en un solo paso. Necesitamos agregar dos marcadores de posición para dividir.

Para comprobarlo, multiplica ((2 a + 3) left (4 a ^ {2} -6 a + 9 right) )

El resultado debería ser (8 a ^ {3} +27 )

Ejercicio ( PageIndex {32} )

Encuentra el cociente: ( left (x ^ {3} -64 right) div (x-4) )

Respuesta

(x ^ {2} +4 x + 16 )

Ejercicio ( PageIndex {33} )

Encuentra el cociente: ( left (125 x ^ {3} -8 right) div (5 x-2) )

Respuesta

(25 x ^ {2} +10 x + 4 )

Nota

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la división de polinomios:

  • Dividir un polinomio por un monomio
  • Dividir un polinomio por un monomio 2
  • Dividir polinomio por binomio

Conceptos clave

  • Suma de fracciones
    • Si a, byc son números donde (c neq 0 ), entonces
      ( dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} ) y ( dfrac {a + b} {c} = dfrac {a } {c} + dfrac {b} {c} )
  • División de un polinomio por un monomio
    • Para dividir un polinomio por un monomio, divida cada término del polinomio por el monomio.

División de polinomios: definición, método y ejemplos

División de polinomios: Los polinomios son expresiones algebraicas que consisten en variables y constantes tales que el exponente de las variables es un número entero. Podemos realizar operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división con polinomios.

Polinomio se deriva de la palabra griega. Poli significa muchos y nomial significa términos, por lo que juntos podemos llamar a un polinomio tantos términos. Entonces, un polinomio tiene uno o más de un término. La división de polinomios sigue las mismas reglas que usamos para seguir en la división de números enteros. Este artículo detalla polinomios, su grado, tipos y cómo realizar la división de polinomios.


División larga de polinomios

En estas lecciones, aprenderemos cómo dividir un polinomio con otro polinomio usando división larga.

La división de un polinomio por otro requiere un proceso parecido a la división larga en aritmética. Ahora, sin embargo, usaremos polinomios en lugar de solo valores numéricos.

El siguiente diagrama muestra un ejemplo de división polinomial usando división larga. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones sobre la división polinomial.


Ejemplo:
Evalúe (x 2 + 10x + 21) ÷ (x + 7) usando la división larga.

Solución:
(x 2 + 10x + 21) se llama dividendo y (x + 7) se llama divisor.

Paso 1: Divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor y escribe el resultado como el primer término del cociente.

Paso 2: Multiplica ese término con el divisor.

Paso 3: Reste y escriba el resultado que se utilizará como nuevo dividendo.

Paso 4: Divida el primer término de este nuevo dividendo por el primer término del divisor y escriba el resultado como el segundo término del cociente.

Paso 5: Multiplica ese término y el divisor y escribe el resultado debajo de los nuevos dividendos.

Paso 6: Resta para obtener el resto.

Tenga en cuenta que también es posible que el resto de una división polinomial no sea cero.

Ejemplo:
Evalúe (23y 2 + 9 + 20y 3-13y) ÷ (2 + 5y 2-3y)

Si lo desea, consulte la lección sobre división sintética, una forma simplificada de división larga.

División de polinomios mediante división larga
Al dividir polinomios, podemos usar la división larga o la división sintética para llegar a una respuesta. Usando la división larga, dividir polinomios es fácil. Simplemente escribimos la fracción en forma de división larga colocando el divisor fuera del corchete y el dividido dentro del corchete. Una vez configurada la división polinomial, seguimos el mismo proceso que la división larga con números.

Ejemplo:
(3x 3 - 4x 2 + 2x - 1) ÷ (x + 1)

División de polinomios por binomios

Ejemplo:
(x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 1)

División de polinomios

Ejemplo:
(x 2 + 9x + 20) ÷ (x + 5)
(6x 2 + 7x - 20) ÷ (2x + 5)
(6x 4 - 30x 2 + 24) ÷ (2x 2-8)
(3x 5 + 4x 3 - 5x + 8) ÷ (x 2 + 3)
(x 5 + 2x 4 + x 3 - x 2 - 22x + 15) ÷ (x 2 + 2x - 3)

¿Cómo dividir polinomios usando división larga?

¿Cómo hacer una división larga con polinomios con resto?

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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DIVISIÓN DE POLINOMIOS CON TÉRMINOS FALTANTES

Por ejemplo, el grado más alto del polinomio es 3, entonces el siguiente término del dividendo debe ser el término cuadrado y así sucesivamente. En esto, si no tenemos término cuadrado, tenemos que escribir 0 en lugar de esto y podemos escribir los siguientes términos.

Veamos algunos problemas de ejemplo basados ​​en el concepto anterior.

Haga la siguiente división: & # xa0

El grado del polinomio dado es 3, entonces debemos tener un término cuadrado. Pero aquí no tenemos un término cuadrado, por lo que debemos reemplazarlo por 0.

En el primer paso, tenemos que dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor.

Si dividimos & # xa0 a 3 & # xa0 por a, obtendremos un 2. Tenemos que escribir & # xa0 a 2 & # xa0 en la parte superior y multiplicar cada término del dividendo por & # xa0 a 2.

Restando & # xa0 a 3 & # xa0 - & # xa0 2 a 2 & # xa0 de & # xa0 (a 3 & # xa0 + 8a - 24), obtenemos & # xa0

Ahora tenemos que dividir 2 a 2 & # xa0 por a, por lo que obtendremos 2a.

  • Al multiplicar este 2a por (a - 2), obtenemos & # xa0 2 a 2 & # xa0- 4a.
  • Restando & # xa0 2 a 2 - 4a de & # xa0 2 a 2 & # xa0- 8a - 24, obtenemos 12a - 24

Divida 12a & # xa0 por a, de modo que obtengamos 12.

  • Al multiplicar este 12 por (a - 2), obtenemos 12a - 24.
  • Restando 12a - 24 de 12a - 24, obtenemos 0.

Haz la siguiente división:

El grado del polinomio dado es 3. Pero aquí no tenemos x término, así que tenemos que reemplazarlo por 0.

En el primer paso, tenemos que dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor.

Si dividimos & # xa0 4 x 3 & # xa0 por 2x, obtendremos 2 x 2.

  • Escriba esto 2x 2 & # xa0 en la parte superior.
  • Multiplica 2 x 2 & # xa0 por 2x. & # Xa0 Entonces obtenemos 4x 3.
  • Reste & # xa0 4x 3 & # xa0 de & # xa0 4x 3 & # xa0 + 2 x 2.

Ahora tenemos que dividir el primer término del dividendo 2 x 2 & # xa0 por 2x, entonces obtenemos x.

  • Al multiplicar x por 2x, obtenemos & # xa0 2x 2.
  • Restando & # xa0 2x 2 & # xa0form & # xa0 2x 2 & # xa0 obtenemos 0
  • Baje el siguiente término, obtenemos -5

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Aritmética modular

Ahí es donde entra en juego la aritmética modular. La idea de la aritmética modular es la siguiente: en lugar de tener un conjunto infinito de números, declaramos que seleccionamos solo primero norte números naturales, es decir, 0, 1,…, N - 1, para trabajar con él, y si algún entero dado cae fuera de este rango, lo "envolvemos" alrededor. Por ejemplo, escojamos seis primeros números. Para ilustrar esto, considere un círculo con seis tics de unidades iguales, este es nuestro rango (generalmente denominado campo finito).

Ahora veamos dónde aterrizará el número ocho. Como analogía, podemos pensar en ella como una cuerda, cuya longitud es de ocho unidades:

Si atamos la cuerda al comienzo del círculo

y comenzar a enrollar la cuerda alrededor de ella, después de una rotación todavía nos queda una porción de la cuerda:

Por lo tanto, si continuamos con el proceso, la cuerda terminará justo en la marca n. ° 2.

Es el resultado de la operación de módulo. No importa qué tan larga sea la cuerda, siempre se detendrá en uno de los tics del círculo. Por lo tanto, la operación de módulo lo mantendrá dentro de ciertos límites (en este caso de 0 a 5). La cuerda de 15 unidades se detendrá en 3, es decir, 6 + 6 + 3 (dos círculos completos con 3 unidades restantes). Los números negativos funcionan de la misma manera, y la única diferencia es que los envolvemos en la dirección opuesta, para –8 el resultado será 4.

Además, podemos realizar operaciones aritméticas, y el resultado siempre estará en el alcance de norte números. Usaremos la notación "mod norte”Por ahora para denotar el rango de números. Por ejemplo:

Además, la propiedad más importante es que el orden de las operaciones no importa, por ejemplo, podemos realizar todas las operaciones primero y luego aplicar módulo o aplicar módulo después de cada operación. Por ejemplo (2 × 4 - 1) × 3 = 3 (mod 6) es equivalente a:

Entonces, ¿por qué diablos es tan útil? Resulta que si usamos aritmética de módulo, teniendo un resultado de operación no es trivial volver a los números originales porque muchas combinaciones diferentes tendrán el mismo resultado:

Sin la aritmética modular, el tamaño del resultado da una pista de su solución. De lo contrario, esta información se oculta, mientras que se conservan las propiedades aritméticas comunes.


Contenido

Dejar Fq = GF (q) ser el campo finito de característica p, es decir, el campo que tiene q elementos donde q = pag mi por alguna prima pag . Un polinomio f con coeficientes en Fq (simbólicamente escrito como FFq[X] ) es un polinomio de permutación de Fq si la función de Fq a sí mismo definido por c ↦ f (c) < displaystyle c mapsto f (c)> es una permutación de Fq . [3]

Debido a la finitud de Fq , esta definición se puede expresar de varias formas equivalentes: [4]

  • la función c ↦ f (c) < displaystyle c mapsto f (c)> es sobre (sobreyectiva)
  • la función c ↦ f (c) < displaystyle c mapsto f (c)> es doce y cincuenta y nueve de la noche (inyectivo)
  • F(X) = a tiene una solución en Fq por cada a en Fq
  • F(X) = a tiene un único solución en Fq por cada a en Fq .

Una caracterización de qué polinomios son polinomios de permutación viene dada por

(Criterio de Hermite) [5] [6] FFq[X] es un polinomio de permutación de Fq si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

  1. f tiene exactamente una raíz en Fq
  2. para cada entero t con 1 ≤ tq - 2 y t ≢ 0 (mod p) < Displaystyle t not equiv 0 ! < Pmod

    >>, la reducción de F(X) t modificación (XqX) tiene grado ≤ q − 2 .

Si F(X) es un polinomio de permutación definido sobre el campo finito GF (q), entonces también lo es gramo(X) = a F(X + B) + C para todos a ≠ 0, B y C en GF (q). El polinomio de permutación gramo(X) es en forma normalizada Si a, B y C son elegidos para que gramo(X) es monic, gramo(0) = 0 y (siempre que la característica pag no divide el grado norte del polinomio) el coeficiente de X norte-1 es 0.

Hay muchas preguntas abiertas sobre polinomios de permutación definidos sobre campos finitos (ver Lidl & amp Mullen (1988) y Lidl & amp Mullen (1993)).

Licenciatura Editar

El criterio de Hermite es computacionalmente intensivo y puede ser difícil de usar para sacar conclusiones teóricas. Sin embargo, Dickson pudo usarlo para encontrar todos los polinomios de permutación de grado como máximo cinco en todos los campos finitos. Estos resultados son: [7] [6]

Polinomio de permutación normalizado de Fq q
X cualquier q
x 2 < displaystyle x ^ <2>> q ≡ 0 (mod 2) < Displaystyle q equiv 0 ! < pmod <2> >>
x 3 < displaystyle x ^ <3>> q ≢ 1 (mod 3) < Displaystyle q not equiv 1 ! < pmod <3> >>
x 3 - a x < displaystyle x ^ <3> -ax> (a < displaystyle a> no es un cuadrado) q ≡ 0 (mod 3) < Displaystyle q equiv 0 ! < pmod <3> >>
x 4 ± 3 x < displaystyle x ^ <4> pm 3x> q = 7
x 4 + a 1 x 2 + a 2 x < displaystyle x ^ <4> + a_ <1> x ^ <2> + a_ <2> x> (si su única raíz en Fq es 0) q ≡ 0 (mod 2) < Displaystyle q equiv 0 ! < pmod <2> >>
x 5 < displaystyle x ^ <5>> q ≢ 1 (mod 5) < Displaystyle q not equiv 1 ! < pmod <5> >>
x 5 - a x < displaystyle x ^ <5> -ax> (a < displaystyle a> no es una cuarta potencia) q ≡ 0 (mod 5) < Displaystyle q equiv 0 ! < pmod <5> >>
x 5 + una x (una 2 = 2) < displaystyle x ^ <5> + ax , (a ^ <2> = 2)> q = 9
x 5 ± 2 x 2 < displaystyle x ^ <5> pm 2x ^ <2>> q = 7
x 5 + ax 3 ± x 2 + 3 a 2 x < displaystyle x ^ <5> + ax ^ <3> pm x ^ <2> + 3a ^ <2> x> (a < displaystyle a> no un cuadrado) q = 7
x 5 + a x 3 + 5 - 1 a 2 x < displaystyle x ^ <5> + ax ^ <3> + 5 ^ <-1> a ​​^ <2> x> (a < displaystyle a> arbitrario) q ≡ ± 2 (mod 5) < Displaystyle q equiv pm 2 ! < pmod <5> >>
x 5 + a x 3 + 3 a 2 x < displaystyle x ^ <5> + ax ^ <3> + 3a ^ <2> x> (a < displaystyle a> no es un cuadrado) q = 13
x 5 - 2 una x 3 + una 2 x < displaystyle x ^ <5> -2ax ^ <3> + a ^ <2> x> (una < displaystyle a> no es un cuadrado) q ≡ 0 (mod 5) < Displaystyle q equiv 0 ! < pmod <5> >>

Se puede encontrar una lista de todos los polinomios de permutación mónica de grado seis en forma normalizada en Shallue & amp Wanless (2013). [8]

Algunas clases de polinomios de permutación Editar

Más allá de los ejemplos anteriores, la siguiente lista, aunque no es exhaustiva, contiene casi todas las clases principales conocidas de polinomios de permutación sobre campos finitos. [9]

  • Xnorte permuta GF (q) si y solo si ny q - 1 son coprime (notationally, (norte, q − 1) = 1 ). [10]
  • Si a está en GF (q) y norte ≥ 1 entonces el polinomio de Dickson (del primer tipo) Dnorte(X,a) es definido por

Estos también se pueden obtener de la recursividad

Si a ≠ 0 y norte & gt 1 entonces Dnorte(X, a) permuta GF (q) si y solo si (norte, q 2 - 1) = 1. [11] Si a = 0 entonces Dnorte(X, 0) = X norte y el resultado anterior se mantiene.

Los polinomios linealizados que son polinomios de permutación sobre GF (q r ) forman un grupo bajo la operación de composición módulo x q r - x < displaystyle x ^<>> -x>, que se conoce como el grupo Betti-Mathieu, isomorfo al grupo lineal general GL (r, Fq) . [12]

  • Si gramo(X) está en el anillo polinomial Fq[X] y gramo(Xs ) no tiene una raíz distinta de cero en GF (q) Cuándo s divide q - 1, y r & gt 1 es primo relativo (coprimo) para q - 1, luego Xr (gramo(Xs )) (q - 1)/s permuta GF (q) . [6]
  • Solo algunas otras clases específicas de polinomios de permutación sobre GF (q) se han caracterizado. Dos de estos, por ejemplo, son:

Polinomios excepcionales Editar

Un polinomio excepcional sobre GF (q) es un polinomio en Fq[X] que es un polinomio de permutación en GF (q metro ) para infinitos m. [13]

Un polinomio de permutación sobre GF (q) de grado como máximo q 1/4 es excepcional sobre GF (q) . [14]

Cada permutación de GF (q) es inducida por un polinomio excepcional. [14]

Si un polinomio con coeficientes enteros (es decir, en ℤ [X]) es un polinomio de permutación sobre GF (pag) para un número infinito de primos p, entonces es la composición de polinomios lineales y de Dickson. [15] (Ver la conjetura de Schur más abajo).

En geometría finita, las descripciones de coordenadas de ciertos conjuntos de puntos pueden proporcionar ejemplos de polinomios de permutación de mayor grado. En particular, los puntos que forman un óvalo en un plano proyectivo finito, PG (2,q) con q una potencia de 2, se puede coordinar de tal manera que la relación entre las coordenadas esté dada por un o-polinomio, que es un tipo especial de polinomio de permutación sobre el campo finito GF (q) .

El problema de probar si un polinomio dado sobre un campo finito es un polinomio de permutación puede resolverse en tiempo polinomial. [dieciséis]

Para el anillo finito Z/norteZ se pueden construir polinomios de permutación cuadrática. En realidad es posible si y solo si norte es divisible por p 2 para algún número primo pag. La construcción es sorprendentemente simple, sin embargo, puede producir permutaciones con ciertas buenas propiedades. Es por eso que se ha utilizado en el componente intercalador de códigos turbo en el estándar de telecomunicaciones móviles 3GPP Long Term Evolution (consulte la especificación técnica 3GPP 36.212 [18], por ejemplo, página 14 en la versión 8.8.0).

Ejemplos simples Editar

g (3) = 1>, entonces el polinomio define la permutación

g (7) = 1>, entonces el polinomio define la permutación

Anillos Z /paquete Z Editar

Lema: por k = 1 (es decir. Z/pagZ) tal polinomio define una permutación solo en el caso a = 0 y B no es igual a cero. Entonces el polinomio no es cuadrático, sino lineal.

Lema: por k & gt1, p & gt2 (Z/paquete Z) dicho polinomio define una permutación si y solo si a ≡ 0 (mod p) < displaystyle a equiv 0 < pmod

>> y b ≢ 0 (mod p) < displaystyle b not equiv 0 < pmod

>> .

Anillos Z /norteZ Editar

Como corolario, se pueden construir muchos polinomios de permutación cuadrática utilizando la siguiente construcción simple. Considere n = p 1 k 1 p 2 k 2. . . p l k l < Displaystyle n = p_ <1> ^> p_ <2> ^>. pag_^<>>>, asume que k1 & gt1.

p_ <1>>, pero a ≠ 0 m o d p 1 k 1 < displaystyle a neq 0

p_ <1> ^>> suponga que a = 0 m o d p i k i < displaystyle a = 0

pag_^<>>> ,I& gt1. Y suponga que b ≠ 0 m o d p i < displaystyle b neq 0

Para ver esto observamos que para todos los números primos pagI,I& gt1, la reducción de este módulo polinomio cuadrático pagI es en realidad un polinomio lineal y, por tanto, es una permutación por una razón trivial. Para el primer número primo debemos usar el lema discutido anteriormente para ver que define la permutación.

Por ejemplo, considere Z/12Z y polinomio 6 x 2 + x < displaystyle 6x ^ <2> + x>. Define una permutación

Un polinomio gramo(X) para el anillo Z/paquete Z es un polinomio de permutación si y solo si permuta el campo finito Z/pagZ y g ′ (x) ≠ 0 m o d p < displaystyle g '(x) neq 0

p> para todos X en Z/paquete Z, donde gramo′(X) es la derivada formal de gramo(X). [19]

Dejar K ser un campo numérico algebraico con R el anillo de los enteros. El término "conjetura de Schur" se refiere a la afirmación de que, si un polinomio F definido sobre K es un polinomio de permutación en R/PAG por infinitos ideales primordiales PAG, luego F es la composición de polinomios de Dickson, polinomios de grado uno y polinomios de la forma X k . De hecho, Schur no hizo ninguna conjetura en este sentido. La noción de que lo hizo se debe a Fried, [20] quien dio una prueba defectuosa de una versión falsa del resultado. Turnwald [21] y Müller han dado pruebas correctas. [22]


División de polinomios mediante división larga: concepto

Carl enseñó matemáticas de nivel superior en varias escuelas y actualmente dirige su propia empresa de tutoría. ¡Apuesta a que nadie puede vencer su amor por las actividades intensivas al aire libre!

Al dividir polinomios, podemos usar la división larga o la división sintética para llegar a una respuesta. Utilizando división larga, división de polinomios es fácil. Simplemente escribimos la fracción en forma de división larga colocando el divisor fuera del corchete y el dividido dentro del corchete. Después de configurar la división polinomial, seguimos el mismo proceso que la división larga con números.

División de polinomios con división larga. Entonces, vamos a hablar sobre cómo podemos dividir estos 2 polinomios usando la división larga. Antes de hacer eso, solo quiero profesarlo haciendo un paralelo con algo que ya sabemos cómo hacer. Solo diga que se nos pide que dividamos 1170 entre 70, ¿de acuerdo? Lo que terminamos haciendo es dibujar nuestro 7 en un pequeño corchete con un número en el interior. Entonces comenzamos y decimos, está bien. ¿Cuántas veces entra 7 en 1, no pasa a la siguiente [IB]? ¿Cuántas veces entra 7 en 11? Dibuja el 1, 1 por 7 es 7 y luego restamos dejando caer el siguiente término 47, continuamos desde allí. ¿Cuántas veces entra 7 en 47, es 6, 6 por 7 es 42? Reste de nuevo, dejándonos 50 [IB] y repita, necesitamos 7, entonces esto está en 49 y nos queda un resto de 1. Está bien.
Entonces sabemos cómo dividir números. ¿Okey? Dividir polinomios es exactamente la misma idea, solo que con un poco más de x & # 39s y variables y términos involucrados. Entonces, lo que vamos a terminar haciendo es exactamente lo mismo que esto, ¿de acuerdo? Entonces x + 1 va por fuera y luego nuestro, recuerde que esto se llama dividendo, nuestro dividendo va dentro del paréntesis. Tenga un gran soporte. 3x al cubo y creo que olvidé el cuadrado de mi problema, dejemos que lo arrojen allí. 3x al cuadrado menos lo siento 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 2x menos 1, está bien. Así que básicamente estamos reescribiendo nuestro problema como una fracción en una división larga. En lógica, es exactamente lo mismo que hicimos aquí, ¿de acuerdo?
Dices que lo primero de lo que quieres deshacerte es el 3x al cuadrado y miramos nuestro término principal en nuestro divisor, el término en la parte inferior, ¿de acuerdo? Para obtener 3x al cuadrado de x tenemos que multiplicarlo, lo siento 3x al cubo de x tenemos que multiplicarlo por 3x al cuadrado. Así que siempre trato de alinear mis poderes. Así que voy a poner 3x al cuadrado allí mismo. Así que tengo todos mis cuadrados en una columna aquí. ¿Okey? Luego, como hicimos aquí, multiplicamos el número de arriba por el número de enfrente. La única diferencia ahora es que tenemos algunas variables que se mantienen en la misma idea. ¿Okey? Entonces, 3x al cuadrado por x, es 3x al cubo. 3x al cuadrado por 1 es 3x al cuadrado. ¿Okey? Al igual que hicimos aquí con nuestros números, necesitamos restar, ¿de acuerdo? Entonces resta. 3x al cubo menos 3x al cubo, los cancelados que es lo que queríamos y el -4x al cuadrado menos 3x, asegúrese de distribuir que el signo negativo se convierte en negativo 7x al cuadrado.
El siguiente término del que queremos deshacernos es -7x al cuadrado. Si quieres eliminar esto, puedes, no tienes que hacerlo. Solo recuerde que debemos incluirlo en el siguiente paso cuando restamos. Bueno.
Así que necesitamos deshacernos de -7x al cuadrado con nuestro término principal de una x. Entonces, necesitamos multiplicar nuestra x por -7x para cancelarla. -7x y luego solo queremos multiplicar y restar una vez más. Entonces -7x por x, -7x al cuadrado. -7x por 1 es -7x. Una vez más queremos restar asegurándonos de distribuir ese signo negativo. -7x al cuadrado menos -7x al cuadrado, esos cancelan que es lo que queríamos y luego todavía tenemos estos dos aquí. Entonces es 2x menos -7x, 2x más 7x lo que se convierte en 9x y nuevamente podemos bajar este si queremos, no es necesario.Solo recuérdalo allí. Así que este 9x es lo último de lo que debemos deshacernos. Para obtener 9x de una x, necesitamos un 9 más 9, ese 9 se distribuye. 9x más 9 y una vez más restamos, ¿de acuerdo? 9x-9x. Esos cancelan. -1-9 más un 9 negativo por lo que esto nos va a dar -10, que tiene un resto [IB] por lo que multiplicamos x nos dará -10. ¿Okey?
Así que hay diferentes formas de escribir esto. Voy a tomarme un segundo y volver aquí y mostrarnos lo que esto realmente significa. Entonces, este fue nuestro proceso para los números, el mismo proceso exacto allí. Bueno, lo que realmente descubrimos fue que esta afirmación es en realidad igual a nuestro cociente. Lo que aparece es el número que está encima del letrero, así que si volvemos aquí. Es solo un número aquí. Entonces eso es 3x al cuadrado menos 7x más 9 y luego más nuestro resto sobre nuestro divisor. Entonces, esto será más -10 sobre nuestro divisor aquí, x + 1, ¿de acuerdo? Así que la división larga es un poco más para tratar con números, pero el proceso es exactamente el mismo.


Matemáticas Parte I Soluciones para matemáticas de la clase 9 Capítulo 3 - Polinomios

Matemáticas Parte I Soluciones Soluciones para matemáticas de la clase 9 Capítulo 3 Los polinomios se proporcionan aquí con explicaciones sencillas paso a paso. Estas soluciones para polinomios son extremadamente populares entre los estudiantes de la clase 9, ya que las soluciones de polinomios de matemáticas son útiles para completar rápidamente su tarea y prepararse para los exámenes. Todas las preguntas y respuestas del Libro de Soluciones de la Parte I de Matemáticas del Capítulo 3 de Matemáticas de la Clase 9 se proporcionan aquí de forma gratuita. También le encantará la experiencia sin publicidad en las Soluciones de Soluciones de la Parte I de Matemáticas de Meritnation. Todas las soluciones de Matemáticas Parte I Soluciones para la clase 9 de matemáticas están preparadas por expertos y son 100% precisas.

Página No 39:

Pregunta 1:

Indique si las expresiones algebraicas dadas son polinomios. Justificar.

(i) y & # 160 + & # 160 1 y (ii) 2 & # 160 - & # 160 5 & # 160 x (iii) x 2 & # 160 + & # 160 7 x & # 160 + & # 160 9 (iv) 2 m - 2 y # 160 + y # 160 7 m & # 160 - & # 160 5 (v) 10

Respuesta:


En una expresión algebraica, si las potencias de las variables son números enteros, entonces la expresión algebraica es un polinomio.

Aquí, uno de los poderes de y es & minus1, que no es un número entero. Entonces, y & # 160 + & # 160 1 y es no un polinomio.

Aquí, el poder de X es 1 2, que no es un número entero. Entonces, 2 & # 160 - & # 160 5 & # 160 x es no un polinomio.

Aquí, los poderes de la variable X son 2, 1 y 0, que son números enteros. Entonces, x 2 & # 160 + & # 160 7 x & # 160 + & # 160 9 es un polinomio.

Aquí, uno de los poderes de metro es & minus2, que no es un número entero. Entonces, 2 m - 2 & # 160 + & # 160 7 m & # 160 - & # 160 5 es no un polinomio.

Aquí, el poder de X es 0, que es un número entero. Entonces, 10 es un polinomio (o polinomio constante).

Página No 39:

Pregunta 2:

Escribe el coeficiente de metro 3 en cada uno de los polinomios dados.

(I) metro 3 (ii) - 3 & # 160 2 & # 160 + & # 160 m & # 160 - & # 160 3 m 3 (iii) - 2 3 m 3 & # 160 - & # 160 5 m 2 & # 160 + & # 160 7 my # 160 - & # 160 1

Respuesta:

Página No 39:

Pregunta 3:

Respuesta:


(i) Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Además, la potencia más alta de la variable en un polinomio se llama grado del polinomio.

3X 7 es un monomio en X con grado 7.

(ii) Un polinomio que tiene solo dos términos se llama binomio. Además, la potencia más alta de la variable en un polinomio se llama grado del polinomio.

2X 35 + 1 es un binomio en X con grado 35.

(iii) Un polinomio que tiene solo tres términos se llama trinomio. Además, la potencia más alta de la variable en un polinomio se llama grado del polinomio.

5X 8 + 6X 4 + 7X es un trinomio en X con grado 8.

Página No 40:

Pregunta 4:

Escribe el grado de los polinomios dados.

(i) 5 (ii) x & # 176 (iii) x 2 (iv) 2 & # 160 m 10 & # 160 - & # 160 7 (v) 2 p & # 160 - & # 160 7 (vi) 7 y & # 160 - & # 160 y 3 & # 160 + & # 160 y 5 (vii) xyz & # 160 + xy & # 160 - & # 160 z (viii) m 3 n 7 & # 160 - & # 160 3 m 5 n & # 160 + & # 160 mn

Respuesta:


La potencia más alta de la variable en un polinomio de una variable se llama grado del polinomio. Además, la suma más alta de las potencias de las variables en cada término del polinomio en más de una variable es el grado del polinomio.

El grado del polinomio 5 es 0.

(ii)
El grado del polinomio X 0 es 0.

(iii)
El grado del polinomio X 2 es 2.

(iv)
El grado del polinomio 2 m 10 - 7 es 10.

(v)
El grado del polinomio 2 p - 7 es 1.

(vi)
El grado del polinomio 7 y - y 3 + y 5 es 5.

(vii)
La suma de las potencias de las variables en el polinomio x y z + x y - z son 1 + 1 + 1 = 3 y 1 + 1 = 2.

El grado del polinomio x y z + x y - z es 3.

(viii)
La suma de las potencias de las variables en el polinomio m 3 n 7 - 3 m 5 n + m n son 3 + 7 = 10, 5 + 1 = 6 y 1 + 1 = 2.

El grado del polinomio m 3 n 7 - 3 m 5 n + m n es 10.

Página No 40:

Pregunta 5:

Clasifique los siguientes polinomios como polinomios lineales, cuadráticos y cúbicos.

Respuesta:


(I)
El grado del polinomio 2X 2 + 3X + 1 es 2.

Entonces, el polinomio 2X 2 + 3X + 1 es un polinomio cuadrático.

(ii)
El grado del polinomio 5pag es 1.

Entonces, el polinomio 5pag es un polinomio lineal.

(iii)
El grado del polinomio 2 y - 1 2 es 1.

Entonces, el polinomio 2 y - 1 2 es un polinomio lineal.

(iv)
El grado del polinomio m 3 + 7 m 2 + 5 2 m - 7 es 3.

Entonces, el polinomio m 3 + 7 m 2 + 5 2 m - 7 es un polinomio cúbico.

(v)
El grado del polinomio a 2 es 2.

Entonces, el polinomio a 2 es un polinomio cuadrático.

(vi)
El grado del polinomio 3r 3 es 3.

Entonces, el polinomio 3r 3 es un polinomio cúbico.

Página No 40:

Pregunta 6:

Escribe los siguientes polinomios en forma estándar.

(i) m 3 & # 160 + & # 160 3 & # 160 + & # 160 5 m (ii) - 7 y & # 160 + & # 160 y 5 & # 160 + & # 160 3 y 3 & # 160 - & # 160 1 2 & # 160 + & # 160 2 y 4 & # 160 - & # 160 y 2

Respuesta:


Un polinomio escrito en potencias ascendentes o descendentes de su variable se denomina forma estándar del polinomio.

(I)
El polinomio dado es metro 3 + 3 + 5metro.

La forma estándar del polinomio es 3 + 5metro + metro 3 o metro 3 + 5metro + 3.

(ii)
El polinomio dado es - 7 y + y 5 + 3 y 3 - 1 2 + 2 y 4 - y 2.

La forma estándar del polinomio es y 5 + 2 y 4 + 3 y 3 - y 2-7 y - 1 2 o - 1 2-7 y - y 2 + 3 y 3 + 2 y 4 + y 5.

Página No 40:

Pregunta 7:

Escribe los siguientes polinomios en forma de coeficiente.

(i) x 3 & # 160 - & # 160 2 (ii) 5 y (iii) 2 m 4 & # 160 - & # 160 3 m 2 & # 160 + & # 160 7 (iv) & # 160 - 2 3

Respuesta:


(I)
x 3 - 2 = x 3 + 0 x 2 + 0 x - 2

La forma del coeficiente del polinomio es (1, 0, 0 y menos2).

La forma del coeficiente del polinomio es (5, 0).

(iii)
2 m 4-3 m 2 + 7 = 2 m 4 + 0 m 3-3 m 2 + 0 m + 7

La forma del coeficiente del polinomio es (2, 0 y menos3, 0, 7).

(iv)
La forma del coeficiente del polinomio - 2 3 es - 2 3.

Página No 40:

Pregunta 8:

Respuesta:


(I)
La forma del coeficiente del polinomio es (1, 2, 3).

Por lo tanto, la forma índice del polinomio es X 2 + 2X + 3.

(ii)
La forma del coeficiente del polinomio es (5, 0, 0, 0 y menos1).

Por lo tanto, la forma índice del polinomio es 5X 4 + 0X 3 + 0X 2 + 0X & menos 1 o 5X 4 y menos 1.

(iii)
La forma del coeficiente del polinomio es (& minus2, 2, & minus2, 2).

Por lo tanto, la forma índice del polinomio es & menos2X 3 + 2X 2 y menos 2X + 2.

Página No 40:

Pregunta 9:

Escribe los polinomios apropiados en los cuadros.

Respuesta:

Página No 43:

Pregunta 1:

Respuesta:


(I)
Número inicial de árboles en la aldea = a

Aumento del número de árboles cada año = B

& there4 Número de árboles en el pueblo después X años

= Número inicial de árboles en la aldea + Aumento del número de árboles cada año y veces X

Por lo tanto, el número de árboles después X años es a + bx.

(ii)
Número de estudiantes en cada fila = y

& there4 Número total de estudiantes en el desfile = Número de estudiantes en cada fila y veces Número de filas = y &veces X = yx = xy

Por lo tanto, hay en todos xy estudiantes para el desfile.

(iii)
Dígito en el lugar de las decenas = metro

Dígito en el lugar de las unidades = norte

& there4 Número de dos dígitos = Dígito en el lugar de las decenas y multiplicado por 10 + Dígito en el lugar de las unidades = metro & veces 10 + norte = 10metro + norte

Por lo tanto, el polinomio que representa el número de dos dígitos es 10metro + norte.

Página No 43:

Pregunta 2:

Suma los polinomios dados.

Respuesta:


(I)
x 3 - 2 x 2 - 9 + 5 x 3 + 2 x + 9 = x 3 + 5 x 3 - 2 x 2 + 2 x - 9 + 9 = 6 x 3 - 2 x 2 + 2 x
(ii)
- 7 m 4 + 5 m 3 + 2 + 5 m 4-3 m 3 + 2 m 2 + 3 m - 6 = - 7 m 4 + 5 m 4 + 5 m 3-3 m 3 + 2 m 2 + 3 m + 2-6 = - 2 m 4 + 2 m 3 + 2 m 2 + 3 m - 6 + 2
(iii)
2 y 2 + 7 y + 5 + 3 y + 9 + 3 y 2-4 y - 3 = 2 y 2 + 3 y 2 + 7 y + 3 y - 4 y + 5 + 9 - 3 = 5 y 2 + 6 años + 11

Página No 43:

Pregunta 3:

Reste el segundo polinomio del primero.

(i) x 2 & # 160 - & # 160 9 x & # 160 + & # 160 3 & # 160 & # 160 & # 160 - 19 x & # 160 + & # 160 3 & # 160 + & # 160 7 x 2 (ii) 2 ab 2 & # 160 + & # 160 3 a 2 b & # 160 - & # 160 4 ab & # 160 & # 160 & # 160 3 ab & # 160 - 8 ab 2 & # 160 + & # 160 2 a 2 b

Respuesta:


(I)
x 2-9 x + 3 & # 160 - - 19 x + 3 + 7 x 2 = x 2-9 x + 3 + 19 x - 3-7 x 2 = x 2-7 x 2-9 x + 19 x + 3 - 3 = - 6 x 2 + 10 x
(ii)
2 ab 2 + 3 a 2 b - 4 ab - 3 ab - 8 ab 2 + 2 a 2 b = 2 ab 2 + 3 a 2 b - 4 ab - 3 ab + 8 ab 2 - 2 a 2 b = 2 ab 2 + 8 ab 2 + 3 a 2 b - 2 a 2 b - 4 ab - 3 ab = 10 ab 2 + a 2 b - 7 ab

Página No 43:

Pregunta 4:

Multiplica los polinomios dados.

Respuesta:


(I)
2 x x 2 & # 160 - 2 x - 1 = 2 x & # 215 x 2 + 2 x & # 215 - 2 x + 2 x & # 215 - 1 = 2 x 3 - 4 x 2 - 2 x
(ii)
x 5 - 1 & # 215 x 3 + 2 x 2 + 2 = x 5 x 3 + 2 x 2 + 2 - 1 x 3 + 2 x 2 + 2 = x 8 + 2 x 7 + 2 x 5 - x 3 - 2 x 2 - 2
(iii)
2 y + 1 & # 215 y 2-2 y 3 + 3 y = 2 yy 2-2 y 3 + 3 y + 1 y 2-2 y 3 + 3 y = 2 y 3-4 y 4 + 6 y 2 + y 2-2 y 3 + 3 y = - 4 y 4 + 2 y 3-2 y 3 + 6 y 2 + y 2 + 3 y = - 4 y 4 + 7 y 2 + 3 y

Página No 43:

Pregunta 5:

Respuesta:

(I)
x 3 - 64 = x 3 + 0 x 2 + 0 x - 64

Usando el método de división larga,


Dividendo = Divisor y veces Cociente + Resto

& # 8756 x 3-64 = x - 4 & # 215 x 2 + 4 x + 16 + 0

(ii)
5 x 5 + 4 x 4-3 x 3 + 2 x 2 y # 160 + 2 = 5 x 5 + 4 x 4-3 x 3 + 2 x 2 y # 160 + 0 x + 2

Usando el método de división larga,


Dividendo = Divisor y veces Cociente + Resto

& # 8756 5 x 5 + 4 x 4-3 x 3 + 2 x 2 + 2 = x 2 - x & # 215 5 x 3 + 9 x 2 + 6 x + 8 + 8 x + 2

Página No 43:

Pregunta 6:

Respuesta:


Longitud de la finca rectangular = (2a 2 + 3B 2) m

Anchura de la finca rectangular = (a 2 + B 2) m

Lado de la parcela cuadrada = (a 2 y menos B 2) m

& there4 Área de la parte restante de la finca

= Área total de la finca y menos Área de la parcela cuadrada

= Longitud de la finca rectangular y tiempos Ancho de la finca rectangular y menos (Lado de la parcela cuadrada) 2

Por lo tanto, el área de la parte restante de la finca es (a 4 + 7a 2 B 2 + 2B 4) m 2.

Página No 46:

Pregunta 1:

método de división lineal. Escribe el cociente y el resto.

Respuesta:

(I)
División sintética:


La forma del coeficiente del cociente es (2, 7).

& there4 Cociente = 2metro + 7 y resto = 45

Método lineal:

2 m 2-3 m + 10 = 2 m m - 5 + 10 m - 3 m + 10 = 2 m m - 5 + 7 m - 5 + 35 + 10 = m - 5 & # 215 2 m + 7 + 45
(ii)
División sintética:

Dividendo = x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5

La forma del coeficiente del cociente es (1, 0, 3 y menos2).

& there4 Cociente = X 3 + 3X & menos 2 y resto = 9

Método lineal:

x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5 = x 3 x + 2 + 3 xx + 2-6 x + 4 x + 5 = x 3 x + 2 + 3 xx + 2-2 x + 5 = x 3 x + 2 + 3 xx + 2 - 2 x + 2 + 4 + 5 = x + 2 & # 215 x 3 + 3 x - 2 + 9
(iii)
División sintética:

Dividendo = y 3 - 216 = y 3 + 0 y 2 + 0 y - 216

La forma del coeficiente del cociente es (1, 6, 36).

& there4 Cociente = y 2 + 6y + 36 y resto = 0

Método lineal:

y 3 - 216 = y 2 y - 6 + 6 y 2 - 216 = y 2 y - 6 + 6 yy - 6 + 36 y - 216 = y 2 y - 6 + 6 yy - 6 + 36 y - 6 + 216 - 216 = y 2 y - 6 + 6 yy - 6 + 36 y - 6 = y - 6 & # 215 y 2 + 6 y + 36
(iv)
División sintética:

Dividendo = 2 x 4 + 3 x 3 + 4 x - 2 x 2 = 2 x 4 + 3 x 3-2 x 2 + 4 x + 0

La forma del coeficiente del cociente es (2, menos 3, 7 y menos 17).

& there4 Cociente = 2X 3 y menos 3X 2 + 7X & menos 17 y resto = 51

Método lineal:

2 x 4 + 3 x 3 - 2 x 2 + 4 x = 2 x 3 x + 3-6 x 3 + 3 x 3 - 2 x 2 + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 3 x 2 x + 3 + 9 x 2 - 2 x 2 + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 3 x 2 x + 3 + 7 xx + 3 - 21 x + 4 x = 2 x 3 x + 3 - 3 x 2 x + 3 + 7 xx + 3-17 x + 3 + 51 = x + 3 & # 215 2 x 3-3 x 2 + 7 x - 17 + 51
(v)
División sintética:

Dividendo = x 4 - 3 x 2 - 8 = x 4 + 0 x 3 - 3 x 2 + 0 x - 8

La forma del coeficiente del cociente es (1, y menos4, 13 y menos52).

& there4 Cociente = X 3 y menos 4X 2 + 13X & menos 52 y resto = 200

Método lineal:

x 4 - 3 x 2 - 8 = x 3 x + 4 - 4 x 3 - 3 x 2 - 8 = x 3 x + 4 - 4 x 2 x + 4 + 16 x 2 - 3 x 2 - 8 = x 3 x + 4-4 x 2 x + 4 + 13 xx + 4-52 x - 8 = x 3 x + 4-4 x 2 x + 4 + 13 xx + 4-52 x + 4 + 208-8 = x + 4 y # 215 x 3 - 4 x 2 + 13 x - 52 + 200
(vi)
División sintética:

Dividendo = y 3 - 3 y 2 + 5 y - 1

La forma del coeficiente del cociente es (1, & menos2, 3).

& there4 Cociente = y 2 y menos 2y + 3 y resto = 2

Método lineal:

y 3-3 y 2 + 5 y - 1 = y 2 y - 1 + y 2-3 y 2 + 5 y - 1 = y 2 y - 1-2 yy - 1-2 y + 5 y - 1 = y 2 y - 1-2 yy - 1 + 3 y - 1 + 3-1 = y - 1 & # 215 y 2-2 y + 3 + 2

Página No 48:

Pregunta 1:

Para x = 0 encuentre el valor del polinomio x 2 & # 160 - & # 160 5 x & # 160 + & # 160 5.

Respuesta:

& # 8756 p 0 = 0 2-5 & # 215 0 + 5 = 0-0 + 5 = 5

Por lo tanto, para X = 0 el valor del polinomio es 5.

Página No 48:

Pregunta 2:

Si p y & # 160 = & # 160 y 2 & # 160 - & # 160 3 2 y & # 160 + & # 160 1 & # 160, entonces encuentre p & # 160 3 2.

Respuesta:

& # 8756 p 3 2 = 3 2 2-3 2 & # 215 3 2 + 1 = 18 - 18 + 1 = 1

Página No 48:

Pregunta 3:

Respuesta:

& # 8756 p a = a 3 + 2 a 2 - a + 10. (1)

p - una = - una 3 + 2 - una 2 - - una + 10

& # 8658 p - a = - a 3 + 2 a 2 + a + 10. (2)

pa + p - a = a 3 + 2 a 2 - a + 10 + - a 3 + 2 a 2 + a + 10 = a 3 - a 3 + 2 a 2 + 2 a 2 - a + a + 10 + 10 = 4 a 2 + 20
& # 8756 p a + p - a = 4 a 2 + 20

Página No 48:

Pregunta 4:

Si p y & # 160 = & # 160 2 y 3 & # 160 - & # 160 6 y 2 & # 160 - & # 160 5 y & # 160 + & # 160 7, entonces encuentre p 2.

Respuesta:


p y = 2 y 3-6 y 2-5 y + 7

& # 8756 p 2 = 2 & # 215 2 3-6 & # 215 2 2-5 & # 215 2 + 7 = 16 - 24 - 10 + 7 = - 11

Página No 53:

Pregunta 1:

Encuentre el valor del polinomio 2 x & # 160 - & # 160 2 x 3 & # 160 + & # 160 7 usando los valores dados para x.

Respuesta:

(I)
p 3 = 2 & # 215 3 - 2 & # 215 3 3 + 7 = 6 - 2 & # 215 27 + 7 = 6 - 54 + 7 = - 41
Por tanto, el valor del polinomio para X = 3 es & menos41.

(ii)
p - 1 = 2 & # 215 - 1 - 2 & # 215 - 1 3 + 7 = - 2 - 2 & # 215 - 1 + 7 = - 2 + 2 + 7 = 7
Por tanto, el valor del polinomio para X = & minus1 es 7.

(iii)
p 0 = 2 y # 215 0-2 y # 215 0 3 + 7 = 0-0 + 7 = 7
Por tanto, el valor del polinomio para X = 0 es 7.

Página No 53:

Pregunta 2:

Para cada uno de los siguientes polinomios, encuentre p 1, & # 160 p 0 & # 160 y p - 2.

(i) px & # 160 = & # 160 x 3 (ii) py & # 160 = & # 160 y 2 & # 160 - 2 y & # 160 + & # 160 5 & # 160 (iii) px & # 160 = & # 160 x 4 & # 160 - 2 x 2 & # 160 - & # 160 x

Respuesta:


(I)
p x = x 3 & # 8756 p 1 = 1 3 = 1 p 0 = 0 3 = 0 p - 2 = - 2 3 = - 8
(ii)
py = y 2 - 2 y + 5 & # 8756 p 1 = 1 2 - 2 & # 215 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 p 0 = 0 2 - 2 & # 215 0 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5 p - 2 = - 2 2 - 2 & # 215 - 2 + 5 = 4 + 4 + 5 = 13
(iii)
px = x 4 - 2 x 2 - x & # 8756 p 1 = 1 4 - 2 & # 215 1 2 - 1 = 1 - 2 - 1 = - 2 p 0 = 0 4 - 2 & # 215 0 2 - 0 = 0 - 0 - 0 = 0 p - 2 = - 2 4 - 2 & # 215 - 2 2 - - 2 = 16 - 2 & # 215 4 + 2 = 16 - 8 + 2 = 10

Página No 53:

Pregunta 3:

Si el valor del polinomio m 3 & # 160 + & # 160 2 m & # 160 + & # 160 a es 12 para m & # 160 = & # 160 2, entonces encuentre el valor de a.

Respuesta:

& # 8756 2 3 + 2 & # 215 2 + a = 12 & # 8658 8 + 4 + a = 12 & # 8658 12 + a = 12 & # 8658 a = 12 - 12 = 0
Por tanto, el valor de a es 0.

Página No 53:

Pregunta 4:

Para el polinomio m x 2 & # 160 - 2 x & # 160 + & # 160 3 si p - 1 & # 160 = 7 & # 160 entonces encuentre metro.

Respuesta:

& # 8756 p - 1 = 7 & # 8658 m & # 215 - 1 2 - 2 & # 215 - 1 + 3 = 7 & # 8658 m + 2 + 3 = 7 & # 8658 m = 7 - 5 = 2
Por tanto, el valor de metro es 2.

Página No 53:

Pregunta 5:

Divida el primer polinomio por el segundo polinomio y encuentre el resto usando el teorema del factor.

Respuesta:

(I)
Por división sintética:

La forma del coeficiente del cociente es (1, & menos8).

Por teorema del resto:

Resto = pag(y menos1) = - 1 2-7 y # 215 - 1 + 9 = 1 + 7 + 9 = 19

(ii)
Por división sintética:

Dividendo = 2 x 3 - 2 x 2 + a x - a

La forma del coeficiente del cociente es (2, 2a & menos 2, 2a 2 y menos a).

Por teorema del resto:

Sea p x = 2 x 3 - 2 x 2 + a x - a.

Resto = pag(a) = 2 & # 215 a 3 - 2 & # 215 a 2 + a & # 215 a - a = 2 a 3 - 2 a 2 + a 2 - a = 2 a 3 - a 2 - a

(iii)
Por división sintética:

Dividendo = 54 m 3 + 18 m 2 - 27 m + 5

La forma del coeficiente del cociente es (54, 180, 513).

Por teorema del resto:

Sea p m = 54 m 3 + 18 m 2 - 27 m + 5.

Resto = pag(3) = 54 × 3 3 + 18 × 3 2 - 27 × 3 + 5 = 54 × 27 + 18 × 9 - 27 × 3 + 5 = 1458 + 162 - 81 + 5 = 1544

Página No 53:

Pregunta 6:

Si el polinomio y 3 & # 160 - & # 160 5 y 2 & # 160 + & # 160 7 y & # 160 + & # 160 m se divide por y + 2 y el resto es 50, entonces encuentre el valor de m.

Respuesta:


Sea p y = y 3-5 y 2 + 7 y + m.

Cuando el polinomio se divide por (y + 2), el resto es 50. Esto significa que el valor del polinomio cuando y = & minus2 es 50.

& # 8756 - 2 3 - 5 & # 215 - 2 2 + 7 & # 215 - 2 + m = 50 & # 8658 - 8 - 5 & # 215 4 - 14 + m = 50 & # 8658 - 8 - 20 - 14 + m = 50 & # 8658-42 + m = 50 & # 8658 m = 50 + 42 = 92
Por tanto, el valor de metro es 92.

Página No 53:

Pregunta 7:

Utilice el teorema del factor para determinar si X + 3 es el factor de X 2 + 2X & menos 3 o no.

Respuesta:

& # 8756 p - 3 = - 3 2 + 2 & # 215 - 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

Entonces, por el teorema del factor, (X + 3) es un factor de X 2 + 2X & menos 3.

Página No 53:

Pregunta 8:

Si ( X - & # 160 2) es un factor de x 3 & # 160 - & # 160 m x 2 & # 160 + & # 160 10 x & # 160 - & # 160 20 & # 160 luego encuentre el valor de metro.

Respuesta:


Sea p x = x 3 - m x 2 + 10 x - 20.

Se da que (X & menos 2) es un factor de p x = x 3 - m x 2 + 10 x - 20.

& # 8756 p 2 = 0 & # 8658 2 3 - m & # 215 2 2 + 10 & # 215 2 - 20 = 0 & # 8658 8 - 4 m + 20 - 20 = 0 & # 8658 8 - 4 m = 0 & # 8658 4 m = 8 & # 8658 m = 2
Por tanto, el valor de metro es 2.

Página No 53:

Pregunta 9:

Utilizando el teorema del factor en los siguientes ejemplos, determine si q ( X ) es un factor pag ( X ) o no.

Respuesta:

& # 8756 p 1 = 1 3 - 1 2 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = - 2

Ya que pag(1) & ne 0, entonces por el teorema del factor q x = x - 1 no un factor de polinomio p x = x 3 - x 2 - x - 1.

& # 8756 p 3 = 2 & # 215 3 3 - 3 2 - 45 = 2 & # 215 27 - 9 - 45 = 54 - 54 = 0

Entonces, por el teorema del factor q x = x - 3 es un factor de polinomio p x = 2 x 3 - x 2-45.

Página No 53:

Pregunta 10:

Si ( X 31 + 31) se divide por (X + 1) luego encuentra el resto.

Respuesta:

Por el teorema del resto, tenemos

Resto = pag(& menos1) = (& menos1) 31 + 31 = & menos1 + 31 = 30

Por lo tanto, el resto cuando (X 31 + 31) se divide por (X + 1) es 30.

Página No 53:

Pregunta 11:

Muestra esa metro - 1 es un factor de m 21 - 1 y m 22 - 1.

Respuesta:

Por tanto, por el teorema del factor (metro & menos 1) es un factor de pag(metro) = metro 21 y menos 1.

Por tanto, por el teorema del factor (metro & menos 1) es un factor de q(metro) = metro 22 y menos 1.

Por eso, (metro & menos 1) es un factor de metro 21 y menos 1 y metro 22 y menos 1.

Página No 53:

Pregunta 12:

Si & # 160 x & # 160 - & # 160 2 & # 160 yx & # 160 - & # 160 1 2 ambos son los factores del polinomio nx 2 y menos 5X + metro, luego demuestre que m & # 160 = & # 160 n = & # 160 2

Respuesta:

Dado que (X & menos 2) y x - 1 2 son los factores del polinomio pag(X) = nx 2 y menos 5X + metro.

& alli4 Por teorema del factor, pag(2) = 0 y p 1 2 = 0.

p 1 2 = 0 & # 8658 n 1 2 2-5 & # 215 1 2 + m = 0 & # 8658 n 4 + m = 5 2 & # 8658 n + 4 m = 10 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160. . . . . 2
De (1) y (2), tenemos

Poniendo norte = metro en (1), tenemos

Página No 53:

Pregunta 13:

(i) Si p x & # 160 = & # 160 2 & # 160 + & # 160 5 x & # 160 entonces p 2 & # 160 + & # 160 p - 2 - & # 160 p 1.

(ii) p x & # 160 = & # 160 2 x 2 & # 160 - & # 160 5 3 x & # 160 + & # 160 5 & # 160 luego p 5 3.

Respuesta:


(I)
px = 2 + 5 x & # 8756 p 2 = 2 + 5 & # 215 2 = 2 + 10 = 12 p - 2 = 2 + 5 & # 215 - 2 = 2 - 10 = - 8 p 1 = 2 + 5 & # 215 1 = 2 + 5 = 7
& # 8756 p 2 + p - 2 - p 1 = 12 + - 8 - 7 = 12 - 8 - 7 = 12 - 15 = - 3

(ii)
p x = 2 x 2 - 5 3 x + 5
& # 8756 p 5 3 = 2 & # 215 5 3 2 - 5 3 & # 215 5 3 + 5 = 2 & # 215 75 - 25 & # 215 3 + 5 = 150 - 75 + 5 = 80

Página No 54:

Pregunta 1:

Encuentra los factores de los polinomios que se dan a continuación.
(i) 2X 2 + X & ndash 1

Respuesta:


(I)
2 x 2 + x - 1 = 2 x 2 + 2 x - x - 1 = 2 x x + 1 - 1 x + 1 = x + 1 2 x - 1
(ii)
2 m 2 + 5 m - 3 = 2 m 2 + 6 m - m - 3 = 2 m m + 3-1 m + 3 = m + 3 2 m - 1
(iii)
12 x 2 + 61 x + 77 = 12 x 2 + 28 x + 33 x + 77 = 4 x 3 x + 7 + 11 3 x + 7 = 3 x + 7 4 x + 11
(iv)
3 y 2 - 2 y - 1 = 3 y 2-3 y + y - 1 = 3 y y - 1 + 1 y - 1 = y - 1 3 y + 1
(v)
3 x 2 + 4 x + 3 = 3 x 2 + 3 x + x + 3 = 3 x x + 3 + 1 x + 3 = x + 3 3 x + 1
(vi)
1 2 x 2-3 x + 4 = 1 2 x 2-2 x - x + 4 = 1 2 x x - 4 - 1 x - 4 = x - 4 1 2 x - 1

Página No 55:

Pregunta 2:

Respuesta:


(I)
(X 2 y ndash X) 2 y ndash 8 (X 2 y ndash X) + 12
Dejar X 2 y ndash X = z.
& # 8756 x 2 - x 2-8 x 2 - x + 12 = z 2-8 z + 12 = z 2-6 z - 2 z + 12 = zz - 6-2 z - 6 = z - 6 z - 2
= x 2 - x - 6 x 2 - x - 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = x 2 - x = x 2-3 x + 2 x - 6 x 2 - 2 x + x - 2 = xx - 3 + 2 x - 3 xx - 2 + 1 x - 2 = x - 3 x + 2 x - 2 x + 1
(ii)
(X & ndash 5) 2 & ndash (5X & ndash 25) y ndash 24
= (X & ndash 5) 2 & ndash 5 (X & ndash 5) y ndash 24
Dejar X & ndash 5 = z.
& # 8756 x - 5 2 - 5 x - 5 - 24 = z 2 - 5 z - 24 = z 2 - 8 z + 3 z - 24 = z z - 8 + 3 z - 8 = z - 8 z + 3
= x - 5-8 x - 5 + 3 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = x - 5 = x - 13 x - 2
(iii)
(X 2 y ndash 6X) 2 y ndash 8 (X 2 y ndash 6X + 8) y ndash 64
= (X 2 y ndash 6X) 2 y ndash 8 (X 2 y ndash 6X) y ndash 64 y ndash 64
= (X 2 y ndash 6X) 2 y ndash 8 (X 2 y ndash 6X) y ndash 128
Dejar X 2 y ndash 6X = z.
& # 8756 x 2-6 x 2-8 x 2-6 x - 128 = z 2-8 z - 128 = z 2-16 z + 8 z - 128 = zz - 16 + 8 z - 16 = z - 16 z + 8
= x 2-6 x - 16 x 2-6 x + 8 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = x 2-6 x = x 2-8 x + 2 x - 16 x 2-4 x - 2 x + 8 = xx - 8 + 2 x - 8 xx - 4 - 2 x - 4 = x - 8 x + 2 x - 4 x - 2

(iv)
(X 2 y ndash 2X + 3)(X 2 y ndash 2X + 5) y ndash 35
Dejar X 2 y ndash 2X = z.
& # 8756 x 2 - 2 x + 3 x 2 - 2 x + 5-35 = z + 3 z + 5-35 = z 2 + 5 z + 3 z + 15 - 35 = z 2 + 8 z - 20 = z 2 + 10 z - 2 z - 20
= zz + 10 - 2 z + 10 = z + 10 z - 2 = x 2 - 2 x + 10 x 2 - 2 x - 2 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = x 2 - 2 x
(v)
(y + 2)(y & ndash 3) (y + 8)(y + 3) + 56
= (y + 2)(y + 3)(y + 8)(y & ndash 3) + 56
= (y 2 + 5y + 6)(y 2 + 5y & ndash 24) + 56
Dejar y 2 + 5y = z.
& # 8756 y 2 + 5 y + 6 y 2 + 5 y - 24 + 56 = z + 6 z - 24 + 56 = z 2-18 z - 144 + 56 = z 2-18 z - 88
= z 2 - 22 z + 4 z - 88 = zz - 22 + 4 z - 22 = z - 22 z + 4 = y 2 + 5 y - 22 y 2 + 5 y + 4 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = y 2 + 5 y
= y 2 + 5 y - 22 y 2 + 4 y + y + 4 = y 2 + 5 y - 22 y y + 4 + 1 y + 4 = y 2 + 5 y - 22 y + 4 y + 1
(vi)
(y 2 + 5y)(y 2 + 5y & ndash 2) y ndash 24
Dejar y 2 + 5y = z.
& # 8756 y 2 + 5 yy 2 + 5 y - 2 - 24 = zz - 2 - 24 = z 2 - 2 z - 24 = z 2 - 6 z + 4 z - 24 = zz - 6 + 4 z - 6 = z - 6 z + 4
= y 2 + 5 y - 6 y 2 + 5 y + 4 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = y 2 + 5 y = y 2 + 6 y - y - 6 y 2 + 4 y + y + 4 = yy + 6 - 1 y + 6 yy + 4 + 1 y + 4 = y + 6 y - 1 y + 4 y + 1
(vii)
(X & ndash 3) (X & ndash 4) 2 (X & ndash 5) y ndash 6
= (X & ndash 3) (X & ndash 5) (X y ndash 4) 2 y ndash 6
= (X 2 y ndash 8X + 15)(X 2 y ndash 8X + 16) y ndash 6
Dejar X 2 y ndash 8X = z.
& # 8756 x 2 - 8 x + 15 x 2 - 8 x + 16 - 6 = z + 15 z + 16 - 6 = z 2 + 31 z + 240 - 6 = z 2 + 31 z + 234
= z 2 + 18 z + 13 z + 234 = zz + 18 + 13 z + 18 = z + 18 z + 13 = x 2-8 x + 18 x 2-8 x + 13 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Reemplazar & # 160 z = x 2-8 x

Página No 55:

Pregunta 1:

(i) ¿Cuál de los siguientes es un polinomio?
(A) x y (B) x 2 & # 160 - & # 160 3 x (C) x - 2 & # 160 + & # 160 7 (D) 2 x 2 & # 160 + & # 160 1 2

(ii) ¿Cuál es el grado del polinomio 7?
(A) 1 2 (B) 5 (C) 2 (D) 0

(iii) ¿Cuál es el grado del polinomio 0?

(A) 0 (B) 1 (C) indefinido (D) cualquier número real

(iv) ¿Cuál es el grado del polinomio 2X 2 + 5X 3 + 7?
(A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 7

(v) ¿Cuál es la forma del coeficiente de & # 160 x 3 & # 160 - & # 160 1?
(A) (1, - 1) (B) (3, - 1) (C) (1, 0, 0, - 1) (D) (1, 3, - 1)

(vi) p (x) & # 160 = & # 160 x 2 & # 160 - & # 160 7 7 x & # 160 + & # 160 3 luego p 7 7 & # 160 = & # 160?
(A) 3 (B) 7 7 (C) 42 & # 160 7 & # 160 + & # 160 3 (D) 49 7

(vii) Cuando x & # 160 = & # 160 - & # 160 1, ¿cuál es el valor del polinomio 2?X 3 + 2X ?
(A) 4 (B) 2 (C) - 2 (D) - 4

(viii) Si x - 1 & # 160, ¿cuál es un factor del polinomio 3 x 2 & # 160 + & # 160 m x entonces calcule el valor de metro.
(A) 2 (B) - 2 (C) - 3 (D) 3

(ix) Multiplicar ( X 2 - 3) (2X - 7x 3 + 4) y escribe el grado del producto.
(A) 5 (B) 3 (C) 2 (D) 0

(x) ¿Cuál de los siguientes es un polinomio lineal?

Respuesta:


(I)
En una expresión algebraica, si las potencias de las variables son números enteros, entonces la expresión algebraica es un polinomio.

En la expresión 2 x 2 & # 160 + & # 160 1 2, la potencia de la variable X es 2, que es un número entero. Entonces, la expresión 2 x 2 & # 160 + & # 160 1 2 es un polinomio.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (D).

El grado del polinomio 7 es 0.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (D).

(iii)
El grado del polinomio 0 no está definido.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (C).

(iv)
La potencia más alta de la variable en un polinomio se llama grado del polinomio.

El grado del polinomio 2X 2 + 5X 3 + 7 es 3.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (A).

(v)
& # 160 x 3-1 = x 3 + 0 x 2 + 0 x - 1

La forma del coeficiente del polinomio & # 160 x 3 - 1 es (1, 0, 0 y menos1).

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (C).

& # 8756 p 7 7 = & # 160 7 7 2-7 7 & # 215 7 7 + 3 = 343 - 343 + 3 = 3

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (A).

Por tanto, el valor del polinomio cuando X = & minus1 es & minus4.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (D).

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (C).

(ix)
x 2-3 2 x - 7 x 3 + 4 = x 2 2 x - 7 x 3 + 4-3 2 x - 7 x 3 + 4 = 2 x 3-7 x 5 + 4 x 2-6 x + 21 x 3-12 = - 7 x 5 + 2 x 3 + 21 x 3 + 4 x 2-6 x - 12 = - 7 x 5 + 23 x 3 + 4 x 2-6 x - 12
Por tanto, el grado del polinomio resultante es 5.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (A).

(X)
Un polinomio de grado uno se llama polinomio lineal.

Por tanto, el polinomio X + 5 es un polinomio lineal.

Por tanto, la respuesta correcta es la opción (A).

Página No 56:

Pregunta 2:

Escribe el grado del polinomio para cada uno de los siguientes.

Respuesta:


La potencia más alta de la variable en un polinomio en una variable se llama grado del polinomio.

(I)
El grado del polinomio 5 + 3X 4 es 4.

El grado del polinomio constante 7 es 0.

(iii)
El grado del polinomio hacha 7 + bx 9 es 9.

Página No 56:

Pregunta 3:

Respuesta:


Un polinomio escrito en potencia descendente o ascendente de su variable se denomina forma estándar del polinomio.

(I)
El polinomio dado es 4X 2 + 7X 4 y menos X 3 y menos X + 9 .
La forma estándar del polinomio es 7X 4 y menos X 3 + 4X 2 y menos X + 9 o 9 y menos X + 4X 2 y menos X 3 + 7 X 4 .

(ii)
El polinomio dado es pag + 2pag 3 + 10pag 2 + 5pag 4 y menos 8.

La forma estándar del polinomio es 5pag 4 + 2pag 3 + 10pag 2 + pag & menos 8 o & menos8 + pag + 10pag 2 + 2pag 3 + 5pag 4 .

Página No 56:

Pregunta 4:

Respuesta:


(I)
x 4 + 16 = x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 16

Por lo tanto, el polinomio dado en forma de coeficiente es (1, 0, 0, 0, 16).

(ii)
m 5 + 2 m 2 + 3 m + 15 = m 5 + 0 m 4 + 0 m 3 + 2 m 2 + 3 m + 15

Por lo tanto, el polinomio dado en forma de coeficiente es (1, 0, 0, 2, 3, 15).

Página No 56:

Pregunta 5:

Respuesta:


(I)
La forma del coeficiente del polinomio es (3, & minus2, 0, 7, 18).

Por lo tanto, el índice del polinomio es 3X 4 y menos 2X 3 + 0X 2 + 7X + 18 o 3X 4 y menos 2X 3 + 7X + 18.

(ii)
La forma del coeficiente del polinomio es (6, 1, 0, 7).

Por lo tanto, el índice del polinomio es 6X 3 + X 2 + 0X + 7 o 6X 3 + X 2 + 7.

(iii)
La forma del coeficiente del polinomio es (4, 5 y menos3, 0).

Por lo tanto, el índice del polinomio es 4X 3 + 5X 2 y menos 3X + 0 o 4X 3 + 5X 2 y menos 3X.

Página No 56:

Pregunta 6:

Respuesta:


(I)
7 x 4 - 2 x 3 + x + 10 + 3 x 4 + 15 x 3 + 9 x 2 - 8 x + 2 = 7 x 4 + 3 x 4 - 2 x 3 + 15 x 3 + 9 x 2 + x - 8 x + 10 + 2 = 10 x 4 + 13 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 12
(ii)
3 p 3 q + 2 p 2 q + 7 + 2 p 2 q + 4 pq - 2 p 3 q = 3 p 3 q - 2 p 3 q + 2 p 2 q + 2 p 2 q + 4 pq + 7 = p 3 q + 4 p 2 q + 4 pq + 7

Página No 56:

Pregunta 7:

Respuesta:


(I)
5 x 2 - 2 y + 9 - 3 x 2 + 5 y - 7 = 5 x 2 - 2 y + 9 - 3 x 2 - 5 y + 7 = 5 x 2 - 3 x 2 - 2 y - 5 y + 9 + 7 = 2 x 2-7 y + 16
(ii)
2 x 2 + 3 x + 5 - x 2 - 2 x + 3 = 2 x 2 + 3 x + 5 - x 2 + 2 x - 3 = 2 x 2 - x 2 + 3 x + 2 x + 5-3 = x 2 + 5 x + 2

Página No 56:

Pregunta 8:

Respuesta:


(I)
m 3 - 2 m + 3 m 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 = m 3 m 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 - 2 mm 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 + 3 m 4 - 2 m 2 + 3 m + 2 = m 7-2 m 5 + 3 m 4 + 2 m 3-2 m 5 + 4 m 3-6 m 2-4 m + 3 m 4-6 m 2 + 9 m + 6 = m 7-2 m 5-2 m 5 + 3 m 4 + 3 m 4 + 2 m 3 + 4 m 3-6 m 2-6 m 2-4 m + 9 m + 6 = m 7-4 m 5 + 6 m 4 + 6 m 3-12 m 2 + 5 m + 6
(ii)
5 m 3 - 2 m 2 - m + 3 = 5 m 3 m 2 - m + 3 - 2 m 2 - m + 3 = 5 m 5-5 m 4 + 15 m 3 - 2 m 2 + 2 m - 6

Página No 56:

Pregunta 9:

Respuesta:

Dividendo = 3 x 3-8 x 2 + x + 7


La forma del coeficiente del cociente es (3, 1, 4).

& there4 Cociente = 3X 2 + X + 4 y resto = 19

Página No 56:

Pregunta 10:

Por lo que el valor de metro, X + 3 es el factor del polinomio X 3 - 2mx + 21?

Respuesta:

(X + 3) es el factor del polinomio p x = x 3 - 2 m x + 21.

& # 8756 p - 3 = 0 & # 8658-3 3 - 2 m & # 215-3 + 21 = 0 & # 8658-27 + 6 m + 21 = 0 & # 8658 6 m - 6 = 0 & # 8658 6 m = 6 y # 8658 m = 1
Por tanto, el valor de metro es 1.

Página No 56:

Pregunta 11:

Al final del año 2016, la población de las aldeas Kovad, Varud, Chikhali es de 5X 2 - 3 y 2 , 7 y 2 + 2 xy y 9 X 2 + 4 xy respectivamente. A principios del año 2017, X 2 + xy - y 2 , 5 xy y 3 X 2 + xy personas de cada una de las tres aldeas respectivamente fueron a otra aldea para recibir educación, entonces, ¿cuál es la población total restante de estas tres aldeas?

Respuesta:


Población total de las tres aldeas
= 5 x 2-3 y 2 + 7 y 2 + 2 xy + 9 x 2 + 4 xy = 5 x 2 + 9 x 2-3 y 2 + 7 y 2 + 2 xy + 4 xy = 14 x 2 + 4 y 2 + 6 xy
Número total de personas que fueron a otra aldea para recibir educación
= x 2 + x y - y 2 + 5 x y + 3 x 2 + x y = x 2 + 3 x 2 - y 2 + x y + 5 x y + x y = 4 x 2 - y 2 + 7 x y
& allí4 Población total restante de las tres aldeas = Población total de las tres aldeas & menos Número total de personas que fueron a otra aldea para recibir educación
= 14 x 2 + 4 y 2 + 6 xy - 4 x 2 - y 2 + 7 xy = 14 x 2 + 4 y 2 + 6 xy - 4 x 2 + y 2-7 xy = 14 x 2-4 x 2 + 4 y 2 + y 2 + 6 xy - 7 xy = 10 x 2 + 5 y 2 - xy
Por lo tanto, la población total restante de estas tres aldeas es de 10X 2 + 5y 2 y menos xy.

Página No 56:

Pregunta 12:

Polinomios bx 2 + X + 5 y bx 3 - 2X + 5 se dividen por polinomio X - 3 y los restantes son my norte respectivamente. Si metro - norte = 0 luego encuentre el valor de B.

Respuesta:


Sea p x = b x 2 + x + 5 y q x = b x 3 - 2 x + 5.

El resto cuando p x = b x 2 + x + 5 se divide por (X & menos 3) es metro.

& # 8756 b & # 215 3 3 - 2 & # 215 3 + 5 = n & # 8658 n = 27 b - 6 + 5 & # 8658 n = 27 b - 1 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160. . . . . 2
Ahora,
m - n = 0 & # 8658 9 b + 8 - 27 b - 1 = 0 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 Usando & # 160 1 & # 160 y & # 160 2 & # 8658 9 b - 27 b + 8 + 1 = 0 & # 8658 - 18 b + 9 = 0 & # 8658 - 18 b = - 9 & # 8658 b = - 9 - 18 = 1 2
Por tanto, el valor de B es 1 2.

Página No 56:

Pregunta 13:

Respuesta:


8 m 2 + 3 m - 6 - 9 m - 7 + 3 m 2 - 2 m + 4 = 8 m 2 + 3 m - 6 - 9 m + 7 + 3 m 2 - 2 m + 4 = 8 m 2 + 3 m 2 + 3 m - 9 m - 2 m - 6 + 7 + 4 = 11 m 2-8 m + 5

Página No 56:

Pregunta 14:

De qué polinomio se restará X 2 + 13X + 7 para obtener el polinomio 3X 2 + 5X - 4?

Respuesta:


Dejar pag(X) ser el polinomio que se va a restar de X 2 + 13X + 7 para obtener el polinomio 3X 2 + 5X & menos 4.

Por lo tanto, el polinomio requerido es & minus2X 2 + 8X + 11.

Página No 56:

Pregunta 15:

¿Qué polinomio se suma a 4?metro + 2norte + 3 para obtener el polinomio 6metro + 3norte + 10?

Respuesta:


El polinomio requerido se puede obtener restando el polinomio 4metro + 2norte + 3 de 6metro + 3norte + 10.

Por tanto, el polinomio 2metro + norte + 7 debe agregarse a 4metro + 2norte + 3 para obtener el polinomio 6metro + 3norte + 10.


6.6: Dividir polinomios

Divisor

Honestamente, este es definitivamente un tema difícil. Puede ser difícil de entender, por lo que comenzaremos lentamente y trabajaremos hasta lograrlo.

Dividir un polinomio por un monomio (un término) es un buen punto de partida porque no es tan malo. Digamos que tenemos:

Para poder dividir en este ejemplo, necesitamos dividir cada pieza por 3X y reducir.

Se vuelve mucho más difícil si tenemos que dividir por un binomio (dos términos). Si este es el caso, tenemos que hacer una división larga. Ahora, tendrás que buscar en tu memoria para tratar de recordar cómo hacer una división larga. Trabajemos con un ejemplo básico.

Siete no cabe en 2, así que tenemos que ver cuántas veces cabe en 24 sin pasarse. ¡Siete por tres obras!

comenzar
-21 & \
hline
& 35
fin
(baja el 5)

¿Esto está sonando una campana, todavía? Terminemos.

Intentemos aplicar esto a un polinomio.

Solo tienes que preocuparte por los 2X para empezar. ¿Qué podemos multiplicar 2X por para hacer coincidir 2X 3? La respuesta es X 2 .

Ahora queremos nuestro 2X para igualar -2X 2. Podemos multiplicar por -X.

6X y 25 no se pueden combinar porque no son "términos similares", por lo que lo dejamos como 6X + 25. ¡Casi terminado! Para conseguir 2X para igualar -6X multiplicamos por -3.

No hay forma de conseguir nuestro 2X para hacer coincidir 7 multiplicando, dejamos la última parte de la respuesta en forma de fracción o ( Large frac <7> << 2x - 6 >> ).

Entonces nuestra respuesta final es: ( - x - 3 + Grande frac <7> << 2x - 6 >> ).

¡Uf! ¡Ese es un problema difícil! Intentemos uno más.

Respuesta final: ( - 5k - 1 + Large frac <6> << 2k - 5 >> )

Abajo puedes descargar algunos libre hojas de trabajo y práctica de matemáticas.


Código fuente

Puede descargar la fuente del programa actual y el antiguo subprograma de factorización de polinomios de suma de GitHub. Tenga en cuenta que el código fuente está en lenguaje C y necesita el entorno Emscripten para generar Javascript.

Escrito por Dario Alpern. Última actualización el 1 de julio de 2021.

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