Artículos

3.1: La expansión Cofactor

3.1: La expansión Cofactor


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

La expansión del cofactor

En la Sección [sec: 2_4] definimos el determinante de una matriz (2 times 2 ) (A = leftB begin {array} {cc} a & b c & d end {array} rightB ) de la siguiente manera:1 [ func {det} A = left | begin {matriz} {cc} a & b c & d end {matriz} right | = ad - bc ] y mostró (en el Ejemplo [exa: 004261]) que (A ) tiene una inversa si y solo si det (A neq 0 ). Un objetivo de este capítulo es hacer esto para ninguna matriz cuadrada A. No hay dificultad para las matrices (1 times 1 ): Si (A = leftB a rightB ), definimos ( func {det} A = func {det} leftB a rightB = a ) y observe que (A ) es invertible si y solo si (a neq 0 ).

Si (A ) es (3 times 3 ) e invertible, buscamos una definición adecuada de ( func {det} A ) tratando de llevar (A ) a la matriz identidad por fila operaciones. La primera columna no es cero ( (A ) es invertible); suponga que la entrada (1, 1) (a ) no es cero. Luego, las operaciones de fila dan [A = leftB begin {array} {ccc} a & b & c d & e & f g & h & i end {array} rightB rightarrow leftB begin {matriz} {ccc} a & b & c ad & ae & af ag & ah & ai end {matriz} rightB rightarrow leftB begin {array} {ccc} a & b & c 0 & ae-bd & af-cd 0 & ah-bg & ai-cg end {array} rightB = leftB begin {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & v & ai-cg end {matriz} rightB ] donde (u = ae - bd ) y (v = ah - bg ). Como (A ) es invertible, uno de (u ) y (v ) es distinto de cero (por ejemplo [exa: 004627]); suponga que (u neq 0 ). Luego, la reducción procede [A rightarrow leftB begin {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & v & ai-cg end {array} rightB rightarrow leftB begin {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & uv & u (ai-cg) end {array} rightB rightarrow leftB begin {matriz} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & 0 & w end {matriz} rightB ] donde (w = u (ai - cg) - v ( af - cd) = a (aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi) ). Definimos [ label {eq: detdefinition} func {det} A = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi ] y observamos que ( func {det} A neq 0 ) porque ( a func {det} A = w neq 0 ) (es invertible).

Para motivar la definición a continuación, recopile los términos en la Ecuación [eq: detdefinition] que involucran las entradas (a ), (b ) y (c ) en la fila 1 de (A ): [ comenzar {alineado} func {det} A = left | begin {matriz} {ccc} a & b & c d & e & f g & h & i end {matriz} right | & = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi & = a (ei-fh) - b (di-fg) + c (dh-eg) & = a left | begin {matriz} {cc} e & f h & i end {matriz} right | - b left | begin {matriz} {cc} d & f g & i end {matriz} right | + c left | begin {array} {cc} d & e g & h end {array} right | end {alineado} ] Esta última expresión se puede describir de la siguiente manera: Para calcular el determinante de un (3 times 3 ) matriz (A ), multiplique cada entrada en la fila 1 por un signo por el determinante de la matriz (2 times2 ) obtenida al eliminar la fila y columna de esa entrada, y sume los resultados. Los signos se alternan hacia abajo en la fila 1, comenzando con (+ ). Es esta observación la que generalizamos a continuación.

007706 [ begin {alineado} func {det} leftB begin {array} {rrr} 2 & 3 & 7 - 4 & 0 & 6 1 & 5 & 0 end {array} rightB & = 2 left | begin {array} {rr} 0 & 6 5 & 0 end {array} right | - 3 left | begin {array} {rr} -4 & 6 1 & 0 end {array} right | + 7 left | begin {array} {rr} -4 & 0 1 & 5 end {array} right | & = 2 (-30) - 3 (-6) + 7 (-20) & = -182 end {alineado} ]

Esto sugiere un método inductivo para definir el determinante de cualquier matriz cuadrada en términos de determinantes de matrices un tamaño más pequeño. La idea es definir determinantes de matrices (3 times 3 ) en términos de determinantes de matrices (2 times 2 ), luego hacemos matrices (4 times 4 ) en términos de (3 multiplicado por 3 ) matrices, etc.

Para describir esto, necesitamos algo de terminología.

Cofactores de una matriz 007711 Suponga que se han definido determinantes de matrices ((n - 1) times (n - 1) ). Dada la matriz (n times n ) (A ), deje que [A_ {ij} mbox {denote la} (n - 1) times (n - 1) mbox {matriz obtenida de} A mbox {eliminando la fila} i mbox {y la columna} j. ] Entonces el ((i, j) ) -cofactor (c_ {ij} (A) ) es el escalar definido por [c_ {ij} (A) = (-1) ^ {i + j} func {det} (A_ {ij}) ] Aquí ((- 1) ^ {i + j} ) se llama firmar de la posición ((i, j) ) -.

El signo de una posición es claramente (1 ) o (- 1 ), y el siguiente diagrama es útil para recordarlo: [ leftB begin {array} {ccccc} + & - & + & - & cdots - & + & - & + & cdots + & - & + & - & cdots - & + & - & + & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & end {array} rightB ] Note que los signos se alternan a lo largo de cada fila y columna con (+ ) en la esquina superior izquierda.

007723 Encuentre los cofactores de las posiciones ((1, 2), (3, 1) ) y ((2, 3) ) en la siguiente matriz. [A = leftB begin {array} {rrr} 3 & -1 & 6 5 & 2 & 7 8 & 9 & 4 end {array} rightB ]

Aquí (A_ {12} ) es la matriz ( leftB begin {array} {rr} 5 & 7 8 & 4 end {array} rightB ) que permanece cuando la fila (1 ) y la columna (2 ) se eliminan. El signo de la posición ((1, 2) ) es ((- 1) ^ {1 + 2} = -1 ) (esta es también la entrada ((1, 2) ) - en el signo diagrama), entonces el ((1, 2) ) - cofactor es [c_ {12} (A) = (-1) ^ {1 + 2} left | begin {matriz} {rr} 5 y 7 8 y 4 end {matriz} right | = (- 1) (5 cdot 4 - 7 cdot 8) = (-1) (- 36) = 36 ] Volviendo a la posición ((3, 1) ), encontramos [c_ {31} (A) = (-1) ^ {3 + 1} A_ {31} = (-1) ^ {3 +1} left | begin {array} {rr} -1 & 6 2 & 7 end {array} right | = (+ 1) (- 7-12) = - 19 ] Finalmente, el ((2, 3 ) ) - cofactor es [c_ {23} (A) = (-1) ^ {2 + 3} A_ {23} = (-1) ^ {2 + 3} left | begin {array} {rr} 3 & -1 8 & 9 end {array} right | = (- 1) (27 + 8) = - 35 ] Claramente se pueden encontrar otros cofactores — hay nueve en total, uno para cada posición en la matriz.

Ahora podemos definir ( func {det} A ) para cualquier matriz cuadrada (A )

Expansión del cofactor de una matriz 007740 Suponga que se han definido determinantes de matrices ((n - 1) times (n - 1) ). Si (A = leftB a_ {ij} rightB ) es (n veces n ) define [ func {det} A = a_ {11} c_ {11} (A) + a_ {12} c_ {12} (A) + cdots + a_ {1n} c_ {1n} (A) ] Esto se llama expansión del cofactor de ( func {det} A ) a lo largo de la fila (1 ).

Afirma que ( func {det} A ) se puede calcular multiplicando las entradas de la fila (1 ) por los cofactores correspondientes y sumando los resultados. Lo asombroso es que ( func {det} A ) se puede calcular tomando la expansión del cofactor a lo largo de cualquier fila o columna: Simplemente multiplique cada entrada de esa fila o columna por el cofactor correspondiente y sume.

Teorema de expansión del cofactor007747 El determinante de una matriz (n veces n ) (A ) se puede calcular usando la expansión del cofactor a lo largo de cualquier fila o columna de (A ). Es decir, ( func {det} A ) se puede calcular multiplicando cada entrada de la fila o columna por el cofactor correspondiente y sumando los resultados.

La prueba se dará en la Sección [sec: 3_6].

007753 Calcule el determinante de (A = leftB begin {array} {rrr} 3 & 4 & 5 1 & 7 & 2 9 & 8 & -6 end {array} rightB ).

La expansión del cofactor a lo largo de la primera fila es la siguiente: [ begin {alineado} func {det} A & = 3c_ {11} (A) + 4c_ {12} (A) + 5c_ {13} (A) & = 3 left | begin {matriz} {rr} 7 & 2 8 & -6 end {matriz} right | - 4 izquierda | begin {array} {rr} 1 & 2 9 & -6 end {array} right | + 5 left | begin {matriz} {rr} 1 y 7 9 y 8 end {matriz} right | & = 3 (-58) - 4 (-24) + 5 (-55) & = -353 end {alineado} ] Tenga en cuenta que los signos se alternan a lo largo de la fila (de hecho, a lo largo ninguna fila o columna). Ahora calculamos ( func {det} A ) expandiéndonos a lo largo de la primera columna. [ begin {alineado} func {det} A & = 3c_ {11} (A) + 1c_ {21} (A) + 9c_ {31} (A) & = 3 left | begin {matriz} {rr} 7 & 2 8 & -6 end {matriz} right | - izquierda | begin {matriz} {rr} 4 & 5 8 & -6 end {matriz} right | + 9 izquierda | begin {matriz} {rr} 4 & 5 7 & 2 end {matriz} right | & = 3 (-58) - (-64) + 9 (-27) & = -353 end {alineado} ] Se invita al lector a verificar que ( func {det} A ) se puede calcular expandiendo a lo largo de cualquier otra fila o columna.

El hecho de que la expansión del cofactor a lo largo cualquier fila o columna de una matriz (A ) siempre da el mismo resultado (el determinante de (A )) es notable, por decir lo menos. La elección de una fila o columna en particular puede simplificar el cálculo.

007765 Calcular ( func {det} A ) donde (A = leftB begin {array} {rrrr} 3 & 0 & 0 & 0 5 & 1 & 2 & 0 2 & 6 & 0 & -1 - 6 & 3 & 1 & 0 end {matriz} rightB ).

La primera elección que debemos hacer es qué fila o columna usar en la expansión del cofactor. La expansión implica multiplicar entradas por cofactores, por lo que el trabajo se minimiza cuando la fila o columna contiene tantas entradas cero como sea posible. La fila (1 ) es la mejor opción en esta matriz (la columna (4 ) también funcionaría), y la expansión es [ begin {alineado} func {det} A & = 3c_ {11} ( A) + 0c_ {12} (A) + 0c_ {13} (A) + 0c_ {14} (A) & = 3 left | begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 6 & 0 & -1 3 & 1 & 0 end {array} right | end {alineado} ] Esta es la primera etapa del cálculo, y hemos logrado expresar el determinante de la matriz (4 times 4 ) (A ) en términos del determinante de una matriz (3 times 3 ). La siguiente etapa involucra esta matriz (3 times 3 ). Nuevamente, podemos usar cualquier fila o columna para la expansión del cofactor. Se prefiere la tercera columna (con dos ceros), por lo que [ begin {alineado} func {det} A & = 3 left (0 left | begin {array} {rr} 6 & 0 3 & 1 end {matriz} right | - (-1) left | begin {matriz} {rr} 1 & 2 3 & 1 end {matriz} right | + 0 left | begin {matriz } {rr} 1 y 2 6 y 0 end {matriz} right | right) & = 3 [0 + 1 (-5) + 0] & = -15 end {alineado} ] Esto completa el cálculo.

Calcular el determinante de una matriz (A ) puede ser tedioso. Por ejemplo, si (A ) es una matriz (4 times 4 ), la expansión del cofactor a lo largo de cualquier fila o columna implica calcular cuatro cofactores, cada uno de los cuales involucra el determinante de una (3 times 3 ) matriz. Y si (A ) es (5 times 5 ), ¡la expansión involucra cinco determinantes de (4 times 4 ) matrices! Existe una clara necesidad de algunas técnicas para reducir el trabajo.2

La motivación del método es la observación (ver Ejemplo [exa: 007765]) de que el cálculo de un determinante se simplifica mucho cuando una fila o columna consta principalmente de ceros. (De hecho, cuando una fila o columna consta enteramente de ceros, el determinante es cero; simplemente expanda a lo largo de esa fila o columna).

Recuerde a continuación que un método de creando ceros en una matriz es aplicarle operaciones de fila elementales. Por lo tanto, una pregunta natural es qué efecto tiene tal operación de fila sobre el determinante de la matriz. Resulta que el efecto es fácil de determinar y que elemental columna Las operaciones se pueden utilizar de la misma forma. Estas observaciones conducen a una técnica para evaluar determinantes que reduce en gran medida el trabajo involucrado. La información necesaria se da en el Teorema [thm: 007779].

007779 Sea (A ) una matriz (n times n ).

  1. Si A tiene una fila o columna de ceros, ( func {det} A = 0 ).

  2. Si se intercambian dos filas (o columnas) distintas de (A ), el determinante de la matriz resultante es (- func {det} A ).

  3. Si una fila (o columna) de (A ) se multiplica por una constante (u ), el determinante de la matriz resultante es (u ( func {det} A) ).

  4. Si dos filas (o columnas) distintas de (A ) son idénticas, ( func {det} A = 0 ).

  5. Si se agrega un múltiplo de una fila de (A ) a una fila diferente (o si se agrega un múltiplo de una columna a una columna diferente), el determinante de la matriz resultante es ( func {det} A ).

Demostramos las propiedades 2, 4 y 5 y dejamos el resto como ejercicios.

Propiedad 2. Si (A ) es (n veces n ), esto sigue por inducción en (n ). Si (n = 2 ), la verificación se deja al lector. Si (n> 2 ) y dos filas se intercambian, sea (B ) la matriz resultante. Expande ( func {det} A ) y ( func {det} B ) a lo largo de una fila otro que los dos que se intercambiaron. Las entradas en esta fila son las mismas para (A ) y (B ), pero los cofactores en (B ) son los negativos de los de (A ) (por inducción) porque el correspondiente ((n - 1) times (n - 1) ) las matrices tienen dos filas intercambiadas. Por lo tanto, ( func {det} B = - func {det} A ), según sea necesario. Un argumento similar funciona si se intercambian dos columnas.

Propiedad 4. Si dos filas de (A ) son iguales, sea (B ) la matriz obtenida al intercambiarlas. Entonces (B = A ), entonces ( func {det} B = det A ). Pero ( func {det} B = - func {det} A ) por la propiedad 2, entonces ( func {det} A = func {det} B = 0 ). Nuevamente, el mismo argumento funciona para columnas.

Propiedad 5. Obtenga (B ) de (A = leftB a_ {ij} rightB ) sumando (u ) veces la fila (p ) a la fila (q ). Entonces la fila (q ) de (B ) es [(a_ {q1} + ua_ {p1}, a_ {q2} + ua_ {p2}, dots, a_ {qn} + ua_ {pn}) ] Los cofactores de estos elementos en (B ) son los mismos que en (A ) (no involucran la fila (q )): en símbolos, (c_ {qj} (B) = c_ {qj} (A) ) para cada (j ). Por lo tanto, expandir (B ) a lo largo de la fila (q ) da [ begin {alineado} func {det} B & = (a_ {q1} + ua_ {p1}) c_ {q1} (A) + (a_ {q2} + ua_ {p2}) c_ {q2} (A) + cdots + (a_ {qn} + ua_ {pn}) c_ {qn} (A) & = [a_ {q1} c_ {q1} (A) + a_ {q2} c_ {q2} (A) + cdots + a_ {qn} c_ {qn} (A)] + u [a_ {p1} c_ {q1} (A) + a_ {p2} c_ {q2} (A) + cdots + a_ {pn} c_ {qn} (A)] & = func {det} A + u func {det} C end {alineado} ] donde (C ) es la matriz obtenida de (A ) al reemplazar la fila (q ) por la fila (p ) (y ambas expansiones están a lo largo de la fila (q )). Debido a que las filas (p ) y (q ) de (C ) son iguales, ( func {det} C = 0 ) por la propiedad 4. Por lo tanto, ( func {det} B = func {det} A ), según sea necesario. Como antes, una prueba similar se aplica a las columnas.

Para ilustrar el teorema [thm: 007779], considere los siguientes determinantes.

lX [2] ( left | begin {array} {rrr} 3 & -1 & 2 2 & 5 & 1 0 & 0 & 0 end {array} right | = 0 ) & (porque la última fila consta de ceros)

( left | begin {array} {rrr} 3 & -1 & 5 2 & 8 & 7 1 & 2 & -1 end {array} right | = - left | begin { array} {rrr} 5 & -1 & 3 7 & 8 & 2 - 1 & 2 & 1 end {array} right | ) & (porque se intercambian dos columnas)

( left | begin {array} {rrr} 8 & 1 & 2 3 & 0 & 9 1 & 2 & -1 end {array} right | = 3 left | begin {array } {rrr} 8 & 1 & 2 1 & 0 & 3 1 & 2 & -1 end {array} right | ) & (porque la segunda fila de la matriz de la izquierda es (3 ) multiplicado por la segunda fila de la matriz de la derecha)

( left | begin {array} {rrr} 2 & 1 & 2 4 & 0 & 4 1 & 3 & 1 end {array} right | = 0 ) & (porque dos columnas son idéntico)

( left | begin {array} {rrr} 2 & 5 & 2 - 1 & 2 & 9 3 & 1 & 1 end {array} right | = left | begin {array} {rrr} 0 & 9 & 20 - 1 & 2 & 9 3 & 1 & 1 end {array} right | ) & (porque dos veces la segunda fila de la matriz de la izquierda se agregó a la primera fila)

Los siguientes cuatro ejemplos ilustran cómo se usa el teorema [thm: 007779] para evaluar determinantes.

007817 Evaluar ( func {det} A ) cuando (A = leftB begin {array} {rrr} 1 & -1 & 3 1 & 0 & -1 2 & 1 & 6 end {matriz} rightB ).

La matriz tiene cero entradas, por lo que la expansión a lo largo (digamos) de la segunda fila implicaría algo menos de trabajo. Sin embargo, se puede usar una operación de columna para obtener un cero en la posición ((2, 3 )), es decir, agregar la columna 1 a la columna 3. Como esto no cambia el valor del determinante, obtenemos [ func {det} A = left | begin {array} {rrr} 1 & -1 & 3 1 & 0 & -1 2 & 1 & 6 end {array} right | = left | begin {array} {rrr} 1 & -1 & 4 1 & 0 & 0 2 & 1 & 8 end {array} right | = - left | begin {array} {rr} -1 & 4 1 & 8 end {array} right | = 12 ] donde expandimos la segunda matriz (3 times 3 ) a lo largo de la fila 2.

007825 Si ( func {det} leftB begin {array} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end {array} rightB = 6 ), evaluar ( func {det} A ) donde (A = leftB begin {array} {ccc} a + x & b + y & c + z 3x & 3y & 3z - p & - q & -r end {matriz} rightB ).

Primero, saque los factores comunes de las filas 2 y 3. [ func {det} A = 3 (-1) func {det} leftB begin {array} {ccc} a + x & b + y & c + z x & y & z p & q & r end {matriz} rightB ] Ahora reste la segunda fila de la primera e intercambie las dos últimas filas. [ func {det} A = -3 func {det} leftB begin {matriz} {ccc} a & b & c x & y & z p & q & r end {matriz} rightB = 3 func {det} leftB begin {array} {ccc} a & b & c p & q & r x & y & z end {array} rightB = 3 cdot 6 = 18 ]

El determinante de una matriz es una suma de productos de sus entradas. En particular, si estas entradas son polinomios en (x ), entonces el determinante en sí es un polinomio en (x ). A menudo es interesante determinar qué valores de (x ) hacen que el determinante sea cero, por lo que es muy útil si el determinante se da en forma factorizada. El teorema [thm: 007779] puede ayudar.

007837 Encuentra los valores de (x ) para los cuales ( func {det} A = 0 ), donde (A = leftB begin {array} {ccc} 1 & x & x x & 1 & x x & x & 1 end {matriz} rightB ).

Para evaluar ( func {det} A ), primero reste (x ) multiplicado por la fila 1 de las filas 2 y 3. [ func {det} A = left | begin {matriz} {ccc} 1 & x & x x & 1 & x x & x & 1 end {matriz} right | = left | begin {array} {ccc} 1 & x & x 0 & 1-x ^ 2 & xx ^ 2 0 & xx ^ 2 & 1-x ^ 2 end {array} right | = left | begin {array} {cc} 1-x ^ 2 & xx ^ 2 xx ^ 2 & 1-x ^ 2 end {array} right | ] En esta etapa, podríamos simplemente evaluar el determinante (el resultado es (2x ^ 3-3x ^ 2 + 1 )). Pero luego tendríamos que factorizar este polinomio para encontrar los valores de (x ) que lo hacen cero. Sin embargo, esta factorización se puede obtener directamente factorizando primero cada entrada en el determinante y tomando un factor común de ((1-x) ) de cada fila. [ begin {alineado} func {det} A = left | begin {matriz} {cc} (1-x) (1 + x) & x (1-x) x (1-x) & (1-x) (1 + x) end {matriz} derecha | & = (1-x) ^ 2 left | begin {matriz} {cc} 1 + x & x x & 1 + x end {matriz} right | & = (1-x) ^ 2 (2x + 1) end {alineado} ] Por lo tanto, ( func {det} A = 0 ) significa ((1 - x) ^ 2 (2x + 1) = 0 ), es decir (x = 1 ) o (x = - frac {1} {2} ).

007851 Si se dan (a_1 ), (a_2 ) y (a_3 ), muestre que [ func {det} leftB begin {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 1 & a_2 & a_2 ^ 2 1 & a_3 & a_3 ^ 2 end {matriz} rightB = (a_3-a_1) (a_3-a_2) (a_2-a_1) ]

Comience por restar la fila 1 de las filas 2 y 3, y luego expanda a lo largo de la columna 1: [ func {det} leftB begin {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 1 & a_2 & a_2 ^ 2 1 & a_3 & a_3 ^ 2 end {array} rightB = func {det} leftB begin {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 0 & a_2-a_1 & a_2 ^ 2-a_1 ^ 2 0 & a_3-a_1 & a_3 ^ 2-a_1 ^ 2 end {array} rightB = func {det} leftB begin {array} {cc} a_2-a_1 & a_2 ^ 2 -a_1 ^ 2 a_3-a_1 & a_3 ^ 2-a_1 ^ 2 end {array} rightB ] Ahora ((a_2 - a_1) ) y ((a_3 - a_1) ) son factores comunes en filas 1 y 2, respectivamente, entonces [ begin {alineado} func {det} leftB begin {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 1 & a_2 & a_2 ^ 2 1 & a_3 & a_3 ^ 2 end {matriz} rightB & = (a_2-a_1) (a_3-a_1) func {det} leftB begin {array} {cc} 1 & a_2 + a_1 1 & a_3 + a_1 end {matriz} rightB & = (a_2-a_1) (a_3-a_1) (a_3-a_2) end {alineado} ]

La matriz del ejemplo [exa: 007851] se llama matriz de Vandermonde, y la fórmula para su determinante se puede generalizar al caso (n times n ) (ver Teorema [thm: 008552]).

Si (A ) es una matriz (n por n ), formar (uA ) significa multiplicar todos fila de (A ) por (u ). Aplicando la propiedad 3 del Teorema [thm: 007779], podemos sacar el factor común (u ) de cada fila y así obtener el siguiente resultado útil.

007870 Si A es una matriz (n veces n ), entonces ( func {det} (uA) = u ^ n func {det} A ) para cualquier número (u ).

El siguiente ejemplo muestra un tipo de matriz cuyo determinante es fácil de calcular.

007875 Evaluar ( func {det} A ) si (A = leftB begin {array} {rrrr} a & 0 & 0 & 0 u & b & 0 & 0 v & w & c & 0 x & y & z & d end {matriz} rightB ).

Expanda a lo largo de la fila 1 para obtener ( func {det} A = a left | begin {array} {rrr} b & 0 & 0 w & c & 0 y & z & d end {array } derecha | ). Ahora expanda esto a lo largo de la fila superior para obtener ( func {det} A = ab left | begin {array} {cc} c & 0 z & d end {array} right | = abcd ) , el producto de las principales entradas diagonales.

Una matriz cuadrada se llama matriz triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son cero (como en el Ejemplo [exa: 007875]). Del mismo modo, un matriz triangular superior es uno para el que todas las entradas por debajo de la diagonal principal son cero. A matriz triangular es uno que es triangular superior o inferior. El teorema [thm: 007885] proporciona una regla fácil para calcular el determinante de cualquier matriz triangular. La demostración es como la solución del ejemplo [exa: 007875].

007885 Si A es una matriz triangular cuadrada, det A es el producto de las entradas en la diagonal principal.

El teorema [thm: 007885] es útil en los cálculos de computadora porque es una cuestión de rutina llevar una matriz a forma triangular usando operaciones de fila.

Las matrices de bloques como las del siguiente teorema surgen con frecuencia en la práctica, y el teorema proporciona un método sencillo para calcular sus determinantes. Esto encaja con el ejemplo [exa: 004627].

007890 Considere las matrices ( leftB begin {array} {cc} A & X 0 & B end {array} rightB ) y ( leftB begin {array} {cc} A & 0 Y & B end {array} rightB ) en forma de bloque, donde (A ) y (B ) son matrices cuadradas. Entonces [ func {det} leftB begin {array} {cc} A & X 0 & B end {array} rightB = func {det} A func {det} B mbox {y } func {det} leftB begin {array} {cc} A & 0 Y & B end {array} rightB = func {det} A func {det} B ]

Escribe (T = func {det} leftB begin {array} {cc} A & X 0 & B end {array} rightB ) y procede por inducción en (k ) donde ( A ) es (k multiplicado por k ). Si (k = 1 ), es la expansión del cofactor a lo largo de la columna 1. En general, sea (S_i (T) ) la matriz obtenida de (T ) al eliminar la fila (i ) y la columna 1 Entonces, la expansión del cofactor de ( func {det} T ) a lo largo de la primera columna es [ label {eq: cofexpdeterminant} func {det} T = a_ {11} func {det} (S_1 (T )) - a_ {21} func {det} (S_2 (T)) + cdots pm a_ {k1} func {det} (S_k (T)) ] donde (a_ {11}, a_ { 21}, cdots, a_ {k1} ) son las entradas en la primera columna de (A ). Pero (S_i (T) = leftB begin {array} {cc} S_i (A) & X_i 0 & B end {array} rightB ) para cada (i = 1, 2, cdots , k ), entonces ( func {det} (S_i (T)) = func {det} (S_i (A)) cdot func {det} B ) por inducción. Por lo tanto, la ecuación [eq: cofexpdeterminant] se convierte en [ begin {alineado} func {det} T & = left {a_ {11} func {det} (S_1 (T)) - a_ {21} func {det} (S_2 (T)) + cdots pm a_ {k1} func {det} (S_k (T)) right } func {det} B & = left { func { det} A right } func {det} B end {alineado} ] según sea necesario. La caja triangular inferior es similar.

007910 [ func {det} leftB begin {array} {rrrr} 2 & 3 & 1 & 3 1 & -2 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 4 & 0 & 1 end {matriz} rightB = - left | begin {array} {rrrr} 2 & 1 & 3 & 3 1 & -1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 4 & 1 end {array} derecha | = - izquierda | begin {matriz} {rr} 2 & 1 1 & -1 end {matriz} right | left | begin {matriz} {rr} 1 & 1 4 & 1 end {matriz} right | = - (-3) (- 3) = -9 ]

El siguiente resultado muestra que ( func {det} A ) es una transformación lineal cuando se considera una función de una columna fija de (A ). La prueba es el ejercicio [ej: 3_1_21].

007914 Columnas dadas ( vect {c} _ {1}, cdots, vect {c} _ {j-1}, vect {c} _ {j + 1}, cdots, vect {c} _ {n} ) en ( RR ^ n ), define (T: RR ^ n a RR ) por [T ( vect {x}) = func {det} leftB begin {array} {ccccccc} vect {c} _1 & cdots & vect {c} _ {j-1} & vect {x} & vect {c} _ {j + 1} & cdots & vect {c} _n end {matriz} rightB mbox {para todos} vect {x} mbox {in} RR ^ n ] Luego, para todos ( vect {x} ) y ( vect {y} ) en ( RR ^ n ) y todo (a ) en ( RR ), [T ( vect {x} + vect {y}) = T ( vect {x}) + T ( vect {y}) quad mbox {y} quad T (a vect {x}) = aT ( vect {x}) ]

Ejercicios para 1

soluciones

2

Calcule los determinantes de las siguientes matrices.

( leftB begin {array} {rr} 2 & -1 3 & 2 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rr} 6 & 9 8 & 12 end {matriz} rightB ) ( leftB begin {matriz} {rr} a ^ 2 & ab ab & b ^ 2 end {matriz} rightB ) ( leftB begin {matriz } {cc} a + 1 & a a & a-1 end {matriz} rightB ) ( leftB begin {array} {rr} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrr} 2 & 0 & -3 1 & 2 & 5 0 & 3 & 0 end {matriz} rightB ) ( leftB begin {matriz} {rrr} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end {matriz} rightB ) ( leftB begin {array} {rrr} 0 & a & 0 b & c & d 0 & e & 0 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrr} 1 & b & c b & c & 1 c & 1 & b end {matriz} rightB ) ( leftB begin {array} {rrr} 0 & a & b a & 0 & c b & c & 0 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrrr} 0 & 1 & -1 & 0 3 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 1 5 & 0 & 0 & 7 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 3 & 1 2 & 2 & 6 & 0 - 1 & 0 & -3 & 1 4 & 1 & 12 & 0 end {array} rightB ) ( le ftB begin {array} {rrrr} 3 & 1 & -5 & 2 1 & 3 & 0 & 1 1 & 0 & 5 & 2 1 & 1 & 2 & -1 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrrr} 4 & -1 & 3 & -1 3 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & - 1 & 1 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrrr} 1 & -1 & 5 & 5 3 & 1 & 2 & 4 - 1 & -3 & 8 & 0 1 & 1 & 2 & -1 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & a 0 & 0 & b & p 0 & c & q & k d & s & t & u end {matriz} rightB )

  1. (0)

  2. (-1)

  3. (-39)

  4. (0)

  5. (2abc )

  6. (0)

  7. (-56)

  8. (a B C D)

Muestre que ( func {det} A = 0 ) si (A ) tiene una fila o columna que consta de ceros.

Muestre que el signo de la posición en la última fila y la última columna de (A ) es siempre (+ 1 ).

Muestre que ( func {det} I = 1 ) para cualquier matriz identidad (I ).

Evalúe el determinante de cada matriz reduciéndolo a la forma triangular superior.

( leftB begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2 3 & 1 & 1 2 & -1 & 3 end {array} rightB ) ( leftB begin {array } {rrr} -1 & 3 & 1 2 & 5 & 3 1 & -2 & 1 end {array} rightB ) ( leftB begin {array} {rrrr} -1 & - 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 2 1 & 3 & -1 & 2 end {array} rightB ) ( leftB begin {array } {rrrr} 2 & 3 & 1 & 1 0 & 2 & -1 & 3 0 & 5 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 5 end {array} rightB )

  1. (-17)

  2. (106)

Evaluar mediante inspección superficial:

  1. ( func {det} leftB begin {array} {ccc} a & b & c a + 1 & b + 1 & c + 1 a-1 & b-1 & c-1 end {matriz} rightB )

  2. ( func {det} leftB begin {array} {ccc} a & b & c a + b & 2b & c + b 2 & 2 & 2 end {array} rightB )

  1. (0)

Si ( func {det} leftB begin {array} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end {array} rightB = -1 ) calcular :

  1. ( func {det} leftB begin {array} {ccc} -x & -y & -z 3p + a & 3q + b & 3r + c 2p & 2q & 2r end {array} rightB )

  2. ( func {det} leftB begin {array} {ccc} -2a & -2b & -2c 2p + x & 2q + y & 2r + z 3x & 3y & 3z end {array} rightB )

  1. (12)

Muestra esa:

  1. ( func {det} leftB begin {array} {rrr} p + x & q + y & r + z a + x & b + y & c + z a + p & b + q & c + r end {matriz} rightB = 2 func {det} leftB begin {matriz} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end { matriz} rightB )

  2. ( func {det} leftB begin {array} {rrr} 2a + p & 2b + q & 2c + r 2p + x & 2q + y & 2r + z 2x + a & 2y + b & 2z + c end {matriz} rightB = 9 func {det} leftB begin {matriz} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end { matriz} rightB )

  1. ( func {det} leftB begin {array} {rrr} 2a + p & 2b + q & 2c + r 2p + x & 2q + y & 2r + z 2x + a & 2y + b & 2z + c end {matriz} rightB )
    (= 3 func {det} leftB begin {array} {rrr} a + p + x & b + q + y & c + r + z 2p + x & 2q + y & 2r + z 2x + a & 2y + b & 2z + c end {matriz} rightB )
    (= 3 func {det} leftB begin {array} {rrr} a + p + x & b + q + y & c + r + z pa & qb & rc xp & yq & zr end {matriz} rightB )
    (= 3 func {det} leftB begin {array} {rrr} 3x & 3y & 3z p-a & q-b & r-c x-p & y-q & z-r end {array} rightB cdots )

En cada caso, pruebe la afirmación o dé un ejemplo que demuestre que es falsa:

  1. ( func {det} (A + B) = func {det} A + func {det} B. )

  2. Si ( func {det} A = 0 ), entonces (A ) tiene dos filas iguales.

  3. Si (A ) es (2 times 2 ), entonces ( func {det} (A ^ T) = func {det} A ).

  4. Si (R ) es la forma escalonada reducida de (A ), entonces ( func {det} A = func {det} R ).

  5. Si (A ) es (2 times 2 ), entonces ( func {det} (7A) = 49 func {det} A ).

  6. ( func {det} (A ^ T) = - func {det} A ).

  7. ( func {det} (- A) = - func {det} A ).

  8. Si ( func {det} A = func {det} B ) donde (A ) y (B ) tienen el mismo tamaño, entonces (A ) = (B ).

  1. Falso. (A = leftB begin {array} {rr} 1 & 1 2 & 2 end {array} rightB )

  2. Falso. (A = leftB begin {array} {rr} 2 & 0 0 & 1 end {array} rightB rightarrowR = leftB begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {matriz} rightB )

  3. Falso. (A = leftB begin {array} {rr} 1 & 1 0 & 1 end {array} rightB )

  4. Falso. (A = leftB begin {array} {rr} 1 & 1 0 & 1 end {array} rightB ) y (B = leftB begin {array} {rr} 1 & 0 1 & 1 end {matriz} rightB )

Calcule el determinante de cada matriz, usando el teorema [thm: 007890].

  1. ( leftB begin {array} {rrrrr} 1 & -1 & 2 & 0 & -2 0 & 1 & 0 & 4 & 1 1 & 1 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 end {array} rightB )

  2. ( leftB begin {array} {rrrrr} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 - 1 & 3 & 1 & 4 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 3 & 0 & 1 end {array} rightB )

  1. (35)

Si ( func {det} A = 2, func {det} B = -1 ) y ( func {det} C = 3 ), encuentre:

( func {det} leftB begin {array} {ccc} A & X & Y 0 & B & Z 0 & 0 & C end {array} rightB ) ( func { det} leftB begin {array} {ccc} A & 0 & 0 X & B & 0 Y & Z & C end {array} rightB ) ( func {det} leftB begin {array} {ccc} A & X & Y 0 & B & 0 0 & Z & C end {array} rightB ) ( func {det} leftB begin {array} { ccc} A & X & 0 0 & B & 0 Y & Z & C end {array} rightB )

  1. (-6)

  2. (-6)

Si (A ) tiene tres columnas con solo las dos entradas superiores distintas de cero, muestre que ( func {det} A = 0 ).

  1. Encuentra ( func {det} A ) si (A ) es (3 times 3 ) y ( func {det} (2A) = 6 ).

  2. ¿En qué condiciones es ( func {det} (- A) = func {det} A )?

Evalúe agregando primero todas las demás filas a la primera fila.

  1. ( func {det} leftB begin {array} {ccc} x-1 & 2 & 3 2 & -3 & x-2 - 2 & x & -2 end {array} rightB )

  2. ( func {det} leftB begin {array} {ccc} x-1 & -3 & 1 2 & -1 & x-1 - 3 & x + 2 & -2 end {array } rightB )

  1. (- (x-2) (x ^ 2 + 2x-12) )

  1. Encuentra (b ) if ( func {det} leftB begin {array} {rrr} 5 & -1 & x 2 & 6 & y - 5 & 4 & z end {array} rightB = ax + by + cz ).

  2. Encuentra (c ) if ( func {det} leftB begin {array} {rrr} 2 & x & -1 1 & y & 3 - 3 & z & 4 end {array} rightB = ax + by + cz ).

  1. (-7)

Encuentra los números reales (x ) y (y ) tales que ( func {det} A = 0 ) si:

(A = leftB begin {array} {rrr} 0 & x & y y & 0 & x x & y & 0 end {array} rightB ) (A = leftB begin {matriz} {rrr} 1 & x & x - x & -2 & x - x & -x & -3 end {matriz} rightB ) (A = leftB begin {matriz} {rrrr} 1 & x & x ^ 2 & x ^ 3 x & x ^ 2 & x ^ 3 & 1 x ^ 2 & x ^ 3 & 1 & x x ^ 3 & 1 & x & x ^ 2 end {matriz} rightB ) (A = leftB begin {matriz} {rrrr} x & y & 0 & 0 0 & x & y & 0 0 & 0 & x & y y & 0 & 0 & x end {matriz} rightB )

  1. ( pm frac { sqrt {6}} {2} )

  2. (x = pm y )

Muestra esa
( func {det} leftB begin {array} {rrrr} 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & x & x 1 & x & 0 & x 1 & x & x & 0 end {matriz} rightB = -3x ^ 2 )

Muestra esa
( func {det} leftB begin {array} {rrrr} 1 & x & x ^ 2 & x ^ 3 a & 1 & x & x ^ 2 p & b & 1 & x q & r & c & 1 end {matriz} rightB = (1-ax) (1-bx) (1-cx). )

[ej: 3.1.19] Dado el polinomio (p (x) = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + x ^ 4 ), la matriz (C = leftB begin {array} {rrrr } 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 - a & -b & -c & -d end {array} rightB ) se llama la matriz compañera de (p (x) ). Muestre que ( func {det} (xI - C) = p (x) ).

Muestra esa
( func {det} leftB begin {array} {rrr} a + x & b + x & c + x b + x & c + x & a + x c + x & a + x & b + x end {matriz} rightB = (a + b + c + 3x) [(ab + ac + bc) - (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)] )

[ej: 3_1_21]. Demuestre el teorema [thm: 007914]. [Pista: Expande el determinante a lo largo de la columna j.]

Deje ( vect {x} = leftB begin {matriz} {c} x_1 x_2 vdots x_n end {matriz} rightB ), ( vect {y} = leftB begin {array} {c} y_1 y_2 vdots y_n end {array} rightB ) y (A = leftB begin {array} {ccccc} vect {c} _1 & cdots & vect {x} + vect {y} & cdots & vect {c} _n end {matriz} rightB ) donde ( vect {x} + vect {y} ) es en la columna (j ). Expandiendo ( func {det} A ) a lo largo de la columna (j ) (la que contiene ( vect {x} + vect {y} )):

[egin{aligned}T(vect{x} + vect{y}) = func{det } A &= sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i)c_{ij}(A) &= sum_{i=1}^{n} x_ic_{ij}(A) + sum_{i=1}^{n} y_ic_{ij}(A)&= T(vect{x}) + T(vect{y})end{aligned}]

Similarly for (T(avect{x}) = aT(vect{x})).

Show that [func{det} leftB egin{array}{ccccc}0 & 0 & cdots & 0 & a_1 & 0 & cdots & a_2 & * vdots & vdots & & vdots & vdots & a_{n-1} & cdots & * & * a_n & * & cdots & * & *end{array} ightB=(-1)^k a_1a_2 cdots a_n] where either (n = 2k) or (n = 2k + 1), and (*)-entries are arbitrary.

By expanding along the first column, show that: [func{det} leftB egin{array}{ccccccc}1 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{array} ightB= 1 + (-1)^{n+1}]

if the matrix is (n imes n, n geq 2).

Form matrix (B) from a matrix (A) by writing the columns of (A) in reverse order. Express (func{det } B) in terms of (func{det } A).

If (A) is (n imes n), then (func{det } B = (-1)^k func{det } A) where (n = 2k) or (n = 2k + 1).

Prove property 3 of Theorem [thm:007779] by expanding along the row (or column) in question.

Show that the line through two distinct points ((x_{1}, y_{1})) and ((x_{2}, y_{2})) in the plane has equation [func{det}leftB egin{array}{ccc}x & y & 1 x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1end{array} ightB = 0]

Let (A) be an (n imes n) matrix. Given a polynomial (p(x) = a_0 + a_1x + cdots + a_mx^m), we write
(p(A) = a_{0}I + a_1A + cdots + a_mA^m).

For example, if (p(x) = 2-3x+5x^2), then
(p(A) = 2I -3A +5A^2). El polinomio característico of (A) is defined to be (c_A(x) = func{det} [xI - A]), and the Cayley-Hamilton theorem asserts that (c_A(A) = 0) for any matrix (A).

  1. 2
    1. (A = leftB egin{array}{rr}3 & 2 1 & -1end{array} ightB)

    2. (A = leftB egin{array}{rrr}1 & -1 & 1 & 1 & 0 8 & 2 & 2end{array} ightB)

  2. Prove the theorem for (A = leftB egin{array}{rr}a & b c & dend{array} ightB)


  1. Determinants are commonly written (|A| = func{det } A) using vertical bars. We will use both notations.↩

  2. If (A = leftB egin{array}{rrr}a & b & c d & e & f g & h & iend{array} ightB) we can calculate (func{det } A) by considering (leftB egin{array}{rrrrr}a & b & c & a & bd & e & f & d & e g & h & i & g & hend{array} ightB) obtained from (A) by adjoining columns (1) and (2) on the right. Then (func{det } A = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi), where the positive terms (aei, bfg,) and (cdh) are the products down and to the right starting at (a,b), and (c), and the negative terms (ceg, afh), and (bdi) are the products down and to the left starting at (c, a), and (b). Warning: This rule does no apply to (n imes n) matrices where (n > 3) or (n = 2).↩


Ver el vídeo: Linear. Minor and cofactor (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Marcus

    No absolutamente necesario para mí.

  2. Lange

    In my opinion it already was discussed, use search.

  3. Tekora

    Considero, que estás equivocado. Puedo defender la posición. Escríbeme en PM, hablaremos.

  4. Yedidyah

    To fill a blank?

  5. Taujas

    Estas equivocado. Propongo discutirlo.

  6. Pepin

    Tal publicación no es una pena imprimir, rara vez encontrará una en Internet, ¡gracias!



Escribe un mensaje