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5.1: Composición de funciones
subsection {Ejercicios}
En Ejercicios ref {funccompeval1first} - ref {funccompeval1last}, use el par de funciones dado para encontrar los siguientes valores, si existen.
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) $
item $ (f circ g) (- 1) $
item $ (f circ f) (2) $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
elemento $ (g circ f) (- 3) $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) $
item $ (f circ f) (- 2) $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
item $ f (x) = x ^ 2 $, $ g (x) = 2x + 1 $ label {funccompeval1first}
elemento $ f (x) = 4-x $, $ g (x) = 1-x ^ 2 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
artículo $ f (x) = 4-3x $, $ g (x) = | x | $
artículo $ f (x) = | x-1 | $, $ g (x) = x ^ 2-5 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = 4x + 5 $, $ g (x) = sqrt {x} $
item $ f (x) = sqrt {3-x} $, $ g (x) = x ^ 2 + 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = 6-x-x ^ 2 $, $ g (x) = x sqrt {x + 10} $
item $ f (x) = sqrt [3] {x + 1} $, $ g (x) = 4x ^ 2-x $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {3} {1-x} $, $ g (x) = dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} $
item $ f (x) = dfrac {x} {x + 5} $, $ g (x) = dfrac {2} {7-x ^ 2} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {2x} {5-x ^ 2} $, $ g (x) = sqrt {4x + 1} $
item $ f (x) = sqrt {2x + 5} $, $ g (x) = dfrac {10x} {x ^ 2 + 1} $ label {funccompeval1last}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
En Ejercicios ref {funccompexp1first} - ref {funccompexp1last}, use el par de funciones dado para encontrar y simplificar expresiones para las siguientes funciones y establecer el dominio de cada una usando notación de intervalo.
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) $
item $ (f circ g) (x) $
item $ (f circ f) (x) $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = 2x + 3 $, $ g (x) = x ^ 2-9 $ label {funccompexp1first}
item $ f (x) = x ^ 2 -x + 1 $, $ g (x) = 3x-5 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
artículo $ f (x) = x ^ 2-4 $, $ g (x) = | x | $
item $ f (x) = 3x-5 $, $ g (x) = sqrt {x} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
elemento $ f (x) = | x + 1 | $, $ g (x) = sqrt {x} $
item $ f (x) = 3-x ^ 2 $, $ g (x) = sqrt {x + 1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
elemento $ f (x) = | x | $, $ g (x) = sqrt {4-x} $
item $ f (x) = x ^ 2-x-1 $, $ g (x) = sqrt {x-5} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = 3x-1 $, $ g (x) = dfrac {1} {x + 3} $
item $ f (x) = dfrac {3x} {x-1} $, $ g (x) = dfrac {x} {x-3} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {x} {2x + 1} $, $ g (x) = dfrac {2x + 1} {x} $
item $ f (x) = dfrac {2x} {x ^ 2-4} $, $ g (x) = sqrt {1-x} $
label {funccompexp1last}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
salto de página
En Ejercicios ref {threefunccompfirst} - ref {threefunccomplast}, use $ f (x) = -2x $, $ g (x) = sqrt {x} $ y $ h (x) = | x | $ para encontrar y simplifique expresiones para las siguientes funciones y establezca el dominio de cada una usando notación de intervalo.
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (h circ g circ f) (x) $ label {threefunccompfirst}
item $ (h circ f circ g) (x) $
item $ (g circ f circ h) (x) $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (g circ h circ f) (x) $
item $ (f circ h circ g) (x) $
item $ (f circ g circ h) (x) $ label {threefunccomplast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
En Ejercicios ref {breakdowncompexfirst} - ref {breakdownxomexlast}, escriba la función dada como una composición de dos o más funciones sin identidad. (Hay varias respuestas correctas, así que verifique su respuesta usando la composición de funciones).
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ p (x) = (2x + 3) ^ 3 $ label {breakdowncompexfirst}
item $ P (x) = left (x ^ 2-x + 1 right) ^ 5 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ h (x) = sqrt {2x-1} $
artículo $ H (x) = | 7-3x | $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ r (x) = dfrac {2} {5x + 1} $
item $ R (x) = dfrac {7} {x ^ 2-1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ q (x) = dfrac {| x | +1} {| x | -1} $
item $ Q (x) = dfrac {2x ^ 3 + 1} {x ^ 3-1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ v (x) = dfrac {2x + 1} {3-4x} $
item $ w (x) = dfrac {x ^ 2} {x ^ 4 + 1} $ label {breakdownxomexlast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item Escribe la función $ F (x) = sqrt { dfrac {x ^ {3} + 6} {x ^ {3} - 9}} $ como una composición de tres o más funciones sin identidad.
item Sea $ g (x) = -x, , h (x) = x + 2, , j (x) = 3x $ y $ k (x) = x - 4 $. ¿En qué orden deben componerse estas funciones con $ f (x) = sqrt {x} $ para crear $ F (x) = 3 sqrt {-x + 2} - 4 $?
item ¿Qué funciones lineales podrían usarse para transformar $ f (x) = x ^ {3} $ en $ F (x) = - frac {1} {2} (2x - 7) ^ {3} + 1 $ ? ¿Cuál es el orden correcto de composición?
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
En los Ejercicios ref {pointcompexfirst} - ref {pointcompexlast}, sea $ f $ la función definida por [f = {(- 3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, -1) } ] y sea $ g $ la función definida [g = {(- 3, -2) , (-2, 0), (-1, -4), (0, 0), (1, -3), (2, 1), (3, 2) } ]. Encuentre el valor si existe.
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (f circ g) (3) $ label {pointcompexfirst}
item $ f (g (-1)) $
item $ (f circ f) (0) $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (f circ g) (- 3) $
item $ (g circ f) (3) $
elemento $ g (f (-3)) $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
elemento $ (g circ g) (- 2) $
elemento $ (g circ f) (- 2) $
elemento $ g (f (g (0))) $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
elemento $ f (f (f (-1))) $
item $ f (f (f (f (f (1))))) $
item $ underbrace {(g circ g circ cdots circ g)} _ { mbox {$ n $ times}} (0) $ label {pointcompexlast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
%salto de página
En Ejercicios ref {twofuncgraphcompfirst} - ref {twofuncgraphcomplast}, use las gráficas de $ y = f (x) $ y $ y = g (x) $ a continuación para encontrar el valor de la función.
begin {center}
begin {tabular} {cc}
begin {mfpic} [20] {- 1} {5} {- 1} {5}
ejes
tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $}
tlabel [cc] (0.5,5) { scriptsize $ y $}
xmarks {1,2,3,4}
ymarks {1,2,3,4}
tlpointsep {5pt}
scriptsize
axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}
axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}
polyline {(0,4), (1,2), (2,3), (3,3), (4,0)}
point [3pt] {(0,4), (1,2), (2,3), (3,3), (4,0)}
alla normal
tcaption {$ y = f (x) $}
end {mfpic}
&
hspace {1in}
begin {mfpic} [20] {- 1} {5} {- 1} {5}
ejes
tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $}
tlabel [cc] (0.5,5) { scriptsize $ y $}
xmarks {1,2,3,4}
ymarks {1,2,3,4}
tlpointsep {5pt}
scriptsize
axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}
axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}
polyline {(0,0), (1,3), (2,3), (3,0), (4,4)}
point [3pt] {(0,0), (1,3), (2,3), (3,0), (4,4)}
alla normal
tcaption {$ y = g (x) $}
end {mfpic}
end {tabular}
end {centro}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (g circ f) (1) $ label {twofuncgraphcompfirst}
item $ (f circ g) (3) $
item $ (g circ f) (2) $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (f circ g) (0) $
item $ (f circ f) (1) $
item $ (g circ g) (1) $ label {twofuncgraphcomplast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item El volumen $ V $ de un cubo es una función de la longitud de sus lados $ x $. Supongamos que $ x = t + 1 $ también es función del tiempo $ t $, donde $ x $ se mide en pulgadas y $ t $ en minutos. Encuentre una fórmula para $ V $ en función de $ t $.
item Suponga que un vendedor local cobra $ $ 2 $ por hot dog y que la cantidad de hot dogs vendidos por hora $ x $ viene dada por $ x (t) = -4t ^ 2 + 20t + 92 $, donde $ t $ es el número de horas desde $ 10 $ AM, $ 0 leq t leq 4 $.
begin {enumerate}
item Encuentre una expresión para los ingresos por hora $ R $ en función de $ x $.
item Encuentra y simplifica $ left (R circ x right) (t) $. ¿Qué representa esto?
item ¿Cuáles son los ingresos por hora al mediodía?
end {enumerate}
item Discuta con sus compañeros de clase cómo los procesos del "mundo real", como completar formularios de impuestos federales sobre la renta o calcular la calificación final del curso, podrían verse como un uso de la composición de funciones. Encuentre un proceso para el que la composición consigo misma (iteración) tenga sentido.
end {enumerate}
ueva pagina
subsection {Respuestas}
begin {enumerate}
item Para $ f (x) = x ^ 2 $ y $ g (x) = 2x + 1 $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = 1 $
item $ (f circ g) (- 1) = 1 $
item $ (f circ f) (2) = 16 $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
elemento $ (g circ f) (- 3) = 19 $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = 4 $
elemento $ (f circ f) (- 2) = 16 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = 4-x $ y $ g (x) = 1-x ^ 2 $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = -15 $
elemento $ (f circ g) (- 1) = 4 $
item $ (f circ f) (2) = 2 $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
elemento $ (g circ f) (- 3) = -48 $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {13} {4} $
item $ (f circ f) (- 2) = -2 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = 4-3x $ y $ g (x) = | x | $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = 4 $
item $ (f circ g) (- 1) = 1 $
item $ (f circ f) (2) = 10 $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) = 13 $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {5} {2} $
elemento $ (f circ f) (- 2) = -26 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = | x-1 | $ y $ g (x) = x ^ 2-5 $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = -4 $
item $ (f circ g) (- 1) = 5 $
item $ (f circ f) (2) = 0 $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
elemento $ (g circ f) (- 3) = 11 $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {23} {4} $
item $ (f circ f) (- 2) = 2 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = 4x + 5 $ y $ g (x) = sqrt {x} $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = sqrt {5} $
item $ (f circ g) (- 1) $ no es real
item $ (f circ f) (2) = 57 $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) $ no es real
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = 5 + 2 sqrt {2} $
elemento $ (f circ f) (- 2) = -7 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = sqrt {3-x} $ y $ g (x) = x ^ 2 + 1 $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = 4 $
item $ (f circ g) (- 1) = 1 $
item $ (f circ f) (2) = sqrt {2} $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
elemento $ (g circ f) (- 3) = 7 $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac { sqrt {7}} {2} $
elemento $ (f circ f) (- 2) = sqrt {3 - sqrt {5}} $
end {itemize}
end {multicols}
salto de página
item Para $ f (x) = 6-x-x ^ 2 $ y $ g (x) = x sqrt {x + 10} $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = 24 $
item $ (f circ g) (- 1) = 0 $
item $ (f circ f) (2) = 6 $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) = 0 $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {27-2 sqrt {42}} {8} $
elemento $ (f circ f) (- 2) = -14 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = sqrt [3] {x + 1} $ y $ g (x) = 4x ^ 2-x $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = 3 $
item $ (f circ g) (- 1) = sqrt [3] {6} $
item $ (f circ f) (2) = sqrt [3] { sqrt [3] {3} +1} $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) = 4 sqrt [3] {4} + sqrt [3] {2} $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac { sqrt [3] {12}} {2} $
item $ (f circ f) (- 2) = 0 $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = frac {3} {1-x} $ y $ g (x) = frac {4x} {x ^ 2 + 1} $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = frac {6} {5} $
item $ (f circ g) (- 1) = 1 $
item $ (f circ f) (2) = frac {3} {4} $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) = frac {48} {25} $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = -5 $
item $ (f circ f) (- 2) $ no está definido
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = frac {x} {x + 5} $ y $ g (x) = frac {2} {7-x ^ 2} $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = frac {2} {7} $
item $ (f circ g) (- 1) = frac {1} {16} $
item $ (f circ f) (2) = frac {2} {37} $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) = frac {8} {19} $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {8} {143} $
item $ (f circ f) (- 2) = - frac {2} {13} $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = frac {2x} {5-x ^ 2} $ y $ g (x) = sqrt {4x + 1} $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = 1 $
item $ (f circ g) (- 1) $ no es real
item $ (f circ f) (2) = - frac {8} {11} $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) = sqrt {7} $
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = sqrt {3} $
item $ (f circ f) (- 2) = frac {8} {11} $
end {itemize}
end {multicols}
item Para $ f (x) = sqrt {2x + 5} $ y $ g (x) = frac {10x} {x ^ 2 + 1} $,
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (0) = frac {5 sqrt {5}} {3} $
item $ (f circ g) (- 1) $ no es real
item $ (f circ f) (2) = sqrt {11} $
end {itemize}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {itemize}
item $ (g circ f) (- 3) $ no es real
item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = sqrt {13} $
elemento $ (f circ f) (- 2) = sqrt {7} $
end {itemize}
end {multicols}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item Para $ f (x) = 2x + 3 $ y $ g (x) = x ^ 2-9 $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = 4x ^ 2 + 12x $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ g) (x) = 2x ^ 2-15 $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ f) (x) = 4x + 9 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
salto de página
item Para $ f (x) = x ^ 2 -x + 1 $ y $ g (x) = 3x-5 $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = 3x ^ 2-3x-2 $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ g) (x) = 9x ^ 2-33x + 31 $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-2x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 1 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = x ^ 2-4 $ y $ g (x) = | x | $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = | x ^ 2-4 | $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ g) (x) = | x | ^ 2-4 = x ^ 2-4 $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-8x ^ 2 + 12 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = 3x-5 $ y $ g (x) = sqrt {x} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = sqrt {3x-5} $, dominio: $ left [ frac {5} {3}, infty right) $
item $ (f circ g) (x) = 3 sqrt {x} -5 $, dominio: $ [0, infty) $
item $ (f circ f) (x) = 9x-20 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = | x + 1 | $ y $ g (x) = sqrt {x} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = sqrt {| x + 1 |} $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ g) (x) = | sqrt {x} +1 | = sqrt {x} + 1 $, dominio: $ [0, infty) $
item $ (f circ f) (x) = || x + 1 | +1 | = | x + 1 | + 1 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = 3-x ^ 2 $ y $ g (x) = sqrt {x + 1} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = sqrt {4-x ^ 2} $, dominio: $ [- 2,2] $
item $ (f circ g) (x) = 2-x $, dominio: $ [- 1, infty) $
item $ (f circ f) (x) = -x ^ 4 + 6x ^ 2-6 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = | x | $ y $ g (x) = sqrt {4-x} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = sqrt {4- | x |} $, dominio: $ [- 4,4] $
item $ (f circ g) (x) = | sqrt {4-x} | = sqrt {4-x} $, dominio: $ (- infty, 4] $
item $ (f circ f) (x) = | | x | | = | x | $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
salto de página
item Para $ f (x) = x ^ 2-x-1 $ y $ g (x) = sqrt {x-5} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = sqrt {x ^ 2-x-6} $, dominio: $ (- infty, -2] cup [3, infty) $
item $ (f circ g) (x) = x-6- sqrt {x-5} $, dominio: $ [5, infty) $
item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-2x ^ 3-2x ^ 2 + 3x + 1 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = 3x-1 $ y $ g (x) = frac {1} {x + 3} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = frac {1} {3x + 2} $, dominio: $ left (- infty, - frac {2} {3} right) cup izquierda (- frac {2} {3}, infty right) $
item $ (f circ g) (x) = - frac {x} {x + 3} $, dominio: $ left (- infty, -3 right) cup left (-3, infty right) $
item $ (f circ f) (x) = 9x-4 $, dominio: $ (- infty, infty) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = frac {3x} {x-1} $ y $ g (x) = frac {x} {x-3} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = x $, dominio: $ left (- infty, 1 right) cup (1, infty) $
item $ (f circ g) (x) = x $, dominio: $ left (- infty, 3 right) cup (3, infty) $
item $ (f circ f) (x) = frac {9x} {2x + 1} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup izquierda (- frac {1} {2}, 1 right) cup left (1, infty right) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = frac {x} {2x + 1} $ y $ g (x) = frac {2x + 1} {x} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = frac {4x + 1} {x} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup izquierda (- frac {1} {2}, 0), cup (0, infty right) $
item $ (f circ g) (x) = frac {2x + 1} {5x + 2} $, dominio: $ left (- infty, - frac {2} {5} right) taza izquierda (- frac {2} {5}, 0 derecha) taza (0, infty) $
item $ (f circ f) (x) = frac {x} {4x + 1} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup izquierda (- frac {1} {2}, - frac {1} {4} derecha) taza izquierda (- frac {1} {4}, infty derecha) $
end {itemize}
item Para $ f (x) = frac {2x} {x ^ 2-4} $ y $ g (x) = sqrt {1-x} $
begin {itemize}
item $ (g circ f) (x) = sqrt { frac {x ^ 2-2x-4} {x ^ 2-4}} $, dominio: $ left (- infty, -2 derecha) cup left [1- sqrt {5}, 2 right) cup left [1+ sqrt {5}, infty right) $
item $ (f circ g) (x) = - frac {2 sqrt {1-x}} {x + 3} $, dominio: $ left (- infty, -3 right) cup left (-3, 1 right] $
item $ (f circ f) (x) = frac {4x-x ^ 3} {x ^ 4-9x ^ 2 + 16} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1 + sqrt {17}} {2} right) cup left (- frac {1+ sqrt {17}} {2}, -2 right) cup left (-2, frac { 1- sqrt {17}} {2} right) cup left ( frac {1- sqrt {17}} {2}, frac {-1+ sqrt {17}} {2} derecha) taza izquierda ( frac {-1+ sqrt {17}} {2}, 2 derecha) taza izquierda (2, frac {1+ sqrt {17}} {2} derecha ) taza izquierda ( frac {1+ sqrt {17}} {2}, infty right) $
end {itemize}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (h circ g circ f) (x) = | sqrt {-2x} | = sqrt {-2x} $, dominio: $ (- infty, 0] $
item $ (h circ f circ g) (x) = | -2 sqrt {x} | = 2 sqrt {x} $, dominio: $ [0, infty) $
item $ (g circ f circ h) (x) = sqrt {-2 | x |} $, dominio: $ {0 } $
item $ (g circ h circ f) (x) = sqrt {| -2x |} = sqrt {2 | x |} $, dominio: $ (- infty, infty) $
item $ (f circ h circ g) (x) = -2 | sqrt {x} | = -2 sqrt {x} $, dominio: $ [0, infty) $
item $ (f circ g circ h) (x) = -2 sqrt {| x |} $, dominio: $ (- infty, infty) $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item Sea $ f (x) = 2x + 3 $ y $ g (x) = x ^ 3 $, luego $ p (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = x ^ 2-x + 1 $ y $ g (x) = x ^ 5 $, $ P (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = 2x-1 $ y $ g (x) = sqrt {x} $, luego $ h (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = 7-3x $ y $ g (x) = | x | $, luego $ H (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = 5x + 1 $ y $ g (x) = frac {2} {x} $, luego $ r (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = x ^ 2-1 $ y $ g (x) = frac {7} {x} $, luego $ R (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = | x | $ y $ g (x) = frac {x + 1} {x-1} $, luego $ q (x) = (g circ f) (x) PS
item Sea $ f (x) = x ^ 3 $ y $ g (x) = frac {2x + 1} {x-1} $, luego $ Q (x) = (g circ f) (x) PS
item Sea $ f (x) = 2x $ y $ g (x) = frac {x + 1} {3-2x} $, luego $ v (x) = (g circ f) (x) $.
item Sea $ f (x) = x ^ 2 $ y $ g (x) = frac {x} {x ^ 2 + 1} $, luego $ w (x) = (g circ f) (x) PS
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ F (x) = sqrt { frac {x ^ {3} + 6} {x ^ {3} - 9}} = (h (g (f (x))) $ donde $ f (x ) = x ^ {3}, , g (x) = frac {x + 6} {x - 9} $ y $ h (x) = sqrt {x} $.
item $ F (x) = 3 sqrt {-x + 2} - 4 = k (j (f (h (g (x))))) $
item Una posible solución es $ F (x) = - frac {1} {2} (2x - 7) ^ {3} + 1 = k (j (f (h (g (x))))) $ donde $ g (x) = 2x, , h (x) = x - 7, , j (x) = - frac {1} {2} x $ y $ k (x) = x + 1 $. También podrías tener $ F (x) = H (f (G (x))) $ donde $ G (x) = 2x - 7 $ y $ H (x) = - frac {1} {2} x + 1 $.
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (f circ g) (3) = f (g (3)) = f (2) = 4 $
item $ f (g (-1)) = f (-4) $ que no está definido
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (f circ f) (0) = f (f (0)) = f (1) = 3 $
elemento $ (f circ g) (- 3) = f (g (-3)) = f (-2) = 2 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (g circ f) (3) = g (f (3)) = g (-1) = -4 $
item $ g (f (-3)) = g (4) $ que no está definido
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (g circ g) (- 2) = g (g (-2)) = g (0) = 0 $
item $ (g circ f) (- 2) = g (f (-2)) = g (2) = 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ g (f (g (0))) = g (f (0)) = g (1) = -3 $
item $ f (f (f (-1))) = f (f (0)) = f (1) = 3 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (f (f (f (f (1))))) = f (f (f (f (3)))) = f (f (f (-1))) = f ( f (0)) = f (1) = 3 $
item $ underbrace {(g circ g circ cdots circ g)} _ { mbox {$ n $ veces}} (0) = 0 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
salto de página
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (g circ f) (1) = 3 $
item $ (f circ g) (3) = 4 $
item $ (g circ f) (2) = 0 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {3}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ (f circ g) (0) = 4 $
item $ (f circ f) (1) = 3 $
item $ (g circ g) (1) = 0 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ V (x) = x ^ {3} $ entonces $ V (x (t)) = (t + 1) ^ {3} $
item begin {enumerate}
artículo $ R (x) = 2x $
item $ left (R circ x right) (t) = -8t ^ 2 + 40t + 184 $, $ 0 leq t leq 4 $. Esto da los ingresos por hora en función del tiempo.
item El mediodía corresponde a $ t = 2 $, entonces $ left (R circ x right) (2) = 232 $. Los ingresos por hora al mediodía son $ $ 232 $ por hora.
end {enumerate}
end {enumerate}
closegraphsfile
5.2: Funciones inversas
subsection {Ejercicios}
En Ejercicios ref {inversehwfirst} - ref {inversehwlast}, demuestre que la función dada es uno a uno y encuentre su inversa. Verifique sus respuestas algebraicamente y gráficamente. Verifique que el rango de $ f $ sea el dominio de $ f ^ {- 1} $ y viceversa.
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
item $ f (x) = 6x - 2 $ label {inversehwfirst}
artículo $ f (x) = 42-x $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {x-2} {3} + 4 $
item $ f (x) = 1 - dfrac {4 + 3x} {5} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = sqrt {3x-1} + 5 $
item $ f (x) = 2- sqrt {x - 5} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = 3 sqrt {x-1} -4 $
item $ f (x) = 1 - 2 sqrt {2x + 5} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = sqrt [5] {3x-1} $
item $ f (x) = 3- sqrt [3] {x-2} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = x ^ 2 - 10x $, $ x geq 5 $
elemento $ f (x) = 3 (x + 4) ^ {2} - 5, ; x leq -4 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
elemento $ f (x) = x ^ 2-6x + 5, ; x leq 3 $
item $ f (x) = 4x ^ 2 + 4x + 1 $, $ x <-1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {3} {4-x} $
item $ f (x) = dfrac {x} {1-3x} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {2x-1} {3x + 4} $
item $ f (x) = dfrac {4x + 2} {3x - 6} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = dfrac {-3x - 2} {x + 3} $
item $ f (x) = dfrac {x-2} {2x-1} $ label {inversehwlast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
Con la ayuda de tus compañeros de clase, encuentra las inversas de las funciones en Ejercicios ref {genericinversefirst} - ref {genericinverselast}.
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = ax + b, ; una neq 0 $ label {genericinversefirst}
item $ f (x) = a sqrt {x - h} + k, ; a neq 0, x geq h $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = ax ^ {2} + bx + c $ donde $ a neq 0, , x geq - dfrac {b} {2a} $.
item $ f (x) = dfrac {ax + b} {cx + d}, ; $ (Vea el ejercicio ref {whatconditions} a continuación). label {genericinverselast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item En el ejemplo ref {costrevenueprofitex1}, el precio de un reproductor multimedia dOpi, en dólares por dOpi, se da como una función de las ventas semanales $ x $ según la fórmula $ p (x) = 450-15x $ para $ 0 leq x leq 30 $.
begin {enumerate}
item Encuentra $ p ^ {- 1} (x) $ e indica su dominio.
item Encuentra e interpreta $ p ^ {- 1} (105) $.
item En el ejemplo ref {costrevenueprofitex1}, determinamos que la ganancia (en dólares) obtenida de producir y vender $ x $ dOpis por semana es $ P (x) = -15x ^ 2 + 350x-2000 $, por $ 0 leq x leq 30 $. Encuentre $ left (P circ p ^ {- 1} right) (x) $ y determine qué precio por dOpi produciría la ganancia máxima. ¿Cuál es el beneficio máximo? ¿Cuántas dOpis deben producirse y venderse para lograr el máximo beneficio?
end {enumerate}
item Muestre que la función de conversión de Fahrenheit a Celsius encontrada en el Ejercicio ref {celsiustofahr} en la Sección ref {LinearFunctions} es invertible y que su inversa es la función de conversión de Celsius a Fahrenheit.
item Demuestre analíticamente que la función $ f (x) = x ^ 3 + 3x + 1 $ es uno a uno. Dado que encontrar una fórmula para su inversa está más allá del alcance de este libro de texto, use el Teorema ref {inversefunctionprops} como ayuda para calcular $ f ^ {- 1} (1), ; f ^ {- 1} (5), ; $ y $ f ^ {- 1} (- 3) $.
item Sea $ f (x) = frac {2x} {x ^ 2-1} $. Usando las técnicas de la Sección ref {RationalGraphs}, grafique $ y = f (x) $. Verifique que $ f $ sea uno a uno en el intervalo $ (- 1,1) $. Utilice el procedimiento descrito en Page pageref {procedimiento inverso} y su calculadora gráfica para encontrar la fórmula para $ f ^ {- 1} (x) $. Tenga en cuenta que, dado que $ f (0) = 0 $, debería darse el caso de que $ f ^ {- 1} (0) = 0 $. ¿Qué sale mal cuando intenta sustituir $ x = 0 $ en $ f ^ {- 1} (x) $? Analice con sus compañeros cómo surgió este problema y sus posibles soluciones.
item Con la ayuda de sus compañeros de clase, explique por qué una función que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en todo su dominio tendría que ser uno a uno, por lo tanto invertible.
item Si $ f $ es impar e invertible, demuestre que $ f ^ {- 1} $ también es impar.
item label {fcircginverse} Sean $ f $ y $ g $ funciones invertibles. Con la ayuda de tus compañeros, demuéstrales que $ (f circ g) $ es uno a uno, por lo tanto, invertible, y que $ (f circ g) ^ {- 1} (x) = (g ^ {- 1 } circ f ^ {- 1}) (x) $.
item ¿Qué característica gráfica debe poseer una función $ f $ para que sea su propia inversa?
item label {whatconditions} ¿Qué condiciones debe colocar en los valores de $ a, b, c $ y $ d $ en el ejercicio ref {genericinverselast} para garantizar que la función sea invertible?
end {enumerate}
ueva pagina
subsection {Respuestas}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x + 2} {6} $
item $ f ^ {- 1} (x) = 42-x $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = 3x-10 $
item $ f ^ {- 1} (x) = - frac {5} {3} x + frac {1} {3} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} (x-5) ^ 2 + frac {1} {3} $, $ x geq 5 $
item $ f ^ {- 1} (x) = (x - 2) ^ {2} + 5, ; x leq 2 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {9} (x + 4) ^ 2 + 1 $, $ x geq -4 $
item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {8} (x-1) ^ 2- frac {5} {2} $, $ x leq 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} x ^ {5} + frac {1} {3} $
item $ f ^ {- 1} (x) = - (x-3) ^ 3 + 2 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = 5 + sqrt {x + 25} $
item $ f ^ {- 1} (x) = - sqrt { frac {x + 5} {3}} - 4 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = 3 - sqrt {x + 4} $
item $ f ^ {- 1} (x) = - frac { sqrt {x} +1} {2} $, $ x> 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {4x-3} {x} $
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x} {3x + 1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {4x + 1} {2-3x} $
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {6x + 2} {3x - 4} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {-3x - 2} {x + 3} $
item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x-2} {2x-1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
addtocounter {enumi} {4}
Articulo
begin {enumerate}
item $ p ^ {- 1} (x) = frac {450-x} {15} $. El dominio de $ p ^ {- 1} $ es el rango de $ p $ que es $ [0,450] $
item $ p ^ {- 1} (105) = 23 $. Esto significa que si el precio se establece en $ $ 105 $, se venderán $ 23 $ dOpis.
item $ left (P circ p ^ {- 1} right) (x) = - frac {1} {15} x ^ 2 + frac {110} {3} x - 5000 $, $ 0 leq x leq 450 $. La gráfica de $ y = left (P circ p ^ {- 1} right) (x) $ es una parábola que se abre hacia abajo con el vértice $ left (275, frac {125} {3} right) aprox. (275, 41,67) $. Esto significa que la ganancia máxima es la friolera de $ $ 41.67 $ cuando el precio por dOpi se establece en $ $ 275 $. A este precio, podemos producir y vender $ p ^ {- 1} (275) = 11. overline {6} $ dOpis. Como no podemos vender parte de un sistema, necesitamos ajustar el precio para vender $ 11 $ dOpis o $ 12 $ dOpis. Encontramos $ p (11) = 285 $ y $ p (12) = 270 $, lo que significa que establecemos el precio por dOpi en $ $ 285 $ o $ $ 270 $, respectivamente. Las ganancias a estos precios son $ left (P circ p ^ {- 1} right) (285) = 35 $ y $ left (P circ p ^ {- 1} right) (270) = 40 $, por lo que parece que la ganancia máxima es $ $ 40 $ y se obtiene produciendo y vendiendo $ 12 $ dOpis a la semana a un precio de $ $ 270 $ por dOpi.
end {enumerate}
addtocounter {enumi} {1}
item Dado que $ f (0) = 1 $, tenemos $ f ^ {- 1} (1) = 0 $. De manera similar $ f ^ {- 1} (5) = 1 $ y $ f ^ {- 1} (- 3) = -1 $
end {enumerate}
closegraphsfile
5.3: Otras funciones algebraicas
subsection {Ejercicios}
Para cada función en Ejercicios ref {algfcngraphexfirst} - ref {algfcngraphexlast} a continuación
begin {itemize}
item Encuentra su dominio.
item Crea un diagrama de letreros.
item Utilice su calculadora para dibujar su gráfico e identificar asíntotas verticales u horizontales, "pendientes inusuales" o cúspides.
end {itemize}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
item $ f (x) = sqrt {1 - x ^ {2}} $ label {algfcngraphexfirst}
item $ f (x) = sqrt {x ^ 2-1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = x sqrt {1-x ^ 2} $
elemento $ f (x) = x sqrt {x ^ 2-1} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = sqrt [4] { dfrac {16x} {x ^ {2} - 9}} $
item $ f (x) = dfrac {5x} { sqrt [3] {x ^ {3} + 8}} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = x ^ { frac {2} {3}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $
item $ f (x) = x ^ { frac {3} {2}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
elemento $ f (x) = sqrt {x (x + 5) (x - 4)} $
item $ f (x) = sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8} $ label {algfcngraphexlast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
En Ejercicios ref {radicalgraphexfirst} - ref {radicalgraphexlast}, dibuje la gráfica de $ y = g (x) $ comenzando con la gráfica de $ y = f (x) $ y usando las transformaciones presentadas en la Sección ref { Transformaciones}.
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = sqrt [3] {x} $, $ g (x) = sqrt [3] {x-1} -2 $ label {radicalgraphexfirst}
item $ f (x) = sqrt [3] {x} $, $ g (x) = -2 sqrt [3] {x + 1} + 4 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = sqrt [4] {x} $, $ g (x) = sqrt [4] {x-1} -2 $
item $ f (x) = sqrt [4] {x} $, $ g (x) = 3 sqrt [4] {x - 7} - 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ f (x) = sqrt [5] {x} $, $ g (x) = sqrt [5] {x + 2} + 3 $
item $ f (x) = sqrt [8] {x} $, $ g (x) = sqrt [8] {- x} - 2 $ label {radicalgraphexlast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
phantomsection
label {furtherequineqexercises}
En Ejercicios ref {algineqexfirst} - ref {algineqexlast}, resuelve la ecuación o desigualdad.
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ x + 1 = sqrt {3x + 7} $ label {algineqexfirst}
item $ 2x + 1 = sqrt {3-3x} $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ x + sqrt {3x + 10} = -2 $
item $ 3x + sqrt {6-9x} = 2 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ 2x - 1 = sqrt {x + 3} $
item $ x ^ { frac {3} {2}} = 8 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ x ^ { frac {2} {3}} = 4 $
item $ sqrt {x - 2} + sqrt {x - 5} = 3 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ sqrt {2x + 1} = 3 + sqrt {4-x} $
item $ 5 - (4-2x) ^ { frac {2} {3}} = 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ 10- sqrt {x-2} leq 11 $
item $ sqrt [3] {x} leq x $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ 2 (x-2) ^ {- frac {1} {3}} - frac {2} {3} x (x-2) ^ {- frac {4} {3}} leq 0 PS
item $ - frac {4} {3} (x-2) ^ {- frac {4} {3}} + frac {8} {9} x (x-2) ^ {- frac { 7} {3}} geq 0 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {multicols} {2}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ 2x ^ {- frac {1} {3}} (x-3) ^ { frac {1} {3}} + x ^ { frac {2} {3}} (x-3) ^ {- frac {2} {3}} geq 0 $
item $ sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8}> x + 1 $
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
end {multicols}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item $ frac {1} {3} x ^ { frac {3} {4}} (x - 3) ^ {- frac {2} {3}} + frac {3} {4} x ^ {- frac {1} {4}} (x - 3) ^ { frac {1} {3}} <0 $
item $ x ^ {- frac {1} {3}} (x-3) ^ {- frac {2} {3}} - x ^ {- frac {4} {3}} (x- 3) ^ {- frac {5} {3}} (x ^ 2-3x + 2) geq 0 $
item $ frac {2} {3} (x + 4) ^ { frac {3} {5}} (x - 2) ^ {- frac {1} {3}} + frac {3} {5} (x + 4) ^ {- frac {2} {5}} (x - 2) ^ { frac {2} {3}} geq 0 $ label {algineqexlast}
setcounter {HW} { value {enumi}}
end {enumerate}
begin {enumerate}
setcounter {enumi} { value {HW}}
item Ejemplo de reelaboración ref {SasquatchCable} para que el puesto de avanzada esté a 10 millas de la Ruta 117 y la caja de conexiones más cercana esté a 30 millas por la carretera del puesto.
item El volumen $ V $ de un cono cilíndrico recto depende del radio de su base $ r $ y su altura $ h $ y está dado por la fórmula $ V = frac {1} {3} pi r ^ 2 h $. El área de superficie $ S $ de un cono cilíndrico recto también depende de $ r $ y $ h $ según la fórmula $ S = pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} $. Suponga que un cono debe tener un volumen de 100 centímetros cúbicos.
begin {enumerate}
item label {heightintermsofr} Use la fórmula del volumen para encontrar la altura $ h $ en función de $ r $.
item Usa la fórmula para el área de la superficie y tu respuesta a ref {heightintermsofr} para encontrar el área de la superficie $ S $ en función de $ r $.
item Usa tu calculadora para encontrar los valores de $ r $ y $ h $ que minimizan el área de la superficie. ¿Cuál es la superficie mínima? Redondea tus respuestas a dos lugares decimales.
end {enumerate}
item label {WindChillTemperature} El href {www.nws.noaa.gov/om/windchill ... rline {National Weather Service}} usa la siguiente fórmula para calcular la sensación térmica: [W = 35.74 + 0.6215 , T_ {a} - 35.75 , V ^ {0.16} + 0.4275 , T_ {a} , V ^ {0.16} ] donde $ W $ es la temperatura del viento en $ ^ { circ} $ F, $ T_ {a} $ es la temperatura del aire en $ ^ { circ} $ F, y $ V $ es la velocidad del viento en millas por hora. Tenga en cuenta que $ W $ se define solo para temperaturas del aire iguales o inferiores a $ 50 ^ { circ} $ F y velocidades del viento superiores a $ 3 $ millas por hora.
begin {enumerate}
item Suponga que la temperatura del aire es $ 42 ^ { circ} $ y la velocidad del viento es $ 7 $ millas por hora. Encuentra la temperatura de sensación térmica. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
item Suponga que la temperatura del aire es $ 37 ^ { circ} $ F y la temperatura del viento es $ 30 ^ { circ} $ F. Calcula la velocidad del viento. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.
end {enumerate}
item Como continuación del ejercicio ref {WindChillTemperature}, suponga que la temperatura del aire es $ 28 ^ { circ} $ F.
begin {enumerate}
item Usa la fórmula del ejercicio ref {WindChillTemperature} para encontrar una expresión para la temperatura del viento como una función de la velocidad del viento, $ W (V) $.
item label {WindChill0} Resuelve $ W (V) = 0 $, redondea tu respuesta a dos decimales e interpreta.
item Grafique la función $ W $ usando su calculadora y verifique su respuesta a la parte ref {WindChill0}.
end {enumerate}
item label {pendulumproblem} El período de un péndulo en segundos está dado por [T = 2 pi sqrt { dfrac {L} {g}} ] (para pequeños desplazamientos) donde $ L $ es la longitud del péndulo en metros y $ g = 9,8 $ metros por segundo por segundo es la aceleración debida a la gravedad. Mi antiguo reloj de escuela Seth-Thomas necesita $ T = frac {1} {2} $ segundo y puedo ajustar la longitud del péndulo a través de un pequeño dial en la parte inferior de la sacudida. ¿A qué longitud debo colocar el péndulo?
item El modelo de producción Cobb-Douglas establece que el valor total anual en dólares de la producción $ P $ en una economía es una función del trabajo $ x $ (el número total de horas trabajadas en un año) y el capital $ y $ ( el valor total en dólares de todas las cosas compradas para hacer cosas). Específicamente, $ P = ax ^ {b} y ^ {1 - b} $. Al fijar $ P $, creamos lo que se conoce como una 'isocuanta' y luego podemos resolver $ y $ en función de $ x $. Supongamos que el modelo de producción Cobb-Douglas para el país de Sasquatchia es $ P = 1.23x ^ {0.4} y ^ {0.6} $.
begin {enumerate}
item Sea $ P = 300 $ y resuelva para $ y $ en términos de $ x $. Si $ x = 100 $, ¿cuál es $ y $?
item Grafica la isocuanta $ 300 = 1.23x ^ {0.4} y ^ {0.6} $. ¿Qué información te da un par ordenado $ (x, y) $ que hace que $ P = 300 $ te proporcione? Con la ayuda de tus compañeros de clase, encuentra varias combinaciones diferentes de trabajo y capital, todas las cuales dan $ P = 300 $. Discuta cualquier patrón que pueda ver.
end {enumerate}
item Según la teoría de la relatividad especial de Einstein, la masa observada $ m $ de un objeto es una función de la rapidez con la que viaja. Específicamente, [m (x) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {1 - dfrac {x ^ {2}} {c ^ {2}}}} ] donde $ m (0) = m_ {r} $ es la masa del objeto en reposo, $ x $ es la velocidad del objeto y $ c $ es la velocidad de la luz.
begin {enumerate}
item Encuentra el dominio aplicado de la función.
item Calcule $ m (.1c), , m (.5c), , m (.9c) $ y $ m (.999c) $.
item Como $ x rightarrow c ^ {-} $, ¿qué pasa con $ m (x) $?
item ¿Qué tan lento debe viajar el objeto para que la masa observada no sea mayor que 100 veces su masa en reposo?
end {enumerate}
item Encuentra la inversa de $ k (x) = dfrac {2x} { sqrt {x ^ {2} - 1}} $.
salto de página
item label {seguimiento} Supongamos que Fritzy el Zorro, posicionado en un punto $ (x, y) $ en el primer cuadrante, ve a Chewbacca el Conejito en $ (0,0) $. Chewbacca comienza a correr a lo largo de una cerca (el eje positivo $ y $) hacia su madriguera. Fritzy, por supuesto, lo persigue y ajusta constantemente su dirección para que siempre esté corriendo directamente hacia Chewbacca. Si la velocidad de Chewbacca es $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ y la velocidad de Fritzy es $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $, la ruta que tomará Fritzy para interceptar a Chewbacca, siempre que $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $ es directamente proporcional, pero no igual a, $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ está modelado por
[y = dfrac {1} {2} left ( dfrac {x ^ {1+ v_ {1} / v_ {2}}} {1 + v _ { mbox { tiny $ 1 $}} / v_ { mbox { tiny $ 2 $}}} - dfrac {x ^ {1-v _ { mbox { tiny $ 1 $}} / v _ { mbox { tiny $ 2 $}}}} {1-v_ { mbox { minúsculo $ 1 $}} / v _ { mbox { minúsculo $ 2 $}}} derecha) + dfrac {v _ { mbox { minúsculo $ 1 $}} v _ { mbox { minúsculo $ 2 $} }} {v _ { mbox { minúsculo $ 2 $}} ^ 2-v _ { mbox { minúsculo $ 1 $}} ^ 2} ]
begin {enumerate}
item Determina el camino que tomará Fritzy si corre exactamente el doble de rápido que Chewbacca; es decir, $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} = 2v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $. Usa tu calculadora para graficar esta ruta para $ x geq 0 $. ¿Cuál es el significado de la intersección $ y $ de la gráfica?
item Determina el camino que tomará Fritzy si Chewbacca corre exactamente el doble de rápido que él; es decir, $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} = 2v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $. Usa tu calculadora para graficar esta ruta para $ x> 0 $. Describe el comportamiento de $ y $ como $ x rightarrow 0 ^ {+} $ e interpreta esto físicamente.
item Con la ayuda de tus compañeros de clase, generaliza las partes (a) y (b) a dos casos: $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}}> v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ y $ v_ { mbox { tiny $ 2 $}} end {enumerate} item Verifica la regla del cociente para radicales en el teorema ref {radicalprops}. item Muestra que $ left (x ^ { frac {3} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} = x $ para todos los $ x geq 0 $. item Demuestre que $ sqrt [3] {2} $ es un número irracional mostrando primero que es un cero de $ p (x) = x ^ {3} - 2 $ y luego mostrando que $ p $ no tiene sentido ceros. (Necesitará el Teorema de ceros racionales, Teorema ref {RZT}, para mostrar esta última parte). Label {nthrootsareirrational} item Con la ayuda de tus compañeros de clase, generaliza el ejercicio ref {nthrootsareirrational} para mostrar que $ sqrt [n] {c} $ es un número irracional para cualquier número natural $ c geq 2 $ y $ n geq 2 $ siempre que $ c neq p ^ {n} $ para algún número natural $ p $. end {enumerate}
ueva pagina subsection {Respuestas} begin {enumerate} item begin {multicols} {2} $ f (x) = sqrt {1 - x ^ 2} $ Dominio: $ [- 1, 1] $ begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5} polyline {(0,0), (4,0)} xmarks {0,4} tlabel [cc] (0, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (2,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (4,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (4, -1) {$ 1 $} end {mfpic} Sin asíntotas Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [50] {- 1.5} {1.5} {- 0.15} {1.5} point [3pt] {(0,1), (-1,0), (1,0)} parafcn {0,3.14159,0.1} {(cos (t), sin (t))} ejes tlabel [cc] (1.5, -0.15) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.25,1.5) { scriptsize $ y $} xmarks {-1,1} ymarks {1} tlpointsep {4pt} scriptsize axislabels {x} {{$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1} axislabels {y} {{$ 1 $} 1} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = sqrt {x ^ 2-1} $ Dominio: $ (- infty, -1] cup [1, infty) $ begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5} arrow polyline {(2,0), (0,0)} arrow polyline {(3,0), (5,0)} xmarks {2,3} tlabel [cc] (2, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (1,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (3,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (3, -1) {$ 1 $} end {mfpic} Sin asíntotas Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [20] {- 4} {4} {- 1} {4} point [3pt] {(- 1,0), (1,0)} arrow parafcn {0,2,0.1} {(cosh (t), sinh (t))} arrow parafcn {0,2,0.1} {(- cosh (t), sinh (t))} ejes tlabel [cc] (4, -0.25) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.25,4) { scriptsize $ y $} xmarks {-3, -2, -1,1,2,3} ymarks {1,2,3} tlpointsep {4pt} scriptsize axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ - 2 hspace {6pt} $} -2, {$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3} axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = x sqrt {1-x ^ 2} $ Dominio: $ [- 1,1] $ begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5} polyline {(0,0), (5,0)} xmarks {0,2.5,5} tlabel [cc] (0, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (1.25,1) {$ (-) $} tlabel [cc] (2.5, -1) {$ 0 $} tlabel [cc] (3.75,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (2.5,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (5, -1) {$ 1 $} tlabel [cc] (5,1) {$ 0 $} end {mfpic} Sin asíntotas Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [50] [40] {- 1.5} {1.5} {- 1} {1.5} point [3pt] {(- 1,0), (1,0), (0,0)} parafcn {0,3.14159,0.1} {(cos (t), cos (t) * sin (t))} ejes tlabel [cc] (1.5, -0.15) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.25,1.5) { scriptsize $ y $} xmarks {-1,1} ymarks {-1,1} tlpointsep {4pt} scriptsize axislabels {x} {{$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1} axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ - 1 $} -1} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = x sqrt {x ^ 2-1} $ Dominio: $ (- infty, -1] cup [1, infty) $ begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5} arrow polyline {(2,0), (0,0)} arrow polyline {(3,0), (5,0)} xmarks {2,3} tlabel [cc] (2, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (1,1) {$ (-) $} tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (3,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (3, -1) {$ 1 $} end {mfpic} Sin asíntotas Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [20] [15] {- 4} {4} {- 4} {4} point [3pt] {(- 1,0), (1,0)} arrow parafcn {0,2,0.1} {(cosh (t), sinh (t))} arrow parafcn {0,2,0.1} {(- cosh (t), - sinh (t))} ejes tlabel [cc] (4, -0.25) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.25,4) { scriptsize $ y $} xmarks {-3, -2, -1,1,2,3} ymarks {-3, -2, -1,1,2,3} tlpointsep {4pt} scriptsize axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ - 2 hspace {6pt} $} -2, {$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3} axislabels {y} {{$ - 3 $} -3, {$ - 2 $} -2, {$ - 1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3 } alla normal end {mfpic} end {multicols} salto de página item begin {multicols} {2} $ f (x) = sqrt [4] { dfrac {16x} {x ^ 2 - 9}} $ Dominio: $ (- 3, 0] cup (3, infty) $ begin {mfpic} [15] {- 3} {6} {- 1} {1} polyline {(- 3,0), (0,0)} arrow polyline {(3,0), (6,0)} xmarks {-3,0,3} tlabel [cc] (- 1.5,0.75) {$ (+) $} tlabel [cc] (- 3, -0,75) {$ - 3 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (- 3,0,75) { textinterrobang} tlabel [cc] (0, -0,75) {$ 0 $} tlabel [cc] (0,0.75) {$ 0 $} tlabel [cc] (3,0,75) { textinterrobang} tlabel [cc] (3, -0,75) {$ 3 $} tlabel [cc] (4.5,0.75) {$ (+) $} end {mfpic} Asíntotas verticales: $ x = -3 $ y $ x = 3 $ Asíntota horizontal: $ y = 0 $ Pendiente inusual en $ x = 0 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [15] {- 3.5} {9} {- 1} {6} point [3pt] {(0,0)} dashed polyline {(- 3, -1), (-3,6)} dashed polyline {(3, -1), (3,6)} arrow reverse function {-2.93,0,0.1} {((16 * x) / ((x ** 2) - 9)) ** (0.25)} arrow reverse arrow function {3.05,9,0.1} {((16 * x) / ((x ** 2) - 9)) ** (0.25)} ejes tlabel [cc] (9, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,6) { scriptsize $ y $} xmarks {-3 paso 1 hasta 8} ymarks {1,2,3,4,5} tlpointsep {4pt} scriptsize axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8} axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = x ^ { frac {2} {3}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $ Dominio: $ (- infty, infty) $ begin {mfpic} [10] {- 3} {10} {- 2} {2} arrow reverse arrow polyline {(- 3,0), (10,0)} xmarks {0,7} tlabel [cc] (- 1.5,1) {$ (-) $} tlabel [cc] (0, -1) {$ 0 $} tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (3.5,1) {$ (-) $} tlabel [cc] (7, -1) {$ 7 $} tlabel [cc] (7,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (8.5,1) {$ (+) $} end {mfpic} Sin asíntotas verticales u horizontales footnote {Usando Cálculo se puede demostrar que $ y = x - frac {7} {3} $ es una asíntota inclinada de este gráfico.} Pendiente inusual en $ x = 7 $ Cúspide en $ x = 0 $ vfill columnbreak begin {mfpic} [10] {- 4} {10} {- 5} {5.5} point [3pt] {(0,0), (7,0)} arrow reverse function {-3,0,0.1} {- ((x ** 2) ** (1/3)) * ((7 - x) ** (1/3))} function {0,7,0.1} {- ((x ** 2) ** (1/3)) * ((7 - x) ** (1/3))} arrow function {7,9,0.1} {((x ** 2) ** (1/3)) * ((x - 7) ** (1/3))} ejes tlabel [cc] (10, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,5.5) { scriptsize $ y $} xmarks {-3 paso 1 hasta 9} ymarks {-4 paso 1 hasta 5} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 9 $} 9} axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = dfrac {5x} { sqrt [3] {x ^ {3} + 8}} $ Dominio: $ (- infty, -2) cup (-2, infty) $ begin {mfpic} [20] {- 4} {2} {- 1} {1} arrow reverse arrow polyline {(- 4,0), (2,0)} xmarks {-2,0} tlabel [cc] (- 3, 0.5) {$ (+) $} tlabel [cc] (- 2, -0,5) {$ - 2 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (- 2,0.5) { textinterrobang} tlabel [cc] (- 1,0.5) {$ (-) $} tlabel [cc] (0, -0,5) {$ 0 $} tlabel [cc] (0,0.5) {$ 0 $} tlabel [cc] (1,0.5) {$ (+) $} end {mfpic} Asíntota vertical $ x = -2 $ Asíntota horizontal $ y = 5 $ Sin pendientes ni cúspides inusuales vfill columnbreak begin {mfpic} [10] [8] {- 5} {5} {- 7} {9} point [3pt] {(0,0)} dashed polyline {(- 5,5), (5,5)} dashed polyline {(- 2, -7), (-2,9)} arrow reverse arrow function {-5, -2.2,0.1} {(- 5 * x) / ((- (x ** 3) - 8) ** (1/3))} arrow reverse arrow function {-1.8,5,0.1} {(5 * x) / (((x ** 3) + 8) ** (1/3))} ejes tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,9) { scriptsize $ y $} xmarks {-4 paso 1 hasta 4} ymarks {-6 paso 1 hasta 8} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ - 4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4} axislabels {y} {{$ - 6 $} -6, {$ -5 $} -5, {$ -4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2 , {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = x ^ { frac {3} {2}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $ Dominio: $ [0, infty) $ begin {mfpic} [15] {0} {10} {- 1} {1} reverse arrow polyline {(0,0), (10,0)} xmarks {0, 7} tlabel [cc] (0, -0.5) {$ 0 $} tlabel [cc] (0,0.5) {$ 0 $} tlabel [cc] (3.5, 0.5) {$ (-) $} tlabel [cc] (7, -0,5) {$ 7 $} tlabel [cc] (7,0.5) {$ 0 $} tlabel [cc] (8, 0.5) {$ (+) $} end {mfpic} Sin asíntotas Pendiente inusual en $ x = 7 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [15] [3] {- 1} {8.5} {- 20} {30} point [3pt] {(0,0), (7,0)} function {0,7,0.1} {- (x ** 1,5) * ((7 - x) ** (1/3))} arrow function {7,8.5,0.1} {(x ** 1.5) * ((x - 7) ** (1/3))} ejes tlabel [cc] (8.5, -3) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,30) { scriptsize $ y $} xmarks {1 paso 1 hasta 8} ymarks {-15 paso 5 hasta 25} tlpointsep {4pt} scriptsize axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8} axislabels {y} {{$ - 15 $} -15, {$ -10 $} -10, {$ -5 $} -5, {$ 5 $} 5, {$ 10 $} 10, {$ 15 $} 15 , {$ 20 $} 20, {$ 25 $} 25} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = sqrt {x (x + 5) (x - 4)} $ Dominio: $ [- 5, 0] cup [4, infty) $ begin {mfpic} [10] {- 5} {8} {- 1} {1} polyline {(- 5,0), (0,0)} arrow polyline {(4,0), (8,0)} xmarks {-5,0,4} tlabel [cc] (- 5, -1) {$ - 5 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (- 5,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (- 2.5,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (0, -1) {$ 0 $} tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (4, -1) {$ 4 $} tlabel [cc] (4,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (6,1) {$ (+) $} end {mfpic} Sin asíntotas Pendiente inusual en $ x = -5, x = 0 $ y $ x = 4 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [10] {- 6} {6} {- 1} {10} point [3pt] {(- 5,0), (0,0), (4,0)} function {-5,0,0.1} {sqrt ((x ** 3) + (x ** 2) - (20 * x))} arrow function {4,5.5,0.1} {sqrt ((x ** 3) + (x ** 2) - (20 * x))} ejes tlabel [cc] (6, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,10) { scriptsize $ y $} xmarks {-5 paso 1 hasta 5} ymarks {1 paso 1 hasta 9} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ - 5 hspace {6pt} $} -5, {$ -4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5} axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 9 $} 9} alla normal end {mfpic} end {multicols} item begin {multicols} {2} $ f (x) = sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8} $ Dominio: $ (- infty, infty) $ begin {mfpic} [10] {- 8} {6} {- 1} {1} arrow reverse arrow polyline {(- 8,0), (6,0)} xmarks {-4, -1,2} tlabel [cc] (- 6,1) {$ (-) $} tlabel [cc] (- 4, -1) {$ - 4 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (- 4,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (- 2.5,1) {$ (+) $} tlabel [cc] (- 1, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $} tlabel [cc] (- 1,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (0.5,1) {$ (-) $} tlabel [cc] (2, -1) {$ 2 $} tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $} tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $} end {mfpic} Sin asíntotas verticales u horizontales footnote {Usando Cálculo se puede demostrar que $ y = x + 1 $ es una asíntota inclinada de este gráfico.} Pendiente inusual en $ x = -4, x = -1 $ y $ x = 2 $ Sin cúspides vfill columnbreak begin {mfpic} [10] {- 6} {6} {- 5} {7} point [3pt] {(- 4,0), (- 1,0), (2,0)} arrow reverse function {-6, -4,0.1} {- ((- ((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8)) ** (1/3))} function {-4, -1,0.1} {((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8) ** (1/3)} function {-1,2,0.1} {- ((- ((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8)) ** (1/3) )} arrow function {2,6,0.1} {((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8) ** (1/3)} ejes tlabel [cc] (6, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,7) { scriptsize $ y $} xmarks {-5 paso 1 hasta 5} ymarks {-4 paso 1 hasta 6} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ - 5 hspace {6pt} $} -5, {$ -4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5} axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6} alla normal end {mfpic} end {multicols} setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} begin {multicols} {2} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ g (x) = sqrt [3] {x-1} -2 $ begin {mfpic} [8] [13] {- 10} {12} {- 5} {1} arrow reverse arrow parafcn {-4.2,0.2,0.1} {(((t + 2) ** 3) + 1, t)} ejes tlabel [cc] (12, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.75,1) { scriptsize $ y $} point [3pt] {(- 7, -4), (0, -3), (1, -2), (2, -1), (9,0)} ymarks {-4, -3, -2, -1} xmarks {-9 paso 1 hasta 11} diminuto tlpointsep {4pt} axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1} axislabels {x} {{$ - 9 hspace {6pt} $} -9, {$ -7 hspace {6pt} $} -7, {$ -5 hspace {6pt} $} -5, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7, {$ 9 $} 9, {$ 11 $} 11} alla normal end {mfpic} vfill columnbreak item $ g (x) = -2 sqrt [3] {x + 1} + 4 $ begin {mfpic} [10] [9] {- 7} {9} {- 1} {8} point [3pt] {(- 2,6), (- 1,4), (0,2), (7,0)} arrow reverse function {-7, -1,0.1} {2 * ((- x - 1) ** (1/3)) + 4} arrow function {-1,8.5,0.1} {- 2 * ((x + 1) ** (1/3)) + 4} ejes tlabel [cc] (9, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,8) { scriptsize $ y $} xmarks {-6 paso 1 hasta 8} ymarks {1 paso 1 hasta 7} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ -5 hspace {6pt} $} -5, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7} axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7} alla normal end {mfpic} setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {2} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ g (x) = sqrt [4] {x-1} -2 $ begin {mfpic} [8] [25] {- 1} {22} {- 3} {1} arrow parafcn {-2,0.12,0.1} {(((t + 2) ** 4) + 1, t)} ejes tlabel [cc] (22, -0,75) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,1) { scriptsize $ y $} point [3pt] {(1, -2), (2, -1), (17,0)} ymarks {-2, -1} xmarks {1 paso 1 hasta 21} diminuto tlpointsep {4pt} axislabels {y} {{$ - 2 $} -2, {$ -1 $} -1} axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7, {$ 9 $} 9, {$ 11 $} 11, {$ 13 $} 13, {$ 15 $} 15, {$ 17 $} 17, {$ 19 $} 19, {$ 21 $} 21} alla normal end {mfpic} vfill columnbreak item $ g (x) = 3 sqrt [4] {x - 7} - 1 $ begin {mfpic} [5] [13] {- 1} {25} {- 2} {6} point [3pt] {(7, -1), (8,2), (23,5)} arrow function {7,25,0.1} {3 * ((x - 7) ** (0.25)) - 1} ejes tlabel [cc] (25, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (0.5,6) { scriptsize $ y $} xmarks {1 paso 1 hasta 23} ymarks {-1 paso 1 hasta 5} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 23 $} 23} axislabels {y} {{$ - 1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5} alla normal end {mfpic} setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {2} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ g (x) = sqrt [5] {x + 2} + 3 $ begin {mfpic} [2] [10] {- 37} {33} {- 1} {6} point [2pt] {(- 34,1), (- 3,2), (- 2,3), (- 1,4), (30,5)} arrow function {-2,33,0.1} {((x + 2) ** (0.20)) + 3} arrow reverse function {-37, -2,0.1} {(- ((- x - 2) ** (0.20))) + 3} ejes tlabel [cc] (33, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (2,6) { scriptsize $ y $} xmarks {-34, -2,30} ymarks {1 paso 1 hasta 5} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ - 34 hspace {5pt} $} -34, {$ -2 hspace {5pt} $} -2, {$ 30 $} 30} axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5} alla normal end {mfpic} elemento $ g (x) = sqrt [8] {- x} - 2 $ begin {mfpic} [3] [15] {- 45} {5} {- 3} {1} point [2pt] {(0, -2), (- 1, -1)} arrow reverse function {-45,0,0.1} {((- x) ** 0.125) - 2} ejes tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $} tlabel [cc] (1.5,1) { scriptsize $ y $} xmarks {-40, -30, -20, -10} ymarks {-2, -1} tlpointsep {4pt} diminuto axislabels {x} {{$ - 40 hspace {5pt} $} -40, {$ -30 hspace {5pt} $} -30, {$ -20 hspace {5pt} $} -20, {$ -10 hspace {5pt} $} -10} axislabels {y} {{$ - 2 $} -2, {$ -1 $} -1} alla normal end {mfpic} setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {3} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ x = 3 $ item $ x = frac {1} {4} $ item $ x = -3 $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {3} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ x = - frac {1} {3}, ; frac {2} {3} $ item $ x = frac {5 + sqrt {57}} {8} $ item $ x = 4 $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {3} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ x = pm 8 $ item $ x = 6 $ item $ x = 4 $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {3} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ x = -2, 6 $ item $ [2, infty) $ item $ [- 1, 0] cup [1, infty) $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {3} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ (- infty, 2) cup (2,3] $ item $ (2,6] $ item $ (- infty, 0) cup [2,3) cup (3, infty) $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {multicols} {3} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ (- infty, -1) $ item $ left (0, frac {27} {13} right) $ item $ (- infty, 0) cup (0,3) $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} end {multicols} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ (- infty, -4) cup left (-4, - frac {22} {19} right] cup (2, infty) $ setcounter {HW} { value {enumi}} end {enumerate} begin {enumerate} setcounter {enumi} { value {HW}} item $ C (x) = 15x + 20 sqrt {100+ (30-x) ^ 2} $, $ 0 leq x leq 30 $. La calculadora da el mínimo absoluto en $ approx (18.66, 582.29) $. Esto significa que para minimizar el costo, se deben tender aproximadamente 18.66 millas de cable a lo largo de la Ruta 117 antes de salir de la carretera y dirigirse hacia el puesto avanzado. El costo mínimo para ejecutar el cable es de aproximadamente $ $ 582.29 $. Articulo begin {enumerate} item $ h (r) = frac {300} { pi r ^ 2} $, $ r> 0 $. item $ S (r) = pi r sqrt {r ^ 2 + left ( frac {300} { pi r ^ 2} right) ^ 2} = frac { sqrt { pi ^ 2 r ^ 6 + 90000}} {r} $, $ r> 0 $ item La calculadora da el mínimo absoluto en el punto $ approx (4.07, 90.23) $. Esto significa que el radio debe ser (aproximadamente) 4.07 centímetros y la altura debe ser 5.76 centímetros para dar una superficie mínima de 90.23 centímetros cuadrados. end {enumerate} Articulo begin {enumerate} item $ W approx 37.55 ^ { circ} $ F. item $ V aproximadamente 9.84 $ millas por hora. end {enumerate} Articulo begin {enumerate} item $ W (V) = 53.142 - 23.78 V ^ {0.16} $. Dado que en el ejercicio ref {WindChillTemperature} se nos dice que la sensación térmica solo es un efecto para velocidades del viento de más de 3 millas por hora, restringimos el dominio a $ V> 3 $. item $ W (V) = 0 $ cuando $ V aproximadamente 152.29 $. Esto significa, según el modelo, para que la temperatura del viento sea de $ 0 ^ { circ} $ F, la velocidad del viento debe ser de $ 152.29 $ millas por hora. item El gráfico se muestra a continuación. centerline { includegraphics [width = 1.75in] {./ FurtherGraphics / WINDCHILL.jpg}} end {enumerate} item $ 9.8 left ( dfrac {1} {4 pi} right) ^ {2} approx 0.062 $ metros o $ 6.2 $ centímetros item begin {enumerate} item Primero reescribe el modelo como $ P = 1.23x ^ { frac {2} {5}} y ^ { frac {3} {5}} $. Entonces $ 300 = 1.23x ^ { frac {2} {5}} y ^ { frac {3} {5}} $ produce $ y = left ( dfrac {300} {1.23x ^ { frac {2 } {5}}} right) ^ { frac {5} {3}} $. Si $ x = 100 $ entonces $ y approx 441.93687 $. end {enumerate} item begin {enumerate} item $ [0, c) $ item $ ~ $ begin {tabular} {ll} $ m (.1c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.99}} approx 1.005m_ {r} $ & $ m (.5c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.75}} approx 1.155m_ {r} $ smallskip $ m (.9c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.19}} approx 2.294m_ {r} $ & $ m (.999c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.0.001999}} approx 22.366m_ {r} $ end {tabular} item Como $ x rightarrow c ^ {-}, , m (x) rightarrow infty $ item Si el objeto no viaja más rápido que aproximadamente $ 0.99995 $ veces la velocidad de la luz, entonces su masa observada no será mayor que $ 100m_ {r} $. end {enumerate} item $ k ^ {- 1} (x) = dfrac {x} { sqrt {x ^ {2} - 4}} $ item begin {enumerate} item $ y = frac {1} {3} x ^ {3/2} - sqrt {x} + frac {2} {3} $. El punto $ left (0, frac {2} {3} right) $ es cuando el camino de Fritzy se cruza con el de Chewbacca, en otras palabras, donde Fritzy atrapa a Chewbacca. item $ y = frac {1} {6} x ^ 3 + frac {1} {2x} - frac {2} {3} $. Usando las técnicas del Capítulo ref {Racionales}, encontramos $ x rightarrow 0 ^ {+} $, $ y rightarrow infty $ lo que significa, en este caso, que la búsqueda de Fritzy nunca termina; nunca atrapa a Chewbacca. Esto tiene sentido ya que Chewbacca tiene una ventaja inicial y corre más rápido que Fritzy. begin {center} begin {tabular} {cc} includegraphics [width = 2in] {./ FurtherGraphics / PURSUIT01.jpg} & hspace {1in} includegraphics [width = 2in] {./ FurtherGraphics / PURSUIT02.jpg} $ y = frac {1} {3} x ^ {3/2} - sqrt {x} + frac {2} {3} $ & hspace {1in} $ y = frac {1} {6 } x ^ 3 + frac {1} {2x} - frac {2} {3} $ end {tabular} end {centro} end {enumerate} end {enumerate} closegraphsfile (1) Complete la siguiente prueba de que si $ m $ es un paralelo límite de $ ell $, entonces $ ell $ es un paralelo límite de $ m $: Tome un punto $ P_1 $ en $ ell $. Sea $ Q $ el punto en $ m $ tal que $ overline
(2) Muestre que hay una isometría $ f $ del modelo de Poincar & eacute (en otras palabras, una función del disco unitario abierto a sí mismo que conserva la distancia hiperbólica) y una línea $ ell $ en el modelo tal que $ ell $ es (representado por) un segmento de línea euclidiana y $ f [ ell] $ es (representado por) un arco euclidiano. El punto es que la propiedad de mirar "rectas" o "curvas" no es una propiedad intrínseca de las líneas hiperbólicas, depende de cómo las modelemos en el espacio euclidiano. Pista: nuestro trabajo con reflejos no depende del postulado paralelo, por lo que sigue siendo válido en geoemia hiperbólica. (3) Ejercicio 7.3.3. No sé qué significa la sugerencia "use las propiedades de paralelismo de las reflexiones", pero de todos modos no debería ser difícil mostrar que si $ m $ es un paralelo límite de $ ell $, entonces $ r_ ell [m] $ es un paralelo límite de $ ell $ en el mismo lado. La parte sobre los puntos omega resulta ser trivial una vez que desenreda las definiciones (incluido lo que significa que una isometría arregle un punto omega), así que diré que puede omitir esta parte, pero debería pensar por un minuto en qué medio. (4) Ejercicio 7.3.4. Sugerencia: Sea $ ell '$ una línea que sea no paralelo a la derecha que limita a $ ell $, lo que significa que tiene un punto omega diferente en el lado derecho (el mismo argumento funcionará para el lado izquierdo). es no fijado por la reflexión $ r_ ell $. En otras palabras, queremos mostrar que la línea $ ell '$ es no paralelo limitante a la derecha a su propio reflejo $ r_ ell [ ell '] $. Considere dos casos: (a) $ ell '$ interseca $ ell $ (b) $ ell' $ es paralelo a $ ell $ pero no es paralelo limitante a $ ell $. Tenga en cuenta que los primeros ocho temas (Prueba 1) de Maths T y Maths S son iguales. Además, Maths T y Maths S son mutuamente excluyentes. En otras palabras, un candidato de STPM no puede tomar ambas materias al mismo tiempo. La mayoría de los estudiantes de la rama de ciencias toman Matemáticas T, mientras que algunos estudiantes de la rama de arte toman Matemáticas S. Mientras tanto, algunos estudiantes de la rama de ciencias toman más matemáticas como la quinta asignatura opcional. Hola, puedes cambiar la plantilla, prefiero el formato anterior. Es más difícil leer tu publicación con este nuevo aspecto. Hola anónimo, ¿eres un lector habitual de este blog? ¿O eres uno de los contribuyentes? ¿Le importa dejar sus datos de contacto, como la dirección de correo electrónico o la URL del blog? Gracias por tus sugerencias. Sin embargo, creo que la plantilla actual es más limpia y las fuentes son más grandes que la plantilla anterior. Además, me gustaría mantener la frescura del blog cambiando la plantilla una vez cada dos meses. Puede notar que es la tercera plantilla utilizada en el blog de Estudiantes de Malasia si ha visitado este blog desde marzo de este año. Además, me he enterado de que este mes, el promedio de páginas vistas por un lector ha aumentado aproximadamente un 23% en comparación con el mes pasado. Creo que la plantilla de blog es un factor para esta mejora. ¡Estoy de acuerdo en que esta plantilla también tiene sus desventajas! Creo que cuando dijiste "Es más difícil leer tu publicación con este nuevo aspecto", te refieres al texto (fuentes), ¿verdad? Tenga paciencia mientras averiguo cómo cambiar las fuentes. Gracias por su comentario constructivo, siempre puede contactarnos dejando su comentario en la página Contáctenos. Actualización: las fuentes de este blog se han cambiado a las fuentes utilizadas en la plantilla de blog anterior. Keith Devlin. Lo conoces. Ha leído sus columnas en MAA Online, lo ha escuchado en la radio y ha visto sus populares libros de matemáticas. Entre todas esas actividades y su propia investigación, ha trabajado arduamente revisando Conjuntos, funciones y lógica, su texto de establecimiento de estándares que ha allanado el camino hacia las matemáticas puras para legiones de estudiantes de pregrado. Ahora en su tercera edición, Devlin ha reelaborado completamente el libro para reflejar una nueva generación. La narrativa es más viva y menos parecida a un libro de texto. Los comentarios y los apartados vinculan los temas presentados al mundo real de la experiencia de los estudiantes. El capítulo sobre números complejos y la discusión de la lógica simbólica formal se ha ido a favor de más ejercicios y un nuevo capítulo introductorio sobre la naturaleza de las matemáticas, uno que motiva a los lectores y prepara el escenario para los desafíos que se avecinan. Los estudiantes que cruzan el puente del cálculo a las matemáticas superiores necesitan y merecen toda la ayuda que puedan obtener. Conjuntos, funciones y lógica, tercera edición es un pequeño libro asequible que todos los estudiantes de su curso de transición no solo pueden pagar, sino que realmente leerán. y disfrutar. y aprender de. El Dr. Keith Devlin es Director Ejecutivo del Centro para el Estudio del Lenguaje y la Información de la Universidad de Stanford y Profesor Consultor de Matemáticas en Stanford. Ha escrito 23 libros, un libro interactivo en CD-ROM y más de 70 artículos de investigación publicados. Es miembro de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, miembro del Foro Económico Mundial y ex miembro de la Junta de Educación en Ciencias Matemáticas de la Academia Nacional de Ciencias. El Dr. Devlin es también uno de los principales divulgadores de las matemáticas en el mundo. Conocido como "The Math Guy" en la edición de fin de semana de NPR, es un colaborador frecuente de otros programas de radio y televisión locales y nacionales en los EE. UU. Y Gran Bretaña, escribe una columna mensual para la revista web MAA Online y escribe regularmente sobre matemáticas y computadoras. para el periódico británico The Guardian. Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto en el círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo: En esta sección, veremos otra forma de definir funciones trigonométricas usando propiedades de triángulos rectángulos. En secciones anteriores, usamos un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para que podamos aplicarlas a triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de t t es su valor en t t radianes. Primero, necesitamos crear nuestro triángulo rectángulo. La Figura 1 muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto (x, y) (x, y) al Xeje, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene una longitud y y y cuyo lado horizontal tiene una longitud x. X . Podemos usar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las otras funciones trigonométricas como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de t, t, Un mnemónico común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formado a partir de las primeras letras de "Sine es oopuesto sobre hypotenusa, Cosine es aadyacente sobre hypotenusa, Tel agente es oopuesto sobre aadyacente ". Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, calcula el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo. Dado el triángulo que se muestra en la Figura 3, encuentre el valor de cos α. cos α. El lado adyacente al ángulo es 15 y la hipotenusa del triángulo es 17, entonces: Dado el triángulo que se muestra en la Figura 4, encuentre el valor de sen t. sin t. Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos en el triángulo de la Figura 5. El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo, y viceversa. Se nos pedirá que encontremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es encontrar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos encontrar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es cosecante, el recíproco del coseno es secante y el recíproco de la tangente es cotangente. Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evalúa las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos. Ya hemos discutido las funciones trigonométricas en lo que respecta a los ángulos especiales en el círculo unitario. Ahora, podemos usar esas relaciones para evaluar triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en funciones trigonométricas, tienen valores relativamente amigables, valores que contienen o no o solo una raíz cuadrada en la razón. Por lo tanto, estos son los ángulos que se usan a menudo en problemas de matemáticas y ciencias. Usaremos múltiplos de 30 °, 30 °, 60 °, 60 ° y 45 °, 45 °, sin embargo, recuerde que cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a ángulos entre 0 ° y 90 °. 0 ° y 90 °. Luego, podemos usar las razones de las longitudes de los lados para evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales. Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evalúe usando longitudes de lados. Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 3, π 3, usando las longitudes de los lados. Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 4, π 4, usando las longitudes de los lados. Si miramos más de cerca la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales en relación con el círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de π 6 π 6 y π 3, π 3, vemos que el seno de π 3, π 3, es decir, 3 2, 3 2, es también el coseno de π 6, π 6, mientras que el el seno de π 6, π 6, es decir, 1 2, 1 2, es también el coseno de π 3. π 3. Las identidades de cofunciones en radianes se enumeran en la Tabla 1. Dados el seno y el coseno de un ángulo, encuentre el seno o coseno de su complemento. De acuerdo con las identidades de cofunción para seno y coseno, En ejemplos anteriores, evaluamos el seno y el coseno en triángulos donde conocíamos los tres lados. Pero el poder real de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando miramos triángulos en los que conocemos un ángulo pero no todos los lados. Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, calcula los lados restantes. Encuentra los lados desconocidos del triángulo en la Figura 11. Conocemos el ángulo y el lado opuesto, por lo que podemos usar la tangente para encontrar el lado adyacente. Reorganizamos para resolver para a. un . Podemos usar el seno para encontrar la hipotenusa. Nuevamente, reorganizamos para resolver c. C . La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo hace posible encontrar la altura de un objeto alto sin tener que subir a la cima o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Lo hacemos midiendo una distancia desde la base del objeto hasta un punto en el suelo a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión en ángulo desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos usar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. De manera similar, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto debajo de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. Ver figura 12. Dado un objeto alto, mida su altura indirectamente. Para encontrar la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57 ° 57 ° entre una línea de visión hacia la parte superior del árbol y el suelo, como se muestra en la Figura 13. Calcula la altura del árbol. La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Entonces, expresaremos nuestra información en términos de la tangente de 57 °, 57 °, siendo h h la altura desconocida. El árbol mide aproximadamente 46 pies de altura. ¿Cuánto tiempo se necesita una escalera para alcanzar el alféizar de una ventana a 50 pies sobre el suelo si la escalera descansa contra el edificio formando un ángulo de 5 π 12 5 π 12 con el suelo? Redondea al pie más cercano. Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la trigonometría del triángulo rectángulo. Para el triángulo rectángulo dado, rotula el lado adyacente, el lado opuesto y la hipotenusa para el ángulo indicado. Cuando un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 se coloca en el círculo unitario, ¿qué lados del triángulo corresponden al X- y y-coordenadas? ¿La tangente de un ángulo compara qué lados del triángulo rectángulo? ¿Cuál es la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo? El contenido de matemáticas que se enseña en los grados 11 y 12 lo hacen en las escuelas ordinarias y los modos de aprendizaje a distancia son similares. No hay mucha diferencia. Los estudiantes pueden usar el pasado Preguntas y respuestas del examen de matemáticas avanzadas y generales como preguntas de revisión. Vea a continuación cómo puede obtener las preguntas anteriores del examen de matemáticas. Los estudiantes que deseen practicar las preguntas y respuestas de matemáticas pueden descargarlas aquí. Obtenga el folleto de preguntas: Documentos de exámenes anteriores de grado 12 AM y GM, PDF. Aunque los trabajos son de escuelas ordinarias, también son las mejores preguntas para practicar para su examen de matemáticas. Te animamos a que los descargues y los practiques en tu tiempo libre. Deje un comentario a continuación si necesita ayuda. El & # 8216Último & # 8217 Exámenes de matemáticas de grado 12 están protegidos con contraseña. Les daremos la contraseña antes del examen de matemáticas del grado 12. Échales un vistazo. El estudio de las matemáticas en el nivel de grado 12 tiene como objetivo principal exponer a los estudiantes a conocimientos y competencias matemáticos superiores necesarios para que puedan leer detenidamente su educación superior. La primera parte, que es común a los estudiantes de las corrientes de ciencias naturales y sociales, es una introducción al cálculo donde se introducen los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral con explicaciones intuitivas y ejemplos seguidos de definiciones formales. Numero de periodos Las unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 de los grados 11 y las unidades 1, 2, 3, 4 y 5 de los grados 12 son comunes para los estudiantes de la corriente de ciencias naturales y sociales, mientras que las unidades 7 y 8 de los grados Las unidades 11 y 6 y 7 de los grados 12 se ofrecerán solo a los estudiantes de la corriente de ciencias naturales y las unidades 9 y 10 de los grados 11 y las unidades 8 y 9 de los grados 12 son solo para los estudiantes de la corriente de ciencias sociales. Un artículo fundamental y uno de los más influyentes en el tema de los métodos multipunto para resolver ecuaciones no lineales es sin duda el artículo de Kung-Traub (Kung y Traub, 1974). Aparte de la famosa conjetura sobre el límite superior del orden de convergencia de métodos multipunto con un número fijo de F.E. (ver Sección 1.3), este artículo presenta dos familias multipunto óptimas de métodos iterativos de orden arbitrario. Estas familias generales se estudiarán en capítulos posteriores junto con su análisis de convergencia. Sin embargo, el uso frecuente y la cita de estas familias, llamadas familia K-T por brevedad, impone su breve introducción. Presentamos las familias de Kung-Traub en la forma dada en Kung y Traub (1974). K-T (2.109) : Para cualquier metro , defina la función de iteración p j (f) (j = 0,…, m) de la siguiente manera: p 0 (f) (x) = x y para m & gt 0, para j = 1,…, m - 1, donde R j (y) es el polinomio de interpolación inversa de grado como máximo j tal que Notemos que la familia K-T (2.109) no requiere evaluación de derivadas de F. El orden de convergencia de la familia K-T (2.109), que consta de m - 1 pasos, es 2 m - 1 (m ⩾ 2). K-T (2.110) : Para cualquier metro, defina la función de iteración q j (f) (j = 1,…, m) de la siguiente manera: q 1 (f) (x) = x, y para m & gt 1, para j = 2,…, m - 1, donde S j (y) es el polinomio de interpolación inversa de grado como máximo j tal que El orden de convergencia de la familia K-T (2.110), que consta de m - 1 pasos, es 2 m - 1 (m ⩾ 2). p 1 en (2.109) yq 1 en (2.110) son solo pasos de inicialización y no hacen el primer paso de las iteraciones descritas. En este capítulo estudiamos métodos de dos puntos por lo que es de interés presentar los métodos de dos puntos obtenidos como casos especiales de las familias Kung-Traub (2.109) y (2.110). Primero, para m = 3 obtenemos de (2.109) el método de derivada libre de dos puntos El método de dos puntos (2.111) es de cuarto orden y requiere tres F.E. por lo que pertenece a la clase Ψ 4 de métodos óptimos. El esquema iterativo (2.111) se puede reescribir en la forma donde t k = f (y k) / f (x k) y s k = f (y k) / f (x k + γ f (x k)). Comparando (2.112) a (2.91) con h dada por (2.98), observamos que la familia (2.91) es una generalización del método de dos puntos de Kung-Traub (2.111). Tomando m = 3 en (2.110), obtenemos el método de dos puntos de cuarto orden de Kung-Traub, Tenga en cuenta que la familia (2.74) es una generalización del método de Kung-Traub (2.113), que se sigue de esta familia tomando r = - 2 en (2.80) o a = 1 en (2.83). Hemos aplicado algunos de los métodos de dos puntos de cuarto orden presentados a la función Cuadro 2.3. Ejemplo 2.6 - f (x) = (x - 2) (x 10 + x + 1) e - x - 1, α = 2 Los autores de Everyday Mathematics responden preguntas frecuentes sobre CCSS y EM. Andy Isaacs, director de revisiones de EM, analiza la edición CCSSM de Everyday Mathematics. Aprende más Únase a la comunidad virtual de aprendizaje para acceder a videos de lecciones de EM desde aulas reales, compartir recursos, discutir temas de EM con otros educadores y más. Acceda a recursos específicos de grado para maestros, como guías de ritmo, listas de literatura y juegos. UChicago STEM Education ofrece servicios de planificación estratégica para las escuelas que desean fortalecer sus programas de matemáticas de Pre-K & ndash6. El sitio web de McGraw-Hill Education presenta materiales complementarios, juegos, herramientas de evaluación y planificación, soporte técnico y más.
5.4: Más temas en funciones (ejercicios) - Matemáticas
Estudiantes de Malasia
Números y conjuntos
Numeros reales
Exponentes y logaritmos
Números complejos
Conjuntos65 comentarios:
Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas, tercera edición
5.4 Trigonometría de triángulo rectángulo
Uso de triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas
Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos
Cómo
Ejemplo 1
Evaluar una función trigonométrica de un triángulo rectángulo
Solución
Pruébelo # 1
Relacionar ángulos y sus funciones
Cómo
Ejemplo 2
Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar
Solución
Pruébelo # 2
Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales
Cómo
Ejemplo 3
Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando longitudes laterales
Solución
Pruébelo # 3
Utilización de la misma función de complementos
Identidades de Cofunction
Cómo
Ejemplo 4
Uso de identidades de cofunciones
Solución
Pruébelo # 4
Uso de funciones trigonométricas
Cómo
Ejemplo 5
Encontrar longitudes de lados faltantes mediante relaciones trigonométricas
Solución
Pruébelo # 5
Uso de la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados
Cómo
Ejemplo 6
Medir una distancia indirectamente
Solución
Pruébelo # 6
Medios de comunicación
5.4 Ejercicios de sección
Verbal
Preguntas y respuestas del examen de matemáticas avanzadas y generales de grado 11 y 12
Descripción
Características
Guía para profesores de matemáticas de grado 12 de Etiopía
comprender las tasas de cambio
Definición gráfica de la derivada
Definición formal (diferenciabilidad en un punto)
Diferenciabilidad en un intervalo
Diferenciación de potencia, trigonométrica simple, exponencial
y funciones logarítmicas.
Integral de:
& # 8211 Constante
& # 8211 Poder
& # 8211 Trigonométrica
& # 8211 Funciones exponenciales y logarítmicas
Sustitución elemental
Fracciones parciales
Integración por partes
incluidos los datos agrupados. (Media, Mediana, Moda, Rango, Inter
el cuartil sonó y la desviación estándar de los datos en sí o
de los totales dados)
diferentes varianzas (coeficientes de variación).
Descargar PDF Guía del profesor de matemáticas de grado 12
Métodos de dos puntos
2.5 Métodos multipunto de Kung-Traub
Métodos de dos puntos | x 1 - α | | x 2 - α | | x 3 - α | | x 4 - α | IM de Ostrowski (2,47) 1.72(−3) 3.13(−10) 3.49(−37) 5.43(−145) Mensajería instantánea de Maheshwari (2,85) 5.27(−3) 1.59(−7) 1.45(−25) 9.97(−98) (2.91) h = 1 + s + t, γ = 0.01 1.01(−3) 7.84(−11) 2.93(-39) 5.68(−153) (2.91) h = 1 + s 1 - t, γ = 0.01 3.29(−4) 3.66(−13) 5.59(−49) 3.04(−192) IM de Ren-Wu-Bi (2.104), a = 0 2.66(−2) 2.09(−3) 1.26(−6) 2.53(−19) IM de Kung-Traub (2.112) γ = 0.01 7.56(−3) 6.80(−7) 4.88(−23) 1.29(−87) Mensajería instantánea de Kung-Traub (2.113) 3.45(−3) 1.36(−8) 3.38(−30) 1.31(−116)
5.4: Más temas en funciones (ejercicios) - Matemáticas
Matemáticas cotidianas y los estándares estatales básicos comunes para la práctica matemática
Comunidad virtual de aprendizaje de matemáticas cotidianas
Información de nivel de grado
Desarrollo profesional
En el sitio del editor
Ver el vídeo: Concepts of Exponential u0026 Logarithmic Fn. CBSE 12 Maths u0026comp. Ex intro (Agosto 2022).
