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5.4: Más temas en funciones (ejercicios) - Matemáticas

5.4: Más temas en funciones (ejercicios) - Matemáticas



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5.1: Composición de funciones

subsection {Ejercicios}

En Ejercicios ref {funccompeval1first} - ref {funccompeval1last}, use el par de funciones dado para encontrar los siguientes valores, si existen.

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) $

item $ (f circ g) (- 1) $

item $ (f circ f) (2) $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

elemento $ (g circ f) (- 3) $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) $

item $ (f circ f) (- 2) $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f (x) = x ^ 2 $, $ g (x) = 2x + 1 $ label {funccompeval1first}

elemento $ f (x) = 4-x $, $ g (x) = 1-x ^ 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

artículo $ f (x) = 4-3x $, $ g (x) = | x | $

artículo $ f (x) = | x-1 | $, $ g (x) = x ^ 2-5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 4x + 5 $, $ g (x) = sqrt {x} $

item $ f (x) = sqrt {3-x} $, $ g (x) = x ^ 2 + 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 6-x-x ^ 2 $, $ g (x) = x sqrt {x + 10} $

item $ f (x) = sqrt [3] {x + 1} $, $ g (x) = 4x ^ 2-x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {3} {1-x} $, $ g (x) = dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} $

item $ f (x) = dfrac {x} {x + 5} $, $ g (x) = dfrac {2} {7-x ^ 2} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x} {5-x ^ 2} $, $ g (x) = sqrt {4x + 1} $

item $ f (x) = sqrt {2x + 5} $, $ g (x) = dfrac {10x} {x ^ 2 + 1} $ label {funccompeval1last}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

En Ejercicios ref {funccompexp1first} - ref {funccompexp1last}, use el par de funciones dado para encontrar y simplificar expresiones para las siguientes funciones y establecer el dominio de cada una usando notación de intervalo.

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) $

item $ (f circ g) (x) $

item $ (f circ f) (x) $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 2x + 3 $, $ g (x) = x ^ 2-9 $ label {funccompexp1first}

item $ f (x) = x ^ 2 -x + 1 $, $ g (x) = 3x-5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

artículo $ f (x) = x ^ 2-4 $, $ g (x) = | x | $

item $ f (x) = 3x-5 $, $ g (x) = sqrt {x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

elemento $ f (x) = | x + 1 | $, $ g (x) = sqrt {x} $

item $ f (x) = 3-x ^ 2 $, $ g (x) = sqrt {x + 1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

elemento $ f (x) = | x | $, $ g (x) = sqrt {4-x} $

item $ f (x) = x ^ 2-x-1 $, $ g (x) = sqrt {x-5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 3x-1 $, $ g (x) = dfrac {1} {x + 3} $

item $ f (x) = dfrac {3x} {x-1} $, $ g (x) = dfrac {x} {x-3} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x} {2x + 1} $, $ g (x) = dfrac {2x + 1} {x} $

item $ f (x) = dfrac {2x} {x ^ 2-4} $, $ g (x) = sqrt {1-x} $

label {funccompexp1last}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

salto de página

En Ejercicios ref {threefunccompfirst} - ref {threefunccomplast}, use $ f (x) = -2x $, $ g (x) = sqrt {x} $ y $ h (x) = | x | $ para encontrar y simplifique expresiones para las siguientes funciones y establezca el dominio de cada una usando notación de intervalo.

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (h circ g circ f) (x) $ label {threefunccompfirst}

item $ (h circ f circ g) (x) $

item $ (g circ f circ h) (x) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ h circ f) (x) $

item $ (f circ h circ g) (x) $

item $ (f circ g circ h) (x) $ label {threefunccomplast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

En Ejercicios ref {breakdowncompexfirst} - ref {breakdownxomexlast}, escriba la función dada como una composición de dos o más funciones sin identidad. (Hay varias respuestas correctas, así que verifique su respuesta usando la composición de funciones).

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ p (x) = (2x + 3) ^ 3 $ label {breakdowncompexfirst}

item $ P (x) = left (x ^ 2-x + 1 right) ^ 5 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ h (x) = sqrt {2x-1} $

artículo $ H (x) = | 7-3x | $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ r (x) = dfrac {2} {5x + 1} $

item $ R (x) = dfrac {7} {x ^ 2-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ q (x) = dfrac {| x | +1} {| x | -1} $

item $ Q (x) = dfrac {2x ^ 3 + 1} {x ^ 3-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ v (x) = dfrac {2x + 1} {3-4x} $

item $ w (x) = dfrac {x ^ 2} {x ^ 4 + 1} $ label {breakdownxomexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Escribe la función $ F (x) = sqrt { dfrac {x ^ {3} + 6} {x ^ {3} - 9}} $ como una composición de tres o más funciones sin identidad.

item Sea $ g (x) = -x, , h (x) = x + 2, , j (x) = 3x $ y $ k (x) = x - 4 $. ¿En qué orden deben componerse estas funciones con $ f (x) = sqrt {x} $ para crear $ F (x) = 3 sqrt {-x + 2} - 4 $?

item ¿Qué funciones lineales podrían usarse para transformar $ f (x) = x ^ {3} $ en $ F (x) = - frac {1} {2} (2x - 7) ^ {3} + 1 $ ? ¿Cuál es el orden correcto de composición?

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

En los Ejercicios ref {pointcompexfirst} - ref {pointcompexlast}, sea $ f $ la función definida por [f = {(- 3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, -1) } ] y sea $ g $ la función definida [g = {(- 3, -2) , (-2, 0), (-1, -4), (0, 0), (1, -3), (2, 1), (3, 2) } ]. Encuentre el valor si existe.

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (3) $ label {pointcompexfirst}

item $ f (g (-1)) $

item $ (f circ f) (0) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (- 3) $

item $ (g circ f) (3) $

elemento $ g (f (-3)) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

elemento $ (g circ g) (- 2) $

elemento $ (g circ f) (- 2) $

elemento $ g (f (g (0))) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

elemento $ f (f (f (-1))) $

item $ f (f (f (f (f (1))))) $

item $ underbrace {(g circ g circ cdots circ g)} _ { mbox {$ n $ times}} (0) $ label {pointcompexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

%salto de página

En Ejercicios ref {twofuncgraphcompfirst} - ref {twofuncgraphcomplast}, use las gráficas de $ y = f (x) $ y $ y = g (x) $ a continuación para encontrar el valor de la función.

begin {center}

begin {tabular} {cc}

begin {mfpic} [20] {- 1} {5} {- 1} {5}

ejes

tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,5) { scriptsize $ y $}

xmarks {1,2,3,4}

ymarks {1,2,3,4}

tlpointsep {5pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

polyline {(0,4), (1,2), (2,3), (3,3), (4,0)}

point [3pt] {(0,4), (1,2), (2,3), (3,3), (4,0)}

alla normal

tcaption {$ y = f (x) $}

end {mfpic}

&

hspace {1in}

begin {mfpic} [20] {- 1} {5} {- 1} {5}

ejes

tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,5) { scriptsize $ y $}

xmarks {1,2,3,4}

ymarks {1,2,3,4}

tlpointsep {5pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

polyline {(0,0), (1,3), (2,3), (3,0), (4,4)}

point [3pt] {(0,0), (1,3), (2,3), (3,0), (4,4)}

alla normal

tcaption {$ y = g (x) $}

end {mfpic}

end {tabular}

end {centro}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ f) (1) $ label {twofuncgraphcompfirst}

item $ (f circ g) (3) $

item $ (g circ f) (2) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (0) $

item $ (f circ f) (1) $

item $ (g circ g) (1) $ label {twofuncgraphcomplast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item El volumen $ V $ de un cubo es una función de la longitud de sus lados $ x $. Supongamos que $ x = t + 1 $ también es función del tiempo $ t $, donde $ x $ se mide en pulgadas y $ t $ en minutos. Encuentre una fórmula para $ V $ en función de $ t $.

item Suponga que un vendedor local cobra $ $ 2 $ por hot dog y que la cantidad de hot dogs vendidos por hora $ x $ viene dada por $ x (t) = -4t ^ 2 + 20t + 92 $, donde $ t $ es el número de horas desde $ 10 $ AM, $ 0 leq t leq 4 $.

begin {enumerate}

item Encuentre una expresión para los ingresos por hora $ R $ en función de $ x $.

item Encuentra y simplifica $ left (R circ x right) (t) $. ¿Qué representa esto?

item ¿Cuáles son los ingresos por hora al mediodía?

end {enumerate}

item Discuta con sus compañeros de clase cómo los procesos del "mundo real", como completar formularios de impuestos federales sobre la renta o calcular la calificación final del curso, podrían verse como un uso de la composición de funciones. Encuentre un proceso para el que la composición consigo misma (iteración) tenga sentido.

end {enumerate}

ueva pagina

subsection {Respuestas}

begin {enumerate}

item Para $ f (x) = x ^ 2 $ y $ g (x) = 2x + 1 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 1 $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = 16 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

elemento $ (g circ f) (- 3) = 19 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = 4 $

elemento $ (f circ f) (- 2) = 16 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = 4-x $ y $ g (x) = 1-x ^ 2 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = -15 $

elemento $ (f circ g) (- 1) = 4 $

item $ (f circ f) (2) = 2 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

elemento $ (g circ f) (- 3) = -48 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {13} {4} $

item $ (f circ f) (- 2) = -2 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = 4-3x $ y $ g (x) = | x | $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 4 $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = 10 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 13 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {5} {2} $

elemento $ (f circ f) (- 2) = -26 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = | x-1 | $ y $ g (x) = x ^ 2-5 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = -4 $

item $ (f circ g) (- 1) = 5 $

item $ (f circ f) (2) = 0 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

elemento $ (g circ f) (- 3) = 11 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {23} {4} $

item $ (f circ f) (- 2) = 2 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = 4x + 5 $ y $ g (x) = sqrt {x} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = sqrt {5} $

item $ (f circ g) (- 1) $ no es real

item $ (f circ f) (2) = 57 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) $ no es real

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = 5 + 2 sqrt {2} $

elemento $ (f circ f) (- 2) = -7 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = sqrt {3-x} $ y $ g (x) = x ^ 2 + 1 $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 4 $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = sqrt {2} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

elemento $ (g circ f) (- 3) = 7 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac { sqrt {7}} {2} $

elemento $ (f circ f) (- 2) = sqrt {3 - sqrt {5}} $

end {itemize}

end {multicols}

salto de página

item Para $ f (x) = 6-x-x ^ 2 $ y $ g (x) = x sqrt {x + 10} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 24 $

item $ (f circ g) (- 1) = 0 $

item $ (f circ f) (2) = 6 $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 0 $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {27-2 sqrt {42}} {8} $

elemento $ (f circ f) (- 2) = -14 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = sqrt [3] {x + 1} $ y $ g (x) = 4x ^ 2-x $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 3 $

item $ (f circ g) (- 1) = sqrt [3] {6} $

item $ (f circ f) (2) = sqrt [3] { sqrt [3] {3} +1} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = 4 sqrt [3] {4} + sqrt [3] {2} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac { sqrt [3] {12}} {2} $

item $ (f circ f) (- 2) = 0 $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = frac {3} {1-x} $ y $ g (x) = frac {4x} {x ^ 2 + 1} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = frac {6} {5} $

item $ (f circ g) (- 1) = 1 $

item $ (f circ f) (2) = frac {3} {4} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = frac {48} {25} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = -5 $

item $ (f circ f) (- 2) $ no está definido

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = frac {x} {x + 5} $ y $ g (x) = frac {2} {7-x ^ 2} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = frac {2} {7} $

item $ (f circ g) (- 1) = frac {1} {16} $

item $ (f circ f) (2) = frac {2} {37} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = frac {8} {19} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = frac {8} {143} $

item $ (f circ f) (- 2) = - frac {2} {13} $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = frac {2x} {5-x ^ 2} $ y $ g (x) = sqrt {4x + 1} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = 1 $

item $ (f circ g) (- 1) $ no es real

item $ (f circ f) (2) = - frac {8} {11} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) = sqrt {7} $

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = sqrt {3} $

item $ (f circ f) (- 2) = frac {8} {11} $

end {itemize}

end {multicols}

item Para $ f (x) = sqrt {2x + 5} $ y $ g (x) = frac {10x} {x ^ 2 + 1} $,

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (0) = frac {5 sqrt {5}} {3} $

item $ (f circ g) (- 1) $ no es real

item $ (f circ f) (2) = sqrt {11} $

end {itemize}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {itemize}

item $ (g circ f) (- 3) $ no es real

item $ (f circ g) left ( frac {1} {2} right) = sqrt {13} $

elemento $ (f circ f) (- 2) = sqrt {7} $

end {itemize}

end {multicols}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Para $ f (x) = 2x + 3 $ y $ g (x) = x ^ 2-9 $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = 4x ^ 2 + 12x $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = 2x ^ 2-15 $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ f) (x) = 4x + 9 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

salto de página

item Para $ f (x) = x ^ 2 -x + 1 $ y $ g (x) = 3x-5 $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = 3x ^ 2-3x-2 $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = 9x ^ 2-33x + 31 $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-2x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 1 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = x ^ 2-4 $ y $ g (x) = | x | $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = | x ^ 2-4 | $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = | x | ^ 2-4 = x ^ 2-4 $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-8x ^ 2 + 12 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = 3x-5 $ y $ g (x) = sqrt {x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {3x-5} $, dominio: $ left [ frac {5} {3}, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = 3 sqrt {x} -5 $, dominio: $ [0, infty) $

item $ (f circ f) (x) = 9x-20 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = | x + 1 | $ y $ g (x) = sqrt {x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {| x + 1 |} $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ g) (x) = | sqrt {x} +1 | = sqrt {x} + 1 $, dominio: $ [0, infty) $

item $ (f circ f) (x) = || x + 1 | +1 | = | x + 1 | + 1 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = 3-x ^ 2 $ y $ g (x) = sqrt {x + 1} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {4-x ^ 2} $, dominio: $ [- 2,2] $

item $ (f circ g) (x) = 2-x $, dominio: $ [- 1, infty) $

item $ (f circ f) (x) = -x ^ 4 + 6x ^ 2-6 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = | x | $ y $ g (x) = sqrt {4-x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {4- | x |} $, dominio: $ [- 4,4] $

item $ (f circ g) (x) = | sqrt {4-x} | = sqrt {4-x} $, dominio: $ (- infty, 4] $

item $ (f circ f) (x) = | | x | | = | x | $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

salto de página

item Para $ f (x) = x ^ 2-x-1 $ y $ g (x) = sqrt {x-5} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt {x ^ 2-x-6} $, dominio: $ (- infty, -2] cup [3, infty) $

item $ (f circ g) (x) = x-6- sqrt {x-5} $, dominio: $ [5, infty) $

item $ (f circ f) (x) = x ^ 4-2x ^ 3-2x ^ 2 + 3x + 1 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = 3x-1 $ y $ g (x) = frac {1} {x + 3} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = frac {1} {3x + 2} $, dominio: $ left (- infty, - frac {2} {3} right) cup izquierda (- frac {2} {3}, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = - frac {x} {x + 3} $, dominio: $ left (- infty, -3 right) cup left (-3, infty right) $

item $ (f circ f) (x) = 9x-4 $, dominio: $ (- infty, infty) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = frac {3x} {x-1} $ y $ g (x) = frac {x} {x-3} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = x $, dominio: $ left (- infty, 1 right) cup (1, infty) $

item $ (f circ g) (x) = x $, dominio: $ left (- infty, 3 right) cup (3, infty) $

item $ (f circ f) (x) = frac {9x} {2x + 1} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup izquierda (- frac {1} {2}, 1 right) cup left (1, infty right) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = frac {x} {2x + 1} $ y $ g (x) = frac {2x + 1} {x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = frac {4x + 1} {x} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup izquierda (- frac {1} {2}, 0), cup (0, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = frac {2x + 1} {5x + 2} $, dominio: $ left (- infty, - frac {2} {5} right) taza izquierda (- frac {2} {5}, 0 derecha) taza (0, infty) $

item $ (f circ f) (x) = frac {x} {4x + 1} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1} {2} right) cup izquierda (- frac {1} {2}, - frac {1} {4} derecha) taza izquierda (- frac {1} {4}, infty derecha) $

end {itemize}

item Para $ f (x) = frac {2x} {x ^ 2-4} $ y $ g (x) = sqrt {1-x} $

begin {itemize}

item $ (g circ f) (x) = sqrt { frac {x ^ 2-2x-4} {x ^ 2-4}} $, dominio: $ left (- infty, -2 derecha) cup left [1- sqrt {5}, 2 right) cup left [1+ sqrt {5}, infty right) $

item $ (f circ g) (x) = - frac {2 sqrt {1-x}} {x + 3} $, dominio: $ left (- infty, -3 right) cup left (-3, 1 right] $

item $ (f circ f) (x) = frac {4x-x ^ 3} {x ^ 4-9x ^ 2 + 16} $, dominio: $ left (- infty, - frac {1 + sqrt {17}} {2} right) cup left (- frac {1+ sqrt {17}} {2}, -2 right) cup left (-2, frac { 1- sqrt {17}} {2} right) cup left ( frac {1- sqrt {17}} {2}, frac {-1+ sqrt {17}} {2} derecha) taza izquierda ( frac {-1+ sqrt {17}} {2}, 2 derecha) taza izquierda (2, frac {1+ sqrt {17}} {2} derecha ) taza izquierda ( frac {1+ sqrt {17}} {2}, infty right) $

end {itemize}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (h circ g circ f) (x) = | sqrt {-2x} | = sqrt {-2x} $, dominio: $ (- infty, 0] $

item $ (h circ f circ g) (x) = | -2 sqrt {x} | = 2 sqrt {x} $, dominio: $ [0, infty) $

item $ (g circ f circ h) (x) = sqrt {-2 | x |} $, dominio: $ {0 } $

item $ (g circ h circ f) (x) = sqrt {| -2x |} = sqrt {2 | x |} $, dominio: $ (- infty, infty) $

item $ (f circ h circ g) (x) = -2 | sqrt {x} | = -2 sqrt {x} $, dominio: $ [0, infty) $

item $ (f circ g circ h) (x) = -2 sqrt {| x |} $, dominio: $ (- infty, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Sea $ f (x) = 2x + 3 $ y $ g (x) = x ^ 3 $, luego $ p (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = x ^ 2-x + 1 $ y $ g (x) = x ^ 5 $, $ P (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = 2x-1 $ y $ g (x) = sqrt {x} $, luego $ h (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = 7-3x $ y $ g (x) = | x | $, luego $ H (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = 5x + 1 $ y $ g (x) = frac {2} {x} $, luego $ r (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = x ^ 2-1 $ y $ g (x) = frac {7} {x} $, luego $ R (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = | x | $ y $ g (x) = frac {x + 1} {x-1} $, luego $ q (x) = (g circ f) (x) PS

item Sea $ f (x) = x ^ 3 $ y $ g (x) = frac {2x + 1} {x-1} $, luego $ Q (x) = (g circ f) (x) PS

item Sea $ f (x) = 2x $ y $ g (x) = frac {x + 1} {3-2x} $, luego $ v (x) = (g circ f) (x) $.

item Sea $ f (x) = x ^ 2 $ y $ g (x) = frac {x} {x ^ 2 + 1} $, luego $ w (x) = (g circ f) (x) PS

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ F (x) = sqrt { frac {x ^ {3} + 6} {x ^ {3} - 9}} = (h (g (f (x))) $ donde $ f (x ) = x ^ {3}, , g (x) = frac {x + 6} {x - 9} $ y $ h (x) = sqrt {x} $.

item $ F (x) = 3 sqrt {-x + 2} - 4 = k (j (f (h (g (x))))) $

item Una posible solución es $ F (x) = - frac {1} {2} (2x - 7) ^ {3} + 1 = k (j (f (h (g (x))))) $ donde $ g (x) = 2x, , h (x) = x - 7, , j (x) = - frac {1} {2} x $ y $ k (x) = x + 1 $. También podrías tener $ F (x) = H (f (G (x))) $ donde $ G (x) = 2x - 7 $ y $ H (x) = - frac {1} {2} x + 1 $.

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (3) = f (g (3)) = f (2) = 4 $

item $ f (g (-1)) = f (-4) $ que no está definido

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ f) (0) = f (f (0)) = f (1) = 3 $

elemento $ (f circ g) (- 3) = f (g (-3)) = f (-2) = 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ f) (3) = g (f (3)) = g (-1) = -4 $

item $ g (f (-3)) = g (4) $ que no está definido

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ g) (- 2) = g (g (-2)) = g (0) = 0 $

item $ (g circ f) (- 2) = g (f (-2)) = g (2) = 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (f (g (0))) = g (f (0)) = g (1) = -3 $

item $ f (f (f (-1))) = f (f (0)) = f (1) = 3 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (f (f (f (f (1))))) = f (f (f (f (3)))) = f (f (f (-1))) = f ( f (0)) = f (1) = 3 $

item $ underbrace {(g circ g circ cdots circ g)} _ { mbox {$ n $ veces}} (0) = 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

salto de página

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (g circ f) (1) = 3 $

item $ (f circ g) (3) = 4 $

item $ (g circ f) (2) = 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (f circ g) (0) = 4 $

item $ (f circ f) (1) = 3 $

item $ (g circ g) (1) = 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ V (x) = x ^ {3} $ entonces $ V (x (t)) = (t + 1) ^ {3} $

item begin {enumerate}

artículo $ R (x) = 2x $

item $ left (R circ x right) (t) = -8t ^ 2 + 40t + 184 $, $ 0 leq t leq 4 $. Esto da los ingresos por hora en función del tiempo.

item El mediodía corresponde a $ t = 2 $, entonces $ left (R circ x right) (2) = 232 $. Los ingresos por hora al mediodía son $ $ 232 $ por hora.

end {enumerate}

end {enumerate}

closegraphsfile

5.2: Funciones inversas

subsection {Ejercicios}

En Ejercicios ref {inversehwfirst} - ref {inversehwlast}, demuestre que la función dada es uno a uno y encuentre su inversa. Verifique sus respuestas algebraicamente y gráficamente. Verifique que el rango de $ f $ sea el dominio de $ f ^ {- 1} $ y viceversa.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f (x) = 6x - 2 $ label {inversehwfirst}

artículo $ f (x) = 42-x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {x-2} {3} + 4 $

item $ f (x) = 1 - dfrac {4 + 3x} {5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt {3x-1} + 5 $

item $ f (x) = 2- sqrt {x - 5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = 3 sqrt {x-1} -4 $

item $ f (x) = 1 - 2 sqrt {2x + 5} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [5] {3x-1} $

item $ f (x) = 3- sqrt [3] {x-2} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x ^ 2 - 10x $, $ x geq 5 $

elemento $ f (x) = 3 (x + 4) ^ {2} - 5, ; x leq -4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

elemento $ f (x) = x ^ 2-6x + 5, ; x leq 3 $

item $ f (x) = 4x ^ 2 + 4x + 1 $, $ x <-1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {3} {4-x} $

item $ f (x) = dfrac {x} {1-3x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {2x-1} {3x + 4} $

item $ f (x) = dfrac {4x + 2} {3x - 6} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = dfrac {-3x - 2} {x + 3} $

item $ f (x) = dfrac {x-2} {2x-1} $ label {inversehwlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

Con la ayuda de tus compañeros de clase, encuentra las inversas de las funciones en Ejercicios ref {genericinversefirst} - ref {genericinverselast}.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = ax + b, ; una neq 0 $ label {genericinversefirst}

item $ f (x) = a sqrt {x - h} + k, ; a neq 0, x geq h $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = ax ^ {2} + bx + c $ donde $ a neq 0, , x geq - dfrac {b} {2a} $.

item $ f (x) = dfrac {ax + b} {cx + d}, ; $ (Vea el ejercicio ref {whatconditions} a continuación). label {genericinverselast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item En el ejemplo ref {costrevenueprofitex1}, el precio de un reproductor multimedia dOpi, en dólares por dOpi, se da como una función de las ventas semanales $ x $ según la fórmula $ p (x) = 450-15x $ para $ 0 leq x leq 30 $.

begin {enumerate}

item Encuentra $ p ^ {- 1} (x) $ e indica su dominio.

item Encuentra e interpreta $ p ^ {- 1} (105) $.

item En el ejemplo ref {costrevenueprofitex1}, determinamos que la ganancia (en dólares) obtenida de producir y vender $ x $ dOpis por semana es $ P (x) = -15x ^ 2 + 350x-2000 $, por $ 0 leq x leq 30 $. Encuentre $ left (P circ p ^ {- 1} right) (x) $ y determine qué precio por dOpi produciría la ganancia máxima. ¿Cuál es el beneficio máximo? ¿Cuántas dOpis deben producirse y venderse para lograr el máximo beneficio?

end {enumerate}

item Muestre que la función de conversión de Fahrenheit a Celsius encontrada en el Ejercicio ref {celsiustofahr} en la Sección ref {LinearFunctions} es invertible y que su inversa es la función de conversión de Celsius a Fahrenheit.

item Demuestre analíticamente que la función $ f (x) = x ^ 3 + 3x + 1 $ es uno a uno. Dado que encontrar una fórmula para su inversa está más allá del alcance de este libro de texto, use el Teorema ref {inversefunctionprops} como ayuda para calcular $ f ^ {- 1} (1), ; f ^ {- 1} (5), ; $ y $ f ^ {- 1} (- 3) $.

item Sea $ f (x) = frac {2x} {x ^ 2-1} $. Usando las técnicas de la Sección ref {RationalGraphs}, grafique $ y = f (x) $. Verifique que $ f $ sea uno a uno en el intervalo $ (- 1,1) $. Utilice el procedimiento descrito en Page pageref {procedimiento inverso} y su calculadora gráfica para encontrar la fórmula para $ f ^ {- 1} (x) $. Tenga en cuenta que, dado que $ f (0) = 0 $, debería darse el caso de que $ f ^ {- 1} (0) = 0 $. ¿Qué sale mal cuando intenta sustituir $ x = 0 $ en $ f ^ {- 1} (x) $? Analice con sus compañeros cómo surgió este problema y sus posibles soluciones.

item Con la ayuda de sus compañeros de clase, explique por qué una función que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en todo su dominio tendría que ser uno a uno, por lo tanto invertible.

item Si $ f $ es impar e invertible, demuestre que $ f ^ {- 1} $ también es impar.

item label {fcircginverse} Sean $ f $ y $ g $ funciones invertibles. Con la ayuda de tus compañeros, demuéstrales que $ (f circ g) $ es uno a uno, por lo tanto, invertible, y que $ (f circ g) ^ {- 1} (x) = (g ^ {- 1 } circ f ^ {- 1}) (x) $.

item ¿Qué característica gráfica debe poseer una función $ f $ para que sea su propia inversa?

item label {whatconditions} ¿Qué condiciones debe colocar en los valores de $ a, b, c $ y $ d $ en el ejercicio ref {genericinverselast} para garantizar que la función sea invertible?

end {enumerate}

ueva pagina

subsection {Respuestas}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x + 2} {6} $

item $ f ^ {- 1} (x) = 42-x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = 3x-10 $

item $ f ^ {- 1} (x) = - frac {5} {3} x + frac {1} {3} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} (x-5) ^ 2 + frac {1} {3} $, $ x geq 5 $

item $ f ^ {- 1} (x) = (x - 2) ^ {2} + 5, ; x leq 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {9} (x + 4) ^ 2 + 1 $, $ x geq -4 $

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {8} (x-1) ^ 2- frac {5} {2} $, $ x leq 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = frac {1} {3} x ^ {5} + frac {1} {3} $

item $ f ^ {- 1} (x) = - (x-3) ^ 3 + 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = 5 + sqrt {x + 25} $

item $ f ^ {- 1} (x) = - sqrt { frac {x + 5} {3}} - 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = 3 - sqrt {x + 4} $

item $ f ^ {- 1} (x) = - frac { sqrt {x} +1} {2} $, $ x> 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {4x-3} {x} $

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x} {3x + 1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {4x + 1} {2-3x} $

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {6x + 2} {3x - 4} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {-3x - 2} {x + 3} $

item $ f ^ {- 1} (x) = dfrac {x-2} {2x-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

addtocounter {enumi} {4}

Articulo

begin {enumerate}

item $ p ^ {- 1} (x) = frac {450-x} {15} $. El dominio de $ p ^ {- 1} $ es el rango de $ p $ que es $ [0,450] $

item $ p ^ {- 1} (105) = 23 $. Esto significa que si el precio se establece en $ $ 105 $, se venderán $ 23 $ dOpis.

item $ left (P circ p ^ {- 1} right) (x) = - frac {1} {15} x ^ 2 + frac {110} {3} x - 5000 $, $ 0 leq x leq 450 $. La gráfica de $ y = left (P circ p ^ {- 1} right) (x) $ es una parábola que se abre hacia abajo con el vértice $ left (275, frac {125} {3} right) aprox. (275, 41,67) $. Esto significa que la ganancia máxima es la friolera de $ $ 41.67 $ cuando el precio por dOpi se establece en $ $ 275 $. A este precio, podemos producir y vender $ p ^ {- 1} (275) = 11. overline {6} $ dOpis. Como no podemos vender parte de un sistema, necesitamos ajustar el precio para vender $ 11 $ dOpis o $ 12 $ dOpis. Encontramos $ p (11) = 285 $ y $ p (12) = 270 $, lo que significa que establecemos el precio por dOpi en $ $ 285 $ o $ $ 270 $, respectivamente. Las ganancias a estos precios son $ left (P circ p ^ {- 1} right) (285) = 35 $ y $ left (P circ p ^ {- 1} right) (270) = 40 $, por lo que parece que la ganancia máxima es $ $ 40 $ y se obtiene produciendo y vendiendo $ 12 $ dOpis a la semana a un precio de $ $ 270 $ por dOpi.

end {enumerate}

addtocounter {enumi} {1}

item Dado que $ f (0) = 1 $, tenemos $ f ^ {- 1} (1) = 0 $. De manera similar $ f ^ {- 1} (5) = 1 $ y $ f ^ {- 1} (- 3) = -1 $

end {enumerate}

closegraphsfile

5.3: Otras funciones algebraicas

subsection {Ejercicios}

Para cada función en Ejercicios ref {algfcngraphexfirst} - ref {algfcngraphexlast} a continuación

begin {itemize}

item Encuentra su dominio.

item Crea un diagrama de letreros.

item Utilice su calculadora para dibujar su gráfico e identificar asíntotas verticales u horizontales, "pendientes inusuales" o cúspides.

end {itemize}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

item $ f (x) = sqrt {1 - x ^ {2}} $ label {algfcngraphexfirst}

item $ f (x) = sqrt {x ^ 2-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x sqrt {1-x ^ 2} $

elemento $ f (x) = x sqrt {x ^ 2-1} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [4] { dfrac {16x} {x ^ {2} - 9}} $

item $ f (x) = dfrac {5x} { sqrt [3] {x ^ {3} + 8}} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = x ^ { frac {2} {3}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

item $ f (x) = x ^ { frac {3} {2}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

elemento $ f (x) = sqrt {x (x + 5) (x - 4)} $

item $ f (x) = sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8} $ label {algfcngraphexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

En Ejercicios ref {radicalgraphexfirst} - ref {radicalgraphexlast}, dibuje la gráfica de $ y = g (x) $ comenzando con la gráfica de $ y = f (x) $ y usando las transformaciones presentadas en la Sección ref { Transformaciones}.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [3] {x} $, $ g (x) = sqrt [3] {x-1} -2 $ label {radicalgraphexfirst}

item $ f (x) = sqrt [3] {x} $, $ g (x) = -2 sqrt [3] {x + 1} + 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [4] {x} $, $ g (x) = sqrt [4] {x-1} -2 $

item $ f (x) = sqrt [4] {x} $, $ g (x) = 3 sqrt [4] {x - 7} - 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ f (x) = sqrt [5] {x} $, $ g (x) = sqrt [5] {x + 2} + 3 $

item $ f (x) = sqrt [8] {x} $, $ g (x) = sqrt [8] {- x} - 2 $ label {radicalgraphexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

phantomsection

label {furtherequineqexercises}

En Ejercicios ref {algineqexfirst} - ref {algineqexlast}, resuelve la ecuación o desigualdad.

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x + 1 = sqrt {3x + 7} $ label {algineqexfirst}

item $ 2x + 1 = sqrt {3-3x} $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x + sqrt {3x + 10} = -2 $

item $ 3x + sqrt {6-9x} = 2 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 2x - 1 = sqrt {x + 3} $

item $ x ^ { frac {3} {2}} = 8 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x ^ { frac {2} {3}} = 4 $

item $ sqrt {x - 2} + sqrt {x - 5} = 3 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ sqrt {2x + 1} = 3 + sqrt {4-x} $

item $ 5 - (4-2x) ^ { frac {2} {3}} = 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 10- sqrt {x-2} leq 11 $

item $ sqrt [3] {x} leq x $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 2 (x-2) ^ {- frac {1} {3}} - frac {2} {3} x (x-2) ^ {- frac {4} {3}} leq 0 PS

item $ - frac {4} {3} (x-2) ^ {- frac {4} {3}} + frac {8} {9} x (x-2) ^ {- frac { 7} {3}} geq 0 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ 2x ^ {- frac {1} {3}} (x-3) ^ { frac {1} {3}} + x ^ { frac {2} {3}} (x-3) ^ {- frac {2} {3}} geq 0 $

item $ sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8}> x + 1 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ frac {1} {3} x ^ { frac {3} {4}} (x - 3) ^ {- frac {2} {3}} + frac {3} {4} x ^ {- frac {1} {4}} (x - 3) ^ { frac {1} {3}} <0 $

item $ x ^ {- frac {1} {3}} (x-3) ^ {- frac {2} {3}} - x ^ {- frac {4} {3}} (x- 3) ^ {- frac {5} {3}} (x ^ 2-3x + 2) geq 0 $

item $ frac {2} {3} (x + 4) ^ { frac {3} {5}} (x - 2) ^ {- frac {1} {3}} + frac {3} {5} (x + 4) ^ {- frac {2} {5}} (x - 2) ^ { frac {2} {3}} geq 0 $ label {algineqexlast}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item Ejemplo de reelaboración ref {SasquatchCable} para que el puesto de avanzada esté a 10 millas de la Ruta 117 y la caja de conexiones más cercana esté a 30 millas por la carretera del puesto.

item El volumen $ V $ de un cono cilíndrico recto depende del radio de su base $ r $ y su altura $ h $ y está dado por la fórmula $ V = frac {1} {3} pi r ^ 2 h $. El área de superficie $ S $ de un cono cilíndrico recto también depende de $ r $ y $ h $ según la fórmula $ S = pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} $. Suponga que un cono debe tener un volumen de 100 centímetros cúbicos.

begin {enumerate}

item label {heightintermsofr} Use la fórmula del volumen para encontrar la altura $ h $ en función de $ r $.

item Usa la fórmula para el área de la superficie y tu respuesta a ref {heightintermsofr} para encontrar el área de la superficie $ S $ en función de $ r $.

item Usa tu calculadora para encontrar los valores de $ r $ y $ h $ que minimizan el área de la superficie. ¿Cuál es la superficie mínima? Redondea tus respuestas a dos lugares decimales.

end {enumerate}

item label {WindChillTemperature} El href {www.nws.noaa.gov/om/windchill ... rline {National Weather Service}} usa la siguiente fórmula para calcular la sensación térmica: [W = 35.74 + 0.6215 , T_ {a} - 35.75 , V ^ {0.16} + 0.4275 , T_ {a} , V ^ {0.16} ] donde $ W $ es la temperatura del viento en $ ^ { circ} $ F, $ T_ {a} $ es la temperatura del aire en $ ^ { circ} $ F, y $ V $ es la velocidad del viento en millas por hora. Tenga en cuenta que $ W $ se define solo para temperaturas del aire iguales o inferiores a $ 50 ^ { circ} $ F y velocidades del viento superiores a $ 3 $ millas por hora.

begin {enumerate}

item Suponga que la temperatura del aire es $ 42 ^ { circ} $ y la velocidad del viento es $ 7 $ millas por hora. Encuentra la temperatura de sensación térmica. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.

item Suponga que la temperatura del aire es $ 37 ^ { circ} $ F y la temperatura del viento es $ 30 ^ { circ} $ F. Calcula la velocidad del viento. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.

end {enumerate}

item Como continuación del ejercicio ref {WindChillTemperature}, suponga que la temperatura del aire es $ 28 ^ { circ} $ F.

begin {enumerate}

item Usa la fórmula del ejercicio ref {WindChillTemperature} para encontrar una expresión para la temperatura del viento como una función de la velocidad del viento, $ W (V) $.

item label {WindChill0} Resuelve $ W (V) = 0 $, redondea tu respuesta a dos decimales e interpreta.

item Grafique la función $ W $ usando su calculadora y verifique su respuesta a la parte ref {WindChill0}.

end {enumerate}

item label {pendulumproblem} El período de un péndulo en segundos está dado por [T = 2 pi sqrt { dfrac {L} {g}} ] (para pequeños desplazamientos) donde $ L $ es la longitud del péndulo en metros y $ g = 9,8 $ metros por segundo por segundo es la aceleración debida a la gravedad. Mi antiguo reloj de escuela Seth-Thomas necesita $ T = frac {1} {2} $ segundo y puedo ajustar la longitud del péndulo a través de un pequeño dial en la parte inferior de la sacudida. ¿A qué longitud debo colocar el péndulo?

item El modelo de producción Cobb-Douglas establece que el valor total anual en dólares de la producción $ P $ en una economía es una función del trabajo $ x $ (el número total de horas trabajadas en un año) y el capital $ y $ ( el valor total en dólares de todas las cosas compradas para hacer cosas). Específicamente, $ P = ax ^ {b} y ^ {1 - b} $. Al fijar $ P $, creamos lo que se conoce como una 'isocuanta' y luego podemos resolver $ y $ en función de $ x $. Supongamos que el modelo de producción Cobb-Douglas para el país de Sasquatchia es $ P = 1.23x ^ {0.4} y ^ {0.6} $.

begin {enumerate}

item Sea $ P = 300 $ y resuelva para $ y $ en términos de $ x $. Si $ x = 100 $, ¿cuál es $ y $?

item Grafica la isocuanta $ 300 = 1.23x ^ {0.4} y ^ {0.6} $. ¿Qué información te da un par ordenado $ (x, y) $ que hace que $ P = 300 $ te proporcione? Con la ayuda de tus compañeros de clase, encuentra varias combinaciones diferentes de trabajo y capital, todas las cuales dan $ P = 300 $. Discuta cualquier patrón que pueda ver.

end {enumerate}

item Según la teoría de la relatividad especial de Einstein, la masa observada $ m $ de un objeto es una función de la rapidez con la que viaja. Específicamente, [m (x) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {1 - dfrac {x ^ {2}} {c ^ {2}}}} ] donde $ m (0) = m_ {r} $ es la masa del objeto en reposo, $ x $ es la velocidad del objeto y $ c $ es la velocidad de la luz.

begin {enumerate}

item Encuentra el dominio aplicado de la función.

item Calcule $ m (.1c), , m (.5c), , m (.9c) $ y $ m (.999c) $.

item Como $ x rightarrow c ^ {-} $, ¿qué pasa con $ m (x) $?

item ¿Qué tan lento debe viajar el objeto para que la masa observada no sea mayor que 100 veces su masa en reposo?

end {enumerate}

item Encuentra la inversa de $ k (x) = dfrac {2x} { sqrt {x ^ {2} - 1}} $.

salto de página

item label {seguimiento} Supongamos que Fritzy el Zorro, posicionado en un punto $ (x, y) $ en el primer cuadrante, ve a Chewbacca el Conejito en $ (0,0) $. Chewbacca comienza a correr a lo largo de una cerca (el eje positivo $ y $) hacia su madriguera. Fritzy, por supuesto, lo persigue y ajusta constantemente su dirección para que siempre esté corriendo directamente hacia Chewbacca. Si la velocidad de Chewbacca es $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ y la velocidad de Fritzy es $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $, la ruta que tomará Fritzy para interceptar a Chewbacca, siempre que $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $ es directamente proporcional, pero no igual a, $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ está modelado por

[y = dfrac {1} {2} left ( dfrac {x ^ {1+ v_ {1} / v_ {2}}} {1 + v _ { mbox { tiny $ 1 $}} / v_ { mbox { tiny $ 2 $}}} - dfrac {x ^ {1-v _ { mbox { tiny $ 1 $}} / v _ { mbox { tiny $ 2 $}}}} {1-v_ { mbox { minúsculo $ 1 $}} / v _ { mbox { minúsculo $ 2 $}}} derecha) + dfrac {v _ { mbox { minúsculo $ 1 $}} v _ { mbox { minúsculo $ 2 $} }} {v _ { mbox { minúsculo $ 2 $}} ^ 2-v _ { mbox { minúsculo $ 1 $}} ^ 2} ]

begin {enumerate}

item Determina el camino que tomará Fritzy si corre exactamente el doble de rápido que Chewbacca; es decir, $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}} = 2v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $. Usa tu calculadora para graficar esta ruta para $ x geq 0 $. ¿Cuál es el significado de la intersección $ y $ de la gráfica?

item Determina el camino que tomará Fritzy si Chewbacca corre exactamente el doble de rápido que él; es decir, $ v _ { mbox { tiny $ 1 $}} = 2v _ { mbox { tiny $ 2 $}} $. Usa tu calculadora para graficar esta ruta para $ x> 0 $. Describe el comportamiento de $ y $ como $ x rightarrow 0 ^ {+} $ e interpreta esto físicamente.

item Con la ayuda de tus compañeros de clase, generaliza las partes (a) y (b) a dos casos: $ v _ { mbox { tiny $ 2 $}}> v _ { mbox { tiny $ 1 $}} $ y $ v_ { mbox { tiny $ 2 $}}

end {enumerate}

item Verifica la regla del cociente para radicales en el teorema ref {radicalprops}.

item Muestra que $ left (x ^ { frac {3} {2}} right) ^ { frac {2} {3}} = x $ para todos los $ x geq 0 $.

item Demuestre que $ sqrt [3] {2} $ es un número irracional mostrando primero que es un cero de $ p (x) = x ^ {3} - 2 $ y luego mostrando que $ p $ no tiene sentido ceros. (Necesitará el Teorema de ceros racionales, Teorema ref {RZT}, para mostrar esta última parte). Label {nthrootsareirrational}

item Con la ayuda de tus compañeros de clase, generaliza el ejercicio ref {nthrootsareirrational} para mostrar que $ sqrt [n] {c} $ es un número irracional para cualquier número natural $ c geq 2 $ y $ n geq 2 $ siempre que $ c neq p ^ {n} $ para algún número natural $ p $.

end {enumerate}

ueva pagina

subsection {Respuestas}

begin {enumerate}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt {1 - x ^ 2} $

Dominio: $ [- 1, 1] $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5}

polyline {(0,0), (4,0)}

xmarks {0,4}

tlabel [cc] (0, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (2,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4, -1) {$ 1 $}

end {mfpic}

Sin asíntotas

Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [50] {- 1.5} {1.5} {- 0.15} {1.5}

point [3pt] {(0,1), (-1,0), (1,0)}

parafcn {0,3.14159,0.1} {(cos (t), sin (t))}

ejes

tlabel [cc] (1.5, -0.15) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,1.5) { scriptsize $ y $}

xmarks {-1,1}

ymarks {1}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt {x ^ 2-1} $

Dominio: $ (- infty, -1] cup [1, infty) $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5}

arrow polyline {(2,0), (0,0)}

arrow polyline {(3,0), (5,0)}

xmarks {2,3}

tlabel [cc] (2, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (1,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3, -1) {$ 1 $}

end {mfpic}

Sin asíntotas

Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [20] {- 4} {4} {- 1} {4}

point [3pt] {(- 1,0), (1,0)}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(cosh (t), sinh (t))}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(- cosh (t), sinh (t))}

ejes

tlabel [cc] (4, -0.25) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,4) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3, -2, -1,1,2,3}

ymarks {1,2,3}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ - 2 hspace {6pt} $} -2, {$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x sqrt {1-x ^ 2} $

Dominio: $ [- 1,1] $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5}

polyline {(0,0), (5,0)}

xmarks {0,2.5,5}

tlabel [cc] (0, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (1.25,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (2.5, -1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3.75,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (2.5,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (5, -1) {$ 1 $}

tlabel [cc] (5,1) {$ 0 $}

end {mfpic}

Sin asíntotas

Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [50] [40] {- 1.5} {1.5} {- 1} {1.5}

point [3pt] {(- 1,0), (1,0), (0,0)}

parafcn {0,3.14159,0.1} {(cos (t), cos (t) * sin (t))}

ejes

tlabel [cc] (1.5, -0.15) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,1.5) { scriptsize $ y $}

xmarks {-1,1}

ymarks {-1,1}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ - 1 $} -1}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x sqrt {x ^ 2-1} $

Dominio: $ (- infty, -1] cup [1, infty) $

begin {mfpic} [20] [10] {0} {4} {- 1.5} {1.5}

arrow polyline {(2,0), (0,0)}

arrow polyline {(3,0), (5,0)}

xmarks {2,3}

tlabel [cc] (2, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (1,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3, -1) {$ 1 $}

end {mfpic}

Sin asíntotas

Pendiente inusual en $ x = -1 $ y $ x = 1 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [20] [15] {- 4} {4} {- 4} {4}

point [3pt] {(- 1,0), (1,0)}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(cosh (t), sinh (t))}

arrow parafcn {0,2,0.1} {(- cosh (t), - sinh (t))}

ejes

tlabel [cc] (4, -0.25) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.25,4) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3, -2, -1,1,2,3}

ymarks {-3, -2, -1,1,2,3}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ - 2 hspace {6pt} $} -2, {$ - 1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3}

axislabels {y} {{$ - 3 $} -3, {$ - 2 $} -2, {$ - 1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3 }

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

salto de página

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt [4] { dfrac {16x} {x ^ 2 - 9}} $

Dominio: $ (- 3, 0] cup (3, infty) $

begin {mfpic} [15] {- 3} {6} {- 1} {1}

polyline {(- 3,0), (0,0)}

arrow polyline {(3,0), (6,0)}

xmarks {-3,0,3}

tlabel [cc] (- 1.5,0.75) {$ (+) $}

tlabel [cc] (- 3, -0,75) {$ - 3 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 3,0,75) { textinterrobang}

tlabel [cc] (0, -0,75) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,0.75) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3,0,75) { textinterrobang}

tlabel [cc] (3, -0,75) {$ 3 $}

tlabel [cc] (4.5,0.75) {$ (+) $}

end {mfpic}

Asíntotas verticales: $ x = -3 $ y $ x = 3 $

Asíntota horizontal: $ y = 0 $

Pendiente inusual en $ x = 0 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [15] {- 3.5} {9} {- 1} {6}

point [3pt] {(0,0)}

dashed polyline {(- 3, -1), (-3,6)}

dashed polyline {(3, -1), (3,6)}

arrow reverse function {-2.93,0,0.1} {((16 * x) / ((x ** 2) - 9)) ** (0.25)}

arrow reverse arrow function {3.05,9,0.1} {((16 * x) / ((x ** 2) - 9)) ** (0.25)}

ejes

tlabel [cc] (9, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,6) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3 paso 1 hasta 8}

ymarks {1,2,3,4,5}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x ^ { frac {2} {3}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

Dominio: $ (- infty, infty) $

begin {mfpic} [10] {- 3} {10} {- 2} {2}

arrow reverse arrow polyline {(- 3,0), (10,0)}

xmarks {0,7}

tlabel [cc] (- 1.5,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (0, -1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3.5,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (7, -1) {$ 7 $}

tlabel [cc] (7,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (8.5,1) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sin asíntotas verticales u horizontales footnote {Usando Cálculo se puede demostrar que $ y = x - frac {7} {3} $ es una asíntota inclinada de este gráfico.}

Pendiente inusual en $ x = 7 $

Cúspide en $ x = 0 $

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] {- 4} {10} {- 5} {5.5}

point [3pt] {(0,0), (7,0)}

arrow reverse function {-3,0,0.1} {- ((x ** 2) ** (1/3)) * ((7 - x) ** (1/3))}

function {0,7,0.1} {- ((x ** 2) ** (1/3)) * ((7 - x) ** (1/3))}

arrow function {7,9,0.1} {((x ** 2) ** (1/3)) * ((x - 7) ** (1/3))}

ejes

tlabel [cc] (10, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,5.5) { scriptsize $ y $}

xmarks {-3 paso 1 hasta 9}

ymarks {-4 paso 1 hasta 5}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ - 3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 9 $} 9}

axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = dfrac {5x} { sqrt [3] {x ^ {3} + 8}} $

Dominio: $ (- infty, -2) cup (-2, infty) $

begin {mfpic} [20] {- 4} {2} {- 1} {1}

arrow reverse arrow polyline {(- 4,0), (2,0)}

xmarks {-2,0}

tlabel [cc] (- 3, 0.5) {$ (+) $}

tlabel [cc] (- 2, -0,5) {$ - 2 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 2,0.5) { textinterrobang}

tlabel [cc] (- 1,0.5) {$ (-) $}

tlabel [cc] (0, -0,5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (1,0.5) {$ (+) $}

end {mfpic}

Asíntota vertical $ x = -2 $

Asíntota horizontal $ y = 5 $

Sin pendientes ni cúspides inusuales

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] [8] {- 5} {5} {- 7} {9}

point [3pt] {(0,0)}

dashed polyline {(- 5,5), (5,5)}

dashed polyline {(- 2, -7), (-2,9)}

arrow reverse arrow function {-5, -2.2,0.1} {(- 5 * x) / ((- (x ** 3) - 8) ** (1/3))}

arrow reverse arrow function {-1.8,5,0.1} {(5 * x) / (((x ** 3) + 8) ** (1/3))}

ejes

tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,9) { scriptsize $ y $}

xmarks {-4 paso 1 hasta 4}

ymarks {-6 paso 1 hasta 8}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ - 4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4}

axislabels {y} {{$ - 6 $} -6, {$ -5 $} -5, {$ -4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2 , {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = x ^ { frac {3} {2}} (x - 7) ^ { frac {1} {3}} $

Dominio: $ [0, infty) $

begin {mfpic} [15] {0} {10} {- 1} {1}

reverse arrow polyline {(0,0), (10,0)}

xmarks {0, 7}

tlabel [cc] (0, -0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (3.5, 0.5) {$ (-) $}

tlabel [cc] (7, -0,5) {$ 7 $}

tlabel [cc] (7,0.5) {$ 0 $}

tlabel [cc] (8, 0.5) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sin asíntotas

Pendiente inusual en $ x = 7 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [15] [3] {- 1} {8.5} {- 20} {30}

point [3pt] {(0,0), (7,0)}

function {0,7,0.1} {- (x ** 1,5) * ((7 - x) ** (1/3))}

arrow function {7,8.5,0.1} {(x ** 1.5) * ((x - 7) ** (1/3))}

ejes

tlabel [cc] (8.5, -3) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,30) { scriptsize $ y $}

xmarks {1 paso 1 hasta 8}

ymarks {-15 paso 5 hasta 25}

tlpointsep {4pt}

scriptsize

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8}

axislabels {y} {{$ - 15 $} -15, {$ -10 $} -10, {$ -5 $} -5, {$ 5 $} 5, {$ 10 $} 10, {$ 15 $} 15 , {$ 20 $} 20, {$ 25 $} 25}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt {x (x + 5) (x - 4)} $

Dominio: $ [- 5, 0] cup [4, infty) $

begin {mfpic} [10] {- 5} {8} {- 1} {1}

polyline {(- 5,0), (0,0)}

arrow polyline {(4,0), (8,0)}

xmarks {-5,0,4}

tlabel [cc] (- 5, -1) {$ - 5 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 5,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (- 2.5,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (0, -1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4, -1) {$ 4 $}

tlabel [cc] (4,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (6,1) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sin asíntotas

Pendiente inusual en $ x = -5, x = 0 $ y $ x = 4 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] {- 6} {6} {- 1} {10}

point [3pt] {(- 5,0), (0,0), (4,0)}

function {-5,0,0.1} {sqrt ((x ** 3) + (x ** 2) - (20 * x))}

arrow function {4,5.5,0.1} {sqrt ((x ** 3) + (x ** 2) - (20 * x))}

ejes

tlabel [cc] (6, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,10) { scriptsize $ y $}

xmarks {-5 paso 1 hasta 5}

ymarks {1 paso 1 hasta 9}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {6pt} $} -5, {$ -4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 9 $} 9}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

item begin {multicols} {2}

$ f (x) = sqrt [3] {x ^ {3} + 3x ^ {2} - 6x - 8} $

Dominio: $ (- infty, infty) $

begin {mfpic} [10] {- 8} {6} {- 1} {1}

arrow reverse arrow polyline {(- 8,0), (6,0)}

xmarks {-4, -1,2}

tlabel [cc] (- 6,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (- 4, -1) {$ - 4 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 4,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (- 2.5,1) {$ (+) $}

tlabel [cc] (- 1, -1) {$ - 1 hspace {7pt} $}

tlabel [cc] (- 1,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (0.5,1) {$ (-) $}

tlabel [cc] (2, -1) {$ 2 $}

tlabel [cc] (2,1) {$ 0 $}

tlabel [cc] (4,1) {$ (+) $}

end {mfpic}

Sin asíntotas verticales u horizontales footnote {Usando Cálculo se puede demostrar que $ y = x + 1 $ es una asíntota inclinada de este gráfico.}

Pendiente inusual en $ x = -4, x = -1 $ y $ x = 2 $

Sin cúspides

vfill

columnbreak

begin {mfpic} [10] {- 6} {6} {- 5} {7}

point [3pt] {(- 4,0), (- 1,0), (2,0)}

arrow reverse function {-6, -4,0.1} {- ((- ((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8)) ** (1/3))}

function {-4, -1,0.1} {((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8) ** (1/3)}

function {-1,2,0.1} {- ((- ((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8)) ** (1/3) )}

arrow function {2,6,0.1} {((x ** 3) + (3 * (x ** 2)) - (6 * x) - 8) ** (1/3)}

ejes

tlabel [cc] (6, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,7) { scriptsize $ y $}

xmarks {-5 paso 1 hasta 5}

ymarks {-4 paso 1 hasta 6}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ - 5 hspace {6pt} $} -5, {$ -4 hspace {6pt} $} -4, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -2 hspace {6pt} $} -2, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6}

alla normal

end {mfpic}

end {multicols}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (x) = sqrt [3] {x-1} -2 $

begin {mfpic} [8] [13] {- 10} {12} {- 5} {1}

arrow reverse arrow parafcn {-4.2,0.2,0.1} {(((t + 2) ** 3) + 1, t)}

ejes

tlabel [cc] (12, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.75,1) { scriptsize $ y $}

point [3pt] {(- 7, -4), (0, -3), (1, -2), (2, -1), (9,0)}

ymarks {-4, -3, -2, -1}

xmarks {-9 paso 1 hasta 11}

diminuto

tlpointsep {4pt}

axislabels {y} {{$ - 4 $} -4, {$ -3 $} -3, {$ -2 $} -2, {$ -1 $} -1}

axislabels {x} {{$ - 9 hspace {6pt} $} -9, {$ -7 hspace {6pt} $} -7, {$ -5 hspace {6pt} $} -5, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7, {$ 9 $} 9, {$ 11 $} 11}

alla normal

end {mfpic}

vfill

columnbreak

item $ g (x) = -2 sqrt [3] {x + 1} + 4 $

begin {mfpic} [10] [9] {- 7} {9} {- 1} {8}

point [3pt] {(- 2,6), (- 1,4), (0,2), (7,0)}

arrow reverse function {-7, -1,0.1} {2 * ((- x - 1) ** (1/3)) + 4}

arrow function {-1,8.5,0.1} {- 2 * ((x + 1) ** (1/3)) + 4}

ejes

tlabel [cc] (9, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,8) { scriptsize $ y $}

xmarks {-6 paso 1 hasta 8}

ymarks {1 paso 1 hasta 7}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ -5 hspace {6pt} $} -5, {$ -3 hspace {6pt} $} -3, {$ -1 hspace {6pt} $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5, {$ 6 $} 6, {$ 7 $} 7}

alla normal

end {mfpic}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (x) = sqrt [4] {x-1} -2 $

begin {mfpic} [8] [25] {- 1} {22} {- 3} {1}

arrow parafcn {-2,0.12,0.1} {(((t + 2) ** 4) + 1, t)}

ejes

tlabel [cc] (22, -0,75) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,1) { scriptsize $ y $}

point [3pt] {(1, -2), (2, -1), (17,0)}

ymarks {-2, -1}

xmarks {1 paso 1 hasta 21}

diminuto

tlpointsep {4pt}

axislabels {y} {{$ - 2 $} -2, {$ -1 $} -1}

axislabels {x} {{$ 1 $} 1, {$ 3 $} 3, {$ 5 $} 5, {$ 7 $} 7, {$ 9 $} 9, {$ 11 $} 11, {$ 13 $} 13, {$ 15 $} 15, {$ 17 $} 17, {$ 19 $} 19, {$ 21 $} 21}

alla normal

end {mfpic}

vfill

columnbreak

item $ g (x) = 3 sqrt [4] {x - 7} - 1 $

begin {mfpic} [5] [13] {- 1} {25} {- 2} {6}

point [3pt] {(7, -1), (8,2), (23,5)}

arrow function {7,25,0.1} {3 * ((x - 7) ** (0.25)) - 1}

ejes

tlabel [cc] (25, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (0.5,6) { scriptsize $ y $}

xmarks {1 paso 1 hasta 23}

ymarks {-1 paso 1 hasta 5}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ 7 $} 7, {$ 8 $} 8, {$ 23 $} 23}

axislabels {y} {{$ - 1 $} -1, {$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

alla normal

end {mfpic}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {2}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ g (x) = sqrt [5] {x + 2} + 3 $

begin {mfpic} [2] [10] {- 37} {33} {- 1} {6}

point [2pt] {(- 34,1), (- 3,2), (- 2,3), (- 1,4), (30,5)}

arrow function {-2,33,0.1} {((x + 2) ** (0.20)) + 3}

arrow reverse function {-37, -2,0.1} {(- ((- x - 2) ** (0.20))) + 3}

ejes

tlabel [cc] (33, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (2,6) { scriptsize $ y $}

xmarks {-34, -2,30}

ymarks {1 paso 1 hasta 5}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ - 34 hspace {5pt} $} -34, {$ -2 hspace {5pt} $} -2, {$ 30 $} 30}

axislabels {y} {{$ 1 $} 1, {$ 2 $} 2, {$ 3 $} 3, {$ 4 $} 4, {$ 5 $} 5}

alla normal

end {mfpic}

elemento $ g (x) = sqrt [8] {- x} - 2 $

begin {mfpic} [3] [15] {- 45} {5} {- 3} {1}

point [2pt] {(0, -2), (- 1, -1)}

arrow reverse function {-45,0,0.1} {((- x) ** 0.125) - 2}

ejes

tlabel [cc] (5, -0.5) { scriptsize $ x $}

tlabel [cc] (1.5,1) { scriptsize $ y $}

xmarks {-40, -30, -20, -10}

ymarks {-2, -1}

tlpointsep {4pt}

diminuto

axislabels {x} {{$ - 40 hspace {5pt} $} -40, {$ -30 hspace {5pt} $} -30, {$ -20 hspace {5pt} $} -20, {$ -10 hspace {5pt} $} -10}

axislabels {y} {{$ - 2 $} -2, {$ -1 $} -1}

alla normal

end {mfpic}

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = 3 $

item $ x = frac {1} {4} $

item $ x = -3 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = - frac {1} {3}, ; frac {2} {3} $

item $ x = frac {5 + sqrt {57}} {8} $

item $ x = 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = pm 8 $

item $ x = 6 $

item $ x = 4 $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ x = -2, 6 $

item $ [2, infty) $

item $ [- 1, 0] cup [1, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty, 2) cup (2,3] $

item $ (2,6] $

item $ (- infty, 0) cup [2,3) cup (3, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {multicols} {3}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty, -1) $

item $ left (0, frac {27} {13} right) $

item $ (- infty, 0) cup (0,3) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

end {multicols}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ (- infty, -4) cup left (-4, - frac {22} {19} right] cup (2, infty) $

setcounter {HW} { value {enumi}}

end {enumerate}

begin {enumerate}

setcounter {enumi} { value {HW}}

item $ C (x) = 15x + 20 sqrt {100+ (30-x) ^ 2} $, $ 0 leq x leq 30 $. La calculadora da el mínimo absoluto en $ approx (18.66, 582.29) $. Esto significa que para minimizar el costo, se deben tender aproximadamente 18.66 millas de cable a lo largo de la Ruta 117 antes de salir de la carretera y dirigirse hacia el puesto avanzado. El costo mínimo para ejecutar el cable es de aproximadamente $ $ 582.29 $.

Articulo

begin {enumerate}

item $ h (r) = frac {300} { pi r ^ 2} $, $ r> 0 $.

item $ S (r) = pi r sqrt {r ^ 2 + left ( frac {300} { pi r ^ 2} right) ^ 2} = frac { sqrt { pi ^ 2 r ^ 6 + 90000}} {r} $, $ r> 0 $

item La calculadora da el mínimo absoluto en el punto $ approx (4.07, 90.23) $. Esto significa que el radio debe ser (aproximadamente) 4.07 centímetros y la altura debe ser 5.76 centímetros para dar una superficie mínima de 90.23 centímetros cuadrados.

end {enumerate}

Articulo

begin {enumerate}

item $ W approx 37.55 ^ { circ} $ F.

item $ V aproximadamente 9.84 $ millas por hora.

end {enumerate}

Articulo

begin {enumerate}

item $ W (V) = 53.142 - 23.78 V ^ {0.16} $. Dado que en el ejercicio ref {WindChillTemperature} se nos dice que la sensación térmica solo es un efecto para velocidades del viento de más de 3 millas por hora, restringimos el dominio a $ V> 3 $.

item $ W (V) = 0 $ cuando $ V aproximadamente 152.29 $. Esto significa, según el modelo, para que la temperatura del viento sea de $ 0 ^ { circ} $ F, la velocidad del viento debe ser de $ 152.29 $ millas por hora.

item El gráfico se muestra a continuación.

centerline { includegraphics [width = 1.75in] {./ FurtherGraphics / WINDCHILL.jpg}}

end {enumerate}

item $ 9.8 left ( dfrac {1} {4 pi} right) ^ {2} approx 0.062 $ metros o $ 6.2 $ centímetros

item begin {enumerate}

item Primero reescribe el modelo como $ P = 1.23x ^ { frac {2} {5}} y ^ { frac {3} {5}} $. Entonces $ 300 = 1.23x ^ { frac {2} {5}} y ^ { frac {3} {5}} $ produce $ y = left ( dfrac {300} {1.23x ^ { frac {2 } {5}}} right) ^ { frac {5} {3}} $. Si $ x = 100 $ entonces $ y approx 441.93687 $.

end {enumerate}

item begin {enumerate}

item $ [0, c) $

item $ ~ $

begin {tabular} {ll}

$ m (.1c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.99}} approx 1.005m_ {r} $ & $ m (.5c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.75}} approx 1.155m_ {r} $ smallskip

$ m (.9c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.19}} approx 2.294m_ {r} $ & $ m (.999c) = dfrac {m_ {r}} { sqrt {.0.001999}} approx 22.366m_ {r} $ end {tabular}

item Como $ x rightarrow c ^ {-}, , m (x) rightarrow infty $

item Si el objeto no viaja más rápido que aproximadamente $ 0.99995 $ veces la velocidad de la luz, entonces su masa observada no será mayor que $ 100m_ {r} $.

end {enumerate}

item $ k ^ {- 1} (x) = dfrac {x} { sqrt {x ^ {2} - 4}} $

item begin {enumerate}

item $ y = frac {1} {3} x ^ {3/2} - sqrt {x} + frac {2} {3} $. El punto $ left (0, frac {2} {3} right) $ es cuando el camino de Fritzy se cruza con el de Chewbacca, en otras palabras, donde Fritzy atrapa a Chewbacca.

item $ y = frac {1} {6} x ^ 3 + frac {1} {2x} - frac {2} {3} $. Usando las técnicas del Capítulo ref {Racionales}, encontramos $ x rightarrow 0 ^ {+} $, $ y rightarrow infty $ lo que significa, en este caso, que la búsqueda de Fritzy nunca termina; nunca atrapa a Chewbacca. Esto tiene sentido ya que Chewbacca tiene una ventaja inicial y corre más rápido que Fritzy.

begin {center}

begin {tabular} {cc}

includegraphics [width = 2in] {./ FurtherGraphics / PURSUIT01.jpg} & hspace {1in} includegraphics [width = 2in] {./ FurtherGraphics / PURSUIT02.jpg}

$ y = frac {1} {3} x ^ {3/2} - sqrt {x} + frac {2} {3} $ & hspace {1in} $ y = frac {1} {6 } x ^ 3 + frac {1} {2x} - frac {2} {3} $

end {tabular}

end {centro}

end {enumerate}

end {enumerate}

closegraphsfile


5.4: Más temas en funciones (ejercicios) - Matemáticas

(1) Complete la siguiente prueba de que si $ m $ es un paralelo límite de $ ell $, entonces $ ell $ es un paralelo límite de $ m $: Tome un punto $ P_1 $ en $ ell $. Sea $ Q $ el punto en $ m $ tal que $ overline perp m $. Sea $ P_2 $ el punto en $ ell $ tal que $ overline perp ell $. Use un argumento de continuidad para mostrar que hay un punto $ P $ entre $ P_1 $ y $ P_2 $ tal que el segmento $ overline$ forma ángulos iguales con $ ell $ y $ m $. Luego considere la bisectriz perpendicular de $ overline$ y use un argumento de simetría. (Creo que una prueba en este sentido es más simple que la prueba del libro).

(2) Muestre que hay una isometría $ f $ del modelo de Poincar & eacute (en otras palabras, una función del disco unitario abierto a sí mismo que conserva la distancia hiperbólica) y una línea $ ell $ en el modelo tal que $ ell $ es (representado por) un segmento de línea euclidiana y $ f [ ell] $ es (representado por) un arco euclidiano. El punto es que la propiedad de mirar "rectas" o "curvas" no es una propiedad intrínseca de las líneas hiperbólicas, depende de cómo las modelemos en el espacio euclidiano. Pista: nuestro trabajo con reflejos no depende del postulado paralelo, por lo que sigue siendo válido en geoemia hiperbólica.

(3) Ejercicio 7.3.3. No sé qué significa la sugerencia "use las propiedades de paralelismo de las reflexiones", pero de todos modos no debería ser difícil mostrar que si $ m $ es un paralelo límite de $ ell $, entonces $ r_ ell [m] $ es un paralelo límite de $ ell $ en el mismo lado. La parte sobre los puntos omega resulta ser trivial una vez que desenreda las definiciones (incluido lo que significa que una isometría arregle un punto omega), así que diré que puede omitir esta parte, pero debería pensar por un minuto en qué medio.

(4) Ejercicio 7.3.4. Sugerencia: Sea $ ell '$ una línea que sea no paralelo a la derecha que limita a $ ell $, lo que significa que tiene un punto omega diferente en el lado derecho (el mismo argumento funcionará para el lado izquierdo). es no fijado por la reflexión $ r_ ell $. En otras palabras, queremos mostrar que la línea $ ell '$ es no paralelo limitante a la derecha a su propio reflejo $ r_ ell [ ell '] $. Considere dos casos: (a) $ ell '$ interseca $ ell $ (b) $ ell' $ es paralelo a $ ell $ pero no es paralelo limitante a $ ell $.


Estudiantes de Malasia

Tenga en cuenta que los primeros ocho temas (Prueba 1) de Maths T y Maths S son iguales. Además, Maths T y Maths S son mutuamente excluyentes. En otras palabras, un candidato de STPM no puede tomar ambas materias al mismo tiempo. La mayoría de los estudiantes de la rama de ciencias toman Matemáticas T, mientras que algunos estudiantes de la rama de arte toman Matemáticas S. Mientras tanto, algunos estudiantes de la rama de ciencias toman más matemáticas como la quinta asignatura opcional.

    Números y conjuntos
    Numeros reales
    Exponentes y logaritmos
    Números complejos
    Conjuntos

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Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas, tercera edición

Keith Devlin. Lo conoces. Ha leído sus columnas en MAA Online, lo ha escuchado en la radio y ha visto sus populares libros de matemáticas. Entre todas esas actividades y su propia investigación, ha trabajado arduamente revisando Conjuntos, funciones y lógica, su texto de establecimiento de estándares que ha allanado el camino hacia las matemáticas puras para legiones de estudiantes de pregrado.

Ahora en su tercera edición, Devlin ha reelaborado completamente el libro para reflejar una nueva generación. La narrativa es más viva y menos parecida a un libro de texto. Los comentarios y los apartados vinculan los temas presentados al mundo real de la experiencia de los estudiantes. El capítulo sobre números complejos y la discusión de la lógica simbólica formal se ha ido a favor de más ejercicios y un nuevo capítulo introductorio sobre la naturaleza de las matemáticas, uno que motiva a los lectores y prepara el escenario para los desafíos que se avecinan.

Los estudiantes que cruzan el puente del cálculo a las matemáticas superiores necesitan y merecen toda la ayuda que puedan obtener. Conjuntos, funciones y lógica, tercera edición es un pequeño libro asequible que todos los estudiantes de su curso de transición no solo pueden pagar, sino que realmente leerán. y disfrutar. y aprender de.

El Dr. Keith Devlin es Director Ejecutivo del Centro para el Estudio del Lenguaje y la Información de la Universidad de Stanford y Profesor Consultor de Matemáticas en Stanford. Ha escrito 23 libros, un libro interactivo en CD-ROM y más de 70 artículos de investigación publicados. Es miembro de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, miembro del Foro Económico Mundial y ex miembro de la Junta de Educación en Ciencias Matemáticas de la Academia Nacional de Ciencias.

El Dr. Devlin es también uno de los principales divulgadores de las matemáticas en el mundo. Conocido como "The Math Guy" en la edición de fin de semana de NPR, es un colaborador frecuente de otros programas de radio y televisión locales y nacionales en los EE. UU. Y Gran Bretaña, escribe una columna mensual para la revista web MAA Online y escribe regularmente sobre matemáticas y computadoras. para el periódico británico The Guardian.


5.4 Trigonometría de triángulo rectángulo

Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto en el círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:

En esta sección, veremos otra forma de definir funciones trigonométricas usando propiedades de triángulos rectángulos.

Uso de triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, usamos un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para que podamos aplicarlas a triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de t t es su valor en t t radianes. Primero, necesitamos crear nuestro triángulo rectángulo. La Figura 1 muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto (x, y) (x, y) al Xeje, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene una longitud y y y cuyo lado horizontal tiene una longitud x. X . Podemos usar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las otras funciones trigonométricas como razones de los lados de un triángulo rectángulo.

Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de t, t,

Un mnemónico común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formado a partir de las primeras letras de "Sine es oopuesto sobre hypotenusa, Cosine es aadyacente sobre hypotenusa, Tel agente es oopuesto sobre aadyacente ".

Cómo

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, calcula el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo.

  1. Encuentra el seno como la razón del lado opuesto a la hipotenusa.
  2. Encuentra el coseno como la razón del lado adyacente a la hipotenusa.
  3. Encuentra la tangente como la razón del lado opuesto al lado adyacente.

Ejemplo 1

Evaluar una función trigonométrica de un triángulo rectángulo

Dado el triángulo que se muestra en la Figura 3, encuentre el valor de cos α. cos α.

Solución

El lado adyacente al ángulo es 15 y la hipotenusa del triángulo es 17, entonces:

Pruébelo # 1

Dado el triángulo que se muestra en la Figura 4, encuentre el valor de sen t. sin t.

Relacionar ángulos y sus funciones

Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos en el triángulo de la Figura 5. El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo, y viceversa.

Se nos pedirá que encontremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es encontrar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos encontrar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es cosecante, el recíproco del coseno es secante y el recíproco de la tangente es cotangente.

Cómo

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evalúa las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos.

  1. Si es necesario, dibuja el triángulo rectángulo y rotula el ángulo proporcionado.
  2. Identifica el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
  3. Encuentra la función requerida:
    • seno como la razón del lado opuesto a la hipotenusa
    • coseno como la relación del lado adyacente a la hipotenusa
    • tangente como la relación del lado opuesto al lado adyacente
    • secante como la relación entre la hipotenusa y el lado adyacente
    • cosecante como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto
    • cotangente como la relación del lado adyacente al lado opuesto

Ejemplo 2

Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar

Solución

Pruébelo # 2

Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales

Ya hemos discutido las funciones trigonométricas en lo que respecta a los ángulos especiales en el círculo unitario. Ahora, podemos usar esas relaciones para evaluar triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en funciones trigonométricas, tienen valores relativamente amigables, valores que contienen o no o solo una raíz cuadrada en la razón. Por lo tanto, estos son los ángulos que se usan a menudo en problemas de matemáticas y ciencias. Usaremos múltiplos de 30 °, 30 °, 60 °, 60 ° y 45 °, 45 °, sin embargo, recuerde que cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a ángulos entre 0 ° y 90 °. 0 ° y 90 °.

Luego, podemos usar las razones de las longitudes de los lados para evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Cómo

Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evalúe usando longitudes de lados.

  1. Utilice las longitudes de los lados que se muestran en la Figura 8 para el ángulo especial que desea evaluar.
  2. Utilice la relación de longitudes de los lados apropiada para la función que desea evaluar.

Ejemplo 3

Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando longitudes laterales

Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 3, π 3, usando las longitudes de los lados.

Solución

Pruébelo # 3

Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 4, π 4, usando las longitudes de los lados.

Utilización de la misma función de complementos

Si miramos más de cerca la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales en relación con el círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de π 6 π 6 y π 3, π 3, vemos que el seno de π 3, π 3, es decir, 3 2, 3 2, es también el coseno de π 6, π 6, mientras que el el seno de π 6, π 6, es decir, 1 2, 1 2, es también el coseno de π 3. π 3.

Identidades de Cofunction

Las identidades de cofunciones en radianes se enumeran en la Tabla 1.

Cómo

Dados el seno y el coseno de un ángulo, encuentre el seno o coseno de su complemento.

  1. Para encontrar el seno del ángulo complementario, encuentre el coseno del ángulo original.
  2. Para encontrar el coseno del ángulo complementario, encuentre el seno del ángulo original.

Ejemplo 4

Uso de identidades de cofunciones

Solución

De acuerdo con las identidades de cofunción para seno y coseno,

Pruébelo # 4

Uso de funciones trigonométricas

En ejemplos anteriores, evaluamos el seno y el coseno en triángulos donde conocíamos los tres lados. Pero el poder real de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando miramos triángulos en los que conocemos un ángulo pero no todos los lados.

Cómo

Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, calcula los lados restantes.

  1. Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado desconocido como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador.
  2. Escribe una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual a la razón de los lados correspondientes.
  3. Usando el valor de la función trigonométrica y la longitud del lado conocida, resuelve la longitud del lado que falta.

Ejemplo 5

Encontrar longitudes de lados faltantes mediante relaciones trigonométricas

Encuentra los lados desconocidos del triángulo en la Figura 11.

Solución

Conocemos el ángulo y el lado opuesto, por lo que podemos usar la tangente para encontrar el lado adyacente.

Reorganizamos para resolver para a. un .

Podemos usar el seno para encontrar la hipotenusa.

Nuevamente, reorganizamos para resolver c. C .

Pruébelo # 5

Uso de la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados

La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo hace posible encontrar la altura de un objeto alto sin tener que subir a la cima o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Lo hacemos midiendo una distancia desde la base del objeto hasta un punto en el suelo a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión en ángulo desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos usar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. De manera similar, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto debajo de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. Ver figura 12.

Cómo

Dado un objeto alto, mida su altura indirectamente.

  1. Haga un bosquejo de la situación del problema para realizar un seguimiento de la información conocida y desconocida.
  2. Trace una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto donde la parte superior del objeto sea claramente visible.
  3. En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mide el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal.
  4. Escribe una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión.
  5. Resuelve la ecuación para la altura desconocida.

Ejemplo 6

Medir una distancia indirectamente

Para encontrar la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57 ° 57 ° entre una línea de visión hacia la parte superior del árbol y el suelo, como se muestra en la Figura 13. Calcula la altura del árbol.

Solución

La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Entonces, expresaremos nuestra información en términos de la tangente de 57 °, 57 °, siendo h h la altura desconocida.

El árbol mide aproximadamente 46 pies de altura.

Pruébelo # 6

¿Cuánto tiempo se necesita una escalera para alcanzar el alféizar de una ventana a 50 pies sobre el suelo si la escalera descansa contra el edificio formando un ángulo de 5 π 12 5 π 12 con el suelo? Redondea al pie más cercano.

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la trigonometría del triángulo rectángulo.

5.4 Ejercicios de sección

Verbal

Para el triángulo rectángulo dado, rotula el lado adyacente, el lado opuesto y la hipotenusa para el ángulo indicado.

Cuando un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 se coloca en el círculo unitario, ¿qué lados del triángulo corresponden al X- y y-coordenadas?

¿La tangente de un ángulo compara qué lados del triángulo rectángulo?

¿Cuál es la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo?


Preguntas y respuestas del examen de matemáticas avanzadas y generales de grado 11 y 12

El contenido de matemáticas que se enseña en los grados 11 y 12 lo hacen en las escuelas ordinarias y los modos de aprendizaje a distancia son similares. No hay mucha diferencia. Los estudiantes pueden usar el pasado Preguntas y respuestas del examen de matemáticas avanzadas y generales como preguntas de revisión.

Vea a continuación cómo puede obtener las preguntas anteriores del examen de matemáticas.

Los estudiantes que deseen practicar las preguntas y respuestas de matemáticas pueden descargarlas aquí. Obtenga el folleto de preguntas: Documentos de exámenes anteriores de grado 12 AM y GM, PDF. Aunque los trabajos son de escuelas ordinarias, también son las mejores preguntas para practicar para su examen de matemáticas.

Te animamos a que los descargues y los practiques en tu tiempo libre. Deje un comentario a continuación si necesita ayuda.

El & # 8216Último & # 8217 Exámenes de matemáticas de grado 12 están protegidos con contraseña. Les daremos la contraseña antes del examen de matemáticas del grado 12. Échales un vistazo.


Descripción

Características

  • Abordar todos los aspectos del nuevo programa de estudios de Matemáticas del PD: análisis y enfoques del NM a través de un paquete de libros de cursos en línea mejorado, compuesto por un libro de texto impreso a todo color y un libro de texto en línea, que incluye extensas notas para el profesor
  • Asegúrese de que los alumnos estén listos para abordar cada tema con hojas de trabajo específicas de 'Conocimientos previos', vinculadas a los resúmenes y ejercicios de 'Antes de comenzar' al comienzo de cada capítulo
  • Entregue una cobertura en profundidad de todos los temas a través de explicaciones claras y soluciones trabajadas, ejemplos animados animados, ejercicios diferenciados y hojas de trabajo, con respuestas proporcionadas.
  • Adoptar un enfoque basado en conceptos con lentes conceptuales y microconceptos entretejidos en cada capítulo, además de investigaciones ricas que integran preguntas fácticas y conceptuales, lo que conduce a una comprensión conceptual significativa y específica del contenido.
  • Profundizar la comprensión matemática a través de tareas basadas en la indagación que se relacionan con el contenido de cada capítulo, características de 'mentalidad internacional', enlaces regulares a la teoría del conocimiento y actividades que se enfocan en las habilidades de ATL
  • Apoyar a los estudiantes en el desarrollo de un conjunto de herramientas matemáticas, como lo requiere el nuevo programa de estudios, con actividades de modelado e investigación presentadas en cada capítulo, incluidas sugerencias para la reflexión y sugerencias para estudios adicionales.
  • Preparar a los alumnos a fondo para la evaluación del IB a través de una cobertura en profundidad del contenido del curso, descripciones generales de todos los requisitos, preguntas y trabajos de práctica al estilo de los exámenes, y un capítulo completo que respalda la nueva exploración matemática (IA).
  • Incluye soporte para los modelos de calculadora de pantalla gráfica más populares
  • Este libro de curso en línea estará disponible en Oxford Education Bookshelf hasta 2029. El acceso se facilita mediante un código único, que se envía por correo. El código debe estar vinculado a una dirección de correo electrónico, creando una cuenta de usuario.
  • El acceso se puede transferir una vez a un nuevo usuario, una vez que el usuario inicial ya no requiera acceso. Deberá ponerse en contacto con su asesor educativo local para organizar esto.

Guía para profesores de matemáticas de grado 12 de Etiopía

El estudio de las matemáticas en el nivel de grado 12 tiene como objetivo principal exponer a los estudiantes a conocimientos y competencias matemáticos superiores necesarios para que puedan leer detenidamente su educación superior. La primera parte, que es común a los estudiantes de las corrientes de ciencias naturales y sociales, es una introducción al cálculo donde se introducen los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral con explicaciones intuitivas y ejemplos seguidos de definiciones formales.

Numero de periodos

  • 1.1 Secuencias
  • 1.2 Sucesiones aritméticas y sucesiones geométricas
  • 1.3 La notación sigma y sumas parciales
  • 1.4 Serie infinitos
  • 1.5 Aplicaciones de progresiones aritméticas y progresiones geométricas
  • 2.1 Límites de secuencias de números
  • 2.2 Límites de funciones
  • 2.3 Continuidad de una función
  • 2.4 Ejercicios sobre aplicaciones de límites
  • 12
  • 6
  • 5
  • 3
  • 2
  • 3.1 Introducción a los derivados
     comprender las tasas de cambio
     Definición gráfica de la derivada
     Definición formal (diferenciabilidad en un punto)
     Diferenciabilidad en un intervalo
  • 3.2 Derivadas de diferentes funciones.
     Diferenciación de potencia, trigonométrica simple, exponencial
    y funciones logarítmicas.
  • 3.3 Derivadas de combinaciones y composiciones de funciones
  • 3.4 Ejercicio misceláneo
  • 10
  • 4.1 Valores extremos de funciones
  • 4.2 Problemas de minimización y maximización
  • 4.3 Tasa de cambio
  • 13
  • 6
  • 6
  • 5.1 Integración como proceso inverso de diferenciación
     Integral de:
    & # 8211 Constante
    & # 8211 Poder
    & # 8211 Trigonométrica
    & # 8211 Funciones exponenciales y logarítmicas
  • 5.2 Técnicas de integración
     Sustitución elemental
     Fracciones parciales
     Integración por partes
  • 5.3 Integrales definidas, área y teorema fundamental del cálculo
  • 7
  • 6.1 Coordinar ejes y planos de coordenadas en el espacio
  • 6.2 Coordenadas de un punto en el espacio
  • 6.3 Distancia entre dos puntos en el espacio
  • 6.4 Punto medio de un segmento de línea en el espacio
  • 6.5 Ecuación de esfera
  • 6.6 Vectores en el espacio
  • 2
  • 2
  • 2
  • 1
  • 2
  • 8
  • 7.1 Revisión de la lógica
  • 7.2 Diferentes tipos de pruebas
  • 7.3 Principio y aplicación de la inducción matemática
  • 5
  • 4
  • 4
  • 2
  • 8.1 Técnicas de muestreo
  • 8.2 Representación de datos
  • 8.3 Construcción e interpretación de gráficos
  • 8.4 Medidas de tendencia central y variación de un conjunto de datos,
    incluidos los datos agrupados. (Media, Mediana, Moda, Rango, Inter
    el cuartil sonó y la desviación estándar de los datos en sí o
    de los totales dados)
  • 8.5 Análisis de distribuciones de frecuencia con medias iguales pero
    diferentes varianzas (coeficientes de variación).
  • 8.6 Uso del gráfico de frecuencia acumulada para estimar
  • 3
  • 2
  • 6
  • 5
  • 9.1 Aplicaciones a la compra
  • 9.2 Porcentaje de aumento y disminución porcentual
  • 9.3 Gastos inmobiliarios
  • 9.4 Salarios
  • 3
  • 4
  • 4
  • 4

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Las unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 de los grados 11 y las unidades 1, 2, 3, 4 y 5 de los grados 12 son comunes para los estudiantes de la corriente de ciencias naturales y sociales, mientras que las unidades 7 y 8 de los grados Las unidades 11 y 6 y 7 de los grados 12 se ofrecerán solo a los estudiantes de la corriente de ciencias naturales y las unidades 9 y 10 de los grados 11 y las unidades 8 y 9 de los grados 12 son solo para los estudiantes de la corriente de ciencias sociales.


Métodos de dos puntos

2.5 Métodos multipunto de Kung-Traub

Un artículo fundamental y uno de los más influyentes en el tema de los métodos multipunto para resolver ecuaciones no lineales es sin duda el artículo de Kung-Traub (Kung y Traub, 1974). Aparte de la famosa conjetura sobre el límite superior del orden de convergencia de métodos multipunto con un número fijo de F.E. (ver Sección 1.3), este artículo presenta dos familias multipunto óptimas de métodos iterativos de orden arbitrario. Estas familias generales se estudiarán en capítulos posteriores junto con su análisis de convergencia. Sin embargo, el uso frecuente y la cita de estas familias, llamadas familia K-T por brevedad, impone su breve introducción. Presentamos las familias de Kung-Traub en la forma dada en Kung y Traub (1974).

K-T (2.109) : Para cualquier metro , defina la función de iteración p j (f) (j = 0,…, m) de la siguiente manera: p 0 (f) (x) = x y para m & gt 0,

para j = 1,…, m - 1, donde R j (y) es el polinomio de interpolación inversa de grado como máximo j tal que

Notemos que la familia K-T (2.109) no requiere evaluación de derivadas de F. El orden de convergencia de la familia K-T (2.109), que consta de m - 1 pasos, es 2 m - 1 (m ⩾ 2).

K-T (2.110) : Para cualquier metro, defina la función de iteración q j (f) (j = 1,…, m) de la siguiente manera: q 1 (f) (x) = x, y para m & gt 1,

para j = 2,…, m - 1, donde S j (y) es el polinomio de interpolación inversa de grado como máximo j tal que

El orden de convergencia de la familia K-T (2.110), que consta de m - 1 pasos, es 2 m - 1 (m ⩾ 2).

p 1 en (2.109) yq 1 en (2.110) son solo pasos de inicialización y no hacen el primer paso de las iteraciones descritas.

En este capítulo estudiamos métodos de dos puntos por lo que es de interés presentar los métodos de dos puntos obtenidos como casos especiales de las familias Kung-Traub (2.109) y (2.110). Primero, para m = 3 obtenemos de (2.109) el método de derivada libre de dos puntos

El método de dos puntos (2.111) es de cuarto orden y requiere tres F.E. por lo que pertenece a la clase Ψ 4 de métodos óptimos.

El esquema iterativo (2.111) se puede reescribir en la forma

donde t k = f (y k) / f (x k) y s k = f (y k) / f (x k + γ f (x k)). Comparando (2.112) a (2.91) con h dada por (2.98), observamos que la familia (2.91) es una generalización del método de dos puntos de Kung-Traub (2.111).

Tomando m = 3 en (2.110), obtenemos el método de dos puntos de cuarto orden de Kung-Traub,

Tenga en cuenta que la familia (2.74) es una generalización del método de Kung-Traub (2.113), que se sigue de esta familia tomando r = - 2 en (2.80) o a = 1 en (2.83).

Hemos aplicado algunos de los métodos de dos puntos de cuarto orden presentados a la función

Cuadro 2.3. Ejemplo 2.6 - f (x) = (x - 2) (x 10 + x + 1) e - x - 1, α = 2

Métodos de dos puntos | x 1 - α | | x 2 - α | | x 3 - α | | x 4 - α |
IM de Ostrowski (2,47) 1.72(−3)3.13(−10)3.49(−37)5.43(−145)
Mensajería instantánea de Maheshwari (2,85) 5.27(−3)1.59(−7)1.45(−25)9.97(−98)
(2.91) h = 1 + s + t, γ = 0.01 1.01(−3)7.84(−11)2.93(-39)5.68(−153)
(2.91) h = 1 + s 1 - t, γ = 0.01 3.29(−4)3.66(−13)5.59(−49)3.04(−192)
IM de Ren-Wu-Bi (2.104), a = 02.66(−2)2.09(−3)1.26(−6)2.53(−19)
IM de Kung-Traub (2.112) γ = 0.01 7.56(−3)6.80(−7)4.88(−23)1.29(−87)
Mensajería instantánea de Kung-Traub (2.113) 3.45(−3)1.36(−8)3.38(−30)1.31(−116)

5.4: Más temas en funciones (ejercicios) - Matemáticas

Los autores de Everyday Mathematics responden preguntas frecuentes sobre CCSS y EM.

Matemáticas cotidianas y los estándares estatales básicos comunes para la práctica matemática

Andy Isaacs, director de revisiones de EM, analiza la edición CCSSM de Everyday Mathematics. Aprende más

Comunidad virtual de aprendizaje de matemáticas cotidianas

Únase a la comunidad virtual de aprendizaje para acceder a videos de lecciones de EM desde aulas reales, compartir recursos, discutir temas de EM con otros educadores y más.

Información de nivel de grado

Acceda a recursos específicos de grado para maestros, como guías de ritmo, listas de literatura y juegos.

Desarrollo profesional

UChicago STEM Education ofrece servicios de planificación estratégica para las escuelas que desean fortalecer sus programas de matemáticas de Pre-K & ndash6.

En el sitio del editor

El sitio web de McGraw-Hill Education presenta materiales complementarios, juegos, herramientas de evaluación y planificación, soporte técnico y más.


Ver el vídeo: Concepts of Exponential u0026 Logarithmic Fn. CBSE 12 Maths u0026comp. Ex intro (Agosto 2022).