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7.3E: Soluciones en serie cerca de un punto ordinario I (ejercicios)

7.3E: Soluciones en serie cerca de un punto ordinario I (ejercicios)


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Q7.2.1

En Ejercicios 7.2.1-7.2.8 encuentra la serie de potencias en (x ) para la solución general.

1. ((1 + x ^ 2) y '' + 6xy '+ 6y = 0 )

2. ((1 + x ^ 2) y '' + 2xy'-2y = 0 )

3. ((1 + x ^ 2) y '' - 8xy '+ 20y = 0 )

4. ((1-x ^ 2) y '' - 8xy'-12y = 0 )

5. ((1 + 2x ^ 2) y '' + 7xy '+ 2y = 0 )

6. ({(1 + x ^ 2) y '' + 2xy '+ {1 over4} y = 0} )

7. ((1-x ^ 2) y '' - 5xy'-4y = 0 )

8. ((1 + x ^ 2) y '' - 10xy '+ 28y = 0 )

Q7.2.2

9.

  1. Encuentra la serie de potencias en (x ) para la solución general de (y '' + xy '+ 2y = 0 ).
  2. Para varias opciones de (a_0 ) y (a_1 ), use software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema de valor inicial [y '' + xy '+ 2y = 0, quad y (0) = a_0, quad y '(0) = a_1, etiqueta {A} ] numéricamente en ((- 5,5) ).
  3. Para (r ) fijo en ( {1,2,3,4,5 } ) gráfico [T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] y la solución obtenida en (a) en ((- r, r) ). Continúe aumentando (N ) hasta que no haya una diferencia perceptible entre las dos gráficas.

10. Siga las instrucciones del ejercicio [exer: 7.2.9} para la ecuación diferencial [y '' + 2xy '+ 3y = 0. Nonumber ]

Q7.2.3

En Ejercicios 7.2.11-7.2.13 encuentra (a_ {0}, ..., a_ {N} ) para (N ) al menos (7 ) en la solución de la serie de potencias (y = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} x ^ {n} ) del problema del valor inicial.

11. ((1 + x ^ 2) y '' + xy '+ y = 0, quad y (0) = 2, quad y' (0) = - 1 )

12. ((1 + 2x ^ 2) y '' - 9xy'-6y = 0, quad y (0) = 1, quad y '(0) = - 1 )

13. ((1 + 8x ^ 2) y '' + 2y = 0, quad y (0) = 2, quad y '(0) = - 1 )

Q7.2.4

14. Haz el siguiente experimento para varias opciones de números reales (a_0 ), (a_1 ) y (r ), con (0

  1. Utilice software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema de valor inicial [(1-2x ^ 2) y '' - xy '+ 3y = 0, quad y (0) = a_0, quad y' (0) = a_1, etiqueta {A} ] numéricamente en ((- r, r) ).
  2. Para (N = 2 ), (3 ), (4 ),…, calcule (a_2 ),…, (a_N ) en la solución de la serie de potencias (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) de (A), y grafica [T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] y la solución obtenida en (a) en ((- r, r) ). Continúe aumentando (N ) hasta que no haya una diferencia perceptible entre las dos gráficas.

15. Haga (a) y (b) para varios valores de (r ) en ((0,1) ):

  1. Utilice software de ecuaciones diferenciales para resolver el problema de valor inicial [(1 + x ^ 2) y '' + 10xy '+ 14y = 0, quad y (0) = 5, quad y' (0) = 1, etiqueta {A} ] numéricamente en ((- r, r) ).
  2. Para (N = 2 ), (3 ), (4 ),…, calcule (a_2 ),…, (a_N ) en la solución de la serie de potencias (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) de (A), y grafica [T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n nonumber ] y la solución obtenida en (a) en ((- r, r) ). Continúe aumentando (N ) hasta que no haya una diferencia perceptible entre las dos gráficas. ¿Qué sucede con el (N ) requerido como (r to1 )?
  3. Pruebe (a) y (b) con (r = 1.2 ). Explique sus resultados.

Q7.2.5

En Ejercicios 7.2.16-7.2.20 encuentra la serie de potencias en (x-x_ {0} ) para la solución general.

16. (y '' - y = 0; quad x_0 = 3 )

17. (y '' - (x-3) y'-y = 0; quad x_0 = 3 )

18. ((1-4x + 2x ^ 2) y '' + 10 (x-1) y '+ 6y = 0; quad x_0 = 1 )

19. ((11-8x + 2x ^ 2) y '' - 16 (x-2) y '+ 36y = 0; quad x_0 = 2 )

20. ((5 + 6x + 3x ^ 2) y '' + 9 (x + 1) y '+ 3y = 0; quad x_0 = -1 )

Q7.2.6

En Ejercicios 7.2.21-7.2.26 encuentra (a_ {0}, ... a_ {N} ) para (N ) al menos (7 ) en la serie de potencias (y = sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-x_ {0}) ^ {n} ) para la solución del problema del valor inicial. Tome (x_ {0} ) como el punto donde se imponen las condiciones iniciales.

21. ((x ^ 2-4) y '' - xy'-3y = 0, quad y (0) = - 1, quad y '(0) = 2 )

22. (y '' + (x-3) y '+ 3y = 0, quad y (3) = - 2, quad y' (3) = 3 )

23. ((5-6x + 3x ^ 2) y '' + (x-1) y '+ 12y = 0, quad y (1) = - 1, quad y' (1) = 1 )

24. ((4x ^ 2-24x + 37) y '' + y = 0, quad y (3) = 4, quad y '(3) = - 6 )

25. ((x ^ 2-8x + 14) y '' - 8 (x-4) y '+ 20y = 0, quad y (4) = 3, quad y' (4) = - 4 )

26. ((2x ^ 2 + 4x + 5) y '' - 20 (x + 1) y '+ 60y = 0, quad y (-1) = 3, quad y' (- 1) = - 3 )

Q7.2.7

27.

  1. Encuentra una serie de potencias en (x ) para la solución general de [(1 + x ^ 2) y '' + 4xy '+ 2y = 0. tag {A} ]
  2. Usa (a) y la fórmula [{1 over1-r} = 1 + r + r ^ 2 + cdots + r ^ n + cdots quad (-1
  3. Demuestre que la expresión obtenida en (b) es en realidad la solución general de (A) en ((- infty, infty) ).

28. Usa el teorema 7.2.2 para demostrar que la serie de potencias en (x ) para la solución general de [(1+ alpha x ^ 2) y '' + beta xy '+ gamma y = 0 sin número ]

es [y = a_0 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} p (2j) right] {x ^ { 2m} over (2m)!} + A_1 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} p (2j + 1) right] {x ^ {2m + 1} over (2m + 1)!}. nonumber ]

29. Utilizar Ejercicio 7.2.28 para mostrar que todas las soluciones de [(1+ alpha x ^ 2) y '' + beta xy '+ gamma y = 0 nonumber ]

son polinomios si y solo si [ alpha n (n-1) + beta n + gamma = alpha (n-2r) (n-2s-1), nonumber ]

donde (r ) y (s ) son enteros no negativos.

30.

  1. Use el ejercicio [exer: 7.2.28} para demostrar que la serie de potencias en (x ) para la solución general de [(1-x ^ 2) y '' - 2bxy '+ alpha ( alpha + 2b- 1) y = 0 nonumber ] es (y = a_0y_1 + a_1y_2 ), donde [y_ {1} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j- alpha) (2j + alpha + 2b-1) right] frac {x ^ {2m}} {(2m)!} nonumber ] y [y_ {2} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 1- alpha) (2j + alpha + 2b) right] frac { x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} nonumber ]
  2. Suponga que (2b ) no es un entero impar negativo y (k ) es un entero no negativo. Muestre que (y_1 ) es un polinomio de grado (2k ) tal que (y_1 (-x) = y_1 (x) ) si ( alpha = 2k ), mientras que (y_2 ) es un polinomio de grado (2k + 1 ) tal que (y_2 (-x) = - y_2 (-x) ) si ( alpha = 2k + 1 ). Concluya que si (n ) es un número entero no negativo, entonces hay un polinomio (P_n ) de grado (n ) tal que (P_n (-x) = (- 1) ^ nP_n (x) ) y [(1-x ^ 2) P_n '' - 2bxP_n '+ n (n + 2b-1) P_n = 0. tag {A} ]
  3. Muestre que (A) implica que [[(1-x ^ 2) ^ b P_n ']' = - n (n + 2b-1) (1-x ^ 2) ^ {b-1} P_n, nonumber ] y use esto para mostrar que si (m ) y (n ) son números enteros no negativos, entonces [[(1-x ^ {2}) ^ {b} P_ {n} '] P_ {m } - [(1-x ^ {2}) ^ {b} P_ {m} '] P_ {n} = [m (m + 2b-1) -n (n + 2b-1)] (1-x ^ {2}) ^ {b-1} P_ {m} P_ {n} etiqueta {B} ]
  4. Ahora suponga (b> 0 ). Usa (B) y la integración por partes para mostrar que si (m ne n ), entonces [ int _ {- 1} ^ 1 (1-x ^ 2) ^ {b-1} P_m (x) P_n (x) , dx = 0. nonumber ] (Decimos que (P_m ) y (P_n ) son ortogonal en ((-1,1)) con respecto a la función de ponderación ((1-x ^ 2) ^ {b-1} ).)

31.

  1. Utilizar Ejercicio 7.2.28 para mostrar que la serie de potencias en (x ) para la solución general de la ecuación de Hermite [y '' - 2xy '+ 2 alpha y = 0 nonumber ] es (y = a_0y_1 + a_1y_1 ), donde [y_ {1} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j- alpha) right] frac {2 ^ { m} x ^ {2m}} {(2m)!} nonumber ] y [y_ {2} = sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ { m-1} (2j + 1- alpha) right] frac {2 ^ {m} x ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} nonumber ]
  2. Suponga que (k ) es un número entero no negativo. Concluya que si (n ) es un número entero no negativo, entonces hay un polinomio (P_n ) de grado (n ) tal que (P_n (-x) = (- 1) ^ nP_n (x) ) y [P_n '' - 2xP_n '+ 2nP_n = 0. tag {A} ]
  3. Muestre que (A) implica que [[e ^ {- x ^ 2} P_n ']' = - 2ne ^ {- x ^ 2} P_n, nonumber ] y use esto para mostrar que si (m ) y (n ) son números enteros no negativos, entonces [[e ^ {- x ^ 2} P_n ']' P_m- [e ^ {- x ^ 2} P_m ']' P_n = 2 (mn) e ^ { -x ^ 2} P_mP_n. tag {B} ]
  4. Usa (B) y la integración por partes para mostrar que si (m ne n ), entonces [ int _ {- infty} ^ infty e ^ {- x ^ 2} P_m (x) P_n (x) , dx = 0. nonumber ] (Decimos que (P_m ) y (P_n ) son ortogonal en ((- infty, infty) ) con respecto a la función de ponderación (e ^ {- x ^ 2} ).)

32. Considere la ecuación [ left (1+ alpha x ^ 3 right) y '' + beta x ^ 2y '+ gamma xy = 0, tag {A} ] y deje (p ( n) = alpha n (n-1) + beta n + gamma ). (El caso especial (y '' - xy = 0 ) de (A) es la ecuación de Airy.)

  1. Modifique el argumento utilizado para demostrar el Teorema [thmtype: 7.2.2} para mostrar que [y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n nonumber ] es una solución de (A) si y solo si (a_2 = 0 ) y [a_ {n + 3} = - {p (n) over (n + 3) (n + 2)} a_n, quad n ge0. nonumber ]
  2. Muestre de (a) que (a_n = 0 ) a menos que (n = 3m ) o (n = 3m + 1 ) para algún entero no negativo (m ), y que [ begin {alineado} a_ {3m + 3} & = & - {p (3m) over (3m + 3) (3m + 2)} a_ {3m}, quad m ge 0, text {y} a_ {3m + 4} & = & - {p (3m + 1) over (3m + 4) (3m + 3)} a_ {3m + 1}, quad m ge0, end {alineado} nonumber ] donde (a_0 ) y (a_1 ) pueden especificarse arbitrariamente.
  3. Concluya de (b) que la serie de potencias en (x ) para la solución general de (A) es [ begin {array} {l} y = {a_0 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p (3j) over3j + 2} right] {x ^ {3m} over3 ^ mm!}} [ 4pt] qquad {+ a_1 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p (3j + 1) over3j + 4} right] {x ^ {3m + 1} over3 ^ mm!}}. end {matriz} nonumber ]

Q7.2.8

En Ejercicios 7.2.33-7.2.37 utilizar el método de Ejercicio 7.2.32 para encontrar la serie de potencias en (x ) para la solución general.

33. (y '' - xy = 0 )

34. ((1-2x ^ 3) y '' - 10x ^ 2y'-8xy = 0 )

35. ((1 + x ^ 3) y '' + 7x ^ 2y '+ 9xy = 0 )

36. ((1-2x ^ 3) y '' + 6x ^ 2y '+ 24xy = 0 )

37. ((1-x ^ 3) y '' + 15x ^ 2y'-63xy = 0 )

Q7.2.9

38. Considere la ecuación [ left (1+ alpha x ^ {k + 2} right) y '' + beta x ^ {k + 1} y '+ gamma x ^ ky = 0, tag {A} ] donde (k ) es un número entero positivo, y sea (p (n) = alpha n (n-1) + beta n + gamma ).

  1. Modifique el argumento usado para demostrar el Teorema 7.2.2 para mostrar que [y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n nonumber ] es una solución de (A) si y solo si (a_n = 0 ) para (2 le n le k + 1 ) y [a_ {n + k + 2} = - {p (n) over (n + k + 2) (n + k + 1) } a_n, quad n ge0. nonumber ]
  2. Muestre de (a) que (a_n = 0 ) a menos que (n = (k + 2) m ) o (n = (k + 2) m + 1 ) para algún entero no negativo (m ) , y que [ begin {alineado} a _ {(k + 2) (m + 1)} & = & - {p left ((k + 2) m right) over (k + 2) (m +1) [(k + 2) (m + 1) -1]} a _ {(k + 2) m}, quad m ge 0, text {y} a _ {(k + 2 ) (m + 1) +1} & = & - {p left ((k + 2) m + 1 right) over [(k + 2) (m + 1) +1] (k + 2) (m + 1)} a _ {(k + 2) m + 1}, quad m ge0, end {alineado} nonumber ] donde (a_0 ) y (a_1 ) pueden especificarse arbitrariamente.
  3. Concluya de (b) que la serie de potencias en (x ) para la solución general de (A) es [ begin {array} {l} y = a_0 { sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m left [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p left ((k + 2) j right) over (k + 2) (j + 1) -1} right] {x ^ {(k + 2) m} over (k + 2) ^ mm!}} qquad + a_1 { sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m izquierda [ prod ^ {m-1} _ {j = 0} {p left ((k + 2) j + 1 right) over (k + 2) (j + 1) +1} right] {x ^ {(k + 2) m + 1} over (k + 2) ^ mm!}}. end {matriz} nonumber ]

Q7.2.10

En Ejercicios 7.2.39-7.2.44 utilizar el método de Ejercicio 7.2.38 para encontrar la serie de potencias en (x ) para la solución general.

39. ((1 + 2x ^ 5) y '' + 14x ^ 4y '+ 10x ^ 3y = 0 )

40. (y '' + x ^ 2y = 0 )

41. (y '' + x ^ 6y '+ 7x ^ 5y = 0 )

42. ((1 + x ^ 8) y '' - 16x ^ 7y '+ 72x ^ 6y = 0 )

43. ((1-x ^ 6) y '' - 12x ^ 5y'-30x ^ 4y = 0 )

44. (y '' + x ^ 5y '+ 6x ^ 4y = 0 )


Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

Nota: 1 o 1.5 conferencia, §8.2 en [EP], §5.2 y §5.3 en [BD]

Supongamos que tenemos una EDO lineal homogénea de segundo orden de la forma

Suponga que (p (x) text <,> ) (q (x) text <,> ) y (r (x) ) son polinomios. Intentaremos una solución del formulario

y resuelva para (a_k ) para intentar obtener una solución definida en algún intervalo alrededor de (x_0 text <.> )

El punto (x_0 ) se llama punto ordinario if (p (x_0) not = 0 text <.> ) Es decir, las funciones

están definidos para (x ) cerca de (x_0 text <.> ) Si (p (x_0) = 0 text <,> ) entonces decimos que (x_0 ) es un punto singular. Manejar puntos singulares es más difícil que los puntos ordinarios, por lo que ahora nos enfocamos solo en puntos ordinarios.

Ejemplo 7.2.1.

Comencemos con un ejemplo muy simple.

Probemos una solución en serie de potencias cerca de (x_0 = 0 text <,> ) que es un punto ordinario. Cada punto es un punto ordinario de hecho, ya que la ecuación es un coeficiente constante. Ya sabemos que debemos obtener exponenciales o el seno y coseno hiperbólicos, pero finjamos que no lo sabemos.

Si diferenciamos, el término (k = 0 ) es una constante y, por tanto, desaparece. Por lo tanto, obtenemos

Diferenciamos una vez más para obtener (ahora el término (k = 1 ) desaparece)

Reindexamos la serie (reemplazamos (k ) con (k + 2 )) para obtener

Ahora conectamos (y ) y (y '' ) en la ecuación diferencial

Como se supone que (y '' - y ) es igual a 0, sabemos que los coeficientes de la serie resultante deben ser iguales a 0. Por lo tanto,

La ecuación anterior se llama relación de recurrencia para los coeficientes de la serie de potencias. No importaba lo que fuera (a_0 ) o (a_1 ). Pueden ser arbitrarios. Pero una vez que elegimos (a_0 ) y (a_1 text <,> ), todos los demás coeficientes están determinados por la relación de recurrencia.

Veamos cuáles deben ser los coeficientes. Primero, (a_0 ) y (a_1 ) son arbitrarios. Luego,

Entonces, incluso para (k text <,> ) que es (k = 2n text <,> ) tenemos

y para (k text <,> ) impar que es (k = 2n + 1 text <,> ) tenemos

Anotemos la serie

Reconocemos las dos series como el seno y el coseno hiperbólicos. Por lo tanto,

Eso sí, en general no podremos reconocer la serie que aparece, ya que normalmente no habrá ninguna función elemental que la coincida. En ese caso estaremos contentos con la serie.

Ejemplo 7.2.2.

Hagamos un ejemplo más complejo. Considerar Ecuación de Airy 1 :

cerca del punto (x_0 = 0 text <.> ) Tenga en cuenta que (x_0 = 0 ) es un punto ordinario.

Diferenciamos dos veces (como arriba) para obtener

Conectamos (y ) en la ecuación

Reindexamos para hacer las cosas más fáciles de sumar

Nuevamente se supone que (y '' - xy ) es 0, entonces (a_2 = 0 text <,> ) y

Saltamos en pasos de tres. Primero, dado que (a_2 = 0 ) debemos tener, (a_5 = 0 text <,> ) (a_8 = 0 text <,> ) (a_ <11> = 0 text <, > ) etc. En general, (a_ <3n + 2> = 0 text <.> )

Las constantes (a_0 ) y (a_1 ) son arbitrarias y obtenemos

Para (a_k ) donde (k ) es un múltiplo de (3 text <,> ) que es (k = 3n ) notamos que

Para (a_k ) donde (k = 3n + 1 text <,> ) notamos

En otras palabras, si escribimos la serie para (y text <,> ) tiene dos partes

y escribe la solución general de la ecuación como (y (x) = a_0 y_1 (x) + a_1 y_2 (x) text <.> ) Si conectamos (x = 0 ) en la serie de potencias para (y_1 ) y (y_2 text <,> ) encontramos (y_1 (0) = 1 ) y (y_2 (0) = 0 text <.> ) De manera similar, (y_1 ' (0) = 0 ) y (y_2 '(0) = 1 text <.> ) Por lo tanto (y = a_0 y_1 + a_1 y_2 ) es una solución que satisface las condiciones iniciales (y (0) = a_0 ) y (y '(0) = a_1 text <.> )

Figura 7.3. Las dos soluciones (y_1 ) y (y_2 ) a la ecuación de Airy.

Las funciones (y_1 ) y (y_2 ) no se pueden escribir en términos de las funciones elementales que conoces. Consulte la Figura 7.3 para ver la gráfica de las soluciones (y_1 ) y (y_2 text <.> ). Estas funciones tienen muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, son oscilatorias para (x ) negativo (como soluciones a (y '' + y = 0 )) y para (x ) positivo crecen sin límite (como soluciones a (y '' -y = 0 )).

A veces, una solución puede resultar ser un polinomio.

Ejemplo 7.2.3.

Encontremos una solución al llamado Ecuación de orden de Hermite (n ) 2 :

Encontremos una solución alrededor del punto (x_0 = 0 text <.> ) Intentamos

Nos diferenciamos (como arriba) para obtener

Ahora conectamos a la ecuación

Esta relación de recurrencia en realidad incluye (a_2 = -na_0 ) (que proviene de (2a_2 + 2na_0 = 0 )). Nuevamente (a_0 ) y (a_1 ) son arbitrarios.

Separemos los coeficientes pares e impares. Encontramos eso

Anotemos las dos series, una con las potencias pares y otra con las impares.

Observamos que si (n ) es un entero par positivo, entonces (y_1 (x) ) es un polinomio ya que todos los coeficientes de la serie más allá de cierto grado son cero. Si (n ) es un entero impar positivo, entonces (y_2 (x) ) es un polinomio. Por ejemplo, si (n = 4 text <,> ) entonces

Subsección 7.2.1 Ejercicios

En los siguientes ejercicios, cuando se le pida que resuelva una ecuación usando métodos de series de potencias, debe encontrar los primeros términos de la serie y, si es posible, encontrar una fórmula general para (k ^ < text> ) coeficiente.

Ejercicio 7.2.1.

Usa métodos de series de potencias para resolver (y '' + y = 0 ) en el punto (x_0 = 1 text <.> )

Ejercicio 7.2.2.

Usa métodos de series de potencias para resolver (y '' + 4xy = 0 ) en el punto (x_0 = 0 text <.> )

Ejercicio 7.2.3.

Usa métodos de series de potencias para resolver (y '' - xy = 0 ) en el punto (x_0 = 1 text <.> )

Ejercicio 7.2.4.

Usa métodos de series de potencias para resolver (y '' + x ^ 2y = 0 ) en el punto (x_0 = 0 text <.> )

Ejercicio 7.2.5.

Los métodos funcionan para otros pedidos que no sean de segundo orden. Pruebe los métodos de esta sección para resolver el sistema de primer orden (y'-xy = 0 ) en el punto (x_0 = 0 text <.> )

Ejercicio 7.2.6. Ecuación de Chebyshev de orden (p ).

Resuelve ((1-x ^ 2) y '' - xy '+ p ^ 2y = 0 ) usando métodos de series de potencias en (x_0 = 0 text <.> )

¿Para qué (p ) hay una solución polinomial?

Ejercicio 7.2.7.

Encuentre una solución polinomial para ((x ^ 2 + 1) y '' - 2xy '+ 2y = 0 ) usando métodos de series de potencias.

Ejercicio 7.2.8.

Usa métodos de series de potencias para resolver ((1-x) y '' + y = 0 ) en el punto (x_0 = 0 text <.> )

Usa la solución del inciso a) para encontrar una solución para (xy '' + y = 0 ) alrededor del punto (x_0 = 1 text <.> )

Ejercicio 7.2.101.

Usa métodos de series de potencias para resolver (y '' + 2 x ^ 3 y = 0 ) en el punto (x_0 = 0 text <.> )

(a_2 = 0 text <,> ) (a_3 = 0 text <,> ) (a_4 = 0 text <,> ) relación de recurrencia (para (k geq 5 )): (a_k = frac <- 2 a_> text <,> ) entonces:
(y (x) = a_0 + a_1 x - frac <10> x ^ 5 - frac <15> x ^ 6 + frac <450> x ^ <10> + frac <825> x ^ <11> - frac <47250> x ^ <15> - frac <99000> x ^ <16> + cdots )

Ejercicio 7.2.102.

(desafiante) Los métodos de series de potencias también funcionan para ecuaciones no homogéneas.

Usa métodos de series de potencias para resolver (y '' - x y = frac <1> <1-x> ) en el punto (x_0 = 0 text <.> ) Sugerencia: recuerda la serie geométrica.

Ahora resuelva para la condición inicial (y (0) = 0 text <,> ) (y '(0) = 0 text <.> )

a) (a_2 = frac <1> <2> text <,> ) y para (k geq 1 ) tenemos (a_k = frac <>+ 1> text <,> ) entonces
(y (x) = a_0 + a_1 x + frac <1> <2> x ^ 2 + frac <6> x ^ 3 + frac <12> x ^ 4 + frac <3> <40> x ^ 5 + frac <30> x ^ 6 + frac <42> x ^ 7 + frac <5> <112> x ^ 8 + frac <72> x ^ 9 + frac <90> x ^ <10> + cdots )
b) (y (x) = frac <1> <2> x ^ 2 + frac <1> <6> x ^ 3 + frac <1> <12> x ^ 4 + frac <3> <40> x ^ 5 + frac <1> <15> x ^ 6 + frac <1> <21> x ^ 7 + frac <5> <112> x ^ 8 + frac <1> <24 > x ^ 9 + frac <1> <30> x ^ <10> + cdots )

Ejercicio 7.2.103.

Intente resolver (x ^ 2 y '' - y = 0 ) en (x_0 = 0 ) usando el método de series de potencia de esta sección ( (x_0 ) es un punto singular). ¿Puedes encontrar al menos una solución? ¿Puedes encontrar más de una solución?

Aplicando el método de esta sección directamente obtenemos (a_k = 0 ) para todo (k ) y entonces (y (x) = 0 ) es la única solución que encontramos.


Python: consejos del día

¿Cómo paso una variable por referencia?

Los argumentos se pasan por asignación. La razón fundamental detrás de esto es doble:

  1. el parámetro pasado es en realidad una referencia a un objeto (pero la referencia se pasa por valor)
  2. algunos tipos de datos son mutables, pero otros no
  • Si pasa un objeto mutable a un método, el método obtiene una referencia a ese mismo objeto y puede mutarlo para el deleite de su corazón, pero si vuelve a enlazar la referencia en el método, el alcance externo no sabrá nada al respecto, y después ya ha terminado, la referencia exterior seguirá apuntando al objeto original.
  • Si pasa un objeto inmutable a un método, aún no puede volver a vincular la referencia externa y ni siquiera puede mutar el objeto.

Para que quede aún más claro, veamos algunos ejemplos.

Lista: un tipo mutable

Intentemos modificar la lista que se pasó a un método:

Dado que el parámetro pasado es una referencia a external_list, no una copia de él, podemos usar los métodos de la lista mutante para cambiarlo y hacer que los cambios se reflejen en el alcance externo.

Ahora veamos qué sucede cuando intentamos cambiar la referencia que se pasó como parámetro:

Dado que el parámetro the_list se pasó por valor, asignarle una nueva lista no tuvo ningún efecto que el código externo al método pudiera ver. The_list era una copia de la referencia external_list, y teníamos the_list apuntando a una nueva lista, pero no había forma de cambiar dónde apuntaba external_list.

Cadena: un tipo inmutable

Es inmutable, por lo que no hay nada que podamos hacer para cambiar el contenido de la cadena.
Ahora, intentemos cambiar la referencia.

Nuevamente, dado que el parámetro the_string se pasó por valor, asignarle una nueva cadena no tuvo ningún efecto que el código externo al método pudiera ver. The_string era una copia de la referencia outside_string, y teníamos the_string apuntando a una nueva cadena, pero no había forma de cambiar donde apuntaba outside_string.

Espero que esto aclare un poco las cosas.

EDITAR: Se ha observado que esto no responde a la pregunta que originalmente hizo @David: "¿Hay algo que pueda hacer para pasar la variable por referencia real?". Trabajemos en eso.

¿Cómo solucionamos esto?

Como muestra la respuesta de @ Andrea, puede devolver el nuevo valor. Esto no cambia la forma en que se transmiten las cosas, pero le permite recuperar la información que desea:

Si realmente desea evitar el uso de un valor de retorno, puede crear una clase para mantener su valor y pasarlo a la función o usar una clase existente, como una lista:


Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera 11e, como sus predecesores, está escrito desde el punto de vista del matemático aplicado, cuyo interés por las ecuaciones diferenciales puede ser a veces bastante teórico, a veces intensamente práctico y, a menudo, algo intermedio. Los autores han buscado combinar una exposición sólida y precisa (pero no abstracta) de la teoría elemental de ecuaciones diferenciales con material considerable sobre métodos de solución, análisis y aproximación que han demostrado ser útiles en una amplia variedad de aplicaciones. Si bien la estructura general del libro permanece sin cambios, se han realizado algunos cambios notables para mejorar la claridad y legibilidad del material básico sobre ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Además de explicaciones ampliadas, la 11ª edición incluye nuevos problemas, figuras actualizadas y ejemplos para ayudar a motivar a los estudiantes.

El programa está destinado principalmente a estudiantes universitarios de matemáticas, ciencias o ingeniería, que normalmente toman un curso sobre ecuaciones diferenciales durante su primer o segundo año de estudio. El principal requisito previo para participar en el programa es un conocimiento práctico de cálculo, obtenido de una secuencia de curso normal de dos o tres semestres o su equivalente. Un poco de familiaridad con las matrices también será útil en los capítulos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales.


7 ejercicios para la fortaleza espiritual

1. Pase más tiempo con familiares / amigos cariñosos y alentadores.

Piense en sus relaciones por un momento, ¿pinta una imagen que le gustaría mejorar?

Algunos de sus mejores momentos en la vida pueden ser con la familia, pero otros pueden no ser tan memorables. No se aferre a los recuerdos negativos, que son una carga demasiado pesada para soportar. Libérelos y sepa que se ocuparán de ellos. Está destinado a ser feliz y disfrutar de la vida, especialmente los momentos felices con aquellos con quienes está cerca. Cuando estás enfocado en estar centrado espiritualmente, siempre estás divinamente protegido. Algunos pensamientos negativos pueden surgir y tratar de derribarte, pero puedes confiar en tu fuerza espiritual, ¡dejándola hablar por ti y como un guardaespaldas!

Dale a este tiempo con tu familia o amigos la atención y el amor que se merece. Cuando su corazón se abre a sus seres queridos de esta manera, se desarrollan nuevos patrones y pensamientos en usted. A partir de estos nuevos pensamientos, puede sentar las bases para relaciones más saludables.

Actúe para demostrarles a los que son importantes para usted cuánto los aprecia. Puede ser tan simple como una llamada telefónica o un correo electrónico para calentar el corazón de alguien. Incluso podría cambiar toda su vida.

2. Salga al aire libre tanto como sea posible.

Salir es vital para desarrollar tu fuerza espiritual. Una mayor conexión con la naturaleza y la Tierra lo coloca en alineación con la energía viva real. Te conecta directamente con lo divino, permitiendo que la energía positiva se canalice hacia ti y a través de ti. Disfrute del sol y déjelo brillar en su cara (su glándula pineal es realmente sensible a la luz). Puede hacer esto más si tiene el hábito de comer al aire libre o incluso dar un paseo para ver el amanecer o el atardecer.

A medida que pase más tiempo al aire libre, esté atento a las vistas y los sonidos de la naturaleza. Sienta la energía del viento cuando pasa junto a usted y asegúrese de oler lo que le rodea. Se suponía que estabas complacido a través de tus sentidos, y la naturaleza puede hacerlo de múltiples formas.

3. Reducir las distracciones (TV, Radio, Internet, Periódico)

Los medios pueden llenar tu mente con miles de anuncios, episodios y eventos que no son ni de lejos vitales para vivir tu mejor vida. Cuando reduce la absorción de participar en estas actividades, hay muchos menos estímulos fabricados y su cerebro tiene la oportunidad de estar en silencio. Estos momentos de silencio te brindan la oportunidad de fortalecer tu conexión espiritual y la de quienes te rodean.

Y si no está listo para renunciar a estas cosas o reducir su ingesta (entendemos), simplemente intente enfocarse en lo que SÍ quiere ver (como el Poder de la Positividad), en lugar de lo que no quiere ver.

4. Observe sus pensamientos sobre las personas que le rodean.

Es muy importante enviar energía positiva a los demás, así como abrirse para recibirla usted mismo. No hay lugar en esta vida para juzgar a los demás, ya que otros pueden juzgarlo por sus propias acciones. Centrarse en el dolor, los chismes, el miedo o la tristeza no le sirve a nadie.

La energía que envías a otros puede ayudarlos a superar su desafío, o tropezar y caer. Sea amable con todas las personas. Vea el bien (y el Dios) en ellos y ayude a tratar de amplificar esa voz para ayudarlos a sus mejor vida. Puede que no tengas idea del tipo de batalla que están luchando en este momento, la energía que les envías es muy importante.

5. Da un paso de fe

Tenga confianza para mantenerse firme frente a la adversidad. Debes saber que lo Divino te respalda y que te espera un gran avance más allá de tus desafíos. Puede haber fuerzas que tienen una inversión en evitar que reciba su mejor vida, pero cuando decide ponerse de pie o hablar, sabiendo que su fe es más grande que su miedo, la ilusión de miedo que & # 8217 está tratando de reprimirlo. disminuirá y eventualmente desaparecerá.

Te vuelves más fuerte y más sabio cuando das un paso de fe. Las lecciones aportadas por todas las personas y situaciones con las que entramos en contacto son nuestros profesores Y nuestros exámenes & # 8211 ¡aproveche esta oportunidad para obtener una A +!

6. Estar al servicio de los demás

La historia muestra que las personas espiritualmente fuertes, pacíficas y amorosas se concentraban en servir a los demás. Jesús, Buda, Madre Teresa, Gandhi… la lista continúa. Hay verdadero poder y paz en el servicio por sí mismo. Tómese el tiempo para ayudar a alguien que lo necesite o comparta un contacto con ellos que puedan. No tienes que ser especial para ser el punto de inflexión en la vida de alguien, cada persona con la que te encuentras llega a ti por una razón específica. Sirva la situación y su fuerza espiritual seguramente crecerá.

7. Haga de la oración / meditación un hábito.

La observancia regular de los ayudantes y guías "invisibles", los ángeles o cualquier persona a la que llames que te rodee, provocará un cambio en ti. Un gran ejercicio de fortaleza espiritual es rezar o meditar (como prefiera) al menos dos veces al día.

La oración o la meditación generalmente tienen un comienzo formal como "Querido Dios", "Querido Padre Celestial" u "Oh, Gran Espíritu Sanador". Otras religiones tienen rituales específicos, como la religión musulmana que recita "La Apertura" en una postura específica. Se puede practicar en una variedad de formas y posiciones, pero todas te ayudarán a desarrollar tu fuerza espiritual y te llevarán a tu mejor vida. Mientras ora / medita, siéntese en silencio y permita que lo divino entre en usted para fortalecer e iluminar su espíritu. Mantenga sus solicitudes en tiempo positivo, enfocándose en la curación en lugar de la enfermedad o dolencia, la abundancia en lugar de la escasez, etc. Si reconoces la energía negativa, reclamas propiedad sobre ella y permites que permanezca en tu vida. ¡Inúndalo con lo positivo!


La serie de actividades

Las reacciones de reemplazo único solo ocurren cuando el elemento que está reemplazando es más reactivo que el elemento que está siendo reemplazado. Por lo tanto, es útil tener una lista de elementos en orden de reactividad relativa. El serie de actividades es una lista de elementos en orden decreciente de reactividad. Dado que los metales reemplazan a otros metales, mientras que los no metales reemplazan a otros no metales, cada uno tiene una serie de actividad separada. La tabla ( PageIndex <1> ) a continuación es una serie de actividades de los metales más comunes, y la tabla ( PageIndex <2> ) es una serie de actividades de los halógenos.

Para una reacción de reemplazo único, un elemento dado es capaz de reemplazar un elemento que está por debajo de él en la serie de actividades. Esto se puede usar para predecir si ocurrirá una reacción. Suponga que se colocan pequeños trozos del níquel metálico en dos soluciones acuosas separadas: una de nitrato de hierro (III) y otra de nitrato de plomo (II). Al observar la serie de actividades, vemos que el níquel está por debajo del hierro, pero por encima del plomo. Por lo tanto, el níquel metálico podrá reemplazar al plomo en una reacción, pero no podrá reemplazar al hierro.

[ ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow ce izquierda (aq derecha) + ce left (s right) ]

[ ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow text]

En las descripciones que acompañan a la serie de actividades de los metales, un metal dado también es capaz de sufrir las reacciones que se describen a continuación en esa sección. Por ejemplo, el litio reaccionará con agua fría, reemplazando al hidrógeno. También reaccionará con vapor y con ácidos, ya que eso requiere un menor grado de reactividad.

Utilice la serie de actividades para predecir si ocurrirán las siguientes reacciones. Si no es así, escriba ( text). Si la reacción ocurre, escribe los productos de la reacción y equilibra la ecuación.

  1. ( ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow )
  2. ( ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow )

Ejemplo ( PageIndex <1A> )

( ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow )

Ejemplo ( PageIndex <1B> )

( ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow )

Dado que el aluminio está por encima del zinc, es capaz de reemplazarlo y se producirá una reacción. Los productos de la reacción serán nitrato de aluminio acuoso y zinc sólido. Tenga cuidado de escribir las fórmulas correctas para los productos antes de equilibrar la ecuación. El aluminio adopta una carga (+ 3 ) en un compuesto iónico, por lo que la fórmula para el nitrato de aluminio es ( ce). La ecuación balanceada es:

(2 ce izquierda (s derecha) + 3 ce left (aq right) rightarrow 2 ce izquierda (aq derecha) + 3 ce left (s right) )

Dado que la plata está por debajo del hidrógeno, no es capaz de reemplazar el hidrógeno en una reacción con un ácido.

( ce izquierda (s derecha) + ce left (aq right) rightarrow text)

Utilice la serie de actividades para predecir los productos, si los hay, de cada ecuación.


Soluciones NCERT para matemáticas de clase 10 Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables Ej. 3.7

Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 10 Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables El ejemplo 3.7 es parte de las soluciones NCERT para matemáticas de la clase 10. Aquí hemos dado soluciones NCERT para matemáticas de clase 10 Capítulo 3 Par de ecuaciones lineales en dos variables Ejercicio 3.7

Ej 3.7 Pregunta 1 de matemáticas de la clase 10.
La edad de dos amigas Ani y Biju difieren en 3 años. El padre de Ani, Dharam, es dos veces más viejo que Ani y Biju es dos veces más viejo que su hermana Cathy. Las edades de Cathy y Dharam difieren en 30 años. Encuentra las edades de Ani y Biju.
Solución:
Sean las edades de Ani y Biju x años y y años respectivamente.
Si Ani es mayor que Biju
x & # 8211 y = 3
Si Biju es mayor que Ani
y & # 8211 x = 3
-x + y = 3 [Dado]

Restando la ecuación (i) de la ecuación (ii), obtenemos:
3x y # 8211 57
⇒ x = 19
Poniendo x = 19 en la ecuación (i), obtenemos
19 años = 3
⇒ y = 16
Nuevamente restando la ecuación (iv) de la ecuación (iii), obtenemos
3 veces = 63
⇒ x = 21
Poniendo x = 21 en la ecuación (iii) obtenemos
21 -y = -3
⇒ y = 24
Por lo tanto, la edad de Ani es 19 o 21 años y la edad de Biju es 16 o 24 años.

Ej 3.7 Pregunta 2 de matemáticas de la clase 10.
One says, “Give me a hundred, friend! I shall then become twice as rich as you”. The other replies, “If you give me ten, I shall be six times as rich as you”. Tell me what is the amount of their (respective) capital?
Solution:
Let the two friends have ₹ x and ₹ y.
According to the first condition:
One friend has an amount = ₹(x + 100)
Other has an amount = ₹ (y – 100
∴ (x + 100) =2 (y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = -300 …(i)
According to the second condition:
One friend has an amount = ₹(x – 10)
Other friend has an amount =₹ (y + 10)
∴ 6(x – 10) = y + 10
⇒ 6x – 60 = y + 10
⇒ 6x-y = 70 …(ii)
Multiplying (ii) equation by 2 and subtracting the result from equation (i), we get:
x – 12x = – 300 – 140
⇒ -11x = -440
⇒ x = 40
Substituting x = 40 in equation (ii), we get
6 x 40 – y = 70
⇒ -y = 70- 24
⇒ y = 170
Thus, the two friends have ₹ 40 and ₹ 170.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 3.
A train covered a certain distance at a uniform speed. If the train would have been 10 km/h faster, it would have taken 2 hours less than the scheduled time. And, if the train were slower by 10 km/h, it would have taken 3 hours more than the scheduled time. Find the distance covered by the train.
Solution:
Let the original speed of the train be x km/h
and the time taken to complete the journey be y hours. ‘
Then the distance covered = xy km

Case I: When speed = (x + 10) km/h and time taken = (y – 2) h
Distance = (x + 10) (y – 2) km
⇒ xy = (x + 10) (y – 2)
⇒ 10y – 2x = 20
⇒ 5y – x = 10
⇒ -x + 5y = 10 …(i)

Case II: When speed = (x – 10) km/h and time taken = (y + 3) h
Distance = (x – 10) (y + 3) km
⇒ xy = (x – 10) (y + 3)
⇒ 3x- 10y = 30 …(ii)
Multiplying equation (i) by 3 and adding the result to equation (ii), we get
15y – 10y = 30 f 30
⇒ 5y = 60
⇒ y = 12
Putting y = 12 in equation (ii), we get
3x- 10 x 12= 30
⇒ 3x = 150
⇒ x = 50
∴ x = 50 and y = 12
Thus, original speed of train is 50 km/h and time taken by it is 12 h.
Distance covered by train = Speed x Time
= 50 x 12 = 600 km.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 4.
The students of a class are made to stand in rows. If 3 students are extra in a row, there would be 1 row less. If 3 students are less in a row, there would be 2 rows more. Find the number of students in the class.
Solution:
Let the number of rows be x and the number of students in each row be y.
Then the total number of students = xy
Case I: When there are 3 more students in each row
Then the number of students in a row = (y + 3)
and the number of rows = (x – 1)
Total number of students = (x – 1) (y + 3)
∴ (x – 1) (y + 3) = xy
⇒ 3x -y =3 …(i)
Case II: When 3 students are removed from each row
Then the number of students in each row = (y-3)
and the number of rows = (x + 2)
Total number of students = (x + 2) (y – 3)
∴ (x + 2) (y – 3) = xy
⇒ -3x + 2y = 6 …(ii)
Adding the equations (i) and (ii), we get
-y + 2y = 3 + 6
⇒ y = 9
Putting y = 9 in the equation (ii), we get
-3x + 18 = 6
⇒ x = 4
∴ x = 4 and y = 9
Hence, the total number of students in the class is 9 x 4 = 36.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 5.
In a ∆ABC, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B). Find the three angles.
Solution:
Let ∠A = x° and ∠B = y°.
Then ∠C = 3∠B = (3y)°.
Now ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + y + 3y = 180°
⇒ x + 4y = 180° …(i)
Also, ∠C = 2(∠A + ∠B)
⇒ 3y – 2(x + y)
⇒ 2x – y = 0° …(ii)
Multiplying (ii) by 4 and adding the result to equation (i), we get:
9x = 180°
⇒ x = 20°
Putting x = 20 in equation (i), we get:
20 + 4y = 180°
⇒ 4y = 160°
⇒ y = (frac < 160 >< 40 >) = 40°
∴ ∠A = 20°, ∠B = 40° and ∠C = 3 x 40° = 120°.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 6.
Draw the graphs of the equations 5x – y = 5 and 3x – y = 3. Determine the coordinates of the vertices of the triangle formed by these lines and the y-axis.
Solution:
5x – y = 5 …(i)
3x-y = 3 …(ii)
For graphical representation:
From equation (i), we get: y = 5x – 5
When x = 0, then y -5
When x = 2, then y = 10 – 5 = 5
When x = 1, then y = 5 – 5 = 10
Thus, we have the following table of solutions:

From equation (ii), we get:
⇒ y = 3x – 3
When x = 0, then y = -3
When x = 2, then y = 6 – 3 = 3
When x = 1, then y = 3 – 3 = 0
Thus, we have the following table of solutions:

Plotting the points of each table of solutions, we obtain the graphs of two lines intersecting each other at a point C(1, 0).

The vertices of ΔABC formed by these lines and the y-axis are A(0, -5), B(0, -3) and C(1, 0).

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 7.
Solve the following pairs of linear equations:

Solution:
(I) The given equations are
px + qy = p – q …(1)
qx – py = p + q …(2)
Multiplying equation (1) byp and equation (2) by q and then adding the results, we get:
x(p 2 + q 2 ) = p(p – q) + q(p + q)

(ii) The given equations are
ax + by = c …(1)
bx – ay = 1 + c …(2)
Multiplying equation (1) by b and equation (2) by a, we get:
abx + b 2 y = cb …(3)
abx + a 2 y = a(1+ c) …(4)
Subtracting (3) from (4), we get:

(iii) The given equations may be written as: bx – ay = 0 …(1)
ax + by = a 2 + b 2 …(2)
Multiplying equation (1) by b and equation (2) by a, we get:
b 2 x + aby = 0 ….(3)
a 2 x + aby = a(a 2 + b 2 ) …..(4)
Adding equation (3) and equation (4), we get:
(a 2 + b 2 )x = a (a 2 + b 2 ) a(a 2 + b 2 )

(iv) The given equations may be written as:
(a – b)x + (a + b)y = a 2 – 2ab – b 2 …(1)
(a + b)x + (a + b)y = a 2 + b 2 …(2)
Subtracting equation (2) from equation (1), we get:
(a – b)x – (a + b)x
= (a 2 – 2ab – b 2 ) – (a 2 + b 2 )
⇒ x(a – b- a-b) = a 2 – 2ab – b 2 – a 2 – b 2
⇒ -2bx = -2ab – 2b 2
⇒ 2bx = 2b 2 + 2ab

(v) The given equations may be written as:
76x – 189y = -37 …(1)
-189x + 76y = -302 …(2)
Multiplying equation (1) by 76 and equation (2) by 189, we get:
5776x – 14364y = -2812 …(3)
-35721x + 14364y = -57078 …(4)
Adding equations (3) and (4), we get:
5776x – 35721x = -2812 – 57078
⇒ – 29945x = -59890
⇒ x = 2
Putting x = 2 in equation (1), we get:
76 x 2 – 189y = -37
⇒ 152 – 189y = -37
⇒ -189y = -189
⇒ y = 1
Thus, x = 2 and y = 1 is the required solution.

Ex 3.7 Class 10 Maths Question 8.
ABCD is a cyclic quadrilateral (see figure). Find the angles of the cyclic quadrilateral.

Solution:

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) Ex 3.7














NCERT Solutions for Class 10 Maths

We hope the NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.7, help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.7, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Ejercicios

Question 1. Which ruler first established his or her capital at Delhi?
Answer:


Delhi first became the capital of a kingdom under the Tomar Rajputs.

Question 2. What was the language of administration under the Delhi Sultans?
Answer:the language of administration under the Delhi Sultans Persian.

Question 3. In whose region did the Sultanate reach its farthest extent?
Answer:Under the regions of Aluaddin Khalji and Muhammad Tughluq the Sultanate reached its farthest extent.

Question 4. From which country did Ibn Battuta travel to India?
Answer. Ibn Battuta travel to India from the Morocco Africa..


2 $20,000 × .756144 = 15,

B. Cash flow stream A has a higher present value ($109,857) than cash flow stream B ($91,273) because cash flow stream A has larger cash flows in the early years. So stream A gets more of the $150,000 sooner. Although both cash flow streams total $150,000 on an undiscounted basis, the large early-year cash flows of stream A result in its higher present value.

*Note: You could also solve this problem using the CF and NPV registers on the calculator. See the solution to Problem 4 for an example of how to compute the present value of an uneven stream of cash flows with the calculator.

P3. Assume that you just won the state lottery. Your prize can be taken either in the form of $40,000 at the end of each of the next 25 years or as a single payment of $500,000 paid immediately.

un. If you expect to be able to earn 5 percent annually on your investments over the next 25 years (i.e. 5 percent is the appropriate discount rate), ignoring taxes and other considerations, which alternative should you take? Assume that your only decision criteria is selecting the option with the highest present value. B. Would your decision in part (a) be altered if you could earn 7 percent rather than 5 percent on your investments over the next 25 years?

A3. un. Finding the present value of this annuity on the calculator: N= I/Y= PMT=40,

P4. Calculate the present value of the following uneven stream of cash flows. Assume an 8 percent discount rate.

End of Year Cash Flow 1 $10, 2 10, 3 10, 4 12, 5 12, 6 12, 7 12, 8 15, 9 15, 10 15,

Using the Calculator: For this uneven stream of cash flows, you’ll have to use the CF and NPV registers. First, you can do it as follows, which is the long way: CF0= C01=10, C02=10, C03=10, C04=12, C05=12, C06=12, C07=12, C08=15, C09=15, C10=15, I = 8 Solve for NPV = 79,877.91 = PV This PV is a little higher than what we calculated by hand because of rounding.

Second, you can also do it as follows, which is the short way. Make sure to clear the CF register by hitting CF, then hit 2nd, then hit CLR WORK (CE/E) before starting this: CF0= C01=10, F01= C02=12, F02= C03=15, F03= I = 8 Solve for NPV = 79,877.91 = PV

P5. You plan to invest $2,000 in an individual retirement arrangement (IRA) today that pays a stated annual interest rate of 8 percent, which is expected to apply to all future years. un. How much will you have in the account at the end of 10 years if interest is compounded as follows? (1) Annually (2) Semiannually (3) Monthly

B. What is the effective annual rate (EAR) for each compounding frequency in part a?

A5. un. (1) Annual Compounding (2) Semiannual Compounding FV 10 = $2,000  (1.08) 10 FV 10 = $2,000  (1+0.08/2)2* FV 10 = $4,317.85 FV 10 = $2,000  (1+0.04) 20 FV 10 = $4,382.

(3) Monthly Compounding FV 10 = $2,000  (1+0.08/12)12* FV 10 = $4,439.

B. (1) Annual Compounding (2) Semiannual Compounding EAR = (1 + .08/1) 1 –1 EAR = (1 + .08/2) 2 - EAR = (1 + .08) 1 - 1 EAR = (1 + .04) 2 - 1 EAR = (1.08) – 1 EAR = (1.0816) - 1 EAR = .08 = 8% EAR = .0816 = 8.16%

(3) Monthly Compounding EAR = (1 + .08/12) 12 – 1 EAR = 0.083 = 8.3%

P6. To supplement your planned retirement in exactly 42 years, you estimate that you need to accumulate $1 million by the end of 42 years from today. You plan to make equal annual end-of-year deposits into an account paying 4 percent annual interest. un. How large must the annual deposits be to create the $1 million amount by the end of 42 years? B. If you can afford to deposit only $5,000 per year into the account, how much will you have accumulated by the end of the forty-second year?


Tabla de contenido

1. First-Order Differential Equations
1.1 Differential Equations and Mathematical Models
1.2 Integrals as General and Particular Solutions
1.3 Slope Fields and Solution Curves
1.4 Separable Equations and Applications
1.5 Linear First-Order Equations
1.6 Substitution Methods and Exact Equations

2. Mathematical Models and Numerical Methods
2.1 Population Models
2.2 Equilibrium Solutions and Stability
2.3 Acceleration--Velocity Models
2.4 Numerical Approximation: Euler's Method
2.5 A Closer Look at the Euler Method
2.6 The Runge--Kutta Method

3. Linear Systems and Matrices
3.1 Introduction to Linear Systems
3.2 Matrices and Gaussian Elimination
3.3 Reduced Row-Echelon Matrices
3.4 Matrix Operations
3.5 Inverses of Matrices
3.6 Determinants
3.7 Linear Equations and Curve Fitting

4. Vector Spaces
4.1 The Vector Space R3
4.2 The Vector Space Rn and Subspaces
4.3 Linear Combinations and Independence of Vectors
4.4 Bases and Dimension for Vector Spaces
4.5 Row and Column Spaces
4.6 Orthogonal Vectors in Rn
4.7 General Vector Spaces

5. Higher-Order Linear Differential Equations
5.1 Introduction: Second-Order Linear Equations
5.2 General Solutions of Linear Equations
5.3 Homogeneous Equations with Constant Coefficients
5.4 Mechanical Vibrations
5.5 Nonhomogeneous Equations and Undetermined Coefficients
5.6 Forced Oscillations and Resonance

6. Eigenvalues and Eigenvectors
6.1 Introduction to Eigenvalues
6.2 Diagonalization of Matrices
6.3 Applications Involving Powers of Matrices

7. Linear Systems of Differential Equations
7.1 First-Order Systems and Applications
7.2 Matrices and Linear Systems
7.3 The Eigenvalue Method for Linear Systems
7.4 A Gallery of Solution Curves of Linear Systems
7.5 Second-Order Systems and Mechanical Applications
7.6 Multiple Eigenvalue Solutions
7.7 Numerical Methods for Systems

8. Matrix Exponential Methods
8.1 Matrix Exponentials and Linear Systems
8.2 Nonhomogeneous Linear Systems
8.3 Spectral Decomposition Methods

9. Nonlinear Systems and Phenomena
9.1 Stability and the Phase Plane
9.2 Linear and Almost Linear Systems
9.3 Ecological Models: Predators and Competitors
9.4 Nonlinear Mechanical Systems

10. Laplace Transform Methods
10.1 Laplace Transforms and Inverse Transforms
10.2 Transformation of Initial Value Problems
10.3 Translation and Partial Fractions
10.4 Derivatives, Integrals, and Products of Transforms
10.5 Periodic and Piecewise Continuous Input Functions

11. Power Series Methods
11.1 Introduction and Review of Power Series
11.2 Power Series Solutions
11.3 Frobenius Series Solutions
11.4 Bessel Functions

Appendix A: Existence and Uniqueness of Solutions
Appendix B: Theory of Determinants

APPLICATION MODULES

The modules listed below follow the indicated sections in the text. Most provide computing projects that illustrate the corresponding text sections. Many of these modules are enhanced by the supplementary material found at the new Expanded Applications website.

1.3 Computer-Generated Slope Fields and Solution Curves
1.4 The Logistic Equation
1.5 Indoor Temperature Oscillations
1.6 Computer Algebra Solutions
2.1 Logistic Modeling of Population Data
2.3 Rocket Propulsion
2.4 Implementing Euler's Method
2.5 Improved Euler Implementation
2.6 Runge-Kutta Implementation
3.2 Automated Row Operations
3.3 Automated Row Reduction
3.5 Automated Solution of Linear Systems
5.1 Plotting Second-Order Solution Families
5.2 Plotting Third-Order Solution Families
5.3 Approximate Solutions of Linear Equations
5.5 Automated Variation of Parameters
5.6 Forced Vibrations and Resonance
7.1 Gravitation and Kepler's Laws of Planetary Motion
7.3 Automatic Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors
7.4 Dynamic Phase Plane Graphics
7.5 Earthquake-Induced Vibrations of Multistory Buildings
7.6 Defective Eigenvalues and Generalized Eigenvectors
7.7 Comets and Spacecraft
8.1 Automated Matrix Exponential Solutions
8.2 Automated Variation of Parameters
9.1 Phase Portraits and First-Order Equations
9.2 Phase Portraits of Almost Linear Systems
9.3 Your Own Wildlife Conservation Preserve