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8.5: Aplicaciones en física y estadística

8.5: Aplicaciones en física y estadística



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Este capítulo concluye con algunas aplicaciones que muestran cómo algunas sumas discretas familiares pueden ser reemplazadas por integrales, que son esencialmente sumas continuas.

Suponga que una varilla delgada y uniforme tiene (n> 1 ) masas (m_1, ldots, m_n ) unidas, con (m_1 ) y (m_n ) en los extremos. El centro de gravedad de las masas es el punto donde, debido a la gravedad de la Tierra, la barra estaría equilibrada si se colocara un fulcro allí (ver Figura [fig: m1m2rod] (a)). Imagina la varilla como parte del eje (x ) - y los pesos como masas puntuales - con cada masa (m_k ) en (x_k ) - y deja que el centro de gravedad esté en ( bar {x } ), como en la Figura [fig: m1m2rod] (b).

La varilla está equilibrada si las masas no giran la varilla, es decir, el total esfuerzo de torsión es cero. El par se define aquí como fuerza multiplicada por la posición relativa a ( bar {x} ). Cada masa (m_k ) aplica una fuerza (m_kg ) a la barra, donde (g ) es la aceleración (hacia abajo) debida a la gravedad de la Tierra, en la posición ((x_x- bar {x}) ) relativo a ( bar {x} ). Por tanto, el par total es cero si

[(m_1g) , (x_1- bar {x}) ~ + ~ (m_2g) , (x_2- bar {x}) ~ + ~ cdots ~ + ~ (m_ng) , (x_n- bar {x}) ~ = ~ 0 ] de modo que al resolver ( bar {x} ) se obtiene:

[ label {eqn: cogdiscrete} bar {x} ~ = ~ frac {m_1gx_1 + cdots + m_ngx_n} {m_1g + cdots + m_ng} ~ = ~ frac {m_1x_1 + cdots + m_nx_n} {m_1 + cdots + m_n} ~ = ~ frac { sum_ {k = 1} ^ n ; m_kx_k} { sum_ {k = 1} ^ n ; m_k} ] Cada cantidad (m_kx_k ) se llama la momento de la masa (m_k ). Por tanto, ( bar {x} ) es la suma de los momentos dividida por la masa total. Esta idea se puede extender a regiones en el plano (xy ) -, usando una integral de un continuo de momentos en lugar de una suma finita. El centro de gravedad de una región plana se define como el punto tal que cualquier fuerza a lo largo de una línea a través de ese punto no produce rotación de la región alrededor de esa línea.8 Por lo tanto, debería haber un par cero en las direcciones (x ) y (y ), por lo que la idea es aplicar la fórmula ([eqn: cogdiscrete]) en ambas direcciones para obtener el centro de gravedad de la región (( bar {x}, bar {y}) ). Se puede pensar en una región como lámina—Una placa delgada con densidad uniforme. Tome el área de la región como su masa, lo cual tiene sentido dada la densidad uniforme. Para la región entre dos curvas (y = f_1 (x) ) y (y = f_2 (x) ) sobre ( ival {a} {b} ), con (f_1 (x) ge f_2 (x) ), tome un corte vertical de ancho ( dx ) en algún (x ), como en la Figura [fig: cogregion] (a). Con los mismos argumentos usados ​​en la Sección 8.4, toda el área de esa franja proviene del rectángulo de altura (f_1 (x) -f_2 (x) ) y ancho ( dx ) (vea el rectángulo sombreado en la Figura [ fig: cogregion] (b)).

Suponiendo una densidad uniforme, el centro de gravedad de ese rectángulo es claramente su centro geométrico, cuyas coordenadas son ( left (x + frac {1} {2} dx, frac {1} {2} (f_1 (x) + f_2 (x)) derecha) ). Toda la masa de la tira se puede tratar como si estuviera concentrada en ese punto. El momento (m_x ) de la tira sobre el eje (x ) - es su masa multiplicada por la posición de su centro de gravedad en relación con el eje (x ) - (es decir, su coordenada (y )):

[m_x ~ = ~ (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx , cdot , ( tfrac {1} {2} , (f_1 (x) + f_2 (x))) ~ = ~ tfrac {1} {2} , ((f_1 (x)) ^ 2 - (f_2 (x)) ^ 2) , dx ] De manera similar, el momento (m_y ) de la tira sobre el eje (y ) es su masa multiplicada por la coordenada (x ) de su centro de gravedad:

[ begin {alineado} m_y ~ & = ~ (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx , cdot , (x + tfrac {1} {2} dx) ~ = ~ x , (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx ~ + ~ tfrac {1} {2} (f_1 (x) -f_2 (x)) , ( dx) ^ 2 ~ & = ~ x , (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx end {alineado} ] Los momentos (M_x ) y (M_y ) de toda la región alrededor de (x ) - eje y (y ) - eje, respectivamente, se definen como la suma de los momentos respectivos (m_x ) y (m_y ) de todas las franjas sobre ( ival {a} {b} ):

[M_x ; = ; int_a ^ b m_x ~ = ~ int_a ^ b tfrac {1} {2} , ((f_1 (x)) ^ 2 - (f_2 (x)) ^ 2) ; dx enskip text { y} enskip M_y ; = ; int_a ^ b m_y ~ = ~ int_a ^ bx , (f_1 (x) -f_2 (x)) ; dx ] Note en la fórmula ([eqn: cogdiscrete]) que el denominador es la suma de todos los masas en el sistema. Para la región, esa masa total sería simplemente su área (M ):

[M ~ = ~ int_a ^ b (f_1 (x) -f_2 (x)) ~ dx ] Al dividir los momentos (M_x ) adn (M_y ) por (M ) se obtiene la fórmula para el centro de gravedad:

Ejemplo ( PageIndex {1} ): cogregion1

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el centro de gravedad de la región delimitada por la curva (y = x ^ 2 ) y el eje (x ) - para (0 le x le 1 ).

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha. Usando (y = f_1 (x) = x ^ 2 ) y (y = f_2 (x) = 0 ) en la fórmula ([eqn: cogregion]) se obtiene

[ begin {alineado} M_x ~ & = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} , (f_1 (x)) ^ 2 ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} { 2} , x ^ 4 ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {10} , x ^ 5 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {10} M_y ~ & = ~ int_0 ^ 1 x , f_1 (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 x ^ 3 ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {4} , x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {4} M ~ & = ~ int_0 ^ 1 f_1 (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 x ^ 2 ~ dx ~ = ~ tfrac {1 } {3} , x ^ 3 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {3} end {alineado} ] de modo que el centro de gravedad (( bar {x}, bar {y}) ) es:

[ bar {x} ~ = ~ frac {M_y} {M} ~ = ~ frac {1/4} {1/3} ~ = ~ frac {3} {4} quad text {y } quad bar {y} ~ = ~ frac {M_x} {M} ~ = ~ frac {1/10} {1/3} ~ = ~ frac {3} {10} ]

Ejemplo ( PageIndex {1} ): cogregion2

Agrega texto aquí.

Solución

Encuentra el centro de gravedad de la región delimitada por las curvas (y = x ) y (y = x ^ 2 ).

Solución: La región está sombreada en la figura de la derecha. Usando (y = f_1 (x) = x ) y (y = f_2 (x) = x ^ 2 ) en la fórmula ([eqn: cogregion]) se obtiene

[ begin {alineado} M_x ~ & = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} , ((f_1 (x)) ^ 2- (f_2 (x)) ^ 2) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} , (x ^ 2-x ^ 4) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {6} , x ^ 3 - tfrac {1} { 10} , x ^ 5 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {15} M_y ~ & = ~ int_0 ^ 1 x , (f_1 (x) -f_2 (x)) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 (x ^ 2 - x ^ 3) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {3} , x ^ 3 - tfrac {1} {4} , x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {12} M ~ & = ~ int_0 ^ 1 (f_1 (x) - f_2 (x)) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 (xx ^ 2) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {2} , x ^ 2 - tfrac {1} {3} , x ^ 3 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {6} end {alineado} ] de modo que el centro de gravedad (( bar {x}, bar {y}) ) es:

[ bar {x} ~ = ~ frac {M_y} {M} ~ = ~ frac {1/12} {1/6} ~ = ~ frac {1} {2} quad text {y } quad bar {y} ~ = ~ frac {M_x} {M} ~ = ~ frac {1/15} {1/6} ~ = ~ frac {2} {5} ]

Suponga que una fuerza constante desplaza un objeto a lo largo de una línea en la misma dirección en la que se aplica la fuerza. El trabajo realizado por la fuerza se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento. Por ejemplo, si la fuerza constante (F ) mueve un objeto desde la posición (x = a ) a (x = b ) en el eje (x ) -, como en la Figura [fig: trabajo] (a), entonces el trabajo (W ) realizado por la fuerza es:

[W ~ = ~ text {force} , times , text {desplazamiento} ~ = ~ text {force} , times , text {(posición final $ - $ posición inicial)} ~ = ~ F , cdot , (ba) ]

Supongamos ahora que la fuerza (F ) es una función de la posición (x ) sobre ( ival {a} {b} ): (F = F (x) ). Según la propiedad de micro rectitud, en un intervalo infinitesimal ( ival {x} {x + dx} ) la curva (y = F (x) ) es una línea recta, como en la Figura [fig: trabajo] (b ). ¿Cómo debería definirse el trabajo (d ! W ) realizado por (F ) en este intervalo infinitesimal? Después de todo, (F ) no es constante en ( ival {x} {x + dx} ); toma todos los valores entre (F (x) ) y (F (x + dx) ). Se deja como ejercicio para mostrar que ninguna se puede usar un valor en ese rango; todos dan como resultado la misma cantidad (F (x) , dx ) por el trabajo realizado.9

Por ejemplo, suponga que usa el valor a medio camino entre (F (x) ) y (F (x + dx) ) como el valor de (F ): ( frac {1} {2} , (F (x) + F (x + dx)) ). Entonces el trabajo (d ! W ) como fuerza por desplazamiento es:

[ begin {alineado} d ! W ~ & = ~ frac {1} {2} , (F (x) + F (x + dx)) ~ dx ~ = ~ frac {1} { 2} , (F (x) + F (x) + F '(x) , dx) ~ dx

[4pt] & = ~ F (x) , dx ~ + ~ frac {1} {2} , F '(x) , cancelto {0} {( dx) ^ 2} & = ~ F (x) , dx end {alineado} ] Defina el trabajo total (W ) sobre ( ival {a} {b} ) como la suma de todos los (d ! W ):

Antes de continuar, es necesario aclarar alguna posible confusión. Primero, la fuerza es siempre un vector—Tiene una magnitud y una dirección. Para las fuerzas consideradas aquí, que actúan en una sola dimensión (por ejemplo, a lo largo del eje (x ) -), por convención la dirección de la fuerza está indicada por su signo: positivo en la dirección hacia (+ infty ) , negativo en la dirección hacia (- infty ). Entonces, una fuerza de (3 ) N actúa en la dirección opuesta como una fuerza de (- 3 ) N, pero tienen la misma magnitud ( abs {3} = 3 ).

En segundo lugar, el trabajo no es un vector, es un escalar, lo que significa que tiene una magnitud pero no una dirección. Sin embargo, esa magnitud puede tener cualquier signo. El trabajo es positivo si el objeto se desplaza en la misma dirección que la fuerza, pero es negativo si el desplazamiento está en la dirección opuesta a la fuerza. Por ejemplo, si levanta un objeto directamente del suelo, entonces realizó un trabajo positivo: el objeto se movió en la misma dirección que la fuerza que utilizó. Sin embargo, la fuerza de la gravedad hizo un trabajo negativo sobre el objeto mientras lo levantaba, ya que la gravedad trabaja hacia abajo pero el objeto se mueve hacia arriba.

Por último, una fuerza realiza trabajo cero si no se produce ningún desplazamiento en su dirección. En particular, las fuerzas que actúan perpendicularmente a la línea de desplazamiento no realizan ningún trabajo. Por ejemplo, considere un objeto de masa (m ) sobre una mesa horizontal plana como en la figura de la derecha. Si empuja ese objeto hacia la derecha con una fuerza (F ) (realizando trabajo positivo), entonces tanto la fuerza de gravedad hacia abajo (- mg ) como la fuerza normal hacia arriba (N ) ejercida por la mesa funcionan cero trabajo en el objeto. La fuerza de fricción (F _ { mu} ) de la superficie de la mesa realiza un trabajo negativo, ya que se opone a la fuerza (F ). Como otro ejemplo, no se realiza ningún trabajo sosteniendo un objeto de (100 ) lb quieto y por encima del suelo.

Ley de Hooke establece que un resorte en espiral tiene un elástico fuerza restauradora (F = -kx ), donde (x ) es el desplazamiento del extremo del resorte desde su posición de equilibrio cuando el resorte se estira o comprime, y (k> 0 ) es el constante de resorte-o coeficiente de rigidez—Específico de la primavera. Esta fuerza siempre intenta restaurar el resorte a su posición de equilibrio, y la ley es válida solo para un rango limitado de (x ). Para un resorte colocado horizontalmente, imagine que se encuentra en el eje (x ) - con la posición de equilibrio en (x = 0 ), como en la figura de la derecha.

  1. Encuentre la constante del resorte (k ) si una fuerza de 2 N estira el resorte 4 cm.
  2. Utilice el inciso a) para encontrar el trabajo realizado al comprimir el resorte 3 cm.

Solución: (a) La fuerza requerida para estirar el resorte en una cantidad (x ) es (F = kx ), ya que esa fuerza debe contrarrestar la fuerza restauradora. Por lo tanto, (k = frac {F} {x} = frac {2 text {N}} {4 text {cm}} = frac {2 text {N}} {0.04 text {m }} = 50 ) N / m.
(b) Por el inciso (a) la fuerza requerida para comprimir la cuerda a la posición (x ) es (F (x) = kx = 50x ), ya que nuevamente debe contrarrestar la fuerza restauradora. Así, como (3 ) cm es (0.03 ) m, el trabajo (W ) realizado es:

[W ~ = ~ int_0 ^ {- 0.03} F (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ {- 0.03} 50x ~ dx ~ = ~ 25x ^ 2 ~ Biggr | _0 ^ {- 0.03} ~ = ~ 25 , (- 0.03) ^ 2 ~ - ~ 0 ~ = ~ 0.0225 ~ text {Nm} ]

Suponga que lanza dos monedas de un centavo equilibradas y deja que (X ) sea el número de caras en el resultado. Entonces (X ) es un variable aleatoria discreta—Discreto porque sólo puede tomar un conjunto discreto de valores (0, 1 y 2); aleatorio porque su valor se deja al azar. El probabilidad de un centavo que se voltea cara es (50 \% = frac {1} {2} ), es decir, esa es su probabilidad teórica ya que cara y cruz son igualmente probables. El espacio muestral (S ) de todos los resultados posibles es el conjunto (S = lbrace TT, TH, HT, HH rbrace ), donde (H ) es cara y (T ) es cruz (por ejemplo, ( HT ) significa que el primer centavo salió cara y el segundo salió cruz). La figura [fig: probabilidad] (a) muestra un gráfico de barras de las probabilidades, como números entre 0 y 1, con (P (X = x) ) que denota la probabilidad de evento que (X ) es igual al número (x ). Observe que la suma de las probabilidades es 1 y (P (X = x) = 0 ) si (x ) no es 0, 1 o 2.

La idea detrás de un variable aleatoria continua (X ) es llenar esos espacios entre las barras en la Figura [fig: probabilidad] (a), de modo que (X ) representaría una cantidad continua, p. tiempo, distancia, temperatura. En lugar de encontrar (P (X = x) ), hallaría la probabilidad de que (X ) esté en un continuo como un intervalo, p. (P (a

Observe que desde (P (X = a) = 0 ) entonces (P (a le X ) y ( ge )). En el resto de esta sección se asumirá que todas las variables aleatorias son continuas, para las cuales el espacio muestral es típicamente todo ( Reals ) o algún intervalo, finito o infinito (por ejemplo, ((0, infty) )).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): expdist

Agrega texto aquí.

Solución

Sea (X ) el tiempo de vida, es decir. el tiempo hasta la falla: de un componente electrónico. Si la vida media del componente es de 700 días, entonces la función de densidad de probabilidad (f (x) ) para la variable aleatoria (X ) es

[ label {eqn: expdist} f (x) ~ = ~ begin {cases} ~ lambda , e ^ {- lambda x} & text {if $ ~ x ge 0 $,} ~ 0 & text {if $ ~ x <0 $} end {cases} ] donde ( lambda = frac {1} {700} ) y (x ) es el número de días. En este caso se dice que (X ) tiene el distribución exponencial con parámetro ( lambda ). Encuentre la probabilidad de que la vida útil del componente sea:

  1. entre 600 y 800 días
  2. más de 700 días

Solución: (a) La probabilidad es:

[P (600

(b) La probabilidad es:

[P (X> 700) ~ = ~ int_ {700} ^ { infty} f (x) ~ dx ~ = ~ int_ {700} ^ { infty} tfrac {1} {700} , e ^ {- frac {x} {700}} ~ dx ~ = ~ -e ^ {- frac {x} {700}} ~ Biggr | _ {700} ^ { infty} ~ = ~ 0 ~ + ~ e ^ {- 1} ~ aproximadamente ~ 0.3679 ]

[sec8dot5]

Para los ejercicios 1 a 3, encuentre el centro de gravedad de la región delimitada por las curvas dadas en el intervalo dado.

3

(y = x ^ 3 ) y (y = 0 ); (0 le x le 1 )

(y = -x + 1 ) y (y = 0 ); (0 le x le 1 )

(y = x ^ 2 ) y (y = x ^ 3 ); (0 le x le 1 )

Encuentra el centro de gravedad de la región dentro del círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) y por encima del eje (x ) -.

Encuentra el centro de gravedad de la región dentro del círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) en el primer cuadrante.

Encuentra el centro de gravedad de la región dentro de la elipse ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) y por encima de (x ) -eje.

Encuentra el centro de gravedad de la región entre el círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) y la elipse ( frac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1 ) arriba de (x ) - eje.

¿Cambiaría la fórmula ([eqn: cogregion]) para el centro de gravedad si la masa de una región fuera proporcional —pero no igual— a su área, digamos, en una proporción positiva constante ( delta ne 1 )? Explicar.

Si un resorte requiere 3 N de fuerza para comprimirse 5 cm, ¿cuánto trabajo se realizaría para estirar el resorte 8 cm?

La fuerza gravitacional (F (x) ) ejercida por la Tierra sobre un objeto de masa (m ) a una distancia (x ) del centro de la Tierra es

[F (x) ~ = ~ - frac {mgr_e ^ 2} {x ^ 2} ] donde (r_e ) es el radio de la Tierra. Si el objeto se libera desde el reposo a una distancia (r_o ) del centro de la Tierra, encuentre el trabajo realizado por la gravedad para llevar el objeto a la superficie de la Tierra.

Recuerde que la ley de los gases ideales establece que (PV = RT ), donde (R ) es una constante, (P ) es la presión, (V ) es el volumen y (T ) es la temperatura. Se puede demostrar que el trabajo (W ) realizado por un gas ideal al expandir el volumen de (V_a ) a (V_b ) es

[W ~ = ~ int_ {V_a} ^ {V_b} P ~ d ! V ~. ] Calcule (W ).

Verifica que (~ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) ~ dx = 1 ~ ) para la función (f (x) ) en la fórmula ([eqn: expdist] ) por ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): expdist

Agrega texto aquí.

Solución

para todo ( lambda> 0 ).

Encuentre (P (X <300) ) en el ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): expdist

Agrega texto aquí.

Solución

.

El función de distribución (F (x) ) para una variable aleatoria (X ) se define como (F (x) = P (X le x) ) para todo (x ). Muestre que (F '(x) = f (x) ), donde (f (x) ) es la función de densidad de probabilidad para (X ). [[1.]]

La fórmula ([eqn: cogregion]) se puede extender a regiones en un intervalo infinito, siempre que el área sea finita. Usa ese hecho para encontrar el centro de gravedad de la región entre (y = e ^ {- x} ) y el eje (x ) - para (0 le x < infty ).

El valor esperado (o significar) (E lbrack X rbrack ) de una variable aleatoria (X ) con función de densidad de probabilidad (f (x) ) es

[E lbrack X rbrack ~ = ~ int _ {- infty} ^ { infty} x ; f (x) ~ dx ~. ] Demuestre que (E lbrack X rbrack = frac {1} { lambda} ) si (X ) tiene la distribución exponencial con el parámetro ( lambda> 0 ).
Nota: El valor esperado se puede considerar como el promedio ponderado de todos los valores posibles de (X ), con pesos determinados por probabilidad. Es análogo a la idea de un centro de gravedad.

[exer: normdist] Se dice que una variable aleatoria (X ) tiene un distribución normal si su función de densidad de probabilidad (f (x) ) es

[f (x) ~ = ~ frac {1} { sigma , sqrt {2 pi}} , e ^ { frac {(x- mu) ^ 2} {2 sigma ^ 2 }} quad text {para todos $ x $} ] donde ( sigma> 0 ) y ( mu ) son constantes. Esta es la famosa "curva de campana" en estadística.

  1. Verifica que (~ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) ~ dx = 1 ). (Sugerencia: ejemplo de uso

    Ejemplo ( PageIndex {1} ): intexpx2

    Agrega texto aquí.

    Solución

    y una sustitución.)
  2. Muestre que (E lbrack X rbrack = mu ).
  3. Utilice la integración numérica para mostrar que (P (-1

Una variable aleatoria (X ) tiene el distribución beta si su función de densidad de probabilidad (f (x) ) es

[f (x) ~ = ~ begin {cases} ~ frac {1} {B (a, b)} , x ^ {a-1} , (1-x) ^ {b-1} & text {if $ ~ 0 le x le 1 $} ~ 0 & text {en otro lugar} end {cases} ] para constantes positivas (a ) y (b ), donde (B (a, b) ) es la función Beta. Muestre que (E lbrack X rbrack = frac {a} {a + b} ).

Muestre que cualquier valor entre (F (x) ) y (F (x + dx) ) para la fuerza sobre ( ival {x} {x + dx} ) da la misma fórmula (d ! W = F (x) , , dx ) para el trabajo realizado durante ese intervalo. (Sugerencia: considere (F (x + alpha , dx) ) para (0 le alpha le 1 ).)

Una gota de agua de masa (M ) se libera desde el reposo a una altura suficiente para que la gota se evapore por completo, perdiendo masa (m ) cada segundo (es decir, a una velocidad constante). Ignorando la resistencia del aire, demuestre que el trabajo realizado por la gravedad en la gota hasta completar la evaporación es ( frac {g ^ 2 M ^ 2} {6 m ^ 2} ).

Este ejercicio está relacionado con la famosa ley de Einstein (E = mc ^ 2 ). El impulso relativista (p ) de una partícula de masa (m ) que se mueve a una velocidad (v ) a lo largo de una línea recta (digamos, el eje (x ) -) es

[p ~ = ~ dfrac {mv} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ~, ] donde (c ) es la velocidad de la luz. El fuerza relativista en la partícula a lo largo de esa línea es

[F ~ = ~ dfrac {d ! P} { dt} ~, ] que es la misma fórmula que la Segunda Ley del movimiento de Newton en la mecánica clásica. Suponga que la partícula comienza en reposo en la posición (x_1 ) y termina en la posición (x_2 ) a lo largo del eje (x ). El trabajo realizado por la fuerza (F ) sobre la partícula es:

[W ~ = ~ Displaystyle int_ {x_1} ^ {x_2} ~ F ~ dx ~ = ~ Displaystyle int_ {x_1} ^ {x_2} ~ dfrac {d ! P} { dt} ~ dx ]

  1. Muestra esa

    [ dfrac {d ! p} { dv} ~ = ~ dfrac {m} { left (1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2} right) ^ {3/2}} ~. ]

  2. Utilice la fórmula de la regla de la cadena

    [ dfrac {d ! p} { dt} ~ = ~ dfrac {d ! p} { dv} ; dfrac { dv} { dx} ; dfrac { dx} { dt} ] para mostrar que

    [F ; dx ~ = ~ v ; dfrac {d ! P} { dv} ; dv ~. ]

  3. Utilice las partes (a) y (b) para demostrar que

    [W ~ = ~ displaystyle int_ {0} ^ {v} ~ dfrac {d ! P} { dv} ; v ~ dv ~ = ~ displaystyle int_ {0} ^ {v} ~ dfrac {mv} { left (1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2} right) ^ {3/2}} ~ dv ~~. ]

  4. Utilice el inciso c) para demostrar que

    [W ~ = ~ dfrac {mc ^ 2} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ; - ; mc ^ 2 ~. ]

  5. Definir el energía cinética relativista (K ) de la partícula para que sea (K = W ), y defina la energía total (E ) para ser

    [E = dfrac {mc ^ 2} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ~. ] Entonces, por la parte (d), (K = E - mc ^ 2 ). Muestra esa

    [E ^ 2 ~ = ~ p ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ (mc ^ 2) ^ 2 ~. ] (Sugerencia: expanda el lado derecho de esa ecuación).

  6. ¿Qué es (E ) cuando la partícula está en reposo?

A mediana de un triángulo es un segmento de línea desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, y las tres medianas se cruzan en un punto común. Demuestre que este punto es el centro de gravedad de un triángulo.


Conjunto estadístico (física matemática)

En física, específicamente en mecánica estadística, un conjunto (además conjunto estadístico) es una idealización que consiste en una gran cantidad de copias virtuales (a veces infinitas) de un sistema, consideradas todas a la vez, cada una de las cuales representa un estado posible en el que podría estar el sistema real. En otras palabras, un conjunto estadístico es un distribución de probabilidad para el estado del sistema. El concepto de conjunto fue introducido por J. Willard Gibbs en 1902. [1]

A conjunto termodinámico es una variedad específica de conjunto estadístico que, entre otras propiedades, está en equilibrio estadístico (definido a continuación) y se utiliza para derivar las propiedades de los sistemas termodinámicos a partir de las leyes de la mecánica clásica o cuántica. [2] [3]


Contenido

La física estadística explica y describe cuantitativamente la superconductividad, la superfluidez, la turbulencia, los fenómenos colectivos en sólidos y plasma, y ​​las características estructurales del líquido. Es la base de la astrofísica moderna. En física del estado sólido, la física estadística ayuda al estudio de cristales líquidos, transiciones de fase y fenómenos críticos. Muchos estudios experimentales de la materia se basan enteramente en la descripción estadística de un sistema. Estos incluyen la dispersión de neutrones fríos, rayos X, luz visible y más. La física estadística también desempeña un papel en la ciencia de los materiales, la física nuclear, la astrofísica, la química, la biología y la medicina (por ejemplo, el estudio de la propagación de enfermedades infecciosas).

La mecánica estadística proporciona un marco para relacionar las propiedades microscópicas de átomos y moléculas individuales con las propiedades macroscópicas o globales de los materiales que se pueden observar en la vida cotidiana, explicando así la termodinámica como un resultado natural de la estadística, la mecánica clásica y la mecánica cuántica en el microscopio nivel. Debido a esta historia, la física estadística a menudo se considera sinónimo de mecánica estadística o termodinámica estadística. [nota 1]

Aquí vemos que los estados de muy alta energía tienen poca probabilidad de ocurrir, un resultado que es consistente con la intuición.

Un enfoque estadístico puede funcionar bien en sistemas clásicos cuando el número de grados de libertad (y por tanto el número de variables) es tan grande que la solución exacta no es posible, o no es realmente útil. La mecánica estadística también puede describir el trabajo en dinámica no lineal, teoría del caos, física térmica, dinámica de fluidos (particularmente en números altos de Knudsen) o física del plasma.

Mecánica estadística cuántica Editar

La mecánica estadística cuántica es la mecánica estadística aplicada a los sistemas mecánicos cuánticos. En mecánica cuántica, un operador de densidad describe un conjunto estadístico (distribución de probabilidad sobre posibles estados cuánticos) S, que es un operador de clase de traza no negativo, autoadjunto, de la traza 1 en el espacio de Hilbert H describiendo el sistema cuántico. Esto se puede demostrar en varios formalismos matemáticos para la mecánica cuántica. Uno de esos formalismos lo proporciona la lógica cuántica.

Aunque algunos problemas de la física estadística se pueden resolver analíticamente mediante aproximaciones y expansiones, la mayoría de las investigaciones actuales utilizan la gran capacidad de procesamiento de las computadoras modernas para simular o aproximar soluciones. Un enfoque común para los problemas estadísticos es utilizar una simulación de Monte Carlo para obtener información sobre las propiedades de un sistema complejo. Los métodos de Monte Carlo son importantes en física computacional, química física y campos relacionados, y tienen diversas aplicaciones, incluida la física médica, donde se utilizan para modelar el transporte de radiación para cálculos de dosimetría de radiación. [2] [3] [4]


Probabilidad y estadística en física experimental

Destinado a estudiantes universitarios y graduados avanzados, este libro es una guía práctica para el uso de la probabilidad y la estadística en la física experimental. El énfasis está en las aplicaciones y la comprensión, en teoremas y técnicas que se utilizan realmente en la investigación. El texto no es un texto completo en probabilidad y las demostraciones estadísticas a veces se omiten si no contribuyen a la intuición en la comprensión del teorema. Los problemas, algunos con soluciones trabajadas, introducen al alumno en el uso de computadoras, ocasionalmente se hace referencia a rutinas disponibles en la biblioteca del CERN, pero también se pueden utilizar otros sistemas, como Maple. Los temas cubiertos incluyen: conceptos básicos definiciones algunos resultados simples independientes de distribuciones específicas distribuciones discretas distribuciones normales y otras distribuciones continuas generadoras y funciones características el método de Monte Carlo y simulaciones por computadora distribuciones multidimensionales el teorema del límite central métodos de estimación de cinturones de confianza y probabilidad inversa ajuste de curvas y razones de verosimilitud que interpolan funciones que ajustan datos con restricciones, métodos de estimación robustos. Esta segunda edición presenta un nuevo método para tratar con muestras pequeñas, como las que pueden surgir en los experimentos de búsqueda, cuando los datos son de baja probabilidad. También incluye un nuevo capítulo sobre problemas de colas (incluido un ejemplo simple pero útil de la longitud del búfer). Además, las nuevas secciones analizan la cobertura excesiva e insuficiente utilizando cinturones de confianza, el método de máxima verosimilitud extendida, el uso de cinturones de confianza para distribuciones discretas, la estimación de coeficientes de correlación y el método de varianza efectiva para ajustar y = f (x) cuando tanto x como y tienen errores de medición.

De las reseñas de la segunda edición:

"Este libro es la segunda edición ... de una introducción práctica a la probabilidad y la estadística en la física experimental. El libro está escrito principalmente para estudiantes de pregrado y posgrado y contiene un nuevo capítulo sobre la teoría de las colas y una discusión adicional del método unificado Feldman-Cousins ​​para estimando intervalos de confianza ". (Ulrich Horst, Zentralblatt MATH, Vol. 1011, 2003)

"El libro que se examina es poco convencional en muchos aspectos, en particular en lo que respecta a la elección de los temas tratados y el estilo de presentación ... Su objetivo principal es proporcionar al lector las técnicas que se utilizan realmente en la investigación experimental. Están ilustradas por una serie de problemas resueltos ... se incluye algún material que difícilmente se encuentra en otros libros de este tipo, como elementos de la teoría de las colas ... muchos físicos experimentales probablemente agradecerían tener una copia de este libro al alcance de la mano ". (F. Binon, Physicalia, vol. 38 (5), 2002)


Las solicitudes de cursos de tercer nivel aumentan un 8,5%

La Oficina Central de Aplicaciones recibió más de 79.000 solicitudes para cursos de tercer nivel antes de la fecha de cierre del 1 de febrero.

Eso es un aumento de más de 6.200 solicitantes, lo que representa un aumento del 8.5% en los datos del año pasado.

Una de las opciones de cursos más populares para 2021 es Negocios y Administración, con más de 8700 solicitudes de primera preferencia, un aumento del 6% con respecto al año pasado.

Hubo un aumento significativo de quienes querían estudiar enfermería y obstetricia, ya que se postularon casi 6.000 estudiantes en comparación con alrededor de 5.000 el año anterior, un aumento del 20%.

Las ciencias sociales y del comportamiento también aumentaron con más de 5.800 solicitudes, un 27% más.

Mientras tanto, los números que desean formarse como maestros de primaria se han mantenido prácticamente sin cambios con más de 2.700 solicitudes de primera preferencia. La cifra de profesores de secundaria se redujo un 8% con más de 1.900 solicitudes.

Hubo un aumento significativo del 11% en los números que pusieron un curso de Artes como su primera opción con más de 7,000 solicitudes.

Las tecnologías de la información y la comunicación han ido ganando popularidad con más de 3.600 aplicaciones, un 14% más que el año pasado.

Los cursos de arquitectura y construcción aumentaron un 19% con más de 2.350 solicitudes.

Las aplicaciones de ingeniería aumentaron un 7% con más de 4.000 aplicaciones.

Ha habido una disminución del 5% en los solicitantes de la ley con casi 2.800 solicitudes.

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El número de estudiantes que indica que desea ser considerado para un régimen especial dirigido a estudiantes con discapacidad (DARE) ha aumentado en algo más del 8% hasta un total de 7.839 solicitantes.

Más de 10,000 solicitantes desean ser considerados para la Ruta de Acceso a la Educación Superior (HEAR), una disminución de más de 1,000 a partir de 2020.

En estudiantes maduros, hubo 8,727 solicitudes de solicitantes mayores de 23 años, lo que representa un aumento de 1,454 (20%) solicitudes a partir de 2020.

Hablando sobre las cifras de la solicitud, la oficial de comunicaciones de la CAO, Eileen Kelehan, dijo: `` La mayoría de los solicitantes de la CAO podrán usar la instalación de Cambio de Mente cuando abra el 5 de mayo para agregar, eliminar o reordenar opciones de cursos, lo que darán lugar a cambios en las cifras publicadas hoy. & quot


Aplicaciones en Computación Estadística

Editores: Bauer, N., Ickstadt, K., Lübke, K., Szepannek, G., Trautmann, H., Vichi, M. (Eds.)

  • Presenta investigación de vanguardia en la interfaz de estadística e informática.
  • Contribuye a dos áreas de investigación de gran relevancia: análisis de datos y big data
  • Cubre campos aplicados de investigación como ingeniería industrial, econometría, biometría y análisis de datos musicales.
  • Publicado en honor a Claus Weihs, profesor de estadística computacional en la Universidad TU Dortmund

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  • ISBN 978-3-030-25147-5
  • Con marca de agua digital, sin DRM
  • Formato incluido: PDF, EPUB
  • Los libros electrónicos se pueden utilizar en todos los dispositivos de lectura.
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  • ISBN 978-3-030-25146-8
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  • Los clientes institucionales deben ponerse en contacto con su gerente de cuenta.
  • Por lo general, listo para ser enviado dentro de 3 a 5 días hábiles, si está en stock.

Este volumen presenta una selección de artículos de investigación sobre diversos temas en la interfaz de la estadística y la informática. Se hace hincapié en las aplicaciones prácticas de los métodos estadísticos en diversas disciplinas, utilizando el aprendizaje automático y otros métodos computacionales. El libro cubre campos de investigación que incluyen el diseño de experimentos, estadísticas computacionales, análisis de datos musicales, control de procesos estadísticos, biometría, ingeniería industrial y econometría. Recopilando contribuciones innovadoras, de alta calidad y científicamente relevantes, el volumen se publicó en honor a Claus Weihs, profesor de Estadística Computacional en la Universidad TU Dortmund, con motivo de su 66 cumpleaños.

Nadja Bauer es profesor en la Universidad de Ciencias Aplicadas y Artes de Dortmund, Alemania. Sus intereses de investigación incluyen estadísticas industriales, análisis de datos musicales y educación estadística.

Katja Ickstadt es profesor de Estadística Matemática con Aplicaciones en Biometría en la Facultad de Estadística de la Universidad TU Dortmund, Alemania. Sus principales áreas de investigación incluyen modelos de regresión y métodos para aplicaciones biomédicas, en particular desde un punto de vista bayesiano.

Karsten Lübke es profesor de Estadística y Matemáticas en la Universidad de Ciencias Aplicadas FOM, Essen, Alemania. Sus principales intereses de investigación son la educación estadística y la alfabetización de datos.

Gero Szepannek is a Professor of Statistics and Business Mathematics at Stralsund University of Applied Sciences, Germany. Prior to this he worked for seven years at Santander as head of scoring and rating models. His main research interests are in machine learning, computational statistics, NLP, credit risk modeling and music information retrieval.

Heike Trautmann is a Professor of Information Systems and Statistics at the University of Münster, Germany and Director of the European Research Center for Information Systems (ERCIS). Her research chiefly focuses on data science, optimization, and automated algorithm selection.

Maurizio Vichi is a Full Professor of Statistics and Chair of the Department of Statistical Sciences at Sapienza University of Rome, Italy. He also serves as Coordinating Editor of the international journal Advances in Data Analysis and Classification, published by Springer. His research interests include statistical models for clustering, classification, dimensionality reduction, and new methods for official statistics.


Arches and Domes

Arches and domes are structures that exhibit structural strength and can span large areas with no intermediate supports.

Objetivos de aprendizaje

Explain how an arch exhibits structural strength and how a dome can span a large area without intermediate supports

Key Takeaways

Key Points

  • Arches span large areas by resolving forces into compressive stresses and eliminating tensile stresses.
  • The most common true arch configurations are the fixed arch, the two-hinged arch, and the three-hinged arch.
  • A dome is basically an arch that has been rotated around its central vertical axis.
  • Domes are basically arches that have been rotated on their vertical axis, and have the same capabilities and properties of arches.
  • Domes can be divided into two kinds, simple and compound.

Términos clave

  • compressive stress: Stress on materials that leads to a smaller volume.
  • tensile stress: Stress state leading to expansion that is, the length of a material tends to increase in the tensile direction while the volume remains constant.
  • pendentive: The concave triangular sections of vaulting that provide the transition between a dome and the square base on which it is set and transfer the weight of the dome.

Arches and domes are structures that exhibit structural strength and can span large areas with no intermediate supports. In this atom, we will discuss the history and physics behind arches and domes.

Arches

An arch is a structure that spans a space, and supports structure and weight above it. Arches have been being built from as long ago as the second millennium, but were not used for a variety of structures until the Romans took advantage of their capabilities. Arches are a pure compression form. They span large areas by resolving forces into compressive stresses and eliminating tensile stresses (referred to as arch action). As the forces in an arch are carried toward the ground, the arch will push outward at the base (called thrust ). As the height of the arch decreases, the outward thrust increases. To prevent the arch from collapsing, the thrust needs to be restrained, either with internal ties or external bracing. This external bracing is often called an abutment, as shown in.

Arches: A masonry arch1. Keystone 2. Voussoir 3. Extrados 4. Impost 5. Intrados 6. Rise 7. Clear span 8. Abutment

The most common true arch configurations are the fixed arch, the two-hinged arch and the three-hinged arch. The fixed arch is most often used in reinforced concrete bridge and tunnel construction, where the spans are short. Because it is subject to additional internal stress caused by thermal expansion and contraction, this type of arch is considered to be statically indeterminate. The two-hinged arch is most often used to bridge long spans. This type of arch has pinned connections at the base. Unlike the fixed arch, the pinned base is able to rotate, allowing the structure to move freely and compensate for the thermal expansion and contraction caused by changes in outdoor temperature. Because the structure is pinned between the two base connections, which can result in additional stresses, the two-hinged arch is also statically indeterminate, although not to the degree of the fixed arch.

Domes

A dome is an element of architecture that resembles the hollow upper half of a sphere. Dome structures made of various materials (from mud to stone, wood, brick, concrete, metal, glass and plastic) and have a long architectural lineage extending into prehistory.

A dome is basically an arch that has been rotated around its central vertical axis. Domes have the same properties and capabilities of arches, they can span large areas without intermediate supports and have a great deal of structural strength. When the base of a dome is not the same shape as its supporting walls, for example when a circular dome is on a square structure, techniques are employed to transition between the two. Pendentives are triangular sections of a sphere used to transition from the flat surfaces of supporting walls to the round base of a dome.

Domes can be divided into two kinds, simple and compound. Simple domes use pendentives that are part of the same sphere as the dome itself. Compound domes are part of the structure of a large sphere below that of the dome itself, forming a circular base, as shown in.

Compound Dome: A compound dome (red) with pendentives (yellow) from a sphere of greater radius than the dome.


The Role of Statistics in Astronomy

It is impossible to take out a ruler and measure the distance of the Earth from the sun. Unless, of course, you somehow manage to invent a suit that can survive the temperatures of the sun and design a ruler long enough to measure such a distance. However, it would likely take you a very long time to measure such a distance anyway.

Instead, astronomers use estimates and mathematical theories to devise their best guess to just how far items in the universe are away from each other. This is why when you read a news report that a star will likely be going supernova “any day now,” you have to understand that “any day now” could mean tomorrow, a year from now, or even ten thousand years from now. Learn astronomy online with this class.


Computer scientists tend to focus on data acquisition/cleaning, retrieval, mining, and reporting. They are often tasked with the development of algorithms for prediction and systems efficiency. Focus is also placed on machine learning (an aspect of artificial intelligence), particularly for the purposes of data mining (finding patterns and associations in data for a variety of purposes, such as marketing and finance).

There are a number of ways the roles of statisticians and computer scientists merge consider the development of models and data mining. Typically, statistical approach to models tends to involve stochastic (random) models with prior knowledge of the data. The computer science approach, on the other hand, leans more to algorithmic models without prior knowledge of the data. Ultimately, these come together in attempts to solve problems.

Data mining processes for computer science have statistical counterparts. Consider the following:

Steps in Computer Science

Steps in Statistics

Experimental design for the collection of data/noise reduction

Discerning the distribution/variability

Group differences, dimension reduction prediction classification

Representation and Reporting

How else is statistics used in computer science? Simulations (used to gain a greater understanding of a variety of systems) are truly a marriage of computing capability and statistics—the use of statistics within programming improves understanding of the underlying system leading to more meaningful results. Statistics in software engineering leads to more conclusive determinations of quality and optimal performance.


Physics Laws

The present work is based on a compilation of the different Physics laws that enunciate the different branches of physics trying to show the most important of each of them, in order to condense the principles that essentially describe physics as science and its role in the field of scientific study.

List of 15 important laws of Physics

Here’s the list of all Physics Laws:
1: Archimedes Principal
According to this Principle, when a body is partially or totally immersed in a liquid, it experiences a thrust force, which is equal to the weight of the liquid displaced by it.

2: Pascal Law
Pascal law states that Pressure applied at any point of a liquid at rest is transmitted without loss to all other parts of the fluid. Hydraulic press and Hydraulic Brake is an application of pascal law.
3: Ohm’s Law
Ohm’s law states that current flowing in a metallic conductor is directly proportional to the potential difference applied across its ends provided that other physical conditions and temperatures are constant.The mathematical form of this law is expressed as:
V = IR

4: Huygens Principle


5: Newton’s first law of motion

According to Newton’s 1st law of motion states that Everybody continues in its state of rest or uniform motion in a straight line unless a resultant force acts on it to change in its state. Newton’s first law also is known as the law of inertia.

6: Newton’s second law of motion

The second law of motion states that when a resultant force acts on an object of constant mass, the acceleration will result in the product of its mass and acceleration equal to the resultant force, the direction of the acceleration being in the same direction as that of the resultant force.
7: Newton’s third law of motion
Newton’s 3rd law of motion states that action and reaction are equal but opposite in reaction. This law tells us 4 characteristics of forces:

    1. Forces always occur in pairs, which are called action and reaction forces.
    2. The action and reaction are always equal in magnitude
    3. Action and reaction are always opposite to each other.
    4. Action and reaction act on different bodies.


    8: Newton’s law of Gravitation

    According to the law of gravitation, every object in the universe attracts every other object with a force that is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between the masses.


    9: Law Of inertia
    Law of inertia states that a body continues its state of rest or uniform motion until an external force acts on it. It deals with the inertial property of matter. Inertia depends greatly on mass.


    10: Coulomb’s Law

    Coulomb’s law states that the force of attraction or repulsion between two charges is directly proportional to the magnitude of charges and inversely proportional to the square of the distance between these two charges.

    11: Hook’s Law

    12: Bernoulli’s Principle
    Bernoulli’s principle states that when the speed of the moving fluid, gas or liquid, increases, the pressure inside the fluid decreases.
    Aerodynamic lift is an example or an application of Bernoulli’s principle.

    13: Boyles Law
    Boyles law states that the volume of the given mass of gas varies inversely with pressure at a constant temperature.
    Mathematically it is expressed as:
    PV = Constant

    14: Charle’s Law


    15: Kepler’s Law

    16: Law of Conservation of energy

    17: Faraday’s law

    18: Lenz’s law of induction

    19: Graham’s law

    20: Compton Effect

    21: Photoelectric Effect

    22: Planck’s law

    23: First law of thermodynamics

    24: Second law of thermodynamics

    25: Zeroth law of thermodynamics

    26: Snell’s law
    According to this law, For two particular medium, the ratio by Sine of the angle of incidence to the sine of the angle of refraction is equal to a constant is called Snell’s law.

    n = Sin i/ Sin r
    27: Ampere’s law

    28: Joules Law

    Joule’s law of heating states that The heat produced by an electric current I, flowing through a resistance, R, for a fixed time,t is equal to the Product of Square of Current I, Resistance R and time t. If The current is expressed in ampere’s, the resistance in ohms, and the time in seconds then the heat produced is in joule.


    29: Law of conservation of momentum
    According to this law momentum before the collision is equal to the momentum after the collision. or the momentum of an isolated system remains conserved.
    If you want to learn in detail, click the list of all laws of physics below.
    Let’s dive in…


    Ver el vídeo: Estadística descriptiva e inferencial (Agosto 2022).