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1: Ecuaciones lineales

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Objetivos de aprendizaje

En este capítulo, aprenderá a:

  1. Grafica una ecuación lineal.
  2. Calcula la pendiente de una recta.
  3. Determina la ecuación de una línea.
  4. Resolver sistemas lineales.
  5. Resolver problemas de aplicación usando ecuaciones lineales.

Miniatura: Las líneas roja y azul de este gráfico tienen la misma pendiente (gradiente); las líneas roja y verde tienen la misma intersección con el eje y (cruzan el eje y en el mismo lugar). (CC BY-SA 1.0; ElectroKid a través de Wikipedia)


Analizar ecuaciones lineales

¡Saber escribir ecuaciones lineales es un trampolín importante en el camino para convertirse en un maestro matemático! En este tutorial, practicarás el uso de una pendiente y un punto para escribir la ecuación de la línea en forma estándar.

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta a partir de un gráfico?

¿Intentas encontrar la pendiente de una línea graficada? Primero, identifica dos puntos en la línea. Luego, podrías usar estos puntos para calcular la pendiente. En este tutorial, verá cómo usar dos puntos en la línea para encontrar el cambio en 'y' y el cambio en 'x'. Luego, verá cómo tomar estos valores y calcular la pendiente. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo se encuentran las intersecciones en X e Y de una línea en forma de pendiente e intersección?

Para encontrar la intersección con el eje x de una ecuación lineal dada, sustituye 0 por 'y' y resuelve para 'x'. Para encontrar la intersección con el eje y, sustituya 0 por 'x' y resuelva para 'y'. En este tutorial, verá cómo encontrar la intersección con el eje x y la intersección con el eje y para una ecuación lineal dada. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo se escribe la ecuación de una recta en forma pendiente-intersección si tiene dos puntos?

¿Intentas escribir una ecuación en forma pendiente-intersección? ¿Tienes dos puntos en tu línea? Necesitarás encontrar tu pendiente y la intersección con el eje y. Mire este tutorial y vea lo que se debe hacer para escribir una ecuación en forma pendiente-intersección.

¿Cómo se escribe la ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección a partir de un problema verbal?

¡Los problemas de palabras son una excelente manera de ver las matemáticas en el mundo real! En este tutorial, verá cómo escribir una ecuación en forma pendiente-intersección que represente la información dada en el problema verbal. Para ver cómo se hace, ¡mira este tutorial!

¿Cómo se escribe una ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección si tiene un punto y una línea paralela?

¿Quiere encontrar la forma pendiente-intersección de una línea cuando se le da un punto en esa línea y otra línea paralela a esa línea? Recuerde, las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si puedes encontrar la pendiente de esa línea paralela, ¡tendrás la pendiente de tu línea! En este tutorial, verá cómo encontrar la pendiente de su línea y usar esa pendiente, junto con el punto dado, para escribir una ecuación para la línea en forma pendiente-intersección. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se escribe una ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección si tiene un punto y una línea perpendicular?

¿Quiere encontrar la forma pendiente-intersección de una línea cuando se le da un punto en esa línea y otra línea perpendicular a esa línea? Recuerde, las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas opuestas entre sí. En este tutorial, verá cómo encontrar la pendiente usando la pendiente de la línea perpendicular. Luego, usa esta pendiente y el punto dado para escribir una ecuación para la línea en forma pendiente-intersección. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo se coloca una ecuación en forma estándar en forma pendiente-intersección o punto-pendiente?

¿Busca algo de práctica para convertir la ecuación de una línea en diferentes formas? ¡Entonces este tutorial fue hecho para ti! Siga las instrucciones de este tutorial que le muestran cómo tomar una ecuación lineal de la forma estándar y convertirla en la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente.

¿Cómo se coloca una ecuación en forma de pendiente-intersección en forma estándar o de punto-pendiente?

¿Busca algo de práctica para convertir la ecuación de una línea en diferentes formas? ¡Entonces este tutorial fue hecho para ti! Siga este tutorial mientras le muestra cómo tomar una ecuación lineal de la forma pendiente-intersección y convertirla en forma estándar y forma punto-pendiente.

¿Cómo se coloca una ecuación en forma de punto-pendiente en forma estándar o de pendiente-intersección?

¿Busca algo de práctica para convertir la ecuación de una línea en diferentes formas? ¡Entonces este tutorial fue hecho para ti! Siga este tutorial mientras le muestra cómo tomar una ecuación lineal de la forma punto-pendiente y convertirla en forma estándar y forma pendiente-intersección.

¿Cómo se calcula la pendiente de una línea a partir de dos puntos?

¿Calculando la pendiente de una línea a partir de dos puntos dados? ¡Usa la fórmula de la pendiente! ¡Este tutorial le mostrará cómo!

¿Cómo se encuentra la intersección con el eje Y de una línea si tiene otro punto y la pendiente?

¿Quiere practicar para encontrar la intersección con el eje y de una línea? En este tutorial, se le da la pendiente de una línea y un punto en esa línea y se le pide que encuentre la intersección con el eje y. ¡Mire este tutorial y vea cómo se usa la ecuación para la forma pendiente-intersección de una línea para descubrir la respuesta!

¿Cómo se calcula la constante de variación a partir de una ecuación de variación directa?

La constante de variación es el número que relaciona dos variables que son directamente proporcionales o inversamente proporcionales entre sí. Vea este tutorial para ver cómo encontrar la constante de variación para una ecuación de variación directa. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se escribe una ecuación para la variación directa dado un punto?

¿Buscas práctica con variación directa? ¡Mire este tutorial y practique! Este tutorial le muestra cómo tomar información dada y convertirla en una ecuación de variación directa. Luego, vea cómo usar esa ecuación para encontrar el valor de una de las variables.

¿Cómo se escribe una ecuación para la variación directa a partir de una tabla?

¿Buscas práctica con variación directa? ¡Mire este tutorial y practique! Este tutorial le muestra cómo tomar una tabla de valores y describir la relación usando una ecuación de variación directa.

¿Cómo se encuentra la coordenada X de un punto en una línea si tiene otro punto y la pendiente?

¿Cómo encuentras la coordenada x de un punto en una línea si tienes otro punto y la pendiente? Necesitarás usar la fórmula de pendiente. ¡Mire este tutorial y vea cómo encontrar esta coordenada faltante!

¿Cómo se usa un diagrama de dispersión para encontrar una correlación positiva?

¿Tienes un montón de datos? ¿Tratando de averiguar si existe una correlación positiva, negativa o nula? ¡Dibuja un diagrama de dispersión! Este tutorial lo lleva a través de los pasos para crear un diagrama de dispersión, dibujar una línea de ajuste y determinar la correlación, si la hubiera. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se usa un diagrama de dispersión para encontrar una línea de ajuste?

Una línea de ajuste es una línea que resume la tendencia en un conjunto de datos. En este tutorial, verá cómo graficar datos en un plano de coordenadas y dibujar una línea de ajuste para esos datos. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo se usa un diagrama de dispersión para encontrar una correlación negativa?

¿Tienes un montón de datos? ¿Tratando de averiguar si existe una correlación positiva, negativa o nula? ¡Dibuja un diagrama de dispersión! Este tutorial lo lleva a través de los pasos para crear un diagrama de dispersión, dibujar una línea de ajuste y determinar la correlación, si la hubiera. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se usa un gráfico de dispersión para no encontrar correlación?

¿Tienes un montón de datos? ¿Tratando de averiguar si existe una correlación positiva, negativa o nula? ¡Dibuja un diagrama de dispersión! Este tutorial lo lleva a través de los pasos para crear un diagrama de dispersión, dibujar una línea de ajuste y determinar la correlación, si la hubiera. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se escribe una ecuación para una línea vertical?

¿Tratando de encontrar la ecuación de una línea vertical que pasa por un punto dado? Recuerde que las líneas verticales solo tienen un valor 'x' y ningún valor 'y'. Siga este tutorial a medida que vea cómo usar la información proporcionada para escribir la ecuación de una línea vertical.

¿Cómo se escribe una ecuación para una línea horizontal?

¿Tratando de encontrar la ecuación de una línea horizontal que pasa por un punto dado? Recuerde que las líneas verticales solo tienen un valor 'y' y no un valor 'x'. Siga este tutorial a medida que vea cómo usar la información proporcionada para escribir la ecuación de una línea horizontal.

¿Cómo grafica una línea vertical?

Para graficar una línea vertical que pasa por un punto dado, primero grafique ese punto. Luego dibuja una línea recta hacia arriba y hacia abajo que atraviese el punto, ¡y listo! Para ver este proceso en acción, ¡mire este tutorial!

¿Cómo grafica una línea horizontal?

Para graficar una línea horizontal que pasa por un punto dado, primero grafique ese punto. Luego dibuja una línea recta a izquierda y derecha que pase por el punto, ¡y listo! Para ver este proceso en acción, ¡mire este tutorial!

¿Cómo se encuentra la pendiente de una línea si tiene una línea perpendicular?

Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas opuestas entre sí. Para encontrar la pendiente de una línea que es perpendicular a una ecuación dada, encuentra el recíproco opuesto de esa pendiente. ¡Mira este tutorial para aprender cómo hacerlo!

¿Cómo se encuentra la pendiente de una rampa si conoce la subida y la carrera?

¡Los problemas de palabras son una excelente manera de ver las matemáticas en acción! Este tutorial le muestra cómo resolver un problema verbal que involucra subir y correr usando la fórmula de pendiente.

¿Cómo se utilizan las intersecciones en X e Y para graficar una línea en forma estándar?

Para encontrar la intersección con el eje x de una ecuación lineal dada, simplemente elimine la 'y' y resuelva para 'x'. Para encontrar la intersección con el eje y, quita la 'x' y resuelve para 'y'. En este tutorial, verá cómo encontrar la intersección con el eje x y la intersección con el eje y para una ecuación lineal dada. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo grafica una línea si tienes la pendiente y la intersección?

¿Intentas graficar una línea a partir de una pendiente y una intersección con el eje y dadas? ¿Crees que primero necesitas encontrar una ecuación? ¡Piensa otra vez! En este tutorial, vea cómo usar esa pendiente y la intersección con el eje y para graficar la línea.

¿Cómo grafica una línea si tienes la pendiente y un solo punto?

¿Tratando de graficar una línea desde una pendiente dada y un punto? ¿Crees que primero necesitas encontrar una ecuación? ¡Piensa otra vez! En este tutorial, vea cómo usar esa pendiente y punto dados para graficar la línea.

¿Cómo se escribe una ecuación de una línea en forma de punto-pendiente si tiene la pendiente y un punto?

¿Intentas escribir una ecuación en forma de punto pendiente? ¿Tienes un punto en la recta y en la pendiente? ¡Inserte esos valores correctamente en la forma de punto-pendiente de una línea y tendrá su respuesta! ¡Mira este tutorial para obtener todos los detalles!

¿Cómo se escribe una ecuación de una línea en forma de punto-pendiente si tiene dos puntos?

¿Intentas escribir una ecuación en forma de punto pendiente? ¿Tiene dos puntos pero sin pendiente? Primero deberá usar esos puntos para encontrar una pendiente. ¡Mire este tutorial y vea lo que se debe hacer para escribir una ecuación en forma de punto-pendiente!

¿Cómo se escribe una ecuación de una línea en forma de punto-pendiente y en forma estándar si tiene dos puntos?

¡Practica un poco con la forma de punto pendiente y la forma estándar de una ecuación! Este tutorial le muestra cómo usar dos puntos dados para escribir una ecuación en ambas formas. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se escribe la ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección si tiene la pendiente y la intersección con el eje Y?

¿Quieres escribir una ecuación en forma pendiente-intersección? ¿Ya tienes la pendiente y la intersección con el eje y? ¡Perfecto! ¡Simplemente inserte correctamente esos valores en su ecuación y listo! Aprenda cómo en este tutorial.

¿Cuál es la fórmula de la pendiente?

Cuando se trata de ecuaciones lineales, es posible que se le pida que encuentre la pendiente de una línea. ¡Ahí es cuando conocer la fórmula de la pendiente es realmente útil! Aprenda la fórmula para encontrar la pendiente de una línea viendo este tutorial.

¿Qué es la intersección en X?

Cuando tienes una ecuación lineal, la intersección con el eje x es el punto donde la gráfica de la línea cruza el eje x. En este tutorial, aprenda sobre la intersección con el eje x. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo saber si dos líneas son paralelas?

Las líneas paralelas son líneas que seguirán y seguirán para siempre sin siquiera cruzarse. ¡Esto se debe a que tienen la misma pendiente! Si tiene dos ecuaciones lineales que tienen la misma pendiente pero diferentes intersecciones en y, entonces esas líneas son paralelas entre sí.

¿Cómo saber si dos líneas son perpendiculares?

Las líneas perpendiculares se cruzan en ángulo recto entre sí. Para averiguar si dos ecuaciones son perpendiculares, observe sus pendientes. Las pendientes de las líneas perpendiculares son recíprocas opuestas entre sí. ¡Su producto es -1! Mire este tutorial y vea cómo determinar si dos ecuaciones son perpendiculares.

¿Qué significa la pendiente de una línea?

No puedes aprender sobre ecuaciones lineales sin aprender sobre pendiente. La pendiente de una línea es la inclinación de la línea. Hay muchas formas de pensar en la pendiente. La pendiente es el aumento sobre la carrera, el cambio en 'y' sobre el cambio en 'x', o el gradiente de una línea. ¡Consulta este tutorial para aprender sobre pendientes!

¿Cuál es la constante de variación?

La constante de variación es el número que relaciona dos variables que son directamente proporcionales o inversamente proporcionales entre sí. Pero, ¿por qué se llama constante de variación? Este tutorial responde a esa pregunta, ¡así que échale un vistazo!

¿Cómo se ve la variación directa en un gráfico?

¿Quiere saber cómo se ve una variación directa gráficamente? Básicamente, es una línea recta que pasa por el origen. ¡Para obtener una mejor imagen, consulte este tutorial!

¿Qué es un diagrama de dispersión?

Los diagramas de dispersión son realmente útiles para mostrar gráficamente un montón de datos. Al ver los datos de forma gráfica, puede ver patrones o tendencias en los datos. Estos patrones ayudan a los investigadores a comprender cómo una cosa afecta a otra. ¡Esto puede conducir a todo tipo de avances! Este tutorial le da un vistazo al diagrama de dispersión. ¡Echale un vistazo!

¿Qué es la correlación positiva?

¿Mirando una línea de ajuste en un diagrama de dispersión? ¿Esa línea tiene una pendiente positiva? Si es así, ¡sus datos muestran una correlación positiva! Aprenda sobre la correlación positiva viendo este tutorial.

¿Qué es la correlación negativa?

¿Mirando una línea de ajuste en un diagrama de dispersión? ¿Esa línea tiene una pendiente negativa? Si es así, ¡sus datos muestran una correlación negativa! Aprenda sobre la correlación negativa viendo este tutorial.

¿Qué significa no tener correlación?

Los diagramas de dispersión son muy útiles para mostrar gráficamente el patrón en un conjunto de datos. Pero a veces esos datos no muestran ninguna correlación. ¡Aprenda sobre la falta de correlación y vea cómo saber si los datos no muestran correlación al ver este tutorial!

¿Qué significa pendiente negativa?

¿Qué significa una pendiente negativa? ¿Cómo se ve la gráfica de una pendiente negativa? ¡Encuentre las respuestas a estas preguntas viendo este tutorial!

¿Qué son las líneas verticales?

Es posible que pueda adivinar que las líneas verticales son líneas que van rectas hacia arriba y hacia abajo, pero ¿sabía que todas las líneas verticales tienen la misma pendiente? En este tutorial, aprenda todo sobre las líneas verticales, incluida su pendiente y cómo se ve la ecuación de una línea vertical.

¿Qué son las líneas horizontales?

¿Ha mirado alguna vez el horizonte cuando sale o se pone el sol? ¿Sabes por qué se llama horizonte? ¡Es una línea horizontal! Y al igual que el horizonte, las líneas horizontales van rectas de izquierda a derecha. En este tutorial, aprenderá todo sobre las líneas horizontales, incluida su pendiente y cómo se ve la ecuación de una línea horizontal.

¿Qué significa pendiente positiva?

¿Qué significa una pendiente positiva? ¿Cómo se ve la gráfica de una pendiente positiva? ¡Encuentra las respuestas a estas preguntas viendo este tutorial!

¿Qué significa pendiente 0?

¡Una pendiente cero es solo la pendiente de una línea horizontal! ¡La coordenada y nunca cambia sin importar cuál sea la coordenada x! En este tutorial, aprenda sobre el significado de pendiente cero.

¿Qué significa pendiente indefinida?

¡Una pendiente indefinida (o una pendiente infinitamente grande) es la pendiente de una línea vertical! ¡La coordenada x nunca cambia sin importar cuál sea la coordenada y! ¡No hay carrera! En este tutorial, aprenda sobre el significado de pendiente indefinida.

¿Qué es la forma punto-pendiente de una ecuación lineal?

Cuando esté aprendiendo sobre ecuaciones lineales, seguramente se encontrará con la forma de punto-pendiente de una línea. Esta forma es bastante útil para crear una ecuación de una línea si se le da la pendiente y un punto en la línea. ¡Vea este tutorial y aprenda sobre la forma punto-pendiente de una línea!

¿Qué es la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal?

Cuando esté aprendiendo sobre ecuaciones lineales, seguramente se encontrará con la forma de punto-pendiente de una línea. Esta forma es bastante útil para crear una ecuación de una línea si se le da la pendiente y un punto en la línea. ¡Vea este tutorial y aprenda sobre la forma punto-pendiente de una línea!

¿Qué es la intersección en Y?

Cuando tienes una ecuación lineal, la intersección con el eje y es el punto donde la gráfica de la línea cruza el eje y. En este tutorial, aprenda sobre la intersección con el eje y. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo se resuelve un problema verbal usando la fórmula de variación directa?

¡Los problemas de palabras te permiten ver las matemáticas en acción! Eche un vistazo a este problema verbal que involucra el peso de un objeto en la Tierra en comparación con su peso en la Luna. Vea cómo la fórmula para la variación directa juega un papel importante en la búsqueda de la solución. ¡Luego usa esa fórmula para ver cuánto pesarías en la Luna!

¿Qué es la fórmula de variación directa o proporcionalidad directa?

¿Has oído hablar de dos cosas que son directamente proporcionales? Bueno, un buen ejemplo es la velocidad y la distancia. Cuanto mayor sea su velocidad, más lejos irá durante un período de tiempo determinado. Entonces, cuando una variable aumenta, la otra también aumenta, y esa es la idea de proporcionalidad directa. Pero puedes expresar la proporcionalidad directa usando ecuaciones, y eso es algo importante en álgebra. ¡Vea cómo hacer eso en el tutorial!

¿Cómo se usa la fórmula para la variación directa?

Si dos cosas son directamente proporcionales, ¡puede apostar que necesitará usar la fórmula de variación directa para resolver! En este tutorial, verá cómo usar la fórmula de variación directa para encontrar la constante de variación y luego resolver su respuesta.

¿Cómo se encuentran las intersecciones en X e Y de una línea si tiene una gráfica?

Cuando se trata de gráficos, a menudo es importante identificar la intersección con el eje x y la intersección con el eje y. En este tutorial, verá cómo encontrar la intersección con el eje x y la intersección con el eje y de una línea. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se encuentra la tasa de cambio entre dos puntos en un gráfico?

La tasa de cambio es una tasa que describe cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad. En este tutorial, practique encontrar la tasa de cambio usando un gráfico. ¡Echale un vistazo!

¿Cómo se encuentra la tasa de cambio entre dos puntos en una tabla?

La tasa de cambio es una tasa que describe cómo cambia una cantidad en relación con otra cantidad. Este tutorial le muestra cómo utilizar la información proporcionada en una tabla para encontrar la tasa de cambio entre los valores de la tabla. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se escribe la ecuación de una recta en forma de pendiente-intersección si tiene una gráfica?

¿Trabajando con la gráfica de una línea? ¿Intentas encontrar la ecuación para esa gráfica? Simplemente elija dos puntos en la línea y utilícelos para encontrar la ecuación. ¡Este tutorial le muestra cómo tomar dos puntos en la gráfica de una línea y usarlos para encontrar la forma pendiente-intersección de la línea!

¿Cómo se escribe la ecuación de una línea en forma de pendiente-intersección si tiene una mesa?

¿Mira una tabla de valores que representa una ecuación lineal? ¿Quieres encontrar esa ecuación? ¡Entonces mira este tutorial! Verá cómo usar los valores de una tabla para encontrar la forma pendiente-intersección de la línea descrita en la tabla.

¿Cómo se usa la forma punto-pendiente para escribir una ecuación a partir de una tabla?

¿Mira una tabla de valores que representa una ecuación lineal? ¿Quieres encontrar esa ecuación? ¡Entonces mira este tutorial! Verá cómo usar los valores de una tabla y la forma punto-pendiente de una línea para encontrar la forma pendiente-intersección de la línea descrita en la tabla.

¿Cómo se encuentra la pendiente de una línea si tiene una línea paralela?

¿Mirando una gráfica de líneas paralelas? ¿Tienes la ecuación de una de las líneas? ¿Quiere encontrar la pendiente de la otra línea? ¡No hay problema! ¡Solo recuerda que las líneas paralelas tienen la misma pendiente! Usa la ecuación dada para encontrar la pendiente de la primera línea y, dado que las líneas son paralelas, ¡esa es la pendiente de la segunda línea! Para ver un ejemplo, consulte este tutorial.

¿Cómo se hace un diagrama de dispersión?

Los diagramas de dispersión son una forma muy útil de ayudarlo a ver los datos visualmente. En este tutorial, verá cómo tomar datos de una tabla y trazarlos para crear un diagrama de dispersión. ¡Echar un vistazo!

¿Cómo se escribe y se usa una ecuación de predicción?

Los diagramas de dispersión son una excelente manera de ver los datos visualmente. ¡También pueden ayudarlo a predecir valores! Siga este tutorial ya que le muestra cómo dibujar una línea de ajuste en un diagrama de dispersión y encontrar la ecuación de esa línea para hacer una predicción basada en los datos ya proporcionados.

¿Qué es la tasa de cambio?

¿Tratando de describir cómo cambia algo en relación con otra cosa? ¡Utilice la tasa de cambio! En este tutorial, aprenda sobre la tasa de cambio y vea la diferencia entre tasas de cambio positivas y negativas.


Clase 1: La geometría de las ecuaciones lineales

La primera conferencia comienza con Gilbert Strang declarando el problema fundamental del álgebra lineal, que consiste en resolver sistemas de ecuaciones lineales. Continúa con un ejemplo.

El ejemplo es un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas:

Hay tres formas de ver este sistema. La primera es mirar una fila a la vez, la segunda es mirar una columna a la vez y la tercera es usar la forma matricial.

Si miramos esta ecuación una fila a la vez, tenemos dos ecuaciones independientes 2x - y = 0 y -x + 2y = 3. Ambas son ecuaciones lineales. Si los graficamos obtenemos la imagen de la fila:

La imagen de la fila muestra las dos líneas que se encuentran en un solo punto (x = 1, y = 2). Esa es la solución del sistema de ecuaciones. Si las líneas no se cruzaran, no habría habido solución.

Ahora veamos las columnas. La columna de las x es (2, -1), la columna de las y es (-1, 2) y la columna de la derecha es (0, 3). Podemos anotarlo de la siguiente manera:

Esta es una combinación lineal de columnas. Lo que esto nos dice es que tenemos que combinar la cantidad correcta de vector (2, -1) y vector (-1, 2) para producir el vector (0, 3). Podemos trazar los vectores en la imagen de la columna:

Si tomamos un vector x verde y dos vectores y azules (en gris), obtenemos el vector rojo. Por lo tanto, la solución es nuevamente (x = 1, y = 2).

La tercera forma de ver este sistema completamente a través de matrices y usar la forma matricial de las ecuaciones. La forma matricial en general es la siguiente: AX = B donde A es la matriz de coeficientes, X es el vector desconocido y B es el vector del lado derecho.

En las próximas lecciones se discutirá cómo resolver las ecuaciones escritas en forma de matriz. Pero les puedo decir de antemano que el método se llama eliminación de Gauss con sustitución hacia atrás.

Para este sistema de dos ecuaciones, dos incógnitas, la ecuación matricial Ax = b se ve así:

El siguiente ejemplo de la conferencia es un sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas:

Ya no podemos graficarlo en dos dimensiones porque hay tres incógnitas. Esta será una trama en 3D. Dado que las ecuaciones son lineales en las incógnitas x, y, z, obtendremos tres planos que se intersecan en un solo punto (si hay una solución).

Aquí está la imagen de la fila de 3 ecuaciones en 3 incógnitas:

El rojo es el plano 2x - y = 0. El verde es el plano -x + 2y - z = -1, y el azul es el plano -3y + 4z = 4.

¿Se da cuenta de lo difícil que es localizar el punto de intersección? ¡Casi imposible! Y todo esto de ir una dimensión más alta. Imagínese lo que pasa si vamos a 4 o más dimensiones. (La intersección está en (x = 0, y = 0, z = 1) y la marqué con un pequeño punto blanco).

La imagen de la columna es casi tan difícil de entender como la imagen de la fila. Aquí está para este sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas:

La primera columna (2, -1, 0) es roja, la segunda columna (-1, 2, -3) es verde, la cuarta columna (0, -1, 4) es azul y el resultado (0, - 1, 4) es gris.

Nuevamente, es bastante difícil visualizar cómo manipular estos vectores para producir el vector solución (0, -1, 4). Pero tenemos suerte en este ejemplo en particular. Tenga en cuenta que si no tomamos ninguno de los vectores rojos, ninguno de los vectores verdes y uno de los vectores azules, ¡obtenemos el vector gris! Es decir, ¡ni siquiera necesitábamos vectores rojo y verde!

Todo esto sigue siendo complicado y se vuelve mucho más complicado si pasamos a más ecuaciones con más incógnitas. Por lo tanto, necesitamos mejores métodos para resolver sistemas de ecuaciones que dibujar dibujos de planos o columnas.

La conferencia termina con varias preguntas:

  • ¿Puede AX = B ser resuelto para cualquier B?
  • ¿Cuándo la combinación lineal de columnas llena todo el espacio?
  • ¿Cuál es el método para resolver 9 ecuaciones con 9 incógnitas?

Los ejemplos que analicé aquí también se explican cuidadosamente en la conferencia, puedes verla:

Temas cubiertos en la primera lección:

  • [00:20] Información sobre libro de texto y sitio web del curso.
  • [01:05] Problema fundamental de álgebra lineal: resolver sistemas de ecuaciones lineales.
  • [01:15] Buen caso: n ecuaciones, n incógnitas.
  • [02:20] Resolver 2 ecuaciones con 2 incógnitas
  • [02:54] Matriz de coeficientes.
  • [03:35] Forma matricial de las ecuaciones. Ax = b.
  • [04:20] Imagen de filas de las ecuaciones - líneas.
  • [08:05] Solución (x = 1, y = 2) de la imagen de la fila.
  • [08:40] Imagen en columna de las ecuaciones - vectores bidimensionales.
  • [09:50] Combinación lineal de columnas.
  • [12:00] Solución de la imagen de la columna x = 1, y = 2.
  • [12:05] Trazar las columnas para producir el vector solución.
  • [15:40] Resolver 3 ecuaciones con 3 incógnitas
  • [16:46] Forma de matriz para esta ecuación de 3x3.
  • [17:30] Cuadro de fila - aviones.
  • [22:00] Imagen de columna - 3 vectores tenues.
  • [24:00] Solución (x = 0, y = 0, z = 1) de la imagen de la columna al notar que el vector z es igual al vector b.
  • [28:10] ¿Se puede resolver Ax = b para cada b?
  • [28:50] ¿Las combinaciones lineales de columnas llenan el espacio 3d?
  • [32:30] ¿Qué pasa si hay 9 ecuaciones y 9 incógnitas?
  • [36:00] ¿Cómo multiplicar una matriz por un vector? Dos caminos.
  • [36:40] Ax es una combinación lineal de columnas de A.

Aquí están mis notas de la primera lección. Perdón por la letra. Parece que no había escrito mucho en ese momento y la letra se había vuelto realmente mala. Pero mejora con cada nueva conferencia. En las conferencias 5 y 6 será tan bueno como sea posible.

La próxima publicación tratará sobre una forma sistemática de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones llamado eliminación.


3.2 Ecuaciones literales

A menudo tenemos que resolver una ecuación para una de las variables en términos de la otra
variables. Lo que estamos haciendo en tales casos es esencialmente posponer la sustitución de
los valores de las variables hasta el último. Considere el siguiente problema, por ejemplo.

Ejemplo 1: Un hombre quiere comprar un auto nuevo a un precio de $ 18,000 y financiarlo al 5.75%
por año y amortización del préstamo en cuotas mensuales durante 5 años.
¿Qué son los pagos mensuales?

Podríamos haber sustituido los valores en la fórmula de compra a plazos

y obtuvo la ecuación

Podemos resolver esta ecuación de la siguiente manera:

Entonces, el pago mensual es de $ 345.90.

O podemos sustituir los valores en la fórmula de pago mensual.

que es exactamente igual al valor obtenido anteriormente.

Repasemos cómo obtuvimos la fórmula de pago mensual de la cuota
fórmula de compra.

Tenemos que resolver esta ecuación para M. Sumando a ambos lados de la ecuación, obtenemos

Multiplicar ambos lados de la ecuación por C y luego dividir ambos lados de la ecuación
por B, obtenemos


Método 2: usa la pendiente y la intersección con el eje y

Una ecuación lineal escrita en la forma (y = mx + b ) se dice que está en forma pendiente-intersección. Esta forma muestra la pendiente (m ) y la intersección con el eje y (b ) de la gráfica. Conocer estos dos valores le permitirá dibujar rápidamente la gráfica de la ecuación lineal, como puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Grafica la ecuación lineal:
(y = dfrac <2> <3> x + 4 )

Solución

Dado que esta ecuación tiene la forma (y = mx + b ), sabes que:

Veamos primero la intersección con el eje y.

La intersección con el eje y es el punto donde la gráfica cruza el eje y (el eje vertical). Entonces, puede trazar este punto como:

Ahora considere la pendiente. La pendiente puede verse como una tasa de cambio: representa el cambio en (y ) sobre el cambio en (x ). A veces, esto se llama & # 8220rise over run & # 8221.

Esto se puede traducir a:

Por lo tanto, para encontrar otro punto en la línea, comience con la intersección con el eje y y avance 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. Haga esto de nuevo y encontrará otro punto. De hecho, puede seguir haciendo esto para encontrar tantos puntos como crea que necesitará para dibujar un buen gráfico.

¡Conecta los puntos y tendrás la gráfica de tu función lineal!

Este método para graficar ecuaciones lineales se puede aplicar incluso cuando la pendiente es negativa o cuando la pendiente no es una fracción, aunque no lo parezca. ¡El siguiente ejemplo le mostrará cómo funciona eso!

Ejemplo

Grafica la ecuación lineal:
(y = -2x + 1 )

Solución

La intersección con el eje y aquí es 1, así que grafica este punto primero.

La pendiente es –2. Si bien esto no es una fracción, puede verse como uno si deja que el denominador sea igual a 1.

Ahora, esto se puede aplicar para encontrar puntos en el gráfico.

Finalmente, conecta los puntos para dibujar la gráfica de la ecuación lineal.

SUGERENCIA: Si la pendiente está en forma decimal, vea si puede convertirla en una fracción para aplicar este método. De lo contrario, el método 1 podría ser el mejor.


Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución

A sistema de ecuaciones lineales es solo un conjunto de dos o más ecuaciones lineales.

En dos variables (x & thinsp & thinsp y & thinsp & thinsp y), la gráfica de un sistema de dos ecuaciones es un par de líneas en el plano.

Hay tres posibilidades:

  • Las líneas se cruzan en cero puntos. (Las líneas son paralelas).
  • Las líneas se cruzan exactamente en un punto. (Mayoria de los casos.)
  • Las líneas se cruzan en un número infinito de puntos. (Las dos ecuaciones representan la misma línea).

Cómo resolver un sistema usando El método de sustitución

  • Paso 1 : Primero, resuelve una ecuación lineal para y en términos de x.
  • Paso 2 : Luego sustituye y por esa expresión en la otra ecuación lineal. Obtendrás una ecuación en x.
  • Paso 3 : Resuelva esto y tendrá la coordenada x de la intersección.
  • Paso 4 : Luego, inserte x en cualquier ecuación para encontrar la coordenada y correspondiente.

Nota 1 : Si es más fácil, puede comenzar resolviendo una ecuación para x en términos de y, ¡y también la misma diferencia!

Resuelve la segunda ecuación para y.

Sustituye 19 & menos 7 x por y en la primera ecuación y resuelve para x.

3 x + 2 (19 y menos 7 x) = 16 3 x + 38 y menos 14 x = 16 y menos 11 x = y menos 22 x = 2

Sustituye 2 por x en y = 19 & menos 7 x y resuelve para y.

Nota 2 : Si las líneas son paralelas, sus términos x se cancelarán en el paso 2 y obtendrá una ecuación imposible, algo como 0 = 3.

Nota 3 : Si las dos ecuaciones representan la misma línea, todo se cancelará en el paso 2 y obtendrá una ecuación redundante, 0 = 0.

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Formas de ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales pueden adoptar múltiples formas, incluida la forma pendiente-intersección, la forma punto-pendiente, la forma estándar y más.

Forma pendiente-intersección

La forma pendiente-intersección es probablemente la forma más utilizada de una ecuación lineal. Normalmente se expresa como

donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.

The equation of a line can be written in slope-intercept form when the slope and y-intercept of the line are known. Or, given an equation in slope-intercept form, it is easy to quickly identify the slope and y-intercept of the line. Graphing the equation of a line is also relatively simple when given an equation in slope-intercept form.

Point-slope form

Point-slope form is similar to slope-intercept form except that it is based on some point on the line, rather than the y-intercept specifically. It is typically expressed as

where (x1, y1) represent a point on the line, and m is the slope. Like slope-intercept form, it is also useful for graphing, and has the benefit of being usable using any point on the line rather than just the y-intercept specifically, as is the case with slope-intercept form.

Standard form

The standard form for the equation of a line is typically expressed as

Where A, B, and C are integers, and A and B are not equal to 0. One of the key benefits of standard form over slope-intercept or point-slope form is that it can be used to quickly find the x-intercept. It can also be used to find the y-intercept of a line, but this is something that is also relatively easy using either of the other forms. Once the x-intercept and y-intercept are known, standard form can also be used to graph the line, though it is slightly more tedious than using either of the other two mentioned forms.

Standard form is also the form of a linear equation that is typically used when solving systems of linear equations. Using either slope-intercept or point-slope form would make solving linear equations more difficult.

Linear equations are also expressed in other forms, but the above are some of the most common.


Budgeting

A party planner has a limited budget for an upcoming event. She'll need to figure out how much it will cost her client to rent a space and pay per person for meals. If the cost of the rental space is $780 and the price per person for food is $9.75, a linear equation can be constructed to show the total cost, expressed as y, for any number of people in attendance, or x. The linear equation would be written as y = 9.75x + 780. With this equation, the party planner can substitute any number of party guests and give her client the actual cost of the event with the food and rental costs included.


Graphical representation of Linear Equation

We can put the values of ‘x’ and ‘y’ into the equation in order to graph a linear equation. We can use the “intercept” points. Few below mentioned points must be follow:

  • Put x = 0 into the equation and solve for y and plot the point (0,y) on the y-axis
  • Put y = 0 into the equation and solve for x and plot the point (x,0) on the x-axis
  • Finally, draw a straight line between the two points

Check your skills to find the solutions of these linear equations:


Ver el vídeo: 01. Qué es el álgebra lineal? Qué es un sistema de ecuaciones lineales? (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Dorin

    ¡Vergüenza y vergüenza!

  2. Bonifacius

    Algo que mis mensajes privados no se envían, hay algún tipo de error

  3. Wardell

    Quiero decir, permites el error. Entra lo hablamos. Escríbeme por MP.



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