Artículos

12.2: Límites y continuidad de funciones multivariables

12.2: Límites y continuidad de funciones multivariables



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Continuamos con el patrón que hemos establecido en este texto: después de definir un nuevo tipo de función, le aplicamos ideas de cálculo. La sección anterior definió funciones de dos y tres variables; esta sección investiga qué significa que estas funciones sean "continuas".

Comenzamos con una serie de definiciones. Estamos acostumbrados a "intervalos abiertos" como ((1,3) ), que representa el conjunto de todos (x ) tales que (1

Definición 79 Disco abierto, Puntos de contorno e interiores, Conjuntos abiertos y cerrados, Conjuntos delimitados

Un disco abierto (B ) en ( mathbb {R} ^ 2 ) centrado en ((x_0, y_0) ) con radio (r ) es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) tal que ( sqrt {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2}

Sea (S ) un conjunto de puntos en ( mathbb {R} ^ 2 ). Un punto (P ) en ( mathbb {R} ^ 2 ) es un punto límite de (S ) si todos los discos abiertos centrados en (P ) contienen puntos en (S ) y puntos que no están en (S ).

  • Un punto (P ) en (S ) es un punto interior de (S ) si hay un disco abierto centrado en (P ) que contiene solo puntos en (S ).
  • Un conjunto (S ) es abierto si cada punto en (S ) es un punto interior.
  • Un conjunto (S ) es cerrado si contiene todos sus puntos limítrofes.
  • Un conjunto (S ) es encerrado si hay un (M> 0 ) tal que el disco abierto, centrado en el origen con radio (M ), contiene (S ). Un conjunto que no está acotado es ilimitado.

La figura 12.7 muestra varios conjuntos en el plano (x ) - (y ). En cada conjunto, el punto (P_1 ) se encuentra en el límite del conjunto, ya que todos los discos abiertos centrados allí contienen ambos puntos dentro y no dentro del conjunto. En contraste, el punto (P_2 ) es un punto interior porque hay un disco abierto centrado allí que se encuentra completamente dentro del conjunto.

El conjunto que se muestra en la figura 12.7 (a) es un conjunto cerrado ya que contiene todos sus puntos límite. El conjunto en (b) es abierto, porque todos sus puntos son puntos interiores (o, de manera equivalente, no contiene ninguno de sus puntos límite). El conjunto en (c) no es ni abierto ni cerrado, ya que contiene algunos de sus puntos límite.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Determinación de abierto / cerrado, acotado / no acotado

Determina si el dominio de la función (f (x, y) = sqrt {1- frac {x ^ 2} 9- frac {y ^ 2} 4} ) está abierto, cerrado o ninguno, y si está acotado.

Solución

Este dominio de esta función se encontró en el Ejemplo 12.1.1 como (D = {(x, y) | frac {x ^ 2} 9+ frac {y ^ 2} 4 leq 1 } ), la región encerrado por la elipse ( frac {x ^ 2} 9+ frac {y ^ 2} 4 = 1 ). Dado que la región incluye el límite (indicado por el uso de " ( leq ) ''), el conjunto contiene todos sus puntos de límite y, por lo tanto, está cerrado. La región está delimitada como un disco de radio 4, centrado en el origen, contiene (D ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Determinación de abierto / cerrado, acotado / no acotado

Determina si el dominio de (f (x, y) = frac1 {x-y} ) está abierto, cerrado o ninguno.

Solución
Como no podemos dividir entre 0, encontramos que el dominio es (D = {(x, y) | x-y neq 0 } ). En otras palabras, el dominio es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) no en la línea (y = x ).

El dominio se muestra en la figura 12.8. Observe cómo podemos dibujar un disco abierto alrededor de cualquier punto del dominio que se encuentre completamente dentro del dominio, y también observe cómo los únicos puntos límite del dominio son los puntos en la línea (y = x ). Concluimos que el dominio es un conjunto abierto. El conjunto es ilimitado.

Limites

Recuerde una pseudodefinición del límite de una función de una variable: " ( lim limits_ {x to c} f (x) = L )" significa que si (x ) es "realmente cerca '' a (c ), entonces (f (x) ) está "muy cerca" a (L ). Una pseudodefinición similar se aplica a funciones de dos variables. Diremos que
[" lim límites _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) = L" ]
significa "si el punto ((x, y) ) está realmente cerca del punto ((x_0, y_0) ), entonces (f (x, y) ) está realmente cerca de (L ) . '' La definición formal se da a continuación.

Definición 80 Límite de una función de dos variables

Sea (S ) un conjunto abierto que contenga ((x_0, y_0) ), y sea (f ) una función de dos variables definidas en (S ), excepto posiblemente en ((x_0, y_0) ). El límite de (f (x, y) ) cuando ((x, y) ) se acerca a ((x_0, y_0) ) es (L ), denotado [ lim limits _ {(x, y ) to (x_0, y_0)} f (x, y) = L, ]
significa que dado cualquier ( epsilon> 0 ), existe ( delta> 0 ) tal que para todo ((x, y) neq (x_0, y_0) ), si ((x, y) ) está en el disco abierto centrado en ((x_0, y_0) ) con radio ( delta ), luego (| f (x, y) - L | < epsilon. )

El concepto detrás de la Definición 80 se esboza en la Figura 12.9. Dado ( epsilon> 0 ), encuentre ( delta> 0 ) tal que si ((x, y) ) es cualquier punto del disco abierto centrado en ((x_0, y_0) ) en el plano (x ) - (y ) con radio ( delta ), entonces (f (x, y) ) debe estar dentro de ( epsilon ) de (L ).

Calcular límites usando esta definición es bastante engorroso. El siguiente teorema nos permite evaluar los límites con mucha más facilidad.

TEOREMA 101 Propiedades límite básicas de funciones de dos variables

Sean (b ), (x_0 ), (y_0 ), (L ) y (K ) números reales, sea (n ) un entero positivo y (f ) y (g ) ser funciones con los siguientes límites:
[ lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) = L quad text { y } lim limits _ {(x, y) to ( x_0, y_0)} g (x, y) = K. ]
Se mantienen los siguientes límites.

  1. Constantes: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} b = b )
  2. Identidad: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} x = x_0; qquad lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} y = y_0 )
  3. Sumas / diferencias: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} big (f (x, y) pm g (x, y) big) = L pm K )
  4. Múltiplos escalares: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} b cdot f (x, y) = bL )
  5. Productos: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) cdot g (x, y) = LK )
  6. Cocientes: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) / g (x, y) = L / K ), ( (K neq 0) )
  7. Poderes: ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) ^ n = L ^ n )

Este teorema, combinado con los teoremas 2 y 3 de la sección 1.3, nos permite evaluar muchos límites.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): evaluar un límite

Evalúe los siguientes límites:
[1. lim limits _ {(x, y) to (1, pi)} frac yx + cos (xy) qquad qquad 2. lim limits _ {(x, y) to (0,0 )} frac {3xy} {x ^ 2 + y ^ 2} ]

Solución

  1. Los teoremas antes mencionados nos permiten evaluar simplemente (y / x + cos (xy) ) cuando (x = 1 ) y (y = pi ). Si se devuelve una forma indeterminada, debemos trabajar más para evaluar el límite; de lo contrario, el resultado es el límite. Por lo tanto
    [ begin {align *} lim limits _ {(x, y) to (1, pi)} frac yx + cos (xy) & = frac pi {1} + cos pi & = pi -1. end {align *} ]
  2. Intentamos evaluar el límite sustituyendo 0 por (x ) y (y ), pero el resultado es la forma indeterminada " (0/0 )". Para evaluar este límite, debemos "hacer más trabajo ”, pero aún no hemos aprendido qué“ tipo ”de trabajo hacer. Por lo tanto, aún no podemos evaluar este límite.

Al tratar con funciones de una sola variable, también consideramos límites unilaterales y establecimos

[ lim limits_ {x to c} f (x) = L quad text {si, y solo si,} quad lim limits_ {x to c ^ +} f (x) = L quad textbf {y} quad lim limits_ {x to c ^ -} f (x) = L. ]

Es decir, el límite es (L ) si y solo si (f (x) ) se acerca a (L ) cuando (x ) se acerca a (c ) desde cualquiera dirección, la izquierda o la derecha.

En el plano, hay infinitas direcciones desde las cuales ((x, y) ) podría acercarse a ((x_0, y_0) ). De hecho, no tenemos que limitarnos a acercarnos a ((x_0, y_0) ) desde una dirección particular, sino que podemos acercarnos a ese punto a lo largo de un camino que no es una línea recta. Es posible llegar a diferentes valores límite acercándose a ((x_0, y_0) ) a lo largo de diferentes caminos. Si esto sucede, decimos que ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) ) no existe (esto es análogo a los límites izquierdo y derecho de las funciones de una sola variable no son iguales).

Nuestros teoremas nos dicen que podemos evaluar la mayoría de los límites de manera bastante simple, sin preocuparnos por los caminos. Cuando surgen formas indeterminadas, el límite puede existir o no. Si existe, puede ser difícil probar esto, ya que debemos mostrar que se obtiene el mismo valor límite independientemente de la ruta elegida. El caso en el que el límite no existe es a menudo más fácil de tratar, ya que a menudo podemos elegir dos caminos a lo largo de los cuales el límite es diferente.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Mostrar límites no existen

  1. Mostrar ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac {3xy} {x ^ 2 + y ^ 2} ) no existe al encontrar los límites a lo largo de las líneas (y = mx ).
  2. Mostrar ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac { sin (xy)} {x + y} ) no existe al encontrar el límite a lo largo de la ruta (y = - sin x ).

Solución

  1. Evaluar ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac {3xy} {x ^ 2 + y ^ 2} ) a lo largo de las líneas (y = mx ) significa reemplazar todos (y ) 's con (mx ) y evaluando el límite resultante:
    [ begin {align *} lim limits _ {(x, mx) to (0,0)} frac {3x (mx)} {x ^ 2 + (mx) ^ 2} & = lim límites_ {x a 0} frac {3mx ^ 2} {x ^ 2 (m ^ 2 + 1)} & = lim límites_ {x a 0} frac {3m} {m ^ 2 + 1} & = frac {3m} {m ^ 2 + 1}. End {align *} ]
    Si bien el límite existe para cada elección de (m ), obtenemos un diferente límite para cada elección de (m ). Es decir, a lo largo de diferentes líneas obtenemos diferentes valores límite, es decir la el límite no existe.
  2. Sea (f (x, y) = frac { sin (xy)} {x + y} ). Vamos a demostrar que ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} f (x, y) ) no existe al encontrar el límite a lo largo de la ruta (y = - sin X). Primero, sin embargo, considere los límites encontrados a lo largo de las líneas (y = mx ) como se hizo anteriormente.
    [ begin {align *} lim limits _ {(x, mx) to (0,0)} frac { sin big (x (mx) big)} {x + mx} & = lim limits_ {x to 0} frac { sin (mx ^ 2)} {x (m + 1)} & = lim limits_ {x to 0} frac { sin (mx ^ 2)} {x} cdot frac1 {m + 1}. End {align *} ]

    Al aplicar la regla de L'H ^ opital, podemos mostrar que este límite es 0 excepto cuando (m = -1 ), es decir, a lo largo de la línea (y = -x ). Esta línea no está en el dominio de (f ), por lo que hemos encontrado el siguiente hecho: a lo largo de cada línea (y = mx ) en el dominio de (f ), ( lim limits _ {( x, y) to (0,0)} f (x, y) = 0 ).

    Ahora considere el límite a lo largo de la ruta (y = - sin x ): [ lim limits _ {(x, - sin x) to (0,0)} frac { sin big (- x sin x big)} {x- sin x} = lim limits_ {x to0} frac { sin big (-x sin x big)} {x- sin x} ] Ahora aplique la regla de L'H ^ opital dos veces: [ begin {align *} quad & = lim limits_ {x to 0} frac { cos big (-x sin x big) (- sin xx cos x)} {1- cos x} quad left ( text {"} = 0/0 text {''} right) & = lim limits_ {x to 0} frac {- sin big (-x sin x big) (- sin xx cos x) ^ 2 + cos big (-x sin x big) (- 2 cos x + x sin x)} { sin x} & = text {"2/0 ''} Rightarrow text {el límite no existe.} end {align *} ] Da un paso atrás y considere lo que acabamos de descubrir. A lo largo de cualquier línea (y = mx ) en el dominio de (f (x, y) ), el límite es 0. Sin embargo, a lo largo de la ruta (y = - sin x ), que se encuentra en el dominio de (f (x, y) ) para todo (x neq 0 ), el límite no existe. Dado que el límite no es el mismo en todos los caminos hacia ((0,0) ), decimos ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac { sin (xy )} {x + y} ) no existe.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar un límite

Sea (f (x, y) = frac {5x ^ 2y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} ). Encuentra ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} f (x, y). )

Solución
Es relativamente fácil mostrar que a lo largo de cualquier línea (y = mx ), el límite es 0. Esto no es suficiente para probar que existe el límite, como se demostró en el ejemplo anterior, pero nos dice que si el límite no existe existe entonces debe ser 0.

Para demostrar que el límite es 0, aplicamos la Definición 80. Sea ( epsilon> 0 ). Queremos encontrar ( delta> 0 ) tal que si ( sqrt {(x-0) ^ 2 + (y-0) ^ 2} < delta ), entonces (| f (x, y) -0 | < epsilon ).

Establezca ( delta < sqrt { epsilon / 5} ). Tenga en cuenta que ( left | frac {5y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} right | <5 ) para todo ((x, y) neq (0,0) ), y que si ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} < delta ), entonces (x ^ 2 < delta ^ 2 ).

Sea ( sqrt {(x-0) ^ 2 + (y-0) ^ 2} = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} < delta ). Considere (| f (x, y) -0 | ):
[ begin {align *}
| f (x, y) -0 | & = left | frac {5x ^ 2y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} -0 right |
& = left | x ^ 2 cdot frac {5y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} right |
& < delta ^ 2 cdot 5
& < frac { epsilon} {5} cdot 5
& = epsilon.
end {alinear *} ]
Entonces, si ( sqrt {(x-0) ^ 2 + (y-0) ^ 2} < delta ) entonces (| f (x, y) -0 | < epsilon ), que es lo que queríamos mostrar. Por tanto, ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac {5x ^ 2y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} = 0 ).

Continuidad

La definición 3 define lo que significa que una función de una variable sea continua. En resumen, significaba que la gráfica de la función no tenía rupturas, huecos, saltos, etc. Definimos continuidad para funciones de dos variables de manera similar a como lo hicimos para funciones de una variable.

Definición 81 Continuo

Sea una función (f (x, y) ) definida en un disco abierto (B ) que contiene el punto ((x_0, y_0) ).

  1. (f ) es continuo en ((x_0, y_0) ) si ( lim limits _ {(x, y) to (x_0, y_0)} f (x, y) = f (x_0, y_0) ).
  2. (f ) es continuo en (B ) si (f ) es continua en todos los puntos en (B ). Si (f ) es continuo en todos los puntos de ( mathbb {R} ^ 2 ), decimos que (f ) es continuo en todas partes.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Continuidad de una función de dos variables

Sea (f (x, y) = left { begin {array} {rl} frac { cos y sin x} {x} & x neq 0
cos y & x = 0
end {matriz} right. ). ¿Es (f ) continua en ((0,0) )? ¿Es (f ) continua en todas partes?

Solución

Para determinar si (f ) es continuo en ((0,0) ), necesitamos comparar ( lim limits _ {(x, y) con (0,0)} f (x, y ) ) a (f (0,0) ).

Aplicando la definición de (f ), vemos que (f (0,0) = cos 0 = 1 ).

Ahora consideramos el límite ( lim limits _ {(x, y) a (0,0)} f (x, y) ). Sustituir (0 ) por (x ) y (y ) en (( cos y sin x) / x ) devuelve la forma indeterminada "0/0", así que necesitamos hacer más trabajar para evaluar este límite.

Considere dos límites relacionados: ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} cos y ) y ( lim limits _ {(x, y) to (0,0) } frac { sin x} x ). El primer límite no contiene (x ), y dado que ( cos y ) es continuo, [ lim limits _ {(x, y) to (0,0)} cos y = lim límites_ {y a 0} cos y = cos 0 = 1. ]

El segundo límite no contiene (y ). Por el teorema 5 podemos decir
[ lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac { sin x} {x} = lim limits_ {x to 0} frac { sin x} {x } = 1. ]
Finalmente, el Teorema 101 de esta sección establece que podemos combinar estos dos límites de la siguiente manera:
[ begin {align *}
lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac { cos y sin x} {x} & = lim limits _ {(x, y) to (0,0) } ( cos y) left ( frac { sin x} {x} right)
& = left ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} cos y right) left ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac { sin x} {x} right)
&= (1)(1)\
&=1.
end {alinear *} ]

Hemos encontrado que ( lim limits _ {(x, y) to (0,0)} frac { cos y sin x} {x} = f (0,0) ), entonces ( f ) es continua en ((0,0) ).

Un análisis similar muestra que (f ) es continua en todos los puntos en ( mathbb {R} ^ 2 ). Siempre que (x neq0 ), podemos evaluar el límite directamente; cuando (x = 0 ), un análisis similar muestra que el límite es ( cos y ). Por tanto, podemos decir que (f ) es continua en todas partes. En la figura 12.10 se muestra una gráfica de (f ). Fíjate que no tiene descansos, saltos, etc.

El siguiente teorema es muy similar al teorema 8, que nos da formas de combinar funciones continuas para crear otras funciones continuas.

TEOREMA 102 Propiedades de las funciones continuas

Sea (f ) y (g ) continuos en un disco abierto (B ), sea (c ) un número real y (n ) un entero positivo. Las siguientes funciones son continuas en (B ).

  1. Sumas / Diferencias: (f pm g )
  2. Múltiplos constantes: (c cdot f )
  3. Productos: (f cdot g )
  4. Cocientes: (f / g ) (siempre que (g neq 0 ) en (B ))
  5. Poderes: (f , ^ n )
  6. Raíces: ( sqrt [n] {f} ) (si (n ) es par entonces (f geq 0 ) en (B ); si (n ) es impar, entonces verdadero para todos los valores de (f ) en (B ).)
  7. Composiciones: Ajuste las definiciones de (f ) y (g ) a: Sea (f ) continuo en (B ), donde el rango de (f ) en (B ) es (J ), y sea (g ) una función de una sola variable que es continua en (J ). Entonces (g circ f ), es decir, (g (f (x, y)) ), es continua en (B ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Establecer la continuidad de una función

Sea (f (x, y) = sin (x ^ 2 cos y) ). Demuestre que (f ) es continuo en todas partes.

Solución
Aplicaremos los teoremas 8 y 102. Sea (f_1 (x, y) = x ^ 2 ). Dado que (y ) no se usa realmente en la función, y los polinomios son continuos (según el teorema 8), concluimos que (f_1 ) es continuo en todas partes. Se puede hacer una afirmación similar sobre (f_2 (x, y) = cos y ). La parte 3 del teorema 102 establece que (f_3 = f_1 cdot f_2 ) es continua en todas partes, y la parte 7 del teorema establece que la composición del seno con (f_3 ) es continua: es decir, ( sin (f_3 ) = sin (x ^ 2 cos y) ) es continua en todas partes.

Funciones de tres variables

Las definiciones y teoremas dados en esta sección pueden extenderse de forma natural a definiciones y teoremas sobre funciones de tres (o más) variables. Cubrimos los conceptos clave aquí; algunos términos de las Definiciones 79 y 81 no se redefinen, pero sus significados análogos deben ser claros para el lector.

Definición 82 Bolas abiertas, límite, continuo

  1. Un bola abierta en ( mathbb {R} ^ 3 ) centrado en ((x_0, y_0, z_0) ) con radio (r ) es el conjunto de todos los puntos ((x, y, z) ) tales que ( sqrt {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 + (z-z_0) ^ 2} = r ).
  2. Sea (D ) un conjunto abierto en ( mathbb {R} ^ 3 ) que contenga ((x_0, y_0, z_0) ), y sea (f (x, y, z) ) una función de tres variables definidas en (D ), excepto posiblemente en ((x_0, y_0, z_0) ). El límite de (f (x, y, z) ) cuando ((x, y, z) ) se acerca a ((x_0, y_0, z_0) ) es (L ), denotado
    [ lim límites _ {(x, y, z) to (x_0, y_0, z_0)} f (x, y, z) = L, ]
    significa que dado cualquier ( epsilon> 0 ), hay un ( delta> 0 ) tal que para todo ((x, y, z) neq (x_0, y_0, z_0) ), si ((x, y, z) ) está en la bola abierta centrada en ((x_0, y_0, z_0) ) con radio ( delta ), entonces (| f (x, y, z) - L | < épsilon ).
  3. Sea (f (x, y, z) ) definido en una bola abierta (B ) que contiene ((x_0, y_0, z_0) ). (f ) es continuo en ((x_0, y_0, z_0) ) si ( lim límites _ {(x, y, z) to (x_0, y_0, z_0)} f (x, y, z) = f (x_0, y_0, z_0) ).

Estas definiciones también se pueden extender de forma natural para aplicarlas a funciones de cuatro o más variables. El teorema 102 también se aplica a la función de tres o más variables, lo que nos permite decir que la función [f (x, y, z) = frac {e ^ {x ^ 2 + y} sqrt {y ^ 2 + z ^ 2 + 3}} { sin (xyz) +5} ] es continuo en todas partes.

Al considerar funciones de una sola variable, estudiamos los límites, luego la continuidad y luego la derivada. En nuestro estudio actual de funciones multivariables, hemos estudiado límites y continuidad. En la siguiente sección estudiamos la derivación, que adquiere un ligero giro ya que estamos en un contexto multivariado.


Ver el vídeo: LÍMITES y CONTINUIDAD en CÁLCULO MULTIVARIABLE. APRÉNDELO en 10 MINUTOS (Agosto 2022).