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9.4: Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras (Parte 1)

9.4: Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras (Parte 1)


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Habilidades para desarrollar

  • Usa las propiedades de los ángulos
  • Usa las propiedades de los triángulos
  • Usa el teorema de Pitágoras

¡estar preparado!

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Resuelva: x + 3 + 6 = 11. Si omitió este problema, revise el Ejemplo 8.1.6.
  2. Resuelve: ( dfrac {a} {45} = dfrac {4} {3} ). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 6.5.3.
  3. Simplifica: ( sqrt {36 + 64} ). Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.12.4.

Hasta ahora en este capítulo, nos hemos centrado en la resolución de problemas verbales, que son similares a muchas aplicaciones del álgebra en el mundo real. En las próximas secciones, aplicaremos nuestras estrategias de resolución de problemas a algunos problemas geométricos comunes.

Usa las propiedades de los ángulos

¿Está familiarizado con la frase "hacer un 180"? Significa girar para que mires en la dirección opuesta. Viene del hecho de que la medida de un ángulo que forma una línea recta es de 180 grados. Vea la Figura ( PageIndex {1} ).

Figura ( PageIndex {1} )

Un ángulo está formado por dos rayos que comparten un punto final común. Cada rayo se llama un lado del ángulo y el punto final común se llama vértice. Un ángulo se nombra por su vértice. En la Figura ( PageIndex {2} ), ∠A es el ángulo con vértice en el punto A. La medida de ∠A se escribe m ∠ A.

Figura ( PageIndex {2} ) - ∠ A es el ángulo con vértice en el punto A.

Medimos ángulos en grados y usamos el símbolo ° para representar grados. Usamos la abreviatura m para el la medida de un ángulo. Entonces, si ∠A es 27 °, escribiríamos m ∠ A = 27.

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, entonces se llaman ángulos suplementarios. En la Figura ( PageIndex {3} ), cada par de ángulos es suplementario porque sus medidas suman 180 °. Cada ángulo es el suplemento del otro.

Figura ( PageIndex {3} ) - La suma de las medidas de los ángulos suplementarios es 180 °.

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, entonces los ángulos son ángulos complementarios. En la Figura ( PageIndex {4} ), cada par de ángulos es complementario, porque sus medidas suman 90 °. Cada ángulo es el complemento del otro.

Figura ( PageIndex {4} ) - La suma de las medidas de los ángulos complementarios es 90 °.

Definición: ángulos suplementarios y complementarios

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, entonces los ángulos son suplementarios.

Si ∠A y ∠B son suplementarios, entonces m∠A + m∠B = 180 °.

Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, entonces los ángulos son complementarios.

Si ∠A y ∠B son complementarios, entonces m∠A + m∠B = 90 °.

En esta sección y en la siguiente, se le presentarán algunas fórmulas geométricas comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación a resolver.

Además, dado que todas estas aplicaciones involucrarán formas geométricas, será útil dibujar una figura y luego etiquetarla con la información del problema. Incluiremos este paso en la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas.

CÓMO: UTILIZAR UNA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA APLICACIONES DE GEOMETRÍA

Paso 1. Leer problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja una figura y etiquétala con la información dada.

Paso 2. Identificar Qué estás buscando

Paso 3. Nombre lo que está buscando y elija una variable para representarlo.

Paso 4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.

Paso 5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.

Paso 6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.

Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

El siguiente ejemplo mostrará cómo puede utilizar la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría para responder preguntas sobre ángulos suplementarios y complementarios.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Un ángulo mide 40 °. Encuentre (a) su suplemento y (b) su complemento.

Solución

(a)

Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.el suplemento de un 40 °
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.sea ​​s = la medida del suplemento
Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada.$$ m ángulo A + m ángulo B = 180 $$
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} s + 40 & = 180 s & = 140 end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} 140 + 40 & stackrel {?} {=} 180 180 & = 180 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.El suplemento del ángulo de 40 ° es 140 °.

(B)

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.el complemento de un 40 °
Paso 3. Elija una variable para representarla.sea ​​c = la medida del complemento
Paso 4. Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada.$$ m ángulo A + m ángulo B = 90 $$
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} c + 40 & = 90 c & = 50 end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} 50 + 40 & stackrel {?} {=} 90 90 & = 90 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.El suplemento del ángulo de 40 ° es 50 °.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Un ángulo mide 25 °. Encuentre (a) su suplemento y (b) su complemento.

Responde una

155°

Respuesta b

65°

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Un ángulo mide 77 °. Encuentre (a) su suplemento y (b) su complemento.

Responde una

103°

Respuesta b

13°

¿Notaste que las palabras complementario y suplementario están en orden alfabético, al igual que 90 y 180 están en orden numérico?

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Dos ángulos son suplementarios. El ángulo más grande es 30 ° más que el ángulo más pequeño. Calcula la medida de ambos ángulos.

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.las medidas de ambos ángulos
Paso 3. Elija una variable para representarla.

sea ​​a = medida del ángulo más pequeño

a + 30 = medida del ángulo mayor

Paso 4. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} (a + 30) + a & = 180 2a + 30 & = 180 2a & = 150 a & = 75 quad Measure ; de; menor; ángulo a & + 30 medida cuádruple ; de; más grande ; ángulo 75 & + 30 & 105 end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} m ángulo A + m ángulo B & = 180 75 + 105 & stackrel {?} {=} 180 180 & = 180 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.Las medidas de los ángulos son 75 ° y 105 °.

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

Dos ángulos son suplementarios. El ángulo más grande es 100 ° más que el ángulo más pequeño. Calcula las medidas de ambos ángulos.

Respuesta

40°, 140°

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande es 40 ° más que el ángulo más pequeño. Calcula las medidas de ambos ángulos.

Respuesta

25°, 65°

Usa las propiedades de los triángulos

¿Qué sabes ya de los triángulos? El triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Los triángulos se nombran por sus vértices. El triángulo en la Figura ( PageIndex {5} ) se llama ΔABC, lea "triángulo ABC". Etiquetamos cada lado con una letra minúscula para que coincida con la letra mayúscula del vértice opuesto.

Figura ( PageIndex {5} ) - ΔABC tiene vértices A, B y C y lados a, by c.

Los tres ángulos de un triángulo están relacionados de una manera especial. La suma de sus medidas es 180 °.

[m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ° ]

Definición: suma de las medidas de los ángulos de un triángulo

Para cualquier ΔABC, la suma de las medidas de los ángulos es 180 °.

[m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ° ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 55 ° y 82 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.la medida del tercer ángulo en un triángulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.sea ​​x = la medida del ángulo
Paso 4. Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada.$$ m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 $$
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 55 + 82 + x & = 180 137 + x & = 180 x & = 43 end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} 55 + 82 + 43 & stackrel {?} {=} 180 180 & = 180 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.La medida del tercer ángulo es 43 grados.

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 31 ° y 128 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

Respuesta

21°

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

Un triángulo tiene ángulos de 49 ° y 75 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

Respuesta

56°

Triángulos rectángulos

Algunos triángulos tienen nombres especiales. Primero veremos el triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, que a menudo se marca con el símbolo que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Figura ( PageIndex {6} )

Si sabemos que un triángulo es un triángulo rectángulo, sabemos que un ángulo mide 90 °, por lo que solo necesitamos la medida de uno de los otros ángulos para determinar la medida del tercer ángulo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 28 °. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.la medida de un ángulo
Paso 3. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} x + 90 + 28 & = 180 x + 118 & = 180 x & = 62 end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} 180 & stackrel {?} {=} 90 + 28 + 62 180 & = 180 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.La medida del tercer ángulo es 62 °.

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 56 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

Respuesta

34°

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 45 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

Respuesta

45°

En los ejemplos hasta ahora, podríamos dibujar una figura y etiquetarla directamente después de leer el problema. En el siguiente ejemplo, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Entonces esperaremos para dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 20 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.las medidas de los tres ángulos
Paso 3. Elija una variable para representarla. Ahora dibuja la figura y etiquétala con la información dada.

Sea a = 1S t ángulo

a + 20 = 2Dakota del Norte ángulo

90 = 3rd ángulo (el ángulo recto)

Paso 4. Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada.$$ begin {split} m angle A + m angle B + m angle C & = 180 a + (a + 20) + 90 & = 180 end {split} $$
Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 2a + 110 & = 180 2a & = 70 a & = 35 quad first ; ángulo a + & 20 quad second ; ángulo textcolor {rojo} {35} + & 20 & 55 & 90 quad third ; ángulo end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} 35 + 55 + 90 & stackrel {?} {=} 180 180 & = 180 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.Los tres ángulos miden 35 °, 55 ° y 90 °.

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 50 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

Respuesta

20°, 70°, 90°

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 30 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

Respuesta

30°, 60°, 90°

Triángulos similares

Cuando usamos un mapa para planificar un viaje, un boceto para construir una estantería o un patrón para coser un vestido, estamos trabajando con figuras similares. En geometría, si dos figuras tienen exactamente la misma forma pero diferentes tamaños, decimos que son figuras similares. Uno es un modelo a escala del otro. Los lados correspondientes de las dos figuras tienen la misma razón y todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas.

Los dos triángulos de la Figura ( PageIndex {7} ) son similares. Cada lado de ΔABC es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de ΔXYZ y sus ángulos correspondientes tienen medidas iguales.

Figura ( PageIndex {7} ) - ΔABC y ΔXYZ son triángulos similares. Sus lados correspondientes tienen la misma razón y los ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Definición: propiedades de triángulos semejantes

Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y las longitudes de sus lados correspondientes están en la misma razón.

La longitud de un lado de un triángulo se puede denominar por sus puntos finales, dos vértices del triángulo. Por ejemplo, en ΔABC:

la longitud a también se puede escribir BC

la longitud b también se puede escribir AC

la longitud c también se puede escribir AB

A menudo usaremos esta notación cuando resolvemos triángulos similares porque nos ayudará a hacer coincidir las longitudes de los lados correspondientes.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

ΔABC y ΔXYZ son triángulos similares. Se muestran las longitudes de dos lados de cada triángulo. Calcula las longitudes del tercer lado de cada triángulo.

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.Se proporciona la figura.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.La longitud de los lados de triángulos similares
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea a = longitud del tercer lado de ΔABC, y = longitud del tercer lado ΔXYZ
Paso 4. Traducir.

Los triángulos son similares, por lo que los lados correspondientes están en la misma proporción. Entonces $$ dfrac {AB} {XY} = dfrac {BC} {YZ} = dfrac {AC} {XZ} $$ Como el lado AB = 4 corresponde al lado XY = 3, usaremos la razón ( dfrac {AB} {XY} = dfrac {4} {3} ) para encontrar los otros lados.

Tenga cuidado de hacer coincidir los lados correspondientes correctamente.

Paso 5. Resolver la ecuacion.$$ begin {split} 3a & = 4 (4.5) qquad ; 4y = 3 (3.2) 3a & = 18 qquad qquad 4y = 9.6 a & = 6 qquad qquad quad y = 2.4 end {split} $$
Paso 6. Cheque.$$ begin {split} dfrac {4} {3} & stackrel {?} {=} dfrac { textcolor {red} {6}} {4.5} qquad qquad qquad dfrac {4} {3} stackrel {?} {=} Dfrac {3.2} { textcolor {rojo} {2.4}} 4 (4.5) & stackrel {?} {=} 6 (3) qquad qquad ; 4 (2.4) stackrel {?} {=} 3.2 (3) 18 & = 18 ; marca de verificación qquad qquad quad ; 9,6 = 9,6 ; checkmark end {split} $$
Paso 7. Respuesta la pregunta.El tercer lado de ΔABC es 6 y el tercer lado de ΔXYZ es 2.4.

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

ΔABC es similar a ΔXYZ. Encontrar un.

Respuesta

a = 8

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

ΔABC es similar a ΔXYZ. Encuentra y.

Respuesta

y = 22,5


C | Fórmulas geométricas

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    Si está redistribuyendo todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:

  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Prealgebra 2e
    • Fecha de publicación: 11 de marzo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/c-geometric-formulas

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    Gráficos

    ¿Qué ciclista ganará la carrera? ¿Cuál será el tiempo de ganar? ¿Cuántos segundos separarán al ganador del subcampeón? Una forma de resumir la información de la carrera es creando un gráfico. En este capítulo, discutiremos los conceptos básicos de la representación gráfica. Las aplicaciones de los gráficos van mucho más allá de las carreras. Se utilizan para presentar información en casi todos los campos, incluidos la salud, los negocios y el entretenimiento.

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      9.4: Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras (Parte 1)

      Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

      Hasta ahora en este capítulo, nos hemos centrado en la resolución de problemas verbales, que son similares a muchas aplicaciones del álgebra en el mundo real. En las próximas secciones, aplicaremos nuestras estrategias de resolución de problemas a algunos problemas geométricos comunes.

      Usa las propiedades de los ángulos

      Un ángulo está formado por dos rayos que comparten un punto final común. Cada rayo se llama un lado del ángulo y el punto final común se llama vértice. Un ángulo se nombra por su vértice. En [enlace], & # 8736 A & # 8736 A es el ángulo con vértice en el punto A. UN . La medida de & # 8736 A & # 8736 A se escribe m & # 8736 A. m & # 8736 A.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 & # 176, 180 & # 176, entonces se llaman ángulos suplementarios. En [enlace], cada par de ángulos es suplementario porque sus medidas suman 180 & # 176. 180 y # 176. Cada ángulo es el suplemento del otro.

      La suma de las medidas de los ángulos suplementarios es 180 & # 176. 180 y # 176.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 & # 176, 90 & # 176, entonces los ángulos son ángulos complementarios. En [enlace], cada par de ángulos es complementario, porque sus medidas suman 90 & # 176. 90 y # 176. Cada ángulo es el complemento del otro.

      La suma de las medidas de los ángulos complementarios es 90 & # 176. 90 y # 176.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 & # 176, 180 & # 176, entonces los ángulos son suplementarios.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 & # 176, 90 & # 176, entonces los ángulos son complementarios.

      En esta sección y en la siguiente, se le presentarán algunas fórmulas geométricas comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación a resolver.

      Además, dado que todas estas aplicaciones involucrarán formas geométricas, será útil dibujar una figura y luego etiquetarla con la información del problema. Incluiremos este paso en la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas.

      1. Leer problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja una figura y etiquétala con la información dada.
      2. Identificar Qué estás buscando.
      3. Nombre lo que está buscando y elija una variable para representarlo.
      4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
      5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
      6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
      7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

      El siguiente ejemplo mostrará cómo puede utilizar la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría para responder preguntas sobre ángulos suplementarios y complementarios.


      9.4: Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras (Parte 1)

      Tenga en cuenta las muchas formas individuales en este edificio.

      Estamos rodeados de todo tipo de geometría. Los arquitectos utilizan la geometría para diseñar edificios. Los artistas crean imágenes vívidas a partir de formas geométricas de colores. Las señales de tráfico, los automóviles y el embalaje de los productos aprovechan las propiedades geométricas. En este módulo, comenzaremos considerando un enfoque formal para resolver problemas y lo usaremos para resolver una variedad de problemas comunes, incluida la toma de decisiones sobre el dinero. Luego exploraremos la geometría y la relacionaremos con situaciones cotidianas utilizando la estrategia de resolución de problemas que desarrollamos.

      Los resultados del aprendizaje

      Al final de esta sección, podrá:

      • Usa las propiedades de los ángulos
      • Usa las propiedades de los triángulos
      • Usa el teorema de Pitágoras

      Antes de comenzar con este módulo, pruebe algunos problemas de práctica y revise los conceptos anteriores.


      9.3 Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras

      Hasta ahora en este capítulo, nos hemos centrado en la resolución de problemas verbales, que son similares a muchas aplicaciones del álgebra en el mundo real. En las próximas secciones, aplicaremos nuestras estrategias de resolución de problemas a algunos problemas geométricos comunes.

      Usa las propiedades de los ángulos

      Un ángulo está formado por dos rayos que comparten un punto final común. Cada rayo se llama un lado del ángulo y el punto final común se llama vértice. Un ángulo se nombra por su vértice. En la figura 9.6, ∠ A ∠ A es el ángulo con vértice en el punto A. UN . La medida de ∠ A ∠ A se escribe m ∠ A. m ∠ A.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, 180 °, entonces se llaman ángulos suplementarios. En la figura 9.7, cada par de ángulos es suplementario porque sus medidas suman 180 °. 180 °. Cada ángulo es el suplemento del otro.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, 90 °, entonces los ángulos son ángulos complementarios. En la figura 9.8, cada par de ángulos es complementario, porque sus medidas suman 90 °. 90 °. Cada ángulo es el complemento del otro.

      Ángulos suplementarios y complementarios

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, 180 °, entonces los ángulos son suplementarios.

      Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, 90 °, entonces los ángulos son complementarios.

      En esta sección y en la siguiente, se le presentarán algunas fórmulas geométricas comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación a resolver.

      Además, dado que todas estas aplicaciones involucrarán formas geométricas, será útil dibujar una figura y luego etiquetarla con la información del problema. Incluiremos este paso en la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas.

      Cómo

      Utilice una estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas.

      1. Paso 1. Leer problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja una figura y etiquétala con la información dada.
      2. Paso 2. Identificar Qué estás buscando.
      3. Paso 3. Nombre lo que está buscando y elija una variable para representarlo.
      4. Paso 4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
      5. Paso 5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
      6. Paso 6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
      7. Paso 7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

      El siguiente ejemplo mostrará cómo puede utilizar la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría para responder preguntas sobre ángulos suplementarios y complementarios.

      Ejemplo 9.16

      Solución

      Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando.
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
      Paso 4. Traducir.
      Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada.


      Paso 5. Resolver la ecuacion.
      Paso 6. Cheque:

      Paso 7. Respuesta la pregunta.
      Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando.
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
      Paso 4. Traducir.
      Escriba la fórmula apropiada para la situación y sustitúyala en la información dada.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.
      Paso 6. Cheque:

      Paso 7. Respuesta la pregunta.

      ¿Notó que las palabras complementario y suplementario están en orden alfabético, al igual que 90 90 y 180 180 están en orden numérico?

      Ejemplo 9.17

      Solución

      Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando.
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
      El ángulo más grande es 30 ° más que el ángulo más pequeño.

      Paso 4. Traducir.
      Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.





      Paso 6. Cheque:


      Paso 7. Respuesta la pregunta.

      Usa las propiedades de los triángulos

      ¿Qué sabes ya de los triángulos? El triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Los triángulos se nombran por sus vértices. El triángulo de la figura 9.9 se llama Δ A B C, Δ A B C, se lee "triángulo ABC ABC". Etiquetamos cada lado con una letra minúscula para que coincida con la letra mayúscula del vértice opuesto.

      Los tres ángulos de un triángulo están relacionados de una manera especial. La suma de sus medidas es 180 °. 180 °.

      Suma de las medidas de los ángulos de un triángulo

      Ejemplo 9.18

      Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 55 ° 55 ° y 82 °. 82 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

      Solución

      Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando.
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
      Paso 4. Traducir.
      Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.

      Paso 6. Cheque:

      Paso 7. Respuesta la pregunta.

      Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 31 ° 31 ° y 128 °. 128 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

      Triángulos rectángulos

      Algunos triángulos tienen nombres especiales. Primero veremos el triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 ° 90 °, que a menudo se marca con el símbolo que se muestra en la Figura 9.10.

      Ejemplo 9.19

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 28 °. 28 °. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?

      Solución

      Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando.
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
      Paso 4. Traducir.
      Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.

      Paso 6. Cheque:

      Paso 7. Respuesta la pregunta.

      Pruébelo 9.37

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 56 °. 56 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

      Pruébelo 9.38

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 45 °. 45 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

      En los ejemplos hasta ahora, podríamos dibujar una figura y etiquetarla directamente después de leer el problema. En el siguiente ejemplo, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Entonces esperaremos para dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

      Ejemplo 9.20

      Solución

      Paso 1. Leer el problema.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando. las medidas de los tres ángulos
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.


      Ahora dibuja la figura y etiquétala con la información dada.



      Paso 4. Traducir.
      Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala en la fórmula.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.





      Paso 6. Cheque:

      Paso 7. Respuesta la pregunta.

      Pruébelo 9.39

      Pruébelo 9.40

      Triángulos similares

      Cuando usamos un mapa para planificar un viaje, un boceto para construir una estantería o un patrón para coser un vestido, estamos trabajando con figuras similares. En geometría, si dos figuras tienen exactamente la misma forma pero diferentes tamaños, decimos que son figuras similares. Uno es un modelo a escala del otro. Los lados correspondientes de las dos figuras tienen la misma razón y todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas.

      Propiedades de triángulos similares

      Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y las longitudes de sus lados correspondientes están en la misma proporción.

      La longitud de un lado de un triángulo se puede denominar por sus puntos finales, dos vértices del triángulo. Por ejemplo, en Δ A B C: Δ A B C:

      la longitud a también se puede escribir B C la longitud b también se puede escribir A C la longitud c también se puede escribir A B la longitud a también se puede escribir B C la longitud b también se puede escribir A C la longitud c también se puede escribir A B

      A menudo usaremos esta notación cuando resolvemos triángulos similares porque nos ayudará a unir las longitudes de los lados correspondientes.

      Ejemplo 9.21

      Solución

      Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. Se proporciona la figura.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando. La longitud de los lados de triángulos similares
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Dejar
      a = longitud del tercer lado de Δ A B C Δ A B C
      y = longitud del tercer lado Δ X Y Z Δ X Y Z
      Paso 4. Traducir.
      Los triángulos son similares, por lo que los lados correspondientes están en la misma proporción. Entonces

      Pruébelo 9.41

      Pruébelo 9.42

      Usa el teorema de Pitágoras

      El Teorema de Pitágoras es una propiedad especial de los triángulos rectángulos que se ha utilizado desde la antigüedad. Lleva el nombre del filósofo y matemático griego Pitágoras, que vivió alrededor del 500 500 a. C.

      El Teorema de Pitágoras dice cómo se relacionan entre sí las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

      El teorema de Pitágoras

      En cualquier triángulo rectángulo Δ A B C, Δ A B C,

      Para resolver problemas que usan el Teorema de Pitágoras, necesitaremos encontrar raíces cuadradas. En Simplificar y usar raíces cuadradas, introdujimos la notación m my la definimos de esta manera:

      Por ejemplo, encontramos que 25 25 es 5 5 porque 5 2 = 25. 5 2 = 25.

      Usaremos esta definición de raíces cuadradas para resolver la longitud de un lado en un triángulo rectángulo.

      Ejemplo 9.22

      Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa.

      Solución

      Paso 1. Leer el problema.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando. la longitud de la hipotenusa del triángulo
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea c = la longitud de la hipotenusa c = la longitud de la hipotenusa
      Paso 4. Traducir.
      Escribe la fórmula adecuada.
      Sustituir.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.
      Paso 6. Cheque:
      Paso 7. Respuesta la pregunta. La longitud de la hipotenusa es 5.

      Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa.

      Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa.

      Ejemplo 9.23

      Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto más largo.

      Solución

      Paso 1. Leer el problema.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando. La longitud del cateto del triángulo.
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea b = el cateto del triángulo b = el cateto del triángulo
      Lado de la etiqueta B
      Paso 4. Traducir.
      Escribe la fórmula adecuada. Sustituir.
      Paso 5. Resolver la ecuacion. Aislar el término variable. Usa la definición de raíz cuadrada.
      Simplificar.
      Paso 6. Cheque:
      Paso 7. Respuesta la pregunta. La longitud de la pierna es 12.

      Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud del cateto.

      Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud del cateto.

      Ejemplo 9.24

      Solución

      Paso 1. Leer el problema.
      Paso 2. Identificar Qué estás buscando. la distancia desde la esquina a la que se debe colocar el soporte
      Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Dejar X = la distancia desde la esquina
      Paso 4. Traducir.
      Escribe la fórmula adecuada.
      Sustituir.

      Paso 5. Resolver la ecuacion.
      Aislar la variable.
      Usa la definición de raíz cuadrada.
      Simplificar. Aproximada a la décima más cercana.
      Paso 6. Cheque:

      sí.
      Paso 7. Respuesta la pregunta. Kelvin debe sujetar cada pieza de madera aproximadamente a 7.1 "desde la esquina.

      Medios de comunicación

      ACCEDE A RECURSOS ADICIONALES EN LÍNEA

      Sección 9.3 Ejercicios

      La práctica hace la perfección

      Usa las propiedades de los ángulos

      En los siguientes ejercicios, encuentre ⓐ el suplemento y ⓑ el complemento del ángulo dado.

      En los siguientes ejercicios, usa las propiedades de los ángulos para resolver.

      Encuentre el suplemento de un ángulo de 135 ° 135 °.

      Encuentre el complemento de un ángulo de 38 ° 38 °.

      Encuentre el complemento de un ángulo de 27.5 ° 27.5 °.

      Encuentre el suplemento de un ángulo de 109.5 ° 109.5 °.

      Usa las propiedades de los triángulos

      En los siguientes ejercicios, resuelve usando las propiedades de los triángulos.

      Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 26 ° 26 ° y 98 °. 98 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

      Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 61 ° 61 ° y 84 °. 84 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

      Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 105 ° 105 ° y 31 °. 31 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

      Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 47 ° 47 ° y 72 °. 72 °. Calcula la medida del tercer ángulo.

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 33 °. 33 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 51 °. 51 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 22,5 °. 22,5 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?

      Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 36,5 °. 36,5 °. What is the measure of the other angle?

      The two smaller angles of a right triangle have equal measures. Find the measures of all three angles.

      The angles in a triangle are such that the measure of one angle is twice the measure of the smallest angle, while the measure of the third angle is three times the measure of the smallest angle. Find the measures of all three angles.

      Find the Length of the Missing Side

      On a map, San Francisco, Las Vegas, and Los Angeles form a triangle whose sides are shown in the figure below. The actual distance from Los Angeles to Las Vegas is 270 270 miles.

      Find the distance from Los Angeles to San Francisco.

      Find the distance from San Francisco to Las Vegas.

      Use the Pythagorean Theorem

      In the following exercises, use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

      Find the Length of the Missing Side

      In the following exercises, use the Pythagorean Theorem to find the length of the missing side. Round to the nearest tenth, if necessary.

      In the following exercises, solve. Approximate to the nearest tenth, if necessary.

      Pam wants to put a banner across her garage door to congratulate her son on his college graduation. The garage door is 12 12 feet high and 16 16 feet wide. How long should the banner be to fit the garage door?

      Chi is planning to put a path of paving stones through her flower garden. The flower garden is a square with sides of 10 10 feet. What will the length of the path be?

      Everyday Math

      Building a scale model Joe wants to build a doll house for his daughter. He wants the doll house to look just like his house. His house is 30 30 feet wide and 35 35 feet tall at the highest point of the roof. If the dollhouse will be 2.5 2.5 feet wide, how tall will its highest point be?

      Writing Exercises

      Write three of the properties of triangles from this section and then explain each in your own words.

      Explain how the figure below illustrates the Pythagorean Theorem for a triangle with legs of length 3 3 and 4 . 4 .

      Self Check

      ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

      ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

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        • Authors: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
        • Publisher/website: OpenStax
        • Book title: Prealgebra 2e
        • Publication date: Mar 11, 2020
        • Location: Houston, Texas
        • Book URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
        • Section URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-3-use-properties-of-angles-triangles-and-the-pythagorean-theorem

        © Jan 21, 2021 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution License 4.0 license. The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University.


        9.4 Use Properties of Rectangles, Triangles, and Trapezoids

        In this section, we’ll continue working with geometry applications. We will add some more properties of triangles, and we’ll learn about the properties of rectangles and trapezoids.

        Understand Linear, Square, and Cubic Measure

        When you measure your height or the length of a garden hose, you use a ruler or tape measure (Figure 9.13). A tape measure might remind you of a line—you use it for linear measure , which measures length. Inch, foot, yard, mile, centimeter and meter are units of linear measure.

        When you want to know how much tile is needed to cover a floor, or the size of a wall to be painted, you need to know the area , a measure of the region needed to cover a surface. Area is measured is square units . We often use square inches, square feet, square centimeters, or square miles to measure area. A square centimeter is a square that is one centimeter (cm) on each side. A square inch is a square that is one inch on each side (Figure 9.14).

        When you measure how much it takes to fill a container, such as the amount of gasoline that can fit in a tank, or the amount of medicine in a syringe, you are measuring volume . Volume is measured in cubic units such as cubic inches or cubic centimeters. When measuring the volume of a rectangular solid, you measure how many cubes fill the container. We often use cubic centimeters, cubic inches, and cubic feet. A cubic centimeter is a cube that measures one centimeter on each side, while a cubic inch is a cube that measures one inch on each side (Figure 9.16).

        Manipulative Mathematics

        Example 9.25

        For each item, state whether you would use linear, square, or cubic measure:

        ⓐ amount of carpeting needed in a room

        ⓒ amount of sand in a sandbox

        ⓔ amount of flour in a canister

        ⓕ size of the roof of a doghouse.

        Solución

        ⓐ You are measuring how much surface the carpet covers, which is the area. square measure
        ⓑ You are measuring how long the extension cord is, which is the length. linear measure
        ⓒ You are measuring the volume of the sand. cubic measure
        ⓓ You are measuring the length of the curtain rod. linear measure
        ⓔ You are measuring the volume of the flour. cubic measure
        ⓕ You are measuring the area of the roof. square measure

        Determine whether you would use linear, square, or cubic measure for each item.

        ⓐ amount of paint in a can ⓑ height of a tree ⓒ floor of your bedroom ⓓ diameter of bike wheel ⓔ size of a piece of sod ⓕ amount of water in a swimming pool

        Determine whether you would use linear, square, or cubic measure for each item.

        ⓐ volume of a packing box ⓑ size of patio ⓒ amount of medicine in a syringe ⓓ length of a piece of yarn ⓔ size of housing lot ⓕ height of a flagpole

        Many geometry applications will involve finding the perimeter or the area of a figure. There are also many applications of perimeter and area in everyday life, so it is important to make sure you understand what they each mean.

        Picture a room that needs new floor tiles. The tiles come in squares that are a foot on each side—one square foot. How many of those squares are needed to cover the floor? This is the area of the floor.

        Next, think about putting new baseboard around the room, once the tiles have been laid. To figure out how many strips are needed, you must know the distance around the room. You would use a tape measure to measure the number of feet around the room. This distance is the perimeter.


        Calculating Distances

        One of the most important application of Pythagoras’ Theorem is for calculating distances.

        On the right you can see two points in a coordinate system. We could measure their distance using a ruler, but that is not particularly accurate. Instead, let’s try using Pythagoras. Continuar

        We can easily count the horizontal distance along the X-axis, and the vertical distance along the y-eje. If we draw those two lines, we get a right-angled triangle .

        This method works for ninguna two points:

        The Distance Formula
        If you are given two points with coordinates ( x 1 , y 1 ) and ( x 2 , y 2 ), the distance between them is


        9.4: Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem (Part 1)

        Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

        So far in this chapter, we have focused on solving word problems, which are similar to many real-world applications of algebra. In the next few sections, we will apply our problem-solving strategies to some common geometry problems.

        An angle is formed by two rays that share a common endpoint. Each ray is called a side of the angle and the common endpoint is called the vertex . An angle is named by its vertex. In [link], ∠ A ∠ A is the angle with vertex at point A . UN . The measure of ∠ A ∠ A is written m ∠ A . m ∠ A .

        If the sum of the measures of two angles is 180° , 180° , then they are called supplementary angles . In [link], each pair of angles is supplementary because their measures add to 180° . 180° . Each angle is the supplement of the other.

        The sum of the measures of supplementary angles is 180° . 180° .

        If the sum of the measures of two angles is 90° , 90° , then the angles are complementary angles . In [link], each pair of angles is complementary, because their measures add to 90° . 90° . Each angle is the complement of the other.

        The sum of the measures of complementary angles is 90° . 90° .

        If the sum of the measures of two angles is 180° , 180° , then the angles are supplementary.

        In this section and the next, you will be introduced to some common geometry formulas. We will adapt our Problem Solving Strategy for Geometry Applications. The geometry formula will name the variables and give us the equation to solve.

        In addition, since these applications will all involve geometric shapes, it will be helpful to draw a figure and then label it with the information from the problem. We will include this step in the Problem Solving Strategy for Geometry Applications.

        Problem Solving Strategy for Geometry Applications.

        Paso 1. Read the problem and make sure you understand all the words and ideas. Draw a figure and label it with the given information.

        Paso 2. Identificar what you are looking for.

        Paso 3. Nombre what you are looking for and choose a variable to represent it.

        Paso 4. Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.

        Step 5. Solve the equation using good algebra techniques.

        Step 6. Cheque the answer in the problem and make sure it makes sense.

        Step 7. Respuesta the question with a complete sentence.

        The next example will show how you can use the Problem Solving Strategy for Geometry Applications to answer questions about supplementary and complementary angles.

        (b) We’ll find the complement in much the same way.

        Did you notice that the words complementary and supplementary are in alphabetical order just like 90 90 and 180 180 are in numerical order?

        What do you already know about triangles? Triangle have three sides and three angles. Triangles are named by their vertices. The triangle in [link] is called Δ A B C , Δ A B C , read ‘triangle ABC ABC ’. We label each side with a lower case letter to match the upper case letter of the opposite vertex.

        The three angles of a triangle are related in a special way. The sum of their measures is 180° . 180° .

        Right Triangles

        Some triangles have special names. We will look first at the right triangle . A right triangle has one 90° 90° angle, which is often marked with the symbol shown in [link].

        In the examples so far, we could draw a figure and label it directly after reading the problem. In the next example, we will have to define one angle in terms of another. So we will wait to draw the figure until we write expressions for all the angles we are looking for.

        Similar Triangles

        When we use a map to plan a trip, a sketch to build a bookcase, or a pattern to sew a dress, we are working with similar figures. In geometry, if two figures have exactly the same shape but different sizes, we say they are similar figures . One is a scale model of the other. The corresponding sides of the two figures have the same ratio, and all their corresponding angles are have the same measures.

        The length of a side of a triangle may be referred to by its endpoints, two vertices of the triangle. For example, in Δ A B C : Δ A B C :

        the length a can also be written B C the length b can also be written A C the length c can also be written A B the length a can also be written B C the length b can also be written A C the length c can also be written A B

        We will often use this notation when we solve similar triangles because it will help us match up the corresponding side lengths.

        Step 1. Read the problem. Draw the The figure is already provided. figure and label it with the given information. Step 2. Identify what you are looking for. the length of the sides of similar triangles Step 3. Name. Choose a variable to Let a = length of the third side of Δ A B C represent it. y = length of the third side of Δ X Y Z Step 4. Translate. The triangles are similar, so the corresponding sides are in the same ratio. A B X Y = B C Y Z = A C X Z Since the side A B = 4 corresponds to the side X Y = 3 we will use the ratio A B X Y = 4 3 to find the other sides. Be careful to match up corresponding sides correctly. To find a : To find y : Sides of large triangle A B X Y = B C Y Z A B X Y = A C X Z Sides of small triangle 4 3 = a 4.5 4 3 = 3.2 y Substitute. Step 5. Solve the equation. 3 a = 4 ( 4.5 ) 4 y = 3 ( 3.2 ) 3 a = 18 4 y = 9.6 a = 6 y = 2.4 Step 6. Check. 4 3 = ? 6 4.5 4 3 = ? 3.2 2.4 4 ( 4.5 ) = ? 6 ( 3 ) 4 ( 2.4 ) = ? 3.2 ( 3 ) 18 = 18 ✓ 9.6 = 9.6 ✓ Step 7. Answer the question. The third side of Δ A B C is 6 and the third side of Δ X Y Z is 2.4 . Step 1. Read the problem. Draw the The figure is already provided. figure and label it with the given information. Step 2. Identify what you are looking for. the length of the sides of similar triangles Step 3. Name. Choose a variable to Let a = length of the third side of Δ A B C represent it. y = length of the third side of Δ X Y Z Step 4. Translate. The triangles are similar, so the corresponding sides are in the same ratio. A B X Y = B C Y Z = A C X Z Since the side A B = 4 corresponds to the side X Y = 3 we will use the ratio A B X Y = 4 3 to find the other sides. Be careful to match up corresponding sides correctly. To find a : To find y : Sides of large triangle A B X Y = B C Y Z A B X Y = A C X Z Sides of small triangle 4 3 = a 4.5 4 3 = 3.2 y Substitute. Step 5. Solve the equation. 3 a = 4 ( 4.5 ) 4 y = 3 ( 3.2 ) 3 a = 18 4 y = 9.6 a = 6 y = 2.4 Step 6. Check. 4 3 = ? 6 4.5 4 3 = ? 3.2 2.4 4 ( 4.5 ) = ? 6 ( 3 ) 4 ( 2.4 ) = ? 3.2 ( 3 ) 18 = 18 ✓ 9.6 = 9.6 ✓ Step 7. Answer the question. The third side of Δ A B C is 6 and the third side of Δ X Y Z is 2.4 .

        Use the Pythagorean Theorem

        The Pythagorean Theorem is a special property of right triangles that has been used since ancient times. It is named after the Greek philosopher and mathematician Pythagoras who lived around 500 500 BCE.

        In a right triangle, the side opposite the 90° 90° angle is called the hypotenuse and each of the other sides is called a leg.

        The Pythagorean Theorem tells how the lengths of the three sides of a right triangle relate to each other. It states that in any right triangle, the sum of the squares of the two legs equals the square of the hypotenuse.

        In any right triangle Δ A B C , Δ A B C ,

        To solve problems that use the Pythagorean Theorem, we will need to find square roots. In Simplify and Use Square Roots we introduced the notation m m and defined it in this way:

        For example, we found that 25 25 is 5 5 because 5 2 = 25 . 5 2 = 25 .

        We will use this definition of square roots to solve for the length of a side in a right triangle.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the longer leg.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the leg.

        Use the Pythagorean Theorem to find the length of the leg.

        We encourage you to go to Appendix B to take the Self Check for this section.

        Access the following online resources for additional instruction and practice with the properties of angles and triangles.

        Conceptos clave

        • If two angles are supplementary, the sum of their measures is 180° 180° if two angles are complementary, the sum of their measures is 90° . 90° . See [link].
        • The sum of the measures of the angles of a triangle is 180° . 180° . See [link].
        • A right triangle is a triangle that has one 90° 90° angle. See [link].
        • If two triangles are similar, their corresponding sides have the same ratio, and the corresponding angles have the same measure. See [link].
        • In a right triangle, with legs a a and b b and hypotenuse c , a 2 + b 2 = c 2 . c , a 2 + b 2 = c 2 . This property is called the Pythagorean Theorem. See [link].

        Practice Makes Perfect

        Use the Properties of Angles In the following exercises, find (a) the supplement and (b) the complement of the given angle.


        Vocabulary

        Term Definición
        Acute Triangle An acute triangle has three angles that each measure less than 90 degrees.
        Obtuse Triangle An obtuse triangle is a triangle with one angle that is greater than 90 degrees.
        Right Triangle A right triangle is a triangle with one 90 degree angle.