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3.2: Soluciones en serie cerca de un punto ordinario I - Matemáticas

3.2: Soluciones en serie cerca de un punto ordinario I - Matemáticas



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Muchas aplicaciones físicas dan lugar a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden de la forma

begin {ecuación} label {eq: 3.2.1}
P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0,
end {ecuación}

donde (P_0 ), (P_1 ) y (P_2 ) son polinomios. Por lo general, las soluciones de estas ecuaciones no se pueden expresar en términos de funciones elementales familiares. Por lo tanto, consideraremos el problema de representar soluciones de eqref {eq: 3.2.1} con series.

Suponemos que (P_0 ), (P_1 ) y (P_2 ) no tienen factores comunes. Entonces decimos que (x_0 ) es un ( textcolor {azul} { mbox {punto ordinario}} ) de eqref {eq: 3.2.1} si (P_0 (x_0) ne0 ), o un ( textcolor {azul} { mbox {punto singular}} ) si (P_0 (x_0) = 0 ). Para la ecuación de Legendre,

begin {ecuación} label {eq: 3.2.2}
(1-x ^ 2) y '' - 2xy '+ alpha ( alpha + 1) y = 0,
end {ecuación}

(x_0 = 1 ) y (x_0 = -1 ) son puntos singulares y todos los demás puntos son puntos ordinarios. Para la ecuación de Bessel,

begin {eqnarray *}
x ^ 2y '' + xy '+ (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0,
end {eqnarray *}

(x_0 = 0 ) es un punto singular y todos los demás puntos son puntos ordinarios. Si (P_0 ) es una constante distinta de cero como en la ecuación de Airy,

begin {ecuación} label {eq: 3.2.3}
y '' - xy = 0,
end {ecuación}

entonces cada punto es un punto ordinario.

Dado que los polinomios son continuos en todas partes, (P_1 / P_0 ) y (P_2 / P_0 ) son continuos en cualquier punto (x_0 ) que no sea un cero de (P_0 ). Por lo tanto, si (x_0 ) es un punto ordinario de eqref {eq: 3.2.1} y (a_0 ) y (a_1 ) son números reales arbitrarios, entonces el problema del valor inicial

begin {ecuación} label {eq: 3.2.4}
P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0, quad y (x_0) = a_0, quad y' (x_0) = a_1
end {ecuación}

tiene una solución única en el intervalo abierto más grande que contiene (x_0 ) y no contiene ceros de (P_0 ). Para ver esto, reescribimos la ecuación diferencial en eqref {eq: 3.2.4} como

begin {eqnarray *}
y '' + {P_1 (x) sobre P_0 (x)} y '+ {P_2 (x) sobre P_0 (x)} y = 0
end {eqnarray *}

y aplique el Teorema ((2.1.1) ) con (p = P_1 / P_0 ) y (q = P_2 / P_0 ). En esta sección y en la siguiente consideramos el problema de representar soluciones de eqref {eq: 3.2.1} por series de potencias que convergen para valores de (x ) cerca de un punto ordinario (x_0 ).

Enunciamos el siguiente teorema sin demostración.

Teorema ( PageIndex {1} )

Suponga que (P_0 ), (P_1 ) y (P_2 ) son polinomios sin factor común y (P_0 ) no es idénticamente cero. Sea (x_0 ) un punto tal que (P_0 (x_0) ne0, ) y sea ( rho ) la distancia desde (x_0 ) al cero más cercano de (P_0 ) en el plano complejo. (Si (P_0 ) es constante, entonces ( rho = infty ).) Entonces cada solución de

begin {ecuación} label {eq: 3.2.5}
P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0
end {ecuación}

puede ser representado por una serie de potencias

begin {ecuación} label {eq: 3.2.6}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n
end {ecuación}

que converge al menos en el intervalo abierto ((x_0- rho, x_0 + rho) ). (Si (P_0 ) no es constante, de modo que ( rho ) es necesariamente finito, entonces el intervalo abierto de convergencia de eqref {eq: 3.2.6} puede ser mayor que ((x_0- rho, x_0 + rho). ) Si (P_0 ) es constante, entonces ( rho = infty ) y ((x_0- rho, x_0 + rho) = (- infty, infty) ). )

Prueba

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Llamamos a eqref {eq: 3.2.6} a ( textcolor {blue} { mbox {solución de serie de potencia en (x-x_0 )}} ) de eqref {eq: 3.2.5}. Ahora desarrollaremos un método para encontrar soluciones de series de potencia de eqref {eq: 3.2.5}. Para ello escribimos eqref {eq: 3.2.5} como (Ly = 0 ), donde

begin {ecuación} label {eq: 3.2.7}
Ly = P_0y '' + P_1y '+ P_2y.
end {ecuación}

El teorema ((3.2.1) ) implica que toda solución de (Ly = 0 ) en ((x_0- rho, x_0 + rho) ) se puede escribir como

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

Configuración de (x = x_0 ) en esta serie y en la serie

begin {eqnarray *}
y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-x_0) ^ {n-1}
end {eqnarray *}

muestra que (y (x_0) = a_0 ) y (y '(x_0) = a_1 ). Dado que cada problema de valor inicial eqref {eq: 3.2.4} tiene una solución única, esto significa que (a_0 ) y (a_1 ) pueden elegirse arbitrariamente, y (a_2 ), (a_3 ) , ( dots ) ​​están determinados únicamente por ellos.

Para encontrar (a_2 ), (a_3 ), ( dots ), escribimos (P_0 ), (P_1 ) y (P_2 ) en potencias de (x-x_0 ), sustituto

begin {eqnarray *}
y = sum ^ infty_ {n = 0} a_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

begin {eqnarray *}
y '= sum ^ infty_ {n = 1} na_n (x-x_0) ^ {n-1},
end {eqnarray *}

begin {eqnarray *}
y '' = sum ^ infty_ {n = 2} n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2}
end {eqnarray *}

en eqref {eq: 3.2.7}, y recopile los coeficientes de potencias similares de (x-x_0 ). Esto produce

begin {ecuación} label {eq: 3.2.8}
Ly = sum ^ infty_ {n = 0} b_n (x-x_0) ^ n,
end {ecuación}

donde ( {b_0, b_1, dots, b_n, dots } ) se expresan en términos de ( {a_0, a_1, dots, a_n, dots } ) y los coeficientes de ( P_0 ), (P_1 ) y (P_2 ), escritos en potencias de (x-x_0 ). Dado que eqref {eq: 3.2.8} y la parte (a) del Teorema ((3.1.6) ) implican que (Ly = 0 ) si y solo si (b_n = 0 ) para (n ge0 ), todas las soluciones de la serie de potencias en (x-x_0 ) de (Ly = 0 ) se pueden obtener eligiendo (a_0 ) y (a_1 ) arbitrariamente y calculando (a_2 ), (a_3 ), ( dots ), sucesivamente de modo que (b_n = 0 ) para (n ge0 ). Para simplificar, llamamos a la serie de potencias obtenida de esta manera ( textcolor {blue} { mbox {la serie de potencias en (x-x_0 ) para la solución general}} ) de (Ly = 0 ), sin identificar explícitamente el intervalo abierto de convergencia de la serie.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Sea (x_0 ) un número real arbitrario. Encuentra la serie de potencias en (x-x_0 ) para la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 3.2.9}
y '' + y = 0.
end {ecuación}

Respuesta

Aquí

begin {eqnarray *}
Ly = y '' + y.
end {eqnarray *}

Si

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

luego

begin {eqnarray *}
y '' = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2},
end {eqnarray *}

asi que

begin {eqnarray *}
Ly = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} + sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

Para recolectar coeficientes de potencias similares de (x-x_0 ), cambiamos el índice de suma en la primera suma. Esto produce

begin {eqnarray *}
Ly = sum ^ infty_ {n = 0} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} (x-x_0) ^ n + sum ^ infty_ {n = 0} a_n (x- x_0) ^ n = sum ^ infty_ {n = 0} b_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

con

begin {eqnarray *}
b_n = (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + a_n.
end {eqnarray *}

Por lo tanto (Ly = 0 ) si y solo si

begin {ecuación} label {eq: 3.2.10}
a_ {n + 2} = {- a_n over (n + 2) (n + 1)}, quad n ge0,
end {ecuación}

donde (a_0 ) y (a_1 ) son arbitrarios. Dado que los índices de los lados izquierdo y derecho de eqref {eq: 3.2.10} difieren en dos, escribimos eqref {eq: 3.2.10} por separado para (n ) par ((n = 2m) ) y (n ) impar ((n = 2m + 1) ). Esto produce

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & {- a_ {2m} over (2m + 2) (2m + 1)}, quad m ge0, label {eq: 3.2.11} \% dummy eqref {eq: 3.2.14}
a_ {2m + 3} & = & {- a_ {2m + 1} over (2m + 3) (2m + 2)}, quad m ge0. label {eq: 3.2.12}
end {eqnarray}

Calculando los coeficientes de las potencias pares de (x-x_0 ) de eqref {eq: 3.2.11} se obtiene

begin {eqnarray *}
a_2 & = & - {a_0 over2 cdot1}
a_4 & = & - {a_2 over4 cdot3} = - {1 over4 cdot3} left (- {a_0 over2 cdot1} right) = {a_0 over4 cdot3 cdot2 cdot1},
a_6 & = & - {a_4 over6 cdot5} = - {1 over6 cdot5} left ({a_0 over4 cdot3 cdot2 cdot1} right) = - {a_0 over6 cdot5 cdot4 cdot3 cdot 2 cdot1},
end {eqnarray *}

y en general,

begin {ecuación} label {eq: 3.2.13}
a_ {2m} = (- 1) ^ m {a_0 over (2m)!} ; , quad m ge0.
end {ecuación}

Calculando los coeficientes de las potencias impares de (x-x_0 ) de eqref {eq: 3.2.12} se obtiene

begin {eqnarray *}
a_3 & = & - {a_1 over3 cdot2}
a_5 & = & - {a_3 over5 cdot4} = - {1 over5 cdot4} left (- {a_1 over3 cdot2} right) = {a_1 over5 cdot4 cdot3 cdot2},
a_7 & = & - {a_5 over7 cdot6} = - {1 over7 cdot6} left ({a_1 over5 cdot4 cdot3 cdot2} right) = - {a_1 over7 cdot6 cdot5 cdot4 cdot 3 cdot2},
end {eqnarray *}

y en general,

begin {ecuación} label {eq: 3.2.14}
a_ {2m + 1} = {(- 1) ^ ma_1 over (2m + 1)!} quad m ge0.
end {ecuación}

Por tanto, la solución general de eqref {eq: 3.2.9} se puede escribir como

begin {eqnarray *}
y = sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m} (x-x_0) ^ {2m} + sum_ {m = 0} ^ infty a_ {2m + 1} (x-x_0) ^ {2m +1},
end {eqnarray *}

o, de eqref {eq: 3.2.13} y eqref {eq: 3.2.14}, como

begin {ecuación} label {eq: 3.2.15}
y = a_0 sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m} over (2m)!} + a_1 sum_ {m = 0} ^ infty (- 1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m + 1} over (2m + 1)!}.
end {ecuación}

Si recordamos del cálculo que

begin {eqnarray *}
sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m} over (2m)!} = cos (x-x_0) quad mbox {y} quad sum_ {m = 0} ^ infty (-1) ^ m {(x-x_0) ^ {2m + 1} over (2m + 1)!} = sin (x-x_0),
end {eqnarray *}

entonces eqref {eq: 3.2.15} se convierte en

begin {eqnarray *}
y = a_0 cos (x-x_0) + a_1 sin (x-x_0),
end {eqnarray *}

que debería parecer familiar.

Ecuaciones como eqref {eq: 3.2.10}, eqref {eq: 3.2.11} y eqref {eq: 3.2.12}, que definen un coeficiente dado en la secuencia ( {a_n } ) en términos de uno o más coeficientes con índices menores se llaman ( textcolor {blue} { mbox {relaciones de recurrencia}} ). Cuando usamos una relación de recurrencia para calcular los términos de una secuencia, estamos calculando ( textcolor {azul} { mbox {recursivamente}} ).

En el resto de esta sección consideramos el problema de encontrar soluciones de series de potencias en (x-x_0 ) para ecuaciones de la forma

begin {ecuación} label {eq: 3.2.16}
left (1+ alpha (x-x_0) ^ 2 right) y '' + beta (x-x_0) y '+ gamma y = 0.
end {ecuación}

Muchas ecuaciones importantes que surgen en las aplicaciones tienen esta forma con (x_0 = 0 ), incluida la ecuación eqref {eq: 3.2.2} de Legendre, la ecuación eqref {eq: 3.2.3} de Airy, la ecuación de Chebyshev,

begin {eqnarray *}
(1-x ^ 2) y '' - xy '+ alpha ^ 2 y = 0,
end {eqnarray *}

y la ecuación de Hermite,

begin {eqnarray *}
y '' - 2xy '+ 2 alpha y = 0.
end {eqnarray *}

Ya que

begin {eqnarray *}
P_0 (x) = 1 + alpha (x-x_0) ^ 2
end {eqnarray *}

en eqref {eq: 3.2.16}, el punto (x_0 ) es un punto ordinario de eqref {eq: 3.2.16}, y el teorema ((3.2.1) ) implica que las soluciones de eqref {eq: 3.2.16} se puede escribir como series de potencias en (x-x_0 ) que convergen en el intervalo ((x_0-1 / sqrt | alpha |, x_0 + 1 / sqrt | alpha |) ) si ( alpha ne0 ), o en ((- infty, infty) ) si ( alpha = 0 ). Veremos que los coeficientes de estas series de potencias se pueden obtener mediante métodos similares al utilizado en el Ejemplo ((3.2.1) ).

Para simplificar la búsqueda de los coeficientes, introducimos alguna notación para los productos:

begin {eqnarray *}
prod ^ s_ {j = r} b_j = b_rb_ {r + 1} cdots b_s quad mbox {if} quad s ge r.
end {eqnarray *}

Por lo tanto,

begin {eqnarray *}
prod ^ 7_ {j = 2} b_j = b_2b_3b_4b_5b_6b_7,
end {eqnarray *}

begin {eqnarray *}
prod ^ 4_ {j = 0} (2j + 1) = (1) (3) (5) (7) (9) = 945,
end {eqnarray *}

y

begin {eqnarray *}
prod ^ 2_ {j = 2} j ^ 2 = 2 ^ 2 = 4.
end {eqnarray *}

Definimos

begin {eqnarray *}
prod ^ s_ {j = r} b_j = 1 quad mbox {if} quad s end {eqnarray *}

no importa cuál sea la forma de (b_j ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentre la serie de potencias en (x ) para la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 3.2.17}
(1 + 2x ^ 2) y '' + 6xy '+ 2y = 0.
end {ecuación}

Respuesta

Aquí

begin {eqnarray *}
Ly = (1 + 2x ^ 2) y '' + 6xy '+ 2y.
end {eqnarray *}

Si

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n
end {eqnarray *}

luego

begin {eqnarray *}
y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_nx ^ {n-1} quad mbox {y} quad y' '= sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2},
end {eqnarray *}

asi que

begin {eqnarray *}
Ly & = & (1 + 2x ^ 2) sum ^ infty_ {n = 2} n (n-1) a_nx ^ {n-2} + 6x sum ^ infty_ {n = 1} na_nx ^ {n- 1} +2 sum ^ infty_ {n = 0} a_nx ^ n
& = & sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2} + sum_ {n = 0} ^ infty left [2n (n-1) + 6n + 2 right] a_nx ^ n
& = & sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2} +2 sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) ^ 2a_nx ^ n.
end {eqnarray *}

Para recopilar coeficientes de (x ^ n ), cambiamos el índice de suma en la primera suma. Esto produce

begin {eqnarray *}
Ly = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + 2 sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) ^ 2a_nx ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty b_nx ^ n,
end {eqnarray *}

con

begin {eqnarray *}
b_n = (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} +2 (n + 1) ^ 2a_n, quad n ge0.
end {eqnarray *}

Para obtener soluciones de eqref {eq: 3.2.17}, establecemos (b_n = 0 ) para (n ge0 ). Esto es equivalente a la relación de recurrencia

begin {ecuación} label {eq: 3.2.18}
a_ {n + 2} = - 2 {n + 1 sobre n + 2} a_n, quad n ge0.
end {ecuación}

Dado que los índices de la izquierda y la derecha difieren en dos, escribimos eqref {eq: 3.2.18} por separado para (n = 2m ) y (n = 2m + 1 ), como en el Ejemplo ((3.2 .1) ). Esto produce

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & - 2 {2m + 1 over2m + 2} a_ {2m} = - {2m + 1 over m + 1} a_ {2m}, quad m ge0, label { eq: 3.2.19}
a_ {2m + 3} & = & - 2 {2m + 2 over2m + 3} a_ {2m + 1} = - 4 {m + 1 over2m + 3} a_ {2m + 1}, quad m ge0 . label {eq: 3.2.20}
end {eqnarray}

Calculando los coeficientes de potencias pares de (x ) de eqref {eq: 3.2.19} se obtiene

begin {eqnarray *}
a_2 & = & - {1 over1} a_0,
a_4 & = & - {3 over2} a_2 = left (- {3 over2} right) left (- {1 over1} right) a_0 = {1 cdot3 over1 cdot2} a_0,
a_6 & = & - {5 over3} a_4 = - {5 over3} left (1 cdot3 over1 cdot2 right) a_0 = - {1 cdot3 cdot5 over1 cdot2 cdot3} a_0,
a_8 & = & - {7 over4} a_6 = - {7 over4} left (- {1 cdot3 cdot5 over1 cdot2 cdot3} right) a_0 = {1 cdot3 cdot5 cdot7 over1 cdot2 cdot3 cdot4} a_0.
end {eqnarray *}

En general,

begin {ecuación} label {eq: 3.2.21}
a_ {2m} = (- 1) ^ m { prod_ {j = 1} ^ m (2j-1) over m!} a_0, quad m ge0.
end {ecuación}

(Tenga en cuenta que eqref {eq: 3.2.21} es correcto para (m = 0 ) porque definimos ( prod_ {j = 1} ^ 0b_j = 1 ) para cualquier (b_j ).)

Calculando los coeficientes de potencias impares de (x ) de eqref {eq: 3.2.20} se obtiene

begin {eqnarray *}
a_3 & = & - 4 , {1 over3} a_1,
a_5 & = & - 4 , {2 over5} a_3 = -4 , {2 over5} left (-4 {1 over3} right) a_1 = 4 ^ 2 {1 cdot2 over3 cdot5} a_1,
a_7 & = & - 4 , {3 over7} a_5 = -4 , {3 over7} left (4 ^ 2 {1 cdot2 over3 cdot5} right) a_1 = -4 ^ 3 {1 cdot2 cdot3 over3 cdot5 cdot7} a_1,
a_9 & = & - 4 , {4 over9} a_7 = -4 , {4 over9} left (4 ^ 3 {1 cdot2 cdot3 over3 cdot5 cdot7} right) a_1 = 4 ^ 4 {1 cdot2 cdot3 cdot4 over3 cdot5 cdot7 cdot9} a_1.
end {eqnarray *}

En general,

begin {ecuación} label {eq: 3.2.22}
a_ {2m + 1} = {(- 1) ^ m4 ^ m m! over prod_ {j = 1} ^ m (2j + 1)} a_1, quad m ge0.
end {ecuación}

De eqref {eq: 3.2.21} y eqref {eq: 3.2.22},

begin {eqnarray *}
y = a_0 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m { prod_ {j = 1} ^ m (2j-1) over m!} x ^ {2m}
+ a_1 sum ^ infty_ {m = 0} (- 1) ^ m {4 ^ mm! over prod_ {j = 1} ^ m (2j + 1)} x ^ {2m + 1}.
end {eqnarray *}

es la serie de potencias en (x ) para la solución general de eqref {eq: 3.2.17}. Dado que (P_0 (x) = 1 + 2x ^ 2 ) no tiene ceros reales, el teorema ((2.1.1) ) implica que toda solución de eqref {eq: 3.2.17} está definida en (( - infty, infty) ). Sin embargo, dado que (P_0 ( pm i / sqrt2) = 0 ), el teorema ((3.2.1) ) implica solo que la serie de potencias converge en ((- 1 / sqrt2,1 / sqrt2 ) ) para cualquier elección de (a_0 ) y (a_1 ).

Los resultados de los Ejemplos ((3.2.1) ) y ((3.2.2) ) son consecuencia del siguiente teorema general.

Teorema ( PageIndex {2} )

Los coeficientes ( {a_n } ) en cualquier solución (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) de

begin {ecuación} label {eq: 3.2.23}
left (1+ alpha (x-x_0) ^ 2 right) y '' + beta (x-x_0) y '+ gamma y = 0
end {ecuación}

satisfacer la relación de recurrencia

begin {ecuación} label {eq: 3.2.24}
a_ {n + 2} = - {p (n) over (n + 2) (n + 1)} a_n, quad n ge0,
end {ecuación}

donde

begin {ecuación} label {eq: 3.2.25}
p (n) = alpha n (n-1) + beta n + gamma.
end {ecuación}

Además, los coeficientes de las potencias pares e impares de (x-x_0 ) se pueden calcular por separado como

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & - {p (2m) over (2m + 2) (2m + 1)} a_ {2m}, quad m ge0 label {eq: 3.2.26}
a_ {2m + 3} & = & - {p (2m + 1) over (2m + 3) (2m + 2)} a_ {2m + 1}, quad m ge0, label {eq: 3.2. 27}
end {eqnarray}

donde (a_0 ) y (a_1 ) son arbitrarios.

Prueba

Aquí

begin {eqnarray *}
Ly = left (1+ alpha (x-x_0 right) ^ 2) y '' + beta (x-x_0) y '+ gamma y.
end {eqnarray *}

Si

begin {eqnarray *}
y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n,
end {eqnarray *}

luego

begin {eqnarray *}
y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-x_0) ^ {n-1} quad mbox {y} quad y' '= sum_ {n = 2} ^ infty n ( n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2}.
end {eqnarray *}

Por eso,

begin {eqnarray *}
begin {array} {ccl}
Ly & = & displaystyle { sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} +
sum_ {n = 0} ^ infty left [ alpha
n (n-1)
+ beta n + gamma right] a_n (x-x_0) ^ n}
& = & Displaystyle { sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} + sum_ {n = 0} ^ infty
p (n) a_n (x-x_0) ^ n},
end {matriz}
end {eqnarray *}

de eqref {eq: 3.2.25}. Para recolectar coeficientes de potencias de (x-x_0 ), cambiamos el índice de suma en la primera suma. Esto produce

begin {eqnarray *}
Ly = sum_ {n = 0} ^ infty left [(n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + p (n) a_n right] (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

Por tanto, (Ly = 0 ) si y solo si

begin {eqnarray *}
(n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + p (n) a_n = 0, quad n ge0,
end {eqnarray *}

que es equivalente a eqref {eq: 3.2.24}. Escribiendo eqref {eq: 3.2.24} por separado para los casos donde (n = 2m ) y (n = 2m + 1 ) produce eqref {eq: 3.2.26} y eqref {eq: 3.2. 27}.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentre la serie de potencias en (x-1 ) para la solución general de

begin {ecuación} label {eq: 3.2.28}
(2 + 4x-2x ^ 2) y '' - 12 (x-1) y'-12y = 0.
end {ecuación}

Respuesta

Primero debemos escribir el coeficiente (P_0 (x) = 2 + 4x-x ^ 2 ) en potencias de (x-1 ). Para hacer esto, escribimos (x = (x-1) +1 ) en (P_0 (x) ) y luego expandimos los términos, recolectando potencias de (x-1 ); por lo tanto,

begin {eqnarray *}
2 + 4x-2x ^ 2 & = & 2 + 4 [(x-1) +1] -2 [(x-1) +1] ^ 2
& = & 4-2 (x-1) ^ 2.
end {eqnarray *}

Por lo tanto, podemos reescribir eqref {eq: 3.2.28} como

begin {eqnarray *}
left (4-2 (x-1) ^ 2 right) y '' - 12 (x-1) y'-12y = 0,
end {eqnarray *}

o equivalente,

begin {eqnarray *}
left (1- {1 over2} (x-1) ^ 2 right) y '' - 3 (x-1) y'-3y = 0.
end {eqnarray *}

Esto tiene la forma eqref {eq: 3.2.23} con ( alpha = -1 / 2 ), ( beta = -3 ) y ( gamma = -3 ). Por lo tanto, de eqref {eq: 3.2.25}

begin {eqnarray *}
p (n) = - {n (n-1) over2} -3n-3 = - {(n + 2) (n + 3) over2}.
end {eqnarray *}

Por tanto, el teorema ((3.2.2) ) implica que

begin {eqnarray *}
a_ {2m + 2} & = & - {p (2m) over (2m + 2) (2m + 1)} a_ {2m}
& = & {(2m + 2) (2m + 3) over2 (2m + 2) (2m + 1)} a_ {2m} = {2m + 3 over2 (2m + 1)} a_ {2m}, quad m ge0
a_ {2m + 3} & = & - {p (2m + 1) over (2m + 3) (2m + 2)} a_ {2m + 1}
& = & {(2m + 3) (2m + 4) over2 (2m + 3) (2m + 2)} a_ {2m + 1} = {m + 2 over2 (m + 1)} a_ {2m + 1}, quad m ge0.
end {eqnarray *}

Te dejamos mostrar que

begin {eqnarray *}
a_ {2m} = {2m + 1 over2 ^ m} a_0 quad mbox {y} quad a_ {2m + 1} = {m + 1 over2 ^ m} a_1, quad m ge0,
end {eqnarray *}

lo que implica que la serie de potencias en (x-1 ) para la solución general de eqref {eq: 3.2.28} es

begin {eqnarray *}
y = a_0 sum_ {m = 0} ^ infty {2m + 1 over2 ^ m} (x-1) ^ {2m} + a_1 sum_ {m = 0} ^ infty {m + 1 over2 ^ m} (x-1) ^ {2m + 1}.
end {eqnarray *}

En los ejemplos considerados hasta ahora pudimos obtener fórmulas cerradas para coeficientes en las soluciones de series de potencias. En algunos casos esto es imposible y debemos conformarnos con calcular un número finito de términos en la serie. El siguiente ejemplo ilustra esto con un problema de valor inicial.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Calcule (a_0 ), (a_1 ), ( dots ), (a_7 ) en la solución en serie (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) del Problema de valor inicial

begin {ecuación} label {eq: 3.2.29}
(1 + 2x ^ 2) y '' + 10xy '+ 8y = 0, quad y (0) = 2, quad y' (0) = - 3.
end {ecuación}

Respuesta

Dado que ( alpha = 2 ), ( beta = 10 ) y ( gamma = 8 ) en eqref {eq: 3.2.29},

begin {eqnarray *}
p (n) = 2n (n-1) + 10n + 8 = 2 (n + 2) ^ 2.
end {eqnarray *}

Por lo tanto

begin {eqnarray *}
a_ {n + 2} = - 2 {(n + 2) ^ 2 sobre (n + 2) (n + 1)} a_n = -2 {n + 2 sobre n + 1} a_n, quad n ge0.
end {eqnarray *}

Escribiendo esta ecuación por separado para (n = 2m ) y (n = 2m + 1 ) se obtiene

begin {eqnarray}
a_ {2m + 2} & = & - 2 {(2m + 2) over2m + 1} a_ {2m} = - 4 {m + 1 over2m + 1} a_ {2m}, quad m ge 0 etiqueta {eq: 3.2.30}
a_ {2m + 3} & = & - 2 {2m + 3 over2m + 2} a_ {2m + 1} = - {2m + 3 over m + 1} a_ {2m + 1}, quad m ge0 . label {eq: 3.2.31}
end {eqnarray}

Comenzando con (a_0 = y (0) = 2 ), calculamos (a_2, a_4 ) y (a_6 ) a partir de eqref {eq: 3.2.30}:

begin {eqnarray *}
a_2 & = & - 4 , {1 over1} 2 = -8,
a_4 & = & - 4 , {2 over3} (- 8) = {64 over3},
a_6 & = & - 4 , {3 over5} left (64 over3 right) = - {256 over5}.
end {eqnarray *}

Comenzando con (a_1 = y '(0) = - 3 ), calculamos (a_3, a_5 ) y (a_7 ) a partir de eqref {eq: 3.2.31}:

begin {eqnarray *}
a_3 & = & - {3 over1} (- 3) = 9,
a_5 & = & - {5 over2} 9 = - {45 over2},
a_7 & = & - {7 over3} left (- {45 over2} right) = {105 over2}.
end {eqnarray *}

Por lo tanto, la solución de eqref {eq: 3.2.29} es

begin {eqnarray *}
y = 2-3x-8x ^ 2 + 9x ^ 3 + {64 over3} x ^ 4- {45 over2} x ^ 5- {256 over5} x ^ 6 + {105 over2} x ^ 7 + cdots ; .
end {eqnarray *}

Calcular coeficientes recursivamente como en el Ejemplo ((3.2.4) ) es tedioso. Le recomendamos que haga este tipo de cálculo escribiendo un programa corto para implementar la relación de recurrencia apropiada en una calculadora o computadora. Es posible que desee hacer esto en
verificando ejemplos y haciendo ejercicios (identificados por el símbolo Cex) en este capítulo que requieren el cálculo numérico de los coeficientes en soluciones en serie. Obtuvimos las respuestas a estos ejercicios utilizando un software que puede producir respuestas en forma de números racionales. Sin embargo, es perfectamente aceptable, y más práctico, obtener sus respuestas en forma decimal. Siempre puede verificarlos convirtiendo nuestras fracciones a decimales.

Si está interesado en usar series para calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de una ecuación diferencial, entonces si existe o no una forma cerrada simple para los coeficientes es esencialmente irrelevante. Para propósitos computacionales, generalmente es más eficiente comenzar con los coeficientes dados (a_0 = y (x_0) ) y (a_1 = y '(x_0) ), calcular (a_2 ), ( dots ), (a_N ) de forma recursiva y luego calcular los valores aproximados de la solución a partir del polinomio de Taylor

begin {eqnarray *}
T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ Na_n (x-x_0) ^ n.
end {eqnarray *}

El truco consiste en decidir cómo elegir (N ) para que la aproximación (y (x) approx T_N (x) ) sea lo suficientemente precisa en el subintervalo del intervalo de convergencia que le interesa. En el ejercicios de cálculo en esta y las dos secciones siguientes, a menudo se le pedirá que obtenga la solución de un problema dado mediante la integración numérica con el software de su elección (consulte la Sección (3.1) ) para una breve discusión de uno de estos métodos), y comparar la solución así obtenida con las aproximaciones obtenidas con (T_N ) para varios valores de (N ). Este es un tipo de ejercicio típico de un libro de texto, diseñado para darle una idea de cómo la precisión de la aproximación (y (x) approx T_N (x) ) se comporta como una función de (N ) y el intervalo que usted estoy trabajando. En la vida real, elegiría uno u otro de los dos métodos (integración numérica o solución en serie). Si elige el método de solución en serie, entonces un procedimiento práctico para determinar un valor adecuado de (N ) es continuar aumentando (N ) hasta el máximo de (| T_N-T_ {N-1} | ) en el intervalo de interés está dentro del margen de error que está dispuesto a aceptar.

Al hacer problemas computacionales que requieren una solución numérica de ecuaciones diferenciales, debe elegir el procedimiento de integración numérica más preciso que admita su software y experimentar con el tamaño del paso hasta que esté seguro de que los resultados numéricos son lo suficientemente precisos para el problema en cuestión.


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