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Sección 3. 10 E: Ejercicios de derivadas de trigonometría inversa - Matemáticas

Sección 3. 10 E: Ejercicios de derivadas de trigonometría inversa - Matemáticas


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3.10: Ejercicios de derivadas de funciones de activación inversa

Ejercicio:

Para los siguientes ejercicios, usa la gráfica de (y = f (x) ) para

un. bosqueja la gráfica de (y = f ^ {- 1} (x) ), y

B. utilice la parte a. para estimar ((f ^ {- 1}) ′ (1) ).

261)

Respuesta:

un.

B. ((f ^ {- 1}) ′ (1) ~ 2 )

262)

263)

Respuesta:

un.

B. ((f ^ {- 1}) ′ (1) ~ −1 / sqrt {3} )

Para los siguientes ejercicios, use las funciones (y = f (x) ) para encontrar

un. ( frac {df} {dx} ) en (x = a ) y

B. (x = f ^ {- 1} (y). )

C. Luego use la parte b. para encontrar ( frac {df ^ {- 1}} {dy} ) en (y = f (a). )

264) (f (x) = 6x − 1, x = −2 )

265) (f (x) = 2x ^ 3−3, x = 1 )

Respuesta:

(a. 6
B. x = f ^ {- 1} (y) = ( frac {y + 3} {2}) ^ {1/3}
C. frac {1} {6} )

266) (f (x) = 9 − x ^ 2,0≤x≤3, x = 2 )

267) (f (x) = sin x, x = 0 )

Respuesta:

(a. 1, b. x = f ^ {- 1} (y) = sin ^ {- 1} y, c. 1 )

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre ((f ^ {- 1}) ′ (a) ).

268) (f (x) = x ^ 2 + 3x + 2, x≥ − 1, a = 2 )

269) (f (x) = x ^ 3 + 2x + 3, a = 0 )

Respuesta:

( frac {1} {5} )

270) (f (x) = x + sqrt {x}, a = 2 )

271) (f (x) = x− frac {2} {x}, x <0, a = 1 )

Respuesta:

frac {1} {3} )

272) (f (x) = x + sin x, a = 0 )

273) (f (x) = tan x + 3x ^ 2, a = 0 )

Respuesta:

(1)

Para cada una de las funciones dadas (y = f (x), )

un. encuentre la pendiente de la recta tangente a su función inversa (f ^ {- 1} ) en el punto indicado (P ), y

B. encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de (f ^ {- 1} ) en el punto indicado.

274) (f (x) = frac {4} {1 + x ^ 2}, P (2,1) )

275) (f (x) = sqrt {x − 4}, P (2,8) )

Respuesta:

(a. 4, segundo. y = 4x )

276) (f (x) = (x ^ 3 + 1) ^ 4, P (16,1) )

277) (f (x) = - x ^ 3 − x + 2, P (−8,2) )

Respuesta:

(a. - frac {1} {96}, b. y = - frac {1} {13} x + frac {18} {13} )

278) (f (x) = x ^ 5 + 3x ^ 3−4x − 8, P (−8,1) )

Para los siguientes ejercicios, encuentre ( frac {dy} {dx} ) para la función dada.

279) (y = sin ^ {- 1} (x ^ 2) )

Respuesta:

( frac {2x} { sqrt {1 − x ^ 4}} )

280) (y = cos ^ {- 1} ( sqrt {x}) )

281) (y = sec ^ {- 1} ( frac {1} {x}) )

Respuesta:

( frac {−1} { sqrt {1 − x ^ 2}} )

282) (y = sqrt {csc ^ {- 1} x} )

283) (y = (1+ tan ^ {- 1} x) ^ 3 )

Respuesta:

( frac {3 (1+ tan ^ {- 1} x) ^ 2} {1 + x ^ 2} )

284) (y = cos ^ {- 1} (2x) ⋅ sin ^ {- 1} (2x) )

285) (y = frac {1} { tan ^ {- 1} (x)} )

Respuesta:

( frac {−1} {(1 + x ^ 2) ( tan ^ {- 1} x) ^ 2} )

286) (y = sec ^ {- 1} (- x) )

287) (y = cot ^ {- 1} sqrt {4 − x ^ 2} )

Respuesta:

( frac {x} {(5 − x ^ 2) sqrt {4 − x ^ 2}} )

288) (y = x⋅ csc ^ {- 1} x )

Para los siguientes ejercicios, use los valores dados para encontrar ((f ^ {- 1}) ′ (a) ).

289) (f (π) = 0, f '(π) = - 1, a = 0 )

Respuesta:

(−1)

290) (f (6) = 2, f ′ (6) = frac {1} {3}, a = 2 )

291) (f ( frac {1} {3}) = - 8, f '( frac {1} {3}) = 2, a = −8 )

Respuesta:

( frac {1} {2} )

292) (f ( sqrt {3}) = frac {1} {2}, f '( sqrt {3}) = frac {2} {3}, a = frac {1} {2 } )

293) (f (1) = - 3, f '(1) = 10, a = −3 )

Respuesta:

( frac {1} {10} )

294) (f (1) = 0, f '(1) = - 2, a = 0 )

295) [T] La posición de un disco de hockey en movimiento después de (t ) segundos es (s (t) = tan ^ {- 1} t ) donde (s ) está en metros.

un. Encuentra la velocidad del disco de hockey en cualquier momento (t ).

B. Encuentra la aceleración del disco en cualquier momento (t ).

C. Evaluar a. y B. durante (t = 2,4 ) y (6 ) segundos.

D. ¿Qué conclusión se puede sacar de los resultados de c.?

Respuesta:

un. (v (t) = frac {1} {1 + t ^ 2} )
B. (a (t) = frac {−2t} {(1 + t ^ 2) ^ 2} )
C. ((a) v (2) = 0.2, v (4) = frac {1} {17}, v (6) = frac {1} {37}; (b) a (2) = - 0.16 , a (4) = - frac {8} {289}, a (6) = - frac {12} {1369} )
D. El disco de hockey desacelera / desacelera a los 2, 4 y 6 segundos.

296) [T] Un edificio de 225 pies de altura proyecta una sombra de varias longitudes (x ) a medida que pasa el día. Un ángulo de elevación (θ ) está formado por líneas desde la parte superior e inferior del edificio hasta la punta de la sombra, como se ve en la siguiente figura. Calcula la tasa de cambio del ángulo de elevación ( frac {dθ} {dx} ) cuando (x = 272 ) pies.

297) [T] Un poste mide 75 pies de alto. Se forma un ángulo (θ ) cuando se conectan cables de varias longitudes de (x ) pies desde el suelo hasta la parte superior del poste, como se muestra en la siguiente figura. Calcula la tasa de cambio del ángulo ( frac {dθ} {dx} ) cuando se conecta un cable de 90 pies de longitud.

Respuesta:

(- 0.0168 ) radianes por pie

298) [T] Una cámara de televisión a nivel del suelo está a 2000 pies de distancia de la plataforma de lanzamiento de un cohete espacial que está configurado para despegar verticalmente, como se ve en la siguiente figura. El ángulo de elevación de la cámara se puede encontrar mediante (θ = tan ^ {- 1} ( frac {x} {2000}) ), donde x es la altura del cohete. Encuentre la tasa de cambio del ángulo de elevación después del lanzamiento cuando la cámara y el cohete están separados por 5000 pies.

299) [T] Una sala de cine local con una pantalla de 30 pies de alto que está a 10 pies por encima del nivel de los ojos de una persona cuando está sentada tiene un ángulo de visión (θ ) (en radianes) dado por (θ = cot ^ { −1} frac {x} {40} −cot ^ {- 1} frac {x} {10} ),

donde (x ) es la distancia en pies de la pantalla de cine en la que está sentada la persona, como se muestra en la siguiente figura.

un. Encuentra ( frac {dθ} {dx} ).

B. Evalúa ( frac {dθ} {dx} ) para (x = 5,10,15, ) y 20.

C. Interprete los resultados en b ..

D. Evalúa ( frac {dθ} {dx} ) para (x = 25,30,35 ) y 40

mi. Interprete los resultados en d. ¿A qué distancia (x ) debería pararse la persona para maximizar su ángulo de visión?

Respuesta:

un. ( frac {dθ} {dx} = frac {10} {100 + x ^ 2} - frac {40} {1600 + x ^ 2} b. frac {18} {325}, frac { 9} {340}, frac {42} {4745}, 0 ) c. A medida que una persona se aleja de la pantalla, el ángulo de visión aumenta, lo que implica que a medida que se aleja, la visión de la pantalla se amplía. D. (- frac {54} {12905}, - frac {3} {500}, - frac {198} {29945}, - frac {9} {1360} e. A medida que la persona se mueve más allá de los 20 pies desde la pantalla, el ángulo de visión está disminuyendo La distancia óptima que la persona debe pararse para maximizar el ángulo de visión es de 20 pies.


Ver el vídeo: Derivatives of Inverse Trigonometric Functions (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Brantley

    Tienes toda la razón. En ella algo también es idea excelente, de acuerdo contigo.

  2. Lev

    coincidencia bastante accidental

  3. Offa

    Por supuesto. También estaba conmigo. Discutamos este tema.

  4. Akirr

    Creo que no tienes razón. Estoy seguro. Vamos a discutir. Escríbeme en PM, hablaremos.

  5. Arlen

    El final es genial!!!!!!!!!!!!!!!!!

  6. Necalli

    te visitaron simplemente excelente idea



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