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1.2E: Ejercicios para vectores en el espacio - Matemáticas

1.2E: Ejercicios para vectores en el espacio - Matemáticas



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1) Considere una caja rectangular con uno de los vértices en el origen, como se muestra en la siguiente figura. Si el punto (A (2,3,5) ) es el vértice opuesto al origen, entonces encuentra

un. las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y

B. la longitud de la diagonal de la caja determinada por los vértices (O ) y (A ).

Respuesta:
un. ((2,0,5), (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0), (0,3,5), (0,0,5) ) B. ( sqrt {38} )

2) Encuentra las coordenadas del punto (P ) y determina su distancia al origen.

Para los ejercicios 3 a 6, describe y representa gráficamente el conjunto de puntos que satisface la ecuación dada.

3) ((y − 5) (z − 6) = 0 )

Respuesta:
Una unión de dos planos: (y = 5 ) (un plano paralelo al plano (xz ) - plano) y (z = 6 ) (un plano paralelo al plano (xy ) -)

4) ((z − 2) (z − 5) = 0 )

5) ((y − 1) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 1 )

Respuesta:
Un cilindro de radio (1 ) centrado en la línea (y = 1, z = 1 )

6) ((x − 2) ^ 2 + (z − 5) ^ 2 = 4 )

7) Escribe la ecuación del plano que pasa por el punto ((1,1,1) ) que es paralelo al plano (xy ) -.

Respuesta:
(z = 1 )

8) Escribe la ecuación del plano que pasa por el punto ((1, −3,2) ) que es paralelo al plano (xz ) -.

9) Encuentra una ecuación del plano que pasa por los puntos ((1, −3, −2), (0,3, −2), ) y ((1,0, −2). )

Respuesta:
(z = −2 )

10) Encuentra una ecuación del plano que pasa por los puntos ((1,9,2), (1,3,6), ) y ((1, −7,8). )

Para los ejercicios 11-14, encuentre la ecuación de la esfera en forma estándar que satisfaga las condiciones dadas.

11) Centro (C (−1,7,4) ) y radio (4 )

Respuesta:
((x + 1) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 16 )

12) Centro (C (−4,7,2) ) y radio (6 )

13) Diámetro (PQ, ) donde (P (−1,5,7) ) y (Q (−5,2,9) )

Respuesta:
(x + 3) ^ 2 + (y − 3.5) ^ 2 + (z − 8) ^ 2 = dfrac {29} {4} )

14) Diámetro (PQ, ) donde (P (−16, −3,9) ) y (Q (−2,3,5) )

Para los ejercicios 15 y 16, encuentre el centro y el radio de la esfera con una ecuación en forma general dada.

15) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−4z + 3 = 0 )

Respuesta:
Centro (C (0,0,2) ) y radio (1 )

16) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−6x + 8y − 10z + 25 = 0 )

Para los ejercicios 17-20, exprese vector ( vecd {PQ} ) con el punto inicial en (P ) y el punto terminal en (Q )

(a. ) en forma de componente y

(b. ) utilizando vectores unitarios estándar.

17) (P (3,0,2) ) y (Q (−1, −1,4) )

Respuesta:
(a. vecd {PQ} = ⟨− 4, −1,2⟩ )
(b. vecd {PQ} = - 4 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

18) (P (0,10,5) ) y (Q (1,1, −3) )

19) (P (−2,5, −8) ) y (M (1, −7,4) ), donde (M ) es el punto medio del segmento de recta ( overline {PQ } )

Respuesta:
(a. vecd {PQ} = ⟨6, −24,24⟩ )
(b. vecd {PQ} = 6 hat { mathbf i} −24 hat { mathbf j} +24 hat { mathbf k} )

20) (Q (0,7, −6) ) y (M (−1,3,2) ), donde (M ) es el punto medio del segmento de línea ( overline {PQ} )

21) Encuentre el punto terminal (Q ) del vector ( vecd {PQ} = ⟨7, −1,3⟩ ) con el punto inicial en (P (−2,3,5). )

Respuesta:
(Q (5,2,8) )

22) Encuentra el punto inicial (P ) del vector ( vecd {PQ} = ⟨− 9,1,2⟩ ) con el punto terminal en (Q (10,0, −1). )

Para los ejercicios 23-26, use los vectores ( vecs a ) y ( vecs b ) dados para encontrar y expresar los vectores ( vecs a + vecs b, , 4 vecs a ) y (- 5 vecs a + 3 vecs b ) en forma de componente.

23) ( quad vecs a = ⟨− 1, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −7⟩ )

Respuesta:
( vecs a + vecs b = ⟨− 6,4, −3⟩, 4 vecs a = ⟨− 4, −8,16⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 10,28 , −41⟩ )

24) ( quad vecs a = ⟨3, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −9⟩ )

25) ( quad vecs a = - hat { mathbf k}, quad vecs b = - hat { mathbf i} )

Respuesta:
( vecs a + vecs b = ⟨− 1,0, −1⟩, 4 vecs a = ⟨0,0, −4⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 3,0, 5⟩ )

26) ( quad vecs a = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad vecs b = 2 hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

Para los ejercicios 27-30, se dan los vectores ( vecs u ) y ( vecs v ). Encuentra las magnitudes de los vectores ( vecs u− vecs v ) y (- 2 vecs u ).

27) ( quad vecs u = 2 hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} +4 hat { mathbf k}, quad vecs v = - hat { mathbf i } +5 hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

Respuesta:
( | vecs u− vecs v | = sqrt {38}, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {29} )

28) ( quad vecs u = hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, quad vecs v = hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

29) ( quad vecs u = ⟨2 cos t, −2 sin t, 3⟩, quad vecs v = ⟨0,0,3⟩, quad ) donde (t ) es un número real.

Respuesta:
( | vecs u− vecs v | = 2, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {13} )

30) ( quad vecs u = ⟨0,1, sinh t⟩, quad vecs v = ⟨1,1,0⟩, quad ) donde (t ) es un número real.

Para los ejercicios 31-36, encuentre el vector unitario en la dirección del vector dado ( vecs a ) y expreselo usando vectores unitarios estándar.

31) ( quad vecs a = 3 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

Respuesta:
( frac {3} {5} hat { mathbf i} - frac {4} {5} hat { mathbf j} )

32) ( quad vecs a = ⟨4, −3,6⟩ )

33) ( quad vecs a = vecd {PQ} ), donde (P (−2,3,1) ) y (Q (0, −4,4) )

Respuesta:
( frac { sqrt {62}} {31} hat { mathbf i} - frac {7 sqrt {62}} {62} hat { mathbf j} + frac {3 sqrt { 62}} {62} hat { mathbf k} )

34) ( quad vecs a = vecd {OP}, ) donde (P (−1, −1,1) )

35) ( quad vecs a = vecs u− vecs v + vecs w, ) donde ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad ) y ( vecs w = - hat { mathbf i} + hat { mathbf j} +3 hat { mathbf k} )

Respuesta:
(- frac { sqrt {6}} {3} hat { mathbf i} + frac { sqrt {6}} {6} hat { mathbf j} + frac { sqrt {6 }} {6} hat { mathbf k} )

36) ( quad vecs a = 2 vecs u + vecs v− vecs w, quad ) donde ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf j} quad ) y ( vecs w = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Determina si ( vecd {AB} ) y ( vecd {PQ} ) son vectores equivalentes, donde (A (1,1,1), , B (3,3,3), , P (1,4,5), ) y (Q (3,6,7). )

Respuesta:
Vectores equivalentes

38) Determina si los vectores ( vecd {AB} ) y ( vecd {PQ} ) son equivalentes, donde (A (1,4,1), , B (−2,2,0 ), , P (2,5,7), ) y (Q (−3,2,1) ).

Para los ejercicios 39-42, encuentre el vector ( vecs u ) con una magnitud dada y que satisfaga las condiciones dadas.

39) ( quad vecs v = ⟨7, −1,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 10 ), y ( vecs u ) y ( vecs v ) tienen el mismo dirección

Respuesta:
( vecs u = ⟨ frac {70 sqrt {59}} {59}, - frac {10 sqrt {59}} {59}, frac {30 sqrt {59}} {59}⟩ )

40) ( quad vecs v = ⟨2,4,1⟩, , ‖ vecs u‖ = 15 ), y ( vecs u ) y ( vecs v ) tienen la misma dirección

41) ( quad vecs v = ⟨2 sin t, , 2 cos t, 1⟩, ‖ vecs u‖ = 2, vecs u ) y ( vecs v ) tienen direcciones opuestas para cualquier (t ), donde (t ) es un número real

Respuesta:
( vecs u = ⟨− frac {4 sqrt {5}} {5} sin t, - frac {4 sqrt {5}} {5} cos t, - frac {2 sqrt {5}} {5}⟩ )

42) ( quad vecs v = ⟨3 sinh t, 0,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 5 ), y ( vecs u ) y ( vecs v ) tienen direcciones opuestas para cualquier (t ), donde (t ) es un número real

43) Determine un vector de magnitud (5 ) en la dirección del vector ( vecd {AB} ), donde (A (2,1,5) ) y (B (3,4, - 7). )

Respuesta:
(⟨ Frac {5 sqrt {154}} {154}, frac {15 sqrt {154}} {154}, - frac {30 sqrt {154}} {77}⟩ )

44) Encuentre un vector de magnitud (2 ) que apunte en la dirección opuesta al vector ( vecd {AB} ), donde (A (−1, −1,1) ) y (B ( 0,1,1). ) Expresa la respuesta en forma de componentes.

45) Considere los puntos (A (2, α, 0), , B (0,1, β), ) y (C (1,1, β) ), donde (α ) y (β ) son números reales negativos. Encuentre (α ) y (β ) tal que ( | vecd {OA} - vecd {OB} + vecd {OC} | = | vecd {OB} | = 4. )

Respuesta:
(α = - sqrt {7}, , β = - sqrt {15} )

46) Considere los puntos (A (α, 0,0), , B (0, β, 0), ) y (C (α, β, β), ) donde (α ) y (β ) son números reales positivos. Encuentre (α ) y (β ) tal que ( | overline {OA} + overline {OB} | = sqrt {2} ) y ( | overline {OC} | = sqrt {3} ).

47) Sea (P (x, y, z) ) un punto situado a la misma distancia de los puntos (A (1, −1,0) ) y (B (−1,2,1) ). Demuestre que el punto (P ) se encuentra en el plano de la ecuación (- 2x + 3y + z = 2. )

48) Sea (P (x, y, z) ) un punto situado a la misma distancia del origen y del punto (A (4,1,2) ). Demuestre que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación (8x + 2y + 4z = 21. )

49) Los puntos (A, B, ) y (C ) son colineales (en este orden) si la relación ({ | vecd {AB} | + | vecd {BC} | = | vecd {AC} |} ) está satisfecho. Muestre que (A (5,3, −1), , B (−5, −3,1), ) y (C (−15, −9,3) ) son puntos colineales.

50) Muestre que los puntos (A (1,0,1), , B (0,1,1), ) y (C (1,1,1) ) no son colineales.

51) [T] Una fuerza ( vecs F ) de (50 , N ) actúa sobre una partícula en la dirección del vector ( vecd {OP} ), donde (P (3, 4,0). )

un. Exprese la fuerza como un vector en forma de componentes.

B. Encuentra el ángulo entre la fuerza ( vecs F ) y la dirección positiva del eje (x ) -. Expresa la respuesta en grados redondeados al número entero más cercano.

Respuesta:
(a. vecs F = ⟨30,40,0⟩; quad b. 53 ° )

52) [T] Una fuerza ( vecs F ) de (40 , N ) actúa sobre una caja en la dirección del vector ( vecd {OP} ), donde (P (1, 0,2). )

un. Exprese la fuerza como un vector usando vectores unitarios estándar.

B. Encuentra el ángulo entre la fuerza ( vecs F ) y la dirección positiva del eje (x ) -.

53) Si ( vecs F ) es una fuerza que mueve un objeto desde el punto (P_1 (x_1, y_1, z_1) ) a otro punto (P_2 (x_2, y_2, z_2) ), entonces el desplazamiento el vector se define como (D = (x_2 − x_1) hat { mathbf i} + (y_2 − y_1) hat { mathbf j} + (z_2 − z_1) hat { mathbf k} ). Un recipiente metálico se eleva (10 ​​) m verticalmente mediante una fuerza constante ( vecs F ). Exprese el vector de desplazamiento (D ) utilizando vectores unitarios estándar.

Respuesta:
( vecs D = 10 hat { mathbf k} )

54) Una caja se tira (4 ) yd horizontalmente en la dirección (x ) - mediante una fuerza constante ( vecs F ). Encuentre el vector de desplazamiento en forma de componentes.

55) La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto se llama fuerza resultante o neta. Se dice que un objeto está en equilibrio estático si la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Sean ( vecs F_1 = ⟨10,6,3⟩, vecs F_2 = ⟨0,4,9⟩ ) y ( vecs F_3 = ⟨10, −3, −9⟩ ) tres fuerzas actuando sobre una caja. Encuentre la fuerza ( vecs F_4 ) que actúa sobre la caja de manera que la caja esté en equilibrio estático. Exprese la respuesta en forma de componentes.

Respuesta:
( vecs F_4 = ⟨− 20, −7, −3⟩ )

56) [T] Sean ( vecs F_k = ⟨1, k, k ^ 2⟩, k = 1, ..., n ) ser (n ) fuerzas que actúan sobre una partícula, con (n≥ 2. )

un. Encuentra la fuerza neta ( vecs F = sum_ {k = 1} ^ n vecs F_k. ) Expresa la respuesta usando vectores unitarios estándar.

B. Utilice un sistema de álgebra de computadora (CAS) para encontrar (n ) tal que ( | vecs F | <100. )

57) La fuerza de gravedad ( vecs F ) que actúa sobre un objeto está dada por ( vecs F = m vecs g ), donde (m ) es la masa del objeto (expresada en kilogramos) y ( vecs g ) es la aceleración resultante de la gravedad, con ( | vecs g | = 9.8 , N / kg. ) Una bola de discoteca de 2 kg cuelga de una cadena del techo de una habitación .

un. Encuentra la fuerza de gravedad ( vecs F ) que actúa sobre la bola de discoteca y calcula su magnitud.

B. Encuentre la fuerza de tensión ( vecs T ) en la cadena y su magnitud.

Exprese las respuestas usando vectores unitarios estándar.

Respuesta:
(a. vecs F = −19.6 hat { mathbf k}, quad | vecs F | = 19.6 , N )
(b. vecs T = 19.6 hat { mathbf k}, quad | vecs T | = 19.6 , N )

58) Un candelabro colgante de 5 kg está diseñado de tal manera que el cuenco de alabastro está sujeto por cuatro cadenas de igual longitud, como se muestra en la siguiente figura.

un. Encuentre la magnitud de la fuerza de gravedad que actúa sobre el candelabro.

B. Encuentre las magnitudes de las fuerzas de tensión para cada una de las cuatro cadenas (suponga que las cadenas son esencialmente verticales).

59) [T] Un bloque de cemento de 30 kg está suspendido por tres cables de igual longitud que están anclados en los puntos (P (−2,0,0), Q (1, sqrt {3}, 0), ) y (R (1, - sqrt {3}, 0) ). La carga está ubicada en (S (0,0, −2 sqrt {3}) ), como se muestra en la siguiente figura. Sean ( vecs F_1, vecs F_2 ) y ( vecs F_3 ) las fuerzas de tensión resultantes de la carga en los cables (RS, QS, ) y (PS, ) respectivamente.

un. Encuentre la fuerza gravitacional ( vecs F ) que actúa sobre el bloque de cemento que contrarresta la suma ( vecs F_1 + vecs F_2 + vecs F_3 ) de las fuerzas de tensión en los cables.

B. Encuentra las fuerzas ( vecs F_1, vecs F_2, ) y ( vecs F_3 ). Exprese la respuesta en forma de componentes.

Respuesta:
un. ( vecs F = −294 hat { mathbf k} ) N;
B. ( vecs F_1 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, 49, −98⟩, vecs F_2 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, - 49 , −98⟩ ) y ( vecs F_3 = ⟨ frac {98 sqrt {3}} {3}, 0, −98⟩ ) (cada componente se expresa en newtons)

60) Dos jugadores de fútbol están practicando para un próximo juego. Uno de ellos corre 10 m desde el punto A al punto B. Luego gira a la izquierda en (90 ° ) y corre 10 m hasta llegar al punto C. Luego patea la pelota con una rapidez de 10 m / seg. ángulo de (45 ° ) con su compañero de equipo, que está ubicado en el punto A. Escribe la velocidad de la pelota en forma de componentes.

61) Sea ( vecs r (t) = ⟨x (t), , y (t), , z (t)⟩ ) el vector de posición de una partícula en el momento (t∈ [0 , T] ), donde (x, y, ) y (z ) son funciones suaves en ([0, T] ). La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo (t ) está definida por el vector ( vecs v (t) = ⟨x '(t), , y' (t), , z '(t)⟩ ), con componentes que son las derivadas con respecto a (t ), de las funciones (x, y ) y (z ), respectivamente. La magnitud (∥ vecs v (t) ∥ ) del vector de velocidad instantánea se llama velocidad de la partícula en el tiempo (t ). Vector ( vecs a (t) = ⟨x '' (t), , y '' (t), , z '' (t)⟩ ), con componentes que son las segundas derivadas con respecto a (t ), de las funciones (x, y, ) y (z ), respectivamente, da la aceleración de la partícula en el tiempo (t ). Considere ( vecs r (t) = ⟨ cos t, , sin t, , 2t⟩ ) el vector de posición de una partícula en el tiempo (t∈ [0,30], ) donde los componentes de ( vecs r ) se expresan en centímetros y el tiempo se expresa en segundos.

un. Encuentre la velocidad, rapidez y aceleración instantáneas de la partícula después del primer segundo. Redondea tu respuesta a dos cifras decimales.

B. Utilice un CAS para visualizar la ruta de la partícula, es decir, el conjunto de todos los puntos de coordenadas (( cos t, sin t, 2t), ) donde (t∈ [0,30]. )

Respuesta:
(a. vecs v (1) = ⟨− 0.84,0.54,2⟩ ) (cada componente se expresa en centímetros por segundo); (∥ vecs v (1) ∥ = 2.24 ) (expresado en centímetros por segundo); ( vecs a (1) = ⟨− 0.54, −0.84,0⟩ ) (cada componente expresado en centímetros por segundo al cuadrado);

(B.)

62) [T] Sea ( vecs r (t) = ⟨t, 2t ^ 2,4t ^ 2⟩ ) el vector de posición de una partícula en el tiempo (t ) (en segundos), donde ( t∈ [0,10] ) (aquí los componentes de ( vecs r ) se expresan en centímetros).

un. Encuentre la velocidad, rapidez y aceleración instantáneas de la partícula después de los primeros dos segundos. Utilice un CAS para visualizar la ruta de la partícula definida por los puntos ((t, , 2t ^ 2, , 4t ^ 2), ) donde (t∈ [0, , 60]. )

Colaboradores

Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


Encuentra la forma componente del vector. El vector desde el punto A = (2, 3) al origen

P: Complete la tabla para determinar la cantidad de dinero P que debería invertirse a la tasa r para producir a.

R: Haga clic para ver la respuesta

A: gx = 5x2 + 1Ex = exgxEx = 5x2 + 1ex Cuando x = 5 g5E5 = 5 × 52 + 1e5 = 0.848

Q: dv du ute u = 8 cos x, = - cos x en la fórmula de la regla del cociente y simplifique el resultado dx -8 sin x, v.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: ¿Qué se debe hacer para solucionar esto?

Un saludo. Dado que su pregunta tiene varias subpartes, resolveremos las tres primeras subpartes por usted. Si y.

P: El costo total (en dólares) de fabricación x chasis de carrocería es C (x) = 50,000 + 700x. (A) Encuentre th.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Grafique la función dada haciendo una tabla de coordenadas. fox) = 5 Completa la tabla de coordenadas.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Pregunta Encuentre la ecuación de la recta tangente a la función f (x) = -x² - 4x + 4 en el punto wher.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Revisión de la integración Evalúe las siguientes integrales.

A: Dado: ∫01x.3x2 + 1dx para evaluar la integral dada, sustituimos x2 + 1 = t.

P: Usando la ecuación y = A sin Bx, si reemplazo A o B con su opuesto, la gráfica del resultado.


Ejemplos de espacios vectoriales

Ejemplo 1 Los siguientes son ejemplos de espacios vectoriales:

  1. El conjunto de todos los números reales ( mathbb ) asociado con la suma y multiplicación escalar de números reales.
  2. El conjunto de todos los números complejos ( mathbb ) asociado con la suma y multiplicación escalar de números complejos.
  3. El conjunto de todos los polinomios (R_n (x) ) con coeficientes reales asociados con la suma y multiplicación escalar de polinomios.
  4. El conjunto de todos los vectores de dimensión (n ) escrito como ( mathbb^ n ) asociado con la suma y la multiplicación escalar como se define para los vectores 3-d y 2-d, por ejemplo.
  5. El conjunto de todas las matrices de dimensión (m veces n ) asociadas con la suma y la multiplicación escalar como se define para las matrices.
  6. El conjunto de todas las funciones ( textbf ) satisfaciendo la ecuación diferencial ( textbf = textbf )

Ejemplo 2
Demuestre que el conjunto de todas las matrices de 2 por 2 asociadas con la suma de matrices y la multiplicación escalar de matrices es un espacio vectorial.
Solución al ejemplo 2
Sea (V ) el conjunto de todas las matrices de 2 por 2.
1) La suma de matrices da
( comenzar a & b c & d end + comenzar a '& b' c '& d' end = comenzar a + a '& b + b' c + c '& d + d' end )
Sumar matrices de 2 por 2 da como resultado una matriz de 2 por 2 y, por lo tanto, el resultado de la suma pertenece a (V ).

2) La multiplicación escalar de matrices da como resultado
(r begin a & b c & d end = comenzar r a & r b r c & r d end )
Multiplique cualquier matriz de 2 por 2 por un escalar y el resultado es una matriz de 2 por 2 es un elemento de (V ).

3) conmutatividad
( comenzar a & b c & d end + comenzar a '& b' c '& d' end = begin a + a '& b + b' c + c '& d + d' end = begin a '+ a & b' + b c '+ c & d' + d end = begin a '& b' c '& d' end + comenzar a & b c & d end )

4) Asociatividad de la suma de vectores
( left ( begin a & b c & d end + comenzar a '& b' c '& d' end right) + begin a '' & b '' c '' & d '' end = comenzar a + a '& b + b' c + c '& d + d' end + comenzar a '' & b '' c '' & d '' end = begin (a + a ') + a' '& (b + b') + b '' (c + c ') + c' '& (d + d') + d '' end = comenzar a + (a '+ a' ') & b + (b' + b '') c + (c '+ c' ') & d + (d' + d '') end = begin a & b c & d end + izquierda ( begin a '& b' c '& d' end + comenzar a '' & b '' c '' & d '' end derecho) )

5) Asociatividad de la multiplicación
(r left (s begin a & b c & d end right) = r left ( begin s a & s b s c & s d end right) = begin r s a & r s b r s c & r s d end = comenzar (r s) a & (r s) b (r s) c & (r s) d end = (r s) begin a & b c & d end )

6) vector cero
( comenzar a & b c & d end + comenzar 0 y 0 0 y 0 end = comenzar a + 0 & b + 0 c + 0 & d + 0 end = comenzar a & b c & d end )

7) Vector negativo
( comenzar a & b c & d end + comenzar - a & - b - c & - d end = comenzar a + (- a) & b + (- b) c + (- c) & d + (- d) end = begin 0 y 0 0 y 0 end )

8) Distributividad de sumas de matrices:
(r left ( begin a & b c & d end + comenzar a '& b' c '& d' end right) = begin r (a + a ') & r (b + b') r (c + c ') & r (d + d') end = comenzar r a + r a '& r b + r segundo r c + r c' & r d + r d end = r left ( begin a & b c & d end right) + r left ( begin a '& b' c '& d' end derecho) )

9) Distributividad de sumas de números reales:
((r + s) begin a & b c & d end = comenzar (r + s) a & (r + s) b (r + s) c & (r + s) d end = comenzar r a + s a & r b + s b r c + s c & r d + s d end = begin r a & r b r c & r d end + comenzar s a & s b s c & s d end = r begin a & b c & d end + s begin a & b c & d end )

10) Multiplicación por 1.
(1 begin a & b c & d end = comenzar 1 a y 1 b 1 c y 1 d end = comenzar a & b c & d end )

Ejemplo 3
Demuestre que el conjunto de todas las funciones reales continuas en ((- infty, infty) ) asociadas con la suma de funciones y la multiplicación de matrices por un escalar forman un espacio vectorial.
Solución al ejemplo 3
A partir del cálculo, sabemos si ( textbf ) y ( textbf ) son funciones continuas reales en ((- infty, infty) ) y (r ) es un número real entonces
(( textbf + textbf) (x) = textbf(x) + textbf(x) ) también es continua en ((- infty, infty) )
y
(r textbf(x) ) también es continua en ((- infty, infty) )
Por tanto, el conjunto de funciones continuas en ((- infty, infty) ) se cierra bajo la suma y la multiplicación escalar (las dos primeras condiciones anteriores).
Las 8 reglas restantes se cumplen automáticamente ya que las funciones son funciones reales.

Ejemplo 4
Demuestre que el conjunto de todos los polinomios reales con un grado (n le 3 ) asociado con la suma de polinomios y la multiplicación de polinomios por un escalar forman un espacio vectorial.
Solución al ejemplo 4
La suma de dos polinomios de grado menor o igual a 3 es un polinomio de grado menor o igual a 3.
La multiplicación de un polinomio de grado menor o igual a 3 por un número real da como resultado un polinomio de grado menor o igual a 3
Por lo tanto, el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3 se cierra bajo suma y multiplicación escalar (las dos primeras condiciones anteriores).
Las 8 reglas restantes se cumplen automáticamente ya que los polinomios son reales.

Ejemplo 5 Demuestre que el conjunto de polinomios con un grado (n = 4 ) asociado con la suma de polinomios y la multiplicación de polinomios por un número real NO ES un espacio vectorial.
Solución al ejemplo 5
La adición de dos polinomios de grado 4 puede no resultar en un polinomio de grado 4.
Ejemplo: Let ( textbf

(x) = -2 x ^ 4 + 3x ^ 2- 2x + 6 ) y ( textbf(x) = 2 x ^ 4 - 5x ^ 2 + 10 )
( textbf

(x) + textbf(x) = (-2 x ^ 4 + 3x ^ 2- 2x + 6) + (2 x ^ 4 - 5x ^ 2 + 10) = - 5x ^ 2 - 2 x + 16 )
El resultado no es un polinomio de grado 4. Por lo tanto, el conjunto no está cerrado bajo la adición y, por lo tanto, NO es un espacio vectorial.

Ejemplo 6
Demuestre que el conjunto de enteros asociados con la suma y la multiplicación por un número real NO ES un espacio vectorial
Solución al ejemplo 6
La multiplicación de un número entero por un número real puede no ser un número entero.
Ejemplo: Sea (x = - 2 )
Si multiplica (x ) por el número real ( sqrt 3 ) el resultado NO es un número entero.

Más referencias y enlaces

  1. Álgebra lineal y sus aplicaciones - Quinta edición - David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald
  2. Álgebra lineal elemental - 7 a edición - Howard Anton y Chris Rorres
  3. Matrices con ejemplos y preguntas con soluciones
  4. Polinomios
  5. Números complejos: sumar, restar y multiplicar matrices escalares

Ejercicios 12.2

Ej 12.2.1 Dibuja el vector $ langle 3, -1 rangle $ con su cola en el origen.

Ej 12.2.2 Dibuja el vector $ langle 3, -1,2 rangle $ con su cola en el origen.

Ej 12.2.3 Sea $ < bf A> $ el vector con cola en el origen y cabeza en $ (1,2) $ sea $ < bf B> $ el vector con cola en el origen y cabeza en $ (3,1 PS Dibuja $ < bf A> $ y $ < bf B> $ y un vector $ < bf C> $ con cola en $ (1,2) $ y cabeza en $ (3,1) $. Dibuja $ bf C $ con su cola en el origen.

Ej 12.2.4 Sea $ < bf A> $ el vector con cola en el origen y cabeza en $ (- 1,2) $ sea $ < bf B> $ el vector con cola en el origen y cabeza en $ (3, 3) $. Dibuja $ < bf A> $ y $ < bf B> $ y un vector $ < bf C> $ con cola en $ (- 1,2) $ y cabeza en $ (3,3) $. Dibuja $ bf C $ con su cola en el origen.

Ej 12.2.5 Sea $ < bf A> $ el vector con cola en el origen y cabeza en $ (5,2) $ sea $ < bf B> $ el vector con cola en el origen y cabeza en $ (1,5 PS Dibuja $ < bf A> $ y $ < bf B> $ y un vector $ < bf C> $ con cola en $ (5,2) $ y cabeza en $ (1,5) $. Dibuja $ bf C $ con su cola en el origen.

Ej 12.2.11 Sea $ P = (4, 5, 6) $, $ Q = (1, 2, -5) $. Busque $ ds overrightarrow < strut PQ> $. Encuentre un vector con la misma dirección que $ ds overrightarrow < strut PQ> $ pero con longitud 1. Encuentre un vector con la misma dirección que $ ds overrightarrow < strut PQ> $ pero con longitud 4. (respuesta )

Ej 12.2.12 Si $ A, B $ y $ C $ son tres puntos, encuentre $ ds overrightarrow < strut AB> + overrightarrow < strut BC> + overrightarrow < strut CA> $. (respuesta)

Ej 12.2.13 Considere los 12 vectores que tienen sus colas en el centro de un reloj y sus respectivas cabezas en cada uno de los 12 dígitos. ¿Cuál es la suma de estos vectores? ¿Qué pasa si eliminamos el vector correspondiente a las 4 en punto? ¿Qué pasa si, en cambio, todos los vectores tienen sus colas a las 12 en punto y sus cabezas en los dígitos restantes? (respuesta)

Ej 12.2.14 Sean $ bf a $ y $ bf b $ vectores distintos de cero en dos dimensiones que no son paralelas o antiparalelas. Muestre, algebraicamente, que si $ bf c $ es cualquier vector bidimensional, hay escalares $ s $ y $ t $ tales que $ < bf c> = s < bf a> + t < bf b> $ .

Ej 12.2.15 ¿Se cumple el enunciado del ejercicio anterior si los vectores $ bf a $, $ bf b $ y $ bf c $ son vectores tridimensionales? Explicar.


Actividad práctica ¡Viaje vectorial!

Las unidades sirven como guías para un contenido o área temática en particular. Anidadas debajo de las unidades hay lecciones (en violeta) y actividades prácticas (en azul).

Tenga en cuenta que no todas las lecciones y actividades existirán en una unidad, sino que pueden existir como un plan de estudios "independiente".

  • Trace su rumbo - Navegación
    • ¿Donde es aquí?
      • Nidy-Gridy: uso de cuadrículas y coordenadas
      • Hacia el norte Ho! Crea y usa brújulas simples
      • Encuentra tu propia dirección
      • ¡Cómo ser un gran navegante!
        • Vector ¡Viaje!
        • La estrella del norte (muro)
        • Navegando por los números
          • Mantenerse en forma
          • Río Trig
          • Exactitud, precisión y errores en la navegación: ¡haciéndolo bien!
            • ¿Suficientemente cerca? Ángulos y precisión de medición en la navegación
            • Precisión informática
            • Soluciones Sextantes
            • Topo Map Mania!
              • ¿Donde esta tu profesor?
              • El problema con Topos
              • Llegar al punto
                • Triángulos del salón de clases
                • Triangulación topográfica
                • Triangular: Topos, Brújulas y Triángulos, ¡Oh Dios mío!
                • ¡Tienes triángulos!
                • Técnicas de navegación por tierra, mar, aire y espacio
                  • Navegación Náutica
                  • Navegando a la velocidad de los satélites
                    • Indique su posición
                    • Ya es hora
                    • GPS en movimiento
                      • Conceptos básicos del receptor GPS
                      • Hacer arte GPS: Dibujarlo, recorrerlo, registrarlo, mostrarlo.
                      • Búsqueda del tesoro GPS
                      • No tan perdido en el espacio
                        • Un camino indirecto a Marte
                        • Rastreador de satélite

                        Boletín TE

                        Resumen

                        Los estudiantes exploran el análisis de vectores

                        Conexión de ingeniería

                        Aunque fue descrita por primera vez por matemáticos, casi todas las ramas de la ingeniería utilizan vectores como herramienta en la actualidad, especialmente para calcular la fuerza y ​​la tensión. Los ingenieros mecánicos, aeroespaciales, civiles y químicos que diseñan utilizando conceptos de dinámica de fluidos utilizan vectores en sus cálculos para describir fuerzas del mundo real como el viento y el movimiento del agua. Los ingenieros eléctricos también los utilizan para describir las fuerzas de los campos eléctricos y magnéticos.

                        Objetivos de aprendizaje

                        Después de esta actividad, los estudiantes deberían poder:

                        • Explique que los vectores pueden representar distancias y direcciones y son una buena forma de realizar un seguimiento del movimiento en los mapas.
                        • Utilice vectores para comprender direcciones, distancias y tiempos asociados con el movimiento y la velocidad.

                        Estándares educativos

                        Cada EnseñarIngeniería la lección o actividad está correlacionada con uno o más estándares educativos de ciencia, tecnología, ingeniería o matemáticas (STEM) de K-12.

                        Todos los 100,000+ estándares STEM K-12 cubiertos en EnseñarIngeniería son recolectados, mantenidos y empaquetados por el Red de estándares de logros (ASN), un proyecto de D2L (www.achievementstandards.org).

                        En la ASN, los estándares están estructurados jerárquicamente: primero por fuente p.ej., por estado dentro de la fuente por tipo p.ej., ciencia o matemáticas dentro del tipo por subtipo, luego por grado, etc.

                        Estándares Estatales Básicos Comunes - Matemáticas
                        • (+) Reconocer que las cantidades vectoriales tienen tanto magnitud como dirección. Represente cantidades vectoriales mediante segmentos de línea dirigidos y use símbolos apropiados para vectores y sus magnitudes (por ejemplo, v, | v |, || v ||, v). (Grados 9-12) Más detalles

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                        Asociación Internacional de Educadores de Tecnología e Ingeniería - Tecnología
                        • Los estudiantes desarrollarán una comprensión de las relaciones entre las tecnologías y las conexiones entre la tecnología y otros campos de estudio. (Grados K ​​- 12) Más detalles

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                        Estándares estatales
                        Colorado - Matemáticas
                        • Aplica el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. (Grado 8) Más detalles

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                        Lista de materiales

                        Hojas de trabajo y archivos adjuntos

                        Más currículo como este

                        Los estudiantes aprenden que las técnicas de navegación cambian cuando las personas viajan a diferentes lugares: tierra, mar, aire y espacio. Por ejemplo, un explorador que viaja por tierra utiliza diferentes métodos y herramientas de navegación que un marinero o un astronauta.

                        En esta lección, los estudiantes aprenden cómo los grandes navegantes del pasado mantuvieron el rumbo, es decir, los métodos históricos de navegación. Se discuten los conceptos de navegación a estima y celeste.

                        En esta lección, los estudiantes investigan los conceptos fundamentales de la tecnología GPS: trilateración y uso de la velocidad de la luz para calcular distancias.

                        Los estudiantes aprenden que las matemáticas son importantes en la navegación y la ingeniería. Usan el Teorema de Pitágoras para resolver problemas del mundo real.

                        Introducción / Motivación

                        ¿Puede describir la velocidad y la distancia? (Respuesta: distancia = velocidad x tiempo, escriba esto en la pizarra). Recuerde que para que esta relación funcione, las unidades deben coincidir. Por ejemplo, si la velocidad se mide en millas por hora, entonces el tiempo debe convertirse en horas para que la respuesta sea correcta.

                        ¿Cómo mantuvieron los antiguos capitanes de mar el rumbo de sus barcos durante sus viajes? (Vea si los estudiantes tienen alguna idea). estimacion para averiguar adónde iban. ¿Crees que siguieron el sol, la costa o incluso las estrellas? (Espere algunas respuestas de los estudiantes). Sí, lo hicieron. Sin embargo, al conocer la velocidad, el tiempo y el curso de su viaje, pudieron determinar dónde y aproximadamente cuándo llegarían, ¡lo cual fue una gran ventaja!

                        Colón, y la mayoría de los otros marineros de su época, utilizó la navegación a estima para navegar. Con la navegación a estima, los navegantes encuentran sus posiciones estimando el rumbo y la distancia que han navegado desde puntos conocidos. A partir de un punto conocido, como un puerto, un navegador mide el rumbo y la distancia desde ese punto en una carta, pinchando la carta con un alfiler para marcar la nueva posición. Estos primeros navegantes utilizaron las matemáticas para ayudarles a encontrar el camino y mantener el rumbo cuando el viento, la corriente y otros factores afectaron sus viajes. Desafortunadamente, Colón nunca llegó al destino donde pensó que terminaría. ¿Por qué cree que pasó? ¿Qué tan exacto es el cálculo a estima?

                        Procedimiento

                        Estimación muerta es el proceso de navegación mediante el avance de una posición conocida utilizando el rumbo, la velocidad, el tiempo y la distancia a recorrer. En otras palabras, averiguar dónde estará en un momento determinado si mantiene la Tiempo de velocidad y curso planeas viajar.

                        Figura 1. Ilustración gráfica del viaje de un barco utilizando vectores.

                        El rumbo es la dirección en la que pretende dirigir la embarcación. Para este ejercicio, el "rumbo" o rumbo siempre se debe al oeste (270 grados medidos en el sentido de las agujas del reloj desde 0 grados norte). Un rumbo es la dirección en la que se dirige la embarcación en un punto determinado. La pista realmente seguida puede ser muy torcida debido a la acción de las olas, la corriente, el viento y el timonel (la persona responsable de la dirección del barco). "Course made good" es el curso realmente recorrido.

                        Los vectores son flechas que representan dos piezas de información: un valor de magnitud (la longitud de la flecha) y un valor direccional (la forma en que apunta la flecha). In terms of movement, the information contained in the vector is the distance traveled and the direction traveled. Vectors give us a graphical method to calculate the sum of several simultaneous movements. If movement is affected by only one variable (represented by vector A or B), then a vessel would arrive at the end of that vector. If movement is affected by two variables (represented by the sum of A and B), then a vessel's final position can be found by linking the two vectors together.

                        Figure 2. Vectors illustrate the final position of vessel's voyage.

                        • Make copies of the Vector Voyage Worksheet 1 and Vector Voyage Worksheet 2, one each per student.
                        • Print out the Vector Voyage Worksheet 1, 2 and 3 Answer Keys for yourself.
                        • Provide students with a brief introduction to vectors.

                        Ask the students: Should sailors worry about wind and current when traveling long distances? (Answer: Yes. Wind and currents can take a ship far from the course it would follow otherwise. If the navigator is not keeping track of the affects of the wind and current, the ship could become hopelessly lost.)

                        Ask the students: How are vectors related to speed? (Answer: A [velocity] vector tells both speed and direction [N, S, E, W], while speed alone does not tell you direction.)

                        1. Give each student a Vector Voyage Worksheet 1.
                        2. Using the specified color of pencil, have students draw the 10 square movement vectors straight across the map and answer the worksheet questions.
                        3. Have students redraw the 10 square movement vectors on the map while adding the wind vector corrections for each month. Each month's movement vector must start from the end of the previous month's wind vector (refer to Vector Voyage Worksheet 1 Answer Key). Have students answer the worksheet questions.
                        4. Have students redraw the 10 square movement vectors y wind correction vectors on the map while adding the current vector corrections for each month. Each month's current vector now starts from the end of the previous month's wind vector. Each month's movement vector must now start from the end of the previous month's current vector (refer to Vector Voyage Worksheet 2 Answer Key). Have students answer the Vector Voyage Worksheet 2 questions.
                        5. Once they are done, point out how they would have landed on the U.S. without the effects of wind or ocean currents. However, because of wind and ocean currents, they ended up in Cuba.
                        6. Inform students that each square is 100 miles in length. Then have them calculate the distance for Part 1. (Answer: 3,500 miles.)

                        Vocabulary/Definitions

                        dead reckoning: The process of navigating by calculating one's current position by using a previously determined position, and advancing that position based upon known or estimated speeds over elapsed time and course.

                        Assessment

                        Discussion Question: Solicit, integrate and summarize student responses.

                        • Should sailors worry about wind and current when traveling long distances? (Answer: Yes. Wind and currents can take a ship far from the course it would otherwise follow.
                        • Should a navigator pay attention to wind? To current? (Answer: Yes. If the navigator is not keeping track of the affects of the wind and current, the ship could become hopelessly lost.)

                        Activity Embedded Assessment

                        Worksheets: As directed in the Procedure > With the Students section, have students complete the activity worksheets and answer the worksheet questions.Review their answers to gauge their mastery of the subject.

                        Student-Generated Questions: Have each student pick a spot on the African coast and then determine the wind and current correction vectors that would take a ship there after 1 month of sailing east 10 squares. Have them exchange these corrections with a partner (without letting the partners see their sheets), and calculate where they would arrive in Africa using their partner's corrections on their own sheets.

                        Troubleshooting Tips

                        Getting started drawing vectors may be confusing for students. If necessary, help them by drawing the first two vectors on the chalkboard so the entire class can see, or in small groups.

                        The wind correction vector is added to the end of the first vector arrow for month 1. The vectors for Part 3 of the worksheets must build off of the added vectors in Part 2. Both the wind and the ocean affect the landfall this is represented accurately only by building off the wind correction vectors.

                        Vector Voyage Worksheet 3 Answer Key offers a summary of this activity and clearly illustrates the vector movement directly. This answer key is an excellent teacher reference for students who are having difficulty with this exercise.

                        Activity Extensions

                        With students using the Blank Vector Voyage Worksheet, have them plot their own courses, recording movements, directions and corrections along the way. Have them give the new course instructions to a partner to determine if they can sail to the new spot.


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                        Resumen

                        With tuple representations for vectors and matrix representations for linear transformations, we have a unifying framework for computations over all finite-dimensional vector spaces. In other words, thinking about an (n)-dimensional vector space is essentially thinking about (n)-tuples and thinking about linear transformations is essentially thinking about matrices. The usefulness of this fact cannot be overstated, especially when it comes to developing computer software that works with vector spaces.


                        1.2E: Exercises for Vectors in Space - Mathematics

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.


                        1.2E: Exercises for Vectors in Space - Mathematics

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.


                        Scalar Multiplication of a Vector

                        Example 2: Vectors v and u are given by their components as follows
                        v = < -2 , 3> and u = < 4 , 6>
                        Find each of the following vectors.
                        1 : v + 2 u
                        2 : u - 4 v
                        Solution to example 2:
                        First carry out the scalar multiplication 2 u then the addition

                        1 : v + 2 u = <-2 , 3> + 2 <4 , 6> = <-2 , 3> + <8 , 12>
                        = <6 , 15>
                        2 : u - 4 v = <4 , 6> + (- 4) <-2 , 3> = <4 , 6> + <8 , -12>
                        = <12 , -6>

                        Example 3: v and u are vectors given by
                        v = < 1 , -2> and u = < u1 , u2>
                        Find components u1 and u2 of vector u so that v + 3 u = 0.
                        Solution to example 3:
                        We first obtain v + 3 u in terms of u1 and u2

                        = <1 , -2> + <3 u1 , 3 u2>
                        = <1 + 3 u1 , -2 + 3 u2>
                        For the above vector to be equal to vector 0, its two components have to be equal to 0, hence
                        1 + 3 u1 = 0 and -2 + 3 u2 = 0
                        Solve the first equation for u1 and the second equation for u2
                        u1 = -1 / 3 and u2 = 2 / 3

                        Ejercicios
                        1. Given vectors
                        v = <-3 , 2> and u = <-2 , 0>,
                        find the following vectors.
                        - v + 2 u , v - (1/2) u
                        2. Vectors v and u are given by
                        v = <4 , 1> and u = <u1 , u2>,
                        find components u1 and u2 so that 2 v - 3 u = 0 .

                        Answers to above exercises
                        1.
                        - v + 2 u = <- 1 , -2>,
                        v - (1/2) = <- 2 , 2>,
                        2.
                        u1 = 8 / 3
                        u2 = 2 / 3

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