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5.4: Funciones complejas y con valores vectoriales en (E ^ {1} )

5.4: Funciones complejas y con valores vectoriales en  (E ^ {1} )



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Los teoremas de §§2-3 fallan para funciones complejas y con valores vectoriales (consulte el problema 3 a continuación y el problema 2 en §3). En cierto sentido, incluso son más fuertes, ya que, a diferencia de los teoremas anteriores, no requieren la existencia de una derivada en un intervalo completo (I subseteq E ^ {1}, ) sino solo en (IQ ) , donde (Q ) es un conjunto contable, uno contenido en el rango de una secuencia, (Q subseteq left {p_ {m} right }. ) (De ahora en adelante presuponemos §9 del Capítulo 1 .)

En el siguiente teorema, debido a N. Bourbaki, (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) se extiende real mientras que (f ) también puede ser complejo o con valor vectorial. La llamamos la ley de incrementos finitos ya que trata con "incrementos finitos" (f (b) -f (a) ) y (g (b) -g (a). ) Aproximadamente, establece que ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime} ) implica una desigualdad similar para los incrementos.

Teorema ( PageIndex {1} ) (ley de incrementos finitos)

Sean (f: E ^ {1} rightarrow E ) y (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) relativamente continuas y finitas en un intervalo cerrado (I = [a, b] subseteq E ^ {1}, ) y tienen derivadas con ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime}, ) en (IQ ) donde ( Q subseteq left {p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {m}, ldots right }. ) Entonces

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a). ]

La prueba es algo laboriosa, pero vale la pena. (Sin embargo, en una primera lectura se puede omitir). Esbozamos algunas ideas preliminares.

Dado cualquier (x en I, ) suponga primero que (x> p_ {m} ) para al menos un (p_ {m} in Q. ) En este caso, ponemos

[Q (x) = sum_ {p_ {m}

aquí la suma es solo sobre aquellos (m ) para los cuales (p_ {m}

[Q (x) leq sum_ {m = 1} ^ { infty} 2 ^ {- m} = 1. ]

Nuestro plan es el siguiente. Para demostrar (1), basta con mostrar que para algunos (K en E ^ {1}, ) fijos tenemos

[( forall varepsilon> 0) quad | f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + K varepsilon, ]

pues entonces, dejando ( varepsilon rightarrow 0, ) obtenemos (1). Nosotros elegimos

[K = b-a + Q (b), text {con} Q (x) text {como arriba. } ]

Fijando temporalmente ( varepsilon> 0, ) llamemos a un punto (r in I ) "bueno" si

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + [r-a + Q (r)] varepsilon ]

y "malo" en caso contrario. Demostraremos que (b ) es "bueno". Primero, probamos un lema.

Lema ( PageIndex {1} )

Cada punto "bueno" (r en I (r

Prueba

Primero, dejemos que (r notin Q, ) así, por supuesto, (f ) y (g ) tengan derivadas en (r, ) con

[ left | f ^ { prime} (r) right | leq g ^ { prime} (r). ]

Supongamos que (g ^ { prime} (r) <+ infty. ) Entonces (tratando (g ^ { prime} ) como una derivada derecha) podemos encontrar (s> r ) (( s leq b) ) tal que, para todo (x ) en el intervalo ((r, s), ),

[ left | frac {g (x) -g (r)} {xr} -g ^ { prime} (r) right | < frac { varepsilon} {2} quad text {( ¿por qué?);}]

de manera similar para (f. ) Multiplicando por (x-r, ) obtenemos

[ begin {alineado} left | f (x) -f (r) -f ^ { prime} (r) (xr) right | <(xr) frac { varepsilon} {2} text {y} left | g (x) -g (r) -g ^ { prime} (r) (xr) right | <(xr) frac { varepsilon} {2}, end { alineado}]

y por lo tanto por la desigualdad del triángulo (¡explica!),

[| f (x) -f (r) | leq left | f ^ { prime} (r) right | (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2} ]

y

[g ^ { prime} (r) (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2}

Combinando esto con ( left | f ^ { prime} (r) right | leq g ^ { prime} (r), ) obtenemos

[| f (x) -f (r) | leq g (x) -g (r) + (x-r) varepsilon text {siempre que} r

Ahora, como (r ) es "bueno", satisface ((2); ) por lo tanto, ciertamente, como (Q (r) leq Q (x) ),

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + (r-a) varepsilon + Q (x) varepsilon text {siempre que} r

Sumando esto a (3) y usando la desigualdad del triángulo nuevamente, tenemos

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon text {para todos} x in (r, s). ]

Por definición, esto muestra que cada (x in (r, s) ) es "bueno", como se afirma. Por tanto, el lema se demuestra para el caso (r en I-Q, ) con (g ^ { prime} (r) <+ infty ).

Los casos (g ^ { prime} (r) = + infty ) y (r in Q ) quedan como Problemas 1 y 2. ( quad square )

Regresemos ahora al teorema 1.

Prueba del teorema 1. Buscando una contradicción, suponga que (b ) es "malo", y sea (B neq emptyset ) el conjunto de todos los puntos "malos" en ([a, b]. ) Sea

[r = inf B, quad r in [a, b]. ]

Entonces el intervalo ([a, r) ​​) puede contener solo puntos "buenos", es decir, puntos (x ) tales que

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon. ]

Como (x

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (r)] varepsilon text {para todos} x in [a, r). ]

Tenga en cuenta que ([a, r) ​​ neq emptyset, ) para por (2), (a ) es ciertamente "bueno" (¿por qué?), Por lo que el Lema 1 produce un intervalo completo ([a, s) ) de puntos "buenos" contenidos en ([a, r). )

Dejando (x rightarrow r ) en (4) y usando la continuidad de (f ) en (r, ) obtenemos (2). Por tanto, (r ) es "bueno" en sí mismo. Entonces, sin embargo, el Lema 1 produce un nuevo intervalo ((r, q) ) de puntos "buenos". Por tanto, ([a, q) ) no tiene puntos "malos", por lo que (q ) es un límite inferior del conjunto (B ) de puntos "malos" en (I ), contrariamente a (q> r = operatorname {glb} B ). Esta contradicción muestra que (b ) debe ser "bueno", es decir,

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + [b-a + Q (b)] varepsilon. ]

Ahora, dejando ( varepsilon rightarrow 0, ) obtenemos la fórmula (1), y todo está probado. ( quad cuadrado )

Corolario ( PageIndex {1} )

Si (f: E ^ {1} rightarrow E ) es relativamente continuo y finito en (I = [a, b] subseteq ) (E ^ {1}, ) y tiene una derivada en (IQ, ) entonces hay un (M ) real tal que

[| f (b) -f (a) | leq M (b-a) text {y} M leq sup _ {t in I-Q} left | f ^ { prime} (t) right |. ]

Prueba

Dejar

[M_ {0} = sup _ {t en I-Q} left | f ^ { prime} (t) right |. ]

Si (M_ {0} <+ infty, ) ponga (M = M_ {0} geq left | f ^ { prime} right | ) en (IQ, ) y tome ( g (x) = M x ) en el Teorema 1. Entonces (g ^ { prime} = M geq left | f ^ { prime} right | ) en (IQ, ) entonces la fórmula ( 1) rinde (5) ya que

[g (segundo) -g (una) = M segundo-M una = M (segundo-segundo). ]

Sin embargo, si (M_ {0} = + infty, ) sea

[M = left | frac {f (b) -f (a)} {b-a} right |

Entonces (5) claramente es cierto. Por lo tanto, el (M ) requerido existe siempre. ( quad cuadrado )

Corolario ( PageIndex {2} )

Sea (f ) como en el Corolario 1. Entonces (f ) es constante en (I ) iff (f ^ { prime} = 0 ) en (I-Q. )

Prueba

Si (f ^ { prime} = 0 ) en (IQ, ) entonces (M = 0 ) en el Corolario 1, entonces el Corolario 1 produce, para cualquier subintervalo ([a, x] (x en I), | f (x) -f (a) | leq 0; ) es decir, (f (x) = f (a) ) para todo (x en I. ) Así ( f ) es constante en (I. )

Por el contrario, si es así, entonces (f ^ { prime} = 0, ) incluso en todo (I. Quad square )

Corolario ( PageIndex {3} )

Sea (f, g: E ^ {1} rightarrow E ) relativamente continuo y finito en (I = [a, b], ) y diferenciable en (IQ. ) Entonces (fg ) es constante en (I ) iff (f ^ { prime} = g ^ { prime} ) en (IQ. )

Prueba

Aplicar el Corolario 2 a la función (f-g. Quad square )

Ahora también podemos fortalecer las partes (ii) y (iii) del Corolario 4 en §2.

Teorema ( PageIndex {2} )

Sea (f ) real y tenga las propiedades indicadas en el Corolario 1. Entonces

(i) (f uparrow ) en (I = [a, b] ) iff (f ^ { prime} geq 0 ) en (I-Q; ) y

(ii) (f flecha hacia abajo ) en (I ) sif (f ^ { prime} leq 0 ) en (I-Q ).

Prueba

Deje (f ^ { prime} geq 0 ) en (IQ. ) Fije cualquier (x, y en I (x

[f (y) -f (x) geq | g (y) -g (x) | = 0, text {es decir,} f (y) geq f (x) text {siempre que} y> x text {in} I, ]

entonces (f uparrow ) en (I ).

Por el contrario, si (f uparrow ) en (I, ) entonces para cada (p in I, ) debemos tener (f ^ { prime} (p) geq 0, ) para de lo contrario, según el Lema 1 de §2, (f ) disminuiría en (p. ) Así (f ^ { prime} geq 0 ), incluso en todos (I, ) y ( i) está probado. La afirmación (ii) se prueba de manera similar. ( quad cuadrado )


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