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18.6: Resolver aplicaciones de ecuaciones cuadráticas - Matemáticas

18.6: Resolver aplicaciones de ecuaciones cuadráticas - Matemáticas


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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. La suma de dos números impares consecutivos es (- 100 ). Encuentra los números.
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.18.
  2. Resuelve: ( frac {2} {x + 1} + frac {1} {x-1} = frac {1} {x ^ {2} -1} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 7.35.
  3. Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos (5 ) pulgadas y (12 ) pulgadas.
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 2.34.

Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas

Anteriormente, resolvimos algunas aplicaciones que se modelaron mediante ecuaciones cuadráticas, cuando el único método que teníamos para resolverlas era la factorización. Ahora que tenemos más métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, veremos de nuevo las aplicaciones.

Primero resumamos los métodos que tenemos ahora para resolver ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas

  1. Factorización
  2. Propiedad de raíz cuadrada
  3. Completando el cuadrado
  4. Fórmula cuadrática

A medida que resuelve cada ecuación, elija el método que le resulte más conveniente para resolver el problema. Como recordatorio, copiaremos nuestra estrategia habitual de resolución de problemas aquí para que podamos seguir los pasos.

Utilice una estrategia de resolución de problemas

  1. Leer el problema. Asegúrese de que se comprendan todas las palabras e ideas.
  2. Identificar Qué estamos buscando.
  3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil volver a plantear el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.
  5. Resolver la ecuación usando técnicas de álgebra.
  6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Hemos resuelto aplicaciones de números que implicaban números enteros pares e impares consecutivos, modelando la situación con ecuaciones lineales. Recuerde, notamos que cada entero par es (2 ) más que el número que lo precede. Si llamamos al primero (n ), entonces el siguiente es (n + 2 ). El siguiente sería (n + 2 + 2 ) o (n + 4 ). Esto también es cierto cuando usamos números enteros impares. A continuación se muestra un conjunto de números enteros pares y un conjunto de números enteros impares.

( begin {array} {cl} {} & { text {Enteros pares consecutivos}} {} & {64,66,68} {n} & {1 ^ { text {st}} text {entero par}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {entero par consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {entero par consecutivo}} end {matriz} )

( begin {array} {cl} {} & { text {Enteros impares consecutivos}} {} & {77,79,81} {n} & {1 ^ { text {st}} text {entero impar}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {entero impar consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd} } text {entero impar consecutivo}} end {matriz} )

Algunas aplicaciones de números enteros pares o impares se modelan mediante ecuaciones cuadráticas. La notación anterior será útil para nombrar las variables.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

El producto de dos números enteros impares consecutivos es (195 ). Encuentra los números enteros.

Solución:

Paso 1: Leer el problema

Paso 2: Identificar Qué estamos buscando.

Buscamos dos números enteros impares consecutivos.

Paso 3: Nombre Qué estamos buscando.

Sea (n = ) el primer entero impar.

(n + 2 = ) el siguiente entero impar.

Paso 4: Traducir en una ecuación. Expresa el problema en una oración.

"El producto de dos números enteros impares consecutivos es (195 )". El producto del primer número entero impar y el segundo número entero impar es (195 ).

Traduce en una ecuación.

(n (n + 2) = 195 )

Paso 5: Resolver la ecuacion. Distribuir.

(n ^ {2} +2 n = 195 )

Escribe la ecuación en forma estándar.

(n ^ {2} +2 n-195 = 0 )

Factor.

((n + 15) (n-13) = 0 )

Utilice la propiedad de producto cero.

(n + 15 = 0 quad n-13 = 0 )

Resuelve cada ecuación.

(n = -15, quad n = 13 )

Hay dos valores de (n ) que son soluciones. Esto nos dará dos pares de enteros impares consecutivos para nuestra solución.

( begin {array} {cc} { text {Primer entero impar} n = 13} & { text {Primer entero impar} n = -15} { text {siguiente entero impar} n + 2} & { text {siguiente entero impar} n + 2} {13 + 2} & {-15 + 2} {15} & {-13} end {matriz} )

Paso 6: Cheque la respuesta.

¿Funcionan estos pares? ¿Son enteros impares consecutivos?

( begin {alineado} 13,15 & text {sí} - 13, -15 & text {sí} end {alineado} )

¿Es su producto (195 )?

( begin {alineado} 13 cdot 15 & = 195 & text {sí} - 13 (-15) & = 195 & text {sí} end {alineado} )

Paso 7: Respuesta la pregunta.

Dos enteros impares consecutivos cuyo producto es (195 ) son (13,15 ) y (- 13, -15 ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

El producto de dos números enteros impares consecutivos es (99 ). Encuentra los números enteros.

Respuesta

Los dos enteros impares consecutivos cuyo producto es (99 ) son (9, 11 ) y (- 9, −11 ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

El producto de dos enteros pares consecutivos es (168 ). Encuentra los números enteros.

Respuesta

Los dos enteros pares consecutivos cuyo producto es (128 ) son (12, 14 ) y (- 12, −14 ).

Usaremos la fórmula del área de un triángulo para resolver el siguiente ejemplo.

Definición ( PageIndex {1} )

Área de un triángulo

Para un triángulo con base, (b ) y altura, (h ), el área, (A ), está dada por la fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .

Recuerde que cuando resolvemos aplicaciones geométricas, es útil dibujar la figura.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Un arquitecto está diseñando la entrada de un restaurante. Quiere colocar una ventana triangular sobre la entrada. Debido a las restricciones de energía, la ventana solo puede tener un área de (120 ) pies cuadrados y el arquitecto quiere que la base tenga (4 ) pies más del doble de la altura. Encuentra la base y la altura de la ventana.

Solución:

Paso 1: Leer el problema. Hacer un dibujo.
Paso 2: Identificar Qué estamos buscando.Buscamos la base y la altura.
Paso 3: Nombre Qué estamos buscando.

Sea (h = ) la altura del triángulo.

(2h + 4 = ) la base del triángulo.

Paso 4: Traducir en una ecuación.

Conocemos la zona. Escribe la fórmula del área de un triángulo.

(A = frac {1} {2} b h )
Paso 5: Resolver la ecuacion. Sustituye los valores. (120 = frac {1} {2} (2 h + 4) h )
Distribuir. (120 = h ^ {2} +2 h )
Esta es una ecuación cuadrática, reescríbela en forma estándar. (h ^ {2} +2 h-120 = 0 )
Factor. ((h-10) (h + 12) = 0 )
Utilice la propiedad de producto cero. (h-10 = 0 quad h + 12 = 0 )
Simplificar. (h = 10, quad cancel {h = -12} )
Dado que (h ) es la altura de una ventana, un valor de (h = -12 ) no tiene sentido.
La altura del triángulo (h = 10 ).

La base del triángulo (2h + 4 ).

(2 cdot 10 + 4 )

(24)

Paso 6: Cheque la respuesta.

¿Tiene un triángulo de altura (10 ​​) y base (24 ) un área (120 )? sí.

Paso 7: Respuesta la pregunta.La altura de la ventana triangular es (10 ​​) pies y la base es (24 ) pies.
Tabla 9.5.1

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra la base y la altura de un triángulo cuya base es cuatro pulgadas más que seis veces su altura y tiene un área de (456 ) pulgadas cuadradas.

Respuesta

La altura del triángulo es (12 ) pulgadas y la base es (76 ) pulgadas.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Si un triángulo que tiene un área de (110 ) pies cuadrados tiene una base que es dos pies menos que el doble de la altura, ¿cuál es la longitud de su base y su altura?

Respuesta

La altura del triángulo es (11 ) pies y la base es (20 ) pies.

En los dos ejemplos anteriores, el número en el radical en el Cuadrático Fórmula era un cuadrado perfecto, por lo que las soluciones eran números racionales. Si obtenemos un número irracional como solución a un problema de aplicación, usaremos una calculadora para obtener un valor aproximado.

Usaremos la fórmula del área de un rectángulo para resolver el siguiente ejemplo.

Definición ( PageIndex {2} )

Área de un rectángulo

Para un rectángulo con longitud, (L ) y ancho, (W ), el área, (A ), está dada por la fórmula (A = LW ).

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Mike quiere poner (150 ) pies cuadrados de césped artificial en su patio delantero. Esta es la superficie máxima de césped artificial permitida por su asociación de propietarios. Quiere tener un área rectangular de césped con una longitud de un pie menos que (3 ) veces el ancho. Calcula el largo y el ancho. Redondea a la décima de pie más cercana.

Solución:

Paso 1: Leer el problema. Hacer un dibujo.
Paso 2: Identificar Qué estamos buscando.Buscamos el largo y el ancho.
Paso 3: Nombre Qué estamos buscando.

Sea (w = ) el ancho del rectángulo.

(3w-1 = ) la longitud del rectángulo

Paso 4: Traducir en una ecuación. Conocemos la zona. Escribe la fórmula para el área de un rectángulo.
Paso 5: Resolver la ecuacion. Sustituye los valores.
Distribuir.

Ésta es una ecuación cuadrática; reescribirlo en forma estándar.

Resuelve la ecuación usando la fórmula cuadrática.

Identifica los valores de (a, b, c ).
Escribe la fórmula cuadrática.
Luego sustituye los valores de (a, b, c ).
Simplificar.
Reescribe para mostrar dos soluciones.

Aproxima las respuestas usando una calculadora.

Eliminamos la solución negativa para el ancho.

Paso 6: Cheque la respuesta. Asegúrese de que las respuestas tengan sentido. Dado que las respuestas son aproximadas, el área no será exactamente (150 ).
Paso 7: Respuesta la pregunta.El ancho del rectángulo es de aproximadamente (7,2 ) pies y la longitud es de aproximadamente (20,6 ) pies.
Tabla 9.5.2

Ejercicio ( PageIndex {5} )

La longitud de un huerto rectangular de (200 ) pies cuadrados es cuatro pies menos que el doble del ancho. Calcula la longitud y el ancho del jardín, a la décima de pie más cercana.

Respuesta

El largo del jardín es de aproximadamente (18 ) pies y el ancho de (11 ) pies.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Un mantel rectangular tiene un área de (80 ) pies cuadrados. El ancho es (5 ) pies más corto que el largo. ¿Cuál es el largo y el ancho del mantel a la décima de pie más cercana?

Respuesta

El largo del mantel es de aproximadamente (11,8 ) pies y el ancho (6,8 ) pies.

El Teorema de pitágoras da la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Usaremos el Teorema de Pitágoras para resolver el siguiente ejemplo.

Definición ( PageIndex {3} )

Teorema de pitágoras

En cualquier triángulo rectángulo, donde (a ) y (b ) son las longitudes de los catetos y (c ) es la longitud de la hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Rene está montando una pantalla de luces navideñas. Quiere hacer un "árbol" con la forma de dos triángulos rectángulos, como se muestra a continuación, y tiene dos cadenas de luces de (10 ​​) pies para usar en los lados. Colocará las luces en la parte superior de un poste y en dos estacas en el suelo. Quiere que la altura del poste sea la misma que la distancia desde la base del poste a cada estaca. ¿Qué altura debe tener el poste?

Solución:

Paso 1: Leer el problema. Hacer un dibujo.
Paso 2: Identificar Qué estamos buscando.Buscamos la altura del poste.
Paso 3: Nombre Qué estamos buscando.

La distancia desde la base del poste a cualquiera de las estacas es la misma que la altura del poste.

Sea (x = ) la altura del poste.
(x = ) la distancia desde el poste hasta la estaca

Cada lado es un triángulo rectángulo. Hacemos un dibujo de uno de ellos.

Paso 4: Traducir en una ecuación.

Podemos usar el Teorema de Pitágoras para resolver (x ).
Escribe el teorema de Pitágoras.

(a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Paso 5: Resolver la ecuacion. Sustituir. (x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2} )
Simplificar. (2 x ^ {2} = 100 )
Divida por (2 ) para aislar la variable. ( frac {2 x ^ {2}} {2} = frac {100} {2} )
Simplificar. (x ^ {2} = 50 )
Utilice la propiedad de la raíz cuadrada. (x = pm sqrt {50} )
Simplifica el radical. (x = pm 5 sqrt {2} )
Reescribe para mostrar dos soluciones.
Si aproximamos este número a la décima más cercana con una calculadora, encontramos (x≈7.1 ).
Paso 6: Cheque la respuesta. Compruébelo usted mismo en el Teorema de Pitágoras.
Paso 7: Respuesta la pregunta.El poste debe tener aproximadamente (7.1 ) pies de alto.
Tabla 9.5.3

Ejercicio ( PageIndex {7} )

El sol proyecta una sombra desde un asta de bandera. La altura del asta de la bandera es tres veces la longitud de su sombra. La distancia entre el final de la sombra y la parte superior del asta de la bandera es de (20 ) pies. Calcula la longitud de la sombra y la longitud del asta de la bandera. Redondea a la décima más cercana.

Respuesta

La longitud de la sombra del asta de la bandera es de aproximadamente (6,3 ) pies y la altura del asta de la bandera es de (18,9 ) pies.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

La distancia entre las esquinas opuestas de un campo rectangular es cuatro más que el ancho del campo. La longitud del campo es el doble de su ancho. Calcula la distancia entre las esquinas opuestas. Redondea a la décima más cercana.

Respuesta

La distancia entre las esquinas opuestas es de aproximadamente (7,2 ) pies.

La altura de un proyectil disparado hacia arriba desde el suelo se modela mediante una ecuación cuadrática. La velocidad inicial, (v_ {0} ), impulsa el objeto hacia arriba hasta que la gravedad hace que el objeto vuelva a caer.

Definición ( PageIndex {4} )

La altura en pies, (h ), de un objeto disparado hacia arriba en el aire con velocidad inicial, (v_ {0} ), después de (t ) segundos viene dada por la fórmula

Podemos usar esta fórmula para encontrar cuántos segundos tardará un fuego artificial en alcanzar una altura específica.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Se dispara una flecha desde el suelo hacia el aire a una rapidez inicial de (108 ) pies / s. Usa la fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar cuándo la flecha estará a (180 ) pies del suelo. Redondea la décima más cercana.

Respuesta

La flecha alcanzará (180 ) pies en su camino hacia arriba después de (3 ) segundos y nuevamente en su camino hacia abajo después de aproximadamente (3.8 ) segundos.

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Un hombre lanza una pelota al aire con una velocidad de (96 ) pies / s. Usa la fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) para determinar cuándo la altura de la pelota será (48 ) pies. Redondea a la décima más cercana.

Respuesta

La pelota alcanzará (48 ) pies en su camino hacia arriba después de aproximadamente (. 6 ) segundo y nuevamente en su camino hacia abajo después de aproximadamente (5.4 ) segundos.

Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme usando la fórmula (D = rt ) en capítulos anteriores. Usamos una tabla como la siguiente para organizar la información y llevarnos a la ecuación.

La fórmula (D = rt ) asume que conocemos (r ) y (t ) y las usamos para encontrar (D ). Si conocemos (D ) y (r ) y necesitamos encontrar (t ), resolveríamos la ecuación para (t ) y obtendríamos la fórmula (t = frac {D} {r } ).

Algunos problemas de movimiento uniforme también se modelan mediante ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

El profesor Smith acaba de regresar de una conferencia que fue (2,000 ) millas al este de su casa. Su tiempo total en el avión para el viaje de ida y vuelta fue de (9 ) horas. Si el avión volaba a una velocidad de (450 ) millas por hora, ¿cuál fue la rapidez de la corriente en chorro?

Solución:

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

Rellenamos la tabla para organizar la información.

Buscamos la velocidad de la corriente en chorro. Sea (r = ) la velocidad de la corriente en chorro.

Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y, por lo tanto, la tasa es (450 + r ).

Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la tasa es (450 - r ).

Escriba las tarifas.
Escribe las distancias.
Dado que (D = r⋅t ), resolvemos para
(t ) y obtén (t = frac {D} {r} ).
Dividimos la distancia por
la tasa en cada fila, y
colocar la expresión en el
columna de tiempo.
Sabemos que los tiempos se suman a (9 )
y entonces escribimos nuestra ecuación.
( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} = 9 )
Multiplicamos ambos lados por el LCD. ((450-r) (450 + r) left ( frac {2000} {450-r} + frac {2000} {450 + r} right) = 9 (450-r) (450 + r ) )
Simplificar. (2000 (450 + r) +2000 (450-r) = 9 (450-r) (450 + r) )
Factoriza (2,000 ). (2000 (450 + r + 450-r) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Resolver. (2000 (900) = 9 left (450 ^ {2} -r ^ {2} right) )
Dividir por (9 ). (2000 (100) = 450 ^ {2} -r ^ {2} )
Simplificar.

( begin {alineado} 200000 & = 202500-r ^ {2} -2500 & = - r ^ {2} 50 & = r end {alineado} )

La velocidad de la corriente en chorro es (50 ) mph.

Cheque:

¿Es (50 ) mph una velocidad razonable para la corriente en chorro? sí.

Si el avión viaja (450 ) mph y el viento es (50 ) mph,

Viento de cola

(450 + 50 = 500 mathrm {mph} quad frac {2000} {500} = 4 ) horas

Viento en contra

(450-50 = 400 mathrm {mph} quad frac {2000} {400} = 5 ) horas

Los tiempos se suman a (9 ) horas, por lo que verifica.

Cuadro 9.5.5

La velocidad de la corriente en chorro fue (50 ) mph.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

MaryAnne acaba de regresar de una visita con sus nietos en el este. El viaje fue de (2400 ) millas desde su casa y su tiempo total en el avión para el viaje de ida y vuelta fue de (10 ​​) horas. Si el avión volaba a una velocidad de (500 ) millas por hora, ¿cuál fue la rapidez de la corriente en chorro?

Respuesta

La velocidad de la corriente en chorro fue (100 ) mph.

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Gerry acaba de regresar de un viaje a campo traviesa. El viaje fue de (3000 ) millas desde su casa y su tiempo total en el avión para el viaje de ida y vuelta fue de (11 ) horas. Si el avión volaba a una velocidad de (550 ) millas por hora, ¿cuál fue la rapidez de la corriente en chorro?

Respuesta

La velocidad de la corriente en chorro fue (50 ) mph.

Las aplicaciones de trabajo también se pueden modelar mediante ecuaciones cuadráticas. Los configuraremos usando los mismos métodos que usamos cuando los resolvimos con ecuaciones racionales. Usaremos un escenario similar ahora.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

La revista de noticias semanal tiene una gran historia que nombra a la Persona del Año y el editor quiere que la revista se imprima lo antes posible. Ella le ha pedido a la impresora que ejecute una prensa de impresión adicional para que la impresión sea más rápida. Presionar # 1 toma (6 ) horas más que presionar # 2 para hacer el trabajo y cuando ambas prensas están funcionando pueden imprimir el trabajo en (4 ) horas. ¿Cuánto tiempo tarda cada prensa en imprimir el trabajo por sí solo?

Respuesta

Presionar # 1 tomaría (12 ) horas, y Presionar # 2 tomaría (6 ) horas para hacer el trabajo solo.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Erlinda está de fiesta y quiere llenar su bañera de hidromasaje. Si solo usa la manguera roja, le tomará (3 ) horas más que si solo usa la manguera verde. Si usa ambas mangueras juntas, el jacuzzi se llena en (2 ) horas. ¿Cuánto tiempo tarda cada manguera en llenar la bañera de hidromasaje?

Respuesta

La manguera roja toma (6 ) horas y la verde toma (3 ) horas sola.

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la resolución de aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas.

  • Problemas verbales que involucran ecuaciones cuadráticas
  • Problemas verbales de ecuaciones cuadráticas
  • Aplicar la fórmula cuadrática

Conceptos clave

  • Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas
    • Factorización
    • Propiedad de raíz cuadrada
    • Completando el cuadrado
    • Fórmula cuadrática
  • Cómo utilizar una estrategia de resolución de problemas.
    1. Leer el problema. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación de álgebra.
    2. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    3. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    4. Respuesta la pregunta con una oración completa.
  • Área de un triángulo
    • Para un triángulo con base, (b ) y altura, (h ), el área, (A ), está dada por la fórmula (A = frac {1} {2} bh ) .
  • Área de un rectángulo
    • Para un rectángulo con longitud, (L ) y ancho, (W ), el área, (A ), está dada por la fórmula (A = LW ).
  • Teorema de pitágoras
    • En cualquier triángulo rectángulo, donde (a ) y (b ) son las longitudes de los catetos y (c ) es la longitud de la hipotenusa, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ).
  • Movimiento de proyectiles
    • La altura en pies, (h ), de un objeto lanzado hacia arriba en el aire con velocidad inicial, (v_ {0} ), después de (t ) segundos viene dada por la fórmula (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ).

18.6: Resolver aplicaciones de ecuaciones cuadráticas - Matemáticas

1. El ancho de un rectángulo es 1 m menos que el doble de su longitud. Si el área del rectángulo es 100 m 2, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Mostrar todos los pasos Ocultar todos los pasos

Empezaremos dejando L sea ​​la longitud del rectángulo. A partir del enunciado del problema, ahora sabemos que el ancho del rectángulo es 1 m menos que el doble de la longitud y, por lo tanto, debe ser (2L - 1 ).

También sabemos que el área de cualquier rectángulo es la longitud por el ancho y se nos da que el área de este rectángulo en particular es 100. Por lo tanto, la ecuación para este problema es,

[comenzarA & = left (<< mbox>> derecha) izquierda (<< mbox>> derecha) 100 & = izquierda (L derecha) izquierda (<2L - 1> derecha) 100 & = 2 - Prestar] Mostrar el paso 3

Esta es una ecuación cuadrática y sabemos cómo resolverla, así que hagámoslo. Primero, necesitamos obtener la ecuación cuadrática en forma estándar.

Ahora podemos usar la fórmula cuadrática en esto para obtener,

Reduciendo los dos valores que obtuvimos en los pasos anteriores a decimales, llegamos a las siguientes dos soluciones de la ecuación cuadrática del Paso 2.

Estamos tratando con un rectángulo, por lo que tener una longitud negativa no tiene mucho sentido. Por lo tanto, la primera solución de la ecuación cuadrática no puede ser la longitud del rectángulo.

Esto significa que la longitud del rectángulo debe ser 7.3255 my el ancho del rectángulo es entonces (2 left (<7.3255> right) - 1 = 13.651 , < mbox>) .


Aplicaciones que involucran ecuaciones cuadráticas

En esta sección, las configuraciones algebraicas generalmente consisten en una ecuación cuadrática donde las soluciones pueden no ser números enteros.

Ejemplo 10: La altura de un triángulo es 2 pulgadas menos que el doble de la longitud de su base. Si el área total del triángulo es de 11 pulgadas cuadradas, calcula las longitudes de la base y la altura. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.

Usa la fórmula A = 1 2 b h y el hecho de que el área mide 11 pulgadas cuadradas para establecer una ecuación algebraica.

Para reescribir esta ecuación cuadrática en forma estándar, primero distribuya 1 2 x.

Usa los coeficientes, a = 1, B = −1 y C = −11, para determinar el tipo de soluciones.

Dado que el discriminante es positivo, espere dos soluciones reales.

En este problema, ignore la solución negativa y considere solo la solución positiva.

Sustituto trasero para encontrar la altura.

Respuesta: La base mide 1 + 3 5 2 ≈ 3,85 pulgadas y la altura es - 1 + 3 5 ≈ 5,71 pulgadas.

Ejemplo 11: La suma de los cuadrados de dos números enteros positivos consecutivos es 481. Calcula los números enteros.

La configuración algebraica es la siguiente:

Reescribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

Cuando los coeficientes son grandes, a veces es menos complicado utilizar la fórmula cuadrática en lugar de intentar factorizarla. En este caso, a = 1, b = 1 y c = - 240. Sustituya en la fórmula cuadrática y luego simplifique.

Dado que el problema requiere números enteros positivos, ignore la solución negativa y elija norte = 15.

Respuesta: Los números enteros positivos son 15 y 16.

Conclusiones clave

  • Determine el número y tipo de soluciones para cualquier ecuación cuadrática en forma estándar usando el discriminante, b 2 - 4 a c. Si el discriminante es negativo, entonces las soluciones no son reales. Si el discriminante es positivo, entonces las soluciones son reales. Si el discriminante es 0, entonces solo hay una solución, una raíz doble.
  • Elija el método apropiado para resolver una ecuación cuadrática según el valor de su discriminante. Si bien la fórmula cuadrática resolverá cualquier ecuación cuadrática, puede que no sea el método más eficiente.
  • Al resolver aplicaciones, use las palabras y frases clave para establecer una ecuación algebraica que modele el problema. En esta sección, la configuración generalmente implica una ecuación cuadrática.

Ejercicios temáticos

Parte A: Usar el discriminante

Calcule el discriminante y utilícelo para determinar el número y tipo de soluciones. No lo resuelvas.

Elija el método apropiado para resolver lo siguiente.

Crea una ecuación algebraica y úsala para resolver lo siguiente.

51. Un número real positivo es 2 menos que otro. Cuando se suma 4 veces el mayor al cuadrado del menor, el resultado es 49. Halla los números.

52. Un número real positivo es 1 más que otro. Cuando se resta el doble del menor del cuadrado del mayor, el resultado es 4. Halla los números.

53. Un número real positivo es 6 menos que otro. Si la suma de los cuadrados de los dos números es 38, entonces encuentra los números.

54. Un número real positivo es 1 más que el doble de otro. Si se resta 4 veces el número menor del cuadrado del mayor, entonces el resultado es 21. Halla los números.

Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.

55. El área de un rectángulo es de 60 pulgadas cuadradas. Si el largo es 3 veces el ancho, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo.

56. El área de un rectángulo es de 6 pies cuadrados. Si la longitud es 2 pies más que el ancho, entonces calcula las dimensiones del rectángulo.

57. El área de un rectángulo es 27 metros cuadrados. Si la longitud es 6 metros menos que 3 veces el ancho, calcula las dimensiones del rectángulo.

58. El área de un triángulo es 48 pulgadas cuadradas. Si la base es 2 veces la altura, calcula la longitud de la base.

59. El área de un triángulo es 14 pies cuadrados. Si la base mide 4 pies más de 2 veces la altura, entonces calcule la longitud de la base y la altura.

60. El área de un triángulo es de 8 metros cuadrados. Si la base es 4 metros menor que la altura, entonces calcule la longitud de la base y la altura.

61. El perímetro de un rectángulo es 54 centímetros y el área es 180 centímetros cuadrados. Encuentra las dimensiones del rectangulo.

62. El perímetro de un rectángulo es 50 pulgadas y el área es 126 pulgadas cuadradas. Encuentra las dimensiones del rectangulo.

63. George mantiene un exitoso jardín de 6 metros por 8 metros. La próxima temporada planea duplicar el área de plantación aumentando el ancho y la altura en la misma cantidad. ¿Cuánto debe aumentar el largo y el ancho?

64. Se construirá un borde uniforme de ladrillos alrededor de un jardín de 6 pies por 8 pies. Si el área total del jardín, incluido el borde, debe ser de 100 pies cuadrados, calcule el ancho del borde de ladrillo.

65. Si los lados de un cuadrado miden 10 6 unidades, entonces calcula la longitud de la diagonal.

66. Si la diagonal de un cuadrado mide 3 10 unidades, calcula la longitud de cada lado.

67. La diagonal de un rectángulo mide 6 3 pulgadas. Si el ancho es 4 pulgadas menos que el largo, entonces encuentre las dimensiones del rectángulo.

68. La diagonal de un rectángulo mide 2 3 pulgadas. Si el ancho es 2 pulgadas menos que el largo, entonces encuentre las dimensiones del rectángulo.

69. La parte superior de una escalera de 20 pies, apoyada contra un edificio, alcanza una altura de 18 pies. ¿Qué tan lejos está la base de la escalera de la pared? Redondea a la centésima más cercana.

70. Para usar una escalera de manera segura, la base debe colocarse aproximadamente a 1/4 de la longitud de la escalera lejos de la pared. Si se va a usar una escalera de 20 pies de manera segura, ¿qué altura alcanzará la parte superior de la escalera contra un edificio? Redondea a la centésima más cercana.

71. La diagonal de un monitor de televisión mide 32 pulgadas. Si el monitor tiene una relación de aspecto de 3: 2, determine su largo y ancho. Redondea a la centésima más cercana.

72. La diagonal de un monitor de televisión mide 52 pulgadas. Si el monitor tiene una relación de aspecto de 16: 9, determine su largo y ancho. Redondea a la centésima más cercana.

73. La ganancia en dólares de operar una línea de montaje que produce uniformes personalizados cada día viene dada por la función P (t) = - 40 t 2 + 960 t - 4,000, donde t representa el número de horas que la línea está en funcionamiento.

un. Calcule la ganancia de operar la línea de ensamblaje durante 10 horas al día.

B. Calcule el número de horas que debe funcionar la línea de montaje para alcanzar el punto de equilibrio. Redondea a la décima de hora más cercana.

74. La ganancia en dólares generada por producir y vender X las lámparas personalizadas viene dada por la función P (x) = - 10 x 2 + 800 x - 12,000.

un. Calcule el beneficio de la producción y venta de 35 lámparas.

B. Calcule la cantidad de lámparas que deben venderse para obtener una ganancia de $ 3,000.

75. Si se invierten $ 1,200 en una cuenta que genera una tasa de interés anual r, luego la cantidad A que está en la cuenta al final de 2 años viene dada por la fórmula A = 1200 (1 + r) 2. Si al final de 2 años la cantidad en la cuenta es $ 1335.63, ¿cuál fue la tasa de interés?

76. Una empresa manufacturera ha determinado que los ingresos diarios, R, en miles de dólares depende del número, norte, de paletas de producto comercializadas según la fórmula R = 12 n - 0,6 n 2. Determine la cantidad de paletas que se deben vender para mantener los ingresos en $ 60,000 por día.

77. La altura de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de 32 pies / segundo desde una altura de 128 pies está dada por la función h (t) = - 16 t 2 + 32 t + 128.

un. ¿Cuál es la altura del proyectil a 1/2 segundo?

B. ¿A qué hora después del lanzamiento alcanzará el proyectil una altura de 128 pies?

78. La altura de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de 16 pies / segundo desde una altura de 192 pies está dada por la función h (t) = - 16 t 2 + 16 t + 192.

un. ¿Cuál es la altura del proyectil a 3/2 segundos?

B. ¿A qué hora alcanzará el proyectil los 128 pies?

79. La altura de un objeto que se deja caer desde lo alto de un edificio de 144 pies está dada por h (t) = - 16 t 2 + 144. ¿Cuánto tiempo se tarda en llegar a un punto a la mitad del suelo?

80. La altura de un proyectil disparado directamente al aire a 80 pies / segundo desde el suelo está dada por h (t) = - 16 t 2 + 80 t. ¿A qué hora alcanzará el proyectil los 95 pies?

81. Analice la estrategia de usar siempre la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.

82. Enumere todos los métodos que hemos aprendido hasta ahora para resolver ecuaciones cuadráticas. Analice los pros y los contras de cada uno.


CBSE 10th Matemáticas | Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas

Sea P la ubicación requerida del poste. Sea la distancia del poste a la puerta R x m, es decir, RP = x m. Ahora la diferencia de las distancias del poste desde las dos puertas = QP & # 8211 RP (o, RP - QP) = 7 m. Por lo tanto, QP = (x + 7) m.

Ahora, QR = 13m, y dado que QR es un diámetro.

(El ángulo en un semicírculo es un ángulo recto)

Por lo tanto, (por el teorema de Pitágoras)

Entonces, la distancia x del polo desde la puerta R satisface la ecuación

Encontraremos su discriminante y encontraremos si sería posible

Entonces, la ecuación cuadrática dada tiene dos raíces reales y es posible erigir el poste en el límite del parque.

Resolviendo la ecuación cuadrática, por fórmula cuadrática, tenemos

Dado que x es la distancia entre el polo y la puerta R, debe ser positiva. Por tanto, se rechaza x = –12. Entonces, x = 5.

Por lo tanto, el poste debe erigirse en el límite del parque a una distancia de 5 m de la puerta R y 12 m de la puerta Q.


Resolver aplicaciones de ecuaciones cuadráticas

    La suma de dos números impares consecutivos es −100. Encuentra los números.

Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas

Anteriormente, resolvimos algunas aplicaciones que se modelaron mediante ecuaciones cuadráticas, cuando el único método que teníamos para resolverlas era la factorización. Ahora que tenemos más métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, veremos de nuevo las aplicaciones.

Primero resumamos los métodos que tenemos ahora para resolver ecuaciones cuadráticas.

  1. Factorización
  2. Propiedad de raíz cuadrada
  3. Completando el cuadrado
  4. Fórmula cuadrática

A medida que resuelve cada ecuación, elija el método que le resulte más conveniente para resolver el problema. Como recordatorio, copiaremos nuestra estrategia habitual de resolución de problemas aquí para que podamos seguir los pasos.

  1. Leer el problema. Asegúrese de que se comprendan todas las palabras e ideas.
  2. Identificar Qué estamos buscando.
  3. Nombre Qué estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  4. Traducir en una ecuación. Puede ser útil volver a plantear el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.
  5. Resolver la ecuación usando técnicas de álgebra.
  6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  7. Respuesta la pregunta con una oración completa

Hemos resuelto aplicaciones de números que involucraban números enteros pares e impares consecutivos, modelando la situación con ecuaciones lineales. Recuerde, notamos que cada entero par es 2 más que el número que lo precede. Si llamamos al primero norte, entonces el siguiente es norte + 2. El siguiente sería norte + 2 + 2 o norte + 4. Esto también es cierto cuando usamos números enteros impares. A continuación se muestra un conjunto de números enteros pares y un conjunto de números enteros impares.

Algunas aplicaciones de números enteros pares o impares se modelan mediante ecuaciones cuadráticas. La notación anterior será útil para nombrar las variables.

El producto de dos números enteros impares consecutivos es 195. Halla los números enteros.

El producto de dos números enteros impares consecutivos es 99. Halla los números enteros.

Los dos enteros impares consecutivos cuyo producto es 99 son 9, 11 y −9, −11


18.6: Resolver aplicaciones de ecuaciones cuadráticas - Matemáticas

6.3 Grafica usando intersecciones x

- resolver ecuaciones cuadráticas e interpretar las soluciones con respecto a las relaciones correspondientes

- resolver problemas de relaciones cuadráticas.

- identificar las características clave de un gráfico de una parábola (es decir, la ecuación del eje de simetría, las coordenadas del vértice, la intersección con el eje y, los ceros y el valor máximo o mínimo) y utilizar la terminología adecuada para describelos

- Expresiones de polinomios factoriales que involucran factores comunes, trinomios y diferencias de cuadrados.

- determine, through investigation, and describe the connection between the factors of a quadratic expression and the x-intercepts (i.e., the zeros) of the graph of the corresponding quadratic relation, expressed in the form y = a(x &ndash r)(x &ndash s)

- interpret real and non-real roots of quadratic equations, through investigation using graphing technology, and relate the roots to the x-intercepts of the corresponding relations

- express y = ax2 + bx + c in the form y = a(x &ndash h)2 + k by completing the square in situations involving no fractions, using a variety of tools

- sketch the graph of a quadratic relation that is given in standard form

- explore the algebraic development of the quadratic formula - solve quadratic equations that have real roots, using a variety of methods

- determine the zeros and the maximum or minimum value of a quadratic relation from its graph

- solve problems arising from a realistic situation represented by a graph or an equation of a quadratic relation, with and without the use of technology


Oxford Education Blog

One of the biggest ‘why oh why’ questions in secondary school mathematics is the purpose of studying quadratic equations because ‘I am never going to need them in everyday life’. This irritating question is based on a sound premise. The applications generally offered to students to persuade them of the usefulness of quadratics tend to be dropping things from tall buildings, kicking/throwing/shooting, accelerating/braking, or calculating areas. All of these actions in ‘everyday life’ are generally calculated by estimation, rules of thumb, or in the case of areas, some kind of non-standard measuring unit such as the number of tiles or length of carpet.

Plan A for teachers answering this question is to continue the myth that adults go around doing school mathematics on bits of paper in all kinds of day-to-day contexts.

Plan B could be something like ‘no but you do need them to get your exam grades’ – an answer that continues the myth of irrelevance but is at least true.

Plan C: could be something like ‘no but you do need them to help you understand some of the maths you’re going to use in other subjects and employment’.

Plan C was the focus of a parliamentary debate at 3.43pm on 26th June 2003 about quadratic equations. I can imagine an enterprising group of students turning this debate into a humorous sketch, but the messages it contains are valuable. Tony McWalter (MP) starts with:

‘I put this matter on the agenda today because I have been troubled since the president of a teachers’ union suggested a couple of months ago that mathematics might be dropped as a compulsory subject by pupils the age of 14… He cited the quadratic equation as an example of the sort of irrelevant topic that pupils study. I had hoped that the Government would make a robust rebuttal, but there was no defence either of mathematics in general or the quadratic equation in particular.’

In his speech, Tony McWalter gives several reasons why quadratic equations are relevant that seem to me to be important when planning the place and role of quadratics in students’ school experience.

  1. access to understanding calculus, such as rates of change and marginal effect
  2. access to understanding science, such as gravity
  3. understanding that effort and difficulty present rewards beyond what can be achieved by guessing or trial and error
  4. access to the authentic historical culture of mathematics

Alan Johnson replies by pointing out some further reasons: ‘quadratic equations allow us to analyse the relationships between variable quantities, and they are the tool for understanding variable rates of change.’

Note that I have not said ‘in the National Curriculum’, because it is sadly limited to testable statements:

  1. develop algebraic and graphical fluency, including understanding linear and simple quadratic functions
  2. recognise, sketch and produce graphs of … quadratic functions of one variable with appropriate scaling, using equations in X y y and the Cartesian plane
  3. use…quadratic graphs to estimate values of y for given values of X and vice versa…

Instead, when we think about the curriculum from the students’ point of view, it is best to embed answers to the ‘why oh why?’ question all the way through and give everyone, including you and your colleagues, a strong sense of shared purpose.

So why are quadratic functions important?

Quadratic functions hold a unique position in the school curriculum. They are functions whose values can be easily calculated from input values, so they are a slight advance on linear functions and provide a significant move away from attachment to straight lines.

They are functions which have variable rates of change, that can be described qualitatively. It is easy to provide students with quadratic functions whose output values can be represented on equal aspect X y y axes, so that understanding rate of change as the gradient of tangent at point is relatively straightforward without worrying about scaling. They therefore provide opportunities to learn about the importance of paying attention to scaling of the y-axis when reasoning graphically about rates of change/gradients, by comparing the different visual appearance of graphs when the scaling changes.

When we translate linear functions it is visually unclear whether the translation was horizontal or vertical. It can also be a mystery to students why we focus on the y intercept in the y = mx + C representation, particularly as the ax + por = C representation gives both intercepts equal importance. The quadratic function clarifies these issues by making it necessary to know the direction of translation, and by presenting a new – hugely important – meaning of intercepts on the X-eje. For all future work with functions and graphs, whether in pure maths or in some application of maths, students will need to focus on these qualitative characteristics, and also rates of change, constants represented by y intercepts, and zeros.

Quadratics are the only functions where students can use fairly accessible algebraic and arithmetical manipulation to show the relationships between input/output values, different algebraic representations, and graphical representations. Other elementary functions are accessible for some, but not all, of these connections.

The study of quadratics, therefore, provides the opportunity to ask a variety of questions about quantitative characteristics of phenomena. Such as questions about increase and decrease, rates of change, upturns and downturns or questions about achieving certain values, such as zero, and the location of maxima and minima. Within quadratic functions, these questions can be answered at KS3/4 level.

By questioning quadratics, students of higher mathematics also have access to the use of imaginary numbers to solve problems through the necessary invention of I – the square root of -1.

How do we show their purpose in the classroom?

What would your school scheme of work look like throughout KS3 if it had these questions arranged in a coherent fashion so that students’ experience had some meaning, both for those who will go on to study higher mathematics and for those who will use graphs in a wide range of subjects and purposes?

It’s pretty obvious to me that the factorised form of the quadratic (y = k(x-a)(x-b)) and interpretation and sketching of graphs should go hand-in-hand. Then vertical translations and scaling could be used to distinguish between quadratics that had the same roots. Using curiosity, exploration and conjecture with graphical software would be one way to hook students into this, by giving them the intellectual power to create and identify quadratics that are visually very different.

The factorised form also gives access to the area model of the quadratic expression that is historically important and also widely used in textbooks. This approach, focusing on overall characteristics rather than individual points (apart from zeros) also embeds an understanding of functions as objects in their own right, rather than as a way of ‘joining the dots’. Manipulating expressions, by expanding brackets or factorising also has the purpose of moving between different ways to express quadratics, and hence focusing on different characteristics of the function.

This was the kind of development we had in mind when we began to write the curriculum, but much gets lost in the process of reducing conceptual development to brief statements. We imagined that this kind of work could go on through constant use of graphical software and alongside experience with other functions. Functions that can be understood qualitatively, but maybe not algebraically, such as exponentiation, inverse proportion, sinusoidal and so on, asking questions that, for the quadratic, can often be answered exactly using KS3 methods.

So, if I were planning how to tackle quadratics throughout KS3 I would vote for Plan C, and provide a meaningful, coherent and purposeful experience of quadratics (and their associated manipulations and transformations), as a bridge from linear functions and graphs to a world of functions that express all kinds of relations in science and mathematics, and elsewhere.


Anne Watson has two maths degrees and a DPhil in Mathematics Education, and is a Fellow of the Institute for Mathematics and its Applications. Before this, she taught maths in challenging schools for thirteen years. She has published numerous books and articles for teachers, and has led seminars and run workshops on every continent.


Solving A Quadratic Equation By Factoring With Examples

Ejemplo 1: Solve (i) x 2 + 3x – 18 = 0 (ii) (x – 4) (5x + 2) = 0
(iii) 2x 2 + ax – a2 = 0 where ‘a’ is a real number.
Sol. (I) x 2 + 3x – 18 = 0
⇒ x 2 + 6x – 3x – 18 = 0
⇒ x(x + 6) – 3(x + 6) = 0
i.e., (x + 6) (x – 3) = 0
⇒ x + 6 = 0 or x – 3 = 0
⇒ x = – 6 or x = 3
Roots of the given equation are – 6 and 3
(ii) (x – 4) (5x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 or 5x + 2 = 0
x = 4 or x = – 2/5
(iii) 2x 2 + ax – a 2 = 0
⇒ 2x 2 + 2ax – ax – a 2 = 0
⇒ 2x(x + a) – a(x + a) = 0
i.e., (x + a) (2x – a) = 0
⇒ x + a = 0 or 2x – a = 0
⇒ x = – a or x = a/2

Ejemplo 2: Solve the following quadratic equations
(i) x 2 + 5x = 0 (ii) x 2 = 3x (iii) x 2 = 4
Sol. (I) x 2 + 5x = 0 ⇒ x(x + 5) = 0
⇒ x = 0 or x + 5 = 0
⇒ x = 0 or x = – 5
(ii) x 2 = 3x
⇒ x 2 – 3x = 0
⇒ x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 or x = 3
(iii) x 2 = 4
⇒ x = ± 2

Ejemplo 3: Solve the following quadratic equations
(i) 7x 2 = 8 – 10x (ii) 3(x 2 – 4) = 5x (iii) x(x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
Sol. (I) 7x 2 = 8 – 10x
⇒ 7x 2 + 10x – 8 = 0
⇒ 7x 2 + 14x – 4x – 8 = 0
⇒ 7x(x + 2) – 4(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (7x – 4) = 0
⇒ x + 2 = 0 or 7x – 4 = 0
⇒ x = – 2 or x = 4/7
(ii) 3(x 2 – 4) = 5x
⇒ 3x 2 – 5x – 12 = 0
⇒ 3x 2 – 9x + 4x –¬ 12 = 0
⇒ 3x(x – 3) + 4(x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (3x + 4) = 0
⇒ x – 3 = 0 or 3x + 4 = 0
⇒ x = 3 or x = –4/3
(iii) x(x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
⇒ x 2 + x + x 2 + 3x + 2x + 6 – 42 = 0
⇒ 2x 2 + 6x – 36 = 0
⇒ x 2 + 3x – 18 = 0
⇒ x 2 + 6x – 3x – 18 = 0
⇒ x(x + 6) – 3(x + 6) = 0
⇒ (x + 6) (x – 3) = 0
⇒ x = – 6 or x = 3

Ejemplo 4: Solve for x : 12abx 2 – (9a 2 – 8b 2 ) x – 6ab = 0
Given equation is 12abx 2 – (9a 2 – 8b 2 ) x – 6ab = 0
⇒ 3ax(4bx – 3a) + 2b(4bx – 3a) = 0
⇒ (4bx – 3a) (3ax + 2b) = 0
⇒ 4bx – 3a = 0 or 3ax + 2b = 0
⇒ x =3a/4b or x = – 2b/3a


Comentarios

Its all in the context

What a great shame such concepts are seldom if ever taught in schools framed in historical and application context as they have been in this article.

And also the description

I agree with you. Children also need to know that a quadratic equation is a way to describe a physical thing, such as the arch of a bridge. I never understood that and no one ever told me that. I figured it out on my own when, as an adult, I restudied math. If they could see that math is a descriptive language that we all make use of, whether we fully realize it or not, they would then A) more readily understand math, and B) see its worth rather than question its worth.

Babylonians?

Just nitpicking here, but wouldn't 3000 B.C. be the Sumerians, not the Babylonians? It's been a while since I took Near Eastern studies, but I'm pretty sure the Babylonians didn't come around until mid third millenium B.C.

Yes you are right, they weren

Yes you are right, they weren't around yet.

Gracias.

The information regarding quadratic formulas has helped me visualize and clearly grasp the concept for potential applications. Amazing!!
I am one who has struggled in the subject yet determined to understand it.

Very Cool Story!

Hey,
I really like your website. For the first time ever, I see the importance of the quadratic formula. However, I need some help with a step, using the triangular field to develop c = ax^2 + bx. Why is the height 2x for the two right triangles. It's probably easy, but it's a step that is mysterious to me and my long work day, tired brain.

Triangular field area

Great article, wonderful introduction to quadratic equations.

I had exactly the same difficulty - and after over 50 years my school maths is really, really rusty.

There must be a good reason as to why they chose those particular ways of denoting base and height of the triangle (rather than just b and h), and I assume it is correct. Still do not really understand that bit.

However if you use those expressions in the area formula for a triangle (area = half base time height) then it does come out.

Also stumped

I could follow through up to the triangular field example. I suspect that there is some factoring and cancelling going on.

Nevertheless, I found this article useful in explaining WHY we have quadratic equations, and knowing why we have them helps me understand why/where/how we might apply them in real life situations. This was never taught to me at school. Instead, we just had to recognise when an equation was quadratic, learn the formula, then apply it.

Re: Very Cool Story! Thanks for your rectifying.

Yes, the formula that follows now makes sense. The height of the perpendicular now makes sense where it is "2x", and not "2x/m".

Apreciación

101 things Quadratic

I enjoyed this article very much. The combination of history, that I love, with algebra, that I struggle with, made my understanding of the concepts of functions easier. I especially appreciated seeing the conics sections and the application of each into graph equations. You all gave me an "aaha" moment. Keep up the good work. Debra

That's so first grade

I learned to factor quadratics in first grade. They're tame. I learned how functions can model "anything" when i watched the standard deviants algebra videos.

More generalized polynomials can be a pain to factor, though.

Well, okay..

Well, you must have been the smartest first grader in the world, I can't even figure this out in the 8th grade.

Great Job

It must have been a great effort to bring out these significance of quadratic equations. Immensely impressed. Appreciate the good job..

AWESOME

the research done on quadratic equation is awesome i always found it boooooring but this what is written is simply great.
the Babylonians and the Greeks are awesome i really loved reading it and hence forth in 11std i would surely do it thoroughly.thank you very much authors

INTERESTING

I always said that had no meaning at all, and why learn it if I won't ever use it again. This article has completely shut me up. I enjoyed every bit of this arcticle, very interesting introduction on Quadratic Equations. The information providded on quadratics had seriously helped me understand it a lot more. Its amazing how they use physical things such as the bridge and the arch to solve the dimensions.

United States needs to change mathematics instruction from K-12

This helped me understand the relevance of the quadratic equation. Incorporating the history of mathematics demonstrates how mathematics helps people become more efficient to finding solutions to world problems. Many students shut down mentally and emotionally when it comes to mathematics. en los Estados Unidos. I'm trying to find ways to help change the way we instruct in the United States.

Bad teachers

I don't think that I ever had a math instructor that actually knew the subject until I reached college. It was a true joy to ask questions and get real answers. The US is crippled in math and science because k-12 education has become a union racket to employ the otherwise useless. The best way to change the way we instruct is to abolish all state funded public schools, disband public unions that kick back campaign money to the supposed representatives and let the parents and local school boards freely fire the worthless drones.

Math Teachers and Low pay

Actually, the reason why we can't get good math teachers is becuase the industry hires them at a much higher rate of pay then what the schools can pay. We get the "left overs" to choose from. I lucked out, and happened to get 3 very good math teachers. But I was the exception, and clearly not the rule.

Mirtha Abreu - Use of Quadratic Equation

This has definitely helped me understand quadratic equations. This is a subject that I have previously struggles with an after reading this article, I can understand it much better. I enjoyed learning about the history of quadratic equations and reading the explanations. Great article and very well put out!

Word Confusion

Part of the Quadratic Equation Article states:

"which is in turn proportional to the square of the length of the side. In mathematical terms, if (x) is the length of the side of the field, (m) is the amount of crop you can grow on a square field of side length 1, and (c) is the amount of crop that you can grow, then"

"m" and "c" sound like the same thing? Is this a typo?

The two are different: m is

The two are different: m is the amount you can grow on a field of unit side length and c the amount you can grow on the field under consideration (side length x).

Too really help. expand more on the triangle

Please expand on how you derived the labels on the Triangle and how then they fulfill the equation c = ax^2 + bx.

I still don't like the Irrational ones though.

"At this point the Greeks gave up algebra and turned to geometry."

Honestly? So did I! I am an artist, I think graphically. Geometry, Geography, Cartography, Orthography, etc. have always come to me easily. Irrational Quadratic Equations (IQE), as taught in most public schools in the United States of America, make absolutely no sense, and serve no discernible purpose in the real world.

My own instructors dedicated 50% or more of their courses to IQE, frustrating me to no end, because they wouldn't move on to anything else once they reached them. They constantly asked on written assignments to merely, "Solve.", equations. Then they always complained about the result I wrote, even when it was correct, because they wanted me to, "Show my work."

The process of going through the formula was more important to them than the result. None of them understood that I used a different means to get to the result, that was faster, and just as accurate. I didn't understand why they insisted upon writing mathematical expressions that were needlessly complex to denote an equation that was effectively upside down, backwards, and turned inside out. For them, algebraic notation was a mathematical puzzle to be taken apart and put back together, providing 'proof' that the expression was true at all points in the progression.

I skipped the algebraic notation and went directly to the result. I didn't need 'proof', I just wanted to get the work done. I knew in my heart that no one would actually write equations of the sort they expressed when attempting to solve real world issues in an expedited manner.

This article is very well written. I wish I had come across something of this sort thirty years ago, when it could have done me some good. Instead, it wasn't until I took classes in Trigonometry that it all fell into place. Trigonometry did for me, as an artist, what Algebra did for my high school instructors. Trigonometry acted as a mathematical bridge between Arithmetic, Geometry and Algebra, that I could traverse at will.

Unta Glebin Gloutin Globin

Red Ronin, The Cybernetic Samurai

360 degrees, 365.25 days

I think it is nearly impossible that the Babylonians thought there were 360 days in a year. I think you are implying that the number of degrees in a circle were chosen because the earth moves through almost one degree of its orbit each day. It's more likely that they chose 360 degrees as an outgrowth of their love for the number 60 - because it has so many factors. If you choose 60 for the internal angle of an equilateral triangle you get 360 degrees in a circle.

360 degrees, 365.25 days

The radius of a circle will fit inside the circle six times exactly to form a hexagon the corners of the hexagon each touch the circumference of the circle. Babylonians did indeed have a love for the number 60 and if each of the sides of the hexagon are divided into 60 and a line drawn from each 60th to the centre of the circle then there are 360 divisions in the circle.

Much appreciated

Thanks for going to the trouble of explaining the history and applications of quadratic equations. The point of it all was never explained to me when I was thrown into the deep end with them, age 10. Now that I've been asked to explain them to a friend's son, your material is helping to demystify things. Matt, North Wales, UK

Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I can't get beyond c = a x^2 + b x. How is this equation derived from the figure given? There's no explanation as to what "a" and "b" actually represent?

Re: Don't understand how you get to c = a x^2 + b x

I was wondering the same thing. In the diagram I take ax to be the base of the smaller triangle but then where is x in the equation coming from? Are a and x equal?

Also don't understand how that 1st 2 triangles field eqn works

I'm also stuck on that 1st example of the field comprising 2 triangles and how we get to the quadratic equation from that. I would love to go through the rest of this article but don't want to until I've overcome the hurdle of understanding this. Please, someone?

The area of the smaller of

The area of the smaller of the two triangles is ax^2/m and the area of the larger one is bx/m (from the standard formula for the area of triangles). This means that the area of the whole field is ax^2/m+bx/m. Since the amount of crop that can be grown on a field of unit area is m, the amount of crop that can be grown on a field of area ax^2/m+bx/m is m(ax^2/m+bx/m) = ax^2+bx.

Area of smaller triangle

But why is the base of one triangle ax and of the other simply b. Where does that ax value come from?

Area of smaller triangle

can someone please explain terrys question-why is one base ax and the other one simply b. also why is the height 2x/m. where does the m come from.

Explicaciones

I can understand Anon's frustration back in Jan '16. So often in mathematical explanations I've read I find myself tripping over a missing step. Like a mathematical pothole. It's usually something so obvious to the mathematician who wrote it that it didn't seem to need mentioning. ( Like where that little square came from- though I did eventually work that one out). The problem is that if you are trying to follow a set of mathematical steps even if you solve the missing one (as with me and the small square) you have been diverted away from the main problem and lost the thread: And then probably give up and go off and do something else instead.

Explicaciones

It's just a quadratic equation in standard form tweaked ie ax^2 + bx + c vs c = ax^2 + bx and if a is anything other than 1, then you remove it, etc

Will try to help you clarify

I'm pretty sure when they sought out ways to derive a quadratic equation to help them reason triangular regions they had to think frontwards and backwards. First, I believe you need to understand how the height 2x/m came into play (why it was used). First, keep in mind that "m" represents a basic unit of 1. That would mean that 2x/m (the height for BOTH triangles would appear to be 2x. But are their heights 2x? Let's think about it, when finding the area of a right triangle we eventually divide the area by 2 after multiplying the b x the h. Knowing this, it is mathematically reasonable why the coefficient of "2" was put in front of x-it would get divided back out and preserve what they really wanted for the height of the triangle/ length of one side of the land "x". This mean that the small triangular area would be ax times x or (ax^2). The larger triangular area would be b times x or bx for its area. You asked though "what is "a" and "b"? look at length of base "a", compared to the triangles height that we previously deduced to really be "x". "a" represents a coefficient thats taking a fraction of base length "x" for the small base is being represented in terms of the height of the triangle or length of the land. Base b ls obviously the second width of the scalene triangle or width of land that IF represented with bx instead of b (like it is) would have created a bx^2 term instead of the bx we need to figure out the area the land in addition to other things. This is my perception after being confused there for a minute too. I hope this helped you or someone just a little although it's years later- just discovered this awesome forum:).

Super Confused

I really can't follow what you're saying. I just want to know where that expression for the height comes from. So I called it h to get the total area of the triangle as h(ax+b)/2. Total total yield of this area will be hm(ax + b)/2.
So I can appreciate that ax must be something relating that smaller triangle to the height, and if I set h = x, I get m(ax^2 + bx)/2 for the total yield. Substituting h = 2x/m gives ax^2 + bx which is the area of two quadrilaterals with the same height of x and 2 sides of ax and b. So the yield, which should be a product of area and the coefficient m is now rendered as the areas of two squares without having anything to do with that coefficient anymore. Taking the height to be x again and the bases as they are, the total yield for the aggregate quadrilateral is m(ax^2 + bx), and for the triangles would be that over 2. Rearranging gives ax^2 + bx = 2yield /m. So if the yield of the quadrilateral (divided by m) of height x is ax^2 + bx, then the height at which the yeild of the triangles is equal to that is 2x/m. I can see all that but I just can't grasp what on earth is going on and its doing my head in


RESUMEN

Key Words

  • A quadratic equation is a polynomial equation in one unknown that contains the second degree, but no higher degree, of the variable.
  • El forma estándar of a quadratic equation is ax 2 + bx + c = 0, when a &ne 0.
  • Un incomplete quadratic equation is of the form ax 2 + bx + c = 0, and either b = 0 or c = 0.
  • El quadratic formula es


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