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17.6: Dividir expresiones radicales

17.6: Dividir expresiones radicales



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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Dividir expresiones radicales
  • Racionalizar un denominador de un término
  • Racionalizar un denominador de dos términos

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: ( dfrac {30} {48} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 1.24.
  2. Simplifica: (x ^ {2} ⋅x ^ {4} ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.12.
  3. Multiplicar: ((7 + 3x) (7−3x) ).
    Si pasó por alto este problema, revise el Ejemplo 5.32.

Dividir expresiones radicales

Hemos utilizado el Propiedad del cociente de expresiones radicales para simplificar raíces de fracciones. Volvemos a proporcionar la propiedad del cociente de las expresiones radicales para facilitar la referencia. Recuerde, asumimos que todas las variables son mayores o iguales a cero para que no se necesiten barras de valor absoluto.

Definición ( PageIndex {1} ): Propiedad del cociente de expresiones radicales

Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b ≠ 0 ), y para cualquier número entero (n≥2 ) entonces ,

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} quad text {y} quad dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

Usaremos la propiedad del cociente de expresiones radicales cuando la fracción con la que comenzamos es el cociente de dos radicales, y ninguno de los radicales es una potencia perfecta del índice. Cuando escribimos la fracción en un solo radical, podemos encontrar factores comunes en el numerador y denominador.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {72 x ^ {3}}} { sqrt {162 x}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {32 x ^ {2}}} { sqrt [3] {4 x ^ {5}}} )

Solución:

un.

( dfrac { sqrt {72 x ^ {3}}} { sqrt {162 x}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente,

( sqrt { dfrac {72 x ^ {3}} {162 x}} )

Elimina los factores comunes.

( sqrt { dfrac { cancel {18} cdot 4 cdot x ^ {2} cdot cancel {x}} { cancel {18} cdot 9 cdot cancel {x}}} )

Simplificar.

( sqrt { dfrac {4 x ^ {2}} {9}} )

Simplifica el radical.

( dfrac {2 x} {3} )

B.

( dfrac { sqrt [3] {32 x ^ {2}}} { sqrt [3] {4 x ^ {5}}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente, ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} ).

( sqrt [3] { dfrac {32 x ^ {2}} {4 x ^ {5}}} )

Simplifica la fracción debajo del radical.

( sqrt [3] { dfrac {8} {x ^ {3}}} )

Simplifica el radical.

( dfrac {2} {x} )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {50 s ^ {3}}} { sqrt {128 s}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {56 a}} { sqrt [3] {7 a ^ {4}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5s} {8} )
  2. ( dfrac {2} {a} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {75 q ^ {5}}} { sqrt {108 q}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {72 b ^ {2}}} { sqrt [3] {9 b ^ {5}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5 q ^ {2}} {6} )
  2. ( dfrac {2} {b} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {147 a b ^ {8}}} { sqrt {3 a ^ {3} b ^ {4}}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 250 m norte ^ {- 2}}} { sqrt [3] {2 m ^ {- 2} n ^ {4}}} )

Solución:

un.

( dfrac { sqrt {147 a b ^ {8}}} { sqrt {3 a ^ {3} b ^ {4}}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( sqrt { dfrac {147 a b ^ {8}} {3 a ^ {3} b ^ {4}}} )

Elimina los factores comunes de la fracción.

( sqrt { dfrac {49 b ^ {4}} {a ^ {2}}} )

Simplifica el radical.

( dfrac {7 b ^ {2}} {a} )

B.

Reescribe usando la propiedad del cociente.

Simplifica la fracción debajo del radical.

Simplifica el radical.

(- dfrac {5 m} {n ^ {2}} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {162 x ^ {10} y ^ {2}}} { sqrt {2 x ^ {6} y ^ {6}}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 128 x ^ {2} y ^ {- 1}}} { sqrt [3] {2 x ^ {- 1} y ^ {2}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {9 x ^ {2}} {y ^ {2}} )
  2. ( dfrac {-4 x} {y} )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {300 m ^ {3} n ^ {7}}} { sqrt {3 m ^ {5} n}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 81 p q ^ {- 1}}} { sqrt [3] {3 p ^ {- 2} q ^ {5}}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {10 n ^ {3}} {m} )
  2. ( dfrac {-3 p} {q ^ {2}} )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {54 x ^ {5} y ^ {3}}} { sqrt {3 x ^ {2} y}} )

Solución:

( dfrac { sqrt {54 x ^ {5} y ^ {3}}} { sqrt {3 x ^ {2} y}} )

Reescribe usando la propiedad del cociente.

( sqrt { dfrac {54 x ^ {5} y ^ {3}} {3 x ^ {2} y}} )

Elimina los factores comunes de la fracción.

( sqrt {18 x ^ {3} y ^ {2}} )

Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto más grande.

( sqrt {9 x ^ {2} y ^ {2} cdot 2 x} )

Reescribe el radical como el producto de dos radicales.

( sqrt {9 x ^ {2} y ^ {2}} cdot sqrt {2 x} )

Simplificar.

(3 x y sqrt {2 x} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {64 x ^ {4} y ^ {5}}} { sqrt {2 x y ^ {3}}} )

Respuesta

(4 x y sqrt {2 x} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {96 a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt {2 a ^ {3} b}} )

Respuesta

(4 a b sqrt {3 b} )

Racionalizar un denominador de un término

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida diaria, ¡aproximar el valor de una fracción con un radical en el denominador era un proceso muy engorroso!

Por esta razón, un proceso llamado racionalizando el denominador fue desarrollado. Una fracción con un radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente cuyo denominador es un número entero. Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos son números irracionales. Cuando racionalizamos el denominador, escribimos una fracción equivalente con un número racional en el denominador. Este proceso todavía se utiliza hoy en día y también es útil en otras áreas de las matemáticas.

Definición ( PageIndex {2} ): Racionalización del denominador

Racionalizando el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador en una fracción equivalente cuyo denominador es un número entero.

Aunque tenemos calculadoras disponibles en casi todas partes, una fracción con un radical en el denominador aún debe racionalizarse. No se considera simplificado si el denominador contiene un radical.

Del mismo modo, un expresión radical no se considera simplificado si el radicando contiene una fracción.

Expresiones radicales simplificadas

Una expresión radical se considera simplificada si hay

  • no hay factores en el radicando y tienen potencias perfectas del índice
  • sin fracciones en el radicando
  • sin radicales en el denominador de una fracción

Para racionalizar un denominador con raíz cuadrada, usamos la propiedad de que (( sqrt {a}) ^ {2} = a ). Si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada irracional, obtenemos un número racional.

Usaremos esta propiedad para racionalizar el denominador en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {4} { sqrt {3}} )
  2. ( sqrt { dfrac {3} {20}} )
  3. ( dfrac {3} { sqrt {6 x}} )

Solución:

Para racionalizar un denominador con un término, podemos multiplicar una raíz cuadrada por sí misma. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

un.

Multiplica tanto el numerador como el denominador por ( sqrt {3} ).

Simplificar.

Tabla 8.5.1

B. Siempre simplificamos primero el radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera, los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.

La fracción no es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la propiedad del cociente.

Simplifica el denominador.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {5} ).

Simplificar.

Simplificar.

Tabla 8.5.2

C.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt {6x} ).

Simplificar.

Simplificar.

Tabla 8.5.3

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {5} { sqrt {3}} )
  2. ( sqrt { dfrac {3} {32}} )
  3. ( dfrac {2} { sqrt {2 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {5 sqrt {3}} {3} )
  2. ( dfrac { sqrt {6}} {8} )
  3. ( dfrac { sqrt {2 x}} {x} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {6} { sqrt {5}} )
  2. ( sqrt { dfrac {7} {18}} )
  3. ( dfrac {5} { sqrt {5 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac {6 sqrt {5}} {5} )
  2. ( dfrac { sqrt {14}} {6} )
  3. ( dfrac { sqrt {5 x}} {x} )

Cuando racionalizamos una raíz cuadrada, multiplicamos el numerador y el denominador por una raíz cuadrada que nos daría un cuadrado perfecto debajo del radical en el denominador. Cuando sacamos la raíz cuadrada, el denominador ya no tenía radical.

Seguiremos un proceso similar para racionalizar las raíces superiores. Para racionalizar un denominador con un radical de índice más alto, multiplicamos el numerador y el denominador por un radical que nos daría un radicando que es una potencia perfecta del índice. Cuando simplificamos el nuevo radical, el denominador ya no tendrá un radical.

Por ejemplo,

Usaremos esta técnica en los siguientes ejemplos.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [3] {6}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {7} {24}} )
  3. ( dfrac {3} { sqrt [3] {4 x}} )

Solución:

Para racionalizar un denominador con raíz cúbica, podemos multiplicar por una raíz cúbica que nos dará un cubo perfecto en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

un.

El radical en el denominador tiene un factor de (6 ). Multiplica tanto el numerador como el denominador por ( sqrt [3] {6 ^ {2}} ), lo que nos da (2 ) más factores de (6 ).

Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene (3 ) potencias de (6 ).

Simplifica la raíz cúbica en el denominador.

Tabla 8.5.4

B. De esta manera, los números se mantienen más pequeños y es más fácil trabajar con ellos.

La fracción no es un cubo perfecto, así que reescribe usando la propiedad del cociente.

Simplifica el denominador.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [3] {3 ^ {2}} ). Esto nos dará (3 ) factores de (3 ).

Simplificar.

Recuerde, ( sqrt [3] {3 ^ {3}} = 3 ).

Simplificar.

Cuadro 8.5.5

C.

Reescribe el radicando para mostrar los factores.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [3] {2 cdot x ^ {2}} ). Esto nos dará (3 ) factores de (2 ) y (3 ) factores de (x ).

Simplificar.

Simplifica el radical en el denominador.

Tabla 8.5.6

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [3] {7}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {5} {12}} )
  3. ( dfrac {5} { sqrt [3] {9 y}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [3] {49}} {7} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {90}} {6} )
  3. ( dfrac {5 sqrt [3] {3 y ^ {2}}} {3 y} )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [3] {2}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {3} {20}} )
  3. ( dfrac {2} { sqrt [3] {25 n}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [3] {4}} {2} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {150}} {10} )
  3. ( dfrac {2 sqrt [3] {5 n ^ {2}}} {5 n} )

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [4] {2}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {5} {64}} )
  3. ( dfrac {2} { sqrt [4] {8 x}} )

Solución:

Para racionalizar un denominador con una cuarta raíz, podemos multiplicar por una cuarta raíz que nos dará una cuarta potencia perfecta en el radicando en el denominador. Para mantener la fracción equivalente, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

un.

El radical en el denominador tiene un factor de (2 ).
Multiplica tanto el numerador como el denominador por ( sqrt [4] {2 ^ {3}} ), lo que nos da (3 ) más factores de (2 ).

Multiplicar. Observe que el radicando en el denominador tiene (4 ) potencias de (2 ).

Simplifica la cuarta raíz del denominador.

Tabla 8.5.7

B. De esta manera, los números se mantienen más pequeños y es más fácil trabajar con ellos.

La fracción no es una cuarta potencia perfecta, así que reescribe usando la propiedad del cociente.

Reescribe el radicando en el denominador para mostrar los factores.

Simplifica el denominador.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [4] {2 ^ {2}} ). Esto nos dará (4 ) factores de (2 ).

Simplificar.

Recuerde, ( sqrt [4] {2 ^ {4}} = 2 ).

Simplificar.

Cuadro 8.5.8

C.

Reescribe el radicando para mostrar los factores.

Multiplica el numerador y el denominador por ( sqrt [4] {2 cdot x ^ {3}} ). Esto nos dará (4 ) factores de (2 ) y (4 ) factores de (x ).

Simplificar.

Simplifica el radical en el denominador.

Simplifica la fracción.

Tabla 8.5.9

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [4] {3}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {3} {64}} )
  3. ( dfrac {3} { sqrt [4] {125 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [4] {27}} {3} )
  2. ( dfrac { sqrt [4] {12}} {4} )
  3. ( dfrac {3 sqrt [4] {5 x ^ {3}}} {5 x} )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( dfrac {1} { sqrt [4] {5}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {7} {128}} )
  3. ( dfrac {4} { sqrt [4] {4 x}} )
Respuesta
  1. ( dfrac { sqrt [4] {125}} {5} )
  2. ( dfrac { sqrt [4] {224}} {8} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {64 x ^ {3}}} {x} )

Racionalizar un denominador de dos términos

Cuando el denominador de una fracción es una suma o diferencia con raíces cuadradas, usamos el Producto del patrón de conjugados para racionalizar el denominador.

( begin {array} {cc} {(ab) (a + b)} & {(2- sqrt {5}) (2+ sqrt {5})} {a ^ {2} - b ^ {2}} & {2 ^ {2} - ( sqrt {5}) ^ {2}} {} & {4-5} {} & {- 1} end {array} )

Cuando multiplicamos un binomio que incluye una raíz cuadrada por su conjugado, el producto no tiene raíces cuadradas.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar: ( dfrac {5} {2- sqrt {3}} )

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplica los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplificar.
Tabla 8.5.10

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Simplifique: ( dfrac {3} {1- sqrt {5}} ).

Respuesta

(- dfrac {3 (1+ sqrt {5})} {4} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Simplifique: ( dfrac {2} {4- sqrt {6}} ).

Respuesta

( dfrac {4+ sqrt {6}} {5} )

Observe que no distribuimos (5 ) en la respuesta del último ejemplo. Al dejar el resultado factorizado, podemos ver si hay algún factor que pueda ser común tanto para el numerador como para el denominador.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {3}} { sqrt {u} - sqrt {6}} ).

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplica los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Tabla 8.5.11

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {5}} { sqrt {x} + sqrt {2}} ).

Respuesta

( dfrac { sqrt {5} ( sqrt {x} - sqrt {2})} {x-2} )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {10}} { sqrt {y} - sqrt {3}} )

Respuesta

( dfrac { sqrt {10} ( sqrt {y} + sqrt {3})} {y-3} )

Tenga cuidado con los signos al multiplicar. El numerador y el denominador se ven muy similares cuando se multiplica por el conjugado.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {x} + sqrt {7}} { sqrt {x} - sqrt {7}} ).

Solución:

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplica los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Tabla 8.5.12

No cuadramos el numerador. Dejándolo en forma factorizada, podemos ver que no hay factores comunes para eliminar del numerador y denominador.

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Simplifique: ( dfrac { sqrt {p} + sqrt {2}} { sqrt {p} - sqrt {2}} ).

Respuesta

( dfrac {( sqrt {p} + sqrt {2}) ^ {2}} {p-2} )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Simplificar: ( dfrac { sqrt {q} - sqrt {10}} { sqrt {q} + sqrt {10}} )

Respuesta

( dfrac {( sqrt {q} - sqrt {10}) ^ {2}} {q-10} )

Conceptos clave

  • Propiedad del cociente de expresiones radicales
    • Si ( sqrt [n] {a} ) y ( sqrt [n] {b} ) son números reales, (b ≠ 0 ), y para cualquier número entero (n≥2 ) entonces , ( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) y ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )
  • Expresiones radicales simplificadas
    • Una expresión radical se considera simplificada si hay:
      • no hay factores en el radicando que tengan potencias perfectas del índice
      • sin fracciones en el radicando
      • sin radicales en el denominador de una fracción

Glosario

racionalizando el denominador
Racionalizar el denominador es el proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador en una fracción equivalente cuyo denominador es un número entero.

División de expresiones radicales

En este video vamos a dividir expresiones radicales. Después de terminar esta lección, vea todas nuestras lecciones de Álgebra 1 y practique los problemas.

Simplificando el numerador y el denominador, ahora tenemos

Un problema un poco más difícil sería:

Al igual que el otro problema, primero encuentre factores cuadrados perfectos para cada expresión

Si la expresión tiene un radical en el denominador y un número racional en el numerador, entonces es necesario racionalizar la fracción.
Por ejemplo:

Multiplica el denominador al numerador y al denominador. Los términos similares se cancelan entre sí, por lo que la respuesta final es:


17.6: Dividir expresiones radicales

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Multiplicar y dividir expresiones radicales (Álgebra 2 - Unidad 6)

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2) Multiplicar y dividir expresiones radicales

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Dividir radicales y racionalizar el denominador: concepto

La división larga se puede utilizar para dividir un polinomio por otro polinomio, en este caso un binomio de menor grado. Cuándo dividir polinomios, planteamos el problema de la misma manera que cualquier problema de división larga, pero tenemos cuidado con los términos con coeficientes cero. Por ejemplo, en el polinomio x ^ 3 + 3x + 1, x ^ 2 tiene un coeficiente de cero y debe incluirse como x ^ 3 + 0x ^ 2 + 3x + 1 en el problema de división.

Una cosa para recordar acerca de la simplificación de expresiones radicales es que no tendrás un radical en el denominador. De lo que estoy hablando es de que no quieres tener raíces cuadradas en la parte inferior de la fracción. Para sacarlo de la parte inferior de la fracción, tendrás que usar un montón de técnicas.
Primero, si le dan una fracción que tiene una raíz cuadrada en la parte inferior, si no quiere reducir la fracción primero, esa es una posibilidad. Otra cosa que podría querer hacer es buscar los factores cuadrados perfectos y reducirlos como ustedes han estado haciendo con expresiones radicales todo el tiempo.
Un par de cosas a tener en cuenta también cuando vea fracciones. La raíz cuadrada de 3 más la raíz cuadrada de 7 no es lo mismo que la raíz cuadrada de 3 + 7. Esa es una distinción realmente importante. Eso sería cierto para multiplicar la raíz cuadrada de 3 por la raíz cuadrada de 7 es igual a la raíz cuadrada de 3 por 7. No te confundas esas cosas en la cabeza. Entonces, cuando observemos estas sumas o diferencias de expresiones radicales que tienen diferentes radicandos, nos encontraremos con lo que llamamos conjugados.
Los conjugados se ven así. Hay dos sumas diferentes en las diferencias que tienen los mismos dos términos, como tengo raíz 3 más raíz 8 y raíz 3 menos raíz 8. Estos se llaman conjugados y hay algunas propiedades realmente interesantes que surgen cuando estás multiplicando conjugados. Si multiplica dos conjugados, su resultado es siempre un número entero o un número entero o entero. Eso es bueno cuando intentas sacar raíces cuadradas de la parte inferior de una fracción.
Entonces, al juntarlo todo, tenemos un proceso llamado racionalización del denominador. Si te dan una fracción que tiene una raíz cuadrada en el denominador, racionalizas el denominador multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Eso tendrá mucho más sentido cuando empiece a mirar ejemplos, pero de nuevo, lo más importante que debe recordar es que nunca quiere dejar una expresión radical o eso significa una raíz cuadrada en la parte inferior de una fracción. Siempre siempre siempre racionaliza multiplicando por el conjugado del denominador.


Polinomios

Cuando se multiplican los polinomios, cada término de una expresión se multiplica por cada término de la otra expresión. Luego se agregan los términos en el producto.

Elija un polinomio, preferiblemente el más largo, y luego:

  • multiplícalo por el primer término del otro polinomio
  • luego multiplíquelo por el segundo término del otro polinomio y luego multiplíquelo por el tercer término del otro polinomio (si lo hay), etc.
  • por último, sume los productos.

Multiplica los siguientes polinomios:

Primero multiplicamos nuestro primer polinomio por el primer término del segundo polinomio y luego lo multiplicamos por el segundo término del otro polinomio:

$ = a cdot a + b cdot a + c cdot a + a cdot b + b cdot b + c cdot b $

Por último simplificamos y sumamos los productos

$ a cdot a + b cdot a + c cdot a + a cdot b + b cdot b + c cdot b = $ $ a ^ <2> + 2ab + ac + b ^ <2> + cb PS

Cuando dividimos un polinomio por algo más complicado que un simple monomio, necesitaremos usar un método diferente para la simplificación. Este método se llama "división larga (polinomial)" y funciona igual que la división larga (numérica) que hiciste en la escuela primaria, excepto que ahora estás dividiendo con variables.

Mostraremos el procedimiento en un ejemplo.

Primero, configuramos la división, escribiendo x + 2 a la izquierda y x 2 -2x-8 a la derecha. Nuestro resultado se suma a los polinomios. Para ver exactamente cómo se hace esto, vea nuestra lección en video a continuación.


Hoja de trabajo de multiplicación de expresiones radicales

Con factores variables 1 12 x3 3 2 60n 2n 3 8x 15x 4 45n 3n 5 36x2 10x 6 90n2 7 20x 15 8 6m m 9 20 2b 12 5b 10 10x 25x 11 12k 3 6 2k 12 15n 10 50 13 6 5 3n 3n 14 16x 16 2x 4 2 815 2x 6 2x 9. Determina un enunciado verdadero sobre la multiplicación de expresiones radicales.

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Hoja de trabajo para multiplicar expresiones radicales. Es decir, los números fuera del radical se multiplican y los números dentro del radical se multiplican. W a2c0k1 e2t pk0u rtta 9 asioaf3t cwyaarker cltlbcc. Reconozca una demostración de la regla del producto.

Resuelve un problema de multiplicación radical y luego simplifícalo. Simplifique todas las respuestas por completo. W hoja de trabajo de kuta software llc kuta software álgebra infinita 1 nombre multiplicar expresiones radicales fecha período simplificar.

W l 4a0lglz erei jg bhpt2sv 5reesseir tvcezdnx b nm2awdien dw ai 0t0hg witnhf li5nsi 7t3ew fayl mg6ezbjr wat 71j. Algunas de las hojas de trabajo que se muestran son multiplicar radicales, restar multiplicar radicales multiplicar dividir expresiones racionales multiplicar dividir radicales problemas de trabajo suplementarios para acompañar el álgebra multiplicar expresiones radicales del índice 2 con multiplicar y dividir radicales variables multiplicar y dividir expresiones radicales. Probemos con un ejemplo.

Objetivos de la hoja de trabajo del cuestionario. W hoja de trabajo de kuta software llc kuta software álgebra infinita 1 nombre multiplicar expresiones radicales fecha período simplificar. Simplifica multiplicando. Está bien multiplicar los números siempre que ambos se encuentren bajo el símbolo de radical.

W l 4a0lglz erei jg bhpt2sv 5reesseir tvcezdnx b nm2awdien dw ai 0t0hg witnhf li5nsi 7t3ew fayl mg6ezbjr wat 71j. Este cuestionario de expresión radical pone a prueba específicamente su capacidad para hacerlo. Según la definición anterior, la expresión es igual a 8sqrt 15.

Esencialmente, esta definición establece que cuando dos expresiones radicales se multiplican juntas, las partes correspondientes se multiplican juntas. Respuestas a la multiplicación de expresiones radicales del índice 2. Multiplicar y dividir radical tarea nombre clase tiempo realizar las operaciones indicadas.

Ejemplos de cómo multiplicar expresiones radicales. Algunas de las hojas de trabajo que se muestran son multiplicar radicales, sumar restar multiplicar radicales multiplicar dividir radicales multiplicar y dividir radicales multiplicar radicales índice de taller de radicales o raíz radical y multiplicar expresiones radicales del índice 2 con introducción de trabajo variable a radicales. W a2c0k1 e2t pk0u rtta 9 asioaf3t cwyaarker cltlbcc.

El producto es un cuadrado perfecto ya que 16 4 4 4 2, lo que significa que la raíz cuadrada de 16 tendrá una respuesta de número entero.

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Tenga en cuenta que todavía queda un radical en la expresión. 1 9 25 3 5 2 4 36 1 3 3 15 12 5 2 4. Convierta la expresión en un radical.

Respuestas a la división de expresiones radicales del índice 2 1 2 2 1 3 5 8 4 3 2 5 5 6 6 3 8 7 5 u 3v 8 15xy2 9 1 9k2 10 z 2x 11 2 5 x 12 3y 5x. Multiplicar y dividir la tarea radical nombre de la clase tiempo realizar las operaciones indicadas. Si asqrt b csqrt d es una expresión radical, entonces el conjugado es asqrt b csqrt d.

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G 32v071 d2n 2kouutiag mshoyfnt4wgagr 5ec jl 7l pc wf h paqlrlb brgiagvh4t rsd 4rgeusesr tvye rdy. Radicandos y expresiones radicales 429. No hay nada que podamos hacer al respecto.

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17.6: Dividir expresiones radicales

Divisor

A veces en matemáticas existen convenciones que han perdurado a lo largo de los años. En la época de las calculadoras superpoderosas, estas convenciones ya no siempre tienen sentido. Pero seguimos usándolos de todos modos. Una de esas convenciones es que siempre debemos racionalizar el denominador en una expresión radical. Lo más probable es que ya hayas racionalizado denominadores en expresiones radicales simples como

La forma de racionalizar el denominador en la expresión anterior es multiplicando la expresión por una forma elegante del número 1 que elimina el radical en el denominador. En este caso, multiplicaríamos por ( Large frac << sqrt 3 >> << sqrt 3 >> ). Veamos qué sucede cuando hacemos eso. Tenemos

Y así hemos racionalizado el denominador. Tenga en cuenta que todavía queda un radical en la expresión. No hay nada que podamos hacer al respecto. Ahora, cuando se trata de expresiones más complicadas que involucran radicales, empleamos lo que se conoce como conjugado.

Definición: Si (a sqrt b + c sqrt d ) es una expresión radical, entonces el conjugado es (a sqrt b - c sqrt d ). Lo contrario de esta definición también es cierto.

Veamos un ejemplo de cómo usar el conjugado para racionalizar el denominador. Simplifica la expresión

Aquí multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es (5 sqrt 3 - 2 ). Podemos hacer esto porque de hecho estamos multiplicando la expresión por 1, lo que no cambia nada. Tenemos

Mira lo que pasó cuando multiplicamos el denominador por el conjugado. El radical desapareció y el denominador se racionalizó. Debemos tener cuidado y recordar FOIL en el segundo paso. Probemos con un ejemplo más. Simplifica la expresión

Nuevamente multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. En este caso, estamos multiplicando tanto el numerador como el denominador por ( sqrt 5 - 3 sqrt 3 ). Tenemos

(= Large frac << 5 sqrt 5-15 sqrt 3 >> << 5-3 sqrt <15> + 3 sqrt <15> - 9 cdot 3 >> ), recordando FOIL aquí

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Sumar y restar expresiones radicales & # 8211 Ejemplo 1:

Como tenemos las mismas partes radicales, podemos sumar estos dos radicales: Suma términos semejantes: (6 sqrt <2> +5 sqrt <2> = 11 sqrt <2> )

Sumar y restar expresiones radicales & # 8211 Ejemplo 2:

Las dos partes radicales no son iguales. Primero, necesitamos simplificar (2 sqrt <8> ). Entonces: ((2 sqrt <8> = 2 sqrt <(4 × 2)> = 2 ( sqrt <4>) ( sqrt <2>) = 4 sqrt <2> ) Ahora, combine términos semejantes: (2 sqrt <8> -2 sqrt <2> = 4 sqrt <2> -2 sqrt <2> = 2 sqrt <2> )


¿Qué son las expresiones radicales? (con foto)

Una expresión radical en álgebra es una expresión que incluye un radical o raíz. Estas son las operaciones inversas a exponentes o potencias. Las expresiones radicales incluyen raíces agregadas, raíces multiplicadas y expresiones con variables y constantes. Estas expresiones tienen tres componentes: el índice, el radicando y el radical. El índice es el grado tomado, el radicando es la raíz que se deriva y el radical es el símbolo mismo.

De forma predeterminada, un signo de radical simboliza una raíz cuadrada, pero al incluir diferentes índices sobre el radical, se pueden extraer raíces cúbicas, cuartas o cualquier raíz de número entero. Las expresiones radicales pueden incluir números o variables bajo el radical, pero las reglas fundamentales siguen siendo las mismas independientemente. Para trabajar con radicales, las expresiones deben estar en la forma más simple, esto se logra eliminando factores del radicando.

El primer paso para simplificar radicales es dividir el radicando en los factores necesarios para igualar el número. Luego, cualquier factor de cuadrado perfecto debe colocarse a la izquierda del radical. Por ejemplo, √ 45 se puede expresar como √ 9 * 5 o 3√ 5.

Para agregar expresiones radicales, el índice y el radicando deben ser iguales. Una vez que se han cumplido estos dos requisitos, los números fuera del radical se pueden sumar o restar. Si los radicales no se pueden simplificar, la expresión debe permanecer en forma diferente. Por ejemplo, √ 2 + √ 5 no se puede simplificar porque no hay factores para separar. Ambos términos están en su forma más simple.

Multiplicar y dividir expresiones radicales funciona con las mismas reglas. Los productos y cocientes de expresiones radicales con índices y radicandos similares se pueden expresar bajo un solo radical. La propiedad distributiva funciona de la misma manera que con las expresiones enteras: a (b + c) = ab + ac. El número fuera del paréntesis debe multiplicarse por cada término dentro del paréntesis, conservando las operaciones de suma y resta. Después de multiplicar todos los términos dentro de los paréntesis distributivos, los radicales deben simplificarse como de costumbre.

Las expresiones radicales que forman parte de una ecuación se resuelven eliminando los radicales según el índice. Los radicales normales se eliminan elevando al cuadrado, por lo tanto, ambos lados de la ecuación se elevan al cuadrado. Por ejemplo, la ecuación √ x = 15 se resuelve elevando al cuadrado la raíz cuadrada de x en un lado de la ecuación y 15 a la derecha, lo que arroja un resultado de 225.