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6.S: Modelos matemáticos y geometría (resumen) - Matemáticas

6.S: Modelos matemáticos y geometría (resumen) - Matemáticas


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Términos clave

ánguloUn ángulo está formado por dos rayos que comparten un punto final común. Cada rayo se llama lado del ángulo.
zonaEl área es una medida de la superficie cubierta por una figura.
ángulos complementariosSi la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, entonces se llaman ángulos complementarios.
conoUn cono es una figura sólida con una base circular y un vértice.
cuboUn cubo es un sólido rectangular cuya longitud, anchura y altura son iguales.
cilindroUn cilindro es una figura sólida con dos círculos paralelos del mismo tamaño en la parte superior e inferior.
triángulo equiláteroUn triángulo con los tres lados de igual longitud se llama triángulo equilátero.
hipotenusaEl lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 ° se llama hipotenusa.
figura irregularUna figura que no es una forma geométrica estándar. Su área no se puede calcular utilizando ninguna de las fórmulas de área estándar.
triángulo isóscelesUn triángulo con dos lados de igual longitud se llama triángulo isósceles.
piernas de un triángulo rectánguloLos lados de un triángulo rectángulo adyacentes al ángulo recto
perímetroEl perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura.
rectánguloUna figura geométrica que tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos.
triángulo rectánguloUn triángulo que tiene un ángulo de 90 °.
figuras similaresEn geometría, si dos figuras tienen exactamente la misma forma pero diferentes tamaños, decimos que son figuras similares.
ángulos suplementariosSi la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, entonces se denominan ángulos suplementarios.
trapezoideUna figura de cuatro lados, un cuadrilátero, con dos lados que son paralelos y dos lados que no lo son.
triánguloUna figura geométrica con tres lados y tres ángulos.
vértice de un ánguloCuando dos rayos se encuentran para formar un ángulo, el punto final común se llama vértice del ángulo.

Conceptos clave

9.1 - Utilice una estrategia de resolución de problemas

  • Estrategia de resolución de problemas
    1. Lee el problema verbal. Asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Es posible que deba leer el problema dos o más veces. Si hay palabras que no comprende, búsquelas en un diccionario o en Internet.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
    4. Traduce en una ecuación. Puede ser útil volver a plantear el problema en una oración antes de traducirlo.
    5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Comprueba la respuesta en el problema. Asegúrate de que tenga sentido.
    7. Responde la pregunta con una oración completa.

9.2 - Resolver aplicaciones de dinero

  • Hallar el valor total de monedas del mismo tipo
    • Para monedas del mismo tipo, el valor total se puede encontrar de la siguiente manera: $$ número cdot valor = total ; valor $$ donde número es el número de monedas, valor es el valor de cada moneda y valor total es el valor total de todas las monedas.
  • Resolver un problema de palabras con monedas
    1. Leer el problema. Asegúrese de comprender todas las palabras e ideas y cree una tabla para organizar la información.
    2. Identificar Qué estás buscando.
    3. Nombre Qué estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
      • Usa expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbelas en la tabla.
      • Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
    4. Traducir en una ecuación. Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
    5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Cuadro 9.16

EscribeNúmeroValor ($)Valor total ($)

9.3 - Usar propiedades de ángulos, triángulos y el teorema de Pitágoras

  • Ángulos suplementarios y complementarios
    • Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180 °, entonces los ángulos son suplementarios.
    • Si ∠A y ∠B son suplementarios, entonces m∠A + m∠B = 180.
    • Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90 °, entonces los ángulos son complementarios.
    • Si ∠A y ∠B son complementarios, entonces m∠A + m∠B = 90.
  • Resolver aplicaciones de geometría
    1. Lea el problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja una figura y etiquétala con la información dada.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que estás buscando y elige una variable para representarlo.
    4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    7. Responde la pregunta con una oración completa.
  • Suma de las medidas de los ángulos de un triángulo
    • Para cualquier ΔABC, la suma de las medidas es 180 °
    • m∠A + m∠B = 180

  • Triángulo rectángulo
    • Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 °, que a menudo se marca con un símbolo ⦜.

  • Propiedades de triángulos similares
    • Si dos triángulos son similares, entonces las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y las longitudes de sus lados correspondientes tienen la misma razón.

9.4 - Usar propiedades de rectángulos, triángulos y trapezoides

  • Propiedades de los rectángulos
    • Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °).
    • Las longitudes de los lados opuestos son iguales.
    • El perímetro, P, de un rectángulo es la suma del doble de la longitud y el doble de la anchura. $$ P = 2L + 2W $$
    • El área, A, de un rectángulo es la longitud por el ancho. $$ A = L cdot W $
  • Propiedades del triángulo
    • Para cualquier triángulo ΔABC, la suma de las medidas de los ángulos es 180 °. $$ m angle A + m angle B + m angle C = 180 ° $$
    • El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de los lados. $$ P = a + b + c $$
    • El área de un triángulo es la mitad de la base, b, multiplicada por la altura, h. $$ A = dfrac {1} {2} bh $$

9.5 - Resolver aplicaciones de geometría: círculos y figuras irregulares

  • Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría
    1. Lea el problema y asegúrese de comprender todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
    2. Identifica lo que buscas.
    3. Nombra lo que estás buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
    4. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    7. Responde la pregunta con una oración completa.
  • Propiedades de los círculos
    • d = 2r
    • Circunferencia: C = 2 ( pi ) r o C = ( pi ) d
    • Área: A = ( pi ) r2

9.6 - Resolver aplicaciones de geometría: volumen y área de superficie

  • Volumen y área de superficie de un sólido rectangular
    • V = LWH
    • S = 2LH + 2LW + 2WH
  • Volumen y superficie de un cubo
    • V = s3
    • S = 6 s2
  • Volumen y superficie de una esfera
    • V = ( dfrac {4} {3} pi ) r3
    • S = 4 ( pi ) r2
  • Volumen y superficie de un cilindro
    • V = ( pi ) r2h
    • S = 2 ( pi ) r2 + 2 ( pi ) rh
  • Volumen de un cono
    • Para un cono de radio r y altura h: Volumen: V = ( dfrac {1} {3} pi ) r2h

9.7 - Resolver una fórmula para una variable específica

  • Distancia, velocidad y tiempo
    • d = rt

En la Unidad 8, Probabilidad, los estudiantes amplían su comprensión de la probabilidad desde el séptimo grado a un enfoque más formal de la probabilidad mediante la aplicación de fórmulas y definiciones.

Los estudiantes comienzan la unidad usando representaciones visuales de listas, diagramas de árbol y diagramas de Venn para encontrar la probabilidad de eventos que se cruzan o representan la unión o el complemento de resultados. Los estudiantes también formalizan su comprensión de la probabilidad compuesta. Luego, los estudiantes desarrollan una comprensión conceptual y procedimental de la probabilidad condicional y cómo se puede utilizar para determinar si las variables son independientes. En la aplicación, los estudiantes utilizan este conocimiento para resolver un conjunto de aplicaciones en pruebas médicas. Finalmente, como una parte opcional de la unidad (que cubre más (+) Estándares Estatales Básicos Comunes), los estudiantes comprenden y calculan permutaciones y combinaciones. Los estudiantes desarrollan una comprensión de que si el orden importa o no puede afectar el espacio muestral de las combinaciones totales o el número de elementos elegidos dentro de un conjunto de elementos.

En Álgebra 2, los estudiantes continuarán su estudio de la probabilidad mediante el estudio de la inferencia estadística y la toma de decisiones utilizando la probabilidad.

Ritmo: 12 días de instrucción (10 lecciones, 1 día flexible, 1 día de evaluación)


Jugando con Matemáticas

Veamos un ejemplo. Justo después de su cuarto cumpleaños, Abby está jugando con tres de las cinco locomotoras de tren de juguete idénticas que su padre había traído a casa. Al pasar, su madre pregunta: "¿Dónde están los otros trenes?" Con su madre ahora fuera de la vista, Abby habla para sí misma. "Oh, tengo cinco. Ummm ... [señalando a cada motor] Tú eres uno, dos, tres. Me faltan cuatro y cinco, ¡faltan dos!" Juega con los trenes un minuto más. "No, cambié de opinión. Tengo uno, tres y cinco. Me faltan dos y cuatro. Tengo que encontrarlos dos".

Cuando Abby descubrió por primera vez cuántos le faltaban, estaba usando las matemáticas en su juego. Pero cuando decidió que volvería a numerar los tres motores, tenía "uno", "tres" y "cinco", y los motores faltantes "dos" y "cuatro", estaba jugando con la noción de que la asignación de números a una colección de objetos es arbitraria. También contaba no solo objetos, sino también palabras. Contó las palabras "cuatro y cinco" para ver que faltaban dos, y luego descubrió que contar las palabras de conteo renumeradas "dos" y "cuatro" además arrojó el resultado de dos faltantes. Ella estaba jugando con la idea de que contar las palabras en sí mismas se pueden contar. [10]


Matemáticas (MATEMÁTICAS)

Taller de preparación para ayudar a los estudiantes a lograr la preparación universitaria en matemáticas bajo la Iniciativa de Éxito de Texas. Los temas incluyen cinco áreas generales: matemáticas fundamentales, álgebra, geometría, estadística y resolución de problemas.

Temas como en MATH 0300. Para estudiantes que hayan completado la mayoría de los temas en MATH 0300. Requiere permiso del departamento de MATH. (No cuenta para la graduación) Otoño, primavera, mes de mayo, verano.

Este curso es un curso co-requisito de apoyo para MATH 1314. El apoyo se enfocará en las habilidades esenciales requeridas para el éxito en Álgebra Universitaria (Matemáticas 1314). Los temas de apoyo incluyen revisión de álgebra intermedia, ecuaciones polinomiales, técnicas gráficas y aplicaciones. El curso proporciona el apoyo académico necesario para los estudiantes responsables de TSI inscritos simultáneamente en MATH 1314 como co-requisito con MATH 0214. Los estudiantes que se inscriben en MATH 0214 deben inscribirse conjuntamente en MATH 1314. Math 0214 no cuenta para la graduación. Otoño, Primavera, Verano.

Este curso es el curso co-requisito de apoyo para MATH 1324. El apoyo se enfocará en las habilidades esenciales requeridas para el éxito en Matemáticas de Negocios (Matemáticas 1324). Los temas de apoyo incluyen el uso de calculadoras y tecnología. Los temas se centran en la revisión básica de las habilidades matemáticas, álgebra elemental, razonamiento matemático y lógico, probabilidad y administración financiera, al tiempo que brindan el apoyo académico necesario para los estudiantes responsables de TSI inscritos simultáneamente en MATH 1324 como co-requisito con MATH 0224. Estudiantes que se inscriben para MATH 0224 debe registrarse conjuntamente en MATH 1324. Math 0224 no cuenta para la graduación. Otoño, Primavera, Verano.

Este curso es un curso co-requisito de apoyo para MATH 1332. El apoyo se enfocará en las habilidades esenciales requeridas para el éxito en Matemáticas Contemporáneas (Matemáticas 1332). Los temas de apoyo incluyen una revisión básica de habilidades matemáticas, álgebra elemental, razonamiento matemático y lógico, probabilidad y estadística descriptiva, al tiempo que brindan el apoyo académico necesario para los estudiantes responsables de TSI inscritos simultáneamente en MATH 1332 como co-requisito con MATH 0232. registrarse para MATH 0232 debe registrarse conjuntamente en MATH 1332. Math 0232 no cuenta para la graduación. Otoño, Primavera, Verano.

Este curso es un curso co-requisito de apoyo para MATH 1442. El apoyo se centrará en las habilidades esenciales requeridas para el éxito en Estadística para la vida (Matemáticas 1442). Los temas de apoyo incluyen el uso de calculadoras y tecnología. Los temas se enfocan en estadísticas descriptivas e inferenciales, probabilidades que incluyen notación, al tiempo que brindan el apoyo académico necesario para los estudiantes responsables de TSI inscritos simultáneamente en MATH 1442 como co-requisito con MATH 0242. Los estudiantes que se inscriban para MATH 0242 deben registrarse conjuntamente en MATH 1442. Math 0242 no se cuenta para la graduación. Otoño, Primavera, Verano.

Los temas incluyen conceptos numéricos, computación, álgebra elemental, geometría y razonamiento matemático. Además, ecuaciones y desigualdades lineales, expresiones racionales, exponentes y radicales, cuadráticas y problemas verbales. Puede repetirse para obtener crédito según sea necesario para completar el dominio de todos los temas. (No se cuenta para la graduación). Otoño, primavera, verano.

3 sem. horas (2: 2) Los temas incluyen conceptos numéricos, cálculo, álgebra elemental y geometría. Además, ecuaciones y desigualdades lineales, expresiones racionales, exponentes y radicales, cuadráticas y problemas verbales. Puede repetirse para obtener crédito según sea necesario para completar el dominio de todos los temas. (No cuenta para la graduación). Otoño, primavera, verano.

Conceptos numéricos, computación, álgebra elemental, geometría y razonamiento matemático.

Los temas incluyen ecuaciones lineales y desigualdades, expresiones racionales, exponentes y radicales, cuadráticas y problemas de palabras.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 0398.

Ecuaciones cuadráticas, desigualdades, gráficas, logaritmos y exponenciales, teoría de ecuaciones polinómicas, sistemas de ecuaciones.

Requisito previo: MATH 0300, puntuación mínima de 530 en 'SAT MATH SECTION', puntuación mínima de 19 en 'ACT1 Math', MATH 0320 o puntuación mínima de 350 en 'TSI Math'.

Funciones trigonométricas, identidades, ecuaciones que involucran funciones trigonométricas, soluciones de triángulos rectángulos y oblicuos.

Requisito previo: (MATH 1314, puntuación mínima de 550 en 'SAT MATH SECTION' o puntuación mínima de 21 en 'ACT1 Math') o puntuación mínima de 21 en 'ACT Math'.

Los estudiantes aprenderán cómo las propiedades y el lenguaje de las matemáticas se pueden usar en la resolución de problemas comerciales y del mundo real y comprenderán las técnicas y aplicaciones de los problemas financieros, la operación básica de la matriz, los principios básicos de conteo y el análisis de probabilidad en el modelado de escenarios del mundo real.

Requisito previo: puntuación mínima de 550 en 'SAT MATH SECTION', puntuación mínima de 21 en 'ACT Math' o puntuación mínima de 21 en 'ACT1 Math'.

Los estudiantes desarrollarán y combinarán los conceptos y las relaciones entre las matemáticas y los negocios desde los fundamentos del cálculo y la optimización en todos los campos comerciales. Se espera que los estudiantes aprendan los materiales algebraicamente con tecnología. Los estudiantes combinarán los conceptos de límites, continuación, diferenciación y técnicas de integración para resolver problemas en negocios, economía y ciencias sociales.

Requisito previo: MATH 1324, puntuación mínima de 550 en 'SAT Math', puntuación mínima de 21 en 'ACT Math' o puntuación mínima de 21 en 'ACT1 Math'.

Este curso sirve como un curso terminal y proporciona una breve descripción de varios temas en matemáticas. Los temas pueden incluir tratamientos introductorios de conjuntos, lógica, sistemas numéricos, teoría de números, relaciones, funciones, probabilidad y estadística. Se incluyen las aplicaciones apropiadas. Este curso enfatiza el uso del pensamiento crítico para tomar decisiones basadas en información.

Un curso para presentar a los estudiantes temas matemáticos en un entorno formal. El curso puede apoyar la resolución de problemas o investigaciones sistemáticas de temas fuera del catálogo matemático actual. No se puede sustituir por ofertas programadas regularmente.

Una introducción a los conceptos y métodos estadísticos utilizados en todas las disciplinas para mejorar la toma de decisiones basada en el análisis de datos, que incluye: modelos de diseño experimental básico, medición y recopilación de datos a través de la presentación de muestras y resumen de información, y evaluación de la relación mediante técnicas descriptivas conceptos de probabilidad que conducen a estimación y prueba de hipótesis de medias, varianza y proporciones, análisis de regresión, ANOVA de un factor y prueba de independencia de chi-cuadrado y aplicaciones a través de estudios de caso. El componente de laboratorio del curso ofrece aplicaciones de la teoría presentada durante las sesiones en el aula.

Requisito previo: MATH 0300, puntaje mínimo de 530 en 'SAT MATH SECTION', puntaje mínimo de 19 en 'ACT1 Math', MATH 0310, 0320, puntaje mínimo de 350 en 'TSI Math' o puntaje mínimo de 19 en 'ACT Math'.

Una introducción a los temas de Matemática Discreta con énfasis en aplicaciones en Matemáticas e Informática. Los temas incluyen lógica formal, gráficos, árboles y algoritmos relacionados, y combinatoria y probabilidad discreta.

Requisito previo: MATH 2413, puntaje mínimo de 620 en 'SAT Math', puntaje mínimo de 620 en 'SAT1 Mathematics', puntaje mínimo de 640 en 'SAT MATH SECTION', puntaje mínimo de 27 en 'ACT Math' o puntaje mínimo de 27 en ' ACT1 Matemáticas '.

Un tratamiento más rápido del material en MATH 1314 y MATH 1316, este curso está diseñado para estudiantes que deseen una revisión del material anterior, o que estén muy bien preparados. Funciones, gráficos, trigonometría y geometría analítica.

Requisito previo: MATH 1314, puntuación mínima de 550 en 'SAT MATH SECTION', puntuación mínima de 21 en 'ACT Math' o puntuación mínima de 21 en 'ACT1 Math'.

Límites, continuidad, derivadas, aplicaciones de la derivada e introducción a las integrales. Contiene un componente de laboratorio.

Requisito previo: MATH 1316, 2312, puntuación mínima de 640 en 'SAT MATH SECTION' o puntuación mínima de 27 en 'ACT1 Math'.

Técnicas de integración, aplicaciones de integrales, secuencias, series, polinomios de Taylor y series. Ecuaciones paramétricas. Contiene un componente de laboratorio.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2413.

Vectores y curvas espaciales, derivadas parciales, integrales múltiples, sistemas de coordenadas especiales, integrales de líneas y superficies, teoremas de Green, Stokes y de divergencia. Contiene un componente de laboratorio.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2414.

Características de la información geográfica / espacial descripción general de secciones relevantes de números, álgebra y geometría, trigonometría plana y esférica, matrices, determinantes y vectores, curvas y superficies, cálculo integral y diferencial, derivadas parciales, con énfasis en aplicaciones geoespaciales. Conceptos de sistemas de coordenadas geoespaciales y transformaciones de coordenadas geoespaciales descripción general de las estadísticas espaciales y las soluciones que mejor se adaptan a las aplicaciones geoespaciales. Es posible que los estudiantes no reciban crédito por MATH 3300 y GISC 3300.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2413 y 2414.

Este curso presenta funciones de una variable compleja y sus aplicaciones. Los contenidos incluyen ceros de diferenciación e integración, mapeos conformes de polos y residuos.

Requisito previo: (MATEMÁTICAS 2415) o (MATEMÁTICAS 2414 y 3314).

Aplicaciones de los fundamentos del álgebra lineal, análisis de vectores, métodos numéricos, programación de computadoras y probabilidad y estadística a la ingeniería mecánica. Puede que no cuente para la especialización de MATEMÁTICAS. Es posible que los estudiantes no reciban crédito por MATH 3310 y MEEN 3310.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 3315.

Fundamentos de álgebra lineal y teoría de matrices. Los temas incluyen vectores, operaciones matriciales, transformaciones lineales, propiedades fundamentales de espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones lineales, valores propios y vectores propios. Aplicaciones.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2413.

Un estudio cuidadoso de los fundamentos de la geometría euclidiana por métodos sintéticos con una introducción a las geometrías no euclidianas. Introducción a la geometría transformacional.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2413.

Este curso ayuda a un estudiante en la transición a matemáticas avanzadas. Los fundamentos de lógica y prueba se revisan y aplican a temas de la teoría de números elementales.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2305 y 2414.

Este curso ayuda a un estudiante en la transición a matemáticas avanzadas. Los fundamentos de la lógica y la demostración se revisan y aplican al desarrollo de la recta numérica real.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2414 y 2305.

Una introducción a los aspectos teóricos y aplicados de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Los temas incluyen: ecuaciones de primer orden, ecuaciones lineales de segundo orden, métodos numéricos elementales y la transformada de Laplace.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2414.

Una introducción basada en el cálculo a la probabilidad y la estadística. Se hará hincapié en el desarrollo del pensamiento estadístico y el trabajo con datos. Los temas incluyen teoría de la probabilidad, estadística descriptiva, distribuciones comunes e inferencia estadística.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2413.

Una introducción a las técnicas de análisis de datos y modelado estadístico / probabilístico para investigar datos. Los temas incluyen: análisis de datos exploratorios, modelos de probabilidad y simulación, distribuciones de muestreo, inferencia estadística. Aplicaciones a problemas del mundo real. Se espera que los estudiantes presenten y justifiquen los resultados oralmente y por escrito.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2413 y (COSC 1330 o 1435).

Esta es una introducción a la probabilidad. En el curso, se cubrirán conceptos fundamentales clave de probabilidad, variables aleatorias y sus distribuciones, expectativas y probabilidades condicionales. Los temas incluyen reglas de conteo, análisis combinatorio, espacios muestrales, axiomas de probabilidad, probabilidad condicional e independencia, variables aleatorias discretas y continuas, variables aleatorias distribuidas conjuntamente, características de las variables aleatorias, ley de los grandes números y teorema del límite central, procesos aleatorios, cadenas de Markov. , Cadena de Markov-Monte Carlo, proceso de Poisson y entropía.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2415.

Este curso presenta los problemas de optimización y programación lineal que surgen en muchas aplicaciones. Los contenidos incluyen modelos de programación lineal con soluciones, el método simplex, la teoría de la dualidad y su uso para la toma de decisiones de gestión, el método dual simplex y el análisis de sensibilidad.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 3311 y 2413.

Un curso de resolución de problemas para estudiantes que desean participar en concursos de resolución de problemas de matemáticas, capacitarse para los exámenes actuariales u otros exámenes profesionales, trabajar en investigaciones destinadas a presentaciones en conferencias o realizar proyectos de investigación a nivel junior que no están en el nivel de estudios independientes dirigidos. material de estudio.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2414.

Este curso introduce un seminario semanal de matemáticas. Los estudiantes generarán un proyecto viable para el curso final.

Desarrollo de proyectos como se propone en MATH 4185, así como habilidades de comunicación matemática. Los estudiantes presentarán sus proyectos y realizarán una evaluación a nivel nacional.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 4185.

Un tratamiento avanzado de los fundamentos del cálculo que enfatiza pruebas rigurosas de teoremas. Los temas incluyen: elementos de lógica proposicional y de predicados, topología de los números reales, secuencias, límites, la derivada y la integral de Riemann.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2415 y 3314.

Fundamentos de operaciones de conjuntos, mapas y relaciones, grupos, anillos y teoría de campos. Los temas incluyen grupos de permutación, clases laterales, homomorfismos e isomorfismos, producto directo de grupos y anillos, campo de dominios integrales de cocientes, propiedades fundamentales de números enteros, anillo de números enteros módulo n y anillos de polinomios. Aplicaciones.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 3311 y 3313.

Formas diferenciales en R1, R2, R3 y Rn Integración y diferenciación de formas diferenciales El teorema de Stokes presenta la curvatura de Gauss y el teorema de Gauss-Bonnet.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2415.

Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales enfatizando las ecuaciones de onda, difusión y potencial (Laplace). Un enfoque en la comprensión del significado físico y las propiedades matemáticas de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. Los métodos incluyen soluciones fundamentales y métodos de transformación para problemas en la línea, y separación de variables usando series ortogonales para problemas en regiones con límite. Los temas adicionales incluyen problemas de dimensiones superiores y temas especiales como funciones armónicas, el principio máximo, funciones de Green, etc.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 3315 y 2415.

Introducción a la formulación de modelos lineales y la estimación de los parámetros de dichos modelos, con énfasis principal en los mínimos cuadrados. Aplicación de regresión múltiple y ajuste de curvas y diseño de experimentos para el ajuste de modelos de regresión.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 1342, 2342 o 1470.

Un estudio continuo de temas de Matemáticas discretas I con temas adicionales de Matemáticas discretas que tienen una fuerte aplicación en el campo de la informática. Los temas adicionales incluyen: relaciones de recurrencia, lenguajes formales y máquinas de estados finitos.

Requisito previo: MATH 2305 y COSC 2437.

Este es un primer curso en estadística matemática, los temas incluyen: funciones generadoras de momentos, funciones de variables aleatorias, distribuciones de muestreo, métodos de estimación que incluyen estimación bayesiana, características de estimadores, estimación de intervalo, prueba de hipótesis, Lema de Neyman-Pearson, prueba de razón de verosimilitud , pruebas de medias y varianzas, regresión y correlación, regresión lineal múltiple, introducción a ANOVA, pruebas no paramétricas.

Requisito previo: MATEMÁTICAS 2415.

Curso final para estudiantes de matemáticas. La construcción de modelos matemáticos de áreas como economía, refinamiento, biología y maricultura, etc. Cuando sea posible, los fenómenos locales serán modelados con la ayuda de consultores externos.


¿Qué es el modelado matemático?

Si bien aún no hay consenso sobre una definición precisa de este término, modelo matematico se entiende generalmente como el proceso de aplicar las matemáticas a un problema del mundo real con miras a comprender este último. Se puede argumentar que el modelado matemático es el mismo como aplicar matemáticaCuando también comenzamos con un problema del mundo real, aplicamos las matemáticas necesarias, pero después de haber encontrado la solución ya no pensamos en el problema inicial, excepto quizás para comprobar si nuestra respuesta tiene sentido. Este no es el caso del modelado matemático donde el uso de las matemáticas es más para entender el problema del mundo real. El proceso de modelado puede o no dar como resultado la solución del problema por completo, pero arrojará luz sobre la situación que se está investigando. La siguiente figura muestra los pasos clave en el proceso de modelado.

Los enfoques de modelado matemático se pueden clasificar en cuatro enfoques amplios: modelos empíricos, modelos de simulación, modelos deterministas y modelos estocásticos. Los primeros tres modelos pueden integrarse mucho en la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. El último necesitará un poco de estiramiento.

Modelado empírico implica examinar datos relacionados con el problema con el fin de formular o construir una relación matemática entre las variables del problema utilizando los datos disponibles.

Modelado de simulación Implica el uso de un programa informático o alguna herramienta tecnológica para generar un escenario basado en un conjunto de reglas. Estas reglas surgen de una interpretación de cómo se supone que un determinado proceso evoluciona o progresa.

Modelado determinista en general implican el uso de ecuaciones o conjuntos de ecuaciones para modelar o predecir el resultado de un evento o el valor de una cantidad.

Modelado estocástico lleva el modelado determinista un paso más allá. En los modelos estocásticos, la aleatoriedad y las probabilidades de que ocurran eventos se tienen en cuenta cuando se formulan las ecuaciones. La razón detrás de esto es el hecho de que los eventos tienen lugar con cierta probabilidad y no con certeza. Este tipo de modelado es muy popular en los negocios y el marketing.
Se pueden encontrar ejemplos de modelos matemáticos en casi todos los episodios de la exitosa serie dramática de televisión The Numbers Behind NUMB3RS: Resolviendo el crimen con matemáticas

La serie describe cómo la confluencia del trabajo policial y las matemáticas proporciona revelaciones y respuestas inesperadas a preguntas criminales desconcertantes. Los modelos matemáticos utilizados pueden estar mucho más allá del programa de estudios K-12, pero no el razonamiento y el pensamiento matemáticos que implican. Como dice la introducción de cada episodio de Numbers:

Todos usamos las matemáticas todos los días
para predecir el clima, para decir la hora, para manejar el dinero.
Las matemáticas son más que fórmulas o ecuaciones
es lógica, es racionalidad,
es usar tu mente para resolver los mayores misterios que conocemos.

El Departamento de Matemáticas de la Universidad de Cornell desarrolló materiales sobre las matemáticas detrás de cada uno de los episodios de la serie. Puedes encontrar las actividades matemáticas en cada episodio aquí.

El desafío en el modelado matemático es “. . . no para producir el modelo descriptivo más completo, sino para producir el modelo más simple posible que incorpore las principales características del fenómeno de interés ”. -Howard Emmons


Requisitos de admisión / graduación

  • Para ser elegible para la graduación, los estudiantes deben cumplir con todos los requisitos para el título que se busca, además de obtener un promedio mínimo de calificaciones de 2.00 en todos los cursos requeridos para la especialización o secundaria de Matemáticas. Consulte las siguientes secciones para conocer los requisitos completos de los cursos mayores / menores.
  • Aquellos estudiantes que buscan la certificación de maestros de Wisconsin deben obtener un promedio de calificaciones mínimo de 2.75 en todos los cursos requeridos para sus especialidades y menores para cumplir con los requisitos de la Facultad de Educación y Servicios Humanos. (Sujeto a cambios por COEHS y DPI).

Fuentes y contenidos de la Elementos

Euclides compiló su Elementos de una serie de obras de hombres anteriores. Entre ellos se encuentran Hipócrates de Quíos (floreció c. 440 a. C.), que no debe confundirse con el médico Hipócrates de Cos (c. 460–375 a. C.). El último compilador antes de Euclides fue Teudio, cuyo libro de texto se usó en la Academia y probablemente fue el que usó Aristóteles (384-322 a. C.). Los elementos más antiguos fueron inmediatamente reemplazados por los de Euclides y luego olvidados. Para su tema, Euclides sin duda se basó en todos sus predecesores, pero está claro que todo el diseño de su trabajo fue suyo, culminando en la construcción de los cinco sólidos regulares, ahora conocidos como sólidos platónicos.

Una breve reseña de la Elementos contradice la creencia común de que se trata únicamente de geometría. Este error puede deberse a no leer más allá de los Libros I al IV, que cubren la geometría del plano elemental. Euclides entendió que construir una geometría lógica y rigurosa (y matemáticas) depende de la base, una base que Euclides comenzó en el Libro I con 23 definiciones (como "un punto es lo que no tiene parte" y "una línea es una longitud sin amplitud ”), cinco suposiciones no probadas que Euclides llamó postulados (ahora conocidos como axiomas), y cinco suposiciones adicionales no probadas que llamó nociones comunes. (Ver la tabla de las diez suposiciones iniciales de Euclides.) El libro I luego demuestra teoremas elementales sobre triángulos y paralelogramos y termina con el teorema de Pitágoras. (Para la demostración del teorema de Euclides, ver Barra lateral: Prueba de molino de viento de Euclid.)

Axiomas de Euclides
1 Dados dos puntos hay una línea recta que los une.
2 Un segmento de línea recta se puede prolongar indefinidamente.
3 Se puede construir un círculo cuando se dan un punto para su centro y una distancia para su radio.
4 Todos los ángulos rectos son iguales.
5 Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos son menores que los dos ángulos rectos.
Nociones comunes de Euclides
6 Cosas iguales a lo mismo son iguales.
7 Si se suman iguales a iguales, los totales son iguales.
8 Si se restan iguales de iguales, los restos son iguales.
9 Las cosas que coinciden son iguales.
10 El todo es más grande que una parte.

El tema del Libro II se ha llamado álgebra geométrica porque establece identidades algebraicas como teoremas sobre figuras geométricas equivalentes. El Libro II contiene una construcción de "la sección", la división de una línea en dos partes de tal manera que la relación entre el segmento más grande y el más pequeño es igual a la relación entre la línea original y el segmento más grande. (This division was renamed the golden section in the Renaissance after artists and architects rediscovered its pleasing proportions.) Book II also generalizes the Pythagorean theorem to arbitrary triangles, a result that is equivalent to the law of cosines (see plane trigonometry). Book III deals with properties of circles and Book IV with the construction of regular polygons, in particular the pentagon.

Book V shifts from plane geometry to expound a general theory of ratios and proportions that is attributed by Proclus (along with Book XII) to Eudoxus of Cnidus (c. 395/390–342/337 bce ). While Book V can be read independently of the rest of the Elements, its solution to the problem of incommensurables (irrational numbers) is essential to later books. In addition, it formed the foundation for a geometric theory of numbers until an analytic theory developed in the late 19th century. Book VI applies this theory of ratios to plane geometry, mainly triangles and parallelograms, culminating in the “application of areas,” a procedure for solving quadratic problems by geometric means.

Books VII–IX contain elements of number theory, where number (arithmos) means positive integers greater than 1. Beginning with 22 new definitions—such as unity, even, odd, and prime—these books develop various properties of the positive integers. For instance, Book VII describes a method, antanaresis (now known as the Euclidean algorithm), for finding the greatest common divisor of two or more numbers Book VIII examines numbers in continued proportions, now known as geometric sequences (such as aX, aX 2 , aX 3 , aX 4 …) and Book IX proves that there are an infinite number of primes.

According to Proclus, Books X and XIII incorporate the work of the Pythagorean Theaetetus (c. 417–369 bce ). Book X, which comprises roughly one-fourth of the Elements, seems disproportionate to the importance of its classification of incommensurable lines and areas (although study of this book would inspire Johannes Kepler [1571–1630] in his search for a cosmological model).

Books XI–XIII examine three-dimensional figures, in Greek stereometria. Book XI concerns the intersections of planes, lines, and parallelepipeds (solids with parallel parallelograms as opposite faces). Book XII applies Eudoxus’s method of exhaustion to prove that the areas of circles are to one another as the squares of their diameters and that the volumes of spheres are to one another as the cubes of their diameters. Book XIII culminates with the construction of the five regular Platonic solids (pyramid, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron) in a given sphere, as displayed in the animation .

The unevenness of the several books and the varied mathematical levels may give the impression that Euclid was but an editor of treatises written by other mathematicians. To some extent this is certainly true, although it is probably impossible to figure out which parts are his own and which were adaptations from his predecessors. Euclid’s contemporaries considered his work final and authoritative if more was to be said, it had to be as commentaries to the Elements.


In Unit 7, sixth graders explore measurements in geometric space in both two-dimensional and three-dimensional figures. Throughout previous grade levels, students have been composing and decomposing geometric figures. In sixth grade, students apply those concepts of composition and decomposition to new and familiar shapes to formulate properties and formulas for finding area (MP.7). By understanding the area of rectangular arrays and using regularity in repeated reasoning, students are able to determine the area of parallelograms, triangles, and other polygons that are formed from these shapes (MP.8). Students also re-engage in major work of the grade in a few ways. They use their knowledge of the coordinate plane and absolute value to represent and measure polygons in a four-quadrant plane, they write equations to represent volume of rectangular prisms with fractional side lengths, and they write and evaluate numerical expressions to represent the surface area of prisms and pyramids.

In fifth grade, students explored volume as a measurement of a three-dimensional solid with whole-number side lengths. In this unit, students will reinvestigate how to find volume when packing solids now with fractional unit cubes. They will rely on their skills of working with fractions from fifth grade and earlier in their sixth-grade year.

Throughout the geometry standards in sixth grade through eighth grade, students will encounter increasingly complex and multi-part geometric measurement problems, culminating in eighth grade with standard 8.G.9. Learning how to make sense of these complex problems, determine solution pathways, and organize information will be important skills for students to have as the demands and rigor levels increase (MP.1).

Pacing: 19 instructional days (17 lessons, 1 flex day, 1 assessment day)

For guidance on adjusting the pacing for the 2020-2021 school year due to school closures, see our 6th Grade Scope and Sequence Recommended Adjustments.

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Describing Nature With Math

If you're like me, you understand readily how one can describe nature's wonders using poetry or music, painting or photography. Wordsworth's "I Wandered Lonely as a Cloud" and Vivaldi's "Four Seasons" richly depict their natural subjects, as do Monet's water lilies and Ansel Adams' photos of Yosemite. But mathematics? How can you describe a tree or cloud, a rippled pond or swirling galaxy using numbers and equations?

Extremely well, as Einstein knew better than most, of course. In fact, most scientists would agree that, when it comes to teasing out the inherent secrets of the universe, nothing visual, verbal, or aural comes close to matching the accuracy and economy, the power and elegance, and the inescapable truth of the mathematical.

How is this so? Well, for the math-challenged, for that person who has avoided anything but the most basic arithmetic since high school, who feels a pit in his stomach when he sees an equation—that is, for myself—I will attempt to explain, with the help of some who do mathematics for a living. If you're math-phobic, too, I think you'll get a painless feel for why even that master of describing nature with words, Thoreau, would hold that "the most distinct and beautiful statements of any truth must take at last the mathematical form."

Ancient math

While many early civilizations, including Islamic, Indian, and Chinese, made important contributions to mathematics, it was the ancient Greeks who invented much of the math we're familiar with. Euclid fathered the geometry we named after him—all those radii and hypotenuses and parallel lines. Archimedes approximated pi. Ptolemy created a precise mathematical model that had all of the heavens wheeling around the Earth.

"With a few symbols on a page, you can describe a wealth of physical phenomena."

The Greeks' discoveries are timeless: Euclid's axioms are as unimpeachable today as when he devised them over 2,000 years ago. And some Greek proto-physicists did use their newfound skills to tackle mysteries of the natural world. With basic trigonometry, for example, the astronomer Eratosthenes estimated the diameter of the Earth with over 99 percent accuracy—in 228 B.C.

But while the Greeks believed that the universe was mathematically designed, they largely applied math only to static objects—measuring angles, calculating volumes of solid objects, and the like—as well as to philosophical purposes. Plato wouldn't let anyone through the front door of his acclaimed Academy who didn't know mathematics. "He is unworthy of the name of man," Plato sniffed, "who is ignorant of the fact that the diagonal of a square is incommensurable with its side." And so it remained for a millennium and a half.

Galileo strived to explain how objects fall rather than why, a modus operandi that set the stage for the advancement of science as we know it today.

The measure of all things

Galileo changed all that in the early 17th century. Eschewing the Greeks' attempts to explain why a pebble falls when you drop it, Galileo set out to determine cómo. The "great book" of the universe is written in the language of mathematics, he famously declared, and unless we understand the triangles, circles, and other geometrical figures that form its characters, he wrote, "it is humanly impossible to comprehend a single word of it [and] one wanders in vain through a dark labyrinth." (Wordsworth or Monet might take issue with that statement, but wait.)

Galileo sought characteristics of our world that he could measure—variable aspects like force and weight, time and space, velocity and acceleration. With such measurements, Galileo was able to construct those gems of scientific shorthand—mathematical formulas—which defined phenomena more concisely and more powerfully than had ever been possible before. (His contemporary, the German mathematician Johannes Kepler, did the same for the heavens, crafting mathematical laws that accurately describe the orbits of planets around the sun—and led to the scrapping of Ptolemy's Earth-centric model.)

A tidy sum

A classic example is the formula commonly shown as d = 16t2. (Hang in there, math-phobes. Your queasiness, which I share, should go away when you see how straightforward this is.) What Galileo discovered and ensconced in this simple equation, one of the most consequential in scientific history, is that, when air resistance is left out, the distance in feet, D, that an object falls is equal to 16 times the square of the time in seconds, t. Thus, if you drop a pebble off a cliff, in one second it will fall 16 feet, in two seconds 64 feet, in three seconds 144 feet, and so on.

Galileo's succinct formula neatly expresses the notion of acceleration of objects near the surface of the Earth, but that is just the start of its usefulness. First, just as with any value of t you can calculate D, for any value of D you can figure t. To get to t, simply divide both sides of the formula d = 16t2 by 16, then take the square root of both sides. This leaves a new formula:

This compact equation tells you the time needed for your pebble to fall a given distance—any distance. Say your cliff is 150 high. How long would the pebble take to reach the bottom? A quick calculation reveals just over three seconds. A thousand feet high? Just shy of eight seconds.

Boulder, pebble, pea: Despite their great differences in mass, all three objects, if dropped from our hypothetical cliff-in-a-vacuum, would reach the ground below in the same amount of time. This is what Galileo's simple formula reveals.

Broad strokes

What else can you do with a pithy formula like d = 16t2? Well, as hinted above, you can make calculations for an infinite number of different values for either D o t. In essence, this means that d = 16t2 contains an infinite amount of information. You can also substitute any object for your pebble—a pea, say, or a boulder—and the formula still holds up perfectly (under the conditions previously mentioned). Could a single poem or painting do as much?

"Mathematics captures patterns that the universe finds pleasant, if you like."

And because the same mathematical law may govern multiple phenomena, a curious scientist can discover relationships between those phenomena that might have otherwise gone undetected. Trigonometric functions, for instance, apply to all wave motions—light, sound, and radio waves as well as waves in water, waves in gas, and many other types of wave motions. The person who "gets" these trig functions and their properties will ipso facto "get" all the phenomena that these functions govern.

A wealth of data

The power of a potent equation extends still further. Take Isaac Newton's universal law of gravitation, which brilliantly combines Galileo's laws of falling bodies with Kepler's laws of planetary motion. Many of us know gravity vaguely as that unseen force that keeps the pebble in your palm or your feet on the ground. Newton described it this way:

F = Gm1metro2 r2

I won't go into this formula, but just know that from it you can calculate the gravitational tug between just about any two objects you can think of, from that between your coffee cup and the table it rests on, to that between one galaxy and another. Or, depending on which variables you know, you can nail down everything from the acceleration of any freely falling object near the Earth's surface (32 feet per second during every second of its fall) to the mass of our planet (about 6,000,000,000,000,000,000,000 tons).

If all other variables are known—and they are today—one can even calculate the mass of our planet using Newton's terse formula on gravitational attraction.

"With a few symbols on a page, you can describe a wealth of physical phenomena," says astrophysicist Brian Greene, host of NOVA's series based on his book The Fabric of the Cosmos. "And that is, in some sense, what we mean by elegance—that the messy, complex world around us emanates from this very simple equation that you have written on a piece of paper."

And like Galileo's d = 16t2, Newton's formula is amazingly accurate. In 1997, University of Washington researchers determined that Newton's inverse-square law holds down to a distance of 56,000ths of a millimeter. It may hold further, but that's as precise as researchers have gotten at the moment.

Exact science

What amazes me most about Galileo and Newton's formulas is their exactitude. In Galileo's, the distance equals exactly the square of the time multiplied by 16 in Newton's, the force of attraction between any two objects is exactly the square of the distance between them. (That's the r2 in his equation.) Such exactness crops up regularly in mathematical descriptions of reality. Einstein found, for instance, that the energy bound up in, say, a pebble equals the pebble's mass times the square of the speed of light, or E = mc2.

Even things we can see and touch in nature flirt with mathematical proportions and patterns. Consider the Fibonacci sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Notice a pattern? After the first, every number is the sum of the previous two. The Fibonacci sequence has many interesting properties. One is that fractions formed by successive Fibonacci numbers—e.g., 3/2 and 5/3 and 8/5—get closer and closer to a particular value, which mathematicians know as the golden number. But what about this: Many plantas adhere to Fibonacci numbers. The black-eyed susan has 13 petals. Asters have 21. Many daisies have 34, 55, or 89 petals, while sunflowers usually have 55, 89, or 144.

Why do sunflowers often have precisely 55, 89, or 144 petals, numbers that figure in the famous Fibonacci sequence? Nature, it seems, has certain mathematical underpinnings.

Is God a mathematician?

The apparent mathematical nature of Nature, from forces to flowers, has left many since the time of the Greeks wondering, as the mathematician Mario Livio does in his book of the same title, "Is God a mathematician?" Does the universe, that is, have an underlying mathematical structure? Many believe it does. "Just as music is auditory patterns that the human mind finds pleasant," says Stanford mathematician Keith Devlin, "mathematics captures patterns that the universe finds pleasant, if you like—patterns that are implicit in the way the universe works."

"Einstein used mathematics to see a piece of the universe that no one had ever seen before."

So did we humans invent mathematics, or was it already out there, limning the cosmos, awaiting the likes of Euclid to reveal it? In his book Mathematics in Western Culture, the mathematician Morris Kline chose to sidestep the philosophical and focus on the scientific: "The plan that mathematics either imposes on nature or reveals in nature replaces disorder with harmonious order. This is the essential contribution of Ptolemy, Copernicus, Newton, and Einstein."

Seeing the invisible

Formulas like Galileo's and Netwon's make the invisible visible. With d = 16t2, we can "see" the motion of falling objects. With Newton's equation on gravity, we can "see" the force that holds the moon in orbit around the Earth. With Einstein's equations, we can "see" atoms. "Einstein is famous for a lot of things, but one thing that is often overlooked is he's the first person who actually said how big an atom is," says Jim Gates, a physicist at the University of Maryland. "Einstein used mathematics to see a piece of the universe that no one had ever seen before."

Today, with advanced technology, we can observe individual atoms, but some natural phenomena defy any description but a mathematical one. "The only thing you can say about the reality of an electron is to cite its mathematical properties," noted the late mathematics writer Martin Gardner. "So there's a sense in which matter has completely dissolved and what is left is just a mathematical structure." Charles Darwin, who admitted to having found mathematics "repugnant" as a student, may have put it best when he wrote, "Mathematics seems to endow one with something like a new sense."

Mathematics predicted what nature has long known—that the stripes on the marine angelfish actually migrate across its body over time.

Fortune telling

Mathematics also endows one with an ability to predict, as Galileo's and Newton's formulas make clear. Such predictive capability often leads to new discoveries. In the mid-1990s, Kyoto University researchers realized to their surprise that equations originally devised by the mathematical genius Alan Turing predicted that the parallel yellow and purple stripes of the marine angelfish have to move over time. Stable, unmoving patterns didn't jive with the mathematics. To find out if this was true, the researchers photographed angelfish in an aquarium over several months. Sure enough, an angelfish's stripes do migrate across its body over time, and in just the way the equations had indicated. Math had revealed the secret.

"There really is a facing-the-music that math forces, and that's why it's a wonderful language for describing nature," Greene says. "It does make predictions for what should happen, and, when the math is accurately describing reality, those predictions are borne out by observation."

A math for all seasons

So much mathematics exists now—one scholar estimates that a million pages of new mathematical ideas are published each year—that when scientists face problems not solvable with math they know, they can often turn to another variety for help. When Einstein began work on his theory of general relativity, he needed a mathematics that could describe what he was proposing—that space is curved. He found it in the non-Euclidean geometry of 19th-century mathematician Georg F. B. Riemann, which provided just the tool he required: a geometry of curved spaces in any number of dimensions.

With fractal geometry, you can write down formulas that describe "rough" shapes like trees, in contrast to "smooth" shapes like ripples.

Or, if necessary, they invent new math. When the late mathematician Benoit Mandelbrot concluded that standard Euclidean geometry, which is all about smooth shapes, fell short when he tried to mathematically portray "rough" shapes like bushy trees or jagged coastlines, he invented a new mathematics called fractal geometry. "Math is our one and only strategy for understanding the complexity of nature," says Ralph Abraham, a mathematician at the University of California Santa Cruz, in NOVA's Hunting the Hidden Dimension. "Fractal geometry has given us a much larger vocabulary, and with a larger vocabulary we can read more of the book of nature." Galileo would be so proud.

Technological wonders

Galileo would also be proud of just how much his successors have achieved with his scientific method. Formulas from his own on falling bodies to Werner Heisenberg's on quantum mechanics have provided us the means to collect and interpret the most valuable knowledge we have ever attained about the workings of nature. Altogether, the most groundbreaking advances of modern science and technology, both theoretical and practical, have come about through the kind of descriptive, quantitative knowledge-gathering that Galileo pioneered and Newton refined.

"Do not worry about your difficulties in mathematics I can assure you that mine are still greater."

Newton's law of gravity, for instance, has been critical in all our missions into space. "By understanding the mathematics or force of gravity between lots of different bodies, you get complete control and understanding, with very high precision, of exactly the best way to send a space probe to Mars or Jupiter or to put satellites in orbit—all of those things," says Ian Stewart, an emeritus professor of mathematics at the University of Warwick in England. "Without the math, you would not be able to do it. We can't send a thousand satellites up and hope one of them gets into the right place."

Without Newton's formula on gravitational attraction, we would never have been able to send satellites and other craft into space so successfully. Here, the International Space Station as seen in 2007.

Mathematics underlies virtually all of our technology today. James Maxwell's four equations summarizing electromagnetism led directly to radio and all other forms of telecommunication. E = mc2 led directly to nuclear power and nuclear weapons. The equations of quantum mechanics made possible everything from transistors and semiconductors to electron microscopy and magnetic resonance imaging.

Indeed, many of the technologies you and I enjoy every day simply would not work without mathematics. When you do a Google search, you're relying on 19th-century algebra, on which the search engine's algorithms are based. When you watch a movie, you may well be seeing mountains and other natural features that, while appearing as real as rock, arise entirely from mathematical models. When you play your iPod, you're hearing a mathematical recreation of music that is stored digitally your cell phone does the same in real time.

"When you listen to a mobile phone, you're not actually hearing the voice of the person speaking," Devlin told me. "You're hearing a mathematical recreation of that voice. That voice is reduced to mathematics."

Secuelas

And I'm reduced to conceding that math doesn't scare me so much anymore. How about you? If you still feel queasy, perhaps you can take solace from Einstein himself, who once reassured a junior high school student, "Do not worry about your difficulties in mathematics I can assure you that mine are still greater."

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Math 410: Modern Geometry

Euclid wrote the first preserved Geometry book which has traditionally been held up as a role model for logical reasoning inside and outside mathematics for thousands of years. However, Euclid has several subtle logical omissions, and in the late 1800s it was necessary to revise the foundations of Euclidean geometry. The need for such a revision was partly due to advances in mathematical logic and changes in the conception of an axiom system. In this course we will review the traditional approach, and then a modern approach based on Hilbert's axioms developed around 1900. The famous mathematician David Hilbert, building on work of several other mathematicians, was able to develop axioms that allow one to develop geometry without any overt or covert appeals to intuition. His idea was that, although intuitions are important in discovering, motivating, communicating and appreciating the theorems, rigorous proofs should not appeal to them. With the more modern approach to the axiomatic method that is not logically dependent on intuition, mathematicians are free to develop more types of geometries than the traditional Euclidean geometry. We will discuss different types and models of geometry that are used today. These include finite geometries with applications in discrete mathematics and number theory, spaces of more than three dimensions, geometries whose coordinates are not real numbers, and geometries where a line can pass through a circle without actually intersecting the circle. Many of these geometries are useful, and not just curious examples.

A second major theme of the course will be the history and role of the parallel postulate. The parallel postulate makes the assumption that anytime you have a point P and a line l not going through P, there is one and only one line m going through P that is parallel to l (this is closely related to Euclid's original fifth postulate). Modern geometry began in the 1800s with the realization that there are interesting consistent geometries for which the parallel postulate is false. For example, hyperbolic and elliptic geometry do not satisfy the parallel postulate.

Since this postulate is less intuitively obvious than the other axioms of geometry, many mathematicians, especially medieval Arab mathematicians and later several European mathematicians of the 1700s, tried to make the parallel postulate a theorem and not an axiom. This goes along with the traditional idea that axioms should be restricted to a few simple, self-evident propositions, and the rest of the subject should be built upon these using proof. However, no mathematician was able to show that the parallel postulate followed as a theorem from the other axioms. Several prominent mathematicians thought that they had a proof of the parallel postulate, but subtle flaws were later discovered in their proofs. Finally mathematicians such as Lobachevsky and Bolyai started to believe that it is possible for there to be geometries where the parallel postulate fails, and they proved theorems about such non-Euclidean geometries. After the discovery of (Euclidean) models of non-Euclidean geometries in the late 1800s, no one was able to doubt the existence and consistency of non-Euclidean geometry. Also, these models show that the parallel postulate is independent of the other axioms of geometry: you cannot prove the parallel postulate from the other axioms.

Required Texts (2)

1. Euclidean and Non-Euclidean Geometries : Development and History
by Marvin Jay Greenberg
ISBN: 0716799480
Publisher: W. H. Freeman and Company (4th edition 2008)
See Amazon or Barnes and Noble for descriptions of this textbook.

2. Book I of the Elements of Euclid. You can use the recent translation by Richard Fitzpatrick or the classic translation by Thomas Heath.

You have at least several options for obtaining Book 1 of Euclid.

A. I recommend downloading Fitzpatrick's translation which is free, contains all of Euclid, and as a bonus has the original Greek. Instead of printing this out, you might want to buy the Hard bound edition.

B. Alternatively, there is an inexpensive complete edition published by Green Lion Press.
Click here for the first few pages of the Elements from this edition.

C. If instead you want an edition with extensive commentary, you can get the Dover edition of Euclid instead (same translation, but with Heath's commentary): Volume 1 has all the text we need, so Volume 2 and 3 are optional.
See Amazon or Barnes and Noble for descriptions. For the optional volumes: Amazon (vol 2), Barnes and Noble (vol 2), Amazon (Volume 3), Barnes and Noble. (Volume 3)

D. There is an online version designed by David E. Joyce. The translation is basically Heath's but slightly less literal in order to make it more readable.

Optional Texts (3)

1. Geometry: Euclid and Beyond
by Robin Hartshorne
ISBN: 0387986502
Publisher: Springer (2000)
See Amazon or Barnes and Noble for descriptions of this textbook.

2. Foundations of Geometry
by David Hilbert
ISBN: 0875481647
Publisher: Open Court (1971 translation of an early 20th century classic)
See Amazon or Barnes and Noble for descriptions of this book.
Get an older (1902) edition for free from Project Gutenberg.

3. Non-Eulcidean Geometry
by Roberto Bonola
ISBN: 0486600270
Publisher: Dover (reprint of the 1912 edition).
This book includes translations of articles by Lobachevski and Bolyai, two originators of non-Euclidean geometry.
See Amazon or Barnes and Noble for descriptions of this book.


Ver el vídeo: Modelo Matemático de Segundo Grado (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Gilley

    Encuentro que no tienes razón. Discutiremos. Escribe en PM, hablaremos.

  2. Roth

    Es simplemente un tema incomparable

  3. Zulull

    Hay algo en esto. Gracias por la información, ahora lo sabré.

  4. Shaktirr

    Maravilloso, esta es una opinión divertida

  5. Heathdene

    Respuesta rápida, un signo de inteligencia)



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