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4.2: Clasificaciones de ecuaciones modelo

4.2: Clasificaciones de ecuaciones modelo


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Hay algunas terminologías técnicas que necesito introducir antes de pasar a más discusiones:

Sistema lineal Una ecuación dinámica cuyas reglas involucran solo una combinación lineal de variables de estado (una constante multiplicada por una variable, una constante o su suma).

Sistema no lineal Cualquier otra cosa (por ejemplo, ecuación que involucra cuadrados, cubos, radicales, funciones trigonométricas, etc., de variables de estado).

Sistema de primer orden Una ecuación en diferencias cuyas reglas involucran variables de estado del pasado inmediato (en el tiempo (t − 1 )) solamentea.

Orden superior sistema Cualquier otra cosa.

aTenga en cuenta que el significado de "orden" en este contexto es diferente del orden de los términos en polinomios.

Sistema autónomo Una ecuación dinámica cuyas reglas no incluyen explícitamente el tiempo (t ) ni ninguna otra variable externa.

Sistema no autónomo Una ecuación dinámica cuyas reglas incluyen el tiempo (t ) u otras variables externas explícitamente.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Decidir si cada uno de los siguientes ejemplos es (1) lineal o no lineal, (2) de primer orden o de orden superior, y (3) autónomo o no autónomo

  1. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + b )
  2. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + bx_ {t − 2} + cx_ {t − 3} )
  3. (x_ {t} = ax_ {t − 1} (1 − x_ {t − 1}) )
  4. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + bxt − 2 ^ {2} + sqrt [c] {x_ {t − 1} x_ {t − 3}} )
  5. (x_ {t} = ax_ {t − 1} x_ {t − 2} + bx_ {t − 3} + sin (t) )
  6. (x_ {t} = ax_ {t − 1} + por_ {t − 1}, y_ {t} = cx_ {t − 1} + dy_ {t − 1} )

Además, hay algunas cosas útiles que debe saber sobre estas clasi fi caciones:

Las ecuaciones en diferencias no autónomas de orden superior siempre se pueden convertir en formas autónomas de primer orden mediante la introducción de variables de estado adicionales.

Por ejemplo, la ecuación en diferencias de segundo orden

[x_ {t} = x_ {t-1} + x_ {t-2} label {(4.5)} ]

(que se llama secuencia Fibonaccise puede convertir en una forma de primer orden introduciendo una variable de "memoria" (y ) de la siguiente manera:

[y_ {t} = x_ {t-1} label {(4.6)} ]

Con esto, (x_ {t − 2} ) se puede reescribir como (y_ {t − 1} ). Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

[ begin {align} x_ {t} & = x_ {t-1} + y_ {t-1} label {(4.7)} [4pt] y_ {t} & = x_ {t-1} label {(4.8)} end {align} ]

Ahora es de primer orden. Esta técnica de conversión también funciona para ecuaciones de tercer orden o de cualquier orden superior, siempre que la dependencia histórica sea finita. Del mismo modo, una ecuación no autónoma

[x_ {t} = x_ {t-1} + t label {(4.9)} ]

se puede convertir en una forma autónoma introduciendo una variable de "reloj" z de la siguiente manera:

[z_ {t} = z_ {t-1} +1, z_ {0} = 1 etiqueta {(4.10)} ]

Esta de fi nición garantiza (z_ {t − 1} = t ). Usando esto, la ecuación se puede reescribir como

[x_ {t} = x_ {t-1} + z_ {t-1}, label {(4.11)} ]

que ahora es autónomo. Estos trucos matemáticos pueden parecer una especie de trampa, pero en realidad no lo son. El mensaje para llevar a casa sobre esto es que las ecuaciones autónomas de primer orden pueden cubrir toda la dinámica de cualquier ecuación no autónoma de orden superior. Esto nos da la confianza de que podemos concentrarnos con seguridad en ecuaciones autónomas de primer orden sin perder nada fundamental. Esta es probablemente la razón por la que las ecuaciones en diferencias de primer orden autónomas se denominan con un nombre particular: mapas iterativos.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Convierta las siguientes ecuaciones en diferencias en una forma autónoma de primer orden.

1. (x_ {t} = x_ {t-1} (1-x_ {t-1}) sint )

2. (x_ {t} = x_ {t-1} + x_ {t-2} -x_ {t-3} )

Otra cosa importante acerca de las ecuaciones dinámicas es la siguiente distinción entre sistemas lineales y no lineales:

Las ecuaciones lineales siempre se pueden resolver analíticamente, mientras que las ecuaciones no lineales no tienen soluciones analíticas en general.

Aquí, un solucion analitica significa una solución escrita en la forma de (x_ {t} = f (t) ) sin usar variables de estado en el lado derecho. Este tipo de solución también se denomina solución de forma cerrada porque el lado derecho está "cerrado", es decir, solo necesita (t ) y no (x ). Obtener una solución de forma cerrada es útil porque le brinda una manera de calcular (es decir, predecir) el estado del sistema directamente desde (t ) en cualquier momento en el futuro, sin realmente simular todo el historial de su comportamiento. Desafortunadamente, esto no es posible para sistemas no lineales en la mayoría de los casos.


4.2: Clasificaciones de ecuaciones modelo

Tenga en cuenta que un modelo de clasificación (anormal) puede tener solo una RegressionTable. En ese caso, la clase predicha es constante y la confianza es 1.0.

Cómo calcular pj : = probabilidad de objetivo = valorj

Sea N categorías objetivo con N RegressionTable elementos. Deja yj ser el resultado de evaluar la fórmula en el i-ésimo RegressionTable. Si uno o más de los yj no se puede evaluar porque falta el valor en uno de los campos referenciados, las siguientes fórmulas no se aplican. En ese caso, las predicciones están definidas por el Probabilidad previa valores en el Objetivo elemento.

softmax, categórico ver arriba, pj = exp (yj ) / (Suma [i = 1 a N] (exp (yI ) ) ) logit, categórico ver arriba, pj = 1 / (1 + exp (- yj ) ) probit, categórico pagj = integral (desde - & # 8734 hasta yj ) (1 / sqrt (2 * y # 960)) exp (-0.5 * u * u) du
por ejemplo, F (10) = 1 estorbo, categórico pagj = 1 - exp (-exp (yj ) ) loglog, categórico pagj = exp (-exp (- yj ) ) cauchit, categórico pagj = 0.5 + (1 / & # 960) arctan (yj ) softmax, ordinal F (y) = exp (yj ) / (Suma [i = 1 a N] (exp (yI )) )
pag1 = F (y1 )
pagj = F (yj ) - F (yj-1 ), para j & # 8805 2 logit, ordinal inversa de la función logit: F (y) = 1 / (1 + exp (- y)), p. ej., F (15) = 1
pag1 = F (y1 )
pagj = F (yj ) - F (yj-1 ), para 2 & # 8804 j & lt N
pagnorte = 1 - Suma [i = 1 a N-1] (p I) probit, ordinal inversa de la función probit: F (y) = integral (desde - & # 8734 ay) (1 / sqrt (2 * & # 960)) exp (-0,5 * u * u) du
por ejemplo, F (10) = 1
pag1 = F (y1 )
pagj = F (yj ) - F (yj-1 ), para 2 & # 8804 j & lt N
pagnorte = 1 - Suma [i = 1 a N-1] (p I) estorbo, ordinal inversa de la función de obstrucción: F (y) = 1 - exp (-exp (y))
por ejemplo, F (4) = 1.
pag1 = F (y1 )
pagj = F (yj ) - F (yj-1 ), para 2 & # 8804 j & lt N
pagnorte = 1 - Suma [i = 1 a N-1] (p I) loglog, ordinal inversa de la función de obstrucción: F (y) = exp (-exp (- y))
pag1 = F (y1 )
pagj = F (yj ) - F (yj-1 ), para 2 & # 8804 j & lt N
pagnorte = 1 - Suma [i = 1 a N-1] (p I) cauchit, ordinal inversa de la función cauchit: F (y) = 0.5 + (1 / & # 960) arctan (y)
pag1 = F (y1)
pagj = F (yj ) - F (yj-1 ), para 2 & # 8804 j & lt N
pagnorte = 1 - Suma [i = 1 a N-1] (p I)

Comentarios sobre exp: El Exp método de normalización se utiliza con frecuencia en modelos estadísticos para predecir variables objetivo no negativas, como la regresión de Poisson, que se utiliza en la previsión de ventas, modelos de colas, modelos de riesgo de seguros, etc., para predecir recuentos por unidad de tiempo (p. solicitudes, presentaciones trimestrales de reclamos de seguros, etc.).

Comentarios sobre probit: El área bajo la curva normal estándar corresponde a la probabilidad, específicamente la probabilidad de encontrar una observación menor que un valor Z dado. El área total bajo la curva, desde - & # 8734 a + & # 8734 = 1.0

Z = 0, área = por encima de Z = 0,5, es decir, la mitad de la curva se encuentra por debajo de la media
Z = 1.0, área = por encima de Z = 0.1587, es decir, aproximadamente el 85% de los datos se encuentran por debajo (media + 1 sd)

t F (t)
1 0.84134474606854000000
2 0.97724986805182000000
3 0.99865010196837000000

Para objetivos ordinales: Suponga que yI es el resultado de la i ésima RegressionTable. Aplique la función de vínculo inverso para obtener la probabilidad acumulada. Para el último (que es el llamado trivial) RegressionTable, la intersección debe ser un número "grande" para que después de aplicar la función de enlace inverso, obtenga una probabilidad acumulada de 1, esto se asume anteriormente en las ecuaciones dadas sobre cómo calcular las probabilidades de los objetivos ordinales. La probabilidad individual de cada categoría se calcula restando la probabilidad acumulada de la categoría anterior de la probabilidad acumulada de la categoría actual.

Ejemplos de

La siguiente fórmula de regresión se utiliza para predecir el número de reclamaciones de seguros:

Si el valor carpark se especificó para car_location en un registro en particular, obtendría la siguiente fórmula:

Muestra de regresión lineal

Ésta es una ecuación de regresión lineal que predice una serie de reclamaciones de seguros sobre la base del conocimiento previo de los valores de las variables independientes edad, salario y ubicación del automóvil. car_location es la única variable categórica. Su valor El atributo puede tomar dos valores posibles, aparcamiento y calle.

El modelo PMML correspondiente es:

Muestra de regresión polinomial

Ésta es una ecuación de regresión polinomial que predice una serie de reclamaciones de seguros sobre el conocimiento previo de los valores de las variables independientes salario y car_location. car_location es una variable categórica. Su valor El atributo puede tomar dos valores posibles, aparcamiento y calle.

Regresión logística para clasificación binaria

Muchos algoritmos de modelado de regresión crean (k-1) ecuaciones para problemas de clasificación con k categorías diferentes. Esto es particularmente útil para la clasificación binaria. El modelo resultante se puede definir fácilmente en PMML como en el siguiente ejemplo.

Tenga en cuenta que el último elemento para RegressionTable es trivial. No tiene entradas de predictor. A RegressionTable define una fórmula: intercepción + (suma de términos predictores) . Si no hay términos predictores, entonces el (la suma de ..) es 0 y la fórmula se convierte en simplemente: interceptar . Eso es exactamente lo que & ltRegressionTable targetCategory = "yes" intercept = "0" / & gt define.

Muestra para clasificación con más de dos categorías:

Tenga en cuenta que los términos como 0 * minoría ('1') son superfluos pero es válido usar el mismo campo con diferentes valores de indicador como '0' y '1'. Aunque, un RegressionTable no debe tener múltiples NumericPredictors con el mismo nombre y no debe tener múltiples Predictor categóricos con el mismo par de nombre y valor.

El modelo PMML correspondiente es:

Usar términos de interacción

El modelo PMML correspondiente es:

Tenga en cuenta que el modelo puede convertir el sexo del campo categórico en un campo continuo mediante la definición de un DerivedField. Además, los campos pueden aparecer más de una vez dentro de un PredictorTerm.


Usar saldos para resolver ecuaciones

En la introducción, usó una balanza para comparar expresiones numéricas. En esta sección, usará una balanza para modelar y resolver ecuaciones.

Considere la siguiente ecuación.

Para el modelo de balanza, utilice las siguientes figuras para representar X y 1. Puedes representar combinaciones de X y 1 usando combinaciones de las figuras.

La ecuación, 2X + 3 = 7, se puede construir sobre la balanza que se muestra a continuación.

Una vez que la ecuación se basa en el modelo, los bloques unitarios, o bloques 1, se pueden eliminar de ambos lados de la balanza para determinar la cantidad de bloques unitarios que se necesitan para equilibrar los 2 bloques. X-bloques.

Cada X-block debe equilibrar el mismo número de bloques de unidades, por lo que en este caso, cada X-Bloque equilibra 2 bloques de unidad. Según el modelo, X = 2.

Observe cómo se resuelve esta ecuación utilizando el modelo de equilibrio.

Utilice el interactivo a continuación para configurar al menos 3 ecuaciones que se le proporcionarán. El interactivo se abrirá en una nueva pestaña o ventana del navegador. Si es necesario, haga clic en Nuevo problema hasta que obtenga una ecuación de dos pasos, o una ecuación de la forma hacha + B = C. Utilice los siguientes pasos para navegar a través del interactivo mientras configura y resuelve la ecuación dada.

  • Utilizar el X-bloques y bloques unitarios (1-bloques) para configurar la ecuación.
  • Una vez que la ecuación esté configurada correctamente, haga clic en Continuar para resolver la ecuación utilizando el modelo de balanza.
  • Identifique la operación que debe realizarse para obtener la X-bloques por sí mismos en la balanza haciendo clic en el símbolo de esa operación.
  • Ingrese la cantidad de bloques que se deben sumar, restar, multiplicar o dividir.
  • Repita para una operación adicional si es necesario.

Hay instrucciones en el panel lateral que puede usar para recorrer cada ecuación. Si necesita instrucciones adicionales, consulte a continuación.

Pausar y reflexionar

Una ecuación de la forma ax + b = c, donde a, b, y C son números y a no es igual a 0, se llama ecuación de dos pasos.

¿Por qué crees que estas ecuaciones se llaman ecuaciones de dos pasos?
¿Cómo resolverías una ecuación como 3x - 5 = 10, donde B es un numero negativo?

Para las preguntas 1 a 3, use la escala de equilibrio para determinar el valor de X.


Contenido

El modelado de ecuaciones estructurales (SEM) tiene sus raíces en el trabajo de Sewall Wright, quien aplicó interpretaciones causales explícitas a las ecuaciones de regresión basadas en los efectos directos e indirectos de las variables observadas en la genética de poblaciones [10] [11]. Lee M. Wolfle compiló una historia bibliográfica anotada del método del coeficiente de ruta de Sewall Wright, que hoy conocemos como modelado de ruta. [12] Wright agregó dos elementos importantes a la práctica estándar de usar la regresión para predecir un resultado. Estos fueron (1) para combinar información de más de una ecuación de regresión utilizando (2) un enfoque causal para el modelado de regresión en lugar de meramente predictivo. Sewall Wright consolidó su método de análisis de ruta en su artículo de 1934 "El método de los coeficientes de ruta". [13]

Otis Dudley Duncan introdujo el SEM en las ciencias sociales en 1975 [14] y floreció durante los años setenta y ochenta. Enfoques de modelado diferentes pero relacionados matemáticamente desarrollados en psicología, sociología y economía. La convergencia de dos de estas corrientes de desarrollo (análisis de factores de la psicología y análisis de caminos de la sociología a través de Duncan) produjo el núcleo actual de SEM, aunque existe una gran superposición con las prácticas econométricas que emplean ecuaciones simultáneas y exógenas (variables causales) [15] [16 ]. Uno de los varios programas que Karl Gustav Jöreskog desarrolló a principios de la década de 1970 en Educational Testing Services (LISREL) incorporó variables latentes (que los psicólogos conocían como factores latentes del análisis factorial) dentro de ecuaciones de estilo de análisis de trayectoria (que los sociólogos habían heredado de Wright y Duncan). ) [17]. La parte estructurada por factores del modelo incorporó errores de medición y, por lo tanto, permitió la estimación ajustada por errores de medición de los efectos que conectan variables latentes.

Se ha utilizado una terminología suelta y confusa para ocultar las debilidades de los métodos. En particular, PLS-PA (el algoritmo de Lohmoller) se ha combinado con la regresión de mínimos cuadrados parciales PLSR, que es un sustituto de la regresión de mínimos cuadrados ordinarios y no tiene nada que ver con el análisis de ruta. PLS-PA se ha promocionado falsamente como un método que funciona con pequeños conjuntos de datos cuando fallan otros enfoques de estimación. Westland (2010) demostró de manera decisiva que esto no es cierto y desarrolló un algoritmo para tamaños de muestra en SEM. Desde la década de 1970, se sabe que la afirmación de "tamaño de muestra pequeño" es falsa (véase, por ejemplo, Dhrymes, 1972, 1974 Dhrymes & amp Erlat, 1972 Dhrymes et al., 1972 Gupta, 1969 Sobel, 1982).

Tanto LISREL como PLS-PA fueron concebidos como algoritmos informáticos iterativos, con un énfasis desde el principio en la creación de una interfaz gráfica y de entrada de datos accesible y una extensión del análisis de ruta de Wright (1921). Los primeros trabajos de la Comisión Cowles en la estimación de ecuaciones simultáneas se centraron en los algoritmos de Koopman y Hood (1953) de la economía del transporte y el enrutamiento óptimo, con estimación de máxima verosimilitud y cálculos algebraicos de forma cerrada, ya que las técnicas de búsqueda de soluciones iterativas eran limitadas en los días anteriores a las computadoras. Anderson y Rubin (1949, 1950) desarrollaron el estimador de máxima verosimilitud de información limitada para los parámetros de una única ecuación estructural, que incluía indirectamente el estimador de mínimos cuadrados de dos etapas y su distribución asintótica (Anderson, 2005) y Farebrother (1999). Los mínimos cuadrados de dos etapas se propusieron originalmente como un método para estimar los parámetros de una sola ecuación estructural en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, siendo introducido por Theil (1953a, 1953b, 1961) y más o menos independientemente por Basmann (1957) y Sargan (1958). La estimación de máxima verosimilitud de información limitada de Anderson finalmente se implementó en un algoritmo de búsqueda por computadora, donde compitió con otros algoritmos SEM iterativos. De estos, el método de mínimos cuadrados en dos etapas fue, con mucho, el método más utilizado en los años sesenta y principios de los setenta.

Los enfoques de sistemas de ecuaciones de regresión se desarrollaron en la Comisión Cowles a partir de la década de 1950, ampliando el modelo de transporte de Tjalling Koopmans. Sewall Wright y otros estadísticos intentaron promover métodos de análisis de ruta en Cowles (entonces en la Universidad de Chicago). Los estadísticos de la Universidad de Chicago identificaron muchas fallas con las aplicaciones del análisis de ruta a las fallas de las ciencias sociales que no plantearon problemas significativos para identificar la transmisión de genes en el contexto de Wright, pero que hicieron que los métodos de ruta como PLS-PA y LISREL fueran problemáticos en las ciencias sociales. Freedman (1987) resumió estas objeciones en los análisis de trayectorias: "la incapacidad de distinguir entre supuestos causales, implicaciones estadísticas y afirmaciones de política ha sido una de las principales razones de la sospecha y la confusión en torno a los métodos cuantitativos en las ciencias sociales" (véase también Wold's ( 1987) respuesta). El análisis de la trayectoria de Wright nunca ganó muchos seguidores entre los econometristas estadounidenses, pero logró influir en Hermann Wold y su alumno Karl Jöreskog. El alumno de Jöreskog, Claes Fornell, promovió LISREL en los EE. UU.

Los avances en las computadoras facilitaron a los principiantes la aplicación de métodos de ecuaciones estructurales en el análisis intensivo de computadoras de grandes conjuntos de datos en problemas complejos y no estructurados. Las técnicas de solución más populares se dividen en tres clases de algoritmos: (1) algoritmos de mínimos cuadrados ordinarios aplicados independientemente a cada ruta, como los aplicados en los llamados paquetes de análisis de ruta PLS que estiman con OLS (2) algoritmos de análisis de covarianza que evolucionan desde seminal trabajo de Wold y su alumno Karl Jöreskog implementado en LISREL, AMOS y EQS y (3) algoritmos de regresión de ecuaciones simultáneas desarrollados en la Comisión Cowles por Tjalling Koopmans.

Pearl [18] ha extendido SEM de modelos lineales a no paramétricos, y ha propuesto interpretaciones causales y contrafácticas de las ecuaciones. Por ejemplo, excluir una variable Z de los argumentos de una ecuación afirma que la variable dependiente es independiente de las intervenciones en la variable excluida, una vez que mantenemos constantes los argumentos restantes. Los SEM no paramétricos permiten estimar los efectos totales, directos e indirectos sin comprometerse con la forma de las ecuaciones ni con las distribuciones de los términos de error. Esto extiende el análisis de mediación a sistemas que involucran variables categóricas en presencia de interacciones no lineales. Bollen y Pearl [19] examinan la historia de la interpretación causal del SEM y por qué se ha convertido en una fuente de confusiones y controversias.

Los métodos de análisis de ruta SEM son populares en las ciencias sociales debido a su accesibilidad, los programas de computadora empaquetados permiten a los investigadores obtener resultados sin el inconveniente de comprender el diseño y control experimental, el efecto y el tamaño de la muestra, y muchos otros factores que forman parte de un buen diseño de investigación. Los partidarios dicen que esto refleja una interpretación holística, y menos descaradamente causal, de muchos fenómenos del mundo real, especialmente en psicología e interacción social, que la que pueden adoptar las ciencias naturales.Los detractores sugieren que se han extraído muchas conclusiones erróneas debido a esta falta de experiencia experimental. control.

La dirección en los modelos de red dirigida de SEM surge de supuestos supuestos de causa-efecto supuestos sobre la realidad. Las interacciones sociales y los artefactos son a menudo epifenómenos: fenómenos secundarios que son difíciles de vincular directamente con factores causales. Un ejemplo de un epifenómeno fisiológico es, por ejemplo, el tiempo para completar un sprint de 100 metros. Una persona puede mejorar su velocidad de sprint de 12 a 11 segundos, pero será difícil atribuir esa mejora a factores causales directos, como dieta, actitud, clima, etc. La mejora de 1 segundo en el tiempo de sprint es un epifenómeno - el producto holístico de la interacción de muchos factores individuales.

Aunque cada técnica de la familia SEM es diferente, los siguientes aspectos son comunes a muchos métodos SEM, ya que muchos estudiosos de SEM como Alex Liu pueden resumirlo como un marco 4E, es decir 1) Ecuación (especificación del modelo o ecuación), 2 ) Estimación de parámetros libres, 3) Evaluación de modelos y ajuste del modelo, 4) Explicación y comunicación, así como ejecución de resultados.

Especificación del modelo Editar

En SEM se distinguen dos componentes principales de los modelos: el modelo estructural mostrando posibles dependencias causales entre variables endógenas y exógenas, y la modelo de medición mostrando las relaciones entre las variables latentes y sus indicadores. Los modelos de análisis factorial exploratorio y confirmatorio, por ejemplo, contienen solo la parte de medición, mientras que los diagramas de ruta pueden verse como SEM que contienen solo la parte estructural.

Al especificar rutas en un modelo, el modelador puede postular dos tipos de relaciones: (1) libre vías, en las que se prueban relaciones causales hipotéticas (de hecho, contrafácticas) entre variables y, por lo tanto, se dejan 'libres' para variar, y (2) relaciones entre variables que ya tienen una relación estimada, generalmente basada en estudios previos, que son ' fijo 'en el modelo.

Un modelador a menudo especificará un conjunto de modelos teóricamente plausibles para evaluar si el modelo propuesto es el mejor del conjunto de modelos posibles. El modelador no solo debe tener en cuenta las razones teóricas para construir el modelo tal como es, sino que también debe tener en cuenta el número de puntos de datos y el número de parámetros que el modelo debe estimar para identificar el modelo. Un modelo identificado es un modelo en el que un valor de parámetro específico identifica de manera única el modelo (definición recursiva), y no se puede dar ninguna otra formulación equivalente por un valor de parámetro diferente. Un punto de datos es una variable con puntuaciones observadas, como una variable que contiene las puntuaciones de una pregunta o la cantidad de veces que los encuestados compran un automóvil. El parámetro es el valor de interés, que puede ser un coeficiente de regresión entre la variable exógena y endógena o la carga de factores (coeficiente de regresión entre un indicador y su factor). Si hay menos puntos de datos que el número de parámetros estimados, el modelo resultante es "no identificado", ya que hay muy pocos puntos de referencia para dar cuenta de toda la varianza en el modelo. La solución es restringir una de las rutas a cero, lo que significa que ya no es parte del modelo.

Estimación de parámetros libres Editar

La estimación de parámetros se realiza comparando las matrices de covarianza reales que representan las relaciones entre las variables y las matrices de covarianza estimadas del modelo de mejor ajuste. Esto se obtiene mediante la maximización numérica a través de la expectativa-maximización de un criterio de ajuste proporcionado por la estimación de máxima verosimilitud, la estimación de cuasi máxima verosimilitud, los mínimos cuadrados ponderados o los métodos asintóticamente libres de distribución. Esto a menudo se logra mediante el uso de un programa de análisis SEM especializado, del cual existen varios.

Evaluación de modelos y ajuste del modelo Editar

Habiendo estimado un modelo, los analistas querrán interpretar el modelo. Las rutas estimadas pueden tabularse y / o presentarse gráficamente como un modelo de ruta. El impacto de las variables se evalúa utilizando reglas de rastreo de ruta (ver análisis de ruta).

Es importante examinar el "ajuste" de un modelo estimado para determinar qué tan bien modela los datos. Esta es una tarea básica en el modelado SEM, que forma la base para aceptar o rechazar modelos y, más generalmente, aceptar un modelo competidor sobre otro. El resultado de los programas SEM incluye matrices de las relaciones estimadas entre las variables del modelo. La evaluación del ajuste básicamente calcula qué tan similares son los datos predichos a las matrices que contienen las relaciones en los datos reales.

Se han desarrollado pruebas estadísticas formales e índices de ajuste para estos fines. Los parámetros individuales del modelo también se pueden examinar dentro del modelo estimado para ver qué tan bien el modelo propuesto se ajusta a la teoría de conducción. La mayoría de los métodos de estimación, aunque no todos, hacen posibles tales pruebas del modelo.

Por supuesto, como en todas las pruebas de hipótesis estadísticas, las pruebas del modelo SEM se basan en el supuesto de que se han modelado los datos relevantes correctos y completos. En la literatura SEM, la discusión del ajuste ha llevado a una variedad de recomendaciones diferentes sobre la aplicación precisa de los diversos índices de ajuste y pruebas de hipótesis.

Existen diferentes enfoques para evaluar el ajuste. Los enfoques tradicionales para el modelado comienzan desde una hipótesis nula, recompensando modelos más parsimoniosos (es decir, aquellos con menos parámetros libres), hasta otros como AIC que se enfocan en cuán poco se desvían los valores ajustados de un modelo saturado [ cita necesaria ] (es decir, qué tan bien reproducen los valores medidos), teniendo en cuenta el número de parámetros libres utilizados. Debido a que diferentes medidas de ajuste capturan diferentes elementos del ajuste del modelo, es apropiado informar una selección de diferentes medidas de ajuste. Las pautas (es decir, "puntajes de corte") para interpretar las medidas de ajuste, incluidas las que se enumeran a continuación, son objeto de mucho debate entre los investigadores de SEM. [20]

Algunas de las medidas de ajuste más utilizadas incluyen:

    • Una medida fundamental de ajuste utilizada en el cálculo de muchas otras medidas de ajuste. Conceptualmente es una función del tamaño de la muestra y la diferencia entre la matriz de covarianza observada y la matriz de covarianza del modelo.
    • Una prueba de ajuste relativo del modelo: el modelo preferido es el que tiene el valor de AIC más bajo.
    • UNA YO C = 2 k - 2 ln ⁡ (L) < Displaystyle < mathit > = 2k-2 ln (L) ,>
    • donde k es el número de parámetros en el modelo estadístico, y L es el valor maximizado de la probabilidad del modelo.
    • Índice de ajuste donde un valor de cero indica el mejor ajuste. [21] Si bien la directriz para determinar un "ajuste perfecto" utilizando RMSEA es muy controvertida, [22] la mayoría de los investigadores coinciden en que un RMSEA de 0,1 o más indica un ajuste deficiente. [23] [24]
    • El SRMR es un indicador de ajuste absoluto popular. Hu y Bentler (1999) sugirieron .08 o menos como guía para un buen ajuste. [25] Kline (2011) sugirió .1 o menos como guía para un buen ajuste.
    • Al examinar las comparaciones de línea de base, el CFI depende en gran parte del tamaño promedio de las correlaciones en los datos. Si la correlación promedio entre variables no es alta, entonces el CFI no será muy alto. Es deseable un valor CFI de .95 o superior. [25]

    Para cada medida de ajuste, la decisión de qué representa un ajuste suficientemente bueno entre el modelo y los datos debe reflejar otros factores contextuales como el tamaño de la muestra, la proporción de indicadores a factores y la complejidad general del modelo. Por ejemplo, las muestras muy grandes hacen que la prueba de chi-cuadrado sea demasiado sensible y es más probable que indique una falta de ajuste de los datos del modelo. [26]

    Modificación de modelo Editar

    Es posible que sea necesario modificar el modelo para mejorar el ajuste, estimando así las relaciones más probables entre las variables. Muchos programas proporcionan índices de modificación que pueden guiar modificaciones menores. Los índices de modificación informan el cambio en χ² que resulta de la liberación de parámetros fijos: generalmente, por lo tanto, se agrega una ruta a un modelo que actualmente está establecido en cero. Las modificaciones que mejoran el ajuste del modelo se pueden marcar como posibles cambios que se pueden realizar en el modelo. Las modificaciones de un modelo, especialmente el modelo estructural, son cambios en la teoría que se afirma que es cierta. Por lo tanto, las modificaciones deben tener sentido en términos de la teoría que se está probando, o ser reconocidas como limitaciones de esa teoría. Los cambios en el modelo de medición son, efectivamente, afirmaciones de que los elementos / datos son indicadores impuros de las variables latentes especificadas por la teoría. [27]

    Los modelos no deben estar dirigidos por MI, como demostró Maccallum (1986): "incluso en condiciones favorables, los modelos que surgen de las búsquedas de especificaciones deben considerarse con cautela". [28]

    Tamaño de muestra y potencia Editar

    Si bien los investigadores están de acuerdo en que se requieren tamaños de muestra grandes para proporcionar suficiente poder estadístico y estimaciones precisas utilizando SEM, no existe un consenso general sobre el método apropiado para determinar el tamaño de muestra adecuado. [29] [30] Generalmente, las consideraciones para determinar el tamaño de la muestra incluyen el número de observaciones por parámetro, el número de observaciones necesarias para que los índices de ajuste funcionen adecuadamente y el número de observaciones por grado de libertad. [29] Los investigadores han propuesto pautas basadas en estudios de simulación, [31] experiencia profesional [32] y fórmulas matemáticas. [30] [33]

    Los requisitos de tamaño de la muestra para lograr una significación y potencia particular en la prueba de hipótesis SEM son similares para el mismo modelo cuando se utiliza cualquiera de los tres algoritmos (PLS-PA, LISREL o sistemas de ecuaciones de regresión) para la prueba. [ cita necesaria ]

    Explicación y comunicación Editar

    Luego, el conjunto de modelos se interpreta de modo que se puedan hacer afirmaciones sobre los constructos, basándose en el modelo que mejor se ajusta.

    Siempre se debe tener cuidado al hacer afirmaciones de causalidad, incluso cuando se han realizado experimentos o estudios ordenados en el tiempo. El termino modelo causal debe entenderse como "un modelo que transmite supuestos causales", no necesariamente un modelo que produce conclusiones causales validadas. La recopilación de datos en múltiples puntos de tiempo y el uso de un diseño experimental o cuasi-experimental puede ayudar a descartar ciertas hipótesis rivales, pero incluso un experimento aleatorio no puede descartar todas esas amenazas a la inferencia causal. El buen ajuste de un modelo consistente con una hipótesis causal implica invariablemente un ajuste igualmente bueno de otro modelo consistente con una hipótesis causal opuesta. Ningún diseño de investigación, no importa cuán inteligente sea, puede ayudar a distinguir tales hipótesis rivales, salvo los experimentos de intervención. [18]

    Como en cualquier ciencia, la replicación posterior y tal vez la modificación procederá del hallazgo inicial.

    Existen varios paquetes de software para ajustar modelos de ecuaciones estructurales. LISREL fue el primer software de este tipo, lanzado inicialmente en la década de 1970.

    También hay varios paquetes para el entorno estadístico de código abierto R. El paquete OpenMx R proporciona una versión mejorada y de código abierto de la aplicación Mx. Otro paquete R de código abierto para SEM es lavaan. [34]

    Los académicos consideran que es una buena práctica informar qué paquete de software y versión se usó para el análisis SEM porque tienen diferentes capacidades y pueden usar métodos ligeramente diferentes para realizar técnicas con nombres similares. [35]

    1. ^ Boslaugh, Sarah McNutt, Louise-Anne (2008). "Modelos de ecuaciones estructurales". Enciclopedia de epidemiología. doi: 10.4135 / 9781412953948.n443. hdl: 2022/21973. ISBN978-1-4129-2816-8.
    2. ^
    3. Shelley, Mack C (2006). "Modelos de ecuaciones estructurales". Enciclopedia de liderazgo y administración educativos. doi: 10.4135 / 9781412939584.n544. ISBN978-0-7619-3087-7.
    4. ^
    5. Tarka, Piotr (2017). "Una visión general del modelado de ecuaciones estructurales: sus inicios, desarrollo histórico, utilidad y controversias en las ciencias sociales". Calidad y cantidad de amplificador. 52 (1): 313–54. doi: 10.1007 / s11135-017-0469-8. PMC5794813. PMID29416184.
    6. ^
    7. Curran, Patrick J. (1 de octubre de 2003). "¿Los modelos multinivel han sido modelos de ecuaciones estructurales todo el tiempo?". Investigación conductual multivariante. 38 (4): 529–569. doi: 10.1207 / s15327906mbr3804_5. ISSN0027-3171. PMID26777445.
    8. ^ aBC
    9. Kline, Rex B. (2016). Principios y práctica de modelado de ecuaciones estructurales (4ª ed.). Nueva York. ISBN978-1-4625-2334-4. OCLC934184322.
    10. ^
    11. Bollen, Kenneth A. (1989). Ecuaciones estructurales con variables latentes. Nueva York: Wiley. ISBN0-471-01171-1. OCLC18834634.
    12. ^
    13. Kaplan, David (2009). Modelado de ecuaciones estructurales: fundaciones y extensiones (2ª ed.). Los Ángeles: SAGE. ISBN978-1-4129-1624-0 . OCLC225852466.
    14. ^
    15. Salkind, Neil J. (2007). "Intelligence Tests". Encyclopedia of Measurement and Statistics. doi:10.4135/9781412952644.n220. ISBN978-1-4129-1611-0 .
    16. ^MacCallum & Austin 2000, p. 209.
    17. ^
    18. Wright, S. (1920-06-01). "The Relative Importance of Heredity and Environment in Determining the Piebald Pattern of Guinea-Pigs". Proceedings of the National Academy of Sciences. 6 (6): 320–332. doi:10.1073/pnas.6.6.320. ISSN0027-8424. PMC1084532 . PMID16576506.
    19. ^
    20. Wright, Sewall (1921). "Journal of Agricultural Research". Journal of Agricultural Research. 20(1): 557–585 – via USDA.
    21. ^
    22. Wolfle, Lee M. (1999). "Sewall wright on the method of path coefficients: An annotated bibliography". Structural Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal. 6 (3): 280–291. doi:10.1080/10705519909540134. ISSN1070-5511.
    23. ^
    24. Wright, Sewall (1934). "The Method of Path Coefficients". The Annals of Mathematical Statistics. 5 (3): 161–215. ISSN0003-4851.
    25. ^
    26. Duncan, Otis Dudley (1975). Introduction to structural equation models. New York: Academic Press. ISBN0-12-224150-9 . OCLC1175858.
    27. ^
    28. Christ, Carl F. (1994). "The Cowles Commission's Contributions to Econometrics at Chicago, 1939-1955". Journal of Economic Literature. 32 (1): 30–59. ISSN0022-0515.
    29. ^
    30. Westland, J. Christopher (2015). Structural Equation Modeling: From Paths to Networks. New York: Springer.
    31. ^
    32. Jöreskog, Karl Gustav van Thillo, Mariella (1972). "LISREL: A GENERAL COMPUTER PROGRAM FOR ESTIMATING A LiNLAE STRUCTAL EQUATION SYTEM INVOLVING'MULTIPLEINDICATOPS OF UNMEASURED. VARIABLES" (PDF) . Research Bulletin: Office of Education. ETS-RB-72-56 – via US Government.
    33. ^ ab
    34. Pearl, Judea (2000). Causality: Models, Reasoning, and Inference . Cambridge University Press. ISBN978-0-521-77362-1 .
    35. ^
    36. Bollen, Kenneth A Pearl, Judea (2013). "Eight Myths About Causality and Structural Equation Models". Handbook of Causal Analysis for Social Research. Handbooks of Sociology and Social Research. pp. 301–28. doi:10.1007/978-94-007-6094-3_15. ISBN978-94-007-6093-6 .
    37. ^MacCallum & Austin 2000, p. 218-219.
    38. ^Kline 2011, p. 205.
    39. ^Kline 2011, p. 206.
    40. ^Hu & Bentler 1999, p. 11.
    41. ^
    42. Browne, M. W. Cudeck, R. (1993). "Alternative ways of assessing model fit". In Bollen, K. A. Long, J. S. (eds.). Testing structural equation models. Newbury Park, CA: Sage.
    43. ^ abHu & Bentler 1999, p. 27.
    44. ^Kline 2011, p. 201.
    45. ^ Loehlin, J. C. (2004). Latent Variable Models: An Introduction to Factor, Path, and Structural Equation Analysis. Psychology Press.
    46. ^
    47. MacCallum, Robert (1986). "Specification searches in covariance structure modeling". Psychological Bulletin. 100: 107–120. doi:10.1037/0033-2909.100.1.107.
    48. ^ abQuintana & Maxwell 1999, p. 499.
    49. ^ ab
    50. Westland, J. Christopher (2010). "Lower bounds on sample size in structural equation modeling". Electron. Comm. Res. Appl. 9 (6): 476–487. doi:10.1016/j.elerap.2010.07.003.
    51. ^
    52. Chou, C. P. Bentler, Peter (1995). "Estimates and tests in structural equation modeling". In Hoyle, Rick (ed.). Structural equation modeling: Concepts, issues, and applications. Thousand Oaks, CA: Sage. pp. 37–55.
    53. ^
    54. Bentler, P. M Chou, Chih-Ping (2016). "Practical Issues in Structural Modeling". Sociological Methods & Research. 16 (1): 78–117. doi:10.1177/0049124187016001004.
    55. ^
    56. MacCallum, Robert C Browne, Michael W Sugawara, Hazuki M (1996). "Power analysis and determination of sample size for covariance structure modeling". Psychological Methods. 1 (2): 130–49. doi:10.1037/1082-989X.1.2.130.
    57. ^
    58. Rosseel, Yves (2012-05-24). "lavaan: An R Package for Structural Equation Modeling". Journal of Statistical Software. 48 (2): 1–36. doi: 10.18637/jss.v048.i02 . Retrieved 27 January 2021 .
    59. ^Kline 2011, p. 79-88.

    Cite error: A list-defined reference named "Hancock2003" is not used in the content (see the help page).


    4. Measuring Chaos

    Bifurcation diagram rendered with 1‑D Chaos Explorer.

    The simple logistic equation is a formula for approximating the evolution of an animal population over time. Many animal species are fertile only for a brief period during the year and the young are born in a particular season so that by the time they are ready to eat solid food it will be plentiful. For this reason, the system might be better described by a discrete difference equation than a continuous differential equation.

    Since not every existing animal will reproduce (a portion of them are male after all), not every female will be fertile, not every conception will be successful, and not every pregnancy will be successfully carried to term the population increase will be some fraction of the present population. Therefore, if "Anorte" is the number of animals this year and "An + 1" is the number next year, then

    where "r" is the growth rate or fecundity , will approximate the rate of succesful reproduction.

    This model produces exponential growth without limit. Since every population is bound by the physical limitations of its territory, some allowance must be made to restrict this growth. If there is a carrying-capacity of the environment then the population may not exceed that capacity. If it does, the population would become extinct. This can be modeled by multiplying the population by a number that approaches zero as the population approaches its limit. If we normalize the "Anorte" to this capacity then the multiplier (1 − Anorte) will suffice and the resulting logistic equation becomes

    The logistic equation is parabolic like the quadratic mapping with ƒ(0) = ƒ(1) = 0 and a maximum of ¼r at ½. Varying the parameter changes the height of the parabola but leaves the width unchanged. (This is different from the quadratic mapping which kept its overall shape and shifted up or down.) The behavior of the system is determined by following the orbit of the initial seed value. All initial conditions eventually settle into one of three different types of behavior.

    1. Fixed: The population approaches a stable value. It can do so by approaching asymptotically from one side in a manner something like an over damped harmonic oscillator or asymptotically from both sides like an under damped oscillator. Starting on a seed that is a fixed point is something like starting an SHO at equilibrium with a velocity of zero. The logistic equation differs from the SHO in the existence of eventually fixed points. It's impossible for an SHO to arrive at its equilibrium position in a finite amount of time (although it will get arbitrarily close to it).
    2. Periodic: The population alternates between two or more fixed values. Likewise, it can do so by approaching asymptotically in one direction or from opposite sides in an alternating manner. The nature of periodicity is richer in the logistic equation than the SHO. For one thing, periodic orbits can be either stable or unstable. An SHO would never settle in to a periodic state unless driven there. In the case of the damped oscillator, the system was leaving the periodic state for the comfort of equilibrium. Second, a periodic state with multiple maxima and/or minima can arise only from systems of coupled SHOs (connected or compound pendulums, for example, or vibrations in continuous media). Lastly, the periodicity is discrete that is, there are no intermediate values.
    3. Chaotic: The population will eventually visit every neighborhood in a subinterval of (0, 1). Nested among the points it does visit, there is a countably infinite set of fixed points and periodic points of every period. The points are equivalent to a Cantor middle thirds set and are wildly unstable. It is highly likely that any real population would ever begin with one of these values. In addition, chaotic orbits exhibit sensitive dependence on initial conditions such that any two nearby points will eventually diverge in their orbits to any arbitrary separation one chooses.

    The behavior of the logistic equation is more complex than that of the simple harmonic oscillator. The type of orbit depends on the growth rate parameter, but in a manner that does not lend itself to "less than", "greater than", "equal to" statements. The best way to visualize the behavior of the orbits as a function of the growth rate is with a bifurcation diagram. Pick a convenient seed value, generate a large number of iterations, discard the first few and plot the rest as a function of the growth factor. For parameter values where the orbit is fixed, the bifurcation diagram will reduce to a single line for periodic values, a series of lines and for chaotic values, a gray wash of dots.

    Since the first two chapters of this work were filled will bifurcation diagrams and commentary on them, I won't go much into the structure of the diagram other than to locate the most prominent features. There are two fixed points for this function: 0 and 1 − 1/r, the former being stable on the interval (𕒵, +1) and the latter on (1, 3). A stable 2-cycle begins at r = 3 followed by a stable 4-cycle at r = 1 + √6. The period continues doubling over ever shorter intervals until around r = 3.5699457… where the chaotic regime takes over. Within the chaotic regime there are interspersed various windows with periods other than powers of 2, most notably a large 3-cycle window beginning at r = 1 + √8. When the growth rate exceeds 4, all orbits zoom to infinity and the modeling aspects of this function become useless.


    Contenido

    Basic form Edit

    Suppose that two naval forces, Red and Blue, are engaging each other in combat. The battle begins with Red firing a salvo of missiles at Blue. The Blue ships try to shoot down those incoming missiles. Simultaneously, Blue launches a salvo that Red tries to intercept.

    This exchange of missile fire can be modeled as follows. Let symbol A represent the number of combat units (warships or other weapon platforms) in the Red force at the beginning of the battle. Each one has offensive firepower α, which is the number of offensive missiles accurately fired per salvo at the enemy. Each one also has defensive firepower y, which is the number of incoming enemy missiles intercepted per salvo by its active defenses. Each ship has staying power w, which is the number of enemy missile hits required to put it out of action. Equivalently, one could say that each attacking missile can cause damage equal to a fraction u=1/w of a Red ship.

    The Blue force is represented in a similar manner. Blue has B units, each with offensive firepower β, defensive firepower z, and staying power X. Each missile that hits will cause damage v=1/x.

    The salvo combat model calculates the number of ships lost on each side using the following pair of equations. Aquí, ΔA represents the change in the number of Red's ships from one salvo, while ΔB represents the change in the number of Blue ships.

    ΔA = -(βB - yA)u, subject to 0 ≤ -ΔA ≤ A ΔB = -(αA - zB)v, subject to 0 ≤ -ΔB ≤ B

    Each equation starts by calculating the total number of offensive missiles being launched by the attacker. It then subtracts the total number of interceptions by the defender. The number of remaining (non-intercepted) offensive missiles is multiplied by the amount of damage caused per missile to get the total amount of damage. If there are more defensive interceptions than offensive missiles, then the total damage is zero it cannot be negative.

    These equations assume that each side is using aimed fire that is, a force knows the location of its target and can aim its missiles at it. If however a force knows only the approximate location of its target (e.g., somewhere within a fog bank), then it may spread its fire across a wide area, with the hope that at least some of its missiles will find the target. A different version of the salvo equations is required for such area fire. [3]

    Mathematically, the salvo equations can be thought of as difference equations or recurrence relations. They are also an example of operations research.

    A stochastic (or probabilistic) version of the model also exists. [4] In this version, the ship parameters listed above are random variables instead of constants. This means that the result of each salvo also varies randomly. The stochastic model can be incorporated into a computer spreadsheet and used instead of the Monte Carlo method of computer simulation. [5] An alternative version of this model exists for situations where one side attacks first, and then the survivors (if any) on the other side counter-attack, [6] such as at the Battle of Midway.

    Relation to Lanchester's laws Edit

    The salvo equations are related to Lanchester's Square Law equations, with two main differences.

    First, the basic salvo equations form a discrete time model, whereas Lanchester's original equations form a continuous time model. Cruise missiles typically are fired in relatively small quantities. Each one has a high probability of hitting its target, if not intercepted, and carries a relatively powerful warhead. Therefore, it makes sense to model them as a discrete pulse (or salvo) of firepower.

    By comparison, bullets or shells in a gun battle are typically fired in large quantities. Each round has a relatively low chance of hitting its target, and does a relatively small amount of damage. Therefore, it makes sense to model them as a small but continuous stream of firepower.

    Second, the salvo equations include defensive firepower, whereas Lanchester's original equations include only offensive firepower. Cruise missiles can be intercepted (shot down) by active defenses, such as surface-to-air missiles and anti-aircraft guns. By comparison, it is generally not practical to intercept bullets and shells during a gun battle.

    Types of warfare Edit

    The salvo model primarily represents naval missile battles, such as those that occurred during the Falklands War. Offensive firepower represents anti-ship cruise missiles such as the Harpoon, the Exocet and the Styx. Defensive firepower represents air defense missiles such as the Standard, as well as anti-aircraft guns such as the Phalanx. However, one can adapt the model to other kinds of battles having similar characteristics.

    For example, some authors have used it study World War II battles between aircraft carriers, [7] such as the Battle of the Coral Sea. [8] In this case, the offensive firepower consists of dive bombers and torpedo bombers. The defensive firepower consists of fighter aircraft that try to intercept those bombers.

    The model could instead describe battles where torpedoes are the main form of offensive firepower, such as in the Battle of Savo Island. In this case, the defensive firepower would be zero, since so far there is no effective way to actively intercept torpedoes.

    A simplified version of the model was used to study alternative outcomes of the Charge of the Light Brigade by British cavalry against Russian cannon in 1854. [9] The model has also been modified to represent tactical ballistic missile defense. This variant was used to analyze the performance of the Iron Dome missile defense system during 2012's Operation Pillar of Defense. [10]

    Development of tactics Edit

    The salvo combat model can help with research on a variety of issues in naval warfare. [11] For example, one study examined the value of having accurate information about an enemy fleet. [12] Another study examined how many missiles would be required to achieve a desired probability of success when attacking several targets at once. [13] Researchers have also analyzed the mathematical properties of the model itself. [14]

    The initial goal of such research is to get a better understanding of how the model works. A more important objective is to see what the model might suggest about the behavior of real missile battles. This could help with the development of better modern naval tactics for attacking with and defending against such missiles.


    Contenido

    The Lotka–Volterra predator–prey model was initially proposed by Alfred J. Lotka in the theory of autocatalytic chemical reactions in 1910. [4] [5] This was effectively the logistic equation, [6] originally derived by Pierre François Verhulst. [7] In 1920 Lotka extended the model, via Andrey Kolmogorov, to "organic systems" using a plant species and a herbivorous animal species as an example [8] and in 1925 he used the equations to analyse predator–prey interactions in his book on biomathematics. [9] The same set of equations was published in 1926 by Vito Volterra, a mathematician and physicist, who had become interested in mathematical biology. [5] [10] [11] Volterra's enquiry was inspired through his interactions with the marine biologist Umberto D'Ancona, who was courting his daughter at the time and later was to become his son-in-law. D'Ancona studied the fish catches in the Adriatic Sea and had noticed that the percentage of predatory fish caught had increased during the years of World War I (1914–18). This puzzled him, as the fishing effort had been very much reduced during the war years. Volterra developed his model independently from Lotka and used it to explain d'Ancona's observation. [12]

    The model was later extended to include density-dependent prey growth and a functional response of the form developed by C. S. Holling a model that has become known as the Rosenzweig–MacArthur model. [13] Both the Lotka–Volterra and Rosenzweig–MacArthur models have been used to explain the dynamics of natural populations of predators and prey, such as the lynx and snowshoe hare data of the Hudson's Bay Company [14] and the moose and wolf populations in Isle Royale National Park. [15]

    In the late 1980s, an alternative to the Lotka–Volterra predator–prey model (and its common-prey-dependent generalizations) emerged, the ratio dependent or Arditi–Ginzburg model. [16] The validity of prey- or ratio-dependent models has been much debated. [17]

    The Lotka–Volterra equations have a long history of use in economic theory their initial application is commonly credited to Richard Goodwin in 1965 [18] or 1967. [19] [20]

    The Lotka–Volterra model makes a number of assumptions, not necessarily realizable in nature, about the environment and evolution of the predator and prey populations: [21]

    1. The prey population finds ample food at all times.
    2. The food supply of the predator population depends entirely on the size of the prey population.
    3. The rate of change of population is proportional to its size.
    4. During the process, the environment does not change in favour of one species, and genetic adaptation is inconsequential.
    5. Predators have limitless appetite.

    In this case the solution of the differential equations is deterministic and continuous. This, in turn, implies that the generations of both the predator and prey are continually overlapping. [22]

    Prey Edit

    When multiplied out, the prey equation becomes

    The prey are assumed to have an unlimited food supply and to reproduce exponentially, unless subject to predation this exponential growth is represented in the equation above by the term αx. The rate of predation upon the prey is assumed to be proportional to the rate at which the predators and the prey meet, this is represented above by βxy. If either x or y is zero, then there can be no predation.

    With these two terms the equation above can be interpreted as follows: the rate of change of the prey's population is given by its own growth rate minus the rate at which it is preyed upon.

    Predators Edit

    The predator equation becomes

    In this equation, δxy represents the growth of the predator population. (Note the similarity to the predation rate however, a different constant is used, as the rate at which the predator population grows is not necessarily equal to the rate at which it consumes the prey). El termino γy represents the loss rate of the predators due to either natural death or emigration, it leads to an exponential decay in the absence of prey.

    Hence the equation expresses that the rate of change of the predator's population depends upon the rate at which it consumes prey, minus its intrinsic death rate.

    The equations have periodic solutions and do not have a simple expression in terms of the usual trigonometric functions, although they are quite tractable. [23] [24]

    If none of the non-negative parameters α, β, γ, δ vanishes, three can be absorbed into the normalization of variables to leave only one parameter: since the first equation is homogeneous in X , and the second one in y , the parameters β/α y δ/γ are absorbable in the normalizations of y y X respectively, and γ into the normalization of t , so that only α/γ remains arbitrary. It is the only parameter affecting the nature of the solutions.

    A linearization of the equations yields a solution similar to simple harmonic motion [25] with the population of predators trailing that of prey by 90° in the cycle.


    Find Equation of Line From 2 Points

    There are a few different ways to write the equation of line .

    Slope Intercept Form

    The first half of this page will focus on writing the equation in slope intercept form like example 1 below.

    Point Slope Form

    However, if you are comfortable using the point slope form of a line, then skip to the second part of this page because writing the equation from 2 points is easier with point slope form.

    Which Form is better?

    Point Slope Form is better

    Point slope form requires fewer steps and fewer calculations overall. This page will explore both approaches. You can click here to see a side by side comparison of the 2 forms.

    Video Tutorialon Finding the Equation of a line From 2 points

    Example - Slope Intercept Form

    Using Slope Intercept Form

    Find the equation of a line through the points (3, 7) and (5, 11)

    $ y = ed x + b y = ed 2 x + b $

    Substitute either point into the equation. You can use either $(3, 7)$ or $(5, 11)$ .

    $ y = 2x + b ed 7 = 2 ( ed 3) + b $

    Substitute $ 1$ for $ ed b $ , into the equation from step 2.

    $ y = 2x + ed b y = 2x + ed 1 oxed < y = 2x + 1 >$

    Use our Calculator

    You can use the calculator below to find the equation of a line from any two points. Just type numbers into the boxes below and the calculator (which has its own page here) will automatically calculate the equation of line in point slope and slope intercept forms.

    (This link will show the same work that you can see on this page)

    Practice Problems- Slope Intercept Form

    Problem 1

    Find the equation of a line through the following 2 points: (4, 5) and (8, 7)

    Substitute either point into the equation. You can use either (4, 5) or (8, 7) .

    Substitute b, 3, into the equation from step 2.

    Problema 2

    Find the equation of a line through the following the points: (-6, 7) and (-9, 8).

    Substitute the slope for 'm' in the slope intercept equation.

    Substitute either point into the equation. You can use either (-6, 7) or (-9, 8).

    Substitute b, 5, into the equation from step 2.

    $ y = frac<1><3>x + ed y = frac<1><3>x + ed <5>$

    Problema 3

    Find the equation of a line through the following the 2 points: (-3, 6) and (15, -6).

    Substitute the slope for 'm' in the slope intercept equation.

    Substitute either point into the equation. You can use either (-3, 6) or (15, -6).

    Substitute b, -1, into the equation from step 2.

    Ejemplo 2

    Equation from 2 points using Point Slope Form

    As explained at the top, point slope form is the easier way to go. Instead of 5 steps, you can find the line's equation in 3 steps, 2 of which are very easy and require nothing more than substitution! In fact, the only calculation, that you're going to make is for the slope.

    The main advantage, in this case, is that you do not have to solve for 'b' like you do with slope intercept from.

    Find the equation of a line through the points $(3, 7)$ and $(5, 11)$ .

    Substitute the slope for 'm' in the point slope equation.

    $ y - y_1 = m(x - x_1) y - y_1 = ed 2 (x - x_1) $

    Substitute either point as $ x1, y1 $ in the equation. You can use either $(3, 7)$ or $ (5, 11) $ .

    Practice Problems - Point Slope

    Problem 1

    Find the equation of a line through the following 2 points: (4, 5) and (8, 7).


    Introducción

    The novel virus (2019-nCoV) that is highly transmissible and pathogenic was first identified from a single individual in Wuhan city in China. This novel infection causes a severe acute respiratory syndrome and it has spread across the world. The reported COVID-19 confirmed cases are over 10.27 million, and there have been more than 0.5 million deaths till 30 June 2020 globally so far [1]. The worst affected regions due to coronavirus are America, Europe, Africa, South-East Asia, Western Pacific, Eastern, and Mediterranean. The initial symptoms of a COVID-19 infection include dry cough, fever, fatigue, and breath shortening that appear in 2–10 days and further cause pneumonia, SARS, kidney failure, and even death [2]. The pandemic has continuously spread due to absence of vaccine and antiviral treatments. Thus WHO announced it a global issue. The policy makers have implemented the non-pharmaceutical intervention like social distancing, self-quarantine, isolation of infected, wearing mask, protective kits for medical personnel, and travel restrictions to minimize the disease incidence. It is also a challenging problem for scientists and virologist evaluating potential treatments based on ongoing clinical trials.

    Researchers suggested many mathematical models to analyze the dynamical behavior and spread of the novel virus which can help to predict the future situation and even control of the COVID-19 pandemic [3]. In the analysis of mathematical models of coronavirus, the reproductive number has a significant role in describing the nonlinear dynamics of physical and biological engineering problems. The reproduction number indicates that COVID-19 has been continuously increasing or has been controlled. In Pakistan, 209,337 confirmed infected cases have been reported and about 4304 have lost their lives out of over 220 million population to date [4, 5]. The first case was reported in Karachi on 26 February 2020, and day by day situation is getting worse and virus is spreading quickly due to limiting testing. The government is unable to maintain strict lockdown and has imposed a smart lockdown by easing restrictions due to severe economic hardships, especially for labor community who earns for living to survive every day. To study the dynamics of COVID-19 transmission pattern, many mathematical models provide more insight on how to control the disease spread to health authorities [6–8]. Fanelli and Piazza [9] studied a novel compartmental model describing the transmission patterns of COVID-19 in three highly infected countries. The dynamics of COVID-19 with an impact of non-pharmaceutical interventions was studied by Ullah and Khan [10] on Pakistani data. The fractional mathematical models rendering the natural fact in a systematic way as in [11, 12] and [13, 14] are used to simulate the transmission of coronavirus. Different mathematical models with an effect of nonlocality and fading memory process by using differential operators have been presented [14, 15]. The fractional order epidemic models are more helpful and reliable in analyzing the dynamics of an infectious disease than the classical integer order models [16, 17]. The fractional order models for different diseases show cooperatively better fit to the real data. In [18, 19] a different fractional operator is suggested, and applications of these fractional operators are found in [20, 21]. Recently a Caputo fractional order COVID-19 model has been studied in [22]. Some other fractional mathematical models for the investigations of infectious diseases have been studied in [15, 23–26]. For example, the fractional diffusion equations and their analysis are studied in [15]. A new scheme to solve numerically the fractional order differential equations is utilized in [23]. New numerical investigations for the fluid in non-conventional media are suggested in [24]. Coronavirus modelings, simulations, and their possible control through a mathematical model are studied by the author in [25]. The spread of coronavirus in South Africa and Turkey with detailed statistical and mathematical results is studied in [26]. Recently, the authors have studied the analysis of coronavirus model in fractional derivative [27]. The use of quarantine and isolations in the modeling of coronavirus is investigated in [28]. A mathematical model for the dynamical analysis of coronavirus and its control analysis is studied by the authors in [10]. The notified cases of coronavirus in Saudi Arabia through a mathematical model are considered in [29], where the authors provide suggestions on possible controls based on the parameters.

    Environmental viral load plays an essential role in the disease incidence and is considered to be one of the main transmission routes of COVID-19. In this study, we reformulate the model [28] with the impact of quarantine, isolation, and environmental effects on the transmission dynamics of coronavirus with the application of Caputo derivative. The parameter values are estimated from the cumulative COVID-19 cases reported in Pakistan. The fractional order models provide better understanding and give more insights about the pandemic. The rest of the work is arranged as follows: In Sect. 2 basics preliminaries are presented, while the model formulation for integer case with parameter estimation and curve fitting is presented in Sect. 3. Model derivation and basics properties are presented in Sects. 4 and 5, respectively. In Sect. 6 we present the analysis of the model, while the numerical simulations are depicted in Sect. 7. Brief concluding remarks are presented in Sect. 8.


    Quadratic Formula Calculator

    In algebra, a quadratic equation is any polynomial equation of the second degree with the following form:

    donde X is an unknown, a is referred to as the quadratic coefficient, b the linear coefficient, and C the constant. The numerals a, b, y C are coefficients of the equation, and they represent known numbers. Por ejemplo, a cannot be 0, or the equation would be linear rather than quadratic. A quadratic equation can be solved in multiple ways including: Factoring, using the quadratic formula, completing the square, or graphing. Only the use of the quadratic formula, as well as the basics of completing the square will be discussed here (since the derivation of the formula involves completing the square). Below is the quadratic formula, as well as its derivation.

    Derivation of the Quadratic Formula

    From this point, it is possible to complete the square using the relationship that:

    Continuing the derivation using this relationship:

    Recall that the ± exists as a function of computing a square root, making both positive and negative roots solutions of the quadratic equation. El X values found through the quadratic formula are roots of the quadratic equation that represent the X values where any parabola crosses the x-axis. Furthermore, the quadratic formula also provides the axis of symmetry of the parabola. This is demonstrated by the graph provided below. Note that the quadratic formula actually has many real-world applications, such as calculating areas, projectile trajectories, and speed, among others.


    Ver el vídeo: á# (Julio 2022).


Comentarios:

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  2. Neason

    Creo que están equivocados. Tratemos de discutir esto. Escríbeme por MP.

  3. Aescford

    Esta variante no se acerca a mí.

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    Maravilloso, muy buen mensaje

  7. Ian

    Felicidades, brillante idea y en tiempo y forma

  8. Eferhard

    ¡Gracias por el interesante material!



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