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14.30: Respuestas de la Sección 7.2 - Matemáticas


1. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} (2m + 1) x ^ {2m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} (m + 1) x ^ {2m + 1} )

2. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m + 1} frac {x ^ {2m}} {2m-1} + a_ {1 }X)

3. (y = a_ {0} (1-10x ^ {2} + 5x ^ {4}) + a_ {1} left (x-2x ^ {3} + frac {1} {5} x ^ {5} derecha) )

4. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (m + 1) (2m + 1) x ^ {2m} + frac {a_ {1}} {3} suma_ {m = 0} ^ { infty} (m + 1) (2m + 3) x ^ {2m + 1} )

5. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod _ {j = 0} ^ {m-1} frac { 4j + 1} {2j + 1} right] x ^ {2m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (4j + 3) right] frac {x ^ {2m + 1}} {2 ^ {m} m!} )

6. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} frac {( 4j + 1) ^ {2}} {2j + 1} right] frac {x ^ {2m}} {8 ^ {m} m!} + A_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} frac {(4j + 3) ^ {2}} {2j + 3} right] frac { x ^ {2m + 1}} {8 ^ {m} m!} )

7. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {2 ^ {m} m!} { Prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 1)} x ^ {2m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac { prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 3)} {2 ^ {m} m!} x ^ {2m + 1} )

8. (y = a_ {0} left (1-14x ^ {2} + frac {35} {3} x ^ {4} right) + a_ {1} left (x-3x ^ { 3} + frac {3} {5} x ^ {5} + frac {1} {35} x ^ {7} right) )

9. (a) (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (-1) ^ {m} frac {x ^ {2m}} { prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 1)} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {2m + 1}} {2 ^ {m} m!} )

10. (a) (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} frac {4j + 3} {2j + 1} right] frac {x ^ {2m}} {2 ^ {m} m!} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} ( -1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} frac {4j + 5} {2j + 3} right] frac {x ^ {2m + 1}} { 2 ^ {m} m!} )

11. (y = 2-xx ^ {2} + frac {1} {3} x ^ {3} + frac {5} {12} x ^ {4} - frac {1} {6} x ^ {5} - frac {17} {72} x ^ {6} + frac {13} {126} x ^ {7} + ldots )

12. (y = 1-x + 3x ^ {2} - frac {5} {2} x ^ {3} + 5x ^ {4} - frac {21} {8} x ^ {5} + 3x ^ {6} - frac {11} {16} x ^ {7} + ldots )

13. (y = 2-x-2x ^ {2} + frac {1} {3} x ^ {3} + 3x ^ {4} - frac {5} {6} x ^ {5} - frac {49} {5} x ^ {6} + frac {45} {14} x ^ {7} + ldots )

16. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {(x-3) ^ {2m}} {(2m)!} + A_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {(x-3) ^ {2m + 1}} {(2m + 1)!} )

17. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {(x-3) ^ {2m}} {2 ^ {m} m!} + A_ {1} suma_ {m = 0} ^ { infty} frac {(x-3) ^ {2m + 1}} { prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 3)} )

18. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 3) right] frac {( x-1) ^ {2m}} {m!} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {4 ^ {m} (m + 1)!} { prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 3)} (x-1) ^ {2m + 1} )

19. (y = a_ {0} left (1-6 (x-2) ^ {2} + frac {4} {3} (x-2) ^ {4} + frac {8} { 135} (x-2) ^ {6} right) + a_ {1} left ((x-2) - frac {10} {9} (x-2) ^ {3} right) )

20. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 1 ) right] frac {3 ^ {m}} {4 ^ {m} m!} (x + 1) ^ {2m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {3 ^ {m} m!} { Prod_ {j = 0} ^ {m-1} (2j + 3)} (x + 1) ^ {2m + 1} )

21. (y = -1 + 2x + frac {3} {8} x ^ {2} - frac {1} {3} x ^ {3} - frac {3} {128} x ^ {4 } - frac {1} {1024} x ^ {6} + ldots )

22. (y = −2 + 3 (x - 3) + 3 (x - 3) ^ {2} - 2 (x - 3) ^ {3} - frac {5} {4} (x - 3 ) ^ {4} + frac {3} {5} (x - 3) ^ {5} + frac {7} {24} (x - 3) ^ {6} - frac {4} {35} (x - 3) ^ {7} + ldots )

23. (y = −1 + (x - 1) + 3 (x - 1) ^ {2} - frac {5} {2} (x - 1) ^ {3} - frac {27} { 4} (x - 1) ^ {4} + frac {21} {4} (x - 1) ^ {5} + frac {27} {2} (x - 1) ^ {6} - frac {81} {8} (x - 1) ^ {7} + ldots )

24. (y = 4 - 6 (x - 3) - 2 (x - 3) ^ {2} + (x - 3) ^ {3} + frac {3} {2} (x - 3) ^ {4} - frac {5} {4} (x - 3) ^ {5} - frac {49} {20} (x - 3) ^ {6} + frac {135} {56} (x - 3) ^ {7} + puntos )

25. (y = 3 - 4 (x - 4) + 15 (x - 4) ^ {2} - 4 (x - 4) ^ {3} + frac {15} {4} (x - 4) ^ {4} - frac {1} {5} (x - 4) ^ {5} )

26. (y = 3 - 3 (x + 1) - 30 (x + 1) ^ {2} + frac {20} {3} (x + 1) ^ {3} + 20 (x + 1) ^ {4} - frac {4} {3} (x + 1) ^ {5} - frac {8} {9} (x + 1) ^ {6} )

27.

  1. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} x ^ {2m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (-1) ^ {m} x ^ {2m + 1} )
  2. (y = frac {a_ {0} + a_ {1} x} {1 + x ^ {2}} )

33. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {x ^ {3m}} {3 ^ {m} m! Prod_ {j = 0} ^ {m- 1} (3j + 2)} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {x ^ {3m + 1}} {3 ^ {m} m! Prod_ {j = 0 } ^ {m-1} (3j + 4)} )

34. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} left ( frac {2} {3} right) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (3j + 2) right] frac {x ^ {3m}} {m!} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} frac {6 ^ { m} m!} { prod_ {j = 0} ^ {m-1} (3j + 4)} x ^ {3m + 1} )

35. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {3 ^ {m} m!} { Prod _ {j = 0} ^ {m-1} (3j + 2)} x ^ {3m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (3j + 4) right] frac {x ^ {3m + 1}} {3 ^ {m} m!} )

36. (y = a_ {0} (1-4x ^ {3} + 4x ^ {6}) + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} 2 ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} frac {3j-5} {3j + ​​4} right] x ^ {3m + 1} )

37. (y = a_ {0} left (1 + frac {21} {2} x ^ {3} + frac {42} {5} x ^ {6} + frac {7} {20 } x ^ {9} right) + a_ {1} left (x + 4x ^ {4} + frac {10} {7} x ^ {7} right) )

39. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 2) ^ {m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} frac {5j +1} {5j + 4} right] x ^ {5m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} left (- frac {2} {5} right) ^ { m} left [ prod_ {j = 0} ^ {m-1} (5j + 2) right] frac {x ^ {5m + 1}} {m!} )

40. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {4m}} {4 ^ {m} m! Prod_ { j = 0} ^ {m-1} (4j + 3)} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {4m + 1 }} {4 ^ {m} m! Prod_ {j = 0} ^ {m-1} (4j + 5)} )

41. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {7m}} { prod_ {j = 0} ^ { infty} (7j + 6)} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {7m + 1}} {7 ^ {m} ¡metro!})

42. (y = a_ {0} left (1- frac {9} {7} x ^ {8} right) + a_ {1} left (x- frac {7} {9} x ^ {9} derecha) )

43. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} x ^ {6m} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} x ^ {6m + 1 } )

44. (y = a_ {0} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {6m}} { prod_ {j = 0} ^ {m -1} (6j + 5)} + a_ {1} sum_ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} frac {x ^ {6m + 1}} {6 ^ {m }¡metro!})


Probablemente 2021 Junior Waec (BECE) Preguntas de matemáticas y respuestas n. ° 038

BECE Matemáticas 2021: ¿Cuáles son las áreas desde las que BECE establecerá las preguntas de Matemáticas y cómo obtengo la respuesta correcta a las Preguntas de Ensayo y Objetivo de Matemáticas de Junior Waec? He resuelto todas las preguntas BECE (Junior Waec) para todos los temas en JSS3 Waec Mathematics.

Matemáticas Junior Waec (BECE) para cada año contiene Prueba 1 (60 preguntas objetivas), Prueba 2 (60 preguntas objetivas) y dos preguntas de ensayo.


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Matemáticas: 120 preguntas con clave de respuestas

14) El número de horas dedicadas a la revisión en Álgebra, Química e Inglés está en una proporción de 4: 3: 1. ¿Cuántas horas dedica cada estudiante a Química en un paquete de revisión de 24 horas?
un. 3 c. 9
B. 6 d. 12

15) ¿Cuál es el valor de 3,5 kilogramos en gramos?
un. 35 c. 3500
B. 350 d. 35.000

16) El mínimo común múltiplo de 18 y 24 es ________.
un. 6 c. 36
B. 24 d. 72

84) El informe meteorológico registró una temperatura de 29 & # 176C por la mañana y 33,5 & # 176C a las dos de la tarde. ¿Cuántos grados más alta fue la temperatura de la tarde?

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Cómo aprenden las personas: cerebro, mente, experiencia y escuela: edición ampliada (2000)

7Enseñanza eficaz: ejemplos en historia, matemáticas y ciencias

El capítulo anterior exploró las implicaciones de la investigación sobre el aprendizaje para cuestiones generales relevantes para el diseño de entornos de aprendizaje eficaces. Pasamos ahora a una exploración más detallada de la enseñanza y el aprendizaje en tres disciplinas: historia, matemáticas y ciencia. Elegimos estas tres áreas para centrarnos en las similitudes y diferencias de disciplinas que utilizan diferentes métodos de investigación y análisis. Uno de los principales objetivos de nuestra discusión es explorar los conocimientos necesarios para enseñar con eficacia en una diversidad de disciplinas.

En el capítulo 2 señalamos que la experiencia en áreas particulares implica más que un conjunto de habilidades generales para la resolución de problemas, también requiere un conocimiento bien organizado de conceptos y procedimientos de investigación. Las diferentes disciplinas están organizadas de manera diferente y tienen diferentes enfoques de investigación. Por ejemplo, la evidencia necesaria para respaldar un conjunto de afirmaciones históricas es diferente de la evidencia necesaria para probar una conjetura matemática, y ambas difieren de la evidencia necesaria para probar una teoría científica. La discusión en el Capítulo 2 también diferencia entre la experiencia en una disciplina y la capacidad de ayudar a otros a aprender sobre esa disciplina. Para utilizar el lenguaje de Shulman y rsquos (1987), los profesores eficaces necesitan conocimientos de contenido pedagógico (conocimientos sobre cómo enseñar en disciplinas particulares) en lugar de sólo conocimientos sobre una materia en particular.

El conocimiento del contenido pedagógico es diferente del conocimiento de los métodos generales de enseñanza. Los profesores expertos conocen la estructura de sus disciplinas, y este conocimiento les proporciona hojas de ruta cognitivas que guían las tareas que les dan a los estudiantes, las evaluaciones que utilizan para medir el progreso de los estudiantes y las preguntas que hacen en el toma y daca de la vida en el aula. En resumen, su conocimiento de la disciplina y su conocimiento de la pedagogía interactúan. Pero el conocimiento de la estructura de la disciplina no guía por sí mismo al maestro. Por ejemplo, los profesores expertos son sensibles a aquellos aspectos de la disciplina que son especialmente difíciles o fáciles de dominar para los nuevos estudiantes.

Esto significa que los nuevos profesores deben desarrollar la capacidad de "comprender de una manera pedagógicamente reflexiva", no sólo deben conocer su propio camino en torno a una disciplina, sino que también deben conocer las "barreras conceptuales" que pueden obstaculizar a otros "(McDonald y Naso, 1986: 8). Estas barreras conceptuales difieren de una disciplina a otra.

El énfasis en las interacciones entre el conocimiento disciplinario y el conocimiento pedagógico contradice directamente los conceptos erróneos comunes sobre lo que los maestros necesitan saber para diseñar entornos de aprendizaje efectivos para sus estudiantes. Los conceptos erróneos son que la enseñanza consiste solo en un conjunto de métodos generales, que un buen maestro puede enseñar cualquier materia o que el conocimiento del contenido por sí solo es suficiente.

Algunos maestros son capaz de enseñar en formas que involucran una variedad de disciplinas. Sin embargo, su capacidad para hacerlo requiere más que un conjunto de habilidades generales de enseñanza. Considere el caso de Barb Johnson, quien ha sido maestra de sexto grado durante 12 años en Monroe Middle School. Según los estándares convencionales, Monroe es una buena escuela. Los puntajes de las pruebas estandarizadas son aproximadamente promedio, el tamaño de la clase es pequeño, las instalaciones del edificio están bien mantenidas, el administrador es un líder instructivo sólido y hay poca rotación de profesores y personal. Sin embargo, cada año los padres envían a sus estudiantes de quinto grado de las escuelas primarias locales al jinete de Monroe para que asignen a sus hijos a las clases de Barb Johnson & rsquos. ¿Qué sucede en su salón de clases que le da la reputación de ser la mejor de las mejores?

Durante la primera semana de clases, Barb Johnson les hace dos preguntas a sus alumnos de sexto grado: & ldquo¿Qué preguntas tienes sobre ti? & Rdquo y & ldquo¿Qué preguntas tienes sobre el mundo? & Rdquo Los estudiantes comienzan a enumerar sus preguntas, & ldquo¿Pueden hablar de cosas pequeñas y tontas? ? ”pregunta un estudiante. & ldquoSi preguntan tus preguntas que realmente quieres que se respondan, no necesitan ni tonterías ni pequeñas, & rdquo, responde el profesor. Después de que los estudiantes enumeran sus preguntas individuales, Barb organiza a los estudiantes en grupos pequeños donde comparten listas y buscan preguntas que tienen en común. Después de mucha discusión, cada grupo elabora una lista de preguntas prioritarias, ordenando las preguntas sobre ellos mismos y sobre el mundo.

De nuevo juntos en una sesión de grupo completo, Barb Johnson solicita las prioridades de los grupos y rsquo y trabaja hacia el consenso para las listas de preguntas combinadas de la clase y rsquos. Estas preguntas se convierten en la base para orientar el plan de estudios en la clase de Barb & rsquos. Una pregunta, "¿viviré hasta los 100 años?", Generó investigaciones educativas sobre genética, historia familiar y oral, ciencia actuarial, estadística y probabilidad, enfermedades cardíacas, cáncer e hipertensión. Los estudiantes tuvieron la oportunidad de buscar información de familiares, amigos, expertos en diversos campos, servicios informáticos en línea y libros, así como del profesor. Ella describe lo que tuvieron que hacer para convertirse en parte de una "comunidad de aprendizaje". Según Barb Johnson, "Decidimos cuáles son los problemas intelectuales más convincentes, ideamos formas de investigar esos problemas".

y emprenda un viaje de aprendizaje. A veces no logramos nuestro objetivo. A veces logramos nuestra meta, pero la mayoría de las veces las superamos y aprendemos más de lo que inicialmente esperábamos y rdquo (comunicación personal).

Al final de una investigación, Barb Johnson trabaja con los estudiantes para ayudarlos a ver cómo sus investigaciones se relacionan con áreas temáticas convencionales.Crean una tabla en la que cuentan las experiencias en lenguaje y alfabetización, matemáticas, ciencias, estudios sociales e historia, música y arte. Los estudiantes a menudo se sorprenden de cuánto y cuán variado es su aprendizaje. Dice un estudiante: “Solo pensé que nos estábamos divirtiendo. ¡No me di cuenta de que nosotros también estábamos aprendiendo!

La enseñanza de Barb Johnson & rsquos es extraordinaria. Requiere una amplia gama de conocimientos disciplinarios porque comienza con preguntas de los estudiantes y no con un plan de estudios fijo. Debido a su amplio conocimiento, puede mapear las preguntas de los estudiantes y sus rsquo sobre principios importantes de disciplinas relevantes. No funcionaría simplemente armar a los nuevos maestros con estrategias generales que reflejen cómo ella enseña y alentarlos a usar este enfoque en sus aulas. A menos que tengan los conocimientos disciplinarios pertinentes, los profesores y las clases se perderán rápidamente. Al mismo tiempo, el conocimiento disciplinario sin conocimiento sobre cómo aprenden los estudiantes (es decir, principios consistentes con la psicología del desarrollo y del aprendizaje) y cómo liderar los procesos de aprendizaje (es decir, conocimiento pedagógico) no produciría el tipo de aprendizaje visto en las clases de Barb Johnson & rsquos. (Anderson y Smith, 1987).

En el resto de este capítulo, presentamos ilustraciones y discusiones de enseñanza ejemplar en historia, matemáticas y ciencias. Los tres ejemplos de historia, matemáticas y ciencia están diseñados para transmitir un sentido del conocimiento pedagógico y el conocimiento del contenido (Shulman, 1987) que subyacen a la enseñanza experta. Deben ayudar a aclarar por qué la enseñanza eficaz requiere mucho más que un conjunto de "habilidades de enseñanza generales".

HISTORIA

La mayoría de las personas han tenido experiencias bastante similares con los cursos de historia: aprendieron los hechos y las fechas que el profesor y el texto consideraron relevantes. Esta visión de la historia es radicalmente diferente de la forma en que los historiadores ven su trabajo. Los estudiantes que piensan que la historia se trata de hechos y fechas pierden oportunidades interesantes para comprender cómo la historia es una disciplina que se guía por reglas particulares de evidencia y cómo las habilidades analíticas particulares pueden ser relevantes para comprender los eventos en sus vidas (ver Ravitch y Finn, 1987). . Desafortunadamente, muchos profesores no presentan un enfoque interesante de la historia, tal vez porque a ellos también se les enseñó con el método de fechas y hechos.

Más allá de los hechos

En el Capítulo 2, discutimos un estudio de expertos en el campo de la historia y aprendimos que ellos consideran la evidencia disponible como más que listas de hechos (Wineburg, 1991). El estudio contrastó a un grupo de estudiantes de último año de secundaria dotados con un grupo de historiadores en activo. Ambos grupos recibieron una prueba de hechos sobre la Revolución Americana tomados de la sección de revisión de capítulos de un popular libro de texto de historia de los Estados Unidos. Los historiadores que tenían antecedentes en la historia estadounidense conocían la mayoría de los elementos, mientras que los historiadores cuyas especialidades se encontraban en otra parte conocían solo un tercio de los hechos de prueba. Varios estudiantes obtuvieron calificaciones más altas que algunos historiadores en la prueba preliminar de hechos. Sin embargo, además de la prueba de los hechos, a los historiadores y estudiantes se les presentó un conjunto de documentos históricos y se les pidió que clasificaran afirmaciones en competencia y formularan interpretaciones razonadas. Los historiadores sobresalieron en esta tarea. La mayoría de los estudiantes, por otro lado, estaban bloqueados. A pesar del volumen de información histórica que poseían los estudiantes, tenían poco sentido de cómo usarla de manera productiva para formar interpretaciones de eventos o para llegar a conclusiones.

Diferentes visiones de la historia de diferentes profesores

Las diferentes visiones de la historia afectan la forma en que los profesores enseñan historia. Por ejemplo, Wilson y Wineburg (1993) pidieron a dos profesores de historia estadounidense que leyeran un conjunto de ensayos de estudiantes sobre las causas de la Revolución Estadounidense, no como relatos imparciales o completos y definitivos de personas y eventos, sino para desarrollar planes para los estudiantes y rsquo. "Remediación o enriquecimiento". Los maestros recibieron un conjunto de ensayos sobre la pregunta "Evaluar las causas de la Revolución Americana", escritos por estudiantes de undécimo grado para una prueba cronometrada de 45 minutos. Considere los diferentes tipos de retroalimentación que el Sr. Barnes y la Sra. Kelsey le dieron a un estudiante en el trabajo. Ver Cuadro 7.1.

Barnes & rsquo comenta sobre el contenido real de los ensayos concentrados en el nivel fáctico. Los comentarios de la Sra. Kelsey & rsquos abordaron imágenes más amplias de la naturaleza del dominio, sin descuidar importantes errores de hecho. En general, el Sr. Barnes vio los artículos como una indicación de la distribución de habilidades en forma de campana. La Sra. Kelsey los vio como representando la idea errónea de que la historia consiste en memorizar una gran cantidad de información y contar una serie de hechos. Estos dos profesores tenían ideas muy diferentes sobre la naturaleza del aprendizaje de la historia. Esas ideas afectaron la forma en que enseñaban y lo que querían que sus alumnos lograran.

Estudios de profesores de historia destacados

Para los profesores de historia expertos, su conocimiento de la disciplina y sus creencias sobre su estructura interactúan con sus estrategias de enseñanza. En lugar de simplemente presentar a los estudiantes un conjunto de hechos que deben aprender, estos maestros ayudan a las personas a comprender la naturaleza problemática de la interpretación y el análisis históricos y a apreciar la relevancia de la historia para su vida cotidiana.

Un ejemplo de enseñanza de historia sobresaliente proviene del aula de Bob Bain, un maestro de escuela pública en Beechwood, Ohio. Los historiadores, señala, están malditos con una abundancia de datos y mdash las huellas del pasado amenazan con abrumarlos a menos que encuentren alguna forma de separar lo importante de lo periférico. Las suposiciones que los historiadores tienen sobre la importancia dan forma a la forma en que escriben sus historias, los datos que seleccionan y la narrativa que componen, así como los esquemas más amplios que aportan para organizar y periodizar el pasado. A menudo, estas suposiciones sobre la importancia histórica quedan sin articular en el aula. Esto contribuye a las creencias de los estudiantes de que sus libros de texto son la historia en lugar de a historia.

Bob Bain comienza su clase de noveno grado en la escuela secundaria haciendo que todos los estudiantes creen una cápsula del tiempo de lo que creen que son los artefactos más importantes del pasado. La tarea de los estudiantes, entonces, es escribir en un papel por qué eligieron los elementos que eligieron. De esta manera, los estudiantes articulan explícitamente sus supuestos subyacentes de lo que constituye el significado histórico. Las respuestas de los estudiantes se agrupan y él las escribe en un cartel grande que cuelga en la pared del aula. Este póster, que Bob Bain llama "Reglas para determinar la importancia histórica", se convierte en un pararrayos para las discusiones en clase a lo largo del año, y se somete a revisiones y elaboraciones a medida que los estudiantes se vuelven más capaces de articular sus ideas.

Al principio, los estudiantes aplican las reglas de manera rígida y algorítmica, con poca comprensión de que, tal como hicieron las reglas, también pueden cambiarlas. Pero a medida que los estudiantes adquieren más práctica en la ejecución de sus juicios de importancia, llegan a ver las reglas como herramientas para ensayar los argumentos de diferentes historiadores, lo que les permite comenzar a comprender por qué los historiadores no están de acuerdo. En este caso, la capacidad cada vez mayor de los estudiantes para comprender la naturaleza interpretativa de la historia se ve favorecida por la comprensión profunda de sus maestros de un principio fundamental de la disciplina.

Leinhardt y Greeno (1991, 1994) pasaron 2 años estudiando a un maestro altamente calificado de historia de colocación avanzada en una escuela secundaria urbana en Pittsburgh. La maestra, la Sra. Sterling, una veterana de más de 20 años, comenzó su año escolar haciendo que sus alumnos reflexionaran sobre el significado de la declaración, & ldquoToda historia verdadera es historia contemporánea & rdquo. En la primera semana del semestre, Sterling empujó a sus estudiantes a los tipos de problemas epistemológicos que uno podría encontrar en un seminario de posgrado: & ldquo¿Qué es la historia? & rdquo & ldquo ¿Cómo conocemos el pasado? & rdquo & ldquo ¿Cuál es la diferencia entre alguien que se sienta a

RECUADRO 7.1 Comentarios sobre artículos sobre la revolución estadounidense

Cuando terminó la guerra de Francia e India, los británicos esperaban que los estadounidenses los ayudaran a pagar las deudas de la guerra. Esa sería una solicitud razonable si la guerra se librara por las colonias, pero se libró por el imperialismo inglés, así que no se les puede culpar por no querer pagar. Los impuestos fueron solo el comienzo del lento giro hacia la rebelión, otro factor fue cuando el parlamento decidió prohibir al gobierno colonial hacer más dinero, Specie se volvió más escasa que nunca y muchos comerciantes se vieron empujados a & ldquotwo way squeeze & rdquo y enfrentaron la bancarrota . Si pudiera elegir entre ser leal o rebelarme y comer algo, sé cuál sería mi elección. Los colonos que fueron realmente leales nunca se rebelaron, y un tercio apoyó la revolución.

Lo principal que convirtió a la mayoría de la gente fue la cantidad de propaganda, discursos de personas como Patrick Henry y organizaciones como la & ldquoAssociation & rdquo. Después de la Masacre de Boston y la emisión de los actos intolerables, la gente estaba convencida de que había una conspiración en el gobierno real. para extinguir las libertades americanas y rsquos. Creo que mucha gente también estaba dejándose llevar por la corriente o estaba siendo presionada por los Hijos de la Libertad. Los comerciantes que no aceptaron los boicots a menudo se convirtieron en víctimas de la violencia de las turbas. Sin embargo, en general, la gente estaba harta de sobrecargarse y siguió caminando y decidió dejar que & rsquos hiciera algo al respecto.

& lsquowrite la historia & rsquo y los artefactos que se producen como parte de la experiencia ordinaria? & rdquo El objetivo de este ejercicio extendido es ayudar a los estudiantes a entender la historia como un probatorio forma de conocimiento, no como grupos de nombres y fechas fijos.

Uno podría preguntarse sobre la conveniencia de pasar 5 días "definiendo la historia" en un plan de estudios con tanto que cubrir. Pero es precisamente el marco de trabajo de Sterling y RSQ sobre el conocimiento de la materia y su comprensión general de la disciplina en su conjunto lo que permite a los estudiantes entrar en el mundo avanzado de la construcción de sentido histórico. Al final del curso, los estudiantes pasaron de ser espectadores pasivos del pasado a agentes con derecho a voto que podían participar en las formas de pensamiento, razonamiento y compromiso que son el sello distintivo de la cognición histórica experta. Por ejemplo, a principios del año escolar, la Sra. Sterling les hizo a sus estudiantes una pregunta sobre la Convención Constitucional y "qué podían hacer los hombres". Paul tomó la pregunta literalmente: "Uh, creo que una de las cosas más importantes que hicieron, fue que del que hablamos ayer, fue el establecimiento de los primeros asentamientos en el Noroeste

Comentario resumido del Sr. Barnes & rsquos

& mdasu oración temática es débil

& mdash más detalles fácticos mejorarían su ensayo

& mdashnote correcciones ortográficas y gramaticales

Sra. Kelsey & rsquos Comentario resumido

& mdash La mayor fortaleza de este ensayo es su sobresaliente esfuerzo por lidiar pensativamente con la pregunta, ¿por qué se rebelaron los colonos? Siga pensando personalmente, "¿Qué pasaría si estuviera aquí?". Es un gran lugar para comenzar.

& mdashPara hacer el ensayo trabajo, sin embargo, debe refinar las estrategias de su organización de manera significativa. Recuerde que su lector es básicamente ignorante, por lo que debe expresar su punto de vista con la mayor claridad posible. Trate de formar sus ideas desde el principio hasta el medio y luego el final.

Al principio, diga de qué lado se apoya: ¿Qué hizo que los colonos se rebelaran y gastaran dinero, propaganda, conformidad?

En el medio, justifique su punto de vista. ¿Qué factores apoyan tu idea y convencerán a tu lector?

Al final, recuérdele a su lector nuevamente su punto de vista.

¡Regrese y revise y entregue esto de nuevo!

FUENTE: Wilson y Wineburg (1993: Fig.1). Reimpreso con permiso.

estados del área. & rdquo Pero después de 2 meses de educar a los estudiantes en una forma de pensar sobre la historia, Paul comenzó a ponerse al día. En enero, sus respuestas a las preguntas sobre la caída de la economía basada en el algodón en el Sur estaban vinculadas a la política comercial británica y las empresas coloniales en Asia, así como al fracaso de los líderes del Sur en leer la opinión pública con precisión en Gran Bretaña. La propia comprensión de la historia de la Sra. Sterling le permitió crear un aula en la que los estudiantes no solo dominaron conceptos y hechos, sino que también los usaron de manera auténtica para elaborar explicaciones históricas.

Debatir la evidencia

Elizabeth Jensen prepara a su grupo de estudiantes de undécimo grado para debatir la siguiente resolución:

Resuelto: El gobierno británico posee la autoridad legítima para cobrar impuestos a las colonias americanas.

Cuando sus alumnos entran al aula, organizan sus escritorios en tres grupos: a la izquierda del salón, un grupo de "quorebels", a la derecha, un grupo de "calificados", y al frente, un grupo de "jueces". A un lado con En un cuaderno de espiral en su regazo se sienta Jensen, una mujer baja de unos 30 años con una voz retumbante. Pero hoy esa voz guarda silencio mientras sus alumnos abordan la cuestión de la legitimidad de los impuestos británicos en las colonias estadounidenses.

La primera oradora rebelde, una niña de 16 años con una camiseta de Grateful Dead y un pendiente colgando, toma un papel de su cuaderno y comienza:

Inglaterra dice que tiene tropas aquí para nuestra propia protección. A primera vista, esto parece bastante razonable, pero en realidad sus afirmaciones no tienen fundamento. En primer lugar, ¿de quién creen que nos están protegiendo? ¿El francés? Citando a nuestro amigo el Sr. Bailey en la página 54, "Por el asentamiento en París en 1763, el poder francés fue expulsado por completo del continente de América del Norte". Claramente no los franceses entonces. ¿Quizás necesiten protegernos de los españoles? Sin embargo, la misma guerra también sometió a los españoles, por lo que tampoco son una preocupación real. De hecho, la única amenaza para nuestra orden son los indios y el infierno, pero tenemos una milicia decente propia y el infierno. Entonces, ¿por qué están poniendo tropas aquí? La única razón posible es mantenernos a raya. Con la llegada de más y más tropas, pronto todas las libertades que apreciamos serán despojadas. La gran ironía es que Gran Bretaña espera que paguemos por estas tropas feroces, estos aplastadores británicos de la justicia colonial.

Nos mudamos aquí, estamos pagando menos impuestos que durante dos generaciones en Inglaterra, ¿y se queja? Veamos por qué nos gravan los impuestos y mdash, la razón principal es probablemente porque Inglaterra tiene una deuda de & pound140.000.000. & hellip Esto suena un poco codicioso, me refiero a qué derecho tienen a tomar nuestro dinero simplemente porque tienen el poder sobre nosotros. Pero, ¿sabías que más de la mitad de su deuda de guerra fue causada por defendernos en la Guerra y el infierno de Francia e India? La tributación sin representación no es justa. De hecho, es una tiranía. Sin embargo, la representación virtual hace que este lloriqueo suyo sea una mentira. Todo ciudadano británico, tenga o no derecho a votar, está representado en el Parlamento. ¿Por qué esta representación no se extiende a Estados Unidos?

Un rebelde cuestiona al leal sobre esto:

Rebelde: ¿Qué beneficios obtenemos al pagar impuestos a la corona?

Leal: nos beneficiamos de la protección.

Rebelde: (interrumpiendo) ¿Es ese el único beneficio que reclamas, protección?

Leal: Sí, y todos los derechos de un inglés.

Rebelde: Bien, entonces ¿qué pasa con los Actos intolerables y el infierno que nos niega los derechos de los súbditos británicos? ¿Qué pasa con los derechos que se nos niegan?

Leal: Los Hijos de la Libertad alquilaron y emplumaron a la gente, saquearon casas y mdash, definitivamente merecían algún tipo de castigo.

Rebelde: Entonces, ¿deberían todas las colonias ser castigadas por los actos de unas pocas colonias?

Por un momento, la sala es una cacofonía de cargos y contracargos. "Es lo mismo que en Birmingham", grita un leal. Un rebelde bufó despectivamente, "La representación virtual es una tontería". Treinta y dos estudiantes parecen estar hablando a la vez, mientras que el juez que preside, un estudiante enjuto con gafas con montura de cuerno, golpea su mazo en vano. La maestra, todavía en la esquina, todavía con el cuaderno de espiral en el regazo, emite su único comando del día. "¡Quédate quieto!", tronó. Se restablece el orden y los leales continúan con su argumento de apertura (de Wineburg y Wilson, 1991).

Otro ejemplo de la enseñanza de Elizabeth Jensen & rsquos involucra sus esfuerzos para ayudar a sus estudiantes de secundaria a comprender los debates entre federalistas y antifederalistas. Ella sabe que sus hijos de 15 y 16 años no pueden comenzar a comprender las complejidades de los debates sin comprender primero que estos desacuerdos tienen sus raíces en concepciones fundamentalmente diferentes de la naturaleza humana y un punto mdasha que se pasa por alto en dos párrafos de su libro de texto de historia. En lugar de comenzar el año con una unidad sobre el descubrimiento y la exploración europeos, como dicta su texto, comienza con una conferencia sobre la naturaleza del hombre. Los estudiantes de su clase de historia de undécimo grado leyeron extractos de los escritos de filósofos (Hume, Locke, Platón y Aristóteles), líderes del estado y revolucionarios (Jefferson, Lenin, Gandhi) y tiranos (Hitler, Mussolini), presentando y defendiendo estos puntos de vista ante sus compañeros de clase. Seis semanas después, cuando llegó el momento de estudiar la ratificación de la Constitución, estas figuras ahora familiares, como Platón, Aristóteles y otros, se volvieron a reunir para ser cortejados por apasionados grupos de federalistas y antifederalistas. Es la comprensión de Elizabeth Jensen & rsquos sobre lo que quiere enseñar y lo que los adolescentes ya saben lo que le permite crear una actividad que ayude a los estudiantes a tener una idea del dominio que les espera: decisiones sobre rebelión, la Constitución, el federalismo, la esclavitud y la naturaleza. de un gobierno.

Conclusión

Estos ejemplos brindan destellos de una enseñanza sobresaliente en la disciplina de la historia. Los ejemplos no provienen de "profesores cuestionados" que sepan cómo enseñar cualquier cosa: demuestran, en cambio, que los profesores expertos tienen una comprensión profunda de la estructura y epistemologías de sus disciplinas, combinada con el conocimiento de los tipos de actividades de enseñanza que ayudarán a los estudiantes a llegar. para comprender la disciplina por sí mismos. Como señalamos anteriormente, este punto contradice tajantemente uno de los mitos más populares y peligrosos sobre la enseñanza: la enseñanza es una habilidad genérica y un buen profesor puede enseñar cualquier materia. Numerosos estudios demuestran que cualquier plan de estudios, incluido un libro de texto, está mediado por un maestro y su comprensión del dominio de la materia (para historia, ver Wineburg y Wilson, 1988 para matemáticas, ver Ball, 1993 para inglés, ver Grossman et al., 1989). La singularidad del conocimiento del contenido y el conocimiento pedagógico necesarios para enseñar his-

La historia se vuelve más clara a medida que uno explora la enseñanza sobresaliente en otras disciplinas.

MATEMÁTICAS

Como ocurre en la historia, la mayoría de la gente cree que sabe de qué se tratan las matemáticas y la computación. La mayoría de las personas están familiarizadas solo con los aspectos computacionales de las matemáticas y, por lo tanto, es probable que defiendan su lugar en el currículo escolar y los métodos tradicionales de instruir a los niños en computación. Por el contrario, los matemáticos ven la computación como una mera herramienta en la materia real de las matemáticas, que incluye la resolución de problemas y la caracterización y comprensión de estructuras y patrones. El debate actual sobre lo que los estudiantes deberían aprender en matemáticas parece colocar a los defensores de la enseñanza de habilidades computacionales en contra de los defensores de fomentar la comprensión conceptual y refleja la amplia gama de creencias sobre qué aspectos de las matemáticas es importante conocer. Un creciente cuerpo de investigación proporciona evidencia convincente de que lo que los profesores saben y creen sobre las matemáticas está estrechamente relacionado con sus decisiones y acciones de instrucción (Brown, 1985 National Council of Teachers of Mathematics, 1989 Wilson, 1990a, b Brophy, 1990 Thompson, 1992).

Las ideas de los profesores acerca de las matemáticas, la enseñanza de las matemáticas y el aprendizaje de las matemáticas influyen directamente en sus nociones sobre qué enseñar y cómo enseñarlo, más allá de la interdependencia de creencias y conocimientos sobre la pedagogía y la materia (por ejemplo, Gamoran, 1994 Stein et al., 1990). Muestra que los objetivos de los profesores para la instrucción son, en gran medida, un reflejo de lo que creen que es importante en matemáticas y cómo creen que los estudiantes lo aprenden mejor. Por lo tanto, al examinar la instrucción matemática, debemos prestar atención al conocimiento de la materia de los maestros, su conocimiento pedagógico (general y específico de contenido) y su conocimiento de los niños como estudiantes de matemáticas. Prestar atención a estos dominios del conocimiento también nos lleva a examinar los objetivos de instrucción de los maestros.

Si los estudiantes en las clases de matemáticas van a aprender matemáticas con comprensión y meta que es aceptada por casi todos en el debate actual sobre el papel de las habilidades computacionales en las aulas de matemáticas, entonces es importante examinar ejemplos de enseñanza para comprender y analizar las funciones del maestro y el conocimiento que subyace en las representaciones del maestro y rsquos de esos roles. En esta sección, examinamos tres casos de instrucción matemática que se consideran cercanos a la visión actual de instrucción ejemplar y discutimos la base de conocimientos en la que se basa el maestro, así como las creencias y metas que guían sus decisiones de instrucción. .

Multiplicación con significado

Para enseñar la multiplicación de varios dígitos, la docente-investigadora Magdelene Lampert creó una serie de lecciones en las que enseñó a un grupo heterogéneo de 28 estudiantes de cuarto grado. Los estudiantes variaron en habilidad computacional desde comenzar a aprender las tablas de multiplicar de un solo dígito hasta ser capaces de resolver con precisión multiplicaciones de n dígitos por n dígitos. Las lecciones estaban destinadas a brindar a los niños experiencias en las que los importantes principios matemáticos de composición aditiva y multiplicativa, asociatividad, conmutatividad y la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma fueran evidentes en los pasos de los procedimientos utilizados para llegar a una respuesta (Lampert, 1986: 316). Se desprende claramente de la descripción de su instrucción que tanto su profundo conocimiento de las estructuras multiplicativas como su conocimiento de una amplia gama de representaciones y situaciones problemáticas relacionadas con la multiplicación se aplicaron al planificar y enseñar estas lecciones. También está claro que sus objetivos para las lecciones incluían no solo los relacionados con la comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes, sino también los relacionados con el desarrollo de los estudiantes como solucionadores de problemas independientes y reflexivos. Lampert (1986: 339) describió su papel de la siguiente manera:

Mi función era llevar las ideas de los estudiantes sobre cómo resolver o analizar problemas al foro público del aula, arbitrar los argumentos sobre si esas ideas eran razonables y sancionar el uso intuitivo de los principios matemáticos por parte de los estudiantes como legítimo. También enseñé nueva información en forma de estructuras simbólicas y enfaticé la conexión entre símbolos y operaciones sobre cantidades, pero establecí como requisito del salón de clases que los estudiantes usaran sus propias formas de decidir si algo era matemáticamente razonable al hacer el trabajo. Si uno concibe el papel del profesor y los rsquos de esta manera, es difícil separar la instrucción en contenido matemático de la construcción de una cultura de construcción de sentido en el aula, en la que el profesor y los estudiantes se vean a sí mismos como responsables de determinar la legitimidad de los procedimientos mediante referencia a principios matemáticos conocidos. Por parte del profesor, los principios podrían conocerse como un sistema abstracto más formal, mientras que por parte de los alumnos, se conocen en relación con contextos experienciales familiares. Pero lo que parece más importante es que los profesores y los estudiantes juntos estén dispuestos a una forma particular de ver y hacer las matemáticas en el aula.

Magdelene Lampert se propuso conectar lo que los estudiantes ya sabían sobre la multiplicación de varios dígitos con el conocimiento conceptual basado en principios. Lo hizo en tres grupos de lecciones. El primer juego usó problemas de monedas, como & ldquoUtilizando solo dos tipos de monedas, gana $ 1,00 con 19 monedas & rdquo, lo que alentó a los niños a aprovechar su familiaridad con las monedas y los principios matemáticos que requiere el comercio de monedas. Otro conjunto de lecciones utilizó historias y dibujos simples para ilustrar las formas en que se pueden agrupar grandes cantidades.

para contar más fácilmente. Finalmente, el tercer grupo de lecciones usó solo números y símbolos aritméticos para representar problemas. A lo largo de las lecciones, se desafió a los estudiantes a explicar sus respuestas y confiar en sus argumentos, en lugar de confiar en el maestro o el libro para verificar la exactitud. Un ejemplo sirve para resaltar este enfoque, véase el recuadro 7.2.

Lampert (1986: 337) concluye:

Los estudiantes usaron conocimientos basados ​​en principios que estaban ligados al lenguaje de los grupos para explicar lo que estaban viendo. Pudieron hablar de manera significativa sobre el valor posicional y el orden de las operaciones para dar legitimidad a los procedimientos y razonar sobre sus resultados, aunque no usaron términos técnicos para hacerlo. Tomé sus experimentos y argumentos como evidencia de que habían llegado a ver las matemáticas como más que un conjunto de procedimientos para encontrar respuestas.

Claramente, su propia comprensión profunda de las matemáticas entra en juego mientras enseña estas lecciones. Vale la pena señalar que su objetivo de ayudar a los estudiantes a ver lo que es matemáticamente legítimo da forma a la forma en que diseña las lecciones para desarrollar la comprensión de los estudiantes de la multiplicación de dos dígitos.

Entender los números negativos

Ayudar a los estudiantes de tercer grado a ampliar su comprensión de los números, desde los números naturales hasta los enteros, es un desafío asumido por otro profesor-investigador. El trabajo de Deborah Ball & rsquos proporciona otra instantánea de la enseñanza que se basa en un extenso contenido temático y conocimiento del contenido pedagógico. Sus metas en la instrucción incluyen & ldquodesarrollar una práctica que respete la integridad tanto de las matemáticas como disciplina. y de los niños como pensadores matemáticos & rdquo (Ball, 1993). Es decir, no solo tiene en cuenta cuáles son las ideas matemáticas importantes, sino también cómo piensan los niños sobre el área particular de las matemáticas en la que se centra. Se basa tanto en su comprensión de los números enteros como entidades matemáticas (conocimiento de la materia) como en su extenso conocimiento del contenido pedagógico específicamente sobre los números enteros. Al igual que Lampert, las metas de Ball & rsquos van más allá de los límites de lo que normalmente se considera matemáticas e incluyen el desarrollo de una cultura en la que los estudiantes conjeturan, experimentan, construyen argumentos y enmarcan y resuelven problemas y miden el trabajo de los matemáticos.

La descripción del trabajo de Deborah Ball & rsquos destaca la importancia y la dificultad de descubrir formas poderosas y efectivas de representar ideas matemáticas clave para los niños (ver Ball, 1993). Existe una gran cantidad de posibles modelos para números negativos y revisó varios de ellos: cacahuetes mágicos, dinero, puntuación de juegos, una rana en una recta numérica, edificios con pisos por encima y por debajo del suelo. Decidió usar el modelo de construcción primero y el dinero después: era muy consciente de las fortalezas y limitaciones de cada uno.

RECUADRO 7.2 ¿Cuántos en total?

El maestro comienza con una solicitud de un ejemplo de cálculo básico.

Maestra: ¿Alguien puede darme una historia que pueda ir con esta multiplicación & hellip12 & times4?

Jessica: Había 12 frascos y cada uno tenía 4 mariposas.

Maestra: Y si hiciera esta multiplicación y encontrara la respuesta, ¿qué sabría acerca de esas

Jessica: Sabes que tenías tantas mariposas en total.

A continuación, la maestra y los estudiantes ilustran la historia de Jessica & rsquos y construyen un procedimiento para contar las mariposas.

Maestra: Bien, aquí están los frascos. Las estrellas en ellos representarán mariposas. Ahora, nos resultará más fácil contar cuántas mariposas hay en total, si pensamos en los frascos en grupos. Y como siempre, el número favorito de los matemáticos y rsquos para pensar en grupos es? [Dibuja un bucle alrededor de 10 frascos].

La lección avanza a medida que el maestro y los estudiantes construyen una representación pictórica de agrupar 10 conjuntos de cuatro mariposas y tener 2 frascos que no están en el grupo que reconocen que 12 & times4 se puede considerar como 10 & times4 más 2 & times4. Luego, Lampert pide a los niños que exploren otras formas de agrupar los frascos, por ejemplo, en dos grupos de 6 frascos.

Obviamente, los estudiantes se sorprenden de que 6 & times4 más 6 & times4 produzcan el mismo número que 10 & times4 más 2 & times4. Para Lampert, esta es información importante sobre la comprensión de los estudiantes (evaluación formativa y mdash, consulte el Capítulo 6). Es una señal de que necesita realizar muchas más actividades que involucren diferentes agrupaciones. En lecciones posteriores, los estudiantes se enfrentan a problemas en los que el número de dos dígitos en la multiplicación es mucho mayor y, en última instancia, en los que ambos números son bastante grandes & mdash28 & times65. Los estudiantes continúan desarrollando su comprensión de los principios que gobiernan la multiplicación e inventando procedimientos computacionales basados ​​en esos principios. Los estudiantes defienden la razonabilidad de sus procedimientos utilizando dibujos e historias. Con el tiempo, los estudiantes exploran algoritmos más tradicionales y alternativos para la multiplicación de dos dígitos, utilizando solo símbolos escritos.

modelo como una forma de representar las propiedades clave de los números, en particular las de magnitud y dirección. Al leer la descripción de Deborah Ball & rsquos de sus deliberaciones, uno se sorprende por la complejidad de seleccionar modelos apropiados para ideas y procesos matemáticos particulares. Esperaba que los aspectos posicionales del modelo de construcción ayudarían a los niños a reconocer que los números negativos no eran equivalentes a cero, un error común. Ella sabía que el modelo de construcción sería difícil de usar para modelar la resta de números negativos.

Deborah Ball comienza su trabajo con los estudiantes, utilizando el modelo de construcción etiquetando sus pisos. Los estudiantes rápidamente etiquetaron los pisos subterráneos y los aceptaron como & ldquo debajo de cero & rdquo. Luego exploraron lo que sucedió cuando pequeñas personas de papel entraron en un ascensor en un piso y viajaron a otro piso. Esto se usó para introducir las convenciones de escribir problemas de suma y resta que involucran números enteros 4 & minus6 = & minus2 y & minus2 + 5 = 3. A los estudiantes se les presentaron problemas cada vez más difíciles. Por ejemplo, & ldquo¿Cuántas formas hay para que una persona llegue al segundo piso? & Rdquo Trabajar con el modelo de construcción permitió a los estudiantes generar una serie de observaciones. Por ejemplo, un estudiante notó que "cualquier número por debajo de cero más el mismo número por encima de cero es igual a cero" (Ball, 1993: 381). Sin embargo, el modelo no permitió la exploración de tales problemas 5 + (& menos6) y Ball estaba preocupado porque los estudiantes no estaban desarrollando la sensación de que & minus5 era menor que & minus2 & mdashit era menor, pero no necesariamente menor. Ball luego usó un modelo de dinero como un segundo contexto de representación para explorar los números negativos, y señaló que también tiene limitaciones.

Claramente, el conocimiento de Deborah Ball & rsquos sobre las posibles representaciones de los números enteros (conocimiento del contenido pedagógico) y su comprensión de las importantes propiedades matemáticas de los números enteros fueron fundamentales para su planificación e instrucción. Una vez más, sus objetivos relacionados con el desarrollo de la autoridad matemática de los estudiantes y el sentido de comunidad también entraron en juego. Al igual que Lampert, Ball quería que sus alumnos aceptaran la responsabilidad de decidir cuándo una solución es razonable y probable que sea correcta, en lugar de depender del texto o del maestro para confirmar la corrección.

Discusión guiada

El trabajo de Lampert y Ball destaca el papel de un maestro y el conocimiento del contenido pedagógico y el conocimiento del contenido pedagógico en la planificación y enseñanza de lecciones de matemáticas. También sugiere la importancia de que el maestro y los rsquos comprendan a los niños como aprendices. El concepto de instrucción guiada cognitivamente ayuda a ilustrar otra característica importante de la instrucción matemática efectiva: que los maestros no solo necesitan conocimiento de un tema en particular dentro de las matemáticas y conocimiento de cómo piensan los estudiantes sobre el tema en particular, sino que también necesitan desarrollar conocimiento sobre cómo el individuo

Los niños individuales en sus aulas piensan sobre el tema (Carpenter y Fennema, 1992 Carpenter et al., 1996 Fennema et al., 1996). Se afirma que los maestros usarán su conocimiento para tomar decisiones de instrucción apropiadas para ayudar a los estudiantes a construir su conocimiento matemático. En este enfoque, la idea de dominios de conocimiento para la enseñanza (Shulman, 1986) se amplía para incluir el conocimiento de los profesores sobre los alumnos individuales en sus aulas.

La instrucción guiada cognitivamente es utilizada por Annie Keith, quien enseña una combinación de clases de primer y segundo grado en una escuela primaria en Madison Wisconsin (Hiebert et al., 1997). Sus prácticas de instrucción son un ejemplo de lo que es posible cuando una maestra comprende el pensamiento de los niños y niñas y usa esa comprensión para guiar su enseñanza. Un retrato del aula de la Sra. Keith & rsquos también revela cómo su conocimiento de las matemáticas y la pedagogía influyen en sus decisiones de instrucción.

Los problemas de palabras forman la base de casi toda la instrucción en el aula de Annie Keith & rsquos. Los estudiantes pasan mucho tiempo discutiendo estrategias alternativas entre ellos, en grupos y como una clase completa. El profesor participa a menudo en estas discusiones pero casi nunca demuestra la solución a los problemas. Las ideas importantes en matemáticas se desarrollan a medida que los estudiantes exploran soluciones a problemas, en lugar de ser un foco de instrucción per se. Por ejemplo, los conceptos de valor posicional se desarrollan cuando los estudiantes usan materiales de base 10, como bloques de base 10 y marcos de conteo, para resolver problemas de palabras que involucran números de varios dígitos.

La instrucción de matemáticas en la clase de Annie Keith & rsquos se lleva a cabo en varios entornos diferentes. Las actividades diarias de primer y segundo grado, como compartir bocadillos, contar el almuerzo y la asistencia, sirven regularmente como contextos para las tareas de resolución de problemas. Las lecciones de matemáticas con frecuencia utilizan centros de matemáticas en los que los estudiantes realizan una variedad de actividades. En un día cualquiera, los niños de un centro pueden resolver problemas planteados por el maestro, mientras que en otro centro los niños escriben problemas planteados para presentarlos a la clase más tarde o juegan un juego de matemáticas.

Continuamente desafía a sus estudiantes a pensar y a tratar de entender lo que están haciendo en matemáticas. Utiliza las actividades como oportunidades para aprender lo que los estudiantes saben y entienden sobre las matemáticas. Mientras los estudiantes trabajan en grupos para resolver problemas, ella observa las diversas soluciones y mentalmente toma notas sobre qué estudiantes deben presentar su trabajo: quiere que se presenten una variedad de soluciones para que los estudiantes tengan la oportunidad de aprender unos de otros. Su conocimiento de las ideas importantes en matemáticas sirve como marco para el proceso de selección, pero su comprensión de cómo piensan los niños sobre las ideas matemáticas que están usando también afecta sus decisiones sobre quién debe presentar. Podría seleccionar una solución que en realidad sea incorrecta para presentarla, de modo que pueda iniciar una discusión sobre un concepto erróneo común. O ella

puede seleccionar una solución que sea más sofisticada que la que la mayoría de los estudiantes ha utilizado para brindar una oportunidad para que los estudiantes vean los beneficios de dicha estrategia. Tanto las presentaciones de soluciones como las discusiones en clase que siguen le brindan información sobre lo que saben sus alumnos y qué problemas debería utilizar con ellos a continuación.

Annie Keith & rsquos creen firmemente que los niños necesitan construir su comprensión de las ideas matemáticas basándose en lo que ya saben que guía sus decisiones de instrucción. Ella forma hipótesis sobre lo que entienden sus estudiantes y selecciona actividades de instrucción basadas en estas hipótesis. Modifica su instrucción a medida que recopila información adicional sobre sus alumnos y la compara con las matemáticas que quiere que aprendan. Sus decisiones de instrucción le brindan un diagnóstico claro del estado actual de comprensión de los estudiantes individuales. Su enfoque no es gratuito sin la guía del maestro: más bien, es una instrucción que se basa en los conocimientos de los estudiantes y es cuidadosamente orquestada por el maestro, que es consciente de lo que es matemáticamente importante y también de lo que es importante para el progreso del alumno.

Razonamiento basado en modelos

Algunos intentos de revitalizar la instrucción matemática han enfatizado la importancia de modelar los fenómenos. Se puede trabajar en el modelado desde el jardín de infantes hasta el doceavo grado (K & ndash12). El modelado implica ciclos de construcción de modelos, evaluación de modelos y revisión de modelos. Es fundamental para la práctica profesional en muchas disciplinas, como las matemáticas y las ciencias, pero falta en gran medida en la instrucción escolar. Las prácticas de modelado son ubicuas y diversas, desde la construcción de modelos físicos, como un planetario o un modelo del sistema vascular humano, hasta el desarrollo de sistemas de símbolos abstractos, ejemplificados por las matemáticas del álgebra, la geometría y el cálculo.La ubicuidad y diversidad de modelos en estas disciplinas sugieren que el modelado puede ayudar a los estudiantes a desarrollar la comprensión de una amplia gama de ideas importantes. Las prácticas de modelado pueden y deben fomentarse en todas las edades y niveles de grado (Clement, 1989 Hestenes, 1992 Lehrer y Romberg, 1996a, b Schauble et al., 1995 ver Cuadro 7.3).

Adoptar un enfoque basado en modelos para un problema implica inventar (o seleccionar) un modelo, explorar las cualidades del modelo y luego aplicar el modelo para responder una pregunta de interés. Por ejemplo, la geometría de los triángulos tiene una lógica interna y también tiene poder predictivo para fenómenos que van desde la óptica hasta la orientación (como en los sistemas de navegación) y la colocación de baldosas. El modelado enfatiza la necesidad de formas de matemáticas que típicamente están subrepresentadas en el plan de estudios estándar, como visualización espacial y geometría, estructura de datos, medición e incertidumbre. Por ejemplo, el estudio científico del comportamiento animal, como la búsqueda de alimento de las aves, se

RECUADRO 7.3 Modelos físicos

Los modelos físicos, como los modelos de los sistemas solares o los codos, son microcosmos de sistemas que se basan en gran medida en las intuiciones de los niños y rsquos sobre la semejanza para sostener la relación entre el mundo que se está modelando y el modelo en sí. La fotografía de abajo muestra un modelo infantil y rsquos del codo. Nótese, por ejemplo, las bandas elásticas que imitan la función conectiva de los ligamentos y las clavijas de madera que están dispuestas de manera que su traslación en el plano vertical no puede exceder los 180 grados. Aunque la búsqueda de la función está respaldada por la semejanza inicial, lo que cuenta como semejanza normalmente cambia cuando los niños revisan sus modelos. Por ejemplo, los intentos de hacer que los modelos ejemplifiquen el movimiento del codo a menudo conducen a un interés en la forma en que se pueden organizar los músculos (de Lehrer y Schauble, 1996a, b).

muy limitado a menos que uno también tenga acceso a conceptos matemáticos tales como variabilidad e incertidumbre. Por lo tanto, la práctica del modelado introduce nuevas exploraciones de importantes "grandes ideas" en las disciplinas.

Conclusión

Cada vez más, los enfoques para la enseñanza temprana de las matemáticas incorporan las premisas de que todo aprendizaje implica ampliar la comprensión a nuevas situaciones, que los niños pequeños llegan a la escuela con muchas ideas sobre matemáticas, que no siempre se accede espontáneamente al conocimiento relevante para un nuevo entorno y que el aprendizaje puede ser mejorado. mejorado respetando y alentando

que los niños prueben las ideas y estrategias que aportan al aprendizaje escolar en las aulas. En lugar de comenzar la instrucción matemática centrándose únicamente en algoritmos computacionales, como la suma y la resta, se anima a los estudiantes a inventar sus propias estrategias para resolver problemas y discutir por qué funcionan esas estrategias. Los profesores también pueden incitar explícitamente a los estudiantes a pensar en aspectos de su vida cotidiana que son potencialmente relevantes para el aprendizaje posterior. Por ejemplo, las experiencias cotidianas de caminar y las ideas relacionadas sobre la posición y la dirección pueden servir como trampolín para desarrollar las matemáticas correspondientes sobre la estructura del espacio, la posición y la dirección a gran escala (Lehrer y Romberg, 1996b).

A medida que la investigación continúe proporcionando buenos ejemplos de instrucción que ayuden a los niños a aprender matemáticas importantes, habrá una mejor comprensión de los roles que desempeñan los conocimientos, las creencias y las metas de los maestros en sus pensamientos y acciones de instrucción. Los ejemplos que hemos proporcionado aquí dejan en claro que la selección de tareas y la orientación del pensamiento de los estudiantes mientras trabajan en las tareas depende en gran medida del conocimiento de los profesores y de las matemáticas, el conocimiento del contenido pedagógico y el conocimiento de los estudiantes en general.

CIENCIA

Dos ejemplos recientes en física ilustran cómo los hallazgos de la investigación pueden usarse para diseñar estrategias de instrucción que promuevan el tipo de comportamiento de resolución de problemas observado en los expertos. A los estudiantes universitarios que habían terminado un curso de introducción a la física se les pidió que pasaran un total de 10 horas, distribuidas en varias semanas, resolviendo problemas de física utilizando una herramienta informática que los obligaba a realizar un análisis conceptual de los problemas basado en una jerarquía de principios y procedimientos que podrían aplicarse para resolverlos (Dufresne et al., 1992). Este enfoque fue motivado por la investigación sobre la experiencia (discutida en el Capítulo 2). El lector recordará que, cuando se les pide que establezcan un enfoque para resolver un problema, los físicos generalmente discuten principios y procedimientos. Los novatos, por el contrario, tienden a discutir ecuaciones específicas que podrían usarse para manipular variables dadas en el problema (Chi et al., 1981). En comparación con un grupo de estudiantes que resolvieron los mismos problemas por su cuenta, los estudiantes que utilizaron la computadora para realizar los análisis jerárquicos se desempeñaron notablemente mejor en las medidas posteriores de experiencia. Por ejemplo, en la resolución de problemas, los que realizaron los análisis jerárquicos superaron a los que no lo hicieron, ya sea medidos en términos de rendimiento general en la resolución de problemas, capacidad para llegar a la respuesta correcta o capacidad para aplicar los principios apropiados para resolver los problemas. 7.1. Además, surgieron diferencias similares en la categorización de problemas: los estudiantes que realizaron los análisis jerárquicos consideraron principios (en oposición a características superficiales) con más frecuencia en

Para decidir si dos problemas se resolverían de manera similar, consulte la Figura 7.2. (Consulte el Capítulo 6 para ver un ejemplo del tipo de elemento utilizado en la tarea de categorización de la Figura 7.2.) También vale la pena señalar que las Figuras 7.1 y 7.2 ilustran otros dos temas que hemos discutido en este volumen, a saber, el tiempo dedicado a la tarea. es un indicador importante para el aprendizaje y que la práctica deliberada es una forma eficaz de promover la experiencia. En ambos casos, el grupo de control logró mejoras significativas simplemente como resultado de la práctica (tiempo dedicado a la tarea), pero el grupo experimental mostró más mejoras para la misma cantidad de tiempo de entrenamiento (práctica deliberada).

Los cursos de introducción a la física también se han impartido con éxito con un enfoque para la resolución de problemas que comienza con un análisis jerárquico cualitativo de los problemas (Leonard et al., 1996). A los estudiantes de ingeniería de pregrado se les instruyó para que escribieran estrategias cualitativas para resolver problemas antes de intentar resolverlos (basado en Chi et al., 1981). Las estrategias consistían en una descripción verbal coherente de cómo se podía resolver un problema y contenían tres componentes: el principio principal a aplicar, la justificación de por qué el principio era aplicable y los procedimientos para aplicar el principio. Es decir, el qué, el por qué y el cómo de resolver el problema se delinearon explícitamente en el Cuadro 7.4. En comparación con los estudiantes que tomaron un curso tradicional, los estudiantes del curso basado en estrategias se desempeñaron significativamente mejor en su capacidad para categorizar problemas de acuerdo con los principios relevantes que podrían aplicarse para resolverlos (ver Figura 7.3).

Las estructuras jerárquicas son estrategias útiles para ayudar a los principiantes a recordar conocimientos y resolver problemas. Por ejemplo, los principiantes en física que habían completado y recibido buenas calificaciones en un curso universitario de introducción a la física fueron entrenados para generar un análisis de problemas llamado descripción teórica del problema (Heller y Reif, 1984). El análisis consiste en describir problemas de fuerzas en términos de conceptos, principios y heurísticas. Con este enfoque, los novatos mejoraron sustancialmente en su capacidad para resolver problemas, aunque el tipo de descripción teórica del problema utilizado en el estudio no era el natural para los novatos. Los novatos sin formación en las descripciones teóricas eran generalmente incapaces de generar descripciones apropiadas por sí mismos e incluso dados problemas bastante rutinarios. Las habilidades, como la capacidad para describir un problema en detalle antes de intentar una solución, la capacidad para determinar qué información relevante debe ingresar al análisis de un problema y la capacidad para decidir qué procedimientos se pueden utilizar para generar descripciones y análisis de problemas, son tácitamente utilizado por expertos, pero rara vez se enseña explícitamente en los cursos de física.

Otro enfoque ayuda a los estudiantes a organizar el conocimiento imponiendo una organización jerárquica en el desempeño de diferentes tareas en física (Eylon y Reif, 1984). Los estudiantes que recibieron un argumento de física particular que estaba organizado en forma jerárquica realizaron varias tareas de memoria y resolución de problemas mejor que los sujetos que recibieron el mismo argumento


Preguntas importantes para las estadísticas de matemáticas de la clase 9 de CBSE

Los temas y subtemas del libro de texto de matemáticas NCERT Clase 9, capítulo 14, Estadísticas:

  • Estadísticas
  • Introducción
  • Conjunto de datos
  • Presentación de datos
  • Representación gráfica de datos
  • Medidas de tendencia central
  • Resumen

PREGUNTAS IMPORTANTES

PREGUNTAS DE TIPO DE RESPUESTA MUY BREVES
1. La media de 20 observaciones es 17. Si en las observaciones, la observación 40 se reemplaza por 12, encuentre la nueva media. [CBSE-14-ERFKZ8H]
Respuesta. Dado que la media de 20 observaciones es 17
Suma de las 20 observaciones = 17 x 20 = 340
Nueva suma de 20 observaciones = 340 & # 8211 40 + 12 = 312
Nueva media = 312/20 = 15,6

2. Si la media de los datos x1,X2,X3…………….Xnortees ( bar ), luego encuentre la media de αx1, αx2, αx3…………… .αxnorte.
Respuesta.

Más recursos para CBSE Clase 9

3. La media de 36 observaciones es 12. Una observación 47 se interpretó erróneamente como 74. Encuentre la media correcta. [CBSE-14-17DIG1U]
Respuesta. Media de 36 observaciones = 12
Total de 36 observaciones = 36 x 12 = 432
Suma correcta de 36 observaciones = 432 & # 8211 74 + 47 = 405
Media correcta de 36 observaciones = 405/36 = 11,25

4. Si la media de cinco observaciones x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8 es 11, entonces escribe el valor de x.
Respuesta.

5. Determina la media de los primeros 10 números naturales.
Respuesta. Los primeros diez números naturales son 1, 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

6. Calcula la media de x, x + 2, x + 4, x + 6, x + 8.
Respuesta.

7. Escriba la marca de clase de un intervalo 90 & # 8211 120.
Respuesta. Marca de clase = (90 + 120) / 2 = 210/2 = 105

8. La media de 8 observaciones es 40. Si se suma 5 a cada observación, ¿cuál será la nueva media?
Respuesta.

9. Encuentra el rango de los datos dados: 25, 18, 20, 22, 16, 6, 17, 15, 12, 30, 32, 10, 19, 8, 11, 20
Respuesta. Aquí, los valores mínimo y máximo de los datos dados son 6 y 32 respectivamente.
Rango = 32 & # 8211 6 = 26

10. Hay 50 números. Cada número se resta de 53 y la media de los números así obtenidos es & # 8211 3,5. Calcula la media de los números dados.
Respuesta.

11. Calcula la mediana de los valores 37, 31, 42, 43, 46, 25, 39, 45, 32.
Respuesta. Organizando los datos en orden ascendente, tenemos 25, 31, 32, 37, 39, 42, 43, 45, 46 Aquí, número de observaciones = 9 (impar)

12. Si la mediana de los datos (ordenados en orden ascendente) 31, 33, 35, x, x + 10, 48, 48, 50 es 40, entonces encuentre el valor de x.
Respuesta.

13. Encuentre la moda de las siguientes puntuaciones: 14, 25, 14, 28, 18, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18
Respuesta. 14 repite el número máximo de veces (4 veces) en los datos dados.
Modo = 14

14. Dibujar un histograma para representar la siguiente distribución de frecuencia:

Encuentre la frecuencia ajustada para la clase 25-45.
Respuesta.

15. La mediana de los datos 26,56,32,33,60,17,34,29,45 es 33. Si 26 se reemplaza por 62, entonces encuentre la nueva mediana.
Respuesta. Aquí, los datos dados en orden ascendente son 17, 29, 32, 33, 34, 45, 56, 60, 62

Por tanto, la nueva mediana es 34.

PREGUNTAS DE RESPUESTA BREVE TIPO I
16. Para un año en particular, la siguiente es la distribución de edades (en años) de los maestros de escuela primaria en un distrito:

  1. Escribe el límite inferior del intervalo de primera clase.
  2. Determine los límites de clase del cuarto intervalo de clase.
  3. Encuentre la marca de clase de la clase 45 & # 8211 50.
  4. Determina el tamaño de la clase. [CBSE marzo de 2012]
  1. El intervalo de primera clase es 15 & # 8211 20 y su límite inferior es 15.
  2. El cuarto intervalo de clase es 30 & # 8211 35 El límite inferior es 30 y el límite superior es 35.
  3. Nota de clase de la clase 45 & # 8211 50 = (45 + 50) / 2 = 95/2 = 47.5
  4. Tamaño de la clase = límite superior de cada intervalo de clase & # 8211 Límite inferior de cada intervalo de clase
    . •. Aquí, tamaño de la clase = 20 & # 8211 15 = 5

17. Las calificaciones de clase de una distribución de frecuencia son 104, 114, 124, 134, 144, 154, 164. Calcula el tamaño de la clase y los intervalos de clase. [CBSE marzo de 2012]
Respuesta. Dado que las marcas de clase están igualmente espaciadas.
. •. Tamaño de la clase = 114 & # 8211104 = 10

18. Calcula la media de la siguiente distribución: [CBSE-14-GDQNI3W]

Respuesta.

19. El peso medio por alumno en un grupo de 7 alumnos es de 55 kg. Los pesos individuales de 6 de ellos en kg son 52, 54, 55, 53, 56, 54. Calcula el peso del séptimo estudiante. [CBSE marzo de 2012]
Respuesta.

20. Diez observaciones 6, 14, 15, 17, x + 1, 2x & # 8211 13, 30, 32, 34, 43 se escriben en orden ascendente. La mediana de los datos es 24. Calcula el valor de x. [Problema ejemplar de NCERT]
Respuesta. Aquí, los datos organizados son 6, 14, 15, 17, x + 1, 2x & # 8211 13, 30, 32, 34, 43
Número total de observaciones = 10

21. En la figura, hay un histograma que muestra los salarios diarios de los trabajadores en la fábrica d. Construya la tabla de distribución de frecuencia. (CBSE marzo de 2013)

Respuesta.

22. Se preguntó a treinta niños sobre el número de horas que vieron programas de televisión la semana anterior. Los resultados se obtuvieron de la siguiente manera:
1 6 2 3 5 12 5 8 4 8 10 3 4 12 2
8 15 1 17 6 3 2 5 9 6 8 7 14 12
(i) Haga una tabla de distribución de frecuencia para estos datos, tomando el ancho de clase 5 y uno de la clase como 5-10.
(ii) ¿Cuántos niños veían la televisión durante 15 o más de 15 horas a la semana? [CBSE marzo de 2012]
Respuesta. (i) Tabla de distribución de frecuencias:

(ii) De la tabla de distribución de frecuencia anterior, observamos que el número de niños en el intervalo de clase 15 & # 8211 20 es 2.
Entonces, 2 niños ven la televisión durante 15 horas o más de 15 horas a la semana.

PREGUNTAS DE RESPUESTA BREVE TIPO II
23. Se dan los puntajes (de 25) de 9 estudiantes en una prueba del lunes:
14, 25, 17, 22, 20, 19, 10, 8 y 23
Encuentre la puntuación media y la puntuación media de los datos. [CBSE-14-GDQNI3W]
Respuesta.

24. Los puntajes de una prueba de inglés de 100 de 20 estudiantes se dan a continuación:
75, 69, 88, 55, 95, 88, 73, 64, 75, 98, 88, 95, 90, 95, 88, 44, 59, 67, 88, 99.
Encuentre la mediana y la moda de los datos [CBSE-14-17DIG1U]
Respuesta. El orden ascendente de los datos dados es el siguiente:
44, 55, 59, 64, 67, 69, 73, 75, 75, 88, 88, 88, 88, 88, 90, 95, 95, 95, 98, 99

25. Obtenga la media de la siguiente distribución y también encuentre la moda. [CBSE-14-ERFKZ8H]

Respuesta.

PREGUNTAS DE TIPO DE RESPUESTA LARGA
26. Una encuesta aleatoria sobre el número de niños de distintos grupos de edad que juegan en un parque fue la siguiente:

Dibuja un histograma para representar los datos anteriores.
Respuesta. En esta pregunta, los tamaños de las clases son diferentes. Entonces, calcule la frecuencia ajustada para cada clase usando la siguiente fórmula:

Representemos los intervalos de clase a lo largo del eje X y las frecuencias ajustadas correspondientes en el eje Y en una escala adecuada.
Ahora, dibuje rectángulos con los intervalos de clase como bases y las frecuencias ajustadas correspondientes como alturas.
Por lo tanto, el histograma requerido es el siguiente:

27. En una prueba de matemáticas que se aplica a 15 alumnos, se registran las siguientes calificaciones (de 100):
41, 39, 48, 52, 46, 62, 54, 40, 96, 52, 98, 40, 42, 52, 60.
Encuentre la media, la mediana y la moda de estos datos. [CBSE marzo de 2013]
Respuesta.

28. Los dos cuadros siguientes muestran la distribución de los alumnos de dos secciones según las calificaciones obtenidas por ellos: [CBSE marzo de 2011, 2013]

Representa las calificaciones de los estudiantes de ambas secciones en el mismo gráfico mediante dos polígonos de frecuencia. A partir de los dos polígonos, compare el rendimiento de las dos secciones.
Respuesta. Las marcas de clase son las siguientes:

Tomemos las marcas de clase en el eje X y las frecuencias en el eje Y.
Para trazar el polígono de frecuencia de la Sección-A, trazamos los puntos (5, 3), (15,9), (25,17), (35,12), (45,9) y unimos estos puntos por segmentos de línea.

Para trazar el polígono de frecuencia de la Sección-B, trazamos los puntos (5,5), (15,19), (25,15), (35,10), (45,1) en la misma escala y unimos estos puntos por segmentos de línea de puntos.
De los dos polígonos anteriores, claramente el rendimiento de la Sección-A es mejor.

29. Los siguientes datos dado el peso (en gramos) de 30 naranjas recogidas de una canasta:
106 107 76 109 187 95 125 92 70
139 128 100 88 84 99 113 204 141
136 123 90 115 110 97 90 107 75
80 118 82
Construya una tabla de distribución de frecuencias agrupada tomando un ancho de clase igual a 20 de tal manera que el valor medio de primera clase sea 70.
De la tabla de frecuencias, encuentre el número de naranjas
(i) que pesen más de 180 g.
(ii) menos de 100 g. [CBSE-14-GDQNI3W]
Respuesta. Aquí, ancho de clase = 20
nota de clase = 70
La mitad del ancho de la clase = 20/2 = 10
Límite superior del intervalo de primera clase = 70 + 10 = 80
Límite inferior del intervalo de primera clase = 70 & # 8211 10 = 60
Por lo tanto, el intervalo de clase se convierte en 60 & # 8211 80
Entonces, la tabla de distribución de frecuencia se convierte en:

(a) Número de naranjas que pesan más de 180 g = 1 + 1 = 2
(b) Número de naranjas con un peso inferior a 100 g = 3 + 10 = 13

30. La siguiente tabla muestra el dinero de bolsillo (en rupias) que sus padres dan a los niños por día: Represente los datos en forma de histograma. [CBSE-14-ERFKZ8H]

Respuesta. El histograma requerido es el siguiente:

31. En una escuela, las calificaciones obtenidas por 80 estudiantes se dan en la tabla. Dibuja un histograma. Además, crea un polígono de frecuencia. [CBSE-14-17DIG1U]

Respuesta.

32. Dibuje un histograma y un polígono de frecuencia para la siguiente distribución:

Respuesta. Representamos los límites de la clase a lo largo del eje x y el número de estudiantes a lo largo del eje y en una escala adecuada.

33. A continuación se muestra la distribución de frecuencias de las calificaciones totales obtenidas por los alumnos de diferentes secciones de la clase IX.

Dibuja un histograma para la distribución.
Respuesta. Dado que los intervalos de clase de la distribución de frecuencia dada no tienen el mismo ancho.
Haríamos modificaciones en las longitudes de los rectángulos en el histograma, de modo que las áreas de los rectángulos sean proporcionales a las frecuencias.

Ahora, dibujamos rectángulos con longitudes como se indica en la última columna. El histograma de los datos se muestra a continuación:

34. La siguiente tabla muestra la distribución de los alumnos de las secciones A y B de una clase según las notas obtenidas por ellos.

Representa las calificaciones de los estudiantes de ambas secciones en el mismo gráfico mediante dos polígonos de frecuencia. ¿Qué observas?
Respuesta.

Preguntas basadas en valores
1.Una encuesta realizada por una organización sobre la causa de enfermedad y muerte entre las mujeres de entre 15 y 44 años (en años) en todo el mundo, encontró las siguientes cifras (en%):

(i) Represente gráficamente la información proporcionada anteriormente.
ii) ¿Qué afección es la principal causa de la mala salud y la muerte de las mujeres en todo el mundo?
(iii) Trate de averiguar, con la ayuda de su maestro, dos factores cualesquiera que desempeñen un papel importante en la causa, ya que (ii) anterior es la causa principal.
Respuesta. (i) El gráfico de barras de los datos es el que se muestra a continuación:
En el gráfico, las causas dibujadas de enfermedad y muerte entre las mujeres de entre 15 y 44 años (en años) en todo el mundo se indican en el eje X y la tasa de mortalidad femenina (%) se indica en el eje Y.
ii) La principal causa de la mala salud y la muerte de las mujeres en todo el mundo es el estado de salud reproductiva.
(iii) Otros dos factores que juegan un papel importante en la causa en (ii) anterior son las condiciones neuropsiquiátricas y otras causas.

2. A continuación se presentan los siguientes datos sobre el número de niñas (redondeado a la decena más cercana) por cada mil niños en diferentes sectores de la sociedad india:

(i) Represente la información anterior mediante un gráfico de barras.
(ii) En el aula, analice las conclusiones a las que se puede llegar a partir del gráfico.
(iii) ¿Qué pasos deben tomarse para mejorar la situación?
Respuesta. (i) El gráfico requerido se da junto a:
En el gráfico, las diferentes secciones de la sociedad se toman en el eje X y el número de niñas por cada mil niños se toma en el eje Y. [Escala: 1 cm = 10 niñas].
(ii) A partir del gráfico, el número de niñas al diez por mil niños más cercano es máximo en las tribus registradas, mientras que es mínimo en las zonas urbanas.
(iii) La determinación del sexo prenatal debería prohibirse estrictamente en las zonas urbanas.

3. Shimpi, un estudiante de la clase IX, recibió un premio en efectivo de 10000 rupias (diez mil) en la competencia de canto. Su padre le aconsejó que hiciera un plan presupuestario para gastar esta cantidad. Hizo el siguiente plan:

Haz un gráfico de barras para los datos anteriores.
Desde arriba, responda las siguientes preguntas:
(i) ¿Qué conceptos matemáticos se han cubierto en esto?
(ii) ¿Cómo calificaría su plan presupuestario? En su opinión, ¿a qué cabeza se le ha dado (a) más de lo merecido y (b) menos de lo que merecía?
(iii) ¿Qué valores se describen en su plan?
Respuesta. El gráfico de barras de los datos proporcionados se muestra a continuación:

En el gráfico, la cabeza se toma en el eje X y la cantidad se toma en el eje Y.
(i) Representación de datos mediante gráfico de barras.
(ii) Muy bien
(a) Picnic para la familia
(b) Cuota de matrícula para niños necesitados
(iii) Ayude a las personas necesitadas y respete a los ancianos.

4. En un año, se indica a continuación el número de muertes por hábito de fumar para diferentes grupos de edad:

(i) Represente la información dada con la ayuda de un histograma.
(ii) ¿Qué lección aprende de esta información?
Respuesta. (i) El histograma de la información proporcionada es el siguiente:

(ii) Fumar es perjudicial para la salud

5. Encuentre la media de hijos por familia a partir de los datos que se proporcionan a continuación:

¿Qué valores se representan a partir de estos datos?
Respuesta.


Preguntas y respuestas del cuestionario de matemáticas

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Comentario de mensajería instantánea

Esta tarea se inspira en la derivación de la fórmula del volumen para la esfera. Si una esfera de radio 1 está encerrada en un cilindro de radio 1 y altura 2, entonces el volumen no ocupado por la esfera es igual al volumen de un "cono de nuca doble" con vértice en el centro de la esfera y bases iguales. a las bases del cilindro. Esto se puede ver cortando la figura paralela a la base del cilindro y observando las áreas de las rebanadas anulares que consisten en porciones del volumen que son dentro el cilindro pero fuera de las esferas son las mismas que las áreas de los cortes del cono de nuca doble (y aplicando el Principio de Cavalieri). Este hecho casi mágico sobre las rebanadas es una manifestación del Teorema de Pitágoras. Lo vemos en acción en la Parte 6 de esta tarea. Las otras partes de la tarea son ejercicios de visualización en 3D, que desarrollan el sentido espacial necesario para trabajar en la Parte 6 con comprensión. La visualización requerida aquí se utiliza en cálculo, en relación con procedimientos para calcular volúmenes mediante varios procedimientos de corte.

Presentado por James Madden en nombre de los participantes en la rampa de acceso del Instituto de Maestros de Ciencias y Matemáticas de Louisiana.


Recursos de la unidad

Libro de consulta del estudiante página 6

Libro de consulta del estudiante páginas 216-219

Notación exponencial para potencias de 10

Libro de consulta del estudiante páginas 4-6, 376

Libro de consulta del estudiante página 8

Lanzamiento de notación científica
(Libro de consulta del estudiante, página 329)

Paréntesis en oraciones numéricas

Libro de consulta del estudiante páginas 222-223

Nombra ese número
(Libro de consulta del estudiante, página 325)

Libro de consulta del estudiante página 223

American Tour: Gráficos de líneas

Libro de consulta del estudiante página 124

Libro de consulta del estudiante páginas 32, 66-67, 91

Nombra ese número
(Libro de consulta del estudiante, página 325)

Suma de números positivos y negativos

Libro de consulta del estudiante páginas 81, 91-94

Libro de consulta del estudiante páginas 231-232

Resta de números positivos y negativos

Libro de consulta del estudiante páginas 92-94

Usar una regla de cálculo para sumar y restar
(3ra Ed.)

Libro de consulta del estudiante páginas 92-94, 221, 223

Práctica de la calculadora: trabajar con números negativos

Libro de consulta del estudiante páginas 5-9

Matemáticas cotidianas para padres: Lo que necesita saber para ayudar a su hijo a tener éxito

El Proyecto de Matemáticas Escolares de la Universidad de Chicago

Prensa de la Universidad de Chicago


Geometría: Clave de respuestas

Esto proporciona las respuestas y soluciones para el programa ¡Ponme, entrenador! cajas de ejercicios, organizadas por secciones.

Eliminando la carga de las pruebas

  1. Teorema 8.3: Si dos ángulos son complementarios del mismo ángulo, entonces estos dos ángulos son congruentes.

? A y? B son complementarios y? C y? B son complementarios.

Dado:? A y? B son complementarios y? C y? B son complementarios.

Demostrar relaciones entre segmentos y ángulos

Dado: E está entre D y F

DeclaracionesRazones
1.E está entre D y FDado
2.D, E y F son puntos colineales y E está en DFDefinición de entre
3.DE + EF = DFPostulado de la suma de segmentos
4.DE = DF? EFPropiedad de la resta de la igualdad

2. Si? BD divide? ABC en dos ángulos,? ABD y? DBC, entonces m? ABC = m? ABC - m? DBC.

? BD divide? ABC en dos ángulos,? ABD y? DBC.

Dado:? BD divide? ABC en dos ángulos,? ABD y? DBC

DeclaracionesRazones
1.? BD divide? ABC en dos ángulos,? ABD y? DBCDado
2.m? ABD + m? DBC = m? ABCPostulado de la suma de ángulos
3.m? ABD = m? ABC - m? DBCPropiedad de resta de igualdad

3. La bisectriz de un ángulo es única.

? ABC con dos bisectrices angulares:? BD y? BE.

Dado:? ABC con dos bisectrices angulares:? BD y? BE.

4. El suplemento de un ángulo recto es un ángulo recto.

? A y? B son ángulos suplementarios y? A es un ángulo recto.

Dado:? A y? B son ángulos suplementarios y? A es un ángulo recto.

DeclaracionesRazones
1.? A y? B son ángulos suplementarios y? A es un ángulo rectoDado
2.m? A + m? B = 180Definición de ángulos suplementarios
3.m? A = 90Definición de ángulo recto
4.90 + m? B = 180Sustitución (pasos 2 y 3)
5.m? B = 90Álgebra
6.? B es un ángulo rectoDefinición de ángulo recto

Demostrar relaciones entre líneas

  1. m? 6 = 105, m? 8 = 75
  2. Teorema 10.3: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes.

l? ? m cortado por una transversal t.

Dado: l? ? m cortado por una transversal t.

3. Teorema 10.5: Si dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores en el mismo lado de la transversal son ángulos suplementarios.

l? ? m cortado por una transversal t.

Dado: l? ? m cortado por una transversal t.

Demuestre:? 1 y? 3 son suplementarios.

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4. Teorema 10.9: Si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que los ángulos alternos externos son congruentes, entonces estas rectas son paralelas.

Las líneas lym están cortadas por una transversal t.

Dado: Las rectas lym están cortadas por una transversal t, con? 1

5. Teorema 10.11: Si dos rectas son cortadas por una transversal de modo que los ángulos exteriores del mismo lado de la transversal sean suplementarios, entonces estas rectas son paralelas.

Las líneas lym están cortadas por una t transversal t.

Dado: Las rectas lym están cortadas por una transversal t,? 1 y? 3 son ángulos suplementarios.

Compañía de dos. Tres es un triángulo

Dado:? ABC es un triángulo rectángulo y? B es un ángulo recto.

Demuestre:? A y? C son ángulos complementarios.

DeclaraciónRazones
1.? ABC es un triángulo rectángulo y? B es un ángulo rectoDado
2.m? B = 90Definición de ángulo recto
3.m? A + m? B + m? C = 180Teorema 11.1
4.m? A + 90 + m? C = 180Sustitución (pasos 2 y 3)
5.m? A + m? C = 90Álgebra
6.? A y? C son ángulos complementariosDefinición de ángulos complementarios

3. Teorema 11.3: La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes.

? ABC con ángulo exterior? BCD.

DeclaraciónRazones
1.? ABC con ángulo exterior? BCDDado
2.? DCA es un ángulo recto y m? DCA = 180Definición de ángulo recto
3.m? BCA + m? BCD = m? DCAPostulado de la suma de ángulos
4.m? BCA + m? BCD = 180Sustitución (pasos 2 y 3)
5.m? BAC + m? ABC + m? BCA = 180Teorema 11.1
6.m? BAC + m? ABC + m? BCA = m? BCA + m? BCDSustitución (pasos 4 y 5)
7.m? BAC + m? ABC = m? BCDPropiedad de la resta de la igualdad

6. No, un triángulo con estas longitudes de lados violaría la desigualdad del triángulo.

Triángulos congruentes

Propiedad simétrica: Si? ABC

Propiedad transitiva: si? ABC

=? DCB como se muestra en la Figura 12.5, luego? ACB

=? DCB, como se muestra en la Figura 12.8, luego? ACB

=? CDB, como se muestra en la Figura 12.10, luego? ACB

= CD, como se muestra en la Figura 12.12, luego? ACB

=? R y M es el punto medio de PR, como se muestra en la Figura 12.17, entonces? N

Triángulos Smiliar

Apertura de puertas con triángulos similares

  1. Si una línea es paralela a un lado de un triángulo y pasa por el punto medio de un segundo lado, entonces pasará por el punto medio del tercer lado.

DE? ? AC y D es el punto medio de AB.

Dado: DE? ? AC y D es el punto medio de AB.

Demuestre: E es el punto medio de BC.

2. ¿AC = 4? 3, AB = 8? , RS = 16, RT = 8? 3

Poniendo los cuadriláteros a la vanguardia

Se muestra el trapezoide ABCD con su XB CY cuatro altitudes.

3. Teorema 15.5: En una cometa, un par de ángulos opuestos es congruente.

4. Teorema 15.6: Las diagonales de una cometa son perpendiculares y la diagonal opuesta a los ángulos congruentes biseca la otra diagonal.


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