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11.6.7: Trazar un par ordenado

11.6.7: Trazar un par ordenado


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Los resultados del aprendizaje

  1. Dibuja los ejes (x ) y (y ).
  2. Grafica un punto en el plano xy

Ya hemos entrado en detalles sobre cómo trazar puntos en una recta numérica, y eso es muy útil para presentaciones de una sola variable. Ahora pasaremos a preguntas que implican comparar dos variables. Trabajar con dos variables se encuentra con frecuencia en los estudios estadísticos y nos gustaría poder mostrar los resultados gráficamente. Esto se hace mejor trazando puntos en el plano xy.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Grafica los puntos: ((3,4) ), ((- 2,1) ) y ((0, -1) )

Solución

Lo primero que debe hacer al trazar puntos es dibujar el eje xy el eje y y decidir las marcas de verificación. Aquí los números son todos menores que 5, por lo que es razonable contar de uno en uno. A continuación, graficamos el primer punto, ((3,4) ). Esto significa comenzar en el origen, donde los ejes se cruzan. Luego mueva 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba. Después de llegar allí, solo dibujamos un punto. Para el siguiente punto, ((- 2,1) ), comenzamos en el origen, nos movemos 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba y dibujamos el punto. Para el tercer punto, ((0, -1) ), no nos movemos ni a la izquierda ni a la derecha ya que la coordenada x es 0, pero nos movemos 1 unidad hacia abajo y dibujamos el punto. La trama se muestra a continuación.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Se realizó una encuesta para analizar la relación entre la edad de una persona y sus ingresos. Las primeras tres respuestas se muestran en la siguiente tabla:

Tabla de edades e ingresos
Edad492435
Ingreso69,00032,00040,000

Grafica los tres puntos en el plano xy.

Solución

Observe que todos los números son relativamente grandes. Por lo tanto, contar de uno en uno no tendría sentido. En cambio, tiene más sentido contar el eje de edad, (x ), por decenas y el eje de ingresos, (y ), por miles. Los puntos se representan a continuación.

Ejercicio

El gerente de un hotel estaba interesado en ver la relación entre el precio por noche, (x ), que cobraba el hotel y el número de habitaciones ocupadas, (y ). Los resultados fueron (75,83), (100,60), (110,55) y (125,40). Trace estos puntos en el plano xy.


Álgebra 1: Cómo graficar un par ordenado

Los puntos y se trazan en un cuadrante. ¿Qué gráfico representa los puntos correctos?

Un cuadrante está configurado de tal manera que los números positivos están a la derecha y arriba, mientras que los números negativos están a la izquierda y abajo. El valor x (el primer número del par ordenado) es la distancia a la izquierda o derecha del centro. El valor y (el segundo número del par ordenado) es la distancia por encima o por debajo del eje.

serán unidades a la derecha y unidades hacia arriba.

serán unidades a la izquierda y unidades hacia arriba.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Cómo graficar un par ordenado

¿Cuál de los siguientes cuadrantes contendría el punto?

Ninguna de las otras respuestas es correcta.

Ninguna de las otras respuestas es correcta.

tiene 0 como su -cordinado y, por lo tanto, está en el eje-, que no forma parte de ninguno de los cuatro cuadrantes.

Pregunta de ejemplo n. ° 3: Cómo graficar un par ordenado

¿Cuál de los siguientes puntos estaría en el cuadrante III en el plano de coordenadas?

Ninguno de los puntos enumerados estaría en el cuadrante III.

El cuadrante III comprende los puntos cuyas coordenadas - y - son ambas negativas. Esto hace la elección correcta.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: funciones y líneas

¿Cuál de los siguientes cuadrantes contendría el punto?

Ninguna de las otras respuestas es correcta.

Ninguna de las otras respuestas es correcta.

tiene 0 como su coordenada -y, por lo tanto, está en el eje-, que no forma parte de ninguno de los cuatro cuadrantes.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Cómo graficar un par ordenado

¿Cuál de los siguientes pares ordenados está en el tercer cuadrante?

El tercer cuadrante es el cuadrante inferior izquierdo, donde los valores y son negativos. El punto es el único punto que está en este cuadrante.

Pregunta de ejemplo n. ° 2: Cómo graficar un par ordenado

¿Cuál de los siguientes puntos está en el cuadrante IV en el plano de coordenadas?

Dos de estos puntos están en el cuadrante IV.

El cuadrante IV consta de los puntos con coordenadas positivas y coordenadas negativas. Por tanto, es la elección correcta.

Pregunta de ejemplo n. ° 7: Cómo graficar un par ordenado

Encuentre el punto que corresponde al siguiente par ordenado:

Para llegar al punto, comience en el origen y mueva las unidades hacia la derecha y hacia abajo.

Pregunta de ejemplo n. ° 8: Cómo graficar un par ordenado

Encuentre el punto que corresponde al siguiente par ordenado:

Para llegar al punto, comience en el origen y mueva la unidad hacia la derecha y hacia arriba.

Pregunta de ejemplo n. ° 9: Cómo graficar un par ordenado

Encuentre el punto que corresponde al siguiente par ordenado:

Para llegar al punto, comience en el origen y muévase hacia la izquierda y hacia abajo.

Pregunta de ejemplo n. ° 10: Cómo graficar un par ordenado

Encuentre el punto que corresponde al siguiente par ordenado:

Para llegar al punto, comience en el origen y mueva las unidades hacia la derecha y hacia arriba.

Todos los recursos de Álgebra 1

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Si ha encontrado un problema con esta pregunta, háganoslo saber. Con la ayuda de la comunidad podemos seguir mejorando nuestros recursos educativos.


Sistema de coordenadas y pares ordenados

Un sistema de coordenadas es una recta numérica bidimensional, por ejemplo, dos rectas numéricas perpendiculares o ejes.

Este es un sistema de coordenadas típico:

El eje horizontal se llama eje x y el eje vertical se llama eje y

El centro del sistema de coordenadas (donde las líneas se cruzan) se llama origen. Los ejes se cruzan cuando tanto x como y son cero. Las coordenadas del origen son (0, 0).

Un par ordenado contiene las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas. Un punto se nombra por su par ordenado de la forma de (x, y). El primer número corresponde a la coordenada x y el segundo a la coordenada y.

Para graficar un punto, dibuja un punto en las coordenadas que corresponden al par ordenado. Siempre es una buena idea empezar por el origen. La coordenada x te dice cuántos pasos tienes que dar hacia la derecha (positiva) o hacia la izquierda (negativa) en el eje x. Y la coordenada y le dice que tiene muchos pasos para moverse hacia arriba (positivo) o hacia abajo (negativo) en el eje y.

El par ordenado (3, 4) se encuentra en el sistema de coordenadas cuando se mueve 3 pasos hacia la derecha en el eje xy 4 pasos hacia arriba en el eje y.

El par ordenado (-7, 1) se encuentra en el sistema de coordenadas cuando se mueve 7 pasos hacia la izquierda en el eje xy 1 paso hacia arriba en el eje y.

Para averiguar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas, haga lo contrario. Comience en el punto y siga una línea vertical hacia arriba o hacia abajo hasta el eje x. Ahí está tu coordenada x. Y luego haz lo mismo pero siguiendo una línea horizontal para encontrar la coordenada y.


Las ecuaciones lineales [látex] x = 2 [/ látex] y [látex] y = −3 [/ látex] solo tienen una variable en cada una de ellas. Sin embargo, debido a que estas son ecuaciones lineales, se graficarán en un plano de coordenadas tal como lo hacen las ecuaciones lineales anteriores. Solo piense en la ecuación [látex] x = 2 [/ látex] como [látex] x = 0y + 2 [/ látex] y piense en [látex] y = −3 [/ látex] como [látex] y = 0x– 3 [/ látex].

Ejemplo

X valores [látex] 0x – 3 [/ látex] y valores
[látex] 0 [/ látex] [látex] 0 (0) –3 [/ látex] [látex] −3 [/ látex]
[látex] 1 [/ látex] [látex] 0 (1) –3 [/ látex] [látex] −3 [/ látex]
[látex] 2 [/ látex] [látex] 0 (2) –3 [/ látex] [látex] −3 [/ látex]
[látex] 3 [/ látex] [látex] 0 (3) –3 [/ látex] [látex] −3 [/ látex]

Escriba [látex] y = −3 [/ látex] como [látex] y = 0x – 3 [/ látex] y evalúe y Cuándo X tiene varios valores. O simplemente date cuenta de que [látex] y = −3 [/ látex] significa cada y el valor será [latex] −3 [/ latex], pase lo que pase X es.

Grafique los pares ordenados (que se muestran a continuación).

Dibuja una línea a través de los puntos para indicar todos los puntos de la línea.

Respuesta

Observe que [látex] y = −3 [/ látex] se grafica como una línea horizontal.

En el siguiente video, verá más ejemplos de gráficas de líneas horizontales y verticales.


Definición de par ordenado

El par ordenado no es más que un punto en el plano de coordenadas bidimensional. Se usa para ubicar un punto en el gráfico. Cada par ordenado tiene dos coordenadas, a saber, abscisas y ordenadas.

¿Cómo trazas un par de puntos ordenados en un plano cartesiano?

Los siguientes son pasos sencillos y sencillos para localizar un punto en un plano cartesiano. Consulte las pautas, términos y condiciones para trazar pares ordenados.

  • Tomemos un par ordenado.
  • Obtenga el signo de la coordenada x, la coordenada y del par ordenado.
  • Con base en esos signos, identifique a qué cuadrante pertenece el par ordenado.
  • Cuente el valor de la coordenada x en el eje x comenzando desde el origen.
  • De manera similar, cuente el valor de la coordenada y en el eje y desde el origen.
  • Marque el punto obtenido como el par ordenado.

Preguntas de ejemplo resueltas

La coordenada x del punto es positiva, 4. Mientras que la coordenada y también es positiva, 1.

Entonces, ambas coordenadas son positivas, el punto P pertenece al primer cuadrante.

Para ubicar este punto P, mida 4 unidades en el eje x desde el origen (hacia la derecha). Y cuente 1 unidad en el eje y desde el origen (hacia arriba). Dibuja una línea desde 4 y 1, el punto que se encuentran esas líneas se llama par ordenado P (4, 1).

Trace los siguientes pares ordenados en un plano de coordenadas.

un. A (5, 0) b. B (-2, -6) c. C (6, -3) d. D (7, -1)

Los pares ordenados dados son A (5, 0), B (-2, -6), C (6, -3), D (-7, 1)

La abscisa para A es 5, la ordenada es 0, ambas son positivas. Por lo tanto, este par ordenado se encuentra en el primer cuadrante. Tome 5 unidades en el eje x (hacia la derecha) y 0 unidades en el eje y y marque el punto con un símbolo estricto o cualquier otro.

La coordenada x es -2, la coordenada y es -6, ambas son negativas. Entonces, el punto B se encuentra en el tercer cuadrante. Mida 2 unidades desde el origen en el eje x (hacia la izquierda), 6 unidades en el eje y (hacia abajo). Marque ese punto en particular como B (-2, -6).

Para el par ordenado C (6, -3), la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa. Entonces, el punto se encuentra en el cuarto cuadrante. Para representar el par ordenado en el gráfico de coordenadas, debe dibujar líneas horizontales con el nombre XOX ’, YOY”. Cuente 6 unidades en el eje x hacia la derecha desde el origen y cuente 3 unidades en el eje y hacia el origen. Trace ese punto en la gráfica como C.

La abscisa para el punto D es -7 y negativa y ordenada es positiva y 1. Puedes decir que el punto está en el segundo cuadrante. Al principio, dibuje una línea horizontal (eje x), la línea vertical (eje y) se encuentra en el origen O. Escriba los números como un gráfico de coordenadas. Ahora, mida 7 unidades en el eje hacia la izquierda desde el origen, 1 unidad en el eje y hacia arriba.

Trace los siguientes tres puntos en el gráfico.

Los pares ordenados dados son P (5, 4), Q (0, 3), R (-2, 0)

El primer punto P (5, 4) está a 5 unidades del origen en el eje x, 4 unidades en el eje y. Como las coordenadas del punto son positivas, se encuentra en el primer cuadrante.

Como el segundo punto tiene la coordenada x es cero, el punto disponible en el eje y está a 3 unidades del origen. También se encuentra en el cuadrante 1.

De la misma manera, el tercer punto también contiene la coordenada y es cero, está presente en el eje x. Y su coordenada x es negativa, por lo que se encuentra en el tercer cuadrante.


La lección principal

Después de leer Volar en el techo, Les dije a mis alumnos que íbamos a practicar la representación gráfica de pares ordenados en matemáticas IXL. Primero, necesitábamos revisar el concepto de graficar una y otra vez.

Dibujé una cuadrícula simple en la pizarra blanca y enumeré un par ordenado de (3,5) y tracé el punto en la cuadrícula. Les pedí a mis alumnos que explicaran si pensaban que había trazado el par ordenado correctamente a partir de lo que entendíamos sobre las reglas de cómo hacerlo.

Todos estuvieron de acuerdo en que era correcto. Les pregunté por qué era importante el pedido. Ninguno de mis alumnos pudo responder a esa pregunta. CCSS espera que profundice en el "por qué" de las matemáticas y también en el cómo.

Entonces, era importante atacar esta pregunta y ayudarlos a comprender. Le expliqué que, al igual que las reglas de los órdenes de operaciones, esta regla de trazado también les daba a los matemáticos una forma coherente de trazar. Luego me volví hacia el tablero y tracé (3,5) como (5,3) para que pudieran darse cuenta de que si no lo trazamos de la misma manera, obtendríamos una ubicación diferente en la cuadrícula. Pregunté: ¿Cómo afectaría esto a la lectura de mapas en cuanto a ubicar un lugar exactamente?

Las manos de dos personas se dispararon. Obtuve la respuesta que estaba buscando. Un niño dijo: "Si no tuvieras la misma regla, una ubicación podría ser más de un lugar en un mapa".

Para aclarar lo que dijo, reformulé lo que quería decir. Dije: "Para ser precisos y claros sobre una ubicación, debemos seguir las mismas reglas al mapear una ubicación utilizando una cuadrícula o un plano de coordenadas".

Les dije que era hora de practicar un rato en IXL.com para perfeccionar nuestras habilidades. Me conecté a IXL para mostrarles exactamente lo que esperaba. Esta lección presenta una imagen de las cuadrículas de coordenadas y luego el estudiante elige el par ordenado correcto que representa la imagen. Después de que hicimos dos juntos, les pedí que sacaran sus iPads e iniciaran sesión.

Se registraron en IXL y trabajaron durante unos 15 minutos para revisar las cuadrículas de coordenadas de lectura y trazado. Recorrí el aula para ver que los estudiantes estaban trabajando. Un estudiante tuvo que usar papel cuadriculado para responder la pregunta.


Trazado de pares ordenados

Vídeos, hojas de trabajo, historias y canciones para ayudar a los alumnos de 7.º grado.

Pares ordenados del gráfico del plano de coordenadas

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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Personalización con PairGrid

A diferencia de la función sns.pairplot, sns.PairGrid es una clase, lo que significa que no completa automáticamente los gráficos por nosotros. En su lugar, creamos una instancia de clase y luego asignamos funciones específicas a las diferentes secciones de la cuadrícula. Para crear una instancia de PairGrid con nuestros datos, usamos el siguiente código que también limita las variables que mostraremos:

Si tuviéramos que mostrar esto, obtendríamos un gráfico en blanco porque no hemos asignado ninguna función a las secciones de la cuadrícula. Hay tres secciones de cuadrícula para completar para un PairGrid: el triángulo superior, el triángulo inferior y la diagonal. Para mapear parcelas en estas secciones, usamos el método grid.map en la sección. Por ejemplo, para mapear un diagrama de dispersión en el triángulo superior usamos:

El método map_upper toma cualquier función que acepte dos matrices de variables (como plt.scatter) y palabras clave asociadas (como color). El método map_lower es exactamente el mismo pero rellena el triángulo inferior de la cuadrícula. Map_diag es ligeramente diferente porque toma una función que acepta una sola matriz (recuerde que la diagonal muestra solo una variable). Un ejemplo es plt.hist que usamos para completar la sección diagonal a continuación:

En este caso, estamos usando una estimación de la densidad del núcleo en 2-D (una gráfica de densidad) en el triángulo inferior. En conjunto, este código nos da la siguiente trama:

Los beneficios reales de usar la clase PairGrid vienen cuando queremos crear funciones personalizadas para mapear información diferente en la trama. Por ejemplo, es posible que desee agregar el coeficiente de correlación de Pearson entre dos variables en el diagrama de dispersión. Para hacerlo, escribiría una función que toma dos matrices, calcula la estadística y luego la dibuja en el gráfico. El siguiente código muestra cómo se hace esto (crédito a esta respuesta de Stack Overflow):

Nuestra nueva función se asigna al triángulo superior porque necesitamos dos matrices para calcular un coeficiente de correlación (observe también que podemos asignar múltiples funciones a secciones de la cuadrícula). Esto produce la siguiente trama:

El coeficiente de correlación ahora aparece sobre el diagrama de dispersión. Este es un ejemplo relativamente sencillo, pero podemos usar PairGrid para mapear cualquier función que queramos en el gráfico. ¡Podemos agregar tanta información como sea necesario siempre que podamos descubrir cómo escribir la función! Como ejemplo final, aquí hay un gráfico que muestra las estadísticas de resumen en la diagonal en lugar de un gráfico.

Esto necesita un poco de limpieza, pero muestra la idea general, además de usar cualquier función existente en una biblioteca como matplotlib para mapear datos en la figura, podemos escribir nuestra propia función para mostrar información personalizada.


Un par ordenado es la combinación de coordenadas que son la coordenada x (abscisas) y la coordenada y (ordenada). Esas coordenadas son valores reales entre paréntesis y separados por una coma. El par ordenado es útil para ubicar un punto en el gráfico de coordenadas bidimensionales para una mejor comprensión visual. Los valores que contiene pueden ser números enteros o fracciones.

Par ordenado de un sistema de coordenadas

Dos números escritos en cierto orden entre paréntesis también se denominan par ordenado. La representación habitual de un par ordenado es (x, y). Donde x es el valor horizontal e y es el valor vertical, y x, y se denominan coordenadas. El par ordenado (x, y) nunca es igual al par ordenado (y, x). Siempre que escribimos las coordenadas de un punto, primero escribimos la coordenada xy luego el valor de la coordenada y. Como sugiere el par ordenado, el orden en el que se escriben los valores en un par es muy importante.

Tomemos un punto P (2, 5)

El primer número del par ordenado muestra la distancia desde el eje x, que es 2

El segundo número en el par ordenado muestra la distancia desde el eje y que es 5

Para trazar ese punto en el gráfico de coordenadas, cuente 2 pasos hacia el eje x (hacia la derecha) y comience a contar desde el origen. Y luego 5 pasos en el eje y (dirección hacia arriba).

Aplicaciones:

  • Este concepto es útil en la comprensión de datos y las estadísticas.
  • La geometría de coordenadas utiliza pares ordenados para representar las figuras geométricas en un espacio abierto para la comprensión virtual.
  • Las formas geométricas pueden ser círculos, triángulos, cuadrados, rectángulos, sy polígonos utilizan los pares ordenados para representar el centro, los vértices y la longitud de los lados con coordenadas.

Preguntas de ejemplo resueltas

¿Cuáles son las coordenadas de un par ordenado A (9, -7)?

El par ordenado dado es A (9, -7)

Sus coordenadas son la coordenada x es 9 y la coordenada y es -7.

Como la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa, el punto pertenece al cuarto cuadrante.

¿Calcula las abscisas y las ordenadas de un punto P (-9, 7)?

La abscisa del punto es -9.

La ordenada del punto es 7.

Como el punto de abscisas es un número entero negativo y la ordenada es un número entero positivo, el punto se encuentra en el tercer cuadrante.

¿El par ordenado A (5, 8) y B (8, 5) son iguales?

Los números reales en ambos pares ordenados son los mismos. Pero tanto A como B no son iguales.

¿Por qué? Porque el primer par ordenado A tiene 5 como coordenada x, 8 como coordenada y, y el segundo par ordenado B (8, 5) tiene 8 como coordenada x y 5 como coordenada y. Entonces A ≠ B.

∴ Dados los pares ordenados, A y B no son iguales.

Preguntas frecuentes sobre el par ordenado de un sistema de coordenadas

1. ¿Qué es un ejemplo de un par ordenado?

Pocos ejemplos de un par ordenado son (8, 6), (-8, 6), (8, -6), (-8, -6). Todos estos pares ordenados no son iguales. Porque pertenecen a diferentes cuadrantes.

2. ¿Qué viene primero en un par ordenado?

Para cada par ordenado, la coordenada x viene primero seguida de la coordenada y. Es importante escribir ambas coordenadas en pares ordenados.

3. ¿Cuál es el orden de un par ordenado?

Un par ordenado es un par de números presentes en un orden específico y contiene dos números. El orden en el que escribe esos números es muy importante. Esos números se llaman coordenadas de un punto. La coordenada x es el primer número y la coordenada y es el segundo número. El par ordenado es útil para ubicar un punto en el plano de coordenadas.


Gráficos y sistemas de coordenadas rectangulares

  • Trace pares ordenados en un sistema de coordenadas cartesiano.
  • Grafica ecuaciones trazando puntos.
  • Grafica ecuaciones con una utilidad gráfica.
  • Encontrar -intercepciones y -intercepciones.
  • Usa la fórmula de la distancia.
  • Usa la fórmula del punto medio.

Figura 1.

Tracie partió de Elmhurst, IL, para ir a Franklin Park. En el camino, hizo algunas paradas para hacer recados. Cada parada está indicada por un punto rojo en la (Figura). Al colocar una cuadrícula de coordenadas rectangular sobre el mapa, podemos ver que cada parada se alinea con una intersección de líneas de cuadrícula. En esta sección, aprenderemos a usar líneas de cuadrícula para describir ubicaciones y cambios en ubicaciones.

Trazado de pares ordenados en el sistema de coordenadas cartesianas

Una vieja historia describe cómo el filósofo y matemático del siglo XVII René Descartes inventó el sistema que se ha convertido en la base del álgebra mientras estaba enfermo en cama. Según la historia, Descartes estaba mirando una mosca que se arrastraba por el techo cuando se dio cuenta de que podía describir la ubicación de la mosca en relación con las líneas perpendiculares formadas por las paredes adyacentes de su habitación. Vio las líneas perpendiculares como ejes horizontales y verticales. Además, al dividir cada eje en unidades de longitud iguales, Descartes vio que era posible ubicar cualquier objeto en un plano bidimensional usando solo dos números: el desplazamiento desde el eje horizontal y el desplazamiento desde el eje vertical.

Si bien hay evidencia de que ideas similares al sistema de cuadrícula de Descartes existieron siglos antes, fue Descartes quien introdujo los componentes que componen el sistema de coordenadas cartesiano, un sistema de cuadrícula que tiene ejes perpendiculares. Descartes nombró al eje horizontal el X-eje y el eje vertical el y-eje.

El sistema de coordenadas cartesianas, también llamado sistema de coordenadas rectangulares, se basa en un plano bidimensional que consta de X-eje y el y-eje. Perpendiculares entre sí, los ejes dividen el plano en cuatro secciones. Cada sección se llama cuadrante, los cuadrantes están numerados en sentido antihorario como se muestra en la (Figura)

Figura 2.

El centro del plano es el punto en el que se cruzan los dos ejes. Se conoce como el origen o puntoDesde el origen, cada eje se divide en unidades iguales: números positivos crecientes a la derecha en el X-eje y hasta el y-eje decreciente, números negativos a la izquierda en el X-eje y por el y-eje. Los ejes se extienden hasta el infinito positivo y negativo, como lo muestran las puntas de flecha en la (Figura).

Figura 3.

Cada punto del plano se identifica por su X-coordenada, o desplazamiento horizontal desde el origen, y su y-coordenada, o desplazamiento vertical desde el origen. Juntos, los escribimos como un par ordenado que indica la distancia combinada desde el origen en la formaUn par ordenado también se conoce como par de coordenadas porque consta de X- y y-coordenadas. Por ejemplo, podemos representar el puntoen el plano moviendo tres unidades a la derecha del origen en la dirección horizontal, y una unidad hacia abajo en la dirección vertical. Ver figura).

Figura 4.

Al dividir los ejes en incrementos igualmente espaciados, tenga en cuenta que el X-El eje puede considerarse por separado del y-eje. En otras palabras, mientras que el X-El eje puede dividirse y etiquetarse de acuerdo con enteros consecutivos, el y-El eje puede dividirse y etiquetarse por incrementos de 2, 10 o 100. De hecho, los ejes pueden representar otras unidades, como años contra el saldo en una cuenta de ahorros, o cantidad contra el costo, etc. Considere el sistema de coordenadas rectangulares principalmente como un método para mostrar la relación entre dos cantidades.

Sistema de coordenadas Cartesianas

Un plano bidimensional donde el

Un punto en el plano se define como un par ordenado,tal que X está determinada por su distancia horizontal desde el origen y y está determinada por su distancia vertical desde el origen.

Trazado de puntos en un sistema de coordenadas rectangular

Grafica los puntos[latex] left (3,3 right), [/ latex] yen el avión.

Para trazar el puntocomenzar en el origen. El X-coordinate es –2, así que mueva dos unidades a la izquierda. El y-coordinate es 4, entonces mueva cuatro unidades hacia arriba en el positivo y dirección.

Para trazar el puntoempezar de nuevo en el origen. El X-coordinate es 3, así que mueva tres unidades a la derecha. El y-coordinate también es 3, así que mueva tres unidades hacia arriba en el positivo y dirección.

Para trazar el puntoempezar de nuevo en el origen. El X-coordinate es 0. Esto nos dice que no nos movamos en ninguna dirección a lo largo del X-eje. El y-coordinate es –3, así que mueva tres unidades hacia abajo en sentido negativo y dirección. Vea el gráfico en la (Figura).

[/ respuesta-oculta]

Análisis

Tenga en cuenta que cuando cualquiera de las coordenadas es cero, el punto debe estar en un eje. Si el X-coordinado es cero, el punto está en el y-eje. Si el y-coordinado es cero, el punto está en el X-eje.

Graficar ecuaciones graficando puntos

Podemos trazar un conjunto de puntos para representar una ecuación. Cuando tal ecuación contiene tanto un X variable y una y variable, se llama ecuación en dos variables. Su gráfica se llama gráfica en dos variables. Cualquier gráfico en un plano bidimensional es un gráfico en dos variables.

Supongamos que queremos graficar la ecuaciónPodemos comenzar sustituyendo un valor por X en la ecuación y determinar el valor resultante de y. Cada par de X& # 8211 y y-valores es un par ordenado que se puede trazar. (Figura) enumera los valores de X de –3 a 3 y los valores resultantes para y.

Podemos trazar los puntos en la tabla. Los puntos de esta ecuación en particular forman una línea, por lo que podemos conectarlos. Ver figura). Esto no es cierto para todas las ecuaciones.

Figura 5.

Tenga en cuenta que el X-los valores elegidos son arbitrarios, independientemente del tipo de ecuación que estemos graficando. Por supuesto, algunas situaciones pueden requerir valores particulares de X que se trazará para ver un resultado en particular. De lo contrario, es lógico elegir valores que se puedan calcular fácilmente, y siempre es una buena idea elegir valores que sean tanto negativos como positivos. No existe una regla que indique cuántos puntos trazar, aunque necesitamos al menos dos para graficar una línea. Sin embargo, tenga en cuenta que cuantos más puntos tracemos, con mayor precisión podremos trazar el gráfico.

Cómo

Dada una ecuación, grafica trazando puntos.

  1. Haz una tabla con una columna etiquetada X, una segunda columna etiquetada con la ecuación y una tercera columna que enumera los pares ordenados resultantes.
  2. Ingresar X-valores en la primera columna usando valores positivos y negativos. Seleccionando el X-los valores en orden numérico simplificarán la representación gráfica.
  3. Seleccione X-valores que rendirán y-valores con poco esfuerzo, preferiblemente aquellos que se puedan calcular mentalmente.
  4. Trace los pares ordenados.
  5. Conecta los puntos si forman una línea.

Graficar una ecuación en dos variables trazando puntos

Grafica la ecuacióntrazando puntos.

Primero, construimos una tabla similar a (Figura). Escoger X valores y calcular y.

Ahora, grafique los puntos. Conéctelos si forman una línea. Ver figura)

Figura 6.

Intentalo

Construya una tabla y grafique la ecuación trazando puntos:

[revel-answer q = & # 82213155135 & # 8243] Mostrar solución [/ revel-answer] [hidden-answer a = & # 82213155135 & # 8243]

[/ respuesta-oculta]

Graficar ecuaciones con una utilidad gráfica

La mayoría de las calculadoras gráficas requieren técnicas similares para graficar una ecuación. Las ecuaciones a veces tienen que manipularse para que estén escritas en el estilo= _____. La TI-84 Plus, y muchas otras marcas y modelos de calculadoras, tienen una función de modo, que permite modificar la ventana (la pantalla para ver el gráfico) para que se puedan ver las partes pertinentes de un gráfico.

Por ejemplo, la ecuaciónse ha introducido en la TI-84 Plus que se muestra en la (Figura)un. En figura)B, se muestra el gráfico resultante. Observe que no podemos ver en la pantalla dónde el gráfico cruza los ejes. La pantalla de ventana estándar de la TI-84 Plus muestrayVer figura)C.

Figura 7. a. Ingrese la ecuación. B. Este es el gráfico de la ventana original. C. Éstos son los ajustes originales.

Cambiando la ventana para mostrar más de lo positivo X-eje y más de lo negativo y-eje, tenemos una vista mucho mejor del gráfico y el X- y y-intercepta. Ver figura)a y (figura)B.

Figura 8. un. Esta pantalla muestra la nueva configuración de la ventana. B. Podemos ver claramente las intersecciones en la nueva ventana.

Usar una utilidad de representación gráfica para representar gráficamente una ecuación

Utilice una herramienta gráfica para graficar la ecuación:

[revel-answer q = & # 82211513712 & # 8243] Mostrar solución [/ revel-answer] [hidden-answer a = & # 82211513712 & # 8243]

Ingrese la ecuación en el y = función de la calculadora. Establezca la configuración de la ventana para que tanto el X- y y- las intersecciones se muestran en la ventana. Ver figura).

Figura 9.

Hallazgo X-intercepta y y-intercepta

Las intersecciones de un gráfico son puntos en los que el gráfico cruza los ejes. El X-La intersección es el punto en el que la gráfica cruza la X-eje. En este punto, el y-la coordenada es cero. El y-La intersección es el punto en el que la gráfica cruza la y-eje. En este punto, el X-la coordenada es cero.

Para determinar el X-interceptar, establecemos y igual a cero y resolver para X. Del mismo modo, para determinar la y-interceptar, establecemos X igual a cero y resolver para y. Por ejemplo, encontremos las intersecciones de la ecuación

Para encontrar el X-interceptar, establecer

Para encontrar el y-interceptar, establecer

Podemos confirmar que nuestros resultados tienen sentido al observar una gráfica de la ecuación como en la (Figura). Observe que la gráfica cruza los ejes donde predijimos que lo haría.

Figura 10.

Dada una ecuación, encuentra las intersecciones.

  1. Encuentra el X-interceptar estableciendoy resolviendo para
  2. Encuentra el y-interceptar estableciendoy resolviendo para

Hallar las intersecciones de la ecuación dada

Encuentra las intersecciones de la ecuaciónLuego dibuja la gráfica usando solo las intersecciones.

Colocarpara encontrar el X-interceptar.

Colocarpara encontrar el y-interceptar.

Trace ambos puntos y dibuje una línea que los atraviese como en la (Figura).

Figura 11.

Intentalo

Encuentra las intersecciones de la ecuación y dibuja la gráfica:

X-intercepción esy-interceptar es

[/ respuesta-oculta]

Usando la fórmula de distancia

Derivado del Teorema de Pitágoras, la fórmula de la distancia se usa para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano. El teorema de Pitágoras,se basa en un triángulo rectángulo donde a y B son las longitudes de los catetos adyacentes al ángulo recto, y C es la longitud de la hipotenusa. Ver figura).

Figura 12.

La relación de ladosya un lado D es el mismo que el de los lados a y B a un lado C. Usamos el símbolo de valor absoluto para indicar que la longitud es un número positivo porque el valor absoluto de cualquier número es positivo. (Por ejemplo,) Los símbolosyindican que las longitudes de los lados del triángulo son positivas. Para encontrar la longitud C, saca la raíz cuadrada de ambos lados del Teorema de Pitágoras.

De ello se deduce que la fórmula de la distancia se da como

No tenemos que usar los símbolos de valor absoluto en esta definición porque cualquier número al cuadrado es positivo.

La fórmula de la distancia

Puntos finales dadosyla distancia entre dos puntos viene dada por

Encontrar la distancia entre dos puntos

Encuentra la distancia entre los puntosy

Veamos primero la gráfica de los dos puntos. Conecte los puntos para formar un triángulo rectángulo como en la (Figura).

Figura 13.

Luego, calcule la longitud de D usando la fórmula de la distancia.

[/ respuesta-oculta]

Intentalo

Encuentra la distancia entre dos puntos:y

Hallar la distancia entre dos ubicaciones

Volvamos a la situación presentada al principio de esta sección.

Tracie partió de Elmhurst, IL, para ir a Franklin Park. En el camino, hizo algunas paradas para hacer recados. Cada parada está indicada por un punto rojo en la (Figura). Calcula la distancia total que viajó Tracie. Compare esto con la distancia entre sus posiciones inicial y final.

Lo primero que debemos hacer es identificar pares ordenados para describir cada posición. Si establecemos la posición inicial en el origen, podemos identificar cada uno de los otros puntos contando las unidades al este (derecha) y norte (arriba) en la cuadrícula. Por ejemplo, la primera parada es 1 cuadra al este y 1 cuadra al norte, por lo que está enLa siguiente parada está a 5 cuadras al este, por lo que está enDespués de eso, viajó 3 cuadras al este y 2 cuadras al norte hastaPor último, viajó 4 cuadras al norte paraPodemos etiquetar estos puntos en la cuadrícula como en la (Figura).

Figura 14.

A continuación, podemos calcular la distancia. Tenga en cuenta que cada unidad de cuadrícula representa 1,000 pies.

  • Desde su ubicación inicial hasta su primera parada enTracie pudo haber conducido al norte 300 metros y luego al este 300 metros, o viceversa. De cualquier manera, condujo 2,000 pies hasta su primera parada.
  • Su segunda parada es enEntonces deparaTracie condujo hacia el este 4,000 pies.
  • Su tercera parada es enHay varias rutas desdeparaCualquiera que sea la ruta que decidió usar Tracie, la distancia es la misma, ya que no hay calles angulares entre los dos puntos. Digamos que condujo hacia el este a 3,000 pies y luego hacia el norte 2,000 pies para un total de 5,000 pies.
  • La última parada de Tracie es enEste es un camino directo hacia el norte desdepara un total de 4.000 pies.

Next, we will add the distances listed in (Figure).

From/To Number of Feet Driven
para 2,000
para 4,000
para 5,000
para 4,000
Total 15,000

The total distance Tracie drove is 15,000 feet, or 2.84 miles. This is not, however, the actual distance between her starting and ending positions. To find this distance, we can use the distance formula between the pointsy

At 1,000 feet per grid unit, the distance between Elmhurst, IL, to Franklin Park is 10,630.14 feet, or 2.01 miles. The distance formula results in a shorter calculation because it is based on the hypotenuse of a right triangle, a straight diagonal from the origin to the pointPerhaps you have heard the saying “as the crow flies,” which means the shortest distance between two points because a crow can fly in a straight line even though a person on the ground has to travel a longer distance on existing roadways.[/hidden-answer]

Using the Midpoint Formula

When the endpoints of a line segment are known, we can find the point midway between them. This point is known as the midpoint and the formula is known as the midpoint formula. Given the endpoints of a line segment,ythe midpoint formula states how to find the coordinates of the midpoint

A graphical view of a midpoint is shown in (Figure). Notice that the line segments on either side of the midpoint are congruent.

Figure 15.

Finding the Midpoint of the Line Segment

Find the midpoint of the line segment with the endpointsy

Use the formula to find the midpoint of the line segment.

[/hidden-answer]

Try It

Find the midpoint of the line segment with endpointsy

Finding the Center of a Circle

The diameter of a circle has endpointsyFind the center of the circle.

The center of a circle is the center, or midpoint, of its diameter. Thus, the midpoint formula will yield the center point.

[/hidden-answer]

Access these online resources for additional instruction and practice with the Cartesian coordinate system.

Conceptos clave

  • We can locate, or plot, points in the Cartesian coordinate system using ordered pairs, which are defined as displacement from the x-axis and displacement from the y-axis. See (Figure).
  • An equation can be graphed in the plane by creating a table of values and plotting points. See (Figure).
  • Using a graphing calculator or a computer program makes graphing equations faster and more accurate. Equations usually have to be entered in the form y=_____. See (Figure).
  • Encontrar el x- y y-intercepts can define the graph of a line. These are the points where the graph crosses the axes. See (Figure).
  • The distance formula is derived from the Pythagorean Theorem and is used to find the length of a line segment. See (Figure) and (Figure).
  • The midpoint formula provides a method of finding the coordinates of the midpoint dividing the sum of the X-coordinates and the sum of the y-coordinates of the endpoints by 2. See (Figure) and (Figure).

Section Exercises

Verbal

Is it possible for a point plotted in the Cartesian coordinate system to not lie in one of the four quadrants? Explicar.

Answers may vary. sí. It is possible for a point to be on the X-axis or on the y-axis and therefore is considered to NOT be in one of the quadrants.

Describe the process for finding the x-intercept and the y-intercept of a graph algebraically.

Describe in your own words what the y-intercept of a graph is.

El y-intercept is the point where the graph crosses the y-axis.

When using the distance formulaexplain the correct order of operations that are to be performed to obtain the correct answer.

Algebraic

For each of the following exercises, find the X-intercept and the y-intercept without graphing. Write the coordinates of each intercept.

El x-intercept isand the y-intercept is

El x-intercept isand the y-intercept is

El x-intercept isand the y-intercept is

For each of the following exercises, solve the equation for y en términos de X.

For each of the following exercises, find the distance between the two points. Simplify your answers, and write the exact answer in simplest radical form for irrational answers.

y

y

y

y

Find the distance between the two points given using your calculator, and round your answer to the nearest hundredth.

y

For each of the following exercises, find the coordinates of the midpoint of the line segment that joins the two given points.

y

y

y

y

y

Graphical

For each of the following exercises, identify the information requested.

What are the coordinates of the origin?

If a point is located on the y-axis, what is the X-coordinate?

If a point is located on the X-axis, what is the y-coordinate?

For each of the following exercises, plot the three points on the given coordinate plane. State whether the three points you plotted appear to be collinear (on the same line).

[reveal-answer q=”fs-id1319659″]Show Solution[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”fs-id1319659″]not collinear[/hidden-answer]

Name the coordinates of the points graphed.

Name the quadrant in which the following points would be located. If the point is on an axis, name the axis.

For each of the following exercises, construct a table and graph the equation by plotting at least three points.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″]

1
0 2
3 3
6 4

[/hidden-answer]

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″]

[/hidden-answer]

Numeric

For each of the following exercises, find and plot the x- y y-intercepts, and graph the straight line based on those two points.

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″] [/hidden-answer]

[reveal-answer q=�″]Show Solution[/reveal-answer][hidden-answer a=�″] [/hidden-answer]

For each of the following exercises, use the graph in the figure below.

Find the distance between the two endpoints using the distance formula. Round to three decimal places.

Find the coordinates of the midpoint of the line segment connecting the two points.

Find the distance thatis from the origin.

Find the distance thatis from the origin. Round to three decimal places.

Which point is closer to the origin?

Technology

For the following exercises, use your graphing calculator to input the linear graphs in the Y= graph menu.

After graphing it, use the 2 nd CALC button and 1:value button, hit enter. At the lower part of the screen you will see “x=” and a blinking cursor. You may enter any number for X and it will display the y value for any X value you input. Use this and plug in X = 0, thus finding the y-intercept, for each of the following graphs.

For the following exercises, use your graphing calculator to input the linear graphs in the Y= graph menu.

After graphing it, use the 2 nd CALC button and 2:zero button, hit enter. At the lower part of the screen you will see “left bound?” and a blinking cursor on the graph of the line. Move this cursor to the left of the X-intercept, hit ENTER. Now it says “right bound?” Move the cursor to the right of the X-intercept, hit enter. Now it says “guess?” Move your cursor to the left somewhere in between the left and right bound near the X-intercept. Hit enter. At the bottom of your screen it will display the coordinates of the x-intercept or the “zero” to the y-value. Use this to find the X-intercept.

Note: With linear/straight line functions the zero is not really a “guess,” but it is necessary to enter a “guess” so it will search and find the exact X-intercept between your right and left boundaries. With other types of functions (more than one X-intercept), they may be irrational numbers so “guess” is more appropriate to give it the correct limits to find a very close approximation between the left and right boundaries.

Round your answer to the nearest thousandth.

Extensions

A man drove 10 mi directly east from his home, made a left turn at an intersection, and then traveled 5 mi north to his place of work. If a road was made directly from his home to his place of work, what would its distance be to the nearest tenth of a mile?

If the road was made in the previous exercise, how much shorter would the man’s one-way trip be every day?

mi shorter

Given these four points:find the coordinates of the midpoint of line segmentsy

After finding the two midpoints in the previous exercise, find the distance between the two midpoints to the nearest thousandth.

Given the graph of the rectangle shown and the coordinates of its vertices, prove that the diagonals of the rectangle are of equal length.

In the previous exercise, find the coordinates of the midpoint for each diagonal.

Midpoint of each diagonal is the same pointNote this is a characteristic of rectangles, but not other quadrilaterals.

Real-World Applications

The coordinates on a map for San Francisco areand those for Sacramento areNote that coordinates represent miles. Find the distance between the cities to the nearest mile.

If San Jose’s coordinates arewhere the coordinates represent miles, find the distance between San Jose and San Francisco to the nearest mile.

mi

A small craft in Lake Ontario sends out a distress signal. The coordinates of the boat in trouble wereOne rescue boat is at the coordinatesand a second Coast Guard craft is at coordinatesAssuming both rescue craft travel at the same rate, which one would get to the distressed boat the fastest?

A man on the top of a building wants to have a guy wire extend to a point on the ground 20 ft from the building. To the nearest foot, how long will the wire have to be if the building is 50 ft tall?

If we rent a truck and pay a $75/day fee plus $.20 for every mile we travel, write a linear equation that would express the total costusingto represent the number of miles we travel. Graph this function on your graphing calculator and find the total cost for one day if we travel 70 mi.

Glosario

Cartesian coordinate system a grid system designed with perpendicular axes invented by René Descartes distance formula a formula that can be used to find the length of a line segment if the endpoints are known equation in two variables a mathematical statement, typically written in X y y, in which two expressions are equal graph in two variables the graph of an equation in two variables, which is always shown in two variables in the two-dimensional plane intercepts the points at which the graph of an equation crosses the X-axis and the y-axis midpoint formula a formula to find the point that divides a line segment into two parts of equal length ordered pair a pair of numbers indicating horizontal displacement and vertical displacement from the origin also known as a coordinate pair, origin the point where the two axes cross in the center of the plane, described by the ordered pair quadrant one quarter of the coordinate plane, created when the axes divide the plane into four sections X-axis the common name of the horizontal axis on a coordinate plane a number line increasing from left to right x-coordinate the first coordinate of an ordered pair, representing the horizontal displacement and direction from the origin x-intercept the point where a graph intersects the x-axis an ordered pair with a y-coordinate of zero y-axis the common name of the vertical axis on a coordinate plane a number line increasing from bottom to top y-coordinate the second coordinate of an ordered pair, representing the vertical displacement and direction from the origin y-intercept a point where a graph intercepts the y-axis an ordered pair with an X-coordinate of zero