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8.2E: La transformada inversa de Laplace (ejercicios)


Q8.2.1

1. Usa la tabla de transformadas de Laplace para encontrar la transformada de Laplace inversa.

  1. ({3 over (s-7) ^ 4} )
  2. ({2s-4 over s ^ 2-4s + 13} )
  3. ({1 sobre s ^ 2 + 4s + 20} )
  4. ({2 sobre s ^ 2 + 9} )
  5. ({s ^ 2-1 over (s ^ 2 + 1) ^ 2} )
  6. ({1 over (s-2) ^ 2-4} )
  7. ({12s-24 over (s ^ 2-4s + 85) ^ 2} )
  8. ({2 over (s-3) ^ 2-9} )
  9. ({s ^ 2-4s + 3 over (s ^ 2-4s + 5) ^ 2} )

2. Utilice el teorema 8.2.1 y la tabla de transformadas de Laplace para encontrar la transformada de Laplace inversa.

  1. ({2s + 3 over (s-7) ^ 4} )
  2. ({s ^ 2-1 over (s-2) ^ 6} )
  3. ({s + 5 sobre s ^ 2 + 6s + 18} )
  4. ({2s + 1 over s ^ 2 + 9} )
  5. ({s sobre s ^ 2 + 2s + 1} )
  6. ({s + 1 sobre s ^ 2-9} )
  7. ({s ^ 3 + 2s ^ 2-s-3 over (s + 1) ^ 4} )
  8. ({2s + 3 over (s-1) ^ 2 + 4} )
  9. ({1 sobre s} - {s sobre s ^ 2 + 1} )
  10. ({3s + 4 over s ^ 2-1} )
  11. ({3 sobre s-1} + {4s + 1 sobre s ^ 2 + 9} )
  12. ({3 over (s + 2) ^ 2} - {2s + 6 over s ^ 2 + 4} )

3. Utilice el método de Heaviside para encontrar la transformada inversa de Laplace.

  1. ({3- (s + 1) (s-2) sobre (s + 1) (s + 2) (s-2)} )
  2. ({7+ (s + 4) (18-3s) over (s-3) (s-1) (s + 4)} )
  3. ({2+ (s-2) (3-2s) over (s-2) (s + 2) (s-3)} )
  4. ({3- (s-1) (s + 1) sobre (s + 4) (s-2) (s-1)} )
  5. ({3+ (s-2) (10-2s-s ^ 2) over (s-2) (s + 2) (s-1) (s + 3)} )
  6. ({3+ (s-3) (2s ^ 2 + s-21) over (s-3) (s-1) (s + 4) (s-2)} )

4. Encuentra la transformada de Laplace inversa.

  1. ({2 + 3s over (s ^ 2 + 1) (s + 2) (s + 1)} )
  2. ({3s ^ 2 + 2s + 1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 2s + 2)} )
  3. ({3s + 2 over (s-2) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  4. ({3s ^ 2 + 2s + 1 over (s-1) ^ 2 (s + 2) (s + 3)} )
  5. ({2s ^ 2 + s + 3 over (s-1) ^ 2 (s + 2) ^ 2} )
  6. ({3s + 2 over (s ^ 2 + 1) (s-1) ^ 2} )

5. Utilice el método del ejemplo 8.2.9 para encontrar la transformada de Laplace inversa.

  1. ({3s + 2 over (s ^ 2 + 4) (s ^ 2 + 9)} )
  2. ({-4s + 1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 16)} )
  3. ({5s + 3 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} )
  4. ({-s + 1 over (4s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 1)} )
  5. ({17s-34 over (s ^ 2 + 16) (16s ^ 2 + 1)} )
  6. ({2s-1 over (4s ^ 2 + 1) (9s ^ 2 + 1)} )

6. Encuentre la transformada de Laplace inversa.

  1. ({17 s-15 over (s ^ 2-2s + 5) (s ^ 2 + 2s + 10)} )
  2. ({8s + 56 over (s ^ 2-6s + 13) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  3. ({s + 9 over (s ^ 2 + 4s + 5) (s ^ 2-4s + 13)} )
  4. ({3s-2 over (s ^ 2-4s + 5) (s ^ 2-6s + 13)} )
  5. ({3s-1 over (s ^ 2-2s + 2) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  6. ({20s + 40 over (4s ^ 2-4s + 5) (4s ^ 2 + 4s + 5)} )

7. Encuentre la transformada de Laplace inversa.

  1. ({1 sobre s (s ^ 2 + 1)} )
  2. ({1 over (s-1) (s ^ 2-2s + 17)} )
  3. ({3s + 2 over (s-2) (s ^ 2 + 2s + 10)} )
  4. ({34-17s over (2s-1) (s ^ 2-2s + 5)} )
  5. ({s + 2 over (s-3) (s ^ 2 + 2s + 5)} )
  6. ({2s-2 over (s-2) (s ^ 2 + 2s + 10)} )

8. Encuentre la transformada de Laplace inversa.

  1. ({2s + 1 over (s ^ 2 + 1) (s-1) (s-3)} )
  2. ({s + 2 over (s ^ 2 + 2s + 2) (s ^ 2-1)} )
  3. ({2s-1 over (s ^ 2-2s + 2) (s + 1) (s-2)} )
  4. ({s-6 over (s ^ 2-1) (s ^ 2 + 4)} )
  5. ({2s-3 over s (s-2) (s ^ 2-2s + 5)} )
  6. ({5s-15 over (s ^ 2-4s + 13) (s-2) (s-1)} )

9. Dado que (f (t) leftrightarrow F (s) ), encuentre la transformada de Laplace inversa de (F (as-b) ), donde (a> 0 ).

10.

  1. Si (s_1 ), (s_2 ),…, (s_n ) son distintos y (P ) es un polinomio de grado menor que (n ), entonces [{P (s) sobre (s-s_1) (s-s_2) cdots (s-s_n)} = {A_1 sobre s-s_1} + {A_2 sobre s-s_2} + cdots + {A_n sobre s-s_n}. nonumber ] Multiplica por (s-s_i ) para mostrar que (A_i ) se puede obtener ignorando el factor (s-s_i ) a la izquierda y estableciendo (s = s_i ) en otro lugar.
  2. Suponga que (P ) y (Q_1 ) son polinomios tales que ( mbox {grado} (P) le mbox {grado} (Q_1) ) y (Q_1 (s_1) ne0 ). Muestre que el coeficiente de (1 / (s-s_1) ) en la expansión de fracción parcial de [F (s) = {P (s) over (s-s_1) Q_1 (s)} nonumber ] es (P (s_1) / Q_1 (s_1) ).
  3. Explique cómo se relacionan los resultados de (a) y (b).

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Cálculo de la transformada inversa de Laplace basado en un método de colocación que usa solo valores reales

Desarrollamos un algoritmo numérico para invertir una transformada de Laplace (LT), basado en la expansión de la serie polinomial de Laguerre de la función inversa bajo el supuesto de que LT se conoce solo en el eje real. El método pertenece a la clase de métodos de colocación (métodos C) y es aplicable cuando la función LT es regular en el infinito. Las dificultades asociadas con estos problemas se deben a su mal planteamiento intrínseco. La principal contribución de este artículo es proporcionar estimaciones computables de errores de truncamiento, discretización, acondicionamiento y redondeo introducidos por cálculos numéricos. Además, introducimos la pseudoprecisión que utilizará el algoritmo numérico para proporcionar una precisión escalada uniforme de la aproximación calculada para cualquier X con respecto a e σ x. Luego, estas estimaciones se emplean para truncar dinámicamente la expansión de la serie. En otras palabras, el número de términos de la serie actúa como el parámetro de regularización que proporciona el equilibrio entre errores.

Con el objetivo de validar la confiabilidad y usabilidad del algoritmo, se llevaron a cabo experimentos en varias funciones de prueba.


Resolviendo el problema de convolución con la función $ delta (x) $

Supongamos que tenemos las funciones: $ g (t) = theta (t) (e ^ <-t> + 2e ^ <-2t>) +2 delta (t) $ y $ u (t) = 2 ( theta (t) - theta (t-2)) $ Entonces tenemos $ u * g = int _ <- infty> ^ < infty> g ( tau) u (t- tau) d tau = 2 int_^(e ^ <- tau> + 2e ^ <- 2 tau> +2 delta ( tau)) d tau $ que luego se reduce a: $ u * g = -2e ^ <-t> + 2e ^ <-2t> + 2e ^ <- 2t + 4> -2e ^ <-2t> +4 ( theta (t) - theta (t-2)) $

Sin embargo, usando la transformada de Laplace llegué a este resultado: $ u * g = ( theta (t) - theta (t-2)) (16-4e ^ <-t> -4e ^ <-2t>) $

El hecho de que los resultados no coincidan me lleva a creer que me estoy perdiendo algo muy importante mientras hago la parte de integración.

En todas las líneas anteriores, $ theta (x) $ representa la función de paso unitario y $ delta (x) $ es la función de impulso de Dirac. Siguiendo el consejo que recibí en los comentarios, obtuve: $ u * g = 2 int_^(e ^ <- tau> theta ( tau) + 2e ^ <- 2 tau> theta ( tau) +2 delta ( tau)) d tau $ Entonces, intenté resolver la integral, pero haciendo este paso sospechoso en los cálculos: $ int_^e ^ <- tau> theta ( tau) d tau = -e ^ <- tau> theta ( tau) | ^_$


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Notas sobre Diffy Qs: ecuaciones diferenciales para ingenieros

Veamos cómo se usa la transformada de Laplace para ecuaciones diferenciales. Primero intentemos encontrar la transformada de Laplace de una función que es una derivada. Suponga que (g (t) ) es una función diferenciable de orden exponencial, es decir, ( lvert g (t) rvert leq M e ^) para algunos (M ) y (c text <.> ) Entonces ( mathcal bigl ) existe, y lo que es más, ( lim_ e ^ <-st> g (t) = 0 ) cuando (s & gt c text <.> ) Entonces

Repetimos este procedimiento para derivadas más altas. Los resultados se enumeran en la Tabla 7.2.1. El procedimiento también funciona para funciones suaves por partes, es decir, funciones que son continuas por partes con una derivada continua por partes.

Tabla 7.2.1. Transformadas de Laplace de derivadas ( (G (s) = mathcal bigl ) como de costumbre).

(pie)) ( mathcal bigl = F (s) )
(g '(t) ) (sG (s) -g (0) )
(g '' (t) ) (s ^ 2G (s) -sg (0) -g '(0) )
(g '' '(t) ) (s ^ 3G (s) -s ^ 2g (0) -sg '(0) -g' '(0) )

Ejercicio 6.2.1.

Subsección 6.2.2 Resolución de EDO con la transformada de Laplace

Observe que la transformada de Laplace convierte la diferenciación en multiplicación por (s text <.> ) Veamos cómo aplicar este hecho a las ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 6.2.1.

Tomaremos la transformada de Laplace de ambos lados. Por (X (s) ), como de costumbre, denotaremos la transformada de Laplace de (x (t) text <.> )

Conectamos las condiciones iniciales ahora, esto hace que los cálculos sean más ágiles, para obtener

Usamos fracciones parciales (ejercicio) para escribir

Ahora tome la transformada inversa de Laplace para obtener

El procedimiento para las ecuaciones de coeficientes constantes lineales es el siguiente. Tomamos una ecuación diferencial ordinaria en la variable de tiempo (t text <.> ) Aplicamos la transformada de Laplace para transformar la ecuación en una ecuación algebraica (no diferencial) en el dominio de la frecuencia. Todos los (x (t) text <,> ) (x '(t) text <,> ) (x' '(t) text <,> ) y así sucesivamente, serán convertido a (X (s) text <,> ) (sX (s) - x (0) text <,> ) (s ^ 2X (s) - sx (0) - x '( 0) text <,> ) y así sucesivamente. Resolvemos la ecuación para (X (s) text <.> ) Luego, tomando la transformada inversa, si es posible, encontramos (x (t) text <.> )

Cabe señalar que, dado que no todas las funciones tienen una transformada de Laplace, no todas las ecuaciones pueden resolverse de esta manera. Además, si la ecuación no es una ODE de coeficiente constante lineal, entonces al aplicar la transformada de Laplace es posible que no obtengamos una ecuación algebraica.

Subsección 6.2.3 Uso de la función Heaviside

Antes de pasar a ecuaciones más generales que las que pudimos resolver antes, queremos considerar la función Heaviside. Consulte la Figura 6.1 para ver el gráfico.

Esta función es útil para juntar funciones o cortar funciones. Más comúnmente se usa como (u (ta) ) para alguna constante (a text <.> ) Esto simplemente desplaza el gráfico a la derecha en (a text <.> ) Es decir, es una función que es 0 cuando (t & lt a ) y 1 cuando (t geq a text <.> ) Suponga, por ejemplo, que (f (t) ) es una "señal" y usted comenzó recibiendo la señal ( sin t ) en el momento (t = pi text <.> ) La función (f (t) ) debe definirse como

Usando la función Heaviside, (f (t) ) se puede escribir como

De manera similar, la función escalonada que es 1 en el intervalo ([1,2) ) y cero en todos los demás lugares se puede escribir como

La función Heaviside es útil para definir funciones definidas por partes. Si desea definir (f (t) ) tal que (f (t) = t ) cuando (t ) está en ([0,1] text <,> ) (f (t) = -t + 2 ) cuando (t ) está en ([1,2] text <,> ) y (f (t) = 0 ) de lo contrario, entonces puede usar el expresión

Por lo tanto, es útil saber cómo interactúa la función Heaviside con la transformada de Laplace. Ya hemos visto que

Esto se puede generalizar en un propiedad cambiante o segunda propiedad móvil.

Ejemplo 6.2.2.

Suponga que la función de forzamiento no es periódica. Por ejemplo, supongamos que tuviéramos un sistema masa-resorte

donde (f (t) = 1 ) si (1 leq t & lt 5 ) y cero en caso contrario. Podríamos imaginar un sistema de resorte de masa, donde se dispara un cohete durante 4 segundos comenzando en (t = 1 text <.> ) O quizás un circuito RLC, donde el voltaje se eleva a una tasa constante durante 4 segundos comenzando en (t = 1 text <,> ) y luego se mantuvo estable nuevamente comenzando en (t = 5 text <.> )

Podemos escribir (f (t) = u (t-1) - u (t-5) text <.> ) Transformamos la ecuación y conectamos las condiciones iniciales como antes para obtener

Resolvemos (X (s) ) para obtener

Lo dejamos como ejercicio para que el lector demuestre que

En otras palabras ( mathcal <1 - cos t > = frac <1> text <.> ) Entonces, usando (6.1) encontramos

La gráfica de esta solución se muestra en la Figura 6.2.

Figura 6.2. Gráfica de (x (t) text <.> )

Subsección 6.2.4 Funciones de transferencia

La transformada de Laplace conduce al siguiente concepto útil para estudiar el comportamiento en estado estable de un sistema lineal. Considere una ecuación de la forma

donde (L ) es un operador diferencial de coeficiente constante lineal. Entonces, (f (t) ) se suele considerar como una entrada del sistema y (x (t) ) como la salida del sistema. Por ejemplo, para un sistema masa-resorte, la entrada es la función de fuerza y ​​la salida es el comportamiento de la masa. Nos gustaría tener una forma conveniente de estudiar el comportamiento del sistema para diferentes entradas.

Supongamos que todas las condiciones iniciales son cero y tomamos la transformada de Laplace de la ecuación, obtenemos la ecuación

Resolviendo la razón ( nicefrac) obtenemos el llamado función de transferencia (H (s) = nicefrac <1> text <,> ) es decir,

En otras palabras, (X (s) = H (s) F (s) text <.> ) Obtenemos una dependencia algebraica de la salida del sistema basada en la entrada. Ahora podemos estudiar fácilmente el comportamiento de estado estable del sistema dadas diferentes entradas simplemente multiplicando por la función de transferencia.

Ejemplo 6.2.3.

Dado (x '' + omega_0 ^ 2 x = f (t) text <,> ) encontremos la función de transferencia (asumiendo que las condiciones iniciales son cero).

Primero, tomamos la transformada de Laplace de la ecuación.

Ahora resolvemos para la función de transferencia ( nicefrac text <.> )

Veamos cómo utilizar la función de transferencia. Supongamos que tenemos la entrada constante (f (t) = 1 text <.> ) Por lo tanto (F (s) = nicefrac <1> text <,> ) y

Tomando la transformada inversa de Laplace de (X (s) ) obtenemos

Subsección 6.2.5 Transformaciones de integrales

Una característica de las transformadas de Laplace es que también es capaz de manejar fácilmente ecuaciones integrales. Es decir, ecuaciones en las que aparecen integrales en lugar de derivadas de funciones. La propiedad básica, que se puede demostrar aplicando la definición y haciendo la integración por partes, es

A veces es útil (por ejemplo, para calcular la transformación inversa) escribir esto como

Ejemplo 6.2.4.

Para calcular (< mathcal> ^ <-1> left < frac <1> right > ) podríamos proceder aplicando esta regla de integración.

Ejemplo 6.2.5.

Una ecuación que contiene una integral de la función desconocida se llama ecuación integral. Por ejemplo, tome

donde deseamos resolver para (x (t) text <.> ) Aplicamos la transformada de Laplace y la propiedad de desplazamiento para obtener

donde (X (s) = mathcal bigl text <.> ) Así

Usamos la propiedad de cambio de nuevo

Subsección 6.2.6 Ejercicios

Ejercicio 6.2.2.

Usando la función Heaviside, escriba la función por partes que es 0 para (t & lt 0 text <,> ) (t ^ 2 ) para (t ) en ([0,1] ) y (t ) para (t & gt 1 text <.> )

Ejercicio 6.2.3.

Usando la transformada de Laplace resolver

donde (m & gt 0 text <,> ) (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <,> ) y (c ^ 2 - 4km & gt 0 ) ( el sistema está sobreamortiguado).

Ejercicio 6.2.4.

Usando la transformada de Laplace resolver

donde (m & gt 0 text <,> ) (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <,> ) y (c ^ 2 - 4km & lt 0 ) ( el sistema está subamortiguado).

Ejercicio 6.2.5.

Usando la transformada de Laplace resolver

donde (m & gt 0 text <,> ) (c & gt 0 text <,> ) (k & gt 0 text <,> ) y (c ^ 2 = 4km ) (el sistema es críticamente amortiguado).

Ejercicio 6.2.6.

Resuelve (x '' + x = u (t-1) ) para las condiciones iniciales (x (0) = 0 ) y (x '(0) = 0 text <.> )

Ejercicio 6.2.7.

Muestre la diferenciación de la propiedad de transformación. Suponga ( mathcal bigl = F (s) text <,> ) luego muestra

Sugerencia: diferencia bajo el signo integral.

Ejercicio 6.2.8.

Resuelve (x '' '+ x = t ^ 3 u (t-1) ) para las condiciones iniciales (x (0) = 1 ) y (x' (0) = 0 text <,> ) (x '' (0) = 0 text <.> )

Ejercicio 6.2.9.

Muestre la segunda propiedad de desplazamiento: ( mathcal bigl = e ^ <-as> mathcal bigl text <.> )

Ejercicio 6.2.10.

Pensemos en el sistema masa-resorte con un cohete del ejemplo 6.2.2. Notamos que la solución siguió oscilando después de que el cohete dejó de funcionar. La amplitud de la oscilación depende del tiempo en que se disparó el cohete (durante 4 segundos en el ejemplo).

Encuentre una fórmula para la amplitud de la oscilación resultante en términos de la cantidad de tiempo que se dispara el cohete.

¿Existe un tiempo distinto de cero (si es así, cuál es?) Durante el cual el cohete se dispara y la oscilación resultante tiene amplitud 0 (la masa no se mueve)?

Ejercicio 6.2.11.

Dibuja la gráfica de (f (t) text <.> )

Escriba (f (t) ) usando la función Heaviside.

Resuelve (x '' + x = f (t) text <,> ) (x (0) = 0 text <,> ) (x '(0) = 0 ) usando la transformada de Laplace.

Ejercicio 6.2.12.

Encuentre la función de transferencia para (m x '' + c x '+ kx = f (t) ) (asumiendo que las condiciones iniciales son cero).

Ejercicio 6.2.101.

Usando la función Heaviside (u (t) text <,> ) escriba la función

(f (t) = (t-1) bigl (u (t-1) - u (t-2) bigr) + u (t-2) )

Ejercicio 6.2.102.

Resuelve (x '' - x = (t ^ 2-1) u (t-1) ) para las condiciones iniciales (x (0) = 1 text <,> ) (x '(0) = 2 ) usando la transformada de Laplace.

Ejercicio 6.2.103.

Encuentre la función de transferencia para (x '+ x = f (t) ) (asumiendo que las condiciones iniciales son cero).


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