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7.5: Resolver ecuaciones racionales

7.5: Resolver ecuaciones racionales


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Después de definir los términos "expresión" y "ecuación" anteriormente, los hemos utilizado a lo largo de este libro. Ahora resolveremos un ecuación racional.

Debes asegurarte de conocer la diferencia entre expresiones racionales y ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.

[ dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {2} quad quad dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {2} = dfrac {1} {4} sin número ]

[ dfrac {1} {n-3} + dfrac {1} {n + 4} quad quad quad quad dfrac {1} {n-3} + dfrac {1} {n + 4} = dfrac {15} {n ^ {2} + n-12} nonumber ]

Resolver ecuaciones racionales

Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos el MCD de todas las fracciones en la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD para "borrar" las fracciones.

Usaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el LCD. Entonces, tendremos una ecuación que no contiene expresiones racionales y, por lo tanto, es mucho más fácil de resolver para nosotros. Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador, debemos tener cuidado de no terminar con una solución que haga que un denominador sea igual a cero.

Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían cero cualquier denominador. De esa forma, cuando resolvemos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debamos descartar.

Una solución algebraica de una ecuación racional que causaría que cualquiera de las expresiones racionales no estuviera definida se llama solución extraña a una ecuación racional.

Solución extraña a una ecuación racional

Un solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que haría que cualquiera de las expresiones de la ecuación original no estuviera definida.

Observamos cualquier posible solución extraña, (c ), escribiendo (x neq c ) junto a la ecuación.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Cómo resolver una ecuación racional

Resolver: [ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6} nonumber ]

Solución

Paso 1. Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.

Si (x = 0 ), entonces ( dfrac {1} {x} ) no está definido. Entonces escribiremos (x neq 0 ) al lado de la ecuación.

[ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6}, x neq 0 nonumber ]

Paso 2. Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación.

Encuentre el LCD de ( dfrac {1} {x} ), ( dfrac {1} {3} ) y ( dfrac {5} {6} )

La pantalla LCD es (6x ).

Paso 3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

Multiplica ambos lados de la ecuación por el MCD, (6x ).

[{ color {rojo} 6 x} cdot left ( dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} right) = { color {rojo} 6 x} cdot left ( dfrac {5} {6} right) nonumber ]

Usa la propiedad distributiva.

[{ color {rojo} 6 x} cdot dfrac {1} {x} + { color {rojo} 6 x} cdot dfrac {1} {3} = { color {rojo} 6 x } cdot left ( dfrac {5} {6} right) nonumber ]

Simplifica y fíjate, ¡no más fracciones!

[6 + 2 x = 5 x nonumber ]

Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.

Simplificar.

[ begin {alineado} & 6 = 3 x & 2 = x end {alineado} nonumber ]

Paso 5. Cheque.

Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos. Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

No obtuvimos 0 como solución algebraica.

[ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6} nonumber ]

Sustituimos (x = 2 ) en la ecuación original.

[ begin {alineado} frac {1} {2} + frac {1} {3} & overset {?} {=} frac {5} {6} frac {3} {6 } + frac {2} {6} & overset {?} {=} frac {5} {6} frac {5} {6} & = frac {5} {6} surd final {alineado} nonumber ]

La solución es (x = 2 )

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Resolver: [ dfrac {1} {y} + dfrac {2} {3} = dfrac {1} {5} nonumber ]

Respuesta

(y = - dfrac {7} {15} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Resolver: [ dfrac {2} {3} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {x} nonumber ]

Respuesta

(x = dfrac {13} {15} )

Se muestran los pasos de este método.

cómo resolver ecuaciones con expresiones racionales.

  • Paso 1. Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
  • Paso 2. Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación.
  • Paso 3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
  • Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.
  • Paso 5. Verificar:
    • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
    • Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

Siempre comenzamos anotando los valores que harían que cualquier denominador sea cero.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Cómo resolver una ecuación racional usando la propiedad del producto cero

Resolver: [1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} {y ^ {2}} nonumber ]

Solución

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.

[1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} {y ^ {2}}, y neq 0 nonumber ]

Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores de la ecuación. La pantalla LCD es (y ^ 2 ).

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

[y ^ {2} left (1- dfrac {5} {y} right) = y ^ {2} left (- dfrac {6} {y ^ {2}} right) nonumber ]

Distribuir.

[y ^ {2} cdot 1-y ^ {2} left ( dfrac {5} {y} right) = y ^ {2} left (- dfrac {6} {y ^ {2 }} derecha) nonumber ]

Multiplicar.

[y ^ {2} -5 y = -6 nonumber ]

Resuelve la ecuación resultante. Primero escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

[y ^ {2} -5 y + 6 = 0 nonumber ]

Factor.

[(y-2) (y-3) = 0 nonumber ]

Utilice la propiedad de producto cero.

[y-2 = 0 text {o} y-3 = 0 nonumber ]

Resolver.

[y = 2 text {o} y = 3 nonumber ]

Cheque. No obtuvimos (0 ) como solución algebraica.

Marca (y = 2 ) y (y = 3 ) en la ecuación original.

[1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} {y ^ {2}} quad quad quad 1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} { y ^ {2}} nonumber ]

[1- dfrac {5} {2} overset {?} {=} - dfrac {6} {2 ^ {2}} quad quad quad 1- dfrac {5} {3} desbordado {?} {=} - dfrac {6} {3 ^ {2}} nonumber ]

[1- dfrac {5} {2} overset {?} {=} - dfrac {6} {4} quad quad quad 1- dfrac {5} {3} overset {?} {=} - dfrac {6} {9} nonumber ]

[ dfrac {2} {2} - dfrac {5} {2} overset {?} {=} - dfrac {6} {4} quad quad quad dfrac {3} {3} - dfrac {5} {3} overset {?} {=} - dfrac {6} {9} nonumber ]

[- dfrac {3} {2} overset {?} {=} - dfrac {6} {4} quad quad quad - dfrac {2} {3} overset {?} {= } - dfrac {6} {9} nonumber ]

[- dfrac {3} {2} = - dfrac {3} {2} surd quad quad quad - dfrac {2} {3} = - dfrac {2} {3} surd sin número ]

La solución es (y = 2, y = 3 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Resolver: [1- dfrac {2} {x} = dfrac {15} {x ^ {2}} nonumber ]

Respuesta

(x = -3, x = 5 )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Resolver: [1- dfrac {4} {y} = dfrac {12} {y ^ {2}} nonumber ]

Respuesta

(y = -2, y = 6 )

En el siguiente ejemplo, el último denominador es una diferencia de cuadrados. Recuerde factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Resolver: [ dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} = dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} nonumber ]

Solución

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.

[ dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} = dfrac {x-1} {(x + 2) (x-2)}, x neq-2, x neq 2 nonumber ]

Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. El LCD es ((x + 2) (x-2) ).

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

[(x + 2) (x-2) left ( dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} right) = (x + 2) (x-2) left ( dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} right) nonumber ]

Distribuir.

[(x + 2) (x-2) dfrac {2} {x + 2} + (x + 2) (x-2) dfrac {4} {x-2} = (x + 2) ( x-2) left ( dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} right) nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ cancelar {(x + 2)} (x-2) dfrac {2} { cancelar {x + 2}} + (x + 2) { cancelar {(x-2)}} dfrac { 4} { cancel {x-2}} = cancel {(x + 2) (x-2)} left ( dfrac {x-1} { cancel {x ^ {2} -4}} derecha) nonumber ]

Simplificar.

[2 (x-2) +4 (x + 2) = x-1 nonumber ]

Distribuir.

[2 x-4 + 4 x + 8 = x-1 nonumber ]

Resolver.

[ begin {alineado} 6 x + 4 & = x-1 5 x & = - 5 x & = - 1 end {alineado} ]

Compruebe: No obtuvimos 2 o −2 como soluciones algebraicas.

Marca (x = -1 ) en la ecuación original.

[ begin {alineado} dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} & = dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} dfrac {2} {(- 1) +2} + dfrac {4} {(- 1) -2} & overset {?} {=} Dfrac {(- 1) -1} {(- 1) ^ {2} -4} dfrac {2} {1} + dfrac {4} {- 3} & overset {?} {=} Dfrac {-2} {- 3} dfrac { 6} {3} - dfrac {4} {3} & overset {?} {=} Dfrac {2} {3} dfrac {2} {3} & = dfrac {2} {3 } surd end {alineado} nonumber ]

La solución es (x = -1 ).

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Resolver: [ dfrac {2} {x + 1} + dfrac {1} {x-1} = dfrac {1} {x ^ {2} -1} nonumber ]

Respuesta

(x = dfrac {2} {3} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resolver: [ dfrac {5} {y + 3} + dfrac {2} {y-3} = dfrac {5} {y ^ {2} -9} nonumber ]

Respuesta

(y = 2 )

En el siguiente ejemplo, el primer denominador es un trinomio. Recuerde factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Resolver: [ dfrac {m + 11} {m ^ {2} -5 m + 4} = dfrac {5} {m-4} - dfrac {3} {m-1} nonumber ]

Solución

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador. Usa la forma factorizada del denominador cuadrático.

[ dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} = dfrac {5} {m-4} - dfrac {3} {m-1}, m neq 4, m neq 1 nonumber ]

Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es ((m-4) (m-1) )

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.

[(m-4) (m-1) left ( dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} right) = (m-4) (m-1) left ( dfrac {5} {m-4} - dfrac {3} {m-1} right) nonumber ]

Distribuir.

[(m-4) (m-1) left ( dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} right) = (m-4) (m-1) dfrac {5} {m-4} - (m-4) (m-1) dfrac {3} {m-1} nonumber ]

Elimina los factores comunes.

[ cancel {(m-4) (m-1)} left ( dfrac {m + 11} { cancel {(m-4) (m-1)}} right) = cancel {( m-4)} (m-1) dfrac {5} { cancel {m-4}} - (m-4) cancel {(m-1)} dfrac {3} { cancel {m- 1}} nonumber ]

Simplificar.

[m + 11 = 5 (m-1) -3 (m-4) nonumber ]

Resuelve la ecuación resultante.

[ begin {alineado} m + 11 & = 5 m-5-3 m + 12 4 & = m end {alineado} nonumber ]

Cheque. La única solución algebraica era 4, pero dijimos que 4 haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña.

No hay solución para esta ecuación.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Resolver: [ dfrac {x + 13} {x ^ {2} -7 x + 10} = dfrac {6} {x-5} - dfrac {4} {x-2} nonumber ]

Respuesta

No hay solución.

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Resolver: [ dfrac {y-6} {y ^ {2} +3 y-4} = dfrac {2} {y + 4} + dfrac {7} {y-1} nonumber ]

Respuesta

No hay solución.

La ecuación que resolvimos en el ejemplo anterior tenía solo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. En el siguiente ejemplo obtenemos dos soluciones algebraicas. Aquí una o ambas podrían ser soluciones extrañas.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Resolver: [ dfrac {y} {y + 6} = dfrac {72} {y ^ {2} -36} +4 nonumber ]

Solución

Factoriza todos los denominadores, de modo que podamos anotar cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

[ dfrac {y} {y + 6} = dfrac {72} {(y-6) (y + 6)} + 4, y neq 6, y neq-6 nonumber ]

Encuentra el mínimo denominador común. El LCD es ((y-6) (y + 6) )

Limpia las fracciones.

[(y-6) (y + 6) left ( dfrac {y} {y + 6} right) = (y-6) (y + 6) left ( dfrac {72} {(y -6) (y + 6)} + 4 right) nonumber ]

Simplificar.

[(y-6) cdot y = 72 + (y-6) (y + 6) cdot 4 nonumber ]

Simplificar.

[y (y-6) = 72 + 4 left (y ^ {2} -36 right) nonumber ]

Resuelve la ecuación resultante.

[ begin {align} y ^ {2} -6 y & = 72 + 4 y ^ {2} -144 0 & = 3 y ^ {2} +6 y-72 0 & = 3 left (y ^ {2} +2 y-24 right) 0 & = 3 (y + 6) (y-4) y & = - 6, y = 4 end {alineado} nonumber ]

Cheque.

(y = -6 ) es una solución extraña. Marca (y = 4 ) en la ecuación original.

[ begin {alineado} dfrac {y} {y + 6} & = dfrac {72} {y ^ {2} -36} +4 dfrac {4} {4 + 6} & overset {?} {=} dfrac {72} {4 ^ {2} -36} +4 dfrac {4} {10} & overset {?} {=} dfrac {72} {- 20} +4 dfrac {4} {10} & overset {?} {=} - dfrac {36} {10} + dfrac {40} {10} dfrac {4} {10} & = dfrac {4} {10} surd end {alineado} nonumber ]

La solución es (y = 4 ).

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Resolver: [ dfrac {x} {x + 4} = dfrac {32} {x ^ {2} -16} +5 nonumber ]

Respuesta

(x = 3 )

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Resolver: [ dfrac {y} {y + 8} = dfrac {128} {y ^ {2} -64} +9 nonumber ]

Respuesta

(y = 7 )

En algunos casos, todas las soluciones algebraicas son extrañas.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Resolver: [ dfrac {x} {2 x-2} - dfrac {2} {3 x + 3} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 x ^ {2} -12} nonumber ]

Solución

Comenzaremos factorizando todos los denominadores, para facilitar la identificación de soluciones extrañas y el LCD.

[ dfrac {x} {2 (x-1)} - dfrac {2} {3 (x + 1)} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x- 1) (x + 1)} nonumber ]

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.

[ dfrac {x} {2 (x-1)} - dfrac {2} {3 (x + 1)} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x- 1) (x + 1)}, x neq 1, x neq-1 nonumber ]

Encuentra el mínimo denominador común. El LCD es (12 (x-1) (x + 1) ).

Limpia las fracciones.

[12 (x-1) (x + 1) left ( dfrac {x} {2 (x-1)} - dfrac {2} {3 (x + 1)} right) = 12 (x -1) (x + 1) left ( dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x-1) (x + 1)} right) nonumber ]

Simplificar.

[6 (x + 1) cdot x-4 (x-1) cdot 2 = 5 x ^ {2} -2 x + 9 nonumber ]

Simplificar.

[6 x (x + 1) -4 cdot 2 (x-1) = 5 x ^ {2} -2 x + 9 nonumber ]

Resuelve la ecuación resultante.

[ begin {align} 6 x ^ {2} +6 x-8 x + 8 & = 5 x ^ {2} -2 x + 9 x ^ {2} -1 & = 0 (x-1 ) (x + 1) & = 0 x & = 1 text {o} x = -1 end {alineado} nonumber ]

Cheque.

(x = 1 ) y (x = -1 ) son soluciones extrañas.

La ecuación no tiene solución.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Resolver: [ dfrac {y} {5 y-10} - dfrac {5} {3 y + 6} = dfrac {2 y ^ {2} -19 y + 54} {15 y ^ {2} -60} nonumber ]

Respuesta

No hay solución.

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Resolver: [ dfrac {z} {2 z + 8} - dfrac {3} {4 z-8} = dfrac {3 z ^ {2} -16 z-16} {8 z ^ {2} +2 z-64} nonumber ]

Respuesta

No hay solución.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Resolver: [ dfrac {4} {3 x ^ {2} -10 x + 3} + dfrac {3} {3 x ^ {2} +2 x-1} = dfrac {2} {x ^ {2} -2 x-3} nonumber ]

Solución

Factoriza todos los denominadores, de modo que podamos anotar cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

[ dfrac {4} {(3 x-1) (x-3)} + dfrac {3} {(3 x-1) (x + 1)} = dfrac {2} {(x-3 ) (x + 1)}, x neq-1, x neq dfrac {1} {3}, x neq 3 nonumber ]

Encuentra el mínimo denominador común. El LCD es ((3 x-1) (x + 1) (x-3) ).

Limpia las fracciones.

[(3 x-1) (x + 1) (x-3) left ( dfrac {4} {(3 x-1) (x-3)} + dfrac {3} {(3 x- 1) (x + 1)} right) = (3 x-1) (x + 1) (x-3) left ( dfrac {2} {(x-3) (x + 1)} right ) sin número ]

Simplificar.

[4 (x + 1) +3 (x-3) = 2 (3 x-1) nonumber ]

Distribuir.

[4 x + 4 + 3 x-9 = 6 x-2 nonumber ]

Simplificar.

[7 x-5 = 6 x-2 nonumber ]

[x = 3 nonumber ]

La única solución algebraica fue (x = 3 ), pero dijimos que (x = 3 ) haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña.

No hay solución para esta ecuación.

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Resolver: [ dfrac {15} {x ^ {2} + x-6} - dfrac {3} {x-2} = dfrac {2} {x + 3} nonumber ]

Respuesta

No hay solución.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Resolver: [ dfrac {5} {x ^ {2} +2 x-3} - dfrac {3} {x ^ {2} + x-2} = dfrac {1} {x ^ {2} +5 x + 6} nonumber ]

Respuesta

No hay solución.

Utilice funciones racionales

Trabajar con funciones definidas por expresiones racionales a menudo conduce a ecuaciones racionales. Nuevamente, usamos las mismas técnicas para resolverlos.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Para una función racional, (f (x) = dfrac {2 x-6} {x ^ {2} -8 x + 15} ):

  1. Encuentra el dominio de la función
  2. Resuelve (f (x) = 1 )
  3. Encuentra los puntos en la gráfica en este valor de función.

Solución

  1. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que hacen que la expresión racional sea indefinida.Entonces, para encontrarlos, igualaremos el denominador a cero y resolveremos.

[ begin {align} x ^ {2} -8 x + 15 & = 0 (x-3) (x-5) & = 0 quad text {Factoriza el trinomio.} x-3 & = 0 quad text {Utilice la propiedad del producto cero.} x-5 & = 0 quad text {Utilice la propiedad del producto cero.} x = 3 & ; x = 5 text {Resolver.} end {alineado} nonumber ]

El dominio son todos los números reales excepto (x neq 3, x neq 5 )

  1. [f (x) = 1 nonumber ]

Sustituir en la expresión racional.

[ dfrac {2 x-6} {x ^ {2} -8 x + 15} = 1 nonumber ]

Factoriza el denominador.

[ dfrac {2 x-6} {(x-3) (x-5)} = 1 nonumber ]

Multiplica ambos lados por el MCD, ((x-3) (x-5) )

[(x-3) (x-5) left ( dfrac {2 x-6} {(x-3) (x-5)} right) = (x-3) (x-5) ( 1) nonumber ]

Simplificar.

[2 x-6 = x ^ {2} -8 x + 15 nonumber ]

Resolver.

[0 = x ^ {2} -10 x + 21 nonumber ]

Factor.

[0 = (x-7) (x-3) nonumber ]

Utilice la propiedad de producto cero.

[x-7 = 0 quad x-3 = 0 nonumber ]

Resolver.

[x = 7 quad x = 3 nonumber ]

  1. El valor de la función es 1 cuando (x = 7, x = 3 ). Entonces, los puntos en la gráfica de esta función cuando (f (x) = 1 ), será ((7,1), (3,1) ).

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Para una función racional, (f (x) = dfrac {8-x} {x ^ {2} -7 x + 12} )

  1. Encuentra el dominio de la función.
  2. Resuelve (f (x) = 3 ).
  3. Encuentra los puntos en la gráfica en este valor de función.
Respuesta
  1. El dominio son todos los números reales excepto (x neq 3 ) y (x neq 4 )
  2. (x = 2, x = dfrac {14} {3} )
  3. ((2,3), left ( dfrac {14} {3}, 3 right) )

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Para una función racional, (f (x) = dfrac {x-1} {x ^ {2} -6 x + 5} )

  1. Resuelve (f (x) = 4 ).
  2. Encuentra los puntos en la gráfica en este valor de función.
Respuesta
  1. El dominio son todos los números reales excepto (x neq 1 ) y (x neq 5 )
  2. (x = dfrac {21} {4} )
  3. ( left ( dfrac {21} {4}, 4 right) )

Resolver una ecuación racional para una variable específica

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos cómo resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en negocios, ciencia, economía y otros campos usan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.

Cuando desarrollamos la fórmula punto-pendiente a partir de nuestra fórmula de pendiente, aclaramos las fracciones multiplicando por el MCD.

[ begin {alineado} m & = frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} m left (x-x_ {1} right) & = left ( frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} right) left (x-x_ {1} right) quad text {Multiplica ambos lados de la ecuación por} x-x_1. m left (x-x_ {1} right) & = y-y_ {1} quad text {Simplificar.} y-y_ {1} & = m left (x-x_ {1} right) quad text {Reescribe la ecuación con los términos y a la izquierda.} end {alineado} nonumber ]

En el siguiente ejemplo, usaremos la misma técnica con la fórmula de pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea que pasa por el punto ((2,3) ). Agregaremos un paso más para resolver (y ).

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Resuelve: (m = dfrac {y-2} {x-3} ) para (y ).

Solución

[m = dfrac {y-2} {x-3} nonumber ]

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.

[m = dfrac {y-2} {x-3}, x neq 3 nonumber ]

Limpia las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD, (x-3 ).

[(x-3) m = (x-3) left ( dfrac {y-2} {x-3} right) nonumber ]

Simplificar.

[x m-3 m = y-2 nonumber ]

Aislar el término con (y ).

[x m-3 m + 2 = y nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Resuelve: (m = dfrac {y-5} {x-4} ) para (y ).

Respuesta

(y = metro x-4 metro + 5 )

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Resuelve: (m = dfrac {y-1} {x + 5} ) para (y ).

Respuesta

(y = metro x + 5 metros + 1 )

Recuerde multiplicar ambos lados por el LCD en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Resuelve: ( dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1 ) para (c )

Solución

[ dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1 text {para} c nonumber ]

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.

[ dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1, c neq 0, m neq 0 nonumber ]

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por el MCD, (cm ).

[cm left ( dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} right) = cm (1) nonumber ]

Distribuir.

[cm left ( frac {1} {c} right) + cm frac {1} {m} = cm (1) nonumber ]

Simplificar.

[m + c = cm nonumber ]

Recopile los términos con (c ) a la derecha.

[m = cm-c nonumber ]

Factoriza la expresión de la derecha.

[m = c (m-1) nonumber ]

Para aislar (c ), divide ambos lados entre (m-1 ).

[ dfrac {m} {m-1} = dfrac {c (m-1)} {m-1} nonumber ]

Simplifique eliminando factores comunes.

[ dfrac {m} {m-1} = c nonumber ]

Observe que, aunque excluimos (c = 0 ) y (m = 0 ) de la ecuación original, ahora también debemos afirmar que (m neq 1 ).

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Resuelve: ( dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b} = c ) para (a ).

Respuesta

(a = dfrac {b} {c b-1} )

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Resolver: ( dfrac {2} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {1} {y} ) para (y )

Respuesta

(y = dfrac {3 x} {x + 6} )


67 Resolver ecuaciones racionales

Si pasa por alto un problema, vuelva a la sección enumerada y revise el material.

  1. Resolver:
    Si pasó por alto este problema, revise (Figura).
  2. Resolver:
    Si pasó por alto este problema, revise (Figura).
  3. Resolver en términos de : por
    Si pasó por alto este problema, revise (Figura).

Después de definir los términos expresión y ecuación Al principio de Foundations, los hemos utilizado a lo largo de este libro. Tenemos simplificado muchos tipos de expresiones y resuelto muchos tipos de ecuaciones. Hemos simplificado muchas expresiones racionales hasta ahora en este capítulo. Ahora resolveremos ecuaciones racionales.

La definición de una ecuación racional es similar a la definición de ecuación que usamos en Fundamentos.

Una ecuación racional son dos expresiones racionales conectadas por un signo igual.

Debes asegurarte de conocer la diferencia entre expresiones racionales y ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.

Resolver ecuaciones racionales

Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos el MCD de todas las fracciones en la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD para "borrar" las fracciones.

Aquí hay un ejemplo que hicimos cuando trabajamos con ecuaciones lineales:

Multiplicamos ambos lados por el LCD.
Luego distribuimos.
Simplificamos y luego obtuvimos una ecuación sin fracciones.
Finalmente, resolvimos esa ecuación.

Usaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el LCD. Entonces tendremos una ecuación que no contiene expresiones racionales y, por lo tanto, es mucho más fácil de resolver para nosotros.

Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador, debemos tener cuidado de no terminar con una solución que haga que un denominador sea igual a cero.

Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían cero cualquier denominador. De esa forma, cuando resolvemos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debamos descartar.

Una solución algebraica de una ecuación racional que haría que cualquiera de las expresiones racionales no estuviera definida se llama solución extraña.

Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que haría que cualquiera de las expresiones de la ecuación original no estuviera definida.

Tomamos nota de las posibles soluciones extrañas, C, escribiendo junto a la ecuación.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Los pasos de este método se muestran a continuación.

  1. Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
  2. Encuentra el mínimo común denominador de todos denominadores en la ecuación.
  3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
  4. Resuelve la ecuación resultante.
  5. Cheque.
    • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
    • Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

Siempre comenzamos anotando los valores que harían que cualquier denominador sea cero.

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores de la ecuación. La pantalla LCD es.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
Distribuir.
Multiplicar.
Resuelve la ecuación resultante. Primero escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.
Factor.
Utilice la propiedad de producto cero.
Resolver.
Cheque.
No obtuvimos 0 como solución algebraica.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
Elimina los factores comunes.
Simplificar.
Multiplicar.
Resuelve la ecuación resultante.
No obtuvimos 0 o como soluciones algebraicas.

Resolver:

Resolver:

Cuando uno de los denominadores es cuadrático, recuerde factorizarlo primero para encontrar el MCD.

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
Distribuir.
Elimina los factores comunes.
Simplificar.
Distribuir.
Resolver.
No conseguimos como soluciones algebraicas.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
Distribuir.
Elimina los factores comunes.
Simplificar.
Simplificar.
Combina términos semejantes.
Resolver. Primero escriba en forma estándar.
Factor.
Utilice la propiedad de producto cero.
No obtuvimos 4 o 3 como soluciones algebraicas.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Factoriza todos los denominadores, de modo que podamos anotar cualquier valor de la variable que haría cualquier denominador cero.
Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es.
Limpia las fracciones.
Distribuir.
Elimina los factores comunes.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque. La única solución algebraica era 4, pero dijimos que 4 haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña. No hay solución para esta ecuación.

Resolver:

Resolver:

La ecuación que resolvimos en la (Figura) tenía solo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. Algunas ecuaciones no tienen solución.

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
Distribuir.
Elimina los factores comunes.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque.
es una solución extraña.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Factoriza todos los denominadores, de modo que podamos anotar cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.
Encuentra el mínimo denominador común. La pantalla LCD es.
Limpia las fracciones.
Simplificar.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque.
es una solución extraña.

Resolver:

Resolver:

Resolver:

Comenzaremos factorizando todos los denominadores, para facilitar la identificación de soluciones extrañas y el LCD.
Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Encuentre el mínimo común denominador.
Limpia las fracciones.
Simplificar.
Simplificar.
Resuelve la ecuación resultante.
Cheque.
y son soluciones extrañas.
La ecuación no tiene solución.

Resolver:

Resolver:

Resolver una ecuación racional para una variable específica

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos cómo resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en negocios, ciencia, economía y otros campos usan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.

Comenzaremos con una fórmula que relacione la distancia, la tasa y el tiempo. Lo hemos usado muchas veces antes, pero generalmente no de esta forma.

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por el LCD, T.
Simplificar.
Divide ambos lados por R aislar T.
Simplificar.

Resolver: por

Resolver: por

(Figura) usa la fórmula de pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea.

Resolver:

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por el LCD, .
Simplificar.
Aislar el término con y.
Divide ambos lados por metro aislar y.
Simplificar.

Resolver: por

Resolver: por

Asegúrese de seguir todos los pasos de la (Figura). Puede parecer una fórmula muy simple, pero no podemos resolverla instantáneamente para ninguno de los dos denominadores.

Resolver

Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
Borre las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por el LCD, .
Distribuir.
Simplificar.
Recopile los términos con C A la derecha.
Factoriza la expresión de la derecha.
Aislar C, divide ambos lados por .
Simplifique eliminando factores comunes.

Tenga en cuenta que aunque excluimos de la ecuación original, ahora también debemos afirmar que .

Resolver: por

Resolver: por

Conceptos clave

  • Estrategia para resolver ecuaciones con expresiones racionales
    1. Anote cualquier valor de la variable que haría cero cualquier denominador.
    2. Encuentra el mínimo común denominador de todos denominadores en la ecuación.
    3. Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el LCD.
    4. Resuelve la ecuación resultante.
    5. Cheque.
    • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
    • Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

    La práctica hace la perfección

    Resolver ecuaciones racionales

    En los siguientes ejercicios, resuelve.





    Resolver una ecuación racional para una variable específica

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    Matemáticas cotidianas

    Pintando la casa Alain puede pintar una casa en 4 días. Spiro tardaría 7 días en pintar la misma casa. Resuelve la ecuación por t para encontrar el número de días que les tomaría pintar la casa si trabajaran juntos.

    dias

    Paseo en barco Ari puede conducir su bote 18 millas con la corriente en la misma cantidad de tiempo que lleva conducir 10 millas contra la corriente. Si la velocidad del barco es de 7 nudos, resuelve la ecuación por C para encontrar la velocidad de la corriente.

    Ejercicios de escritura

    ¿Por qué no hay solución para la ecuación? ?

    Pete piensa en la ecuación tiene dos soluciones, . Explique por qué Pete está equivocado.

    Autocomprobación

    Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    Ⓑ Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

    Glosario


    7.5: Resolver ecuaciones racionales

    Aplicar ecuaciones racionales

    · Resolver problemas del mundo real utilizando funciones racionales.

    Expresiones racionales y ecuaciones racionales pueden ser herramientas útiles para representar situaciones de la vida real y encontrar respuestas a problemas reales. En particular, son bastante buenos para describir preguntas de distancia-velocidad-tiempo y modelar problemas de trabajo de varias personas.

    Resolución de problemas laborales

    Los problemas laborales a menudo nos piden que calculemos cuánto tardarán diferentes personas trabajando a diferentes velocidades para terminar una tarea. Los modelos algebraicos de tales situaciones a menudo involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula de trabajo, W = rt. La cantidad de trabajo realizado (W) es el producto de la tasa de trabajo (r) y el tiempo dedicado a trabajar (t). La fórmula de trabajo tiene 3 versiones:

    Algunos problemas de trabajo tienen varias máquinas o personas trabajando juntas en un proyecto durante la misma cantidad de tiempo pero a diferentes velocidades. En ese caso, podemos sumar sus tasas de trabajo individuales para obtener una tasa de trabajo total. Veamos un ejemplo:

    Myra se necesitan 2 horas para plantar 500 bulbos de flores. Francis tarda 3 horas en plantar 450 bulbos de flores. Trabajando juntos, ¿cuánto tiempo deberían tardar en plantar 1500 bulbos?

    Myra: 500 bombillas / 2 horas = 250 bombillas / hora

    Piense en cuántos bulbos puede plantar cada persona en una hora. Esta es su tasa de siembra.

    250 + 150 bombillas / hora = 400 bombillas / hora

    Combine sus tarifas por hora para determinar la tarifa que trabajan juntos.

    Usa una de las fórmulas de trabajo para escribir una ecuación racional, por ejemplo. Sabemos r, la tasa de trabajo combinada, y sabemos W, la cantidad de trabajo que se debe realizar. Lo que no sabemos es cuánto tiempo llevará hacer el trabajo requerido a la velocidad designada.

    Resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por el denominador común, luego aislando t.

    Myra y Francis tardan 3 horas y 45 minutos en plantar juntos 1500 bulbos.

    Otros problemas laborales van al revés. Calcularemos cuánto tiempo le tomará a una persona hacer un trabajo sola cuando sepamos cuánto tiempo le tomará a un grupo hacerlo:

    Jamie, Pria y Paul pueden pintar juntos una habitación en 2 horas. Si Pria hace el trabajo sola, puede pintar la habitación en 5 horas. Si Paul trabaja solo, puede pintar la habitación en 6 horas. Si Jamie trabaja sola, ¿cuánto tiempo le tomaría pintar la habitación?

    Pria + Paul + Jamie = habitación / hora

    Determine las tarifas por hora para cada persona y para todo el grupo utilizando la fórmula.

    El trabajo es pintar 1 habitación, así que W = 1.

    No sabemos cuánto tardará Jamie, por lo que debemos mantener la variable t.

    Escribe una ecuación para mostrar que la suma de sus tasas individuales es igual a la tasa grupal.

    (Piénselo de esta manera: Pria trabaja durante una hora y pinta la habitación. Paul trabaja durante una hora y pinta la habitación. Jamie trabaja durante una hora y pinta la habitación. Juntos han pintado la mitad de la habitación en una hora .

    Resuelve la ecuación racional.

    Primero encuentre el mínimo común denominador de las tasas individuales. Son 5 • 6 • t = 30t.

    Luego, multiplica cada término de la izquierda por una forma fraccionaria de 1 para que todas las tasas tengan el mismo denominador y se puedan sumar. (Nota: también podríamos haber encontrado el denominador común de toda la ecuación, que también es 30t, y multiplicó ambos lados por él.)

    11t - 11t + 30 = 15t - 11t

    Ahora multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común, luego simplifica.

    Jamie tardaría 7,5 horas en pintar la habitación por sí misma.

    Tanya y Cam pueden lavar un automóvil y aspirar su interior en 2 horas. Pat necesita 3 horas para hacer el mismo trabajo por sí mismo. Si Pat, Cam y Tanya trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les llevará limpiar un auto?

    A). Incorrecto. Si los tres funcionaron al mismo ritmo, entonces el tiempo para un automóvil podría calcularse dividiendo el tiempo que les toma trabajar solos para limpiar 3 automóviles por 3. Pero eso no funciona en este caso porque Pat tiene una tasa de limpieza diferente. que los otros. La respuesta correcta es de 45 minutos.

    B) Correcto. Según la fórmula, . Tanya y Cam tienen cada uno una tarifa de automóvil en una hora, y la tarifa de Pat es de automóvil en una hora. Trabajando juntos, tienen una tasa de o. W es un coche, por lo que la fórmula se convierte en =, y así t =. Se necesitan tres cuartos de hora, o 45 minutos, limpiar un automóvil.

    C) Incorrecto. Tanya y Cam limpian un auto en dos horas cada uno, no como un equipo. Cada uno tiene una tarifa de automóvil en una hora, y la tarifa de Pat es de automóvil en una hora. Trabajando juntos, tienen una tasa de. La respuesta correcta es de 45 minutos.

    D) Incorrecto. Este es el tiempo que les tomaría a Cam y Tanya limpiar un auto juntos. Dado que Pat está ayudando, tomará menos tiempo que eso. La respuesta correcta es de 45 minutos.

    A veces, los problemas laborales describen las tasas de manera relativa: alguien trabaja 3 veces más rápido que otra persona o una máquina tarda 2 horas menos en terminar un trabajo que otro modelo de máquina. En estos casos, expresamos una tasa utilizando información sobre otra tasa. Veamos un ejemplo:

    Una tubería puede llenar una piscina 1,5 veces más rápido que una segunda tubería. Si ambas tuberías están abiertas, la piscina se puede llenar en 6 horas. Si solo está abierta la tubería más lenta, ¿cuánto tiempo tomaría llenar la piscina?

    Encuentre las tasas de cada tubería sola y las dos trabajando juntas.

    Horas necesarias para que la tubería rápida llene la piscina: pag

    Horas necesarias para que la tubería lenta llene la piscina sola: 1,5 pag

    Horas necesarias para ambas tuberías juntas: 6

    Escribe una ecuación que muestre que la cantidad de trabajo completado por ambas tuberías en una hora es igual a la suma del trabajo de cada tubería.

    Resolver pag. Una forma de hacer esto es reescribir las expresiones racionales usando un denominador común.

    Denominador común de pag, 1.5py 6 es 6pag.

    El tubo lento tarda 1,5pag horas para hacer el trabajo solo.

    La tubería más lenta tardará 15 horas en llenar la piscina sola.

    Las ecuaciones racionales se pueden usar para resolver una variedad de problemas que involucran tasas, tiempos y trabajo. El uso de ecuaciones y expresiones racionales puede ayudarnos a responder preguntas sobre cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo a tiempo.


    Recursos abiertos para álgebra de colegios comunitarios

    Abrimos esta sección mirando hacia atrás en el ejemplo 12.3.2. Julia lleva a su familia en un viaje en barco a (12 ) millas río abajo y de regreso. El río fluye a una velocidad de (2 ) millas por hora y ella quiere conducir el bote a una velocidad constante, (v ) millas por hora corriente abajo y de regreso corriente arriba. Debido a la corriente del río, la velocidad real de viaje es de (v + 2 ) millas por hora corriente abajo y (v-2 ) millas por hora corriente arriba. Si Julia planea pasar (8 ) horas durante todo el viaje, ¿qué tan rápido debe conducir el bote?

    El tiempo que le toma a Julia conducir el barco río abajo es ( frac <12>) horas, y aguas arriba es ( frac <12>) horas. La función para modelar el tiempo de todo el viaje es

    donde (t ) representa el tiempo en horas. El viaje tomará (8 ) horas, por lo que queremos que (t (v) ) sea igual a (8 text <,> ) y tenemos:

    En lugar de usar la gráfica de la función, resolveremos esta ecuación algebraicamente. Es posible que desee revisar la técnica de eliminación de denominadores discutida en la Subsección 2.3.2. Podemos usar la misma técnica con expresiones variables en los denominadores. Para eliminar las fracciones en esta ecuación, multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común ((v-2) (v + 2) text <,> ) y tenemos:

    Observación 12.5.2.

    En este punto, lógicamente todo lo que sabemos es que el único posible las soluciones son (- 1 ) y (4 text <.> ) Debido al paso en el que se cancelaron los factores, es posible que en realidad no sean soluciones de la ecuación original. Cada uno de ellos podría ser lo que se llama un. Una solución extraña es un número que parecería ser una solución basada en el proceso de resolución, pero en realidad no hace que la ecuación original sea verdadera. Por ello, es importante que se comprueben estas soluciones propuestas. Tenga en cuenta que no estamos verificando si cometimos un error de cálculo, sino que estamos verificando si las soluciones propuestas realmente resuelven la ecuación original.

    Algebraicamente, ambos valores parecen ser soluciones. En el contexto de este escenario, la velocidad del barco no puede ser negativa, por lo que solo tomamos la solución (4 text <.> ) Si Julia conduce a (4 ) millas por hora, todo el viaje tomaría (8 horas. Este resultado coincide con la solución del ejemplo 12.3.2.

    Definición 12.5.3. Ecuación racional.

    Una ecuación racional es una ecuación que incluye una o más expresiones racionales. Por lo general, consideramos que son ecuaciones que tienen la variable en el denominador de al menos un término.

    Veamos otro problema de aplicación.

    Ejemplo 12.5.4.

    Se necesitan Ku (3 ) horas para pintar una habitación y Jacob (6 ) horas para pintar la misma habitación. Si trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les tomaría pintar la habitación?

    Como a Ku (3 ) horas le toma pintar la habitación, pinta ( frac <1> <3> ) de la habitación cada hora. De manera similar, Jacob pinta ( frac <1> <6> ) de la habitación cada hora. Si trabajan juntos, pintan ( frac <1> <3> + frac <1> <6> ) de la habitación cada hora.

    Suponga que se necesitan (x ) horas para pintar la habitación si Ku y Jacob trabajan juntos. Esto implica que pintan ( frac <1>) de la habitación juntos cada hora. Ahora podemos escribir esta ecuación:

    Para eliminar los denominadores, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común de (3 text <,> ) (6 ) y (x text <,> ) que es (6x text <:> )

    ¿La posible solución (x = 2 ) se verifica como una solución real?

    Lo hace, por lo que es una solución. Si Ku y Jacob trabajan juntos, les tomaría (2 ) horas pintar la habitación.

    Estamos listos para delinear un proceso general para resolver una ecuación racional.

    Proceso 12.5.5. Resolver ecuaciones racionales.

    Para resolver una ecuación racional,

    Encuentra el mínimo común denominador para todos los términos de la ecuación.

    Multiplicar cada termino en la ecuación por el mínimo común denominador

    Cada denominador debe cancelarse dejando un tipo de ecuación más simple para resolver. Usa el método anterior para resolver esa ecuación.

    Veamos algunos ejemplos más de resolución de ecuaciones racionales.

    Ejemplo 12.5.6.

    El denominador común es (y (y + 1) text <.> ) Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por (y (y + 1) text <:> )

    ¿La posible solución (y = -3 ) se verifica como una solución real?

    Verifica, entonces (- 3 ) es una solución. Escribimos el conjunto de soluciones como ( <- 3 > text <.> )

    Ejemplo 12.5.7.

    El denominador común es (z-4 text <.> ) Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por (z-4 text <:> )

    ¿Las posibles soluciones (z = 1 ) y (z = 4 ) se verifican como soluciones reales?

    La posible solución (z = 4 ) en realidad no funciona, ya que conduce a la división por (0 ) en la ecuación. Es una solución extraña. Sin embargo, (z = 1 ) es una solución válida. La única solución a la ecuación es (1 text <,> ) y así podemos escribir el conjunto de soluciones como ( <1 > text <.> )

    Ejemplo 12.5.8.

    Para encontrar el denominador común, necesitamos factorizar todos los denominadores si es posible:

    Ahora podemos ver que el denominador común es ((p + 2) (p-2) text <.> ) Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por ((p + 2) (p-2) text <:> )

    ¿La posible solución (p = 2 ) se verifica como una solución real?

    La posible solución (p = 2 ) en realidad no funciona, ya que conduce a la división por (0 ) en la ecuación. Entonces, esta es una solución extraña y la ecuación en realidad no tiene solución. Podríamos decir que su conjunto de solución es el conjunto vacío, ( emptyset text <.> )

    Ejemplo 12.5.9.

    Resuelve (C (t) = 0.35 text <,> ) donde (C (t) = frac <3t>) da la concentración de un fármaco en miligramos por litro (t ) horas desde una inyección. (Esta función se exploró en la introducción de la Sección 12.1).

    Para resolver (C (t) = 0.35 text <,> ) comenzaremos configurando ( frac <3t>= 0.35 text <.> ) Comenzaremos identificando que el LCD es (t ^ 2 + 8 text <,> ) y multiplicaremos cada lado de la ecuación por esto:

    Esto da como resultado una ecuación cuadrática, por lo que la pondremos en forma estándar y usaremos la fórmula cuadrática:

    Cada una de estas respuestas debe comprobarse en la ecuación original, ambas funcionan. En contexto, esto significa que la concentración del fármaco alcanzará (0,35 ) miligramos por litro aproximadamente (1,066 ) horas después de la inyección y nuevamente (7,506 ) horas después de la inyección.

    Subsección 12.5.2 Resolución de ecuaciones racionales para una variable específica

    Las ecuaciones racionales pueden contener muchas variables y constantes y podemos resolver cualquiera de ellas. El proceso para resolver aún implica multiplicar cada lado de la ecuación por el LCD. Sin embargo, en lugar de tener una respuesta numérica, nuestro resultado final contendrá otras variables y constantes.

    Ejemplo 12.5.10.

    En física, cuando dos resistencias, (R_1 ) y (R_2 text <,> ) están conectadas en un circuito paralelo, la resistencia combinada, (R text <,> ) se puede calcular mediante la fórmula

    Resuelve (R ) en esta fórmula.

    El denominador común es (R R_1 R_2 text <.> ) Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por (R R_1 R_2 text <:> )

    Ejemplo 12.5.11.

    Aquí está la fórmula de la pendiente

    Resuelve (x_1 ) en esta fórmula.

    El denominador común es (x_2-x_1 text <.> ) Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por (x_2-x_1 text <:> )

    Ejemplo 12.5.12.

    Resuelve la ecuación racional (x = frac <4y-1> <2y-3> ) para (y text <.> )

    Nuestro primer paso será multiplicar cada lado por el LCD, que es simplemente (2y-3 text <.> ) Después de eso, aislaremos todos los términos que contengan (y text <,> ) factorizando (y text <,> ) y luego termine de resolver esa variable.

    Subsección 12.5.3 Resolución de ecuaciones racionales usando tecnología

    En algunos casos, puede resultar difícil resolver ecuaciones racionales algebraicamente. En su lugar, podemos utilizar la tecnología de gráficos para obtener soluciones aproximadas. Veamos uno de esos ejemplos.

    Ejemplo 12.5.13.

    Resuelve la ecuación ( frac <2>= frac<8> ) utilizando tecnología gráfica.

    Definiremos (f (x) = frac <2>) y (g (x) = frac<8> text <,> ) y luego busque los puntos de intersección.

    Dado que las dos funciones se cruzan aproximadamente en ((- 1.524, -0.442) ) y ((3.405,4.936) text <,> ) las soluciones a ( frac <2>= frac<8> ) son aproximadamente (- 1.524 ) y (3.405 text <.> ) Podemos escribir el conjunto de soluciones como ( <- 1.524 ldots, 3.405 ldots > ) o en varios otras formas. Puede ser importante hacer algo comunicar que estas soluciones son aproximaciones. Aquí usamos “ ( ldots )”, pero también puedes decir con palabras que las soluciones son aproximadas.

    Preguntas de lectura 12.5.4 Preguntas de lectura

    Describe qué es una "solución extraña" a una ecuación racional.

    En general, al resolver una ecuación racional, multiplicar por el te dejará con una ecuación más simple de resolver.

    Cuando cree que tiene las soluciones para una ecuación racional, ¿qué es más importante de lo habitual (en comparación con otros tipos de ecuaciones) que debe hacer?

    Ejercicios 12.5.5 Ejercicios

    Revisión y calentamiento

    ¿Recuerdas la vez que Filip viajó con sus hijos para patear una pelota de fútbol en Marte? Deberíamos examinar un ángulo más de nuestra pregunta sobre patadas de fútbol. La fórmula (H (t) = - 6.07t ^ 2 + 27.1t ) encuentra la altura de la pelota de fútbol en pies sobre el suelo a la vez (t ) segundos después de haber sido pateada.

    Usando tecnología, averigüe cuál era la altura máxima de la pelota y cuándo alcanzó esa altura.

    Usando tecnología, resuelva para cuando (H (t) = 20 ) e interprete el significado de esto en una oración completa.

    Usando tecnología, resuelva para cuando (H (t) = 0 ) e interprete el significado de esto en una oración completa.

    Resolver ecuaciones racionales
    Resolver ecuaciones racionales para una variable específica

    Resuelve esta ecuación para (a text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (m text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (x text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (C text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (a text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (c text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (B text <:> )

    Resuelve esta ecuación para (a text <:> )

    Resolver ecuaciones racionales usando tecnología

    Usa tecnología para resolver la ecuación.

    Usa tecnología para resolver la ecuación.

    Usa tecnología para resolver la ecuación.

    Usa tecnología para resolver la ecuación.

    Usa tecnología para resolver la ecuación.

    Usa tecnología para resolver la ecuación.

    Problemas de aplicación

    Scot y Jay están trabajando juntos para pintar una habitación. Si Scot pinta la habitación solo, le tomaría (18 ) horas completar el trabajo. Si Jay pinta la habitación solo, le tomaría (12 ) horas completar el trabajo. Contesta la siguiente pregunta:

    Si trabajan juntos, les tomaría horas completar el trabajo. Use un decimal en su respuesta si es necesario.

    Hay tres tuberías en un tanque. Para llenar el tanque, la tubería A (3 ) horas, la tubería B (12 ) horas y la tubería C (4 ) horas. Contesta la siguiente pregunta:

    Si las tres tuberías están encendidas, llevaría horas llenar el tanque.

    Casandra y Tien están trabajando juntos para pintar una habitación. Casandra trabaja (1,5 ) veces más rápido que Tien. Si trabajan juntos, les tomó (9 ) horas completar el trabajo. Responde las siguientes preguntas:

    Si Casandra pinta la habitación sola, le tomaría horas completar el trabajo.

    Si Tien pinta la habitación solo, le tomaría horas completar el trabajo.

    Se utilizan dos tuberías para llenar un tanque. La tubería A puede llenar el tanque (4.5 ) veces más rápido que la tubería B. Cuando ambas tuberías están encendidas, se necesitan (18 ) horas para llenar el tanque. Responde las siguientes preguntas:

    Si solo se enciende la tubería A, se necesitarían horas para llenar el tanque.

    Si solo se enciende la tubería B, se necesitarían horas para llenar el tanque.

    Kandace y Jenny trabajaron juntos para pintar una habitación y les tomó (2 ) horas completar el trabajo. Si trabajan solos, Jenny (3 ) más horas que Kandace completar el trabajo. Responde las siguientes preguntas:

    Si Kandace pinta la habitación sola, le tomaría horas completar el trabajo.

    Si Jenny pinta la habitación sola, le tomaría horas completar el trabajo.

    Si tanto la Tubería A como la Tubería B están encendidas, se necesitarían (2 ) horas para llenar un tanque. Si cada tubería se enciende sola, la tubería B (3 ) necesita menos horas que la tubería A para llenar el tanque. Responde las siguientes preguntas:

    Si solo se enciende la tubería A, se necesitarían horas para llenar el tanque.

    Si solo se enciende la tubería B, se necesitarían horas para llenar el tanque.

    La ciudad A y la ciudad B están a (570 ) millas de distancia. Un bote viajó de la Ciudad A a la Ciudad B, y luego de regreso a la Ciudad A. Dado que el río fluye de la Ciudad B a la Ciudad A, la velocidad del barco era (25 ) millas por hora más rápida cuando viajaba de la Ciudad B a la Ciudad A El viaje completo tomó (19 ) horas. Responde las siguientes preguntas:

    El barco viajó de la Ciudad A a la Ciudad B a una velocidad de millas por hora.

    El barco viajó desde la Ciudad B de regreso a la Ciudad A a una velocidad de millas por hora.

    Un río fluye a (7 ) millas por hora. Un bote viajó con la corriente de la Ciudad A a la Ciudad B, que están a (260 ) millas de distancia. Luego, el bote dio la vuelta y viajó contra la corriente para llegar al Pueblo C, que está a (160 ) millas del Pueblo B. El segundo tramo del viaje (Pueblo B a Pueblo C) tomó el mismo tiempo que el primero. tramo (Ciudad A a Ciudad B). Durante todo este viaje, el barco navegaba a una velocidad constante en aguas tranquilas. Contesta la siguiente pregunta:

    Durante este viaje, la velocidad del barco en aguas tranquilas fue de millas por hora.

    Un río fluye a (5 ) millas por hora. Un bote viajó con la corriente desde el Pueblo A al Pueblo B, que están a (100 ) millas de distancia. El bote pasó la noche en el Pueblo B. Al día siguiente, la corriente del agua se detuvo y el bote viajó en aguas tranquilas para llegar al Pueblo C, que está a (190 ) millas de distancia del Pueblo B. El segundo tramo del viaje (Pueblo B a la Ciudad C) tomó (9 ) horas más que el primer tramo (Ciudad A a Ciudad B). Durante todo este viaje, el barco navegaba a una velocidad constante en aguas tranquilas. Encuentra esta velocidad.

    Tenga en cuenta que no debe considerar la respuesta irrazonable.

    Durante este viaje, la velocidad del barco en aguas tranquilas fue de millas por hora.

    La ciudad A y la ciudad B están a (600 ) millas de distancia. Con una velocidad constante en aguas tranquilas, un bote viajó de la ciudad A a la ciudad B y luego de regreso a la ciudad A. Durante todo este viaje, el río voló de la ciudad A a la ciudad B a (20 ) millas por hora. Todo el viaje duró (16 ) horas. Contesta la siguiente pregunta:

    Durante este viaje, la velocidad del barco en aguas tranquilas fue de millas por hora.

    La ciudad A y la ciudad B están a (350 ) millas de distancia. Con una velocidad constante en aguas tranquilas de (24 ) millas por hora, un bote viajó desde el Pueblo A al Pueblo B, y luego de regreso al Pueblo A. Durante todo este viaje, el río voló desde el Pueblo B al Pueblo A a una velocidad velocidad constante. Todo el viaje duró (30 ) horas. Contesta la siguiente pregunta:

    Durante este viaje, la velocidad del río fue de millas por hora.

    Suponga que una bomba grande puede vaciar una piscina en (43 < rm hr> ) y que una bomba pequeña puede vaciar la misma piscina en (53 < rm hr> text <.> ) Si ambas bombas se utilizan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo se tarda en vaciar la piscina?

    Si se utilizan ambas bombas al mismo tiempo, será necesario vaciar la piscina.

    El ganador de una carrera de (9 < rm mi> ) termina (14.73 < rm min> ) por delante del segundo lugar. En promedio, el ganador corrió (0.6 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> ) más rápido que el segundo lugar. Encuentre la velocidad de carrera promedio de cada corredor.

    La velocidad promedio del ganador fue y la velocidad promedio del corredor en segundo lugar fue.

    En aguas tranquilas, un remolcador puede viajar (15 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> text <.> ) Viaja (42 < rm mi> ) aguas arriba y luego (42 < rm mi> ) aguas abajo en un tiempo total de (5.96 < rm hr> text <.> ) Encuentre la velocidad de la corriente.

    Sin viento, un avión vuela a (300 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> text <.> ) El avión viaja (600 < rm mi> ) en el viento y luego regresa con el viento en un tiempo total de (4.04 < rm hr> text <.> ) Encuentra la velocidad promedio del viento.

    Cuando hay un (11.8 < textstyle frac < rm mathstrut mi> < rm mathstrut hr >> ) viento, un avión puede volar (770 < rm mi> ) con el viento al mismo tiempo que puede volar (702 < rm mi> ) contra el viento. Calcula la rapidez del avión cuando no hay viento.

    Un empleado (2,5 < rm hr> ) tarda más en cortar el césped de un campo de fútbol que un empleado con más experiencia. Juntos pueden cortar el césped en (1.9 < rm hr> text <.> ) ¿Cuánto tiempo le toma a cada persona cortar el césped trabajando sola?

    El trabajador con más experiencia se encarga de segar el campo solo, y el trabajador con menos experiencia toma.

    A un pintor le toma (13 < rm hr> ) más tiempo pintar una casa que a un pintor más experimentado. Juntos pueden pintar la casa en (30 < rm hr> text <.> ) ¿Cuánto tiempo le toma a cada pintor pintar la casa trabajando solo?

    El pintor más experimentado toma para pintar la casa solo, y el pintor menos experimentado toma.


    7.5: Resolver ecuaciones racionales

    Resolver ecuaciones racionales

    · Resolver ecuaciones racionales utilizando las técnicas de simplificación y manipulación de expresiones racionales.

    Ecuaciones que contienen expresiones racionales son llamados ecuaciones racionales. Podemos resolver estas ecuaciones usando las técnicas para realizar operaciones con expresiones racionales y para resolver ecuaciones algebraicas.

    Resolver ecuaciones racionales usando denominadores comunes

    Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un denominador común. Entonces, como sabemos que los numeradores son iguales, podemos resolver la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple:

    Dado que el denominador de cada expresión es el mismo, los numeradores también deben ser equivalentes. Esto significa que X = 3.

    Esto también es cierto para las ecuaciones racionales con polinomios:

    Nuevamente, dado que los denominadores son los mismos, sabemos que los numeradores también deben ser iguales. Entonces podemos igualarlos entre sí y resolver para X.

    Deberíamos comprobar nuestra solución en la expresión racional original:

    La solución comprueba, y desde X = 8 no da como resultado una división por 0, la solución es válida.

    Cuando los términos de una ecuación racional tienen denominadores diferentes, resolver la ecuación implicará un trabajo adicional. Aquí tienes un ejemplo:

    No hay valores excluidos porque los denominadores son ambas constantes.

    Encuentra un denominador común y reescribe cada expresión con ese denominador.

    El denominador común es 8.

    Dado que los denominadores son los mismos, los numeradores deben ser iguales para que la ecuación sea verdadera. Resolver X.

    Verifique la solución sustituyendo 4 por X en la ecuación original.

    Otra forma de resolver ecuaciones racionales es multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación polinomial. Aquí está la misma ecuación que acabamos de resolver:

    No hay valores excluidos porque los denominadores son ambas constantes.

    Multiplica ambos lados por el mínimo denominador común.

    Ahora que entendemos las técnicas, veamos un ejemplo que también tiene variables en el denominador. Recuerde que siempre que haya variables en el denominador, necesitamos encontrar cualquier valor que esté excluido del dominio porque harían el denominador cero.

    Para resolver esta ecuación, podemos multiplicar ambos lados por el mínimo denominador común:

    (x + 2)(X - 2) = 0

    Primero determine el valores excluidos. Estos son los valores de X que dan como resultado un denominador 0.

    x 2 – 4 = (X – 2)(X + 2)

    Encuentra el denominador común de X – 2, X + 2, y x 2 – 4

    Ya que (X - 2) y (X + 2) son ambos factores de x 2 - 4, el mínimo común denominador es (X – 2)(X + 2) o x 2 – 4

    Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común.

    7X – 14 + 5X + 10 =10X – 2

    12X – 4 =10X – 2

    12X – 10X - 4 = 10X - 10X – 2

    Compruebe para asegurarse de que la solución no sea un valor excluido. (No lo es.)

    Verifica la solución en la ecuación original.

    Resuelve la ecuación , metro 0 o 2

    A) Incorrecto. Probablemente encontró el denominador común correctamente, pero olvidó distribuir cuando estaba simplificando. También olvidó verificar su solución o anotar los valores excluidos metro & # 8800 2 porque hace que la expresión del lado derecho no esté definida. Multiplicar ambos lados por el denominador común da, entonces. La respuesta correcta es metro = 8.

    B) Incorrecto. , asi que . La solución, 8, no es un valor excluido. La respuesta correcta es metro = 8.

    C) Correcto. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común da, entonces. . La respuesta correcta es metro = 8.

    Hemos visto que hay más de una forma de resolver ecuaciones racionales. Debido a que ambas técnicas manipulan y reescriben términos, a veces pueden producir soluciones que no funcionan en la forma original de la ecuación. Estos tipos de respuestas se denominan soluciones extrañas. Estas soluciones son artefactos del proceso de resolución y no respuestas reales en absoluto. Es por eso que siempre debemos verificar las soluciones en las ecuaciones originales; podemos encontrar que producen declaraciones falsas o expresiones indefinidas.

    A) Correcto. X – 2 + X 2 – 6X = 4 (X – 6 )(X + 1) = 0. Dado que 6 es un valor excluido, es una solución extraña. Solo -1 es una solución real.

    B) Incorrecto. 6 es un valor excluido porque hace que el denominador de la primera expresión racional sea igual a 0. Dado que 6 es una solución extraña, no se puede incluir en la solución. La respuesta correcta es -1.

    C) Incorrecto. El denominador común es (X – 6 )(X -2). Cada término del lado izquierdo debe multiplicarse por una fracción equivalente a 1 que producirá ese denominador.: =. La respuesta correcta es -1.

    D) Incorrecto. Cuando la ecuación se resuelve encontrando el denominador común, las respuestas son -1 y 6. Es cierto que 6 es un valor excluido y, por lo tanto, una solución extraña que debe descartarse. Pero -1 funciona en la ecuación original y es una solución válida. La respuesta correcta es -1.

    Resolvemos ecuaciones racionales encontrando un denominador común. Entonces podemos seguir cualquiera de dos métodos. Podemos reescribir la ecuación para que todos los términos tengan el denominador común y podamos resolver la variable solo con los numeradores. O podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común para que todos los términos se conviertan en polinomios en lugar de expresiones racionales.

    Un paso importante para resolver ecuaciones racionales es rechazar cualquier solución extraña de la respuesta final. Las soluciones extrañas son soluciones que no satisfacen la forma original de la ecuación porque producen afirmaciones falsas o son valores excluidos que hacen que un denominador sea igual a 0.


    Universidad de Derecho Comercial Transnacional

    Esto es “Resolver ecuaciones racionales”, sección 7.5 del libro Beginning Algebra (v. 1.0). Para obtener más detalles (incluidas las licencias), haga clic aquí.

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    7.5 Resolución de ecuaciones racionales

    Objetivos de aprendizaje
    1. Resuelve ecuaciones racionales.
    2. Resolver ecuaciones o fórmulas literales que involucren expresiones racionales.

    Resolver ecuaciones racionales

    Una ecuación racional Una ecuación que contiene al menos una expresión racional. es una ecuación que contiene al menos una expresión racional. Las expresiones racionales suelen contener una variable en el denominador. Por este motivo, nos aseguraremos de que el denominador no sea 0 anotando las restricciones y comprobando nuestras soluciones.

    Resolver ecuaciones racionales despejando las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador (MCD).

    Solución: Primero tomamos nota de que x ≠ 0 y luego multiplicamos ambos lados por el LCD, 3x:

    Verifica tu respuesta sustituyendo x por 12 para ver si obtienes un enunciado verdadero.

    Respuesta: La solución es 12.

    Después de multiplicar ambos lados del ejemplo anterior por el LCD, nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. Este no es siempre el caso, a veces nos quedamos con una ecuación cuadrática.

    Solución: En este ejemplo, hay dos restricciones, x ≠ 0 y x ≠ −1. Comience multiplicando ambos lados por el MCD, x (x + 1).

    Después de distribuir y dividir los factores comunes, queda una ecuación cuadrática. Para resolverlo, reescríbalo en forma estándar, factorice y luego establezca cada factor igual a 0.

    Verifique si estos valores resuelven la ecuación original.

    Respuesta: Las soluciones son −1/2 y 1.

    Hasta este punto, todas las posibles soluciones han resuelto la ecuación original. Sin embargo, puede que no siempre sea así. Multiplicar ambos lados de una ecuación por factores variables puede conducir a soluciones extrañas. Una solución que no resuelve la ecuación original., Que son soluciones que no resuelven la ecuación original. En el siguiente ejemplo se describe una lista completa de pasos para resolver una ecuación racional.

    Ejemplo 3: Resuelva: xx + 2 + 2x2 + 5x + 6 = 5x + 3.

    Paso 1: Factoriza todos los denominadores y determina el LCD.

    Paso 2: Identifique las restricciones. En este caso, son x ≠ −2 y x ≠ −3.

    Paso 3: Multiplica ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD. Distribuya con cuidado y luego simplifique.

    Paso 4: Resuelve la ecuación resultante. Aquí el resultado es una ecuación cuadrática. Vuelva a escribirlo en forma estándar, factorice y luego establezca cada factor igual a 0.

    Paso 5: busca soluciones extrañas. Sustituya siempre en la ecuación original o en el equivalente factorizado. En este caso, elija el equivalente factorizado para verificar:

    Aquí −2 es una solución extraña y no se incluye en el conjunto de soluciones. Es importante notar que −2 es una restricción.

    Si este proceso produce una solución que resulta ser una restricción, deséchela como una solución extraña.

    ¡Prueba esto! Resuelva: xx − 5 + 3x + 2 = 7xx2−3x − 10.

    Solución de video
    (haga clic para ver el video)
    A veces, todas las soluciones potenciales son extrañas, en cuyo caso decimos que no hay solución para la ecuación original. En los dos ejemplos siguientes, demostramos dos formas en las que una ecuación racional no puede tener soluciones.

    Ejemplo 4: Resuelva: 3xx2−4−2x + 2 = 1x + 2.

    Solución: Para identificar el MCD, primero factoriza los denominadores.

    Multiplica ambos lados por el mínimo común denominador (MCD), (x + 2) (x − 2), distribuyendo cuidadosamente.

    La ecuación es una contradicción y, por tanto, no tiene solución.

    Ejemplo 5: Resuelva: xx − 4−4x + 5 = 36x2 + x − 20.

    Solución: Primero, factoriza los denominadores.

    Tenga en cuenta que las restricciones son x ≠ 4 y x ≠ −5. Para borrar las fracciones, multiplique por el MCD, (x − 4) (x + 5).

    Ambos valores son restricciones de la ecuación original, por lo que ambos son extraños.

    ¡Prueba esto! Resuelva: 1x + 1 + xx − 3 = 4xx2−2x − 3.

    Solución de video
    (haga clic para ver el video)
    Es importante señalar que esta técnica para borrar fracciones algebraicas solo funciona para ecuaciones. No intente borrar las fracciones algebraicas al simplificar expresiones. Como recordatorio, tenemos

    Las expresiones deben simplificarse y las ecuaciones deben resolverse. Si multiplicamos la expresión por el MCD, x (2x + 1), obtenemos otra expresión que no es equivalente.

    Las ecuaciones literales, o fórmulas, son a menudo ecuaciones racionales. Por lo tanto, las técnicas descritas en esta sección se pueden utilizar para resolver variables particulares. Suponga que todas las expresiones de variable en el denominador son distintas de cero.

    Ejemplo 6: Resuelva para x: z = x − 5y.

    Solución: el objetivo es aislar x. Suponiendo que y es distinto de cero, multiplique ambos lados por y y luego sume 5 en ambos lados.

    Ejemplo 7: Resuelva para c: 1c = 1a + 1b.

    Solución: En este ejemplo, el objetivo es aislar c. Comenzamos multiplicando ambos lados por el MCD, a⋅b⋅c, distribuyendo cuidadosamente.

    En el lado derecho de la ecuación, factoriza c.

    Luego, divide ambos lados de la ecuación por la cantidad (b + a).

    ¡Prueba esto! Resuelva para y: x = y + 1y − 1.

    Solución de video
    (haga clic para ver el video)

    Conclusiones clave
    • Empiece a resolver ecuaciones racionales multiplicando ambos lados por el MCD. La ecuación equivalente resultante se puede resolver utilizando las técnicas aprendidas hasta este punto.
    • Multiplicar ambos lados de una ecuación racional por una expresión variable introduce la posibilidad de soluciones extrañas. Por lo tanto, debemos comparar las soluciones con el conjunto de restricciones. Si una solución es una restricción, entonces no es parte del dominio y es extraña.
    • Al multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión, distribuya con cuidado y multiplique cada término por esa expresión.
    • Si todas las soluciones resultantes son extrañas, entonces la ecuación original no tiene soluciones.


    Resolver ecuaciones literales y aplicaciones que involucran recíprocos

    Las ecuaciones literales, o fórmulas, son a menudo ecuaciones racionales. Por lo tanto, las técnicas descritas en esta sección se pueden utilizar para resolver variables particulares. Suponga que todas las expresiones de variable en el denominador son distintas de cero.

    Ejemplo 9

    El recíproco de la resistencia combinada R de dos resistencias R 1 y R 2 en paralelo está dado por la fórmula 1 R = 1 R 1 + 1 R 2. Resuelva para R en términos de R 1 y R 2.

    El objetivo es aislar R en un lado de la ecuación. Comience multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD, R R 1 R 2.

    RR 1 R 2 ⋅ 1 R = RR 1 R 2 ⋅ 1 R 1 + RR 1 R 2 ⋅ 1 R 2 R 1 R 2 = RR 2 + RR 1 R 1 R 2 = R (R 2 + R 1) R 1 R 2 R 2 + R 1 = R

    Respuesta: R = R 1 R 2 R 1 + R 2

    ¡Prueba esto! Resolver y: x = 2 y + 5 y - 3.

    Recuerde que el recíproco de un número distinto de cero norte es 1 n. Por ejemplo, el recíproco de 5 es 1 5 y 5 ⋅ 1 5 = 1. En esta sección, las aplicaciones a menudo incluirán la palabra clave "recíproco". Cuando este es el caso, veremos que la configuración algebraica da como resultado una ecuación racional.

    Ejemplo 10

    Un número entero positivo es 3 menos que otro. Si el recíproco del número entero más pequeño se resta del doble del recíproco del mayor, entonces el resultado es 1 20. Encuentra los dos números enteros.

    Dejar norte representan el entero positivo más grande.

    Dejar norte - 3 representan el número entero positivo más pequeño.

    Establece una ecuación algebraica.

    Resuelve esta expresión racional multiplicando ambos lados por el MCD. El LCD es 20 n (n - 3).

    2 norte - 1 norte - 3 = 1 20 20 norte (norte - 3) ⋅ (2 norte - 1 norte - 3) = 20 norte (norte - 3) ⋅ (1 20) 20 norte (norte - 3) ⋅ 2 norte - 20 norte (norte - 3) ⋅ 1 norte - 3 = 20 norte (norte - 3) ⋅ (1 20)

    40 (norte - 3) - 20 norte = norte (norte - 3) 40 norte - 120 - 20 norte = norte 2 - 3 norte 20 norte - 120 = norte 2 - 3 norte 0 = norte 2 - 23 norte + 120 0 = (n - 8) (n - 15) n - 8 = 0 o n - 15 = 0 n = 8 n = 15

    Aquí tenemos dos posibilidades viables para el entero más grande norte. Por ello, tendremos dos soluciones a este problema.

    Si n = 8, entonces n - 3 = 8 - 3 = 5.

    Si n = 15, entonces n - 3 = 15-3 = 12.

    Como comprobación, realice las operaciones indicadas en el problema.

    2 ( 1 8 ) − 1 5 = 1 4 − 1 5 = 5 20 − 4 20 = 1 20 ✓

    2 ( 1 15 ) − 1 12 = 2 15 − 1 12 = 8 60 − 5 60 = 3 60 = 1 20 ✓

    Respuesta: Dos conjuntos de números enteros positivos resuelven este problema: <5, 8> y <12, 15>.

    ¡Prueba esto! Cuando el recíproco del mayor de dos enteros pares consecutivos se resta de 4 veces el recíproco del menor, el resultado es 5 6. Encuentra los números enteros.


    Matemáticas ilustrativas Grado 7, Unidad 5, Lección 15: Resolver ecuaciones con números racionales

    El siguiente diagrama muestra cómo resolver ecuaciones que incluyen números racionales y tienen soluciones racionales.

    Lección 15.1 Habla de números: opuestos y recíprocos

    Todas las variables de la a a la h representan números diferentes. Encuentra mentalmente números que hagan que cada ecuación sea verdadera.
    3/5 · 5/3 = a
    7 · b = 1
    c · d = 1
    -6 + 6 = e
    11 + f = 0
    g + h = 0

    Lección 15.2 Soluciones de coincidencia

    Haga coincidir cada ecuación con un valor que la haga verdadera arrastrando la respuesta a la ecuación correspondiente. Esté preparado para explicar su razonamiento.
    Abrir applet

    Lección 15.3 Viaje a las montañas

    El Club de Senderismo está de viaje para escalar una montaña.

    1. Los miembros aumentaron su elevación 290 pies durante su caminata esta mañana. Ahora están a una altura de 450 pies.
      un. Explique cómo encontrar su elevación antes de la caminata.
      B. Han dice que la ecuación describe la situación. ¿Qué representa la variable?
      C. Han dice que puede reescribir su ecuación para resolver. Compare la estrategia de Han & rsquos con su estrategia para encontrar la elevación inicial.
    2. La temperatura bajó 4 grados en la última hora. Ahora son 21 grados. Escribe y resuelve una ecuación para encontrar la temperatura que tenía hace 1 hora.
    3. Hay tres veces más estudiantes participando en el viaje de senderismo este año que el año pasado. Hay 42 estudiantes en el viaje de este año.
      un. Explique cómo encontrar la cantidad de estudiantes que asistieron a la excursión el año pasado.
      B. Mai dice que la ecuación 3s = 42 describe la situación. ¿Qué representa la variable?
      C. Mai dice que puede reescribir su ecuación para resolver s = 1/3 · 42.Compare la estrategia de Mai & rsquos con su estrategia para encontrar el número de estudiantes en el viaje del año pasado.
    4. El costo del viaje de senderismo de este año es 2/3 del costo del viaje del año pasado y rsquos. El viaje de este año y rsquos cuesta $ 32. Escribe y resuelve una ecuación para encontrar el costo del viaje del año pasado.

    ¿Estás listo para más?

    Lección 15.4 Clasificación de cartas: Coincidencia de inversos

    Tu maestro te dará un juego de tarjetas con números.

    1. Haga coincidir los números con sus inversos aditivos.
    2. Luego, empareja los números con sus inversos multiplicativos.
    3. ¿Qué notas acerca de los números y sus inversos?

    Problemas de práctica de la lección 15

    1. Resolver.
      un. 2/5 t = 6
      B. -4,5 = a - 8
      C. 1/2 + p = -3
      D. 12 = x · 3
      mi. -12 = -3 años
    2. Evalúa cada expresión si x es 2/5, y es -4 y z es -0,2.
      un. x + y
      B. 2x - z
      C. x + y + z
      D. y · x
    3. Haga coincidir cada ecuación con un paso que ayudará a resolver la ecuación.
    4. un. Escribe una ecuación donde se suma un número a una variable y la solución es -8.
      B. Escribe una ecuación donde un número se multiplica por una variable y la solución es
    5. Las marcas en la recta numérica están espaciadas uniformemente. Etiquete las otras marcas en la recta numérica.
    6. En 2012, James Cameron descendió al fondo de Challenger Deep en la Fosa de las Marianas, el punto más profundo del océano. El barco en el que viajaba se llamaba DeepSea Challenger.
      Challenger Deep tiene 35,814 pies de profundidad en su punto más bajo
      un. El descenso del DeepSea Challenger fue un cambio de profundidad de (-4) pies por segundo. Podemos usar la ecuación y = -4x para modelar esta relación, donde y es la profundidad yx es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Cuántos segundos sugiere este modelo que le tomaría al DeepSea Challenger llegar al fondo?
      B. Para finalizar la misión, DeepSea Challenger realizó un ascenso de una hora a la superficie. ¿Cuántos segundos es esto?
      C. El ascenso se puede modelar mediante una relación proporcional diferente y = kx. ¿Cuál es el valor de k en este caso?

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    Ver el vídeo: Algebra 2: big ideas solving rational equations (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Huxeford

    Excelente información muy útil

  2. Perth

    ¡Estupendo! Finalmente encontré un blog sensato en Internet) ¡Hurra!

  3. Donnan

    Lo siento, no a este párrafo .....

  4. Jayar

    Es una pena que no pueda hablar ahora, tengo prisa por llegar al trabajo. Pero seré liberado, definitivamente escribiré lo que pienso sobre esta pregunta.

  5. Niels

    He pensado y eliminado esta pregunta

  6. Moubarak

    ¡Increíble! ¡Increíble!

  7. Hesperos

    Creo que se cometen errores. Propongo discutirlo. Escríbeme en PM, te habla.



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