5.3: Integrales de línea - Matemáticas

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Objetivos de aprendizaje

Calcule una integral de línea escalar a lo largo de una curva.
Calcule una integral de línea vectorial a lo largo de una curva orientada en el espacio.
Utilice una integral de línea para calcular el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo de una curva en un campo vectorial.
Describe el flujo y la circulación de un campo vectorial.

Estamos familiarizados con las integrales de una sola variable de la forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f (x) , dx ), donde el dominio de integración es un intervalo ([a, b] ). Dicho intervalo se puede considerar como una curva en el plano (xy ) -, ya que el intervalo define un segmento de línea con extremos ((a, 0) ) y ((b, 0) ) - en otras palabras, un segmento de línea ubicado en el eje (x ) -. Supongamos que queremos integrarnos sobre ninguna curva en el plano, no solo sobre un segmento de línea en el eje (x ) -. Tal tarea requiere un nuevo tipo de integral, llamado integral de línea.

Las integrales de línea tienen muchas aplicaciones para la ingeniería y la física. También nos permiten hacer varias generalizaciones útiles del Teorema fundamental del cálculo. Y están estrechamente relacionados con las propiedades de los campos vectoriales, como veremos.

Integrales de línea escalar

Una integral de línea nos da la capacidad de integrar funciones multivariables y campos vectoriales sobre curvas arbitrarias en un plano o en el espacio. Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectorial. Las integrales de línea escalar son integrales de una función escalar sobre una curva en un plano o en el espacio. Las integrales de línea vectorial son integrales de un campo vectorial sobre una curva en un plano o en el espacio. Veamos primero las integrales de línea escalar.

Una integral de línea escalar se define tal como se define una integral de una sola variable, excepto que para una integral de línea escalar, el integrando es una función de más de una variable y el dominio de integración es una curva en un plano o en el espacio, como opuesto a una curva en el eje (x ) -.

Para una integral de línea escalar, dejamos que (C ) sea una curva suave en un plano o en el espacio y sea ff una función con un dominio que incluya a (C ). Cortamos la curva en trozos pequeños. Para cada pieza, elegimos el punto (P ) en esa pieza y evaluamos (f ) en (P ). (Podemos hacer esto porque todos los puntos de la curva están en el dominio de (f ).) Multiplicamos (f (P) ) por la longitud del arco de la pieza ( Delta s ), sumamos el producto (f (P) Delta s ) sobre todas las piezas, y luego deje que la longitud del arco de las piezas se reduzca a cero tomando un límite. El resultado es la integral de la línea escalar de la función sobre la curva.

Para una descripción formal de una integral de línea escalar, sea (C ) una curva suave en el espacio dada por la parametrización ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t) ⟩ ), (A≤t≤b ). Sea (f (x, y, z) ) una función con un dominio que incluye la curva (C ). Para definir la integral de línea de la función (f ) sobre (C ), comenzamos como comienzan la mayoría de las definiciones de una integral: cortamos la curva en trozos pequeños. Divida el intervalo de parámetro ([a, b] ) en (n ) subintervalos ([t_ {i − l}, t_i] ) de igual ancho para (1≤i≤n ), donde (t_0 = a ) y (t_n = b ) (Figura ( PageIndex {1} )). Sea (t_ {i} ^ * ) un valor en el intervalo (i ^ {th} ) ([t_ {i − l}, t_i] ). Denote los extremos de ( vecs r (t_0) ), ( vecs r (t_1) ),…, ( vecs r (t_n) ) por (P_0 ),…, (P_n ). Puntos PAG_I divide la curva (C ) en (n ) piezas (C_1 ), (C_2 ),…, (C_n ), con longitudes ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ), respectivamente. Sea (P_ {i} ^ * ) el punto final de ( vecs r (t_ {i} ^ *) ) para (1≤i≤n ). Ahora, evaluamos la función (f ) en el punto (P_ {i} ^ * ) para (1≤i≤n ). Tenga en cuenta que (P_ {i} ^ * ) está en la pieza (C_1 ) y, por lo tanto, (P_ {i} ^ * ) está en el dominio de (f ). Multiplica (f (P_ {i} ^ *) ) por la longitud ( Delta s_1 ) de (C_1 ), lo que da el área de la "hoja" con la base (C_1 ) y la altura (f (P_ {i} ^ {*}) ). Esto es análogo a usar rectángulos para aproximar el área en una integral de una sola variable. Ahora, formamos la suma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i ).

Nótese la similitud de esta suma con una suma de Riemann; de hecho, esta definición es una generalización de una suma de Riemann a curvas arbitrarias en el espacio. Al igual que con las sumas e integrales de Riemann de forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ), definimos una integral dejando que el ancho de las piezas de la curva se reduzca a cero por tomando un límite. El resultado es la integral de línea escalar de (f ) a lo largo de (C ).

Es posible que haya notado una diferencia entre esta definición de una integral de línea escalar y una integral de una sola variable. En esta definición, las longitudes de arco ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ) no son necesariamente las mismas; en la definición de integral de una sola variable, la curva en el eje (x ) - se divide en partes de igual longitud. Esta diferencia no tiene ningún efecto en el límite. A medida que reducimos las longitudes de arco a cero, sus valores se acercan lo suficiente como para que cualquier pequeña diferencia se vuelva irrelevante.

Si (f ) es una función continua en una curva suave (C ), entonces ( displaystyle int_C f , ds ) siempre existe. Dado que ( displaystyle int_C f , ds ) se define como un límite de las sumas de Riemann, la continuidad de (f ) es suficiente para garantizar la existencia del límite, al igual que la integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ) existe si (g ) es continuo sobre ([a, b] ).

Antes de ver cómo calcular una integral de línea, debemos examinar la geometría capturada por estas integrales. Suponga que (f (x, y) ≥0 ) para todos los puntos ((x, y) ) en una curva plana suave (C ). Imagine tomar la curva (C ) y proyectarla "hacia arriba" a la superficie definida por (f (x, y) ), creando así una nueva curva (C ′ ) que se encuentra en la gráfica de (f (x, y) ) (Figura ( PageIndex {2} )). Ahora soltamos una “hoja” desde (C ′ ) hasta el plano (xy ). El área de esta hoja es ( displaystyle int_C f (x, y) ds ). Si (f (x, y) ≤0 ) para algunos puntos en (C ), entonces el valor de ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) es el área por encima de (xy ) - plano menos el área debajo del plano (xy ) -. (Note la similitud con integrales de la forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ).)

A partir de esta geometría, podemos ver que la integral de línea ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) no depende de la parametrización ( vecs r (t) ) de (C ). Siempre que la curva sea recorrida exactamente una vez por la parametrización, el área de la hoja formada por la función y la curva es la misma. Este mismo tipo de argumento geométrico puede extenderse para mostrar que la integral de línea de una función de tres variables sobre una curva en el espacio no depende de la parametrización de la curva.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el valor de una integral de línea

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C 2 , ds ), donde (C ) es la mitad superior del círculo unitario.

Solución

El integrando es (f (x, y) = 2 ). La figura ( PageIndex {3} ) muestra la gráfica de (f (x, y) = 2 ), curva C, y la hoja formada por ellos. Observe que esta hoja tiene la misma área que un rectángulo con ancho ( pi ) y largo (2 ). Por lo tanto, ( Displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi , text {unidades} ^ 2 ).

Para ver que ( displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi ) usando la definición de integral de línea, dejamos que ( vecs r (t) ) sea una parametrización de (C ). Entonces, (f ( vecs r (t_i)) = 2 ) para cualquier número (t_i ) en el dominio de ( vecs r ). Por lo tanto,

[ begin {align *} int_C f , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ {i} ^ {*} )) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} 2 , Delta s_i [4pt] & = 2 lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = 2 ( text {longitud} espacio texto {de} espacio C) [4pt] & = 2 pi , text {unidades} ^ 2. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentra el valor de ( displaystyle int_C (x + y) , ds ), donde (C ) es la curva parametrizada por (x = t ), (y = t ), ( 0≤t≤1 ).

Pista: Encuentra la forma formada por (C ) y la gráfica de la función (f (x, y) = x + y ).
Respuesta: ( sqrt {2} )

Tenga en cuenta que en una integral de línea escalar, la integración se realiza con respecto a la longitud del arco (s ), lo que puede hacer que una integral de línea escalar sea difícil de calcular. Para facilitar los cálculos, podemos traducir ( displaystyle int_C f , ds ) a una integral con una variable de integración que sea (t ).

Sea ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ) para (a≤t≤b ) una parametrización de (C ). Dado que asumimos que (C ) es suave, ( vecs r ′ (t) = ⟨x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)⟩ ) es continuo para todo ( t ) en ([a, b] ). En particular, (x ′ (t) ), (y ′ (t) ) y (z ′ (t) ) existen para todo (t ) en ([a, b] ). Según la fórmula de la longitud del arco, tenemos

[ text {longitud} (C_i) = Delta s_i = int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

Si el ancho ( Delta t_i = t_i − t_ {i − 1} ) es pequeño, entonces la función ( displaystyle int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_i ^ *) ‖ , Delta t_i ), (‖ vecs r ′ (t) ‖ ) es casi constante en el intervalo ([t_ {i − 1}, t_i] ). Por lo tanto,

[ int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i, label {approxLineIntEq1} ]

y tenemos

[ sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) , Delta s_i approx sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ { i} ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i. ]

Vea la Figura ( PageIndex {4} ).

Tenga en cuenta que

[ lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i = int_a ^ bf ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

En otras palabras, a medida que los anchos de los intervalos ([t_ {i − 1}, t_i] ) se reducen a cero, la suma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r ( t_i ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i ) converge a la integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.

Aunque hemos etiquetado la Ecuación ref {approxLineIntEq1} como una ecuación, se considera más exactamente una aproximación porque podemos mostrar que el lado izquierdo de la Ecuación ref {approxLineIntEq1} se acerca al lado derecho como (n to infty ). En otras palabras, dejar que el ancho de las piezas se reduzca a cero hace que la suma de la derecha se acerque arbitrariamente a la suma de la izquierda. Ya que

[‖ Vecs r ′ (t) ‖ = sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2 }, ]

obtenemos el siguiente teorema, que usamos para calcular integrales de línea escalares.

Tenga en cuenta que una consecuencia de este teorema es la ecuación (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). En otras palabras, el cambio en la longitud del arco puede verse como un cambio en el dominio (t ) -, escalado por la magnitud del vector ( vecs r ′ (t) ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de una integral de línea

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), donde (C ) es parte de la hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤2 pi ).

Solución

Para calcular una integral de línea escalar, comenzamos por convertir la variable de integración de la longitud del arco (s ) a (t ). Entonces, podemos usar la Ecuación ref {eq12a} para calcular la integral con respecto a (t ). Tenga en cuenta que

[f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t + t = 1 + t nonumber ]

[ sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} = sqrt {{(- sin (t))} ^ 2 + { cos} ^ 2 (t) +1} = sqrt {2}. nonumber ]

Por lo tanto,

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt. sin número]

Observe que la Ecuación ref {eq12a} tradujo la integral de línea difícil original en una integral manejable de una sola variable. Ya que

[ begin {align *} int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt & = { left [ sqrt {2} t + dfrac { sqrt { 2} t ^ 2} {2} right]} _ {0} ^ {2 pi} [4pt]
& = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2, end {align *} ]

tenemos

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2. sin número]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Evalúa ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds ), donde C es la curva con parametrización ( vecs r (t) = ⟨ sin (3t), cos (3t)⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

Pista: Utilice la versión de dos variables de la definición de integral de línea escalar (Ecuación ref {eq13}).
Respuesta: [ dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {2}} {6} + dfrac {3 pi} {4} ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Independencia de parametrización

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), donde (C ) es parte de la hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos (2t), sin (2t), 2t⟩ ), (0≤t≤π ). Observe que esta función y curva son las mismas que en el ejemplo anterior; la única diferencia es que la curva se ha vuelto a parametrizar para que el tiempo corra el doble de rápido.

Solución

Como en el ejemplo anterior, usamos la Ecuación ref {eq12a} para calcular la integral con respecto a (t ). Tenga en cuenta que (f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 (2t) + { sin} ^ 2 (2t) + 2t = 2t + 1 ) y

[ begin {align *} sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} & = sqrt {(- sin t + cos t + 4)} [4pt] & = 22
end {alinear *} ]

entonces tenemos

[ begin {align *} int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds & = 2 sqrt {2} int_ {0} ^ { pi} (1 + 2t) dt [4pt ] & = 2 sqrt {2} Big [t + t ^ 2 Big] _0 ^ { pi} [4pt] & = 2 sqrt {2} ( pi + { pi} ^ 2). end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que esto concuerda con la respuesta del ejemplo anterior. El cambio de parametrización no modificó el valor de la integral de línea. Las integrales de línea escalar son independientes de la parametrización, siempre que la curva sea recorrida exactamente una vez por la parametrización.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Evalúa la integral de línea ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), donde (C ) es la línea con parametrización ( vecs r (t) = ⟨2t, 5t, −t⟩ ), (0≤t≤10 ). Reparametrizar C con parametrización (s (t) = ⟨4t, 10t, −2t⟩ ), (0≤t≤5 ), recalcular la integral de línea ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), y observe que el cambio de parametrización no tuvo efecto sobre el valor de la integral.

Pista: Utilice la ecuación ref {eq12a}.
Respuesta: Ambas integrales de línea son iguales a (- dfrac {1000 sqrt {30}} {3} ).

Ahora que podemos evaluar integrales de línea, podemos usarlas para calcular la longitud del arco. Si (f (x, y, z) = 1 ), entonces

[ begin {align *} int_C f (x, y, z) , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i} ^ {*}) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} text {longitud} (C) [4pt] & = text {longitud} (C). end {alinear *} ]

Por lo tanto, ( displaystyle int_C 1 , ds ) es la longitud del arco de (C ).

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Calcular la longitud del arco

Un cable tiene una forma que se puede modelar con la parametrización ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤4 pi ). Calcula la longitud del cable.

Solución

La longitud del cable viene dada por ( displaystyle int_C 1 , ds ), donde (C ) es la curva con parametrización ( vecs r ). Por lo tanto,

[ begin {align *} text {La longitud del cable} & = int_C 1 , ds [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} || vecs r ′ ( t) || , dt [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {(- sin t) ^ 2 + cos ^ 2 t + t} dt [4pt ] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {1 + t} dt [4pt] & = left. dfrac {2 {(1 + t)} ^ { frac {3} {2}}} {3} right | _ {0} ^ {4 pi} [4pt] & = frac {2} {3} left ((1 + 4 pi) ^ {3 / 2} −1 derecha). end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentre la longitud de un cable con parametrización ( vecs r (t) = ⟨3t + 1,4−2t, 5 + 2t⟩ ), (0≤t≤4 ).

Pista: Encuentra la integral de línea de uno sobre la curva correspondiente.
Respuesta: (4 sqrt {17} )

Integrales de línea vectorial

El segundo tipo de integrales de línea son las integrales de línea vectorial, en las que integramos a lo largo de una curva a través de un campo vectorial. Por ejemplo, deja

[ vecs F (x, y, z) = P (x, y, z) , hat { mathbf i} + Q (x, y, z) , hat { mathbf j} + R (x, y, z) , hat { mathbf k} ]

ser un campo vectorial continuo en (ℝ ^ 3 ) que representa una fuerza sobre una partícula, y sea (C ) una curva suave en (ℝ ^ 3 ) contenida en el dominio de ( vecs F ). ¿Cómo calcularíamos el trabajo realizado por ( vecs F ) al mover una partícula a lo largo de (C )?

Para responder a esta pregunta, primero tenga en cuenta que una partícula podría viajar en dos direcciones a lo largo de una curva: una dirección hacia adelante y una dirección hacia atrás. El trabajo realizado por el campo vectorial depende de la dirección en la que se mueve la partícula.Por lo tanto, debemos especificar una dirección a lo largo de la curva (C ); tal dirección especificada se llama orientación de una curva. La dirección especificada es la dirección positiva a lo largo de (C ); la dirección opuesta es la dirección negativa a lo largo de (C ). Cuando se le ha dado una orientación a (C ), (C ) se llama curva orientada (Figura ( PageIndex {5} )). El trabajo realizado en la partícula depende de la dirección a lo largo de la curva en la que se mueve la partícula.

Una curva cerrada es aquella para la que existe una parametrización ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ), tal que ( vecs r (a) = vecs r (b) ) y la curva se recorre exactamente una vez. En otras palabras, la parametrización es uno a uno en el dominio ((a, b) ).

Sea ( vecs r (t) ) una parametrización de (C ) para (a≤t≤b ) tal que la curva es atravesada exactamente una vez por la partícula y la partícula se mueve en la dirección positiva a lo largo (C). Divida el intervalo de parámetro ([a, b] ) en n subintervalos ([t_ {i − 1}, t_i] ), (0≤i≤n ), de igual ancho. Denote los puntos finales de (r (t_0) ), (r (t_1) ),…, (r (t_n) ) por (P_0 ),…, (P_n ). Los puntos (P_i ) dividen (C ) en n piezas. Denote la longitud de la pieza desde (P_ {i − 1} ) a (P_i ) por ( Delta s_i ). Para cada (i ), elija un valor (t_i ^ * ) en el subintervalo ([t_ {i − 1}, t_i] ). Entonces, el punto final de ( vecs r (t_i ^ *) ) es un punto en la parte de (C ) entre (P_ {i − 1} ) y (P_i ) (Figura ( PageIndex {6} )). Si ( Delta s_i ) es pequeño, entonces a medida que la partícula se mueve desde (P_ {i − 1} ) a (P_i ) a lo largo de (C ), se mueve aproximadamente en la dirección de ( vecs T (P_i) ), el vector tangente unitario en el punto final de ( vecs r (t_i ^ *) ). Sea (P_i ^ * ) el punto final de ( vecs r (t_i ^ *) ). Entonces, el trabajo realizado por el campo del vector de fuerza al mover la partícula de (P_ {i − 1} ) a (P_i ) es ( vecs F (P_i ^ *) · ( Delta s_i vecs T (P_i ^ *)) ), por lo que el trabajo total realizado a lo largo de (C ) es

[ sum_ {i = 1} ^ n vecs F (P_i ^ *) · ( Delta s_i vecs T (P_i ^ *)) = sum_ {i = 1} ^ n vecs F (P_i ^ * ) · Vecs T (P_i ^ *) , Delta s_i. ]

Dejar que la longitud del arco de las piezas de (C ) se vuelva arbitrariamente pequeña tomando un límite como (n rightarrow infty ) nos da el trabajo realizado por el campo al mover la partícula a lo largo de (C ). Por lo tanto, el trabajo realizado por ( vecs {F} ) al mover la partícula en la dirección positiva a lo largo de (C ) se define como

[W = int_C vecs {F} cdot vecs {T} , ds, ]

lo que nos da el concepto de integral de línea vectorial.

Con las integrales de línea escalar, ni la orientación ni la parametrización de la curva importan. Siempre que la parametrización recorra la curva exactamente una vez, el valor de la integral de línea no se modifica. Con las integrales de línea vectorial, la orientación de la curva sí importa. Si pensamos en la integral de línea como un trabajo de computación, entonces esto tiene sentido: si subes una montaña, entonces la fuerza gravitacional de la Tierra hace un trabajo negativo sobre ti. Si caminas por la montaña exactamente por el mismo camino, entonces la fuerza gravitacional de la Tierra hace un trabajo positivo en ti. En otras palabras, invertir la ruta cambia el valor del trabajo de negativo a positivo en este caso. Tenga en cuenta que si (C ) es una curva orientada, entonces dejamos que (- C ) represente la misma curva pero con orientación opuesta.

Al igual que con las integrales de línea escalares, es más fácil calcular una integral de línea vectorial si la expresamos en términos de la función de parametrización ( vecs {r} ) y la variable (t ). Para traducir la integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot vecs {T} ds ) en términos de (t ), observe que el vector unitario tangente ( vecs {T} ) a lo largo de (C ) viene dado por ( vecs {T} = dfrac { vecs {r} ′ (t)} {‖ vecs {r} ′ (t) ‖} ) (asumiendo (‖ vecs {r} ′ (t) ‖ ≠ 0 )). Dado que (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ), como vimos al discutir las integrales de línea escalar, tenemos

[ vecs F · vecs T , ds = vecs F ( vecs r (t)) · dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} ‖ vecs r ′ (t) ‖dt = vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt. ]

Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula para calcular integrales de líneas vectoriales:

[ int_C vecs F · vecs T , ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt. label {lineintformula} ]

Debido a la ecuación ref {lineintformula}, a menudo usamos la notación ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) para la línea integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ).

Si ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ), entonces ( dfrac {d vecs {r}} {dt} ) denota el vector (⟨X ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)⟩ ) y (d vecs {r} = vecs r '(t) , dt ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Evaluación de una integral de línea vectorial

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), donde (C ) es el semicírculo parametrizado por ( vecs {r} (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤ pi ) y ( vecs F = ⟨− y, x⟩ ).

Solución

Podemos usar la Ecuación ref {lineintformula} para convertir la variable de integración de (s ) a (t ). Entonces tenemos

[ vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− sin t, cos t⟩ ; text {y} ; vecs r ′ (t) = ⟨− sin t, cos t⟩. ]

Por lo tanto,

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t, cos t⟩ · ⟨− sin t, cos t⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ { pi} { sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2 t , dt [4pt] & = int_0 ^ { pi } 1 , dt = pi. End {align *} ]

Vea la Figura ( PageIndex {7} ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Orientación inversa

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), donde (C ) es el semicírculo parametrizado por ( vecs r (t) = ⟨ cos (t + π), sin t⟩ ), (0≤t≤ pi ) y ( vecs F = ⟨− y, x⟩ ).

Solución

Observe que este es el mismo problema que en el Ejemplo ( PageIndex {5} ), excepto que se ha atravesado la orientación de la curva. En este ejemplo, la parametrización comienza en ( vecs r (0) = ⟨-1,0⟩ ) y termina en ( vecs r ( pi) = ⟨1,0⟩ ). Por la ecuación ref {lineintformula},

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t, cos (t + pi)⟩ · ⟨− sin (t + pi), cos t⟩dt [4pt] & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t, - cos t⟩ · ⟨ sin t, cos t⟩dt [4pt] & = int_ {0} ^ {π} (- { sin} ^ 2 t - { cos} ^ 2 t) dt [4pt] & = int_ {0} ^ { pi} −1dt [4pt] & = - pi. end {alinear *} ]

Observe que este es el negativo de la respuesta del Ejemplo ( PageIndex {5} ). Tiene sentido que esta respuesta sea negativa porque la orientación de la curva va en contra del "flujo" del campo vectorial.

Sea (C ) una curva orientada y sea (- C ) la misma curva pero con la orientación invertida. Luego, los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente hecho:

[ int _ {- C} vecs {F} cdot d vecs {r} = - int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

Es decir, invertir la orientación de una curva cambia el signo de una integral de línea.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Sea ( vecs F = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ) un campo vectorial y sea (C ) la curva con parametrización (⟨t , t ^ 2⟩ ) para (0≤t≤2 ). ¿Cuál es mayor: ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ) o ( displaystyle int _ {- C} vecs F · vecs T , ds )?

Pista: Imagine moverse a lo largo de la ruta y calcular el producto escalar ( vecs F · vecs T ) a medida que avanza.
Respuesta: [ int_C vecs F · vecs T , ds ]

Otra notación estándar para la integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) es ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy + R , dz ). En esta notación, PAG, Q, y R son funciones, y pensamos en (d vecs {r} ) como vector (⟨dx, dy, dz⟩ ). Para justificar esta convención, recuerde que (d vecs {r} = vecs T , ds = vecs r ′ (t) , dt = ⟨ dfrac {dx} {dt}, dfrac {dy} { dt}, dfrac {dz} {dt} ⟩dt ). Por lo tanto,

[ vecs {F} cdot d vecs {r} = ⟨P, Q, R⟩ · ⟨dx, dy, dz⟩ = P , dx + Q , dy + R , dz. ]

Si (d vecs {r} = ⟨dx, dy, dz⟩ ), entonces ( dfrac {dr} {dt} = ⟨ dfrac {dx} {dt}, dfrac {dy} {dt} , dfrac {dz} {dt}⟩ ), lo que implica que (d vecs {r} = ⟨ dfrac {dx} {dt}, dfrac {dy} {dt}, dfrac {dz} { dt} ⟩dt ). Por lo tanto

[ begin {align} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_C P , dx + Q , dy + R , dz [4pt] & = int_a ^ b left (P ( vecs r (t)) dfrac {dx} {dt} + Q ( vecs r (t)) dfrac {dy} {dt} + R ( vecs r (t)) dfrac {dz} {dt} right) , dt. label {eq14} end {align} ]

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar el valor de una integral de la forma ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy + R , dz )

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C z , dx + x , dy + y , dz ), donde (C ) es la curva parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2, sqrt {t}, t⟩ ), (1≤t≤4 ).

Solución:

Al igual que con nuestros ejemplos anteriores, para calcular esta integral de línea debemos realizar un cambio de variables para escribir todo en términos de (t ). En este caso, la Ecuación ref {eq14} nos permite realizar este cambio:

[ begin {align *} int_C z , dx + x , dy + y , dz & = int_1 ^ 4 left (t (2t) + t ^ 2 left ( frac {1} { 2 sqrt {t}} right) + sqrt {t} right) , dt [4pt] & = int_1 ^ 4 left (2t ^ 2 + frac {t ^ {3/2} } {2} + sqrt {t} right) , dt [4pt] & = { left [ dfrac {2t ^ 3} {3} + dfrac {t ^ {5/2}} { 5} + dfrac {2t ^ {3/2}} {3} right]} _ {t = 1} ^ {t = 4} [4pt] & = dfrac {793} {15}. fin {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Encuentra el valor de ( displaystyle int_C 4x , dx + z , dy + 4y ^ 2 , dz ), donde (C ) es la curva parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ 4 cos (2t), 2 sin (2t), 3⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

Pista: Escribe la integral en términos de (t ) usando la Ecuación ref {eq14}.
Respuesta: (−26)

Hemos aprendido a integrar curvas de orientación suave. Ahora, suponga que (C ) es una curva orientada que no es suave, pero que puede escribirse como la unión de un número finito de curvas suaves. En este caso, decimos que (C ) es una curva suave a trozos. Para ser precisos, la curva (C ) es suave por partes si (C ) se puede escribir como una unión de n curvas suaves (C_1 ), (C_2 ),…, (C_n ) tal que el punto final de (C_i ) es el punto inicial de (C_ {i + 1} ) (Figura ( PageIndex {8} )). Cuando las curvas (C_i ) satisfacen la condición de que el punto final de (C_i ) es el punto inicial de (C_ {i + 1} ), escribimos su unión como (C_1 + C_2 + ⋯ + C_n ) .

El siguiente teorema resume varias propiedades clave de las integrales de línea vectorial.

Observe las similitudes entre estos elementos y las propiedades de las integrales de una sola variable. Propiedades i. y ii. digamos que las integrales de línea son lineales, lo cual también es cierto para las integrales de una sola variable. Propiedad iii. dice que invertir la orientación de una curva cambia el signo de la integral. Si pensamos en la integral como el cálculo del trabajo realizado en una partícula que viaja a lo largo de (C ), entonces esto tiene sentido. Si la partícula se mueve hacia atrás en lugar de hacia adelante, entonces el valor del trabajo realizado tiene el signo opuesto. Esto es análogo a la ecuación ( displaystyle int_a ^ b f (x) , dx = - int_b ^ af (x) , dx ). Finalmente, si ([a_1, a_2] ), ([a_2, a_3] ),…, ([a_ {n − 1}, a_n] ) son intervalos, entonces

[ int_ {a_1} ^ {a_n} f (x) , dx = int_ {a_1} ^ {a_2} f (x) , dx + int_ {a_1} ^ {a_3} f (x) , dx + ⋯ + int_ {a_ {n − 1}} ^ {a_n} f (x) , dx, ]

que es análogo a la propiedad iv.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Usar propiedades para calcular una integral de línea vectorial

Encuentra el valor de la integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ), donde (C ) es el rectángulo (orientado en sentido antihorario) en un plano con vértices ((0,0) ), ((2,0) ), ((2,1) ) y ((0,1) ), y donde ( vecs F = ⟨x − 2y, y − x⟩ ) (Figura ( PageIndex {9} )).

Solución

Tenga en cuenta que la curva (C ) es la unión de sus cuatro lados, y cada lado es liso. Por lo tanto, (C ) es suave a trozos. Sea (C_1 ) el lado de ((0,0) ) a ((2,0) ), sea (C_2 ) el lado de ((2,0) ) a ((2,1) ), deje que (C_3 ) represente el lado de ((2,1) ) a ((0,1) ), y deje que (C_4 ) represente el lado de ((0,1) ) a ((0,0) ) (Figura ( PageIndex {9} )). Luego,

[ int_C vecs F · vecs T , dr = int_ {C_1} vecs F · vecs T , dr + int_ {C_2} vecs F · vecs T , dr + int_ {C_3} vecs F · vecs T , dr + int_ {C_4} vecs F · vecs T , dr. ]

Queremos calcular cada una de las cuatro integrales del lado derecho usando la Ecuación ref {eq12a}. Antes de hacer esto, necesitamos una parametrización de cada lado del rectángulo. Aquí hay cuatro parametrizaciones (tenga en cuenta que atraviesan (C ) en sentido antihorario):

[ begin {align *} C_1 &: ⟨t, 0⟩, 0≤t≤2 [4pt] C_2 &: ⟨2, t⟩, 0≤t≤1 [4pt] C_3 &: ⟨2 − t , 1⟩, 0≤t≤2 [4pt] C_4 &: ⟨0,1 − t⟩, 0≤t≤1. end {alinear *} ]

Por lo tanto,

[ begin {align *} int_ {C_1} vecs F · vecs T , dr & = int_0 ^ 2 vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt [4pt] & = int_0 ^ 2 ⟨t − 2 (0), 0 − t⟩ · ⟨1,0⟩ , dt = int_0 ^ 2 t , dt [4pt] & = Grande [ tfrac {t ^ 2} {2} Big] _0 ^ 2 = 2. end {alinear *} ]

Observe que el valor de esta integral es positivo, lo que no debería sorprender. A medida que nos movemos a lo largo de la curva (C_1 ) de izquierda a derecha, nuestro movimiento fluye en la dirección general del propio campo vectorial. En cualquier punto a lo largo de (C_1 ), el vector tangente a la curva y el vector correspondiente en el campo forman un ángulo que es menor a 90 °. Por lo tanto, el vector tangente y el vector de fuerza tienen un producto escalar positivo a lo largo de (C_1 ) y la integral de línea tendrá un valor positivo.

Los cálculos para las otras tres integrales de línea se realizan de manera similar:

[ begin {align *} int_ {C_2} vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_ {0} ^ {1} ⟨2−2t, t − 2⟩ · ⟨0, 1⟩ , dt [4pt] & = int_ {0} ^ {1} (t − 2) , dt [4pt] & = Big [ tfrac {t ^ 2} {2} - 2t Big] _0 ^ 1 = - dfrac {3} {2}, end {align *} ]

[ begin {align *} int_ {C_3} vecs F · vecs T , ds & = int_0 ^ 2⟨ (2 − t) −2,1− (2 − t)⟩ · ⟨− 1 , 0⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ 2t , dt = 2, end {align *} ]

[ begin {align *} int_ {C_4} vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨ − 2 (1 − t), 1 − t⟩ · ⟨0, - 1⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (t − 1) , dt [4pt] & = Big [ tfrac {t ^ 2} {2} −t Big] _0 ^ 1 = - dfrac {1} {2}. end {alinear *} ]

Por lo tanto, tenemos ( Displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = 2 ).

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Calcular la integral de línea ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), donde ( vecs F ) es el campo vectorial (⟨y ^ 2,2xy + 1⟩ ) y (C ) es un triángulo con vértices ((0,0) ), ((4,0) ) y ((0,5) ), orientado en sentido antihorario.

Pista: Escribe el triángulo como una unión de sus tres lados, luego calcula tres integrales de línea separadas.
Respuesta: 0

Aplicaciones de las integrales de línea

Las integrales de línea escalar tienen muchas aplicaciones. Se pueden utilizar para calcular la longitud o masa de un cable, el área de superficie de una hoja de una altura determinada o el potencial eléctrico de un cable cargado dada una densidad de carga lineal. Las integrales de líneas vectoriales son extremadamente útiles en física. Se pueden utilizar para calcular el trabajo realizado en una partícula a medida que se mueve a través de un campo de fuerza, o el caudal de un fluido a través de una curva. Aquí, calculamos la masa de un cable usando una integral de línea escalar y el trabajo realizado por una fuerza usando una integral de línea vectorial.

Suponga que un trozo de alambre se modela mediante una curva C en el espacio.La masa por unidad de longitud (la densidad lineal) del cable es una función continua ( rho (x, y, z) ). Podemos calcular la masa total del cable usando la integral de línea escalar ( displaystyle int_C rho (x, y, z) , ds ). La razón es que la masa es la densidad multiplicada por la longitud y, por lo tanto, la densidad de una pequeña parte del cable se puede aproximar por ( rho (x ^ *, y ^ *, z ^ *) , Delta s ) para algún punto ((x ^ *, y ^ *, z ^ *) ) en la pieza. Dejar que la longitud de las piezas se reduzca a cero con un límite produce la integral de línea ( displaystyle int_C rho (x, y, z) , ds ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Cálculo de la masa de un cable

Calcule la masa de un resorte en forma de curva parametrizada por (⟨t, 2 cos t, 2 sin t⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {2} ), con una función de densidad dada por ( rho (x, y, z) = e ^ x + yz ) kg / m (Figura ( PageIndex {10} )).

Solución

Para calcular la masa del resorte, debemos encontrar el valor de la integral de línea escalar ( displaystyle int_C (e ^ x + yz) , ds ), donde (C ) es la hélice dada. Para calcular esta integral, la escribimos en términos de (t ) usando la Ecuación ref {eq12a}:

[ begin {align *} int_C left (e ^ x + yz right) , ds & = int_0 ^ { tfrac { pi} {2}} left ((e ^ t + 4 cos t sin t) sqrt {1 + (- 2 cos t) ^ 2 + (2 sin t) ^ 2} right) , dt [4pt] & = int_0 ^ { tfrac { pi} {2}} left ((e ^ t + 4 cos t sin t) sqrt {5} right) , dt [4pt] & = sqrt {5} Big [e ^ t + 2 sin ^ 2 t Big] _ {t = 0} ^ {t = pi / 2} [4pt] & = sqrt {5} (e ^ { pi / 2} +1 ). end {alinear *} ]

Por lo tanto, la masa es ( sqrt {5} (e ^ { pi / 2} +1) ) kg.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Calcule la masa de un resorte en forma de hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤6 pi ), con una función de densidad dada por ( rho (x, y, z) = x + y + z ) kg / m.

Pista: Calcule la integral de línea de ( rho ) sobre la curva con parametrización ( vecs r ).
Respuesta: (18 sqrt {2} { pi} ^ 2 ) kg

Cuando definimos por primera vez las integrales de líneas vectoriales, usamos el concepto de trabajo para motivar la definición. Por tanto, no es de extrañar que el cálculo de la trabajo realizado por un campo vectorial representar una fuerza es un uso estándar de las integrales de líneas vectoriales. Recuerde que si un objeto se mueve a lo largo de la curva (C ) en el campo de fuerza ( vecs F ), entonces el trabajo requerido para mover el objeto viene dado por ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ).

Ejemplo ( PageIndex {10} ): cálculo del trabajo

¿Cuánto trabajo se requiere para mover un objeto en el campo de fuerza vectorial ( vecs F = ⟨yz, xy, xz⟩ ) a lo largo de la ruta ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2, t, t ^ 4⟩ , , 0≤t≤1? ) Consulte la figura ( PageIndex {11} ).

Solución

Sea (C ) la ruta dada. Necesitamos encontrar el valor de ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). Para hacer esto, usamos Ecuación ref {lineintformula}:

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ 1 (⟨t ^ 5, t ^ 3, t ^ 6⟩ · ⟨2t, 1,4t ^ 3⟩) , dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (2t ^ 6 + t ^ 3 + 4t ^ 9) , dt [4pt] & = { Big [ dfrac {2t ^ 7} {7} + dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {2t ^ {10}} {5} Big]} _ {t = 0} ^ {t = 1} = dfrac {131 } {140} ; text {unidades de trabajo}. end {alinear *} ]

Flujo

Cerramos esta sección discutiendo dos conceptos clave relacionados con las integrales de línea: flujo a través de una curva plana y circulación a lo largo de una curva plana. El flujo se usa en aplicaciones para calcular el flujo de fluido a través de una curva, y el concepto de circulación es importante para caracterizar campos de gradientes conservadores en términos de integrales de línea. Ambos conceptos se utilizan mucho en el resto de este capítulo. La idea de flujo es especialmente importante para el teorema de Green, y en dimensiones superiores para el teorema de Stokes y el teorema de divergencia.

Sea (C ) una curva plana y sea ( vecs F ) un campo vectorial en el plano. Imagine que (C ) es una membrana a través de la cual fluye un fluido, pero que (C ) no impide el flujo del fluido. En otras palabras, (C ) es una membrana idealizada invisible para el fluido. Suponga que ( vecs F ) representa el campo de velocidad del fluido. ¿Cómo podríamos cuantificar la velocidad a la que el fluido atraviesa (C )?

Recuerda que la integral de línea de ( vecs F ) a lo largo de (C ) es ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ); en otras palabras, la integral de línea es el producto escalar del campo vectorial con el vector tangencial unitario con respecto a la longitud del arco. Si reemplazamos el vector tangencial unitario con el vector normal unitario ( vecs N (t) ) y en cambio calculamos la integral (int_C vecs F · vecs N , ds ), determinamos el flujo a través de (C ). Para ser precisos, la definición de integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs N , ds ) es la misma que integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ), excepto que ( vecs T ) en la suma de Riemann se reemplaza con ( vecs N ). Por lo tanto, el flujo a través de (C ) se define como

[ int_C vecs F · vecs N , ds = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} vecs F (P_i ^ *) · vecs N (P_i ^ *) , Delta s_i, ]

donde (P_i ^ * ) y ( Delta s_i ) se definen como para la integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ). Por lo tanto, una integral de flujo es una integral que es perpendicular a una integral de línea vectorial, porque ( vecs N ) y ( vecs T ) son vectores perpendiculares.

Si ( vecs F ) es un campo de velocidad de un fluido y (C ) es una curva que representa una membrana, entonces el flujo de ( vecs F ) a través de (C ) es la cantidad de fluido que fluye a través de (C ) por unidad de tiempo, o la tasa de flujo.

Más formalmente, sea (C ) una curva plana parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨x (t), , y (t)⟩ ), (a≤t≤b ). Sea ( vecs n (t) = ⟨y ′ (t), , - x ′ (t)⟩ ) el vector que es normal a (C ) en el punto final de ( vecs r ( t) ) y apunta a la derecha mientras recorremos (C ) en la dirección positiva (Figura ( PageIndex {12} )). Entonces, ( vecs N (t) = dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} ) es el vector normal unitario a (C ) en el punto final de ( vecs r (t) ) que apunta a la derecha cuando atravesamos (C ).

Ahora damos una fórmula para calcular el flujo a lo largo de una curva. Esta fórmula es análoga a la fórmula utilizada para calcular una integral de línea vectorial (ver Ecuación ref {lineintformula}).

Prueba

Antes de derivar la fórmula, tenga en cuenta que

[‖ Vecs n (t) ‖ = ‖⟨y ′ (t), - x ′ (t) ⟩‖ = sqrt {{(y ′ (t))} ^ 2 + {(x ′ (t) )} ^ 2} = ‖ vecs r ′ (t) ‖. ]

Por lo tanto,

[ begin {align *} int_C vecs F · vecs N , ds & = int_C vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} , ds [4pt] & = int_a ^ b vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt [4pt] & = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs n (t) , dt. end {alinear *} ]

(cuadrado)

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Flujo a través de una curva

Calcule el flujo de ( vecs F = ⟨2x, 2y⟩ ) a través de un círculo unitario orientado en sentido antihorario (Figura ( PageIndex {13} )).

Solución

Para calcular el flujo, primero necesitamos una parametrización del círculo unitario. Podemos usar la parametrización estándar ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤2 pi ). El vector normal a un círculo unitario es (⟨ cos t, sin t⟩ ). Por lo tanto, el flujo es

[ begin {align *} int_C vecs F · vecs N , ds & = int_0 ^ {2 pi} ⟨2 cos t, 2 sin t⟩ · ⟨ cos t, sin t ⟩ , Dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} (2 { cos} ^ 2t + 2 { sin} ^ 2t) , dt [4pt] & = 2 int_0 ^ {2 pi} ({ cos} ^ 2t + { sin} ^ 2t) , dt [4pt] & = 2 int_0 ^ {2 pi} , dt = 4 pi. End {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Calcule el flujo de ( vecs F = ⟨x + y, 2y⟩ ) a través del segmento de línea desde ((0,0) ) a ((2,3) ), donde la curva está orientada desde de izquierda a derecha.

Pista: Utilice la ecuación ref {eq84}.
Respuesta: (3/2)

Sea ( vecs F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ ) un campo vectorial bidimensional. Recuerda que la integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ) a veces se escribe como ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy ). De manera análoga, flux ( displaystyle int_C vecs F · vecs N , ds ) a veces se escribe en la notación ( displaystyle int_C −Q , dx + P , dy ), porque la unidad el vector ( vecs N ) es perpendicular a la unidad tangente ( vecs T ). Al rotar el vector (d vecs {r} = ⟨dx, dy⟩ ) en 90 °, se obtiene el vector (⟨dy, −dx⟩ ). Por lo tanto, la integral de línea en el Ejemplo ( PageIndex {8} ) se puede escribir como ( displaystyle int_C −2y , dx + 2x , dy ).

Circulación

Ahora que hemos definido el flujo, podemos centrar nuestra atención en la circulación. La integral de línea del campo vectorial ( vecs F ) a lo largo de una curva cerrada orientada se llama circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ). Las integrales de línea de circulación tienen su propia notación: ( oint_C vecs F · vecs T , ds ). El círculo en el símbolo integral denota que (C ) es "circular" en el sentido de que no tiene puntos finales. El ejemplo ( PageIndex {5} ) muestra un cálculo de circulación.

Para ver donde el término circulación proviene y lo que mide, sea ( vecs v ) el campo de velocidad de un fluido y sea (C ) una curva cerrada orientada. En un punto particular (P ), cuanto más cerca esté la dirección de ( vecs v (P) ) a la dirección de ( vecs T (P) ), mayor será el valor del producto escalar ( vecs v (P) · vecs T (P) ). El valor máximo de ( vecs v (P) · vecs T (P) ) ocurre cuando los dos vectores apuntan exactamente en la misma dirección; el valor mínimo de ( vecs v (P) · vecs T (P) ) ocurre cuando los dos vectores apuntan en direcciones opuestas. Por tanto, el valor de la circulación ( oint_C vecs v · vecs T , ds ) mide la tendencia del fluido a moverse en la dirección de (C ).

Ejemplo ( PageIndex {12} ): cálculo de la circulación

Sea ( vecs F = ⟨− y, , x⟩ ) el campo vectorial del Ejemplo ( PageIndex {3} ) y sea (C ) el círculo unitario orientado en sentido antihorario. Calcula la circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ).

Solución

Usamos la parametrización estándar del círculo unitario: ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤2 pi ). Entonces, ( vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− sin t, cos t⟩ ) y ( vecs r ′ (t) = ⟨− sin t, cos t⟩ ). Por lo tanto, la circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ) es

[ begin {align *} oint_C vecs F · vecs T , ds & = int_0 ^ {2 pi} ⟨− sin t, cos t⟩ · ⟨− sin t, cos t ⟩ , Dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} ({ sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2 t) , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} , dt = 2 pi ; text {unidades de trabajo}. end {alinear *} ]

Observe que la circulación es positiva. La razón de esto es que la orientación de (C ) "fluye" con la dirección de ( vecs F ). En cualquier punto a lo largo del círculo, el vector tangente y el vector de ( vecs F ) forman un ángulo de menos de 90 ° y, por lo tanto, el producto escalar correspondiente es positivo.

En el Ejemplo ( PageIndex {12} ), ¿qué pasaría si hubiéramos orientado el círculo unitario en el sentido de las agujas del reloj? Denotamos el círculo unitario orientado en el sentido de las agujas del reloj por (- C ). Luego

[ oint _ {- C} vecs F · vecs T , ds = - oint_C vecs F · vecs T , ds = −2 pi ; text {unidades de trabajo}. ]

Observe que la circulación es negativa en este caso. La razón de esto es que la orientación de la curva fluye contra la dirección de ( vecs F ).

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Calcula la circulación de ( vecs F (x, y) = ⟨− dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2}, , dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2}⟩ ) a lo largo de un círculo unitario orientado en sentido antihorario.

Pista: Utilice la ecuación ref {eq84}.
Respuesta: (2 pi ) unidades de trabajo

Ejemplo ( PageIndex {13} ): cálculo del trabajo

Calcule el trabajo realizado en una partícula que atraviesa el círculo (C ) de radio 2 centrado en el origen, orientado en sentido antihorario, por el campo ( vecs F (x, y) = ⟨− 2, , y⟩ ). Suponga que la partícula comienza su movimiento en ((1, , 0) ).

Solución

El trabajo realizado por ( vecs F ) sobre la partícula es la circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ): ( oint_C vecs F · vecs T , ds ). Usamos la parametrización ( vecs r (t) = ⟨2 cos t, , 2 sin t⟩ ), (0≤t≤2 pi ) para (C ). Entonces, ( vecs r ′ (t) = ⟨− 2 sin t, , 2 cos t⟩ ) y ( vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− 2, , 2 sin t⟩ ). Por lo tanto, la circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ) es

[ begin {align *} oint_C vecs F · vecs T , ds & = int_0 ^ {2 pi} ⟨− 2,2 sin t⟩ · ⟨− 2 sin t, 2 cos t⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} (4 sin t + 4 sin t cos t) , dt [4pt] & = { Big [−4 cos t + 4 { sin} ^ 2 t Big]} _ 0 ^ {2 pi} [4pt] & = left (−4 cos (2 pi) +2 { sin} ^ 2 (2 pi) right) - left (−4 cos (0) +4 { sin} ^ 2 (0) right) [4pt] & = - 4 + 4 = 0 ; text {unidades de trabajo}. end {align *} ]

El campo de fuerza no realiza ningún trabajo sobre la partícula.

Observe que la circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ) es cero. Además, observe que como ( vecs F ) es el gradiente de (f (x, y) = - 2x + dfrac {y ^ 2} {2} ), ( vecs F ) es conservador. Demostramos en una sección posterior que bajo ciertas condiciones generales, la circulación de un campo vectorial conservador a lo largo de una curva cerrada es cero.

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Calcule el trabajo realizado por el campo ( vecs F (x, y) = ⟨2x, , 3y⟩ ) en una partícula que atraviesa el círculo unitario. Suponga que la partícula comienza su movimiento en ((- 1, , 0) ).

Pista: Utilice la ecuación ref {eq84}.
Respuesta: (0 ) unidades de trabajo

Conceptos clave

Las integrales de línea generalizan la noción de integral de una sola variable a dimensiones superiores. El dominio de integración en una integral de una sola variable es un segmento de línea a lo largo del eje (x ) -, pero el dominio de integración en una integral de línea es una curva en un plano o en el espacio.
Si (C ) es una curva, entonces la longitud de (C ) es ( displaystyle int_C , ds ).
Hay dos tipos de integrales de línea: integrales de línea escalares e integrales de línea vectorial. Las integrales de línea escalar se pueden utilizar para calcular la masa de un cable; Las integrales de líneas vectoriales se pueden utilizar para calcular el trabajo realizado en una partícula que viaja a través de un campo.
Las integrales de línea escalar se pueden calcular usando la Ecuación ref {eq12a}; Las integrales de líneas vectoriales se pueden calcular usando la Ecuación ref {lineintformula}.
Dos conceptos clave expresados en términos de integrales de línea son flujo y circulación. El flujo mide la velocidad a la que un campo cruza una línea determinada; La circulación mide la tendencia de un campo a moverse en la misma dirección que una curva cerrada dada.

Ecuaciones clave

Calcular una integral de línea escalar
( Displaystyle int_C f (x, y, z) , ds = int_a ^ bf ( vecs r (t)) sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ ( t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} , dt )
Calcular una integral de línea vectorial
( Displaystyle int_C vecs F · d vecs {r} = int_C vecs F · vecs T , ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt )
o
( Displaystyle int_C P , dx + Q , dy + R , dz = int_a ^ b (P ( vecs r (t)) dfrac {dx} {dt} + Q ( vecs r ( t)) dfrac {dy} {dt} + R ( vecs r (t)) dfrac {dz} {dt}) , dt )
Calcular el flujo
( Displaystyle int_C vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} , ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs n (t) , dt )

Glosario

circulación: la tendencia de un fluido a moverse en la dirección de la curva (C ). Si (C ) es una curva cerrada, entonces la circulación de ( vecs F ) a lo largo de (C ) es la integral de línea (∫_C vecs F · vecs T , ds ), que también denota (∮_C vecs F · vecs T , ds ).

curva cerrada: una curva para la que existe una parametrización ( vecs r (t), a≤t≤b ), tal que ( vecs r (a) = vecs r (b) ), y la curva se atraviesa Exactamente una vez

flujo: la velocidad de un fluido que fluye a través de una curva en un campo vectorial; el flujo del campo vectorial ( vecs F ) a través de la curva plana (C ) es la integral de línea (∫_C vecs F · frac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖ } , ds )

integral de línea: la integral de una función a lo largo de una curva en un plano o en el espacio

orientación de una curva: la orientación de una curva (C ) es una dirección especificada de (C )

curva suave a trozos: una curva orientada que no es suave, pero que se puede escribir como la unión de un número finito de curvas suaves

integral de línea escalar: la integral de línea escalar de una función (f ) a lo largo de una curva (C ) con respecto a la longitud del arco es la integral ( displaystyle int_C f , ds ), es la integral de una función escalar (f ) a lo largo de una curva en un plano o en el espacio; tal integral se define en términos de una suma de Riemann, al igual que una integral de una sola variable

integral de línea vectorial: la integral de línea vectorial del campo vectorial ( vecs F ) a lo largo de la curva (C ) es la integral del producto escalar de ( vecs F ) con el vector unitario tangente ( vecs T ) de ( C ) con respecto a la longitud del arco, (∫_C vecs F · vecs T , ds ); tal integral se define en términos de una suma de Riemann, similar a una integral de una sola variable

Colaboradores

Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.

¿Cómo evaluar una integral de línea en una curva?

¿Cómo calculo esta integral de línea? La respuesta a este problema es 61/6 aquí, pero no tengo mucha confianza en la integración de líneas. Mi intento está por debajo del problema.

Intento: $ int_CB cdot dl = int_C (-x ^ 2, y, 3) cdot (dx, dy, dz) = $ $ = int_C -x ^ 2 dx + int_C y dy + int_C 3 dz = int_0 ^ 1 -x ^ 2 dx + int_2 ^ 5 y dy + int_5 ^ 5 3 dz $

Entonces, el último término (que involucra a z) es 0. Pero, ¿cuál es la estrategia para los dos primeros términos? Estoy tratando de reescribir las funciones usando $ y = 3x ^ 2 + 2 $.

Para el primer término: $ y = 3x ^ 2 + 2 longrightarrow x ^ 2 = (y-2) / 3 longrightarrow dx =? $ $ X $ de 0 a 1 en C dado por: $ int_0 ^ 1 - x ^ 2 dx = int_0 ^ 1 - frac <(y-2)> <3> dx $

Para el segundo término: y de 2 a 5 en C dado por: $ y = 3x ^ 2 + 2 longrightarrow dy = dx 6x $ $ int_2 ^ 5 y dy = int_2 ^ 5 6x dx $

De lo que no estoy seguro son los límites de integración (si debería ser de 0 a 1 cuando tengo dx en el segundo término y cómo obtener el elemento de línea diferencial dx (como si pudiera obtenerlo de la misma función $ y = 3x ^ 2 + 2 $ o necesita derivar $ x ^ 2 = (y-2) / 3 longrightarrow dx =? $.

5.3: Integrales de línea - Matemáticas

En esta sección, ahora vamos a presentar un nuevo tipo de integral. Sin embargo, antes de hacer eso, es importante tener en cuenta que deberá recordar cómo parametrizar las ecuaciones, o dicho de otra manera, deberá poder escribir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva determinada. Deberías haber visto algo de esto en tu curso de Cálculo II. Si necesita una revisión, debe volver atrás y revisar algunos de los conceptos básicos de las ecuaciones y curvas paramétricas.

Estas son algunas de las curvas más básicas que necesitaremos saber cómo hacer, así como los límites del parámetro si son necesarios.

Curva	Ecuaciones paramétricas
(comenzar Displaystyle frac <<>><<>> + frac <<>><<>> = 1 mbox <(Elipse)> end)	(comenzar comenzar mbox x = a cos left (t right) y = b sin left (t right) 0 le t le 2 pi end& comenzar mbox x = a cos left (t right) y = - b sin left (t right) 0 le t le 2 pi end fin)
(comenzar + = mbox <(Círculo)> end)	(comenzar comenzar mbox x = r cos left (t right) y = r sin left (t right) 0 le t le 2 pi end & comenzar mbox x = r cos left (t right) y = - r sin left (t right) 0 le t le 2 pi end fin)
(y = f left (x right) )	(comenzarx & = t y & = f left (t right) end)
(x = g left (y right) )	(comenzarx & = g left (t right) y & = t end)
(comenzar mbox izquierda (<,,> right) mbox left (<,,> derecha) end)	(comenzar vec r left (t right) = left (<1 - t> right) left langle <,,> right rangle + t left langle <,,> right rangle , , ,, , , 0 le t le 1 mbox comenzar comenzar x & = left (<1 - t> right) + t , y & = left (<1 - t> right) + t , z & = left (<1 - t> right) + t , fin &, , , , , , , 0 le t le 1 end fin)

Con el último, dimos tanto la forma vectorial de la ecuación como la forma paramétrica y, si necesitamos la versión bidimensional, simplemente descartamos los componentes (z ). De hecho, usaremos la versión bidimensional de esto en esta sección.

Para la elipse y el círculo, hemos proporcionado dos parametrizaciones, una trazando la curva en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario. Como eventualmente veremos, la dirección en la que se traza la curva puede, en ocasiones, cambiar la respuesta. Además, ambos “comienzan” en el eje positivo (x ) - en (t = 0 ).

Ahora pasemos a las integrales de línea. En Cálculo I integramos (f left (x right) ), una función de una sola variable, en un intervalo ( left [ derecho]). En este caso pensamos en (x ) tomando todos los valores en este intervalo comenzando en (a ) y terminando en (b ). Con las integrales de línea comenzaremos integrando la función (f left ( right) ), una función de dos variables, y los valores de (x ) y (y ) que vamos a usar serán los puntos, ( left ( right) ), que se encuentran en una curva (C ). Tenga en cuenta que esto es diferente de las integrales dobles con las que estábamos trabajando en el capítulo anterior, donde los puntos salían de alguna región bidimensional.

Comencemos con la curva (C ) de la que provienen los puntos. Asumiremos que la curva es suave (definido brevemente) y viene dado por las ecuaciones paramétricas,

[x = h left (t right) hspace <0.25in> y = g left (t right) hspace <0.25in> , , , , a le t le b ]

A menudo querremos escribir la parametrización de la curva como una función vectorial. En este caso, la curva viene dada por,

[ vec r left (t right) = h left (t right) , vec i + g left (t right) vec j hspace <0.25in> hspace <0.25in> a le t le b ]

La curva se llama suave si ( vec r ' left (t right) ) es continuo y ( vec r' left (t right) ne 0 ) para todo (t ).

El integral de línea de (f left ( right) ) a lo largo de (C ) se denota por,

Usamos un (ds ) aquí para reconocer el hecho de que nos estamos moviendo a lo largo de la curva, (C ), en lugar del eje (x ) - (denotado por (dx )) o el ( y ) - eje (denotado por (dy )). Debido a la (ds ) esto a veces se llama integral de línea de (f ) con respecto a la longitud del arco.

Ya vimos la notación (ds ) antes. Si recuerdas de Cálculo II cuando miramos la longitud de arco de una curva dada por ecuaciones paramétricas, encontramos que era,

No es una coincidencia que usemos (ds ) para ambos problemas. (Ds ) es el mismo para la integral de longitud de arco y la notación para la integral de línea.

Entonces, para calcular una integral de línea, convertiremos todo a las ecuaciones paramétricas. La integral de línea es entonces,

No olvide insertar también las ecuaciones paramétricas en la función.

Si usamos la forma vectorial de la parametrización, podemos simplificar un poco la notación notando que,

donde ( left | < vec r ' left (t right)> right | ) es la magnitud o la norma de ( vec r' left (t right) ). Usando esta notación, la integral de línea se convierte en,

Tenga en cuenta que siempre que la parametrización de la curva (C ) se traza exactamente una vez a medida que (t ) aumenta de (a ) a (b ), el valor de la integral de línea será independiente de la parametrización de la curva.

Echemos un vistazo a un ejemplo de integral de línea.

Primero necesitamos una parametrización del círculo. Esto viene dado por,

Ahora necesitamos un rango de (t ) que dará la mitad derecha del círculo. El siguiente rango de (t ) hará esto.

Ahora, necesitamos las derivadas de las ecuaciones paramétricas y calculemos (ds ).

La integral de línea es entonces,

A continuación, tenemos que hablar sobre integrales de línea curvas suaves a trozos. Una curva suave por partes es cualquier curva que se puede escribir como la unión de un número finito de curvas suaves, (),…,() donde el punto final de () es el punto de partida de (<>> ). A continuación se muestra una ilustración de una curva suave a trozos.

La evaluación de integrales de línea sobre curvas suaves por partes es algo relativamente simple de hacer. Todo lo que hacemos es evaluar la integral de línea sobre cada una de las piezas y luego sumarlas. La integral de línea para alguna función sobre la curva a trozos anterior sería,

Veamos un ejemplo de esto.

Entonces, primero necesitamos parametrizar cada una de las curvas.

Ahora hagamos la integral de línea sobre cada una de estas curvas.

Finalmente, la integral de línea que nos pidieron calcular es,

Observe que colocamos flechas de dirección en la curva en el ejemplo anterior. La dirección del movimiento a lo largo de una curva. mayo cambie el valor de la integral de línea como veremos en la siguiente sección. También tenga en cuenta que la curva se puede pensar en una curva que nos lleva desde el punto ( left (<- 2, - 1> right) ) al punto ( left (<1,2> right) ). Primero veamos qué sucede con la integral de línea si cambiamos la ruta entre estos dos puntos.

De las fórmulas de parametrización al comienzo de esta sección sabemos que el segmento de línea que comienza en ( left (<- 2, - 1> right) ) y termina en ( left (<1,2> right )) es dado por,

para (0 le t le 1 ). Esto significa que las ecuaciones paramétricas individuales son,

[x = - 2 + 3t hspace <0.25in> hspace <0.25in> y = - 1 + 3t ]

Usando esta ruta, la integral de línea es,

Al hacer estas integrales, no olvides sustituciones simples de Calc I para evitar tener que hacer cosas como calcular un término al cubo. Cubrirlo no es tan difícil, pero es más trabajo que una simple sustitución.

Entonces, los dos ejemplos anteriores parecen sugerir que si cambiamos la ruta entre dos puntos, el valor de la integral de línea (con respecto a la longitud del arco) cambiará. Si bien esto sucederá con bastante regularidad, no podemos asumir que siempre sucederá. En una sección posterior, investigaremos esta idea con más detalle.

A continuación, veamos qué sucede si cambiamos la dirección de una ruta.

Este no es muy diferente, en términos de trabajo, del ejemplo anterior. Aquí está la parametrización de la curva.

para (0 le t le 1 ). Recuerde que estamos cambiando la dirección de la curva y esto también cambiará la parametrización para que podamos asegurarnos de que comenzamos / terminamos en el punto correcto.

Aquí está la integral de línea.

Entonces, parece que cuando cambiamos la dirección de la curva, la integral de línea (con respecto a la longitud del arco) no cambiará. Esto siempre será cierto para este tipo de integrales de línea. Sin embargo, existen otros tipos de integrales de línea en las que este no será el caso. Veremos más ejemplos de esto en las próximas dos secciones, así que no se le ocurra que cambiar la dirección nunca cambiará el valor de la integral de línea.

Antes de trabajar con otro ejemplo, formalicemos un poco esta idea. Supongamos que la curva (C ) tiene la parametrización (x = h left (t right) ), (y = g left (t right) ). Supongamos también que el punto inicial de la curva es (A ) y el punto final de la curva es (B ). La parametrización (x = h left (t right) ), (y = g left (t right) ) determinará entonces un orientación para la curva donde la dirección positiva es la dirección que se traza a medida que (t ) aumenta. Finalmente, sea (- C ) la curva con los mismos puntos que (C ), sin embargo en este caso la curva tiene (B ) como punto inicial y (A ) como punto final, de nuevo (t ) aumenta a medida que atravesamos esta curva. En otras palabras, dada una curva (C ), la curva (- C ) es la misma curva que (C ) excepto que la dirección se ha invertido.

Luego tenemos el siguiente hecho sobre las integrales de línea con respecto a la longitud del arco.

Entonces, para una integral de línea con respecto a la longitud del arco, podemos cambiar la dirección de la curva y no cambiar el valor de la integral. Este es un dato útil para recordar, ya que algunas integrales de línea serán más fáciles en una dirección que en la otra.

Ahora, trabajemos con otro ejemplo

(: y = , , , , - 1 le x le 1 )

(): El segmento de línea desde ( left (<- 1,1> right) ) a ( left (<1,1> right) ).

(): El segmento de línea desde ( left (<1,1> right) ) a ( left (<- 1,1> right) ).

Antes de trabajar con cualquiera de estas integrales de línea, observemos que todas estas curvas son caminos que conectan los puntos ( left (<- 1,1> right) ) y ( left (<1,1> right) ). También observe que ( = - ) y así, por el hecho anterior, estos dos deberían dar la misma respuesta.

Aquí hay un bosquejo de las tres curvas y observe que las curvas que ilustran () y () se han separado un poco para mostrar que son curvas separadas de alguna manera a pesar de que son la misma línea.

Aquí hay una parametrización para esta curva.

Aquí está la integral de línea.

Hay dos parametrizaciones que podríamos usar aquí para esta curva. La primera es usar la fórmula que usamos en el par de ejemplos anteriores. Esa parametrización es,

A veces no tenemos más remedio que utilizar esta parametrización. Sin embargo, en este caso hay una segunda (probablemente) parametrización más sencilla. El segundo usa el hecho de que en realidad solo estamos graficando una parte de la línea (y = 1 ). Usando esto, la parametrización es,

Esta será una parametrización mucho más fácil de usar, así que la usaremos. Aquí está la integral de línea para esta curva.

Tenga en cuenta que esta vez, a diferencia de la integral de línea con la que trabajamos en los ejemplos 2, 3 y 4, obtuvimos el mismo valor para la integral a pesar de que la ruta es diferente. Esto sucederá de vez en cuando. Tampoco deberíamos esperar que esta integral sea la misma para todos los caminos entre estos dos puntos. En este punto, todo lo que sabemos es que para estos dos caminos la integral de línea tendrá el mismo valor. Es completamente posible que haya otro camino entre estos dos puntos que dé un valor diferente para la integral de línea.

Ahora, de acuerdo con nuestro hecho anterior, realmente no necesitamos hacer nada aquí, ya que sabemos que ( = - ). El hecho nos dice que esta integral de línea debería ser la misma que la segunda parte (es decir. cero). Sin embargo, verifiquemos que, además, hay un punto que debemos señalar aquí sobre la parametrización.

Aquí está la parametrización de esta curva.

Tenga en cuenta que esta vez no podemos usar la segunda parametrización que usamos en la parte (b) ya que necesitamos movernos de derecha a izquierda a medida que aumenta el parámetro y la segunda parametrización usada en la parte anterior se moverá en la dirección opuesta.

Aquí está la integral de línea para esta curva.

Efectivamente, obtuvimos la misma respuesta que la segunda parte.

Hasta este punto de esta sección, solo hemos analizado las integrales de línea sobre una curva bidimensional. Sin embargo, no hay razón para restringirnos así. También podemos hacer integrales de línea sobre curvas tridimensionales.

Supongamos que la curva tridimensional (C ) viene dada por la parametrización,

[x = x left (t right), , hspace <0.25in> y = y left (t right) hspace <0.25in> z = z left (t right) hspace < 0.25 pulg.> A le t le b ]

entonces la integral de línea está dada por,

Tenga en cuenta que a menudo, cuando se trata de un espacio tridimensional, la parametrización se dará como una función vectorial.

Observe que cambiamos un poco la notación para la parametrización. Dado que rara vez usamos los nombres de las funciones, simplemente mantuvimos las (x ), (y ) y (z ) y agregamos en la parte ( left (t right) ) para indicar que pueden ser funciones del parámetro.

También observe que, al igual que con las curvas bidimensionales, tenemos,

y la integral de línea se puede volver a escribir como,

Entonces, fuera de la adición de una tercera ecuación paramétrica, las integrales de línea en el espacio tridimensional funcionan de la misma manera que las del espacio bidimensional. Trabajemos con un ejemplo rápido.

Tenga en cuenta que vimos por primera vez la ecuación vectorial para una hélice en la sección Funciones vectoriales. Aquí hay un bosquejo rápido de la hélice.

Aquí está la integral de línea.

Pudiste hacer esa integral, ¿verdad? Requería integración por partes.

Entonces, como podemos ver, realmente no hay mucha diferencia entre las integrales de línea bidimensionales y tridimensionales.

Integrales de línea: conceptos fundamentales

Para una integral simple, el área se calcula bajo una curva definida por y = f (x): y = f (x): y = f (x):

Para evaluar el área bajo la curva, simplemente se integra f (x) f (x) f (x) de a a a ab: b: b:

Sin embargo, para integrales de línea, el área es una superficie bidimensional que "se curva en tres dimensiones". Es ondulado como una cortina en lugar de ser completamente plano como el ejemplo anterior:

Integral de línea

Esto se hace introduciendo el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas para definir la curva C C C en el plano x y xy x y:

Generalizado a tres dimensiones, esto se convierte en

B. El área bajo la curva y = x 2 y = x ^ 2 y = x 2 entre x = 2 x = 2 x = 2 y x = 5 x = 5 x = 5

C. La radiación total absorbida por una persona que camina a una velocidad uniforme alrededor de una elipse con eje menor de longitud a a a y eje mayor de longitud b b b, con una fuente de radiación en la coordenada (b, a) (b, a) (b, a)

5 respuestas 5

Sea $ C $ cualquier curva en $ mathbb^ d $. Una parametrización de $ C $ es un mapa $ gamma: [a, b] to mathbb^ d $ que traza a lo largo de los puntos en $ C $ en un orden específico. Para dos funciones cualesquiera $ f $, $ g $ definidas en el conjunto de puntos pertenecen a $ C $, definimos la integral de línea sobre $ C $ por

$ int_C f dg stackrel <=> int_ gamma f dg stackrel<=> int_a ^ b f ( gamma (t)) , (g circ gamma) '(t) dt $

es decir, la integral de línea se define a través de una integral sobre una parametrización específica de la curva. La clave es que el valor de la integral de la derecha es independiente de la elección de parametrización. Para mayor claridad, se puede eliminar el parámetro explícito $ t $ de la expresión.

Para su caso, $ int e ^ dx $ realmente significa $ int e ^, (x circ gamma) '(t) dt $ para cualquier parametrización que elija para evaluar la integral. El $ s $ que normalmente ve representa la parametrización de la longitud del arco, es solo una opción posible de parametrización. No necesitas usarlo si te hace la vida más difícil.

Definir $ vec(t) = & ltt ^ 3, t & gt $. Definir $ vec(t) = & lte ^, 0 & gt $. Entonces quieres $ int_C vec cdot d vec$, que ahora se puede integrar a lo largo de la línea $ t $ de -1 a 1. Pero esto lo ve como un campo vectorial, no como un campo escalar. Pero es consistente con la notación.

Es bastante estándar escribir $ int_C P (x, y) dx + Q (x, y) dy $ para la integral de línea $ int_C vec F cdot d vec r $, donde $ vec F (x , y) = (P (x, y), Q (x, y)) $. Entonces, en este caso $ vec F (x, y) = (e ^ x, 0) $.

Aquí uno puede resolver como lo hizo o puede notar que $ vec F $ es conservador, con función potencial $ f (x, y) = e ^ x $. Entonces $ int_C e ^ x , dx = f (1,1) -f (-1, -1) = e- frac1e. PS

Es importante tener en cuenta que todo esto funciona porque $ P $ depende solo de $ x $.

¿Sabes cómo hallar la longitud de un arco?

No estoy seguro de cómo calcular esa integral directamente. Necesitaría hacer una aproximación numérica.

Este es un ejemplo de integral de línea con respecto a $ x $. Las integrales de línea con respecto a las funciones de coordenadas no son del todo intuitivas (para mí). Una posible motivación para tal cosa sería el trabajo informático. Si hace rodar una bola de nieve cuesta arriba, trabaja. El trabajo depende de la masa de la bola de nieve, que depende de cuánto tiempo la hayas estado rodando y de la ganancia de elevación de la colina. Pero cualquier componente horizontal del rodamiento no requiere trabajo, ya que la única fuerza es la gravedad. Por lo tanto, si la colina tiene un perfil en forma de curva $ C $, y $ f (x, y) $ es la masa de la bola de nieve en la posición $ (x, y) $ de la colina, ($ y $ es la coordenada vertical), entonces el trabajo es proporcional a $ int_C f (x, y) , dy $.

Existe un procedimiento formal y simple para calcular integrales como estas. Para el suyo, parametrice $ C $ por $ x = t ^ 3 $, $ y = t $ sobre $ -1 leq t leq 1 $. Entonces el integrando es $ e ^$, y el diferencial es $ dx = 3t ^ 2 , dt $. La integral se convierte en $ int_C e ^, dx = int_ <-1> ^ t e ^ 3t ^ 2 , dt = izquierda. e ^ right | ^ <1> _ <-1> = e - e ^ <-1> $

De hecho, creo que la formalidad es la principal ventaja de estas integrales. Si $ mathbf = P mathbf + Q mathbf + R mathbf$ es un campo vectorial en $ C $, luego $ int_C mathbf cdot d mathbf = int_C P , dx + int_C Q , dy + int_C R , dz $

Perspectiva matemática

Empecemos dllp (t) = (3t-2, t + 1), qquad 1 le t le 2 end ser una parametrización de un cable. Sea begin f (x, y) = x + y. fin Calcule la masa del alambre.

Solución: La masa es la integral de la densidad a lo largo del cable. Entonces debemos calcular $ int_ < dllp> f , ds $. Desde, begin dllp '(t) & amp = (3,1), | dllp '(t) | & amp = sqrt <3 ^ 2 + 1 ^ 2> = sqrt <10>, f ( dllp (t)) & amp = (3t-2) + (t + 1) = 4t-1, end la integral es begin int_ < dllp> f , ds & amp = int_a ^ b f ( dllp (t)) | dllp '(t) | dt & amp = int_ <1> ^ 2 (4t-1) sqrt <10> dt & amp = (2 t ^ 2 - t) left. left. sqrt <10> right | _ <1> ^ 2 right. & amp = left (8-2- (2-1) right) sqrt <10> = 5 sqrt <10> end

Entonces, si $ f $ se dieran en gramos / cm y $ dllp (t) $ se dieran en cm, entonces la masa del alambre sería $ 5 sqrt <10> $ gramos.

Ejemplo 2

Ni la longitud del cable ni su masa pueden depender de la parametrización. Compruebe que obtiene la misma respuesta con la parametrización begin adllp (t) = (9t-2,3t + 1), qquad 1/3 le t le 2/3. fin No es que este sea el mismo cable que en el Ejemplo 1, que es una línea recta desde el punto $ (1,2) $ hasta $ (4,3) $.

Solución: Repetimos los mismos cálculos que en el Ejemplo 1. (Recuerde que $ f (x, y) = x + y $.) Dado que begin adllp '(t) & amp = (9,3), | adllp '(t) | & amp = sqrt <9 ^ 2 + 3 ^ 2> = sqrt <90> = 3 sqrt <10>, f ( adllp (t)) & amp = (9t-2) + (3t + 1) = 12t-1, end la integral es begin int_ < adllp> f , ds & amp = int_ <1/3> ^ <2/3> f ( adllp (t)) | adllp '(t) | dt & amp = int_ <1/3> ^ <2/3> (12t-1) 3 sqrt <10> dt & amp = (6 t ^ 2 - t) left. left.3 sqrt <10> right | _ <1/3> ^ <2/3> right. & amp = left [6 left ( frac <2> <3> right) ^ 2- frac < 2> <3>-left(6left(frac<1> <3> right) ^ 2 - frac <1> <3> right) right] 3 sqrt <10> & amp = left [ frac <24> <9> - frac <2> <3> - frac <6> <9> + frac <1> <3> right] 3 sqrt <10> = frac <5> <3> 3 sqrt <10> = 5 sqrt <10>, end que coincide con el ejemplo 1.

Tenga en cuenta que & ldquospeed & rdquo de la parametrización $ | adllp '(t) | = 3 sqrt <10> $ fue tres veces mayor que la velocidad $ | dllp '(t) | = sqrt <10> $ del Ejemplo 1. Pero el rango de integración $ 1/3 le t le 2/3 $ fue un tercio del rango de integración del Ejemplo 1.

Ejemplo 3

Aquí hay otra parametrización del mismo cable de línea recta desde $ (1,2) $ a $ (4,3) $. Esta vez, la & ldquospeed & rdquo de la parametrización no es constante, sino que depende de t: begin sadllp (t) = (3t ^ 2-2, t ^ 2 + 1), qquad 1 le t le sqrt <2>. fin Aún usando la densidad $ f (x, y) = x + y $, calcule la masa del cable.

Solución: Desde begin sadllp '(t) & amp = (6t, 2t), | sadllp '(t) | & amp = sqrt <(6t) ^ 2 + (2t) ^ 2> = sqrt <40t ^ 2> = 2t sqrt <10>, f ( sadllp (t)) & amp = (3t ^ 2- 2) + (t ^ 2 + 1) = 4t ^ 2-1. fin la integral es begin int_ < sadllp> f , ds & amp = int_ <1> ^ < sqrt <2>> f ( sadllp (t)) | sadllp '(t) | dt & amp = int_ <1> ^ < sqrt <2>> (4t ^ 2-1) 2t sqrt <10> dt & amp = int_ <1> ^ < sqrt <2>> ( 8t ^ 3-2t) sqrt <10> dt & amp = (2t ^ 4 - t ^ 2) left. Left. Sqrt <10> right | _ <1> ^ < sqrt <2> > right. & amp = left [2 bigl ( sqrt <2> bigr) ^ 4 - bigl ( sqrt <2> bigr) ^ 2-2 +1 right] sqrt <10 > = 5 sqrt <10>, end que coincide con los ejemplos 1 y 2.

Ejemplo 4

Para el slinky $ dlc $ parametrizado por $ dllp (t) = ( cos t, sin t, t) $ para le t le 2 pi $, sea su densidad en el punto $ (x, y, z) $ estará dado por $ f (x, y, z) = 1 + x + z $. Encuentra la masa del furtivo.

Solución: Desde begin f ( dllp (t)) & amp = 1+ cos t + t dllp '(t) & amp = (- sin t, cos t, 1) | dllp' (t) | & amp = sqrt < sin ^ 2 t + cos ^ 2 t + 1> = sqrt <2>, end la integral de línea que da la masa es begin slint < dlc> & amp = pslint <0> <2 pi>< dllp> & amp = int_0 ^ <2 pi> (1+ cos t + t) sqrt <2> dt & amp = sqrt <2> (t + sin t + t ^ 2 / 2) Grande | _0 ^ <2 pi> = 2 sqrt <2> pi + 2 sqrt <2> pi ^ 2. fin

Primer teorema fundamental del cálculo

Sea f una función que es integrable en [a, x] para cada x en [a, b]. Sea c tal que a & le c & le b y defina una nueva función A como sigue:
$ A (x) = int_c ^ x f (t) dt, qquad qquad a leq x leq b $
Entonces la derivada A '(x) existe en cada punto x en el intervalo abierto (a, b) donde f es continua, y para tal x tenemos
(5.1) A '(x) = f (x).
Primero damos un argumento geométrico que sugiere por qué el teorema debería ser verdadero y luego damos una demostración analítica.

Motivación geométrica. La figura 5.1 muestra la gráfica de una función f en un intervalo [a, b]. En la figura, h es positivo y
$ int_x ^ f (t) dt = int_c ^ f (t) dt - int_c ^ x f (t) dt = A (x + h) - A (x) $
El ejemplo que se muestra es continuo a lo largo del intervalo [x, x + h]. Por lo tanto, según el teorema del valor medio para integrales, tenemos
A (x + h) - A (x) = hf (Z), donde x & le z & le x + h.
Por lo tanto tenemos
(5.2) [A (x + h) - A (x)] / h = f (z),

y, como x & le z & le x + h, encontramos que f (z) & rarr f (x) como h & rarr 0 a través de valores positivos. Un argumento similar es válido si h & rarr 0 a través de valores negativos. Por lo tanto, A '(x) existe y es igual af (x).
Este argumento supone que la función f es continua en alguna vecindad del punto x. Sin embargo, la hipótesis del teorema se refiere solo a la continuidad en un solo punto x. Por lo tanto, usamos un método diferente para probar el teorema bajo esta hipótesis más débil.

Prueba analítica. Sea x un punto de continuidad, mantenga x fijo y forme el cociente
[A (x + h) - A (x)] / h
Para demostrar el teorema debemos demostrar que este cociente se aproxima al límite f (x) cuando h & rarr 0. El numerador es
$ A (x + h) - A (x) = int_c ^ f (t) dt - int_c ^ x f (t) dt = int_x ^ f (t) dt. $
Si escribimos f (t) = f (x) + [f (t) -f (x)] en la última integral, obtenemos
de donde encontramos
(5.3) $ frac = f (x) + frac <1> int_x ^ [f (t) - f (x)] dt $
Por lo tanto, para completar la demostración de (5.1), todo lo que necesitamos hacer es mostrar que
$ lim_ frac <1> int_x ^ [f (t) - f (x)] dt = 0 $
Es esta parte de la demostración la que hace uso de la continuidad en x.
Denotemos el segundo término a la derecha de (5.3) por G (h). Debemos demostrar que G (h) -f 0 como h --f 0. Usando la definición de límite, debemos demostrar que para cada & epsilon> 0 hay un & delta> 0 tal que
(5.4) | G (h) | n + 2) / (n + 1)
tiene la derivada P '(x) = x n si n es cualquier número entero no negativo. Dado que esto es válido para todo x real, podemos usar (5.8) para escribir
$ int _a ^ b x ^ n dx = P (b) - P (a) = frac<>-a ^>$
para todos los intervalos [a, b]. Esta fórmula, probada para todos los enteros n & ge 0, también es válida para todos los enteros negativos excepto n = -1, que se excluye porque n + 1 aparece en el denominador. Para probar (5.9) para n negativo, basta con mostrar que (5.10) implica P '(x) = xn cuando n es negativo y & ne - 1, un hecho que se verifica fácilmente diferenciando P como una función racional. Por supuesto, cuando n es negativo, ni P (x) ni P '(x) se definen para x = 0, y cuando usamos (5.9) para n negativo, es importante excluir los intervalos [a, b] que contienen el punto x = 0.
Los resultados del ejemplo 3 de la sección 4.5 nos permiten extender (5.9) a todos los exponentes racionales (excepto -l), siempre que el integrando esté definido en todas partes en el intervalo [a, b] considerado. Por ejemplo, si 0 c para cada exponente real c. Encontraremos que esta función tiene la derivada f '(x) = cx c - 1 y la primitiva P (x) = xc + 1 / (C + 1) si c & ne - 1. Esto nos permitirá extender (5.9 ) a todos los exponentes reales excepto - 1.
Tenga en cuenta que no podemos obtener P '(x) = 1 / x mediante la diferenciación de cualquier función de la forma P (x) = x n. Sin embargo, existe una función P cuya derivada es P '(x) = 1 / x. Para exhibir tal función, todo lo que necesitamos hacer es escribir una integral indefinida adecuada, por ejemplo,
$ P (x) = int _x ^ c frac <1> dt qquad qquad si x> 0 $
Esta integral existe porque el integrando es monotónico. La función SO definida se llama Zogaritmo (más específicamente, el logaritmo natural). Sus propiedades se desarrollan sistemáticamente en el Capítulo 6.

EJEMPLO 2. Integración del seno y el coseno. Dado que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es menos el seno, el segundo teorema fundamental también nos da las siguientes fórmulas:
$ int _a ^ b cos x dx = sin x | _a ^ b = sin b - sin a $
$ int _a ^ b sin x dx = (- cos x) | _a ^ b = cos a - cos b $
Pueden obtenerse más ejemplos de fórmulas de integración a partir de los Ejemplos 1 y 2 tomando sumas finitas de términos de la forma Ax '”, B sen x, C COS x, donde A, B, C son constantes.

5.4 Propiedades de una función deducidas. de las propiedades de su derivada

Si una función f tiene una derivada continua f 'en un intervalo abierto Z, el segundo teorema fundamental establece que
(5.11) $ f (x) = f (c) + int _c ^ x f '(t) dt $
para cada elección de los puntos x y c en Z. Esta fórmula, que expresa f en términos de su derivada f ‘, nos permite deducir las propiedades de una función a partir de las propiedades de su derivada. Aunque las siguientes propiedades ya se han analizado en el capítulo 4, puede ser de interés ver cómo también pueden deducirse como simples consecuencias de la ecuación (5.11).
Suponga que f 'es continua y no negativa en I. Si x> c, entonces $ int _c ^ x f' (t) dt geq 0 $, y por lo tanto f (x) & ge f (c). En otras palabras, si la derivada es continua y no negativa en Z, la función aumenta en Z.
En el teorema 2.9 probamos que la integral indefinida de una función creciente es convexa. Por lo tanto, si f 'es continua y creciente en 1, la ecuación (5.11) muestra que f es convexa en Z. De manera similar, f es cóncava en aquellos intervalos donde f' es continua y decreciente.

Cálculo III:

Al integrar una función de una sola variable f (x) en un intervalo [a, b], x toma todos los valores en este intervalo comenzando en ay terminando en b.

Integración doble de una función de dos variables f (x, y) sobre un dominio [a, b] D, xey toma todos los valores en este dominio comenzando en a y terminando en b para x y comenzando en c y terminando en d por y.

Con integrales de línea integramos la función f (x, y), una función de dos variables, y los valores de xey serán los puntos, (x, y), que se encuentran en una curva C.

Observe que esto es diferente de las integrales dobles donde la integración se realiza sobre una región R o D. En las integrales de línea, integramos sobre una curva hecha a partir de los puntos de la función en sí.

Consideremos la curva C de la que provienen los puntos y supongamos que la curva es suave. La curva viene dada por las ecuaciones paramétricas:

Con la parametrización de la curva como función vectorial, la curva viene dada por:

(t) = g (t) + h (t) a ≤ t ≤ b

Recordemos que la curva se llama suave Si(t) es continuo y(t) ≠ para todo t.

La integral de línea de f (x, y) a lo largo de C se denota por:

El elemento diferencial es ds. Este es el hecho de que nos movemos a lo largo de la curva, C, en lugar de dx para el eje x, o dy para el eje y.

La fórmula anterior se llama integral de línea de f con respecto a la longitud del arco.

Recordemos que la longitud del arco de una curva viene dada por las ecuaciones paramétricas:

L = ∫_a b ds ancho ds = √ [(dx / dt) 2 + (dy / dt) 2] dt

Por lo tanto, para calcular una integral de línea, convertimos todo a las ecuaciones paramétricas. La integral de línea es entonces:

Ejemplo 1

Evaluar ∫_C 3x 2 ds donde C es el segmento de línea de (-1, 1) a (1,2).

Ya hemos visto, en la ecuación de una línea en la sección del espacio 3D, que la fórmula de parametrización del segmento de línea que comienza en el punto (xo, yo) y termina en el punto (x1, y1) es:

(t) = (1 - t) 〈xo, yo〉 + t 〈x1, x2〉

x = xo (1 - t) + x1 t
y = yo (1 - t) + y1 t

Entonces, la fórmula de parametrización del segmento de línea que comienza en (-1, -1) y termina en (1,2) es:

(t) = (1 - t) 〈-1, 1〉 + t 〈1,2〉.

x = (1 - t) (- 1) + t (1) = 2t - 1
y = (1 - t) (1) + t (2) = t + 1

En (-1, 1): x = - 1, y = 1 → t = 0 , y
en (1,2): x = 1, y = 2 → t = 1

Tenemos: dx / dt = 2 y dy / dt = 1. Por lo tanto:
ds = √ [2 2 + 1 2] dt = √5 dt.

∫_C 3x 2 ds = ∫₀ 1 3 (2t - 1) 2 √5 dt = 3 √5 ∫₀ 1 (4t 2 - 4t + 1) dt =
3√5 [(4/3) t 3 - 2t 2 + t] ₀ 1 = 3√5 [(4/3) - 2 + 1] =
3√5 [1/3] = √5

Ejemplo 2

Evaluar ∫_Cxy 2 ds donde C es la mitad derecha del círculo x 2 + y 2 = 16, girado en sentido antihorario.

Parametrizamos la curva que es el círculo, luego el integrando, y luego el elemento diferencial:

x = 4 cos t, y = 4 sen t - π / 2 ≤ t ≤ + π / 2.

f (x, y) = xy 2 = 4 cos t (4 sint) 2 = 64 cos t sin 2 t

dx / dt = - 4 sen t, dy / dt = 4 cos t

∫_C xy 2 ds = ∫_{- π / 2} + π / 2 64 cos t sen 2 t (4 dt) =
256 ∫_{- π / 2} + π / 2 cos t sen 2 t dt = 256 [(1/3) sen 3 t]_{- π / 2} + π / 2 =
(256/3) [sin 3 (π / 2) - sin 3 (-π / 2)] = 2 (256/3) sin 3 (+ π / 2) = 2 (256/3) = 512/3.

2. Integrales sobre curvas suaves a trozos

Ahora, vamos a integrar integrales de línea sobre curvas suaves a trozos.

Una curva suave C por partes es cualquier curva que se puede escribir como la unión de un número finito de curvas suaves, C1, C2, C3,,. Cn, donde el punto final de Ci es el punto de partida de Ci + 1.

Para evaluar las integrales de línea sobre curvas suaves por partes, evaluamos la integral de línea sobre cada una de las piezas y luego las sumamos:

Ejemplo 3

Evaluar ∫_C 2x ds
donde C es la curva que se muestra a continuación.

C2: x = 3 cos t, y = 3 sin t π / 2 ≤ t ≤ 0

∫_C1 2x ds = ∫_{- 4} 0 2t dt = (t 2) |_{- 4} 0 = 16

dx / dt = - 3 sint dy / dt = 3 coos t
ds = 3 dt

∫_C2 2x ds = ∫_{π / 2} 0 2 cos t (3 dt) = 6 (sen t) |_{π / 2} 0 = 6 (sen t) |_{π / 2} 0 = - 6

Ejemplo 4

En el ejemplo 1, hemos encontrado:

∫_C 3x 2 ds donde C es el segmento de línea de (-1, 1) a (1,2).

Aquí cambiamos la dirección de la curva para ver si la integral de línea cambia:

Evaluamos Entonces ∫_-C 3x 2 ds donde -C es el segmento de línea de (1,2) (- 1, 1).

La fórmula de parametrización del segmento de línea que comienza en (1, 2) y termina en (- 1, 1) es:

(t) = (1 - t) 〈1, 2〉 + t 〈- 1,1〉.

x = (1 - t) (1) + t (- 1) = 1 - 2t
y = (1 - t) (2) + t (1) = 2 - t

En (1,2): x = 1, y = 2 → t = 0 , y
En (-1, 1): x = - 1, y = 1 → t = 1

Tenemos: dx / dt = - 2, y dy / dt = - 1. Por lo tanto:
ds = √ [2 2 + 1 2] dt = √5 dt.

∫_-C 3x 2 ds = ∫₀ 1 3 (1 - 2t) 2 √5 dt = √5

∫_-C 3x 2 = √5 , como en el ejemplo 1.

Entonces, para este tipo de integrales de línea, es decir, para las integrales con respecto a la longitud del arco ds, cuando cambiamos la dirección de la curva, la integral de línea (con respecto a la longitud del arco) no cambiará. Pero no es válido para todas las integrales de línea. Para una línea integral con respecto a la longitud del arco, tenemos:

3. Integrales de línea sobre una curva tridimensional

Las integrales de línea sobre una curva tridimensional se pueden extender desde las integrales de línea sobre una curva bidimensional.

Supongamos que la curva tridimensional C viene dada por la parametrización:

Perspectiva matemática

En el cálculo de una variable, el teorema fundamental del cálculo fue una herramienta útil para evaluar integrales. Si está integrando una función $ g (t) $ y resulta que la función es la derivada de otra función $ g (t) = G '(t) $, entonces integrar la función $ g (t) $ es simple . La integral de $ g $ es solo la diferencia en los valores de $ G (t) $ en los extremos. Podríamos escribir el resultado como begin int_a ^ b G '(t) dt = G (b) -G (a). label fin

Para integrales de línea de campos vectoriales, existe un teorema fundamental similar. En algunos casos, podemos reducir la integral de línea de un campo vectorial $ dlvf $ a lo largo de una curva $ dlc $ a la diferencia en los valores de otra función $ f $ evaluada en los extremos de $ dlc $, begin dlint = f (Q) -f (P), label fin donde $ dlc $ comienza en el punto $ P $ y termina en el punto $ Q $. Si dejamos que $ dlvf: R ^ n to R ^ n $ (¿confundido?) Sea un campo vectorial $ n $ -dimensional, entonces debe ser que $ f: R ^ n to R $ es una función con valores escalares, ya que la integral de línea se evalúa como un solo número.

Esto suena bien, pero hay un problema importante: solo funcionará para integrar tipos especiales de campos vectoriales. Claramente, la ecuación eqref posiblemente podría ser verdadera solo si la integral de línea a lo largo de $ dlc $ depende solo de los puntos finales de $ dlc $ y no depende de la ruta particular que toma $ dlc $. En otras palabras, podemos esperar un teorema fundamental similar para integrales de línea solo si el campo vectorial es conservador (también llamado independiente de ruta). Si el campo vectorial $ dlvf $ depende de la ruta, será imposible reducir su integral de línea a los valores de una función en los extremos de la ruta.

Podemos derivar fácilmente cómo debería verse un campo vectorial conservador y, en el proceso, obtener nuestro teorema fundamental para integrales de línea. Deje que la curva $ dlc $ desde el punto $ P $ a $ Q $ esté parametrizada por $ dllp (t) $ para $ a

Ver el vídeo: Fundamental Theorem of Line Integrals (Mayo 2022).