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1.1: Una descripción general de las matemáticas discretas


¿Qué son las matemáticas discretas? En términos generales, es el estudio de objetos discretos. Aquí, discreto significa "que contiene elementos distintos o no conectados". Ejemplos incluyen:

  • Determinar si un argumento matemático es lógicamente correcto.
  • Estudiar la relación entre conjuntos finitos.
  • Contar la cantidad de formas de organizar objetos en un patrón determinado.
  • Analizar procesos que involucran un número finito de pasos.

Aquí hay algunas razones por las que estudiamos matemáticas discretas:

  • Desarrollar nuestra capacidad para comprender y crear argumentos matemáticos.
  • Proporcionar la base matemática para cursos avanzados de matemáticas e informática.

En este texto, cubriremos estos cinco temas:

  1. Técnicas de lógica y prueba. La lógica nos permite determinar si un determinado argumento es válido. También aprenderemos varias técnicas básicas de prueba.
  2. Conjuntos. Estudiamos las propiedades fundamentales de los conjuntos y usaremos las técnicas de prueba que aprendimos para demostrar resultados importantes en la teoría de conjuntos.
  3. Teoría básica de números. La teoría de números es una de las ramas más antiguas de las matemáticas; estudia las propiedades de los números enteros. Nuevamente, usaremos las técnicas de prueba que aprendimos para probar algunos hechos básicos en la teoría de números.
  4. Relaciones y funciones. Las relaciones y funciones describen la relación entre los elementos de dos conjuntos. Desempeñan un papel clave en las matemáticas.
  5. Combinatoria. La combinatoria estudia la disposición de los objetos. Por ejemplo, cabe preguntarse de cuántas formas podemos formar una palabra de cinco letras. Se utiliza en muchas disciplinas más allá de las matemáticas.

Todos estos temas son cruciales en el desarrollo de su madurez matemática. La importancia de algunos de estos conceptos puede no ser evidente al principio. A medida que pasa el tiempo, comprenderá poco a poco por qué cubrimos estos temas. De hecho, es posible que no aprecie completamente las materias hasta que comience a tomar cursos avanzados de matemáticas.

Este es un curso muy desafiante en parte debido a su intensidad. Tenemos que cubrir muchos temas que parecen no tener ninguna relación al principio. Esta es también la primera vez que muchos estudiantes tienen que estudiar matemáticas en profundidad. Se le pedirá que escriba su argumento matemático de manera clara, precisa y rigurosa, lo cual es una experiencia nueva para la mayoría de ustedes.

Aprender a pensar matemáticamente es mucho más importante que saber cómo hacer todos los cálculos. En consecuencia, el objetivo principal de este curso es ayudarlo a desarrollar las habilidades analíticas que necesita para aprender matemáticas. Para lograr este objetivo, le mostraremos la motivación detrás de las ideas, le explicaremos los resultados y analizaremos por qué algunos métodos de solución funcionan y otros no.


Matemáticas discretas

Matemáticas discretas es el estudio de estructuras matemáticas que son contables o distintas y separables. Ejemplos de estructuras que son discretas son combinaciones, gráficos y enunciados lógicos. Las estructuras discretas pueden ser finitas o infinitas. Las matemáticas discretas contrastan con matemáticas continuas, que trata con estructuras que pueden variar en valor sobre los números reales, o tener alguna cualidad no separable.

Desde la época de Isaac Newton y hasta hace muy poco, casi todo el énfasis de las matemáticas aplicadas se ha puesto en procesos de variación continua, modelados por el continuo matemático y utilizando métodos derivados del cálculo diferencial e integral. A diferencia de, Matemáticas discretas se ocupa principalmente de colecciones finitas de objetos discretos. Con el crecimiento de los dispositivos digitales, especialmente las computadoras, las matemáticas discretas se han vuelto cada vez más importantes.

Las estructuras discretas se pueden contar, organizar, colocar en conjuntos y poner en proporciones entre sí. Aunque las matemáticas discretas son un campo amplio y variado, existen ciertas reglas que se trasladan a muchos temas. El concepto de eventos independientes y las reglas de producto, suma y PIE se comparten entre la combinatoria, la teoría de conjuntos y la probabilidad. Además, las leyes de De Morgan son aplicables en muchos campos de las matemáticas discretas.

A menudo, lo que hace que los problemas de matemáticas discretas sean interesantes y desafiantes son las restricciones que se les imponen. Aunque el campo de las matemáticas discretas tiene muchas fórmulas elegantes para aplicar, es raro que un problema práctico se ajuste perfectamente a una fórmula específica. Parte del placer de descubrir matemáticas discretas es aprender muchos enfoques diferentes para la resolución de problemas y luego ser capaz de aplicar creativamente estrategias dispares hacia una solución.

Contenido


Programa de estudios

Notas integrales, estilo libro (no reenvasados). Disponible en cuotas semanales durante las conferencias y en línea al final de la semana correspondiente.

Este libro tiene mucho que elogiar, incluyendo una enorme cantidad de ejemplos y ejercicios y una exposición orientada a la informática. Tiene un tono un tanto fácil, adecuado para complementar las notas de la clase. Es bastante caro (alrededor de & pound50) pero hay muchas copias en las bibliotecas de Oxford.

Muy básico, pero fácil de leer. Solo cubre la primera mitad del curso. Barato.

Parte del libro es bastante avanzado, pero también cubre bastante bien los conceptos básicos. Tiene muchas preguntas sobre buenas prácticas (algunas difíciles). Las ediciones anteriores son igualmente útiles.


Lógica y matemáticas discretas: una introducción concisa

Este libro presenta una combinación única de cobertura integral de la lógica con una exposición sólida de los campos más importantes de las matemáticas discretas, presentando material que ha sido probado y refinado por los autores en cursos universitarios impartidos durante más de una década.

Los capítulos sobre lógica, proposicional y de primer orden, proporcionan un conjunto de herramientas sólido para el razonamiento lógico, enfatizando la comprensión conceptual del lenguaje y la semántica de la lógica clásica, así como las aplicaciones prácticas a través de los sistemas deductivos fáciles de entender y usar de Semantic Tableaux y Resolución. Los capítulos sobre teoría de conjuntos, teoría de números, combinatoria y teoría de grafos combinan el mínimo necesario de teoría con numerosos ejemplos y aplicaciones seleccionadas. Escrito en un estilo claro y fácil de leer, cada sección termina con un extenso conjunto de ejercicios, la mayoría de ellos con soluciones completas que están disponibles en el manual de soluciones adjunto.

  • Adecuado para una variedad de cursos para estudiantes tanto en Matemáticas como en Informática.
  • Cobertura extensa y en profundidad de la lógica clásica, combinada con una exposición sólida de una selección de los campos más importantes de las matemáticas discretas.
  • Presentación concisa, clara y ordenada con numerosos ejemplos.
  • Cubre algunas aplicaciones, incluidos los sistemas criptográficos, la probabilidad discreta y los algoritmos de red.

Lógica y matemáticas discretas: una introducción concisa está dirigido principalmente a cursos de pregrado para estudiantes de matemáticas e informática, pero el libro también será un recurso valioso para los módulos de posgrado y para el autoaprendizaje.


Ejemplo 1-1: Sección de datos de admisiones

Una universidad ofrece solo dos programas de grado: Inglés e Informática. La admisión es competitiva y existe sospecha de discriminación contra la mujer en el proceso de admisión. Aquí hay una tabla de dos factores de todos los solicitantes por sexo y estado de admisión. Estos datos muestran una asociación entre el sexo de los solicitantes y su éxito en la admisión.

Masculino Mujer Total
Admitir 35 20 55
Negar 45 40 85
Total 80 60 140


Sección de distribución de Poisson

Sea (X sim Poisson ( lambda) ) (esta notación significa "X tiene una distribución de Poisson con parámetro ( lambda ) ”), entonces la distribución de probabilidad es

Tenga en cuenta que (E (X) = V (X) = lambda ), y el parámetro ( lambda ) siempre debe ser positivo, no se permiten valores negativos.

La distribución de Poisson es un modelo de probabilidad importante. A menudo se usa para modelar eventos discretos que ocurren en el tiempo o en el espacio.

El Poisson también es un caso límite del binomio. Supongamos que (X sim Bin (n, pi) ) y dejemos (n rightarrow infty ) y ( pi rightarrow 0 ) de tal manera que (n pi rightarrow lambda ) donde ( lambda ) es una constante. Entonces, en el límite, (X sim Poisson ( lambda) ). Debido a que Poisson es el límite de (Bin (n, pi) ), es útil como una aproximación al binomio cuando (n ) es grande y ( pi ) es pequeño. Es decir, si (n ) es grande y ( pi ) es pequeño, entonces

donde ( lambda = n pi ). El lado derecho de (1) suele ser menos tedioso y más fácil de calcular que el lado izquierdo.

Por ejemplo, sea (X ) el número de correos electrónicos que llegan a un servidor en una hora. Suponga que, a largo plazo, la cantidad promedio de correos electrónicos que llegan por hora es ( lambda ). Entonces puede ser razonable suponer (X sim P ( lambda) ). Sin embargo, para que el modelo de Poisson se mantenga, la tasa de llegada promedio ( lambda ) debe ser bastante constante en el tiempo, es decir, no debe haber cambios sistemáticos o predecibles en la tasa de llegada. Además, las llegadas deben ser independientes entre sí, es decir, la llegada de un correo electrónico no debe hacer que la llegada de otro correo electrónico sea más o menos probable.

Cuando se violan algunos de estos supuestos, en particular, si hay una presencia de sobredispersión (por ejemplo, la varianza observada es mayor de lo que supone el modelo), se puede usar la distribución Binomial negativa en lugar de Poisson.

Considere, por ejemplo, la cantidad de muertes por accidentes automovilísticos que ocurrirán la próxima semana en el condado de Center, PA. La distribución de Poisson supone que cada persona tiene la misma probabilidad de morir en un accidente. Sin embargo, es más realista suponer que estas probabilidades varían debido a

  • si la persona estaba usando el cinturón de seguridad
  • tiempo dedicado a conducir
  • dónde conducen (conducción urbana o rural)

La variabilidad de persona a persona en covariables causales como estas causan más variabilidad que la predicha por la distribución de Poisson.

Sea (X ) una variable aleatoria con varianza condicional (V (X | lambda) ). Suponga que ( lambda ) también es una variable aleatoria con ( theta = E ( lambda) ). Entonces (E (X) = E [E (X | lambda)] ) y (V (X) = E [V (X | lambda)] + V [E (X | lambda)] )

Por ejemplo, cuando (X | lambda ) tiene una distribución de Poisson, entonces (E (X) = E [ lambda] = theta ) (la media permanece igual) pero (V (X) = E [ lambda] + V ( lambda) = theta + V ( lambda) & gt theta ) (la varianza ya no es ( theta ) sino más grande).

Cuando (X | pi ) es una variable aleatoria binomial y ( pi sim Beta ( alpha, beta) ). Entonces (E ( pi) = frac < alpha> < alpha + beta> = lambda ) y (V ( pi) = frac < alpha beta> <( alpha + beta) ^ 2 ( alpha + beta + 1)> ). Por lo tanto, (E (X) = n lambda ) (como se esperaba lo mismo) pero la varianza es mayor (V (X) = n lambda (1- lambda) + n (n-1) V ( pi) & gt n lambda (1- lambda) ).


MCQ de matemáticas discretas para estudiantes de ingeniería de software

q) = q Describe:
A. Doble ley negativa
B. Leyes conmutativas
C. leyes de implicación
Re. Ninguna de las anteriores

2. Un gráfico G se denomina & # 8230 .. si es un gráfico acíclico conectado:
A. Gráfico cíclico
B. Árbol
C. Gráfico regular
D. No gráfico

3. Un argumento es _____ si la conclusión no es verdadera cuando todas las premisas son verdaderas:
A. inválido
B. Falso
C. válido
Re. Ninguna de las anteriores

4. La relación <(1,2), (1,3), (3,1), (1,1), (3,3), (3,2), (1,4), (4, 2), (3,4)> es:
A. reflexivo
B. simétrico
C. Transitivo
Re. Ninguna de las anteriores

5. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) se llama:
A. Distributividad de la intersección sobre la unión
B. Distributividad de la unión sobre la intersección
C. Ninguno de estos
D. Ley de distributividad

6. Las letras de ACORDE tomadas todas a la vez se pueden escribir en:
A. 500
B. 120
C. 122
D. 135

7. Si f (x) = 3x + 1 entonces su inverso es:
A. x-1
B. x +2
C. 1/3 (x-1)
Re. Ninguna de las anteriores

8. El número de colores requerido para apropiadamente color los vértices de cada grafo plano es:
A.2
B.3
C.4
D.5

9. Varios elementos de un conjunto se denominan:
Un finito
B. Cardinalidad
C. Fuerza
Re. Ninguna de las anteriores

10. Una relación ordenada parcial es transitiva, antisimétrica y:
A. reflexivo
B. bisimétrico
C. anti reflexivo
Re. Ninguna de las anteriores

11. ¿Cuál de las afirmaciones dadas es correcta?
A. Las funciones no se pueden definir de forma recursiva
B. Los conjuntos no se pueden definir de forma recursiva
C. Una definición recursiva tiene una parte: Base
D. El proceso de definir un objeto en términos de versiones más pequeñas de sí mismo se llama recursividad.


Notas en pdf de matemáticas discretas y archivo pdf de notas DM # 8211

archivo para descargar se enumeran a continuación, compruébalo & # 8211

Notas completas

Nota: - Estas notas están de acuerdo con el programa de estudios R09 de JNTU. En R13 y R15, 8 unidades del programa de estudios R09 se combinan en 5 unidades en el programa de estudios R13 y R15. Si tiene alguna duda, consulte el Syllabus Book de JNTU.

Lógica y prueba, proposiciones sobre enunciado, conectivos, conectivos básicos, tabla de verdad para conectivos básicos, Y, Disyunción, estado condicional, estado bi condicional, tautología, contradicción, falacia, contigencia, equialances lógicos, ley idempotente, ley asociativa, ley conmutativa, ley de demorgans, ley distributiva, ley de complementos, ley de dominancia, ley de identidad.Una praposición de una declaración es una oración declarativa que es verdadera (o) falsa, no ambas, conectivo es una operación

Combinatoria, inducción fuerte, principio de casillero, permutación y combinación, relaciones de recurrencia, relación de recurrencia lineal no homogénea con constante, principio de inclusión y exclusión.

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Preguntas frecuentes

P1: ¿Qué son las matemáticas discretas?

A1: El estudio de estructuras matemáticas contables, por lo demás distintas y separables, se denominan matemáticas discretas. Se centra principalmente en la colección finita de objetos discretos. El campo se ha vuelto cada vez más solicitado desde que las computadoras como los dispositivos digitales han crecido rápidamente en la situación actual.

A2: La combinatoria es la matemática de ordenar y contar. Aunque mucha gente sabe contar, la combinatoria usa operaciones matemáticas para contar objetos / cosas que están lejos del conteo humano de una manera convencional. El campo también se ocupa de la forma en que se organizan las cosas, que incluye la regla de la suma y la regla del producto. La permutación y la combinación se incluyen en este tema.

P3: ¿Qué son las permutaciones y combinaciones?

A3: La permutación es un arreglo de cosas con respecto al orden, mientras que como combinación es un arreglo de cosas sin tener en cuenta el orden.

A4: Una rama de las matemáticas que se ocupa de las colecciones de objetos se denomina teoría de conjuntos. Los conjuntos pueden ser discretos o continuos, lo que se refiere a la forma en que se organizan, cuentan o combinan los conjuntos. Un complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos / cosas / objetos que no están en el conjunto A. La cardinalidad de un conjunto finito es el número de elementos / cosas / objetos en ese conjunto. La forma en que se pueden combinar los conjuntos se describe mediante Intersección y Unión. Las identidades para los complementos de intersección y unión están dadas por las leyes de De Morgan.


Calificación

Con el fin de animar a los estudiantes a experimentar con los conceptos enseñados en clase, se asignarán tareas en semanas alternas. Deben presentarse en clase los viernes, al comienzo de la conferencia. Cada tarea constará de cuatro a cinco problemas desafiantes, para los cuales la prueba o justificación de cada respuesta es más importante que la respuesta numérica real.

Dado que la tarea es una actividad de aprendizaje, los estudiantes pueden discutir ideas entre ellos, aunque no se permite la colaboración en la etapa de escritura. En otras palabras, no mire el documento real que está entregando otro estudiante.


Notas escritas a mano sobre matemáticas discretas Descarga de la conferencia en PDF

En estos "Matemáticas discretas Notas PDF”, Estudiaremos los conceptos de conjuntos ordenados, celosías, sub-celosías y homomorfismos entre celosías. También incluye una introducción a las celosías modulares y distributivas junto con las celosías complementadas y el álgebra booleana. Luego, se discuten algunas aplicaciones importantes del álgebra de Boole en circuitos de conmutación. La segunda parte de este curso trata de una introducción a la teoría de grafos, trayectorias y circuitos, circuitos eulerianos, grafos hamiltonianos y, finalmente, algunas aplicaciones de grafos a algoritmos de trayectoria más corta.

Hemos proporcionado múltiples PDF de notas de matemáticas discretas completas para cualquier estudiante universitario de BCA, MCA, B.Sc, B.Tech CSE, rama de M.Tech para mejorar más el conocimiento sobre el tema y obtener mejores calificaciones en el examen. Los estudiantes pueden hacer uso fácilmente de todos estos PDF de Notas de Matemáticas Discretas descargándolos.

Temas en nuestro PDF de notas de matemáticas discretas

Los temas que cubriremos en estos PDF de notas de matemáticas discretas se tomará de la siguiente lista:

Conjuntos ordenados: Definiciones, Ejemplos y propiedades básicas de conjuntos ordenados, Isomorfismo de orden, Diagramas de Hasse, Dual de un conjunto ordenado, Principio de dualidad, Elementos máximos y mínimos, Construcción de nuevos conjuntos ordenados, Mapas entre conjuntos ordenados.

Celosías: Celosías como conjuntos ordenados, Celosías como estructuras algebraicas, Subredes, Productos y homomorfismos Definiciones, Ejemplos y propiedades de celosías modulares y distributivas, El teorema M3-N5 con aplicaciones, Celosía complementada, Celosía relativamente complementada, Celosía seccionalmente complementada.

Álgebras booleanas y circuitos de conmutación: Álgebras booleanas, leyes de De Morgan, homomorfismo booleano, teorema de representación polinomios booleanos, funciones polinomiales booleanas, forma normal disyuntiva y forma normal conjuntiva, formas mínimas del polinomio booleano, método de Quine-McCluskey, diagramas de Karnaugh, circuitos de conmutación y aplicaciones de circuitos de conmutación.

Teoría de grafos: Introducción a las gráficas, Problema del puente de Königsberg, Juego de locura instantánea Definición, ejemplos y propiedades básicas de las gráficas, Subgrafias, Pseudógrafos, Gráficas completas, Gráficas bipartitas, Isomorfismo de gráficas, Caminos y circuitos, Circuitos eulerianos, Ciclos hamiltonianos, Matriz de adyacencia, Gráfica ponderada , Problema del vendedor ambulante, Ruta más corta, algoritmo de Dijkstra.


Ver el vídeo: Matematicas Discretas Clase 1 (Diciembre 2021).