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6.4: Contar moléculas por gramo - Matemáticas

6.4: Contar moléculas por gramo - Matemáticas



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Objetivos de aprendizaje

  • Definir masa molecular y masa de fórmula.
  • Realizar conversiones entre masa y moles de un compuesto.
  • Realizar conversiones entre masa y número de partículas.

Masas moleculares y de fórmula

La masa molecular de una sustancia es la suma de las masas promedio de los átomos en una molécula de una sustancia. Se calcula sumando las masas atómicas de los elementos de la sustancia, cada una multiplicada por su subíndice (escrito o implícito) en la fórmula molecular. Debido a que las unidades de masa atómica son unidades de masa atómica, las unidades de masa molecular también son unidades de masa atómica. El procedimiento para calcular masas moleculares se ilustra en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): etanol

Calcule la masa molecular del etanol, cuya fórmula estructural condensada es ( ce {CH_3CH_2OH} ). Entre sus múltiples usos, el etanol es un combustible para motores de combustión interna.

Solución

Pasos para resolver problemasCalcule la masa molecular del etanol, cuya fórmula estructural condensada es ( ce {CH_3CH_2OH} )
Identifique la información "dada" y lo que el problema le pide que "encuentre".Dado: Molécula de etanol (CH3CH2OH)
Hallar: masa molecular

Determina la cantidad de átomos de cada elemento en la molécula.

La fórmula molecular del etanol se puede escribir de tres formas diferentes:

  • CH3CH2OH (que ilustra la presencia de un grupo etilo
  • CH3CH2−y un grupo -OH)
  • C2H5OH y C2H6O;

Todos muestran que el etanol tiene dos átomos de carbono, seis átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno.

Obtenga las masas atómicas de cada elemento de la tabla periódica y multiplique la masa atómica de cada elemento por el número de átomos de ese elemento.

1 átomo de C = 12,011 amu

1 átomo de H = 1,0079 amu

1 átomo de O = 15,9994 amu

Suma las masas para obtener la masa molecular.

2C: (2 átomos) (12.011 amu / átomo) = 24.022 amu

6H: (6 átomos) (1.0079amu / átomo) = 6.0474amu

+ 1O: (1 átomos) (15.9994amu / átomo) = 15.9994amu

C2H6O: masa molecular del etanol = 46.069amu

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Freón

Calcule la masa molecular del triclorofluorometano, también conocido como Freón-11, que tiene una fórmula estructural condensada de ( ce {CCl3F} ). Hasta hace poco, se utilizaba como refrigerante. La estructura de una molécula de Freón-11 es la siguiente:

Figura ( PageIndex {1} ): Estructura molecular del freón-11, ( ce {CCl_3F} ).

Respuesta
137,37 uma

A diferencia de las moléculas, que forman enlaces covalentes, los compuestos iónicos no tienen una unidad molecular fácilmente identificable. Por lo tanto, para compuestos iónicos, la masa de fórmula (también llamada fórmula empírica masa) del compuesto se usa en lugar de la masa molecular. La masa de la fórmula es la suma de las masas atómicas de todos los elementos de la fórmula empírica, cada uno multiplicado por su subíndice (escrito o implícito). Es directamente análogo a la masa molecular de un compuesto covalente. Las unidades son unidades de masa atómica.

La masa atómica, la masa molecular y la masa de fórmula tienen todas las mismas unidades: unidades de masa atómica.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): fosfato de calcio

Calcule la fórmula de masa de ( ce {Ca3 (PO4) 2} ), comúnmente llamado fosfato de calcio. Este compuesto es la principal fuente de calcio que se encuentra en la leche bovina.

Solución

Pasos para resolver problemasCalcule la fórmula de masa de ( ce {Ca3 (PO4) 2} ), comúnmente llamado fosfato de calcio.
Identifique la información "dada" y lo que el problema le pide que "encuentre".Dado: fosfato de calcio [Ca3(CORREOS4)2] unidad de fórmula
Hallar: fórmula masa

Determina la cantidad de átomos de cada elemento en la molécula.

  • La fórmula empírica — Ca3(CORREOS4)2—Indica que la unidad eléctricamente neutra más simple de fosfato de calcio contiene tres Ca2+ iones y dos PO43− iones.
  • La fórmula de masa de esta unidad molecular se calcula sumando las masas atómicas de tres átomos de calcio, dos átomos de fósforo y ocho átomos de oxígeno.

Obtenga las masas atómicas de cada elemento de la tabla periódica y multiplique la masa atómica de cada elemento por el número de átomos de ese elemento.

1 átomo de Ca = 40,078 amu

1 átomo de P = 30,973761 uma

1 átomo de O = 15,9994 amu

Suma las masas para obtener la masa de fórmula.

3Ca: (3 átomos) (40.078 amu / átomo) = 120.234amu

2P: (2 átomos) (30,973761amu / átomo) = 61,947522amu

+ 8O: (8 átomos) (15.9994amu / átomo) = 127.9952amu


Fórmula masa de Ca3(CORREOS4)2= 310.177amu

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Nitruro de silicio

Calcule la fórmula de masa de ( ce {Si3N4} ), comúnmente llamado nitruro de silicio. Es un material extremadamente duro e inerte que se utiliza para fabricar herramientas de corte para el mecanizado de aleaciones de metales duros.

Figura ( PageIndex {2} ): ( ce {Si_3N_4} ) partes de cojinetes. (Dominio público; David W. Richerson y Douglas W. Freitag; Laboratorio Nacional Oak Ridge).

Respuesta
140,29 uma

Masa molar

La masa molar de una sustancia se define como la masa en gramos de 1 mol de esa sustancia. Un mol de carbono-12 isotópicamente puro tiene una masa de 12 g. Para un elemento, la masa molar es la masa de 1 mol de átomos de ese elemento; para un compuesto molecular covalente, es la masa de 1 mol de moléculas de ese compuesto; para un compuesto iónico, es la masa de 1 mol de unidades de fórmula. Es decir, la masa molar de una sustancia es la masa (en gramos por mol) de 6.022 × 1023 átomos, moléculas o unidades de fórmula de esa sustancia. En cada caso, el número de gramos en 1 mol es el mismo que el número de unidades de masa atómica que describen la masa atómica, la masa molecular o la masa de fórmula, respectivamente.

La masa molar de cualquier sustancia es su masa atómica, masa molecular o masa de fórmula en gramos por mol.

La tabla periódica enumera la masa atómica del carbono como 12.011 amu; la masa molar promedio de carbono, la masa de 6.022 × 1023 átomos de carbono, por lo tanto, es 12.011 g / mol:

Tabla ( PageIndex {1} ): Masa molar de sustancias seleccionadas
Sustancia (fórmula)Unidad básicaMasa atómica, molecular o de fórmula (uma)Masa molar (g / mol)
carbono (C)átomo12.011 (masa atómica)12.011
etanol (C2H5OH)molécula46.069 (masa molecular)46.069
fosfato de calcio [Ca3(CORREOS4)2]unidad de fórmula310.177 (masa de fórmula)310.177

Conversión entre gramos y moles de un compuesto

La masa molar de cualquier sustancia es la masa en gramos de un mol de partículas representativas de esa sustancia. Las partículas representativas pueden ser átomos, moléculas o unidades de fórmula de compuestos iónicos. Esta relación se usa con frecuencia en el laboratorio. Suponga que para cierto experimento necesita 3.00 moles de cloruro de calcio ( left ( ce {CaCl_2} right) ). Dado que el cloruro de calcio es un sólido, sería conveniente utilizar una balanza para medir la masa que se necesita. El análisis dimensional le permitirá calcular la masa de ( ce {CaCl_2} ) que debe medir como se muestra en el Ejemplo ( PageIndex {3} ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Cloruro de calcio

Calcule la masa de 3.00 moles de cloruro de calcio (CaCl2).

Figura ( PageIndex {3} ): El cloruro de calcio se utiliza como agente de secado y como descongelador de carreteras.

Solución

Pasos para resolver problemasCalcule la masa de 3.00 moles de cloruro de calcio (CaCl2).
Identifique la información "dada" y lo que el problema le pide que "encuentre".Dado: 3.00 moles de CaCl2
Encuentre: g CaCl2
Enumere otras cantidades conocidas.1 mol de CaCl2 = 110,98 g de CaCl2

Prepare un mapa conceptual y utilice el factor de conversión adecuado.

Cancele unidades y calcule. (3.00 : cancel { text {mol} : ce {CaCl_2}} times dfrac {110.98 : text {g} : ce {CaCl_2}} {1 : cancel { texto {mol} : ce {CaCl_2}}} = 333 : text {g} : ce {CaCl_2} )
Piense en su resultado.

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Óxido de calcio

¿Cuál es la masa de (7.50 : text {mol} ) de (óxido de calcio) ( ce {CaO} )?

Respuesta
420,60 g

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Agua

¿Cuántos lunares hay en 108 gramos de agua?

Solución

Pasos para resolver problemas¿Cuántos lunares hay en 108 gramos de agua?
Identifique la información "dada" y lo que el problema le pide que "encuentre".Dado: 108 g H2O
Hallar: mol H2O
Enumere otras cantidades conocidas. (1 : text {mol} : ce {H_2O} = 18.02 : text {g} ) H2O

Prepare un mapa conceptual y utilice el factor de conversión adecuado.

Cancele unidades y calcule. (108 : cancel { text {g} : ce {H_2O}} times dfrac {1 : text {mol} : ce {H_2O}} {18.02 : cancel { texto {g} : ce {H_2O}}} = 5,99 : text {mol} : ce {H_2O} )
Piense en su resultado.

Ejercicio ( PageIndex {4} ): gas nitrógeno

¿Cuál es la masa de (7.50 : text {mol} ) del gas nitrógeno ( ce {N2} )?

Respuesta
210 g

Conversiones entre masa y número de partículas

En "Conversiones entre moles y masa", aprendió cómo convertir de un lado a otro entre moles y el número de partículas representativas. Ahora ha visto cómo convertir de un lado a otro entre moles y masa de una sustancia en gramos. Podemos combinar los dos tipos de problemas en uno. La masa y el número de partículas están relacionados con los moles. Para convertir de masa a número de partículas o viceversa, primero requerirá una conversión a moles como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) y Ejemplo ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {4} ): La conversión de número de partículas a masa, o de masa a número de partículas, requiere dos pasos.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Cloro

¿Cuántas moléculas hay (20.0 : text {g} ) de cloro gaseoso, ( ce {Cl_2} )?

Solución

Pasos para resolver problemas¿Cuántas moléculas hay (20.0 : text {g} ) de cloro gaseoso, ( ce {Cl_2} )?
Identifique la información "dada" y lo que el problema le pide que "encuentre".Dado: 20.0 g Cl2
Buscar: # Cl2 moléculas
Enumere otras cantidades conocidas.1 mol de Cl2 = 70,90 g Cl2, 1 mol Cl2 = 6.022 x 1023 Cl2 moléculas

Prepare un mapa conceptual y utilice el factor de conversión adecuado.

Cancele unidades y calcule. (20.0 : cancel { text {g} : ce {Cl_2}} times dfrac {1 : cancel { text {mol} : ce {Cl_2}}} {70.90 : cancel { text {g} : ce {Cl_2}}} times dfrac {6.02 times 10 ^ {23} : text {moléculas} : ce {Cl_2}} {1 : cancelar { text {mol} : ce {Cl_2}}} = 1.70 times 10 ^ {23} : text {moléculas} : ce {Cl_2} )
Piense en su resultado.Dado que la masa dada es menos de la mitad de la masa molar del cloro, el número resultante de moléculas es menos de la mitad del número de Avogadro.

Ejercicio ( PageIndex {5} ): Cloruro de calcio

¿Cuántas unidades de fórmula hay en 25.0 g de CaCl?2 ?

Respuesta
1,36 x 1023 CaCl2 unidades de fórmula

Resumen

  • Se describen los cálculos para la masa de la fórmula y la masa molecular.
  • Se describen los cálculos que involucran conversiones entre moles de un material y la masa de ese material.
  • Se ilustran los cálculos para las conversiones entre masa y número de partículas.

Contribuciones y atribuciones


Número de Graham & # 39s

Arriésgate y explora las matemáticas de la imprevisibilidad.

Álgebra I

Fortalezca sus habilidades de álgebra explorando factoriales, exponentes y lo desconocido.

Concurso de Matemáticas I

Aprenda las técnicas clave y entrene duro para el concurso de matemáticas.

Concurso de Matemáticas II

Formación guiada para la resolución de problemas matemáticos a nivel del AMC 10 y 12.

Número de Graham es un número finito tremendamente grande que es un límite superior probado para la solución de cierto problema en la teoría de Ramsey. Lleva el nombre del matemático Ronald Graham, quien usó el número como una explicación simplificada de los límites superiores del problema en el que estaba trabajando en conversaciones con el escritor de divulgación científica Martin Gardner. El número se publicó en el Libro Guinness de los Récords Mundiales de 1980, lo que se sumó al interés popular por el número. El número de Graham es mucho más grande que cualquier otro número que puedas imaginar. Es tan grande que el universo observable es demasiado pequeño para contener una representación digital ordinaria del número de Graham, asumiendo que cada dígito ocupa un volumen de Planck que equivale a aproximadamente 4.2217 × 1 0 - 105 m 3 4.2217 times 10 ^ <- 105 > text ^ <3> 4. 2 2 1 7 × 1 0 - 1 0 5 m 3. Incluso torres de poder de la forma a b c ⋅ ⋅ ⋅ < displaystyle scriptstyle a ^<>>>>>> a b c ⋅ ⋅ ⋅ son insuficientes para este propósito, aunque puede describirse mediante fórmulas recursivas utilizando la notación de flecha hacia arriba de Knuth. Aunque es demasiado grande para ser calculado en su totalidad, muchos de los últimos dígitos del número de Graham pueden derivarse mediante algoritmos simples.

Contenido


Una casa de apuestas se esfuerza por aceptar apuestas sobre el resultado de un evento en las proporciones adecuadas para obtener ganancias independientemente del resultado que prevalezca. Ver libro holandés y coherencia (estrategia de juego filosófico). Esto se logra principalmente ajustando lo que se determina que son las probabilidades reales de los diversos resultados de un evento a la baja (es decir, la casa de apuestas pagará usando sus probabilidades reales, una cantidad que es menor que la que las probabilidades reales habrían pagado, asegurando así una ganancia). [3]

Las probabilidades cotizadas para un evento en particular pueden ser fijas, pero es más probable que fluctúen para tener en cuenta el tamaño de las apuestas realizadas por los apostantes en el período previo al evento real (por ejemplo, una carrera de caballos). Este artículo explica las matemáticas de hacer un libro en el caso (más simple) del primer evento. Para el segundo método, consulte Apuestas parimutuel.

Es importante comprender la relación entre las probabilidades fraccionarias y decimales. Las probabilidades fraccionarias son aquellas escritas a-b (a / bo a ab) significan que un apostador ganador recibirá su dinero más una unidad por cada b unidades que apueste. Multiplicar a y b por el mismo número da probabilidades equivalentes a a-b. Las probabilidades decimales son un valor único, mayor que 1, que representa la cantidad a pagar por cada apuesta unitaria. Por ejemplo, una apuesta de 40 £ a 6-4 (cuotas fraccionarias) pagará 40 £ + 60 £ = 100 £. Las probabilidades decimales equivalentes son 2.5 £ 40 x 2.5 = £ 100. Podemos convertir probabilidades fraccionarias a decimales mediante la fórmula D = b + a ⁄ b. Por lo tanto, las probabilidades fraccionarias de a-1 (es decir, b = 1) se pueden obtener a partir de las probabilidades decimales mediante a = D-1.

Edición de ejemplo

Al considerar un partido de fútbol (el evento) que puede ser una 'victoria en casa', un 'empate' o una 'victoria fuera de casa' (los resultados), entonces se pueden encontrar las siguientes probabilidades para representar la cierto probabilidad de cada uno de los tres resultados:

Estas probabilidades se pueden representar como probabilidades implícitas (o porcentajes al multiplicar por 100) de la siguiente manera:

Al sumar los porcentajes, se logra un 'libro' total del 100% (lo que representa un justa libro). El corredor de apuestas, en su deseo de obtener una ganancia, invariablemente reducirá estas probabilidades. Considere el modelo más simple de reducción, que utiliza una disminución proporcional de probabilidades. Para el ejemplo anterior, las siguientes probabilidades están en la misma proporción con respecto a sus probabilidades implícitas (3: 2: 1):

Añadiendo estas porcentajes juntos se logra un 'libro' del 120%.

La cantidad por la cual el 'libro' real excede el 100% se conoce como 'overround', [4] [5] 'margen de la casa de apuestas' [3] o 'vigorish' o 'vig': [3] representa el valor de la casa de apuestas ganancia esperada. [3] Por lo tanto, en una situación "ideal", si la casa de apuestas acepta £ 120 en apuestas con sus propias probabilidades cotizadas en la proporción correcta, pagará solo £ 100 (incluidas las apuestas devueltas) sin importar el resultado real de la partido de fútbol. Examinando cómo potencialmente logra esto:

Una apuesta de £ 60.00 @ 4-6 devuelve £ 100.00 (exactamente) por una victoria en casa. Una apuesta de £ 40,00 @ 6-4 devuelve £ 100,00 (exactamente) por un partido empatado Una apuesta de £ 20,00 @ 4-1 devuelve £ 100,00 (exactamente) por una victoria fuera de casa

En realidad, las casas de apuestas utilizan modelos de reducción que son más complicados que el modelo de la situación "ideal".

Margen de la casa de apuestas en las ligas de fútbol inglesas Editar

El margen de las casas de apuestas en las ligas de fútbol inglesas disminuyó en los últimos años. [6] El estudio de seis grandes casas de apuestas entre la temporada 2005/06 y la temporada 2017/2018 mostró que el margen promedio en la Premier League disminuyó del 9% al 4%, en English Football League Championship, English Football League One y English Football League Two. del 11% al 6%, y en la Liga Nacional del 11% al 8%.

Cuando un apostador (apostante) combina más de una selección en, por ejemplo, un doble, triple o acumulador, entonces el efecto del overround en el libro de cada selección se agrava en detrimento del apostador en términos de rendimiento financiero en comparación con el probabilidades verdaderas de todas las selecciones ganando y, por lo tanto, resultando en una apuesta exitosa.

Para explicar el concepto en las situaciones más básicas se analizará un ejemplo consistente en un doble compuesto por seleccionar al ganador de cada uno de dos partidos de tenis:

En general, el overround combinado en un doble (OD), expresado como porcentaje, se calcula a partir de los libros individuales B1 y B2, expresado en decimales, por OD = B1 × B2 × 100 - 100. En el ejemplo tenemos OD = 1.0909 × 1.0909 × 100 − 100 = 19.01%.

Este enorme aumento en el beneficio potencial para la casa de apuestas (19% en lugar de 9% en un evento, en este caso el doble) es la razón principal por la que las casas de apuestas pagan bonificaciones por la selección exitosa de ganadores en múltiples apuestas: compare la oferta de una bonificación del 25% en la elección correcta de cuatro ganadores de cuatro selecciones en un Yankee, por ejemplo, cuando el potencial overround en un simple cuádruple de carreras con libros individuales del 120% es superior al 107% (un libro del 207%). Es por eso que las casas de apuestas ofrecen apuestas como Suerte 15, Suerte 31 y Suerte 63 ofreciendo el doble de probabilidades para un ganador y bonificaciones porcentuales cada vez mayores para dos, tres y más ganadores.

En general, para cualquier apuesta acumulativa de dos a I selecciones, el porcentaje combinado de libros de B1, B2, . BI dado en términos de decimales, se calcula por B1 × B2 × . × BI × 100 - 100. Por ejemplo. el cuádruple mencionado anteriormente que consiste en libros individuales del 120% (1.20) da un overround de 1.20 × 1.20 × 1.20 × 1.20 × 100 - 100 = 107.36%.

Al liquidar las apuestas ganadoras, se utilizan cuotas decimales o se añade una a las cuotas fraccionarias: esto es para incluir la apuesta en la devolución. La parte del lugar de las apuestas de ida y vuelta se calcula por separado de la parte ganadora; el método es idéntico pero las probabilidades se reducen según el factor de lugar para el evento en particular (ver Acumulador a continuación para ver un ejemplo detallado). Todas las apuestas se toman como apuestas "ganadoras" a menos que se indique específicamente "en cada sentido". Todos muestran el uso de probabilidades fraccionarias: reemplace (probabilidades fraccionarias + 1) por probabilidades decimales si se conocen probabilidades decimales. Los no participantes son tratados como ganadores con probabilidades fraccionarias de cero (probabilidades decimales de 1). Fracciones de peniques en total las ganancias se redondean invariablemente abajo por casas de apuestas al centavo más cercano a continuación. Los cálculos a continuación para apuestas múltiples dan como resultado que se muestren totales para las categorías separadas (por ejemplo, dobles, triples, etc.) y, por lo tanto, los retornos generales pueden no ser exactamente iguales a la cantidad recibida al usar el software de computadora disponible para las casas de apuestas para calcular el total. ganancias. [7] [8]

Solteros Editar

P.ej. £ 100 individual en 9-2 total apostado = £ 100

Devoluciones = £ 100 × (9/2 + 1) = £ 100 × 5.5 = £ 550

Devoluciones (ganar) = £ 100 × (11/4 + 1) = £ 100 × 3,75 = £ 375 Devoluciones (lugar) = £ 100 × (11/20 + 1) = £ 100 × 1,55 = £ 155 Total de devoluciones si se selecciona gana = £ 530 si solo se coloca = £ 155

Apuestas múltiples Editar

Las apuestas múltiples de Each-Way generalmente se liquidan usando un valor predeterminado "Ganar para ganar, lugar a lugar"método, lo que significa que la apuesta consiste en un acumulador de ganancias y un acumulador de lugar separado (Nota: un doble o triple es un acumulador con 2 o 3 selecciones respectivamente). Sin embargo, una forma menos común de liquidar este tipo de apuestas es"En todos los sentidos, en todos los sentidos" (conocido como "Igualmente dividido", que normalmente debe solicitarse como tal en el boleto de apuestas) en el que los retornos de una selección en el acumulador se dividen para formar una apuesta igual en cada sentido en la siguiente selección y así sucesivamente hasta que se hayan utilizado todas las selecciones. [9] [10] El primer ejemplo a continuación muestra los dos enfoques diferentes para liquidar este tipo de apuestas.

Nota: "Ganar para ganar, lugar a lugar"siempre proporcionará un mayor rendimiento si todas las selecciones ganan, mientras que"En todos los sentidos, en todos los sentidos"proporciona una mayor compensación si una selección es un perdedor, ya que cada uno de los otros ganadores proporciona una mayor cantidad de dinero de lugar para las selecciones posteriores.

P.ej. £ 100 triplicado con ganadores en 3-1, 4-6 y 11-4 total apostado = £ 100

Devoluciones = £ 100 × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = £ 2500

Nota: 'Todos para ganar' significa que no hay suficientes participantes en el evento para que se den las probabilidades de lugar (por ejemplo, 4 corredores o menos en una carrera de caballos). Por lo tanto, el único "lugar" es el primer lugar, para el que se dan las probabilidades de ganar.

Devoluciones (gana cinco veces) = £ 100 × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412.50 Devuelve (coloque cinco veces) = £ 100 × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502.03 Total de devoluciones = £ 6914.53

Apuestas de cobertura completa Editar

Trixie, yanqui, canadiense, Heinz, Super Heinz y Goliat Forme una familia de apuestas conocidas como apuestas de cobertura total que tengan todos los posibles múltiplos presentes. Ejemplos de ganar Trixie y yanqui las apuestas se han mostrado arriba. Las otras apuestas nombradas se calculan de manera similar al observar todas las posibles combinaciones de selecciones en sus múltiplos. No hay té Doble se puede considerar como una apuesta de cobertura completa con solo dos selecciones.

Si una selección en una de estas apuestas no gana, entonces los ganadores restantes son tratados como una apuesta totalmente exitosa en el próximo 'miembro de la familia' hacia abajo. Por ejemplo, solo dos de cada tres ganadores en un Trixie significa que la apuesta se liquida como un doble solo cuatro ganadores de cinco en un canadiense significa que está resuelto como yanqui solo cinco ganadores de ocho en un Goliat significa que está resuelto como canadiense. La parte del lugar de las apuestas de ida y vuelta se calcula por separado utilizando probabilidades de lugar reducidas. Por lo tanto, un Super Heinz en siete caballos con tres ganadores y otros dos caballos colocados se liquida como una victoria Trixie y un lugar canadiense. Prácticamente todos los corredores de apuestas utilizan software de computadora para facilitar, acelerar y precisar los cálculos para la liquidación de apuestas múltiples.

Apuestas de portada completa con individuales Editar

Patentar, Suerte 15, Suerte 31, Suerte 63 y más alto Afortunado Las apuestas forman una familia de apuestas conocidas como apuestas de cobertura total con simples que tienen todos los posibles múltiplos presentes junto con apuestas simples en todas las selecciones. Un ejemplo de un ganador Patentar la apuesta se ha mostrado arriba. Las otras apuestas nombradas se calculan de manera similar al observar todas las posibles combinaciones de selecciones en sus múltiplos y sencillos.

Si una selección en una de estas apuestas no gana, entonces los ganadores restantes son tratados como una apuesta totalmente exitosa en el próximo 'miembro de la familia' hacia abajo. Por ejemplo, solo dos de cada tres ganadores en un Patentar significa que la apuesta se liquida como un doble y dos individuales solo tres ganadores de cuatro en una Suerte 15 significa que está resuelto como Patentar solo cuatro ganadores de seis en un Suerte 63 significa que está resuelto como Suerte 15. La parte del lugar de las apuestas de ida y vuelta se calcula por separado utilizando probabilidades de lugar reducidas. Por lo tanto, un Suerte 63 en seis caballos con tres ganadores y otros dos caballos colocados se liquida como una victoria Patentar y un lugar Suerte 31.

El rendimiento de cualquier apuesta se puede considerar calculado como 'unidad de apuesta' × 'multiplicador de probabilidades'. El general El 'multiplicador de probabilidades' es un valor de probabilidades decimal combinado y es el resultado de todas las apuestas individuales que componen una apuesta de cobertura completa, incluidas las individuales si es necesario. P.ej. si un Yankee de £ 10 exitoso devolvió £ 461.35, entonces el 'multiplicador de probabilidades' general (OM) es 46.135.

Si a, B, C, D. representar el probabilidades decimales, es decir (cuotas fraccionarias + 1), luego una OM se puede calcular algebraicamente multiplicando las expresiones (a + 1), (B + 1), (C + 1). etc. juntos de la manera requerida y restando 1. Si es necesario, (cuotas decimales + 1) pueden ser reemplazadas por (cuotas fraccionarias + 2). [13] [14]

Ejemplos Editar

3 selecciones con probabilidades decimales a, B y C. En expansión (a + 1)(B + 1)(C + 1) da algebraicamente a B C + ab + C.A + antes de Cristo + a + B + C + 1. Esto es equivalente al OM para una patente (triple: a B C dobles: ab, C.A y antes de Cristo individual: a, B y C) más 1. Por lo tanto, para calcular los rendimientos de una patente ganadora, es solo un caso de multiplicar (a + 1), (B + 1) y (C + 1) juntos y restando 1 para obtener el OM para la apuesta ganadora, es decir OM = (a + 1)(B + 1)(C + 1) − 1. Ahora multiplique por la apuesta unitaria para obtener el rendimiento total de la apuesta. [15] [16]

P.ej. La patente ganadora descrita anteriormente puede evaluarse de manera más rápida y sencilla mediante lo siguiente:

Rentabilidad total = £ 2 × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = £ 99,33

Devoluciones (parte ganadora) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = £ 172,75 o más simplemente como 0.50 × (4 × 4.5 × 5.5 × 3.5 - 1) Devuelve (colocar parte) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1 ] = £ 11.79 o más simplemente como 0.50 × (2.4 × 2.5 × 2.7 × 2.375 × 2.9 - 1) Rentabilidad total = £ 184.54

Para la familia de apuestas full cover que no incluyen singles se hace un ajuste al cálculo para dejar solo los dobles, triples y acumuladores. Por lo tanto, un Yankee ganador de £ 10 descrito anteriormente con ganadores en 1-3, 5-2, 6-4 y pares tiene retornos calculados por:

£10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) − 1 − [(1/3 + 1) + (5/2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = £999.16

En efecto, la apuesta se ha calculado como un Lucky 15 menos los sencillos. Tenga en cuenta que el valor de retorno total de £ 999.16 es un centavo más alto que el valor calculado previamente, ya que este método más rápido solo implica redondear el final responder, y no redondear en cada paso individual.

En trminos algebraicos, el OM porque la apuesta Yankee viene dada por:

OM = (a + 1)(B + 1)(C + 1)(D + 1) − 1 − (a + B + C + D)

En los días previos a que el software estuviera disponible para que lo usaran las casas de apuestas y los que liquidaban las apuestas en las oficinas de apuestas autorizadas (LBO), este método era prácticamente de rigor para ahorrar tiempo y evitar los múltiples cálculos repetitivos necesarios para liquidar apuestas del tipo de cobertura total.


  • El peso promedio de un solo ADN bp es de 650 daltons. Esto también se puede escribir como 650 g / mol (= masa molar).
  • Esto es lo mismo que decir que un mol de un bp pesa 650 g.
  • Por tanto, el peso molecular o la masa molar de cualquier fragmento de ADN bicatenario se puede calcular multiplicando su longitud (en pb) por 650 y la respuesta se expresará en daltons o g / mol.

Siempre que conozca la longitud de la secuencia (es decir, la longitud / tamaño del genoma), este cálculo funcionará para el ADN genómico de cualquier especie. Para obtener la longitud de su secuencia en pb, cuente los nucleótidos en la secuencia de ADN, ya sea a mano o usando el conteo de caracteres en un programa de procesamiento de texto. Si necesita ayuda para convertir sus cálculos entre diferentes unidades, consulte nuestra guía para resolver sus problemas de matemáticas de laboratorio.


6.4: Contar moléculas por gramo - Matemáticas

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Los artículos de Editor's Choice se basan en las recomendaciones de los editores científicos de las revistas de MDPI de todo el mundo. Los editores seleccionan una pequeña cantidad de artículos publicados recientemente en la revista que creen que serán particularmente interesantes para los autores o importantes en este campo. El objetivo es proporcionar una instantánea de algunos de los trabajos más interesantes publicados en las diversas áreas de investigación de la revista.


Las matemáticas de las reacciones químicas

Anteriormente, como hemos discutido las reacciones, hemos discutido los cambios en términos de moléculas o átomos:

Diríamos que 2 átomos de hidrógeno reaccionan con 1 átomo de oxígeno para formar 2 moléculas de agua. E introdujimos reacciones de equilibrio en términos de mantener el mismo número de átomos en cada lado de la ecuación de reacción. Si bien esto no es completamente incorrecto, no es la forma en que un químico enunciaría la ecuación. Un químico diría que 2 moles de hidrógeno reaccionan con 1 mol de oxígeno para formar 2 moles de agua. Entonces, la pregunta que probablemente se esté haciendo es "¿qué es un lunar?" y "¿por qué necesitamos usarlo?"

Aquí están las respuestas a esas preguntas:

El MOLE (mol) es una unidad de medida que es la cantidad de una sustancia pura que contiene el mismo número de unidades químicas (átomos, moléculas, etc.) que átomos hay exactamente en 12 gramos de carbono-12 (es decir, 6.023 X 10 23).

Entonces el mol es el título que se usa para la cantidad 6.023 x 10 23 de la misma manera que se usa la palabra "docena" para la cantidad 12.

Entonces, si tuvieras un mole de donas, tendrías 6.023 x 10 23 donas y un dolor de estómago grave.

Usamos el mol (mol) para representar la cantidad de sustancias en química porque la cantidad de átomos y moléculas en cada sustancia es muy grande. El valor dado 6.023 x 10 23 se llama número de Avagadro para el científico que encontró el número de átomos en 12 gramos de carbono 12. ¿Por qué usar 12 gramos? Esta es la masa atómica teórica del isótopo Carbono-12 (6 protones y 6 neutrones). Esto significa que la masa atómica o el peso atómico (12 gramos) de carbono es exactamente igual a 1 mol de carbono.

Usando el carbono como referencia, los pesos atómicos que ves en la tabla periódica también son iguales a un mol de esas sustancias:

El litio, por ejemplo, tiene una masa atómica de 6,941 gramos y esto es igual a un mol de litio. Es por eso que expresamos las masas atómicas y moleculares en unidades de gramos por mol o g / mol.

¿Qué podemos hacer con los lunares? Usamos la unidad para hacer cálculos basados ​​en ecuaciones químicas balanceadas. Usamos la estequiometría (una forma elegante de decir las proporciones molares en una ecuación) para hacer predicciones sobre la cantidad de producto que se producirá o el reactivo necesario si sabemos una cantidad molar en una reacción.

En esta reacción la estequiometría (relación molar) es que 1 mol de ácido sulfúrico reacciona con 2 moles de hidróxido de sodio (relación 1: 2). Un mol de ácido sulfúrico produce un mol de sulfato de sodio (proporción 1: 1) y dos moles de agua (proporción 1: 2). Dos moles de hidróxido de sodio, por otro lado, producen un mol de sulfato de sodio (proporción 2: 1) y 2 moles de agua (proporción 1: 1).

Podemos usar esta información para hacer predicciones sobre la cantidad de productos y reactivos en la reacción.

Si tiene cuatro moles de ácido sulfúrico y 2 moles de hidróxido de sodio, ¿cuántos moles de agua puede producir?

Con las cantidades de reactivos dadas, la cantidad de agua del producto es muy diferente. Pero dado que el ácido sulfúrico solo puede producir tanta agua como lo permita la cantidad de hidróxido de sodio, la cantidad real de producto elaborado será de solo dos moles de agua. Esto se debe a que una vez que se agota el hidróxido de sodio, la reacción se detiene. El hidróxido de sodio es lo que llamamos REACTIVO LIMITANTE en este escenario de reacción.

También podemos usar la relación entre los dos reactivos para determinar la cantidad de ácido sulfúrico que se consume y la cantidad que queda:

Según el cálculo, la reacción solo utilizará 2 moles de ácido sulfúrico antes de quedarse sin hidróxido de sodio. Como teníamos 4 moles de ácido sulfúrico para empezar, quedarán dos moles de ácido sulfúrico después de que se complete la reacción. El ácido sulfúrico se denomina REACTIVO EXCESO en la reacción.

A continuación se muestran algunas de las formas en que se puede usar el mol para calcular materiales en una reacción. Tenga en cuenta que hemos completado ejemplos del primer tipo de cálculo. Ahora necesitamos completar algunos ejemplos de los otros dos.

En el laboratorio, en realidad no medimos directamente las cantidades de sustancias químicas en los lunares. That is to say, we measure chemicals either by using a balance, which generates values of grams or by use of a graduated cylinder, which generates units of milliliters or liters. In order to complete the calculations shown above we need to convert these values into moles first.

There are three steps to converting grams of a substance to moles.

  1. Determine how many grams are given in the problem.
  2. Calculate the molar mass of the substance.
  3. Divide step one by step two.

The three steps above can be expressed in the following proportion:

How many moles are in 17.0 grams of H2O2?

17.0 grams are given in the text of the problem.

First we need to calculate the molar mass (molecular weight) of H2O2 (hydrogen peroxide) so we know how many grams equal one mole of the molecule. The molar mass is calculated using the formula and the atomic weights on a periodic table.

Hydrogen has an atomic mass of 1.008 g/mol and oxygen has an atomic mass of 15.9993 g/mol. According to the formula there are 2 moles of hydrogen and 2 moles of oxygen in each hydrogen peroxide molecule.

So hydrogen peroxide has a molecular weight of 34.0146 grams per mole.

We can use this amount to convert the grams given of hydrogen peroxide into moles:

$ 17.0 ext ext< H>_2 ext_2 imes < 1 ext< mol> ext< H>_2 ext_2 over 34.0146 ext ext< H>_2 ext_2 > = 0.500 ext < mol> ext< H>_2 ext_2 $

This answer has been rounded to three significant figures because of the 17.0.

Now that you know how to convert grams to moles, it is simple enough to reverse the process and convert moles to grams:

There are three steps to converting moles of a substance to grams:

  1. Determine how many moles are given in the problem.
  2. Calculate the molar mass of the substance.
  3. Multiply step one by step two.

The three steps above can be expressed in the following proportion:

Try to complete the following example on your own:

How many grams are in 0.700 moles of H2O2? The correct answer is 28.3 g.

We also stated above that we measure compounds in graduated cylinders which have units of liters or milliliters. How do we convert from units of volume to a unit of moles?

Molarity

Solutions of chemicals are described in terms of their concentration and the most common concentration unit used in the laboratory is MOLARITY (M). The molarity of a solution is the number of moles of solute in that solution per liters of the solution.

Now it should be more obvious how we would convert a solution volume measured in the lab in milliliters or liters into moles.

There are two steps to converting the volume of a solution to moles:

  1. Convert the given amount of volume into liters (L).
  2. Multiply the liters of the solution by its given molarity.

How many moles of Sodium Chloride (NaCl) are in a 24.5 mL volume of a 1.3M solution of NaCl?

First convert 24.5 mL into liters. Remember that there are a thousand milliliters in one liter

$ 25.4 ext < mL> imes <1 ext< L>over 1000 ext< mL>> = 0.0254 ext < L>$

Now take the liters of solution and calculate the number of moles NaCl in the solution:

Another way volumes can be converted to moles is by the density of the substance. In cases where the amount of a pure liquid or solid is given in units of volume, the density, which is given in terms of grams per unit volume, is used to convert the volume into grams. Once in grams, you already know how to convert the value further into moles.

  1. Multiply the volume by the density to get the mass.
  2. Divide the mass by the molar mass to get the number of moles.

A lead block was found to have a volume of 2.66 cm 3 . How many moles of lead are in the block?

The density of lead is 9.78 g/cm 3 . Convert the volume to grams first:

$ 2.66 ext< cm>^3 imes 9.78 ext< g>/ ext^3 = 26.0 ext < g lead>$

Now convert to moles using the molar mass of lead, 207.2 g/mol.

$ 26.0 ext < g Pb> imes 1 ext< mol>/207.2 ext < g Pb>= 0.126 ext < mol Pb>$

You now have been shown how to write and balance chemical reactions, how to convert their amounts into moles and use those values to calculate products and/or reactant amounts, and how to convert units of grams and volume into moles. So why was all this information needed?

We need to know this information to both create and use the forensic solutions we will need to complete our investigations in the lab.


Mr. R.’s World of Math

“Should I eat this one? No, how about this one! No! This one looks the best!” she sang as she tried to decide which cupcake to eat first. As the witch continued to think, I wrote a note on a piece of paper and tossed it to Hannah. It said:

Hannah read the note, nodded, and reached over to the test tubes with the chemicals in them. The snack-witch was now sticking some candles into the cupcakes. I guessed she was going to have a birthday celebration with Jake’s cupcakes right in front of our faces.

I watched Hannah as she tried to remember how to mix the chemicals again. She poured some into the glass beaker, but nothing happened.

She looked frustrated and tried again. Still nothing happened.

The snack-witch blew out the candles. “I guess that means good luck for me,” she said as she lifted a cupcake and began to smell it.

I quickly threw Hannah another note, it said:

Your total mixture weighed 483 grams. You put 297 grams of chemical #1 in, figure out the difference to find out how much of chemical #2 you need to put in.

How much of chemical #2 did Hannah need to put in?

Hannah added the correct amount of chemical #2, and the Blue gas filled the room just as the snack-witch was about to gobble down the cupcake. The gas passed in front of her mouth and sealed it shut. We could see her trying to open her mouth with no luck at all! A look of anger and frustration come over her face, and a moment later the snack-witch disappeared, and the cupcake dropped back down into the tray.

As soon as the snack-witch disappeared, my students and I realized we could speak again, and we were no longer stuck to our chairs.

“Hurry, everyone! Out of the classroom now! We don’t want to breathe that gas!” I yelled.

We all rushed out of the classroom to safety. Of course I remembered to grab the box of birthday cupcakes and bring it outside with us.

When we were all outside, I said, “I guess we’re having cupcakes for snack AND lunch today. I passed them out to my students and we all agreed it was the best snack and lunch we’d had that entire year.


THC percentages and mg/g explained, Under a liquor board’s influence

Cannabis legalization in Canada was celebrated with botched attempts to write various new laws. It was a rough ride bearing witness as our justice and health departments struggled to make up rules along the way. No better was the provincial liquor board’s use of language as they defined the market. An example is the quantity of CBD and THC either displayed as a percentage or mg/g depending on the province.

Influenced by THC percentages

Two different methods of describing the same number are likewise to one nation simultaneously implementing both the imperial and metric systems. Like different nations, provincial liquor boards have certain cannabis laws they must create independently. Has anyone visited the BCCS website and noticed their THC percentages, or rather the lack thereof?

An accurate quantity of THC is always given with legal cannabis, even just an average range of 45-90%. Or, should we say 450 to 900 mg/g of THC for anyone in the province of British Columbia. BCLBD decided during legalization 2.0 to do away with the traditional language of volume as a percentage that cannabis and alcohol consumers have both been accustomed to for years. Imagine if a beer was labeled 87ml of alcohol per liter (87ml/L) instead of 8.7%, and only in two province’s liquor markets. PEI Cannabis Corporation displays dried flower in percentage but concentrates in mg/g.

There is confusion currently being felt by cannabis consumers. Language slurs would be a clever way to fight against the potency lead that is held by their black-market competitors. I suppose, if you can’t beat them, confuse them.

We asked an expert

We called CLN’s resident scientist, Dr. Markus Roggen, who hosts his own series on CLN, Ask an Expert. He is a Ph.D. chemist who has been gaining a reputation by lab testing and researching cannabis as the founder and CEO of Complex Biotech Discovery Ventures (CBDV).

“Normally if we do weight by weight we would choose the same unit… So the percentage is grams [of analyte] divided by grams [of flower] times 100. And mg/g is basically milligrams of THC divided grams of material but you dont times by 100 anymore because instead of percentage you’re calculating for weight.”

– Dr. Markus Roggen

Is BC’s liquor board intentionally trying to use noise to debase their customers’ faith in THC percentages?

“People buy cannabis flower based on these percentages, like, oh this 25% THC flower must be really good, it’s really high. And then if you are a medical user and need a sublingual or a tincture the option is in milligrams per gram [or mg/ml.] There you see the reasoning behind it. I need to consume 40 mg of THC, so how many millilitres do I need to take… So, there is less math.”

– Dr. Markus Roggen

So, one reason behind the mg/g formula used by BCCS might be to make it easier to calculate doses, effective in oral formulations.

“If I need 50mg of THC, then I need one gram of flower at 5% THC”

– Dr. Markus Roggen

Dosages and bad measurements

To be frank, though, the idea of measuring the quality of cannabis products intended for smoking or vaping by the weight of THC alone is a well-known flaw. Clinicians and chemists are debasing the concept for their independent reasons. Outside of consumption, THC displayed by weight would have made it easier to possess a legal amount of THC during the early draft days of legalization in Canada.

This is an early proposal of Canada’s cannabis regulations presented by Lift&Co. These are NOT the finalized laws in Canada.

Nonsensical possession limits

It is illegal to possess more than thirty grams of dry flower under Canada’s current law. Other cannabis products have a designated mass that equals one gram of dry flower. For example, a quarter-gram of solid extract is legally identical to one gram of cannabis. Incredibly, one of the earlier drafts was even more complex in comparison, proposing an additional layer of nonsense.

Thirty grams of dry flower but no more than 6000 mg of THC was a suggested possession limit. This would have effectively set the limit to 21.4 grams of dry cannabis flower with 28% THC, for example. Therefore, the mg/g interpretation might have been suggested, in part, to ensure individuals can easily calculate when they are breaching possession limits.

Yet, no laws enforce you to lab test homegrown cannabis. Furthermore, consumers do not need to record the THC quantity of a legal batch before it is transferred to a different container. So, it does not break any laws if the amount of THC someone has in their possession is a mystery.

Counting THC molecules

Quantifying any cannabinoid requires an approved laboratory filled with equipment, such as CBDV, not just a gram scale. Furthermore, chemists do not measure cannabinoids by weight. So, not only is it preposterous to regulate the milligrams of THC a person can possess, it is impractical. The law was never adopted, but perhaps a change in the interpretation of THC percentages was kept by BC’s liquor board for the sake of dosing. We continued our conversation with CLN’s resident scientist, Markus Roggen, a Doctor of Philosophy in Chemistry, to ensure all angles and measurements are covered.

Is one interpretation between percentage and mg/g more accurate analytically for displaying THC quantity?

“I don’t think either option is very good. One might be okay for the end consumer, but I still think there could be a better way of labeling THC.”

– Dr. Markus Roggen

Do you have a preferred system of interpreting THC quantities?

“I don’t think so much in weight, I think in the number of molecules… moles.”

– Dr. Markus Roggen

CBDV offers infrared spectrometry services.

As a chemist, Dr. Roggen does not respect grams the same as common cannabis consumers. Molecules are sensitive. They morph and their mass changes regularly. So, this puts a further dent in possession limits based on the weight of a specific cannabinoid. Unless they regulate the number of THC molecules, but not just any THC molecule. Updates to cannabis label regulations beyond percentages or mg/g have recently been proposed which may change what THC y total THC truly define. Stay tuned for a discussion on different ways of explaining cannabinoid quantities.

Are milligrams per gram better than a percentage? Let us know your preference in the comments below.


Ver el vídeo: Masa Molecular y Masa Molar. Mol. Número de Avogadro. Química. (Agosto 2022).