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5.1: Decimales

5.1: Decimales


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El 29 de enero de 2001, la Bolsa de Valores de Nueva York puso fin a su tradición de 200 años de cotizar los precios de las acciones en fracciones y cambió a decimales.

Se dijo que fijar el precio de las acciones de la misma manera que se fijan los precios de otros artículos de consumo facilitaría a los inversores comprender y comparar los precios de las acciones. Las divisas extranjeras se habían negociado en decimales durante décadas. Los partidarios del cambio afirmaron que el volumen de negociación, el número de acciones negociadas, aumentaría y mejoraría la eficiencia.

Pero cambiar a decimales tendría otro efecto de estrechando la extensión. El propagar es la diferencia entre el mejor precio ofrecido por los compradores, llamado licitacióny el precio solicitado por los vendedores llamado preguntar. Los corredores de bolsa cobran comisiones como un porcentaje del margen que, utilizando fracciones, podría ascender desde 12 centavos por acción.

Cuando la Bolsa de Valores de Nueva York comenzó en 1792, el dólar se basaba en la moneda española. verdadero, (pronunciado ray-al), también llamado piezas de ocho ya que estas monedas de plata a menudo se cortaban en cuartos u octavos para hacer cambio. Esto es lo que llevó a que los precios de las acciones se denominaran primero en octavos. Por lo tanto, el margen más pequeño que podría ocurrir sería 1/8 de dólar, o 12,5 centavos. Eso puede parecer un cambio pequeño, pero comprar 1000 acciones por $ 1 por acción con un margen de $ 0,125 es una comisión de $ 125,00. ¡Nada mal para un intercambio rápido!

La decimalización del precio de las acciones permitió márgenes de tan solo 1 centavo. Dado que el número de acciones negociadas en las bolsas de valores se ha disparado, con billones de acciones negociadas diariamente, las comisiones de los corredores de bolsa no se han visto afectadas. Y la facilidad con la que los inversores pueden captar rápidamente el precio de las acciones ha contribuido a la apertura de mercados para todas las clases de personas.

En este capítulo, aprenderemos cómo calcular y resolver problemas con decimales y veremos cómo se relacionan con las fracciones.


¿Qué es 1/5 en decimal?

Convertir 1/5 a decimal es posiblemente uno de los cálculos más fáciles que puede hacer. En esta guía (muy breve), le mostraremos cómo convertir cualquier fracción en un decimal en 3 segundos o menos. ¡Aquí vamos!

¿Quiere aprender rápidamente o mostrar a los estudiantes cómo convertir 1/5 a decimal? ¡Reproduzca este video muy rápido y divertido ahora!

Lo primero es lo primero, si no sabe qué son un numerador y un denominador en una fracción, debemos recapitular eso:

Aquí está el pequeño secreto que puede usar para transformar instantáneamente cualquier fracción en un decimal: Simplemente divide el numerador por el denominador:

¡Eso es literalmente todo lo que hay que hacer! 1/5 como decimal es 0,2.

Ojalá tuviera más que contarte sobre la conversión de una fracción en un decimal, pero es así de simple y no hay nada más que decir al respecto.

Si quieres practicar, tómate un bolígrafo y una libreta e intenta calcular algunas fracciones en formato decimal tú mismo. Si tu eres realmente me siento perezoso ¡En su lugar, puede usar nuestra calculadora a continuación!


5.1: Decimales

ENTENDIENDO EL ESTÁNDAR

COMPRENSIONES ESENCIALES

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ESENCIALES

· La estructura del sistema numérico Base-10 se basa en un patrón simple de decenas en el que cada lugar es diez veces el valor del lugar a su derecha. Esto se conoce como una relación de valor posicional de diez a uno.

· Un punto decimal separa los lugares de números enteros de los lugares menores que uno. Los valores posicionales se extienden infinitamente en dos direcciones desde un punto decimal. Un número que contiene un punto decimal se llama número decimal o simplemente un decimal.

· Leer el número entero a la izquierda del punto decimal, si hay uno

· Leer el punto decimal como "y"

· Leer los dígitos a la derecha del punto decimal como leerías un número entero y

· Decir el nombre del valor posicional del dígito en el lugar más pequeño.

· Los decimales se pueden escribir en una variedad de formas:

· Escrito: veintitrés y cuatrocientos cincuenta y seis milésimos

· Ampliado: (2 ´ 10) + (3 ´ 1) + (4 ´ 0.1) +

· Para ayudar a los estudiantes a identificar la relación de valor posicional de diez a uno para decimales hasta milésimos, use manipuladores de Base-10, como tablas / tablas de valor posicional, cuadrados decimales, bloques de Base-10 y dinero.

· Los decimales se pueden redondear al número entero más cercano, décimo o centésimo en situaciones en las que no se necesitan números exactos.

· Las estrategias para redondear números decimales al número entero más cercano, décimo y centésimo son las siguientes:

· Mire un lugar a la derecha del dígito al que desea redondear.

· Si el dígito es menor que 5, deje el dígito en el lugar de redondeo como está y cambie los dígitos a la derecha del lugar de redondeo a cero.

· Si el dígito es 5 o mayor, agregue 1 al dígito en el lugar de redondeo y cambie los dígitos a la derecha del lugar de redondeo a cero.

· Cree una recta numérica que muestre el decimal que se va a redondear.

· La posición del decimal ayudará a los niños a conceptualizar la ubicación relativa del número para el redondeo. Un ejemplo es redondear 5.747 a la centésima más cercana:

· Comprender que los decimales se redondean de una manera similar a la forma en que se redondean los números enteros.

· Comprender que los números decimales se pueden redondear para estimar cuando no se necesitan números exactos para la situación en cuestión.

El estudiante usará resolución de problemas, comunicación matemática, razonamiento matemático, conexiones y representaciones para


5.1: Decimales

Para empezar, tenga en cuenta que 5 1/9 es un número mixto, también conocido como fracción mixta. Tiene un número entero y un número fraccionario. Hemos etiquetado las partes del número mixto a continuación para que sea más fácil seguirlo.

5 = número entero
1 = Numerador
9 = Denominador

Para obtener 5 1/9 en forma decimal, básicamente convertimos el número mixto a una fracción y luego dividimos el numerador de la fracción por el denominador de la fracción.


Aquí están los pasos matemáticos detallados que usamos para convertir 5 1/9 números mixtos a forma decimal:

Paso 1: Multiplica el número entero por el denominador:

Paso 2: Agregue el producto que obtuvo en el Paso 1 al numerador:

Paso 3: Divida la suma del Paso 2 por el denominador:

¡Eso es amigos! La respuesta a 5 1/9 en forma decimal se muestra a continuación:


Número mixto en forma decimal
¡5 1/9 en forma decimal no es todo lo que podemos hacer! Aquí puede convertir otro número mixto a forma decimal.


¿Qué es 5 2/1 en forma decimal?
Aquí está el siguiente número mixto en nuestra lista que hemos convertido en forma decimal.


Fracciones en problemas verbales:


    Cyka hizo 6 19/20 tazas de ponche ponche con dos tipos diferentes de jugo. Si el ponche tenía 4 1/5 tazas de un tipo de jugo, ¿cuántas tazas del otro tipo de jugo tenía?
    El granjero Peter pinta 12 gallineros. Empezó a pintar este día por la mañana. Ahora solo le queda 1/4 del gallinero para pintar esta tarde. ¿Cuántos gallineros pintó el granjero Peter esta mañana?
    El padre tiene madera de 12 1/5 metros de largo. Luego corté la madera en dos pedazos. Una parte mide 7 3/5 metros de largo. Calcular la longitud de la otra madera.
    3 libras restan 1/3 de libra.
    Hay 40 alumnos en una determinada clase. 3/5 de la clase son niños. Cuantas son chicas?
    Expreso en mm: 5 3/10 cm - 2/5 mm
    La Sra. Lazo compró tela para cortinas de 9 1/8 m. Usó 3 5/6 m para hacer una cortina para su dormitorio. ¿Cuántos metros de tela no se utilizaron?
    Martin está haciendo un modelo de una canoa nativa americana. Tiene 5 1/2 pies de madera. Utiliza 2 3/4 pies para el casco y 1 1/4 pies para un remo. ¿Cuánta leña le queda? A Martin le quedan pies de madera.
    Pediatra este mes de 20 días laborables toma 8 días de vacaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que el lunes esté en el trabajo?
    ¿Cuál es la diferencia entre 4 2/3 y 3 1/6?
    Ananya tiene un conejito. Compró 4 7/8 libras de zanahorias. Ella alimentó a su conejito con 1 1/4 libras de zanahorias la primera semana. Ella alimentó a su conejito con 5/6 libras de zanahorias la segunda semana. En total, ¿cuántas libras de zanahorias le dio de comer a su conejito? 1. Dibuja una cinta diag
    La ley federal requiere que todos los inodoros residenciales vendidos en los Estados Unidos no usen más de 1 3/5 galones de agua por descarga. Antes de esta legislación, los inodoros convencionales usaban 3 2/5 galones de agua por descarga. Encuentre la cantidad de agua ahorrada en un año
    Heather tiene 2 tazas de azúcar en polvo. Rocía 3/5 del azúcar en un plato de brownies y el resto en un plato de galletas de limón. ¿Cuánta azúcar espolvorea Heather sobre los brownies? ¿Cuánta azúcar espolvorea Heather sobre el refresco de limón?

Conversión de datos decimales y numéricos

Para decimal y numérico tipos de datos, SQL Server considera cada combinación de precisión y escala como un tipo de datos diferente. Por ejemplo, decimal (5,5) y decimal (5,0) se consideran tipos de datos diferentes.

En las instrucciones Transact-SQL, una constante con un punto decimal se convierte automáticamente en un numérico valor de los datos, utilizando la mínima precisión y escala necesarias. Por ejemplo, la constante 12,345 se convierte en un numérico valor con una precisión de 5 y una escala de 3.

Conversión de decimal o numérico para flotador o verdadero puede causar cierta pérdida de precisión. Conversión de En t, pequeño, diminuto, flotador, verdadero, dinero, o poco dinero a cualquiera decimal o numérico puede causar desbordamiento.

De forma predeterminada, SQL Server utiliza el redondeo al convertir un número en un decimal o numérico valor con menor precisión y escala. Por el contrario, si la opción SET ARITHABORT está activada, SQL Server genera un error cuando se produce un desbordamiento. La pérdida de precisión y escala no es suficiente para generar un error.

Antes de SQL Server 2016 (13.x), la conversión de flotador valores a decimal o numérico está restringido a valores de precisión de 17 dígitos únicamente. Ninguna flotador el valor menor que 5E-18 (cuando se establece usando la notación científica de 5E-18 o la notación decimal de 0.0000000000000000050000000000000005) se redondea a 0. Esto ya no es una restricción a partir de SQL Server 2016 (13.x).


5.1.2 Decimales y fracciones de amperios

Leer y escribir decimales usando el valor posicional para describir decimales en términos de grupos de millonésimas a millones.

Por ejemplo: Los posibles nombres para el número 0.0037 son:

3 milésimas + 7 diez milésimas

un posible nombre para el número 1.5 es 15 décimas.

Encuentra 0.1 más que un número y 0.1 menos que un número. Encuentre 0.01 más que un número y 0.01 menos que un número. Encuentre 0.001 más que un número y 0.001 menos que un número.

Ordene fracciones y decimales, incluidos números mixtos y fracciones impropias, y ubíquelos en una recta numérica.

Por ejemplo: ¿Cuál es más grande 1.25 o $ frac <6> <5> $?

Otro ejemplo: Para que funcione correctamente, una pieza debe pasar por un espacio de 0,24 pulgadas de ancho. Si una pieza tiene $ frac <1> <4> $ pulgada de ancho, ¿encajará?

Reconocer y generar decimales equivalentes, fracciones, números mixtos y fracciones impropias en varios contextos.

Por ejemplo: Al comparar 1,5 y $ frac <19> <12> $, tenga en cuenta que 1,5 $ = 1 frac <1> <2> = 1 frac <6> <12> = frac <18> <12> $ , entonces 1.5 lt frac <19> <12> $.

Redondea los números al 0.1, 0.01 y 0.001 más cercano.

Por ejemplo: Los estudiantes de quinto grado usaron una calculadora para encontrar la media de la asignación mensual en su clase. La pantalla de la calculadora muestra 25.80645161. Redondea este número al centavo más cercano.

Visión general

Estándar 5.1.2 Comprensiónes esenciales

El estudio de los números racionales ahora incluye representaciones decimales en millonésimas y fracciones. Los estudiantes de quinto grado amplían su comprensión del sistema de numeración de base diez y los conceptos de valor posicional para incluir millonésimas. Por ejemplo: Los posibles nombres para el número 0.0037 son: 37 diez milésimas 3 milésimas + 7 diez milésimas y un nombre posible para el número 1.5 es 15 décimas.

Los estudiantes determinan .1 más / menos, .01 más / menos y .001 más / menos que un número dado. Pueden comparar y ordenar fracciones y decimales y ubicarlos en una recta numérica.

Los estudiantes desarrollan una comprensión de la conversión entre fracciones y decimales. El trabajo con fracciones equivalentes continúa a medida que los estudiantes encuentran fracciones con denominadores de 15, 16, 20, 25, 50 y 100. Estos conocimientos se utilizan para resolver situaciones matemáticas y del mundo real.

Todos los puntos de referencia estándar

Leer y escribir decimales usando el valor posicional para describir decimales en términos de grupos de millonésimas a millones.

Encuentra 0.1 más que un número y 0.1 menos que un número. Encuentre 0.01 más que un número y 0.01 menos que un número. Encuentre 0.001 más que un número y 0.001 menos que un número.

Ordene fracciones y decimales, incluidos números mixtos y fracciones impropias, y ubíquelos en una recta numérica.

Reconocer y generar decimales equivalentes, fracciones, números mixtos y fracciones impropias en varios contextos.

Redondea los números al 0.1, 0.01 y 0.001 más cercano.

Leer y escribir decimales usando el valor posicional para describir decimales en términos de grupos de millonésimas a millones.

Por ejemplo: Los nombres posibles para el número 0.0037 son: 37 diez milésimas 3 milésimas + 7 diez milésimas un nombre posible para el número 1.5 es 15 décimas.

Encuentra 0.1 más que un número y 0.1 menos que un número. Encuentre 0.01 más que un número y 0.01 menos que un número. Encuentre 0.001 más que un número y 0.001 menos que un número.

5.1.2.3

Ordene fracciones y decimales, incluidos números mixtos y fracciones impropias, y ubíquelos en una recta numérica.

Reconocer y generar decimales equivalentes, fracciones, números mixtos y fracciones impropias en varios contextos.

Redondea los números al 0.1, 0.01 y 0.001 más cercano.

Por ejemplo: Los estudiantes de quinto grado usaron una calculadora para encontrar la media de la asignación mensual en su clase. La pantalla de la calculadora muestra 25.80645161. Redondea este número al centavo más cercano.

Lo que los estudiantes deben saber y poder hacer [a un nivel de dominio] relacionado con estos puntos de referencia:
  • convertir entre representaciones fraccionarias y decimales de un número.
  • conozca los nombres decimales de fracciones comunes como ¼ como 0,25, ⅓ como 0,33 (repetido), ½ como 0,5 y ⅕ como 0,2, etc. para facilitar el ordenamiento, la comparación de fracciones y decimales y la conversión a porcentajes.
  • encuentre 0,1, 0,01 y 0,001 más o menos que un número.
  • localizar y ordenar fracciones y decimales en una recta numérica.
  • ordenar un conjunto de números que incluya fracciones, decimales y números mixtos.
  • ubicar fracciones y decimales, incluidos números mixtos y fracciones impropias, en una recta numérica.
  • ampliar su comprensión del sistema de numeración en base diez y los conceptos de valor posicional para incluir millonésimas. Por ejemplo: Los nombres posibles para el número 0.0037 son: 37 diez milésimas 3 milésimas + 7 diez milésimas un nombre posible para el número 1.5 es 15 décimas.
  • redondear un número al 0,1, 0,01, 0,001 más cercano.
  • reconocer y generar decimales equivalentes, fracciones, números mixtos y fracciones impropias.
  • traducir fácilmente entre fracciones propias e impropias y números mixtos.
El trabajo de grados anteriores que respalda este nuevo aprendizaje incluye:
  • representar fracciones equivalentes usando modelos de fracciones como partes de un conjunto, círculos de fracciones, tiras de fracciones, líneas numéricas y otros manipuladores.
  • usar modelos para determinar fracciones equivalentes.
  • ubica fracciones en una recta numérica.
  • usar modelos para ordenar y comparar números enteros y fracciones, incluidos números mixtos y fracciones impropias.
  • usar modelos de fracciones para sumar y restar fracciones con denominadores similares en situaciones matemáticas y del mundo real.
  • Desarrollar una regla para la suma y resta de fracciones con denominadores similares.
  • leer y escribir decimales con palabras y símbolos.
  • use el valor posicional para describir decimales en términos de miles, centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas y milésimas.
  • comparar y ordenar decimales y números enteros usando el valor posicional, una recta numérica y modelos como cuadrículas y bloques de base 10. Por ejemplo, podrían determinar una fracción entre ⅓ y ¼ o un decimal entre .9 y .91.
  • leer y escribir décimas y centésimas en notaciones decimales y fraccionarias usando palabras y símbolos.
  • saber las fracciones y los equivalentes decimales para mitades y cuartos.
  • redondear decimales a la décima más cercana.
  • Desarrollar la comprensión de la equivalencia de fracciones. Reconocen que dos fracciones diferentes pueden ser iguales (por ejemplo, 15/9 = 5/3) y desarrollan métodos para generar y reconocer fracciones equivalentes.
  • Ampliar los conocimientos previos sobre cómo se construyen las fracciones a partir de fracciones unitarias, componiendo fracciones a partir de fracciones unitarias, descomponiendo fracciones en fracciones unitarias.
  • Estime el tamaño relativo de fracciones y decimales usando puntos de referencia como 0, ½ y 1 y más.

Estándares NCTM

Comprender números, formas de representar números, relaciones entre números y sistemas numéricos.
  • comprender la estructura del valor posicional del sistema numérico de base diez y ser capaz de representar y comparar números enteros y decimales
  • reconocer representaciones equivalentes para el mismo número y generarlas descomponiendo y componiendo números
  • Desarrollar la comprensión de las fracciones como partes de unidades completas, como partes de una colección, como ubicaciones en líneas numéricas y como divisiones de números enteros.
  • usar modelos, puntos de referencia y formas equivalentes para juzgar el tamaño de las fracciones
  • Reconocer y generar formas equivalentes de fracciones, decimales y porcentajes de uso común.
  • explorar números menores que 0 extendiendo la recta numérica y a través de aplicaciones familiares
  • describir clases de números de acuerdo con características tales como la naturaleza de sus factores.

Estándares estatales básicos comunes

Comprende el sistema de valor posicional.

5.NBT.1. Reconozca que en un número de varios dígitos, un dígito en un lugar representa 10 veces más de lo que representa en el lugar a su derecha y 1/10 de lo que representa en el lugar a su izquierda.

5.NBT.2. Explica patrones en el número de ceros del producto al multiplicar un número por potencias de 10 y explica patrones en la ubicación del punto decimal cuando un decimal se multiplica o divide por una potencia de 10. Usa exponentes de números enteros para denotar potencias de 10.

5.NBT.3. Leer, escribir y comparar decimales con milésimos.

5.NBT.3a. Lee y escribe decimales hasta milésimas usando numerales en base diez, nombres de números y forma desarrollada, por ejemplo, 347.392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100 ) + 2 × (1/1000).

5.NBT.3b. Compare dos decimales con milésimas según el significado de los dígitos en cada lugar, utilizando los símbolos & gt, = y & lt para registrar los resultados de las comparaciones.

5.NBT.4. Utilice la comprensión del valor posicional para redondear decimales a cualquier lugar.

Conceptos erróneos

Conceptos erróneos de los estudiantes y errores comunes
  • el numerador y el denominador son números enteros separados.
  • Las relaciones de números enteros se pueden aplicar a fracciones o decimales. Por ejemplo, creer que 0,26 es mayor que 0,8 porque 26 es mayor que 8.
  • los números enteros son siempre más grandes que las fracciones, incluidos los números mixtos.
  • más pequeño es más grande con fracciones - 1/7 es mayor que 2 / 7- el numerador más pequeño es la pieza más grande o ½ es más pequeño que ⅓ porque 2 es más pequeño que 3
  • la diferencia entre el denominador y el numerador indica qué tan cerca está la fracción de uno. Por ejemplo, ¾ y ⅔ están a una distancia del todo, por lo que tienen el mismo tamaño. O ½ y 5/7 - ½ deben ser más grandes ya que está a 1 distancia del todo y 5/7 está a 2 piezas del todo.
  • los decimales son como números enteros, todo lo que haces con números enteros lo haces con decimales.
  • cuantos más dígitos a la derecha del punto decimal, mayor será el número.
  • los decimales son completamente diferentes de las fracciones.

Recursos

Notas del profesor
  • Los estudiantes pueden necesitar apoyo para un mayor desarrollo de conceptos y habilidades previamente estudiados..
  • Las fracciones equivalentes se crean multiplicando por 1 (2/2, 3/3, 4/4), etc.
  • Simplificar fracciones requiere dividir por 1 (2/2, 3/3, 4/4), etc.
  • Cuando se comparan fracciones, solo se enseña a los estudiantes a encontrar denominadores comunes en lugar de desarrollar la comprensión utilizando la fracción de referencia de 0, 1/2 y 1 para estimar el tamaño, lo que reduce la oportunidad de que los estudiantes desarrollen el sentido numérico.
  • Anexar o colocar ceros para hacer que los decimales que se comparan tengan el mismo número de dígitos es un error y no permite que los estudiantes se concentren en el valor posicional.
  • Leer decimales correctamente como 0.26 como "veintiséis centésimos" en lugar de "punto dos seis" apoya la comprensión del valor posicional.
  • Use líneas numéricas para determinar la ubicación apropiada de decimales como .9, .09, .19, etc.
  • Es importante el uso cuidadoso del lenguaje al modelar fracciones equivalentes. Por ejemplo, usando tiras de fracciones para modelar el cambio de ¾ a la fracción equivalente 6/8, enfoca la discusión en el cambio que ocurre en el numerador y denominador al multiplicar por 1 entero (2/2) versus dividir cada uno de los cuartos en mitades. para conseguir octavos. Esto crea confusión para que los estudiantes crean que la operación es una división en lugar de una multiplicación.
  • El saldo simétrico para números enteros y decimales es el lugar de las unidades, no el punto decimal.
  • De acuerdo con las especificaciones de la prueba MCA III, los denominadores están limitados a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 y 20. Al reconocer y generar fracciones equivalentes, decimales, números mixtos y fracciones impropias, los denominadores están limitados a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 25, 50 y 100.
  • El Proyecto de números racionales (Ideas de fracciones iniciales) proporciona estrategias y lecciones basadas en la investigación que respaldan la comprensión conceptual de las fracciones, incluidas las conexiones a las operaciones con fracciones.
  • El Proyecto de números racionales (operaciones de fracciones e ideas decimales iniciales) proporciona estrategias y lecciones basadas en investigaciones que respaldan la comprensión conceptual de fracciones y decimales, incluidas las conexiones a operaciones con fracciones y decimales.
  • Bien preguntas, y bueno escuchando, ayudará a los niños a entender las matemáticas, desarrollar la confianza en sí mismos y fomentar el pensamiento y la comunicación matemáticos. Una buena pregunta abre un problema y apoya diferentes formas de pensarlo. Las mejores preguntas son aquellas que no pueden responderse con un "sí" o un "no".

Empezando
¿Qué necesitas averiguar?
¿Qué sabes ahora? ¿Cómo puede obtener la información? ¿Por dónde puedes empezar?
¿Qué términos entiendes / no entiendes?
¿Qué problemas similares ha resuelto que ayudarían?
Mientras trabajo
¿Cómo puedes organizar la información?
¿Puedes hacer un dibujo (modelo) para explicar tu pensamiento? ¿Qué otras posibilidades hay?
Que pasaria si.
¿Puede describir un enfoque (estrategia) que pueda utilizar para resolver esto?
¿Qué necesitas hacer a continuación?
¿Ves algún patrón o relación que te ayude a resolver esto?
¿Cómo se relaciona esto con.
Por qué lo hiciste.
¿Qué suposiciones estás haciendo?
Reflexionando sobre la solución
¿Cómo sabe que su solución (conclusión) es razonable? ¿Cómo llegó a su respuesta?
¿Cómo puedes convencerme de que tu respuesta tiene sentido?
¿Qué intentaste que no funcionó? ¿Ha sido respondida la pregunta?
¿Se puede aclarar la explicación?
Respondiendo (ayuda a aclarar y ampliar su pensamiento)
Dime más.
¿Puedes explicarlo de otra manera?
¿Existe otra posibilidad o estrategia que funcione?
¿Existe una estrategia más eficiente?
Ayúdame a entender esta parte.

(Adaptado de Cuentan con nosotros Consejo de Matemáticas de California, 1995)

Iluminaciones NCTM
  • Las lecciones incluyen: "Desarrollo de fracciones: el modelo de longitud" y Desarrollo de fracciones: el modelo de conjuntos ". Las actividades incluyen: Fracciones equivalentes Modelos de fracciones y el juego de fracciones
    Este juego se puede utilizar cuando se trabaja con la equivalencia de decimales, fracciones y porcentajes. -
Recursos educativos adicionales

Duncan, N., Geer, C., Huinker, D., Leutzinger, L., Rathmell, E. y Thompson, C. (2007). Navegar a través de números y operaciones en los grados 3-5. Reston, VA: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas.

Pequeño, M. (2009). Buenas preguntas: Excelentes formas de diferenciar la enseñanza de las matemáticas. Nueva York, NY: Teachers College Press.

Van de Walle, J., Karp, K., Bay-Williams, J. (2010). Matemáticas de primaria y secundaria: enseñanza del desarrollo. (7ª ed.) Boston, MA: Allyn & amp Bacon.

Van de Walle, J. y Lovin, L. (2006). Enseñanza de matemáticas centradas en el estudiante grados 3-5. Boston, MA: Educación de Pearson.

número racional: Un número expresable en la forma a/B o - a/B por alguna fracción a/B. Los números racionales incluyen los números enteros.

numerador: El número que está escrito encima de la línea en una fracción. Indica cuántas partes del todo tienes o cómo se están considerando y partes.

denominador: El número debajo de la línea en una fracción. Muestra en cuántas partes iguales se ha dividido el todo.

numero mixto: Un número que tiene una parte entera y una parte fraccionaria, como 2 ⅓. Los números mixtos representan valores mayores que 1.

fracción impropia: Una fracción en la que el numerador es mayor que el denominador, como 11/3. Las fracciones impropias representan valores mayores que uno.

"El vocabulario es literalmente el

herramienta clave para pensar ".

Las palabras del vocabulario matemático describen relaciones y conceptos matemáticos y no pueden entenderse simplemente practicando definiciones. Los estudiantes necesitan tener experiencias comunicando ideas usando estas palabras para explicar, apoyar y justificar su pensamiento.

El aprendizaje de vocabulario en el aula de matemáticas depende de lo siguiente:

Integración: Conectar vocabulario nuevo con conocimientos previos y vocabulario aprendido previamente. El cerebro busca conexiones y formas de dar significado que se produce al acceder a conocimientos previos.

Repetición: Usar la palabra o concepto muchas veces durante el proceso de aprendizaje y conectar la palabra o concepto con su significado. El papel del maestro es proporcionar experiencias que garanticen que se establezcan conexiones entre los conceptos matemáticos, las relaciones y las palabras del vocabulario correspondientes.

Significativo Utilizar: Múltiples y variadas oportunidades para usar las palabras en contexto. Estas oportunidades ocurren cuando los estudiantes explican su pensamiento, hacen preguntas aclaratorias, escriben sobre matemáticas y piensan en voz alta al resolver problemas. Los maestros deben sondear constantemente el pensamiento de los estudiantes para determinar si los estudiantes están conectando los conceptos matemáticos y las relaciones con el vocabulario matemático apropiado.

Estrategias para el desarrollo del vocabulario

Los estudiantes no aprenden palabras de vocabulario memorizando y practicando definiciones.. Las siguientes estrategias mantienen el vocabulario visible y accesible durante la instrucción.

Banco de palabras de matemáticas: Cada unidad de estudio debe tener bancos de palabras visibles durante la instrucción. Las palabras y las definiciones correspondientes se agregan al banco de palabras cuando surge la necesidad. Los estudiantes se refieren a los bancos de palabras cuando comunican ideas matemáticas, lo que conduce a una mayor comprensión y aplicación de las palabras en contexto.

Imágenes y gráficos etiquetados: Los diagramas etiquetados brindan a los estudiantes oportunidades para anclar su pensamiento a medida que desarrollan la comprensión conceptual y aumentan las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes.

Modelo Frayer: El modelo Frayer conecta palabras, definiciones, ejemplos y no ejemplos.

Gráficos de ejemplo / no ejemplo: Este organizador gráfico permite a los estudiantes razonar sobre las relaciones matemáticas a medida que desarrollan la comprensión conceptual de las palabras del vocabulario matemático. Los maestros deben usarlos durante el proceso de instrucción para involucrar al estudiante en el pensamiento sobre el significado de las palabras.

Tiras de vocabulario: Las tiras de vocabulario brindan a los estudiantes una forma de organizar información crítica sobre palabras de vocabulario de matemáticas.

Alentar a los estudiantes a verbalizar el pensamiento dibujando, hablando y escribiendo aumenta las oportunidades para usar las palabras del vocabulario matemático en contexto.

Recursos adicionales para el desarrollo de vocabulario

Murray, M. (2004). Enseñar vocabulario matemático en contexto. Portsmouth, Nueva Hampshire: Heinemann.

Sammons, L. (2011). Desarrollar la comprensión matemática: usar estrategias de alfabetización para dar significado. Huntington Beach, CA: Educación Shell.

Comunidades de aprendizaje profesional

Reflexión: preguntas críticas sobre la enseñanza y el aprendizaje de estos puntos de referencia

¿Cuáles son las ideas clave relacionadas con la comprensión decimal en el nivel de quinto grado? ¿Cómo interfieren los conceptos erróneos de los estudiantes con el dominio de estas ideas?

¿Cómo sabría que un estudiante entiende el sistema decimal cuando usa números de .0001 a .1?

¿Qué representaciones debería poder hacer un estudiante para el número 365.4729 si entiende el valor posicional?

¿Qué experiencias necesitan los estudiantes para desarrollar una comprensión del redondeo de decimales a la décima, centésima y milésima más cercana?

Al verificar la comprensión de los estudiantes sobre los decimales, ¿qué deben

  • escuchar en las conversaciones de los estudiantes?
  • buscar en el trabajo de los estudiantes?
  • preguntar durante las discusiones en el aula?

Examinar el trabajo del estudiante relacionado con una tarea de valor posicional que incluya decimales. ¿Qué evidencia necesita para decir que un estudiante es competente? Utilizando tres piezas del trabajo del alumno, determine qué comprensión del alumno se observa a través del trabajo.

¿Cuáles son las ideas clave relacionadas con la comprensión de fracciones en el nivel de quinto grado? ¿Cómo interfieren los conceptos erróneos de los estudiantes con el dominio de estas ideas?

¿Qué representaciones debería poder hacer un estudiante para la fracción ______?

Al verificar la comprensión de los estudiantes de las fracciones en el nivel de quinto grado, ¿qué deben

  • escuchar en las conversaciones de los estudiantes?
  • buscar en el trabajo de los estudiantes?
  • preguntar durante las discusiones en el aula?

Examinar el trabajo del alumno relacionado con una tarea que involucre fracciones. ¿Qué evidencia necesita para decir que un estudiante es competente? Utilizando tres piezas del trabajo del alumno, determine qué comprensión del alumno se observa a través del trabajo.

¿Qué se entiende por representaciones equivalentes? ¿Cómo pueden los profesores ayudar a los estudiantes a comprender representaciones equivalentes?

¿Cómo pueden los profesores evaluar el aprendizaje de los estudiantes en relación con estos puntos de referencia?

¿Cómo se relacionan estos puntos de referencia con otros puntos de referencia en el nivel de quinto grado?

Recursos de la comunidad de aprendizaje profesional

Bamberger, H., Oberdorf, C. y Schultz-Ferrell, K. (2010). Conceptos erróneos sobre matemáticas desde el prekínder hasta el quinto grado: desde el malentendido hasta la comprensión profunda. Portsmouth, Nueva Hampshire: Heinemann.

Chapin, S. y Johnson, A. (2006). Las matemáticas importan: comprender las matemáticas que enseña, grados K-8. (2ª ed.). Sausalito, CA: Math Solutions Press.

Chapin, S., O'Connor, C. y Canavan Anderson, N. (2009). Debates en el aula: uso del lenguaje matemático para ayudar a los estudiantes a aprender (grados K-6). Sausalito, CA: Soluciones matemáticas.

Fosnot, C. y Dolk, M. (2002). Jóvenes matemáticos trabajando: multiplicación y división. Portsmouth, Nueva Hampshire: Heinemann.

Hyde, Arthur. (2006). Comprensión de matemáticas adaptando estrategias de lectura para enseñar matemáticas, K-6. Portsmouth, Nueva Hampshire: Heinemann.

Lester, F. (2010). Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas: transformación de la investigación para profesores de primaria. Reston, VA: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas.

Otto, A., Caldwell, J., Wallus Hancock, S. y Zbiek, R. (2011). Desarrollar una comprensión esencial de la multiplicación y la división para enseñar matemáticas en los grados 3 a 5. Reston, VA .: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas.

Parrish, S. (2010). Charlas numéricas: ayudar a los niños a desarrollar estrategias de cálculo y matemáticas mentales en los grados K-5. Sausalito. CA: Soluciones matemáticas.

Sammons, L., (2011). Desarrollar la comprensión matemática: usar estrategias de alfabetización para dar significado. Huntington Beach, CA: Educación Shell.

Schielack, J. (2009). Enfoque en el tercer grado, enseñando con puntos focales del plan de estudios. Reston, VA: Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas.

Bamberger, H., Oberdorf, C. y Schultz-Ferrell, K. (2010). Conceptos erróneos sobre matemáticas desde el prekínder hasta el quinto grado: desde el malentendido hasta la comprensión profunda. Portsmouth, Nueva Hampshire: Heinemann.

Bender, W. (2009). Diferenciar la instrucción en matemáticas: ¡Estrategias que funcionan para las aulas de kínder a octavo! Thousand Oaks, CA: Corwin Press.

Bresser, R., Melanese, K. y Sphar, C. (2008). Apoyando a los estudiantes del idioma inglés en la clase de matemáticas, grados k-2. Sausalito, CA: Publicaciones sobre soluciones matemáticas.

Quemaduras, Marilyn. (2007). Acerca de la enseñanza de las matemáticas: un recurso de k-8 (3ª ed.). Sausalito, CA: Publicaciones sobre soluciones matemáticas.

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Chapin, S., & Johnson, A. (2006). Math matters: Understanding the math you teach, grades K-8. (2nd ed.). Sausalito, CA: Math Solutions Press.

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Seeley, C. (2009). Faster isn't smarter: Messages about math teaching and learning in the 21st century. Sausalito, CA: Math Solutions.

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Van de Walle, J. A., & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics grades K-3. Boston, MA: Pearson Education.

West, L., & Staub, F. (2003). Content focused coaching: Transforming mathematics lessons. Portsmouth, NH: Heinemann.

Wickett, M., & Burns, M. (2003). Teaching arithmetic: Lessons for extending division, grades 4-5. Sausalito, CA: Math Solutions.

Assessment

UN. 0.20815
B. 0.30256
C. 0.40571
D. 0.50098

Solution : B 0.30256
Benchmark 5.1.2.1
MCA III Item Sampler

  • Johan's race time was 45.03 seconds. Kyle's race time was 0.1 second less than Johan's time. What was Kyle's race time?

UN. 44.03 seconds
B. 44.93 seconds
C. 45.13 seconds
D. 45.14 seconds

Solution: B 44.93. seconds
Benchmark 5.1.2.2
MCA III Item Sampler

UN. 0.45
B. 0.458
C. 0.459
D. 0.4583

Solution: B 0.458
Benchmark 5.1.2.5
MCA III Item Sampler

Solution: B. K and L
Benchmark: 5.1.2.3
MCA III Item Sampler

Solution: A 0.04
Benchmark 5.1.2.4
MCA III Item Sampler

Solution: Will vary.
Benchmark: 5.1.2.3

Solution: 1 2/6, 1 ⅓, 1.333
Benchmark: 5.1.2.4

Solution: 0.33 0.2 0.375 1.5
Benchmark: 5.1.2.4

Solution: 1 3/10 2/3 3/4 1/20 1/2
Benchmark 5.1.2.4

Differentiation

  • Structure consistent computational fluency activities utilizing physical models such as number lines and base ten blocks to help reconstruct multiplication/division facts when needed.
  • Actively engage students in learning situations that focus on both concept and skill development (Place value millions to millionths) Provide explicit systematic instruction that includes opportunities for students to ask and answer questions and think aloud when making decisions while solving problems. Be sure that students understand the place value symmetry for whole numbers and decimals is uno and not the decimal point.
  • Instructional settings should include direct instruction work before and after the mathematics lesson such as I Do (teacher demonstrates), You do, (student models) or vocabulary instruction whole group (students receive core instruction with classmates in regular classroom and small group situations (such as partner work) that are well structured and have clear expectations. Make use of technology as appropriate.
  • Use vocabulary graphic organizers such as the Frayer model (see below) to emphasize vocabulary words such as rational numbers, numerator, denominator, mixed number, and improper fractions.
  • Carefully connect prior knowledge (place value thousands to thousandths to new learning of large numbers (millions to millionths) to read, write, compare and round decimals.
  • Carefully connect prior knowledge (fractions, fraction benchmarks, and fraction models) to compare fractions with unlike denominators.
  • Pose meaningful problems set in familiar situations.
  • Incorporate visual models such as the number lines, fraction bars, and decimal grids.
Concrete - Representational - Abstract Instructional Approach

(Adapted from The Access Center: Improving Access for All K-8 Students)

The Concrete-Representational-Abstract Instructional Approach (CRA) is a research-based instructional strategy that has proven effective in enhancing the mathematics performance of students who struggle with mathematics.

The CRA approach is based on three stages during the learning process:

Concrete - Representational - Abstract

El Concrete Stage is the doing stage. The concrete stage is the most critical in terms of developing conceptual understanding of mathematical skills and concepts. At this stage, teachers use manipulatives to model mathematical concepts. The physical act of touching and moving manipulatives enables students to experience the mathematical concept at a concrete level. Research shows that students who use concrete materials develop more precise and comprehensive mental representations, understand and apply mathematical concepts, and are more motivated and on-task. Manipulatives must be selected based upon connections to the mathematical concept and the students' developmental level.

El Representational Stage is the drawing stage. Mathematical concepts are represented using pictures or drawings of the manipulatives previously used at the Concrete Stage. Students move to this level after they have successfully used concrete materials to demonstrate conceptual understanding and solve problems. They are moving from a concrete level of understanding toward an abstract level of understanding when drawing or using pictures to represent their thinking. Students continue exploring the mathematical concept at this level while teachers are asking questions to elicit student thinking and understanding.

El Abstract Stage is the symbolic stage. Teachers model mathematical concepts using numbers and mathematical symbols. Operation symbols are used to represent addition, subtraction, multiplication and division. Some students may not make a clean transfer to this level. They will work with some symbols and some pictures as they build abstract understanding. Moving to the abstract level too quickly causes many student errors. Practice at the abstract level will not lead to increased understanding unless students have a foundation based upon concrete and pictorial representations.

Additional Resources

Bender, W. (2009). Differentiating math instruction: Strategies that work for k-8 classrooms! Thousand Oaks, CA: Corwin Press.

Dacey, L., & Lynch, J. (2007). Math for all: Differentiating instruction grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions.

Murray, M., & Jorgensen, J. (2007). The differentiated math classroom: A guide for teachers k-8. Portsmouth, NH: Heinemann.

Small, M. (2009). Good questions: Great ways to differentiate mathematics instruction. New York, NY: Teachers College Press.

Van de Walle, J., Karp, K., & Bay-Williams, J. (2010). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. (7th ed.). Boston, MA: Allyn & Bacon.

Van de Walle, J. & Lovin, L. (2006). Teaching student-centered mathematics grades 3-5. Boston, MA: Pearson Education.

Teachers need to demonstrate and model the use of manipulatives (place value blocks) or representations such as bar and area models when connecting language and concepts as students work with fractions and decimals.

  • Word banks need to be part of the student learning environment in every mathematics unit of study. Refer to these throughout instruction.
  • Use vocabulary graphic organizers such as the Frayer model (see below) to emphasize vocabulary words count, first, second, third, etc.

Math sentence frames provide support that English Language Learners need in order to fully participate in math discussions. Sentence frames provide appropriate sentence structure models, increase the likelihood of responses using content vocabulary, help students to conceptualize words and build confidence in English Language Learners.

Sample sentence frames related to these benchmarks:

The fraction __________ is the same as the decimal __________________.

The decimal __________ is the same as the fraction _________________.

The decimal _____________ means ___________________________________.

The fraction _____________ means ___________________________________.

  • When assessing the math skills of an ELL student it is important to determine if the student has difficulty with the math concept or with the language used to describe the concept and conceptual understanding.
Additional ELL Resources:

Bresser, R., Melanese, K., & Sphar, C. (2008). Supporting English language learners in math class, grades k-2. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.

Bender, W. (2009). Differentiating math instruction: Strategies that work for k-8 classrooms! Thousand Oaks, CA: Corwin Press.

Dacey, L., & Lynch, J. (2007). Math for all: Differentiating instruction grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions.

Murray, M. & Jorgensen, J. (2007). The differentiated math classroom: A guide for teachers k-8. Portsmouth, NH: Heinemann.

Small, M. (2009). Good questions: Great ways to differentiate mathematics instruction. New York, NY: Teachers College Press.

Parents/Admin

Administrative/Peer Classroom Observation

explaining thinking for ordering fractions and decimals.

asking clarifying questions which illustrate

student thinking. Helping students use benchmark numbers as referents when comparing and ordering fractions and decimals.

finding equivalent representations of fractions and decimals.

providing a variety of models of fractions and decimals as they develop conceptual and procedural understanding of equivalent fractions and decimals.

using appropriate mathematics vocabulary.

developing vocabulary throughout instruction.

finding .001 more/less, .01 more/less and .1 more/less than a number.

providing representations for finding .001 more/less, .01 more/less and .1 more/less than a number.

rounding to the nearest .1 .01, and .001.

providing number lines with appropriate scales as representations for rounding.

What should I look for in the mathematics classroom?

(Adapted from SciMathMN,1997)

What are students doing?

  • Working in groups to make conjectures and solve problems.
  • Solving real-world problems, not just practicing a collection of isolated skills.
  • Representing mathematical ideas using concrete materials, pictures and symbols. Students know how and when to use tools such as blocks, scales, calculators, and computers.
  • Communicating mathematical ideas to one another through examples, demonstrations, models, drawing, and logical arguments.
  • Recognizing and connecting mathematical ideas.
  • Justifying their thinking and explaining different ways to solve a problem.

What are teachers doing?

  • Making student thinking the cornerstone of the learning process. This involves helping students organize, record, represent, and communicate their thinking.
  • Challenging students to think deeply about problems and encouraging a variety of approaches to a solution.
  • Connecting new mathematical concepts to previously learned ideas.
  • Providing a safe classroom environment where ideas are freely shared, discussed and analyzed.
  • Selecting appropriate activities and materials to support the learning of every student.
  • Working with other teachers to make connections between disciplines to show how math is related to other subjects.
  • Using assessments to uncover student thinking in order to guide instruction and assess understanding.

Additional Resources

For Mathematics Coaches

Chapin, S. and Johnson, A. (2006). Math matters: Understanding the math you teach: Grades k-8. (2nd ed.). Sausalito, CA: Math Solutions.

Donovan, S., & Bradford, J. (Eds). (2005). How students learn: Mathematics in the classroom. Washington, DC: National Academies Press.

Felux, C., & Snowdy, P. (Eds.). ( 2006). The math coach field guide: Charting your course. Sausalito, CA: Math Solutions.

Sammons, L., (2011). Building mathematical comprehension: Using literacy strategies to make meaning. Huntington Beach, CA: Shell Education.

West, L., & Staub, F. (2003). Content focused coaching: Transforming mathematics lessons. Portsmouth, NH: Heinemann.

For Administrators

Burns, M. (Ed). (1998). Leading the way: Principals and superintendents look at math instruction. Sausalito, CA: Math Solutions.

Kilpatrick, J., & Swafford, J. (Eds). (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academies Press.

Leinwand, S. (2000). Sensible mathematics: A guide for school leaders. Portsmouth, NH: Heinemann.

Lester, F. (2010). Teaching and learning mathematics: Transforming research for school administrators. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Seeley, C. (2009). Faster isn't smarter: Messages about math teaching and learning in the 21st century. Sausalito, CA: Math Solutions.

Parent Resources

Mathematics handbooks to be used as home references:

Cavanagh, M. (2004). Math to Know: A mathematics handbook. Wilmington, MA: Great Source Education Group, Inc.

Cavanagh, M. (2006). Math to learn: A mathematics handbook. Wilmington, MA: Great Source Education Group, Inc.

Helping your child learn mathematics

Provides activities for children in preschool through grade 5

Help Your Children Make Sense of Math

Ask the right questions

In helping children learn, one goal is to assist children in becoming critical and independent thinkers. You can help by asking questions that guide, without telling them what to do.

Good questions, and good listening, will help children make sense of the mathematics, build self-confidence and encourage mathematical thinking and communication. A good question opens up a problem and supports different ways of thinking about it. The best questions are those that cannot be answered with a "yes" or a "no."

Getting Started
What do you need to find out?
What do you know now? How can you get the information? Where can you begin?
What terms do you understand/not understand?
What similar problems have you solved that would help?

While Working
How can you organize the information?
Can you make a drawing (model) to explain your thinking? What are other possibilities?
What would happen if . . . ?
Can you describe an approach (strategy) you can use to solve this?
What do you need to do next?
Do you see any patterns or relationships that will help you solve this?
How does this relate to.
Can you make a prediction?
Why did you.
What assumptions are you making?

Reflecting about the Solution
How do you know your solution (conclusion) is reasonable? How did you arrive at your answer?
How can you convince me your answer makes sense?
What did you try that did not work?
Has the question been answered?
Can the explanation be made clearer?

Responding(helps clarify and extend their thinking)
Tell me more.
Can you explain it in a different way?
Is there another possibility or strategy that would work?
Is there a more efficient strategy?
Help me understand this part.

Adaptado de They're counting on us, California Mathematics Council, 1995.


Here is a simple way of ordering the given list of numbers in ascending and descending order. In this online ordering decimals calculator, enter a list of random numbers and submit to know the ascending order and descending order of the numbers.

Use of Ordering Decimals from Least to Greatest: Arranging the numbers in ascending and descending orders will be helpful for students and professionals and mathematicians to apply the ordered result in various applications.

Ordering Decimals Calculator from Least to Greatest: Enter the decimal numbers in the input field, the calculator will compare the numbers and update you the numbers in ascending order (arranging numbers from least to greatest) and descending order (arranging numbers from largest to smallest) respectively. Students can solve the ordering decimals related problems easily using this calculator. This ordering decimals calculator helps you to know the ascending order and the descending order of the given numbers list in just fraction of a second and saves your time and make you calculations simple.

Ejemplo:

Consider a set of numbers : 3.4,9.3,12.5,7.4,22.2,89.4

Solution,

Total numbers in the set is 6.
Ascending Order (Least to Greatest) is 3.4, 7.4, 9.3, 12.5, 22.2, 89.4
Descending Order (greatest to Least) is 89.4, 22.2, 12.5, 9.3, 7.4, 3.4

Ordering Decimals from least to greatest and vice versa made easier here.


Contenido

Many numeral systems of ancient civilizations use ten and its powers for representing numbers, probably because there are ten fingers on two hands and people started counting by using their fingers. Examples are firstly the Egyptian numerals, then the Brahmi numerals, Greek numerals, Hebrew numerals, Roman numerals, and Chinese numerals. Very large numbers were difficult to represent in these old numeral systems, and only the best mathematicians were able to multiply or divide large numbers. These difficulties were completely solved with the introduction of the Hindu–Arabic numeral system for representing integers. This system has been extended to represent some non-integer numbers, called decimal fractions o decimal numbers, for forming the decimal numeral system.

For writing numbers, the decimal system uses ten decimal digits, a decimal mark, and, for negative numbers, a minus sign "−". The decimal digits are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 [7] the decimal separator is the dot " . " in many countries, [4] [8] but also a comma " , " in other countries. [5]

For representing a non-negative number, a decimal numeral consists of

  • either a (finite) sequence of digits (such as "2017"), where the entire sequence represents an integer, a m a m − 1 … a 0 a_ldots a_<0>>
  • or a decimal mark separating two sequences of digits (such as "20.70828")

Si metro > 0 , that is, if the first sequence contains at least two digits, it is generally assumed that the first digit ametro is not zero. In some circumstances it may be useful to have one or more 0's on the left this does not change the value represented by the decimal: for example, 3.14 = 03.14 = 003.14 . Similarly, if the final digit on the right of the decimal mark is zero—that is, if Bnorte = 0 —it may be removed conversely, trailing zeros may be added after the decimal mark without changing the represented number [note 1] for example, 15 = 15.0 = 15.00 and 5.2 = 5.20 = 5.200 .

For representing a negative number, a minus sign is placed before ametro .

El integer part o integral part of a decimal numeral is the integer written to the left of the decimal separator (see also truncation). For a non-negative decimal numeral, it is the largest integer that is not greater than the decimal. The part from the decimal separator to the right is the fractional part, which equals the difference between the numeral and its integer part.

When the integral part of a numeral is zero, it may occur, typically in computing, that the integer part is not written (for example .1234 , instead of 0.1234 ). In normal writing, this is generally avoided, because of the risk of confusion between the decimal mark and other punctuation.

In brief, the contribution of each digit to the value of a number depends on its position in the numeral. That is, the decimal system is a positional numeral system.

More generally, a decimal with norte digits after the separator represents the fraction with denominator 10 norte , whose numerator is the integer obtained by removing the separator.

It follows that a number is a decimal fraction if and only if it has a finite decimal representation.

Expressed as a fully reduced fraction, the decimal numbers are those whose denominator is a product of a power of 2 and a power of 5. Thus the smallest denominators of decimal numbers are

Decimal numerals do not allow an exact representation for all real numbers, e.g. for the real number π . Nevertheless, they allow approximating every real number with any desired accuracy, e.g., the decimal 3.14159 approximates the real π , being less than 10 −5 off so decimals are widely used in science, engineering and everyday life.

More precisely, for every real number x and every positive integer n , there are two decimals L y tu with at most norte digits after the decimal mark such that LXtu and (tuL) = 10 −norte .

Numbers are very often obtained as the result of measurement. As measurements are subject to measurement uncertainty with a known upper bound, the result of a measurement is well-represented by a decimal with norte digits after the decimal mark, as soon as the absolute measurement error is bounded from above by 10 −norte . In practice, measurement results are often given with a certain number of digits after the decimal point, which indicate the error bounds. For example, although 0.080 and 0.08 denote the same number, the decimal numeral 0.080 suggests a measurement with an error less than 0.001, while the numeral 0.08 indicates an absolute error bounded by 0.01. In both cases, the true value of the measured quantity could be, for example, 0.0803 or 0.0796 (see also significant figures).

For a real number x and an integer norte ≥ 0 , let [X]norte denote the (finite) decimal expansion of the greatest number that is not greater than X that has exactly n digits after the decimal mark. Dejar DI denote the last digit of [X]I . It is straightforward to see that [X]norte may be obtained by appending Dnorte to the right of [X]norte−1 . This way one has

and the difference of [X]norte−1 and [X]norte amounts to

which is either 0, if Dnorte = 0 , or gets arbitrarily small as norte tends to infinity. According to the definition of a limit, X is the limit of [X]norte Cuándo norte tends to infinity. This is written as x = lim n → ∞ [ x ] n < extstyle x=lim _[x]_> or

which is called an infinite decimal expansion de X .

Any such decimal fraction, i.e.: Dnorte = 0 for norte & gt norte , may be converted to its equivalent infinite decimal expansion by replacing Dnorte por Dnorte − 1 and replacing all subsequent 0s by 9s (see 0.999. ).

In summary, every real number that is not a decimal fraction has a unique infinite decimal expansion. Each decimal fraction has exactly two infinite decimal expansions, one containing only 0s after some place, which is obtained by the above definition of [X]norte , and the other containing only 9s after some place, which is obtained by defining [X]norte as the greatest number that is less than x , having exactly norte digits after the decimal mark.

Rational numbers Edit

Long division allows computing the infinite decimal expansion of a rational number. If the rational number is a decimal fraction, the division stops eventually, producing a decimal numeral, which may be prolongated into an infinite expansion by adding infinitely many zeros. If the rational number is not a decimal fraction, the division may continue indefinitely. However, as all successive remainders are less than the divisor, there are only a finite number of possible remainders, and after some place, the same sequence of digits must be repeated indefinitely in the quotient. That is, one has a repeating decimal. Por ejemplo,

The converse is also true: if, at some point in the decimal representation of a number, the same string of digits starts repeating indefinitely, the number is rational.

Most modern computer hardware and software systems commonly use a binary representation internally (although many early computers, such as the ENIAC or the IBM 650, used decimal representation internally). [10] For external use by computer specialists, this binary representation is sometimes presented in the related octal or hexadecimal systems.

For most purposes, however, binary values are converted to or from the equivalent decimal values for presentation to or input from humans computer programs express literals in decimal by default. (123.1, for example, is written as such in a computer program, even though many computer languages are unable to encode that number precisely.)

Both computer hardware and software also use internal representations which are effectively decimal for storing decimal values and doing arithmetic. Often this arithmetic is done on data which are encoded using some variant of binary-coded decimal, [11] [12] especially in database implementations, but there are other decimal representations in use (including decimal floating point such as in newer revisions of the IEEE 754 Standard for Floating-Point Arithmetic). [13]

Decimal arithmetic is used in computers so that decimal fractional results of adding (or subtracting) values with a fixed length of their fractional part always are computed to this same length of precision. This is especially important for financial calculations, e.g., requiring in their results integer multiples of the smallest currency unit for book keeping purposes. This is not possible in binary, because the negative powers of 10 have no finite binary fractional representation and is generally impossible for multiplication (or division). [14] [15] See Arbitrary-precision arithmetic for exact calculations.

Many ancient cultures calculated with numerals based on ten, sometimes argued due to human hands typically having ten fingers/digits. [16] Standardized weights used in the Indus Valley Civilization (c. 3300–1300 BCE ) were based on the ratios: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, and 500, while their standardized ruler – the Mohenjo-daro ruler – was divided into ten equal parts. [17] [18] [19] Egyptian hieroglyphs, in evidence since around 3000 BCE, used a purely decimal system, [20] as did the Cretan hieroglyphs (c. 1625−1500 BCE ) of the Minoans whose numerals are closely based on the Egyptian model. [21] [22] The decimal system was handed down to the consecutive Bronze Age cultures of Greece, including Linear A (c. 18th century BCE−1450 BCE) and Linear B (c. 1375−1200 BCE) – the number system of classical Greece also used powers of ten, including, Roman numerals, an intermediate base of 5. [23] Notably, the polymath Archimedes (c. 287–212 BCE) invented a decimal positional system in his Sand Reckoner which was based on 10 8 [23] and later led the German mathematician Carl Friedrich Gauss to lament what heights science would have already reached in his days if Archimedes had fully realized the potential of his ingenious discovery. [24] Hittite hieroglyphs (since 15th century BCE) were also strictly decimal. [25]

Some non-mathematical ancient texts such as the Vedas, dating back to 1700–900 BCE make use of decimals and mathematical decimal fractions. [26]

The Egyptian hieratic numerals, the Greek alphabet numerals, the Hebrew alphabet numerals, the Roman numerals, the Chinese numerals and early Indian Brahmi numerals are all non-positional decimal systems, and required large numbers of symbols. For instance, Egyptian numerals used different symbols for 10, 20 to 90, 100, 200 to 900, 1000, 2000, 3000, 4000, to 10,000. [27] The world's earliest positional decimal system was the Chinese rod calculus. [28]

History of decimal fractions Edit

Decimal fractions were first developed and used by the Chinese in the end of 4th century BCE, [29] and then spread to the Middle East and from there to Europe. [28] [30] The written Chinese decimal fractions were non-positional. [30] However, counting rod fractions were positional. [28]

J. Lennart Berggren notes that positional decimal fractions appear for the first time in a book by the Arab mathematician Abu'l-Hasan al-Uqlidisi written in the 10th century. [32] The Jewish mathematician Immanuel Bonfils used decimal fractions around 1350, anticipating Simon Stevin, but did not develop any notation to represent them. [33] The Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī claimed to have discovered decimal fractions himself in the 15th century. [32] Al Khwarizmi introduced fraction to Islamic countries in the early 9th century a Chinese author has alleged that his fraction presentation was an exact copy of traditional Chinese mathematical fraction from Sunzi Suanjing. [28] This form of fraction with numerator on top and denominator at bottom without a horizontal bar was also used by al-Uqlidisi and by al-Kāshī in his work "Arithmetic Key". [28] [34]

A forerunner of modern European decimal notation was introduced by Simon Stevin in the 16th century. [35]

Natural languages Edit

A method of expressing every possible natural number using a set of ten symbols emerged in India. Several Indian languages show a straightforward decimal system. Many Indo-Aryan and Dravidian languages have numbers between 10 and 20 expressed in a regular pattern of addition to 10. [36]

The Hungarian language also uses a straightforward decimal system. All numbers between 10 and 20 are formed regularly (e.g. 11 is expressed as "tizenegy" literally "one on ten"), as with those between 20 and 100 (23 as "huszonhárom" = "three on twenty").

A straightforward decimal rank system with a word for each order (10 十 , 100 百 , 1000 千 , 10,000 万 ), and in which 11 is expressed as ten-one and 23 as two-ten-three, and 89,345 is expressed as 8 (ten thousands) 万 9 (thousand) 千 3 (hundred) 百 4 (tens) 十 5 is found in Chinese, and in Vietnamese with a few irregularities. Japanese, Korean, and Thai have imported the Chinese decimal system. Many other languages with a decimal system have special words for the numbers between 10 and 20, and decades. For example, in English 11 is "eleven" not "ten-one" or "one-teen".

Incan languages such as Quechua and Aymara have an almost straightforward decimal system, in which 11 is expressed as ten with one and 23 as two-ten with three.

Some psychologists suggest irregularities of the English names of numerals may hinder children's counting ability. [37]


Enter two or more decimals separated by "commas"

Given numbers are 1.2,1.5,1.8. The highest number of digits after the decimal point in the given case is 1

Thus, in order to get rid of the decimal point we need to multiply them with 10. On doing so, they are as follows

On finding the LCM of 12,15,18 we get the Least Common Multiple as 180

Least Common Multiple (LCM) of 12,15,18 By Common Division

∴ So the LCM of the given numbers is 2 x 3 x 2 x 5 x 3 = 180

Divide the result you got with the number you multiplied to make it as integer in the first step. In this case, we need to divide by 10 as we used it to make the given numbers into integers.

On dividing the LCM 180/10 we get 18

Thus the Least Common Multiple of 1.2,1.5,1.8 is 18

Least Common Multiple of 12,15,18 with GCF Formula

We need to calculate greatest common factor of 12,15,18 and common factors if more than two numbers have common factor, than apply into the LCM equation.

common factors(in case of two or more numbers have common factors) = 6

GCF(12,15,18) x common factors =3 x 6 = 18

LCM(12,15,18) = ( 12 × 15 × 18 ) / 18

LCM of Decimals Calculation Examples

Here are some samples of LCM of Decimals calculations.

Frequently Asked Questions on Decimal LCM of 1.2, 1.5, 1.8

1. What is the LCM of 1.2, 1.5, 1.8?

Answer: LCM of 1.2, 1.5, 1.8 is 18.

2. How to Find the LCM of 1.2, 1.5, 1.8?

Answer: Least Common Factor(LCM) of 1.2, 1.5, 1.8 = 18

Step 1: First calculate the highest decimal number after decimal point.

Step 2: Then multiply all numbers with 10.

Step 3: Then find LCM of 12,15,18. After getting LCM devide the result with 10 the value that is previously multiplied.


Ver el vídeo: decimal periodico puro a fraccion convertir decimales periodicos a fraccion (Mayo 2022).