Artículos

3: Uso de gráficos para representar relaciones sociales - Matemáticas

3: Uso de gráficos para representar relaciones sociales - Matemáticas


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

  • 3.1: Introducción - Representar redes con gráficos
    Los analistas de redes sociales utilizan dos tipos de herramientas de las matemáticas para representar información sobre patrones de vínculos entre actores sociales: gráficos y matrices. En esta página, aprenderemos lo suficiente sobre gráficos para comprender cómo representar los datos de las redes sociales. En la página siguiente, veremos las representaciones matriciales de las relaciones sociales. Con estas herramientas en la mano, podemos comprender la mayoría de las cosas que hacen los analistas de redes con dichos datos (por ejemplo, calcular medidas precisas de "densidad relativa").
  • 3.2: Gráficos y sociogramas
    Hay muchos tipos diferentes de "gráficos". Los gráficos de barras, los gráficos circulares, los gráficos de líneas y tendencias y muchas otras cosas se denominan gráficos y / o gráficos. El análisis de redes utiliza (principalmente) un tipo de visualización gráfica que consta de puntos (o nodos) para representar actores y líneas (o bordes) para representar vínculos o relaciones. Cuando los sociólogos tomaron prestada esta forma de graficar las cosas de los matemáticos, cambiaron el nombre de sus gráficos como "sociogramas".
  • 3.3: Tipos de gráficos
    Ahora necesitamos introducir algo de terminología para describir diferentes tipos de gráficos.
  • 3.4: Resumen
  • 3.E: Usar gráficas para representar relaciones sociales (Ejercicios)

Rasgo de carácter e integración social

Las capacidades sociales en las que los estudiantes deben trabajar para facilitar su aprendizaje matemático son desarrollar habilidades sociales y responsabilidades éticas y demostrar comportamientos emocionales y cognitivos responsables.

1. Desarrollar habilidades sociales y responsabilidad ética:

una. Respete las similitudes y diferencias de los demás.

B. Trate a los demás con amabilidad y justicia.

C. Siga las reglas del aula y de la escuela.

D. Incluya a otros en actividades de aprendizaje y juego.

mi. Participa con otros al tomar decisiones y resolver problemas.

F. Funcionar positivamente como miembro de una familia, clase, escuela y comunidad.

gramo. Escuche activamente a los demás.

2. Demostrar comportamientos emocionales y cognitivos responsables.

una. Reconocer sus propios valores, talentos y habilidades.

B. Expresarse de manera positiva.

C. Demuestra conciencia estética.

D. Demuestre un comportamiento apropiado.

mi. Expresa tus sentimientos de manera apropiada.

F. Satisfacer y respetar las necesidades propias y de los demás.


Gráficos aleatorios

Para simular cómo se forma una red social, los matemáticos usan gráficos aleatorios que modelan cómo las personas hacen conexiones cuando entran a la red.

Los gráficos aleatorios se desarrollan agregando nodos al gráfico uno por uno y agregando bordes al azar entre los nodos de acuerdo con una regla probabilística. Las diferentes opciones para las reglas de adición de bordes dan como resultado gráficos con una estructura muy diferente. El tipo más simple de gráfico aleatorio se llama Gráfico de Erdos-Renyi. Cuando se agrega cada nodo, existe una probabilidad fija p p p de que se agregue cualquier borde posible dado entre él y otro nodo. Esto significa que dos personas tienen las mismas probabilidades de estar conectadas que otras dos personas, y tener una conexión común no aumenta la posibilidad de que también estén conectados entre sí. Esto es muy diferente de lo que observamos en las redes sociales reales, donde las personas tienden a agruparse.

Tome un modelo simple de una red social donde las amistades se forman al azar entre individuos. Cada persona forma una cierta cantidad de amistades con otras personas, k i k_i k i. El número promedio de amistades que hace una persona determinada es entonces 1 N ∑ i k i = ⟨k⟩ frac <1> sum limits_ik_i = langle k rangle N 1 i ∑ k i = ⟨k⟩.

Llamamos a isla de la amistad (FI) un grupo de personas de tal manera que todos en la FI pueden comunicarse con cualquier otra persona en la FI pasando una nota a través de amigos en común. Si dos personas no pueden enviar notas a través de una serie de amigos mutuos, deben estar en FI diferente.

Notas y supuestos

Distribuciones de grados de ejemplo para los gráficos Erdos-Renyi (rojo) y Barabasi-Albert (azul).

El denominador es simplemente el grado total de todos los nodos del gráfico. Tenga en cuenta que esto es igual al doble del número total de bordes, ya que cada borde se cuenta una vez para cada punto final.

Debido a que las leyes de poder tienen propiedades tan elegantes, se han utilizado para describir muchos fenómenos físicos, desde la cantidad de enlaces que tiene un sitio web, hasta la cantidad de citas que recibe un artículo, y la cantidad de otras proteínas con las que interactúa una proteína en particular [1 ].

En una red social modelada con un gráfico aleatorio de Barabasi-Albert, ¿cuál es la razón promedio entre el número de personas con un amigo y el número de personas con tres amigos?


Métodos

Nuestra revisión sistemática de la literatura se basa en las directrices del enfoque Preferred Reporting Items for Systematic Reviews and Meta-Analysis (PRISMA) [23].

Estrategia de búsqueda

Usamos las palabras clave registros de salud y grafico con los sinónimos expediente médico, expediente del paciente y todas las formas plurales de las palabras clave para nuestra búsqueda en la base de datos en las bases de datos MEDLINE, Web of Science, IEEE Xplore y la biblioteca digital ACM. Los campos, que fueron investigados con los términos de búsqueda, fueron título y resumen. Las palabras clave se incluyeron en la sintaxis de consulta de cada base de datos investigada. Las consultas específicas de la base de datos se muestran en el Supl. Figura 1.

Criterios de inclusión

Los artículos investigados se examinaron en función de los siguientes criterios de inclusión. El primer criterio principal fue el uso del término grafico en el sentido de la teoría de grafos. Esto significa que los gráficos deben contener nodos y aristas, que es un criterio de definición principal para los gráficos de la teoría de grafos. Muchos artículos usaron esta palabra en otro contexto, p. Ej. ya que algunos gráficos utilizaron el término gráfico como sinónimo de ilustración y, por lo tanto, se excluyeron. Los artículos también se excluyeron si no utilizan gráficos que representan a pacientes individuales, pero, por ejemplo, para un conjunto de pacientes. Además, solo se incluyeron artículos escritos en inglés o alemán. La búsqueda en la base de datos se realizó el 20.03.2018 y, por lo tanto, solo se consideraron en la revisión los artículos publicados e indexados hasta esa fecha.

Selección de artículos

Los artículos recuperados de las consultas de la base de datos fueron seleccionados por cuatro revisores de acuerdo con los criterios de inclusión basados ​​en su título y resumen. Si no hay resumen, se utilizó el texto completo del artículo. Inicialmente, los cuatro revisores probaron los criterios de inclusión en la misma muestra de diez artículos de forma independiente. Los resultados de esta revisión de la prueba se discutieron posteriormente para llegar a una comprensión consensuada de los criterios de inclusión.

Para reducir la carga de trabajo de los revisores, el número total de artículos se dividió en dos mitades, que se asignaron a dos equipos de dos revisores. Los miembros de cada equipo evaluaron los artículos asignados con los resultados de sus socios cegados para asegurarse de que cada artículo recibiera dos votos independientes. Los revisores marcaron cada artículo como "incluido" o "excluido". Para los artículos excluidos, se documentó una razón para la exclusión. Los artículos, que fueron incluidos por ambos revisores, fueron seleccionados para la investigación de texto completo. Esos artículos, que fueron incluidos por un revisor y excluidos por el otro revisor, fueron evaluados por un tercer revisor para llegar a una decisión final. El tercer revisor decidió la inclusión o exclusión del artículo respectivo.

Extracción y síntesis de datos

Los artículos incluidos en los pasos anteriores se analizaron en texto completo. Algunos artículos aún debían ser excluidos en esta fase, porque el cumplimiento de los criterios de inclusión, que fue reconocido en la fase de selección, no pudo ser secundado por el análisis de texto completo. Para respaldar el análisis de texto completo, se utilizó el software de análisis de datos cualitativos asistido por computadora (CAQDAS) MAXQDA [24, 25]. En MAXQDA establecimos un sistema de codificación, que inicialmente se creó tomando como base un artículo. En un sistema de codificación, todas las palabras clave centrales de todos los artículos investigados e incluidos se recopilaron como una estructura jerárquica. Cada palabra clave se puede asignar a varios artículos y cada artículo se puede asignar a varias palabras clave. El sistema de codificación se desarrolló de forma iterativa investigando los artículos adicionales. Por lo tanto, los documentos se cargaron en MAXQDA como archivos PDF para etiquetar la información expresada por los códigos en el sistema de codificación. Posteriormente, se analizaron las ocurrencias entre artículos de las diferentes codificaciones y se extrajeron las declaraciones principales: los tipos de gráficos utilizados en los artículos, los tipos de fuentes de datos, los contenidos de nodo y borde, así como los métodos de procesamiento utilizados en los artículos.


Contenido

Las definiciones en la teoría de grafos varían. Las siguientes son algunas de las formas más básicas de definir gráficos y estructuras matemáticas relacionadas.

Editar gráfico

En un sentido restringido pero muy común del término, [1] [2] un grafico es un par ordenado G = (V, E) < displaystyle G = (V, E)> que comprende:

  • V < displaystyle V>, un conjunto de vértices (también llamado nodos o puntos)
  • Mi ⊆ < ∣ x, y ∈ V y x ≠ y> < Displaystyle E subseteq < mid x, y in V < textrm > x neq y >>, un conjunto de bordes (también llamado Enlaces o líneas), que son pares de vértices desordenados (es decir, un borde está asociado con dos vértices distintos).

Para evitar la ambigüedad, este tipo de objeto puede denominarse precisamente un gráfico simple no dirigido.

En un sentido más general del término que permite múltiples aristas, [3] [4] a grafico es un triple ordenado G = (V, E, ϕ) < displaystyle G = (V, E, phi)> que comprende:

  • V < displaystyle V>, un conjunto de vértices (también llamado nodos o puntos)
  • E < displaystyle E>, un conjunto de bordes (también llamado Enlaces o líneas)
  • ϕ: E → < ∣ x, y ∈ V y x ≠ y> < Displaystyle phi: E to < mid x, y in V < textrm > x neq y >>, una función de incidencia mapear cada borde a un par desordenado de vértices (es decir, un borde está asociado con dos vértices distintos).

Para evitar la ambigüedad, este tipo de objeto puede denominarse precisamente un multigraph no dirigido.

En un simple gráfico de orden no dirigido norte, el grado máximo de cada vértice es norte - 1 y el tamaño máximo del gráfico es norte(norte − 1)/2 .

Los bordes de un gráfico simple no dirigido que permiten bucles G < displaystyle G> inducen una relación homogénea simétrica

Editar gráfico dirigido

A gráfico dirigido o dígrafo es un gráfico en el que los bordes tienen orientaciones.

En un sentido restringido pero muy común del término, [5] un gráfico dirigido es un par ordenado G = (V, E) < displaystyle G = (V, E)> que comprende:

  • V < displaystyle V>, un conjunto de vértices (también llamado nodos o puntos)
  • E ⊆ <(x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 y x ≠ y> < displaystyle E subseteq left <(x, y) mid (x, y) in V ^ <2 > < textrm > x neq y right >>, un conjunto de bordes (también llamado bordes dirigidos, enlaces dirigidos, lineas dirigidas, flechas o arcos) que son pares ordenados de vértices (es decir, una arista está asociada con dos vértices distintos).

Para evitar la ambigüedad, este tipo de objeto puede denominarse precisamente un gráfico simple dirigido.

En un sentido más general del término que permite múltiples aristas, [5] un gráfico dirigido es un triple ordenado G = (V, E, ϕ) < displaystyle G = (V, E, phi)> que comprende:

  • V < displaystyle V>, un conjunto de vértices (también llamado nodos o puntos)
  • E < displaystyle E>, un conjunto de bordes (también llamado bordes dirigidos, enlaces dirigidos, lineas dirigidas, flechas o arcos)
  • ϕ: E → <(x, y) ∣ (x, y) ∈ V 2 y x ≠ y> < Displaystyle phi: E to left <(x, y) mid (x, y) en V ^ <2> < textrm > x neq y right >>, an función de incidencia mapear cada borde a un par ordenado de vértices (es decir, un borde está asociado con dos vértices distintos).

Para evitar la ambigüedad, este tipo de objeto puede denominarse precisamente un multigraph dirigido.

Los bordes de un gráfico simple dirigido que permiten bucles G < displaystyle G> es una relación homogénea

Los gráficos se pueden utilizar para modelar muchos tipos de relaciones y procesos en sistemas físicos, biológicos, [7] [8] sociales y de información. [9] Muchos problemas prácticos se pueden representar mediante gráficos. Haciendo hincapié en su aplicación a los sistemas del mundo real, el término la red a veces se define como un gráfico en el que los atributos (por ejemplo, nombres) están asociados con los vértices y los bordes, y el sujeto que expresa y comprende los sistemas del mundo real como una red se llama ciencia de redes.

Ciencias de la computación Editar

En informática, los gráficos se utilizan para representar redes de comunicación, organización de datos, dispositivos computacionales, el flujo de cálculo, etc. Por ejemplo, la estructura de enlaces de un sitio web se puede representar mediante un gráfico dirigido, en el que los vértices representan páginas web. y los bordes dirigidos representan enlaces de una página a otra. Se puede adoptar un enfoque similar para los problemas en las redes sociales, [10] viajes, biología, diseño de chips de computadora, mapeo de la progresión de enfermedades neurodegenerativas, [11] [12] y muchos otros campos. El desarrollo de algoritmos para manejar gráficos es, por tanto, de gran interés en informática. La transformación de gráficos a menudo se formaliza y se representa mediante sistemas de reescritura de gráficos. Como complemento de los sistemas de transformación de gráficos que se centran en la manipulación de gráficos en memoria basada en reglas, se encuentran las bases de datos de gráficos orientadas al almacenamiento y consulta persistentes y seguros de transacciones de datos estructurados en gráficos.

Lingüística Editar

Los métodos de teoría de grafos, en diversas formas, han demostrado ser particularmente útiles en lingüística, ya que el lenguaje natural a menudo se presta bien a estructuras discretas. Tradicionalmente, la sintaxis y la semántica compositiva siguen estructuras arbóreas, cuyo poder expresivo reside en el principio de composicionalidad, modelado en un gráfico jerárquico. Los enfoques más contemporáneos, como la gramática de estructura de frases dirigida por la cabeza, modelan la sintaxis del lenguaje natural utilizando estructuras de características escritas, que son gráficos acíclicos dirigidos. Dentro de la semántica léxica, especialmente cuando se aplica a las computadoras, modelar el significado de las palabras es más fácil cuando una palabra dada se entiende en términos de palabras relacionadas. Aún así, otros métodos en fonología (por ejemplo, teoría de la optimalidad, que usa gráficos de celosía) y morfología (por ejemplo, morfología de estado finito, usando transductores de estado finito) son comunes en el análisis del lenguaje como un gráfico. De hecho, la utilidad de esta área de las matemáticas para la lingüística ha surgido de organizaciones como TextGraphs, así como de varios proyectos 'Net', como WordNet, VerbNet y otros.

Física y química Editar

La teoría de grafos también se utiliza para estudiar moléculas en química y física. En la física de la materia condensada, la estructura tridimensional de complicadas estructuras atómicas simuladas se puede estudiar cuantitativamente mediante la recopilación de estadísticas sobre las propiedades de la teoría de los gráficos relacionadas con la topología de los átomos. Además, "los gráficos y las reglas de cálculo de Feynman resumen la teoría cuántica de campos en una forma en estrecho contacto con los números experimentales que uno quiere entender". [13] En química, un gráfico crea un modelo natural para una molécula, donde los vértices representan átomos y enlaces de aristas. Este enfoque se utiliza especialmente en el procesamiento informático de estructuras moleculares, desde editores químicos hasta búsquedas en bases de datos. En física estadística, los gráficos pueden representar conexiones locales entre las partes que interactúan de un sistema, así como la dinámica de un proceso físico en dichos sistemas. Del mismo modo, en la neurociencia computacional los gráficos pueden usarse para representar conexiones funcionales entre áreas cerebrales que interactúan para dar lugar a diversos procesos cognitivos, donde los vértices representan diferentes áreas del cerebro y los bordes representan las conexiones entre esas áreas. La teoría de grafos juega un papel importante en el modelado eléctrico de redes eléctricas, aquí, los pesos están asociados con la resistencia de los segmentos de cable para obtener propiedades eléctricas de las estructuras de la red. [14] Los gráficos también se utilizan para representar los canales de microescala de medios porosos, en los que los vértices representan los poros y los bordes representan los canales más pequeños que conectan los poros. La teoría de grafos químicos utiliza el grafo molecular como un medio para modelar moléculas. Los gráficos y las redes son modelos excelentes para estudiar y comprender las transiciones de fase y los fenómenos críticos. La eliminación de nodos o bordes conduce a una transición crítica en la que la red se divide en pequeños grupos que se estudia como una transición de fase. Esta ruptura se estudia mediante la teoría de la percolación. [15] [16]

Ciencias sociales Editar

La teoría de grafos también se utiliza ampliamente en sociología como una forma, por ejemplo, de medir el prestigio de los actores o de explorar la difusión de rumores, en particular mediante el uso de software de análisis de redes sociales. Bajo el paraguas de las redes sociales hay muchos tipos diferentes de gráficos. [18] Los gráficos de conocimiento y amistad describen si las personas se conocen entre sí. Los gráficos de influencia modelan si determinadas personas pueden influir en el comportamiento de otras. Finalmente, los gráficos de colaboración modelan si dos personas trabajan juntas de una manera particular, como actuar juntas en una película.

Biología Editar

Asimismo, la teoría de grafos es útil en los esfuerzos de biología y conservación donde un vértice puede representar regiones donde ciertas especies existen (o habitan) y los bordes representan rutas de migración o movimiento entre las regiones. Esta información es importante al observar patrones de reproducción o rastrear la propagación de enfermedades, parásitos o cómo los cambios en el movimiento pueden afectar a otras especies.

Los gráficos también se utilizan comúnmente en biología molecular y genómica para modelar y analizar conjuntos de datos con relaciones complejas. Por ejemplo, los métodos basados ​​en gráficos se utilizan a menudo para "agrupar" células en tipos de células en el análisis de transcriptoma de una sola célula. Otro uso es modelar genes o proteínas en una ruta y estudiar las relaciones entre ellos, como las rutas metabólicas y las redes reguladoras de genes. [19] Los árboles evolutivos, las redes ecológicas y la agrupación jerárquica de patrones de expresión génica también se representan como estructuras gráficas. Los métodos basados ​​en gráficos son omnipresentes para los investigadores en algunos campos de la biología y estos solo se generalizarán mucho más a medida que se desarrolle la tecnología para aprovechar este tipo de datos multidimensionales de gran alcance.

La teoría de grafos también se utiliza en la conectómica [20]. Los sistemas nerviosos pueden verse como un grafo, donde los nodos son neuronas y los bordes son las conexiones entre ellos.

Matemáticas Editar

En matemáticas, los gráficos son útiles en geometría y ciertas partes de la topología, como la teoría de nudos. La teoría de grafos algebraica tiene vínculos estrechos con la teoría de grupos. La teoría de grafos algebraicos se ha aplicado a muchas áreas, incluidos los sistemas dinámicos y la complejidad.

Otros temas Editar

La estructura de un gráfico se puede ampliar asignando un peso a cada borde del gráfico. Los gráficos con pesos, o gráficos ponderados, se utilizan para representar estructuras en las que las conexiones por pares tienen algunos valores numéricos. Por ejemplo, si un gráfico representa una red de carreteras, los pesos podrían representar la longitud de cada carretera. Puede haber varios pesos asociados con cada borde, incluida la distancia (como en el ejemplo anterior), el tiempo de viaje o el costo monetario. Estos gráficos ponderados se utilizan comúnmente para programar GPS y motores de búsqueda de planificación de viajes que comparan tiempos y costos de vuelo.

El artículo escrito por Leonhard Euler sobre los siete puentes de Königsberg y publicado en 1736 se considera el primer artículo en la historia de la teoría de grafos. [21] Este documento, así como el escrito por Vandermonde en el problema del caballero, continuó con el sitio de análisis iniciado por Leibniz. La fórmula de Euler que relaciona el número de aristas, vértices y caras de un poliedro convexo fue estudiada y generalizada por Cauchy [22] y L'Huilier, [23] y representa el comienzo de la rama de las matemáticas conocida como topología.

Más de un siglo después del artículo de Euler sobre los puentes de Königsberg y mientras Listing estaba introduciendo el concepto de topología, Cayley se sintió guiado por un interés en formas analíticas particulares que surgen del cálculo diferencial para estudiar una clase particular de gráficos, el árboles. [24] Este estudio tuvo muchas implicaciones para la química teórica. Las técnicas que utilizó se refieren principalmente a la enumeración de gráficos con propiedades particulares. La teoría de grafos enumerativos surgió entonces a partir de los resultados de Cayley y los resultados fundamentales publicados por Pólya entre 1935 y 1937. Estos fueron generalizados por De Bruijn en 1959. Cayley vinculó sus resultados sobre árboles con estudios contemporáneos de composición química. [25] La fusión de ideas de las matemáticas con las de la química inició lo que se ha convertido en parte de la terminología estándar de la teoría de grafos.

En particular, el término "gráfico" fue introducido por Sylvester en un artículo publicado en 1878 en Naturaleza, donde dibuja una analogía entre "invariantes cuánticos" y "covariantes" de álgebra y diagramas moleculares: [26]

"[...] Cada invariante y covariante se vuelve así expresable por una grafico exactamente idéntico a un diagrama o químicograma de Kekuléan. […] Doy una regla para la multiplicación geométrica de gráficas, es decir. para construir un grafico al producto de variantes o covariantes cuyos gráficos separados se dan. […] "(Cursiva como en el original).

El primer libro de texto sobre teoría de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936. [27] Otro libro de Frank Harary, publicado en 1969, fue "considerado en todo el mundo como el libro de texto definitivo sobre el tema", [28] y permitió a matemáticos, químicos, ingenieros eléctricos y científicos sociales hablar entre ellos. Harary donó todas las regalías para financiar el Premio Pólya. [29]

Uno de los problemas más famosos y estimulantes de la teoría de grafos es el problema de los cuatro colores: "¿Es cierto que cualquier mapa dibujado en el plano puede tener sus regiones coloreadas con cuatro colores, de tal manera que dos regiones cualesquiera que tengan un borde común tengan ¿Colores diferentes?" Este problema fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852 y su primer registro escrito se encuentra en una carta de De Morgan dirigida a Hamilton el mismo año. Se han propuesto muchas pruebas incorrectas, incluidas las de Cayley, Kempe y otros. El estudio y la generalización de este problema por Tait, Heawood, Ramsey y Hadwiger llevaron al estudio de los colores de los gráficos incrustados en superficies con géneros arbitrarios. La reformulación de Tait generó una nueva clase de problemas, la problemas de factorización, particularmente estudiado por Petersen y Kőnig. Los trabajos de Ramsey sobre coloraciones y más especialmente los resultados obtenidos por Turán en 1941 fueron el origen de otra rama de la teoría de grafos, teoría de grafos extremos.

El problema de los cuatro colores permaneció sin resolver durante más de un siglo. En 1969, Heinrich Heesch publicó un método para resolver el problema utilizando computadoras. [30] Una prueba asistida por computadora producida en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken hace un uso fundamental de la noción de "descarga" desarrollada por Heesch. [31] [32] La prueba involucró la verificación de las propiedades de 1.936 configuraciones por computadora, y no fue completamente aceptada en ese momento debido a su complejidad. Veinte años después, Robertson, Seymour, Sanders y Thomas dieron una prueba más simple considerando solo 633 configuraciones. [33]

El desarrollo autónomo de la topología desde 1860 y 1930 fertilizó la teoría de grafos a través de los trabajos de Jordan, Kuratowski y Whitney. Otro factor importante de desarrollo común de la teoría de grafos y la topología provino del uso de las técnicas del álgebra moderna. El primer ejemplo de tal uso proviene del trabajo del físico Gustav Kirchhoff, quien publicó en 1845 sus leyes de circuito de Kirchhoff para calcular el voltaje y la corriente en circuitos eléctricos.

La introducción de métodos probabilísticos en la teoría de grafos, especialmente en el estudio de Erdős y Rényi de la probabilidad asintótica de conectividad de grafos, dio lugar a otra rama, conocida como teoría de grafos aleatorios, que ha sido una fuente fructífera de resultados teóricos de gráficos.

Los gráficos se representan visualmente dibujando un punto o círculo para cada vértice y dibujando una línea entre dos vértices si están conectados por un borde. Si el gráfico está dirigido, la dirección se indica dibujando una flecha.

Un dibujo gráfico no debe confundirse con el gráfico en sí (la estructura abstracta, no visual) ya que hay varias formas de estructurar el dibujo gráfico. Todo lo que importa es qué vértices están conectados a qué otros por cuántos bordes y no el diseño exacto. En la práctica, a menudo es difícil decidir si dos dibujos representan el mismo gráfico. Dependiendo del dominio del problema, algunos diseños pueden ser más adecuados y más fáciles de entender que otros.

El trabajo pionero de W. T. Tutte fue muy influyente en el tema del dibujo gráfico. Entre otros logros, introdujo el uso de métodos algebraicos lineales para obtener dibujos de gráficos.

También se puede decir que el dibujo de gráficos engloba problemas que tratan con el número de cruce y sus diversas generalizaciones. El número de cruce de un gráfico es el número mínimo de intersecciones entre los bordes que debe contener un dibujo del gráfico en el plano. Para un gráfico plano, el número de cruce es cero por definición.

También se estudian dibujos en superficies distintas al plano.

Hay diferentes formas de almacenar gráficos en un sistema informático. La estructura de datos utilizada depende tanto de la estructura del gráfico como del algoritmo utilizado para manipular el gráfico. En teoría, se puede distinguir entre estructuras de lista y de matriz, pero en aplicaciones concretas, la mejor estructura suele ser una combinación de ambas. Las estructuras de lista a menudo se prefieren para gráficos dispersos, ya que tienen requisitos de memoria más pequeños. Las estructuras matriciales, por otro lado, brindan un acceso más rápido para algunas aplicaciones, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria. Las implementaciones de estructuras matriciales dispersas que son eficientes en arquitecturas modernas de computadoras paralelas son un objeto de investigación actual. [34]

Las estructuras de lista incluyen la lista de bordes, una matriz de pares de vértices y la lista de adyacencia, que enumera por separado los vecinos de cada vértice: al igual que la lista de bordes, cada vértice tiene una lista de los vértices a los que está adyacente.

Las estructuras matriciales incluyen la matriz de incidencia, una matriz de ceros y unos cuyas filas representan vértices y cuyas columnas representan bordes, y la matriz de adyacencia, en la que tanto las filas como las columnas están indexadas por vértices. En ambos casos, un 1 indica dos objetos adyacentes y un 0 indica dos objetos no adyacentes. La matriz de grados indica el grado de vértices. La matriz laplaciana es una forma modificada de la matriz de adyacencia que incorpora información sobre los grados de los vértices y es útil en algunos cálculos como el teorema de Kirchhoff sobre el número de árboles de expansión de un gráfico. La matriz de distancia, como la matriz de adyacencia, tiene sus filas y columnas indexadas por vértices, pero en lugar de contener un 0 o un 1 en cada celda, contiene la longitud de una ruta más corta entre dos vértices.

Enumeración Editar

Existe una gran cantidad de literatura sobre enumeración gráfica: el problema de contar gráficos que cumplen condiciones específicas. Parte de este trabajo se encuentra en Harary y Palmer (1973).

Subgrafos, subgrafos inducidos y menores Editar

Un problema común, llamado problema de isomorfismo de subgrafo, es encontrar un gráfico fijo como subgrafo en un gráfico dado. Una razón para estar interesado en esta pregunta es que muchas propiedades de los gráficos son hereditario para subgrafos, lo que significa que un grafo tiene la propiedad si y solo si todos los subgrafos la tienen tambien. Desafortunadamente, encontrar subgrafos máximos de cierto tipo es a menudo un problema NP-completo. Por ejemplo:

Un caso especial de isomorfismo de subgrafo es el problema de isomorfismo de grafo. Pregunta si dos gráficos son isomórficos. No se sabe si este problema es NP-completo, ni si se puede resolver en tiempo polinomial.

Un problema similar es encontrar subgrafos inducidos en un gráfico dado. De nuevo, algunas propiedades importantes de los gráficos son hereditarias con respecto a los subgrafos inducidos, lo que significa que un gráfico tiene una propiedad si y solo si todos los subgrafos inducidos también la tienen. Encontrar subgrafos inducidos máximos de un cierto tipo también suele ser NP-completo. Por ejemplo:

Otro problema de este tipo, el problema menor de contención, es encontrar un gráfico fijo como menor de un gráfico dado. Una menor o subcontracción de un gráfico es cualquier gráfico obtenido al tomar un subgráfico y contraer algunos (o ninguno) bordes. Muchas propiedades de los gráficos son hereditarias para los menores, lo que significa que un gráfico tiene una propiedad si y solo si todos los menores también la tienen. Por ejemplo, el teorema de Wagner establece:

  • Un gráfico es plano si contiene como menor ni el gráfico bipartito completoK3,3 (ver el problema de las tres cabañas) ni el gráfico completo K5.

Un problema similar, el problema de la contención de subdivisiones, es encontrar un gráfico fijo como subdivisión de un gráfico dado. Una subdivisión u homeomorfismo de un gráfico es cualquier gráfico obtenido al subdividir algunos (o ningún) bordes. La contención de la subdivisión está relacionada con las propiedades del gráfico, como la planitud. Por ejemplo, el teorema de Kuratowski establece:

Otro problema en la contención de subdivisiones es la conjetura de Kelmans-Seymour:

Otra clase de problemas tiene que ver con la medida en que las diversas especies y generalizaciones de gráficos están determinadas por su subgrafos con puntos eliminados. Por ejemplo:

Coloración de gráficos Editar

Muchos problemas y teoremas de la teoría de grafos tienen que ver con diversas formas de colorear gráficos. Por lo general, a uno le interesa colorear un gráfico de modo que no haya dos vértices adyacentes del mismo color o con otras restricciones similares. También se puede considerar colorear los bordes (posiblemente para que no haya dos bordes coincidentes del mismo color) u otras variaciones. Entre los famosos resultados y conjeturas sobre la coloración de gráficos se encuentran los siguientes:

Subsunción y unificación Editar

Las teorías de modelado de restricciones se refieren a familias de gráficos dirigidos relacionados por un orden parcial. En estas aplicaciones, los gráficos están ordenados por especificidad, lo que significa que los gráficos más restringidos, que son más específicos y, por lo tanto, contienen una mayor cantidad de información, están subsumidos por aquellos que son más generales. Las operaciones entre gráficos incluyen evaluar la dirección de una relación de subsunción entre dos gráficos, si los hay, y calcular la unificación de gráficos. La unificación de dos gráficos de argumentos se define como el gráfico más general (o el cálculo del mismo) que es consistente con (es decir, contiene toda la información en) las entradas, si existe dicho gráfico, se conocen algoritmos de unificación eficientes.

Para los marcos de restricciones que son estrictamente composicionales, la unificación de gráficos es la función de combinación y satisfacibilidad suficiente. Las aplicaciones más conocidas incluyen la demostración automática de teoremas y el modelado de la elaboración de estructuras lingüísticas.

Problemas de ruta Editar

Flujo de red Editar

Existen numerosos problemas que surgen especialmente de aplicaciones que tienen que ver con diversas nociones de flujos en redes, por ejemplo:

Problemas de visibilidad Editar

Cubriendo problemas Editar

Los problemas de cobertura en gráficos pueden referirse a varios problemas de cobertura de conjuntos en subconjuntos de vértices / subgráficos.

    El problema es el caso especial del problema de cobertura de conjuntos donde los conjuntos son vecindarios cerrados. es el caso especial del problema de la cubierta de conjuntos donde los conjuntos a cubrir son todos los bordes.
  • El problema de la cobertura del conjunto original, también llamado conjunto de impacto, puede describirse como una cobertura de vértice en un hipergráfico.

Problemas de descomposición Editar

La descomposición, definida como la división del conjunto de bordes de un gráfico (con tantos vértices como sea necesario acompañando los bordes de cada parte de la partición), tiene una amplia variedad de preguntas. A menudo, el problema es descomponer un gráfico en subgráficos isomórficos a un gráfico fijo, por ejemplo, descomponiendo un gráfico completo en ciclos hamiltonianos. Other problems specify a family of graphs into which a given graph should be decomposed, for instance, a family of cycles, or decomposing a complete graph Knorte into norte − 1 specified trees having, respectively, 1, 2, 3, . norte − 1 edges.

Some specific decomposition problems that have been studied include:

    , a decomposition into as few forests as possible , a decomposition into a collection of cycles covering each edge exactly twice , a decomposition into as few matchings as possible , a decomposition of a regular graph into regular subgraphs of given degrees

Graph classes Edit

Many problems involve characterizing the members of various classes of graphs. Some examples of such questions are below:


History Integration

It is important not to think of integration as using the particular subject to solve math problems, but as a way to use math to solve problems and answer questions about those topics.

The National Council for the Social Studies uses such words as compare, explain, articulate, analyze, predict, demonstrate and interpret. These are all words that must be used when dealing with mathematics as well.

1) Math tasks are based on background provided by Social Studies:

-Comparing resources, numbers, etc of events such as the Civil War.

-Distances involved in exploration, war, and expansion.

2) Data is obtained through social science inquiry

-students create charts, graphs and tables to represent numerical data.


Functions

Of special interest are relations where every X-value corresponds to exactly one y-valor. A relation with this property is called a function A relation where each element in the domain corresponds to exactly one element in the range. .

Ejemplo 2

Determine the domain and range of the following relation and state whether it is a function or not:

Here we separate the domain (x-values), and the range (y-values), and depict the correspondence between the values with arrows.

The relation is a function because each X-value corresponds to exactly one y-valor.

Answer: The domain is <−1, 0, 2, 3, 4>and the range is <−2, 3, 4, 7>. The relation is a function.

Ejemplo 3

Determine the domain and range of the following relation and state whether it is a function or not:

The given relation is not a function because the X-value 3 corresponds to two y-values. We can also recognize functions as relations where no X-values are repeated.

Answer: The domain is <−4, −2, 0, 3>and the range is <−3, 3, 5, 6, 7>. This relation is not a function.

Consider the relations consisting of the seven ordered pair solutions to y = | x | − 2 and x = | y | + 1 . The correspondence between the domain and range of each can be pictured as follows:

Notice that every element in the domain of the solution set of y = | x | − 2 corresponds to only one element in the range it is a function. The solutions to x = | y | + 1 , on the other hand, have values in the domain that correspond to two elements in the range. In particular, the X-value 4 corresponds to two y-values −3 and 3. Therefore, x = | y | + 1 does not define a function.

We can visually identify functions by their graphs using the vertical line test If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function. . If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function.

The vertical line represents a value in the domain, and the number of intersections with the graph represent the number of values to which it corresponds. As we can see, any vertical line will intersect the graph of y = | x | − 2 only once therefore, it is a function. A vertical line can cross the graph of x = | y | + 1 more than once therefore, it is not a function. As pictured, the X-value 3 corresponds to more than one y-valor.

Ejemplo 4

Given the graph, state the domain and range and determine whether or not it represents a function:

From the graph we can see that the minimum X-value is −1 and the maximum X-value is 5. Hence, the domain consists of all the real numbers in the set from [ − 1 , 5 ] . The maximum y-value is 3 and the minimum is −3 hence, the range consists of y-values in the interval [ − 3 , 3 ] .

In addition, since we can find a vertical line that intersects the graph more than once, we conclude that the graph is not a function. There are many X-values in the domain that correspond to two y-values.

Answer: Domain: [ − 1 , 5 ] range: [ − 3 , 3 ] function: no

¡Prueba esto! Given the graph, determine the domain and range and state whether or not it is a function:

Answer: Domain: ( − ∞ , 15 ] range: ℝ function: no


Louisiana State Standards for Mathematics: Grade 3

Currently Perma-Bound only has suggested titles for grades K-8 in the Science and Social Studies areas. We are working on expanding this.

LA.N. Number and Number Relations: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of the real number system and communicate the relationships within that system using a variety of techniques and tools.

N-1-E. Constructing number meaning and demonstrating that a number can be expressed in many different forms (e.g., standard notation, number words, number lines, geometrical representation, fractions, and decimals).

N-1-E-GLE 1. Model, read, and write place value in word, standard, and expanded form for numbers through 9999 (N-1-E)

N-1-E-GLE 2. Read, write, compare, and order whole numbers through 9999 using symbols (i.e., <, =, >) and models (N-1-E) (N-3-E)

N-1-E-GLE 3. Use region and set models and symbols to represent, estimate, read, write, and show understanding of fractions through tenths (N-1-E) (N-2-E)

N-2-E. Demonstrating number sense and estimation skills, giving particular attention to common equivalent reference points (i.e., 1/4 = 25% = .25 2 = 50% = .5 $1 = 100%, etc.).

N-2-E-GLE 3. Use region and set models and symbols to represent, estimate, read, write, and show understanding of fractions through tenths (N-1-E) (N-2-E)

N-3-E. Reading, writing, representing, comparing, ordering, and using whole numbers in a variety of forms (e.g., standard notation, number line, and geometrical representation.

N-3-E-GLE 2. Read, write, compare, and order whole numbers through 9999 using symbols (i.e., <, =, >) and models (N-1-E) (N-3-E)

N-4-E. Demonstrating a conceptual understanding of the meaning of the basic arithmetic operations (add, subtract, multiply, and divide) and their relationships to each other.

N-4-E-GLE 4. Use the concepts of associative and commutative properties of multiplication to simplify computations (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 5. Recognize and model multiplication as a rectangular array or as repeated addition (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 6. Recognize and model division as separating quantities into equal subsets (fair shares) or as repeated subtraction (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 7. Recognize and apply multiplication and division as inverse operations (N-4-E)

N-4-E-GLE 9. Know basic multiplication and division facts [0s, 1s, 2s, 5s, 9s, and turn-arounds (commutative facts), including multiplying by 10s] (N-6-E) (N-4-E)

N-4-E-GLE 16. Use number sentences to represent real-life problems involving multiplication and division (A-1-E) (N-4-E)

N-5-E. Selecting appropriate operation(s) (add, subtract, multiply, and divide) for a given situation.

N-5-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-6-E. Applying a knowledge of basic math facts and arithmetic operations to real-life situations.

N-6-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-6-E-GLE 9. Know basic multiplication and division facts [0s, 1s, 2s, 5s, 9s, and turn-arounds (commutative facts), including multiplying by 10s] (N-6-E) (N-4-E)

N-6-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

N-6-E-GLE 11. Add and subtract numbers of 3 digits or less (N-6-E) (N-7-E)

N-7-E. Constructing, using, and explaining procedures to compute and estimate with whole numbers (e.g., mental math strategies).

N-7-E-GLE 4. Use the concepts of associative and commutative properties of multiplication to simplify computations (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 5. Recognize and model multiplication as a rectangular array or as repeated addition (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 6. Recognize and model division as separating quantities into equal subsets (fair shares) or as repeated subtraction (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 11. Add and subtract numbers of 3 digits or less (N-6-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 12. Round to the nearest 1000 and identify situations in which such rounding is appropriate (N-7-E) (N-9-E)

N-8-E. Selecting and using appropriate computational methods and tools for given situations involving whole numbers (e.g., estimation, mental arithmetic, calculator, or paper and pencil).

N-8-E-GLE 13. Determine when and how to estimate, and when and how to use mental math, calculators, or paper/pencil strategies to solve addition and subtraction problems (N-8-E) (N-9-E)

N-9-E. Demonstrating the connection of number and number relations to the other strands and to real-life situations.

N-9-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-9-E-GLE 12. Round to the nearest 1000 and identify situations in which such rounding is appropriate (N-7-E) (N-9-E)

N-9-E-GLE 13. Determine when and how to estimate, and when and how to use mental math, calculators, or paper/pencil strategies to solve addition and subtraction problems (N-8-E) (N-9-E)

LA.A. Algebra: In problem-solving investigations students demonstrate an understanding of concepts and processes that allow them to analyze, represent, and describe relationships among variable quantities and to apply algebraic methods to real-world situations.

A-1-E. Demonstrating a conceptual understanding of variables, expressions, equations, and inequalities (e.g., use letters or boxes to represent values understand =, not equal to, <, and > symbols).

A-1-E-GLE 14. Use the symbols <, >, and the not equal to symbol to express inequalities (A-1-E)

A-1-E-GLE 15. Use objects, pictures, numbers, symbols, and words to represent multiplication and division problem situations (A-1-E)

A-1-E-GLE 16. Use number sentences to represent real-life problems involving multiplication and division (A-1-E) (N-4-E)

A-1-E-GLE 17. Analyze and describe situations where proportional trades or correspondences are required (e.g., trade 2 pieces of candy for 3 pieces of gum, make equivalent actions on pans to keep balance scale in equilibrium, plan for the number of pieces of bread needed for x sandwiches) (A-1-E)

A-2-E. Modeling and developing strategies for solving equations and inequalities.

A-2-E-GLE 18. Use letters as variables in mathematical statements that represent real-life problems (e.g., 2 x n = 8) (A-2-E)

A-3-E. Recognizing the connection of algebra to the other strands and to real-life situations (e.g., number sentences or formulas to represent real-world problems).

LA.M. Measurement: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of the concepts, processes, and real-life applications of measurement.

M-1-E. Applying (measure or solve measurement problem) the concepts of length (inches, feet, yards, miles, millimeters, centimeters, decimeters, meters, kilometers), area, volume, capacity (cups, liquid pints and quarts, gallons, milliliters, liters), weight (ounces, pounds, tons, grams, kilograms), mass, time (seconds, minutes, hours, days, weeks, months, years), money, and temperature (Celsius and Fahrenheit) to real-world experiences.

M-1-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

M-1-E-GLE 19. Measure length to the nearest yard, meter, and half-inch (M-1-E)

M-1-E-GLE 20. Measure capacity using pints and gallons (M-1-E)

M-1-E-GLE 21. Measure weight using grams and ounces (M-1-E)

M-1-E-GLE 22. Find the perimeter of a geometric shape given the length of its sides (M-1-E)

M-1-E-GLE 23. Find the area in square units of a given rectangle (including squares) drawn on a grid or by covering the region with square tiles (M-1-E)

M-1-E-GLE 24. Find elapsed time involving hours and minutes, without regrouping, and tell time to the nearest minute (M-1-E) (M-5-E)

M-2-E. Selecting and using appropriate standard and non-standard units of measure (e.g., paper clips and Cuisenaire rods) and tools for measuring length, area, capacity, weight/mass, and time for a given situation by considering the purpose and precision required for the task.

M-2-E-GLE 25. Select and use the appropriate standard units of measure, abbreviations, and tools to measure length and perimeter (i.e., in., cm, ft., yd., m), area (square inch, square centimeter), capacity (i.e., cup, pint, quart, gallon, liter), and weight/mass (i.e., oz., lb., g, kg, ton) (M-2-E)

M-3-E. Using estimation skills to describe, order, and compare measures of length, capacity, weight/mass, time, and temperature.

M-3-E-GLE 26. Order a set of measures within the same system (M-3-E)

M-3-E-GLE 27. Compare U.S. and metric measurements using approximate reference points without using conversions (e.g., a meter is longer than a yard) (M-3-E) (M-4-E)

M-3-E-GLE 28. Estimate length, weight/mass, and capacity (M-3-E)

M-4-E. Converting from one unit of measurement to another within the same system (customary and metric) comparisons between systems should be based on intuitive reference points, not formal computations (e.g., a meter is a little longer than a yard).

M-4-E-GLE 27. Compare U.S. and metric measurements using approximate reference points without using conversions (e.g., a meter is longer than a yard) (M-3-E) (M-4-E)

M-5-E. Demonstrating the connection of measurement to the other strands and to real-life situations.

M-5-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

M-5-E-GLE 24. Find elapsed time involving hours and minutes, without regrouping, and tell time to the nearest minute (M-1-E) (M-5-E)

LA.G. Geometry: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of geometric concepts and applications involving one-, two-, and three-dimensional geometry, and justify their findings.

G-1-E. Determining the relationships among shapes.

G-1-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-1-E-GLE 34. Fold a 2-dimensional net into a 3-dimensional object (G-4-E) (G-1-E)

G-2-E. Identifying, describing, comparing, constructing, and classifying two-dimensional and three-dimensional geometric shapes using a variety of materials.

G-2-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-2-E-GLE 30. Apply concepts of congruence, similarity, and symmetry in real-life situations (G-2-E)

G-3-E. Making predictions regarding combinations, subdivisions, and transformations (slides, flips, turns) of simple plane geometric shapes.

G-3-E-GLE 31. Draw or reconstruct figures from visual memory or verbal descriptions (G-3-E)

G-3-E-GLE 32. Recognize and execute specified flips, turns, and slides of geometric figures using manipulatives and correct terminology (including clockwise and counterclockwise) (G-3-E)

G-4-E. Drawing, constructing models, and comparing geometric shapes, with special attention to developing spatial sense.

G-4-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-4-E-GLE 33. Construct and draw rectangles (including squares) with given dimensions (e.g., grid paper, square tiles) (G-4-E)

G-4-E-GLE 34. Fold a 2-dimensional net into a 3-dimensional object (G-4-E) (G-1-E)

G-5-E. Identifying and drawing lines and angles and describing their relationships to each other and to the real world.

G-5-E-GLE 35. Identify, give properties of, and distinguish among points, lines, line segments, planes, rays, and angles (G-5-E)

G-5-E-GLE 36. Identify and draw segments, rays, and lines that are perpendicular, parallel, and intersecting (G-5-E)

G-5-E-GLE 37. Identify, describe, and draw intersecting, horizontal, vertical, parallel, diagonal, and perpendicular lines, rays, and right angles in the real world (G-5-E) (G-6-E)

G-6-E. Demonstrating the connection of geometry to the other strands and to real-life situations.

G-6-E-GLE 37. Identify, describe, and draw intersecting, horizontal, vertical, parallel, diagonal, and perpendicular lines, rays, and right angles in the real world (G-5-E) (G-6-E)

G-6-E-GLE 38. Find the length of a path (that does not include diagonals) between two points on a grid (G-6-E)

LA.D. Data Analysis, Probability, and Discrete Math: In problem-solving investigations, students discover trends, formulate conjectures regarding cause-and-effect relationships, and demonstrate critical thinking skills in order to make informed decisions.

D-1-E. Collecting, organizing, and describing data based on real-life situations

D-1-E-GLE 39. Identify categories and sort objects based on qualitative (categorical) and quantitative (numerical) characteristics (D-1-E)

D-1-E-GLE 40. Read, describe, and organize a two-circle Venn diagram (D-1-E) (D-2-E)

D-1-E-GLE 41. Explain the word average and use it appropriately in discussing what is ''typical'' of a data set (D-1-E)

D-2-E. Constructing, reading, and interpreting data in charts, graphs, tables, etc

D-2-E-GLE 40. Read, describe, and organize a two-circle Venn diagram (D-1-E) (D-2-E)

D-2-E-GLE 42. Match a data set to a graph, table, or chart and vice versa (D-2-E)

D-3-E. Formulating and solving problems that involve the use of data

D-3-E-GLE 43. Represent and solve problems using data from a variety of sources (e.g., tables, graphs, maps, advertisements) (D-3-E)

D-4-E. Exploring, formulating, and solving sequence-of-pattern problems involving selection and arrangement of objects/numerals

D-5-E. Predicting outcomes based on probability (e.g., make predictions of same chance, more likely, or less likely determine fair and unfair games)

D-5-E-GLE 44. Discuss chance situations in terms of certain/impossible and equally likely (D-5-E)

D-5-E-GLE 45. Use manipulatives to discuss the probability of an event (e.g., number cubes, spinners to determine what is most likely or least likely) (D-5-E)

D-6-E. Demonstrating the connection of data analysis, probability, and discrete math to other strands and real-life situations.

LA.P. Patterns, Relations, and Functions: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of patterns, relations, and functions that represent and explain real-world situations.

P-1-E. Recognizing, describing, extending, and creating a wide variety of numerical (e.g., skip counting of whole numbers), geometrical, and statistical patterns.

P-1-E-GLE 46. Identify and model even and odd numbers with objects, pictures, and words (P-1-E)

P-1-E-GLE 47. Find patterns to complete tables, state the rule governing the shift between successive terms, and continue the pattern (including growing patterns) (P-1-E) (P-2-E)

P-2-E. Representing and describing mathematical relationships using tables, variables, open sentences, and graphs.

P-2-E-GLE 47. Find patterns to complete tables, state the rule governing the shift between successive terms, and continue the pattern (including growing patterns) (P-1-E) (P-2-E)

P-3-E. Recognizing the use of patterns, relations, and functions in other strands and in real-life situations.


Independent Practice

As I circulate, I watch to see that students are carefully graphing Problem 1. The values on the y-axis are not the values that they'll have in the table, so students will need to plot in between the grid marks.

When I check in with individual students, I ask them questions about the particular equation they're working on. I'll ask about the meaning of the coefficient, how they decided on the values for the table, what the relationship is, how we could use this line to predict other values, etc.


Linear relations and their graphing

In this section we examine one of the simplest types of relations, the linear relation. Every linear relation has a graph that is a straight line, and so we need only find two points on the graph in order to sketch it. Examples of linear relations are y=2x+3 , y=x and 3x + 2y = 6

LINEAR RELATION A linear relation in two variables is a relation that can be written in the form

y=ax+b ,
where a and b are real numbers.

Nota Linear relations are often written in the form Ax + By = C , where A , B , and C are real, and A and B are not both 0 . This is called the standard form of a linear relation.

In the equation Ax + By = C , any number can be used for x or y , so both the domain and range of a linear relation in which neither A nor B is 0 are the set of real numbers (-inf,inf) ,

GRAPHING LINEAR RELATIONS. The graph of a linear relation can be found by plotting at least two points. Two points that are especially useful for sketching the graph of a line are found with the intercepts. An x -intercept is an x -value at which a graph crosses the x -axis. A y -intercept is a y -value at which a graph crosses the y-axis. Since y = 0 on the x-axis, an x-intercept is found by setting y equal to 0 in the equation and solving for x . Similarly, a y -intercept is found by setting x=0 in the equation and solving for y .

Example 1 GRAPHING A LINEAR RELATION USING INTERCEPTS

Graph 3x + 2y = 6 .
Use the intercepts. The y -intercept is
found by letting x=0 .
3.0+2y=6

y=3
For the x -intercept, let y=0 , getting


3x+2.0=6
3x=6
x=2 .
Plotting (0,3) and (2,0) gives the graph in Figure 3.7. A third point could be found as a check if desired.

Let&rsquos see how our math solver generates graphs of this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 2 GRAPHING HORIZONTAL AND VERTICAL LINES

Since y always equals -3 , the value of y can never be 0 . This means that the graph has no x -intercept. The only way a straight line can have no x -intercept is for it to be parallel to the x -axis, as shown in Figure 3.8. Notice that the domain of this linear relation is (-inf,inf) but the range is <-3>.

Here, since x always equals -3 , the value of x can never be 0 , and the graph has no y -intercept. Using reasoning similar to that of part (a), we find that this graph is parallel to the y -axis, as shown in Figure 3.9. The domain of this relation is <-3>, while the range is (-inf,inf) ,

From this example we may conclude that a linear relation of the form y=k has as its graph a horizontal line through (0,k) , and one of the form x=k has as its graph a vertical line through (k,0) .

Example 3 GRAPHING A LINE THROUGH THE ORIGIN

Find the intercepts. If x=0 , then

Letting y=0 leads to the same ordered pair, 0=0 . The graph of this relation has just one intercept&mdashat the origin. Find another point by choosing a different value for x (or y ). Choosing x=5 gives
4(5)-5y=0

4=y
which leads to the ordered pair (5,4) . Complete the graph using the two points (0,0) and (5,4) , with a third point as a check. Vea la Figura 3.10.

Let&rsquos see various graphs of line passing through origin. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

SLOPE An important characteristic of a straight line is its slope, a numerical measure of the steepness of the line. (Geometrically, this may be interpreted as the ratio of rise to run.) To find this measure, start with the line through the two distinct points (x_1,y_1) and (x_2,y_2) , as shown in Figure 3.11 , where (x_1!=x_2) .The difference
(x_2-y_1)

is called the change in x and denoted by (x) (read &ldquodelta x &rsquo), where is the Greek letter delta. In the same way, the change in y can be written

The slope of a nonvertical line is defined as the quotient of the change in y and the change in x , as follows.

SLOPE The slope m of the line through the points (x_1,y_1) and (x_2,y_2) is

CAUTION When using the slope formula, be sure that it is applied correctly. It makes no difference which point is (x_1,y_1) or (x_2,y_2) however, it is important to be consistent. Start with the x - and y -value of one point (either one) and subtract the corresponding values of the other point.

The slope of a line can be found only if the line is nonvertical. This guarantees that (x_2!=x_1) , so that the denominator (x_2-x_1)!=0 . It is not possible to define the slope of a vertical line.

The slope of a vertical line is undefined.

Example 4.FINDING SLOPES WITH THE SLOPE FORMULA

Find the slope of the line through each of the following pairs of points.

(a) (-4, 8), (2, -3)
Let x_1=-4 , y_1=8 , and x_2=-2 , y_2=-3 . Luego

A sketch would show that the line through (2, 7) and (2, -4) is vertical. As mentioned above, the slope of a vertical line is not defined. (An attempt to use the
definition of slope here would produce a zero denominator.)

By definition of slope,
m=(-3-(-3))/(-2-5)=0/-7=0

Drawing a graph through the points in Example 4(c) would produce a line that is horizontal, which suggests the following generalization.

The slope of a horizontal line is 0.

Figure 3.12 shows lines of various slopes. As the figure shows, a line with a positive slope goes up from left to right, but a line with a Positive slope negative slope goes down from left to right.

It can be shown, using theorems for similar triangles, that the slope slope is independent of the choice of points on the line. That is, the slope of a line is the same no matter which pair of distinct points on the line are used to find it.

Since the slope of a line is the ratio of vertical change to horizontal change, if we know the slope of a line and the coordinates of a point on the line, the graph of the line can be drawn. The next example illustrates this.

Example 5 GRAPHING A LINE USING A POINT AND THE SLOPE

Graph the line passing through (-1,5) and having slope -5/3 .
First locate the point (-1,5) as shown in Figure 3.13. Since the slope of this line is -5/3 , a change of -5 units vertically (that is, 5 units down) produces a change of 3 units horizontally ( 3 units to the right).

This gives a second point, (2,0) , which can then be used to complete the graph.

Because -5/3=5/(-3) , another point could be obtained by starting at (-1,5) and moving 5 units up and 3 units to the left. We would reach a different second point, but the line would be the same.

EQUATIONS OF A LINE Since equations can define relations, we now consider methods of finding equations of linear relations. Figure 3.14 shows the line passing through the fixed point (x_1,y_1) and having slope m . (Assuming that the
line has a slope guarantees that it is not vertical.) Let (x,y) be any other point on the line. By the definition of slope, the slope of the line is
(y-y_1)/(x-x_1)
Since the slope of the line is m ,
(y-y_1)/(x-x_1)=m
Multiplying both sides by x-x_1 gives
y-y_1=m(x-x_1)

This result, called the point-slope form of the equation of a line, identifies points on a given line: a point (x,y) lies on the line through (x_1,y_1) with slope m if and only if
y-y_1=m(x-x_1)

POINT-SLOPE FORM The line with slope m passing through the point (x_1,y_1) has an equation

the point-slope form of the equation of a line.

Example 6 USING THE POINT-SLOPE FORM (GIVEN A POINT AND THE SLOPE)

Write an equation of the line through (-4,1) with slope -3 .

Here x_1=-4 , y_1=1 , and m=-3 . Use the point-slope form of the equation of a line to get

y-1=-3x-12) Distributive property

CAUTION The definition of &ldquostandard form&rdquo is not standard from one text to another. Any linear equation can be written in many different (all equally correct) forms. For example, the equation 2x+3y=8 can be written as 2x=8-3y , 3y=8-2x , x+3/2y=4 , 4x+6y=16 and so on. In addition to writing it in the form Ax + By = C (with A>=0 ), let us agree that the form 2x+3y=8 is preferred over any multiples of both sides, such as 4x+6y=16 .

Example 7 USING THE POINT-SLOPE FORM (GIVEN TWO POINTS)

Find an equation of the line through (-3,2) and (2,-4)
Find the slope first. By the definition of slope,
m=(-4-2)/(2-(-3))=-6/5

Either (-3,2) or (2,-4) can be used for (x_1,y_1) . Choosing (x_1=-3 and (y_1=2 in the point-slope form gives
y-2=-6/5[x-(-3)
5(y-2)=-6(x+3) Multiply by 5.
5y-10=-6x-18 Distributive property

Verify that the same equation results if (2,-4) is used instead of (-3,2) in the Point-slope form.

As a special case of the point-slope form of the equation of a line, suppose that a line passes through the point (0, b) , so the line has y -intercept b . If the line has slope m , then using the point-slope form with x_1=0 and y_1=b gives
y-y_1=m(x-x_1)

y=mx+b
as an equation of the line. Since this result Shows the slope of the line and the y -intercept, it is called the slope-intercept form of the equation of the line.

SLOPE-INTERCEPT FORM The line with slope m and y -intercept b has an equation
y=mx+b
the slope-intercept form of the equation of a line.

Example 8 USING THE SLOPE-INTERCEPT FORM TO GRAPH A LINE

Find the slope and y -intercept of 3x-y=2 Graph the line using this information.

First write 3x-y=2 in the slope-intercept form, y=mx+b , by solving for y , getting 3x-y=2 . This result shows that the Slope is m=3 and the y -intercept is b=-2 . To draw the graph, first locate the y -intercept. See Figure 3.15. Then, as in Example 5, use the slope of 3 , or 3/1 , to get a second point on the graph. The line through these two points is the graph of 3x-y=2 .

In the preceding discussion, it was assumed that the given line had a slope. The only lines having undefined slope are vertical lines. The vertical line through the point (a, b) passes through all the points of the form (a, y) , for any value of y . This fact determines the equation of a vertical line.

EQUATION OF A VERTICAL LINE An equation of the vertical line through the point (a, b) is x=a

For example, the vertical line through (-4,9) has equation x=-4 , while the vertical line through (0,1/4) has equation x=0 . (This is the y -axis.)

The horizontal line through the point (a, b) passes through all points of the
form (x, b) , for any value of x . Therefore, the equation of a horizontal line involves only the variable y .

EQUATION OF A HORIZONTAL LINE An equation of the horizontal line through the point (a, b) is y=b .

For example, the horizontal line through (1,-3) has the equation y=-3 . See Figure 3.8 for the graph of this equation. The equation of the x -axis is y=0 .

PARALLEL. AND PERPENDICULAR LINES Slopes can be used to decide whether or not two lines are parallel. Since two parallel lines are equally &ldquosteep,&rdquo they should have the same slope. Also, two distinct lines with the same &ldquosteepness&rdquo are parallel. The following result summarizes this discussion.

PARALLEL LINES Two distinct non vertical lines are parallel if and only if they have the same slope.

Slopes are also used to determine if two lines are perpendicular. Whenever two lines have slopes with a product of -1 , the lines are perpendicular.
PERPENDICULAR LINES Two lines, neither of which is vertical, are perpendicular if and only if their slopes have a product of -1 .

For example, if the slope of a line is -3/4 , the slope of any line perpendicular
to it is 4/3 , since (-3/4)(4/3)=-1 . We often refer to numbers like -3/4 and 4/3 as &ldquonegative reciprocals.&rdquo A proof of this result is outlined in Exercises 63-66.

USING THE SLOPE RELATIONSHIPS FOR PARALLEL AND PERPENDICULAR

Find the equation of the line that passes through the point (3,5) and satisfies the given condition.

(a) parallel to the line 2x+5y=4

Since it is given that the point (3,5) is on the line, we need only find the slope to use the point-slope form. Find the slope by writing the equation of the given line in slope-intercept form. (That is, solve for y .)
2x+5y=4

y=-2/5x+4/5
The slope is -2/5 . Since the lines are parallel, -2/5 is also the slope of the line whose equation is to be found. Substituting m=-2/5 , x_1=3 , and y_1=5 into the point-slope form gives

(b) perpendicular to the line 2x+5y=4
In part (a) it was found that the slope of this line is -2/5 , so the slope of any line perpendicular to it is 5/2 . Therefore, use m=5/2 , x_1=3 , and y_1=5 in the point-slope form.
y-5=5/2(x-3)

All the lines discussed above have equations that could be written in the form

Ax + By = C for real numbers A , B , and C . As mentioned earlier, the equation Ax + By = C is the standard form of the equation of a line. The various forms of linear equations are listed below.

LINER EQUATIONS

General Equation Type of Equation
Ax+by=C Standard form (if A!=0 and B!=0 ), x -intercept C/A , y -intercept C/B , slope -A/B
x=k Vertical line x -intercept k , no y -intercept, undefined slope
y=k Horizontal line y -intercept k , no x -intercept, slope 0
y=mx+b Slope-intercept form, y -intercept b , slope m
y-y_1=m(x-x_1) Point-slope form , slope m , through (x_1,y_1)

PROBLEM SOLVING

A straight line is often the best approximation of a set of data points that result from a real situation. If the equation is known, it can be used to predict the value of one variable, given a value of the other. For this reason, the equation is written as a linear relation in slope-intercept form. One way to find the equation of such a straight line is to use two typical data points and the point-slope form of the equation of a line.

Example 10 FINDING AN EQUATION FROM DATA POINTS

Scientists have found that the number of chirps made by a cricket of a particular Species per minute is almost linearly related to the temperature. Suppose that for a particular species, at 68 °F a cricket chirps 124 times per minute, while at 80 ° F the cricket chirps 172 times per minute. Find the linear equation that relates the number of chirps to the temperature.

Think of the ordered pairs in the relation as (chirps, temperature), or (c, t) . Then c takes on the role of x and t takes on the role of y . Since we are using a linear relationship, find the slope of the line by using the slope formula with the points (124,68) and (172,80) .
m=(68-80)/(124-172)=-12/-48=1/4
Choose one of the points, say (124,68) , and substitute into the point-slope form, with m=1/4 .
&emsp&emsp t-68=1/4(c-124)

The equation is t=1/4c+37 . By substituting the number of chirps per minute into this equation, the temperature t can be approximated.



Comentarios:

  1. Gajas

    sin comentarios

  2. Lamaan

    Por supuesto que son derechos. En esto es que me gusta este pensamiento, estoy completamente de acuerdo contigo.

  3. Sang

    Creo que estabas equivocado. Tenemos que hablar. Escríbeme por MP.

  4. Johan

    En mi opinión, estás equivocado. Discutamos esto. Envíeme un correo electrónico a PM, hablaremos.

  5. Fenriran

    Ahora no puedo participar en la discusión, no hay tiempo libre. Muy pronto, definitivamente expresaré la opinión.



Escribe un mensaje