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Ejercicios para superficies cuádricas

Ejercicios para superficies cuádricas


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Para los ejercicios 1 a 6, dibuje y describa la superficie cilíndrica de la ecuación dada.

1) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 = 1 )

Respuesta:

La superficie es un cilindro con las reglas paralelas a la y-eje.

2) [T] (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 )

3) [T] (z = cos ( frac {π} {2} + x) )

Respuesta:

La superficie es un cilindro con reglas paralelas a la y-eje.

4) [T] (z = e ^ x )

5) [T] (z = 9 − y ^ 2 )

Respuesta:

La superficie es un cilindro con reglas paralelas a la X-eje.

6) [T] (z = ln (x) )

Para los ejercicios 7 a 10, se proporciona la gráfica de una superficie cuádrica.

un. Especifique el nombre de la superficie cuadrática.

B. Determine el eje de simetría de la superficie cuádrica.

7)

Respuesta:
un. Cilindro; B. El eje (x ) -

8)

9)

Respuesta:
un. Hiperboloide de dos hojas; B. El eje (x ) -

10)

Para los ejercicios 11 a 16, haga coincidir la superficie cuádrica dada con su ecuación correspondiente en forma estándar.

un. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} - frac {z ^ 2} {12} = 1 )

B. ( frac {x ^ 2} {4} - frac {y ^ 2} {9} - frac {z ^ 2} {12} = 1 )

C. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} + frac {z ^ 2} {12} = 1 )

D. (z ^ 2 = 4x ^ 2 + 3y ^ 2 )

mi. (z = 4x ^ 2 − y ^ 2 )

F. (4x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 0 )

11) Hiperboloide de dos hojas

Respuesta:
B.

12) Elipsoide

13) Paraboloide elíptico

Respuesta:
D.

14) paraboloide hiperbólico

15) Hiperboloide de una hoja

Respuesta:
un.

16) Cono elíptico

Para los ejercicios 17 a 28, vuelva a escribir la ecuación dada de la superficie cuádrica en forma estándar. Identifica la superficie.

17) (−x ^ 2 + 36y ^ 2 + 36z ^ 2 = 9 )

Respuesta:
(- frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} { frac {1} {4}} + frac {z ^ 2} { frac {1} {4}} = 1, ) hiperboloide de una hoja con el eje (x ) - como eje de simetría

18) (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100 )

19) (−3x ^ 2 + 5y ^ 2 − z ^ 2 = 10 )

Respuesta:
(- frac {x ^ 2} { frac {10} {3}} + frac {y ^ 2} {2} - frac {z ^ 2} {10} = 1, ) hiperboloide de dos hojas con el eje (y ) - como su eje de simetría

20) (3x ^ 2 − y ^ 2−6z ^ 2 = 18 )

21) (5y = x ^ 2 − z ^ 2 )

Respuesta:
(y = - frac {z ^ 2} {5} + frac {x ^ 2} {5}, ) paraboloide hiperbólico con el eje (y ) - como eje de simetría

22) (8x ^ 2−5y ^ 2−10z = 0 )

23) (x ^ 2 + 5y ^ 2 + 3z ^ 2−15 = 0 )

Respuesta:
( frac {x ^ 2} {15} + frac {y ^ 2} {3} + frac {z ^ 2} {5} = 1, ) elipsoide

24) (63x ^ 2 + 7y ^ 2 + 9z ^ 2−63 = 0 )

25) (x ^ 2 + 5y ^ 2−8z ^ 2 = 0 )

Respuesta:
( frac {x ^ 2} {40} + frac {y ^ 2} {8} - frac {z ^ 2} {5} = 0, ) cono elíptico con el eje (z ) - como su eje de simetría

26) (5x ^ 2−4y ^ 2 + 20z ^ 2 = 0 )

27) (6x = 3y ^ 2 + 2z ^ 2 )

Respuesta:
(x = frac {y ^ 2} {2} + frac {z ^ 2} {3}, ) paraboloide elíptico con el eje (x ) - como eje de simetría

28) (49y = x ^ 2 + 7z ^ 2 )

Para los ejercicios 29 a 34, encuentre la traza de la superficie cuádrica dada en el plano de coordenadas especificado y esboce.

29) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0, z = 0 )

Respuesta:

Parábola (y = - frac {x ^ 2} {4}, )

30) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0, quad x = 0 )

31) [T] (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100, quad x = 0 )

Respuesta:

Elipse ( frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1, )

32) [T] (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100, quad y = 0 )

33) [T] (x ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1, quad x = 0 )

Respuesta:

Elipse ( frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1, )

34) [T] (x ^ 2 − y − z ^ 2 = 1, quad y = 0 )

35) Usa la gráfica de la superficie cuádrica dada para responder las preguntas.

un. Especifique el nombre de la superficie cuadrática.

B. ¿Cuál de las ecuaciones - (16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 36z ^ 2 = 3600,9x ^ 2 + 36y ^ 2 + 16z ^ 2 = 3600, ) o (36x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 3600 ): ¿corresponde a la gráfica?

C. Utilice b. escribir la ecuación de la superficie cuádrica en forma estándar.

Respuesta:
un. Elipsoide
B. La tercera ecuación
C. ( frac {x ^ 2} {100} + frac {y ^ 2} {400} + frac {z ^ 2} {225} = 1 )

36) Usa la gráfica de la superficie cuádrica dada para responder las preguntas.

un. ¿Cuál de las ecuaciones - (36z = 9x ^ 2 + y ^ 2,9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 36z ), o (−36z = −81x ^ 2 + 4y ^ 2 ) - corresponde a la gráfica ¿encima?

C. escribir la ecuación de la superficie cuádrica en forma estándar.

Para los ejercicios 37 a 42, se da la ecuación de una superficie cuádrica.

un. Usa el método de completar el cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar.

B. Identifica la superficie.

37) (x ^ 2 + 2z ^ 2 + 6x − 8z + 1 = 0 )

Respuesta:
un. ( frac {(x + 3) ^ 2} {16} + frac {(z − 2) ^ 2} {8} = 1 )
B. Cilindro centrado en ((−3,2) ) con reglas paralelas al eje (y ) -

38) (4x ^ 2 − y ^ 2 + z ^ 2−8x + 2y + 2z + 3 = 0 )

39) (x ^ 2 + 4y ^ 2−4z ^ 2−6x − 16y − 16z + 5 = 0 )

Respuesta:
un. ( frac {(x − 3) ^ 2} {4} + (y − 2) ^ 2− (z + 2) ^ 2 = 1 )
B. Hiperboloide de una hoja centrada en ((3,2, −2), ) con el eje (z ) - como eje de simetría

40) (x ^ 2 + z ^ 2−4y + 4 = 0 )

41) (x ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {3} + 6x + 9 = 0 )

Respuesta:
un. ((x + 3) ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {3} = 0 )
B. Cono elíptico centrado en ((−3,0,0), ) con el eje (z ) - como eje de simetría

42) (x ^ 2 − y ^ 2 + z ^ 2−12z + 2x + 37 = 0 )

43) Escribe la forma estándar de la ecuación del elipsoide centrado en el origen que pasa por los puntos (A (2,0,0), B (0,0,1), ) y (C (12, sqrt {11}, frac {1} {2}). )

Respuesta:
( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} + z ^ 2 = 1 )

44) Escribe la forma estándar de la ecuación del elipsoide centrada en el punto (P (1,1,0) ) que pasa por los puntos (A (6,1,0), B (4,2,0) ) y (C (1,2,1) ).

45) Determina los puntos de intersección del cono elíptico (x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2 = 0 ) con la línea de ecuaciones simétricas ( frac {x − 1} {2} = frac {y + 1} {3} = z. )

Respuesta:
((1, −1,0) ) y (( frac {13} {3}, 4, frac {5} {3}) )

46) Determine los puntos de intersección del hiperboloide parabólico (z = 3x ^ 2−2y ^ 2 ) con la línea de ecuaciones paramétricas (x = 3t, y = 2t, z = 19t ), donde (t∈R . )

47) Encuentra la ecuación de la superficie cuádrica con puntos (P (x, y, z) ) que son equidistantes del punto (Q (0, −1,0) ) y el plano de la ecuación (y = 1 . ) Identifica la superficie.

Respuesta:
(x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0, ) paraboloide elíptico

48) Encuentre la ecuación de la superficie cuádrica con puntos (P (x, y, z) ) que son equidistantes del punto (Q (0,2,0) ) y el plano de la ecuación (y = −2 . ) Identifica la superficie.

49) Si la superficie de un reflector parabólico se describe mediante la ecuación (400z = x ^ 2 + y ^ 2, ) encuentre el punto focal del reflector.

Respuesta:
( (0,0,100))

50) Considere el reflector parabólico descrito por la ecuación (z = 20x ^ 2 + 20y ^ 2. ) Encuentre su punto focal.

51) Muestre que la superficie cuádrica (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x + y + z = 0 ) se reduce a dos planos paralelos.

52) Muestre que la superficie cuádrica (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−2xy − 2xz + 2yz − 1 = 0 ) se reduce a dos planos paralelos que pasan.

53) [T] La intersección entre el cilindro ((x − 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) y la esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) se llama Curva de Viviani.

un. Resuelva el sistema que consta de las ecuaciones de las superficies para encontrar la ecuación de la curva de intersección. (Pista: Encuentra (x ) y (y ) en términos de (z ).)

B. Use un sistema de álgebra computarizado (CAS) o CalcPlot3D para visualizar la curva de intersección en la esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ).

Respuesta:

un. (x = 2− frac {z ^ 2} {2}, y = ± frac {z} {2} sqrt {4 − z ^ 2}, ) donde (z∈ [−2,2 ]; )

B.

54) El hiperboloide de una hoja (25x ^ 2 + 25y ^ 2 − z ^ 2 = 25 ) y el cono elíptico (−25x ^ 2 + 75y ^ 2 + z ^ 2 = 0 ) se representan en la siguiente figura junto con sus curvas de intersección. Identifique las curvas de intersección y encuentre sus ecuaciones (Sugerencia: Encuentre y del sistema que consiste en las ecuaciones de las superficies).

55) [T] Use un CAS o CalcPlot3D para crear la intersección entre el cilindro (9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 18 ) y el elipsoide (36x ^ 2 + 16y ^ 2 + 9z ^ 2 = 144 ), y hallar las ecuaciones de las curvas de intersección.

Respuesta:

dos elipses de ecuaciones ( frac {x ^ 2} {2} + frac {y ^ 2} { frac {9} {2}} = 1 ) en planos (z = ± 2 sqrt {2 } )

56) [T] Un esferoide es un elipsoide con dos semiejes iguales. Por ejemplo, la ecuación de un esferoide con el eje z como eje de simetría viene dada por ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ), donde (a ) y (c ) son números reales positivos. El esferoide se llama oblato si (c a ).

un. La córnea del ojo se aproxima como un esferoide alargado con un eje que es el ojo, donde (a = 8,7 mm ) y (c = 9,6 mm ). Escriba la ecuación del esferoide que modela la córnea y dibuje la superficie .

B. Da dos ejemplos de objetos con formas de esferoides alargadas.

57) [T] En cartografía, la Tierra se aproxima a un esferoide achatado en lugar de una esfera. Los radios en el ecuador y los polos son aproximadamente (3963 ) mi y (3950 ) mi, respectivamente.

un. Escribe la ecuación en forma estándar del elipsoide que representa la forma de la Tierra. Suponga que el centro de la Tierra está en el origen y que la traza formada por el plano (z = 0 ) corresponde al ecuador.

B. Dibuja el gráfico.

C. Encuentre la ecuación de la curva de intersección de la superficie con el plano (z = 1000 ) que es paralelo al xy-avión. La curva de intersección se llama paralelo.

D. Encuentre la ecuación de la curva de intersección de la superficie con el plano (x + y = 0 ) que pasa por el z-eje. La curva de intersección se llama meridiano.

Respuesta:

un. ( frac {x ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {y ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {z ^ 2} {3950 ^ 2} = 1 )

B.

C. La curva de intersección es la elipse de la ecuación ( frac {x ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {y ^ 2} {3963 ^ 2} = frac {(2950) (4950)} {3950 ^ 2 } ), y la intersección es una elipse.
D. La curva de intersección es la elipse de la ecuación ( frac {2y ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {z ^ 2} {3950 ^ 2} = 1. )

58) [T] Un conjunto de imanes de acrobacias zumbantes (o "huevos de serpiente de cascabel") incluye dos imanes brillantes, pulidos y con forma de esferoide superfuerte, bien conocidos por el entretenimiento de los niños. Cada imán mide (1,625 ) pulgadas de largo y (0,5 ) pulgadas de ancho en el medio. Mientras los arrojan al aire, crean un zumbido mientras se atraen entre sí.

un. Escribe la ecuación del esferoide alargado centrado en el origen que describe la forma de uno de los imanes.

B. Escribe las ecuaciones de los esferoides prolados que modelen la forma de los imanes de acrobacias zumbantes. Utilice un CAS o CalcPlot3D para crear los gráficos.

59) [T] Una superficie en forma de corazón viene dada por la ecuación ((x ^ 2 + frac {9} {4} y ^ 2 + z ^ 2−1) ^ 3 − x ^ 2z ^ 3− frac {9} {80} y ^ 2z ^ 3 = 0. )

un. Utilice un CAS o CalcPlot3D para graficar la superficie que modela esta forma.

B. Determine y dibuje el trazo de la superficie en forma de corazón en el xz-avión.

Respuesta:

un.

B. La curva de intersección es ((x ^ 2 + z ^ 2−1) ^ 3 − x ^ 2z ^ 3 = 0. )

60) [T] El anillo toroide simétrico con respecto al eje z es un tipo especial de superficie en topología y su ecuación está dada por ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + R ^ 2 − r ^ 2 ) ^ 2 = 4R ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ), donde (R> r> 0 ). Los números (R ) y (r ) son los radios mayor y menor, respectivamente, de la superficie. La siguiente figura muestra un toro en anillo para el cual (R = 2 ) y (r = 1 ).

un. Escribe la ecuación del toroide anular con (R = 2 ) y (r = 1 ), y usa un CAS o CalcPlot3D para graficar la superficie. Compare la gráfica con la figura dada.

B. Determine la ecuación y dibuje la traza del toroide anular a partir de a. en el plano xy.

C. Da dos ejemplos de objetos con forma de toro anular.

Colaboradores

Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.

Ejercicios y LaTeX editados por Paul Seeburger


Soluciones NCERT para matemáticas de clase 10 y ecuaciones cuadráticas n.o 8217 y n.o 8211

Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 10 Capítulo 4: El primer paso hacia la preparación del examen de la junta es resolver las preguntas del ejercicio del libro de texto NCERT. Por lo tanto, los estudiantes que buscan Soluciones NCERT para matemáticas de clase 10 Las preguntas del ejercicio del Capítulo 4 (Ecuaciones cuadráticas) pueden ir a través de este artículo. El Capítulo 4 de Soluciones NCERT para Matemáticas Clase 10 incluye el Ejercicio 4.1, Ejercicio 4.2, Ejercicio 4.3, Ejercicio 4.4 y Ejercicio 4.5. Le proporcionamos soluciones NCERT Clase 10 Capítulo 4 en PDF para que pueda consultar Soluciones NCERT fuera de línea también. Además, los estudiantes también pueden descargar las soluciones NCERT para el capítulo 4 de Class 10 Maths en formato PDF. Siga leyendo para obtener las soluciones de ejercicios de matemáticas NCERT Clase 10 para las ecuaciones cuadráticas del Capítulo 4 y # 8211.


Lista de hojas de trabajo de ecuaciones cuadráticas

¡Guíe a sus estudiantes a través de esta variedad de hojas de trabajo en PDF! Familiarícelos con encontrar la suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática dada. Equipelos para utilizar esta suma y producto para formar la ecuación cuadrática y determinar los coeficientes faltantes o la constante en ella.

Este grupo de ejercicios en pdf para estudiantes de secundaria tiene una práctica prolífica en la resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización. Factoriza y resuelve las raíces reales o complejas de ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros, fraccionarios y radicales.

Mantenga informados a los estudiantes de secundaria con la aplicación de la propiedad de la raíz cuadrada en la resolución de ecuaciones cuadráticas puras, con este conjunto de hojas de trabajo imprimibles. Aísle el término x 2 en un lado de la ecuación y el término constante en el otro lado, y resuelva para x tomando raíces cuadradas.

Completa el cuadrado de la ecuación cuadrática dada y resuelve las raíces. Sube de nivel trabajando con ecuaciones que involucren coeficientes radicales, fraccionarios, enteros y decimales.

Discernir todos los hechos esenciales sobre un discriminante con esta recopilación de hojas de trabajo de la escuela secundaria. Determine el discriminante evaluando la expresión b 2 - 4ac donde a es el coeficiente de x 2, b el coeficiente de x yc el término constante en una ecuación cuadrática.

¿Puedes saber si las raíces de una ecuación cuadrática son iguales o desiguales sin resolverlo? ¡Dé un paseo rápido por esta colección de folletos imprimibles sobre la naturaleza de las raíces! Predecir si las raíces son iguales o desiguales y también si son reales o complejas.

Ya sea para encontrar el promedio o el área o para calcular la pendiente o cualquier otro cálculo matemático, ¡las fórmulas son importantes sin lugar a dudas! ¡Aumente su capacidad para usar la fórmula cuadrática y encontrar soluciones a una ecuación cuadrática con este conjunto de recursos de práctica!

¡Eche un vistazo a una variedad de casos de la vida real en los que las ecuaciones cuadráticas demuestran que tienen un papel importante que desempeñar! Lea cada problema verbal con atención, forme la ecuación con los datos dados y resuelva la incógnita.


Ejercicios para superficies cuádricas

1 cono con secciones

4 Paraboloide hiperbólico

5 Hiperboloide elíptico 1

6 Hiperboloide elíptico 2

7 Cilindro elíptico

8 Cilindro circular

9 cilindro parabólico

10 Cilindro hiperbólico

11 Cono circular

12 hiperboloide circular

13 Paraboloide elíptico

14 Elipsoide con secciones

Una superficie cuadrática (o cuadrática) es una superficie en tres espacios definida por una ecuación de grado dos. Por lo tanto, es el análogo tridimensional de una sección cónica, que es una curva en dos espacios definida por una ecuación de grado dos. Las secciones transversales planas de una superficie cuadrática deben ser secciones cónicas, y los nombres de las superficies cuadráticas se refieren a los diferentes tipos de secciones transversales planas que posee. Los modelos de este grupo muestran los distintos tipos.

Las superficies de revolución se obtienen girando una sección cónica alrededor de uno de sus ejes. La superficie de revolución obtenida de una elipse se llama elipsoide, y la obtenida de una parábola se llama paraboloide. Una hipérbola da lugar a diferentes superficies de revolución, dependiendo de si gira alrededor del eje conjugado (que pasa entre las dos ramas de la hipérbola) o del eje transversal (que cruza las dos ramas). El primero da un hiperboloide de dos hojas, el segundo un hiperboloide de una hoja. Las superficies de revolución tienen secciones transversales circulares perpendiculares al eje de revolución. Las superficies más generales tienen secciones transversales elípticas o hiperbólicas: así se obtienen paraboloides elípticos e hiperbólicos e hiperboloides elípticos de una o dos hojas.

Las superficies cuadráticas degeneradas ocurren cuando todas las secciones transversales planas a través de una línea recta dada son cónicas degeneradas: o un par de líneas rectas paralelas, que dan lugar a un cilindro, o un par de líneas rectas que se cruzan, que dan lugar a un cono.


Superficies niveladas y superficies cuadráticas

Interactúe en el escritorio, el dispositivo móvil y la nube con Wolfram Player gratuito u otros productos Wolfram Language.

Para una función de tres variables, , , y , la superficie nivelada del nivel se define como el conjunto de puntos en que son soluciones de . Una superficie cuadrática o cuadrática es una superficie que viene dada por una ecuación polinomial de segundo orden en las tres variables , , y .

Dejar , , y ser constantes distintas de cero. Trazamos superficies de nivel para funciones cuadráticas en tres variables, que dan algunas superficies cuadráticas bien conocidas:

&Diamante da elipsoides cuando , esta es una esfera centrada en el origen del radio .

&Diamante o dar cilindros elípticos con ejes de simetría a lo largo del eje y eje, correspondiente a y .

&Diamante da paraboloides elípticos, abriéndose hacia arriba o hacia abajo como o .

&Diamante y , con , dar conos elípticos. Para , las superficies niveladas son hiperboloides de una hoja.

&Diamante ( ) y ( ) dan hiperboloides de dos hojas.

Contribución de: Ana Moura Santos y Jo & atildeo Pedro Pargana (Instituto Superior T & eacutecnico) (marzo de 2011)
Contenido abierto con licencia CC BY-NC-SA


Ejercicios para ayudar a la ciática

La mayoría de los ejercicios para la ciática son para la zona lumbar. Consulte con su médico antes de probar estos ejercicios que puede hacer en casa:

Ejercicio de rodilla a pecho

Este simple estiramiento se dirige a la zona inferior de los glúteos y la parte superior del muslo.

  • Paso 1: Acuéstese boca arriba con las piernas dobladas y los pies apoyados en el suelo.
  • Paso 2: Lleve una rodilla al pecho mientras mantiene el otro pie en el suelo.
  • Paso 3: Manteniendo la parte baja de la espalda presionada contra el piso, manténgala presionada hasta por 30 segundos.
  • Paso 4: repite en el otro lado.

Intente realizar de 2 a 4 repeticiones en cada lado. Para hacer el ejercicio un poco más difícil, mantenga una pierna estirada en el suelo mientras levanta la otra hacia el pecho. También puede llevar ambas rodillas al pecho.

Estiramiento de isquiotibiales de pie

Tenga cuidado al hacer este ejercicio. Sujétese de algo si es necesario y no se estire demasiado.

  • Paso 1: párese derecho y coloque un pie en una superficie ligeramente más alta, como un escalón.
  • Paso 2: Estire la pierna en el escalón y apunte los dedos de los pies hacia arriba.
  • Paso 3: Inclínese ligeramente hacia adelante manteniendo la espalda recta.
  • Paso 4: mantén pulsado durante 20 a 30 segundos. Recuerda respirar.
  • Paso 5: Repite con la otra pierna.

Intente realizar de 2 a 3 repeticiones con cada pierna.

Ejercicio de inclinación pélvica

Este es otro ejercicio engañosamente simple que es bueno para la ciática.

  • Paso 1: Acuéstese boca arriba con las piernas dobladas y los brazos a los lados.
  • Paso 2: Apriete los músculos del estómago, presione la espalda contra el piso y mueva las caderas y la pelvis ligeramente hacia arriba.
  • Paso 3: Mantenga esta posición mientras imagina que su ombligo toca su columna vertebral. No olvides respirar.
  • Paso 4: suelte después de unos segundos. Luego repita.

Prueba de 8 a 12 repeticiones.

Puentes de glúteos

Los glúteos son un grupo de músculos de las nalgas. Si están tensos, pueden presionar el nervio ciático.

  • Paso 1: Acuéstese boca arriba en el suelo con las rodillas dobladas. Los pies deben estar separados al ancho de los hombros. Relaje los brazos a los lados.
  • Paso 2: empujando los talones, levante las caderas hasta que su cuerpo forme una línea recta desde las rodillas hasta los hombros.
  • Paso 3: mantén la posición durante unos segundos.
  • Paso 4: baja lentamente las caderas hasta el suelo. Luego repita.

La buena forma es importante para este ejercicio. Evite arquear o redondear la espalda. Intente realizar 2 o 3 series de 8 a 10 repeticiones.

Estiramiento profundo de glúteos acostado

Si le falta flexibilidad, es posible que deba modificar un poco este ejercicio.

  • Paso 1: Acuéstese boca arriba con las piernas dobladas. Levante el tobillo derecho y apóyelo sobre la rodilla izquierda.
  • Paso 2: Con ambas manos, entrelaza los dedos detrás del muslo izquierdo y jálalo suavemente hacia ti, manteniendo la cabeza y la espalda en el suelo.
  • Paso 3: mantén presionado durante 20 a 30 segundos.
  • Paso 4: repite con la otra pierna.

Es posible que deba elevar ligeramente la cabeza con un libro o un cojín firme debajo. Si no puede alcanzar su muslo fácilmente, puede enrollar una toalla alrededor del muslo y usarla para tirar de su muslo hacia usted. Haz de 2 a 3 repeticiones con cada pierna.


Lunes:

  • Brillante: Grupos Picard, definición y ejemplos sencillos (P ^ 2, superficie cuádrica en P ^ 3) notas (pdf)
  • van Luijk: Divisor canónico en hipersuperficie de grado d en P ^ n y en intersecciones completas divisores muy amplios notas (pdf)
  • Testa: Clasificación y el programa de modelo mínimo las notas de diamantes de Hodge (pdf)
  • Ejercicios 1 (pdf)

Martes:

  • Brillante: Riemann-Roch en superficies, género y efectividad de (-1) -curvas, fórmula adjunta
  • van Luijk: Grupos Picard de notas de superficies del Pezzo (pdf)
  • Testa: Root Lattices y sus grupos de automorfismos Segre-Manin para superficies del Pezzo I notas (pdf)
  • Ejercicios 2 (pdf)

Miércoles:

  • Testa: Segre-Manin para las superficies del Pezzo II
  • van Luijk: Crecimiento de puntos racionales
  • Brillante: Ejemplos calculados explícitamente de la obstrucción de Brauer-Manin mediante notas cuadráticas de reciprocidad (pdf)

Jueves:

  • Testa: Álgebras simples centrales y notas de los grupos de Brauer (pdf)
  • Brillante: Reformule ejemplos sencillos de la forma esclarecedora notas (pdf)
  • van Luijk: Cohomología de Galois I
  • Ejercicios 3 (pdf)

Viernes:

  • van Luijk Cohomología de Galois II
  • Bright y Testa: ¿Cómo encontrar el álgebra de la cohomología de Galois? Programa Magma

Prerrequisitos. Se asume cierta familiaridad con la geometría algebraica y aritmética básica, al nivel de los dos primeros capítulos del libro de Silverman "Aritmética de curvas elípticas".

Lectura preliminar. Los participantes pueden encontrar útil trabajar con los primeros capítulos de "Capítulos sobre superficies algebraicas" de Miles Reid (disponible en línea). La lectura preliminar sobre cohomología de grupo también será útil; una buena referencia es el capítulo 2 de las notas de Milne sobre teoría de campos de clases.

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Ejercicios para superficies cuádricas

Optimización de escala. El modo predeterminado de descenso de gradiente es elegir la escala que minimiza la energía en esa dirección de movimiento. Esto implica una búsqueda lineal a lo largo de la línea de movimiento de la energía mínima. Evolver realiza la búsqueda evaluando la energía para varias escalas, subiendo o bajando la escala hasta tener tres escalas para las cuales la energía media es menor que para las dos externas. Luego usa la interpolación cuadrática para obtener la escala final. Los pasos de una iteración se enumeran en detalle aquí.

Límite de escala. Es posible que la búsqueda de línea antes mencionada vaya demasiado lejos en ciertas circunstancias, por lo que hay un límite superior establecido para la escala, el límite predeterminado es 1.0. Esto se puede cambiar usando el "scale_limit valor"frase en la parte superior del archivo de datos, o estableciendo la variable scale_limit en tiempo de ejecución, o en respuesta a la solicitud producida por el comando" m ".

Escalas razonables. Los problemas para evolucionar generalmente se señalan a pequeña escala, lo que significa que hay algún obstáculo para la evolución. Por supuesto, eso significa que debe saber qué es una escala razonable, y eso depende del tipo de energía que esté utilizando y de qué tan refinada sea su superficie. En la evolución normal, el tamaño de la escala viene determinado por el desarrollo de una rugosidad a pequeña escala en la superficie. Combinado con un pequeño análisis dimensional, eso lleva a la conclusión de que la escala debería variar como L 2-q, donde L es la longitud típica del borde y las unidades de energía son la longitud q. El análisis dimensional es el siguiente: Sea D la perturbación de un vértice alejado de una superficie de equilibrio. En general, la energía es cuadrática alrededor de un equibrio, por lo que

Entonces la escala es del orden de L 2-q. Algunos ejemplos: Dependencia dimensional de la escala
EnergíaDimensión energética EscalaArchivo de ejemplo
Área de película de jabón L 2 L 0 quad.fe
Longitud de la cuerda L 1 L 1 flor.fe
Curvatura cuadrada de la cuerda L -1 L 3 elastic8.fe
Curvatura media al cuadrado de la película de jabón L 0 L 2 sqcube.fe
En particular, la escala para la evolución del área es independiente del refinamiento, pero para la mayoría de las otras energías, la escala disminuye con el refinamiento.

Otra influencia común en la escala de evolución del área es la tensión superficial. Hacer una simulación de soldadura líquida en un sistema de unidades donde a la tensión superficial de las facetas se le asigna un valor de 470, digamos, significa que todos los gradientes calculados se multiplican por 470, por lo que la escala disminuye por un factor de 470 para obtener el mismo movimiento geométrico. Por lo tanto, debe establecer scale_limit para que sea el inverso de la tensión superficial.

Escala fija. Puede ser útil iterar con una escala fija. Por ejemplo, si realiza un cambio en el volumen de un cuerpo y desea que ese ajuste surta efecto sin la complicación de intentar minimizar la energía simultáneamente, repita una vez con una escala cero. Por ejemplo, si ejecuta cube.fe y lo hace, verá un ajuste de volumen puro. El comando 'm' alterna entre optimización y escala fija, excepto cuando lo sigue por un número, establece una escala fija.

Otro uso de la escala fija es la simulación del crecimiento de granos. Aquí, el movimiento de los límites de grano se define para tener una velocidad proporcional a su curvatura media, por lo que desea mantener la escala lo suficientemente pequeña para que la aproximación lineal al movimiento sea razonablemente buena.

Convergencia. Es imposible decir, en general, cuándo el descenso del gradiente está cerca de la convergencia. Las superficies pueden estar arbitrariamente alejadas del mínimo y moverse hacia él arbitrariamente lentamente. Como ejemplo, ejecute el archivo de datos capillary3.fe. Este es un tubo ligeramente pellizcado con una película de jabón sobre él. La energía mínima llega cuando la película está exactamente en la mitad del cuello. Prueba esta evolución: todavía no en el cuello. Intente más pasos de g. Vea cuántos le toma converger a la energía mínima de 3,13262861328124 a, digamos, 8 lugares decimales.

Otro problema pueden ser los puntos silla. Si comienza con una superficie simétrica, entonces bajo la iteración 'g' la superficie debería permanecer simétrica. Si la superficie tiene un punto de silla simétrico, entonces la iteración podría acercarse y parecer que estaba convergiendo al mínimo.

Gradiente conjugado

En la práctica, el método del gradiente conjugado recuerda un "vector histórico" acumulativo, que combina con el gradiente ordinario para determinar la dirección del gradiente conjugado. El resultado es que el gradiente conjugado puede converger mucho más rápido que el descenso de gradiente ordinario. En el caso ideal de una función de energía cuadrática en N variables y una precisión numérica perfecta, el gradiente conjugado alcanzará el mínimo exacto en N pasos.

El gradiente conjugado se puede alternar con el comando U o con conj_grad alternar. Siempre debe usarse con escala de optimización.

Para ver la mejora dramática que puede producir el gradiente conjugado, ejecute capillary3.fe nuevamente, con esta evolución: el gradiente conjugado puede causar problemas, particularmente cuando lo usa demasiado pronto cuando la superficie está haciendo grandes ajustes. Para ver un ejemplo, ejecute capillary3.fe con esta evolución: y observe de cerca la película en el centro.

En resumen, se deben ejecutar algunos pasos de descenso de gradiente ordinario al comienzo de la evolución de una superficie o después de realizar grandes cambios, pero la mayor parte de la iteración debe realizarse en modo de gradiente conjugado.

Notas: El método de gradiente conjugado está diseñado para funciones de energía cuadráticas. Siempre que la función de energía sea casi cuadrática, ya que debería estar cerca de un mínimo de energía, el gradiente conjugado funciona bien. De lo contrario, puede comportarse mal, ya sea dando pasos demasiado grandes o estancando. Ambos efectos se deben a que el vector histórico es engañoso. Para evitar pasos demasiado grandes, se debe iterar sin gradiente conjugado durante algunos pasos siempre que se realicen cambios significativos en la superficie (refinando, cambiando una restricción, etc.). Por otro lado, si parece que el gradiente conjugado está convergiendo, es posible que simplemente se haya confundido con su propia historia. Vea el ejemplo de catenoide para un ejemplo. Una señal de peligro es el factor de escala que va a cero. Si sospecha, active y desactive el gradiente conjugado ("U 2"hace muy bien) para borrar el vector histórico y empezar de nuevo.


Ejercicios para superficies cuádricas

La última versión de su software es tremenda. Además de la GUI, me gustaron especialmente los "asistentes" que facilitan mucho la introducción de problemas de tipo de geometría. Todavía no he usado las características más avanzadas (operaciones de funciones, etc.), pero esto será útil una vez que entre en Álgebra universitaria.
Candice Rosenberger, VT

Al principio, tenía la impresión de que su software estaba dirigido al nivel de escuela primaria y secundaria, por lo que no lo usé en absoluto. Finalmente, una noche, por capricho, lo probé y, después de superar la curva de aprendizaje inicial, ¡me quedé impresionado por lo avanzado que realmente es! Quiero decir, ¡lo usaré hasta el final de mi licenciatura en antropología!
Anthony Washington, MO

El Algebrator fue muy útil, me ayudó a retomar el rumbo y recuperar mis habilidades para mi próxima temporada escolar. El programa muestra soluciones paso a paso que facilitaron el aprendizaje. Creo que esto sería muy útil para cualquiera que esté comenzando a aprender álgebra, o incluso si ya lo sabe, agudizaría sus habilidades.
Ken Edwards, WA

Considero este software como reemplazo del tutor de álgebra humana. Eso también, a un precio muy asequible.
Daniel Swan, IA

Algebrator era mucho menos costoso que los tutores tradicionales de álgebra y me permitía trabajar a mi ritmo con cada problema. Si no fuera por Algebrator, me temo que podría haber reprobado mi clase de Álgebra. ¡Eres un salvavidas!
Franklin Bradley, Alaska


MathHelp.com

Lo primero que haré aquí es multiplicar por el lado izquierdo, y luego moveré el 4 del lado derecho al lado izquierdo:

Dado que no hay factores de (1) (& ndash4) = & ndash4 que sumen & ndash2, entonces esta cuadrática no factoriza. (En otras palabras, no hay forma posible de que la solución de factorización falsa de & quot X = 4, X & ndash 2 = 4 & quot podría ser incluso ligeramente correcto).

Entonces, la factorización no funcionará, pero puedo usar la fórmula cuadrática en este caso, ingresaré los valores a = 1, B = & ndash2, y C = & ndash4:

X = & ndash1.24, X = 3,24, redondeado a dos decimales.

Como referencia, esto es lo que el gráfico de la cuadrática asociada, y = X 2 y ndash 2X & ndash 4, se ve así:

Como puede ver, las soluciones de la fórmula cuadrática coinciden con las X -intercepciones. Las ubicaciones donde el gráfico cruza el X -eje da los valores que resuelven la ecuación original.

Hay otra conexión entre las soluciones de la fórmula cuadrática y la gráfica de la parábola: puedes saber cuántos X -intercepciones que vas a tener del valor dentro de la raíz cuadrada. El argumento (es decir, el contenido) de la raíz cuadrada, siendo la expresión B 2 y ndash 4C.A , se denomina & quot; discriminante & quot porque, al usar su valor, puede "discriminar" entre (es decir, poder distinguir entre) los distintos tipos de solución.

En este caso, el valor del discriminante B 2 y ndash 4C.A era 20 en particular, el valor era no cero y era no negativo. Debido a que el valor no era negativo, la ecuación iba a tener al menos una solución (de valor real) porque el valor no era cero, las dos soluciones iban a ser distintas (es decir, iban a ser diferentes entre sí ).

Resuelve 9X 2 + 12X + 4 = 0. Deje su respuesta en forma exacta.

Utilizando a = 9, B = 12, y C = 4, la fórmula cuadrática me da:

En el primer ejemplo de esta página, obtuve dos soluciones porque el valor del discriminante (es decir, el valor dentro de la raíz cuadrada) era distinto de cero y positivo. Como resultado, la parte "más-menos" de la Fórmula me dio dos valores distintos, uno para la parte "más" del numerador y otro para la parte "menos". En este caso, sin embargo, la raíz cuadrada se redujo a cero, por lo que el más-menos no contaba para nada.

Este tipo de solución, en la que solo obtiene un valor porque & quot más o menos cero & quot no cambió nada, se denomina raíz & quot repetida & quot, porque X es igual a, pero es igual a este valor dos veces: y.

Puedes ver mejor esta repetición si factorizas la cuadrática (y, debido a que las soluciones eran fracciones bonitas y ordenadas, la cuadrática deber factor): 9X 2 + 12X + 4 = (3X + 2)(3X + 2) = 0, entonces el primer factor nos da 3X + 2 = 0 entonces, y (del segundo factor idéntico) 3X + 2 = 0 así que de nuevo.

Cada vez que termine con cero dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática, solo obtendrá una solución a la ecuación, en el sentido de obtener un número que resuelva la ecuación. Pero obtendrá dos soluciones, en el sentido de que un valor se cuenta dos veces. En otras palabras, un discriminante (es decir, la expresión B 2 y ndash 4C.A ) con un valor de cero significa que obtendrá un valor de solución & quot; repetido & quot.

A continuación se muestra la gráfica de la función asociada, y = 9X 2 + 12X + 4, parece:

La parábola solo toca el X -Eje en que en realidad no se cruza. This relationship is always true: if you have a root that appears exactly twice (or, which is the same thing, if you get zero inside the square root), then the graph will "kiss" the axis at the solution value, but it will not pass through the axis.

Solve 3X 2 + 4X + 2 = 0

Since there are no factors of (3)(2) = 6 that add up to 4 , this quadratic does not factor. But the Quadratic Formula always works in this case, I'll be plugging in the values a = 3, B = 4, and C = 2 :

At this point, I have a negative number inside the square root. If you haven't learned about complex numbers yet, then you would have to stop here, and the answer would be "no solution" if you do know about complex numbers, then you can continue the calculations:

Thus, depending upon your level of study, your answer will be one of the following:

real-number solutions: no solution

But whether or not you know about complexes, you know that you cannot graph your answer, because you cannot graph the square root of a negative number on the regular Cartesian place. There are no such values on the X -eje. Since you can't find a graphable solution to the quadratic, then reasonably there should not be any X -intercepts (because you puede graph an X -intercept).

Here's the graph of the associated function, y = 3X 2 + 4X + 2 :

As you can see, the graph does not cross, or even touch, the X -eje. This relationship is always true: If you get a negative value inside the square root, then there will be no real number solution, and therefore no X -intercepts. In other words, if the the discriminant (being the expression B 2 &ndash 4C.A ) has a value which is negative, then you won't have any graphable zeroes.

(The relationship between the discriminant (being the value inside the square root), the type of solutions (two distinct solutions, one repeated solution, or no graphable solutions), and the number of X -intercepts on the graph (two, one, or none) is summarized in a chart on the next page.)


Ver el vídeo: Quadratic Equation, unit 1f, CA foundation,Technical Maths by Pradeep Soni (Julio 2022).