Artículos

6.2: Revisión de la serie de potencias - Matemáticas

6.2: Revisión de la serie de potencias - Matemáticas



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Muchas aplicaciones dan lugar a ecuaciones diferenciales con soluciones que no se pueden expresar en términos de funciones elementales como polinomios, funciones racionales, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones trigonométricas. Las soluciones de algunas de las más importantes de estas ecuaciones se pueden expresar en términos de series de potencias. Estudiaremos estas ecuaciones en este capítulo. En esta sección revisamos las propiedades relevantes de las series de potencias. Omitiremos las pruebas, que se pueden encontrar en cualquier texto de cálculo estándar.

Definición ( PageIndex {1} )

Una serie infinita de la forma

[ label {eq: 7.1.1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n, ]

donde (x_0 ) y (a_0 ), (a_1, )…, (a_n, )… son constantes, se llama serie de potencia en (x-x_0. ) Decimos que la serie de potencias Ecuación ref {eq: 7.1.1} converge para un (x ) dado si el límite

[ lim_ {N to infty} sum_ {n = 0} ^ Na_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

existe (; ) de lo contrario, decimos que la serie de potencias diverge para el (x. ) dado

Una serie de potencias en (x-x_0 ) debe converger si (x = x_0 ), ya que las potencias positivas de (x-x_0 ) son todas cero en este caso. Este puede ser el único valor de (x ) para el que converge la serie de potencias. Sin embargo, el siguiente teorema muestra que si la serie de potencias converge para algunos (x ne x_0 ), entonces el conjunto de todos los valores de (x ) para los que converge forma un intervalo.

Teorema ( PageIndex {2} )

Para cualquier serie de potencia

[ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n, nonumber ]

exactamente una de estas afirmaciones es verdadera (: )

  1. La serie de potencias converge solo para (x = x_0. )
  2. La serie de potencias converge para todos los valores de (x. )
  3. Hay un número positivo (R ) tal que la serie de potencias converge si (| x-x_0 | R ).

En el caso (iii) decimos que (R ) es el radio de convergencia de la serie de potencias. Por conveniencia, incluimos los otros dos casos en esta definición definiendo (R = 0 ) en el caso (i) y (R = infty ) en el caso (ii). Definimos el intervalo abierto de convergencia de ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) para ser

[(x_ {0} -R, x_ {0} + R) quad text {if} quad 0

Si (R ) es finito, no se puede hacer ningún enunciado general con respecto a la convergencia en los puntos extremos (x = x_0 pm R ) del intervalo abierto de convergencia; la serie puede converger en uno o ambos puntos, o divergir en ambos.

Recuerde del cálculo que se dice que una serie de constantes ( sum_ {n = 0} ^ infty alpha_n ) converger absolutamente si la serie de valores absolutos ( sum_ {n = 0} ^ infty | alpha_n | ) converge. Se puede demostrar que una serie de potencias ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) con un radio de convergencia positivo (R ) converge absolutamente en su intervalo abierto de convergencia; es decir, la serie

[ sum_ {n = 0} ^ infty | a_n || x-x_0 | ^ n nonumber ]

de valores absolutos converge si (| x-x_0 |

El siguiente teorema proporciona un método útil para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias. Se deriva en cálculo aplicando la prueba de razón a la serie correspondiente de valores absolutos. Para teoremas relacionados, consulte Ejercicios 7.2.2 y 7.2.4.

Teorema ( PageIndex {3} )

Suponga que hay un entero (N ) tal que (a_n ne0 ) si (n ge N ) y

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = L, nonumber ]

donde (0 le L le infty. ) Entonces el radio de convergencia de ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) es (R = 1 / L , ) que debe interpretarse en el sentido de que (R = 0 ) si (L = infty, ) o (R = infty ) si (L = 0 ).

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Encuentre el radio de convergencia de la serie:

  1. [ sum_ {n = 0} ^ infty n! x ^ n nonumber ]
  2. [ sum_ {n = 10} ^ infty (-1) ^ n {x ^ n over n!} nonumber ]
  3. [ sum_ {n = 0} ^ infty 2 ^ nn ^ 2 (x-1) ^ n. nonumber ]

Solución a

Aquí (a_n = n! ), Entonces

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = lim_ {n to infty} {(n + 1)! over n!} = lim_ {n to infty} (n + 1) = infty. sin número]

Por tanto, (R = 0 ).

Solución b

Aquí (a_n = (1) ^ n / n! ) Para (n ge N = 10 ), entonces

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = lim_ {n to infty} {n! over (n + 1)!} = lim_ {n to infty} {1 over n + 1} = 0. sin número]

Por tanto, (R = infty ).

Solución c

Aquí (a_n = 2 ^ nn ^ 2 ), entonces

[ lim_ {n to infty} left | a_ {n + 1} over a_n right | = lim_ {n to infty} {2 ^ {n + 1} (n + 1) ^ 2 over2 ^ nn ^ 2} = 2 lim_ {n to infty} left (1+ {1 over n} right) ^ 2 = 2. sin número]

Por tanto, (R = 1/2 ).

Serie Taylor

Si una función (f ) tiene derivadas de todos los órdenes en un punto (x = x_0 ), entonces el Serie de Taylor de (f ) sobre (x_0 ) está definido por

[ sum_ {n = 0} ^ infty {f ^ {(n)} (x_0) over n!} (x-x_0) ^ n. sin número ]

En el caso especial donde (x_0 = 0 ), esta serie también se llama Serie Maclaurin de (F).

Las series de Taylor para la mayoría de las funciones elementales comunes convergen con las funciones en sus intervalos abiertos de convergencia. Por ejemplo, probablemente esté familiarizado con la siguiente serie de Maclaurin:

[ label {eq: 7.1.2} e ^ {x} = sum_ {n = 0} ^ { infty} frac {x ^ {n}} {n!}, quad - infty

[ label {eq: 7.1.3} sin x = sum_ {n = 0} ^ { infty} (-1) ^ {n} frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}, Quad - infty

[ label {eq: 7.1.4} cos x = sum_ {n = 0} ^ { infty} (-1) ^ {n} frac {x ^ {2n}} {(2n)!} quad - infty

[ label {eq: 7.1.5} frac {1} {1-x} = sum_ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} quad -1

Diferenciación de series de potencia

Una serie de potencias con un radio de convergencia positivo define una función

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

en su intervalo abierto de convergencia. Decimos que la serie representa (f ) en el intervalo abierto de convergencia. Una función (f ) representada por una serie de potencias puede ser una función elemental familiar como en las ecuaciones ref {eq: 7.1.2} - ref {eq: 7.1.5}; sin embargo, a menudo sucede que (f ) no es una función familiar, por lo que la serie en realidad define (F).

El siguiente teorema muestra que una función representada por una serie de potencias tiene derivadas de todos los órdenes en el intervalo abierto de convergencia de la serie de potencias y proporciona representaciones en serie de potencias de las derivadas.

Teorema ( PageIndex {4} ): una serie de potencias

Una serie de poder

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

con radio de convergencia positivo (R ) tiene derivadas de todos los órdenes en su intervalo abierto de convergencia, y se pueden obtener derivadas sucesivas diferenciando repetidamente término por término (; ) es decir,

[ begin {align} f '(x) & = { sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-x_0) ^ {n-1}} label {eq: 7.1.6}, f '' (x) & = { sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2}}, label {eq: 7.1.7} & vdots & nonumber f ^ {(k)} (x) & = { sum_ {n = k} ^ infty n (n-1) cdots (n-k + 1) a_n (x-x_0 ) ^ {nk}} label {eq: 7.1.8}. end {align} nonumber ]

Además, todas estas series tienen el mismo radio de convergencia (R. )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Sea (f (x) = sin x ). De la ecuación ref {eq: 7.1.3},

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1} over (2n + 1)!}. sin número]

De la ecuación ref {eq: 7.1.6},

[f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {d over dx} left [x ^ {2n + 1} over (2n + 1)! right ] = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n} over (2n)!}, nonumber ]

que es la ecuación en serie ref {eq: 7.1.4} para ( cos x ).

Singularidad de la serie Power

El siguiente teorema muestra que si (f ) es definido por una serie de potencias en (x-x_0 ) con un radio de convergencia positivo, entonces la serie de potencias es la serie de Taylor de (f ) sobre (x_0 ).

Teorema ( PageIndex {5} )

Si la serie de potencia

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

tiene un radio de convergencia positivo, entonces

[ label {eq: 7.1.9} a_n = {f ^ {(n)} (x_0) over n!}; ]

es decir, ( sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n ) es la serie de Taylor de (f ) sobre (x_0 ).

Este resultado se puede obtener estableciendo (x = x_0 ) en la Ecuación ref {eq: 7.1.8}, que da como resultado

[f ^ {(k)} (x_0) = k (k-1) cdots1 cdot a_k = k! a_k. sin número]

Esto implica que

[a_k = {f ^ {(k)} (x_0) over k!}. nonumber ]

Excepto por la notación, esto es lo mismo que la Ecuación ref {eq: 7.1.9}.

El siguiente teorema enumera dos propiedades importantes de las series de potencias que se derivan del teorema ( PageIndex {4} ).

Teorema ( PageIndex {6} )

  1. Si [ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty b_n (x-x_0) ^ n nonumber ] para todos (x ) en un intervalo abierto que contiene (x_0, ) luego (a_n = b_n ) para (n = 0 ), (1 ), (2 ),….
  2. Si [ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = 0 nonumber ] para todo (x ) en un intervalo abierto que contiene (x_0, ) entonces (a_n = 0 ) para (n = 0 ), (1 ), (2 ),….

Para obtener (a) observamos que las dos series representan la misma función (f ) en el intervalo abierto; por tanto, el teorema ( PageIndex {4} ) implica que

[a_n = b_n = {f ^ {(n)} (x_0) over n!}, quad n = 0,1,2, dots. sin número]

(b) se puede obtener de (a) tomando (b_n = 0 ) para (n = 0 ), (1 ), (2 ),….

Polinomios de Taylor

Si (f ) tiene (N ) derivadas en un punto (x_0 ), decimos que

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (x_0) over n!} (X-x_0) ^ n nonumber ]

es el (N ) - ésimo polinomio de Taylor de (f ) sobre (x_0 ). Esta definición y Teorema ( PageIndex {4} ) implican que si

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n, nonumber ]

donde la serie de potencias tiene un radio de convergencia positivo, entonces los polinomios de Taylor de (f ) sobre (x_0 ) están dados por

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N a_n (x-x_0) ^ n. sin número]

En aplicaciones numéricas, usamos los polinomios de Taylor para aproximar (f ) en subintervalos del intervalo abierto de convergencia de la serie de potencias. Por ejemplo, la ecuación ref {eq: 7.1.2} implica que el polinomio de Taylor (T_N ) de (f (x) = e ^ x ) es

[T_N (x) = sum_ {n = 0} ^ N {x ^ n over n!}. sin número]

La curva sólida en la Figura ( PageIndex {1} ) es la gráfica de (y = e ^ x ) en el intervalo ([0,5] ). Las curvas de puntos en la Figura ( PageIndex {1} ) son las gráficas de los polinomios de Taylor (T_1 ),…, (T_6 ) de (y = e ^ x ) sobre (x_0 = 0 ). De esta figura, concluimos que la precisión de la aproximación de (y = e ^ x ) por su polinomio de Taylor (T_N ) mejora a medida que (N ) aumenta.

Cambio del índice de suma

En la Definición ( PageIndex {1} ) de una serie de potencias en (x-x_0 ), el (n ) - ésimo término es un múltiplo constante de ((x-x_0) ^ n ). Esto no es cierto en la Ecuación ref {eq: 7.1.6}, Ecuación ref {eq: 7.1.7} y Ecuación ref {eq: 7.1.8}, donde los términos generales son múltiplos constantes de ( (x-x_0) ^ {n-1} ), ((x-x_0) ^ {n-2} ) y ((x-x_0) ^ {nk} ), respectivamente. Sin embargo, todas estas series se pueden reescribir para que sus (n ) - ésimo términos sean múltiplos constantes de ((x-x_0) ^ n ). Por ejemplo, dejando (n = k + 1 ) en la serie en la Ecuación ref {eq: 7.1.6} produce

[ label {eq: 7.1.10} f '(x) = sum_ {k = 0} ^ infty (k + 1) a_ {k + 1} (x-x_0) ^ k, ]

donde comenzamos el nuevo índice de suma (k ) desde cero para que el primer término en la Ecuación ref {eq: 7.1.10} (obtenido al establecer (k = 0 )) sea el mismo que el primer término en Ecuación ref {eq: 7.1.6} (obtenida estableciendo (n = 1 )). Sin embargo, la suma de una serie es independiente del símbolo usado para denotar el índice de suma, así como el valor de una integral definida es independiente del símbolo usado para denotar la variable de integración. Por lo tanto, podemos reemplazar (k ) por (n ) en la Ecuación ref {eq: 7.1.10} para obtener

[ label {eq: 7.1.11} f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) a_ {n + 1} (x-x_0) ^ n, ]

donde el término general es un múltiplo constante de ((x-x_0) ^ n ).

No es realmente necesario introducir el índice de suma intermedio (k ). Podemos obtener la Ecuación ref {eq: 7.1.11} directamente de la Ecuación ref {eq: 7.1.6} reemplazando (n ) por (n + 1 ) en el término general de la Ecuación ref {eq : 7.1.6} y restando 1 del límite inferior de la Ecuación ref {eq: 7.1.6}. De manera más general, utilizamos el siguiente procedimiento para cambiar índices.

Cambio del índice de suma en una serie de potencias

Para cualquier entero (k ), la serie de potencias

[ sum _ {n = n _ {0}} ^ { infty} b _ {n} left (x - x _ {0} right) ^ {n - k} nonumber ]

se puede reescribir como

[ sum _ {n = n _ {0} - k} ^ { infty} b _ {n + k} left (x - x _ {0} right) ^ {n} nonumber ]

es decir, reemplazar (n ) por (n + k ) en el término general y restar k del límite inferior de la suma deja la serie sin cambios.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Reescribe la siguiente serie de potencias de la Ecuación ref {eq: 7.1.7} y la Ecuación ref {eq: 7.1.8} de modo que el término general en cada una sea un múltiplo constante de ((x-x_0) ^ n ) :

[(a) sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} quad (b) sum_ {n = k} ^ infty n ( n-1) cdots (n-k + 1) a_n (x-x_0) ^ {nk}. sin número ]

Solución a

Reemplazando (n ) por (n + 2 ) en el término general y restando (2 ) del límite inferior de los rendimientos de la suma

[ sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-x_0) ^ {n-2} = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 2) (n + 1 ) a_ {n + 2} (x-x_0) ^ n. sin número ]

Solución b

Reemplazando (n ) por (n + k ) en el término general y restando (k ) del límite inferior de los rendimientos de la suma

[ sum_ {n = k} ^ infty n (n-1) cdots (n-k + 1) a_n (x-x_0) ^ {nk} = sum_ {n = 0} ^ infty (n + k) (n + k-1) cdots (n + 1) a_ {n + k} (x-x_0) ^ n. sin número ]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Dado que

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n, nonumber ]

escribe la función (xf '' ) como una serie de potencias en la que el término general es un múltiplo constante de (x ^ n ).

Solución

Del teorema ( PageIndex {4} ) con (x_0 = 0 ),

[f '' (x) = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2}. nonumber ]

Por lo tanto

[xf '' (x) = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-1}. nonumber ]

Reemplazando (n ) por (n + 1 ) en el término general y restando (1 ) del límite inferior de los rendimientos de la suma

[xf '' (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n. nonumber ]

También podemos escribir esto como

[xf '' (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n, nonumber ]

ya que el primer término de esta última serie es cero. (Veremos más adelante que a veces es útil incluir cero términos al comienzo de una serie).

Combinaciones lineales de series de potencia

Si una serie de potencias se multiplica por una constante, entonces la constante se puede colocar dentro de la suma; eso es,

[c sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty ca_n (x-x_0) ^ n. nonumber ]

Dos series de potencia

[f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n quad mbox {y} quad g (x) = sum_ {n = 0} ^ infty b_n (x-x_0) ^ n nonumber ]

con radios de convergencia positivos se pueden agregar término por término en puntos comunes a sus intervalos abiertos de convergencia; por lo tanto, si la primera serie converge para (| x-x_0 |

[f (x) + g (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (a_n + b_n) (x-x_0) ^ n nonumber ]

para (| x-x_0 |

[c_1f (x) + c_2f (x) = sum_ {n = 0} ^ infty (c_1a_n + c_2b_n) (x-x_0) ^ n. nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentre la serie de Maclaurin para ( cosh x ) como una combinación lineal de la serie de Maclaurin para (e ^ x ) y (e ^ {- x} ).

Solución

Por definición,

[ cosh x = {1 over2} e ^ x + {1 over2} e ^ {- x}. sin número]

Ya que

[e ^ x = sum_ {n = 0} ^ infty {x ^ n over n!} quad mbox {y} quad e ^ {- x} = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n {x ^ n over n!}, nonumber ]

resulta que

[ label {eq: 7.1.12} cosh x = sum_ {n = 0} ^ infty {1 over2} [1 + (- 1) ^ n] {x ^ n over n!}. ]

Ya que

[{1 over2} [1 + (- 1) ^ n] = left { begin {array} {cl} 1 & mbox {if} n = 2m, mbox {un entero par}, 0 & mbox {if} n = 2m + 1, mbox {un entero impar}, end {matriz} right. sin número]

podemos reescribir la Ecuación ref {eq: 7.1.12} más simplemente como

[ cosh x = sum_ {m = 0} ^ infty {x ^ {2m} over (2m)!}. sin número]

Este resultado es válido en ((- infty, infty) ), ya que este es el intervalo abierto de convergencia de la serie de Maclaurin para (e ^ x ) y (e ^ {- x} ).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Suponer

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n x ^ n nonumber ]

en un intervalo abierto (I ) que contiene el origen.

  1. Exprese [(2-x) y '' + 2y nonumber ] como una serie de potencias en (x ) en (I ).
  2. Utilice el resultado de (a) para encontrar las condiciones necesarias y suficientes en los coeficientes ( {a_n } ) para que (y ) sea una solución de la ecuación homogénea

    [ label {eq: 7.1.13} (2-x) y '' + 2y = 0 ]

    en (I ).

Solución a

De la ecuación ref {eq: 7.1.7} con (x_0 = 0 ),

[y '' = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-2}. sin número]

Por lo tanto

[ label {eq: 7.1.14} begin {array} {rcl} (2-x) y '' + 2y & = 2y '' - xy '+ 2y & = { sum_ {n = 2 } ^ infty 2n (n-1) a_nx ^ {n-2} - sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-1} + sum_ {n = 0} ^ infty 2a_n x ^ n}. end {matriz} ]

Para combinar las tres series, cambiamos los índices de las dos primeras para hacer que sus términos generales sean múltiplos constantes de (x ^ n ); por lo tanto,

[ label {eq: 7.1.15} sum_ {n = 2} ^ infty 2n (n-1) a_nx ^ {n-2} = sum_ {n = 0} ^ infty2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n ]

y

[ label {eq: 7.1.16} sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_nx ^ {n-1} = sum_ {n = 1} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} x ^ n, ]

donde agregamos un término cero en la última serie de modo que cuando sustituimos de la Ecuación ref {eq: 7.1.15} y la Ecuación ref {eq: 7.1.16} en la Ecuación ref {eq: 7.1.14} las tres la serie comenzará con (n = 0 ); por lo tanto,

[ label {eq: 7.1.17} (2-x) y '' + 2y = sum_ {n = 0} ^ infty [2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} - (n + 1) na_ {n + 1} + 2a_n] x ^ n. ]

Solución b

De la ecuación ref {eq: 7.1.17} vemos que (y ) satisface la ecuación ref {eq: 7.1.13} en (I ) si

[ label {eq: 7.1.18} 2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} - (n + 1) na_ {n + 1} + 2a_n = 0, quad n = 0 , 1,2, puntos. ]

Por el contrario, el teorema ( PageIndex {5} ) b implica que si (y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n ) satisface la ecuación ref {eq: 7.1.13} en (I ), entonces se cumple la ecuación ref {eq: 7.1.18}.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Suponer

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-1) ^ n nonumber ]

en un intervalo abierto (I ) que contiene (x_0 = 1 ). Expresa la función

[ label {eq: 7.1.19} (1 + x) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y ]

como una serie de potencias en (x-1 ) en (I ).

Solución

Como queremos una serie de potencias en (x-1 ), reescribimos el coeficiente de (y '' ) en la Ecuación ref {eq: 7.1.19} como (1 + x = 2 + (x- 1) ), por lo que la ecuación ref {eq: 7.1.19} se convierte en

[2y '' + (x-1) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y. sin número]

De la Ecuación ref {eq: 7.1.6} y la Ecuación ref {eq: 7.1.7} con (x_0 = 1 ),

[y '= sum_ {n = 1} ^ infty na_n (x-1) ^ {n-1} quad mbox {y} quad y' '= sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-1) ^ {n-2}. sin número]

Por lo tanto

[ begin {alineado} 2y '' & = sum_ {n = 2} ^ infty 2n (n-1) a_n (x-1) ^ {n-2}, (x-1) y ' '& = sum_ {n = 2} ^ infty n (n-1) a_n (x-1) ^ {n-1}, 2 (x-1) ^ 2y' & = sum_ {n = 1} ^ infty2na_n (x-1) ^ {n + 1}, 3y & = sum_ {n = 0} ^ infty 3a_n (x-1) ^ n. End {alineado} nonumber ]

Antes de sumar estas cuatro series, cambiamos los índices de las tres primeras para que sus términos generales se conviertan en múltiplos constantes de ((x-1) ^ n ). Esto produce

[ begin {align} 2y '' & = sum_ {n = 0} ^ infty 2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} (x-1) ^ n, label { eq: 7.1.20} (x-1) y '' & = sum_ {n = 0} ^ infty (n + 1) na_ {n + 1} (x-1) ^ n, label { eq: 7.1.21} 2 (x-1) ^ 2y '& = sum_ {n = 1} ^ infty 2 (n-1) a_ {n-1} (x-1) ^ n, etiqueta {eq: 7.1.22} 3y & = sum_ {n = 0} ^ infty 3a_n (x-1) ^ n, label {eq: 7.1.23} end {align} ]

donde agregamos términos cero iniciales a la serie en la Ecuación ref {eq: 7.1.21} y la Ecuación ref {eq: 7.1.22}. Sumando la Ecuación ref {eq: 7.1.20} –La Ecuación ref {eq: 7.1.23} produce

[ begin {alineado} (1 + x) y '' + 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y & = 2y' '+ (x-1) y' '+ 2 (x-1) ^ 2y '+ 3y & = sum_ {n = 0} ^ infty b_n (x-1) ^ n, end {alineado} nonumber ]

donde

[ begin {align} b_0 & = 4a_2 + 3a_0, label {eq: 7.1.24} b_n & = 2 (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1 ) na_ {n + 1} +2 (n-1) a_ {n-1} + 3a_n, , n ge1 label {eq: 7.1.25}. end {align} ]

La fórmula Ecuación ref {eq: 7.1.24} para (b_0 ) no se puede obtener estableciendo (n = 0 ) en la Ecuación ref {eq: 7.1.25}, ya que la suma en la Ecuación ref {eq: 7.1.22} comienza con (n = 1 ), mientras que los de la Ecuación ref {eq: 7.1.20}, Ecuación ref {eq: 7.1.21} y Ecuación ref {eq: 7.1.23} empezar con (n = 0 ).


Asignaciones

Habrá cuatro exámenes y asignaciones regulares de tareas. El primer examen fue el viernes 5 de junio a las 9 de la mañana. El segundo fue el miércoles 17 de junio. El tercero será el martes 30 de junio y el último será el viernes 10 de julio (último día de clases).

Aquí encontrará breves soluciones al penúltimo conjunto de problemas.

La versión actual (7/08) de los problemas para la tarea, comenzando con la pregunta 88, está aquí (.pdf). Los problemas más antiguos están disponibles aquí (.pdf) (números del 1 al 49) y aquí (.pdf) (números del 50 al 87).

  • Conjunto de problemas 17 (se entregará el viernes 10 de julio a las 12 p. m.): Preguntas 99-101. (No se asignarán problemas adicionales el jueves, por lo que puede entregar esto el jueves para calificarlo y devolverlo el viernes).
  • Conjunto de problemas 16 (a entregar el miércoles 8 de julio a las 12:30 p. m.): A partir del lunes: Preguntas 93-96.
    A partir del martes: preguntas 97-8.
  • Conjunto de problemas 15 (a entregar el lunes 6 de julio a las 12:30 p. m.): Hay 10 posiciones posibles para la media hora extra de clase: de 12 a 12:30 o de 2:30 a 3 en cualquier día de la semana siguiente. Envíeme un correo electrónico indicando los momentos con los que tiene un conflicto o que no tiene ningún conflicto con ninguno de esos momentos. Luego responda las preguntas 88-92.
  • Conjunto de problemas 14 (se entregará el jueves 2 de julio a las 12:30 p. m.): Preguntas 84-87.
  • Examen 3: Preguntas y soluciones en formato .pdf.
  • Conjunto de problemas 13 (para entregar el lunes 29 de junio a las 12:30 p. m.): Preguntas 78-82. Hay un error tipográfico en la pregunta 81: las palabras "debajo" y "arriba" deben cambiarse.
  • Conjunto de problemas 12 (se entregará el viernes 26 de junio a las 12 p. m.): A partir del miércoles: preguntas 71-75. También repita la pregunta 67 si desea enviarla para recibir crédito.
    Desde el jueves: preguntas 76, 77.
  • Conjunto de problemas 11 (para entregar el miércoles 24 de junio a las 12:30 p. m.): Desde el lunes: preguntas 59, 60, 61, 62. Desde el martes: 65, 66, 67, 68. Hay un error tipográfico en la pregunta 67. Debe decir , "¿Cuál es la ecuación del plano que pasa por (1, 2, 3) que corta un tetraedro del primer octante de volumen mínimo?" El primer octante es el conjunto de puntos en el espacio tal que x, y, z son todos mayores o iguales que 0. El análogo bidimensional de este problema sería, "¿Cuál es la ecuación de la línea que pasa por (1, 2) que corta un triángulo del primer cuadrante del área mínima? "
  • Conjunto de problemas 10 (para entregar el lunes 22 de junio a las 12:30 p. m.): Preguntas 56, 57, 58.
  • Conjunto de problemas 9 (se entregará el viernes 19 de junio a las 12 pm): Preguntas 50, 51, 52, 53, 55. Sugerencia para 53: el vector de dirección de la línea es paralelo a ambos planos y, por lo tanto, es perpendicular a los vectores normales de ambos. aviones. Sugerencia para 55: las elipses se parecen mucho a los círculos.
  • Conjunto de problemas 8 (se entregará el miércoles 17 de junio a las 12:30 p. m.): Preguntas 48 y 49. Para el número 49, sustituya un valor bien elegido en una de las fórmulas de series de potencia que conozca para calcular la serie en cuestión.
    Venga preparado el martes con cualquier pregunta de revisión para el próximo examen.
  • Examen 2: Preguntas y soluciones en formato .pdf.
  • Conjunto de problemas 7 (a entregar el lunes 15 de junio a las 12:30 p. m.): Preguntas 42, 44, 45, 46, 47.
  • Conjunto de problemas 6 (a entregar el viernes 12 de junio a las 12:30 h.): A partir del miércoles: preguntas 36, 37.
    Agregado más tarde el miércoles: 40, 41. Para la pregunta 41, deje su respuesta en términos de una función trigonométrica inversa.
    Jueves añadido: 38, 39, 43.
  • Conjunto de problemas 5 (a entregar el miércoles 10 de junio a las 12:30 pm): A partir del lunes: preguntas 19, 30, 32. (Para el número 19, la respuesta final debe constar de las 18 funciones en orden utilizando los símbolos ">>," ">," "


Para comenzar a analizar esta serie, podría considerar usar la aproximación de Sterling $ n! Approx left ( frac ne right) ^ n sqrt <2 pi n> $:

Por supuesto, esto es solo un límite inferior al valor aproximado, y ese término $ sqrt n $ aún debe tratarse.

Tuve que investigar mucho sobre esto, lo cual fue mi beneficio :)

Esquema. Básicamente, usaré el sueño del estudiante de segundo año para deducir una expresión integral para la respuesta.

Prueba. Cambiamos las variables escribiendo $ tag <2a> x = exp bigl (-u / (n + 1) bigr) $ lo que nos permite reescribir (1) como $ int ^ <1> _ <0> x ^ ln (x) ^, mathrmx = (-1) ^(n + 1) ^ <- (n + 1)> int ^ < infty> _ <0> u ^e ^ <-u> , mathrmu tag <2b> $ Observe que la integral del lado derecho es precisamente $ n! $ (gracias a la función Gamma). Y eso concluye la prueba de nuestro lema. QED.

Teorema. Reclamamos $ f (t) = 1+ sum ^ < infty> _ left ( frac derecha) ^ = 1 + t int ^ <1> _ <0> x ^ <-xt> , mathrmx. etiqueta <3> $

Prueba. Terminamos reescribiendo el integrando del lado derecho $ x ^ <-xt> = e ^ <-xt ln (x)> = sum ^ < infty> _ frac <(- t) ^>x ^ ln (x) ^. tag <4a> $ Conectamos esto de nuevo a la integral $ int ^ <1> _ <0> x ^ <-xt> , mathrmx = int ^ <1> _ <0> sum ^ < infty> _ frac <(- t) ^>x ^ ln (x) ^, mathrmx. tag <4b> $ Intercambiar la suma y la integral $ int ^ <1> _ <0> sum ^ < infty> _ frac <(- t) ^>x ^ ln (x) ^, mathrmx = sum ^ < infty> _ frac <(- t) ^> int ^ <1> _ <0> x ^ ln (x) ^, mathrmx. tag <4c> $ Usamos nuestro lema para reescribir el lado derecho como begin sum ^ < infty> _ frac <(- t) ^> int ^ <1> _ <0> x ^ ln (x) ^, mathrmx & amp = sum ^ < infty> _ frac <(- t) ^> izquierda ((- 1) ^(n + 1) ^ <- n + 1> n! right) & amp = sum ^ < infty> _ frac<>> <(n + 1) ^>. etiqueta <4c> end Luego, simplemente jugamos con la aritmética (multiplicamos por $ t $ y sumamos 1) para obtener la serie en cuestión. Con eso concluye nuestra demostración del teorema. QED.

Observación. No hay una expresión de forma cerrada para la integral de la que soy consciente. Quizás el OP o algún otro usuario conozca alguna forma elegante de evaluar la integral, pero no conozco una disponible :(


Serie de potencia

Nuestros editores revisarán lo que ha enviado y determinarán si deben revisar el artículo.

serie de potencia, en matemáticas, una serie infinita que se puede considerar como un polinomio con un número infinito de términos, como 1 + X + X 2 + X 3 + ⋯. Por lo general, una serie de potencias dada convergerá (es decir, se acercará a una suma finita) para todos los valores de X dentro de un cierto intervalo alrededor de cero, en particular, siempre que el valor absoluto de X es menor que un número positivo r, conocido como radio de convergencia. Fuera de este intervalo, la serie diverge (es infinita), mientras que la serie puede converger o divergir cuando X = ± r. El radio de convergencia a menudo se puede determinar mediante una versión de la prueba de relación para series de potencias: dada una serie de potencias generales a0 + a1X + a2X 2 + ⋯, en el que se conocen los coeficientes, el radio de convergencia es igual al límite de la razón de coeficientes sucesivos. Simbólicamente, la serie convergerá para todos los valores de X tal que

Por ejemplo, la serie infinita 1 + X + X 2 + X 3 + ⋯ tiene un radio de convergencia de 1 (todos los coeficientes son 1), es decir, converge para todo −1 & lt X & lt 1 — y dentro de ese intervalo la serie infinita es igual a 1 / (1 - X). Aplicando la prueba de razón a la serie 1 + X/1! + X 2 /2! + X 3/3! + ⋯ (en el que la notación factorial norte! significa el producto de los números de conteo del 1 al norte) da un radio de convergencia de de modo que la serie converja para cualquier valor de X.

La mayoría de las funciones se pueden representar mediante una serie de potencias en algún intervalo (ver mesa ). Aunque una serie puede converger para todos los valores de X, la convergencia puede ser tan lenta para algunos valores que usarla para aproximar una función requerirá calcular demasiados términos para que sea útil. En lugar de poderes de X, a veces ocurre una convergencia mucho más rápida para potencias de (XC), donde C es un valor cercano al valor deseado de X. Las series de potencia también se han utilizado para calcular constantes como π y la base del logaritmo natural. mi y para resolver ecuaciones diferenciales.

Este artículo fue revisado y actualizado más recientemente por William L. Hosch, editor asociado.


6.1 Serie de potencias y funciones

Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que involucran una variable. Más específicamente, si la variable es X, entonces todos los términos de la serie implican potencias de X. Como resultado, una serie de potencias se puede considerar como un polinomio infinito. Las series de potencia se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones usando series de potencias.

Forma de una serie de potencias

donde X es una variable y los coeficientes Cnorte son constantes, se conoce como serie de potencias. Las series

es un ejemplo de una serie de potencias. Dado que esta serie es una serie geométrica con razón r = x, r = x, sabemos que converge si | x | & lt 1 | x | & lt 1 y diverge si | x | ≥ 1. | x | ≥ 1.

Definición

es una serie de potencias centrada en x = 0. x = 0. Una serie de la forma

es una serie de potencias centrada en x = a. x = a.

son ambas series de potencias centradas en x = 0. x = 0. Las series

es una serie de potencias centrada en x = 2. x = 2.

Convergencia de una serie de potencias

Convergencia de una serie de potencias

Prueba

concluimos que, para todo n ≥ N, n ≥ N,

Con este resultado, ahora podemos probar el teorema. Considere la serie

Definición

Para determinar el intervalo de convergencia para una serie de potencias, normalmente aplicamos la prueba de razón. En el ejemplo 6.1, mostramos las tres posibilidades diferentes ilustradas en la figura 6.2.

Ejemplo 6.1

Hallar el intervalo y el radio de convergencia

Para cada una de las siguientes series, encuentre el intervalo y el radio de convergencia.

Solución

Punto de control 6.1

Encuentre el intervalo y el radio de convergencia para la serie ∑ n = 1 ∞ x n n. ∑ norte = 1 ∞ x norte norte.

Representar funciones como series de potencias

Ser capaz de representar una función mediante un "polinomio infinito" es una herramienta poderosa. Las funciones polinomiales son las funciones más fáciles de analizar, ya que solo involucran las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función complicada mediante un polinomio infinito, podemos usar la representación polinomial para diferenciarla o integrarla. Además, podemos usar una versión truncada de la expresión polinomial para aproximar los valores de la función. Entonces, la pregunta es, ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias?

Considere nuevamente la serie geométrica

Recuerde que la serie geométrica

Como resultado, podemos representar la función f (x) = 1 1 - x f (x) = 1 1 - x por la serie de potencias

Ahora mostramos gráficamente cómo esta serie proporciona una representación para la función f (x) = 1 1 - x f (x) = 1 1 - x comparando la gráfica de F con las gráficas de varias de las sumas parciales de esta serie infinita.

Ejemplo 6.2

Graficar una función y sumas parciales de su serie de potencias

Solución

A continuación, consideramos funciones que involucran una expresión similar a la suma de una serie geométrica y mostramos cómo representar estas funciones usando series de potencias.

Ejemplo 6.3

Representar una función con una serie de potencias

Utilice una serie de potencias para representar cada una de las siguientes funciones f. f. Encuentre el intervalo de convergencia.

Solución

En las secciones restantes de este capítulo, mostraremos formas de derivar representaciones de series de potencia para muchas otras funciones y cómo podemos hacer uso de estas representaciones para evaluar, diferenciar e integrar varias funciones.

Sección 6.1 Ejercicios

En los siguientes ejercicios, indique si cada enunciado es verdadero o dé un ejemplo para demostrar que es falso.

En los siguientes ejercicios, encuentre el radio de convergencia R e intervalo de convergencia para ∑ a n x n ∑ a n x n con los coeficientes dados a n. un .

En los siguientes ejercicios, encuentre el radio de convergencia de cada serie.

∑ k = 1 ∞ k! 1 · 3 · 5 ⋯ (2 k - 1) x k ∑ k = 1 ∞ k! 1 · 3 · 5 ⋯ (2 k - 1) x k

∑ k = 1 ∞ 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k (2 k)! x k ∑ k = 1 ∞ 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k (2 k)! x k

En los siguientes ejercicios, use la prueba de razón para determinar el radio de convergencia de cada serie.

∑ norte = 1 ∞ 2 3 norte (norte!) 3 (3 norte)! x norte ∑ norte = 1 ∞ 2 3 norte (norte!) 3 (3 norte)! x n

f (x) = x 2 1 - 4 x 2 a = 0 f (x) = x 2 1 - 4 x 2 a = 0

f (x) = x 2 5 - 4 x + x 2 a = 2 f (x) = x 2 5 - 4 x + x 2 a = 2

Utilice el siguiente ejercicio para encontrar el radio de convergencia de la serie dada en los ejercicios siguientes.

∑ k = 1 ∞ (k - 1 2 k + 3) k x k ∑ k = 1 ∞ (k - 1 2 k + 3) k x k

∑ k = 1 ∞ (2 k 2 - 1 k 2 + 3) k x k ∑ k = 1 ∞ (2 k 2 - 1 k 2 + 3) k x k

∑ norte = 1 ∞ una norte = (norte 1 / norte - 1) norte x norte ∑ norte = 1 ∞ una norte = (norte 1 / norte - 1) norte x norte

∑ norte = 0 ∞ una 2 norte x norte (H yo norte t: x = ± x 2) ∑ norte = 0 ∞ una 2 norte x norte (H yo norte t: x = ± x 2)

Como asociado de Amazon, ganamos con las compras que califican.

¿Quiere citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 y debe atribuir OpenStax.

    Si está redistribuyendo todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:

  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Cálculo Volumen 2
    • Fecha de publicación: 30 de marzo de 2016
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-1-power-series-and-functions

    © 21 de diciembre de 2020 OpenStax. El contenido de un libro de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Reconocimiento-No comercial-Compartir igual Licencia 4.0. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


    Tabla de contenido

    Prefacio
    Introducción y contenido
    Parte uno. General
    Capítulo 1. Diseño de ingeniería y programación matemática
    1.1. El proceso de diseño de ingeniería
    1.2. Aplicación de computadoras en el diseño y operación de sistemas
    1.3. Métodos de optimización
    Capítulo 2. Resumen de la planificación y el funcionamiento del sistema de energía
    2.1. Objetivos de la planificación del sistema
    2.2. Etapas de la planificación y el diseño de sistemas
    2.3. La transición de la planificación a la operación
    2.4. Los objetivos de la operación del sistema
    2.5. Etapas del funcionamiento del sistema
    Capítulo 3. Algunas técnicas analíticas de uso frecuente
    3.1. Flujos de energía y voltaje
    3.2. La matriz de impedancia nodal
    3.3. Niveles de falla
    3.4. Transient and Steady-State Stability
    3.5. Some Useful Approximations
    3.6. System Costs
    Part Two. System Planning
    Chapter 4. The Estimation of Demand and Total Generation Requirement
    4.1. Estimation of Energy and Active Power Demands
    4.2. Estimation of Reactive Power
    4.3. The Estimation of Available Generation Capacity
    4.4. Reliability of Supply
    4.5. Gross Plant Margins and Standards of Supply in Practice
    Chapter 5. Standardization Studies for Network Plant
    5.1. Standardization Studies for One Stage of Development
    5.2. Standardization Studies for Several Stages of Development
    5.3. Fault Levels and Switchgear Rupturing Capacity
    Chapter 6. Generation Expansion Studies
    6.1. Comparative Economic Assessment of Individual Generation Projects
    6.2. The Investigation of Outline Generation Expansion Plans
    6.3. Simulation Models in Generation Expansion Planning
    6.4. A Heuristic Method to Investigate Outline Expansion Plans
    6.5. Linear Programming Models
    6.6. Dynamic Programming Formulations
    6.7. Other Non-linear Models
    6.8. Conclusión
    Chapter 7. Network Configuration Studies
    7.1. Typical Network Configurations
    7.2. The Configuration and Computation
    7.3. The Configuration Design Problem
    7.4. Costing of Schemes
    7.5. Security Criteria and Analysis of Network Viability
    7.6. Outline Design
    7.7. Configuration Design
    7.8. Configuration Synthesis Using Engineering Judgment
    7.9. Network Synthesis Using Mixed Engineering Judgment/Optimization Methods
    7.10. Configuration Synthesis Using Heuristic Logic
    7.11. Configuration Synthesis Using a Combinatorial Approach
    7.12. Two Recent Proposals for Configuration Synthesis
    7.13. Other Possible Approaches to Configuration Synthesis
    7.14. Conclusión
    Chapter 8. Probability and Planning
    8.1. Reliability Analysis in Network Planning
    8.2. Reliability Analysis on the Generation and Transmission System
    8.3. Risk and Uncertainty in Investment Decisions
    8.4. Conclusión
    Part Three. System Operation
    Chapter 9. Time Scales and Computation in System Operation
    Chapter 10. Load Prediction and Generation Capacity
    10.1. The Prediction of Demand
    10.2. Generation Capacity
    10.3. Optimum Maintenance Programming
    10.4. Fuel Supplies and Costs
    Chapter 11. Security Assessment
    11.1. Indications and Analysis of Insecure Operation
    11.2. Security Assessment against Excessive Current Flows
    11.3. Security Assessment against Excessive Fault Levels
    11.4. Security Assessment against Excessive Voltage Changes
    11.5. Security Assessment against System Instability
    11.6. The Present and Trends in Predictive Security Assessment
    11.7. The Present and Trends in On-line-Security Assessment
    Chapter 12. The Scheduling of Generating Plant
    12.1. A Manual Method of Scheduling
    12.2. Integer Programming Methods
    12.3. A Dynamic Programming Method
    12.4. Heuristic Methods
    12.5. Conclusión
    Chapter 13. The Dispatching of Generation
    13.1. Primary, Secondary and Tertiary Regulation
    13.2. Operation of Interconnected Areas
    13.3. Economic Dispatch Using the "Coordination Equations"
    13.4. Economic Dispatching Incorporating Group Transfer Analysis
    13.5. Economic Dispatching Incorporating Multiple-Load-Flow Analysis
    13.6. Dispatching Models Including an Exact Network Solution
    13.7. Transmission Loss Calculations and Optimum Dispatch
    13.8. System Control Centers
    13.9. Assessment of Optimum Network Configuration in Operation
    13.10. A Brief Note on the Operation of Hydrothermal Systems
    13.11. Computers and Dispatching in the Future
    Conclusión
    Appendix 1. Some Concepts in Probability Theory
    1.1. Markovian Systems
    1.2. Some Basic Equations in Reliability Theory
    1.3. Probability and the Binomial Distribution
    1.4. The Monte Carlo Method
    Appendix 2. Mathematical Programming
    2.1. Linear Programming
    2.2. Some Special Forms and Extensions of Linear Programming
    2.3. Non-linear Programming
    2.4. Dynamic Programming
    Appendix 3. Terms and Symbols Used
    3.1. Terms
    3.2. Simbolos
    Referencias
    Índice
    Other Titles in the Series


    Exam 2

    • 2.5, 7.4: Differential Equations
    • 10.1-10.2: Improper Integrals
    • 11.1-11.4: Sequences and Series
    • 11.5-11.6: Power Series (you will only need be responsible for the information posted on the Power Series worksheets for Monday, 4/7, Wednesday, 4/9, and Friday, 4/11). In particular, you will NOT be tested on integration and differentiation of power series on Exam 2.
    • Chapter 11 Review Exercises: 1-8, 10, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 37-48. Here are solutions for the Chapter 11 Review Exercises.

    Here are some practice exam questions for Exam 2. Note that inclusion or exclusion of a particular topic on the practice exam DOEST NOT mean that that topic will necessarily be included or excluded on the actual exam. The practice exam is just to give you some more practice problems to work on. You should, of course, study your class notes, homework problems, and quiz problems in addition to the practice exam. Here is an Answer Key for Practice Exam 2. Here are some worked out solutions and hints to the practice exam.

    Warning: Do not look at or print out the solutions to the above practice problems until after working on them yourself, taking some time, and going back later to try any problems you couldn't do the first time again. Doing the problems while looking at the answers renders them almost completely useless as preparation for taking an exam.


    Determining the Radius of Convergence of a Power Series

    We will now look at a technique for determining the radius of convergence of a power series using The Ratio Test for Positive Series

    Theorem 1: If $lim_ iggr vert frac<>> iggr vert = L$ where $L$ is a positive real number or $L = 0$ or $L = infty$ , then the power series $sum_^ a_n(x - c)^n$ has a radius of convergence $R = frac<1>$ where if $L = 0$ then $R = infty$ and if $L = infty$ then $R = 0$ .

    Let's now look at some examples of finding the radius of convergence of a power series.


    I plan to keep an up-to-date list of the topics, examples etc. covered in class. Unless stated otherwise, reference numbers refer to our textbook, W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.), henceforth abbreviated as [BDP].

    Note: There is a free online access to WileyPLUS provided by the University on campus. This no-cost option is sufficient to complete the homework assignments for Math 201. However, it can be accessed only from these designated computer labs on campus, and it does not allow usage of any other online Wiley study tools.

    two attempts for every homework problem. Correct answers on second attempts are worth 80%.

    Three words about cheating:

    Midterm test

    The midterm test will be held on Saturday, October 24th, 2015 at 1:00 pm . You will write the midterm in N-RE 2-001 (our usual class room last names A - K) or N-RE 2-003 (last names L - Z).

    A midterm review session will be held for all sections on Thursday, 22 Oct, 5-7 pm in CCIS L2-190. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here.

    Need some practice material? The following is taken from last year's midterm: Midterm test 2014.

    Some of you have asked for additional practice material for homogeneous and Bernoulli equations. You may want to check out this for Bernoulli equations for homogeneous equations, try this and this (the latter also has some other substitutions).

    • Duration: 90 minutes.
    • Material covered: Up to, and including, power series solutions of linear differential equations, i.e., Chapters I to IV in class.
    • Some questions may be multiple choice.
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • ¡Buena suerte!

    The Math and Applied Sciences Centre is also offering a review session.

    Midterm test - Solutions

    Midterm test average:

    Final exam

    The final exam will be held on Saturday, December 19th, 2015 at 9:00 am in the Main Gym (Van Vliet building)

    The following rows have been reserved for you (section EB1):

    Please make sure you are seated in one of the correct rows.

    Some details concerning the final:

    • Duration: 120 minutes.
    • Material covered: Basically everything, but with a strong emphasis on the material covered in class after the midterm test.
    • A table of Laplace transform will be provided (from [BDP]).
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • ¡Buena suerte!

    A review session will be held for all sections on Wednesday, 9 Dec, 4:00-6:00pm in ETLC 1-003. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here and here.

    Other material

    Need help? The Decima Robinson Support Centre in CAB 528 offers free drop-in help sessions, Monday to Friday, 9:00 am to 3:00 pm. It's a great, friendly place, though quite busy at times.

    Your integration skills are a bit rusty? The Math and Applied Sciences Centre is running a Review of Integration Techniques.


    6.2: Review of Power Series - Mathematics

    Office hours: Tuesdays 5:00PM - 6:00PM and 8:30 - 9PM (Thursday office hours TBD), Hill 624 or by appointment.

    Email: cl.volkov at rutgers dot edu (for friends) / fq15 at scarletmail dot rutgers dot edu (for teaching)

    Lecture 2 (June 1, 2017). Lecture Notes, Workshop 1 (written by Dr. Scheffer), Writing Samples.
    The course materials mainly comes from Chapter 5 and 6 of Sundstrom's book.
    Also you can read Zorich's book, Section 1.2 and 1.3.
    All workshops are due 11:55PM the next Tuesday. So in case you have questions, you can discuss with me either before or after Tuesday's class.

    Lecture 3 (June 6, 2017). Lecture Notes
    For more details, please read Zorich, Section 2.1.
    An slightly different argument showing root 2 is not rational can be found in [Z], 2.2.2.c. The argument in the notes is modified from [A], Theorem 1.4.5.
    The construction of real numbers using Dedekind cuts can be found in [A], Section 8.6.

    Lecture 4 (June 8, 2017). Lecture Notes, Workshop 2
    Since I wasn't able to cover the density theorem, the workshop problem 5 is removed from this week's assignment.
    By now you should finish reading [A], Section 1.1 - 1.3 and Thompson-Brucker-Brucker, Elementary Real Analysis, Section 1.1 - 1.7.

    Lecture 5 (June 13, 2017). Lecture Notes
    It is very important that the Nested Interval Property applies only to closed intervals that are bounded. Think: which part of the proof fails when the intervals are not bounded.
    One can prove under the assumption of Archimedean Property, Nested Interval Property can imply Axiom of Completeness. Please see James Propp's paper Real Analysis in Reverse for more details. In the coming Chapter we will see a lot more such properties.

    Lecture 6 (June 15, 2017). Lecture Notes, Workshop 3
    In case you are interested in solving the optional workshop problem, please see the Notes on Countable Sets and Cantor's Diagonalization.
    The idea of Cantor's Diagonalization is to construct a decimal that is outside of the range of the function from the naturals to reals. Please see [A], Section 1.6 for details. In the note above you will find the most essential argument.
    By now you should finish reading Section 1.4 - 1.5 and 2.1 of the textbook, and Section 1.8 - 1.10, 2.1 - 2.4 of the TBB book
    About cardinalities, please read [Gamow] One Two Three Infinity, Chapter 1 and 2.

    Lecture 7 (June 20, 2017). Lecture Notes
    Here you should learn the technique of finding the N from the given conditions of convergence, instead of from the estimates.
    Also, to use the Algebraic Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.

    Lecture 8 (June 22, 2017). Lecture Notes, Workshop 4
    For the Order Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.
    Monotone Convergence gives a very convenient way of proving convergence, but usually does not tell you directly what the limit is. In general, getting the actual limit is usually difficult. In this class we only deal with some simple cases.
    Please make sure you can recall how to prove AoC implies MCT. Make a brief summary definitely helps.
    By now you should finish reading [A] 2.2 - 2.4, [TBB] 2.5 - 2.10.

    Lecture 9 (June 27, 2017). Lecture Notes
    In case you are struggling with the Workshop 4, Mr. Yang kindly wrote a guide to all the problems and agreed to share. Note that this is just a guide. The thinking process has been elaborated presented. Yet it does not make a proof. You still need to organize these thoughts into a proof.

    Lecture 10 (June 29, 2017). Lecture Notes, Workshop 5
    In case you are not satisfied with certain grade of the quizzes, or you have missed it due to any reason, please finish a write-up of the homework of the previous lecture and present your solution to me in person.
    For example, if you are not happy with your grades for Quiz 7, then you should do all the homework problems assigned in Lecture 7.
    I'll check a random problem to see if you really have good understanding towards it. If you have, then your quiz grade will be made to 8/10. To make up quizzes 1 - 9, your solutions must be presented before July 13th. After July 13th, the grades for Quiz 1 - 9 cannot be changed any more.
    By now you should finish reading [A] 2.5 - 2.6, [TBB] 2.11 - 2.12.

    Lecture 11 (July 4, 2017) No lectures today. Happy holiday!

    Lecture 12 (July 6, 2017). Midterm Exam, Workshop 6 (Written by Dr. Scheffer)
    Second chance policies: In case you didn't do well in the midterm, here is what you should do:

    • Study the course notes and other materials to make sure you know how to solve every problems in the exam.
    • Arrange a time for a Russian styled oral exam. I will pick a random problem in the exam.You will have 10 minutes for preparing the solutions. Then you should present the solution on the blackboard.
    • Books, pre-written notes are not allowed. The only thing you can refer to is the notes you generated in that 10 minutes.

    If your presentation is satisfactory, your midterm grade will be exonerated from the final grading computation. In other words, your grade will be computed as 60% Final + 20% Workshop + 10% Oral Quiz + 10% Written Quiz.

    Lecture 13 (July 11, 2017). Course Notes
    For those who missed tonight's lecture, please make sure you are capable of proving every single entry in the table on Page 9. In class I explained those examples on the blackboard. However the proof was only given orally. Please let me know if you are having trouble proving any items. I will be happy to supply an argument.
    The written quiz tonight is replaced as a Questionnaire regarding the midterm. Please find it in Sakai Assignments.

    Lecture 14 (July 13, 2017). Course Notes, Workshop 7
    Note: You don't need to worry the compactness part in either [A] or [TBB]. I did use the examples in [A] and the motivating comments in [TBB]. For Workshop 7, you don't need to know anything other than the currently posted course notes.
    By now you should finish reading [A] 3.2, [TBB] 4.1 - 4.4.

    Lecture 15 (July 18, 2017). Course Notes
    I have set up the system, so Workshop 6 can be (re)submitted until Aug. 4. Workshop 7 can be (re)submitted until July 25th.

    Lecture 16 (July 20, 2017). Course Notes, Workshop 8
    By now you should finish reading [A] 3.3, [TBB] 4.5 (Note that the Cousin's Property was not covered). You should start reading [A] 4.2 and [TBB] 5.1.
    Sorry for having delivered a stupidly organized lecture tonight. Hopefully the reorganized notes look better. Please let me know if you have troubles.

    Lecture 18 (July 27, 2017). Course Notes, Workshop 9
    By now you should finish reading [A] 4.1 - 4.3, [TBB] 5.1, 5.2, 5.4 and 5.5.
    On the second page of Workshop 9 you will find some comments to the exercises in [A]. Please at least attempt those problems I boldfaced.

    Lecture 19 (Aug. 1, 2017). Course Notes
    As we are about to finish Chapter 4 on Thursday, it is a very good point to review everything. If you have a good understanding on the materials in Chapter 1 to 4, you should feel no difficulty at all to understand Chapter 5, and most of the parts in Chapter 6 (until you arrive at the issue of uniform convergence of sequences and series of functions). If you are taking 312 next semester, your life will be easy for a while. So please do so without hesitation.
    For those who didn't do well in the quiz tonight, please answer the following questions:
            1. How many exercises did you attempt in 3.2, 3.3, 4.2, 4.3, 4.4?
            2. What kind of difficulty did you experience?
            3. Anything I can do to help?
    Please send your answers through emails. The grade for the quiz will be adjusted to 8/10 or your actual grade, whichever is higher.

    Lecture 20 (Aug. 3, 2017). Course Notes, Workshop 10
    Please attempt to prove those facts in Part 3 by yourself and do not read my argument unless you have no clue. My argument might be too complicated than it should be. The easiest way to simplify any complicated argument is to work your own argument without reading a word from the original one.
    The reason I chose these two easy problems for this last workshop assignment is to provide more free time for you to review the materials and attempt all the other problems in the book. Don't be lazy. You are not studying analysis for me, but to prepare for your future studies. The exercises in [A] is really the minimal amount you have to go through in order to master the skills.
    By now you should finish reading [A] 4.4 - 4.5 and [TBB] 5.6 - 5.9.

    Lecture 21 (Aug. 8, 2017). Course Notes.
    As you can see, if you have a solid understand for Chapter 1 through 4, there is no trouble for you to understand at least the theory of derivatives. The main challenge for this Chapter is how to use the results in real life. Please see Zorich's exercises for more practice.

    Lecture 22 (Aug. 10, 2017). Course Notes. Review of Chapter 1 to 4
    The exam will be held on next Tuesday. There will be 13 problems with 200 points. 150 points are considered as a perfect score. Please find more details on Sakai.
    By now you should finish reading [A] 5.1 - 5.3. If you have time, please also read [TBB] 7.1 - 7.7. We don't have enough time covering all these materials however the knowledge will be assumed in 312.

    In the Spring of 2017 I taught 640:244 (Differential Equation for Physics and Engineering) for Sections 20 - 22.
    I taught the same class in the past. Here are the materials I taught in Summer 2015. And here are the materials I used for teaching recitations of 244 in Spring 2015, Fall 2014, Spring 2014 and Fall 2013.

    Please find Dr. Shtelen's syllabus, schedule and homework assignments here.

    Please find the information concerning maple labs here.

    All announcements are to be posted on sakai. Please make sure that you have a working email address registered to the system.

    • MIT OCW Lectures on Differential Equations (Note that they have a different syllabus)
    • Dr. Z's Calc 4 Lecture Handouts (The mathematical central topic is covered and emphasized, with marginal topics discarded)
    • Maple Tutorial (Found and shared by Mr. Joshua Vigoureux).

    Week 2 (Jan. 25): Recitation Notes, Quiz 1.
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 1 to further understand the geometric interpretation of ODE.
    Regarding the first order linear ODE, you can also check MIT Lecture 3 and read Dr. Z's notes for 2.1 for further understanding.
    Here are my own notes for Section 2.2 and 2.4

    Week 4 (Feb. 8): Recitation Notes (Part 1), Recitation Notes (Part 2) (allow me to reuse the notes in the past). Quiz 3
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 5 and read Dr. Z's Notes on 2.5 (Note that Dr. Z used a different method).
    Here are my own notes for Section 2.7 and Section 3.1.

    Week 6 (Feb. 22): No recitation notes this week. Aside from those exam problems, I just went over the notes I announced in the previous week.
    The Quiz this week is take-home. Please carefully review Section 2.6 and 3.4.

    Week 7 (Mar. 1): Recitation Notes, Yet another take-home Quiz
    The principle I talked about in the recitation notes applies to Chapter 4 as well. You should keep in mind that
          1. First try templates, as well as exponential powers, are determined ONLY by the right hand side of the ODE.
          2. To determine how many times your template fails, you have to look at the characteristic roots, which are determined ONLY by the left hand side of the ODE.
    Please understand this set of recitation notes thoroughly.
    For 3.5 and 3.6, Dr. Z's notes may also be helpful: Notes on 3.5, Notes on 3.6
    My own notes on 3.5 (Part 1), 3.5 (Part 2), 3.5 (Part 3), 3.6, 3.4 and 3.7 (Course Plan), 3.4 and 3.7 (Notes Part 1), 3.7, 5.4 (Notes Part 2), 3.6, 3.8

    Week 8 (Mar. 8): Recitation Notes, Quiz 7
    Basically all the related materials were posted last week. So nothing more here.

    Week 9 (Mar. 15): Spring break. No recitation today. Enjoy!

    Week 10 (Mar. 22): Recitation Notes, Quiz 8, Quiz 8 Make-up
    Maple Lab 3 is due next week. Late submissions are allowed up to next Friday (Mar. 31, 2017).
    In case you have time, please read Dr. Z's notes on Section 4.1, Section 4.2, Section 4.3.
    My own notes on 4.1, 4.2, 4.3. Please find my notes on 3.8 above.

    Week 11 (Mar. 29): Recitation Notes for Linear Algebra, Quiz 9, Recitation Notes for 7.5, 7.6 and 7.8
    (Although these notes were written a while ago, it should be able to help)
    For the linear systems, Dr. Z's notes on 7.1, 7.4, 7.5, 7.6 and 7.8 should also be helpful.
    Please go over the (updated) Review Questions and make sure you are comfortable on everyone of it. I think it would help you better than any practice exam.

    Week 13 (Apr. 12): Quiz 11
    Aside from exam problems, all I talked about in class are in the recitation notes or previous week. Please go over it and especially make sure you know how to deal with complex eigenvalues.

    Week 14 (Apr. 19): Quiz 12
    Here are my summer course notes on Chapter 9: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.4 leftovers (Shared by Ms. Shawnie Caslin). Also please watch MIT Lecture 31 for how to deal with nonlinear systems.
    I wasn't able to type up the notes for finding global trajectories. In case you have taken neat notes, please don't hesitate to share.
    Maple Lab 5 is supposed to due yesterday. Late submissions are accepted until next Tuesday (Apr. 25).

    For 244 students, I have two requirements

    If you don't know how to manipulate logarithm, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch10_SE.pdf
    Please read Section 10.5 on page 45 in the pdf file (page 733 in the book), try all example problems, and do Exercise 44 - 61 on page 51 in the pdf file (Page 740 in the book).

    If you are not very fluent with the quadratic equations (e.g. always use the root formula), please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch08_SE.pdf
    Read Section 8.1, 8.2 , try all example problems, and do Exercise 66 - 83 on page 23 in the pdf file (Page 573 in the book). Make sure you understand all the related methods

    In particular, if you have never seen criss-cross factorization before, please check the youtube videos
    Criss-Cross Method 1, Criss-Cross Method 2, Criss-Cross Method 3 and Criss-Cross Method 4.

    If you have never seen matrices before, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch03_SE.pdf
    Read Section 3.6 , try all example problems, and do Exercise 15 - 23, 46 - 49 on page 51 - 52 in the pdf file (page 227 - 228 in the book).
    Read Section 3.7 , try all example problems, and do Exercise 2 - 7, 20 - 25, 35 - 40 on page 63 - 64 in the pdf file (page 239 - 240 in the book).
    After you work on this topic, try the problems of the attendence quiz at Lecture 15 and you will find it easy to play.

    If you keep on making mistakes on exponentials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch01_SE.pdf
    Read Section 1.8 , try all example problems, and do Exercise 59 - 84 on page 88 in the pdf file (page 88 in the book).

    If you don't know how to divide a polynomial, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch05_SE.pdf
    Read Section 5.3 , try all example problems, and do Exercise 27 - 42 on page 31 in the pdf file (page 339 in the book).
    After you have done the work, please compare to the technique I used on dealing with t/(t+1) or -2-t/(t+1) in class. You will see that this is actually the simplest example of division.

    If you are not fluent on simplifications of rational functions, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch06_SE.pdf
    Read Section 6.1 - 6.4 , try all example problems, and do Exercise 29 - 48 on page 61 - 62 in the pdf file (page 463 - 464 in the book).

    If you are not fluent on playing with trigonometric functions, please find
    http://www.eht.k12.nj.us/

    staffoch/Textbook/chapter04.pdf
    Read Section 4.3 , make sure you memorize the table of the values of sine, cosine and tangent on usual special angles on page 23 of the PDF file (page 279 in the book)
    and do Exercise 17 - 26 on page 28 of the pdf file (page 284 in the book)
    Read Section 4.5 , make sure you can recognize, distinguish different graphs of the trignometric functions and manipulate them by scaling and translation , and do Exercise 3 - 14, 23 - 16 on page 48 in the pdf file (page 304 in the book)

    If you are not fluent on factorizing polynomials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    Please make sure you have a solid understanding on the math 300 class (Introduction to Mathematical Reasoning). You can review the knowledge using the following material
    Dr. Sussmann's notes on Math 300, Lecture 2, 3 and 4
    This set of notes summarizes the most essential knowledge in that class. On his course website you'll find more related material for reviewing.

    Please recall the knowledge of Calculus I, especially the graphs of the most commonly seen elementary functions. You can check the following file to recall the knowledge:
    Table of Common Graphs
    Although the main focus is to formulate rigorous argument, in many cases this process is facilitated by the intuition from the graphs.
    Also I'll assume a solid basis of computational skills for this class. Please try problems in Chapter 1 and 2 of famous Russian book
    3193 Problems in Mathematical Analysis
    to test your skills.