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7.1: Autovalores y autovectores de una matriz


Objetivos de aprendizaje

  1. Describe los valores propios geométrica y algebraicamente.
  2. Encuentre valores propios y vectores propios para una matriz cuadrada.

La teoría espectral se refiere al estudio de valores propios y vectores propios de una matriz. Es de fundamental importancia en muchas áreas y es el tema de nuestro estudio para este capítulo.

Definición de autovectores y autovalores

En esta sección, trabajaremos con el conjunto completo de números complejos, denotados por ( mathbb {C} ). Recuerde que los números reales, ( mathbb {R} ) están contenidos en los números complejos, por lo que las discusiones en esta sección se aplican tanto a los números reales como a los complejos.

Para ilustrar la idea detrás de lo que se discutirá, considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): vectores propios y valores propios

Deje [A = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) ] Calcule el producto (AX ) para [X = left ( begin {array} {r} 5 -4 3 end {array} right), X = left ( begin {array} { r} 1 0 0 end {array} right) ] ¿Qué notas sobre (AX ) en cada uno de estos productos?

Solución

Primero, calcula (AX ) para [X = left ( begin {array} {r} 5 -4 3 end {array} right) ]

Este producto viene dado por [AX = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {r} -5 -4 3 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -50 -40 30 end {matriz} right) = 10 left ( begin {matriz} {r} -5 -4 3 end {matriz} right) ]

En este caso, el producto (AX ) resultó en un vector que es igual a (10 ​​) multiplicado por el vector (X ). En otras palabras, (AX = 10X ).

Veamos qué sucede en el próximo producto. Calcule (AX ) para el vector [X = left ( begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right) ]

Este producto viene dado por [AX = left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) = 0 left ( begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right) ]

En este caso, el producto (AX ) resultó en un vector igual a (0 ) multiplicado por el vector (X ), (AX = 0X ).

Quizás esta matriz sea tal que (AX ) resulte en (kX ), para cada vector (X ). Sin embargo, considere [ left ( begin {array} {rrr} 0 & 5 & -10 0 & 22 & 16 0 & -9 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 1 1 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -5 38 -11 end {array} right ) ] En este caso, (AX ) no dio como resultado un vector de la forma (kX ) para algunos escalares (k ).

Hay algo especial en los dos primeros productos calculados en el Ejemplo [exa: autovectores y valores deigen]. Observe que para cada uno, (AX = kX ) donde (k ) es un escalar. Cuando esta ecuación se cumple para algunos (X ) y (k ), llamamos al escalar (k ) an valor propio de (A ). A menudo usamos el símbolo especial ( lambda ) en lugar de (k ) cuando nos referimos a valores propios. En el Ejemplo [exa: vectores propios y valores de origen], los valores (10 ​​) y (0 ) son valores propios para la matriz (A ) y podemos etiquetarlos como ( lambda_1 = 10 ) y ( lambda_2 = 0 ).

Cuando (AX = lambda X ) para algún (X neq 0 ), llamamos a tal (X ) an vector propio de la matriz (A ). Los autovectores de (A ) están asociados a un autovalor. Por lo tanto, si ( lambda_1 ) es un valor propio de (A ) y (AX = lambda_1 X ), podemos etiquetar este vector propio como (X_1 ). Tenga en cuenta nuevamente que para ser un vector propio, (X ) debe ser distinto de cero.

También hay un significado geométrico para los vectores propios. Cuando usted tiene una distinto de cero vector que, cuando se multiplica por una matriz, da como resultado otro vector que es paralelo al primero o igual a 0, este vector se denomina autovector de la matriz. Este es el significado cuando los vectores están en ( mathbb {R} ^ {n}. )

La definición formal de autovalores y autovectores es la siguiente.

Definición ( PageIndex {1} ): Autovalores y autovectores

Sea (A ) una matriz (n times n ) y sea (X in mathbb {C} ^ {n} ) una vector distinto de cero para cual

[AX = lambda X label {eigen1} ] para algunos escalares ( lambda. ) Entonces ( lambda ) se llama valor propio de la matriz (A ) y (X ) se llama un vector propio de (A ) asociado con ( lambda ), o un ( lambda ) - vector propio de (A ).

El conjunto de todos los valores propios de una matriz (n veces n ) (A ) se denota por ( sigma left (A right) ) y se denomina espectro de (A. )

Los vectores propios de una matriz (A ) son aquellos vectores (X ) para los cuales la multiplicación por (A ) da como resultado un vector en la misma dirección o dirección opuesta a (X ). Dado que el vector cero (0 ) no tiene dirección, esto no tendría sentido para el vector cero. Como se señaló anteriormente, nunca se permite que (0 ) sea un vector propio.

Veamos los vectores propios con más detalle. Suponga que (X ) satisface [eigen1]. Entonces [ begin {array} {c} AX - lambda X = 0 mbox {o} left (A- lambda I right) X = 0 end {array} ] para algunos (X neq 0. ) De manera equivalente, podría escribir ( left ( lambda IA ​​ right) X = 0 ), que se usa más comúnmente. Por lo tanto, cuando buscamos vectores propios, ¡buscamos soluciones no triviales para este sistema homogéneo de ecuaciones!

Recuerde que las soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones constan de soluciones básicas y las combinaciones lineales de esas soluciones básicas. En este contexto, llamamos a las soluciones básicas de la ecuación ( left ( lambda I - A right) X = 0 ) vectores propios básicos. De ello se deduce que cualquier combinación lineal (distinta de cero) de vectores propios básicos es de nuevo un vector propio.

Suponga que la matriz ( left ( lambda I - A right) ) es invertible, de modo que ( left ( lambda I - A right) ^ {- 1} ) existe. Entonces la siguiente ecuación sería cierta. [ begin {alineado} X & = & IX & = & left ( left ( lambda I - A right) ^ {- 1} left ( lambda I - A right) right) X & = & left ( lambda I - A right) ^ {- 1} left ( left ( lambda I - A right) X right) & = & left ( lambda I - A right) ^ {- 1} 0 & = & 0 end {alineado} ] Esto afirma que (X = 0 ). Sin embargo, hemos requerido que (X neq 0 ). Por lo tanto, ( left ( lambda I - A right) ) no puede tener una inversa.

Recuerde que si una matriz no es invertible, entonces su determinante es igual a (0 ). Por lo tanto, podemos concluir que [ det left ( lambda I - A right) = 0 label {eigen2} ] Tenga en cuenta que esto es equivalente a ( det left (A- lambda I right) = 0 ).

La expresión ( det left ( lambda I-A right) ) es un polinomio (en la variable (x )) llamado polinomio característico de (A ), y ( det left ( lambda I-A right) = 0 ) se llama Ecuación característica. Por esta razón, también podemos referirnos a los valores propios de (A ) como valores característicos, pero el primero se usa a menudo por razones históricas.

El siguiente teorema afirma que las raíces del polinomio característico son los valores propios de (A ). Por tanto, cuando se cumple [eigen2], (A ) tiene un vector propio distinto de cero.

Teorema ( PageIndex {1} ): La existencia de un vector propio

Sea (A ) una matriz (n times n ) y suponga que ( det left ( lambda I - A right) = 0 ) para algunos ( lambda in mathbb {C } ).
Entonces ( lambda ) es un valor propio de (A ) y, por lo tanto, existe un vector (X in mathbb {C} ^ {n} ) diferente de cero tal que (AX = lambda X ) .

Prueba

Para (A ) una matriz (n veces n ), el método de Expansión de Laplace demuestra que ( det left ( lambda I - A right) ) es un polinomio de grado (n. ) Como tal, la ecuación [eigen2] tiene una solución ( lambda in mathbb {C} ) por el Teorema fundamental del álgebra. El hecho de que ( lambda ) sea un valor propio se deja como ejercicio.

Encontrar autovectores y autovalores

Ahora que se han definido los valores propios y los vectores propios, estudiaremos cómo encontrarlos para una matriz (A ).

Primero, considere la siguiente definición.

Definición ( PageIndex {2} ): Multiplicidad de un valor propio

Sea (A ) una matriz (n times n ) con polinomio característico dado por ( det left ( lambda I - A right) ). Entonces, la multiplicidad de un valor propio ( lambda ) de (A ) es el número de veces que ( lambda ) aparece como raíz de ese polinomio característico.

Por ejemplo, suponga que el polinomio característico de (A ) está dado por ( left ( lambda - 2 right) ^ 2 ). Resolviendo las raíces de este polinomio, establecemos ( left ( lambda - 2 right) ^ 2 = 0 ) y resolvemos para ( lambda ). Encontramos que ( lambda = 2 ) es una raíz que aparece dos veces. Por tanto, en este caso, ( lambda = 2 ) es un valor propio de (A ) de multiplicidad igual a (2 ).

Ahora veremos cómo encontrar los autovalores y autovectores para una matriz (A ) en detalle. Los pasos utilizados se resumen en el siguiente procedimiento.

Procedimiento ( PageIndex {1} ): Encontrar valores propios y vectores propios

Sea (A ) una matriz (n times n ).

  1. Primero, encuentre los valores propios ( lambda ) de (A ) resolviendo la ecuación ( det left ( lambda I -A right) = 0 ).
  2. Para cada ( lambda ), encuentre los vectores propios básicos (X neq 0 ) encontrando las soluciones básicas para ( left ( lambda I - A right) X = 0 ).

Para verificar su trabajo, asegúrese de que (AX = lambda X ) para cada ( lambda ) y el vector propio asociado (X ).

Exploraremos estos pasos más a fondo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encuentre los autovalores y autovectores

Sea (A = left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) ). Encuentre sus autovalores y autovectores.

Solución

Usaremos el Procedimiento [proc: findeigenvaluesvectors]. Primero encontramos los valores propios de (A ) resolviendo la ecuación [ det left ( lambda I - A right) = 0 ]

Esto da [ begin {alineado} det left ( lambda left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin { array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) & = & 0 det left ( begin {array} {cc} lambda + 5 y -2 7 & lambda -4 end {matriz} right) & = & 0 end {alineado} ]

Calculando el determinante como de costumbre, el resultado es [ lambda ^ 2 + lambda - 6 = 0 ]

Resolviendo esta ecuación, encontramos que ( lambda_1 = 2 ) y ( lambda_2 = -3 ).

Ahora necesitamos encontrar los vectores propios básicos para cada ( lambda ). Primero encontraremos los autovectores para ( lambda_1 = 2 ). Deseamos encontrar todos los vectores (X neq 0 ) tales que (AX = 2X ). Estas son las soluciones de ((2I - A) X = 0 ). [ begin {alineado} left (2 left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {matriz} derecha) derecha) izquierda ( begin {matriz} {c} x y end {matriz} derecha) & = & izquierda ( begin {array} {r} 0 0 end {array} right) left ( begin {array} {rr} 7 & -2 7 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} derecha) end {alineado} ]

La matriz aumentada para este sistema y las correspondientes vienen dadas por [ left ( begin {array} {rr | r} 7 & -2 & 0 7 & -2 & 0 end {array} right) rightarrow cdots rightarrow left ( begin {array} {rr | r} 1 & - frac {2} {7} & 0 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

La solución es cualquier vector de la forma [ left ( begin {array} {c} frac {2} {7} s s end {array} right) = s left ( begin {array } {r} frac {2} {7} 1 end {matriz} derecha) ]

Multiplicando este vector por (7 ) obtenemos una descripción más simple para la solución de este sistema, dada por [t left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} right) ]

Esto da el vector propio básico para ( lambda_1 = 2 ) como [ left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} right) ]

Para comprobarlo, verificamos que (AX = 2X ) para este vector propio básico.

[ left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {r} 2 7 end {matriz } right) = left ( begin {array} {r} 4 14 end {array} right) = 2 left ( begin {array} {r} 2 7 end {array} derecho )]

Esto es lo que queríamos, por lo que sabemos que este vector propio básico es correcto.

A continuación, repetiremos este proceso para encontrar el vector propio básico para ( lambda_2 = -3 ). Deseamos encontrar todos los vectores (X neq 0 ) tales que (AX = -3X ). Estas son las soluciones a (((- 3) I-A) X = 0 ). [ begin {alineado} left ((-3) left ( begin {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} right) left ( begin {array} {rr} 2 & -2 7 & -7 end {array } right) left ( begin {array} {c} x y end {array} right) & = & left ( begin {array} {r} 0 0 end {array} right) end {alineado} ]

La matriz aumentada para este sistema y las correspondientes están dadas por [ left ( begin {array} {rr | r} 2 & -2 & 0 7 & -7 & 0 end {array} right) rightarrow cdots rightarrow left ( begin {array} {rr | r} 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

La solución es cualquier vector de la forma [ left ( begin {array} {c} s s end {array} right) = s left ( begin {array} {r} 1 1 end {matriz} right) ]

Esto da el vector propio básico para ( lambda_2 = -3 ) como [ left ( begin {array} {r} 1 1 end {array} right) ]

Para comprobarlo, verificamos que (AX = -3X ) para este vector propio básico.

[ left ( begin {array} {rr} -5 & 2 -7 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {r} 1 1 end {matriz } right) = left ( begin {array} {r} -3 -3 end {array} right) = -3 left ( begin {array} {r} 1 1 end {matriz} derecha) ]

Esto es lo que queríamos, por lo que sabemos que este vector propio básico es correcto.

El siguiente es un ejemplo que usa el Procedimiento [proc: findeigenvaluesvectors] para una matriz (3 times 3 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encuentre los autovalores y autovectores

Encuentre los valores propios y los vectores propios para la matriz [A = left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array } derecho )]

Solución

Usaremos el Procedimiento [proc: findeigenvaluesvectors]. Primero necesitamos encontrar los valores propios de (A ). Recuerda que son las soluciones de la ecuación [ det left ( lambda I - A right) = 0 ]

En este caso, la ecuación es [ det left ( lambda left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) = 0 ]

que se convierte en

[ det left ( begin {array} {ccc} lambda - 5 & 10 & 5 -2 & lambda - 14 & -2 4 & 8 & lambda - 6 end {array} right) = 0 ]

Usando la expansión de Laplace, calcule este determinante y simplifique. El resultado es la siguiente ecuación. [ left ( lambda -5 right) left ( lambda ^ {2} -20 lambda +100 right) = 0 ]

Resolviendo esta ecuación, encontramos que los valores propios son ( lambda_1 = 5, lambda_2 = 10 ) y ( lambda_3 = 10 ). Observe que (10 ​​) es una raíz de multiplicidad dos debido a [ lambda ^ {2} -20 lambda + 100 = left ( lambda -10 right) ^ {2} ] Por lo tanto, ( lambda_2 = 10 ) es un valor propio de multiplicidad dos.

Ahora que hemos encontrado los autovalores para (A ), podemos calcular los autovectores.

Primero encontraremos los vectores propios básicos para ( lambda_1 = 5. ) En otras palabras, queremos encontrar todos los vectores (X ) distintos de cero para que (AX = 5X ). Esto requiere que resolvamos la ecuación ( left (5 I - A right) X = 0 ) para (X ) de la siguiente manera. [ left (5 left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) right) left ( begin {array} {r } x y z end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ]

Es decir, necesitas encontrar la solución a [ left ( begin {array} {rrr} 0 & 10 & 5 -2 & -9 & -2 4 & 8 & -1 end {array} right) left ( begin {array} {r} x y z end {array} right) = left ( begin {array} {r} 0 0 0 end {matriz} derecha) ]

A estas alturas, este es un problema familiar. Configura la matriz aumentada y la reducción de filas para obtener la solución. Por lo tanto, la matriz que debe reducir por filas es [ left ( begin {array} {rrr | r} 0 & 10 & 5 & 0 -2 & -9 & -2 & 0 4 & 8 & -1 & 0 end {array} right) ] El es [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & - frac {5} {4} & 0 0 & 1 & frac {1} {2} & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ]

y entonces la solución es cualquier vector de la forma [ left ( begin {array} {c} frac {5} {4} s - frac {1} {2} s s end { matriz} derecha) = s izquierda ( begin {matriz} {r} frac {5} {4} - frac {1} {2} 1 end {matriz} derecha) ] donde (s in mathbb {R} ). Si multiplicamos este vector por (4 ), obtenemos una descripción más simple para la solución de este sistema, dada por [t left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {matriz} right) label {basiceigenvect} ] donde (t in mathbb {R} ). Aquí, el vector propio básico viene dado por [X_1 = left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) ]

Observe que no podemos dejar (t = 0 ) aquí, porque esto daría como resultado el vector cero y los vectores propios nunca son iguales a 0. Aparte de este valor, cualquier otra elección de (t ) en [basiceigenvect] da como resultado un autovector.

¡Es una buena idea revisar tu trabajo! Para hacerlo, tomaremos la matriz original y la multiplicaremos por el vector propio básico (X_1 ). Verificamos para ver si obtenemos (5X_1 ). [ left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) left ( begin { matriz} {r} 5 -2 4 end {matriz} derecha) = izquierda ( begin {matriz} {r} 25 -10 20 end {matriz} derecha) = 5 left ( begin {array} {r} 5 -2 4 end {array} right) ] Esto es lo que queríamos, así que sabemos que nuestros cálculos fueron correctos.

A continuación, encontraremos los vectores propios básicos para ( lambda_2, lambda_3 = 10. ) Estos vectores son las soluciones básicas de la ecuación, [ left (10 left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) - left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {matriz} derecha) derecha) izquierda ( begin {matriz} {r} x y z end {matriz} derecha) = izquierda ( begin {array} {r} 0 0 0 end {array} right) ] Es decir, debes encontrar las soluciones para [ left ( begin {array} {rrr} 5 & 10 & 5 -2 & -4 & -2 4 & 8 & 4 end {array} right) left ( begin {array} {c} x y z end {array} derecha) = izquierda ( begin {matriz} {r} 0 0 0 end {matriz} derecha) ]

Considere la matriz aumentada [ left ( begin {array} {rrr | r} 5 & 10 & 5 & 0 -2 & -4 & -2 & 0 4 & 8 & 4 & 0 end { array} right) ] El para esta matriz es [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {matriz} right) ], por lo que los vectores propios tienen la forma [ left ( begin {matriz} {c} -2s-t s t end {matriz} right ) = s left ( begin {array} {r} -2 1 0 end {array} right) + t left ( begin {array} {r} -1 0 1 end {array} right) ] Tenga en cuenta que no puede elegir (t ) y (s ) ambos iguales a cero porque esto daría como resultado que el vector cero y los autovectores nunca sean iguales a cero.

Aquí, hay dos vectores propios básicos, dados por [X_2 = left ( begin {array} {r} -2 1 0 end {array} right), X_3 = left ( begin { matriz} {r} -1 0 1 end {matriz} derecha) ]

Tomar cualquier combinación lineal (distinta de cero) de (X_2 ) y (X_3 ) también resultará en un vector propio para el valor propio ( lambda = 10. ) Como en el caso de ( lambda = 5 ) , ¡siempre revisa tu trabajo! Para el primer vector propio básico, podemos verificar (AX_2 = 10 X_2 ) de la siguiente manera. [ left ( begin {array} {rrr} 5 & -10 & -5 2 & 14 & 2 -4 & -8 & 6 end {array} right) left ( begin { array} {r} -1 0 1 end {array} right) = left ( begin {array} {r} -10 0 10 end {array} right) = 10 left ( begin {array} {r} -1 0 1 end {array} right) ] Esto es lo que queríamos. La verificación del segundo vector propio básico, (X_3 ), se deja como ejercicio.

Es importante recordar que para cualquier vector propio (X ), (X neq 0 ). Sin embargo, es posible tener valores propios iguales a cero. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): un valor propio cero

Deje [A = left ( begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 1 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 end {array} right) ] Encuentra el autovalores y autovectores de (A ).

Solución

Primero encontramos los valores propios de (A ). Lo haremos usando Definición [def: autovalores y vectores de origen].

Para encontrar los valores propios de (A ), resolvemos la siguiente ecuación. [ det left ( lambda I -A right) = det left ( begin {array} {ccc} lambda -2 & -2 & 2 -1 & lambda - 3 & 1 1 & -1 & lambda -1 end {matriz} right) = 0 ]

Esto se reduce a ( lambda ^ {3} -6 lambda ^ {2} +8 lambda = 0 ). Puede verificar que las soluciones son ( lambda_1 = 0, lambda_2 = 2, lambda_3 = 4 ). Observe que mientras que los vectores propios nunca pueden ser iguales a (0 ), es posible tener un valor propio igual a (0 ).

Ahora encontraremos los vectores propios básicos. Para ( lambda_1 = 0 ), necesitamos resolver la ecuación ( left (0 I - A right) X = 0 ). Esta ecuación se convierte en (- AX = 0 ), por lo que la matriz aumentada para encontrar las soluciones viene dada por [ left ( begin {array} {rrr | r} -2 & -2 & 2 & 0 -1 & -3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 0 end {array} right) ] El es [ left ( begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) ] Por lo tanto, los vectores propios son de la forma (t left ( begin { array} {r} 1 0 1 end {array} right) ) donde (t neq 0 ) y el vector propio básico viene dado por [X_1 = left ( begin {array} {r} 1 0 1 end {matriz} right) ]

Podemos verificar que este vector propio es correcto comprobando que se cumple la ecuación (AX_1 = 0 X_1 ). El producto (AX_1 ) viene dado por [AX_1 = left ( begin {array} {rrr} 2 & 2 & -2 1 & 3 & -1 -1 & 1 & 1 end { matriz} derecha) izquierda ( begin {matriz} {r} 1 0 1 end {matriz} derecha) = izquierda ( begin {matriz} {r} 0 0 0 end {matriz} right) ]

Esto claramente es igual a (0X_1 ), por lo que la ecuación se mantiene. Por tanto, (AX_1 = 0X_1 ) y entonces (0 ) es un valor propio de (A ).

El cálculo de los otros vectores propios básicos se deja como ejercicio.

En las siguientes secciones, examinamos formas de simplificar este proceso de encontrar valores propios y vectores propios mediante el uso de propiedades de tipos especiales de matrices.

Autovalores y autovectores para tipos especiales de matrices

Hay tres tipos especiales de matrices que podemos usar para simplificar el proceso de encontrar autovalores y autovectores. A lo largo de esta sección, analizaremos matrices similares, matrices elementales y matrices triangulares.

Comenzamos con una definición.

Definición ( PageIndex {2} ): Matrices similares

Sean (A ) y (B ) (n times n ) matrices. Supongamos que existe una matriz invertible (P ) tal que [A = P ^ {- 1} BP ] Entonces (A ) y (B ) se llaman matrices similares.

Resulta que podemos usar el concepto de matrices similares para ayudarnos a encontrar los valores propios de las matrices. Considere el siguiente lema.

Lema ( PageIndex {1} ): Matrices similares y valores propios

Sean (A ) y (B ) matrices similares, de modo que (A = P ^ {- 1} BP ) donde (A, B ) son (n veces n ) matrices y (P ) es invertible. Entonces (A, B ) tiene los mismos valores propios.

Prueba

Necesitamos mostrar dos cosas. Primero, necesitamos mostrar que si (A = P ^ {- 1} BP ), entonces (A ) y (B ) tienen los mismos valores propios. En segundo lugar, mostramos que si (A ) y (B ) tienen los mismos valores propios, entonces (A = P ^ {- 1} BP ).

Aquí está la prueba de la primera declaración. Suponga que (A = P ^ {- 1} BP ) y ( lambda ) es un valor propio de (A ), es decir (AX = lambda X ) para algunos (X neq 0 . ) Entonces [P ^ {- 1} BPX = lambda X ] y entonces [BPX = lambda PX ]

Dado que (P ) es uno a uno y (X neq 0 ), se deduce que (PX neq 0 ). Aquí, (PX ) juega el papel del vector propio en esta ecuación. Por tanto, ( lambda ) también es un valor propio de (B ). De manera similar, se puede verificar que cualquier valor propio de (B ) es también un valor propio de (A ) y, por lo tanto, ambas matrices tienen los mismos valores propios que se desean.

Demostrar que la segunda afirmación es similar y se deja como ejercicio.

Tenga en cuenta que esta prueba también demuestra que los vectores propios de (A ) y (B ) serán (generalmente) diferente. Vemos en la prueba que (AX = lambda X ), mientras que (B left (PX right) = lambda left (PX right) ). Por lo tanto, para un valor propio ( lambda ), (A ) tendrá el vector propio (X ) mientras que (B ) tendrá el vector propio (PX ).

El segundo tipo especial de matrices que discutimos en esta sección son las matrices elementales. Recuerde de la Definición [def: elementarymatricesandrowops] que una matriz elemental (E ) se obtiene aplicando una operación de fila a la matriz identidad.

Es posible utilizar matrices elementales para simplificar una matriz antes de buscar sus autovalores y autovectores. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Simplificar el uso de matrices elementales

Encuentre los valores propios para la matriz [A = left ( begin {array} {rrr} 33 & 105 & 105 10 & 28 & 30 -20 & -60 & -62 end {array} right ) ]

Solución

Esta matriz tiene números grandes y, por lo tanto, nos gustaría simplificar tanto como sea posible antes de calcular los valores propios.

Lo haremos usando operaciones de fila. Primero, suma (2 ) veces la segunda fila a la tercera fila. Para hacerlo, multiplica (A ) por (E left (2,2 right) ). Luego, a la derecha, multiplica (A ) por el inverso de (E left (2,2 right) ) como se ilustra. [ left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 end {array} right) left ( begin {array} {rrr } 33 & 105 & 105 10 & 28 & 30 -20 & -60 & -62 end {array} right) left ( begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -2 & 1 end {array} right) = left ( begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) ] Por Lema [lem: matrices similares], la matriz resultante tiene los mismos valores propios que (A ) donde aquí, la matriz (E left (2,2 derecha) ) desempeña el papel de (P ).

Realizamos este paso nuevamente, como sigue. En este paso, usamos la matriz elemental obtenida sumando (- 3 ) veces la segunda fila a la primera fila. [ left ( begin {array} {rrr} 1 & -3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) left ( begin {array} { rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) left ( begin {array} {rrr} 1 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right) = left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {matriz} right) label {elemeigenvalue} ] De nuevo por Lema [lema: matrices similares], esta matriz resultante tiene los mismos valores propios que (A ). En este punto, podemos encontrar fácilmente los valores propios. Deje [B = left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) ] Entonces, encuentra los valores propios de (B ) (y por lo tanto de (A )) resolviendo la ecuación ( det left ( lambda I - B right) = 0 ). Debe verificar que esta ecuación se convierta en [ left ( lambda +2 right) left ( lambda +2 right) left ( lambda - 3 right) = 0 ] Al resolver esta ecuación se obtienen valores propios de ( lambda_1 = -2, lambda_2 = -2 ) y ( lambda_3 = 3 ). Por lo tanto, estos también son los valores propios de (A ).

Mediante el uso de matrices elementales, pudimos crear una matriz para la cual encontrar los valores propios fue más fácil que para (A ). En este punto, puede volver a la matriz original (A ) y resolver ( left ( lambda I - A right) X = 0 ) para obtener los vectores propios de (A ).

Observe que cuando multiplica a la derecha por una matriz elemental, está haciendo la operación de columna definida por la matriz elemental. En [elemeigenvalue] la multiplicación por la matriz elemental de la derecha simplemente implica tomar tres veces la primera columna y sumar a la segunda. Por lo tanto, sin hacer referencia a las matrices elementales, la transición a la nueva matriz en [elemeigenvalue] se puede ilustrar con [ left ( begin {array} {rrr} 33 & -105 & 105 10 & -32 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right) rightarrow left ( begin {array} {rrr} 3 & -9 & 15 10 & -32 & 30 0 & 0 & - 2 end {array} right) rightarrow left ( begin {array} {rrr} 3 & 0 & 15 10 & -2 & 30 0 & 0 & -2 end {array} right ) ]

El tercer tipo especial de matriz que consideraremos en esta sección es la matriz triangular. Recuerde la definición [def: triangularmatrices] que establece que una matriz triangular superior (inferior) contiene todos los ceros debajo (arriba) de la diagonal principal. Recuerde que encontrar el determinante de una matriz triangular es un procedimiento simple de tomar el producto de las entradas en la diagonal principal. Resulta que también hay una manera simple de encontrar los valores propios de una matriz triangular.

En el siguiente ejemplo demostraremos que los valores propios de una matriz triangular son las entradas en la diagonal principal.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): valores propios para una matriz triangular

Deje (A = left ( begin {array} {rrr} 1 & 2 & 4 0 & 4 & 7 0 & 0 & 6 end {array} right). ) Encuentre los valores propios de (A).

Solución

Necesitamos resolver la ecuación ( det left ( lambda I - A right) = 0 ) de la siguiente manera [ begin {alineado} det left ( lambda I - A right) = det left ( begin {array} {ccc} lambda -1 & -2 & -4 0 & lambda -4 & -7 0 & 0 & lambda -6 end {array} right) = izquierda ( lambda -1 derecha) izquierda ( lambda -4 derecha) izquierda ( lambda -6 derecha) = 0 end {alineado} ]

Resolver la ecuación ( left ( lambda -1 right) left ( lambda -4 right) left ( lambda -6 right) = 0 ) para ( lambda ) da como resultado los valores propios ( lambda_1 = 1, lambda_2 = 4 ) y ( lambda_3 = 6 ). Por tanto, los valores propios son las entradas en la diagonal principal de la matriz original.

El mismo resultado es cierto para las matrices triangulares inferiores. Para cualquier matriz triangular, los valores propios son iguales a las entradas en la diagonal principal. Para encontrar los vectores propios de una matriz triangular, usamos el procedimiento habitual.

En la siguiente sección, exploramos un proceso importante que involucra los autovalores y autovectores de una matriz.


Ver el vídeo: Eigenvalue examples (Diciembre 2021).