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1.5: Rango y sistemas homogéneos

1.5: Rango y sistemas homogéneos



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Existe un tipo especial de sistema que requiere un estudio adicional. Este tipo de sistema se denomina sistema homogéneo de ecuaciones, que definimos anteriormente en Definición [def: homogeneoussystem]. Nuestro enfoque en esta sección es considerar qué tipos de soluciones son posibles para un sistema homogéneo de ecuaciones.

Considere la siguiente definición.

Definición ( PageIndex {1} ): Solución trivial

Considere el sistema homogéneo de ecuaciones dado por [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = 0 a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = 0 vdots a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2 } x_ {2} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = 0 end {matriz} ] Entonces, (x_ {1} = 0, x_ {2} = 0, cdots, x_ {n } = 0 ) es siempre una solución para este sistema. A esto lo llamamos el solución trivial .

Si el sistema tiene una solución en la que no todos los (x_1, cdots, x_n ) son iguales a cero, entonces llamamos a esta solución no trivial . La solución trivial no nos dice mucho sobre el sistema, ya que dice que (0 = 0 )! Por lo tanto, cuando trabajamos con sistemas homogéneos de ecuaciones, queremos saber cuándo el sistema tiene una solución no trivial.

Suponga que tenemos un sistema homogéneo de (m ) ecuaciones, usando (n ) variables, y suponga que (n> m ). En otras palabras, hay más variables que ecuaciones. Entonces, resulta que este sistema siempre tiene una solución no trivial. El sistema no solo tendrá una solución no trivial, sino que también tendrá infinitas soluciones. También es posible, pero no obligatorio, tener una solución no trivial si (n = m ) y (n

Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Soluciones para un sistema homogéneo de ecuaciones

Encuentre las soluciones no triviales del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones [ begin {array} {c} 2x + y - z = 0 x + 2y - 2z = 0 end {array} ]

Solución

Note que este sistema tiene (m = 2 ) ecuaciones y (n = 3 ) variables, entonces (n> m ). Por lo tanto, según nuestra discusión anterior, esperamos que este sistema tenga infinitas soluciones.

El proceso que usamos para encontrar las soluciones para un sistema homogéneo de ecuaciones es el mismo proceso que usamos en la sección anterior. Primero, construimos la matriz aumentada, dada por [ left [ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 0 1 & 2 & -2 & 0 end {array} right ] ] Luego, llevamos esta matriz a su, dada a continuación. [ left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 end {array} right] ] El sistema de ecuaciones correspondiente es [ begin {array} {c} x = 0 y - z = 0 end {array} ] Dado que (z ) no está restringido por ninguna ecuación, sabemos que esta variable se convertirá en nuestro parámetro. Sea (z = t ) donde (t ) es cualquier número. Por lo tanto, nuestra solución tiene la forma [ begin {array} {c} x = 0 y = z = t z = t end {array} ] Por lo tanto, este sistema tiene infinitas soluciones, con un parámetro (t ).

Supongamos que escribiéramos la solución del ejemplo anterior en otra forma. Específicamente, [ begin {array} {c} x = 0 y = 0 + t z = 0 + t end {array} ] se puede escribir como [ left [ begin {array} {r} x y z end {matriz} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 0 end {matriz} right] + t left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ] Observe que hemos construido una columna a partir de las constantes en la solución (todas iguales a (0 )), como así como una columna correspondiente a los coeficientes de (t ) en cada ecuación. Si bien discutiremos esta forma de solución más en capítulos posteriores, por ahora considere la columna de coeficientes del parámetro (t ). En este caso, esta es la columna ( left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ).

Hay un nombre especial para esta columna, que es solución básica. Las soluciones básicas de un sistema son columnas construidas a partir de los coeficientes de los parámetros de la solución. A menudo denotamos soluciones básicas por (X_1, X_2 ) etc., dependiendo de cuántas soluciones ocurran. Por lo tanto, el Ejemplo [exa: homogeneoussolution] tiene la solución básica (X_1 = left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right] ).

Exploramos esto más a fondo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Soluciones básicas de un sistema homogéneo

Considere el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones. [ begin {array} {c} x + 4y + 3z = 0 3x + 12y + 9z = 0 end {array} ] Encuentra las soluciones básicas para este sistema.

Solución

La matriz aumentada de este sistema y el resultado son [ left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 4 & 3 & 0 3 & 12 & 9 & 0 end {array} right] rightarrow cdots rightarrow left [ begin {array} {rrr | r} 1 & 4 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right] ] Cuando se escribe en ecuaciones, el sistema está dado por [x + 4y + 3z = 0 ] Observe que solo (x ) corresponde a una columna pivote. En este caso, tendremos dos parámetros, uno para (y ) y otro para (z ). Sea (y = s ) y (z = t ) para cualquier número (s ) y (t ). Entonces, nuestra solución se convierte en [ begin {array} {c} x = -4s - 3t y = s z = t end {array} ] que se puede escribir como [ left [ begin {matriz} {r} x y z end {matriz} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 0 end {matriz} right] + s left [ begin {array} {r} -4 1 0 end {array} right] + t left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {matriz} right] ] Aquí puede ver que tenemos dos columnas de coeficientes correspondientes a parámetros, específicamente una para (s ) y otra para (t ). ¡Por lo tanto, este sistema tiene dos soluciones básicas! Estos son [X_1 = left [ begin {array} {r} -4 1 0 end {array} right], X_2 = left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {matriz} right] ]

Presentamos ahora una nueva definición.

Definición ( PageIndex {1} ): combinación lineal

Sean (X_1, cdots, X_n, V ) matrices de columna. Entonces se dice que (V ) es un combinación lineal de las columnas (X_1, cdots, X_n ) si existen escalares, (a_ {1}, cdots, a_ {n} ) tales que [V = a_1 X_1 + cdots + a_n X_n ]

Un resultado notable de esta sección es que una combinación lineal de las soluciones básicas es nuevamente una solución para el sistema. Aún más notable es que cada solución se puede escribir como una combinación lineal de estas soluciones. Por lo tanto, si tomamos una combinación lineal de las dos soluciones del Ejemplo [exa: soluciones básicas], esta también sería una solución. Por ejemplo, podríamos tomar la siguiente combinación lineal

[3 left [ begin {array} {r} -4 1 0 end {array} right] + 2 left [ begin {array} {r} -3 0 1 end {matriz} right] = left [ begin {matriz} {r} -18 3 2 end {matriz} right] ] Debería tomarse un momento para verificar que [ izquierda [ begin {matriz} {r} x y z end {matriz} derecha] = izquierda [ begin {matriz} {r} -18 3 2 end {matriz} derecho]]

es de hecho una solución al sistema del Ejemplo [exa: basicsolutions].

Otra forma en la que podemos encontrar más información sobre las soluciones de un sistema homogéneo es considerar la rango de la matriz de coeficientes asociada. Ahora definimos lo que se entiende por rango de una matriz.

Definición ( PageIndex {1} ): Rango de una matriz

Sea (A ) una matriz y considere cualquiera de (A ). Entonces, el número (r ) de las entradas principales de (A ) no depende del que elija, y se llama rango de (A ). Lo denotamos por Rango ( (A )).

De manera similar, podríamos contar el número de posiciones pivote (o columnas pivote) para determinar el rango de (A ).

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el rango de una matriz

Considere la matriz [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 1 & 5 & 9 2 & 4 & 6 end {array} right] ] ¿Cuál es su rango?

Solución

Primero, necesitamos encontrar el de (A ). A través del algoritmo habitual, encontramos que esto es [ left [ begin {array} {rrr} fbox {1} & 0 & -1 0 & fbox {1} & 2 0 & 0 & 0 end {array} right] ] Aquí tenemos dos entradas principales, o dos posiciones pivote, que se muestran arriba en cuadros. El rango de (A ) es (r = 2. )

Observe que habríamos obtenido la misma respuesta si hubiéramos encontrado el de (A ) en lugar del.

Supongamos que tenemos un sistema homogéneo de (m ) ecuaciones en (n ) variables, y supongamos que (n> m ). De nuestra discusión anterior, sabemos que este sistema tendrá infinitas soluciones. Si consideramos el rango de la matriz de coeficientes de este sistema, podemos averiguar aún más sobre la solución. Tenga en cuenta que estamos mirando solo la matriz de coeficientes, no toda la matriz aumentada.

Teorema ( PageIndex {1} ): rango y soluciones para un sistema homogéneo

Sea (A ) la matriz de coeficientes (m times n ) correspondiente a un sistema homogéneo de ecuaciones, y suponga que (A ) tiene rango (r ). Entonces, la solución al sistema correspondiente tiene (n-r ) parámetros.

Considere nuestro ejemplo anterior [exa: soluciones básicas] en el contexto de este teorema. El sistema en este ejemplo tiene (m = 2 ) ecuaciones en (n = 3 ) variables. Primero, debido a que (n> m ), sabemos que el sistema tiene una solución no trivial y, por lo tanto, infinitas soluciones. Esto nos dice que la solución contendrá al menos un parámetro. ¡El rango de la matriz de coeficientes puede decirnos aún más sobre la solución! El rango de la matriz de coeficientes del sistema es (1 ), ya que tiene una entrada principal en. El teorema [thm: rankhomogeneoussolutions] nos dice que la solución tendrá parámetros (n-r = 3-1 = 2 ). Puede comprobar que esto es cierto en la solución del Ejemplo [exa: basicsolutions].

Observe que si (n = m ) o (n

Aquí no estamos limitados a sistemas homogéneos de ecuaciones. El rango de una matriz se puede utilizar para conocer las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales. En la sección anterior, discutimos que un sistema de ecuaciones puede no tener solución, una solución única o infinitas soluciones. Supongamos que el sistema es consistente, sea homogéneo o no. El siguiente teorema nos dice cómo podemos usar el rango para aprender sobre el tipo de solución que tenemos.

Teorema ( PageIndex {1} ): rango y soluciones para un sistema consistente de ecuaciones

Sea (A ) la (m times left (n + 1 right) ) matriz aumentada correspondiente a un sistema consistente de ecuaciones en (n ) variables, y suponga que (A ) tiene rango (r ). Luego

  1. el sistema tiene una solución única si (r = n )

  2. el sistema tiene infinitas soluciones si (r

No presentaremos una prueba formal de esto, pero consideremos las siguientes discusiones.

  1. Sin solución El teorema anterior asume que el sistema es consistente, es decir, que tiene una solución. Resulta que es posible que la matriz aumentada de un sistema sin solución tenga cualquier rango (r ) siempre que (r> 1 ). Por lo tanto, ¡debemos saber que el sistema es consistente para poder usar este teorema!

  2. Solución única Suponga (r = n ). Entonces, hay una posición de pivote en cada columna de la matriz de coeficientes de (A ). Por tanto, existe una solución única.

  3. Infinitas soluciones Suponga (r


Al realizar operaciones de fila elementales en un sistema homogéneo, obtenemos sistemas equivalentes que son todos homogéneos. De hecho, las operaciones de fila elementales (multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero, agregar un múltiplo de una ecuación a otra ecuación intercambiando dos ecuaciones) no afectan el vector cero de constantes en el lado derecho del signo igual.

Como consecuencia, podemos transformar el sistema original en un sistema homogéneo equivalente donde la matriz está en forma escalonada por filas (REF).


1.5: Rango y sistemas homogéneos

Ahora debemos abordar brevemente los sistemas no homogéneos. Los dos métodos que analizamos en el capítulo de ecuaciones diferenciales de segundo orden también se pueden utilizar aquí. Como veremos, Coeficientes indeterminados es casi idéntico cuando se usa en sistemas, mientras que la Variación de parámetros necesitará tener una nueva fórmula derivada, pero en realidad será un poco más fácil cuando se aplique a sistemas.

Coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados para sistemas es prácticamente idéntico al caso de la ecuación diferencial de segundo orden. La única diferencia es que los coeficientes deberán ser vectores ahora.

Echemos un vistazo rápido a un ejemplo.

Ya tenemos la solución complementaria ya que resolvimos esa parte en la sección de valores propios reales. Es,

Adivinar la forma de la solución en particular funcionará exactamente de la misma manera que lo hizo cuando vimos por primera vez este método. Tenemos un polinomio lineal, por lo que nuestra suposición deberá ser un polinomio lineal. La única diferencia es que los "coeficientes" deberán ser vectores en lugar de constantes. La solución particular tendrá la forma,

Entonces, necesitamos diferenciar la conjetura

Antes de conectarnos al sistema, simplifiquemos un poco la notación para ayudar con nuestro trabajo. Escribiremos el sistema como,

Esto facilitará un poco el siguiente trabajo. Ahora, conectemos las cosas al sistema.

[empezar vec a & = A left ( right) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( derecha) + izquierda ( right) end]

Ahora tenemos que igualar los coeficientes. Hacer esto da,

Ahora solo se desconoce ( vec a ) en la primera ecuación, por lo que podemos usar la eliminación gaussiana para resolver el sistema. Dejaremos este trabajo para que lo compruebes.

Ahora que sabemos ( vec a ) podemos resolver la segunda ecuación para ( vec b ).

Entonces, como pudimos resolver ambas ecuaciones, la solución particular es entonces,

La solución general es entonces,

Entonces, como puede ver, los coeficientes indeterminados es casi el mismo que la primera vez que lo vimos. Sin embargo, el trabajo para resolver las "constantes" es un poco más complicado.

Variación de parámetros

En este caso, necesitaremos derivar una nueva fórmula para la variación de parámetros para sistemas. La derivación esta vez será mucho más simple que cuando vimos por primera vez la variación de los parámetros.

Primero sea (X (t) ) una matriz cuyo (i ^ < text> ) columna es la (i ^ < text> ) solución linealmente independiente del sistema,

Ahora se puede demostrar que (X (t) ) será una solución a la siguiente ecuación diferencial.

Esto no es más que el sistema original con la matriz en lugar del vector original.

Intentaremos encontrar una solución particular para

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

Asumiremos que podemos encontrar una solución de la forma,

[< vec x_P> = X left (t right) , vec v left (t right) ]

donde necesitaremos determinar el vector ( vec v left (t right) ). Para hacer esto, necesitaremos conectarlo al sistema no homogéneo. No se olvide de definir la solución particular del producto al conectar la conjetura en el sistema.

[X ', vec v + X , vec v' = A , X , vec v + vec g ]

Tenga en cuenta que eliminamos la parte ( left (t right) ) de las cosas para simplificar un poco la notación. Ahora usando ( eqref) podemos reescribir esto un poco.

[empezarX ', vec v + X , vec v' & = X ', vec v + vec g X , vec v' & = vec g end]

Debido a que formamos (X ) usando soluciones linealmente independientes, sabemos que ( det (X) ) debe ser distinto de cero y esto a su vez significa que podemos encontrar la inversa de (X ). Entonces, multiplique ambos lados por el inverso de (X ).

Ahora todo lo que tenemos que hacer es integrar ambos lados para obtener ( vec v left (t right) ).

[, vec v left (t right) = int <<> vec g , dt >> ]

Al igual que con el caso de la ecuación diferencial de segundo orden, podemos ignorar cualquier constante de integración. La solución particular es entonces,

Trabajemos un ejemplo rápido usando esto.

Encontramos la solución complementaria a este sistema en la sección de valores propios reales. Es,

Ahora, necesitamos encontrar la inversa de esta matriz. Vimos cómo encontrar inversas de matrices en la segunda sección de revisión de álgebra lineal y el proceso es el mismo aquí aunque no tengamos entradas constantes. Te dejamos los detalles para que los verifiques.

Ahora haz la multiplicación en la integral.

Recuerde que para integrar una matriz o un vector solo debe integrar las entradas individuales.

Ahora podemos obtener la solución particular.

La solución general es entonces,

Por lo tanto, parte del trabajo puede ser un poco complicado, pero en general no está tan mal.

Aquí analizamos dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas y, aunque el trabajo puede ser un poco complicado, no son tan malos. Por supuesto, también mantuvimos la parte no homogénea bastante simple aquí. Los problemas más complicados implicarán una gran cantidad de trabajo.


Martha L. Abell, James P. Braselton, en Mathematica por ejemplo (quinta edición), 2017

6.4.1.1 Sistemas lineales homogéneos

El sistema homogéneo correspondiente de la ecuación (6.28) es

De la misma manera que con las ecuaciones lineales discutidas anteriormente, un solución general de la ecuación (6.28) es X = X h + X p donde X h es un solución general de la ecuación (6.29) y X p es un solución particular de la ecuación del sistema no homogéneo (6.28).

A solución particular para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es un conjunto de funciones que satisfacen el sistema pero no contienen constantes arbitrarias. Es decir, una solución particular a un sistema es un conjunto de funciones específicas, que no contiene constantes arbitrarias, que satisfacen el sistema.

Si Φ 1 = (ϕ 11 ϕ 21 ⋮ ϕ n 1), Φ 2 = (ϕ 12 ϕ 22 ⋮ ϕ n 2),…, Φ n = (ϕ 1 n ϕ 2 n ⋮ ϕ n n) son norte soluciones linealmente independientes de la ecuación (6.29), una solución general de la ecuación (6.29) es

Φ = (ϕ 11 ϕ 12… ϕ 1 n ϕ 21 ϕ 22… ϕ 2 n ⋮ ⋮… ⋮ ϕ n 1 ϕ n 2… ϕ n n) se llama matriz fundamental para la ecuación (6.29). Si Φ es una matriz fundamental para la ecuación (6.29), Φ ′ = A Φ o Φ ′ - A Φ = 0.


1.5: Rango y sistemas homogéneos

Ahora debemos abordar brevemente los sistemas no homogéneos. Los dos métodos que analizamos en el capítulo de ecuaciones diferenciales de segundo orden también se pueden utilizar aquí. Como veremos, Coeficientes indeterminados es casi idéntico cuando se usa en sistemas, mientras que la Variación de parámetros necesitará tener una nueva fórmula derivada, pero en realidad será un poco más fácil cuando se aplique a sistemas.

Coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados para sistemas es prácticamente idéntico al caso de la ecuación diferencial de segundo orden. La única diferencia es que los coeficientes deberán ser vectores ahora.

Echemos un vistazo rápido a un ejemplo.

Ya tenemos la solución complementaria ya que resolvimos esa parte en la sección de valores propios reales. Es,

Adivinar la forma de la solución en particular funcionará exactamente de la misma manera que lo hizo cuando vimos por primera vez este método. Tenemos un polinomio lineal, por lo que nuestra suposición deberá ser un polinomio lineal. La única diferencia es que los "coeficientes" deberán ser vectores en lugar de constantes. La solución particular tendrá la forma,

Entonces, necesitamos diferenciar la conjetura

Antes de conectarnos al sistema, simplifiquemos un poco la notación para ayudar con nuestro trabajo. Escribiremos el sistema como,

Esto facilitará un poco el siguiente trabajo. Ahora, conectemos las cosas al sistema.

[empezar vec a & = A left ( right) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( derecha) + izquierda ( right) end]

Ahora tenemos que igualar los coeficientes. Hacer esto da,

Ahora solo se desconoce ( vec a ) en la primera ecuación, por lo que podemos usar la eliminación gaussiana para resolver el sistema. Dejaremos este trabajo para que lo compruebes.

Ahora que sabemos ( vec a ) podemos resolver la segunda ecuación para ( vec b ).

Entonces, como pudimos resolver ambas ecuaciones, la solución particular es entonces,

La solución general es entonces,

Entonces, como puede ver, los coeficientes indeterminados es casi el mismo que la primera vez que lo vimos. Sin embargo, el trabajo para resolver las "constantes" es un poco más complicado.

Variación de parámetros

En este caso, necesitaremos derivar una nueva fórmula para la variación de parámetros para sistemas. La derivación esta vez será mucho más simple que cuando vimos por primera vez la variación de los parámetros.

Primero sea (X (t) ) una matriz cuyo (i ^ < text> ) columna es la (i ^ < text> ) solución linealmente independiente del sistema,

Ahora se puede demostrar que (X (t) ) será una solución a la siguiente ecuación diferencial.

Esto no es más que el sistema original con la matriz en lugar del vector original.

Intentaremos encontrar una solución particular para

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

Asumiremos que podemos encontrar una solución de la forma,

[< vec x_P> = X left (t right) , vec v left (t right) ]

donde necesitaremos determinar el vector ( vec v left (t right) ). Para hacer esto, necesitaremos conectarlo al sistema no homogéneo. No se olvide de definir la solución particular del producto al conectar la conjetura en el sistema.

[X ', vec v + X , vec v' = A , X , vec v + vec g ]

Tenga en cuenta que eliminamos la parte ( left (t right) ) de las cosas para simplificar un poco la notación. Ahora usando ( eqref) podemos reescribir esto un poco.

[empezarX ', vec v + X , vec v' & = X ', vec v + vec g X , vec v' & = vec g end]

Debido a que formamos (X ) usando soluciones linealmente independientes, sabemos que ( det (X) ) debe ser distinto de cero y esto a su vez significa que podemos encontrar la inversa de (X ). Entonces, multiplique ambos lados por el inverso de (X ).

Ahora todo lo que tenemos que hacer es integrar ambos lados para obtener ( vec v left (t right) ).

[, vec v left (t right) = int <<> vec g , dt >> ]

Al igual que con el caso de la ecuación diferencial de segundo orden, podemos ignorar cualquier constante de integración. La solución particular es entonces,

Trabajemos un ejemplo rápido usando esto.

Encontramos la solución complementaria a este sistema en la sección de valores propios reales. Es,

Ahora, necesitamos encontrar la inversa de esta matriz. Vimos cómo encontrar inversas de matrices en la segunda sección de revisión de álgebra lineal y el proceso es el mismo aquí aunque no tengamos entradas constantes. Te dejamos los detalles para que los verifiques.

Ahora haz la multiplicación en la integral.

Recuerde que para integrar una matriz o un vector solo debe integrar las entradas individuales.

Ahora podemos obtener la solución particular.

La solución general es entonces,

Por lo tanto, parte del trabajo puede ser un poco complicado, pero en general no está tan mal.

Aquí analizamos dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas y, aunque el trabajo puede ser un poco complicado, no son tan malos. Por supuesto, también mantuvimos la parte no homogénea bastante simple aquí. Los problemas más complicados implicarán una gran cantidad de trabajo.


1.5: Rango y sistemas homogéneos

Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de matriz, matriz aumentada, sistemas homogéneos y no homogéneos, regla de Cramer & # 8217s, espacio nulo

Forma matricial de un sistema lineal de ecuaciones. La forma matricial de un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas

donde A es la matriz de coeficientes,

Matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. La matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales AX = B es la matriz

formado agregando el vector constante (b & # 8217s) a la derecha de la matriz de coeficientes.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales reduciendo la matriz aumentada del sistema a la forma canónica de filas. Un sistema de ecuaciones lineales AX = B se puede resolver reduciendo la matriz aumentada del sistema a la forma canónica de filas mediante operaciones de fila elementales.

[A B] se reduce mediante transformaciones de filas elementales a la forma canónica equivalente a filas de la siguiente manera:

Por tanto, la solución es el sistema equivalente de ecuaciones:

Expresado en forma vectorial, tenemos

¿Cómo se sabe si un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas es consistente o inconsistente, es decir, si tiene una solución o no? La respuesta viene dada por el siguiente teorema fundamental.

Teorema fundamental. Un sistema AX = B de m ecuaciones lineales en n incógnitas es consistente si y solo si la matriz de coeficientes y la matriz aumentada del sistema tienen el mismo rango.

Corolario. Una condición necesaria para que el sistema AX = B de n + 1 ecuaciones lineales en n incógnitas tenga una solución es que | A B | = 0, es decir, el determinante de la matriz aumentada es igual a cero.

Teorema. En un sistema consistente AX = B de m ecuaciones lineales en n incógnitas de rango r & lt n, n-r de las incógnitas pueden elegirse de modo que la matriz de coeficientes de las r incógnitas restantes sea de rango r. Cuando a estas n-r incógnitas se les asigna cualquier valor, las otras r incógnitas se determinan de forma única.

Reducimos [A B] mediante transformaciones de filas elementales a la forma canónica equivalente a filas [C K] de la siguiente manera:

Dado que A y [A B] son ​​cada uno de rango r = 3, el sistema dado es consistente, además, la solución general contiene n - r = 4 - 3 = 1 constante arbitraria. Desde la última fila de [C K], x4 = 0. Sea x3 = a donde a es arbitrario entonces x1 = 10 + 11a y x2 = -2 - 4a. La solución del sistema está dada por x1 = 10 + 11a, x2 = -2 - 4a, x3 = a, x4 = 0 o

Sistemas homogéneos y no homogéneos. Una ecuación lineal del tipo

en el que el término constante es cero se llama homogéneo mientras que una ecuación lineal del tipo

donde el término constante b no es cero se llama no homogéneo. De manera similar, un sistema de ecuaciones AX = 0 se llama homogéneo y un sistema AX = B se llama no homogéneo siempre que B no sea el vector cero.

Teorema. Un sistema de n ecuaciones no homogéneas en n incógnitas AX = B tiene una solución única siempre que el rango de su matriz de coeficientes A sea n, es decir, | A | & # 88000.

Dos métodos adicionales para resolver un sistema no homogéneo consistente AX = B de n ecuaciones en n incógnitas.

Método de determinantes usando la regla de Cramers & # 8217s. Denotar por AI, (i = 1,2,. n) la matriz obtenida de A reemplazando su i-ésima columna con la columna de constantes (la b & # 8217s). Entonces, si | A | & # 88000, el sistema AX = B tiene la solución única

Solución usando A -1. Si | A | & # 8800 0, A -1 existe y la solución del sistema AX = B está dada por X = A -1 B.

Teorema. En un sistema de n ecuaciones lineales en n incógnitas AX = B, si el determinante de la matriz de coeficientes A es cero, no puede existir ninguna solución a menos que todos los determinantes que aparecen en los numeradores de la regla de Cramer sean también cero.

Sistemas homogéneos de ecuaciones.

Considere el sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX = 0 que consta de m ecuaciones en n incógnitas. Sea r el rango de la matriz de coeficientes A. Si r = n, la solución consta únicamente de la solución única X = 0, que se denomina solución trivial. Si r & lt n hay un número infinito de vectores solución que satisfarán el sistema correspondiente a todos los puntos en algún subespacio del espacio n-dimensional. Para ilustrar esto, consideremos algunos ejemplos simples del espacio tridimensional ordinario.

Suponga que el sistema AX = 0 consta de una única ecuación

Esta ecuación corresponde a un plano en el espacio tridimensional que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Cualquier punto de este plano satisface la ecuación y, por tanto, es una solución de nuestro sistema AX = 0. El conjunto de todas las soluciones de nuestro sistema AX = 0 corresponde a todos los puntos de este plano. Además, dado que el plano pasa por el origen del sistema de coordenadas, el plano representa un espacio vectorial. ¿Por qué? Porque una combinación lineal de dos vectores cualesquiera en el plano también está en el plano y cualquier vector en el plano se puede obtener como una combinación lineal de dos vectores base cualesquiera en el plano. Entonces, en resumen, en este ejemplo en particular, la solución establecida para nuestro sistema AX = 0 corresponde al subespacio bidimensional del espacio tridimensional representado por este plano. Llamamos a este subespacio el espacio solución del sistema AX = 0.

Consideremos otro ejemplo. Suponga que el sistema AX = 0 consta de las siguientes dos ecuaciones

Estas dos ecuaciones corresponden a dos planos en el espacio tridimensional que se cruzan en alguna línea que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Cualquier punto de esta línea de intersección satisface el sistema y, por lo tanto, es una solución para nuestro sistema AX = 0. Además, como la línea pasa por el origen del sistema de coordenadas, la línea representa un espacio vectorial. Una combinación lineal de cualesquiera dos vectores en la línea también está en la línea y cualquier vector en la línea se puede obtener como una combinación lineal de cualquier vector base para la línea. Entonces, en resumen, en este ejemplo la solución establecida para nuestro sistema AX = 0 corresponde a un subespacio unidimensional de espacio tridimensional representado por esta línea de intersección de los dos planos. En este caso, el espacio solución del sistema AX = 0 es unidimensional.

¿Qué determina la dimensión del espacio solución del sistema AX = 0? La dimensión viene dada por n - r. En nuestro primer ejemplo, el número de incógnitas, n, es 3 y el rango, r, es 1, por lo que la dimensión del espacio de la solución fue 3 - 1 = 2. En nuestro segundo ejemplo, n = 3 y r = 2, por lo que la dimensión de el espacio de la solución era 3 - 2 = 1.

Espacio nulo de una matriz. El espacio solución del sistema homogéneo AX = 0 se llama espacio nulo de la matriz A. La razón de este nombre es que si la matriz A se ve como un operador lineal que mapea puntos de algún espacio vectorial V en sí misma, se puede ver como mapeo de todos los elementos de este espacio de solución de AX = 0 en el elemento nulo "0". Por lo tanto, el espacio nulo N de A es el subespacio de todos los vectores en V que son representados en el elemento nulo & # 82200 "por la matriz A.

Nulidad de una matriz. La nulidad de una matriz A es la dimensión del espacio nulo de A.

Si la matriz A tiene nulidad s, entonces AX = 0 tiene s soluciones linealmente independientes X1, X2,. ,Xs tal que cada solución de AX = 0 es una combinación lineal de ellos y cada combinación lineal de ellos es una solución. Una base para el espacio nulo A es cualquier conjunto de s soluciones linealmente independientes de AX = 0. La nulidad de una matriz A mxn de rango r está dada por

Teorema 1. Una condición necesaria y suficiente para que el sistema AX = 0 tenga una solución distinta a la solución trivial es que el rango de A sea r & lt n.

Teorema 2. Una condición necesaria y suficiente para que un sistema AX = 0 de n ecuaciones homogéneas en incógnitas tenga una solución distinta a la solución trivial es | A | = 0.

Teorema 3. Si el rango de AX = 0 es r & lt n, el sistema tiene exactamente n-r soluciones linealmente independientes de modo que cada solución es una combinación lineal de estas n-r soluciones linealmente independientes y cada combinación lineal es una solución.

Solución completa del sistema homogéneo AX = 0.

La solución completa del sistema lineal AX = 0 de m ecuaciones en n incógnitas consiste en el espacio nulo de A que se puede dar como todas las combinaciones lineales de cualquier conjunto de vectores linealmente independientes que abarque este espacio nulo. Si el rango de A es r, habrá n-r vectores linealmente independientes u1, u2,. , un-r que abarcan el espacio nulo de A. Por lo tanto, la solución completa se puede escribir como

donde C1, C2,. , Cn-r son constantes arbitrarias.

Solución completa del sistema no homogéneo AX = B.

Si el sistema AX = B de m ecuaciones en n incógnitas es consistente, una solución completa del sistema viene dada por la solución completa de AX = 0 más cualquier solución particular de AX = B. La solución completa de AX = 0 consiste en: espacio nulo de A que se puede dar como todas las combinaciones lineales de cualquier conjunto de vectores linealmente independientes que abarque este espacio nulo. Si el rango de A es r, habrá n-r vectores linealmente independientes u1, u2,. , un-r que abarcan el espacio nulo de A. Si denotamos una solución particular de AX = B por xpag entonces la solución completa se puede escribir como

donde C1, C2,. , Cn-r son constantes arbitrarias.


Un sistema de ecuaciones lineales, escrito en forma matricial como HACHA = B, is consistent if and only if the rank of the coefficient matrix is equal to the rank of the augmented matrix that is, ρ ( A) = ρ ([ A | B]).

We apply the theorem in the following examples.

Non-homogeneous Linear Equations

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

X + 2 yz = 3, 3Xy + 2z = 1, X − 2 y + 3z = 3, Xy + z +1 = 0 .

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, where


Applying Gaussian elimination method on [ A | B], we get


There are three non-zero rows in the row-echelon form of [A | B].So, ρ ([A | B] ) . = 3

So, the row-echelon form of A is . There are three non-zero rows in it. So ρ(A) = 3.

From the echelon form, we write the equivalent system of equations

The last equation 0 = 0 is meaningful. By the method of back substitution, we get

So, the solution is (x = −1, y = 4, z = 4) .(Note that A is not a square matrix.)

Here the given system is consistent and the solution is unique.

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

4X − 2 y + 6z = 8, X + y − 3z = −1, 15X − 3y + 9z = 21.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, dónde


Applying elementary row operations on the augmented matrix[ A | B], we get


Entonces, ρ ( A) = ρ ([ A | B]) = 2 < 3. From the echelon form, we get the equivalent equations

X + y - 3z = -1, y - 3z = -2 , 0 = 0 .

The equivalent system has two non-trivial equations and three unknowns. So, one of the unknowns should be fixed at our choice in order to get two equations for the other two unknowns. We fix z arbitrarily as a real number t , and we get y = 3t - 2, X = -1- (3t - 2) + 3t = 1. So, the solution is ( X = 1, y = 3t - 2, z = t ) , where t is real . The above solution set is a one-parameter family of solutions.

Here, the given system is consistent and has infinitely many solutions which form a one parameter family of solutions.

In the above example, the square matrix A is singular and so matrix inversion method cannot be applied to solve the system of equations. However, Gaussian elimination method is applicable and we are able to decide whether the system is consistent or not. The next example also confirms the supremacy of Gaussian elimination method over other methods.

Test for consistency of the following system of linear equations and if possible solve:

Xy + z = −9, 2X − 2 y + 2z = −18, 3X − 3y + 3z + 27 = 0.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, dónde


Applying elementary row operations on the augmented matrix[ A | B], we get


Entonces, ρ ( A) = ρ ([ A | B]) = 1 < 3.

From the echelon form, we get the equivalent equations X - y + z = -9, 0 = 0, 0 = 0.

The equivalent system has one non-trivial equation and three unknowns.

Taking y = s, z = t arbitrarily, we get X - s + t = -9 or X = -9 + s - t.

So, the solution is ( X = -9 + s - t , y = s, z = t ) , where s y t are parameters.

The above solution set is a two-parameter family of solutions.

Here, the given system of equations is consistent and has infinitely many solutions which form a two parameter family of solutions.

Test the consistency of the following system of linear equations

Xy + z = −9, 2Xy + z = 4, 3Xy + z = 6, 4Xy + 2z = 7.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system of equations is AX = B, dónde


Applying elementary row operations on the augmented matrix [A|B], we get


So, ρ (A) = 3 and ρ ([ A | B]) = 4. Hence ρ ( A) ≠ ρ ([ A | B]).

If we write the equivalent system of equations using the echelon form, we get

X - y + z = -9, y - z = 22, z = -23, 0 = -11.

The last equation is a contradiction.

So the given system of equations is inconsistent and has no solution. By Rouché - Capelli theorem, we have the following rule:

· If there are norte unknowns in the system of equations and ρ ( A ) = ρ ([ A | B]) = norte, then the system AX = B, is consistent and has a unique solution.

· If there are norte unknowns in the system AX = B, y ρ ( A ) = ρ ([ A | B]) = norte - k , k ≠ 0 then the system is consistent and has infinitely many solutions and these solutions form a k - parameter family. In particular, if there are 3 unknowns in a system of equations and ρ ( A ) = ρ ([ A | B]) = 2, then the system has infinitely many solutions and these solutions form a one parameter family. In the same manner, if there are 3 unknowns in a system of equations and ρ ( A ) = ρ ([ A | B]) = 1, then the system has infinitely many solutions and these solutions form a two parameter family.

· If ρ ( A ) ≠ ρ ([ A | B]), then the system AX = B is inconsistent and has no solution.

Ejemplo 1.33

Find the condition on a, b and c so that the following system of linear equations has one parameter family of solutions: x + y + z = a, x + 2 y + 3z = b, 3x + 5 y + 7z = c.

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, dónde A =

Applying elementary row operations on the augmented matrix [ A | B], we get


In order that the system should have one parameter family of solutions, we must have ρ ( A) = ρ ([ A, B]) = 2. So, the third row in the echelon form should be a zero row.

Entonces, C - 2B - a = 0 ⇒ C = a + 2B.

Ejemplo 1.34

Investigate for what values of λ y μ the system of linear equations

X + 2 y + z = 7, X + y + λ z = μ, X + 3y − 5z = 5 has

(i) no solution (ii) a unique solution (iii) an infinite number of solutions.

Solución

Here the number of unknowns is 3.

The matrix form of the system is AX = B, dónde A =

Applying elementary row operations on the augmented matrix [ A | B], we get


(i) If λ = 7 and μ ≠ 9 , then ρ (A) = 2 and ρ ([ A | B]) = 3. So ρ ( A) ≠ ρ ([ A | B]). Hence the given system is inconsistent and has no solution.

(ii) If λ ≠ 7 and m is any real number, then ρ (A) = 3 and ρ ([ A | B]) = 3.

So ρ (A) = ρ ([ A | B]) = 3 = Number of unknowns. Hence the given system is consistent and has a unique solution.

(iii) If λ = 7 and μ = 9, then ρ(A) = 2 and ρ ([ A | B]) = 2.

So, ρ(A) = ρ ([ A | B]) = 2 < Number of unknowns. Hence the given system is consistent and has infinite number of solutions.


Elementary Operations

The algebraic method for solving systems of linear equations is described as follows. Two such systems are said to be equivalente if they have the same set of solutions. A system is solved by writing a series of systems, one after the other, each equivalent to the previous system. Each of these systems has the same set of solutions as the original one the aim is to end up with a system that is easy to solve. Each system in the series is obtained from the preceding system by a simple manipulation chosen so that it does not change the set of solutions.

As an illustration, we solve the system , in this manner. At each stage, the corresponding augmented matrix is displayed. The original system is

First, subtract twice the first equation from the second. The resulting system is

which is equivalent to the original. At this stage we obtain by multiplying the second equation by . The result is the equivalent system

Finally, we subtract twice the second equation from the first to get another equivalent system.

Now this system is easy to solve! And because it is equivalent to the original system, it provides the solution to that system.

Observe that, at each stage, a certain operation is performed on the system (and thus on the augmented matrix) to produce an equivalent system.

Definition 1.1 Elementary Operations

The following operations, called elementary operations, can routinely be performed on systems of linear equations to produce equivalent systems.

  1. Interchange two equations.
  2. Multiply one equation by a nonzero number.
  3. Add a multiple of one equation to a different equation.

Suppose that a sequence of elementary operations is performed on a system of linear equations. Then the resulting system has the same set of solutions as the original, so the two systems are equivalent.

Elementary operations performed on a system of equations produce corresponding manipulations of the filas of the augmented matrix. Thus, multiplying a row of a matrix by a number />means multiplying every entryof the row by />. Adding one row to another row means adding each entry of that row to the corresponding entry of the other row. Subtracting two rows is done similarly. Note that we regard two rows as equal when corresponding entries are the same.

In hand calculations (and in computer programs) we manipulate the rows of the augmented matrix rather than the equations. For this reason we restate these elementary operations for matrices.

Definition 1.2 Elementary Row Operations

The following are called elementary row operations on a matrix.

  1. Interchange two rows.
  2. Multiply one row by a nonzero number.
  3. Add a multiple of one row to a different row.

In the illustration above, a series of such operations led to a matrix of the form

where the asterisks represent arbitrary numbers. In the case of three equations in three variables, the goal is to produce a matrix of the form

This does not always happen, as we will see in the next section. Here is an example in which it does happen.

Example 1.1.3 Find all solutions to the following system of equations.

Solución:
The augmented matrix of the original system is

To create a in the upper left corner we could multiply row 1 through by . However, the can be obtained without introducing fractions by subtracting row 2 from row 1. The result is

The upper left is now used to “clean up” the first column, that is create zeros in the other positions in that column. First subtract times row 1 from row 2 to obtain

Next subtract times row 1 from row 3. The result is

This completes the work on column 1. We now use the in the second position of the second row to clean up the second column by subtracting row 2 from row 1 and then adding row 2 to row 3. For convenience, both row operations are done in one step. The result is

Note that the last two manipulations did not affect the first column (the second row has a zero there), so our previous effort there has not been undermined. Finally we clean up the third column. Begin by multiplying row 3 by to obtain

Now subtract times row 3 from row 1, and then add times row 3 to row 2 to get

The corresponding equations are , , y , which give the (unique) solution.


1.5: Rank and Homogeneous Systems

Pregunta 1. The homogeneous equation Ax = 0 has the trivial solution if and only if the equation has at least one free variable.

Respuesta: False. Every homogeneous equation has the trivial solution x = 0.

Pregunta 2. The parametric equation x = p + tv described a line through v parallel to p.

Respuesta: False. This is a line through p parallel to v. Try t = 0.

Question 3. The solution set of Ax = b is the set of all vectors of the form w = p + v, where v is any solution of Ax = 0, and Ap = b.

Respuesta: Cierto. See Theorem 6, page 52.

Question 4. If x is a nontrivial solution of Ax = 0, then every entry in x is nonzero.

Respuesta: False. If x is not equal to the zero vector, and Ax = 0, then x is a nontrivial solution. The trivial solution has all entries 0. If some entries are zero but not all, then x is not = 0.

Pregunta 5. The equation Ax = b is homogeneous if the zero vector is a solution.

Respuesta: Cierto. If 0 is a solution, then A0 = b. But A0 = 0 for any matrix A, so b = 0.


Serenitea Pot Genshin Impact 1.5 - How to Unlock, Tubby, Furniture Crafting, Co-op Explained

First teased a little bit after Genshin Impact‘s launch in September 2020, the Serenitea Pot system will let us freely customize our own home, craft furniture, and earn extra rewards.

Genshin Impact – How to unlock the Serenitea Pot

First, you’ll need to be at AR 35 or above, and to have completed the main story quest Chapter I: Act III “A New Star Approaches” As in, you need to be past the point in the main story when we entered Madame Ping’s teapot, which makes perfect sense. As it’s world-building and a demonstration of how the Serenitea Pot works. Adepti uses them as media to channel their power and create Realms and Abodes.

If all the above conditions are cleared, you’ll unlock the “A Teapot to Call Home” quest. Simply clear it by following the instructions in-game, as Genshin Impact always tells you where to go on the map, and you’ll get your Serenitea Pot Gadget.

Why Ratchet & Clank is the Most Important PS5 Game

Genshin Impact – Entering, leaving the Serenitea Pot

Go to the Gadget menu in your inventory, and use the Serenitea Pot to summon it. Then interact with it to enter. Once you’re inside, you can interact with the Pot again to leave. Else, you can also directly teleport outside through the map.

Realm layouts

When you first enter the Serenitea Pot, you’ll be asked to select one of three different layouts.

Cool Isle: An island cluster surrounded by water. One wonders how many cups of tea can be brewed from this vast ocean.

Emerald Peak: A cloud piercing mountain peak. Well, that’s how it looks, at least. But being inside a teapot and all, the highest mountain probably reaches no higher than the stalk of a tea leaf.

Floating Abode: An island cluster suspended in mid-air. A typical feature of many adepti realms. A boundless world featuring nothing besides a cluster of islands.

Trust Rank

The first time you craft and obtain a furnishing, you earn Trust. Accumulate Trust to increase your Trust Rank, and unlock more features for the Serenitea Pot and earn rewards. At some point, you’ll also be able to unlock the remaining two layouts you didn’t pick at first.

How to obtain Furnishings Blueprints, How to Craft, Materials needed

Inside the realm, you can place both indoor and outdoor decorations and furniture, such as buildings, plants, decorations, animals, etc.

After crafting a furnishing, you can click on the furnishings icon in the top-right corner to enter the Furnishings Screen. On the Furnishings Screen, you can place the furnishings you have crafted.

We can get new Furnishing Blueprints by increasing our Trust Rank, completing the Adeptal Mirror, and participating in events. We can also buy Furnishing Blueprints in the Realm Depot or from the Teapot Traveling Salesman.

The Adeptal Mirror is a list of objectives to fulfill.

As for getting materials for crafting, with 1.5, we’ll now be able to cut down trees in Teyvat. Each tree variety offers different types of wood. We’ll also get materials from ore and plants.

Serenitea Pot – Realm Currency, Realm Depot

As you develop your realm, you’ll obtain Real Currency, which can be exchanged with the Teapot Spirit for rewards.

Realm Currency is contained in the Jar of Riches, which has a storage limit. So we’ll need to regularly talk to Tubby and empty the Jar of Riches.

We can also access the Realm Depot via Tubby. In this menu, we can exchange Realm Currency for rare realm items, furnishings, and furnishing blueprints. As your Trust Rank increases, more Realm Treasures will be available.

Adeptal Energy

Placing furnishing in the realm increases Adeptal Energy. With a high Adeptal Energy Rank and Trust Rank, we’ll be able to get Realm Currency faster, and increase the storage limit of the Jar of Riches.

Genshin Impact – Co-op in Serenitea Pot

The Serenitea Pot will have a co-op feature at launch. We’ll be able to visit our Friends’ Realms to hang out together, and check the wares of their Teapot Traveling Salesman. What he will be selling differs from world to world.

Future updates

miHoYo stressed out the Serenitea Pot system will still be in development in Ver1.5. More features will be coming later on, most notably a Gardening system.

Genshin Impact 1.5 Beneath the Light of Jadeite will launch on April 28. The game’s PS5 native version is launching then as well.


Ver el vídeo: Sistema de Ecuaciones Homogéneo Compatible Determinado y Compatible Indeterminado. Método de Gauss (Agosto 2022).