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3.1: Gráficas de funciones cuadráticas

3.1: Gráficas de funciones cuadráticas


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Fuentes: A_Estanterías / Precálculo / Libro: _Precalculus_ (OpenStax) / 03: _Polynomial_and_Rational_Functions / 303: _Quadratic_Functions (por Jay Abramson) METRO_Estanterías / Álgebra / Libro: _Intermediate_Algebra_ (OpenStax) /09:_Quadratic_Equations_and_Functions/9.07:_Graph_Quadratic_Functions_Using_Properties (por Lynn Marecek)
METRO_Estanterías / Álgebra / Libro: _Intermediate_Algebra_ (OpenStax) /09:_Quadratic_Equations_and_Functions/9.08:_Graph_Quadratic_Functions_Using_Transformations

Gráficas de funciones cuadráticas

A Función cuadrática es cualquier función definida por un polinomio cuyo máximo exponente es dos. Eso significa que se puede escribir en la forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), con las restricciones de que (a ) NO puede ser cero, y (a ), (b ) y (c ) son números reales.

La gráfica de cualquier función cuadrática es una curva en forma de U llamada parábola. Hay ciertas características clave que es importante reconocer que se pueden ver en un gráfico y que se pueden calcular a partir de una ecuación.

1. El orientación de una parábola es que se abre o se abre hacia abajo

2. El vértice es el punto más bajo o más alto del gráfico

3. El eje de simetria es la línea vertical que pasa por el vértice, dividiendo la parábola en dos partes iguales. Si (h ) es la (x ) - coordenada del vértice, entonces la ecuación para el eje de simetría es (x = h ).

4. El máximo o mínimo El valor de una parábola es la coordenada (y ) - del vértice.

5. El (y ) - intersección es el punto en el que la parábola cruza el eje (y ).

La (x ) - intersecciones son los puntos en los que la parábola cruza el eje (x ) -.

6. El dominio de una parábola son todos los números reales, ((- infty, infty) ).

La abarcar de una parábola comienza o termina con el valor de la coordenada (y ) - del vértice.

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico que ilustra las características de una parábola.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificar características de una parábola a partir de un gráfico

Determine las características de la parábola que se ilustra a continuación.

Solución.

Orientación: se abre

Vértice: ((3,1) )

Eje de simetría: (x = 3 )

Valor mínimo: (y = 1 )

(y ) - intersección: ((0,7) )
(x ) - intersección: ninguna

Dominio: ((- infty, infty) )
Rango: ([1, infty) )

Formas de una función cuadrática

Hay dos formas importantes de una función cuadrática

Definiciones: formas de funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función parabólica de grado dos. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

  • La forma general de una función cuadrática es (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) con parámetros de números reales (a ), (b ), y (c ) y (a { neq } 0 ).
  • La forma estándar de una función cuadrática es (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) con parámetros de números reales (a ), (h ), y (k ) y (a { neq} 0 ). La forma estándar también se conoce como forma de vértice.

La gráfica de (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) es una gráfica de (y = x ^ 2 ) que ha sufrido algunas transformaciones. El orden en el que se realizan estas transformaciones se revisa en los pasos siguientes.

  1. Si (h> 0 ), la gráfica se desplaza hacia la derecha (h ) unidades y si (h <0 ), la gráfica se desplaza hacia la izquierda (h ) unidades.
  2. Si (a <0 ), el gráfico se ha reflejado sobre el eje (x ) -.
  3. La magnitud de (a ) indica el estiramiento de la gráfica. Si (| a |> 1 ) hay un estiramiento vertical porque el punto asociado con un valor (x ) particular se desplaza más lejos del eje (x ) - y la gráfica parece hacerse más estrecha. Pero si (| a | <1 ) hay una compresión vertical porque el punto asociado con un valor particular (x ) - se desplaza más cerca del eje (x ) - y la gráfica parece ensancharse.
  4. Si (k> 0 ), la gráfica se desplaza hacia arriba (k ) unidades, mientras que si (k <0 ), la gráfica se desplaza hacia abajo (k ) unidades.

En conclusión, está claro que el vértice está ubicado en el punto ((h, k) ). Por lo tanto, si la ecuación está en forma estándar, es muy fácil determinar la ubicación del vértice.

La ubicación del vértice si la ecuación está en forma general se puede determinar usando el hecho de que estas dos formas de una ecuación cuadrática describen la misma función. Entonces, se puede encontrar una fórmula para (h ) expandiendo la forma estándar y estableciéndola igual a la forma general.

[ begin {align *} a (x − h) ^ 2 + k & = ax ^ 2 + bx + c [4pt] ax ^ 2−2ahx + (ah ^ 2 + k) & = ax ^ 2 + bx + c end {alinear *} ]

Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deben ser iguales.

[- 2ah = b text {, entonces} h = - dfrac {b} {2a}. sin número]

Esta es la coordenada (x ) - del vértice. Para encontrar cuál es la correspondiente coordenada (y ) - del vértice, evalúe la función cuando (x = h ). En otras palabras, (f (h) = k ).

Las características de la gráfica de una función cuadrática dependen de los valores de los parámetros (a ), (b ), (c ) o (a ), (h ), (k ) usados ​​en su ecuación. A continuación se resume un resumen de cómo se pueden obtener las características de la parábola para una función cuadrática.

Cómo: encontrar características de una parábola dada una ecuación cuadrática

  • Orientación
    • (a> 0 ), se abre la parábola arriba ( stackrel {+ : : : +} { bigcup} )
    • (a <0 ), se abre la parábola abajo ( stackrel {- : : : -} { bigcap} )
  • La vértice está ubicado en ((h, k) ).
    • Si la función está en forma general, calcule (h ) y (k ): (h = dfrac {-b} {2a}, qquad k = f (h) = f ( dfrac {- b} {2a}). )
  • La eje de simetria, (x = h ) es la ( underline { textrm {ecuación}} ) de la línea vertical que pasa por el vértice.
  • La valor máximo o mínimo depende de la coordenada (y ) -, (k ), del vértice y la orientación de la parábola
    • Si la parábola se abre, ( (a> 0 )), el vértice es el punto más bajo de la gráfica, por lo que la gráfica tiene un mínimo valor (k ).
    • Si la parábola se abre hacia abajo, ( (a <0 )), el vértice es el punto más alto en la gráfica, por lo que la gráfica tiene una máximo valor (k )
  • La dominio es siempre ( mathbb {R} ) o ((- infty, infty) ).
    La abarcar depende de la coordenada (y ) -, (k ), del vértice y la orientación de la parábola
    • Si la parábola se abre, ( (a> 0 )), el vértice es el punto más bajo de la gráfica, por lo que abarcar de la función es ([k, infty) ).
    • Si la parábola se abre hacia abajo, ( (a <0 )), el vértice es el punto más alto de la gráfica, por lo que abarcar de la función es ((- infty, k] ).
  • Intercepta son los puntos donde la parábola cruza los ejes.
    • Las intersecciones en (x ) - son los puntos ((s, 0) ), donde (s ) es una solución real a (f (x) = 0 )
    • La intersección en (y ) - es el punto ((0, f (0)) ).

Orientación

Cuando el término cuadrático, es positivo, la parábola se abre hacia arriba, y cuando el término cuadrático es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encuentra la orientación de una parábola

Determina si cada parábola se abre hacia arriba o hacia abajo:

un. (f (x) = - 3 x ^ {2} +2 x-4 )

un. Solución:

Encuentra el valor de (a ).

( quad ) Dado que (a ) es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo.

B. (f (x) = 6 (x + 1) ^ {2} -11 )

B. Solución:

Encuentra el valor de (a ).

(f (x) = a (x - h) ^ 2 + k )
(f (x) = 6 (x + 1) ^ 2-11 )

(a = 6 )

( quad ) Dado que (a ) es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba.

Pruébelo ( PageIndex {2} )

Determina si la gráfica de cada función es una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo:

  1. (f (x) = 2 x ^ {2} +5 x-2 )
  2. (f (x) = - 3 (x-4) ^ {2} +7 )
Respuesta
  1. arriba ( qquad ) b. abajo
  1. (f (x) = - 2 x ^ {2} -2 x-3 )
  2. (f (x) = 5 (x + 1) ^ {2} +4 )
Respuesta
  1. abajo ( qquad ) d. arriba

Vértice y eje de simetría

Cuando se le da una cuadrática en forma estándar (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ), el vértice y el eje de simetría se encuentran fácilmente una vez que los parámetros (h ) y (k ) han sido identificados. (¡¡Observe el signo en (h ) !!) El vértice es ((h, k) ) y el eje de simetría es la línea vertical (x = h ).

Cuando se le da una cuadrática en forma general: (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), se requieren más cálculos. Después de identificar los parámetros (a ) y (b ), calcule (h = - dfrac {b} {2a} ), y luego evalúe la función para ese valor de (x ) para encontrar el correspondiente (y ) coordenada para ese punto en la gráfica: (k = f (h) ). El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice, por lo que su ecuación es (x = h ).

Ejemplo ( PageIndex {3a} ): Encuentre el vértice a partir de la forma general de la ecuación cuadrática

Para la gráfica de (f (x) = 3x ^ {2} -6 x + 2 ) encuentra:

  1. el eje de simetría
  2. el vértice

Solución:

( begin {array} {llc}
text {a.} & text {Identificar los parámetros de la ecuación} & a = 3, b = -6, c = 2
& text {El eje de simetría es la línea vertical} x = - frac {b} {2 a} &
& text {Sustituye los valores} a text {y} b text {en la fórmula} & x = - frac {-6} {2 cdot 3}
& text {Simplificar.} & x = 1
&& text {El eje de simetría es la línea} x = 1
end {matriz} )

( begin {array} {llc}
text {b.} & text {El vértice es un punto en la línea de simetría, entonces} & text {La} x text {coordenada del vértice es} x = 1
& text {La} y text {coordenada será} f (1) & f (1) = 3 ({ color {red} {1}}) ^ 2-6 ({ color {red} {1 }}) + 2
& text {Simplificar} & f (1) = 3-6 + 2
& text {El resultado es la} y text {coordenada del vértice.} & f (1) = - 1
&& text {El vértice es} (1, -1)
end {matriz} )

Ejemplo ( PageIndex {3b} ): Encuentre el vértice de la forma estándar de la ecuación cuadrática

Para la gráfica de (f (x) = 6 (x-3) ^ {2} +4 ) encuentra:

  1. el eje de simetría
  2. el vértice

Solución:

( begin {matriz} {lll}
text {a.} & text {Identificar los parámetros de la ecuación} & a = 6, h = 3, k = 4
& text {El eje de simetría es la línea vertical} x = h &
& text {Sustituir.} & text {El eje de simetría es la línea} x = 3
\
text {b.} & text {Usa los parámetros de la ecuación} & a = 6, h = 3, k = 4
& text {El vértice es el punto} (h, k) & text {El vértice es el punto} (3,4)
end {matriz} )

Pruébelo ( PageIndex {3} )

Para las siguientes funciones cuadráticas, encuentre a. el eje de simetría y b. el vértice

(f (x) = 2x ^ {2} -8 x + 1 )

Respuesta
  1. (x = 2 ) ( qquad ) b. ((2, -7) )

(f (x) = 2 (x-1) ^ {2} -5 )

Respuesta
  1. (x = 1 ) ( qquad ) b. ((1, -5) )

Valor mínimo o máximo de una función cuadrática

Sabiendo que el vértice de una parábola es el punto más bajo o más alto de la parábola nos da una manera fácil de determinar el valor mínimo o máximo de una función cuadrática.

La (y ) - coordenada del vértice de la gráfica de una función cuadrática es

  • el mínimo valor de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia arriba.
  • el maximo valor de la ecuación cuadrática si la parábola se abre hacia abajo.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentra el valor mínimo o máximo de la función cuadrática (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 ).

Solución:

( begin {array} {llc}
text {Identificar los parámetros de la ecuación} & a = 1, b = 2, c = -8
text {Dado que} a text {es positivo, la parábola se abre hacia arriba. } & text {La ecuación cuadrática tiene un mínimo.}
text {Indique la fórmula para el eje de simetría} & x = - frac {b} {2 a}
text {Sustituir.} & x = - frac {2} {2 cdot 1}
text {Simplificar.} & x = -1 qquad qquad text {El eje de simetría es la línea} x = -1
& qquad qquad qquad quad text {La} x text {coordenada del vértice es} x = -1
text {La} y text {coordenada será} f (-1) & f (-1) = ({ color {rojo} {- 1}}) ^ 2-2 ({ color {rojo} { -1}}) - 8
text {Simplificar} & f (-1) = 1-2-8
text {El resultado es la} y text {coordenada del vértice.} & f (-1) = - 9 qquad text {El vértice es} (-1, -9)
end {matriz} )

Dado que la parábola tiene un mínimo, la coordenada (y ) del vértice es el valor mínimo de (y ) de la ecuación cuadrática. El valor mínimo de la cuadrática es (- 9 ) y ocurre cuando (x = -1 ).

Pruébelo ( PageIndex {4} )

Encuentra el valor máximo o mínimo de la función cuadrática

  1. (f (x) = x ^ {2} -8 x + 12 ).
  2. (f (x) = - 4 (x-2) ^ {2} +5 ).
Respuestas

un. El valor mínimo de la función cuadrática es (- 4 ) y ocurre cuando (x = 4 ).

B. El valor máximo de la función cuadrática es (5 ) y ocurre cuando (x = 2 ).

Dominio y rango

Cualquier número puede ser el valor de entrada ( (x )) de una función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Debido a que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores (y ) - mayores o iguales que la coordenada (y ) - en el punto de inflexión o menores o iguales a la coordenada (y ) - en el punto de inflexión, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Dada una función cuadrática, encuentra el dominio y el rango.

  1. La dominio de cualquier función cuadrática es siempre ( mathbb {R} ) o ((- infty, infty) ).
  2. Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, (k )
    1. Si la función tiene la forma (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ), entonces el valor de (k ) es fácilmente visible como uno de los parámetros.
    2. Si la función tiene la forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), se debe determinar el vértice y el valor de (k ) es la coordenada (y ) del vértice.
  3. Determina si (a ) es positivo o negativo.
    1. Si (a ) es positivo, la parábola tiene un valor mínimo de (k ) y el abarcar de la función es ([k, infty) ).
    2. Si (a ) es negativo, la parábola tiene un valor máximo de (k ) y el abarcar de la función es ((- infty, k] ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encuentre el dominio y rango de una función cuadrática

Encuentre el dominio y rango de (f (x) = - 5x ^ 2 + 9x − 1 ).

Solución

Al igual que con cualquier función cuadrática, el dominio son todos los números reales.

Como (a ) es negativo, la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo.
Debe determinarse el valor máximo. Empiece por encontrar el valor (x ) - del vértice.

(h = - dfrac {b} {2a} = - dfrac {9} {2 (-5)} = dfrac {9} {10} )

El valor máximo viene dado por (f (h) ).

(f ( frac {9} {10}) = - 5 ( frac {9} {10}) ^ 2 + 9 ( frac {9} {10}) - 1 = frac {61} {20 } )

El rango es (f (x) { leq} frac {61} {20} ) o ( left (- infty, frac {61} {20} right] ).

Pruébelo ( PageIndex {5} )

Encuentra el dominio y rango de (f (x) = 2 Big (x− frac {4} {7} Big) ^ 2 + frac {8} {11} ).

Respuesta

El dominio son todos los números reales. El rango es (f (x) { geq} frac {8} {11} ), o ( left [ frac {8} {11}, infty right) ).

Intercepta

La intersección en (y ) - es el punto donde la gráfica cruza el eje (y ). Todos los puntos en el eje (y ) - tienen una coordenada (x ) de cero, por lo que la intersección en (y ) - de una cuadrática se encuentra evaluando la función (f (0) ).

Las intersecciones en (x ) - son los puntos donde la gráfica cruza el eje (x ) -. Todos los puntos en el eje (x ) - tienen una coordenada (y ) de cero, por lo que la intersección en (x ) - de una cuadrática se puede encontrar resolviendo la ecuación (f (x) = 0 ). Observe en la Figura ( PageIndex {6} ) que el número de intersecciones (x ) - puede variar dependiendo de la ubicación del gráfico.

Dada una función cuadrática (f (x) ), encuentra las intersecciones en (y ) - y (x ) -.

  1. Evalúa (f (0) ) para encontrar la intersección en (y ).
  2. Resuelve la ecuación cuadrática (f (x) = 0 ) para encontrar las intersecciones en (x ).

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar las intersecciones en (y ) - y (x ) - de una forma cuadrática general

Encuentra las intersecciones en (y ) - y (x ) - de la cuadrática (f (x) = 3x ^ 2 + 5x − 2 ).

Solución

Encuentra la intersección en (y ) - evaluando (f (0) ).

(f (0) = 3 (0) ^ 2 + 5 (0) −2 = −2 )

Entonces, la intersección en (y ) - está en ((0, −2) ).

Para las intersecciones de (x ) -, encuentre todas las soluciones de (f (x) = 0 ).

(0 = 3x ^ 2 + 5x − 2 )

En este caso, la cuadrática se puede factorizar fácilmente, proporcionando el método más simple de solución. Por lo general, las cuadráticas en forma general, como este ejemplo, generalmente se resuelven usando factorización, o en su defecto, usando la fórmula cuadrática o completando el cuadrado.

(0 = (3x − 1) (x + 2) )

[ begin {align *} 0 & = 3x − 1 & 0 & = x + 2 x & = frac {1} {3} & text {o} ; ; ; ; ; ; ; ; x & = - 2 end {align *} ]

Entonces, las intersecciones en (x ) - están en (( frac {1} {3}, 0) ) y ((- 2,0) ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Encuentra las intersecciones en (y ) - y (x ) - de la cuadrática (f (x) = x ^ 2 + x + 2 ).

Solución

Encuentra la intersección en (y ) - evaluando (f (0) ).

(f (0) = (0) ^ 2 + (0) +2 = 2 )

Entonces, la intersección en (y ) - está en ((0, −2) ).

Para las intersecciones en (x ) -, encuentra todas las soluciones de (f (x) = 0 ) o (x ^ 2 + x + 2 = 0 ). Claramente, esto no tiene en cuenta, así que emplee la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática: (x = frac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ) y para esta ecuación, (a = 1 ), (b = 1 ) y (c = 2 ). Sustituir estos valores en la fórmula produce

[ begin {align *} x & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1 ^ 2−4⋅1⋅ (2)}} {2⋅1} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1−8}} {2} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {−7}} {2} qquad = dfrac {−1 { pm} i sqrt {7}} {2} nonumber end {align *} ]

Dado que las soluciones son imaginarias, no hay intersecciones en (x ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encuentre las intersecciones en (y ) - y (x ) - de una forma cuadrática estándar

Encuentra las intersecciones en (y ) - y (x ) - de la cuadrática (f (x) = - 2 (x + 3) ^ 2 + 5 ).

Solución

Encuentra la intersección en (y ) - evaluando (f (0) ). Observe que la cantidad entre paréntesis ( ((0 + 3) = (3) )) se evalúa PRIMERO !!!

( begin {align *}
f (0) & = - 2 (0 + 3) ^ 2 + 5
&=-2(3)^2+5\
&=-2(9)+5\
&=-18+5 = -13\
end {alinear *} )

Entonces, la intersección en (y ) - está en ((0, −13) ).

Para las intersecciones de (x ) -, encuentre todas las soluciones de (f (x) = 0 ). Resolver una ecuación cuadrática dada en forma estándar, como en este ejemplo, se logra de manera más eficiente mediante el uso de la propiedad de la raíz cuadrada

( begin {matriz} {c}
0 = -2 (x + 3) ^ 2 + 5
2 (x + 3) ^ 2 = 5
(x + 3) ^ 2 = dfrac {5} {2}
x + 3 = pm sqrt { dfrac {5} {2}}
x = -3 pm sqrt { tfrac {5} {2}}
end {matriz} )

Entonces, las intersecciones en (x ) - están en ((-3+ sqrt {2.5}, 0) ) y ((-3- sqrt {2.5}, 0) ).

Pruébelo ( PageIndex {8} )

Encuentra las intersecciones en (y ) - y (x ) - para la función (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ).

Respuesta

(y ) - intersección en ((0, 13) ), No (x ) - intersecciones

Graficar una función cuadrática

Las secciones anteriores detallaron las piezas necesarias para graficar una función cuadrática. A continuación, se muestra un resumen de estos pasos y ejemplos.

Grafica una función cuadrática en la forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c )

  1. Determina si la parábola se abre hacia arriba ((a> 0) ) o hacia abajo ((a <0) ).
  2. Encuentra la ecuación del eje de simetría, (x = h ) donde (h = - tfrac {b} {2a} ).
  3. Encuentra el vértice, ((h, k) ), donde (k = f (h) ).
  4. Encuentra la intersección en (y ) -, (f (0) ). Encuentre el punto simétrico a la intersección en (y ) - a través del eje de simetría.
  5. Encuentra las intersecciones en (x ). (Establezca (f (x) = 0 ) y resuelva para x usando factorización, QF o CTS). Busque puntos adicionales si es necesario.
  6. Grafica la parábola.

Ejemplo ( PageIndex {9} ) Cómo graficar una función cuadrática de forma general usando propiedades

Grafica (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 ) usando sus propiedades.

Solución:

Paso 1: Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Mira (a ) en la ecuación (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

Dado que (a ) es positivo, la parábola se abre.

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )
( color {rojo} {a = 1, ; b = -6, ; c = 8} )

La parábola se abre hacia arriba.

Paso 2: Encuentra el eje de simetría.

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

El eje de simetría es la línea (x = - frac {b} {2 a} ).

Eje de simetria

(x = - frac {b} {2 a} )

(x = - frac {(- 6)} {2 cdot 1} )

(x = 3 )

El eje de simetría es la línea (x = 3 ).

Paso 3: Encuentra el vértice.

El vértice está en el eje de simetría. Sustituye (x = 3 ) en la función.

Vértice

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )
(f (3) = ( color {rojo} {3} color {negro} {)} ^ {2} -6 ( color {rojo} {3} color {negro} {)} + 8 )
(f (3) = - 1 )

El vértice es ((3, -1) ).

Paso 4: Encuentra la intersección en (y ). Encuentre el punto simétrico a la intersección en (y ) - a través del eje de simetría.

Encuentra (f (0) ).

Usa el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la intersección en (y ). La intersección en (y ) - es (3 ) unidades a la izquierda del eje de simetría, (x = 3 ). Un punto (3 ) unidades a la derecha del eje de simetría tiene (x = 6 ).

(y ) - intersección

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
(f (0) = ( color {rojo} {0} color {negro} {)} ^ {2} -6 ( color {rojo} {0} color {negro} {)} + 8 )
(f (0) = 8 )

La intersección en (y ) - es ((0,8) ).

Punto simétrico a (y ) - intersección:

El punto es ((6,8) ).

Paso 5: Encuentra las intersecciones en (x ). Busque puntos adicionales si es necesario.

Resuelve (f (x) = 0 ).

Resuelve esta ecuación cuadrática factorizando.

(x ) - intersecciones

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
( color {rojo} {0} color {negro} {=} x ^ {2} -6x + 8 )
( color {rojo} {0} color {negro} {=} (x-2) (x-4) )
(x = 2 ) o (x = 4 )

Las intersecciones en (x ) - son ((2,0) ) y ((4,0) ).

Paso 6: Grafica la parábola.

Graficamos el vértice, las intersecciones y el punto simétrico con la intersección en (y ). Conectamos estos (5 ) puntos para dibujar la parábola.

Pruébelo ( PageIndex {9} )

Grafica las siguientes funciones cuadráticas usando sus propiedades.

un. (f (x) = x ^ {2} + 2x-8 )

un. Respuesta
abre, vértice: ((- 1, -9) ), eje: (x = -1 ),
intersecciones: ((0, -8), (-4,0), (2, 0) ), symm. pt: ((- 2, -8) )

B. (f (x) = x ^ {2} -8x + 12 )

B. Respuesta
abre, vértice: ((4, -4) ), eje: (x = 4 ),
intersecciones: ((0, 12), (2, 0), (6, 0) ), symm.pt: ((8,12) )

Grafica una función cuadrática en la forma (f (x) = a (x-h) ^ 2 + k )

  1. Determina si la parábola se abre hacia arriba ((a> 0) ) o hacia abajo ((a <0) ).
  2. Encuentra la ecuación del eje de simetría, (x = h ).
  3. Encuentra el vértice, ((h, k) ).
  4. Encuentra la intersección en (y ) -, ((f (0) ). Encuentra el punto simétrico con la intersección en (y ) - a través del eje de simetría.
  5. Encuentra las intersecciones en (x ). (Usa la propiedad de la raíz cuadrada para resolver (a (x-h) ^ 2 + h = 0 ). Encuentra puntos adicionales si es necesario.
  6. Grafica la parábola.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Cómo graficar una forma de vértice cuadrática usando propiedades

Grafica la función (f (x) = 2 (x + 1) ^ {2} +3 ) usando sus propiedades

Solución:

Paso 1: Determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Identifica las constantes (a, h, k ).
Dado que (a = 2 ), la parábola se abre hacia arriba.

(a = 2, ; h = -1, ; k = 3 )
La parábola se abre hacia arriba.

Paso 2: Encuentra el eje de simetría.

El eje de simetría es (x = h ).

El eje de simetría es la recta. (x = -1 ).

Paso 3: Encuentra el vértice.

El vértice es ((h, k) ).

El vértice es ((- 1,3) ).

Paso 4: Encuentra la intersección en (y ). Encuentre el punto simétrico a la intersección en (y ) - a través del eje de simetría.

Encuentra la intersección en (y ) - encontrando (f (0) ).
La intersección en (y ) - es (1 ) unidades a la derecha del eje de simetría, (x = -1 ). Un punto (1 ) unidades a la izquierda del eje de simetría tiene (x = -2 ).

(f (0) = 2 (0 + 1) ^ 2 + 3 = 2 (1) + 3 = 5 )
La intersección en (y ) - es ((0,5) ).

Punto simétrico a (y ) - la intersección es ((-2,5) )

Paso 5: Encuentra las intersecciones en (x ). Busque puntos adicionales si es necesario.

Resuelve (f (x) = 0 ).
Utilice la propiedad de la raíz cuadrada.

Esta ecuación tiene soluciones imaginarias, por lo que no hay intersecciones en (x )

( begin {matriz} {c}
2 (x + 1) ^ {2} + 3 = 0
2 (x + 1) ^ {2} = - 3
(x + 1) ^ {2} = - 3/2
x + 1 = pm sqrt (-3/2)
x = -1 pm i sqrt (1.5)
end {matriz} )

Sin intersecciones (x )

Paso 6: Grafica la parábola.

Grafica el vértice, las intersecciones y el punto simétrico a la intersección en (y ). Conecta estos puntos para dibujar la parábola.

Dos puntos más:
(f (1) = 2 (1 + 1) ^ 2 + 3 = 2 (2 ^ 2) + 3 = 11 )
Por lo tanto, ((1, 11) ) está en la gráfica.

Por simetría, el punto ((-3, 11) ) también está en la gráfica

Pruébelo ( PageIndex {10} )

Grafica las siguientes funciones usando propiedades

un. (f (x) = 3 (x-1) ^ {2} +2 )

un. Respuesta
abre, vértice: ((1,2) ), eje: (x = 1 ),
intersecciones: ((0, 5) ), symm. pt: ((2,5) )

B. (f (x) = - 2 (x-2) ^ {2} +1 )

B. Respuesta
abre hacia abajo, vértice: ((2,1) ), eje: (x = 2 ),
intersecciones: ((0, -7), ( approx 1.3,0), ( approx 2.7, 0) ), symm. pt: ((4, -7) )

Reescribir cuadráticas en forma estándar

Como ilustran los ejemplos anteriores, a menudo es más fácil graficar una ecuación cuadrática que está en forma estándar, en lugar de en forma general. Esto es particularmente cierto cuando se intenta encontrar (x ) - intersecciones para ecuaciones que no se factorizan fácilmente. Hay dos enfoques diferentes para transformar una ecuación en forma general en una ecuación en forma estándar (o vértice). Un método usa las fórmulas para (h ) y (k ). El otro método usa Complete the Square. Ambos se ilustrarán a continuación.

Método de fórmula

Reescribe (y = ax ^ 2 + bx + c ) en forma de vértice - método de fórmula.

  1. Identifica las constantes (a ) y (b ).
  2. Sustituye (a ) y (b ) en la fórmula: (h = - frac {b} {2a} ).
  3. Sustituye (x = h ) en la forma general de la función cuadrática para encontrar (k ).
  4. Reescribe la cuadrática en forma estándar usando (h ) y (k ). La forma estándar de la función es (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ).

Ejemplo ( PageIndex {11} ): método de fórmula para reescribir en forma estándar

Reescribe la función cuadrática (f (x) = 2x ^ 2 + 4x − 4 ) en forma estándar.

Solución

Paso 1. Los valores de los parámetros en la forma general son (a = 2 ), (b = 4 ) y (c = -4 ).
El parámetro (a ) es el mismo en ambas formas de la función, entonces (a = 2 ).

Paso 2. Resuelve para (h ).

[ begin {align *} h & = - dfrac {b} {2a} & = - dfrac {4} {2 (2)} = −1 end {align *} ]

Paso 3. Usa el valor encontrado para (h ) para encontrar (k ).

[ begin {align *} k & = f (h) = f (−1) & = 2 (−1) ^ 2 + 4 (−1) −4 = −6 end {align *} ]

Paso 4. La forma estándar de la función es:

[ begin {align *} f (x) & = a (x − h) ^ 2 + k f (x) & = 2 (x + 1) ^ 2−6 end {align *} ]

Pruébelo ( PageIndex {11} )

Encuentra la forma estándar de la función (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ).

Respuesta

(g (x) = (x-3) ^ 2 +4 )

Completa el método cuadrado

Otra forma de transformar (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ) en la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) es completando el cuadrado. Esta forma se conoce como forma de vértice o forma estándar. Este enfoque también se utilizará cuando se estudien los círculos.

Debemos tener cuidado de sumar y restar el número al MISMO lado de la función para completar el cuadrado. No podemos sumar el número en ambos lados como hicimos cuando completamos el cuadrado con ecuaciones cuadráticas.

Cuando completamos el cuadrado en una función con un coeficiente de (x ^ {2} ) que no es uno, tenemos que factorizar ese coeficiente de los términos (x ). No lo factorizamos del término constante. A menudo es útil mover el término constante un poco hacia la derecha para que sea más fácil enfocarse solo en los términos (x ).

Una vez que obtenemos la constante que queremos para completar el cuadrado, debemos recordar multiplicarlo por el coeficiente que era parte del término (x ^ 2 ) antes de restarlo.

Reescribe (y = ax ^ 2 + bx + c ) en forma de vértice - completa el método del cuadrado.

  1. Separe los términos (x ) de la constante.
  2. Si el coeficiente de (x ^ {2} ) no es 1, factorícelo de los términos (x ^ 2 ) y (x ).
  3. Encuentra la constante CTS necesaria para completar el cuadrado en los términos (x ^ 2 ) y (x ).
  4. Sume la constante CTS a los términos (x ^ 2 ) y (x ) y reste la constante CTS (multiplicada por el coeficiente de (x ^ {2} ) si no es 1)
  5. Escribe el trinomio como un cuadrado binomial y combina las constantes fuera del cuadrado binomial para llegar a la forma estándar de la función.

Ejemplo ( PageIndex {12} ): método CTS de reescritura en forma de vértice

Reescribe (f (x) = - 3x ^ {2} −6x − 1 ) en la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.

Solución:

Paso 1. Separe los términos (x ) de la constante.

(f (x) = - 3x ^ {2} −6x − 1 )
(f (x) = - 3x ^ {2} −6x qquad qquad − 1 )

Paso 2. Factoriza el coeficiente de (x ^ {2}, -3 ).

(f (x) = - 3 (x ^ {2} + 2x) qquad qquad − 1 )

Paso 3. Prepárese para completar el cuadrado.

(f (x) = - 3 (x ^ {2} + 2x qquad qquad) −1 )

Toma la mitad de (2 ) y luego eleva al cuadrado para completar el cuadrado (( frac {1} {2} cdot 2) ^ {2} = 1 )

(f (x) = - 3 (x ^ 2 + 2x + large Box) −1 + 3 large Box )

Paso 4. La constante (1 ) completa el cuadrado entre paréntesis, pero el paréntesis se multiplica por (- 3 ). Entonces realmente estamos sumando (- 3 ). Luego debemos sumar (3 ) para no cambiar el valor de la función.

Paso 5. Reescribe el trinomio como un cuadrado y combina las constantes.

(f (x) = -3 (x + 1) ^ 2 + 2 )

La función ahora está en la forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ).

Pruébelo ( PageIndex {12} )

Reescribe las siguientes funciones en la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando el cuadrado.

un. (f (x) = - 4x ^ {2} −8x + 1 )

un. Respuesta

(f (x) = - 4 (x + 1) ^ {2} +5 )

B. (f (x) = 2x ^ {2} −8x + 3 )

B. Respuesta

(f (x) = 2 (x-2) ^ {2} -5 )

Obtener la ecuación de una función cuadrática a partir de un gráfico

Hasta ahora hemos comenzado con una función y luego encontramos su gráfica.

Ahora vamos a revertir el proceso. Empezando por la gráfica, encontraremos la función.

CÓMO: escribir una función cuadrática en forma general

Dada una gráfica de una función cuadrática, escribe la ecuación de la función en forma general.

  1. Identificar el desplazamiento horizontal de la parábola; este valor es (h ). Identificar el desplazamiento vertical de la parábola; este valor es (k ).
  2. Sustituye los valores del desplazamiento horizontal y vertical por (h ) y (k ). en la función (f (x) = a (x – h) ^ 2 + k ).
  3. Sustituye los valores de cualquier punto, que no sea el vértice, en la gráfica de la parábola por (x ) y (f (x) ).
  4. Resuelva para el factor de estiramiento, (| a | ).
  5. Si la parábola se abre, (a> 0 ). Si la parábola se abre hacia abajo, (a <0 ) ya que esto significa que la gráfica se reflejó sobre el eje (x ).
  6. Amplíe y simplifique para escribir en forma general.

Ejemplo ( PageIndex {13} ): escribir la ecuación de una función cuadrática a partir del gráfico

Escribe una ecuación para la función cuadrática (g ) en la Figura ( PageIndex {13} ) como una transformación de (f (x) = x ^ 2 ), y luego expande la fórmula y simplifica los términos a escribe la ecuación en forma general.

Solución

Como es cuadrático, comenzamos con la forma (g (x) = a (x − h) ^ {2} + k ). (¡Observa el signo menos delante de (h )!) El vértice, ((h, k) ), es ((- 2, −3) ) entonces (h = −2 ) y (k = −3 ). Sustituyendo estos valores obtenemos (g (x) = a (x + 2) ^ 2–3 ).

Sustituyendo las coordenadas de un punto en la curva, como ((0, −1) ), podemos resolver el factor de estiramiento.

[ begin {align *} −1 & = a (0 + 2) ^ 2−3 2 & = 4a a & = dfrac {1} {2} end {align *} ]

En forma estándar, el modelo algebraico para esta gráfica es (g (x) = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2–3 ).

Para escribir esto en forma polinomial general, podemos expandir la fórmula y simplificar términos.

[ begin {align *} g (x) & = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2−3 & = dfrac {1} {2} (x + 2) (x +2) −3 & = dfrac {1} {2} (x ^ 2 + 4x + 4) −3 & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 2−3 & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x − 1 end {align *} ]

Observe que los cambios horizontal y vertical de la gráfica básica de la función cuadrática determinan la ubicación del vértice de la parábola; el vértice no se ve afectado por estiramientos y compresiones.

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Determine la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

Solución:

Como es cuadrático, comenzamos con la forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).

El vértice, ((h, k) ), es ((- 2, −1) ) entonces (h = −2 ) y (k = −1 ).

(f (x) = a (x - (- 2)) ^ {2} -1 qquad longrightarrow qquad f (x) = a (x + 2) ^ {2} -1 )

Para encontrar (a ), usamos la intersección en (y ) - ((0,7) ).

Entonces (f (0) = 7 ).

(7 = a (0 + 2) ^ {2} -1 )

Resuelve para (a ).

( begin {matriz} {l} {7 = 4 a-1} {8 = 4 a} {2 = a} end {matriz} )

Escribe la función.

(f (x) = 2 (x + 2) ^ {2} -1 )

Pruébelo ( PageIndex {14} )

Escribe la función cuadrática en (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) cuya gráfica se muestra.

un.

un. Respuesta

(f (x) = (x-3) ^ {2} -4 )

B.

B. Respuesta

(f (x) = (x + 3) ^ {2} -1 )

Pruébelo ( PageIndex {15} )

Se ha superpuesto una cuadrícula de coordenadas sobre la trayectoria cuadrática de una pelota de baloncesto en la Figura ( PageIndex {15} ). Encuentra una ecuación para la trayectoria de la pelota. ¿El tirador hace la canasta?

Figura ( PageIndex {15} ): Detenga la imagen con movimiento de un niño lanzando una pelota de baloncesto a un aro para mostrar la curva parabólica que hace.
(crédito: modificación del trabajo de Dan Meyer)

Respuesta

La ruta pasa por el origen y tiene un vértice en ((- 4, 7) ), entonces (h (x) = - frac {7} {16} (x + 4) ^ 2 + 7 ). Para hacer el tiro, (h (−7.5) ) necesitaría ser aproximadamente 4 pero (h (–7.5) { approx} 1.64 ); no lo logra.

Ecuaciones clave

  • forma general de una función cuadrática: (f (x) = ax ^ 2 + bx + c )
  • la fórmula cuadrática: (x = dfrac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
  • forma estándar de una función cuadrática: (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k )

Conceptos clave

  • Una función polinomial de grado dos se llama función cuadrática.
  • La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola es una curva en forma de U que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo.
  • El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice. Los ceros, o intersecciones en (x ), son los puntos en los que la parábola cruza el eje (x ) -. La intersección en (y ) - es el punto en el que la parábola cruza el eje (y ) -.
  • Las funciones cuadráticas a menudo se escriben en forma general. La forma estándar o de vértice es útil para identificar fácilmente el vértice de una parábola. Cualquiera de las formas se puede escribir a partir de un gráfico.
  • El vértice se puede encontrar a partir de una ecuación que representa una función cuadrática. .
  • El dominio de una función cuadrática son todos los números reales. El rango varía con la función.
  • El valor mínimo o máximo de una función cuadrática viene dado por el valor (y ) del vértice.
  • Algunas ecuaciones cuadráticas deben resolverse usando la fórmula cuadrática.

Glosario

eje de simetria
una línea vertical trazada a través del vértice de una parábola alrededor de la cual la parábola es simétrica; está definido por (x = - frac {b} {2a} ).

forma general de una función cuadrática
the function that describes a parabola, written in the form (f(x)=ax^2+bx+c), where (a,b,) and (c) are real numbers and a≠0.

standard form of a quadratic function
the function that describes a parabola, written in the form (f(x)=a(x−h)^2+k), where ((h, k)) is the vertex.

vértice
the point at which a parabola changes direction, corresponding to the minimum or maximum value of the quadratic function

vertex form of a quadratic function
another name for the standard form of a quadratic function

zeros
in a given function, the values of (x) at which (y=0), also called roots


Recall that quadratic functions have the form ax 2 +bx+c, where a, b, and c are real numbers. If the value of a is 0, then we simply have a linear function and can graph it like any other linear function.

When a is not equal to 0, however, we need to use the values of a, b, and c to tell us about the graph. In particular, we are interested in the vertex, the y-intercept, the x-intercept(s), and the general shape of the graph.

Shape

Every parabola will turn upwards like a smiley face or turn downwards like a frown. We call parabolas that curve upwards “concave” and parabolas that curve downward convex. Solutions of the former will extend to positive infinity as x goes towards positive or negative infinity. On the other hand, the y-values of the latter will extend to negative infinity as x goes towards positive or negative infinity.

Note that concave parabolas may also be known as concave up and convex parabolas may also be known as concave down.

We know whether the parabola of our quadratic function will turn upwards or downwards based on the value of a. If a is positive, the parabola turns upwards. If a is negative, the parabola points downwards. This makes sense because we reflect functions over the x-axis by multiplying them by a negative.

The Axis of Symmetry

The function x 2 is an even function. This means that the function has the same value for x and -x. This makes sense because (-x) 2 =x 2 .

Even functions have a line of symmetry equal to x=0, the y-axis. This means the graph of the function on one side is the mirror image of the graph of the function on the other side.

Not every quadratic function is even because some have an x term, but every quadratic function does have a line of symmetry. This line goes right through the vertex of the function. Therefore, since the vertex has coordinates ( -b /2a, f( -b /2a)). Thus, the line of symmetry is x= -b /2a.

The y-intercept

The y-intercept of a parabola or any function is the point where x=0. This means we can find the y-intercept of a quadratic function by evaluating the function when x=0.

For a quadratic function of the form ax 2 +bx+c, we get a(0) 2 +b(0)+c=0+0+c.

Therefore, the y-intercept is (0, c).

Vertex

The vertex of a parabola is the lowest point of an upward pointing parabola and the highest point of a downward pointing parabola.

The vertex of a parabola is the point ( -b /2a, f( -b /2a)). Note that, when we just have the function x 2 , the vertex is the origin, (0, 0).

This formula for finding the vertex may seem complicated, but it is actually related to certain points on the parabola. In order to find these, however, we have to know how to solve quadratic equations.


From A Graph to The Equation

What if we have a graph, and want to find an equation?

Example: you have just plotted some interesting data, and it looks Quadratic:

Just knowing those two points we can come up with an equation.

Firstly, we know h y k (at the vertex):

So let's put that into this form of the equation:

And so here is the resulting Quadratic Equation:

Note: This may not be the correct equation for the data, but it’s a good model and the best we can come up with.


Example: Small Steel Frame

Your company is going to make frames as part of a new product they are launching.

The frame will be cut out of a piece of steel, and to keep the weight down, the final area should be 28 cm 2

The inside of the frame has to be 11 cm by 6 cm

What should the width X of the metal be?

Area of steel before cutting:

Area of steel after cutting out the 11 × 6 middle:

Let us solve this one graphically!

Here is the graph of 4x 2 + 34x :

The desired area of 28 is shown as a horizontal line.

The area equals 28 cm 2 when:

x is about −9.3 or 0.8

The negative value of X make no sense, so the answer is:


One point touching the X-axis

This parabola touches the X-axis at (1, 0) only.

If we use y = a(X &minus h) 2 + k , we can see from the graph that h = 1 and k = 0.

But as in the previous case, we have an infinite number of parabolas passing through (1, 0). Here are some of them:

In this example, the blue curve passes through (0, 1) on the y-axis, so we can simply substitute X = 0, y = 1 into y = a(X &minus 1) 2 as follows:

So our quadratic function for this example is

Note: We could also make use of the fact that the X-value of the vertex of the parabola y = ax 2 + bx + c es dado por:


Graphing Quadratic Functions

Draw the graph of y = 2X 2 for &le X &le 3, using a scale of 1 cm to 1 unit on the X-axis and 1 cm to 5 units on the y-axis.

Step 1 : Construct the table of values.

The properties of quadratic graphs y = ax 2

The curves of the functions you have drawn so far are called parabolas.

From the example above, you may have noticed the following properties.
Refer to the following diagram when you study these properties.
1. The graphs of y = ax 2 (a &ne 0) pass through the origin (0, 0).
2. The y-axis is the line of symmetry
3. (a) When a is positive, each graph has a lowest point (origin) and opens upwards. This point is known as the minimum point.
(b) The smaller the value of a, the wider the graph opens.
4. (a) When a is negative, each graph has a highest point (the origin) and opens downwards. This point is known as the maximum point.
(b) The smaller the value of |a|, the wider the graph opens.

Graphing Quadratic Functions in General Form

The general form of a quadratic equation is y = ax 2 + bx + c where a, B y C are real numbers and a is not equal to zero.

Graphing Quadratic Functions in Factored Form

Graphing Quadratic Functions in Vertex Form

The vertex form of a quadratic equation is
y
= a(X &minus h) 2 + k donde a, h y k are real numbers and a is not equal to zero.
We can convert quadratic functions from general form to vertex form or factored form.

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What is the difference between linear and quadratic functions?

A linear function is one of the form y = mx + C. For each input of X, you get one output for y. The graph of these functions is a single straight line.

A quadratic function is one of the form y = ax 2 + bx + c. For each output for y, there can be up to two associated input values of x. The graph of these functions is a parabola – a smooth, approximately u-shaped or n-shaped, curve.

You need to be able to confidently plot the graphs of these functions, and the simplest way to do so is by using a table of values.


3.1 - Quadratic Functions

The old standard form for a parabola was written like any other polynomial, f(x) = ax 2 + bx + c, a &ne 0.

We're going to complete the square and place it into a form where the translations are easily interpreted. This time, instead of dividing through by a, let's factor an a out of the x-terms instead.

Go ahead and take half of the x-coefficient and put it on the next line.

One thing to be careful of here. When you add the b 2 /(4a 2 ), you are really multiplying it by the a that you factored out, so it is really just a b 2 /(4a). This time, instead of adding it to both sides of the equation, add it and subtract it on the same side of the equation.

f(x) = a [ x 2 + (b/a) x + b 2 /(4a 2 ) ] + c - b 2 /(4a)

f(x) = a [ x + (b/2a) ] 2 + (4ac - b 2 )/(4a)

With a couple of substitutions, this can be written in the new standard form.

where h = -b/(2a) and k = (4ac - b 2 ) / (4a)

Do not worry about what k is, but you might want to memorize the value for h.

The x-coordinate of the vertex is -b/(2a). The y-coordinate is what you get when you plug -b/(2a) back into the original function for x.

There are three translations involved here.

  • The y-coordinates have been multiplied by a. This is the same a that was in the original problem. If a>0, then the parabola opens up and the vertex is at the bottom. If a<0, then the parabola opens down and the vertex is at the top.
  • There has been a horizontal shift. Instead of the x-coordinate of the vertex being at x=0, it is now at x=h, where h=-b/(2a). Since the axis of symmetry passes through the vertex, that means that the axis of symmetry is now x=-b/(2a).
  • There has been a vertical shift. The y-coordinate of the vertex is now at y=k. It is not worth your time to memorize the formula for the vertical shift. It isn't that hard, it is -a times the discriminant of the quadratic, but it is easier to find the x-coordinate, and plug that back into the equation to find the y-coordinate.

Unless the coefficients are really nasty (ie, decimals), you may find it quicker to complete the square to find the vertex than to let x=-b/(2a) and then find the y-coordinate.

But do note that the vertex is now at (h,k) instead of (0,0).


Rational Expressions

Quadratic function has the form $ f(x) = ax^2 + bx + c $ where a, b and c are numbers

You can sketch quadratic function in 4 steps. I will explain these steps in following examples.

Sketch the graph of the quadratic function

In this case we have $ a=1, b=2 $ and $c=-3$

STEP 1: Find the vertex.

To find x - coordinate of the vertex we use formula:

So, we substitute $1$ in for $a$ and $2$ in for $b$ to get

To find y - coordinate plug in $x=-1$ into the original equation:

$ y = f(-1) = (-1)^2 + 2cdot(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $

So, the vertex of the parabola is $ < (-1,-4) >> $

STEP 2: Find the y-intercept.

To find y - intercept plug in $x=0$ into the original equation:

So, the y-intercept of the parabola is $ < y = -3 >> $

STEP 3: Find the x-intercept.

To find x - intercept solve quadratic equation $f(x)=0$ in our case we have:

Solutions for this equation are:

( to learn how to solve quadratic equation use quadratic equation solver )

STEP 4: plot the parabola.

Sketch the graph of the quadratic function

Here we have $ a=-1, b=2 $ and $c=-2$

The x-coordinate of the vertex is:

The y-coordinate of the vertex is:

$ y = f(1) = -1^2+2cdot1-2 = -1 + 2 - 2 = -1 $

$ y = f(0) = -0^2+2cdot0-2 = -0 + 0 - 2 = -2 $

In this case x-intercept doesn't exist since equation $-x^2+2x-2=0$ does not has the solutions (use quadratic equation solver to check ). So, in this case we will plot the graph using only two points


Finding Parabolas through Two Points

The equation $ f(x) = ax^2 + bx + c $ has three constants $a,b,c$ which can take any real number value. This gives three degrees of freedom in specifying a quadratic function. Requiring the graph of $f$ to pass through a point $P_1$ puts one condition on $a,b,c$ while requiring the graph of $f$ to pass through $P_2$ puts a second condition on $a,b,c$. Assuming the $P_1$ and $P_2$ have distinct $x$-coordinates, this leaves one degree of freedom for the coefficients $a,b,c$ of a quadratic whose graph goes through $P_1$ and $P_2$. This extra degree of freedom is revealed as a "scaling factor'' in part a) while part b) is more subtle as the graphs do not share the same vertex.

The second solution to part (b) is quite sophisticated. While students should be able to follow the logic its primary use should be to challenge them to think creatively about the problem. The first solution to (b) is more grounded in classroom practice and should likely be the one emphasized for the majority of students.