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3.2E: Método de Euler mejorado y métodos relacionados (ejercicios) - Matemáticas

3.2E: Método de Euler mejorado y métodos relacionados (ejercicios) - Matemáticas



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La mayoría de los siguientes ejercicios numéricos involucran problemas de valores iniciales considerados en los ejercicios de la Sección 3.1. Le resultará instructivo comparar los resultados que obtenga aquí con los resultados correspondientes que obtuvo en la Sección 3.1.

Q3.2.1

En Ejercicios 3.2.1–3.2.5 utilice el método de Euler mejorado para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en los puntos (x_i = x_0 + ih ), donde (x_0 ) es el punto donde se impone la condición inicial y (i = 1 ), (2 ), (3 ).

1. (y '= 2x ^ 2 + 3y ^ 2-2, quad y (2) = 1; quad h = 0.05 )

2. (y '= y + sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad y (0) = 1; quad h = 0.1 )

3. (y '+ 3y = x ^ 2-3xy + y ^ 2, quad y (0) = 2; quad h = 0.05 )

4. (y '= {1 + x over1-y ^ 2}, quad y (2) = 3; quad h = 0.1 )

5. (y '+ x ^ 2y = sin xy, quad y (1) = pi; quad h = 0.2 )

Q3.2.2

6. Utilice el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial [y ' + 3y = 7e ^ {4x}, quad y (0) = 2 nonumber ] en (x = 0 ), (0.1 ), (0.2 ), (0.3 ),…, (1.0 ). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta (y = e ^ {4x} + e ^ {- 3x} ), que se puede obtener mediante el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como Cuadro 3.2.2.

7. Utilice el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial [y ' + {2 over x} y = {3 over x ^ 3} +1, quad y (1) = 1 nonumber ] en (x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta [y = {1 over3x ^ 2} (9 ln x + x ^ 3 + 2) nonumber ] que se puede obtener mediante el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como Cuadro 3.2.2.

8. Utilice el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.05 ), (h = 0.025 ) y (h = 0.0125 ) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial [y ' = {y ^ 2 + xy-x ^ 2 over x ^ 2}, quad y (1) = 2, nonumber ] en (x = 1.0 ), (1.05 ), (1.10 ), (1,15 ),…, (1,5 ). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta [y = {x (1 + x ^ 2/3) over1-x ^ 2/3} nonumber ] obtenida en el Ejemplo [ejemplo: 2.4.3}. Presente sus resultados en una tabla como Cuadro 3.2.2.

9. En el Ejemplo [ejemplo: 3.2.2} se demostró que [y ^ 5 + y = x ^ 2 + x-4 nonumber ] es una solución implícita del problema de valor inicial [y '= {2x +1 over5y ^ 4 + 1}, quad y (2) = 1. tag {A} ] Usa el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en (x = 2.0 ), (2.1 ), (2.2 ), (2.3 ),…, (3.0 ). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residuo [R (x, y) = y ^ 5 + yx ^ 2-x + 4 nonumber ] para cada valor de ((x, y) ) que aparecen en la primera tabla.

10. Puedes ver desde Ejemplo 2.5.1 que [x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = 4 nonumber ] es una solución implícita del problema del valor inicial [y '= - {4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y over3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x}, quad y (1) = 1. tag {A} ] Usa el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en (x = 1.0 ), (1.14 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ). Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residuo [R (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy-4 nonumber ] para cada valor de ((x, y) ) que aparece en la primera tabla.

11. Utilice el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial [(3y ^ 2 + 4y) y '+ 2x + cos x = 0, quad y (0) = 1 quad text {(Ejercicio 2.2.13)} ] en (x = 0 ), (0.1 ), (0,2 ), (0,3 ),…, (1,0 ).

12. Utilice el método de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial [y ' + {(y + 1) (y-1) (y-2) over x + 1} = 0, quad y (1) = 0 quad text {(Ejercicio 2.2.14)} ] en (x = 1.0 ), (1.1 ), (1.2 ), (1.3 ),…, (2.0 ).

13. Utilice el método de Euler mejorado y el método semilineal de Euler mejorado con tamaños de paso (h = 0.1 ), (h = 0.05 ) y (h = 0.025 ) para encontrar valores aproximados de la solución de la inicial problema de valor [y '+ 3y = e ^ {- 3x} (1-2x), quad y (0) = 2, nonumber ] en (x = 0 ), (0.1 ), (0,2 ), (0,3 ),…, (1,0 ). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta (y = e ^ {- 3x} (2 + x-x ^ 2) ), que se puede obtener mediante el método de la Sección 2.1. ¿Notas algo especial en los resultados? Explicar.

Q3.2.3

Los problemas de valor inicial lineal en Ejercicios 3.2.14-3.2.19 no se puede resolver exactamente en términos de funciones elementales conocidas. En cada ejercicio, utilice los métodos semilineales de Euler mejorados y Euler mejorados con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluidos los puntos finales) en el intervalo.

14. (y'-2y = {1 over1 + x ^ 2}, quad y (2) = 2 ); (h = 0.1,0.05,0.025 ) en ([2,3] )

15. (y '+ 2xy = x ^ 2, quad y (0) = 3 ); (h = 0.2,0.1,0.05 ) en ([0,2] ) (Ejercicio 2.1.38)

16. ({y '+ {1 over x} y = { sin x over x ^ 2}, quad y (1) = 2} ), (h = 0.2,0.1,0.05 ) en ([1,3] ) (Ejercicio 2.1.39)

17. ({y '+ y = {e ^ {- x} tan x over x}, quad y (1) = 0} ); (h = 0.05,0.025,0.0125 ) en ([1,1.5] ) (Ejercicio 2.1.40),

18. ({y '+ {2x over 1 + x ^ 2} y = {e ^ x over (1 + x ^ 2) ^ 2}, quad y (0) = 1} ); (h = 0.2,0.1,0.05 ) en ([0,2] ) (Ejercicio 2.1.41)

19. (xy '+ (x + 1) y = e ^ {x ^ 2}, quad y (1) = 2 ); (h = 0.05,0.025,0.0125 ) en ([1,1.5] ) (Ejercicio 2.1.42)

Q3.2.4

En Ejercicios 3.2.20-3.2.22 utilice el método de Euler mejorado y el método semilineal de Euler mejorado con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluidos los puntos finales) en el intervalo.

20. (y '+ 3y = xy ^ 2 (y + 1), quad y (0) = 1 ); (h = 0.1,0.05,0.025 ) en ([0,1] )

21. ({y'-4y = {x over y ^ 2 (y + 1)}, quad y (0) = 1} ); (h = 0.1,0.05,0.025 ) en ([0,1] )

22. ({y '+ 2y = {x ^ 2 over1 + y ^ 2}, quad y (2) = 1} ); (h = 0.1,0.05,0.025 ) en ([2,3] )

Q3.2.5

23. Realice el ejercicio ( PageIndex {7} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de punto medio".

24. Realice el ejercicio ( PageIndex {7} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de Heun".

25. Realice el ejercicio ( PageIndex {8} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de punto medio".

26. Realice el ejercicio ( PageIndex {8} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de Heun".

27. Realice el ejercicio ( PageIndex {11} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de punto medio".

28. Realice el ejercicio ( PageIndex {11} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de Heun".

29. Realice el ejercicio ( PageIndex {12} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de punto medio".

30. Realice el ejercicio ( PageIndex {12} ) con "método Euler mejorado" reemplazado por "método de Heun".

31. Muestre que si (f ), (f_x ), (f_y ), (f_ {xx} ), (f_ {yy} ) y (f_ {xy} ) son continuas y limitadas para todo ((x, y) ) y (y ) es la solución del problema de valor inicial [y '= f (x, y), quad y (x_0) = y_0, nonumber ] entonces (y '' ) y (y '' ') están acotadas.

32. Cuadratura numérica (ver Ejercicio 3.1.23).

  1. Derivar la fórmula de cuadratura [ int_a ^ bf (x) , dx approx 0.5h (f (a) + f (b)) + h sum_ {i = 1} ^ {n-1} f (a + ih) tag {A} nonumber ] (donde (h = (ba) / n) ) aplicando el método de Euler mejorado al problema de valor inicial [y '= f (x), quad y ( a) = 0. nonumber ]
  2. La fórmula de cuadratura (A) se llama la regla del trapezoide. Dibuja una figura que justifique esta terminología.
  3. Para varias opciones de (a ), (b ), (A ) y (B ), aplique (A) a (f (x) = A + Bx ), con ( n = 10,20,40,80,160,320 ). Compare sus resultados con las respuestas exactas y explique lo que encuentra.
  4. Para varias opciones de (a ), (b ), (A ), (B ) y (C ), aplique (A) a (f (x) = A + Bx + Cx ^ 2 ), con (n = 10 ), (20 ), (40 ), (80 ), (160 ), (320 ). Compare sus resultados con las respuestas exactas y explique lo que encuentra.

3.2E: Método de Euler mejorado y métodos relacionados (ejercicios) - Matemáticas

Coordinador de curso: Dra. Judith Bunder

Horario del curso

El calendario completo de todas las actividades de este curso se puede acceder desde Course Planner.

Resultados del aprendizaje del curso
1 Demostrar comprensión de los métodos numéricos comunes y cómo se utilizan para obtener soluciones aproximadas a problemas matemáticos que de otro modo serían intratables.
2 Aplicar métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas a problemas matemáticos.
3 Derivar métodos numéricos para diversas operaciones y tareas matemáticas, como la interpolación, la diferenciación, la integración, la solución de ecuaciones lineales y no lineales y la solución de ecuaciones diferenciales.
4 Analizar y evaluar la precisión de métodos numéricos comunes.
5 Implementar métodos numéricos en Matlab.
6 Escriba código Matlab eficiente y bien documentado y presente resultados numéricos de forma informativa.
Atributos de los graduados universitarios

Este curso brindará a los estudiantes la oportunidad de desarrollar los atributos de posgrado que se especifican a continuación:

  • informado e infundido por la investigación de vanguardia, andamios en todo su programa de estudios
  • adquirido a partir de la interacción personal con educadores activos de investigación, desde el año 1
  • acreditado o validado según estándares nacionales o internacionales (para programas relevantes)
  • impregnado de métodos de investigación y rigor
  • basado en evidencia empírica y el enfoque científico para el desarrollo del conocimiento
  • demostrado a través de una evaluación adecuada y relevante
Recursos necesarios
Recursos recomendados
Aprender en línea
Modos de aprendizaje y enseñanza de amplificador

Este curso utiliza una variedad de métodos para la entrega del material del curso.

Parte del material de la conferencia se entrega mediante screencasts en línea junto con ejercicios y cuestionarios interactivos de Maple TA. El resto del material de la conferencia se entrega en el formato tradicional de una conferencia presencial.

Las tutorías se realizan quincenalmente. En estas clases, trabajará en problemas tutoriales que tienen como objetivo mejorar su comprensión del material de la conferencia y su capacidad para resolver problemas teóricos. Se le anima a intentar resolver los problemas antes del tutorial y completar todos los problemas restantes después.

Las prácticas se realizan quincenalmente, alternando con tutorías. En estas clases, utilizará Matlab para implementar algoritmos numéricos desarrollados en conferencias. Debes enviar trabajos prácticos que demuestren que has completado la sesión.

Las asignaciones se establecen quincenalmente. En las asignaciones, generalmente se le pide que escriba un programa de Matlab para resolver un problema matemático y presente sus resultados en un informe escrito. También se pueden hacer preguntas sobre aspectos teóricos del problema.

Carga de trabajo

La siguiente información se proporciona como una guía para ayudar a los estudiantes a participar adecuadamente con los requisitos del curso.

Actividad Cantidad Horas de carga de trabajo
Conferencia 24 72
Tutoriales 5 20
Asignaciones 5 40
Practicas 6 24
TOTALES 156
Resumen de actividades de aprendizaje
Calendario
Semana 1 Revisión de Matlab, vectorización.
Semana 2 Interpolación polinomial. Práctica 1: Matlab y vectorización.
Semana 3 Diferenciación e integración numérica. Tutorial 1: Interpolación polinomial.
Semana 4 Splines lineales y cúbicos en una dimensión. Práctica 2: Integración y diferenciación numérica.
Semana 5 Funciones de base radial splines en múltiples dimensiones. Tutorial 2: Integración y diferenciación numérica.
Semana 6 Factorización y aplicaciones LU y QR. Práctica 3: Estrías.
Semana 7 Normas y números de condición. Método Jacobi. Tutorial 3: Factorización LU y QR.
Semana 8 Iteración de punto fijo, método de Newton. Práctica 4: Álgebra lineal numérica.
Semana 9 Método de Euler, método de Euler mejorado, problemas con valores iniciales. Tutorial 4: Método de Jacobi, iteración de punto fijo y método de Newton.
Semana 10 Métodos de Runge Kutta, limitaciones de paso de tiempo, solucionadores de Matlab ODE. Práctica 5: Método de Newton y ecuaciones diferenciales ordinarias.
Semana 11 Problemas de valores en la frontera. Ecuaciones diferenciales parciales. Métodos de Monte Carlo. Tutorial 5: Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Semana 12 Métodos de Monte Carlo. Revisar Práctica 6: Ecuaciones diferenciales parciales e integración de Monte Carlo
X
  1. La evaluación debe fomentar y reforzar el aprendizaje.
  2. La evaluación debe permitir juicios sólidos y justos sobre el desempeño de los estudiantes.
  3. Las prácticas de evaluación deben ser justas y equitativas para los estudiantes y brindarles la oportunidad de demostrar lo que han aprendido.
  4. La evaluación debe mantener los estándares académicos.
Resumen de la evaluación
Componente Ponderación Objetivo evaluado
Examen (3 horas) 65% Todas
Asignaciones 25% Todas
Practicas 6% Todas
Cuestionarios / MapleTA 4% Todas
Requisitos relacionados con la evaluación
Detalle de la evaluación
Elemento de evaluación Repartido Fecha de vencimiento Ponderación
Tarea 1 Semana 2 Semana 4 5%
Tarea 2 Semana 4 Semana 6 5%
Tarea 3 Semana 6 Semana 8 5%
Tarea 4 Semana 8 Semana 10 5%
Tarea 5 Semana 10 Semana 12 5%

Los cuestionarios tutoriales y los ejercicios de MapleTA se establecerán a lo largo del curso. Tienen el mismo peso.
Sumisión

Deberá enviar componentes electrónicos y en papel para cada tarea. El componente electrónico debe entregarse de acuerdo con las instrucciones del trabajo. Se marcará electrónicamente y el resultado se agregará a su marca impresa. El componente en papel debe enviarse a las casillas de entrega designadas dentro de la Facultad de Ciencias Matemáticas con una portada firmada adjunta.

No se aceptarán asignaciones tardías. Los estudiantes pueden ser excusados ​​de una asignación por razones médicas o compasivas. Se requiere documentación y se debe notificar al profesor lo antes posible.

Las asignaciones tendrán un tiempo de respuesta de dos semanas para la retroalimentación de los estudiantes.

Calificación del curso

Las calificaciones por su desempeño en este curso se otorgarán de acuerdo con el siguiente esquema:

M10 (Esquema de calificaciones de trabajos de curso)
Calificación Marcos Descripción
F NS No fallar ninguna presentación
F 1-49 Fallar
PAG 50-64 Aprobar
C 65-74 Crédito
D 75-84 Distinción
HD 85-100 Alta distinción
CN Continuo
NFE Sin examen formal
RP Resultado pendiente

Se pueden obtener más detalles de las calificaciones / resultados en Exámenes.

Hay descriptores de grado disponibles que brindan una guía general del estándar de trabajo que se espera en cada nivel de grado. Más información en Evaluación de programas de trabajo de curso.

Los resultados finales de este curso estarán disponibles a través de Access Adelaide.

La Universidad otorga una alta prioridad a los enfoques de aprendizaje y enseñanza que mejoran la experiencia del estudiante. Se busca la retroalimentación de los estudiantes de diversas maneras, incluido el compromiso continuo con el personal, el uso de foros de discusión en línea y el uso de encuestas de Experiencia de aprendizaje y enseñanza de los estudiantes (SELT), así como encuestas de GOS y revisiones de programas.

Los SELT son una fuente importante de información para informar la práctica docente individual, las decisiones sobre las tareas docentes y el diseño del plan de estudios de cursos y programas. Permiten a la Universidad evaluar la eficacia con la que sus entornos de aprendizaje y prácticas de enseñanza facilitan la participación de los estudiantes y los resultados del aprendizaje. Según la Política SELT actual (http://www.adelaide.edu.au/policies/101/), los SELT de cursos son obligatorios y deben realizarse al final de cada término / semestre / trimestre para cada curso ofrecido. Los comentarios sobre los problemas planteados a través de las encuestas SELT del curso están disponibles para los estudiantes matriculados a través de varios recursos (por ejemplo, MyUni). Además, se encuentran disponibles datos SELT del curso agregados.

Esta sección contiene enlaces a políticas y directrices relevantes relacionadas con la evaluación: todas las políticas de la universidad.

Se recuerda a los estudiantes que para mantener la integridad académica de todos los programas y cursos, la universidad tiene un enfoque de tolerancia cero para los estudiantes que ofrecen dinero o bienes o servicios de valor significativo a cualquier miembro del personal que esté involucrado en su enseñanza o evaluación. Los estudiantes que ofrezcan a los profesores, tutores o personal profesional algo más que una pequeña muestra de agradecimiento es totalmente inaceptable, en cualquier circunstancia. Los miembros del personal están obligados a informar todos estos incidentes a su supervisor / gerente, quien los derivará para que se tomen medidas según los procedimientos disciplinarios de los estudiantes de la universidad.

La Universidad de Adelaida se compromete a realizar revisiones periódicas de los cursos y programas que ofrece a los estudiantes. Por lo tanto, la Universidad de Adelaide se reserva el derecho de suspender o modificar programas y cursos sin previo aviso. Lea la información importante contenida en el descargo de responsabilidad.


3.2E: Método de Euler mejorado y métodos relacionados (ejercicios) - Matemáticas

Si encuentra algún error, omisión, etc., por favor avíseme por correo electrónico.

La bola naranja marca nuestra ubicación actual en el campo.

Para obtener una explicación del patrón de fondo, avance hasta el final de la página. 31 de enero: plan.pdf e intro.pdf: administrivia y filosofía / ejemplos

El CA de Matemáticas 259 es Jeechul Woo, un estudiante graduado en el departamento de matemáticas. La suposición natural de su dirección es correcta.

Su secciones tendrá lugar Jueves, de 6 a 7 p. M. En el salón 109 del Science Center.

2 de febrero: elem.pdf: Métodos elementales I: Variaciones sobre Euclides
Tarea = Ejercicios 2, 5, 6. (Ejercicios 2,6 corregido 4 y 5 de febrero, gracias a J.Woo y S.Shah respectivamente.)

5 de febrero: euler.pdf: Métodos elementales II: El producto de Euler para s> 1 y consecuencias
(corregido 5 de febrero, para corregir un error tipográfico en la página 1 [número de ecuación incorrecto para la función zeta, gracias a C.Davis], y para corregir un error tipográfico [`` lineal no lineal ''] en la página 6 y nuevamente el 8 de febrero para mejorar el ejercicio 2)
Tarea = Ejercicios 2, 3, 4, 7.

7 de febrero y 9 de febrero: dirichlet.pdf: Caracteres de Dirichlet y teorema de Dirichlet de la serie L bajo la hipótesis de que la serie L no desaparece en s = 1
(Ejercicios 1, 2, 3 corregido 8/9 de febrero [errores tipográficos S para P en el n. ° 1, `` serie L '' cambió a `` serie Dirichlet '' en el n. ° 2, aclaración para el n. ° 3], gracias a S. Kominers, J.Lesieutre, S .Shah y E.Udovina dos errores tipográficos menores cerca de la mitad de la página 5 corregidos el 13 de febrero, gracias a N.Wage)
Debe entregar la tarea el 9 de febrero = Ejercicios 1, 3, 7.
Debe entregar la tarea el 16 de febrero = Ejercicios 5, 6, 8, 9, 10, 11.

21 de febrero: chebi.pdf: Introducción al método de Cebysev de la aproximación de Stirling y de la función de von Mangoldt Lambda (n) y su suma psi (x)
(corregido 21 de febrero para corregir los errores de signo en la página 2 [la segunda derivada de log (y) es -1 / y 2, no 1 / y 2; afortunadamente, esto solo afecta el valor de C], gracias a J.Woo y Feb .22 para dar la referencia y algunos antecedentes del teorema de Diamond-Erdos mencionado en el ejercicio 2, gracias a Jeff Lagarias por el puntero)
Tarea = Ejercicios 1, 4, 5, 7.

23 de febrero: psi.pdf: El análisis complejo entra en escena a través de la fórmula integral de contorno para psi (x) y sumas similares
(corregido 1 de marzo para corregir un error observado por N.Wage: la estimación en la parte inferior de la página 2 [y el texto posterior que depende de ella, incluido el ejercicio 1] omitió un término de error - ¡ay!)
Tarea = Ejercicios 1, 2, 3.

26 de febrero: zeta1.pdf: La ecuación funcional para la función zeta de Riemann usando la inversión de Poisson en la serie theta hechos básicos sobre Gamma (s) en función de una variable compleja s
(Ejercicios 6 y 9 corregido 28 de febrero y 7 de marzo [factor espurio de sqrt (Pi) en (8), factor faltante de 1 / i en el ejemplo 9], gracias a E. Udovina Fórmula (1) corregido 10 de marzo: J.Woo señaló que la suma sobre Cpag tuvo un comienzo incorrecto! Fórmula (8) corregido 15 de marzo - Silas Richelson observa que el último exponente no debería ser pi w 2 u)
Tarea = Ejercicios 1, 2, 7 (26 de febrero) 8, 9, 10 (28 de febrero).

2 de marzo: gamma.pdf: Más sobre Gamma (s) en función de una variable compleja s: fórmula del producto, aproximación de Stirling y algunas consecuencias
Tarea = Ejercicios 1, 4, 6

5 de marzo: prod.pdf: Funciones de orden finito: fórmula del producto de Hadamard y su derivada logarítmica
(corregido 10 de marzo para corregir un error tipográfico observado por J.Woo: F0, no F, en el lado derecho de la fórmula (3))
Tarea = Ejercicios 1, 2, 3, 4

7 de marzo: zeta2.pdf: Los productos de Hadamard para la distribución vertical de xi (s) y zeta (s) de los ceros de zeta (s).
(corregido 20 y 21 de marzo para corregir los errores señalados por J.Woo y T.Oey en la primera línea de la pantalla en la parte superior de la página 5)
Tarea = Ejercicios 1, 2

Esta imagen apareció sin explicación en una página web de John Derbyshire. Primera obsesión. Es una gráfica de la función zeta de Riemann en el límite del rectángulo [0.4,0.6] + [0,14.5]I en el plano complejo. Dado que el contorno se enrolla alrededor del origen una vez (y no contiene el punto s= 1, que es el polo único de zeta (s)), la función zeta tiene un cero único dentro de este rectángulo. Dado que se sabe que los ceros complejos son simétricos con respecto a la línea Re (s) = 1/2, este cero debe tener una parte real exactamente igual a 1/2, de acuerdo con la hipótesis de Riemann.

Se sabe que este primer `` cero no trivial '' de zeta (s) ocurre en s=1/2+eso por t= 14,13472514. El poste en s= 1 representa la franja ancha en el tercer cuadrante, que corresponde a s de parte imaginaria menor que 1.

Aquí hay una imagen similar para L (s, chi4) en [0.4,0.6] + [0,11]I. Sin un poste en el vecindario, esta imagen es menos interesante visualmente. Vemos los dos primeros ceros no triviales, con partes imaginarias 6.0209489. y 10.2437703.

Para obtener más imágenes en este sentido, consulte el manuscrito de Juan Arias de Reyna `` Rayos X de la función Zeta de Riemann '', Parte 1 y Parte 2.

9 de marzo: free.pdf: La no desaparición de zeta (s) en el borde sigma = 1 de la franja crítica, y la región libre de cero clásica para
Tarea = Ejercicio 1

12 de marzo: pnt.pdf: Conclusión de la prueba del Teorema de los números primos con error ligado a la Hipótesis de Riemann, y algunas de sus consecuencias y enunciados equivalentes.
Tarea = Ejercicios 1, 2, 3

Aquí hay un artículo expositivo de B. Conrey sobre la Hipótesis de Riemann, que incluye varias imágenes sugestivas adicionales que involucran la función zeta de Riemann, sus ceros y la distribución de primos.

Aquí está el artículo de Rubinstein-Sarnak "Chebyshev's Bias" (en PostScript, de la revista Matemáticas experimentales donde apareció el artículo en 1994).

Aquí hay una bibliografía de cálculos rápidos de pi (x).

[14 de marzo: el cierre de la imagen bajo zeta de una línea vertical de parte real mayor que 1 aplicaciones: el infimum de | zeta | en dicha línea, y el supremo (= 1.0339080723629239.) de las partes reales de las líneas en las que zeta toma valores reales negativos.]

16 de marzo: lsx.pdf: L (s, chi) como una función completa (donde chi es un carácter primitivo no trivial mod q) Sumas de Gauss y la ecuación funcional que relaciona L (s, chi) con L (1- s, bar chi)
(Ejercicio 2 corregido El 21 de marzo para corregir un error señalado por E. Udovina, ciertamente no podemos esperar obtener en general una función analítica en el cerrado semiplano, porque incluso si converge allí, no es necesario que converja en ningún vecindario. )
Tarea = Ejercicios 1, 2, 3 (16 de marzo) 4, 5, 12 (19 de marzo)

21 de marzo: pnt_q.pdf: Fórmula del producto para L (s, chi), y la consiguiente descomposición en fracciones parciales de su derivada logarítmica una (¡mala!) Región libre de cero para L (s, chi), y estimaciones resultantes en psi (x, chi) y por lo tanto en psi (x, a mod q) y pi (x, a mod q). La hipótesis ampliada de Riemann y sus consecuencias.
Tarea = Ejercicios 1, 2, 3

[23 de marzo: el signo de las sumas cuadráticas de Gauss, a través de la matriz para la transformada discreta de Fourier, algunas conexiones familiares y menos familiares entre las sumas cuadráticas de Gauss y la reciprocidad cuadrática]


Políticas e información generales

La información de esta sección se aplica a todos los cursos ofrecidos por el departamento

Estudiantes con discapacidades

Si es un estudiante con una discapacidad y cree que necesitará adaptaciones para esta clase, es su responsabilidad comunicarse con el Student Ability Success Center al (619) 594-6473. Para evitar cualquier retraso en la recepción de sus adaptaciones, debe comunicarse con Student Ability Success Center lo antes posible. Tenga en cuenta que las adaptaciones no son retroactivas y que no puedo proporcionar adaptaciones basadas en la discapacidad hasta que haya recibido una carta de adaptaciones del Student Ability Success Center. Tu cooperación es apreciada.

Privacidad y propiedad intelectual del estudiante

La Ley de Privacidad y Derechos Educativos de la Familia (FERPA) exige la protección de la información del estudiante, incluida la información de contacto, las calificaciones y las tareas calificadas. No publicaré calificaciones ni dejaré tareas calificadas en lugares públicos. Los estudiantes serán notificados en el momento de una asignación si se conservarán copias del trabajo del estudiante más allá del final del semestre o se usarán como ejemplos para futuros estudiantes o el público en general. Los estudiantes mantienen los derechos de propiedad intelectual sobre los productos de trabajo que crean como parte de este curso, a menos que se les notifique formalmente lo contrario.

Centro de aprendizaje de matemáticas y estadística

El Centro de Aprendizaje de Matemáticas y Estadística de SDSU se encuentra en la Biblioteca del Amor, Salón LL-328. "El Centro de Aprendizaje de Matemáticas y Estadísticas está abierto para apoyar a los estudiantes en todos los cursos de matemáticas de división inferior en SDSU. Tenemos tutores disponibles para ayudar sin cita durante todas las horas abiertas. Los asistentes de matemáticas 141, 150, 151 y 252 también tienen su oficina horas allí. Por favor, consulte el horario de cuando los TA de su clase estarán en el centro en nuestro sitio web: mlc.sdsu.edu. El MLC está respaldado por su tarifa de éxito estudiantil. Le recomendamos encarecidamente que utilice este maravilloso, recurso gratuito. Algunos estudiantes creen que no deberían necesitar pedir ayuda. Pero las investigaciones han demostrado que la calificación promedio de los estudiantes que asisten al MLC es medio grado más alta que la de aquellos que no buscan ese apoyo ".

Si está inscrito en una clase que no tiene apoyo específico, el MLC aún puede servir como un excelente lugar de reunión / estudio de matemáticas y si está interesado en convertirse en un tutor en el centro, esté atento a la página web del centro para los anuncios de contratación. .

Hacer trampa y plagio

Por lo general, se anima a los estudiantes a estudiar juntos y a trabajar juntos para resolver ejercicios. Finales, parciales, cuestionarios, proyectos y otros designados "trabajo individual" las actividades deben completarse sin ayuda. Todas las violaciones se informarán al Centro de Derechos y Responsabilidades del Estudiante y también resultarán en reducciones de puntaje / calificación a discreción del profesor. Revise la política completa de SDSU sobre honestidad académica.

  • copiar, en parte o en su totalidad, de la prueba u otro examen de otra persona
  • obtener copias de una prueba, un examen u otro material del curso sin el permiso del instructor
  • colaborar con otro u otros en el trabajo que se presentará sin el permiso del instructor
  • falsificar registros, trabajo de laboratorio u otros datos del curso
  • Presentar trabajos presentados previamente en otro curso, si es contrario a las reglas del curso.
  • alterar o interferir con los procedimientos de calificación
  • ayudar a otro estudiante en cualquiera de los anteriores
  • usar fuentes textualmente o parafrasear sin dar la atribución adecuada (esto puede incluir frases, oraciones, párrafos y / o páginas de trabajo)
  • copiar y pegar el trabajo de una fuente en línea o fuera de línea directamente y llamarlo suyo
  • usar información que encuentre de una fuente en línea o fuera de línea sin darle crédito al autor
  • reemplazar palabras o frases de otra fuente e insertar sus propias palabras o frases

Observancias religiosas

De acuerdo con el Archivo de Políticas de la Universidad, los estudiantes deben notificar a los instructores de los cursos afectados sobre las ausencias planificadas por prácticas religiosas al final de la segunda semana de clases.

Ausencias relacionadas con la medicina

Se indica a los estudiantes que se comuniquen con su profesor / instructor en caso de que necesiten faltar a clases, etc. debido a una enfermedad, lesión o emergencia. Todas las decisiones sobre el impacto de una ausencia, así como los arreglos para recuperar el trabajo, recaen en los instructores. Student Health Services (SHS) no proporciona excusas médicas para ausencias de corto plazo debido a enfermedad o lesión. Cuando una ausencia relacionada con razones médicas persiste más de cinco días, SHS trabajará con los estudiantes para proporcionar la documentación adecuada. Cuando un estudiante está hospitalizado o tiene una enfermedad o lesión grave y continua, SHS, a solicitud del estudiante y con el consentimiento del estudiante, se comunicará con los instructores del estudiante a través del Vicepresidente de Asuntos Estudiantiles y podrá comunicarse con el Decano Asistente del estudiante y / o el Student Ability Success Center

Informes obligatorios de violencia sexual / Título IX

Todos los instructores de SDSU son informantes obligatorios y, por lo tanto, deben compartir información sobre la violencia sexual en el campus de SDSU con la Coordinadora del Título IX, Jessica Rentto 619-594-6017. El Coordinador de Título IX tiene acceso a adaptaciones y servicios de apoyo en SDSU, y posibilidades de responsabilizar a la persona que lo lastimó. No está obligado a compartir información que no desee divulgar y su nivel de participación quedará a su discreción. Si no desea que se le notifique al Oficial del Título IX, en lugar de divulgar esta información a su instructor, puede hablar de manera confidencial con las siguientes personas en el campus y en la comunidad: Defensor de víctimas de violencia sexual 619-594-0210 o Servicios de consejería y psicológicos 619-594-5220, [email & # 160protected] Ellos pueden conectarlo con servicios de apoyo y discutir opciones para llevar a cabo una investigación criminal o universitaria. Para obtener más información sobre sus derechos y opciones universitarias como sobreviviente de conducta sexual inapropiada o violencia sexual, visite titleix.sdsu.edu.

Reconocimiento de la tierra de Kumeyaay

Durante milenios, la gente de Kumeyaay ha sido parte de esta tierra. Esta tierra los ha nutrido, curado, protegido y abrazado durante muchas generaciones en una relación de equilibrio y armonía. Como miembros de la comunidad del estado de San Diego, reconocemos este legado. Promovemos este equilibrio y armonía. Encontramos inspiración en esta tierra, la tierra de los Kumeyaay.


Calcular la constante de Euler (e)

El número de Euler, escrito como, es probablemente la segunda constante matemática más famosa después de Pi. Pero, ¿qué es el número de Euler y cómo lo calculamos? De hecho, ¿por qué ha mi volverse tan famoso, y ¿por qué merece un lugar en nuestras calculadoras y en el constante salón de la fama matemática?

¿Cuál es el número de Euler (mi) y de donde vino?

El número de Euler tiene un valor de 2.718 ..., sin embargo, al igual que Pi, es un número irracional, lo que significa que no se puede escribir como una fracción y que tiene una expansión decimal que continuará por siempre sin repetición. Número de Euler mi se ha hecho famoso por dos razones principales: en primer lugar, se utiliza en muchas situaciones importantes de la vida real y, en segundo lugar, tiene muchas propiedades matemáticas interesantes. Esto lo convierte en un número fascinante y útil para científicos, ingenieros y matemáticos por igual.

Número de Euler mi e interés compuesto

El número de Euler fue descubierto por primera vez por Jacob Bernoulli en el siglo XVII cuando estudió el problema del interés compuesto.

Imagine que tiene £ 1 y que recibe intereses dos veces al año a una tasa del 50%.

Al final del año terminaría con £ 1 £ = £ 2.25

Ahora imagine que tiene £ 1 y obtiene intereses 12 veces al año, o todos los meses a una tasa de (8,3%)

Al final del año terminarías con £ 1 £ 2.61303529

Ahora imagina que tienes £ 1 y obtienes intereses 365 veces al año, o todos los días a una tasa de (0.2739 & # 8230.%)

Al final del año terminarías con £ 1 £ 2.714567482

Jacob Bernoulli hizo una pregunta importante: ¿qué pasaría si recibieras interés con tanta frecuencia que lo recibieras continuamente?

De hecho, ¿cuál es el valor de cuando n tiende hacia el infinito?

Es posible que ya haya adivinado la respuesta, con solo mirar nuestro ejemplo donde n = 365, que ya se está acercando bastante. Esto nos lleva a la forma más conocida de calcular:

Calcular el valor del número de Euler mi como límite:

(Siga agregando valores cada vez mayores de, hasta que se acerque mucho al valor real de).

Desafortunadamente, Jacob Bernoulli no tenía una computadora a su disposición y solo pudo decir que el valor estaba entre 2 y 3. Unos años más tarde, Leonhard Euler, uno de los más grandes matemáticos de la historia logró calcular el valor de, correcto a 18 decimales. Euler también había descubierto lo siguiente:

Calcular el valor del número de Euler mi usando una serie infinita:

(En caso de que se lo pregunte, 5! medio y es la función factorial)

Cuantos más términos calcule, más se acercará al valor real de. You will only arrive at the exact value of if you carry on adding up the sequence forever.

Nobody knows exactly how Euler calculated to 18 decimal places, however the best guess is that he used the sequence above. It was also Euler who named the constant ‘’. Surprisingly, historians are fairly certain that he didn’t name it after himself, but that it was a pure coincidence that he chose the first letter of his surname.

Continued Fractions and e

Euler was also able to represent in the form of a “continued fraction”. There are lots of different ways to represent e as an infinite continued fraction. Here is one of them:

Calculating the value of Euler’s Number e as a continued fraction:

Other ways to calculate e

The three main ways of calculating have been listed above. There are however many other lesser known representations of such as:

If you visit the Wolfram Mathworld page on e, you can browse through a huge collection of different ways of calculating, some of which are very complicated indeed. This same page also lists a collection of mnemonics to help you remember the digits of . A favourite has to be:

“It enables a numskull to memorize a quantity of numerals” (10 digits)

Count the letters in each word and you will have: 2.718281828

Where is Euler’s Number e used in the real world?

Compound Interest is not the only practical use for . In fact, Euler’s number , the function , and the natural logarithm with base appear a lot in real-life processes. The main reason for this is that the exponential function can be used to describe growth and decay.

  • How populations grow
  • How temperature changes as materials heat up or cool down
  • Radioactive decay of particles

Unique mathematical property of

The function has a special mathematical property which has important consequences for calculations involving , making the mathematics involved work much more easily than with many other functions. It is one of the reasons that is used so frequently to model the real world.

The function is the only function where it is equal to its derivative ( stands for any number, and this just means that the property also holds for multiples of ). When you differentiate , it remains unchanged: . This also means that when you integrate it will remain unchanged apart from the constant of integration. This unique property simplifies many calculations involving

Don’t forget about

No discussion about Euler’s Number e would be complete without mentioning one of the most famous equations in mathematics called Euler’s Equation:

(If you aren’t sure what stands for – it is equal to the square root of minus 1 and is called an imaginary number.)

Euler’s Equation shows that both and are connected to one another. This is really surprising, given that comes from looking at the properties of a circle, and arises from situations which have nothing to do with circles such as compound interest. Euler’s Equation shows that is more than just a useful number which can be used by scientists to model the real world – it is a fascinating number in its own mathematical right.

Leonhard_Euler by Jakob Emanuel Handmann [Public domain], via Wikimedia Commons
Radioactive by [email protected]
Jacob Bernoulli By Niklaus Bernoulli (1662-1716) ([2] [3]) [Public domain], via Wikimedia Commons


Math class methods

Min() , max()

Let's start with the simple methods Both functions take two numbers of any data type as parameters. Min() returns the smallest number, max() returns the greatest one.

Round() , ceil() , floor()

All three functions are related to rounding. Round() takes a decimal number as parameter and returns the rounded number of the double data type in the way we learned in school (from 0.5 it rounds upwards, otherwise downwards). Ceil() upwards and floor() rounds downwards no matter what.

We'll certainly be using round() very often. I practically used the other functions e.g. in determining the number of pages of a guestbook. When we've 33 comments and we print only 10 comments per page, they'll, therefore, occupy 3.3 pages. The result must be rounded up since there will be actually 4 pages.

Abs() and signum()

Both methods take a number of any type as a parameter. Abs() returns its absolute value and signum() returns a number based on its sign, -1 , 0 or 1 (for a negative number, zero and a positive number).

Sin() , cos() , tan()

Classic trigonometric functions, all take an angle as a double , which has to be entered in radians (not degrees if your country uses them). To convert degrees to radians we multiply them by * (Math.PI / 180) . The return value is also a double .

Acos() , asin() , atan()

Inverse trigonometric (arcus, sometimes cyclometric) functions, which return the original angle according to the trigonometric value. The parameter is a double and the returned angle is in radians (also as double ). If we wish to have an angle in degrees, we have to divide the radians by / (180 / Math.PI) .

Pow() and sqrt()

Pow() takes two double parameters. The first is the base of the power and the second is the exponent. If we wanted to calculate eg. 2^3 , the code would be as following:

Sqrt is an abbreviation of SQuare RooT, which returns the square root of the number given as a double . Both functions return a double as the result.

Exp() , log() , log10()

Exp() returns the Euler's number raised to a given exponent. Log() returns the natural logarithm of a given number. Log10() returns the decadic logarithm of a number.

Hopefully, you noticed that the method list lacks any general root function. We, however, can calculate it using the functions the Math class provides.

We know that roots work like this: 3rd root of 8 = 8^(1/3). So we can write:

It's very important to write at least one number with a decimal point when we are dividing, otherwise, Java will assume that we want it to apply whole-number division, and the result would have been 8 ^ 0 = 1 in this case.


Book Description

Modelling with Ordinary Differential Equations integrates standard material from an elementary course on ordinary differential equations with the skills of mathematical modeling in a number of diverse real-world situations. Each situation highlights a different aspect of the theory or modeling. Carefully selected exercises and projects present excellent opportunities for tutorial sessions and self-study.
This text/reference addresses common types of first order ordinary differential equations and the basic theory of linear second order equations with constant coefficients. It also explores the elementary theory of systems of differential equations, Laplace transforms, and numerical solutions. Theorems on the existence and uniqueness of solutions are a central feature. Topics such as curve fitting, time-delay equations, and phase plane diagrams are introduced. The book includes algorithms for computer programs as an integral part of the answer-finding process. Professionals and students in the social and biological sciences, as well as those in physics and mathematics will find this text/reference indispensable for self-study.


2 Answers 2

Before trying to speed up the interpreted code, you should care to get a correct solution at all. That there is still something amiss is visible in the time computations to+i*h that are only valid for a fixed step size. I'll explain the adaptive method from first principles.

The error estimation by Richardson extrapolation

uses the approximation that the numerical solution at time t computed with step size h relates to the exact solution in first order as

gives that the advancement in one and two steps of half size has the errors

is an estimator of the local error at step size h/2 . We know that the local errors in first order add to the global error (in a better approximation there is some compounding with the Lipschitz constant as "annual" interest rate). Thus in the reverse direction we desire to get that the local error is a h sized part of the global error. Divide all local error quantities by h to get values that directly compare to the global error.

The adaptive step size controller

now tries to keep that local error estimate local_err = norm(y(hh)-y(h/2h))/h = norm(C)*h/2 inside some corridor [tol/100, tol] where ´tol´ stands for the desired global error. The ideal step size from the current data is thus computed as

In the algorithm one would compute these integration steps and error estimates and then accept the steps and advance the computation if inside the tolerance bounds, then adapt the step size by above formula go to the next iteration of the loop. Instead of using the computed ideal step size one could also modify the step size by constant factors in the direction of the ideal step size. In general this will only increase the number of rejected steps to still reach the ideal step size.

To avoid oscillations and too abrupt changes in the tried and used step sizes, introduce some kind of moving average, dampen the change factor in direction 1 like in

In code this could look like

The practical application of this method gives the following plot.

In the top the solution curves are depicted. One sees a higher density at the curved or rapidly changing parts and a lower density where the solution curve is more straight. In the lower part the error against the solution of lowest tolerance is displayed. The difference is scaled by the tolerance of the solution, so that all share the same scale. As one can see, the output traces the tolerance demanded at input closely.


INDUCTIVE METHOD:

The inductive method is to move from specific examples to generalization and the deductive method is to move from generalization to specific examples.

Merits of the inductive method:

  • Scientific Method
  • The content becomes crystal clear to students.
  • Based on Actual Observation and Experimentation.
  • Thinking is Logical
  • Suitable for beginners
  • Increases Pupil – Teacher Relationship
  • Home Work is reduced

Demerits of the method

  • Not suitable for all topics
  • Time-Consuming Method
  • Laborious Method
  • Not Suitable for all types of students

DEDUCTIVE METHOD

  • It is a method of reasoning by which concrete applications or consequences are deducted from general principles or theorems are deduced from definitions and postulates.
  • It is proceeding from Abstract to Concrete, General to Particular, and Formula to Examples.
  • Students are given formula/rules/laws/principles directly.

Merits of this method

  1. Time-Saving Method
  2. Suitable for all topics
  3. Suitable to all Students
  4. Glorifies Memory
  5. Useful at Revision Stage
  6. Speed and efficiency
  7. Mostly Used at Higher Stage level

Demerits of this method

  • Not a psychological Method
  • No Originality and Creativity
  • Blind Memorization
  • Educationally Unsound
  • Students are Passive Learners
  • The reasoning is not clear

ANALYTIC METHOD

It proceeds from unknown to known, ’Analysis’ means ‘breaking up’ of the problem in hand so that it ultimately gets connected with something obvious or already known.

It is the process of unfolding of the problem or of conducting its operation to know its hidden aspects.

SYNTHETIC METHOD

  • It is the opposite of the analytic method. Here one proceeds from known to unknown.
  • In practice, synthesis is the complement of analysis.
  • To synthesis is to place together things that are apart.
  • It starts with something already known and connects that with the unknown part of the statement.
  • It starts with the data available or known and connects the same with the conclusion.
  • It is the process of putting together known bits of information to reach the point where unknown information becomes obvious and true.

PROBLEM-SOLVING METHOD

The problem-solving method is one, which involves the use of the process of problem-solving or reflective thinking or reasoning. The problem-solving method, as the name indicated, begins with the statement of a problem that challenges the students to find a solution.

Procedure for Problem-solving

  1. Identifying and defining the problem
  2. Analyzing the problem
  3. Formulating tentative hypothesis
  4. Testing the hypothesis
  5. Verifying of the result of checking the result

LABORATORY METHOD

  • The laboratory method is based on the maxim “learning by doing.”
  • This is an activity method and it leads the students to discover mathematics facts.
  • In it, we proceed from concrete to abstract.

The laboratory method is a procedure for stimulating the activities of the students and to encourage them to make discoveries.

  • This method needs a laboratory in which equipment and other useful teaching aids related to mathematics are available.
  • For example, equipment’s related to geometry, mathematical model, chart, balance, various figures, and shapes made up of wood or hardboards, graph paper, etc.

The procedure of Laboratory method

  • Aim of The Practical Work
  • Provided materials and instruments
  • Provide clear instructions
  • Carry out the experiment
  • Draw the conclusions

PROJECT METHOD

The project method is of American origin and is an outcome of Dewey’s philosophy of pragmatism. However, this method is developed and advocated by Dr. Kilpatrick.

Steps involved in Project Method

  1. Providing /creating the situations
  2. Proposing and choosing the project
  3. Planning the project
  4. Execution of the project
  5. Evaluation of the project
  6. Recording of the project

3.2E: The Improved Euler Method and Related Methods (Exercises) - Mathematics

Nonlinear dynamics and chaos

Day and time of course: Mon, Wed, Fri, 10:00-11:00. Location: Pierce 307

Teaching notes Textbooks Programa de estudios Requirements

What's the point about optional/ extra credit problems: apart from the fun of doing them, they will count against homework problems in which you may have missed an answer. . .

  • ( St ) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering by Steven H. Strogatz
  • ( Sc ) Deterministic Chaos: An Introduction Heinz Georg Schuster, [VCH, 2nd edition, 1989]
  • ( Ott ) Chaos in dynamical systems , 1993. Edward Ott, Cambridge University Press.
  • ( GH ) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields , Guckenheimer, J and P. Holmes, Springer-Verlag, 1983.
  • ( W ) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Stephen Wiggins, 1990. (Texts in Applied Mathematics, Vol 2).
  • ( JS ) Classical Dynamics, a contemporary approach. Jorge V. Jose and Eugene J. Saletan. 1993 Cambridge University Press .
  • ( G ) Classical Mechanics , Herbert Goldstein, 2nd edition, 1981. Addison Wesley.

The course will introduce the students to the basic concepts of nonlinear physics, dynamical system theory, and chaos. These concepts will be demonstrated using simple fundamental model systems based on ordinary differential equations and some discrete maps. Additional examples will be given from physics, engineering, biology and major earth systems. The aim of this course is to provide the students with analytical methods, concrete approaches and examples, and geometrical intuition so as to provide them with working ability with non-linear systems.

  • A bit of history (Lorentz and the ``butterfly effect'')
  • Modeling - defining phase space, dimension, parameters, deterministic versus stochastic modeling finite vs infinite dimensional (PDE's, integral eq.) models, linear vs non-linear, autonomous vs non-autonomous systems
  • Examples: population dynamics, pendulum, Lorenz eq., .
  • The geometric approach to dynamical systems
  • Fixed points, linearization, and stability
  • Non-dimensionalization, the Buckingham Pi theorem (see notes here), small parameters, scales.
  • Dynamical systems - continuous vs discrete time (ODEs vs maps St 348), conservative vs dissipative ( St 312).
  • Existence, uniqueness and smooth dependence of solutions of ODE's on initial conditions and parameters.
  • The role of computers in nonlinear dynamics, a simple example of a numerical solution method for ODEs (improved Euler scheme).
  • Outline of rest of course.
  • What's a bifurcation, local vs global bifurcations ( GH ډ.1). Implicit function theorem, classification of bifurcations by number and type (real/ complex) eigenvalues that cross the imaginary axis.
  • saddle-node bifurcation ( St ډ.1 GH ډ.4)
  • Transcritical bifurcation, super critical and sub critical ( St ډ.2 GH ډ.4).
  • Pitchfork, super-critical and sub-critical. bead on a rotating hoop, higher order nonlinear terms and hysteresis ( St § 3.4 GH ډ.4)
  • Some generalities: center manifold and normal form. ( GH ډ.2-3.3).
  • Role of symmetry and symmetry breaking (imperfect bifurcations), relation to catastrophes and sudden transitions. ( St ډ.6)
  • Flows on a circle - oscillators, synchronization (fireflies flashing, Josephson junctions) ( St ڊ)

  • Linear systems: classifications, fixed points, stable and unstable spaces ( St ڋ)
  • Non-linear systems: phase portrait ( St ڌ.1), fixed points and linearization( St ڌ.3), stable and unstable manifolds ( St ڌ.4), conservative systems ( St ڌ.5), reversible systems ( St ڌ.6), Solution of the (fully non-linear) damped pendulum equation ( St ڌ.7), index theory ( St ڌ.8).
  • Limit cycles: Ruling out and finding out closed orbits (Lyapunov functions, Poincare Bendixon theorem) ( St ڍ.2 and ڍ.3)
  • relaxation oscillations (relation to glacial cycles) ( St ڍ.5), weakly non-linear oscillators (Duffing eq) ( St ڍ.6), Averaging method and two time-scales ( St ڍ.6)
  • Hopf bifurcation and oscillating chemical reactions ( St ڎ.2),
  • Global bifurcations of cycles: saddle-node infinite period, and homoclinic bifurcations, examples in Josephson Junction and driven pendulum in 2D ( St ڎ.4 andڎ.5)
  • Quasi periodicity, coupled oscillators, nonlinear resonance/ frequency locking (Frequency locking of glacial cycles to earth orbital variations), ( St ڎ.6)

The Lorentz model as an introduction to chaotic systems (examples briefly motivating it from atmospheric dynamics and as a model of Magnetic field reversals of the Earth) and then a more systematic characterization of chaotic systems (examples from fluid dynamics and mantle convection) ( St ڏ). Some preliminaries: Poincare maps.

  • Period doubling: logistic map, chaos, periodic windows, renormalization, quantitative and qualitative universality. ( Sc ډ)
  • Intermittency: in Lorenz system, in logistic map. Length of laminar intervals from renormalization and simpler approaches. Categories of intermittency (types I,II,III), ( Sc ڊ).
  • Quasi-periodicity/ 1-2-chaos/ Ruelle-Takens-Newhouse breakdown of 2d torus in experimental systems 1D circle map and overlapping of resonances reconstructed circle map from a time series damped-forced pendulum and El Nino's chaos ( Sc ڌ)
  • Characterizing chaotic systems: Delay coordinates, embedding, Lyapunov exponents (Ott ڊ.4 p. 129) Kolmogorov entropy ( Sc Appendix F and p 113 Greiner, Neise and Stocker `` thermodynamics and statistical mechanics '', p. 150) fractals and fractal dimensions, dimension spectrum ( St § 11, p. 398-412 Ott ډ, p69-71, 78-79, 89-92) Multi-fractals: dissipation in a turbulent flow, relation to dimension spectrum. ( Ott ڏ, p 305-309).
  • The horseshoe map and symbolic dynamics ( Ott 108-114) Heteroclinic and homoclinic tangles and creation of a horseshoe from a homoclinic intersection ( Ott ڊ.3). Shilnilov's phenomenon and chaos due to a 3d homoclinic orbit (GH, ڌ.5, p 318-323 and p 12-14 in Vered Rom-Kedar's notes).
  • Examples (Pendulum, The n-body problem)
  • Basics: Hamiltonian systems Liouville theorem/ symplectic condition ( Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Motivation: the kicked rotor and chaos in the standard map ( Ott , p 216-217, 235-237 JS ڍ.5.1 p. 453-459).
  • More Basics: integrable vs non-integrable Hamiltonian systems motion of integrable on N-torus Canonical change of coordinates and generating functions ( G , ڏ-1, p. 378-385, Ott ڍ.1.1-7.1.2 p 208-215).
  • Perturbations to integrable systems averaging resonant and non-resonant tori ( G , 䅇-5, p 519-523) destruction of resonance tori and arising of chaos, KAM theory ( Ott § 7.2).
  • ``diffusion'' ( Ott ڍ.3.3), fluid mixing ( Ott p 246-249).

Homeworks will be given throughout the course. The best 80% of the assignments will constitute 50% of the final grade. A final take home exam will constitute another 50%.