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Preludio al análisis real - Matemáticas

Preludio al análisis real - Matemáticas



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El texto de análisis real introductorio típico comienza con un análisis del sistema de números reales y lo usa para desarrollar la definición de un límite, que luego se usa como base para las definiciones que se encuentran a partir de entonces. Si bien este es ciertamente un enfoque razonable desde un punto de vista lógico, no es la forma en que evolucionó la materia, ni es necesariamente la mejor manera de presentar a los estudiantes las definiciones y pruebas rigurosas pero altamente no intuitivas que se encuentran en el análisis.

Este libro propone que una forma eficaz de motivar estas definiciones es contar una de las historias (hay muchas) del desarrollo histórico del tema, desde sus inicios intuitivos hasta el rigor moderno. Las definiciones y técnicas están motivadas por las dificultades reales encontradas por el enfoque intuitivo y se presentan en su contexto histórico. Sin embargo, este no es un libro de historia del análisis. Es un libro de texto de análisis introductorio, presentado a través de la lente de la historia. Como tal, no se limita a insertar fragmentos históricos para complementar el material. La historia es una parte integral del tema y se les pide a los estudiantes que resuelvan problemas que ocurren a medida que surgen en su contexto histórico.

Este libro cubre los temas principales que normalmente se tratan en un curso de pregrado introductorio en análisis real en su orden histórico. Escrito pensando en el alumno, el libro proporciona una guía para transformar una comprensión intuitiva en argumentos matemáticos rigurosos. Por ejemplo, además de los problemas más tradicionales, a menudo se enuncian teoremas importantes y se esboza una demostración. Luego se le pide al estudiante que complete los detalles que faltan como un problema de tarea.

Miniatura: Recta numérica real con algunas constantes como ( pi ). (Dominio público; Usuario: Phrood).


Buen libro para el autoaprendizaje de un Primer Curso de Análisis Real

¿Alguien tiene una recomendación sobre un libro para el autoestudio del análisis real? Hace varios años, cuando completé alrededor de medio semestre de Análisis real I, el instructor usó "Introducción al análisis" de Gaughan.

Si bien es un buen libro, no estoy seguro de que sea adecuado para el autoaprendizaje por sí solo. Sé que es un tema riguroso, pero me gustaría intentar encontrar algo que "simplifique" el material un poco, luego, entre los dos libros, podría hacer algunos avances.


Reseñas

Revisado por Seonguk Kim, Asistente del Profesor de Matemáticas, Universidad DePauw el 20/9/19

Este libro consta de todos los apartados imprescindibles que el alumno debe conocer en clase, Análisis o Introducción al Análisis Real. Primero, en el capítulo 1, tiene contenidos prerrequisitos cruciales. En segundo lugar, del capítulo 2 al 8, el orden de las secciones es. Lee mas

Revisado por Seonguk Kim, Asistente del Profesor de Matemáticas, Universidad DePauw el 20/9/19

Calificación de amplitud: 4 ver menos

Este libro consta de todos los apartados imprescindibles que el alumno debe conocer en clase, Análisis o Introducción al Análisis Real. Primero, en el capítulo 1, tiene contenidos prerrequisitos cruciales. En segundo lugar, del capítulo 2 al 8, el orden de las secciones es razonable y está bien organizado. Pero algunos instructores pueden saltarse los capítulos 3, 4 y 8 debido al límite de tiempo. Finalmente, me gusta la composición agregando los ejercicios después de los teoremas porque el estudiante puede tener ideas mucho más fáciles.

Índice de precisión del contenido: 4

El contenido se ve bien y con pocos errores. Aunque algunas notaciones son ambiguas y no se entienden fácilmente, en general es bueno.

Relevancia / índice de longevidad: 4

En la clase, Análisis, los estudiantes aprenden sobre las estructuras y conceptos matemáticos fundamentales, y el libro de texto relacionado tampoco tiene ningún espacio para agregar los contenidos actualizados. Sin embargo, creo que este libro de texto ofrece una nueva visión de los conceptos.

Todo el texto proviene de la terminología matemática que hace que la escritura sea lúcida y legible.

En cada capítulo, ha utilizado letras y terminologías consistentes. Además, la composición es uniforme usando el orden, 1. Una breve descripción de los conceptos, 2. Definiciones relacionadas 3. Teoremas 4. Ejemplos 5. Ejercicio Los estudiantes deberían pensar más.

El libro se divide en secciones separadas, y cada parte es corta y consta de texto legible y accesible.

Organización / Estructura / Clasificación de flujo: 3

El orden de los temas es en general. Pero depende de los instructores. Por ejemplo, me gusta presentar los conceptos básicos, conjuntos que incluyen cardinalidad (capítulo 3), funciones, lógicas antes de comenzar las secuencias. Además, he explicado la idea de topología (capítulo 4). Entonces, en mi opinión, es mejor organizar el orden de los temas desde los fundamentos, incluida la cardinalidad hasta más funciones y agregar el apéndice, topología.

Este texto tiene muchas figuras y fórmulas esenciales y útiles. Creo que las cifras y los gráficos hacen que los estudiantes comprendan más fácilmente.

Calificación de errores gramaticales: 5

No parece haber errores gramaticales. Al menos, no pude encontrarlos.

Calificación de relevancia cultural: 5

Este libro de texto es para matemáticas puras. Entonces, creo que no tiene problemas inclusivos sobre razas, etnias y antecedentes en absoluto.

En general, el libro de texto está muy bien organizado. Me gusta la forma de organizar los capítulos. Es imprescindible y nada de apartados innecesarios. Específicamente, me gusta la composición agregando los ejercicios después de los teoremas y ejemplos. Si utilizo el libro, no tengo que agregar más ejemplos y sugerir a los estudiantes con los problemas de ejercicios. También hay algunos inconvenientes en el libro, como ordenar los temas. Sin embargo, valoro este libro en la enseñanza del curso Análisis.


MATH 4331 - Introducción al análisis real I y matemáticas 4332 - Introducción al análisis real II

Descripción del curso: & # 160Estudio de espacios métricos y funciones de valor real. Los temas incluyen: convergencia de secuencias, continuidad y continuidad uniforme de funciones, secuencias y series de funciones, diferenciación e integración de Riemann-Stiljies

Libro de texto: K. Davidson y A. P. Donsig, Análisis real con aplicaciones reales. ISBN:𧓒-0130416476

* Nota: Este primer curso proporciona una sólida introducción a las propiedades más profundas de los números reales, funciones continuas, diferenciación e integración necesarias para estudios avanzados en matemáticas, ciencias e ingeniería. Se supone que el estudiante está familiarizado con el material de Matemáticas 3333, incluida una introducción a los números reales, propiedades básicas de funciones continuas y diferenciables en la línea real y la capacidad de hacer pruebas épsilon-delta.

- Matemáticas 4332 - Introducción al análisis real II -

Requisito previo: MATEMÁTICAS 4331.

Descripción del curso: & # 160 Más desarrollo y aplicaciones de conceptos de MATH 4331. Los temas pueden variar según las posibilidades de elección del instructor incluyen: series de Fourier, topología de conjuntos de puntos, teoría de medidas, espacios de funciones o sistemas dinámicos

Libro de texto: K. Davidson y A. P. Donsig, Análisis real con aplicaciones reales. ISBN:𧓒-0130416476

Adaptaciones de CSD:

Ajustes académicos / ayudas auxiliares: El Sistema de la Universidad de Houston cumple con la Sección 504 de la Ley de Rehabilitación de 1973 y la Ley de Estadounidenses con Discapacidades de 1990, relacionada con la provisión de ajustes académicos razonables / ayudas auxiliares para estudiantes que tienen una discapacidad. De acuerdo con la Sección 504 y las pautas de la ADA, la Universidad de Houston se esfuerza por proporcionar ajustes académicos razonables / ayudas auxiliares a los estudiantes que las soliciten y requieran. Si cree que tiene una discapacidad que requiere ajustes académicos / ayuda auxiliar, visite el sitio web & # 160 The Center for Students with DisABILITIES (CSD) & # 160 en & # 160 http://www.uh.edu/csd/ & # 160 para obtener más información.

Formularios de alojamiento: Los estudiantes que buscan ajustes académicos / ayudas auxiliares deben, de manera oportuna (generalmente al comienzo del semestre), proporcionar a su instructor un Formulario de adaptación del estudiante (SAF) actual (copia impresa o & # 160 en línea & # 160, como apropiado) de la oficina del CSD antes de que se pueda implementar una adaptación aprobada.

Los detalles de esta política y las responsabilidades correspondientes del estudiante se describen en & # 160 La Política de Ajustes Académicos para Estudiantes / Ayudas Auxiliares (01.D.09) & # 160 documento bajo [PASO 4: Presentación del Estudiante (5.4.1 & amp 5.4 .2), página 6]. Para obtener más información, visite la página & # 160 Center for Students with Disabilities Student Resources & # 160.

Además, si un estudiante está solicitando una adaptación para la prueba (aprobada por el CSD), el estudiante también completará un formulario en papel de Solicitud de adaptaciones para las pruebas individualizadas (RITA) para organizar la administración de las pruebas en la oficina del CSD. CSD sugiere que el estudiante se reúna con su instructor durante el horario de oficina y / o haga una cita para completar el formulario RITA para garantizar la confidencialidad.

* Nota: Los formularios RITA deben completarse al menos 48 horas antes de la fecha original del examen. Consulte con su & # 160 consejero & # 160 con anticipación para asegurarse de que sus pruebas se programen de manera oportuna. Tenga en cuenta que si supera el límite de tiempo acordado para su examen, será penalizado en proporción a la cantidad de tiempo extra que se tome.

Los Servicios de Consejería y Psicología (CAPS) pueden ayudar a los estudiantes que tienen dificultades para manejar el estrés, adaptarse a la universidad o sentirse tristes y desesperanzados. Puede comunicarse con & # 160 (CAPS) & # 160 llamando al 713-743-5454 durante y después del horario laboral para citas de rutina o si usted o alguien que conoce está en crisis. No es necesaria una cita para el programa & # 160 "Let's Talk" & # 160, un servicio de consulta sin cita previa en lugares y horarios convenientes en el campus.


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(Versión 5.4, 8 de junio de 2021, 282 páginas, 1.8 MB de descarga)

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Math 131B: Introducción a las variables reales Primavera 2007

(5/22) Si desea ver su examen final antes de que finalice las calificaciones, puede pasar por mi oficina el Jueves de 2 a 3:30. Publicaré las soluciones mañana por la tarde.

¡Fue un gran placer para mí impartir esta clase! Tengo un gran verano a todos, y espero verlos en el otoño. Vea las clases que estoy enseñando: Matemáticas 134: Sistemas dinámicos y Matemáticas 213: Geometría diferencial avanzada. Envíeme un correo electrónico si desea saber más sobre estas clases.

(5/16) Acabo de publicar la tarea 10 soluciones. Las antiguas asignaciones de tarea, incluidas las reescrituras calificadas de HW 9, están todas en un sobre afuera de la puerta de mi oficina.

(5/15) Aquí está el examen final. Es debido en Miércoles 23 de mayo al mediodía. Si crees que el examen es un desafío, bueno, es porque creo que eres un grupo de estudiantes muy capaz y, además, hay muchos problemas de créditos adicionales (además de algunas sugerencias).

Por cierto, si está interesado, lo más probable es que pueda mostrarle su examen (calificado) el jueves 24 de mayo por la tarde, antes de finalizar las calificaciones. Publicaré la hora exacta más tarde. ¡Buena suerte y avísame si tienes alguna pregunta!

(5/14) Se han publicado las soluciones a la tarea 9. Recuerde que las reescrituras de HW 10 vencen el 16 de mayo (entréguelas al personal en MH 308). Mi horario de oficina para el resto del semestre será:

Aquí hay una muestra final (de 2006) con soluciones. La final del año pasado con soluciones ya está aquí.

(5/8) Tres recordatorios: (1) La tarea 10 vence mañana (5/9) (2) las reescrituras de HW 9 (que traeré mañana) vencen el lunes 14 de mayo (3) la final para llevar a casa se publicará aquí el 16 de mayo por la mañana y vencerá el 23 de mayo al mediodía. Además, traeré los formularios SOTE a clase mañana.

(5/7) Cambié (léase: lo hice más fácil) el último problema en la Tarea 10. En lugar de mostrar que cada función continua es medible, necesitas mostrar que cada función constante por partes es medible. Si ya probó lo primero, simplemente entregue eso.

(5/6) No podré mantener mi horario de oficina de 4-5 mañana, así que estaré disponible solo de 10:30 a 12 del mediodía y de 3 a 4. ¡Lo siento!

(5/3) Se han publicado las soluciones de Tarea 8. La tarea 10 (¡la última!) También está allí y debe entregarse 9 de mayo.

(4/30) Aquí tienes la oportunidad de escuchar a un gran matemático y orador (¡y además entretenido!): Vladimir Arnold dará una charla titulada "Geometría algebraica real" en la Universidad de Santa Clara (Sala de Ciencias Daly 206) el miércoles 9 de mayo a las 7:30 PM. Para obtener más información, consulte el sitio web de BAMA. Si puede, ¡asista!

(4/26) Recién publicado: Soluciones HW 7 y Tarea 9, prevista para el miércoles, 2 de Mayo.

(4/22) He notado que algunos de ustedes no obtienen muy buenos resultados en los exámenes en clase (creo que muchos de ustedes podrían haberlo hecho mucho mejor en el segundo semestre), así que he decidido hacer el examen final para llevar a casa. Las fechas que tengo en mente son 17-23 de mayo. Avíseme si tiene una razón muy sólida para oponerse a esto.

(4/20) El coloquio del Departamento de Matemáticas el próximo miércoles va a ser muy interesante e instructivo, así que no solo los animo a que asistan, sino que les daré un punto de crédito extra a los que asistan y escriban un breve resumen de la charla (al menos un párrafo y como máximo una página). El orador, Alexander Givental de UC Berkeley es un matemático asombroso que se hizo famoso, entre otras cosas, por resolver la llamada "Conjetura del espejo" (en la interfaz de las matemáticas y la física). Entonces, ¡asista!

(4/19) La tarea 8 se ha publicado y debe entregarse el miércoles, 25 de abril.

(4/18) Se han publicado las soluciones de mitad de período 2. Por cierto, publicaré HW 8 mañana. Devolveré HW 7 el lunes (perdón por el retraso).

(4/16) Se han publicado las soluciones para la tarea 5 y 6. Las soluciones para el ejemplo de mitad de período están aquí.

(4/14) Dos cosas: (a) a partir del 16 de abril, mi nuevo horario de oficina será

(B) La mejor manera de prepararse para el examen de mitad de período es (como de costumbre) repasar la tarea y los problemas en su vecindario épsilon en el libro. Por cierto, puede traer una tarjeta de índice de 3 X 5 pulgadas con sus notas al examen.

(4/13) Corrección: dado que recibirás la Tarea 7 el lunes, solo las revisiones de los HW 5 y 6 vencen ese día (4/11), mientras que puedes convertir tu revisión de HW 7 el miércoles (4/18).

Recuerde preparar sus preguntas y problemas que le gustaría discutir. El lunes, planeo repasar algunos problemas de tarea y este ejemplo de mitad de período 2 de la primavera de 2006.

(4/9) Las revisiones de las tareas 5-7 deben entregarse el Lunes 16 de abril (el día que vuelva) al final de la clase. Luego, publicaré soluciones para estas asignaciones en la web. Recuerde que Midterm 2 está activado 18 de abril. Cubrirá las secciones 7.3, 8.1, 8.2 y 9.1-9.4 de Bartle-Sherbert. Revisaremos el examen de mitad de período este miércoles y el próximo lunes.

(3/31) Hola a todos, ¡espero que hayan disfrutado de sus vacaciones de primavera! Finalmente publiqué las soluciones en Homework 4. Pronto habrá más. Por cierto, lo más probable es que vuelva el 16 de abril.

(3/21) La tarea 7 ha sido publicada y vence el 4 de abril. ¡Disfruta tus vacaciones de primavera!

(3/14) La tarea 6 se ha publicado y vence el 21 de Marzo. Además, como mencionó el profesor Grantcharov en clase, puede entregarle la tarea 5 el viernes.

(3/8) La tarea 5 se ha publicado y debe entregarse el miércoles, Marzo 14.

Como mencioné antes, estaré de baja por paternidad hasta aproximadamente el 9 u 11 de abril, tiempo durante el cual el profesor Dimitar Grantcharov me sustituirá. Debe entregarle sus tareas al final de la clase (el día en que vence la tarea, por supuesto). Intentaré estar disponible por correo electrónico tanto como sea posible, así que no dude en enviarme sus preguntas por correo electrónico. También puede ver al profesor Grantcharov durante su horario de oficina, que se puede encontrar aquí.

(2/28) Como hoy no tuve tiempo de hablar sobre conjuntos de ceros y otras cosas, puedes entregar la Tarea 4 el miércoles, 7 de Marzo en lugar del 5 de marzo. Se han publicado Soluciones a la tarea 3.

(2/27) La tarea 4 ha sido publicada y vence el Lunes 5 de marzo. Recuerde que las revisiones de la tarea 3 deben entregarse mañana, 28 de febrero.

(2/26) Se han publicado las soluciones de mitad de período 1.

(2/23) Se han publicado las soluciones de Tarea 2. (El enlace roto ahora está arreglado).

(2/20, parte 2) Olvidé mencionar que puedes consultar el parcial 1 del año pasado aquí.

(2/20) La mitad del período 1 (el 26 de febrero) cubrirá las secciones 6.1 a 6.4, 7.1 y 7.2 del libro de Bartle-Sherbert. Mañana planeo terminar la sección 7.2 y discutir varios ejercicios. El viernes 23 de febrero, el sesión de revisión estarán a la 1:30. Encontrémonos en mi oficina (MH 318A) y busquemos una habitación. Y por supuesto, ¡prepara tus preguntas!

En una nota relacionada, intente haga más preguntas, dé más comentarios y, en general, ¡sea más activo en clase! Hará que las conferencias sean más interesantes y útiles para usted, y me ayudará a tener una idea de qué tan rápido o lento debo ir y en qué debo concentrarme. También sería útil recibir algunos comentarios (también a través del formulario de comentarios anónimos a continuación).

(14/2, parte 2) Puede recoger la tarea calificada 2 en mi oficina (hay un sobre colgando afuera). Las revisiones vencen el próximo miércoles. Y por cierto, tenemos clase el lunes 19 de febrero.

(2/14) Se han publicado las soluciones a la tarea 1.

(2/11) Mañana 12 de febrero solo tendré una hora de oficina, de 10 a 11. Sin embargo, el miércoles 14 de febrero tendré una hora extra de oficina de 4:20 a 5:20. Además, el viernes 23 de febrero, celebraré una sesión de revisión de mitad de período, ya sea 10-10: 50 o 1: 30-2: 20, aún por determinar.

Además, la tarea 3 se ha publicado y debe entregarse el miércoles, 21 de febrero.

Y una última cosa: he decidido mover Midterm 2 de 9 de abril al 18 de abril. La razón principal es que estaré de baja por paternidad, probablemente del 8 de marzo al 8 de abril aproximadamente. Mi sustituto más probable será el profesor Dimitar Grantcharov.

(2/4) La tarea 2 se ha publicado y debe entregarse el lunes, 12 de febrero. También publiqué un folleto titulado "¿Qué tan discontinuo puede ser f?". La respuesta, en resumen, es: no demasiado.

(1/31) Como dije en clase, la fecha límite para la tarea 1 se ha movido al lunes, 5 de febrero.

(1/28) Tuve que mover mi hora de oficina M 2-3 a M 3-4. Así que mi nuevo horario de oficina es MW 10-12 y M 3-4.

(1/23) La tarea 1 se ha publicado y debe entregarse el miércoles, enero 31.


Preludio al análisis real - Matemáticas

(a) Como $ a & lt b $, tenemos $ b-a en P $. De manera similar, tenemos $ d-c en P $. Tenemos empezar(b + d) - (a + c) & amp = b + d-a-c text quad & amp = (b-a) + (d-c) in P. endPor tanto, $ a + c & lt b + d $.

(b) Damos un contraejemplo. Sea $ mathbb F = R $. Establezca $ a = c = -1 $ y $ b = d = 0 $, luego $ a & lt b $ y $ c & lt d $. Pero $ a c = 1 & gt bd = 0 $.

Ejercicio 1.10

Otra solución: lo probamos por inducción en $ n $.

Si $ n = 1 $, la identidad es claramente verdadera.

¡Por inducción matemática, hemos terminado!

Ejercicio 1.20

(a) Sea $ sup A = alpha $ y $ sup B = beta $. Desde $ alpha & lt beta $, tenemos $ beta - alpha & gt0 $. Por el teorema 1.24 y estableciendo $ e = beta- alpha $, existe $ b en B $ tal que [ beta - ( beta- alpha) & lt b Longrightarrow alpha & lt b. ] Por lo tanto $ b $ es un límite superior de $ A $.

(b) Damos un ejemplo. Sea $ A = <1 > $ y $ B = PS Entonces $ sup A = sup B = 1 $. Pero ningún elemento en $ B $ es un límite superior de $ A $ ya que todos son más pequeños que uno.

Ejercicio 1.21

Solución: dado que $ A $ está acotado abajo, existe $ M $ tal que $ M leqslant x $ para todos los $ x en A $. Por tanto, $ M $ es un límite inferior de $ A $ y $ M leqslant inf A $. Sea $ alpha = inf A $.

Como $ A $ no está vacío, tenemos un elemento $ x $ en A y, por tanto, un elemento $ -x $ en $ -A $. Esto implica que $ -A ne varnothing $.

Tenga en cuenta que $ M leqslant x $ para todos los $ x en A $. Multiplicando ambos lados por $ -1 $, obtenemos $ -M geqslant -x $ para todos los $ x en A $. Esto implica que $ -M geqslant y $ para todos $ y en -A $. Por lo tanto, $ -A $ está acotado por encima.

Luego mostramos que $ sup (-A) = - alpha $. Usamos el teorema 1.24. Tenemos

(a) $ x geqslant alpha $ para todos $ x en A $, y por lo tanto $ -x leqslant - alpha $ para todos $ x en A $. Esto implica que $ - alpha $ es un límite superior de $ -A $

(b) para cualquier $ e & gt 0 $, existe $ x en A $ tal que $ x & lt alpha- e $, y por tanto $ -x & gt - alpha + e $. Esto implica que $ - alpha + e $ no es un límite superior de $ -A $.

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema 1.24, tenemos $ sup (-A) = - alpha = - inf A $.

Ejercicio 1.22

Ejercicio 1.23

Solución: Sea $ I_n = (1,1 + 1 / n) $, entonces cada $ I_n $ está abierto y no vacío. Además, [I_1 supset I_2 supset I_3 supset I_4 supset cdots. ] Mostramos que $ cap_^ infty I_n = varnothing $.

Lo argumentamos por contradicción. Suponga $ cap_^ infty I_n ne varnothing $, entonces existe $ a in cap_^ infty I_n $. Por lo tanto $ a in I_n $ para todos $ n $, es decir beginetiqueta1 & lt a & lt 1+ frac <1>.final Desde $ a & gt 1 $, tenemos $ a -1 & gt0 $. Según el principio de Arquímedes, podemos encontrar $ m in mathbb N $ tal que $ dfrac <1>& lt a-1. $ Por lo tanto $ 1 + dfrac <1> & lt a $ que contradice eqref si tomamos $ n = m $.

Por lo tanto $ cap_^ infty I_n = varnothing $.

Ejercicio 1.24

Solución: usamos el teorema 1.24. Sea $ alpha = sup A $ y $ beta = sup B $. Entonces, para cualquier $ a en A $ y $ b en B $, tenemos $ a leqslant alpha $ y $ b leqslant beta $. Al sumarlos, llegamos a la conclusión de que $ a + b leqslant alpha + beta $ para todos los $ a en A $ y $ b en B $. Por tanto, $ alpha + beta $ es un límite superior de $ A + B $. (Esta es la parte (a) del teorema 1.24 que nos gustaría mostrar).

Según el teorema 1.24, para cualquier $ e & gt0 $, existen $ a en A $ y $ b en B $ tales que [ alpha- frac < e> <2> & lt a leqslant alpha, quad beta- frac < e> <2> & lt b leqslant beta. ] Si los sumamos, obtenemos que [ alpha + beta- e & lt a + b leqslant alpha + beta. ] Por tanto, obtenemos el inciso b) del teorema 1.24.

Usando el teorema 1.24, obtenemos que $ alpha + beta = sup (A + B) $, es decir, $ sup A + sup B = sup (A + B) $.

Ejercicio 1.25

Solución: Damos un contraejemplo. Sea $ A = B = <- 1, -2 > $, entonces tenemos $ sup A = sup B = -1. $ También tenemos [A cdot B = <1,2,4 >. ] Por lo tanto $ sup (A cdot B) = 4 $, pero $ sup A cdot sup B = 1 ne sup (A cdot B) $.

Ejercicio 1.26

Solución: Usaremos la Definición 1.29 para mostrar que el conjunto no es denso en $ R $. Sea [S = left < frac: m, n in mb Z, 1 leqslant n leqslant 10 right >. ] Luego en S $ y $ dfrac <1> <10> en S $. Demostramos que no hay ningún elemento $ a en S $ que satisfaga & lt a & lt dfrac <1> <10> $.

Lo argumentamos por contradicción. Suponga & lt a & lt dfrac <1> <10> $ y $ a = dfrac$, donde $ 1 leqslant n leqslant 10 $, entonces tenemos $ m geqslant 0 $, $ m in mathbb Z $ y [10 m & lt n. ] Como $ m geqslant 1 $, tener $ n & gt 10m geqslant 10 $ que es imposible. Por tanto, & lt a & lt dfrac <1> <10> $ no puede suceder. Según la definición 1.29, el conjunto $ S $ no es denso en $ R $.


  • Capítulo 1: Los números reales
  • Capítulo 2: Cálculo diferencial de funciones de una variable
  • Capítulo 3: Cálculo integral de funciones de una variable
  • Capítulo 4: Secuencias y series infinitas
  • Capítulo 5: Estructura de Rn
  • Capítulo 6: Funciones con valores vectoriales de varias variables
  • Capítulo 7: Integrales de funciones de varias variables
  • Capítulo 8: Espacios métricos

Este es un texto para un curso de dos semestres en análisis real introductorio para estudiantes de matemáticas de tercer o cuarto año y estudiantes de ciencias con un interés serio en las matemáticas. Los futuros educadores o los estudiantes de secundaria dotados en matemáticas también pueden beneficiarse de la madurez matemática que se puede obtener de un curso introductorio de análisis real.

El libro está diseñado para llenar los vacíos que quedan en el desarrollo del cálculo tal como se presenta generalmente en un curso elemental, y para proporcionar los antecedentes necesarios para comprender los cursos más avanzados de matemáticas puras y aplicadas. La secuencia de cálculo elemental estándar es el único prerrequisito específico para los Capítulos 1 y ndash5, que tratan con funciones de valor real. (Sin embargo, otros cursos orientados al análisis, como la ecuación diferencial elemental, también proporcionan una experiencia preparatoria útil.) Los capítulos 6 y 7 requieren un conocimiento práctico de determinantes, matrices y transformaciones lineales, normalmente disponibles en un primer curso de álgebra lineal. Se puede acceder al Capítulo 8 después de completar los Capítulos 1 y ndash5.


¿Es realmente tan difícil el análisis real?

No son duros en absoluto. Solo necesita trabajar un poco más para ellos que para calc. Todas esas clases están basadas en pruebas, por lo que querrá conocer algunas pruebas. No mucho, porque aprenderá cosas a lo largo del camino.

Toma las clases y asegúrate de resolver muchos ejercicios y hacer muchas preguntas (¡incluso si crees que sabes la respuesta!). Este foro podría ayudarte con eso.

Estoy tomando Real Analysis en este momento, y creo que ciertamente es factible. Creo que se reduce a si te gusta pasar mucho tiempo leyendo, releyendo, tratando de entender lo que lees, luego resolver algunos problemas y luego hacer aún más. Creo que esto es a lo que básicamente se reduce. Los conceptos son difíciles y desafiantes, pero eso es lo que hace que esta clase sea tan divertida.
Aparte de eso, creo que el nivel de dificultad puede cambiar de un profesor a otro. Algunos pueden asignar problemas originales o simplemente más difíciles, y otros asignan problemas más fáciles. Muchos de los problemas de nuestro libro de texto son simplemente teoremas conocidos que debes demostrar. Eso los hace un poco más fáciles, porque siempre puedo leer sobre la solución en otro lugar (aunque trato de no hacerlo). Pero las ideas detrás del análisis que se enseña en la universidad x por el profesor x_1, son las mismas que las ideas enseñadas en la universidad y por el profesor y_1.

De acuerdo, todavía no he terminado mi clase de Análisis Real, pero lo estoy haciendo muy bien. Estos son mis consejos para ti:
Dedique mucho tiempo al material y dedique aún más tiempo a resolver problemas.
Haga todos los problemas asignados e intente resolver los problemas que no se asignaron también. A veces se le asignan los problemas 4, 6, 9 y 12, pero las ideas demostradas en 1-3,5,7-8 pueden ayudarlo con los problemas asignados.
Tener más de un libro de texto. El libro de texto que usan en tu clase probablemente esté bien, pero es bueno tener otras fuentes de las que aprender. A veces, una determinada idea o teorema se demuestra mejor en un libro que en otro.
Por último, practique cómo escribir pruebas. Mi introducción a la clase de pruebas estuvo bien. Me enseñó las ideas detrás de algunas técnicas de prueba, pero los problemas eran muy sencillos y un poco computacionales. Necesitará algo más que eso para Real Analysis. Asegúrese de saber realmente cómo escribir pruebas, porque creo que eso es lo principal que impide que muchos estudiantes de mi clase tengan éxito. Son capaces de entender el material, pero les cuesta escribir pruebas, ¡pero solo por falta de práctica!
¡Buena suerte!

si el bereber es demasiado difícil, prueba este:

Introducción a la topología y al análisis moderno (Serie internacional en matemáticas puras y aplicadas) Simmons, George F.

pero nunca descartes un libro debido a la audiencia indicada; míralo para ver si esa audiencia te incluye a ti.


Calendario de exámenes y tareas para el hogar, primavera de 2019:

domingo lunes martes miércoles jueves viernes sábado
23 de enero 25 de enero
28 de enero 39 de enero 01 de febrero
04 de febrero 06 de febrero Feb 08 hmwk 4 vence
11 de febrero 13 de febrero 15 de febrero
18 de febrero 20 de febrero 22 de febrero hmwk 5 vence
25 de febrero 27 de febrero Mar 01 examen 5
Stony Brook Mar 04 Mar 06 Mar 08
11 de marzo 13 de mar. 15 de marzo
Mar 18 vacaciones de primavera 20 de marzo 22 de marzo
25 de marzo 27 de marzo 29 de marzo hmwk 6 debido
01 abr 03 abr Abr 05 examen 6
08 abr 10 de abr 12 de abr
15 de abr 17 abr 19 abr
22 abr 24 abr 26 de abril hmwk 7 debido
29 de abr 01 de mayo 03 de mayo examen 7
06 de mayo última clase

2017-2018

Las notas acumulativas también se agrupan en un solo pdf para facilitar la búsqueda de palabras clave, etc. Esto se actualizará a medida que se agreguen más notas. [ actualizado 04 dic '17]

  • Avance
  • 01_espacios_métricos_y_topología.pdf . [ actualizado 03 oct '17] Revisión de estructura de línea real, compacidad, continuidad, espacios métricos, topología, integrales de Riemann de funciones continuas, límites puntuales uniformes
    • Revise los ejemplos 00, vence el lunes 20 de septiembre [ actualizado 19 de septiembre de 2017]. Discusión 00 [ actualizado 19 de septiembre de 2017]
      (¡corregido!) [ actualizado 21 de septiembre de 2017]. Discusión 01 [ actualizado 23 de septiembre de 2017]
  • Ejemplos 02, vence el lunes, 09 de octubre [ actualizado 28 de septiembre de 2017]. Discusión 02 [ actualizado 31 de octubre de 2017]
    • Ejemplos 03 para el miércoles 18 de octubre [ actualizado 11 de octubre de 2017]. Discusión 03 [ actualizado 06 de noviembre de 2017]
    • Ejemplos 04 vence el lunes 30 de octubre [ actualizado 20 de octubre de 2017]. Discusión 04 [ actualizado 02 de noviembre de 2017]
    • 10b_C-infinity_is_not_Banach.pdf . [ actualizado 27 Nov '17] Los espacios de funciones suaves no son espacios de Banach, ni son normativos
    • 13b_distns_at_zero.pdf Distribuciones / generalizadas soportadas en un solo punto. [ actualizado 30 de noviembre de 2017]
    • Ejemplos 05 para el miércoles 15 de noviembre [ actualizado 04 de noviembre de 2017]. Discusión 05 [ actualizado 18 dic '17]
    • Ejemplos 06 para el viernes 01 de diciembre [ actualizado 22 de noviembre de 2017]. Discusión 06 [ actualizado 12 dic '17]
    • Ejemplos 07 para el viernes 16 de febrero [ actualizado 16 de febrero de 2018]
    • Ejemplos 08 para el viernes 9 de marzo [ actualizado 24 de febrero de 2018]. Discusión 08 [ actualizado 07 Abr '18]
    • Ejemplos 09 para el viernes 23 de marzo [ actualizado 03 Abr '18]. Discusión 09 [ actualizado 22 de marzo de 2018]
    • Ejemplos 10 para el viernes 20 de abril [ actualizado 14 de abril de 2018]. Discusión 10 [ actualizado 26 abr '18]

    2016-2017

    1. Vista previa [ actualizado 15 de septiembre de 2016]
    2. Revisión de la estructura de números reales, espacios métricos, integridad, compacidad, topología
      • Revise los ejemplos 00, vence el lunes 12 de septiembre [ actualizado 30 de agosto de 2016]. Revisar ejemplos de discusión 00 [ actualizado 11 de septiembre de 2016]
      • Revise los ejemplos 01, vence el lunes 19 de septiembre [ actualizado 14 de septiembre de 2016]. Revisar ejemplos de discusión 01 [ actualizado 17 de septiembre de 2016]
      • Revisión de espacios métricos y topología de conjuntos de puntos [ actualizado 29 de septiembre de 2016]
      • Ejemplos 02, vence el lunes 3 de octubre [ actualizado 04 de octubre de 2016]. Discusión de ejemplos 02 [ actualizado 15 de octubre de 2016]
    3. Introducción a la integración
      • [borrador] Medida e integración en la línea real [ actualizado 29 de septiembre de 2016]
        • Ejemplos 03, prevista para el miércoles 12 de octubre [ actualizado 13 de octubre de 2016]. Discusión de ejemplos 03 [ actualizado 13 de octubre de 2016]
      • [borrador] Teorema de Riesz-Markov-Kakutani, medida de Lebesgue [ actualizado 17 de octubre de 2016]
    4. Espacios de funciones, convergencia de series de Fourier
      • L p -espacios, convexidad y desigualdades básicas [ actualizado 18 de octubre de 2016]
      • Espacios de Hilbert [ actualizado 29 de octubre de 2016]
      • resultados básicos de la serie de Fourier [ actualizado 27 de octubre de 2016]
      • Ejemplos 04, previsto para el viernes 28 de octubre [ actualizado 31 de octubre de 2016]. Discusión de ejemplos 04 [ actualizado 16 de noviembre de 2016]
      • Ejemplos 05, vence el lunes, 06 de noviembre [ actualizado 04 de noviembre de 2016]. Discusión de ejemplos 05 [ actualizado 16 de noviembre de 2016]
      • Espacios Banach [ actualizado 13 de noviembre de 2017]
      • aplicaciones de las ideas espaciales de Banach [ actualizado 12 de noviembre de 2016]
      • Ejemplos 06, prevista para el miércoles 23 de noviembre [ actualizado 16 de noviembre de 2016]. Discusión de ejemplos 06 [ actualizado 09 dic '16]
      • Introducción a los espacios de Levi-Sobolev [ actualizado 12 de noviembre de 2016]
      • Espacios de Banach C k [a, b] [ actualizado 13 de noviembre de 2016]
    5. [borrador parcial] Transformadas de Fourier: funciones en líneas [ actualizado 11 de septiembre de 2018]
      • Ejemplos 07, vence el lunes, 05 de diciembre [ actualizado 27 de noviembre de 2016]. Discusión de ejemplos 07 [ actualizado 07 dic '16]
    6. Más teoría de la medida, funciones generalizadas (distribuciones), etc.
      • [proyecto de] medidas de productos y Fubini-Tonelli [ actualizado 18 de octubre de 2016]
      • Ejemplos 08, prevista para el miércoles 01 de febrero [ actualizado 05 de febrero de 2017]. Discusión de ejemplos 08 [ actualizado 05 de febrero de 2017]
      • Ejemplos 09, vence el lunes 13 de febrero [ actualizado 14 de febrero de 2017]. Discusión de ejemplos 09 [ actualizado 14 de febrero de 2017]
    7. Distribuciones en R n [ actualizado 26 de febrero de 2017]
      • Ejemplos 10, vence el lunes, 06 de marzo [ actualizado 24 de febrero de 2017]. Ejemplos de discusión 10 [ actualizado 24 de marzo de 2017]
    8. Operadores en espacios Hilbert
      • Generalidades sobre operadores en espacios de Hilbert [ actualizado 24 de febrero de 2017]
      • Ejemplos de espectros de operadores [ actualizado 24 de febrero de 2017]
      • Espacios nucleares, Teorema del núcleo de Schwartz [ actualizado 24 de febrero de 2017]
      • Alternativa de Fredholm [ actualizado 05 mar '17]
      • Ejemplos 11, vence el lunes 20 de marzo [ actualizado 19 de marzo de 2017]. Discusión de ejemplos 11 [ actualizado 08 abr '18]
      • Ejemplos 12, vence el lunes 10 de abril [ actualizado 31 de marzo de 2017]. Discusión de ejemplos 12 [ actualizado 26 abr '17]
      • Un teorema espectral para operadores autoadjuntos limitados. [ actualizado 14 de enero de 2018]
      • Ejemplos 13, vence el lunes 24 de abril [ actualizado 13 de abril de 2017]. Discusión de ejemplos 13 [ actualizado 21 abr '17]
      • Revisión y aclaraciones sobre proyectores / operadores de proyección. [ actualizado 18 abr '17]
    9. .
    10. .

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