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4.3: Operaciones con límites. Funciones racionales - Matemáticas

4.3: Operaciones con límites. Funciones racionales - Matemáticas


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I. Se dice que una función (f: A rightarrow T ) es real si su rango (D_ {f} ^ { prime} ) está en (E ^ {1}, ) complejo si (D_ {f} ^ { prime} subseteq C, ) vector valorado si (D_ {f} ^ { prime} ) es un subconjunto de (E ^ {n}, ) y escalar valorado si ( D_ {f} ^ { prime} ) se encuentra en el campo escalar de (E ^ {n}. ( Text {'En los dos últimos casos, usamos la misma terminología si} ) (E ^ { n} ) es reemplazado por algún otro espacio normado (fijo) bajo consideración.) El dominio (A ) puede ser arbitrario.

Para tales funciones se pueden definir varias operaciones siempre que se definan para elementos de sus rangos, a los que pertenecen los valores de función (f (x) ). Así, como en el Capítulo 3, §9, definimos las funciones (f pm g, f g, ) y (f / g ) "puntualmente", estableciendo

[(f pm g) (x) = f (x) pm g (x), quad (fg) (x) = f (x) g (x), text {y} left ( frac {f} {g} derecha) (x) = frac {f (x)} {g (x)} ]

siempre que se definan las expresiones del lado derecho. También definimos (| f |: A rightarrow E ^ {1} ) por

[( forall x in A) quad | f | (x) = | f (x) |. ]

En particular, (f pm g ) se define si (f ) y (g ) tienen valores vectoriales o escalares, y (fg ) se define si (f ) es vector valorado mientras que (g ) tiene un valor escalar; de manera similar para (f / g. ) (Sin embargo, el dominio de (f / g ) consiste en aquellos (x in A ) solo para los cuales (g (x) neq 0.) )

En los teoremas siguientes, todos los límites están en algún punto (arbitrario, pero fijo) (p ) del espacio de dominio ((S, rho). ) Por brevedad, a menudo omitimos ("x rightarrow p . ")

Teorema ( PageIndex {1} )

Para cualquier función (f, g, h: A rightarrow E ^ {1} (C), A subseteq (S, rho), ) tenemos lo siguiente:

  1. (i) Si (f, g, h ) son continuas en (p (p en A), ) también lo son (f pm g ) y fh. Así también (f / h, ) se proporciona (h (p) neq 0; ) de manera similar para la continuidad relativa sobre (B subseteq A ).
  2. (ii) Si (f (x) rightarrow q, g (x) rightarrow r, ) y (h (x) rightarrow a ( text {all, as} x rightarrow p text {sobre } B subseteq A), ) luego
    1. (f (x) pm g (x) rightarrow q pm r )
    2. (f (x) h (x) rightarrow q a; ) y
    3. ( frac {f (x)} {h (x)} rightarrow frac {q} {a}, ) proporcionado (a neq 0 )

Todo esto es válido también si (f ) y (g ) tienen valores vectoriales y (h ) tienen valores escalares.

Para una demostración simple, se puede usar el Teorema 1 del Capítulo 3, §15. (Se bosqueja una prueba independiente en los problemas 1-7 a continuación).

También podemos utilizar el criterio secuencial (Teorema 1 en §2). Para probar (ii), tome cualquier secuencia

[ left {x_ {m} right } subseteq B - {p }, x_ {m} rightarrow p ]

Luego, por las suposiciones hechas,

[f left (x_ {m} right) rightarrow q, g left (x_ {m} right) rightarrow r, text {y} h left (x_ {m} right) rightarrow a ]

Así, por el Teorema 1 del Capítulo 3, §15,

[f left (x_ {m} right) pm g left (x_ {m} right) rightarrow q pm r, f left (x_ {m} right) g left (x_ { m} right) rightarrow qa, text {y} frac {f left (x_ {m} right)} {g left (x_ {m} right)} rightarrow frac {q} { a}]

Como esto es válido para cualquier secuencia ( left {x_ {m} right } subseteq B - {p } ) con (x_ {m} rightarrow p, ) nuestra afirmación (ii) sigue por el criterio secuencial; de manera similar para (i).

Nota 1. Por inducción, el teorema también es válido para sumas y productos de cualquier número finito de funciones (siempre que se definan tales productos).

Nota 2. La parte (ii) no se aplica a los límites infinitos (q, r, a; ) pero sí se aplica a los límites en (p = pm infty ) (tome (E ^ {*} ) con un métrica adecuada para el espacio (S) ).

Nota 3. La suposición (h (x) rightarrow a neq 0 ( text {as} x rightarrow p text {over} B) ) implica que (h (x) neq 0 ) para (x ) en (B cap G _ { neg p} ( delta) ) para algunos ( delta> 0; ) vea el problema 5 a continuación. Por tanto, la función de cociente (f / h ) se define en (B cap G _ { neg p} ( delta) ) al menos.

II. Si el espacio de rango de (f ) es (E ^ {n} left (^ {*} text {o} C ^ {n} right), ) entonces cada valor de función (f (x ) ) es un vector en ese espacio; así (n ) componentes reales (* respectivamente, complejos), denotados

[f_ {k} (x), quad k = 1,2, ldots, n. ]

Aquí podemos tratar (f_ {k} ) como un mapeo de (A = D_ {f} ) en (E ^ {1} (* text {o} C); ) lleva cada punto (x in A ) en (f_ {k} (x), ) el (k ) th componente de (f (x). ) De esta manera, cada función

[f: A flecha derecha E ^ {n} izquierda (^ {*} C ^ {n} derecha) ]

determina de forma única (n ) mapas con valores escalares

[f_ {k}: A flecha derecha E ^ {1} (C) ]

llamados los componentes de (f. ) Notación: (f = left (f_ {1}, ldots, f_ {n} right) ).

Inversamente, dadas (n ) funciones arbitrarias

[f_ {k}: A rightarrow E ^ {1} (C), quad k = 1,2, ldots, n, ]

uno puede definir (f: A rightarrow E ^ {n} left (^ {*} C ^ {n} right) ) configurando

[f (x) = left (f_ {1} (x), f_ {2} (x), ldots, f_ {n} (x) right). ]

Entonces, obviamente (f = left (f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {n} right). ) Por lo tanto, (f_ {k} ) a su vez determina (f ) de forma única. Definir una función (f: A rightarrow E ^ {n} left (^ {*} C ^ {n} right) ) significa dar sus n componentes (f_ {k}. ) Note que

[f (x) = left (f_ {1} (x), ldots, f_ {n} (x) right) = sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ { k} f_ {k} (x), quad text {es decir,} f = sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ {k} f_ {k} ]

donde ( overline {e} _ {k} ) son los (n ) vectores unitarios básicos; ver Capítulo 3, §1-3, Teorema 2. Nuestro siguiente teorema muestra que los límites y la continuidad de (f ) se reducen a los de (f_ {k}. )

Teorema ( PageIndex {2} )

(continuidad y límites de componentes). Para cualquier función (f: A rightarrow E ^ {n} left (* C ^ {n} right), ) con (A subseteq (S, rho) ) y con (f = left (f_ {1}, ldots, f_ {n} right), ) tenemos eso

(i) (f ) es continua en (p (p in A) ) si si todos sus componentes (f_ {k} ) son, y

(ii) (f (x) rightarrow overline {q} ) como (x rightarrow p (p in S) ) iff

[f_ {k} (x) rightarrow q_ {k} text {as} x rightarrow p quad (k = 1,2, ldots, n), ]

es decir, si cada (f_ {k} ) tiene, como límite en (p, ) el componente correspondiente de ( overline {q}. )

Resultados similares son válidos para la continuidad relativa y los límites sobre una ruta (B subseteq A ).

Demostramos (ii). Si (f (x) rightarrow overline {q} ) como (x rightarrow p ) entonces, por definición,

[( forall varepsilon> 0) ( existe delta> 0) left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad varepsilon> | f ( x) - overline {q} | = sqrt { sum_ {k = 1} ^ {n} left | f_ {k} (x) -q_ {k} right | ^ {2}}; ]

a su vez, el lado derecho de la desigualdad dada arriba no es menor que cada

[ left | f_ {k} (x) -q_ {k} right |, quad k = 1,2, ldots, n. ]

Por lo tanto

[( forall varepsilon> 0) ( existe delta> 0) left ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) right) quad left | f_ {k } (x) -q_ {k} right | < varepsilon; ]

es decir, (f_ {k} (x) rightarrow q_ {k}, k = 1, ldots, n. )

Por el contrario, si cada (f_ {k} (x) rightarrow q_ {k}, ) entonces el Teorema 1 (ii) produce

[ sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ {k} f_ {k} (x) rightarrow sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ {k } q_ {k}. ]

Por fórmula ((1), ) entonces, (f (x) rightarrow overline {q} ) (para ( sum_ {k = 1} ^ {n} overline {e} _ {k } q_ {k} = overline {q}). ) Así se demuestra (ii); de manera similar para (i) y para los límites relativos y la continuidad.

Nota 4. Nuevamente, el teorema 2 también es válido para (p = pm infty ) (pero no para (q) ) infinito.

Nota 5. Una función compleja (f: A rightarrow C ) puede tratarse como (f: A rightarrow E ^ {2} ). Por lo tanto, tiene dos componentes reales: (f = left (f_ {1}, f_ {2} right). ) Tradicionalmente, (f_ {1} ) y (f_ {2} ) se llaman las partes real e imaginaria de (f, ) también denotadas por (f _ { text {re}} ) y (f _ { text {im}}, ) entonces

[f = f _ { mathrm {re}} + i cdot f _ { mathrm {im}}. ]

Según el teorema (2, f ) es continuo en (p ) sif (f _ { text {re}} ) y (f _ { text {im}} ) son.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

El exponencial complejo es la función (f: E ^ {1} rightarrow C ) definida por

[f (x) = cos x + i cdot sin x, text {también escrito} f (x) = e ^ {x i}. ]

Como veremos más adelante, las funciones seno y coseno son continuas. Por tanto, también lo es (f ) según el teorema (2. )

III. A continuación, considere las funciones cuyo dominio es un conjunto en (E ^ {n} left (^ {*} text {o} C ^ {n} right). ) Las llamamos funciones de (n ) variables ( left (* text {o complejas) reales, tratando} overline {x} = left (x_ {1}, ldots, x_ {n} right) text {como} right. ) una variable (n ) - tupla. El espacio de rango puede ser arbitrario.

En particular, un monomio en (n ) variables es un mapa en (E ^ {n} left (^ {*} text {o} C ^ {n} right) ) dado por una fórmula de la forma

[f ( overline {x}) = a x_ {1} ^ {m_ {1}} x_ {2} ^ {m_ {2}} cdots x_ {n} ^ {m_ {n}} = a cdot prod_ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {m_ {k}}, ]

donde (m_ {k} ) son enteros fijos ( geq 0 ) y (a en E ^ {1} left (^ {*} text {o} a en C right) . ^ {2} ) Si (a neq 0 ), el
( operatorname {sum} m = sum_ {k = 1} ^ {n} m_ {k} ) se llama el grado del monomio. Por lo tanto

[f (x, y, z) = 3 x ^ {2} y z ^ {3} = 3 x ^ {2} y ^ {1} z ^ {3} ]

define un monomio de grado (6, ) en tres variables reales (o complejas) (x, y, z ). (A menudo escribimos (x, y, z ) para (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}.) )

Un polinomio es cualquier suma de un número finito de monomios; su grado es, por definición, el de su término principal, es decir, el de grado más alto. (Puede haber varios de estos términos, de igual grado). Por ejemplo,

[f (x, y, z) = 3 x ^ {2} y z ^ {3} -2 x y ^ {7} ]

define un polinomio de grado 8 en (x, y, z. ) Los polinomios de grado 1 a veces se denominan lineales.

Una función racional es el cociente (f / g ) de dos polinomios (f ) y (g ) en (E ^ {n} ) ( left (^ {*} mathrm {o } C ^ {n} derecha) ). Su dominio consiste en aquellos puntos en los que (g ) no desaparece. Por ejemplo,

[h (x, y) = frac {x ^ {2} -3 x y} {x y-1} ]

define una función racional en los puntos ((x, y), ) con (x y neq 1. ) Los polinomios y los monomios son funciones racionales con denominador (1. )

Teorema ( PageIndex {1} )

Cualquier función racional (en particular, cada polinomio) en una o varias variables es continua en todo su dominio.

Prueba

Considere primero un monomio de la forma

[f ( overline {x}) = x_ {k} quad (k text {fijo}); ]

se llama (k ) ésimo mapa de proyección porque "proyecta" cada ( overline {x} en E ^ {n} left (^ {*} C ^ {n} right) ) sobre su (k ) th componente (x_ {k} ).

Dado cualquier ( varepsilon> 0 ) y ( overline {p}, ) elija ( delta = varepsilon. ) Luego

[ left ( forall overline {x} in G _ { overline {p}} ( delta) right) quad | f ( overline {x}) - f ( overline {p}) | = izquierda | x_ {k} -p_ {k} derecha | leq sqrt { sum_ {i = 1} ^ {n} left | x_ {i} -p_ {i} right | ^ {2}} = rho ( overline {x}, overline {p }) < varepsilon. ]

Por tanto, por definición, (f ) es continua en cada ( overline {p}. ) Por tanto, el teorema es válido para mapas de proyección.

Sin embargo, cualquier otro monomio, dado por

[f ( overline {x}) = a x_ {1} ^ {m_ {1}} x_ {2} ^ {m_ {2}} cdots x_ {n} ^ {m_ {n}}, ]

es el producto de un número finito (es decir, de (m = m_ {1} + m_ {2} + ldots + m_ {n}) ) mapas de proyección multiplicados por una constante (a ). Por tanto, según el teorema (1, ) es continuo. Así también lo es cualquier suma finita de monomios (es decir, cualquier polinomio), y por lo tanto también lo es el cociente (f / g ) de dos polinomios (es decir, cualquier función racional) donde sea que esté definida, es decir, donde el denominador no desaparecer. (cuadrado)

IV. Para funciones en (E ^ {n} left (^ {*} text {o} C ^ {n} right), ) a menudo consideramos límites relativos sobre (a ) línea de la forma

[ overline {x} = overline {p} + t vec {e} _ {k} text {(paralelo al eje} k ^ {th} text {, a través de} overline {p}) ; ]

ver Capítulo 3, §§4-6, Definición (1. ) Si (f ) es relativamente continua en ( overline {p} ) sobre esa línea, decimos que (f ) es continua en ( overline {p} ) en la (k ) ésima variable (x_ {k} ) (porque los otros componentes de ( overline {x} ) permanecen constantes, es decir, iguales a esos de ( overline {p}, ) cuando ( overline {x} ) pasa sobre esa línea). En contraposición a esto, decimos que (f ) es continuo en ( overline {p} ) en todas las (n ) variables conjuntamente si es continuo en ( overline {p} ) en el sentido ordinario (no relativo). Del mismo modo, hablamos de límites en una variable, o en todas juntas.

dado que la continuidad ordinaria implica una continuidad relativa sobre cualquier camino, la continuidad conjunta en todas las (n ) variables siempre implica que en cada variable por separado, pero la inversa falla (vea los problemas 9 y 10 a continuación (); ) de manera similar para los límites en ( overline {p} ).


Límite de una función

En matemáticas, el límite de una función es un concepto fundamental en cálculo y análisis relativo al comportamiento de esa función cerca de una entrada en particular.

Aunque la función (pecado X)/X no está definido en cero, ya que X se acerca cada vez más a cero, (pecado X)/X se vuelve arbitrariamente cercano a 1. En otras palabras, el límite de (sin X)/X, como X se aproxima a cero, es igual a 1.

Las definiciones formales, concebidas por primera vez a principios del siglo XIX, se dan a continuación. Informalmente, una función F asigna una salida F(X) a cada entrada X. Decimos que la función tiene un límite L en una entrada pag, Si F(X) se acerca cada vez más a L como X se acerca más y más a pag. Más específicamente, cuando F se aplica a cualquier entrada suficientemente cerca de pag, el valor de salida es forzado arbitrariamente cerca de L. Por otro lado, si algunas entradas muy cercanas a pag se llevan a salidas que se mantienen separadas a una distancia fija, entonces decimos que el límite no existe.

La noción de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno. En particular, las muchas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: aproximadamente, una función es continua si todos sus límites concuerdan con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de la derivada: en el cálculo de una variable, este es el valor límite de la pendiente de las líneas secantes a la gráfica de una función.


Limites

  1. Identificar funciones polinomiales, de potencia, racionales, trigonométricas y exponenciales. Lea las páginas 21 a 26 del libro de texto y haga los Ejercicios 1 y 2 de la página 27.
  2. realizar operaciones algebraicas con funciones, como se explica en la sección titulada & ldquoCombination of functions, & rdquo en las páginas 34-35 del libro de texto. Realice los ejercicios 31 y 32 de la página 39.
  3. redactar funciones, como se explica en la sección titulada & ldquoComposition of Functions, & rdquo en las páginas 35-37 del libro de texto. Realice los ejercicios 35 a 40 en la página 39.

Nota: En una composición $ (f circ g) (x) = f (g (x)) $, la función $ g (x) $ toma el lugar de la variable independiente en la función $ f $.

Podemos evaluar (encontrar) límites analizando las gráficas de una función, pero las gráficas no siempre están disponibles o son fáciles de obtener. Entonces, en cambio, debemos usar las propiedades de la función, una de las cuales es la continuidad.

En términos muy generales, decimos que una función es continua en un intervalo si la gráfica de la función en este intervalo no se rompe. De nuestras gráficas básicas, vemos que la gráfica de la función f (x) = x no se rompe en [0, & # x221E), por lo que esta función es continua en este intervalo. De manera similar, las gráficas de las funciones trigonométricas nos dicen que la tangente es continua en el intervalo (- & # x03C0 & # x2215 2, & # x03C0 & # x2215 2), y muchas otras cosecante es continua en (0, & # x03C0) y el seno y el coseno son continuos en todas partes, es decir, en & # x211D = (- & # x221E, & # x221E). El límite de una función continua es fácil de evaluar.

Figura 3.13. Función f, continua en a

La figura 3.13, arriba, muestra la gráfica de una función f que es continua en a. Tenemos

lim x & # x2192 a + f (x) = f (a) y lim x & # x2192 a - f (x) = f (a)

No podría ser más fácil: una vez que sabemos que la función es continua en a, su límite en a es f (a). Por lo tanto, para evaluar los límites, es útil saber qué funciones son continuas y dónde.

Todas las gráficas de funciones en las Figuras 3.2 a 3.6 se rompen de diferentes maneras.

En las Figuras 3.2 a 3.4, vemos que los gráficos se rompen porque

lim x & # x2192 a + f (x) & # x2260 lim x & # x2192 a - f (x).

En las Figuras 3.5 y 3.6, lim x & # x2192 a + f (x) = lim x & # x2192 a - f (x), pero la gráfica se rompe porque

Entonces podemos ver que para que una función sea continua en a, se deben cumplir las siguientes tres condiciones:

  1. lim x & # x2192 a f (x) existen, es decir lim x & # x2192 a + f (x) = lim x & # x2192 a - f (x).
  2. Se define f (a).
  3. lim x & # x2192 a f (x) = f (a).

Convénzase de que la condición 1 evita que el gráfico se rompa como en las figuras 3.2 a 3.4, la condición 2 evita una ruptura como en la figura 3.5 y la condición 3 evita una ruptura como en la figura 3.6.

Hemos encontrado las condiciones para que una función sea continua en un número. Consideramos que estas condiciones son suficientes.

Definición * 3.10. Una función f definida alrededor de a es continua en a si

Las tres condiciones están incluidas en la definición 3.10, porque cuando decimos que el límite de f en a es igual af (a) entendemos que lim x & # x2192 af (x) existe, y que f (a) se define y es igual al límite.

Cuando una función es continua en cada número (es decir, en & # x211D), decimos que la función es continuo en todas partes.

Como mencionamos anteriormente, el seno y el coseno son continuos en todas partes, y de nuestros gráficos básicos, vemos que la función de identidad y las funciones cuadráticas y cúbicas básicas también son continuas en todas partes. De hecho, las funciones polinomiales son continuas en todas partes.

Ejemplo 3.19. Podemos aplicar la Definición 3.10 para evaluar los límites de funciones continuas de la siguiente manera.

lim x & # x2192 3 6 x 3 + 2 x 2 & # x2212 6 = 6 (3) 3 + 2 (3) 2 & # x2212 6 = 18 3 + 6 & # x2212 6.

Esto es así porque P (x) = 6 x 3 + 2 x 2 - 6 es una función polinomial y los polinomios son continuos en todas partes. En particular para nuestra pregunta, es continuo en 3, por lo tanto, el límite es igual a P (3).

lim x & # x2192 5 & # x03C0 3 sin & # x2009 x = sin (5 & # x03C0 3) = & # x2212 3 2.

Nuevamente, esto es así porque el seno es continuo en todas partes, por lo que según la Definición 3.10 el límite es igual al valor del seno en 5 & # x03C0 & # x2215 3.

Las funciones racionales son continuas en su dominio. Por lo tanto, para evaluar el límite de una función racional en un número a, necesitamos saber si el número a está en el dominio de la función y luego aplicar la Definición 3.10.

Ejemplo 3.20. Evaluemos el límite

lim x & # x2192 3 & # x00A0 4 x 2-3 4 x + 6.

es racional, y que el número 3 está en su dominio. [¿Por qué?] Por tanto, según la definición 3.10, el límite es igual ag (3), es decir,

lim x & # x2192 3 & # x00A0 4 x 2-3 4 x + 6 = 4 (3) 2-3 4 (3) + 6 = 1 1 6.

Ejemplo 3.21. El límite

lim x & # x2192 3 & # x00A0 4 x 2-9 x 2-9

es también el límite de una función racional

pero en este caso, 3 no está en el dominio de esta función. Por tanto, no podemos aplicar la Definición 3.10. Más adelante aprenderemos cómo se evalúan tales límites.

Los ejemplos 3.19 al 3.21 muestran que, para aplicar la definición 3.10, debemos saber dónde son continuas las funciones. La respuesta viene dada por el teorema siguiente.

Teorema 3.11. Los tipos de funciones que se enumeran a continuación son continuos en cada número de sus dominios.

  1. polinomios
  2. funciones racionales
  3. funciones raíz
  4. funciones trigonométricas

En la última sección de esta unidad, intentamos explicar por qué este teorema es verdadero. Por ahora, simplemente aplicamos este teorema, junto con la Definición 3.10, para evaluar límites.

Ejemplo 3.22. Evaluemos el límite lim x & # x2192 5 & # x03C0 4 tan & # x2009 x.

Primero, identificamos la función trigonométrica tan & # x2009 x. Sabemos por la gráfica de esta función que 5 & # x03C0 & # x2215 4 está en el dominio de tan & # x2009 x por lo tanto, tan & # x2009 x es continua en 5 & # x03C0 & # x2215 4 según el Teorema 3.11, y , según la definición 3.10, el límite es igual a tan (5 & # x03C0 & # x2215 4). Es decir,

Ejemplo 3.23. La función en el límite lim x & # x2192 - 5 & # x00A0 x 3 es una función raíz, y - 5 está en su dominio (es decir, x 1 & # x2215 3 se define para cualquier número x, positivo o negativo).

Según el teorema 3.11 y la definición 3.10, el límite es igual a (- 5) 1 & # x2215 3. Es decir,

lim x & # x2192 - 5 & # x00A0 x 3 = - 5 3 = (- 5) 1 & # x2215 3.

Ejemplo 3.24. lim x & # x2192 3 & # x03C0 4 csc & # x2009 x = csc & # x2009 3 & # x03C0 4 = 2

Esta afirmación es verdadera porque csc & # x2009 x es continua en su dominio según el Teorema 3.11, y 3 & # x03C0 & # x2215 4 está en su dominio. Por tanto, según la definición 3.10, el límite es igual a csc (3 & # x03C0 & # x2215 4).

Ejemplo 3.25. El dominio de la función raíz en el límite lim x & # x2192 - 5 & # x00A0 x 4 es [0, & # x221E). [¿Por qué?] Entonces, el límite no está definido, ya que la función no está definida alrededor de - 5.

Los dos teoremas siguientes amplían los tipos de funciones que son continuas en sus dominios.

Teorema 3.12. Si fyg son continuas en a, yc es una constante, entonces todas las funciones enumeradas a continuación también son continuas en a.

Las funciones a, b, dye se refieren al álgebra de funciones, el número c es el producto constante de una función, que se define como c f (x) = c (f (x)). Por ejemplo, si f (x) = sin & # x2009 x + 6 x 2, entonces 4 f (x) = 4 (sin & # x2009 x + 6 x 2) = 4 sin & # x2009 x + 2 4 x 2 .

Para la composición de funciones, tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3.13. Si la función g es continua en a, y la función f es continua en g (a), entonces f & # x2218 g es continua en a.

Veamos cómo usamos los teoremas 3.11 a 3.13 para decidir si una función es continua en su dominio.

Ejemplo 3.26. Explique por qué cada una de las funciones enumeradas a continuación es continua en su dominio.

  1. F (x) = x 2 + 1
  2. G (x) = x 2 + 1 + sin (x 2)
  3. H (x) = x 2 + 1 + sin (x 2) + x 3 + 6 x 2 + 1

La función F es la composición de las funciones g (x) = x 2 + 1 y f (x) = x, como sigue: F (x) = (f & # x2218 g) (x). La función g es un polinomio, por lo tanto, es continua en todas partes. La función f es continua en [0, & # x221E), y x 2 + 1 & # x2265 0 para cualquier x, entonces f es continua en g (x) para cualquier x. Según el teorema 3.13 anterior, F es continua para todo x, es decir, en todas partes.

Por el teorema 3.12, anterior, la función G es continua en todas partes, porque es la suma de dos funciones, las cuales son continuas en todas partes, es decir, F (como en (B), arriba y sin (x 2). De hecho, la función sen (x 2) es continua en todas partes según el teorema 3.13, porque es la composición de sen & # x2009 ty x 2, los cuales son continuos en todas partes según el teorema 3.12.

La función g (x) = x 3 + 6 x 2 + 1 es el cociente de un polinomio y la función F, ambas continuas en todas partes, y F (x) & # x2265 0 para todo x. Entonces, según el teorema 3.12, es cierto que g es continua en todas partes, y la función H es la suma de dos funciones continuas en todas partes. [¿Cuáles?] Por lo tanto, según el Teorema 3.12, es continuo en todas partes.

Si lo piensa detenidamente, verá que el teorema siguiente resume la Definición 3.10 y los Teoremas 3.11 a 3.13. Este teorema es la clave para evaluar los límites de funciones continuas.

Teorema 3.14. Si f es cualquiera de las siguientes funciones

  1. una función algebraica,
  2. una función trigonométrica,
  3. la suma, diferencia, producto o cociente de funciones algebraicas y trigonométricas, o
  4. una composición de cualquiera de los tres tipos de funciones anteriores,

entonces la función es continua en su dominio y

lim x & # x2192 a f (x) = f (a) para cada & # x00A0 a & # x00A0 en el dominio de & # x00A0 & # x00A0 f

Ejemplo 3.27. Según el teorema 3.14, todas las siguientes funciones son continuas en sus dominios. Para encontrar el dominio, busque las variables para las que la función no está definida y elimínelas del conjunto de números reales, lo que queda es el dominio de la función. Verifique que los dominios enumerados a continuación sean correctos.

g (t) = t 2 (6 & # x2212 cos & # x2009 t) 2 3 t & # x2212 1 & # x2212 t

el dominio es todo t & # x2264 1 excepto t = & # x2212 1 & # x00B1 37 18

Ejemplo 3.28. Utilice el teorema 3.14 para determinar si cada una de las siguientes funciones es continua en el número dado.

G (x) = seg (2 x & # x2212 & # x03C0) + 3 x + & # x03C0 x = & # x03C0 2

h (t) = 6 t & # x2009 sen (t & # x2212 1) t 2 & # x2212 1 t = 1

u (s) = csc (2 s) & # x2212 5 s + 1 s = 0

Primero observe que todas estas funciones son del tipo enumerado en el Teorema 3.14.

  1. La función G se define en & # x03C0 & # x2215 2 por tanto, & # x03C0 & # x2215 2 está en el dominio de G, y por el Teorema 3.14, G es continua en & # x03C0 & # x2215 2.
  2. La función h no está definida en 1 (t 2 - 1 = 0 para t = 1) por lo tanto, t = 1 no está en el dominio de h, y la función no es continua en 1.
  3. La función u no está definida en 0 porque csc (0) no está definida, entonces 0 no está en el dominio de u, y por el teorema 3.14, u no es continua en 0.

Ejemplo 3.29. Finalmente, usaremos el teorema 3.14 para evaluar los límites dados a continuación.

lim t & # x2192 - 3 & # x00A0 t 2 (6 - cos & # x2009 t) 2 3 t - 1 - t = - 9 (6 - cos & # x2009 3) 2 1 1,

g (t) = t 2 (6 - cos & # x2009 t) 2 3 t - 1 - t

se define en - 3 por tanto, - 3 está en su dominio, y por el Teorema 3.14, la función es continua en - 3 y el límite es igual ag (- 3).

Te dejamos la explicación del segundo resultado a modo de ejercicio:

lim x & # x2192 & # x03C0 2 seg (2 x - & # x03C0) + 3 x + & # x03C0 = seg (0) + 3 (3 & # x2215 2) & # x03C0 = 1 + 2 & # x03C0

Ejercicios
  1. Usa el teorema 3.14 para explicar por qué las funciones de los ejercicios 21 a 28 en la página 69 del libro de texto son continuas en sus dominios.
  2. Utilice el teorema 3.14 para evaluar los límites en los ejercicios 3-9 en la página 80 del libro de texto.

Preste atención al teorema 3.14. La mayoría de las funciones que estudiamos en este curso son del tipo enumerado en el teorema, por lo que para evaluar un límite

lo primero que hacemos es ver si podemos aplicar el teorema 3.14. Es decir, preguntamos, "¿es f continua en a?" O, en otras palabras, "¿está f (a) definida?" Si la respuesta es "sí", entonces concluimos que

Sin embargo, recuerde que al resolver problemas debe tener cuidado al aplicar el teorema 3.14.

También tenemos el concepto de continuidad a derecha e izquierda. La gráfica de una función que es continua a la derecha en a se parece a la que se muestra en la Figura 3.14, a continuación, y la gráfica de una función que es continua a la izquierda de a se parece a la que se muestra en la Figura 3.15.

Figura 3.14. Función f, continua a la derecha en a

Figura 3.15. Función f, continua a la izquierda en a

Si hemos entendido la definición de continuidad, podemos ver que las siguientes definiciones corresponden a los gráficos de las Figuras 3.14 y 3.15.

Definición * 3.15.

Una función f definida a la derecha de a es continuo a la derecha de un si

Una función f definida a la izquierda de a es continuo a la izquierda de un si

De la definición 3.15, entendemos que cuando una función es continua a la derecha en a, entonces f (a) se define en a, y lím x & # x2192 a + f (x) = f (a). De manera similar, cuando una función es continua a la izquierda en a, entonces se define f (a) y lím x & # x2192 a - f (x) = f (a).

Ejemplo 3.30. Observa atentamente la gráfica del ejercicio 3 en la página 68 del libro de texto. El gráfico muestra que esta función es continua a la izquierda en - 2 y a la derecha en 2 y 4. No es continuo ni a la izquierda ni a la derecha en - 4.

Ejemplo 3.31. Observa atentamente la gráfica del ejercicio 4 en la página 68 del libro de texto. El gráfico muestra que esta función es continua a la derecha en - 4 y 2. No es continuo ni a la izquierda ni a la derecha en - 2, 4, 6 u 8.

Ejemplo 3.32. Considere la siguiente función:

La función polinomial 1 - x 2 es continua en todas partes, en particular para nuestra pregunta, en el intervalo (- & # x221E, 3).

De manera similar, 3 - x es continuo en (3, 6).

1 x + 5 es continuo en todos los números pero - 5, por lo tanto, es continuo en (6, & # x221E).

Por lo tanto, g es continua en los intervalos (- & # x221E, 3), (3, 6) y (6, & # x221E).

También vemos que g (3) = 1 - (3) 2 = - 8, y g (6) no está definido. Por tanto, g no es continua en 6 y puede ser continua a la derecha o izquierda en 3. Para ver si este es el caso, debemos evaluar los límites a la izquierda y a la derecha de 3.

Observe que x & # x003E 3 si x & # x2192 3 + por tanto, para esta x, tenemos g (x) = 3 - x. Por lo tanto,

lim x & # x2192 3 + g (x) = lim x & # x2192 3 + 3 & # x2212 x = 3 & # x2212 3 = 0 & emsp (según el teorema 3.14).

Si x & # x2192 3 -, entonces x & # x003C 3, y para esta x, tenemos g (x) = 1 - x 2. Por lo tanto,

lim x & # x2192 3 + g (x) = 0 & # x2260 g (3) = lim x & # x2192 3 & # x2212 g (x),

llegamos a la conclusión de que la función es continua a la izquierda en 3 y que no es continua en 3.

Ejemplo 3.33. En este ejemplo, veremos que la función por partes dada a continuación es continua en 0, discontinua en 1 y continua a la derecha en 1.

Primero, vemos que h se define en 0 y 1, como sigue: h (0) = 6 y h (1) = 4.

lim x & # x2192 0 + & # x00A0 h (x) = lim x & # x2192 0 + & # x00A0 x + 6

lim x & # x2192 0 - & # x00A0 h (x) = lim x & # x2192 0 - & # x00A0 x 3 - x 2 + 6 = 6.

Por lo tanto, h es continua en 0, ya que lim x & # x2192 0 & # x00A0 h (x) = 6 = h (0).

lim x & # x2192 1 - & # x00A0 h (x) = lim x & # x2192 1 - & # x00A0 x + 6 = 7 y lim x & # x2192 1 + & # x00A0 h (x) = lim x & # x2192 1 + & # x00A0 x + 3 = 4

Por tanto, la función no es continua en 1, sino que es continua a la derecha en 1. [¿Por qué?]


4.3: Operaciones con límites. Funciones racionales - Matemáticas

Números en The Racket Guide introduce números.

Todos los números son números complejos. Algunos de ellos son números reales, y todos los números reales que se pueden representar también son números racionales, excepto + inf.0 (infinito positivo), + inf.f (variante de precisión simple, cuando se habilita a través de read-single- flonum), -i nf.0 (infinito negativo), -inf.f (variante de precisión simple, cuando está habilitado), + nan.0 (no es un número) y + nan.f (variante de precisión simple, cuando está habilitado). Entre los números racionales, algunos son enteros, porque el redondeo aplicado al número produce el mismo número.

Consulte Lectura de números para obtener información sobre la sintaxis de literales numéricos.

Ortogonal a esas categorías, cada número es también un número exacto o un número inexacto. A menos que se especifique lo contrario, los cálculos que involucran un número inexacto producen resultados inexactos. Sin embargo, ciertas operaciones con números inexactos producen un número exacto, como multiplicar un número inexacto por un 0 exacto. Las operaciones que producen matemáticamente números irracionales para algunos argumentos racionales (por ejemplo, sqrt) pueden producir resultados inexactos incluso para argumentos exactos.

En el caso de números complejos, o las partes real e imaginaria son exactas o inexactas con la misma precisión, o el número tiene una parte real exacta de cero y una parte imaginaria inexacta un número complejo con una parte imaginaria cero exacta es un número real .

Los números reales inexactos se implementan como números de punto flotante IEEE de doble precisión, también conocidos como flonums, o como números de punto flotante IEEE de precisión simple, también conocidos como flonums simples. Solo se admiten flonums solo cuando (¿un solo flonum-available?) Informa #t. Aunque escribimos + inf.f, -inf.f y + nan.f para significar flonums simples, esas formas se leen como flonums de doble precisión por defecto, ya que read-single-flonum es #f por defecto. Cuando se admiten flonums simples, los números inexactos todavía se representan como flonums por defecto, y la precisión simple se usa solo cuando un cálculo comienza con flonums simples.

Los números inexactos se pueden forzar a la forma exacta, excepto los números inexactos + inf.0, + inf.f, -i nf.0, -inf.f, + nan.0 y + nan.f, que no tienen datos exactos. formulario. Dividir un número por cero exacto genera una excepción al dividir un número distinto de cero que no sea + nan.0 o + nan.f por un cero inexacto devuelve + inf.0, + inf.f, -i nf.0 o -inf. f, según el signo y la precisión del dividendo. El valor de + nan.0 no es = para sí mismo, pero + nan.0 es eqv? a sí mismo, y + nan.f es similarmente eqv? pero no = a sí mismo. Por el contrario, (= 0.0 -0 .0) es #t, pero (eqv? 0.0 -0 .0) es #f, y lo mismo para 0.0f0 y -0.0f0 (que son variantes de precisión simple). El dato -nan.0 se refiere a la misma constante que + nan.0, y -nan.f es lo mismo que + nan.f.

Calculations with infinities produce results consistent with IEEE double- or single-precision floating point where IEEE specifies the result in cases where IEEE provides no specification, the result corresponds to the limit approaching infinity, or +nan.0 or +nan.f if no such limit exists.

The precision and size of exact numbers is limited only by available memory (and the precision of operations that can produce irrational numbers). In particular, adding, multiplying, subtracting, and dividing exact numbers always produces an exact result.

A fixnum is an exact integer whose two&rsquos complement representation fits into 30 or 31 bits (depending on the Racket variant) on a 32-bit platform or 61 or 63 bits (depending on the Racket variant) on a 64-bit platform. No allocation is required when computing with fixnums. See also the racket/fixnum module, below.

Two fixnums that are = are also the same according to eq? . Otherwise, the result of eq? applied to two numbers is undefined, except that numbers produced by the default reader in read-syntax mode are interned and therefore eq? when they are eqv? .

Two real numbers are eqv? when they are both inexact with the same precision or both exact, and when they are = (except for +nan.0 , +nan.f , 0.0 , +0.0f0 , -0 .0 , and -0.0f0 , as noted above). Two complex numbers are eqv? when their real and imaginary parts are eqv? . Two numbers are equal? when they are eqv? .

See Reading Numbers for information on read ing numbers and Printing Numbers for information on print ing numbers.


4.3: Operations on Limits. Rational Functions - Mathematics

Math 9 Ch 1: Surface Area and Square Roots

• Chapter 1 Practice Test A

• Chapter 1 Practice Test B

Math 9 Ch 3: Rational Numbers

Math 9 Ch 4: Linear Relations

• Game of Battleship
• Quiz 4.4 to 4.5
• Quiz 4.6 to 4.7
• Quiz 4.7 to 4.8
• Chapter 4 Practice Test A
• Chapter 4 Practice Test A
• Chapter 4 Review

• Polynomials Quiz 5.1 to 5.4
• Ch 5 Practice Test A
• Ch 5 Practice Test B
• Ch 5 Review

Math 9 Ch 7: Similar Shapes and Transformations

Math 9 Ch 8: Circle Geomery

• Quiz 8.1 to 8.2
• Quiz 8.3 to 8.4
• Ch 8 Practice Test A
• Ch 8 Practice Test B
• Ch 8 Review

Math 9 Ch 9: Probability and Statistics

• 9.1 Dealing with Probability
• 9.2 Problems with Sampling
• 9.3 Samples and Populations
• 9.4 Sampling Methods

• Quiz 9.1 to 9.2
• Quiz 9.3 to 9.4
• Ch 9 Practice Test A
• Ch 9 Practice Test B
• Ch 9 Review

Math 9 Final Exam Reviews:


• Final Review 1
• Final Review 2
• 10.2 Introduction to Function Notations
• 10.3 Introduction to Domain and Range
• 10.4 Non Permissible Values `

• Quiz 10.1 to 10.2
• Quiz 10.3 to 10.4
• Ch 10 Practice Test A
• Ch 10 Practice Test B
• Ch 10 Review

• 11.1 Introduction to Non Linear Functions
• 11.2 Introduction to Function Notations
• 11.3 Introduction to Domain and Range
• 11.4 Non Permissible Values `

• Quiz 11.1 to 11.2
• Quiz 11.3 to 11.4
• Ch 11 Practice Test A
• Ch 11 Practice Test B
• Ch 11 Review


Symbolab Blog

What happens when algebraic manipulation does not work to find the limit? Give the squeeze theorem, also known as the sandwich theorem, a try! The squeeze theorem helps you find the limit of a function by comparing the limits of two simpler functions that are the lower and upper bounds.

What does the Squeeze Theorem mean?

Given a function, f(x), take two simpler functions, g(x) and h(x), that are a higher and lower bound of f(x). If the limit of g(x) and h(x) as x approaches c are the same, then the limit of f(x) as x approaches c must be the same as their limit because f(x) is squeezed, or sandwiched, between them.

Here is an image to help better understand the theorem:

Here we will work out the first problem step by step (click here):

When we substitute 0 for x, we get an undefined answer.

We know that sin(x) , it doesn’t matter what x is, is between -1 and 1. We multiply the inside, f(x), by x^2 , to get our original function. We multiply the outside functions, g(x) and h(x), by x^2 too.

3. Substitution for the outer limits

We substitute in 0 for x in g(x) and h(x) to find their limits. Since their limits as x approaches 0 both equal 0, then by the squeeze theorem, the limit of f(x) as x approaches 0 is also 0.

Here is an image to better understand the solution to the problem:

The squeeze theorem is a very useful theorem to quickly find the limit. However, finding the upper and lower bound functions can be hard. Sometimes graphing f(x) in order to see what the function approaches at x can be helpful when deciding what the lower and upper bounded functions should be.


4.3: Operations on Limits. Rational Functions - Mathematics

This section provides detailed descriptions of the MathML content tags. They are grouped in categories which broadly reflect the area of mathematics from which they come, and also the grouping in the MathML DTD. There is no linguistic difference in MathML between operators and functions. Their separation here and in the DTD is for reasons of clarity.

The available content elements are:

  • 4.4.1 Token Elements
    • 4.4.1.1 <cn>
    • 4.4.1.2 <ci>
    • 4.4.2.1 <apply>
    • 4.4.2.2 <reln>
    • 4.4.2.3 <fn>
    • 4.4.2.4 <interval>
    • 4.4.2.5 <inverse/>
    • 4.4.2.6 <sep/>
    • 4.4.2.7 <condition>
    • 4.4.2.8 <declare>
    • 4.4.2.9 <lambda>
    • 4.4.2.10 <compose/>
    • 4.4.2.11 <ident/>
    • 4.4.3.1 <quotient/>
    • 4.4.3.2 <exp/>
    • 4.4.3.3 <factorial/>
    • 4.4.3.4 <divide/>
    • 4.4.3.5 <max/> y <min/>
    • 4.4.3.6 <minus/>
    • 4.4.3.7 <plus/>
    • 4.4.3.8 <power/>
    • 4.4.3.9 <rem/>
    • 4.4.3.10 <times/>
    • 4.4.3.11 <root/>
    • 4.4.3.12 <gcd/>
    • 4.4.3.13 <and/>
    • 4.4.3.14 <or/>
    • 4.4.3.15 <xor/>
    • 4.4.3.16 <not/>
    • 4.4.3.17 <implies/>
    • 4.4.3.18 <forall/>
    • 4.4.3.19 <exists/>
    • 4.4.3.20 <abs/>
    • 4.4.3.21 <conjugate/>
    • 4.4.4.1 <eq/>
    • 4.4.4.2 <neq/>
    • 4.4.4.3 <gt/>
    • 4.4.4.4 <lt/>
    • 4.4.4.5 <geq/>
    • 4.4.4.6 <leq/>
    • 4.4.5.1 <ln/>
    • 4.4.5.2 <log/>
    • 4.4.5.3 <int/>
    • 4.4.5.4 <diff/>
    • 4.4.5.5 <partialdiff/>
    • 4.4.5.6 <lowlimit>
    • 4.4.5.7 <uplimit>
    • 4.4.5.8 <bvar>
    • 4.4.5.9 <degree>
    • 4.4.6.1 <set>
    • 4.4.6.2 <list>
    • 4.4.6.3 <union/>
    • 4.4.6.4 <intersect/>
    • 4.4.6.5 <in/>
    • 4.4.6.6 <notin/>
    • 4.4.6.7 <subset/>
    • 4.4.6.8 <prsubset/>
    • 4.4.6.9 <notsubset/>
    • 4.4.6.10 <notprsubset/>
    • 4.4.6.11 <setdiff/>
    • 4.4.7.1 <sum/>
    • 4.4.7.2 <product/>
    • 4.4.7.3 <limit/>
    • 4.4.7.4 <tendsto/>
    • 4.4.9.1 <mean/>
    • 4.4.9.2 <sdev/>
    • 4.4.9.3 <variance/>
    • 4.4.9.4 <median/>
    • 4.4.9.5 <mode/>
    • 4.4.9.6 <moment/>
    • 4.4.10.1 <vector>
    • 4.4.10.2 <matrix>
    • 4.4.10.3 <matrixrow>
    • 4.4.10.4 <determinant>
    • 4.4.10.5 <transpose>
    • 4.4.10.6 <selector>
    • 4.4.11.1 <annotation>
    • 4.4.11.2 <semantics>
    • 4.4.11.3 <annotation-xml>

    4.4.1 Token Elements

    4.4.1.1 <cn>

    Discusión

    The cn element uses the attribute type to represent other types of numbers such as integer, rational, real, complex etc. and base to specify the numerical base.

    In addition to simple PCDATA, cn accepts as content PCDATA separated by the <sep/> elemento. This determines the different parts needed to construct a rational or complex-cartesian number.

    Alternative input notations for numbers are possible, but must be explicitly defined by using the definitionURL attribute to refer to a written specification of how a <sep/> separated sequence of real numbers is to be interpreted.

    Attributes
    • tipo: real | integer | rational | complex-cartesian | complex-polar | constante
    • base: number (CDATA for XML DTD) between 2 and 36.
    • definitionURL: URL pointing to an alternative definition.
    Ejemplos:
    Default Renderings

    By default, contiguous blocks of PCDATA contained in cn elements should render as if it were wrapped in an mn presentation elements. Similarly, presentation markup contained in a cn element should render as it normally would. A mixture of PCDATA and presentation markup should render as if it were contained wrapped in an mrow element, with contiguous blocks of PCDATA wrapped in mn elements.

    However, not all mathematical systems that encounter content based tagging do visual or aural rendering. The receiving applications are free to make use of a number in the manner it normally handles numerical data. Some systems might simplify the rational number 12342/2342342 to 6171/1171171 while pure floating point based systems might approximate this as .5269085385e-2. All numbers might be re-expressed in base 10. The role of MathML is simply to record enough information about the mathematical object and its structure so that it may be properly parsed.

    The following renderings of the above MathML expressions are included both to help clarify the meaning of the corresponding MathML encoding and as suggestions for authors of rendering applications. In each case, no mathematical evaluation is intended or implied.

    4.4.1.2 <ci>

    Discusión

    La ci element is used to specify a symbolic name. Such names are used to identify types of mathematical objects. By default they are assumed to represent complex scalars. The ci element may contain arbitrary presentation markup in its content (see chapter 3) so that its presentation as a symbol can be very elaborate.

    The ci element uses the type attribute to specify the type of object that it represents. Valid types include integer, rational, real, float, complex, complex-polar, complex-cartesian, constant, and more generally, any of the names of the MathML container elements (e.g. vector ) or their type values. La definitionURL attribute can be used to extend the definition of ci to include other types. For example, a more advanced use might require a "complex-vector".

    Ejemplos de
    Default Rendering

    4.4.2 Basic Content Elements

    4.4.2.1 <apply>

    Discusión

    The apply element allows a function or operator to be applied to its arguments. Nearly all expression construction in MathML content markup is carried out by applying operators or functions to arguments. The first child of apply is the operator, to be applied, with the other child elements as arguments.

    The apply element is conceptually necessary in order to distinguish between a function or operator, and an instance of its use. The expression constructed by applying a function to 0 or more arguments is always an element from the range of the function.

    Proper usage depends on the operator that is being applied. Por ejemplo, el plus operator may have zero or more arguments. while the minus operator requires 1 or 2 arguments to be properly formed.

    If the object being applied as a function is not already one of the elements known to be a function (such as fn, sin o plus) then it is treated as if it were the contents of an fn elemento.

    Some operators such as diff y En t make use of "named" arguments. These special arguments are elements which appear as children of the apply element and identify "parameters" such as the variable of differentiation or the domain of integration.

    Ejemplos de
    Default Rendering

    A mathematical system which has been passed an apply element is free to do with it whatever it normally does with such mathematical data. It may be that no rendering is involved (e.g. a syntax validator), or that the "function application" is evaluated and that only the result is rendered (e.g. sin(0) -> 0).

    When an unevaluated "function application" is rendered there are a wide variety of appropriate renderings. The choice often depends on the function or operator being applied. Applications of basic operations such as plus are generally presented using an infix notation while applications of sin would use a more traditional functional notation such as sin (X). Consult the default rendering for the operator being applied.

    Applications of user-defined functions (see fn) which are not evaluated by the receiving or rendering application would typically render using a traditional functional notation unless an alternative presentation is specified using the semantics tag.

    4.4.2.2 <reln>

    Discusión

    The first child of reln is the relational operator, to be applied, with the other child elements as arguments.

    See the Usage Guide for further details.

    Examples and Usage
    Default Rendering

    4.4.2.3 <fn>

    Discusión

    It is the primary mechanism used to extend the collection of "known" mathematical functions. La definitionURL attribute allows for a specific written definition to be referenced by URL. (New functions may also be introduced by using a declaration in conjunction with a lambda expression.)

    Ejemplos de
    Default Rendering

    4.4.2.4 <interval>

    Discusión

    La interval element is used to represent simple mathematical intervals of the real number line. It takes an attribute closure which can take on any of the values open, closed, open-closed, o closed-open, with a default value of closed.

    More general domains are constructed by using the condition y bvar elements to bind free variables to constraints.

    The interval element expects either two child elements which evaluate to real numbers or one child element which is a condition defining the interval . interval accepts a closure attribute which specifies if the interval is open, closed, or half open.

    Ejemplos de
    Default Rendering

    4.4.2.5 <inverse/>

    Discusión

    La inverse element is applied to a function in order to construct a generic expression for the functional inverse of that function. (See also the discussion of inverse in section 4.1.3.7). As with other MathML functions, inverse may either be applied to arguments, or it may appear alone, in which case it represents an abstract inversion operator acting on other functions.

    A typical use of the inverse element is in an HTML document discussing a number of alternative definitions for a particular function so that there is a need to write and define F (-1) (x).

    To associate a particular definition with F (-1) , use the definitionURL attribute.

    Ejemplos de
    Default Rendering

    4.4.2.6 <sep/>

    Discusión
    Ejemplos de
    Default Rendering

    4.4.2.7 <condition>

    Discusión

    It is used to define general sets and lists in situations where the elements cannot be explicitly enumerated. Condition contains either a single reln or apply element the apply element is used to construct compound conditions." For example, it is used below to describe the set of all x such that x x in R
    2. x > 0 and x x < x - sin x | 0 x declare element assign properties to the object being declared or determine where the declaration is in effect.

    By default, the scope of a declaration is "local" to the surrounding container element. Setting the value of the scope attribute to "global" extends the scope of the declaration to the enclosing math elemento. As discussed in Section 4.3.2.8, MathML contains no provision for making document-wide declarations at present, though it is anticipated this capability will be added in future revisions of MathML, when supporting technologies become available. declare takes 1 or 2 children. The first, mandatory, child is a ci containing the identifier being declared.

    The constructor type and the type of the element declared must agree. For example, if the type attribute of the declaration is fn, the second child (constructor) must be an element equivalent to an fn element (This would include actual fn elements, lambda elements and any of the defined function in the basic set of content tags.) If no type is specified in the declaration then the type attribute of the declared name is set to the type of the constructor (second child) of the declaration. The type attribute of the declaration can be especially useful in the special case of the second element being a symantic tag,

    Attributes
    • tipo - defines the MathML element type of the identifier declared.
    • scope - defines the scope of application of the declaration.
    • nargs - number of arguments for function declarations.
    • occurrence - describes operator usage as "prefix", "infix" or "function-model" indications
    • definitionURL - URL pointing to detailed semantics of the function.
    Ejemplos de

    The type attribute on the declaration is only necessary if if the type cannot be inferred from the type of the second argument.

    Even when a declaration is in effect it is still possible to override attributes values selectively as in <ci type="integer"> V </ci> . This capability is needed in order to write statements of the form "Let S be a member of S ".

    Default Rendering

    Desde el declare construct is not directly rendered, most declarations are likely to be invisible to a reader. However, declarations can produce quite different effects in an application which evaluates or manipulates MathML content. While the declaration

    4.4.2.9 <lambda>

    Discusión

    See the Usage Guide for further details.

    Ejemplos de

    The following examples constructs a one argument function in which the argument B specifies the upper bound of a specific definite integral.

    Default Rendering

    4.4.2.10 <compose/>

    Discusión

    To override the default semantics for the <compose/> element, or to associate a more specific definition for function composition, use the definitionURL attribute.


    Students are programmed to add like terms and they often don’t understand the concept of transferrring or moving terms from one side of the equation to the other involves inverse operations. They tend to ignore the equal sign. I see this quite often in my classes as well. I like to show them what we are trying to do in isolating the variable and getting all of the variables gathered on the same side in order to do so. I revisit the inverse concept in order to achieve this.

    Is there a typo in this? Where did the 𔄠” come from?

    A very common mistake once they get to 5x + 3 = -4 would be to add 4 to both sides, and then write 5x = 7. There thinking is that there is literally “nothing” on the right side instead of a 𔄘”. But, they know they need an equal sign, so they just put it between the 5x & the 7. I know this, because students have told me that is what they were thinking on several occasions.

    I agree with mr bombastic about there being a very common mistake that students make in solving equations with like terms,but I think something else is going on here.

    I wonder if this student may have thought that it would help to “undo” the -4 on the right side of the equation. I would view the mistakes with this problem as:
    1) Incorrectly combining the 2x and 3x like terms to get 5x
    2) Eliminating the -4 on the right side by combining with another -4
    3) Treating the sum of -4 and -4 as +8 rather than -8
    4) Ignoring the + 3 term on the left side once the -4 was “eliminated”

    The error with the 2x and 3x terms shows the student does not understand how to manipulate like terms. Many students also fail to realize that you want to isolate the variable and do not know how or why to move terms without the variable to another side. When a student misunderstands this much, it often leads to some random guessing of strategies. That is why I suspect the student thought that he or she could “undo” the -4 by focusing on that term. From there, it seems likely to me that a student missing those concepts could also err on combining the -4 and -4 to make +8.

    I don’t know how someone could arrive at this solution without making multiple mistakes, and given the error in combining 2x and 3x AND the strange +8 term, there must be 3 or more mistakes to arrive at this solution.

    One thing I use to help my students keep their solutions organized is that I have them draw a vertical line down their page through the equal sign. Then, when we see multiple variable terms in the equation, we discuss “are they on the same side of the line?” if so, then we know we just combine like terms. If they’re on opposite sides of the line, well, we know the only way to cross the line is using inverse operations, so we’ll use inverse operations to combine the like terms.

    This student knows that 2x and 3x needed to be place together, but you cannot just add them together, which is one of the mistakes this student made. They are in two separate equations that are equal to each other. If there wants an equal sign then 2x and 3x can be added together. This student knew that x’s needs to be added together, but the student does not understand how to terms work in a equation. I would help this student by making a new equation that is simpler for the student to understand before giving this student the problem above. For example, I would start with 2x + 1 – x = ?. Because this problem will help the student understand that you can combine the same terms together but he or she have to keep in mind that the minus sign affects the value of x as well. It is important for the student to understand the basic steps and rules of solving equation before moving on.


    Finding Vertical Asymptotes of Rational Functions

    An asymptote is a line that the graph of a function approaches but never touches. Rational functions contain asymptotes, as seen in this example:

    In this example, there is a vertical asymptote at x = 3 and a horizontal asymptote at y = 1. The curves approach these asymptotes but never cross them.

    To find the vertical asymptote(s) of a rational function, simply set the denominator equal to 0 and solve for x.

    Ejemplos: Find the vertical asymptote(s)

    We mus set the denominator equal to 0 and solve:

    There is a vertical asymptote at x = -5

    We mus set the denominator equal to 0 and solve:

    This quadratic can most easily be solved by factoring the trinomial and setting the factors equal to 0.

    There are vertical asymptotes at .

    We mus set the denominator equal to 0 and solve:

    This quadratic can most easily be solved by factoring out the x and setting the factors equal to 0.

    There are vertical asymptotes at .

    Practice: Find the vertical asymptote(s) for each rational function:

    Answers: 1) x = -4 2) x = 6 and x = -1 3) x = 0 4) x = 0 and x = 2 5) x = -3 and x = -4


    Complex Analysis : An Introduction to The Theory of Analytic Functions of One Complex Variable

    The Basic Library List Committee considers this book essential for undergraduate mathematics libraries.

    This classic text is revered by many mathematicians, although it seems less so by students. It is concise, clear, and thorough, and is still fresh today, thirty-five years after its last revision. Its main weakness today is its ridiculous cover price: nearly $300.

    In present-day terms the book works best as a graduate text: it&rsquos not especially difficult, nor does it go very deep, but there&rsquos not much handholding and there are hardly any worked examples. Most of the exercise sections start with two or three relatively easy exercises, covering the kinds of results that would otherwise be worked examples. The remainder of the exercises are quite challenging and prove a lot of standard results. The prerequisites are modest, being mostly calculus and an introduction to real analysis. The book develops the properties of complex numbers, the line integral, and the needed point-set topology.

    The book is slanted toward the geometric side, with a lot of material on conformal mapping, the Riemann mapping theorem, Dirichlet&rsquos problem (the existence of a harmonic function having given boundary values), the monodromy theorem, and considerations of the kinds of regions that the Cauchy integral theorem holds for. It has relatively less coverage of power series, contour integrals, and infinite products. The coverage of special functions is concise but reasonably complete.

    This is a pure-math book aimed at math majors and generally omits any applications, even to math. For example, it has a very nice section on the Riemann zeta function, but mentions only in passing that it is useful in analytic number theory, and nowhere uses the term &ldquoprime number theorem&rdquo.

    The book concludes with two chapters on more specialized topics. One chapter is on elliptic (doubly-periodic) functions in general, and the Weierstrass (wp)-function in particular. The other is on global analytic functions, that is, a way of formalizing multi-valued functions the approach here is through sheaves. (Despite the geometric emphasis, the book makes only modest use of Riemann surfaces.)

    I recommend against using this book as the text for a course, because of its high price. Wonderful though it is, you are only going to cover a small portion of the text in any course, and there are much cheaper though less comprehensive texts that do just as well for an introductory text. Needham&rsquos Visual Complex Analysis is well-regarded by many people and also emphasizes the geometric perspective, although it is very different from any other text on the market. There are lots and lots of introductory complex analysis texts that lean toward the power series and integral side. Of these, I like Bak & Newman&rsquos Complex Analysis and Fisher&rsquos Complex Variables (the latter a bargain at under $20). Another well-regarded modern book, that I have not seen, is Boas&rsquos Invitation to Complex Analysis.

    Allen Stenger is a math hobbyist and retired software developer. He is an editor of the Missouri Journal of Mathematical Sciences. His mathematical interests are number theory and classical analysis.


    Ver el vídeo: CÁLCULO LÍMITES TIENDEN A INFINITO: INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO I BACHILLERATO (Mayo 2022).