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12.1: Funciones inversas - Matemáticas


12.1: Funciones inversas - Matemáticas

Capítulo 2 Clase 12 Funciones trigonométricas inversas

Obtenga soluciones NCERT del Capítulo 2 Clase 12 Trigonometría inversa gratis en teachoo. Se dan las soluciones de todas las preguntas del ejercicio, se dan ejemplos, con una explicación detallada.

En este capítulo, primero aprendemos

  • Qué son funciones de trigonometría inversa, y cuál es su dominio y rango
  • ¿Cómo son la trigonometría y la trigonometría inversa? relacionado - con triángulos, y una explicación genial
  • Hallazgo valor principal de funciones de trigonometría inversa como sin -1, cos -1, tan -1, cot -1, cosec -1, sec -1
  • Resolver preguntas de trigonometría inversa usando fórmulas
  • Entonces, resolviendo por cambiar variables trigonométricas. como sin -1 a cos -1 o sec -1 a tan -1 y luego aplicando fórmulas
  • También hay algunas preguntas donde no sabemos si se puede resolver mediante una fórmula, no está claro. Entonces, los hacemos. Míralos antes de los exámenes.

Las preguntas importantes también están marcadas. También puede consultar los documentos de muestra.


12.1: Funciones inversas - Matemáticas

En el último ejemplo de la sección anterior, observamos las dos funciones (f left (x right) = 3x - 2 ) y (g left (x right) = frac <3> + frac <2> <3> ) y vi que

[izquierda( right) left (x right) = left ( right) left (x right) = x ]

y como se señaló en esa sección, esto significa que existe una buena relación entre estas dos funciones. Veamos cuál es esa relación. Considere las siguientes evaluaciones.

En el primer caso, conectamos (x = - 1 ) en (f left (x right) ) y obtuvimos un valor de (- 5 ). Luego nos dimos la vuelta y conectamos (x = - 5 ) en (g left (x right) ) y obtuvimos un valor de -1, el número con el que comenzamos.

En el segundo caso hicimos algo similar. Aquí conectamos (x = 2 ) en (g left (x right) ) y obtuvimos un valor de ( frac <4> <3> ), dimos la vuelta y conectamos esto a ( f left (x right) ) y obtuvo un valor de 2, que es nuevamente el número con el que comenzamos.

Tenga en cuenta que realmente estamos haciendo una composición de funciones aquí. El primer caso es realmente

[izquierda( right) left (<- 1> right) = g left [ right)> right] = g left [<- 5> right] = - 1 ]

y el segundo caso es realmente,

Tenga en cuenta también que ambos concuerdan con la fórmula de las composiciones que encontramos en la sección anterior. Recuperamos de la evaluación de la función el número que originalmente conectamos a la composición.

Entonces, ¿qué está pasando aquí? De alguna manera, podemos pensar en estas dos funciones como deshacer lo que la otra le hizo a un número. En el primer caso, conectamos (x = - 1 ) en (f left (x right) ) y luego volvimos a conectar el resultado de esta evaluación de función en (g left (x right) ) y de alguna manera (g left (x right) ) deshizo lo que (f left (x right) ) le había hecho a (x = - 1 ) y nos devolvió el (x ) con el que comenzamos.

Los pares de funciones que exhiben este comportamiento se denominan funciones inversas. Antes de definir formalmente las funciones inversas y la notación que vamos a usar para ellas, necesitamos sacar una definición del camino.

Una función se llama doce y cincuenta y nueve de la noche si no hay dos valores de (x ) producen el mismo (y ). Matemáticamente esto es lo mismo que decir,

Entonces, una función es uno a uno si cada vez que conectamos diferentes valores en la función obtenemos diferentes valores de función.

A veces es más fácil entender esta definición si vemos una función que no es uno a uno. Echemos un vistazo a una función que no es uno a uno. La función (f left (x right) = ) no es uno a uno porque tanto (f left (<- 2> right) = 4 ) como (f left (2 right) = 4 ). En otras palabras, hay dos valores diferentes de (x ) que producen el mismo valor de (y ). Tenga en cuenta que podemos girar (f left (x right) = ) en una función uno a uno si nos limitamos a (0 le x & lt infty ). A veces, esto se puede hacer con funciones.

Mostrar que una función es uno a uno suele ser tedioso y / o difícil. En su mayor parte, asumiremos que las funciones con las que vamos a tratar en este curso son una a una o hemos restringido el dominio de la función para que sea una a una. una función.

Ahora, definamos formalmente qué son las funciones inversas. Dadas dos funciones uno a uno (f left (x right) ) y (g left (x right) ) si

entonces decimos que (f left (x right) ) y (g left (x right) ) son inversas el uno del otro. Más específicamente diremos que (g left (x right) ) es el inverso de (f left (x right) ) y denotarlo por

[g left (x right) = > left (x right) ]

Asimismo, también podríamos decir que (f left (x right) ) es el inverso de (g left (x right) ) y denotarlo por

[f left (x right) = > left (x right) ]

La notación que usamos realmente depende del problema. En la mayoría de los casos, cualquiera de los dos es aceptable.

Para las dos funciones con las que comenzamos esta sección, podríamos escribir cualquiera de los siguientes dos conjuntos de notación.

[empezarf left (x right) & = 3x - 2 hspace <0.25in> hspace <0.25in> & > izquierda (x derecha) & = frac <3> + frac <2> <3> & & & g left (x right) & = frac <3> + frac <2> <3> hspace <0.25in> hspace <0.25in> & > left (x right) & = 3x - 2 end]

Ahora, tenga cuidado con la notación de inversas. El “-1” NO es un exponente a pesar del hecho de que sí parece uno. Cuando se trata de funciones inversas, debemos recordar que

Este es uno de los errores más comunes que cometen los estudiantes cuando estudian funciones inversas por primera vez.

El proceso para encontrar la inversa de una función es bastante simple, aunque hay un par de pasos que en ocasiones pueden resultar algo confusos. Aqui esta el proceso

Encontrar la inversa de una función

Dada la función (f left (x right) ) queremos encontrar la función inversa, (> left (x right) ).

  1. Primero, reemplace (f left (x right) ) con (y ). Esto se hace para facilitar el resto del proceso.
  2. Reemplaza cada (x ) con una (y ) y reemplaza cada (y ) con una (x ).
  3. Resuelve la ecuación del Paso 2 para (y ). Este es el paso donde se cometen errores con mayor frecuencia, así que tenga cuidado con este paso.
  4. Reemplaza (y ) con (> left (x right) ). En otras palabras, ¡hemos logrado encontrar la inversa en este punto!
  5. Verifica tu trabajo comprobando que [ left ( >> right) left (x right) = x ] y [ left (<> circ f> right) left (x right) = x ] son ​​ambas verdaderas. Este trabajo a veces puede ser complicado, lo que hace que sea fácil cometer errores, así que nuevamente tenga cuidado.

Ese es el proceso. La mayoría de los pasos no son tan malos, pero como se mencionó en el proceso, hay un par de pasos con los que realmente debemos tener cuidado, ya que es fácil cometer errores en esos pasos.

En el paso de verificación, técnicamente realmente necesitamos verificar que ambos ( left ( >> right) left (x right) = x ) y ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) son verdaderas. Para todas las funciones que veremos en este curso, si una es verdadera, la otra también lo será. Sin embargo, hay funciones (sin embargo, están más allá del alcance de este curso) para las cuales es posible que solo una de estas sea verdadera. Esto se menciona porque en todos los problemas aquí solo estaremos revisando uno de ellos. Solo debemos recordar siempre que técnicamente debemos verificar ambos.

Ahora, ya sabemos cuál es la inversa de esta función, ya que ya hemos trabajado un poco con ella. Sin embargo, sería bueno comenzar con esto, ya que sabemos lo que debemos obtener. Esto funcionará como una buena verificación del proceso.

Entonces empecemos. Primero reemplazaremos (f left (x right) ) con (y ).

A continuación, reemplace todas las (x ) por (y ) y todas las (y ) por (x ).

Finalmente reemplace (y ) con (> left (x right) ).

Ahora, necesitamos verificar los resultados. Ya nos ocupamos de esto en la sección anterior, sin embargo, realmente deberíamos seguir el proceso, así que lo haremos aquí. No importa cuál de los dos verifiquemos, solo necesitamos verificar uno de ellos. Esta vez comprobaremos que ( left ( >> right) left (x right) = x ) es cierto.

[empezarizquierda( >> derecha) izquierda (x derecha) & = f izquierda [<> left (x right)> right] & = f left [< frac <3> + frac <2> <3>> right] & = 3 left (< frac <3> + frac <2> <3>> right) - 2 & = x + 2 - 2 & = x end]

El hecho de que estemos usando (g left (x right) ) en lugar de (f left (x right) ) no cambia el funcionamiento del proceso. Estos son los primeros pasos.

Ahora, para resolver (y ), primero necesitaremos cuadrar ambos lados y luego proceder normalmente.

Finalmente, verifiquemos y esta vez usaremos el otro solo para poder decir que hemos obtenido ambos en algún lugar en un ejemplo.

Entonces, hicimos el trabajo correctamente y de hecho tenemos lo inverso.

El siguiente ejemplo puede ser un poco complicado, así que tenga cuidado con el trabajo aquí.

Los primeros pasos son prácticamente los mismos que los ejemplos anteriores, así que aquí están,

Ahora, tenga cuidado con el paso de la solución. Con este tipo de problema, es muy fácil equivocarse aquí.

[empezarx left (<2y - 5> right) & = y + 4 2xy - 5x & = y + 4 2xy - y & = 4 + 5x left (<2x - 1> right) y & = 4 + 5x y & = frac << 4 + 5x >> << 2x - 1 >> end]

Entonces, si hemos hecho todo nuestro trabajo correctamente, la inversa debería ser,

Finalmente, tendremos que hacer la verificación. Este también es un proceso bastante complicado y realmente no importa con cuál trabajemos.

De acuerdo, esto es un desastre. Simplifiquemos un poco las cosas multiplicando el numerador y el denominador por (2x - 1 ).

Guau. Eso fue mucho trabajo, pero al final todo salió bien. Hicimos todo nuestro trabajo correctamente y, de hecho, tenemos lo contrario.

Hay un tema final que debemos abordar rápidamente antes de dejar esta sección. Existe una relación interesante entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.

Aquí está la gráfica de la función y la inversa de los dos primeros ejemplos.

En ambos casos podemos ver que la gráfica de la inversa es un reflejo de la función real sobre la recta (y = x ). Este será siempre el caso de las gráficas de una función y su inversa.


Capítulo 1 Clase 12 Relación y funciones

Obtenga soluciones NCERT para la relación y las funciones del Capítulo 1 Clase 12. Se dan soluciones a todas las preguntas y ejemplos.

  • Qué Relación es, diferencia entre relaciones y funciones y encontrar relación
  • Entonces, definimos Relación vacía y universal y toma algunos ejemplos
  • Estudiamos diferentes relaciones y comprobamos si son reflexiva, transitiva, simétrica usando diferentes preguntas
  • Preguntas sobre encontrar el número de relaciones están resueltos. Estas son preguntas importantes y pueden venir en el exámenes
  • Entonces, definimos Funciones y hacer ejemplos para comprobar si es una función o no.
  • Probamos funciones uno-uno y amp en, uno-uno también se llama inyectivo sobre también se llama sobreyectivo y tanto uno-uno como sobre se llama biyectiva
  • Entonces, encontramos Funciones compuestas - niebla y gof. y también lo que es el dominio y el rango de niebla y gof
  • Entonces probamos Funciones compuestas uno-uno y sobre
  • Aprendemos lo que es un inversa de una función,comprobar si una función tiene inversa o no y encontrar una inversa
  • Entonces, hacemos algunos preguntas de prueba con inverso de
  • Aprendemos sobre Operaciones binarias
  • Y comprueba si son conmutativo o asociativo
  • También encontramos Elemento de identidad en una operación binaria
  • Y luego, encuentra su inverso

Además de proporcionar soluciones de capítulos NCERT, también proporcionamos artículos de muestra y preguntas importantes


12.1: Funciones inversas - Matemáticas

Al final de este capítulo, podrá

• Grafica funciones de raíz cúbica

• Grafica funciones definidas por partes, incluidas funciones escalonadas (como funciones de suelo y techo) y funciones de valor absoluto

• Resolver ecuaciones de valor absoluto de una sola variable, tanto algebraicamente como graficando sistemas de ecuaciones.

• Grafica funciones exponenciales

• Escribir y usar raíces cúbicas, funciones definidas por partes y exponenciales para representar situaciones de la vida real y resolver problemas.

Lección 6.1. Funciones de raíz cúbica

Para cualquier función F(X), la gráfica de F(X + k) es una traducción horizontal de F(X) por k unidades (a la izquierda si k es positivo y a la derecha si k es negativo), y F(X) + k es una traducción vertical de F(X) por k unidades (hacia arriba si k es positivo, a la baja si k es negativo), donde k es una constante.

Para cualquier función F(X), la gráfica de & menosF(X) es un reflejo de F(X) a través de X-eje, y la gráfica de F(&menosX) es un reflejo de F(X) a través de y-eje.

Cuando una gráfica es simétrica con respecto a un punto, cada punto en la gráfica está a la misma distancia del punto central que un punto directamente opuesto a él (en una línea que pasa por el punto central). Si la imagen se gira 180 ° alrededor del punto central, coincidirá exactamente con la imagen original.

Funciones de raíz cúbica son, como las funciones de raíz cuadrada, otro tipo de función radical. Son la inversa de las funciones cúbicas (a veces requieren una restricción de dominio).

La función cúbica y = X 3 y menos 2 se muestran en la cuadrícula de coordenadas a continuación.

Esto es similar a lo que
vimos en Ejemplo 16
en Lección 3.6, dónde
encontramos un cuadrado
función raíz como el
inversa de una cuadrática
función (con un
restricción de dominio).

Para encontrar la relación inversa, cambie el X y y variables, luego resuelva para las nuevas y.

= y

Saca la raíz cúbica de ambos lados.

Ver Lección 5.1 por
una revisión de la inversa
funciones, incluyendo
como algebraicamente
encontrar la inversa
relación para un dado
función, y cómo
las gráficas de inversa
las funciones están relacionadas.

La función inversa de y = X 3 y menos 2 es la función de raíz cúbica y = . Las funciones inversas son reflejos entre sí a través de la línea diagonal. y = X, entonces la gráfica de y = es el reflejo de y = X 3 y menos 2 en la línea y = X.

La función de raíz cúbica principal, F(X) = />, es la inversa de la función cúbica padre, F(X) = X 3. La gráfica de F(X) = /> se muestra a continuación.

El signo (positivo o
negativo) se conserva
cuando haces un cubo
número, entonces el cubo
root automáticamente
dar la señal correcta.
Esto significa que nosotros
no es necesario usar
el & plusmn símbolo que es
necesario al tomar
la raíz cuadrada de ambos
lados de una ecuación
de la forma y 2 = a.

Comparando el gráfico anterior con este, puedes ver que y = es la funcion F(X) = traducido 2 unidades a la izquierda.

Grafica la función gramo(X) = + 1. ¿Cuáles son sus X- y y-intercepciones?

La función gramo(X) = + 1 es la función F(X) = trasladado 8 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.

También podríamos crear
una tabla de valores para
encontrar puntos en el
grafico. El valor de
gramo(0) = & minus1, el valor
de gramo(7) = 0, el valor
de gramo(8) = 1, y el
valor de gramo(9) = 2.

Si hemos graficado con precisión o utilizado tecnología de gráficos, podemos identificar visualmente el X- y y-intercepciones. El gráfico tiene un X-intercepción de 7 y una y-intercepción de & minus1. Usemos la ecuación de la función para confirmar que estas intersecciones son correctas.

La X-intercepción ocurre cuando y = 0, o gramo(X) = 0.

0 = + 1

Sustituye 0 por gramo(X) en la ecuación de la función.

& minus1 =

Resta 1 de ambos lados para aislar la raíz cúbica.

La X-intercepción es de hecho 7.

La y-intercepción ocurre cuando X = 0.

gramo(X) = + 1

Sustituye 0 por X en la ecuación de la función.

gramo(X) = + 1

Simplifica dentro del radical.

Evaluar .

La y-intercepción es & minus1, como esperábamos.

La función gramo(X), al igual que las otras dos funciones de raíz cúbica que hemos visto hasta ahora, siempre está aumentando.

Una función de raíz cúbica de la forma F(X) = a + C siempre está aumentando o siempre disminuyendo. Tiene un dominio de todos los números reales y un rango de todos los números reales. Tiene exactamente uno X-intercepción y exactamente uno y-intercepción, aunque en algunos casos se producen en el mismo punto (el origen).

El cubo padre
función raíz,
F(X) = , es un
ejemplo de un cubo
función raíz cuya
X-intercepción es la misma
como su y-interceptar:
el punto (0, 0).

Grafica las funciones s(X) = 4 y t(X) = y compararlos entre sí y con y = , mostrado anteriormente.

Creemos una tabla de valores para cada una de estas funciones. Escoger X-valores con los que será fácil trabajar al evaluar cada una de las expresiones de raíz cúbica.

Las gráficas de s(X) = 4 (pasando por (& minus8, & minus8), (& minus1, & minus4), (0, 0), (1, 4) y (8, 8)) y t(X) = (pasando por (& minus2, & minus2), (& minus1 / 4, & minus1), (0, 0), (1/4, 1) y (2, 2)) se muestran a continuación.

Aunque no estemos
mostrando el punto
(16, 4) en la gráfica de
t(X), nos da un sentido
de la velocidad a la que
la función está aumentando.
También podríamos estimar
El valor de t(X) a
X = 8, para aproximar
la extensión de
el gráfico hasta aquí:

≈ 3.2. La función
t(X) pasa por un
punto cercano (8, 3,2).

Ambas funciones aumentan más rápidamente que y = , por lo que sus gráficos se distribuyen más verticalmente. La gráfica de s(X) = 4 aumenta más rápidamente que el de t(X) = . Esto tiene sentido, considerando que es lo mismo que & sdot , o aproximadamente 1,59. El valor de 4 es mayor que 1,59 para todos X-valores mayores que 0.

El coeficiente a de una función de raíz cúbica F(X) = a /> afecta la escala del gráfico. Para |a| > 1, la función aumenta (o disminuye) más rápidamente que y = />, y para 0 3,
así como cualquier otro
Función impar). Si el
la imagen se gira 180 °,
coincide exactamente
la imagen original.

Grafica la función F(X) = .

Esta función debe ser la gráfica de y = traducido 5 unidades a la izquierda, reflejado en el X-eje (o reflejado a través de la línea X = & menos5) y estirado verticalmente por un factor de 2. Creemos una tabla de valores para encontrar puntos en el gráfico.

La función F(X) = pasa por los puntos (& minus13, 4), (& minus6, 2), (& minus5, 0), (& minus4, & minus2) y (3, & minus4), como se muestra a continuación.

El gráfico coincide con nuestra predicción: es el gráfico de y = traducido 5 unidades a la izquierda, reflejado en el X-eje (o al otro lado de la línea X = & minus5), y estirado verticalmente por un factor de 2.

En Lección 4.4, Cuándo
mirando la tangente
curvas, aprendimos que
el punto de inflexión
es el punto donde
una curva cambia su
dirección, desde cóncava
a convexo o desde
convexo a cóncavo.
También puede ver el
punto de inflexión
en estas raíces cúbicas
gráficos de funciones como
el punto donde el
el gráfico cambia de
cóncavo hacia arriba a
cóncavo hacia abajo,
o viceversa.

Observe que esta gráfica es simétrica con respecto al punto (& menos5, 0), que es el punto de inflexión de esta gráfica de función de raíz cúbica.

El punto de inflexión de una gráfica de función de raíz cúbica de la forma F(X) = a + C es el puntoB, C). La gráfica es simétrica con respecto a este punto.

Esta es la razón por la que un reflejo al otro lado de la línea y = C produce el mismo resultado que un reflejo a través de la línea X = B.

En Ejemplo 3, B = & minus5 y C = 0 en la forma F(X) = a + C, entonces un reflejo a través de la línea X = & minus5 tiene el mismo efecto que un reflejo a través de la línea y = 0, también conocido como X-eje.

Si pag(X) = X 3 + 3X 2 y menos 4X & menos 12, grafica su relación inversa. ¿Es esta relación inversa una función de raíz cúbica?

Para pag(X), no es fácil resolver su inverso. Si ponemos X = y 3 + 3y 2 y menos 4y & menos 12, no podemos simplemente resolver el nuevo y. En su lugar, grafiquemos pag(X) = X 3 + 3X 2 y menos 4X & menos 12 y luego reflejar ese gráfico a través de la línea y = X.

Si factorizamos X 2 de los dos primeros términos y & menos 4 de los dos últimos términos, cada par de términos restantes es (X + 3).

Factoriza cada par de términos en X 3 + 3X 2 y menos 4X & menos 12.

Utilice la propiedad distributiva para factorizar (X + 3).

Factor X 2 y menos 4, una diferencia de cuadrados.

Entonces, pag(X) = X 3 + 3X 2 y menos 4X & menos 12 = (X & menos 2) (X + 2)(X + 3), por lo que tiene X-intercepciones de 2, & menos2 y & menos3. Es un cubo con un coeficiente principal positivo, por lo que su brazo izquierdo apunta hacia abajo y su brazo derecho apunta hacia arriba. Cuándo X = 0, pag(X) = & minus12, por lo que es y-intercepción es & menos12. También podemos usar la ecuación para resolver algunos puntos más en la gráfica.

Alternativamente, si
no vimos el
patrón en el original
cúbico, podríamos tener
usó el racional
Teorema de la raíz, el
Teorema del resto,
y larga división de
polinomios para
factorizar el cúbico, como
lo hicimos en Ejemplo
18 en Lección 1.5.

Cuando reflejamos este gráfico a lo largo de la línea y = X, cada punto (a, B) se mapeará a un punto (B, a). Entonces, la relación inversa de pag(X) pasará por los puntos (& minus12, & minus4), (0, & minus3), (0, & minus2), (& minus6, & minus1), (& minus12, 0), (& minus12, 1) y (0, 2), como mostrado a continuación.

Este gráfico no pasa la prueba de la línea vertical, por lo que la relación X = y 3 + 3y 2 y menos 4y & menos 12 no es una función.

Sin embargo, si establecemos restricciones en el dominio de la función pag(X), entonces su inverso será una función. La porción de pag(X) que está entre X = & minus2 y X = 0 siempre es decreciente, lo que significa que solo uno X-valor está asociado con cada y-valor aquí, por lo que la sección de la gráfica de la relación inversa entre y = & minus2 y y = 0 es una función, con solo una y-valor asociado con cada uno X-valor. Así que si pag(X) = X 3 + 3X 2 y menos 4X & menos 12 para & minus2 & le X & le 0, entonces pag & menos1 (X) es una función, como se muestra a continuación.

Alternativamente, podríamos
han definido pag(X) a
tener un dominio de solo
X & ge 1, donde el gráfico
siempre está aumentando,
y esto crearía
una inversa que también es
Una función. O nosotros
podría haber elegido el
sección donde X & le & minus3.

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1.7 Funciones inversas

Una bomba de calor reversible es un sistema de control de clima que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo dispositivo. Operado en una dirección, bombea calor fuera de una casa para proporcionar enfriamiento. Al funcionar en reversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en climas fríos, para proporcionar calefacción. Como calentador, una bomba de calor es varias veces más eficiente que el calentamiento por resistencia eléctrica convencional.

Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las funciones "máquinas" que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La figura 1 proporciona una representación visual de esta pregunta. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones.

Verificación de que dos funciones sean funciones inversas

Supongamos que un diseñador de moda que viaja a Milán para un desfile de moda quiere saber cuál será la temperatura. No está familiarizado con la escala Celsius. Para tener una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, le pide a su asistente, Betty, que convierta 75 grados Fahrenheit a grados Celsius. Ella encuentra la formula

Sabiendo que unos cómodos 75 grados Fahrenheit son aproximadamente 24 grados Celsius, envía a su asistente el pronóstico del tiempo para la semana de la Figura 2 para Milán y le pide que convierta todas las temperaturas a grados Fahrenheit.

Al principio, Betty considera usar la fórmula que ya encontró para completar las conversiones. Después de todo, ella conoce su álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para F F después de sustituir un valor por C. C . Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir

Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será tremendamente tedioso. Se da cuenta de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener una fórmula diferente, una que tome la temperatura Celsius y genere la temperatura Fahrenheit.

La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de un función inversa, que es una función para la cual la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa.

La notación "similar a un exponente" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que a - 1 a = 1 a - 1 a = 1 (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número distinto de cero a, a, entonces f - 1 ∘ ff - 1 ∘ f es igual a la función identidad, es decir,


Funciones trigonométricas inversas Clase 12 Notas Matemáticas Capítulo 2

Funciones trigonométricas inversas: Las funciones trigonométricas son funciones de muchos uno, pero sabemos que existe una función inversa si la función es biyectiva. Si restringimos el dominio de las funciones trigonométricas, estas funciones se vuelven biyectivas y la inversa de las funciones trigonométricas se define dentro del dominio restringido. La inversa de f se indica con & # 8216f -1 & # 8216.
Sea y = f (x) = sin x, entonces su inverso es x = sin -1 y.

Dominio y rango de funciones trigonométricas inversas

sin -1 (sinθ) = θ ∀ θ ∈ ( left [ frac <- pi> <2>, frac < pi> <2> right] )

tan -1 (tanθ) = θ ∀ θ ( left [ frac <- pi> <2>, frac < pi> <2> right] )

cosec -1 (cosecθ) = 0 ∀ θ ∈ ( left [ frac <- pi> <2>, frac < pi> <2> right] ), θ ≠ 0

seg -1 (seg) = θ ∀ θ ∈ [0, π], θ ≠ ( frac < pi> <2> )

cosec (cosec -1 x) = x, ∀ x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞)

Nota: sin -1 (sinθ) = θ sin -1 x no debe confundirse con (sinx) -1 = ( frac <1> ) o sin -1 x = sin -1 ( ( frac <1> )) aterriza de manera similar para otras funciones trigonométricas.

El valor de una función trigonométrica inversa, que se encuentra en el rango de la rama del valor principal, se denomina valor principal de la función trigonométrica inversa.
Nota: Siempre que no se mencione ninguna rama de una función trigonométrica inversa, significa que tenemos que considerar la rama del valor principal de esa función.

Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

Las siguientes sustituciones se utilizan para escribir funciones trigonométricas inversas en la forma más simple:

Recuerde puntos
(i) A veces, puede suceder que algunos de los valores de x que averigüemos no satisfagan la ecuación dada.
(ii) Al resolver una ecuación, no cancele los factores comunes de ambos lados.


Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 12 Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas

Temas y subtemas de la clase 11 Matemáticas Capítulo 2 Funciones trigonométricas inversas:

Nombre de la sección Nombre del tema
2 Funciones trigonométricas inversas
2.1 Introducción
2.2 Conceptos básicos
2.3 Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

Soluciones NCERT para matemáticas de la clase 12 - Capítulo 2 - Funciones trigonométricas inversas - está preparado por algunos de los mejores profesores de la India. Todos los temas importantes están cubiertos, cada uno con una explicación detallada para ayudar a los estudiantes a comprender mejor los conceptos básicos. Los libros NCERT desempeñan un papel fundamental en la preparación de todos los exámenes realizados por el CBSE, incluido el JEE.

El Capítulo 2 - Funciones trigonométricas inversas cubre varios ejercicios. Las respuestas a cada pregunta en cada ejercicio se proporcionan junto con una solución paso a paso para que el alumno la comprenda mejor. Esto resultará muy útil para los estudiantes en sus tareas en casa, así como en sus sesiones de práctica. Los conceptos incluidos en el capítulo Funciones trigonométricas inversas son los siguientes:


Funciones matemáticas en SQL estándar

Todas las funciones matemáticas tienen los siguientes comportamientos:

  • Devuelven NULL si alguno de los parámetros de entrada es NULL.
  • Devuelven NaN si alguno de los argumentos es NaN.

Descripción

Calcula el valor absoluto. Devuelve un error si el argumento es un número entero y el valor de salida no se puede representar como del mismo tipo, esto sucede solo para el valor de entrada negativo más grande, que no tiene representación positiva.

X ABS (X)
25 25
-25 25
+ inf + inf
-inf + inf

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

Descripción

Devuelve -1, 0 o +1 para argumentos negativos, cero y positivos respectivamente. Para argumentos de coma flotante, esta función no distingue entre cero positivo y negativo.

X FIRMA (X)
25 +1
0 0
-25 -1
Yaya Yaya

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

IS_INF

Descripción

Devuelve VERDADERO si el valor es infinito positivo o negativo.

X IS_INF (X)
+ inf CIERTO
-inf CIERTO
25 FALSO

IS_NAN

Descripción

Devuelve VERDADERO si el valor es un valor NaN.

X IS_NAN (X)
Yaya CIERTO
25 FALSO

IEEE_DIVIDE

Descripción

Divide X por Y esta función nunca falla. Devuelve FLOAT64. A diferencia del operador de división (/), esta función no genera errores de división por cero o desbordamiento.

X Y IEEE_DIVIDE (X, Y)
20.0 4.0 5.0
0.0 25.0 0.0
25.0 0.0 + inf
-25.0 0.0 -inf
0.0 0.0 Yaya
0.0 Yaya Yaya
Yaya 0.0 Yaya
+ inf + inf Yaya
-inf -inf Yaya

Descripción

Genera un valor pseudoaleatorio de tipo FLOAT64 en el rango de [0, 1), incluido 0 y excluido 1.

Descripción

Calcula la raíz cuadrada de X. Genera un error si X es menor que 0.

X SQRT (X)
25.0 5.0
+ inf + inf
X & lt 0 Error

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNFLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

Descripción

Devuelve el valor de X elevado a la potencia de Y. Si el resultado se desborda y no es representable, la función devuelve un valor de cero.

X Y POW (X, Y)
2.0 3.0 8.0
1.0 Cualquier valor, incluido NaN 1.0
Cualquier valor, incluido NaN 0 1.0
-1.0 + inf 1.0
-1.0 -inf 1.0
ABS (X) y lt 1 -inf + inf
ABS (X) y GT 1 -inf 0.0
ABS (X) y lt 1 + inf 0.0
ABS (X) y GT 1 + inf + inf
-inf Y & lt 0 0.0
-inf Y & gt 0 -inf si Y es un número entero impar, + inf en caso contrario
+ inf Y & lt 0 0
+ inf Y & gt 0 + inf
Valor finito & lt 0 No entero Error
0 Valor finito & lt 0 Error

Tipo de datos devueltos

El tipo de datos de retorno está determinado por los tipos de argumentos de la siguiente tabla.

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
INT64FLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64

ENERGÍA

Descripción

Descripción

Computa mi elevado a la potencia de X, también llamada función exponencial natural. Si el resultado es insuficiente, esta función devuelve un cero. Genera un error si el resultado se desborda.

X EXP (X)
0.0 1.0
+ inf + inf
-inf 0.0

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNFLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

Descripción

Calcula el logaritmo natural de X. Genera un error si X es menor o igual que cero.

X LN (X)
1.0 0.0
+ inf + inf
X & lt 0 Error

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNFLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

Descripción

Si solo X está presente, LOG es sinónimo de LN. Si Y también está presente, LOG calcula el logaritmo de X en base Y.

X Y REGISTRO (X, Y)
100.0 10.0 2.0
-inf Algún valor Yaya
Algún valor + inf Yaya
+ inf 0,0 & lt Y & lt 1,0 -inf
+ inf Y & gt 1.0 + inf
X & lt = 0 Algún valor Error
Algún valor Y & lt = 0 Error
Algún valor 1.0 Error

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
INT64FLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64

LOG10

Descripción

Similar a LOG, pero calcula el logaritmo en base 10.

X LOG10 (X)
100.0 2.0
-inf Yaya
+ inf Yaya
X & lt = 0 Error

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNFLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

MEJOR

Descripción

Devuelve el valor más grande entre X1. XN según la comparación & lt. Si alguna parte de X1. XN son NULL, el valor de retorno es NULL.

X1. XN MEJOR (X1. XN)
3,5,1 5

Tipos de datos de retorno

Tipo de datos de los valores de entrada.

MENOS

Descripción

Devuelve el valor más pequeño entre X1. XN según la comparación & gt. Si alguna parte de X1. XN son NULL, el valor de retorno es NULL.

X1. XN MENOS (X1. XN)
3,5,1 1

Tipos de datos de retorno

Tipo de datos de los valores de entrada.

Descripción

Devuelve el resultado de la división entera de X por Y. La división por cero devuelve un error. La división por -1 puede desbordarse.

X Y DIV (X, Y)
20 4 5
0 20 0
20 0 Error

Tipo de datos devueltos

El tipo de datos de retorno está determinado por los tipos de argumentos de la siguiente tabla.

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICO

INT64INT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICO

NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICO BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICO

SAFE_DIVIDE

Descripción

Equivalente al operador de división (X / Y), pero devuelve NULL si se produce un error, como una división por error cero.

XYDIVISIÓN_SAFE (X, Y)
2045
020 0
200 NULO

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
INT64FLOAT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64

SAFE_MULTIPLY

Descripción

Equivalente al operador de multiplicación (*), pero devuelve NULL si se produce un desbordamiento.

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
INT64INT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64

SAFE_NEGATE

Descripción

Equivalente al operador menos unario (-), pero devuelve NULL si se produce un desbordamiento.

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
PRODUCCIÓNINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64

SAFE_ADD

Descripción

Equivalente al operador de suma (+), pero devuelve NULL si se produce un desbordamiento.

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
INT64INT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64

SAFE_SUBTRACT

Descripción

Devuelve el resultado de Y restado de X. Equivalente al operador de resta (-), pero devuelve NULL si se produce un desbordamiento.

Tipo de datos devueltos

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
INT64INT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
NUMÉRICONUMÉRICONUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
BIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOBIGNUMÉRICOFLOAT64
FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64FLOAT64

Descripción

Función de módulo: devuelve el resto de la división de X por Y. El valor devuelto tiene el mismo signo que X. Se genera un error si Y es 0.

X Y MOD (X, Y)
25 12 1
25 0 Error

Tipo de datos devueltos

El tipo de datos de retorno está determinado por los tipos de argumentos de la siguiente tabla.

APORTEINT64NUMÉRICOBIGNUMÉRICO

INT64INT64NUMERICBIGNUMERIC

NUMERICNUMERICNUMERICBIGNUMERIC BIGNUMERICBIGNUMERICBIGNUMERICBIGNUMERIC

ROUND

Descripción

If only X is present, ROUND rounds X to the nearest integer. If N is present, ROUND rounds X to N decimal places after the decimal point. If N is negative, ROUND will round off digits to the left of the decimal point. Rounds halfway cases away from zero. Generates an error if overflow occurs.

X ROUND(X)
2.0 2.0
2.3 2.0
2.8 3.0
2.5 3.0
-2.3 -2.0
-2.8 -3.0
-2.5 -3.0
0 0
+inf +inf
-inf -inf
NaN NaN

Return Data Type

INPUTINT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64
OUTPUTFLOAT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64

TRUNC

Descripción

If only X is present, TRUNC rounds X to the nearest integer whose absolute value is not greater than the absolute value of X. If N is also present, TRUNC behaves like ROUND(X, N) , but always rounds towards zero and never overflows.

X TRUNC(X)
2.0 2.0
2.3 2.0
2.8 2.0
2.5 2.0
-2.3 -2.0
-2.8 -2.0
-2.5 -2.0
0 0
+inf +inf
-inf -inf
NaN NaN

Return Data Type

INPUTINT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64
OUTPUTFLOAT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64

Descripción

Returns the smallest integral value that is not less than X.

X CEIL(X)
2.0 2.0
2.3 3.0
2.8 3.0
2.5 3.0
-2.3 -2.0
-2.8 -2.0
-2.5 -2.0
0 0
+inf +inf
-inf -inf
NaN NaN

Return Data Type

INPUTINT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64
OUTPUTFLOAT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64

CEILING

Descripción

FLOOR

Descripción

Returns the largest integral value that is not greater than X.

X FLOOR(X)
2.0 2.0
2.3 2.0
2.8 2.0
2.5 2.0
-2.3 -3.0
-2.8 -3.0
-2.5 -3.0
0 0
+inf +inf
-inf -inf
NaN NaN

Return Data Type

INPUTINT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64
OUTPUTFLOAT64NUMERICBIGNUMERICFLOAT64

Descripción

Computes the cosine of X where X is specified in radians. Never fails.

X COS(X)
+inf NaN
-inf NaN
NaN NaN

Descripción

Computes the hyperbolic cosine of X where X is specified in radians. Generates an error if overflow occurs.

X COSH(X)
+inf +inf
-inf +inf
NaN NaN

Descripción

Computes the principal value of the inverse cosine of X. The return value is in the range [0,&pi]. Generates an error if X is a value outside of the range [-1, 1].

X ACOS(X)
+inf NaN
-inf NaN
NaN NaN
X < -1 Error
X > 1 Error

ACOSH

Descripción

Computes the inverse hyperbolic cosine of X. Generates an error if X is a value less than 1.

X ACOSH(X)
+inf +inf
-inf NaN
NaN NaN
X < 1 Error

Descripción

Computes the sine of X where X is specified in radians. Never fails.

X SIN(X)
+inf NaN
-inf NaN
NaN NaN

Descripción

Computes the hyperbolic sine of X where X is specified in radians. Generates an error if overflow occurs.

X SINH(X)
+inf +inf
-inf -inf
NaN NaN

Descripción

Computes the principal value of the inverse sine of X. The return value is in the range [-&pi/2,&pi/2]. Generates an error if X is outside of the range [-1, 1].

X ASIN(X)
+inf NaN
-inf NaN
NaN NaN
X < -1 Error
X > 1 Error

ASINH

Descripción

Computes the inverse hyperbolic sine of X. Does not fail.

X ASINH(X)
+inf +inf
-inf -inf
NaN NaN

Descripción

Computes the tangent of X where X is specified in radians. Generates an error if overflow occurs.

X TAN(X)
+inf NaN
-inf NaN
NaN NaN

Descripción

Computes the hyperbolic tangent of X where X is specified in radians. Does not fail.

X TANH(X)
+inf 1.0
-inf -1.0
NaN NaN

Descripción

Computes the principal value of the inverse tangent of X. The return value is in the range [-&pi/2,&pi/2]. Does not fail.

X ATAN(X)
+inf &pi/2
-inf -&pi/2
NaN NaN

ATANH

Descripción

Computes the inverse hyperbolic tangent of X. Generates an error if X is outside of the range [-1, 1].

X ATANH(X)
+inf NaN
-inf NaN
NaN NaN
X < -1 Error
X > 1 Error

ATAN2

Descripción

Calculates the principal value of the inverse tangent of X/Y using the signs of the two arguments to determine the quadrant. The return value is in the range [-&pi,&pi].

X Y ATAN2(X, Y)
NaN Any value NaN
Any value NaN NaN
0.0 0.0 0.0
Positive Finite value -inf &pi
Negative Finite value -inf -&pi
Finite value +inf 0.0
+inf Finite value &pi/2
-inf Finite value -&pi/2
+inf -inf ¾&pi
-inf -inf -¾&pi
+inf +inf &pi/4
-inf +inf -&pi/4

RANGE_BUCKET

Descripción

RANGE_BUCKET scans through a sorted array and returns the 0-based position of the point's upper bound. This can be useful if you need to group your data to build partitions, histograms, business-defined rules, and more.

RANGE_BUCKET follows these rules:

If the point exists in the array, returns the index of the next larger value.

If the point does not exist in the array, but it falls between two values, returns the index of the larger value.

If the point is smaller than the first value in the array, returns 0.

If the point is greater than or equal to the last value in the array, returns the length of the array.

If the array is empty, returns 0.

If the point is NULL or NaN , returns NULL .

The data type for the point and array must be compatible.

Execution failure occurs when:

The array has a NaN or NULL value in it.

The array is not sorted in ascending order.

Return Value

In a table called students , check to see how many records would exist in each age_group bucket, based on a student's age:

  • age_group 0 (age < 10)
  • age_group 1 (age >= 10, age < 20)
  • age_group 2 (age >= 20, age < 30)
  • age_group 3 (age >= 30)

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12.1: Inverse functions - Mathematics

Arrange integers in order of increasing phi value the phi values themselves form A007614.

Inverse of sequence A064275 considered as a permutation of the positive integers. - Howard A. Landman, Sep 25 2001

D. Bressoud, CNT.m Computational Number Theory Mathematica package.

Read as array a(n,m) with row length l(n):=A058277(v(n)) with v(n):= A002202(n), n>=1. a(n,m) = m-th element of the set when read as an increasingly ordered list.

n, v(n)m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Row no. n=4: The cyclotomic polynomials cyclotomic(N,x) with values N = 7,9,14, and 18 have degree 6, and only these.

Take[[email protected] [email protected] Array[EulerPhi, 10^3], 15] // Flatten (* Michael De Vlieger, Dec 29 2017 *)

M = 9660 /* choose a term of A036913 */

import Data.List.Ordered (insertBag)

a032447 n = a032447_list !! (n-1)

a032447_list = f [1..] a002110_list [] where

| x < p = f xs ps' $ insertBag (a000010' x, x) us

| otherwise = map snd vs ++ f xs' ps ws

where (vs, ws) = span ((<= a000010' x) . fst) us

Last modified July 3 15:05 EDT 2021. Contains 345706 sequences. (Running on oeis4.)