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6.5: Trigonometría de triángulo rectángulo

6.5: Trigonometría de triángulo rectángulo


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Habilidades para desarrollar

  • Usa triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas.
  • Encuentre valores de función para 30 ° ( left ( dfrac { pi} {6} right) ), 45 ° ( left ( dfrac { pi} {4} right) ) y 60 ° ( left ( dfrac { pi} {3} right) ).
  • Usa cofunciones iguales de ángulos complementarios.
  • Usa las de fi niciones de funciones trigonométricas de cualquier ángulo.
  • Usa la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados.

monte El Everest, que se extiende a ambos lados de la frontera entre China y Nepal, es la montaña más alta del mundo. Medir su altura no es tarea fácil y, de hecho, la medición real ha sido fuente de controversia durante cientos de años. El proceso de medición implica el uso de triángulos y una rama de las matemáticas conocida como trigonometría. En esta sección, estudiaremos las funciones trigonométricas y cómo se relacionan con los lados de un triángulo rectángulo; y descubra cómo se pueden utilizar para medir alturas, como las de las montañas más altas. Se le pide que resuelva problemas relacionados con triángulos rectángulos y funciones trigonométricas en WeBWorK en la tarea titulada "Capítulo 6.3".

Hemos definido previamente el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto en el círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:

[ begin {align *} cos (t) & = x sin (t) & = y end {align *} ]

En esta sección, veremos otra forma de definir funciones trigonométricas usando propiedades de triángulos rectángulos.

Uso de triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas

En secciones anteriores, usamos un círculo unitario para definir el funciones trigonométricas. En esta sección, aplicaremos esas definiciones a triángulos rectángulos de todos los tamaños. El valor de la función seno o coseno de (t ) es su valor en (t ) radianes. Primero, necesitamos crear nuestro triángulo rectángulo. La figura ( PageIndex {1} ) muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto ((x, y) ) al X-eje, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene una longitud (y ) y cuyo lado horizontal tiene una longitud (x ). Podemos usar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las otras funciones trigonométricas como razones de los lados de un triángulo rectángulo.

Figura ( PageIndex {1} )

Sabemos

[ cos (t) = frac {x} {1} = x nonumber ]

Asimismo, sabemos

[ sin (t) = frac {y} {1} = y nonumber ]

Estas proporciones aún se aplican a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay un círculo unitario involucrado y cuando el triángulo no está en la posición estándar y no se representa gráficamente usando las coordenadas ((x, y) ). Para poder usar estas razones libremente, daremos a los lados nombres más generales: en lugar de (x ), llamaremos al lado entre el ángulo dado y el ángulo recto el lado adyacente al ángulo (t ). (Adyacente significa "junto a"). En lugar de (y ), llamaremos al lado más distante del ángulo dado el lado opuesto desde el ángulo (t ). Y en lugar de (1 ), llamaremos al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto el hipotenusa. Estos lados están etiquetados en la Figura ( PageIndex {2} ).

( PageIndex {2} ): Los lados de un triángulo rectángulo en relación con el ángulo (t ).

Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de (t ),

[ begin {align *} sin (t) & = dfrac { text {opuesto}} { text {hipotenusa}} cos (t) & = dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} tan (t) & = dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} end {align *} ]

Un mnemónico común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formado a partir de las primeras letras de "Sine es oopuesto sobre hypotenusa, Cosine es aadyacente sobre hypotenusa, Tel agente es oopuesto sobre aadyacente ".

Si conocemos los lados del triángulo rectángulo, podemos calcular las salidas trigonométricas de un ángulo sin conocer el ángulo en sí.

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, encuentra el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo.

  1. Encuentra el seno como la razón del lado opuesto a la hipotenusa.
  2. Encuentra el coseno como la razón del lado adyacente a la hipotenusa.
  3. Encuentra la tangente es la razón del lado opuesto al lado adyacente.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluación de una función trigonométrica de un triángulo rectángulo

Dado el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ), encuentre el valor de (cos ( alpha) ).

( PageIndex {3} )

Solución

El lado adyacente al ángulo es 15 y la hipotenusa del triángulo es 17, entonces:

[ begin {align *} cos (α) = dfrac { text {adyacente}} { text {hipotenusa}} & = dfrac {15} {17} end {align *} ]

( PageIndex {1} ) Dado el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), encuentre el valor de ( sin t ).

Figura ( PageIndex {4} )

Respuesta

( frac {7} {25} )

Relacionar ángulos y sus funciones

Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos en el triángulo de la Figura ( PageIndex {5} ). El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa.

Figura ( PageIndex {5} ): El lado adyacente a un ángulo está opuesto al otro.

Se nos pedirá que encontremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es encontrar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos encontrar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es cosecante, el recíproco del coseno es secante y el recíproco de la tangente es cotangente.

Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evalúa las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos.

  1. Si es necesario, dibuja el triángulo rectángulo y rotula el ángulo proporcionado.
  2. Identifica el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
  3. Encuentra la función requerida:
    • seno como la razón del lado opuesto a la hipotenusa
    • coseno como la relación del lado adyacente a la hipotenusa
    • tangente como la relación del lado opuesto al lado adyacente
    • cosecante como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto
    • secante como la relación entre la hipotenusa y el lado adyacente
    • cotangente como la relación del lado adyacente al lado opuesto

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar

Usando el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ), evalúe ( sin (α), cos (α), tan (α), sec (α), csc (α), ) y ( cot (α) ).

Figura ( PageIndex {6} )

Solución

[ begin {align *} sin (α) & = dfrac { text {opuesto} α} { text {hipotenusa}} = dfrac {4} {5} cos (α) & = dfrac { text {adyacente a} α} { text {hipotenusa}} = dfrac {3} {5} tan (α) & = dfrac { text {opuesto} α} { text { adyacente a} α} = dfrac {4} {3} csc (α) & = dfrac { text {hipotenusa}} { text {opuesto} α} = dfrac {5} {4} sec (α) & = dfrac { text {hipotenusa}} { text {adyacente a} α} = dfrac {5} {3} cot (α) & = dfrac { text { adyacente a} α} { text {opuesto} α} = dfrac {3} {4} end {align *} ]

( PageIndex {2} ) Usando el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ), evalúe ( sin (t), cos (t), tan (t), sec (t ), csc (t), ) y ( cot (t) ).

Figura ( PageIndex {7} )

Respuesta

( begin {align *} sin (t) & = frac {33} {65}, cos (t) = frac {56} {65}, tan (t) = frac {33} {56}, csc (t) = frac {65} {33}, sec (t) & = frac {65} {56}, cot (t) = frac {56} {33} end {align *} )

Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales

Ya hemos discutido las funciones trigonométricas en lo que respecta a la ángulos especiales en el círculo unitario. Ahora, podemos usar esas relaciones para evaluar triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en funciones trigonométricas, tienen valores relativamente amigables, valores que contienen o no o solo una raíz cuadrada en la razón. Por lo tanto, estos son los ángulos que se usan a menudo en problemas de matemáticas y ciencias. Usaremos múltiplos de (30 °, 60 °, ) y (45 ° ), sin embargo, recuerde que cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a ángulos entre (0 ° text {y} 90 ° ).

Supongamos que tenemos un triángulo (30 °, 60 °, 90 ° ), que también se puede describir como un ( frac {π} {6}, frac {π} {3}, frac {π} {2} ) triángulo. Los lados tienen longitudes en la relación (s, sqrt {3} s, 2s. ) Los lados de un triángulo (45 °, 45 °, 90 ° ), que también se puede describir como un ( frac {π} {4}, frac {π} {4}, frac {π} {2} ) triángulo, tienen longitudes en la relación (s, s, sqrt {2} s. ) Estos las relaciones se muestran en la Figura ( PageIndex {8} ). Tenga en cuenta que hemos colocado nuestros triángulos dentro de un círculo centrado en el origen, con uno de los ángulos especiales en la posición estándar. Cada círculo tiene un radio desconocido, no necesariamente 1, que se convierte en la hipotenusa de cada triángulo.

Figura ( PageIndex {8} ): Longitudes de los lados de triángulos especiales

Luego, podemos usar las razones de las longitudes de los lados para evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Dado un ángulo especial, evalúe sus funciones trigonométricas usando las longitudes de los lados.

  1. Utilice las longitudes de los lados que se muestran en la Figura ( PageIndex {8} ) para el ángulo especial que desea evaluar.
  2. Utilice la proporción de longitudes de los lados apropiada para la función que desea evaluar.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales

Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {3} ), usando las longitudes de los lados.

Solución

[ begin {align *} sin ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {hyp}} = dfrac { sqrt {3} s} { 2s} = dfrac { sqrt {3}} {2} cos ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {hyp}} = dfrac {s} {2s} = dfrac {1} {2} tan ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {adj}} = dfrac { sqrt {3} s} {s} = sqrt {3} csc ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {opp}} = dfrac {2s} { sqrt {3} s} = dfrac {2} { sqrt {3}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3} sec ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {adj}} = dfrac {2s} {s} = 2 cot ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {opp}} = dfrac {s} { sqrt {3} s} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3 }} {3} end {align *} ]

Análisis

Dado que los círculos en la Figura ( PageIndex {8} ) ya no son círculos unitarios, ( sin ( dfrac {π} {3}) ) y ( cos ( dfrac {π} {3} ) ) no se puede determinar a partir de las ((x, y) ) - coordenadas del punto en la circunferencia del círculo. Sin embargo, los ángulos siguen siendo los mismos, por lo que sus salidas trigonométricas también seguirán siendo las mismas.

Esto nos permite usar las razones de seno y coseno para calcular esas ((x, y) ) - coordenadas: (y = 2s sin ( dfrac {π} {3}) ), y (x = 2s cos ( dfrac {π} {3}) ). En general, dado un círculo de radio (r ) centrado en el origen y un punto (P ) en la circunferencia, las ((x, y) ) - coordenadas de (P ) son ( (r cos theta, r sin theta) ), donde ( theta ) es el ángulo en la posición estándar cuyo lado terminal pasa por (P ).

( PageIndex {3} ) Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {4} ), usando las longitudes de los lados.

Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {4} ), usando las longitudes de los lados.

Respuesta

( sin ( dfrac {π} {4}) = dfrac { sqrt {2}} {2}, cos ( dfrac {π} {4}) = dfrac { sqrt {2}} {2}, tan ( dfrac {π} {4}) = 1, )
( sec ( dfrac {π} {4}) = sqrt {2}, csc ( dfrac {π} {4}) = sqrt {2}, cot ( dfrac {π} {4 }) = 1 )

Relación de cofunción de ángulos complementarios

Si miramos más de cerca la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales en relación con el círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de ( frac {π} {6} ) y ( frac {π} {3} ), vemos que el seno de ( frac {π} {3} ), a saber, ( frac { sqrt {3}} {2} ), es también el coseno de ( frac {π} {6} ), mientras que el seno de ( frac {π} { 6} ), es decir, ( frac {1} {2}, ) es también el coseno de ( frac {π} {3} ). Vea la Figura ( PageIndex {9} ).

[ begin {align *} sin frac {π} {3} & = cos frac {π} {6} = frac { sqrt {3} s} {2s} = frac { sqrt {3}} {2} sin frac {π} {6} & = cos frac {π} {3} = frac {s} {2s} = frac {1} {2} fin {alinear *} ]

Figura ( PageIndex {9} ): El seno de ( frac {π} {3} ) es igual al coseno de ( frac {π} {6} ) y viceversa.

Este resultado no debería sorprender porque, como vemos en la Figura ( PageIndex {9} ), el lado opuesto al ángulo de ( frac {π} {3} ) también es el lado adyacente a ( frac {π} {6} ), entonces ( sin ( frac {π} {3}) ) y ( cos ( frac {π} {6}) ) son exactamente la misma razón de los mismos dos lados, ( sqrt {3} s ) y (2s. ) De manera similar, ( cos ( frac {π} {3}) ) y ( sin ( frac {π } {6}) ) son también la misma razón usando los mismos dos lados, (s ) y (2s ).

La interrelación entre los senos y cosenos de ( frac {π} {6} ) y ( frac {π} {3} ) también es válida para los dos ángulos agudos en cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, la razón de los mismos dos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Dado que los tres ángulos de un triángulo se suman a π, y el ángulo recto es ( frac {π} {2} ), los dos ángulos restantes también deben sumar ( frac {π} {2} ) . Eso significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que se sumen a ( frac {π} {2} ); en otras palabras, dos ángulos complementarios cualesquiera. Entonces podemos declarar un identidad cofuncional: Si dos ángulos son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la Figura ( PageIndex {10} ). De hecho, esta identidad, así como las otras dadas en la Tabla ( PageIndex {1} ), son válidas para cualquier ángulo, no solo para los ángulos agudos.

Figura ( PageIndex {10} ): Identidad de función de seno y coseno de ángulos complementarios

Usando esta identidad, podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de ( frac {π} {12} ) es igual al coseno de ( frac {5π} {12} ), y que el seno de ( frac {5π} {12} ) es igual al coseno de ( frac {π} {12} ). También podemos afirmar que si, para un cierto ángulo (t, cos t = frac {5} {13}, ) entonces ( sin ( frac {π} {2} −t) = frac {5} {13} ) también. Las identidades de cofunciones también son válidas para secante y cosecante, y para tangente y cotangente.

IDENTIDADES DE COFUNCIÓN

La identidades cofuncionales para cualquier ángulo (t ) dado en radianes se enumeran en la Tabla ( PageIndex {1} ).

Tabla ( PageIndex {1} )

[ cos t = sin ( frac {π} {2} −t) nonumber ]

[ sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ tan t = cot ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ cot t = tan ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ sec t = csc ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

[ csc t = sec ( dfrac {π} {2} −t) nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Uso de identidades de función

Si ( sin t = frac {5} {12}, ) encuentra ( cos left ( frac {π} {2} −t right) ).

Solución

De acuerdo con las identidades de cofunción para seno y coseno,

[ sin (t) = cos ( dfrac {π} {2} −t). sin número]

Entonces

[ cos ( dfrac {π} {2} −t) = dfrac {5} {12}. sin número]

( PageIndex {4} ):

Si ( csc ( frac {π} {6}) = 2, ) encuentra ( sec ( frac {π} {3}). )

Respuesta

2

Uso de funciones trigonométricas

En ejemplos anteriores, evaluamos el seno y el coseno en triángulos donde conocíamos los tres lados. Pero el poder real de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando miramos triángulos en los que conocemos un ángulo pero no todos los lados.

Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, calcula los lados restantes.

  1. Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado desconocido como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador.
  2. Escribe una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual a la razón de los lados correspondientes.
  3. Usando el valor de la función trigonométrica y la longitud del lado conocida, resuelve la longitud del lado que falta.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar longitudes de lados faltantes mediante relaciones trigonométricas

Encuentra los lados desconocidos del triángulo en la Figura ( PageIndex {11} ).

Figura ( PageIndex {11} )

Solución

Conocemos el ángulo y el lado opuesto, por lo que podemos usar la tangente para encontrar el lado adyacente.

[ tan (30 °) = dfrac {7} {a} nonumber ]

Usamos álgebra para resolver (a ).

[ begin {align *} a & = dfrac {7} { tan (30 °)} & approx 12.1 end {align *} ]

Podemos usar el seno para encontrar la hipotenusa.

[ sin (30 °) = dfrac {7} {c} nonumber ]

Nuevamente, usamos álgebra para resolver (c ).

[ begin {align *} c & = dfrac {7} { sin (30 °)} = 14 end {align *} ]

( PageIndex {5} ):

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de ( frac {π} {3} ) y una hipotenusa de 20. Calcula los lados y el ángulo desconocidos del triángulo.

Respuesta

( mathrm {adyacente = 10; opuesto = 10 sqrt {3};} ) el ángulo faltante es ( frac {π} {6} )

Uso de la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados

La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo hace posible encontrar la altura de un objeto alto sin tener que subir a la cima o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Lo hacemos midiendo una distancia desde la base del objeto hasta un punto en el suelo a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. La ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión en ángulo desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos usar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. De manera similar, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. La ángulo de depresión de un objeto debajo de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. Vea la Figura ( PageIndex {12} ).

Figura ( PageIndex {12} )

Dado un objeto alto, mida su altura indirectamente.

  1. Haga un bosquejo de la situación del problema para realizar un seguimiento de la información conocida y desconocida.
  2. Trace una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto donde la parte superior del objeto sea claramente visible.
  3. En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mide el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal.
  4. Escribe una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión.
  5. Resuelve la ecuación para la altura desconocida.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): medir una distancia indirectamente

Para encontrar la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57 ° entre la línea de visión de la parte superior del árbol y el suelo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ). Calcula la altura del árbol.

Figura ( PageIndex {13} )

Solución

Sabemos que el ángulo de elevación es (57 ° ) y el lado adyacente mide 30 pies de largo. El lado opuesto es la altura desconocida.

La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Entonces, expresaremos nuestra información en términos de la tangente de (57 ° ), dejando que (h ) sea la altura desconocida.

[ begin {array} {cl} tan θ = dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} & text {} tan (57 °) = dfrac {h} { 30} & text {Resolver para} h. h = 30 tan (57 °) & text {Multiplica.} h≈46.2 & text {Usa una calculadora.} end {array} nonumber ]

El árbol mide aproximadamente 46 pies de altura.

( PageIndex {6} ):

¿Cuánto tiempo se necesita una escalera para llegar al alféizar de una ventana a 50 pies sobre el suelo si la escalera descansa contra el edificio formando un ángulo de ( frac {5π} {12} ) con el suelo? Redondea al pie más cercano.

Respuesta

Aproximadamente 52 pies

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Ecuaciones clave

Identidades de Cofunction [ begin {align *} cos t & = sin ( frac {π} {2} −t) sin t & = cos ( frac {π} {2} −t) tan t & = cot ( frac {π} {2} −t) cot t & = tan ( frac {π} {2} −t) sec t & = csc ( frac {π} {2} −t) csc t & = sec ( frac {π} {2} −t) end {align *} ]

Conceptos clave

  • Podemos definir funciones trigonométricas como razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
  • Se pueden usar las mismas longitudes de lado para evaluar las funciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
  • Podemos evaluar las funciones trigonométricas de ángulos especiales, conociendo las longitudes de los lados de los triángulos en los que ocurren.
  • Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
  • Si dos ángulos son complementarios, las identidades de cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa.
  • Podemos usar funciones trigonométricas de un ángulo para encontrar longitudes de lados desconocidas.
  • Seleccione la función trigonométrica que representa la relación entre el lado desconocido y el lado conocido.
  • La trigonometría de triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles.
  • La altura o distancia desconocida se puede encontrar creando un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, y se conozcan otro lado y ángulo.
lado adyacente
en un triángulo rectángulo, el lado entre un ángulo dado y el ángulo recto
ángulo de depresión
el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador, asumiendo que el objeto está posicionado más bajo que el observador
ángulo de elevación
el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador, asumiendo que el objeto está posicionado más alto que el observador
lado opuesto
en un triángulo rectángulo, el lado más distante de un ángulo dado
hipotenusa
el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto

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Aplicar funciones de disparo a ángulos de rotación

1er y 3er cuadrante. Puedes usar el diagrama CAST que te dice en qué cuadrantes los ángulos son positivos. es decir. cos (y su recíproco sec) es + en el cuarto quad, todos ellos + en el primer quad, sin (y su cosec recíproco) + en el segundo y tan y cot + en el tercero.

Respuesta:

Explicación:

En matemáticas, un círculo unitario es un círculo con un radio de uno. En trigonometría, el círculo unitario es el círculo de radio uno centrado en el origen (0, 0) en el sistema de coordenadas cartesianas en el plano euclidiano.

El punto del círculo unitario es que hace que otras partes de las matemáticas sean más fáciles y ordenadas. Por ejemplo, en el círculo unitario, para cualquier ángulo θ, los valores trigonométricos para el seno y el coseno son claramente nada más que sin (θ) = y y cos (θ) = x. . Ciertos ángulos tienen valores trigonométricos "agradables".

La circunferencia del círculo unitario es # 2pi #. Un arco del círculo unitario tiene la misma longitud que la medida del ángulo central que intercepta ese arco. Además, debido a que el radio del círculo unitario es uno, las funciones trigonométricas seno y coseno tienen especial relevancia para el círculo unitario.

Cualquier ángulo de rotación # theta # puede ser representado por un punto # A # en un círculo unitario con un centro en el origen de las coordenadas # O # y radio # 1 #. El ángulo se mide en sentido antihorario desde la dirección positiva del eje X hasta una línea de # O # a # A #, por lo que #angle XOA = theta # con # | OA | = 1 #. Por lo tanto, un ángulo de # 90 ^ 0 # está representado por un punto con coordenadas # (0,1) #, un ángulo de # 270 ^ 0 # está representado por un punto # (0, -1) #, etc.

Luego, por definición, si el punto # A # tiene coordenadas # (A_x, A_y) #,
#pecado (theta) = A_y #
#cos (theta) = A_x #
#tan (theta) = A_y / A_x # (para #A_x! = 0 #)
#sec (theta) = 1 / A_x # (para #A_x! = 0 #)
#csc (theta) = 1 / A_y # (para #A_y! = 0 #)

Los anteriores son definiciones de funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Lo tipico definición geométrica de funciones trigonométricas usando los triángulos rectángulos no es lo suficientemente general, mientras que las definiciones anteriores funcionan para todos los ángulos y, en el caso de agudo ángulos en los triángulos rectángulos, son idénticos a definición geométrica.

Podría sugerir estudiar trigonometría en Unizor - Trigonometría. El sitio tiene una explicación muy detallada de las propiedades de las funciones trigonométricas basadas en la definición anterior.


Razones trigonométricas en triángulos rectángulos Respuesta: Aplicaciones prácticas Trigonometría Siyavula

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos Respuesta: Aplicaciones prácticas Trigonometría Siyavula. Bruce dibujó el triángulo de la derecha. Para encontrar todas las razones trigonométricas del triángulo rectángulo dado, primero tenemos que nombrar los lados como lado hipotenusa, lado opuesto y lado adyacente. Las pruebas y cuestionarios de matemáticas en línea sobre el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y la trigonometría del triángulo rectángulo. 1) 13 12 bac θ 2) 4 13 abc θ 3) 9 6 abc θ 4) 11.9 10 bac θ 5) 7.7 14 abc θ 6) 5 b 4 ac θ 7) 11 4.4 abc θ 8) 3 3 bca θ encontrar la medida de cada lado indicado. Nos permite encontrar las longitudes de los lados cuando los grados de su.

Necesita saber la longitud de al menos un lado para determinar el área. Considere el triángulo rectángulo general, en la figura 1 a continuación, con ángulo β y lados etiquetados como se muestra a continuación. Encuentre razones trigonométricas usando triángulos rectángulos. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 2 unidades y unidades.

Introducción a las razones trigonométricas Video Khan Academy de i.ytimg.com Seis razones trigonométricas para un triángulo rectángulo son seno (sin), cosecante (cos), tangente (tan), cosecante (cos), secante (sec), cotangente (cot ) Definición de trigonometría: Podemos describir las razones trigonométricas de un solo triángulo rectángulo en términos de cualquier ángulo agudo. La razón del seno es la longitud del lado opuesto a un ángulo agudo dado dividido por la longitud de la hipotenusa. Las razones trigonométricas en triángulos rectángulos responden. Considere el triángulo de ángulo recto general, en la figura 1 a continuación, con el ángulo β y los lados etiquetados como se muestra a continuación. Se unen para formar tres ángulos. Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto. 2 + 2 = 2 & # 8226 encuentra razones trigonométricas usando triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto.

Razones trigonométricas básicas con aplicación a triángulos un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de los ángulos internos es 90 & # 176. Encuentra razones trigonométricas usando triángulos rectángulos. En un triángulo rectángulo, las seis proporciones trigonométricas Elija entre 390 conjuntos diferentes de proporciones trigonométricas triángulos rectángulos flashcards en quizlet. Más hojas de trabajo de matemáticas de lecciones de matemáticas de gcse. En el triángulo rectángulo anterior, para el ángulo 59 & # 176, h es el lado opuesto y el lado tiene una longitud de 45 pies es el lado adyacente. La razón trigonométrica que involucra el lado opuesto y el lado adyacente es tangente. Si ve este mensaje, significa que tenemos problemas para cargar recursos externos en nuestro sitio web. Las razones trigonométricas ayudan a responder prácticamente todas las preguntas sobre triángulos arbitrarios mediante el uso de la ley de los senos y la ley de los cosenos. Las funciones trigonométricas se definen para un triángulo rectángulo, pero eso no significa que solo funcionan para triángulos rectángulos. Las razones trigonométricas más comunes son seno, coseno y tangente. Los tres lados del triángulo rectángulo son: Otro ángulo suele denominarse θ.

Aprenda las proporciones trigonométricas de triángulos rectángulos con tarjetas interactivas gratuitas. Calcula la diferencia entre los lados totales y los lados que obtuviste del cuadrante. Para encontrar todas las razones trigonométricas del triángulo rectángulo dado, primero tenemos que nombrar los lados como lado hipotenusa, lado opuesto y lado adyacente. La razón del seno, la razón del coseno, la razón de la tangente, la razón de la cosecante, la razón de la secante y la razón de la cotangente se definen de la siguiente manera: Debido a que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo mayor, el ángulo 90 & # 176, tiene que ser lado más largo.

Participación interactiva y sin preparación para usted Sus estudiantes coincidirán con las 18 soluciones para Trigonom del triángulo rectángulo Actividades de álgebra de matemáticas universitarias de triángulo recto de i.pinimg.com Si está viendo este mensaje, significa que tenemos problemas para cargar recursos externos en nuestro sitio web. En esta lección volveremos a la trigonometría del triángulo rectángulo. Aprenda sobre las proporciones trigonométricas de los triángulos rectángulos con tarjetas interactivas gratuitas. 1) usando el teorema de Pitágoras y su inverso. Las razones trigonométricas en triángulos rectángulos responden. Hoja de trabajo de relaciones de trigonometría en triángulos rectángulos con hojas de trabajo 50 hermosas hojas de trabajo de relaciones trigonométricas altas. En un triángulo general (agudo u obtuso), debe utilizar otras técnicas, incluido el. Las razones trigonométricas ayudan a responder prácticamente todas las preguntas sobre triángulos arbitrarios mediante el uso de la ley de los senos y la ley de los cosenos.

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Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. 2 + 2 = 2 & # 8226 encuentra razones trigonométricas usando triángulos rectángulos. Bruce dibujó el triángulo de la derecha. Descripción de las relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Necesita saber la longitud de al menos un lado para determinar el área. Para cubrir la respuesta nuevamente, haga clic en actualizar (recargar). Las razones trigonométricas en triángulos rectángulos responden. 3) usar razones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos. Hipotenusa (el lado más largo) perpendicular (lado opuesto al ángulo) Considere el triángulo rectángulo general, en la figura 1 a continuación, con el ángulo β y los lados etiquetados como se muestra a continuación. Encuentre razones trigonométricas usando triángulos rectángulos. Se encuentran para formar tres ángulos.

Desde cada ángulo agudo, puede etiquetar los lados como hipotenusa, opuesto y adyacente. Practica reconocer qué razón trigonométrica debes usar para resolver los lados. Las razones trigonométricas en triángulos rectángulos responden. La razón trigonométrica que involucra el lado opuesto y el lado adyacente es tangente. Every right triangle contains two angles.

The 6 Trig Ratios from www.softschools.com If you find any copyright protected images of yours, please contact us and we will remove it. Trigonometric ratios in right triangles answer. Because the hypotenuse is the side opposite the largest angle, the 90° angle, it has to be the longest side. To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side. They meet to form three angles. They meet to form three. Solve word problems involving right triangles and trigonometric ratios. We don't intend to display any copyright protected images.

From each acute angle, you can label the sides as the hypotenuse, opposite, and adjacent.

A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle. Trigonometric ratios in right triangles. Learn trigonometric ratios right triangles with free interactive flashcards. Consider the general right angle triangle, in figure 1 below, with angle β and sides labeled as shown below In the above right triangle, for the angle 59°, h is opposite side and the side has length 45 ft is adjacent side. The relation between the sides and angles of a right triangle is the basis for trigonometry. Trigonometric ratios in right triangles answer. Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. Trigonometric ratios are defined for right triangles. Right triangles will be similar if an acute angle of one is equal to an acute angle of the other. We can describe the trigonometric ratios from a single right triangle in terms of either acute angle. The trigonometric ratio that involves opposite side and adjacent side is tangent. 2) using special relationships in right triangles.

Source: content.lessonplanet.com

We can describe the trigonometric ratios from a single right triangle in terms of either acute angle. Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. In that case, side ab will be the hypotenuse. Every right triangle contains two angles. • use the pythagorean theorem to find missing lengths in right triangles.

Six trigonometric ratios for right angle triangle are sine(sin), cosecant(cos), tangent(tan), cosecant(cos), secant(sec), cotangent(cot) trigonometry definition: More gcse math lessons math worksheets. Basic trigonometric ratios with application to triangles a right angled triangle is a triangle where one of the internal angles is 90°. To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side. In these definitions, the terms opposite, adjacent, and hypotenuse refer to the lengths of the sides.

Consider the general right angle triangle, in figure 1 below, with angle β and sides labeled as shown below A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle. The sine ratio is the length of the side opposite a given acute angle divided by the length of the hypotenuse. Right triangles are a special case of triangles. 3) using trigonometric ratios to solve right triangles.

Bruce drew the triangle at the right. They are special ratios, called trigonometric ratios, that are of interest to us when we deal with right triangles. Trigonometric ratios in right triangles answer / ixl trigonometric ratios sin cos and tan geometry practice / in a right triangle, however, one of the angles is already known:. Every right triangle contains two angles. Write your answer correct to two decimal places.

The trigonometric ratio that involves opposite side and adjacent side is tangent. The most common trigonometric ratios are sine, cosine, and tangent. Trigonometric ratios in right triangles. Round to the nearest tenth. Right triangles will be similar if an acute angle of one is equal to an acute angle of the other.

Bruce drew the triangle at the right. Because the hypotenuse is the side opposite the largest angle, the 90° angle, it has to be the longest side. The ratios of the sides of a right triangle are called trigonometric ratios. We can describe the trigonometric ratios from a single right triangle in terms of either acute angle. To estimate the height of the tree, jacob can write a trigonometric ratio that involves the height h and the known length of 45 feet.

Trigonometry involves calculating angles and sides in triangles. Trigonometric ratios are defined for right triangles. Write your answer correct to two decimal places. In this lesson we will return to right triangle trigonometry. Description trig ratios in right triangles.

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2 + 2 = 2 • find trigonometric ratios using right triangles. The sine ratio, the cosine ratio, the tangent ratio, the cosecant ratio, the secant ratio and the cotangent ratio are defined as follows: Trigonometry ratios in right triangles worksheet with worksheets 50 beautiful trigonometric ratios worksheet high. The three major trigonometric ratios will finally relate of in one equation for triangles. The three sides of the right triangle are:

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Because the hypotenuse is the side opposite the largest angle, the 90° angle, it has to be the longest side.

Practice recognizing which trig ratio you should use to solve for sides.

Trigonometric ratios in right triangles.

Fuente: ecdn.teacherspayteachers.com

From each acute angle, you can label the sides as the hypotenuse, opposite, and adjacent.

Source: electricbookworks.github.io

Consider the general right angle triangle, in figure 1 below, with angle β and sides labeled as shown below

In the above right triangle, for the angle 59°, h is opposite side and the side has length 45 ft is adjacent side.

You need to know the length of at least one side to determine the area.

Source: www.onlinemathlearning.com

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Basic trigonometric ratios with application to triangles a right angled triangle is a triangle where one of the internal angles is 90°.

A right triangle has legs that measure 2 units and units.

Source: www.onlinemathlearning.com

You need to know the length of at least one side to determine the area.

To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side.

Right triangles will be similar if an acute angle of one is equal to an acute angle of the other.

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A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle.

Every right triangle contains two angles.

Source: www.algebraforchildren.com

Then multiply the result with the right side of the equation.

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These are defined for acute angle below:

To find all trigonometric ratios from the given right triangle, first we have to name the sides as hypotenuse side, opposite side and adjacent side.

The trigonometric ratio that involves opposite side and adjacent side is tangent.

1) using pythagorean theorem and its converse.

Source: s3-us-west-2.amazonaws.com

A right triangle is a triangle in which one angle is a right angle.

The relationships hold for all complementary angle pairs.


6.5: Right Triangle Trigonometry

Chapter 6 Triangles – Exercise 6.5 | Colocar 1

Question 11. An aeroplane leaves an airport and flies due north at a speed of 1,000 km per hour. At the same time, another aeroplane leaves the same airport and flies due west at a speed of 1,200 km per hour. How far apart will be the two planes after hours?

Distance covered by place left towards north = 1000 * 1.5

Distance covered by place left towards west = 1200 * 1.5 = 1800km

In right ∆ABC by Pythagoras theorem

(AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2



(AC) 2 = (1500) 2 + (1800) 2

= 250000 + 3240000

= 5490000

= √(3 * 3 * 61 * 10 * 10 * 10 * 10)

= 3 * 10 * 10√61

AC = 300√61

Distance between the two poles 300√61km

Question 12. Two poles of heights 6 m and 11 m stand on a plane ground. If the distance between the feet of the poles is 12 m, find the distance between their tops.

AB is pole of height = 11m

DC is another pole of height = 6m

BC = 12m

In fig. DE = BC = 12m

AE = AB – EB

= 11 – 6

= 5m

In right ∆AED, by Pythagoras theorem

(AD) 2 = (AC) 2 + (DE) 2



(AD) 2 = (5) 2 + (12) 2

(AD) 2 = 25 + 144

AD = √169

AD = √(13 * 13)

AD = 13

Hence, the distance between the tops of the two poles is 13m.

Question 13. D and E are points on the sides CA and CB respectively of a triangle ABC right angled at C. Prove that AE 2 + BD 2 = AB 2 + DE 2 .

To prove: (AE) 2 + (BD) 2 = (AB) 2 + (DE) 2

Construction: Join AE, BD and DE

Proof:

In ∆ACE, by Pythagoras theorem

(AE) 2 = (AC) 2 + (EC) 2 -(1)

In ∆DCB, by Pythagoras theorem

(BD) 2 = (DC) 2 + (BC) 2 -(2)

In ∆ACB, by Pythagoras theorem

(AB) 2 = (AC) 2 + (CB) 2 -(3)

In ∆DCE, by Pythagoras theorem

(ED) 2 = (DC) 2 + (CE) 2

Adding eq (1) and (2)



(AE) 2 + (BD) 2 = (AC) 2 + (EC) 2 + (DC) 2 + (DC) 2

= (AC 2 + BC 2 ) + (EC 2 + DC 2 )

= AB 2 + DE 2 -(from 3 and 4)

Question 14. The perpendicular from A on side BC of a Δ ABC intersects BC at D such that DB = 3CD (see Fig.). Prove that 2AB 2 = 2AC 2 + BC 2 .

Given: DB = 3CD

To prove: 2AB 2 = 2AC 2 + BC 2

Proof: DB = 3CD

BC = CD + DB

BC = CD + 3CD

BC = 4CD

BC/4 = CD -(1)

DB = 3(BC/4) -(2)

In right ∆ADB, by Pythagoras theorem

AB 2 = AD 2 + DB 2 -(3)

In right ∆ADC, by Pythagoras theorem

AC 2 = AD 2 + CD 2 -(4)

Subtract eq(3) from (4)

AB 2 – AC 2 = AD 2 + DB 2 – (AD 2 + CD 2 )



= AD 2 + DB 2 + AD 2 – CD 2

= DB 2 – CD 2

= (3/4BC) 2 – (BC/4) 2

= 9/6BC 2 – BC/16

= 8BC 2 /16

= AB 2 – AC 2 = BC 2 /2

2AB 2 – 2AC 2 = BC 2

2AB 2 = 2AC 2 + BC 2

Question 15. In an equilateral triangle ABC, D is a point on side BC such that BD = 1/3BC. Prove that 9AD 2 = 7AB 2 .

Prove that 9AD 2 = 7AB 2

Construction: Join AD and draw AE perpendicular BC

Let each side, AB = AC = BC = a

BD = 1/3BC = 1/3a

BC = 1/2BC = 1/2a

DE = BE – BD

= 1/2a – 1/3a

= 3a – 2a/6

= DE = a/6

In right ∆AED, by Pythagoras theorem

AD 2 = AE 2 + DE 2

AD 2 = (√3a/2) 2 + (a/6) 2

= 3a 2 /4+ a 2 /36

= 27a 2 /36 + a 2 /36

AD 2 = 28a 2 /36

AD 2 = 7a 2 /9

9AD 2 = 7a 2

9AD 2 = 7AB 2

Question 16. In an equilateral triangle, prove that three times the square of one side is equal to four times the square of one of its altitudes.

To prove: 3AB 2 = 4AD 2



Proof: Let each side of one equilateral ∆ = a

BD = 1/2a -[perpendicular bisects the side in on an equilateral ∆]

In right ∆ADB, by Pythagoras theorem

(AB) 2 =(AD) 2 + (BD) 2

(a) 2 = (AD) 2 + (1/2a) 2

a 2 = AD 2 + (a/2) 2

a 2 – a 2 /4 = AD 2

3a 2 /4 = AD 2

3a 2 = 4AD 2

3AB 2 = 4AD 2

Question 17. Tick the correct answer and justify: In ΔABC, AB = 6√3 cm, AC = 12 cm and BC = 6 cm. The angle B is:

(A) 120° (B) 60°

(C) 90° (D) 45°

(AC) 2 = (12) 2 = 144

(AB) 2 = (6√3) 2 = 6 * 6√3 = 36 * 3 = 108

(BC) 2 = (6) 2 = 36

(AB) 2 + (BC) 2 = 108 + 36 = 144

∴ It is right ∆ thus ∠B = 90°


Triangles and Trigonometry Sine and Cosine Rules

Do you still remember the quest to find the highest mountain on Earth from the introduction? With Trigonometry, we finally have the tools to do it!

The surveyors in India measured the angle of the top of a mountain from two different positions , 5km apart . The results were 23° and 29° .

Because angle α is a supplementary angle , we know that it must be ° . Now we can use the sum of the internal angles of a triangle to work out that angle β is ° .

Now we know all three angles of the triangle, as well as one of the sides . This is enough to use the sine rule cosine rule to find the distance D :

sin 151° d 5 6° 5 d
D 151° × 5 sin 6°
23.2 km

There is one final step: let’s have a look at the big, right-angled triangle . We already know the length of the hypotenuse, but what we really need is the opposite adjacent side. We can find it using the definition of sin:

sin 23° height 23 23 height
height 23° × 23
8.987 km

And that is very close to the actual height of Mount Everest, the highest mountain on Earth: 8,848m.

This explanation greatly simplifies the extraordinary work done by the mathematicians and geographers working on the Great Trigonometrical Survey. They started from sea level at the beach, measured thousands of kilometers of distance, built surveying towers across the entire country and even accounted for the curvature of Earth.

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THE ISOSCELES RIGHT TRIANGLE

A N ISOSCELES RIGHT TRIANGLE is one of two special triangles. (The other is the 30°-60°-90° triangle.) The student should know the ratios of the sides.

(An isosceles triangle has two equal sides. See Definition 8 in Some Theorems of Plane Geometry. The theorems cited below will be found there.)

Theorem. In an isosceles right triangle the sides are in the ratio 1:1: .

Proof . In an isosceles right triangle, the equal sides make the right angle. They have the ratio of equality, 1 : 1.

To find the ratio number of the hypotenuse h , we have, according to the Pythagorean theorem,

(Lesson 26 of Algebra.) Therefore the three sides are in the ratio

Note that since the right triangle is isosceles, then the angles at the base are equal. (Theorem 3.) Therefore each of those acute angles is 45°.

(For the definition of measuring angles by "degrees," see Topic 12.)

Example 1. Evaluate sin 45° and tan 45°.

Answer . For any problem involving 45°, the student should not consult the Table. Rather, sketch the triangle and place the ratio numbers.

on rationalizing the denominator. (Lesson 26 of Algebra.)

Problem. Evaluate cos 45° and csc 45°.

Thus cos 45° is equal to sin 45° they are complements.

Example 2. Solve the isosceles right triangle whose side is 6.5 cm.

Answer . To solve a triangle means to know all three sides and all three angles. Since this is an isosceles right triangle, the only problem is to find the unknown hypotenuse.

But in every isosceles right triangle, the sides are in the ratio 1 : 1 : , as shown on the right. In the triangle on the left, the side corresponding to 1 has been multiplied by 6.5. Therefore every side will be multiplied by 6.5. The hypotenuse will be 6.5 . (The theorem of the same multiple.)

Whenever we know the ratio numbers, we use this method of similar figures to solve the triangle, and not the trigonometric Table.

(In Topic 6, we will solve right triangles the ratios of whose sides we do not know.)

Example 3. In an isosceles right triangle, the hypotenuse is inches. How long are the sides?

Answer . The student should sketch the triangles and place the ratio numbers.

How has the side corresponding to been multiplied?

According to the rule for multiplying radicals, it has been multiplied by . Therefore, all the sides will be multiplied by . And 1 = .

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Non-right Triangles: Law of Sines

Suppose two radar stations located 20 miles apart each detect an aircraft between them. The angle of elevation measured by the first station is 35 degrees, whereas the angle of elevation measured by the second station is 15 degrees. How can we determine the altitude of the aircraft? We see in [link] that the triangle formed by the aircraft and the two stations is not a right triangle, so we cannot use what we know about right triangles. In this section, we will find out how to solve problems involving non-right triangles.

Using the Law of Sines to Solve Oblique Triangles

In any triangle, we can draw an altitude, a perpendicular line from one vertex to the opposite side, forming two right triangles. It would be preferable, however, to have methods that we can apply directly to non-right triangles without first having to create right triangles.

Any triangle that is not a right triangle is an oblique triangle. Solving an oblique triangle means finding the measurements of all three angles and all three sides. To do so, we need to start with at least three of these values, including at least one of the sides. We will investigate three possible oblique triangle problem situations:

ASA (angle-side-angle) We know the measurements of two angles and the included side. Ver [enlace].

AAS (angle-angle-side) We know the measurements of two angles and a side that is not between the known angles. Ver [enlace].

SSA (side-side-angle) We know the measurements of two sides and an angle that is not between the known sides. Ver [enlace].

Knowing how to approach each of these situations enables us to solve oblique triangles without having to drop a perpendicular to form two right triangles. Instead, we can use the fact that the ratio of the measurement of one of the angles to the length of its opposite side will be equal to the other two ratios of angle measure to opposite side. Let’s see how this statement is derived by considering the triangle shown in [link].

Using the right triangle relationships, we know that sin α = h b

Solving both equations for h

gives two different expressions for h .

We then set the expressions equal to each other.

Similarly, we can compare the other ratios.

Collectively, these relationships are called the Law of Sines.

Note the standard way of labeling triangles: angle α

While calculating angles and sides, be sure to carry the exact values through to the final answer. Generally, final answers are rounded to the nearest tenth, unless otherwise specified.

Given a triangle with angles and opposite sides labeled as in [link], the ratio of the measurement of an angle to the length of its opposite side will be equal to the other two ratios of angle measure to opposite side. All proportions will be equal. La Law of Sines is based on proportions and is presented symbolically two ways.

To solve an oblique triangle, use any pair of applicable ratios.

Solve the triangle shown in [link] to the nearest tenth.

The three angles must add up to 180 degrees. From this, we can determine that

To find an unknown side, we need to know the corresponding angle and a known ratio. We know that angle α = 50°

and its corresponding side a = 10.

We can use the following proportion from the Law of Sines to find the length of c .

we set up another proportion.

Therefore, the complete set of angles and sides is

Solve the triangle shown in [link] to the nearest tenth.

Using The Law of Sines to Solve SSA Triangles

We can use the Law of Sines to solve any oblique triangle, but some solutions may not be straightforward. In some cases, more than one triangle may satisfy the given criteria, which we describe as an ambiguous case. Triangles classified as SSA, those in which we know the lengths of two sides and the measurement of the angle opposite one of the given sides, may result in one or two solutions, or even no solution.

Oblique triangles in the category SSA may have four different outcomes. [link] illustrates the solutions with the known sides a

Solve the triangle in [link] for the missing side and find the missing angle measures to the nearest tenth.

Use the Law of Sines to find angle β

However, in the diagram, angle β

appears to be an obtuse angle and may be greater than 90°. How did we get an acute angle, and how do we find the measurement of β ?

Let’s investigate further. Dropping a perpendicular from γ

and viewing the triangle from a right angle perspective, we have [link]. It appears that there may be a second triangle that will fit the given criteria.

The angle supplementary to β

is approximately equal to 49.9°, which means that β = 180° − 49.9° = 130.1° .

(Remember that the sine function is positive in both the first and second quadrants.) Solving for γ ,

We can then use these measurements to solve the other triangle. Since γ ′

is supplementary to the sum of α ′

To summarize, there are two triangles with an angle of 35°, an adjacent side of 8, and an opposite side of 6, as shown in [link].

However, we were looking for the values for the triangle with an obtuse angle β .

We can see them in the first triangle (a) in [link].

find the missing side and angles. If there is more than one possible solution, show both.


Perfect Triangles Using Heron's Formula

Pythagoras wasn't the only famous Greek mathematician who developed a special theory of numbers. Hero of Alexandria was another Greek mathematician who came up with Heron's Formula, which gives you the area of a triangle from the length of its integer sides. In algebraic terms:

If you are interested in advanced concepts, you can use this formula to solve for more perfect triangles!


Ver el vídeo: Right Triangle Math Analysis (Mayo 2022).