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Integración: la función de área (GeoGebra) - Matemáticas

Integración: la función de área (GeoGebra) - Matemáticas


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Integración de función discontinua

Quiero crear un applet para visualizar a los estudiantes el teorema fundamental del cálculo diferencial e integral. He creado una función continua y discontinua con ayb como variables de integración. Desafortunadamente para algunos a y b (por ejemplo, a = 2, b = 2.5) hay una solución para la integral en este intervalo. ¿Hay algún error o definición incorrecta?

el teorema fundamental dice que si derivo el area bajo f (x) entonces obtengo f (x)

por otro lado el area es una funcion continua

esto no contradice que haya primitivas que no sean continuas y por tanto no muestren el area

no escribas las funciones a trozos con if () anidados escribe h (x) = If (0 & # 8804 x & lt 1.5, (x - 2) & sup3 + 2 (x - 2) & sup2, 1.5 & lt x, (x - 2) ) & sup3 + 2 (x - 2) & sup2 - 0.5) entonces integral (h) te dar & aacute una funcion cuya derivada es h (x) pero no ser & aacute el & aacuterea

si quieres mostrar el area escribe las siguientes lineas en la barra de entrada

numericalIntegral1 = NSolveODE (, 0, <0>, 10)

p (x) = Función (Unir (<< 0, 10>, y (Primero (numericalIntegral1, Longitud (numericalIntegral1)))>))

esta p (x) te mostrar & aacute el & aacuterea y te permitir & aacute hacer c & aacutelculos pero al ser un calculo numerico no te dar & aacute una expresi & oacuten del & aacuterea


El programa gratuito Graph (http://www.padowan.dk/graph/) puede sombrear fácilmente el área entre dos curvas. Este programa tiene varias características en este sentido que sería maravilloso tener en Geogebra.

Tal vez me estoy perdiendo el punto, pero ¿por qué no puede intercambiar las variables y usar el comando integral?

Pero, desarrolladores, ¿habrá integración para funciones implícitas en GeoGebra 4? ¿O ya está allí y no puedo encontrarlo? :?

Tienes razón. Supongo que olvido que el comando Integral podría tomar dos funciones, ¡gracias!

David, puedes ingresar esto para obtener lo que quieres:

o después de predefinir sus funciones ingrese esto:

Además, puede obtener los puntos de intersección ingresando:

Puedo intercambiar variables con x = y + 2. Pero con x = y ^ 2, cuando resuelves para y, obtienes y = + / - sqrt (x), que no es una función.

Si pruebo Integral [sqrt (x), x-2,0,4] en un intento de hacerlo en dos partes, obtengo el siguiente resultado:

David, para obtener el área entre las curvas que has mostrado, necesitarás calcular en dos partes (tanto como tendrías que calcular la integral en dos partes al hacerlo a mano). El área está delimitada por la parábola entre 0 y 1, pero por la parábola y la línea entre 1 y 4.

Cuando dije 'intercambiar las variables' no quise decir 'cambiar el tema de la ecuación', quise decir usar las ecuaciones y = x ^ 2 e y = x + 2, porque el área entre las dos curvas será la misma, aunque las gráficas serán reflejos en la línea y = x.

Supongo que depende de para qué quieras usar la construcción de GeoGebra.

No obstante, podría valer la pena solicitar una característica para la integración con funciones implícitas.

Interesante. El área debe ser la misma que la delimitada por las curvas y = x ^ 2 e y = x + 2, ya que cada una es un reflejo a través de la línea y = x, preservando el área debido a la simetría.

El área funciona igual: 4.5

. que es lo mismo que usar los comandos que proporcioné.

Observé un comportamiento inesperado con el comando Integral al analizar la pregunta de David.

mensaje de error: línea de argumento ilegal a

¿Por qué no se entiende que la línea a sea una función?

Actualización: lo mismo con y = x ^ 2 e y = 2-x ^ 2, por lo que tampoco son funciones.

Sin embargo, la ayuda dice que el argumento del comando Polynomial es una función y se acepta el comando Polynomial [2-x ^ 2].

esto es un poco complicado: y = x ^ 2 es una parábola (cónica, se puede rotar, etc.), mientras que f (x) = x ^ 2 o simplemente x ^ 2 es una función. Para estar seguro de lo que obtiene, use label: expression para líneas y cónicas y label (variable) = expression para funciones. La sintaxis de la expresión y = es ambigua y GeoGebra prefiere las líneas / cónicas a las funciones.

Una vez que defina, p. Ej. f (x) = x como función, no puede tratarse como una línea. Pero quizás en el futuro sea posible tratar las líneas como funciones. Cuando a es una línea, & quota (3) & quot funciona como si a fuera una función en 4.0.

Supongo que no entiendo la distinción aquí.

¿Por qué & quoty = expresión & quot es ambigua, no tiene que ser una función por definición (valor y único para cualquier valor x)?

Ciertamente encuentro esto confuso, por lo que sospecho que otros también lo hacen. Ahora sospecho que un poco de frustración que he experimentado con geogebra puede haber sido debido a mi falta de comprensión de la diferencia entre y = x ^ 2 y f (x) = x ^ 2 (a veces rotar funciona y otras no) .

La herramienta & quotrotate object alrededor punto por ángulo & quot toma un objeto como una de sus entradas, pero busqué en el archivo de ayuda y no pude averiguar qué es & quotobject & quot. objeto (que claramente no es cierto).

Probablemente existan muy buenas razones para esta distinción. Una declaración clara y completa sería de gran ayuda para ayudarnos a comprenderla y apreciarla.

Esto funciona en GeoGebra 4.0 beta al igual que las funciones de transformación (por ejemplo, reflejar en la línea y = x, que es bastante útil :))

En resumen: y = x ^ 2 crea una cónica, no una función, y por lo tanto no se puede integrar, ya que podría ser una cónica como x ^ 2 + y ^ 2 = 1


GeoGebra en entornos de e-learning: una posible integración en matemáticas y más allá

Este trabajo se refiere a la definición de aplicaciones, denominadas GIFT (GeoGebra Interactive Formative Test), realizadas con GeoGebra e integradas en una plataforma de e-learning, permitiendo la implementación de tareas manipulativas y lingüísticas. La naturaleza innovadora de GIFT consiste en realizar un seguimiento de las manipulaciones de los estudiantes en la plataforma y utilizar esa información para diseñar rutas de aprendizaje personalizadas con precisión. Una de estas aplicaciones permite la construcción de frases y su valoración automática. Permite así plantear preguntas abiertas cuyas respuestas puede construir la aplicación, siendo un nuevo recurso entre preguntas cerradas, que tienen límites didácticos bien conocidos, y preguntas abiertas, que plantean el problema de la evaluación automática. Además, se puede utilizar para mejorar el uso de registros alfabetizados mediante la manipulación de mosaicos digitales que se eligen, construyen y ponen a disposición de manera apropiada. Finalmente, pueden integrarse en tareas destinadas a construir la competencia argumentativa de los estudiantes. Presentamos los resultados preliminares de una experimentación de GIFT en un estudio de caso que involucró a estudiantes de secundaria de 10 grados.

Esta es una vista previa del contenido de la suscripción, acceda a través de su institución.


Formas de usar Geogebra en un aula de matemáticas

Hay muchos buenos programas de código abierto, pero no muchos de ellos tienen una aplicación directa en un aula de matemáticas de la misma manera que Geogebra lo hace. Geogebra es un paquete de software para crear y manipular objetos geométricos. También permite graficar funciones y manipular las funciones de muchas formas interesantes. Se ejecuta en el marco de Java, lo que significa que si tiene Java instalado en su computadora, puede ejecutar Geogebra, lo que lo convierte en cualquier sistema operativo habilitado para Java. Esto significa que el mismo programa se ejecutará en Windows, Mac, Linux o Solaris, aunque el instalador es diferente para cada sistema operativo.

Si planea usar el programa con sus estudiantes, es bueno saber que pueden instalar el programa de forma gratuita y que es muy probable que funcione en su computadora. La única advertencia es que debe asegurarse de que los estudiantes tengan instalada la versión correcta de Java si tienen algún problema, ya que esto a veces puede ser un problema.

Geogebra tiene todas las funciones estándar del software Geometry. Puede agregar líneas, círculos, elipses y todo tipo de funciones geométricas al documento. También puede hacer que un objeto sea dependiente de otro objeto, lo que significa que los cambios en el objeto original se propagan a sus objetos dependientes. Entonces, en otras palabras, si dibuja un segmento de línea que depende de la ubicación del punto A y el punto B, cambiar el punto A o el punto B modifica el segmento de línea.

Hay dos cosas interesantes que me gustan de Geogebra. La primera es que puede exportar su archivo de trabajo como una hoja de trabajo dinámica en una página web, lo que significa que puede hacer fácilmente lo que está trabajando en la web. La segunda característica que utilizo todo el tiempo es la capacidad de exportar mi archivo actual como una imagen en formato PNG (y algunos otros). Esto me permite usar Geogebra para crear gráficos para incluirlos en mis publicaciones en línea, algo para lo que mis estudiantes y yo usamos Geogebra todo el tiempo.

Geogebra también tiene un campo de texto de entrada, lo que significa que cada comando que puede usar la interfaz para ingresar, también puede escribir. Algunos comandos se hacen mucho más fácilmente a través del campo de texto de entrada, y = x ^ 2 + 3x que usa la notación de la naturaleza para graficar una función. Entrando Función [x ^ 2, 0, 2] grafica la función sobre el dominio de 0 a 2 para x. Muy útil.

Usar Geogebra con su salón de clases es una forma asequible de llevar software de geometría de alta calidad a su salón de clases a un precio extremadamente asequible (¡es gratis!). Solo he arañado la superficie de lo que Geogebra es capaz de hacer, le sugiero que lo pruebe usted mismo. Tal vez cuando tenga tiempo crearé algunos tutoriales sobre su uso.


IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltVariable & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltVariable & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

Déjame intentar contarte los resultados

Puede hacer clic en mostrar miniaturas y verlo rápidamente, pero no hay nada mejor que intentarlo usted mismo.

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltVariable & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

Tu ejemplo es sencillo. Yo lo entiendo.

IntegralEntre [tan (x), cot (x), 0, 2]

Pero dice: número indefinido

Me pregunto si el gráfico no está acotado (va al infinito) ¿funciona esta función?

IntegralBetween [tan (x), cot (x), 0.0001, 1.57079] no es lo suficientemente bueno para usted?

Las funciones tangente y cotangente tienen discontinuidades en pi / 2 y 0 / pi respectivamente. De ahí la necesidad de seguir los números de mathmagic. Haga clic en las miniaturas para ver el código y el gráfico.

Gracias, sus respuestas son informativas. Puedo integrar el tan (x) -cot (x)

La combinación de dos gráficos tiene dos partes. La ecuación que todos ustedes proporcionaron, da la parte limitada de la respuesta (como remolcar triángulos simétricos)

¿Hay alguna forma de colorear la parte de la hipérbola en la ecuación anterior desde y = 1 hacia arriba?

Supongo que la ecuación integral calcula el están entre dos gráficos exactamente iguales a la integración. Aunque los resultados podrían usarse para colorear, creo que podría haber otro comando en geogebra para colorear exactamente un área en la que quiero enfocar. Es posible que esta área no siempre coincida con la integración.


Para $ f: [0, infty) to [0, infty) $ dado por $ x mapsto f (x) = x ^ 2 $, es una biyección y su función inversa es $ g: [0, infty) to [0, infty) $ dado por $ x mapsto g (x) = sqrt$.

El área debajo de la gráfica de $ f $ y arriba del eje $ x $ entre las líneas verticales $ x = 1 $ y $ x = a $ viene dada por $ A = int_1 ^ a x ^ 2dx = left. Frac<3> right | _1 ^ a = frac<3>.$

Ahora, ¿puedes calcular la otra área usando la función inversa?

No es necesario hacer ningún cálculo. Esta declaración es válida para todas las funciones crecientes.

La forma más sencilla de pensarlo es que la gráfica de $ f ^ <-1> (x) $ es el reflejo de la gráfica de $ f (x) $ sobre la línea $ y = x $. Y el reflejo del eje $ y- $ sobre la línea $ y = x $ es solo el eje $ x- $. Finalmente, tenga en cuenta que $ f (1) = 1 $ y $ f (a) = b $.

Por lo tanto, las 2 figuras son congruentes por esta reflexión, por lo que las áreas son las mismas.

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Preguntas de Hot Network


Tutorial de GeoGebra: Funciones gráficas usando GeoGebra

Puede graficar escribiendo ecuaciones de funciones en el Aporte caja.

Figura 1 - La ventana de GeoGebra

Escriba las siguientes ecuaciones de funciones en el cuadro de entrada y presione la tecla ENTRAR después de cada ecuación.

  • Puede escribir ecuaciones lineales en las siguientes formas: y = aX + b, F(X) = a (X) + b o aX + by + c = 0.
  • El * se usa en la multiplicación y ^ se usa en exponenciación. Por ejemplo, quiere graficar, y = 2(X – 3)2 , entonces debes ingresar y = 2 * (X-3)^2.

Propiedades de Graph

Puede cambiar las etiquetas, los colores, el grosor y otras propiedades de los gráficos (y otros objetos) en GeoGebra. En este tutorial vamos a cambiar el color, la etiqueta y el grosor del gráfico. gramo(X) = pecado (X).

Para cambiar las propiedades del gráfico gramo(X) = pecado (X), Haz lo siguiente:

1.) Haga clic con el botón derecho en el gráfico de la función sinusoidal y luego haga clic en Propiedades del objeto desde el Menú de contexto.

Figura 2: el menú contextual que aparece cuando hace clic con el botón derecho en un gráfico

2.) En el Básico pestaña, asegúrese de que la Mostrar etiqueta la casilla de verificación está marcada.

3.) Elija Nombre y valor en el cuadro de lista desplegable Mostrar etiqueta.

Figura 3 - La pestaña Básico del cuadro de diálogo Propiedades

4.) Para cambiar el color, haga clic en el Color pestaña, luego elija su color de la paleta de colores.

5.) Para cambiar el grosor del gráfico, haga clic en el Estilopestaña, mueva la barra deslizante a 5.

Figura 4 - La pestaña Estilo del cuadro de diálogo Propiedades.

6.) Haga clic en el Cerca botón

Ejercicio: cambie las propiedades de los otros gráficos. Explore las opciones en el Propiedades cuadro de diálogo y ver sus efectos en los gráficos.


Estirar una integral

El diagrama 1 muestra la gráfica de (y = dfrac1x ). (I (a) ) es la región sombreada debajo del gráfico entre (x = 1 ) y (x = a ), donde (a & gt1 ), entonces (I (a) = displaystyle < int_1 ^ a dfrac <1>, dx> ).

Paso 1: La región sombreada en el Diagrama 4 tiene la misma área que la región sombreada en el Diagrama 1 ( (I (a) )) después de someterse a dos estiramientos (ya sea mediante el Diagrama 2 o mediante el Diagrama 3). Complete la siguiente información en cada diagrama donde falta:

el factor de escala que se utilizó en el tramo

la coordenada (x ) en cada extremo de la región sombreada

el área de la región sombreada en términos de (I (a) ), y

la ecuación del gráfico.

En el siguiente subprograma, puede:

  • elige el valor de (a )
  • Estire el gráfico (y la región sombreada con él) en la dirección (x ) en un factor de escala de (b )
  • Estire el gráfico (y la región sombreada con él) en la dirección (y ) en un factor de escala de (c )

Se muestra el área original (I (a) ) y también se muestra el área de la región sombreada estirada.

La gráfica original (sin estirar) de (y = dfrac <1>) se muestra como una línea roja discontinua.

Paso 2: Investigando la función (I (x) ).

Recuerde de arriba que (I (x) ) es la función que da el área de la región sombreada entre (1 ) y (x ) debajo de la gráfica de (y = dfrac1x ), entonces (I (x) = Displaystyle < int_1 ^ x frac <1>, dt> ). (Para evitar confusiones, usamos (t ) al escribir esta integral en lugar de (x ), ya que (x ) aparece en los límites).

Mirando ahora el Diagrama 4, ¿puedes identificar el área (I (b) ) en el diagrama?

¿Hay otros valores de (I (x) ) que pueda identificar fácilmente en el diagrama?

¿Cómo se relacionan (I (a) ) y (I (b) )?

¿Qué sugieren estas respuestas sobre la función (I (x) )? ¿Has visto algo con estas propiedades antes?

Algunas preguntas más

Usando este subprograma o algún software de gráficos, investigue los valores de (I (x) ). ¿Qué valor de (a ) da (I (a) = 1 )? ¿Qué te dice esto?


Centroides para áreas delimitadas por 2 curvas

Extendemos el caso simple dado anteriormente. El rectángulo & quot típico & quot indicado tiene ancho & DeltaX y altura y2 &menos y1, por lo que el total de momentos en el X-la dirección sobre el área total viene dada por:

`bar (x) =" momentos totales "/" área total "` `= 1 / Aint_a ^ b x (y_2-y_1) dx`

Para el y coordinar, tenemos 2 formas diferentes de hacerlo.

Método 1: Tomamos momentos sobre el y-eje y, por lo tanto, tendremos que volver a expresar las expresiones X2 y X1 como funciones de y.

`bar (y) =" momentos totales "/" área total "` `= 1 / Aint_c ^ d y (x_2-x_1) dy`

Método 2: También podemos mantener todo en términos de X ampliando el & quotMétodo alternativo & quot indicado anteriormente:

Ejemplo 4

Encuentre el centroide del área delimitada por y = X 3 , X = 2 y el X-eje.

Aquí está el área bajo consideración:

En este caso, `y = f (x) = x ^ 3`,` a = 0`, `b = 2`.

Primero encontramos el área sombreada:

`A = int_0 ^ 2 x ^ 3 dx = [(x ^ 4) / (4)] _ 0 ^ 2 = 16/4 = 4`

A continuación, usando la fórmula para X-coordenada del centroide tenemos:

Ahora, para el y coordinar, necesitamos encontrar:

`x_2 = 2` (esto se solucionó en este problema)

`x_1 = y ^ (1 // 3)` (esto es variable en este problema)

Entonces, el centroide para el área sombreada está en (1.6, 2.29).

Método alternativo para el y-coordinar

Usando la fórmula del & quotMétodo 2 & quot dada, también podríamos obtener la y-coordenada del centroide de la siguiente manera:

En este ejemplo, el método 2 es más fácil que el método 1, pero no siempre es así.


Ver el vídeo: obtener el área de un polígono regular aplicando trigonométria (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Vinnie

    ¡No te rompas en la cabeza!

  2. Gokus

    Gracias por tu ayuda en este asunto. Tienes un foro maravilloso.

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