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Sumar y restar polinomios & # 8211 Tutorial y práctica
Cuando sumamos o restamos 2 o más polinomios, primero tenemos que agrupar las mismas variables (argumentos) que tienen los mismos grados y luego sumarlas o restarlas. Por ejemplo, si tenemos hacha 3 en un polinomio (donde a es un número real), tenemos que agruparlo con bx 3 del otro polinomio (donde B también es un número real). Aquí hay un ejemplo con la adición de polinomios: & lt / p & gt
Eliminamos los corchetes y, como tenemos un signo más delante de cada corchete, los signos de los polinomios no cambian.
Agrupamos variables con los mismos grados: el rojo es de segundo grado, y ahí tenemos -1+2, cual es 1 y así es como llegamos x 2 . El azul es para el primer grado donde tenemos 2+4 cual es 6, y el verde es para las constantes (números reales) donde tenemos 3-5 cual es -2.
El principio es el mismo con la resta, solo que debemos tener en cuenta que un menos delante del polinomio cambia todos los signos en ese polinomio. He aquí un ejemplo:
& ltp & gt Eliminamos los corchetes, y como w grados: no hay variable con el tercer grado en el segundo polinomio, así que simplemente escribimos 4x 3 . Agrupamos otras variables de la misma manera cuando agregamos polinomios.
Preguntas de práctica para sumar y restar polinomios
1. Agrega polinomios -3x 2 + 2x + 6 y -x 2 -x-1.
una. -2x 2 + x + 5
B. -4x 2 + x + 5
C. -2x 2 + 3x + 5
D. -4x 2 + 3x + 5
2. Restar polinomios 4x 3 -2x 2-10 y 5 x 3 + x 2 + x + 5.
una. -x 3 -3x 2 -x-15
B. 9x 3 -3x 2 -x-15
C. -x 3 -x 2 + x-5
D. 9x 3 -x 2 + x + 5
División de operaciones con polinomios
3. Dividir x 3-3x 2 + 3x-1 por x-1.
una. x 2 -1
B. x 2 +1
C. x 2 -2x + 1
D. x 2 + 2x + 1
4. Dividir x 2 -y 2 por x-y.
una. x-y
B. x + y
C. xy
D. y-x
Clave de respuesta:
1. B
-4x 2 + x + 5
(-3x 2 + 2x + 6) + (-x 2 -x-1) =
-3x 2 + 2x + 6 -x 2 -x-1 =
-4x 2 + x + 5
Eliminamos los corchetes y agrupamos las variables por grados.
2. A
-x 3 -3x 2 -x-15
(4x 3 -2x 2-10) - (5x 3 + x 2 + x + 5) =
4x 3 -2x 2 -10-5x 3 -x 2 -x-5 =
-x 3 -3x 2 -x-15
Eliminamos los corchetes, pero cambiamos todos los signos en el segundo polinomio debido al signo menos. Ahora agrupamos las variables por grados.
3. C
x 2 -2x + 1
(x 3-3x 2 + 3x-1): (x-1) = x 2 -2x + 1
- (x 3 -x 2)
-2x 2 + 3x-1
- (- 2x 2 + 2x)
x-1
- (x-1)
0
4. B
x + y
(x 2 -y 2): (x-y) = x + y
- (x 2 -xy)
xy-y 2
- (xy-y 2)
0
Escrito por, Brian Stocker MA., Complete Test Preparation Inc.
Fecha de publicación: Jueves, 3 de abril de 2014
Fecha modificada: Lunes, 25 de enero de 2021
Operaciones polinomiales mediante matrices
MATLAB tiene algunas herramientas prácticas basadas en vectores para trabajar con polinomios, que se utilizan en muchos cursos avanzados y aplicaciones de ingeniería. Escriba help polyfun para obtener más información sobre esta categoría de comandos. Usaremos la siguiente notación para describir un polinomio:
f (x) = alxn + a2Xn-1 + a3Xn-2 + & # 8230 + an_Ix2 + ans + an + 1
Este polinomio es una función de x. Su grado u orden es n, la mayor potencia de x que aparece en el polinomio. El a., I = 1,2, & # 8230, n + 1 son los coeficientes del polinomio & # 8217s. Podemos describir un polinomio en MATLAB con. un vector de fila cuyos elementos son el polinomio & # 8217s coeficientes, comenzando con el coeficiente de la
mayor poder de x. Este vector es [al. a2, a3, & # 8230 • an-I, an, an + d. Por ejemplo, el vector [4, & # 8211 8, 7, & # 8211 5) representa el polinomio ax? & # 8211 8 & # 2152 + 7x & # 8211 5. Las raíces polinomiales se pueden encontrar con la función raíz s (a), donde (a) es
la matriz que contiene los coeficientes del polinomio. Por ejemplo, para obtener las raíces de x3 + 12 & # 2152 + 45x +50 = 0, escriba y = root s ([1, 12, 45, 50)). La respuesta (y) es una matriz de columnas que contiene los valores -2, -5, -5.
La función poly (r) calcula los coeficientes del polinomio cuyas raíces están especificadas por la matriz r. El resultado es una matriz de filas que contiene el polinomio & # 8217s coeficientes. (Tenga en cuenta que la función raíz s devuelve su matriz de columnas). Por ejemplo, para encontrar el polinomio cuyas raíces son I y 3 ± 5i, la sesión es
»R = [l, 3 + 5i, 3-5i)
»Poli (r)
ans =
Por lo tanto, el polinomio es x3 & # 8211 7 & # 2152 + 40x & # 8211 34. Los dos comandos podrían haberse combinado en el comando poly ([1, 3+ 5i, 3 & # 8211 5 i)).
Suma y resta de polinomios
Para agregar dos polinomios, agregue las matrices que describen sus coeficientes. Si los polinomios son de diferentes grados, agregue ceros a la matriz de coeficientes del polinomio de menor grado. Por ejemplo, considere
f (x) = 9 y # 2153
& # 8211 5 & # 2152 + 3x + 7
cuya matriz de coeficientes es
f = [9, & # 8211 5, 3, 7] y
g (x) = 6 y # 2152 y # 8211 X + 2
cuya matriz de coeficientes es g = [6, -1, 2]. El grado de g (x) es uno menos que el de f (x). Por lo tanto, para sumar f (x) y g (x), agregamos un cero ag a & # 8220fool & # 8221 MATLAB para pensar que g (x) es un polinomio de tercer grado. Es decir, nosotros
escriba g = [0 g] para obtener [0, 6, -1, 2] para g. Este vector representa g (x) = Ox3 + 6 & # 2152 & # 8211 X + 2. Para sumar los polinomios, escriba h = f + g. El resultado es h = [9,1,2,9], que corresponde ah (x) = 9 & # 2153 + x2 + 2x + 9. La resta es
hecho de manera similar:
Multiplicación y división de polinomios
Para multiplicar un polinomio por un escalar, simplemente multiplique la matriz de coeficientes por ese & # 8216scalar. Por ejemplo, 5th (x) está representado por [45, 5, 10, 45 J.. La multiplicación de polinomios a mano puede ser tediosa y la división de polinomios
lo es aún más, pero estas operaciones se realizan fácilmente con MATLAB. Use la función cony (significa & # 8220convolve & # 8221) para multiplicar polinomios y use la función deconv (deconv significa & # 8220deconvolve & # 8221) para realizar la división sintética. La tabla 2.5-1 resume estas funciones, así como las variables poly, polyval,
y funciones de raíces, que vimos.
Tabla 2.5-1 Funciones polinomiales
El producto de los polinomios f (x) y g (x) es f (x) g (x) = (9 & # 2153 & # 8211 5 & # 2152 + 3x + 7) (6 & # 2152 & # 8211 X + 2) & # 8211
= 54 & # 2155 & # 8211 39 & # 2154 + 41 & # 2153 + 29 & # 2152 & # 8211 X + 14
Dividir f (x) por g (x) usando división sintética da un cociente de f (x) 9 & # 2153 & # 8211 5 & # 2152 + 3x + 7
. = 1,5x & # 8211 0,5833 g (x) = 6 & # 2152 & # 8211 X +2
con un resto de -0,5833x +8,1667. Aquí está la sesión de MATLAB para realizar estas operaciones.
»F = [9, -5,3,7]» g = [6, -I, 2]
»Producto = conv (f, g) producto & # 8217 =
54 -39 41 29 »[cociente ,. resto] =
cociente = 1,5 -0,5833
resto = o 0
-1 14 desconv (f, g)
-0.5833 8.1667
Las funciones conv y deconv- no requieren que los polinomios tengan el mismo grado, por lo que no tuvimos que engañar a MATLAB como hicimos al agregar los polinomios. La tabla 25-1 proporciona la sintaxis general de las funciones cony y deconv.
Trazar polinomios
La función polyval (a, x & # 8217) evalúa un polinomio en valores específicos de su variable independiente x, que puede ser una matriz o un vector. La matriz de coeficientes del polinomio & # 8217s es a. El resultado es del mismo tamaño que x. Por ejemplo, para evaluar el polinomio f (x) = 9 & # 2153 & # 8211 5 & # 2152 + 3x + 7 en los puntos x = 0,2,4, & # 8230, 10,
escriba »a = [9, & # 8211 5,3,7]
»X [0: 2: 10)» f polyval (a, x)
El vector resultante f contiene seis valores que corresponden a / (0). / (2), / (4) / (10). Estos tres comandos se pueden combinar en un solo comando:
»F = poly val ([9, -5,3,7), [0: 2: 10))
La preferencia personal determina si combinar términos de esta manera algunas personas piensan que el soltero. El comando combinado es menos legible que tres comandos separados.
La función poly val es muy útil para trazar polinomios. Para hacer esto, debe definir una matriz que contenga muchos valores de la variable independiente x para obtener una gráfica suave. Por ejemplo, para trazar el polinomio f (x) = 9 & # 2153 & # 8211 5 & # 2152 + 3x +7 para -2: s x: s 5, escribe
»A [9, -5,3,7)» x [-2: 0.01: 5)
»F polyval (a, x)» plot (x, f), xlabel (& # 8216x & # 8217), ylabe1 (& # 8216f (x) & # 8216), grid
Pon a prueba tu comprensión
12.5-1 Utilice MATLAB para obtener las raíces de
Usa la función poli para confirmar tu respuesta.
12.5-2 Utilice MATLAB para confirmar que
T2.5-: 3 Utilice MATLAB para confirmar que
I2x3 + 5 & # 2152 & # 8211 2x +3 = 4x + II
3 y # 2152 -7x +4
5.1: Sumar y restar polinomios
Dados dos números polinomiales representados por una lista enlazada. Escribir una función que sume estas listas signifique sumar los coeficientes que tienen las mismas potencias variables.
Ejemplo:
Complejidad de tiempo: O (m + n) donde myn son el número de nodos en la primera y la segunda lista, respectivamente.
Artículo relacionado: Sumar dos números polinomiales usando matrices
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5.1: Sumar y restar polinomios
En esta sección, veremos brevemente la división de polinomios. Esto es algo que haremos de forma intermitente a lo largo del resto de este capítulo y, por lo tanto, tendremos que poder hacerlo.
Hagamos un ejemplo rápido para recordarnos cuánto tiempo funciona la división de polinomios.
Primero, configuremos el problema.
Recuerde que necesitamos tener los términos escritos con los exponentes en orden decreciente y para asegurarnos de no cometer ningún error agregamos los términos faltantes con un coeficiente cero.
Ahora nos preguntamos qué necesitamos multiplicar (x - 4 ) para obtener el primer término en el primer polinomio. En este caso, es (5 El nuevo polinomio se llama recordatorio. Continuamos el proceso hasta que el grado del resto es menor que el grado de divisor, que es (x - 4 ) en este caso. Entonces, debemos continuar hasta que el grado del resto sea menor que 1. Recuerde que el la licenciatura de un polinomio es el exponente más alto del polinomio. Además, recuerde que una constante se considera un polinomio de grado cero. Por lo tanto, tendremos que continuar hasta que obtengamos una constante en este caso. Aquí está el resto del trabajo para este ejemplo. Bien, ahora que lo hemos hecho, recordemos cómo escribimos la respuesta real. La respuesta es, De hecho, hay otra forma de escribir la respuesta del ejemplo anterior que nos va a resultar mucho más útil, si no por otra razón es más fácil de escribir. Si multiplicamos ambos lados de la respuesta por (x - 4 ) obtenemos, [5 En este ejemplo, dividimos el polinomio por un polinomio lineal en la forma de (x - r ) y nos limitaremos a este tipo de problemas. La división larga funciona para una división mucho más general, pero estos son los tipos de problemas que veremos en las secciones posteriores. De hecho, veremos este tipo de divisiones con tanta frecuencia que nos gustaría una forma más rápida y eficiente de hacerlo. Afortunadamente, hay algo que se llama división sintética que funciona maravillosamente para este tipo de problemas. Para usar la división sintética debemos dividir un polinomio por un término lineal en la forma (x - r ). Si no lo estamos, no funcionará. Rehagamos el problema anterior con la división sintética para ver cómo funciona. De acuerdo, con la división sintética prácticamente ignoramos todas las (x ) y solo trabajamos con los números en los polinomios. Primero, observemos que en este caso r = 4. Ahora tenemos que configurar el proceso. Hay muchas notaciones diferentes para hacer esto. Usaremos la siguiente notación. Los números a la derecha de la barra vertical son los coeficientes de los términos del polinomio escritos en orden de exponente decreciente. También observe que los términos que faltan se reconocen con un coeficiente de cero. Ahora, probablemente será más fácil escribir el proceso y luego explicarlo, así que aquí está. Lo primero que hacemos es colocar el primer número en la línea superior hacia abajo como se muestra. Luego, a lo largo de cada diagonal, multiplicamos el número inicial por (r ) (que es 4 en este caso) y colocamos este número en la segunda fila. Finalmente, sume los números en la primera y segunda fila poniendo los resultados en la tercera fila. Continuamos esto hasta llegar al número final de la primera fila. Ahora, observe que los números en la fila inferior son los coeficientes del polinomio cuadrático de nuestra respuesta escrita en orden de exponente decreciente y el número final en la tercera fila es el resto. La respuesta es la misma que en el primer ejemplo. [5
Haremos algunos ejemplos más de división sintética en un momento. Sin embargo, primero deberíamos generalizar un poco las cosas con el siguiente hecho. Dado un polinomio (P (x) ) con grado al menos 1 y cualquier número (r ) hay otro polinomio (Q (x) ), llamado cociente, con grado uno menor que el grado de (P (x) ) y un número (R ), llamado recordatorio, tal que, [P left (x right) = left ( Tenga en cuenta también que (Q (x) ) y (R ) son únicos, o en otras palabras, solo hay un (Q (x) ) y (R ) que funcionará para un determinado (P (x) ) y (r ). Entonces, con el único ejemplo que hemos hecho hasta este punto, podemos ver que, Ahora, trabajemos un par de problemas más de división sintética. Bien, en este caso debemos tener un poco de cuidado aquí. DEBEMOS dividir por un término en la forma (x - r ) para que esto funcione y ese signo menos es absolutamente necesario. Entonces, primero necesitaremos escribir (x + 2 ) como, y al hacerlo podemos ver que (r = - 2 ). Ahora podemos hacer una división sintética y esta vez colocaremos los resultados y dejaremos que usted verifique todos los números reales. [2 En este caso tenemos (r ) = 6. Aquí está el trabajo. En este caso tenemos. [4 Entonces, ¿por qué estamos haciendo esto? Esa es una pregunta natural en este momento. Una respuesta es que, en el camino en una sección posterior, vamos a querer tener en nuestras manos el (Q (x) ). Por qué querríamos hacer eso, tendremos que esperar una explicación hasta que lleguemos a ese punto. También hay otra razón para esto de la que haremos un uso intensivo más adelante. Primero comencemos con el algoritmo de división. [P left (x right) = left ( Ahora, evaluemos el polinomio (P (x) ) en (r ). Si tuviéramos un polinomio real aquí, podríamos evaluar (P (x) ) directamente, por supuesto, pero usemos el algoritmo de división y veamos qué obtenemos, Eso es conveniente. El resto del algoritmo de división también es el valor del polinomio evaluado en (r ). Entonces, de nuestros ejemplos anteriores ahora conocemos las siguientes evaluaciones de funciones. Este es un método muy rápido para evaluar polinomios. Para polinomios con solo unos pocos términos y / o polinomios con grado "pequeño", esto puede no ser mucho más rápido que evaluarlos directamente. Sin embargo, si hay muchos términos en el polinomio y tienen grados grandes, esto puede ser mucho más rápido y menos propenso a errores que calcularlos directamente. Como se señaló, utilizaremos este hecho en una sección posterior para reducir en gran medida la cantidad de trabajo que tendremos que hacer en esos problemas. Ahora veremos una aplicación de esta habilidad y usaremos el método vertical para resolver. ¡Gran trabajo! Ahora debería estar listo para restar polinomios. ¿Necesita más ayuda con sus estudios de álgebra? ¡Obtenga acceso a cientos de ejemplos de videos y practique problemas con su suscripción! & # Xa0 Haga clic aquí para obtener más información sobre nuestras asequibles opciones de suscripción. ¿No estás listo para suscribirte? & # Xa0 Regístrate en nuestro curso de actualización de preálgebra GRATUITO. Haga clic aquí para obtener más información sobre nuestros cursos electrónicos de clase de álgebra. Para agregar polinomios, puede agrupar términos semejantes y luego encontrar su suma, o puede escribirlos en forma de columna y luego agregarlos. Para restar un polinomio, sume su inverso aditivo, que es el opuesto de cada término en el polinomio. Encuentra cada suma o resta. Organizar términos semejantes en forma de columna y agregar. Siga las reglas para agregar números con signo. B (12x + 7y) - (- x + 2y) Encuentre el inverso aditivo de - x + 2y. Luego agrupe los términos similares y agregue. El inverso aditivo de - x + 2y es x - 2y. Por ejemplo, la tendencia polinómica sería aparente en el gráfico que muestra la relación entre la ganancia de un nuevo producto y la cantidad de años que el producto ha estado disponible. Es probable que la tendencia aumente cerca del comienzo del gráfico, alcance un pico en el medio y luego una tendencia a la baja cerca del final. Si la empresa renueva el producto al final de su ciclo de vida, es de esperar que esta tendencia se repita. Este tipo de gráfico, que tendría varias ondas en el gráfico, se consideraría una tendencia polinomial. Un ejemplo de tal tendencia polinomial se puede ver en el gráfico de ejemplo a continuación: Antes de combinar o hacer algo con su incertidumbre, debe determinar la incertidumbre en su medición original. Esto a menudo implica algún juicio subjetivo. Por ejemplo, si está midiendo el diámetro de una bola con una regla, debe pensar en la precisión con la que realmente puede leer la medida. ¿Está seguro de que está midiendo desde el borde de la pelota? ¿Con qué precisión puedes leer la regla? Estos son los tipos de preguntas que debe hacer al estimar incertidumbres. En algunos casos, puede estimar fácilmente la incertidumbre. Por ejemplo, si pesa algo en una balanza que mide hasta el 0,1 g más cercano, puede estimar con seguridad que hay una incertidumbre de ± 0,05 g en la medición. Esto se debe a que una medida de 1,0 g podría ser desde 0,95 g (redondeado hacia arriba) hasta poco menos de 1,05 g (redondeado hacia abajo). En otros casos, tendrá que estimarlo lo mejor posible sobre la base de varios factores. Personajes importantes: Por lo general, las incertidumbres absolutas solo se citan con una cifra significativa, excepto ocasionalmente cuando la primera cifra es 1. Debido al significado de una incertidumbre, no tiene sentido citar su estimación con más precisión que su incertidumbre. Por ejemplo, una medida de 1,543 ± 0,02 m no tiene ningún sentido, porque no está seguro del segundo decimal, por lo que el tercero no tiene sentido. El resultado correcto para cotizar es 1,54 m ± 0,02 m. Sumar y restar múltiplos y casi múltiplos de 10: Partición, puenteo y amplificador contando: Sumar varios números: Otras estrategias mentales: ¡Necesitamos tu ayuda! 
Algoritmo de división
Comentarios
MIEMBROS DEL CURSO ELECTRÓNICO CLASE DE ÁLGEBRA
Sumar y restar polinomios
Ejemplo del mundo real de datos de tendencias polinomiales
Estimación de la incertidumbre en las mediciones
5.1: Sumar y restar polinomios
(Shirley Lehmann)
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Ver el vídeo: Sumas. Aprenderas a sumar. para niños de 2 a 5 años (Julio 2022).
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Está usted equivocado. Me ofrezco a discutirlo. Escríbeme por MP, nosotros nos encargamos.
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