12.1: Vectores en el espacio

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Objetivos de aprendizaje

• Describe matemáticamente el espacio tridimensional.
• Ubica puntos en el espacio usando coordenadas.
• Escribe la fórmula de la distancia en tres dimensiones.
• Escribe las ecuaciones para planos y esferas simples.
• Realice operaciones vectoriales en ( mathbb {R} ^ {3} ).

Los vectores son herramientas útiles para resolver problemas bidimensionales. Para expandir el uso de vectores a aplicaciones más realistas, es necesario crear un marco para describir el espacio tridimensional. Por ejemplo, aunque un mapa bidimensional es una herramienta útil para navegar de un lugar a otro, en algunos casos la topografía del terreno es importante. ¿Tu ruta planificada pasa por las montañas? ¿Tienes que cruzar un río? Para apreciar completamente el impacto de estas características geográficas, debe utilizar tres dimensiones. Esta sección presenta una extensión natural del plano de coordenadas cartesiano bidimensional en tres dimensiones.

Sistemas de coordenadas tridimensionales

Como hemos aprendido, el sistema de coordenadas rectangulares bidimensionales contiene dos ejes perpendiculares: el eje horizontal (x ) y el eje vertical (y ). Podemos agregar una tercera dimensión, el eje (z ) -, que es perpendicular tanto al eje (x ) - como al eje (y ) -. A este sistema lo llamamos sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales. Representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

Definición: Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales

El sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales consta de tres ejes perpendiculares: el eje (x ) -, el eje (y ) - y el eje (z ) -. Debido a que cada eje es una recta numérica que representa todos los números reales en (ℝ ), el sistema tridimensional a menudo se denota por (ℝ ^ 3 ).

En la Figura ( PageIndex {1a} ), el eje (z ) positivo se muestra sobre el plano que contiene los ejes (x ) y (y ). El eje positivo (x ) - aparece a la izquierda y el eje positivo (y ) - está a la derecha. Una pregunta natural es: ¿Cómo se determinó este arreglo? El sistema que se muestra sigue el regla de la mano derecha. Si tomamos nuestra mano derecha y alineamos los dedos con el eje positivo (x ), entonces doblamos los dedos para que apunten en la dirección del eje positivo (y ), nuestro pulgar apunta en la dirección del eje (z ) positivo (Figura ( PageIndex {1b} )). En este texto, siempre trabajamos con sistemas de coordenadas configurados de acuerdo con la regla de la mano derecha. Algunos sistemas siguen una regla de la mano izquierda, pero la regla de la mano derecha se considera la representación estándar.

En dos dimensiones, describimos un punto en el plano con las coordenadas ((x, y) ). Cada coordenada describe cómo se alinea el punto con el eje correspondiente. En tres dimensiones, una nueva coordenada, (z ), se añade para indicar la alineación con el eje (z ): ((x, y, z) ). Un punto en el espacio se identifica mediante las tres coordenadas (Figura ( PageIndex {2} )). Para trazar el punto ((x, y, z) ), vaya (x ) unidades a lo largo del eje (x ) -, luego (y ) unidades en la dirección de (y ) -eje, luego (z ) unidades en la dirección del eje (z ) -.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): ubicación de puntos en el espacio

Dibuja el punto ((1, −2,3) ) en un espacio tridimensional.

Solución

Para dibujar un punto, comience dibujando tres lados de un prisma rectangular a lo largo de los ejes de coordenadas: una unidad en la dirección (x ) positiva, (2 ) unidades en la dirección (y ) negativa y ( 3 ) unidades en la dirección (z ) positiva. Complete el prisma para trazar el punto (Figura).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Dibuja el punto ((- 2,3, −1) ) en un espacio tridimensional.

Insinuación

Comience dibujando los ejes de coordenadas. por ejemplo, Figura ( PageIndex {3} ). Luego dibuja un prisma rectangular para ayudar a encontrar el punto en el espacio.

Respuesta

En el espacio bidimensional, el plano de coordenadas está definido por un par de ejes perpendiculares. Estos ejes nos permiten nombrar cualquier ubicación dentro del plano. En tres dimensiones, definimos planos de coordenadas por los ejes de coordenadas, al igual que en dos dimensiones. Ahora hay tres ejes, por lo que hay tres pares de ejes que se cruzan. Cada par de ejes forma un plano de coordenadas: el plano (xy ) -, el plano (xz ) - y el plano (yz ) - (Figura ( PageIndex {3} )). Definimos formalmente el plano (xy ) - como el siguiente conjunto: ( {(x, y, 0): x, y∈ℝ }. ) De manera similar, el plano (xz ) - y el (yz ) - el plano se define como ( {(x, 0, z): x, z∈ℝ } ) y ( {(0, y, z): y, z∈ℝ }, ) respectivamente.

Para visualizar esto, imagina que estás construyendo una casa y estás parado en una habitación con solo dos de las cuatro paredes terminadas. (Suponga que las dos paredes terminadas están adyacentes entre sí.) Si se para de espaldas a la esquina donde se juntan las dos paredes terminadas, mirando hacia afuera en la habitación, el piso es el plano (xy ), la pared a su derecha es el plano (xz ) - y la pared a su izquierda es el plano (yz ) -.

En dos dimensiones, los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. De manera similar, los planos de coordenadas dividen el espacio entre ellos en ocho regiones alrededor del origen, llamadas octantes. Los octantes llenan (ℝ ^ 3 ) de la misma manera que los cuadrantes llenan (ℝ ^ 2 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

La mayor parte del trabajo en el espacio tridimensional es una cómoda extensión de los conceptos correspondientes en dos dimensiones. En esta sección, usamos nuestro conocimiento de los círculos para describir esferas, luego expandimos nuestra comprensión de los vectores a tres dimensiones. Para lograr estos objetivos, comenzamos adaptando la fórmula de la distancia al espacio tridimensional.

Si dos puntos se encuentran en el mismo plano de coordenadas, entonces es sencillo calcular la distancia entre ellos. Decimos que la distancia (d ) entre dos puntos ((x_1, y_1) ) y ((x_2, y_2) ) en el X (y ) - el plano de coordenadas viene dado por la fórmula

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

La fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio es una extensión natural de esta fórmula.

La distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia (d ) entre los puntos ((x_1, y_1, z_1) ) y ((x_2, y_2, z_2) ) viene dada por la fórmula

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. label {distanceForm} ]

La demostración de este teorema se deja como ejercicio. (Sugerencia: primero encuentre la distancia (d_1 ) entre los puntos ((x_1, y_1, z_1) ) y ((x_2, y_2, z_1) ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).)

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Distancia en el espacio

Calcula la distancia entre los puntos (P_1 = (3, −1,5) ) y (P_2 = (2,1, −1). )

Solución

Sustituya valores directamente en la fórmula de la distancia (Ecuación ref {distanciaFormulario}):

[ begin {align *} d (P_1, P_2) & = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [4pt] & = sqrt {(2−3) ^ 2 + (1 - (- 1)) ^ 2 + (- 1−5) ^ 2} [4pt] & = sqrt {(- 1) ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {41}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra la distancia entre los puntos (P_1 = (1, −5,4) ) y (P_2 = (4, −1, −1) ).

Insinuación

(d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} )

Respuesta

(5 sqrt {2} )

Antes de pasar a la siguiente sección, veamos en qué se diferencia (ℝ ^ 3 ) de (ℝ ^ 2 ). Por ejemplo, en (ℝ ^ 2 ), las líneas que no son paralelas siempre deben cruzarse. Este no es el caso en (ℝ ^ 3 ). Por ejemplo, considere la línea que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ). Estas dos líneas no son paralelas ni se cruzan.

Figura ( PageIndex {7} ): Estas dos líneas no son paralelas, pero aún así no se cruzan.

También puede tener círculos que estén interconectados pero que no tengan puntos en común, como en la Figura ( PageIndex {8} ).

Figura ( PageIndex {8} ): Estos círculos están interconectados, pero no tienen puntos en común.

Tenemos mucha más flexibilidad trabajando en tres dimensiones que si nos quedamos con solo dos dimensiones.

Escribir ecuaciones en (ℝ ^ 3 )

Ahora que podemos representar puntos en el espacio y encontrar la distancia entre ellos, podemos aprender a escribir ecuaciones de objetos geométricos como líneas, planos y superficies curvas en (ℝ ^ 3 ). Primero, comenzamos con una ecuación simple. Compara las gráficas de la ecuación (x = 0 ) en (ℝ ), (ℝ ^ 2 ) y (ℝ ^ 3 ) (Figura ( PageIndex {9} )). A partir de estos gráficos, podemos ver que la misma ecuación puede describir un punto, una línea o un plano.

En el espacio, la ecuación (x = 0 ) describe todos los puntos ((0, y, z) ). Esta ecuación define el plano (yz ). De manera similar, el plano (xy ) - contiene todos los puntos de la forma ((x, y, 0) ). La ecuación (z = 0 ) define el plano (xy ) - y la ecuación (y = 0 ) describe el plano (xz ) - (Figura ( PageIndex {10} )).

Comprender las ecuaciones de los planos de coordenadas nos permite escribir una ecuación para cualquier plano que sea paralelo a uno de los planos de coordenadas. Cuando un plano es paralelo al plano (xy ) -, por ejemplo, el (z )-La coordenada de cada punto del plano tiene el mismo valor constante. Solo el (x ) - y (y ) -las coordenadas de los puntos en ese plano varían de un punto a otro.

Ecuaciones de planos paralelos a planos coordinados

1. El plano en el espacio que es paralelo al plano (xy ) - y contiene el punto ((a, b, c) ) se puede representar mediante la ecuación (z = c ).
2. El plano en el espacio que es paralelo al plano (xz ) - y contiene el punto ((a, b, c) ) se puede representar mediante la ecuación (y = b ).
3. El plano en el espacio que es paralelo al plano (yz ) - y contiene el punto ((a, b, c) ) se puede representar mediante la ecuación (x = a ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): escribir ecuaciones de planos paralelos a planos de coordenadas

1. Escribe una ecuación del plano que pasa por el punto ((3,11,7) ) que es paralelo al plano (yz ) -.
2. Encuentra una ecuación del plano que pasa por los puntos ((6, −2,9), (0, −2,4), ) y ((1, −2, −3). )

Solución

1. Cuando un plano es paralelo al plano (yz ), solo el (y ) - y (z ) - las coordenadas pueden variar. La coordenada (x ) - tiene el mismo valor constante para todos los puntos en este plano, por lo que este plano se puede representar mediante la ecuación (x = 3 ).
2. Cada uno de los puntos ((6, −2,9), (0, −2,4), ) y ((1, −2, −3) ) tiene el mismo (y ) -coordinar. Este plano se puede representar mediante la ecuación (y = −2 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Escribe una ecuación del plano que pasa por el punto ((1, −6, −4) ) que es paralelo al plano (xy ) -.

Insinuación

Si un plano es paralelo al plano (xy ) -, el z-las coordenadas de los puntos en ese plano no varían.

Respuesta

(z = −4 )

Como hemos visto, en (ℝ ^ 2 ) la ecuación (x = 5 ) describe la línea vertical que pasa por el punto ((5,0) ). Esta línea es paralela al eje (y ) -. En una extensión natural, la ecuación (x = 5 ) en (ℝ ^ 3 ) describe el plano que pasa por el punto ((5,0,0) ), que es paralelo al (yz ) -avión. Otra extensión natural de una ecuación familiar se encuentra en la ecuación de una esfera.

Definición: Esfera

Una esfera es el conjunto de todos los puntos en el espacio equidistantes de un punto fijo, el centro de la esfera (Figura ( PageIndex {11} )), al igual que el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes del centro representa un círculo. En una esfera, como en un círculo, la distancia desde el centro hasta un punto de la esfera se llama radio.

La ecuación de un círculo se deriva usando la fórmula de la distancia en dos dimensiones. De la misma manera, la ecuación de una esfera se basa en la fórmula tridimensional para la distancia.

Ecuación estándar de una esfera

La esfera con centro ((a, b, c) ) y radio (r ) se puede representar mediante la ecuación

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. ]

Esta ecuación se conoce como ecuación estándar de una esfera.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): encontrar una ecuación de una esfera

Encuentre la ecuación estándar de la esfera con centro ((10,7,4) ) y punto ((- 1,3, −2) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).

Figura ( PageIndex {12} ): La esfera centrada en ((10,7,4) ) que contiene el punto ((- 1,3, −2). )

Solución

Usa la fórmula de la distancia para encontrar el radio (r ) de la esfera:

[ begin {align *} r & = sqrt {(- 1−10) ^ 2 + (3−7) ^ 2 + (- 2−4) ^ 2} [4pt] & = sqrt { (−11) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {173} end {align *} ]

La ecuación estándar de la esfera es

[(x − 10) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 173. sin número]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra la ecuación estándar de la esfera con centro ((- 2,4, −5) ) que contiene el punto ((4,4, −1). )

Insinuación

Primero usa la fórmula de la distancia para encontrar el radio de la esfera.

Respuesta

[(x + 2) ^ 2 + (y − 4) ^ 2 + (z + 5) ^ 2 = 52 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): encontrar la ecuación de una esfera

Sea (P = (- 5,2,3) ) y (Q = (3,4, −1) ), y suponga que el segmento de recta ( overline {PQ} ) forma el diámetro de una esfera (Figura ( PageIndex {13} )). Encuentra la ecuación de la esfera.

Solución:

Dado que ( overline {PQ} ) es un diámetro de la esfera, sabemos que el centro de la esfera es el punto medio de ( overline {PQ} ). Entonces,

[C = left ( dfrac {−5 + 3} {2}, dfrac {2 + 4} {2}, dfrac {3 + (- 1)} {2} right) = (- 1 , 3,1). sin número]

Además, sabemos que el radio de la esfera es la mitad de la longitud del diámetro. Esto da

[ begin {align *} r & = dfrac {1} {2} sqrt {(- 5−3) ^ 2 + (2−4) ^ 2 + (3 - (- 1)) ^ 2} [4pt] & = dfrac {1} {2} sqrt {64 + 4 + 16} [4pt] & = sqrt {21} end {align *} ]

Entonces, la ecuación de la esfera es ((x + 1) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 21. )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra la ecuación de la esfera con diámetro ( overline {PQ} ), donde (P = (2, −1, −3) ) y (Q = (- 2,5, −1). )

Insinuación

Encuentre primero el punto medio del diámetro.

Respuesta

[x ^ 2 + (y − 2) ^ 2 + (z + 2) ^ 2 = 14 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Describe el conjunto de puntos que satisface ((x − 4) (z − 2) = 0, ) y grafica el conjunto.

Solución

Debemos tener (x − 4 = 0 ) o (z − 2 = 0 ), por lo que el conjunto de puntos forma los dos planos (x = 4 ) y (z = 2 ) (Figura ( PageIndex {14} )).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Describe el conjunto de puntos que satisface ((y + 2) (z − 3) = 0, ) y grafica el conjunto.

Insinuación

Uno de los factores debe ser cero.

Respuesta

El conjunto de puntos forma los dos planos (y = −2 ) y (z = 3 ).

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Describe el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface ((x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2 = 4, ) y grafica el conjunto.

Solución

Las coordenadas (x ) - y (y ) - forman un círculo en el plano (xy ) - de radio (2 ), centrado en ((2,1) ). Como no hay restricción en la coordenada (z ) -, el resultado tridimensional es un cilindro circular de radio (2 ) centrado en la línea con (x = 2 ) y (y = 1 ). El cilindro se extiende indefinidamente en la dirección (z ) - (Figura ( PageIndex {15} )).

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Describe el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface (x ^ 2 + (z − 2) ^ 2 = 16 ) y haz una gráfica de la superficie.

Insinuación

Piense en lo que sucede si grafica esta ecuación en dos dimensiones en el plano (xz ).

Respuesta

Un cilindro de radio 4 centrado en la línea con (x = 0 ) y (z = 2 ).

Trabajar con vectores en (ℝ ^ 3 )

Al igual que los vectores bidimensionales, los vectores tridimensionales son cantidades con magnitud y dirección, y se representan mediante segmentos de línea dirigidos (flechas). Con un vector tridimensional, usamos una flecha tridimensional.

Los vectores tridimensionales también se pueden representar en forma de componentes. La notación ( vecs {v} = ⟨x, y, z⟩ ) es una extensión natural del caso bidimensional, que representa un vector con el punto inicial en el origen, ((0,0,0) ) y el punto terminal ((x, y, z) ). El vector cero es ( vecs {0} = ⟨0,0,0⟩ ). Entonces, por ejemplo, el vector tridimensional ( vecs {v} = ⟨2,4,1⟩ ) está representado por un segmento de línea dirigido desde el punto ((0,0,0) ) al punto ( (2,4,1) ) (Figura ( PageIndex {16} )).

La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de forma análoga al caso bidimensional. Si ( vecs {v} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) y ( vecs {w} = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) son vectores y (k ) es un escalar, entonces

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ ]

y

[k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩. ]

Si (k = −1, ) entonces (k vecs {v} = (- 1) vecs {v} ) se escribe como (- vecs {v} ) y se define la resta de vectores por ( vecs {v} - vecs {w} = vecs {v} + (- vecs {w}) = vecs {v} + (- 1) vecs {w} ).

Los vectores unitarios estándar también se extienden fácilmente a tres dimensiones, ( hat { mathbf i} = ⟨1,0,0⟩ ), ( hat { mathbf j} = ⟨0,1,0⟩ ) y ( hat { mathbf k} = ⟨0,0,1⟩ ), y los usamos de la misma manera que usamos los vectores unitarios estándar en dos dimensiones. Por tanto, podemos representar un vector en (ℝ ^ 3 ) de las siguientes formas:

[ vecs {v} = ⟨x, y, z⟩ = x hat { mathbf i} + y hat { mathbf j} + z hat { mathbf k} ].

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Representaciones vectoriales

Sea ( vecd {PQ} ) el vector con el punto inicial (P = (3,12,6) ) y el punto terminal (Q = (- 4, −3,2) ) como se muestra en Figura ( PageIndex {17} ). Exprese ( vecd {PQ} ) tanto en forma de componentes como usando vectores unitarios estándar.

Solución

En forma de componente,

[ begin {align *} vecd {PQ} = ⟨x_2 − x_1, y_2 − y_1, z_2 − z_1⟩ [4pt] = ⟨− 4−3, −3−12,2−6⟩ [4pt] = ⟨− 7, −15, −4⟩. end {alinear *} ]

En forma de unidad estándar,

[ vecd {PQ} = - 7 hat { mathbf i} −15 hat { mathbf j} −4 hat { mathbf k}. sin número]

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Sea (S = (3,8,2) ) y (T = (2, −1,3) ). Exprese ( vec {ST} ) en forma de componente y en forma de unidad estándar.

Insinuación

Escriba ( vecd {ST} ) en forma de componente primero. (T ) es el punto terminal de ( vecd {ST} ).

Respuesta

( vecd {ST} = ⟨− 1, −9,1⟩ = - hat { mathbf i} −9 hat { mathbf j} + hat { mathbf k} )

Como se describió anteriormente, los vectores en tres dimensiones se comportan de la misma manera que los vectores en un plano. La interpretación geométrica de la suma de vectores, por ejemplo, es la misma en el espacio bidimensional y tridimensional (Figura ( PageIndex {18} )).

Ya hemos visto cómo algunas de las propiedades algebraicas de los vectores, como la suma de vectores y la multiplicación escalar, pueden extenderse a tres dimensiones. Otras propiedades se pueden ampliar de forma similar. Se resumen aquí para nuestra referencia.

Propiedades de los vectores en el espacio

Sea ( vecs {v} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) y ( vecs {w} = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) vectores y sea (k ) un escalar.

• Multiplicación escalar: [k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩ ]
• Suma de vectores: [ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ + ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ ]
• Resta de vectores: [ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 − x_2, y_1 − y_2, z_1 − z_2⟩ ]
• Magnitud vectorial: [ | vecs {v} | = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} ]
• Vector unitario en la dirección de ( vecs {v} ): [ dfrac {1} { | vecs {v} |} vecs {v} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨X_1, y_1, z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { | vecs {v} |}, dfrac {y_1} { | vecs {v} |}, dfrac {z_1} { | vecs {v} |}⟩, quad text {if} , vecs {v} ≠ vecs {0} ]

Hemos visto que la suma de vectores en dos dimensiones satisface las propiedades inversas conmutativa, asociativa y aditiva. Estas propiedades de las operaciones vectoriales también son válidas para vectores tridimensionales. La multiplicación escalar de vectores satisface la propiedad distributiva y el vector cero actúa como una identidad aditiva. Las pruebas para verificar estas propiedades en tres dimensiones son extensiones sencillas de las pruebas en dos dimensiones.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): operaciones vectoriales en tres dimensiones

Sea ( vecs {v} = ⟨− 2,9,5⟩ ) y ( vecs {w} = ⟨1, −1,0⟩ ) (Figura ( PageIndex {19} )) . Encuentra los siguientes vectores.

1. (3 vecs {v} −2 vecs {w} )
2. (5 | vecs {w} | )
3. ( | 5 vecs {w} | )
4. Un vector unitario en la dirección de ( vecs {v} )

Solución

una. Primero, use la multiplicación escalar de cada vector, luego reste:

[ begin {align *} 3 vecs {v} −2 vecs {w} = 3⟨ − 2,9,5⟩ − 2⟨1, −1,0⟩ [4pt] = ⟨− 6 , 27,15⟩ − ⟨2, −2,0⟩ [4pt] = ⟨− 6−2,27 - (- 2), 15−0⟩ [4pt] = ⟨− 8,29,15 ⟩. end {alinear *} ]

B. Escribe la ecuación para la magnitud del vector, luego usa la multiplicación escalar:

[5 | vecs {w} | = 5 sqrt {1 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 5 sqrt {2}. sin número]

C. Primero, use la multiplicación escalar, luego encuentre la magnitud del nuevo vector. Tenga en cuenta que el resultado es el mismo que para la parte b:

[ | 5 vecs {w} | = ∥⟨5, −5,0⟩∥ = sqrt {5 ^ 2 + (- 5) ^ 2 + 0 ^ 2} = sqrt {50} = 5 sqrt {2} nonumber ]

D. Recuerde que para encontrar un vector unitario en dos dimensiones, dividimos un vector por su magnitud. El procedimiento es el mismo en tres dimensiones:

[ begin {align *} dfrac { vecs {v}} { | vecs {v} |} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨− 2,9 , 5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {(- 2) ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2}} ⟨− 2,9,5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {110}} ⟨− 2,9,5⟩ [4pt] = ⟨ dfrac {−2} { sqrt {110}}, dfrac {9} { sqrt {110} }, dfrac {5} { sqrt {110}}⟩. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

Sea ( vecs {v} = ⟨− 1, −1,1⟩ ) y ( vecs {w} = ⟨2,0,1⟩ ). Encuentra un vector unitario en la dirección de (5 vecs {v} +3 vecs {w}. )

Insinuación

Comience escribiendo (5 vecs {v} +3 vecs {w} ) en forma de componente.

Respuesta

(⟨ Dfrac {1} {3 sqrt {10}}, - dfrac {5} {3 sqrt {10}}, dfrac {8} {3 sqrt {10}}⟩ )

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Lanzar un pase hacia adelante

Un mariscal de campo está parado en el campo de fútbol preparándose para lanzar un pase. Su receptor está parado a 20 yardas en el campo y 15 yardas a la izquierda del mariscal de campo. El mariscal de campo lanza la pelota a una velocidad de 60 mph hacia el receptor en un ángulo hacia arriba de (30 ° ) (ver la siguiente figura). Escribe el vector de velocidad inicial de la pelota, ( vecs {v} ), en forma de componentes.

Solución

Lo primero que queremos hacer es encontrar un vector en la misma dirección que el vector de velocidad de la pelota. Luego escalamos el vector de manera apropiada para que tenga la magnitud correcta. Considere el vector ( vecs {w} ) que se extiende desde el brazo del mariscal de campo hasta un punto directamente sobre la cabeza del receptor en un ángulo de (30 ° ) (vea la siguiente figura). Este vector tendría la misma dirección que ( vecs {v} ), pero puede que no tenga la magnitud correcta.

El receptor está a 20 yardas por el campo y 15 yardas a la izquierda del mariscal de campo. Por lo tanto, la distancia en línea recta desde el mariscal de campo hasta el receptor es

Dist de QB al receptor (= sqrt {15 ^ 2 + 20 ^ 2} = sqrt {225 + 400} = sqrt {625} = 25 ) yd.

Tenemos ( dfrac {25} { | vecs {w} |} = cos 30 °. ) Entonces la magnitud de ( vecs {w} ) viene dada por

( | vecs {w} | = dfrac {25} { cos 30 °} = dfrac {25⋅2} { sqrt {3}} = dfrac {50} { sqrt {3} } ) yd

y la distancia vertical desde el receptor hasta el punto terminal de ( vecs {w} ) es

Vert dist desde el receptor al punto terminal de ( vecs {w} = | vecs {w} | sin 30 ° = dfrac {50} { sqrt {3}} ⋅ dfrac {1} {2} = dfrac {25} { sqrt {3}} ) yd.

Entonces ( vecs {w} = ⟨20,15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ ), y tiene la misma dirección que ( vecs {v} ).

Sin embargo, recuerde que calculamos la magnitud de ( vecs {w} ) para que sea ( | vecs {w} | = dfrac {50} { sqrt {3}} ), y ( vecs {v} ) tiene una magnitud (60 ) mph. Entonces, necesitamos multiplicar el vector ( vecs {w} ) por una constante apropiada, (k ). Queremos encontrar un valor de (k ) de modo que (∥k vecs {w} ∥ = 60 ) mph. Tenemos

( | k vecs {w} | = k | vecs {w} | = k dfrac {50} { sqrt {3}} ) mph,

entonces queremos

(k dfrac {50} { sqrt {3}} = 60 )

(k = dfrac {60 sqrt {3}} {50} )

(k = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ).

Luego

( vecs {v} = k vecs {w} = k⟨20,15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ⟨20 , 15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = ⟨24 sqrt {3}, 18 sqrt {3}, 30⟩ ).

Comprobemos dos veces que ( | vecs {v} | = 60. ) Tenemos

( | vecs {v} | = sqrt {(24 sqrt {3}) ^ 2+ (18 sqrt {3}) ^ 2+ (30) ^ 2} = sqrt {1728 + 972 +900} = sqrt {3600} = 60 ) mph.

Entonces, hemos encontrado los componentes correctos para ( vecs {v} ).

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Suponga que el mariscal de campo y el receptor están en el mismo lugar que en el ejemplo anterior. Esta vez, sin embargo, el mariscal de campo lanza la pelota a una velocidad de (40 ) mph y un ángulo de (45 ° ). Escribe el vector de velocidad inicial de la pelota, ( vecs {v} ), en forma de componentes.

Insinuación

Siga el proceso utilizado en el ejemplo anterior.

Respuesta

(v = ⟨16 sqrt {2}, 12 sqrt {2}, 20 sqrt {2}⟩ )

Conceptos clave

• El sistema de coordenadas tridimensional se construye alrededor de un conjunto de tres ejes que se cruzan en ángulo recto en un solo punto, el origen. Los triples ordenados ((x, y, z) ) se utilizan para describir la ubicación de un punto en el espacio.
• La distancia (d ) entre los puntos ((x_1, y_1, z_1) ) y ((x_2, y_2, z_2) ) viene dada por la fórmula [d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2+ (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. Nonumber ]
• En tres dimensiones, las ecuaciones (x = a, y = b, ) y (z = c ) describen planos que son paralelos a los planos de coordenadas.
• La ecuación estándar de una esfera con centro ((a, b, c) ) y radio (r ) es [(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. sin número ]
• En tres dimensiones, como en dos, los vectores se expresan comúnmente en forma de componentes, (v = ⟨x, y, z⟩ ), o en términos de los vectores unitarios estándar, (xi + yj + zk. )
• Las propiedades de los vectores en el espacio son una extensión natural de las propiedades de los vectores en un plano. Sea (v = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) y (w = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) vectores y sea (k ) un escalar.

Multiplicación escalar:

[(k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩ nonumber ]

Suma de vectores:

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ + ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ nonumber ]

Resta de vectores:

[ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 − x_2, y_1 − y_2, z_1 − z_2⟩ nonumber ]

Magnitud del vector:

[‖ Vecs {v} ‖ = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} nonumber ]

Vector unitario en la dirección de ( vecs {v} ):

[ dfrac { vecs {v}} {‖ vecs {v} ‖} = dfrac {1} {‖ vecs {v} ‖} ⟨x_1, y_1, z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { ‖ Vecs {v} ‖}, dfrac {y_1} {‖ vecs {v} ‖}, dfrac {z_1} {‖ vecs {v} ‖}⟩, vecs {v} ≠ vecs {0 } sin número]

Ecuaciones clave

Distancia entre dos puntos en el espacio:

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} ]

Esfera con centro ((a, b, c) ) y radio (r ):

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ]

Glosario

Plano coordinado

un plano que contiene dos de los tres ejes de coordenadas en el sistema de coordenadas tridimensional, nombrado por los ejes que contiene: el (xy ) - plano, (xz ) - plano, o el (yz ) - plano

regla de la mano derecha

una forma común de definir la orientación del sistema de coordenadas tridimensional; cuando la mano derecha se curva alrededor del eje (z ) - de tal manera que los dedos se curvan desde el eje (x ) - positivo al eje (y ) - positivo, el pulgar apunta en la dirección del eje (z ) positivo

octantes

las ocho regiones del espacio creadas por los planos de coordenadas

esfera

el conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto dado conocido como el centrar

ecuación estándar de una esfera

((x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ) describe una esfera con centro ((a, b, c) ) y radio (r )

sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales

un sistema de coordenadas definido por tres líneas que se cruzan en ángulo recto; cada punto en el espacio está descrito por un triple ordenado ((x, y, z) ) que traza su ubicación relativa a los ejes definitorios

MADISON, Wisconsin, 31 de julio de 2020 / PRNewswire / - Trends Exchange detalla que la New Space Race será suplantada durante la próxima década a través de proyectos de infraestructura espacial, distribución espacial e inversión continua en aplicaciones de tecnología espacial.

Boeing Market Outlook proyecta 2,5 billones de dólares en oportunidades de defensa y espacio durante la próxima década.

Capital espacial informa un total de $ 12.1 mil millones invertidos en compañías espaciales en el primer y segundo trimestre de 2020, de los cuales $ 303 millones se asignaron a inversiones en la etapa inicial.

A menudo damos por sentado que las inversiones espaciales son más que proyectos disparados a Marte y cápsulas de cohetes de aterrizaje automático. No olvidemos que la inversión espacial nos trajo el GPS. Y sin GPS, no tenemos Uber, Google Maps ni Pokémon Go. Sin mencionar lo crítico que está demostrando ser el GPS en la atención médica. - Correll Lashbrook, Fondo de Crecimiento de Lashbrook

El proyecto Starlink de SpaceX está trabajando para crear una Internet satelital global con más de 42,000 satélites de órbita baja, proporcionando a las áreas rurales y subdesarrolladas Internet de alta velocidad.

Del mismo modo, SpaceMobile está creando una red ultrapotente que proporcionará conectividad móvil a velocidades 4G / 5G en todo el planeta: tierra, mar y en vuelo.

¿Cómo cambia el mercado global cuando podemos transmitir en vivo toda la cumbre del monte. El Everest y los agricultores rurales de Chile pueden participar en el comercio por Internet?

La obtención de imágenes por satélite comercial es otra área de inversión espacial en aceleración. Empresas como Picterra, Planet Labs y SkyWatch ofrecen plataformas donde cualquiera puede acceder y entrenar su propia IA para detectar objetos y patrones en imágenes satelitales. Literalmente, el propietario de un estacionamiento puede contar el número de autos en su estacionamiento desde el espacio.

Space Capital informa que desde 2004, más de 862 empresas espaciales han recibido financiación, y aproximadamente el 85% de los dólares de inversión provienen de los últimos 6 años.

Estamos en medio de la Nueva Carrera Espacial. Y esta vez el impacto comercial se hará sentir en todas partes.

El jueves 6 de agosto a la 1:30 pm EST, Trends Exchange presentará un Hora feliz virtual para Space Angels & # 39 2020 State of the Industry Call.

Trends Exchange y Correll Lashbrook brindan comentarios sobre las macro tendencias en la industria espacial, señales de mercado del segundo trimestre, desarrollos clave e hitos de la industria, y conocimientos clave de Space Angels.

Aquí hay una respuesta sin usar símbolos.

La diferencia es precisamente que entre localización y desplazamiento.

• Los puntos son ubicaciones en el espacio.
• Los vectores son desplazamientos en el espacio.

Una analogía con el tiempo funciona bien.

• Las horas (también llamadas instantáneas o fechas) son ubicaciones en el tiempo.
• Las duraciones son desplazamientos en el tiempo.

• 4:00 p.m., mediodía, medianoche, 12:20, 23:11, etc.son veces
• +3 horas, -2.5 horas, +17 segundos, etc., son duraciones

Observe cómo las duraciones pueden ser positivas o negativas, esto les da "dirección" además de su valor escalar puro. Ahora, la mejor manera de distinguir mentalmente tiempos y duraciones es por las operaciones que soportan.

• Dado un tiempo, puede agregar una duración para obtener un nuevo tiempo (3:00 + 2 horas = 5:00)
• Puede restar dos veces para obtener una duración (7:00 - 1:00 = 6 horas)
• Puede agregar dos duraciones (3 horas, 20 minutos + 6 horas, 50 minutos = 10 horas, 10 minutos)

Pero no puedes sumar dos veces (3:15 a.m. + mediodía =.)

Llevemos la analogía a hablar ahora del espacio:

• $ (3,5) $, $ (- 2.25,7) $, $ (0, -1) $, etc.son puntos
• $ langle 4, -5 rangle $ es un vector, lo que significa 4 unidades al este y luego 5 al sur, asumiendo que el norte está arriba (lo siento, residentes del hemisferio sur)

Ahora tenemos exactamente las mismas operaciones análogas en el espacio que hicimos con el tiempo:

• Puedes agregar un punto y un vector: comenzando en $ (4,5) $ y yendo a $ langle -1,3 rangle $ te lleva al punto $ (3,8) $
• Puedes restar dos puntos para obtener el desplazamiento entre ellos: $ (10,10) - (3,1) = langle 7,9 rangle $, que es el desplazamiento que tomarías desde la segunda ubicación para llegar a la primera
• Puede agregar dos desplazamientos para obtener un desplazamiento compuesto: $ langle 1,3 rangle + langle -5,8 rangle = langle -4,11 rangle $. Es decir, ir 1 paso al norte y 3 al este, LUEGO ir 5 al sur y 8 al este es lo mismo y solo ir 4 al sur y 11 al este.

Pero no puedes sumar dos puntos.

En términos más concretos: Moscú + $ langle text <200 km al norte, 7000 km al oeste> rangle $ es otra ubicación (punto) en algún lugar de la tierra. Pero Moscú + Los Ángeles no tiene sentido.

En resumen, una ubicación es donde (o cuándo) estás, y un desplazamiento es cómo ir de un lugar a otro. Los desplazamientos tienen tanto una magnitud (hasta dónde llegar) como una dirección (que en el tiempo, un espacio unidimensional, es simplemente positivo o negativo). En el espacio, las ubicaciones son puntos y los desplazamientos son vectores. En el tiempo, las ubicaciones son (puntos en) el tiempo, también conocido como instantes y los desplazamientos son duraciones.

EDITAR 1: En respuesta a algunos de los comentarios, debo señalar que las 4:00 p.m. es NO un desplazamiento, pero "+4 horas" y "-7 horas" son. Seguro que puedes llegar a las 4:00 p.m. (un instante) sumando el desplazamiento "+16 horas" a la medianoche instantánea. También puedes llegar a las 4:00 p.m. agregando la colocación "-3 horas" a las 7:00 p.m. La fuente de la confusión entre ubicaciones y desplazamientos es que las personas trabajan mentalmente en sistemas de coordenadas relativos a algún origen (ya sea $ (0,0) $ o "medianoche" o similar) y ambos conceptos se representan como coordenadas. Supongo que ese era el punto de la pregunta.

EDITAR 2: I added some text to make clear that durations actually have direction I had written both -2.5 hours and +3 hours earlier, but some might have missed that the negative encapsulated a direction, and felt that a duration is "only a scalar" when in fact the adding of a $ or $-$ really does give it direction.

EDIT 3: A summary in table form:

Points and vectors are not the same thing. Given two points in 3D space, we can make a vector from the first point to the second. And, given a vector and a point, we can start at the point and "follow" the vector to get another point.

There is a nice fact, however: the points in 3D space (or $mathbb^n$, more generally) are in a very nice correspondence with the vectors that start at the point $(0,0,0)$. Essentially, the idea is that we can represent the vector with its ending point, and no information is lost. This is sometimes called putting the vector in "standard position".

For a course like vector calculus, it is important to keep a good distinction between points and vectors. Points correspond to vectors that start at the origin, but we may need vectors that start at other points.

For example, given three points $A$, $B$, and $C$ in 3D space, we may want to find the equation of the plane that spans them, If we just knew the normal vector $vec n$ of the plane, we could write the equation directly as $vec n cdot (x,y,z) = vec n cdot A$. So we need to find that normal $vec n$. To do that, we compute the cross product of the vectors $vec $ and $vec$. If we computed the cross product of $A$ and $C$ instead (pretending they are vectors in standard position), we could not get the right normal vector.

For example, if $A = (1,0,0)$, $B = (0,1,0)$, and $C = (0,0,1)$, the normal vector of the corresponding plane would not be parallel to any coordinate axis. But if we take any two of $A$, $B$, and $C$ and compute a cross product, we will get a vector parallel to one of the coordinate axes.

In spirit they are different things. But the usual convention is to think of vector in the plane or in three-dimensional space as starting at the origin. In that case, a vector is identified precisely by its ending point, giving you an identification between points and vectors.

One way to see that they are different things (even if identified in many circumstances), is that you can add vectors, while the sum of points makes no sense. Same with the dot and cross products.

What exactly is a vector? You are right that we usually consider a vector as something that has a direction and a magnitude, but there more precise and abstract definition is that a vector in, for example, $mathbb^n$ is just an element of that set. So it is the same as a point when you consider it as an element of a set.

Now if you want to talk about cross products and magnitudes, then it becomes a question about linguistics. The way you, for example, define the magnitude as the function $ lvertcdot vert: mathbb^2 o mathbb $ given for $a = (a_1, a_2) in mathbb^2$ by $ lvert a vert = sqrt. $ So if you insist on talking about the magnitude of a point, then you are "free" to do so (i.e. free to define this). But bare in mind that you will also cause confusion by doing this. And with doing math, we want to communicate clearly and so .

In the same way, you could define the addition or cross product of points.

Maybe it would be better to say this: Is the vector space the same as a set? Yes, a vector space is a set. But it is also more than a set. We can't add elements of a set, but we can add elements of a vector space because with a vector space you get the definition of an addition. So in this sense, a point and vector are very much different.

Added: If you want to find the equation of a plane that contains the three points $a$, $b$, and $c$, then you would not subtract the points. So how do you so it. Well, if the coordinates to point $a$ are $(a_1, a_2, a_3)$, i.e. if $a = (a_1, a_2, a_3)$, (and likewise for $b$ and $c$) then you first define the vectors $ vec = (b_1 - a_1, b_2- a_2, b_3 - a_3) $ and $ vec = (c_1 - a_1, c_2- a_2, c_3 - a_3). $ Then a normal vector for/to the plane is the cross product of the vectors: $vec imes vec$.

This is a question which causes a lot of confusion and it's good that you are trying to clear it up as early as possible. It is clearly a question about the geometric meaning of vectors, so IMHO it is not helpful when people start to involve vector spaces in the discussion.

Let me make the assumption that you know what a point is, and that the confusion begins when vectors are introduced. I don't know how to include diagrams in a post so I must ask you to draw your own. You can visualise a vector as an arrow in the plane (or in $3$-dimensional space, but let's stick with a plane for now). The usual understanding is that a vector is specified by its length and direction, and no by where it is located in the plane. For example, draw an arrow from $(1,-2)$ to $(3,1)$ and another from $(0,2)$ to $(2,5)$. The two arrows have the same length and direction, so they are regarded as the same vector, and it can be written as the vector $(2,5)$, or $2<f i>+5<f j>$ if that's the notation your instructors use.

We often use language a bit loosely and refer to a point as a vector. (It would be more precise to say the point is represented by the vector, but contrary to popular belief mathematicians are not always 100% accurate in how they speak!) In this case we mean the vector from the origin to the stated point. So the first vector drawn above does not represent the point $(3,1)$ since it does not start from the origin. On the other hand, if you draw the arrow from $(0,0)$ to $(2,5)$ then you can see that it is the same vector (that is, has the same length and direction) as the other two. Since it starts from the origin, this vector represents the point $(2,5)$ - as do the other two, since they are the same vector. As you can see, a vector from the origin and the point it represents are the same numerically, but they are different conceptually and it's worth spending some time trying to get your head around it.

Another example - if you haven't seen this yet I expect you soon will. The equation of a line can be written in "parametric vector form" as, for example, $<f x>=(1,2)+lambda(3,4)quadhbox$>.$ Here we think of the vector $(1,2)$ as specifying a point on the line and $(3,4)$ as specifying the direction of the line. So it es important that we should draw $(1,2)$ as starting from the origin (please draw it), but it is no important where we draw $(3,4)$, and the easiest way is to draw it starting at $(1,2)$ and going to $(4,6)$. Then you can draw in the line through $(1,2)$ in the direction $(3,4)$, and this is the line specified by the above equation. The notation $<f x>$ will be a variable point on the line, or in other words a variable vector from the origin to the line.

Contenido

A linear code of length norte and rank k is a linear subspace C with dimension k of the vector space F q n _^> where F q _> is the finite field with q elements. Such a code is called a q-ary code. If q = 2 or q = 3, the code is described as a binary code, or a ternary code respectivamente. The vectors in C son llamados codewords. La size of a code is the number of codewords and equals q k .

La weight of a codeword is the number of its elements that are nonzero and the distancia between two codewords is the Hamming distance between them, that is, the number of elements in which they differ. The distance d of the linear code is the minimum weight of its nonzero codewords, or equivalently, the minimum distance between distinct codewords. A linear code of length norte, dimension k, and distance d is called an [norte,k,d] code.

We want to give F q n _^> the standard basis because each coordinate represents a "bit" that is transmitted across a "noisy channel" with some small probability of transmission error (a binary symmetric channel). If some other basis is used then this model cannot be used and the Hamming metric does not measure the number of errors in transmission, as we want it to.

Linearity guarantees that the minimum Hamming distance d between a codeword C₀ and any of the other codewords C ≠ C₀ is independent of C₀. This follows from the property that the difference C − C₀ of two codewords in C is also a codeword (i.e., an element of the subspace C), and the property that d(C, c₀) = d(C − C₀, 0). These properties imply that

In other words, in order to find out the minimum distance between the codewords of a linear code, one would only need to look at the non-zero codewords. The non-zero codeword with the smallest weight has then the minimum distance to the zero codeword, and hence determines the minimum distance of the code.

The distance d of a linear code C also equals the minimum number of linearly dependent columns of the check matrix H.

Example : The linear block code with the following generator matrix and parity check matrix is a [ 7 , 4 , 3 ] 2 > Hamming code.

2 Answers 2

I don't know what zeroes have got to do with it.

Two vectors will always fill a plane unless one is a multiple of the other.

Three vectors will usually fill $R^3$, but you need to watch out for one of the vectors being a linear combination of the others. Given vectors $u$, $v$ and $w$, you need to check that there are no scalars $a$ and $b$ such that $w=au+bv$. If that is the case, then you only have two independent vectors and they fill a plane. Of course, if all three are multiples of each other then you just have a line.

A. It will fill a plane because $v e ku$.

B. They're not all multiples of each other, so not a line.

Gives equations $2a=2$, $2b=2$, $2b=3$.

These are not consistent, so $w$ is not a linear combination of $u$ and $v$, so they fill $R^3$

For part A, it’s just the opposite: each vector contributes something that the other doesn’t, so together they fill a plane.

In part B you’ve got the same situation with the vectors $u$ and $v$—each makes an independent contribution to the whole. Now, does $w$ also make its own contribution, i.e., is it linearly independent of the other two vectors? Any linear combination of $u$ and $v$ must have the same value for the last two coordinates, but that’s not the case for $w$, so mixing in a multiple of $w$ will vary the last coordinate and the three vectors fill the entire space.

More generrally, it’s not so much how many of the coordinates are affected by the given vectors as it is how many will vary independently of each other. For example, multiples of a single vector will in general affect all of the coordinates, but they will vary in lock-step with each other, so you’ll only get a line that way.

Contenido

A smooth manifold is a mathematical object which looks locally like a smooth deformation of Euclidean space R norte : for example a smooth curve or surface looks locally like a smooth deformation of a line or a plane. Smooth functions and vector fields can be defined on manifolds, just as they can on Euclidean space, and scalar functions on manifolds can be differentiated in a natural way. However, differentiation of vector fields is less straightforward: this is a simple matter in Euclidean space, because the tangent space of based vectors at a point p can be identified naturally (by translation) with the tangent space at a nearby point q . On a general manifold, there is no such natural identification between nearby tangent spaces, and so tangent vectors at nearby points cannot be compared in a well-defined way. The notion of an affine connection was introduced to remedy this problem by connecting nearby tangent spaces. The origins of this idea can be traced back to two main sources: surface theory and tensor calculus.

Motivation from surface theory Edit

Consider a smooth surface S in 3-dimensional Euclidean space. Near to any point, S can be approximated by its tangent plane at that point, which is an affine subspace of Euclidean space. Differential geometers in the 19th century were interested in the notion of development in which one surface was rolled along another, without slipping o twisting. In particular, the tangent plane to a point of S can be rolled on S : this should be easy to imagine when S is a surface like the 2-sphere, which is the smooth boundary of a convex region. As the tangent plane is rolled on S , the point of contact traces out a curve on S . Conversely, given a curve on S , the tangent plane can be rolled along that curve. This provides a way to identify the tangent planes at different points along the curve: in particular, a tangent vector in the tangent space at one point on the curve is identified with a unique tangent vector at any other point on the curve. These identifications are always given by affine transformations from one tangent plane to another.

This notion of parallel transport of tangent vectors, by affine transformations, along a curve has a characteristic feature: the point of contact of the tangent plane with the surface always moves with the curve under parallel translation (i.e., as the tangent plane is rolled along the surface, the point of contact moves). This generic condition is characteristic of Cartan connections. In more modern approaches, the point of contact is viewed as the origen in the tangent plane (which is then a vector space), and the movement of the origin is corrected by a translation, so that parallel transport is linear, rather than affine.

In the point of view of Cartan connections, however, the affine subspaces of Euclidean space are model surfaces — they are the simplest surfaces in Euclidean 3-space, and are homogeneous under the affine group of the plane — and every smooth surface has a unique model surface tangent to it at each point. These model surfaces are Klein geometries in the sense of Felix Klein's Erlangen programme. More generally, an n -dimensional affine space is a Klein geometry for the affine group Aff(norte) , the stabilizer of a point being the general linear group GL(norte). An affine n -manifold is then a manifold which looks infinitesimally like n -dimensional affine space.

Motivation from tensor calculus Edit

The second motivation for affine connections comes from the notion of a covariant derivative of vector fields. Before the advent of coordinate-independent methods, it was necessary to work with vector fields by embedding their respective Euclidean vectors into an atlas. These components can be differentiated, but the derivatives do not transform in a manageable way under changes of coordinates. [ citation needed ] Correction terms were introduced by Elwin Bruno Christoffel (following ideas of Bernhard Riemann) in the 1870s so that the (corrected) derivative of one vector field along another transformed covariantly under coordinate transformations — these correction terms subsequently came to be known as Christoffel symbols.

This idea was developed into the theory of absolute differential calculus (now known as tensor calculus) by Gregorio Ricci-Curbastro and his student Tullio Levi-Civita between 1880 and the turn of the 20th century.

Tensor calculus really came to life, however, with the advent of Albert Einstein's theory of general relativity in 1915. A few years after this, Levi-Civita formalized the unique connection associated to a Riemannian metric, now known as the Levi-Civita connection. More general affine connections were then studied around 1920, by Hermann Weyl, [4] who developed a detailed mathematical foundation for general relativity, and Élie Cartan, [5] who made the link with the geometrical ideas coming from surface theory.

Approaches Edit

The complex history has led to the development of widely varying approaches to and generalizations of the affine connection concept.

The most popular approach is probably the definition motivated by covariant derivatives. On the one hand, the ideas of Weyl were taken up by physicists in the form of gauge theory and gauge covariant derivatives. On the other hand, the notion of covariant differentiation was abstracted by Jean-Louis Koszul, who defined (linear or Koszul) connections on vector bundles. In this language, an affine connection is simply a covariant derivative or (linear) connection on the tangent bundle.

However, this approach does not explain the geometry behind affine connections nor how they acquired their name. [b] The term really has its origins in the identification of tangent spaces in Euclidean space by translation: this property means that Euclidean n -space is an affine space. (Alternatively, Euclidean space is a principal homogeneous space or torsor under the group of translations, which is a subgroup of the affine group.) As mentioned in the introduction, there are several ways to make this precise: one uses the fact that an affine connection defines a notion of parallel transport of vector fields along a curve. This also defines a parallel transport on the frame bundle. Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a Cartan connection for the affine group Aff(norte) or as a principal GL(norte) connection on the frame bundle.

Let M be a smooth manifold and let Γ(TMETRO) be the space of vector fields on M , that is, the space of smooth sections of the tangent bundle TMETRO . Then an affine connection on M is a bilinear map

such that for all f in the set of smooth functions on METRO , written C ∞ (METRO, R) , and all vector fields X, Y on M :

Contenido

The concept of tensor product generalizes the idea of forming tensors from vectors using the outer product, which is an operation that can be defined in finite-dimensional vector spaces using matrices: given two vectors v ∈ V in V> and w ∈ W in W> written in terms of components, i.e.

their outer or Kronecker product is given by

The matrix formed this way corresponds naturally to a tensor, where such is understood as a multilinear functional, by sandwiching it with matrix multiplication between a vector and its dual, or transpose:

It is important to note that the tensor, as written, takes two dual vectors - this is an important point that will be dealt with later. In the case of finite dimensions, there is not a strong distinction between a space and its dual, however, it does matter in infinite dimensions and, moreover, getting the regular-vs-dual part right is essential to ensuring that the idea of tensors being developed here corresponds correctly to other senses in which they are viewed, such as in terms of transformations, which is common in physics.

The tensors constructed this way generate a vector space themselves when we add and scale them in the natural componentwise fashion and, in fact, todas multilinear functionals of the type given can be written as some sum of outer products, which we may call pure tensors o simple tensors. This is sufficient to define the tensor product when we can write vectors and transformations in terms of matrices, however, to get a fully general operation, a more abstract approach will be required. Especially, we would like to isolate the "essential features" of the tensor product without having to specify a particular basis for its construction, and that is what we will do in the following sections.

To achieve that aim, the most natural way to proceed is to try and isolate an essential characterizing property which will describe, out of all possible vector spaces we could build from V y W, the one which (up to isomorphism) is their tensor product, and which will apply without consideration of any arbitrary choices such as a choice of basis. And the way to do this is to flip the tensor concept "inside out" - instead of viewing the tensors as an object which acts upon vectors in the manner of a bilinear map, we will view them instead as objects to be acted upon a produce a bilinear map. The trick is in recognizing that the Kronecker product "preserves all the information" regarding which vectors went into it: the ratios of vector components can be derived from

12.1: Vectors in Space

In this section we need to take a look at the equation of a line in (^3>). As we saw in the previous section the equation (y = mx + b) does not describe a line in (^3>), instead it describes a plane. This doesn’t mean however that we can’t write down an equation for a line in 3-D space. We’re just going to need a new way of writing down the equation of a curve.

So, before we get into the equations of lines we first need to briefly look at vector functions. We’re going to take a more in depth look at vector functions later. At this point all that we need to worry about is notational issues and how they can be used to give the equation of a curve.

The best way to get an idea of what a vector function is and what its graph looks like is to look at an example. So, consider the following vector function.

[vec rleft( t ight) = leftlangle ight angle ]

A vector function is a function that takes one or more variables, one in this case, and returns a vector. Note as well that a vector function can be a function of two or more variables. However, in those cases the graph may no longer be a curve in space.

The vector that the function gives can be a vector in whatever dimension we need it to be. In the example above it returns a vector in (^2>). When we get to the real subject of this section, equations of lines, we’ll be using a vector function that returns a vector in (^3>)

Now, we want to determine the graph of the vector function above. In order to find the graph of our function we’ll think of the vector that the vector function returns as a position vector for points on the graph. Recall that a position vector, say (vec v = leftlangle ight angle ), is a vector that starts at the origin and ends at the point (left( ight)).

So, to get the graph of a vector function all we need to do is plug in some values of the variable and then plot the point that corresponds to each position vector we get out of the function and play connect the dots. Here are some evaluations for our example.

[vec rleft( < - 3> ight) = leftlangle < - 3,1> ight angle hspace<0.25in>hspace<0.25in>vec rleft( < - 1> ight) = leftlangle < - 1,1> ight angle hspace<0.25in>hspace<0.25in>vec rleft( 2 ight) = leftlangle <2,1> ight angle hspace<0.25in>hspace<0.25in>vec rleft( 5 ight) = leftlangle <5,1> ight angle ]

So, each of these are position vectors representing points on the graph of our vector function. The points,

are all points that lie on the graph of our vector function.

If we do some more evaluations and plot all the points we get the following sketch.

In this sketch we’ve included the position vector (in gray and dashed) for several evaluations as well as the (t) (above each point) we used for each evaluation. It looks like, in this case the graph of the vector equation is in fact the line (y = 1).

Here’s another quick example. Here is the graph of (vec rleft( t ight) = leftlangle <6cos t,3sin t> ight angle ).

In this case we get an ellipse. It is important to not come away from this section with the idea that vector functions only graph out lines. We’ll be looking at lines in this section, but the graphs of vector functions do not have to be lines as the example above shows.

We’ll leave this brief discussion of vector functions with another way to think of the graph of a vector function. Imagine that a pencil/pen is attached to the end of the position vector and as we increase the variable the resulting position vector moves and as it moves the pencil/pen on the end sketches out the curve for the vector function.

Okay, we now need to move into the actual topic of this section. We want to write down the equation of a line in (^3>) and as suggested by the work above we will need a vector function to do this. To see how we’re going to do this let’s think about what we need to write down the equation of a line in (^2>). In two dimensions we need the slope ((m)) and a point that was on the line in order to write down the equation.

In (^3>) that is still all that we need except in this case the “slope” won’t be a simple number as it was in two dimensions. In this case we will need to acknowledge that a line can have a three dimensional slope. So, we need something that will allow us to describe a direction that is potentially in three dimensions. We already have a quantity that will do this for us. Vectors give directions and can be three dimensional objects.

So, let’s start with the following information. Suppose that we know a point that is on the line, ( = left( <,,> ight)), and that (vec v = leftlangle ight angle ) is some vector that is parallel to the line. Note, in all likelihood, (vec v) will not be on the line itself. We only need (vec v) to be parallel to the line. Finally, let (P = left( ight)) be any point on the line.

Now, since our “slope” is a vector let’s also represent the two points on the line as vectors. We’ll do this with position vectors. So, let (overrightarrow <> ) and (vec r) be the position vectors for PAG₀ and (P) respectively. Also, for no apparent reason, let’s define (vec a) to be the vector with representation (overrightarrow <P> ).

We now have the following sketch with all these points and vectors on it.

Now, we’ve shown the parallel vector, (vec v), as a position vector but it doesn’t need to be a position vector. It can be anywhere, a position vector, on the line or off the line, it just needs to be parallel to the line.

Next, notice that we can write (vec r) as follows,

[vec r = overrightarrow <> + vec a]

If you’re not sure about this go back and check out the sketch for vector addition in the vector arithmetic section. Now, notice that the vectors (vec a) and (vec v) are parallel. Therefore there is a number, (t), such that

This is called the vector form of the equation of a line. The only part of this equation that is not known is the (t). Notice that (t,vec v) will be a vector that lies along the line and it tells us how far from the original point that we should move. If (t) is positive we move away from the original point in the direction of (vec v) (right in our sketch) and if (t) is negative we move away from the original point in the opposite direction of (vec v) (left in our sketch). As (t) varies over all possible values we will completely cover the line. The following sketch shows this dependence on (t) of our sketch.

There are several other forms of the equation of a line. To get the first alternate form let’s start with the vector form and do a slight rewrite.

[eginvec r & = leftlangle <,,> ight angle + tleftlangle ight angle leftlangle ight angle & = leftlangle <+ ta, + tb, + tc> ight angle end]

The only way for two vectors to be equal is for the components to be equal. En otras palabras,

This set of equations is called the parametric form of the equation of a line. Notice as well that this is really nothing more than an extension of the parametric equations we’ve seen previously. The only difference is that we are now working in three dimensions instead of two dimensions.

To get a point on the line all we do is pick a (t) and plug into either form of the line. In the vector form of the line we get a position vector for the point and in the parametric form we get the actual coordinates of the point.

There is one more form of the line that we want to look at. If we assume that (a), (b), and (c) are all non-zero numbers we can solve each of the equations in the parametric form of the line for (t). We can then set all of them equal to each other since (t) will be the same number in each. Doing this gives the following,

This is called the symmetric equations of the line.

If one of (a), (b), or (c) does happen to be zero we can still write down the symmetric equations. To see this let’s suppose that ­(b = 0). In this case (t) will not exist in the parametric equation for (y) and so we will only solve the parametric equations for (x) and (z) for (t). We then set those equal and acknowledge the parametric equation for (y) as follows,

Let’s take a look at an example.

To do this we need the vector (vec v) that will be parallel to the line. This can be any vector as long as it’s parallel to the line. In general, (vec v) won’t lie on the line itself. However, in this case it will. All we need to do is let (vec v) be the vector that starts at the second point and ends at the first point. Since these two points are on the line the vector between them will also lie on the line and will hence be parallel to the line. Entonces,

[vec v = leftlangle <1, - 5,6> ight angle ]

Note that the order of the points was chosen to reduce the number of minus signs in the vector. We could just have easily gone the other way.

Once we’ve got (vec v) there really isn’t anything else to do. To use the vector form we’ll need a point on the line. We’ve got two and so we can use either one. We’ll use the first point. Here is the vector form of the line.

[vec r = leftlangle <2, - 1,3> ight angle + tleftlangle <1, - 5,6> ight angle = leftlangle <2 + t, - 1 - 5t,3 + 6t> ight angle ]

Once we have this equation the other two forms follow. Here are the parametric equations of the line.

[eginx & = 2 + t y & = - 1 - 5t z & = 3 + 6tend]

Here is the symmetric form.

To answer this we will first need to write down the equation of the line. We know a point on the line and just need a parallel vector. We know that the new line must be parallel to the line given by the parametric equations in the problem statement. That means that any vector that is parallel to the given line must also be parallel to the new line.

Now recall that in the parametric form of the line the numbers multiplied by (t) are the components of the vector that is parallel to the line. Therefore, the vector,

[vec v = leftlangle <3,12, - 1> ight angle ]

is parallel to the given line and so must also be parallel to the new line.

The equation of new line is then,

[vec r = leftlangle <0, - 3,8> ight angle + tleftlangle <3,12, - 1> ight angle = leftlangle <3t, - 3 + 12t,8 - t> ight angle ]

If this line passes through the (xz)-plane then we know that the (y)-coordinate of that point must be zero. So, let’s set the (y) component of the equation equal to zero and see if we can solve for (t). If we can, this will give the value of (t) for which the point will pass through the (xz)-plane.

[ - 3 + 12t = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>t = frac<1><4>]

So, the line does pass through the (xz)-plane. To get the complete coordinates of the point all we need to do is plug (t = frac<1><4>) into any of the equations. We’ll use the vector form.

[vec r = leftlangle <3left( <4>> ight), - 3 + 12left( <4>> ight),8 - frac<1><4>> ight angle = leftlangle <4>,0,frac<<31>><4>> ight angle ]

Recall that this vector is the position vector for the point on the line and so the coordinates of the point where the line will pass through the (xz)-plane are (left( <4>,0,frac<<31>><4>> ight)).

Blanks and lengths: Understanding SAS/IML character vectors

SAS programmers are probably familiar with how SAS stores a character variable in a data set, but how is a character vector stored in the SAS/IML language?

Recall that a character variable is stored by using a fixed-width storage structure. In the SAS DATA step, the maximum number of characters that can be stored in a variable is determined when the variable is initialized, or you can use the LENGTH statement to specify the maximum number of characters. For example, the following statement specifies that the NAME variable can store up to 10 characters:

The values in a character variable are left aligned. That is, values that have fewer than 10 characters are padded on the right with blanks (space characters).

SAS/IML character vectors

The same rules apply to character vectors in the SAS/IML language. A vector has a "length" that determines the maximum number of characters that can be stored in any element. (In this article, "length" means the maximum number of characters, not the number of elements in a vector.) Elements with fewer characters are blank-padded on the right. Consequently, the following two character vectors are equivalent. :

You can determine the maximum number of characters that can be stored in each element by using the NLENG function in SAS/IML. You can also discover the number of characters in each element of a vector (omitting any blank padding) by using the LENGTH function, as follows:

In this example, each element of the vector C can hold up to six characters. If you write the C variable to a SAS data set, the corresponding variable will have length 6. However, if you trim off the blanks at the end of the strings, most elements have fewer than six characters. Notice that the LENGTH function counts blanks at the beginning and the middle of a string but not at the end, so that the string " XZ" counts as four characters.

Where are the blanks?

Notice that the ODS HTML destination is not ideal for visualizing blanks in strings. In HTML, multiple blank characters are compressed into a single blank when the string is rendered, so only one space appears on the displayed output. If you need to view the spaces in the strings, use the ODS LISTING destination, which uses a fixed-width font that preserves spaces. Alternatively, the following SAS/IML function prints each character (not including trailing blanks):

I think the Str2Vec function is very cool. It uses a feature of the SUBSTR function in SAS/IML 12.1 to convert a string into a vector of characters. The PrintChars function simply calls the Str2Vec function for each element of a character matrix and prints the characters with a column header. This makes it easy to see each character's position in a string.

This article provides a short overview of how strings are stored inside SAS/IML character vectors. For more details about SAS/IML character vectors and how you can manipulate strings, see Chapter 2 of Statistical Programming with SAS/IML Software.

About Author

Rick Wicklin, PhD, is a distinguished researcher in computational statistics at SAS and is a principal developer of SAS/IML software. His areas of expertise include computational statistics, simulation, statistical graphics, and modern methods in statistical data analysis. Rick is author of the books Statistical Programming with SAS/IML Software y Simulating Data with SAS.

4 Comments

¿Cómo cambia esto cuando se usan caracteres multibyte, particularmente UTF-8, en los que los caracteres tienen diferentes anchos? Esta es una consideración importante en casi todos los idiomas además del inglés. El software moderno nunca debe escribirse asumiendo que un carácter usa un byte.

Tienes razón, esta publicación de blog fue escrita para texto en inglés. SAS admite muchas funciones para DBCS y MBCS. Para caracteres de varios bytes, se aplican las mismas ideas generales de concatenación, pero es necesario utilizar "funciones K" como la función KSUBSTR para consultar y manipular cadenas.

El procedimiento SSM (experimental)

El modelo de espacio de estados (lineal) se describe en la literatura de diferentes formas y con un grado variable de generalidad. La descripción dada en esta sección sigue vagamente la descripción dada en Durbin y Koopman (2001, cap. 6, sec. 4). Esta formulación de SSM es bastante general en particular, incluye SSM no estacionarios con matrices de sistemas variables en el tiempo y ecuaciones de estado con una condición inicial difusa (estos términos se definen más adelante en esta subsección).

Suponga que las observaciones se recopilan de manera secuencial (indexadas por una variable numérica) sobre algunas variables: el vector, que denota los valores de respuesta de la variable, y el vector dimensional, que denota los predictores. Suponga que las instancias de observación son. No se descarta la posibilidad de que se tomen múltiples observaciones en una instancia particular, y las sucesivas instancias de observación no necesitan estar espaciadas regularmente, es decir, no es necesario que sean iguales. Supongamos que () denota el número de observaciones registradas en la instancia. Para simplificar la notación, se utiliza un índice secundario con valores enteros para indexar los datos de modo que correspondan, correspondan, etc. Considere el siguiente modelo:

La siguiente lista describe estas ecuaciones:

La ecuación de observación describe la relación entre el vector de respuesta dimensional y los vectores no observados, y. Las respuestas variables se apilan verticalmente en una columna para formar este vector de respuesta dimensional. Los vectores -dimensionales se denominan estados, el vector -dimensional es el vector de coeficiente de regresión asociado con los predictores y los vectores -dimensionales se denominan perturbaciones de observación. Las matrices (de dimensión) y (de dimensión) corresponden al efecto de estado y al efecto de regresión, respectivamente. Se supone que los elementos de son completamente conocidos. Los estados y las perturbaciones son secuencias aleatorias. Se supone que es una secuencia de vectores aleatorios gaussianos independientes, de media cero, con covarianzas diagonales, con los elementos diagonales indicados por.

Se supone que la secuencia de estados sigue una estructura de Markov descrita por la ecuación de transición de estados y la condición inicial asociada.

La ecuación de transición de estado postula que una nueva instancia del estado,, se obtiene multiplicando su instancia anterior, por una matriz cuadrada dimensional (llamada matriz de transición de estado) y agregando dos vectores: un vector conocido no aleatorio (llamado estado entrada) y un vector de perturbación aleatorio. Se supone que los vectores de perturbación de estado dimensional son vectores aleatorios gaussianos independientes, de media cero, con covarianzas (no necesariamente diagonales).

La condición inicial describe la condición inicial de la ecuación de evolución del estado. Se supone que el vector de estado inicial es parcialmente difuso: es la suma de un vector no aleatorio conocido, un vector gaussiano de media cero y un término que representa la contribución de un vector difuso dimensional (un vector difuso es un vector gaussiano con covarianza infinita). Se supone que la matriz es completamente conocida.

Se supone que las perturbaciones de observación y las perturbaciones de estado (para) son mutuamente independientes. Se supone que los elementos de las matrices, y los elementos diagonales de las covarianzas de perturbación de observación son completamente conocidos, o algunos de ellos pueden ser funciones de un pequeño conjunto de parámetros desconocidos (que se estimarán a partir de los datos). Suponga que este conjunto desconocido de parámetros se denota con.

El vector difuso -dimensional de la condición inicial del estado junto con el vector de coeficiente de regresión -dimensional constituyen la condición inicial difusa general -dimensional del modelo. Consulte la sección Probabilidad, filtrado y suavizado para obtener más información.

Aunque esta descripción del modelo de espacio de estados puede parecer complicada, cubre convenientemente muchas variantes de los SSM que se encuentran en la práctica y describe con precisión el caso más general que puede ser manejado por el procedimiento SSM. Una restricción importante sobre la descripción anterior de la formulación del modelo es que asume que las matrices que aparecen en la ecuación de observación están libres de parámetros desconocidos y que las covarianzas de las perturbaciones de observación son diagonales. En la mayoría de las situaciones prácticas, el modelo en consideración puede reformularse fácilmente a una forma estadísticamente equivalente que se ajuste a esta restricción.

Para una fácil referencia, la Tabla 27.4 resume la información contenida en las ecuaciones SSM.

Ver el vídeo: Volumen del paralelepípedo determinado por 3 vectores EJERCICIO RESUELTO producto mixto (Julio 2022).

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