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4.6: Aproximaciones lineales y diferenciales - Matemáticas


Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las funciones más fáciles de trabajar, por lo que proporcionan una herramienta útil para aproximar valores de funciones. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan más adelante en el texto cuando estudiemos cómo aproximar funciones mediante polinomios de grado superior Introducción a las funciones y series de potencias.

Aproximación lineal de una función en un punto

Considere una función (f ) que es diferenciable en un punto (x = a ). Recuerda que la recta tangente a la gráfica de (f ) en (a ) viene dada por la ecuación

[y = f (a) + f '(a) (x − a). ]

Por ejemplo, considere la función (f (x) = frac {1} {x} ) en (a = 2 ). Dado que (f ) es diferenciable en (x = 2 ) y (f '(x) = - frac {1} {x ^ 2} ), vemos que (f' (2) = - frac {1} {4} ). Por lo tanto, la recta tangente a la gráfica de (f ) en (a = 2 ) viene dada por la ecuación

[y = frac {1} {2} - frac {1} {4} (x − 2). ]

La figura (a) muestra una gráfica de (f (x) = frac {1} {x} ) junto con la recta tangente a (f ) en (x = 2 ). Tenga en cuenta que para (x ) cerca de 2, la gráfica de la recta tangente está cerca de la gráfica de (f ). Como resultado, podemos usar la ecuación de la recta tangente para aproximar (f (x) ) para (x ) cerca de 2. Por ejemplo, si (x = 2.1 ), el (y ) El valor del punto correspondiente en la recta tangente es

[y = frac {1} {2} - frac {1} {4} (2.1−2) = 0.475. ]

El valor real de (f (2.1) ) viene dado por

[f (2.1) = frac {1} {2.1} ≈0.47619. ]

Por lo tanto, la recta tangente nos da una aproximación bastante buena de (f (2.1) ) (Figura (b)). Sin embargo, tenga en cuenta que para valores de x lejos de 2, la ecuación de la recta tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si (x = 10 ), el valor (y ) - del punto correspondiente en la recta tangente es

[y = frac {1} {2} - frac {1} {4} (10−2) = frac {1} {2} −2 = −1.5, ]

mientras que el valor de la función en (x = 10 ) es (f (10) = 0.1. )

Figura ( PageIndex {1} ): (a) La recta tangente a (f (x) = 1 / x ) en (x = 2 ) proporciona una buena aproximación a (f ) para (x ) cerca de 2. (b) En (x = 2.1 ), el valor de (y ) en la recta tangente a (f (x) = 1 / x ) es 0.475. El valor real de (f (2.1) ) es (1 / 2.1 ), que es aproximadamente 0.47619.

En general, para una función diferenciable (f ), la ecuación de la recta tangente a (f ) en (x = a ) se puede usar para aproximar (f (x) ) para (x ) cerca de). Por tanto, podemos escribir

(f (x) ≈f (a) + f '(a) (x − a) ) para (x ) cerca de (a ).

Llamamos a la función lineal

[L (x) = f (a) + f '(a) (x − a) ]

la aproximación lineal, o aproximación de la recta tangente, de (f ) en (x = a ). Esta función (L ) también se conoce como linealización de (f ) en (x = a. )

Para mostrar cuán útil puede ser la aproximación lineal, veamos cómo encontrar la aproximación lineal para (f (x) = sqrt {x} ) en (x = 9. )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Aproximación lineal de ( sqrt {x} )

Encuentra la aproximación lineal de (f (x) = sqrt {x} ) en (x = 9 ) y usa la aproximación para estimar ( sqrt {9.1} ).

Solución: Como buscamos la aproximación lineal en (x = 9, ) usando la Ecuación, sabemos que la aproximación lineal está dada por

(L (x) = f (9) + f '(9) (x − 9). )

Necesitamos encontrar (f (9) ) y (f '(9). )

(f (x) = sqrt {x} ⇒f (9) = sqrt {9} = 3 )

(f '(x) = frac {1} {2 sqrt {x}} ⇒f' (9) = frac {1} {2 sqrt {9}} = frac {1} {6} )

Por lo tanto, la aproximación lineal viene dada por la Figura.

(L (x) = 3 + frac {1} {6} (x − 9) )

Usando la aproximación lineal, podemos estimar ( sqrt {9.1} ) escribiendo

( sqrt {9.1} = f (9.1) ≈L (9.1) = 3 + frac {1} {6} (9.1−9) ≈3.0167. )

Figura ( PageIndex {2} ):La aproximación lineal local a (f (x) = sqrt {x} ) en (x = 9 ) proporciona una aproximación a (f ) para (x ) cerca de 9.

Análisis

Usando una calculadora, el valor de ( sqrt {9.1} ) con cuatro decimales es 3.0166. El valor dado por la aproximación lineal, 3.0167, está muy cerca del valor obtenido con una calculadora, por lo que parece que usar esta aproximación lineal es una buena manera de estimar ( sqrt {x} ), al menos para x cerca (9 ). Al mismo tiempo, puede parecer extraño usar una aproximación lineal cuando solo podemos presionar algunos botones en una calculadora para evaluar ( sqrt {9.1} ). Sin embargo, ¿cómo evalúa la calculadora ( sqrt {9.1}? ) ¡La calculadora usa una aproximación! De hecho, las calculadoras y las computadoras usan aproximaciones todo el tiempo para evaluar expresiones matemáticas; simplemente usan aproximaciones de grado superior.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentre la aproximación lineal local a (f (x) = sqrt [3] {x} ) en (x = 8 ). Úselo para aproximar ( frac [3] {8.1} ) a cinco lugares decimales.

Insinuación

(L (x) = f (a) + f '(a) (x − a) )

Respuesta

(L (x) = 2 + frac {1} {1} 2 (x − 8); ) 2.00833

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Aproximación lineal de (sinx )

Encuentra la aproximación lineal de (f (x) = sinx ) en (x = frac {π} {3} ) y úsala para aproximar (sin (62 °). )

Solución

Primero, notamos que dado que ( frac {π} {3} ) rad es equivalente a (60 ° ), usar la aproximación lineal en (x = π / 3 ) parece razonable. La aproximación lineal viene dada por

(L (x) = f ( frac {π} {3}) + f '( frac {π} {3}) (x− frac {π} {3}). )

Vemos eso

(f (x) = sinx⇒f ( frac {π} {3}) = sin ( frac {π} {3}) = frac { sqrt {3}} {2} )

(f '(x) = cosx⇒f' ( frac {π} {3}) = cos ( frac {π} {3}) = frac {1} {2} )

Por lo tanto, la aproximación lineal de (f ) en (x = π / 3 ) viene dada por la Figura.

(L (x) = frac { sqrt {3}} {2} + frac {1} {2} (x− frac {π} {3}) )

Para estimar (sin (62 °) ) usando (L ), primero debemos convertir (62 ° ) a radianes. Tenemos (62 ° = frac {62π} {180} ) radianes, por lo que la estimación de (sin (62 °) ) está dada por

(sin (62 °) = f ( frac {62π} {180}) ≈L ( frac {62π} {180}) = frac { sqrt {3}} {2} + frac {1} {2} ( frac {62π} {180} - frac {π} {3}) = frac { sqrt {3}} {2} + frac {1} {2} ( frac {2π} {180}) = frac { sqrt {3}} {2} + frac {π} {180} ≈0.88348. )

Figura ( PageIndex {3} ): La aproximación lineal a (f (x) = sinx ) en (x = π / 3 ) proporciona una aproximación a (sinx ) para (x ) cerca de (π / 3. )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentra la aproximación lineal para (f (x) = cosx ) en (x = frac {π} {2}. )

Insinuación

(L (x) = f (a) + f '(a) (x − a) )

Respuesta

(L (x) = - x + frac {π} {2} )

Se pueden usar aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias. En el siguiente ejemplo, encontramos la aproximación lineal para (f (x) = (1 + x) ^ n ) en (x = 0 ), que se puede usar para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1 La misma idea se puede extender a una función de la forma (f (x) = (m + x) ^ n ) para estimar raíces y potencias cerca de un número diferente (m ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Aproximación de raíces y poderes

Encuentra la aproximación lineal de (f (x) = (1 + x) ^ n ) en (x = 0 ). Utilice esta aproximación para estimar ((1.01) ^ 3. )

Solución

La aproximación lineal en (x = 0 ) está dada por

(L (x) = f (0) + f '(0) (x − 0). )

Porque

(f (x) = (1 + x) ^ n⇒f (0) = 1 )

(f '(x) = n (1 + x) ^ {n − 1} ⇒f' (0) = n, )

la aproximación lineal viene dada por la Figura (a).

(L (x) = 1 + n (x − 0) = 1 + nx )

Podemos aproximar ((1.01) ^ 3 ) evaluando (L (0.01) ) cuando (n = 3 ). Concluimos que

((1.01) ^ 3 = f (1.01) ≈L (1.01) = 1 + 3 (0.01) = 1.03. )

Figura ( PageIndex {4} ): (a) La aproximación lineal de (f (x) ) en (x = 0 ) es (L (x) ). (b) El valor real de (1.01 ^ 3 ) es 1.030301. La aproximación lineal de (f (x) ) en (x = 0 ) estima que (1.01 ^ 3 ) es 1.03.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentra la aproximación lineal de (f (x) = (1 + x) ^ 4 ) en (x = 0 ) sin usar el resultado del ejemplo anterior.

Insinuación

(f '(x) = 4 (1 + x) ^ 3 )

Respuesta

(L (x) = 1 + 4x )

Diferenciales

Hemos visto que se pueden usar aproximaciones lineales para estimar valores de funciones. También se pueden usar para estimar la cantidad que cambia el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto de manera más formal, definimos un concepto relacionado: diferenciales. Los diferenciales nos brindan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada.

Cuando miramos por primera vez las derivadas, usamos la notación de Leibniz (dy / dx ) para representar la derivada de (y ) con respecto a (x ). Aunque usamos las expresiones dy y dx en esta notación, no tenían significado por sí solas. Aquí vemos un significado a las expresiones dy y dx. Suponga que (y = f (x) ) es una función diferenciable. Sea dx una variable independiente a la que se le pueda asignar cualquier número real distinto de cero, y defina la variable dependiente (dy ) por

[dy = f '(x) dx. ]

Es importante notar que (dy ) es una función tanto de (x ) como de (dx ). Las expresiones dy y dx se denominan diferenciales. Podemos dividir ambos lados de la ecuación por (dx, ) lo que da como resultado

[ frac {dy} {dx} = f '(x). ]

Ésta es la expresión familiar que hemos usado para denotar una derivada. La ecuación se conoce como forma diferencial de Ecuación.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Calcular diferenciales

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre dy y evalúe cuando (x = 3 ) y (dx = 0.1. )

  1. (y = x ^ 2 + 2x )
  2. (y = cosx )

Solución

El paso clave es calcular la derivada. Cuando tenemos eso, podemos obtener dy directamente.

una. Como (f (x) = x ^ 2 + 2x, ) sabemos (f '(x) = 2x + 2 ), y por lo tanto

(dy = (2x + 2) dx. )

Cuando (x = 3 ) y (dx = 0.1, )

(dy = (2⋅3 + 2) (0.1) = 0.8. )

B. Dado que (f (x) = cosx, f '(x) = - sin (x). ) Esto nos da

(dy = −sinxdx. )

Cuando (x = 3 ) y (dx = 0.1, )

(dy = −sin (3) (0.1) = - 0.1sin (3). )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Para (y = e ^ {x ^ 2} ), encuentre (dy ).

Insinuación

(dy = f '(x) dx )

Respuesta

(dy = 2xe ^ {x ^ 2} dx )

Ahora conectamos diferenciales a aproximaciones lineales. Los diferenciales se pueden utilizar para estimar el cambio en el valor de una función resultante de un pequeño cambio en los valores de entrada. Considere una función (f ) que es diferenciable en el punto (a ). Suponga que la entrada (x ) cambia en una pequeña cantidad. Estamos interesados ​​en cuánto cambia la salida (y ). Si (x ) cambia de (a ) a (a + dx ), entonces el cambio en (x ) es (dx ) (también denotado (Δx )), y el cambio en (y ) viene dado por

[Δy = f (a + dx) −f (a). ]

Sin embargo, en lugar de calcular el cambio exacto en (y ), a menudo es más fácil aproximar el cambio en (y ) usando una aproximación lineal. Para (x ) cerca de (a, f (x) ) se puede aproximar mediante la aproximación lineal

[L (x) = f (a) + f '(a) (x − a). ]

Por tanto, si (dx ) es pequeño,

[f (a + dx) ≈L (a + dx) = f (a) + f '(a) (a + dx − a). ]

Es decir,

[f (a + dx) −f (a) ≈L (a + dx) −f (a) = f '(a) dx. ]

En otras palabras, el cambio real en la función (f ) si (x ) aumenta de (a ) a (a + dx ) es aproximadamente la diferencia entre (L (a + dx) ) y (f (a) ), donde (L (x) ) es la aproximación lineal de (f ) en (a ). Por definición de (L (x) ), esta diferencia es igual a (f '(a) dx ). En resumen,

[Δy = f (a + dx) −f (a) ≈L (a + dx) −f (a) = f '(a) dx = dy. ]

Por lo tanto, podemos usar el diferencial (dy = f '(a) dx ) para aproximar el cambio en (y ) si (x ) aumenta de (x = a ) a (x = a + dx ). Podemos ver esto en el siguiente gráfico.

Figura ( PageIndex {5} ): diferencial dy = f '(a) dx se usa para aproximar el cambio real en y si x aumenta de a a a + dx.

Ahora veremos cómo usar diferenciales para aproximar el cambio en el valor de la función que resulta de un pequeño cambio en el valor de la entrada. Tenga en cuenta que el cálculo con diferenciales es mucho más simple que calcular los valores reales de las funciones y el resultado es muy cercano a lo que obtendríamos con el cálculo más exacto.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Cambio aproximado con diferenciales

Sea (y = x ^ 2 + 2x. ) Calcule (Δy ) y dy en (x = 3 ) si (dx = 0.1. )

Solución

El cambio real en (y ) si (x ) cambia de (x = 3 ) a (x = 3.1 ) viene dado por

(Δy = f (3.1) −f (3) = [(3.1) ^ 2 + 2 (3.1)] - [3 ^ 2 + 2 (3)] = 0.81. )

El cambio aproximado en (y ) viene dado por (dy = f '(3) dx ). Como (f '(x) = 2x + 2, ) tenemos

(dy = f '(3) dx = (2 (3) +2) (0.1) = 0.8. )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Para (y = x ^ 2 + 2x, ) encuentra (Δy ) y (dy ) en (x = 3 ) si (dx = 0.2. )

Insinuación

(dy = f '(3) dx, Δy = f (3.2) −f (3) )

Respuesta

(dy = 1.6, Δy = 1.64 )

Calcular la cantidad de error

Cualquier tipo de medición es propenso a una cierta cantidad de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan basándose en mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del círculo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error.

Considere una función (f ) con una entrada que es una cantidad medida. Suponga que el valor exacto de la cantidad medida es (a ), pero el valor medido es (a + dx ). Decimos que el error de medición es dx (o (Δx )). Como resultado, se produce un error en la cantidad calculada (f (x) ). Este tipo de error se conoce como error propagado y es dado por

[Δy = f (a + dx) −f (a). ]

Dado que todas las mediciones son propensas a cierto grado de error, no conocemos el valor exacto de una cantidad medida, por lo que no podemos calcular el error propagado con exactitud. Sin embargo, dada una estimación de la precisión de una medición, podemos usar diferenciales para aproximar el error propagado (Δy. ) Específicamente, si (f ) es una función diferenciable en a, el error propagado es

[Δy≈dy = f '(a) dx. ]

Desafortunadamente, no conocemos el valor exacto (a. ) Sin embargo, podemos usar el valor medido (a + dx, ) y estimar

[Δy≈dy≈f '(a + dx) dx. ]

En el siguiente ejemplo, observamos cómo se pueden usar los diferenciales para estimar el error al calcular el volumen de una caja si asumimos que la medición de la longitud del lado se realiza con cierta precisión.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Volumen de un cubo

Suponga que la longitud del lado de un cubo mide 5 cm con una precisión de 0,1 cm.

  1. Utilice diferenciales para estimar el error en el volumen calculado del cubo.
  2. Calcule el volumen del cubo si la longitud del lado es (i) 4.9 cm y (ii) 5.1 cm para comparar el error estimado con el error potencial real.

Solución

una. La medida de la longitud lateral tiene una precisión de (± 0,1 ) cm. Por lo tanto,

(- 0.1≤dx≤0.1. )

El volumen de un cubo viene dado por (V = x ^ 3 ), lo que conduce a

(dV = 3x ^ 2dx. )

Usando la longitud lateral medida de 5 cm, podemos estimar que

(- 3 (5) ^ 2 (0.1) ≤dV≤3 (5) ^ 2 (0.1). )

Por lo tanto,

(- 7.5≤dV≤7.5. )

B. Si la longitud del lado es en realidad de 4,9 cm, entonces el volumen del cubo es

(V (4,9) = (4,9) ^ 3 = 117,649 cm ^ 3. )

Si la longitud del lado es en realidad de 5,1 cm, entonces el volumen del cubo es

(V (5.1) = (5.1) ^ 3 = 132.651cm ^ 3. )

Por lo tanto, el volumen real del cubo está entre 117,649 y 132,651. Dado que la longitud del lado se mide en 5 cm, el volumen calculado es (V (5) = 5 ^ 3 = 125. ) Por lo tanto, el error en el volumen calculado es

(117,649−125≤ΔV≤132,651−125. )

Es decir,

(- 7.351≤ΔV≤7.651. )

Vemos que el error estimado (dV ) está relativamente cerca del error potencial real en el volumen calculado.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Estime el error en el volumen calculado de un cubo si la longitud del lado se mide en 6 cm con una precisión de 0.2 cm.

Insinuación

(dV = 3x ^ 2dx )

Respuesta

La medición del volumen tiene una precisión de (21,6 cm ^ 3. )

El error de medición dx (= (Δx )) y el error propagado (Δy ) son errores absolutos. Por lo general, nos interesa el tamaño de un error en relación con el tamaño de la cantidad que se mide o calcula. Dado un error absoluto (Δq ) para una cantidad particular, definimos el error relativo como ( frac {Δq} {q} ), donde (q ) es el valor real de la cantidad. La error porcentual es el error relativo expresado como porcentaje. Por ejemplo, si medimos que la altura de una escalera es de 63 pulgadas cuando la altura real es de 62 pulgadas, el error absoluto es de 1 pulgada pero el error relativo es ( frac {1} {62} = 0.016 ) o (1,6% ). En comparación, si medimos que el ancho de un trozo de cartón es de 8.25 pulgadas cuando el ancho real es de 8 pulgadas, nuestro error absoluto es ( frac {1} {4} ) pulgadas, mientras que el error relativo es ( frac {0.25} {8} = frac {1} {32}, ) o (3.1%. ) Por lo tanto, el error porcentual en la medida del cartón es mayor, aunque 0.25 pulg. es menos de 1 pulg.

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Error relativo y porcentual

Un astronauta que usa una cámara mide el radio de la Tierra como 4000 mi con un error de (± 80 ) mi. Usemos diferenciales para estimar el error relativo y porcentual de usar esta medida de radio para calcular el volumen de la Tierra, asumiendo que el planeta es una esfera perfecta.

Solución: Si la medida del radio tiene una precisión de (± 80, ) tenemos

(- 80≤dr≤80. )

Dado que el volumen de una esfera está dado por (V = ( frac {4} {3}) πr3, ) tenemos

(dV = 4πr ^ 2dr. )

Usando el radio medido de 4000 mi, podemos estimar

(- 4π (4000) ^ 2 (80) ≤dV≤4π (4000) ^ 2 (80). )

Para estimar el error relativo, considere ( frac {dV} {V} ). Como no conocemos el valor exacto del volumen (V ), use el radio medido (r = 4000mi ) para estimar (V ). Obtenemos (V≈ ( frac {4} {3}) π (4000) ^ 3 ). Por tanto, el error relativo satisface

( frac {−4π (4000) ^ 2 (80)} {4π (4000) ^ 3/3} ≤ frac {dV} {V} ≤ frac {4π (4000) ^ 2 (80)} { 4π (4000) ^ 3/3}, )

que simplifica a

(- 0.06≤ frac {dV} {V} ≤0.06. )

El error relativo es 0.06 y el error porcentual es (6%. )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Determine el error porcentual si el radio de la Tierra se mide en 3950 mi con un error de (± 100 ) mi.

Insinuación

Usa el hecho de que (dV = 4πr ^ 2dr ) para encontrar (dV / V. )

Respuesta

7.6%

Conceptos clave

  • Una función diferenciable (y = f (x) ) se puede aproximar en (a ) mediante la función lineal

(L (x) = f (a) + f '(a) (x − a). )

  • Para una función (y = f (x) ), si (x ) cambia de (a ) a (a + dx ), entonces

(dy = f '(x) dx )

es una aproximación del cambio en (y ). El cambio real en (y ) es

(Δy = f (a + dx) −f (a). )

  • Un error de medición (dx ) puede conducir a un error en una cantidad calculada (f (x) ). El error en la cantidad calculada se conoce como error propagado. El error propagado se puede estimar mediante

(dy≈f '(x) dx. )

  • Para estimar el error relativo de una cantidad particular (q ), estimamos ( frac {Δq} {q} ).

Ecuaciones clave

  • Aproximación lineal

(L (x) = f (a) + f '(a) (x − a) )

  • Un diferencial

(dy = f '(x) dx )

Glosario

diferencial
el diferencial (dx ) es una variable independiente a la que se le puede asignar cualquier número real distinto de cero; el diferencial (dy ) se define como (dy = f '(x) dx )
forma diferencial
dada una función diferenciable (y = f '(x), ) la ecuación (dy = f' (x) dx ) es la forma diferencial de la derivada de (y ) con respecto a (x )
aproximación lineal
la función lineal (L (x) = f (a) + f '(a) (x − a) ) es la aproximación lineal de (f ) en (x = a )
error porcentual
el error relativo expresado como porcentaje
error propagado
el error que resulta en una cantidad calculada (f (x) ) resultante de un error de medición dx
error relativo
dado un error absoluto (Δq ) para una cantidad particular, ( frac {Δq} {q} ) es el error relativo.
aproximación de la recta tangente (linealización)
dado que la aproximación lineal de (f ) en (x = a ) se define usando la ecuación de la recta tangente, la aproximación lineal de (f ) en (x = a ) también se conoce como Aproximación de la recta tangente a (f ) en (x = a )

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


Ver el vídeo: 10. Aproximaciones lineales linealización (Diciembre 2021).