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6.8: Crecimiento y decadencia exponencial - Matemáticas

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Objetivos de aprendizaje

  • Utilice el modelo de crecimiento exponencial en aplicaciones, incluido el crecimiento de la población y el interés compuesto.
  • Explica el concepto de duplicar el tiempo.
  • Utilice el modelo de desintegración exponencial en aplicaciones, incluida la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton.
  • Explique el concepto de vida media.

Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales involucra modelos de crecimiento y decadencia. Desde el crecimiento de la población y el interés compuesto continuamente hasta la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes por naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el deterioro exponenciales en el contexto de algunas de estas aplicaciones.

Modelo de crecimiento exponencial

Muchos sistemas exhiben un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma (y = y_0e ^ {kt}, ) donde (y_0 ) representa el estado inicial del sistema y (k ) es una constante positiva, llamada constante de crecimiento. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

[y ′ = ky_0e ^ {kt} = ky. label {eq1} ]

Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor de la función actual. Ésta es una característica clave del crecimiento exponencial. La ecuación ref {eq1} involucra derivadas y se llama una ecuación diferencial.

Crecimiento exponencial

Sistemas que exhiben crecimiento exponencial aumentar según el modelo matemático

[y = y_0e ^ {kt} ]

donde (y_0 ) representa el estado inicial del sistema y (k> 0 ) es una constante, llamada constante de crecimiento.

Crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Considere una población de bacterias, por ejemplo. Parece plausible que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la población. Después de todo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crece la población. La figura ( PageIndex {1} ) y la tabla ( PageIndex {1} ) representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 bacterias y una constante de crecimiento de 0,02. Observe que después de solo 2 horas (120 minutos), ¡la población es 10 veces mayor que su tamaño original!

Tabla ( PageIndex {1} ): Crecimiento exponencial de una población bacteriana
Tiempo (min)Tamaño de la población (no. De bacterias)
10244
20298
30364
40445
50544
60664
70811
80991
901210
1001478
1101805
1202205

Tenga en cuenta que estamos usando una función continua para modelar lo que es un comportamiento inherentemente discreto. En un momento dado, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo toma valores no enteros. Al utilizar modelos de crecimiento exponencial, siempre debemos tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): crecimiento de la población

Considere la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece de acuerdo con la función (f (t) = 200e ^ {0.02t}, ) donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de (5 ) horas ( (300 ) minutos)? ¿Cuándo llega la población a (100.000 ) bacterias?

Solución

Tenemos (f (t) = 200e ^ {0.02t}. ) Entonces

[f (300) = 200e ^ {0.02 (300)} ≈80,686. sin número ]

Hay (80,686 ) bacterias en la población después de (5 ) horas.

Para encontrar cuándo la población alcanza (100,000 ) bacterias, resolvemos la ecuación

[ begin {align *} 100,000 & = 200e ^ {0.02t} [4pt] 500 & = e ^ {0.02t} [4pt] ln 500 & = 0.02 t [4pt] t & = frac { ln 500} {0.02} ≈310.73. end {alinear *} ]

La población alcanza (100.000 ) bacterias después de (310,73 ) minutos.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Considere una población de bacterias que crece de acuerdo con la función (f (t) = 500e ^ {0.05t} ), donde (t ) se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo llega la población a (100 ) millones de bacterias?

Respuesta

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Respuesta

Hay (81,377,396 ) bacterias en la población después de (4 ) horas. La población alcanza (100 ) millones de bacterias después de (244,12 ) minutos.

Dirijamos ahora nuestra atención a una aplicación financiera: interés compuesto. El interés que no está compuesto se llama interés simple. Interés simple se paga una vez, al final del período de tiempo especificado (generalmente (1 ) año). Entonces, si ponemos ($ 1000 ) en una cuenta de ahorros que gana (2% ) interés simple por año, entonces al final del año tenemos

[ 1000(1+0.02)=$1020.]

El interés compuesto se paga varias veces al año, según el período de capitalización. Por lo tanto, si el banco capitaliza los intereses cada (6 ) meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de (6 ) meses. Durante la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo sobre los ($ 1000 ) iniciales, sino también sobre los intereses devengados durante la primera mitad del año. Matemáticamente hablando, al final del año, tenemos

[1000 left (1+ dfrac {0.02} {2} right) ^ 2 = $ 1020.10. ]

De manera similar, si el interés se capitaliza cada (4 ) meses, tenemos

[1000 left (1+ dfrac {0.02} {3} right) ^ 3 = $ 1020.13, ]

y si el interés se capitaliza diariamente ( (365 ) veces al año), tenemos ($ 1020.20 ). Si ampliamos este concepto, de modo que el interés se capitalice continuamente, después de (t ) años tenemos

[1000 lim_ {n → ∞} left (1+ dfrac {0.02} {n} right) ^ {nt}. ]

Ahora manipulemos esta expresión para que tengamos una función de crecimiento exponencial. Recuerde que el número (e ) se puede expresar como un límite:

[e = lim_ {m → ∞} left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m. ]

Con base en esto, queremos que la expresión entre paréntesis tenga la forma ((1 + 1 / m) ). Sea (n = 0.02m ). Tenga en cuenta que como (n → ∞, m → ∞ ) también. Entonces obtenemos

[1000 lim_ {n → ∞} left (1+ dfrac {0.02} {n} right) ^ {nt} = 1000 lim_ {m → ∞} left (1+ dfrac {0.02} { 0.02m} right) ^ {0.02mt} = 1000 left [ lim_ {m → ∞} left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m right] ^ {0.02t}. ]

Reconocemos el límite dentro de los corchetes como el número (e ). Entonces, el saldo en nuestra cuenta bancaria después de (t ) años viene dado por (1000 e ^ {0.02t} ). Generalizando este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de ($ P ) gana intereses a una tasa de (r% ), compuesto continuamente, entonces el saldo de la cuenta después de (t ) años es

[ text {Balance} ; = Pe ^ {rt}. ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): interés compuesto

A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga (5% ) un interés anual compuesto continuamente. ¿Cuánto necesita invertir el estudiante hoy para tener ($ 1 ) millón cuando se jubile a la edad de (65 )? ¿Qué pasaría si pudiera ganar un (6% ) de interés anual compuesto continuamente en su lugar?

Solución

Tenemos

[1,000,000 = Pe ^ {0.05 (40)} ]

[P = 135,335.28. ]

Debe invertir ($ 135,335.28 ) al (5% ) de interés.

Si, en cambio, puede ganar (6%, ) entonces la ecuación se convierte en

[1,000,000 = Pe ^ {0.06 (40)} ]

[P = 90,717.95. ]

En este caso, necesita invertir solo ($ 90,717.95. ) Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir en (5% ). El hecho de que el interés se capitalice continuamente magnifica enormemente el efecto del aumento (1% ) en la tasa de interés.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Suponga que en lugar de invertir a la edad (25 sqrt {b ^ 2−4ac} ), el estudiante espera hasta la edad (35 ). ¿Cuánto tendría que invertir en (5% )? A las 6%)?

Insinuación

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Respuesta

Al (5% ) de interés, debe invertir ($ 223,130.16 ). Al (6% ) de interés, debe invertir ($ 165,298.89. )

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse permanece constante. En otras palabras, se necesita la misma cantidad de tiempo para que una población de bacterias crezca de (100 ) a (200 ) bacterias que de (10,000 ) a (20,000 ) bacterias. Este tiempo se llama tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, queremos saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Entonces tenemos

[ begin {align *} 2y_0 & = y_0e ^ {kt} [4pt] 2 & = e ^ {kt} [4pt] ln 2 & = kt [4pt] t & = dfrac { ln 2} {k}. end {alinear *} ]

Definición: duplicar el tiempo

Si una cantidad crece exponencialmente, la Doblando tiempo es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Es dado por

[ text {Tiempo de duplicación} = dfrac { ln 2} {k}. ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso del tiempo de duplicación

Suponga que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con (500 ) peces. Después de (6 ) meses, hay (1000 ) peces en el estanque. El propietario permitirá que sus amigos y vecinos pesquen en su estanque después de que la población de peces alcance (10,000 ). ¿Cuándo se permitirá pescar a los amigos del propietario?

Solución

Sabemos que la población de peces necesita (6 ) meses para duplicar su tamaño. Entonces, si (t ) representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos (6 = ( ln 2) / k ). Entonces, (k = ( ln 2) / 6 ). Por tanto, la población está dada por (y = 500e ^ {(( ln 2) / 6) t} ). Para saber cuándo la población llega a (10,000 ) peces, debemos resolver la siguiente ecuación:

[ begin {align *} 10,000 & = 500e ^ {( ln 2/6) t} [4pt] 20 & = e ^ {( ln 2/6) t} [4pt] ln 20 & = left ( frac { ln 2} {6} right) t [4pt] t & = frac {6 ( ln 20)} { ln 2} [4pt] & ≈ 25,93. end {alinear *} ]

Los amigos del propietario tienen que esperar (25,93 ) meses (un poco más de (2 ) años) para pescar en el estanque.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Suponga que la población de peces del ejemplo ( PageIndex {3} ) tarda (9 ) meses en llegar a (1000 ) peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario?

Insinuación

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Respuesta

(38,90 ) meses

Modelo de decadencia exponencial

Las funciones exponenciales también se pueden usar para modelar poblaciones que se encogen (por enfermedad, por ejemplo) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben una disminución exponencial, en lugar de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Por tanto, para alguna constante positiva (k ), tenemos

[y = y_0e ^ {- kt}. ]

Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada con el decaimiento exponencial. Tenemos

[y ′ = - ky_0e ^ {- kt} = - ky. ]

Decrecimiento exponencial

Los sistemas que exhiben un decaimiento exponencial se comportan de acuerdo con el modelo

[y = y_0e ^ {- kt}, ]

donde (y_0 ) representa el estado inicial del sistema y (k> 0 ) es una constante, llamada constante de decaimiento.

La figura ( PageIndex {2} ) muestra una gráfica de una función de disminución exponencial representativa.

Veamos una aplicación física del decaimiento exponencial. Ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si (T ) representa la temperatura del objeto y (T_a ) representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces

[T ′ = - k (T − T_a). ]

Tenga en cuenta que este no es el modelo correcto para el decaimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional (T_a ). Afortunadamente, podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Sea (y (t) = T (t) −T_a ). Entonces (y ′ (t) = T ′ (t) −0 = T ′ (t) ), y nuestra ecuación se convierte en

[y ′ = - ky. ]

Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre (y ) y su derivada conduce a un decaimiento exponencial. Por lo tanto,

[y = y_0e ^ {- kt}, ]

y vemos que

[T − T_a = (T_0 − T_a) e ^ {- kt} ]

[T = (T_0 − T_a) e ^ {- kt} + T_a ]

donde (T_0 ) representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Ley de enfriamiento de Newton

Según baristas experimentados, la temperatura óptima para servir café es entre (155 ° F ) y (175 ° F ). Suponga que el café se vierte a una temperatura de (200 ° F ), y después de (2 ) minutos en una habitación (70 ° F ) se ha enfriado a (180 ° F ). ¿Cuándo está el café lo suficientemente frío como para servirlo? ¿Cuándo el café está demasiado frío para servir? Redondea las respuestas al medio minuto más cercano.

Solución

Tenemos

[ begin {align *} T & = (T_0 − T_a) e ^ {- kt} + T_a [4pt] 180 & = (200−70) e ^ {- k (2)} + 70 [4pt] 110 & = 130e ^ {- 2k} [4pt] dfrac {11} {13} & = e ^ {- 2k} [4pt] ln dfrac {11} {13} & = −2k [4pt] ln 11− ln 13 & = - 2k [4pt] k & = dfrac { ln 13− ln 11} {2} end {align *} ]

Entonces, el modelo es

[T = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} +70. sin número]

El café alcanza (175 ° F ) cuando

[ begin {align *} 175 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} +70 [4pt] 105 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2 ) t} [4pt] dfrac {21} {26} & = e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} [4pt] ln dfrac {21} {26} & = dfrac { ln 11− ln 13} {2} t [4pt] ln 21− ln 26 & = left ( dfrac { ln 11− ln 13} {2} right) t [4pt] t & = dfrac {2 ( ln 21− ln 26)} { ln 11− ln 13} [4pt] & ≈2.56. end {alinear *} ]

El café se puede servir aproximadamente (2,5 ) minutos después de vertido. El café alcanza (155 ° F ) a

[ begin {align *} 155 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} +70 [4pt] 85 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13) t } [4pt] dfrac {17} {26} & = e ^ {( ln 11− ln 13) t} [4pt] ln 17− ln 26 & = left ( dfrac { ln 11− ln 13} {2} right) t [4pt] t & = dfrac {2 ( ln 17− ln 26)} { ln 11− ln 13} [4pt ] Y ≈5.09. End {align *} ]

El café está demasiado frío para servirlo unos (5 ) minutos después de que se sirva.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Suponga que la habitación está más caliente ((75 ° F) ) y, después de (2 ) minutos, el café se ha enfriado solo a (185 ° F). ¿Cuándo el café está demasiado frío para servir? Redondea las respuestas al medio minuto más cercano.

Insinuación

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Respuesta

El café se enfría primero lo suficiente como para servir unos (3,5 ) minutos después de vertido. El café está demasiado frío para servir unos (7 ) minutos después de vertido.

Así como los sistemas que exhiben un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que exhiben una disminución exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad alcanza la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos

( dfrac {y_0} {2} = y_0e ^ {- kt} )

( dfrac {1} {2} = e ^ {- kt} )

(- ln 2 = −kt )

(t = dfrac { ln 2} {k} ).

Nota: Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo.

Definición: Half-Life

Si una cantidad decae exponencialmente, la vida media es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad. Es dado por

[ text {Half-life} = dfrac { ln 2} {k}. ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Datación por radiocarbono

Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de desintegración exponencial es la datación por carbono. El carbono-14 se desintegra (emite una partícula radiactiva) a una tasa exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono-14 estaba originalmente presente en un objeto y cuánto carbono-14 queda, podemos determinar la edad del objeto. La vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5730 años, lo que significa que, después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono 14 original en el nuevo nitrógeno 14 no radiactivo. Si tenemos 100 g de carbono 14 hoy, ¿cuánto queda en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono 14 ahora contiene 10 g de carbono 14, ¿cuántos años tiene? Redondea la respuesta a la centena de años más cercana.

Solución

Tenemos

[5730 = dfrac { ln 2} {k} nonumber ]

[k = dfrac { ln 2} {5730}. nonumber ]

Entonces, el modelo dice

[y = 100e ^ {- ( ln 2/5730) t}. nonumber ]

En (50 ) años, tenemos

[y = 100e ^ {- ( ln 2/5730) (50)} ≈99.40 nonumber ]

Por tanto, en (50 ) años, quedan (99,40 ) g de carbono-14.

Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver

[ begin {align *} 10 & = 100e ^ {- ( ln 2/5730) t} [4pt] dfrac {1} {10} & = e ^ {- ( ln 2/5730) t} t & ≈19035. end {alinear *} ]

El artefacto tiene unos (19.000 ) años.

Ejercicio ( PageIndex {5} ): Decaimiento del carbono 14

Si tenemos 100 g de carbono 14, ¿cuánto queda después de 500 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono 14 ahora contiene 20 g de carbono 14, ¿cuántos años tiene? Redondea la respuesta a la centena de años más cercana.

Insinuación

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Respuesta

Queda un total de 94,13 g de carbono 14 después de 500 años. El artefacto tiene aproximadamente 13.300 años.

Conceptos clave

  • El crecimiento exponencial y la disminución exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales.
  • Los sistemas que exhiben un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma (y = y_0e ^ {kt} ).
  • En crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras, (y ′ = ky ).
  • Los sistemas que exhiben un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, que viene dado por (( ln 2) / k ).
  • Los sistemas que exhiben una disminución exponencial siguen un modelo de la forma (y = y_0e ^ {- kt}. )
  • Los sistemas que exhiben una disminución exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por (( ln 2) / k. )

Glosario

Doblando tiempo
si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicarse, y viene dado por (( ln 2) / k )
Decrecimiento exponencial
Los sistemas que exhiben una disminución exponencial siguen un modelo de la forma (y = y_0e ^ {- kt} )
crecimiento exponencial
los sistemas que exhiben un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma (y = y_0e ^ {kt} )
media vida
si una cantidad decae exponencialmente, la vida media es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad. Está dado por (( ln 2) / k )

Modelo de crecimiento exponencial

Muchos sistemas exhiben crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma [látex] y =_<0>^, [/ latex] donde [latex]_ <0> [/ latex] representa el estado inicial del sistema y [latex] k [/ latex] es una constante positiva, llamada constante de crecimiento. Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor de la función actual. Ésta es una característica clave del crecimiento exponencial. (Figura) involucra derivadas y se llama ecuación diferencial. Aprendemos más sobre ecuaciones diferenciales en Introducción a las ecuaciones diferenciales en el segundo volumen de este texto.

Regla: Modelo de crecimiento exponencial

Los sistemas que exhiben un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático

donde [látex]_ <0> [/ latex] representa el estado inicial del sistema y [latex] k & gt0 [/ latex] es una constante, llamada constante de crecimiento.

El crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Considere una población de bacterias, por ejemplo. Parece plausible que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la población. Después de todo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crece la población. (Figura) y (Figura) representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 bacterias y una constante de crecimiento de 0.02. Observe que después de solo 2 horas [látex] (120 [/ látex] minutos), ¡la población es 10 veces mayor que su tamaño original!

Figura 1. Un ejemplo de crecimiento exponencial de bacterias.

Crecimiento exponencial de una población bacteriana
Tiempo (min) Tamaño de la población (no. De bacterias)
10 244
20 298
30 364
40 445
50 544
60 664
70 811
80 991
90 1210
100 1478
110 1805
120 2205

Tenga en cuenta que estamos usando una función continua para modelar lo que es un comportamiento inherentemente discreto. En un momento dado, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo toma valores no enteros. Al utilizar modelos de crecimiento exponencial, siempre debemos tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando.

Crecimiento de la población

Considere la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función [látex] f (t) = 200^ <0.02t>, [/ latex] donde [latex] t [/ latex] se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 5 horas [látex] (300 [látex] minutos)? ¿Cuándo llega la población a 100.000 bacterias?

Tenemos [látex] f (t) = 200^ <0.02t>. [/ Latex] Entonces

Hay 80.686 bacterias en la población después de 5 horas.

Para saber cuándo la población alcanza las 100.000 bacterias, resolvemos la ecuación

La población alcanza las 100.000 bacterias después de 310,73 minutos.

Considere una población de bacterias que crece según la función [látex] f (t) = 500^ <0.05t>, [/ latex] donde [latex] t [/ latex] se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo llega la población a los 100 millones de bacterias?

Hay 81,377,396 bacterias en la población después de 4 horas. La población alcanza los 100 millones de bacterias después de 244,12 minutos.

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Dirijamos ahora nuestra atención a una aplicación financiera: interés compuesto. El interés que no se capitaliza se llama interés simple . El interés simple se paga una vez, al final del período de tiempo especificado (generalmente 1 año). Entonces, si ponemos [látex] $ 1000 [/ látex] en una cuenta de ahorros que genera un interés simple del 2% por año, al final del año tenemos

El interés compuesto se paga varias veces al año, según el período de capitalización. Por lo tanto, si el banco acumula los intereses cada 6 meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de 6 meses. Durante la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo sobre los $ 1000 [látex] iniciales, [/ látex], sino también sobre los intereses devengados durante la primera mitad del año. Matemáticamente hablando, al final del año, tenemos

De manera similar, si el interés se capitaliza cada 4 meses, tenemos

y si el interés se capitaliza diariamente [látex] (365 [/ látex] veces por año), tenemos [látex] $ 1020.20. [/ látex] Si ampliamos este concepto, de modo que el interés se capitalice continuamente, después de [látex] t [/ latex] años tenemos

Ahora manipulemos esta expresión para que tengamos una función de crecimiento exponencial. Recuerde que el número [latex] e [/ latex] se puede expresar como un límite:

En base a esto, queremos que la expresión entre paréntesis tenga la forma [látex] (1 + 1 textm). [/ latex] Sea [latex] n = 0.02m. [/ latex] Note que como [latex] n to infty, [/ latex] [latex] m to infty [/ latex] también . Entonces obtenemos

Reconocemos el límite entre paréntesis como el número [látex] e. [/ Látex] Entonces, el saldo en nuestra cuenta bancaria después de [látex] t [/ látex] años viene dado por [látex] 1000^ <0.02t>. [/ Latex] Generalizando este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de [latex] $ P [/ latex] gana intereses a una tasa de [latex] r text <%> , [/ latex] compuesto continuamente, entonces el saldo de la cuenta después de [latex] t [/ latex] años es

Interés compuesto

A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga un interés anual del 5% compuesto continuamente. ¿Cuánto necesita invertir el estudiante hoy para tener [látex] $ 1 [/ látex] millón cuando se jubile a los [látex] 65 años? [/ Látex] ¿Qué pasaría si pudiera ganar un 6% de interés anual compuesto continuamente en su lugar?

Ella debe invertir [látex] $ 135,335.28 [/ látex] al 5% de interés.

Si, en cambio, puede ganar [látex] 6 text <%>, [/ látex], entonces la ecuación se convierte en

En este caso, solo necesita invertir [látex] $ 90,717.95. [/ Látex] Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir en [látex] 5 text <%>. [/ Látex] El hecho de que el interés se agrava continuamente magnifica enormemente el efecto del aumento del 1% en la tasa de interés.

Suponga que en lugar de invertir a la edad [látex] 25 sqrt <^ <2> -4ac>, [/ latex] el estudiante espera hasta los 35 años. ¿Cuánto tendría que invertir en [latex] 5 text <%>? [/ Latex] En [latex] 6 text <% >? [/ latex]

Al 5% de interés, debe invertir [látex] $ 223,130.16. [/ Látex] Al 6% de interés, debe invertir [látex] $ 165,298.89. [/ Látex]

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse permanece constante. En otras palabras, se necesita la misma cantidad de tiempo para que una población de bacterias crezca de 100 a 200 bacterias que para crecer de 10 000 a 20 000 bacterias. Esta vez se llama Doblando tiempo. Para calcular el tiempo de duplicación, queremos saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Entonces tenemos

Definición

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Es dado por

Usando el tiempo de duplicación

Suponga que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1000 peces en el estanque. El propietario permitirá que sus amigos y vecinos pesquen en su estanque después de que la población de peces alcance los 10,000. ¿Cuándo se permitirá pescar a los amigos del propietario?

Sabemos que la población de peces tarda 6 meses en duplicarse. Entonces, si [látex] t [/ látex] representa el tiempo en meses, según la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos [látex] 6 = ( text2) textok. [/ latex] Entonces, [latex] k = ( text2) texto6. [/ látex] Por lo tanto, la población está dada por [látex] y = 500^ <(( texto2) texto6) t>. [/ Latex] Para saber cuándo la población alcanza los 10,000 peces, debemos resolver la siguiente ecuación:

Los amigos del propietario tienen que esperar 25,93 meses (un poco más de 2 años) para pescar en el estanque.

Suponga que se necesitan 9 meses para que la población de peces de la (Figura) alcance los 1000 peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario?


Observando $ dh / dt = 0 $ encontramos que $ H = 20 $ esto significa que la función deja de cambiar a la temperatura ambiente $ H = 20 $. Como se implica que $ t $ es $ H = 20 + Ae ^ <-kt> $ cuando $ t $ se acerca al infinito $ H = 20 $.

Creo que puedes usar la separación de variables, por lo que tenemos $ frac

= -k (H-20) frac = -kdt int < frac> = int <-kdt> ln (H-20) = -kt + C e ^ < ln <(H-20) >> = e ^ <-kt + C> H- 20 = e ^ <-kt + C> H-20 = e ^ <-kt> e ^ $

Ahora, resuelva para $ e ^ C $, estableciendo $ t = 0 $ da

$ H_0 - 20 = e ^ C $ que finalmente da $ H (t) = (H_0 - 20) e ^ <-kt> + 20 quad quad (1) $

Ahora necesitamos calcular $ k $ usando la ecuación $ (1) $ y la información dada en el problema: Suponga $ H_0 = 100 $, entonces

$ 90 = (100 - 20) e ^ <-2k> + 20 70 = 80e ^ <-2k> frac <70> <80> = e ^ <-2k> ln left ( frac <70> <80> right) = -2k ln (7/8) = -2k k = - frac < ln (8/7)> <2> k approx 0.0667656963123 $

Por lo tanto, la taza de café tarda unos 10 minutos en enfriarse a $ 60 ^ < circ> $ C.

Nota: Herviste el café, digamos $ H (0) approx 100 ^ o C $

Ahora sabes que el café perderá calor continuamente hasta que alcance la temperatura ambiente, nunca por debajo de ella. Entonces $ frac

$ es negativo. $ (H-20) $ siempre es positivo. Entonces, k es positivo


Estrategias de enseñanza: ideas de la educación matemática

Ponga los conceptos cuantitativos en contexto

Hay una serie de contextos geológicos en los que introducir el concepto de crecimiento y decadencia exponenciales. Algunos de estos incluyen:

Usa múltiples representaciones

Dado que todo el mundo tiene diferentes formas de aprender, los matemáticos han definido una serie de formas en que los conceptos cuantitativos pueden representarse a los individuos. A continuación, se muestran algunas formas en las que se pueden representar el crecimiento y la disminución exponenciales.

Usa la tecnología de manera apropiada

Los estudiantes tienen una gran cantidad de herramientas tecnológicas que pueden usar para comprender mejor los conceptos cuantitativos, desde las calculadoras en sus mochilas hasta las computadoras en sus dormitorios. El crecimiento y el deterioro exponencial pueden hacer uso de estas herramientas para ayudar a los estudiantes a comprender este concepto, a menudo difícil.

Trabajar en grupos para resolver problemas en profundidad de varios días

Los matemáticos también indican que los estudiantes aprenden mejor los conceptos cuantitativos cuando trabajan en grupos y revisan un concepto en más de un día. Por lo tanto, cuando discuta conceptos cuantitativos en cursos de geociencia de nivel de entrada, haga que los estudiantes discutan o practiquen los conceptos juntos. Además, asegúrese de incluir problemas que puedan extenderse a más de un período de clase o revise el concepto en numerosas ocasiones.

El crecimiento y la desintegración exponencial es un concepto que surge una y otra vez en la introducción a la geociencia: desintegración radiactiva, crecimiento de la población, CO2 aumentar, etc. Cuando se introduzca cada tema nuevo, asegúrese de señalar que han visto este tipo de función antes y deben reconocerlo.


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Son muchos métodos variantes para resolver este tipo de problema de regresión. Implican cálculo numérico iterativo, a partir de valores "adivinados" de los parámetros a evaluar. La pregunta que plantea el OP es cómo encontrar valores iniciales suficientemente correctos. Las suposiciones incorrectas suelen ser una de las principales causas de la baja robustez.

Existe un método no tradicional para superar esta dificultad de "conjeturas". Este método no es iterativo y no requiere valores iniciales. El principio general se describe en el documento: https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales.

El caso de ajustar una función exponencial a dos se muestra en las páginas 71-72 y se da un ejemplo numérico en la página 73. Pero la función considerada es: $ y (x) = b : e ^+ c : e ^$ Son cuatro parámetros $ p, q, b, c $. Esto es ligeramente diferente del problema planteado por el OP con cinco parámetros. Esto requiere reemplazar la matriz 4X4 por una matriz 5X5. El proceso actualizado se muestra en la hoja siguiente. Para ser coherente con los símbolos utilizados en el documento de referencia, la función considerada es: $ y (x) = a + b : e ^+ c : e ^$ Los cinco parámetros a calcular son $ p, q, a, b, c $.

A continuación se muestra un ejemplo numérico:

En este método, la linealización de la regresión se obtiene gracias a una ecuación integral. Esto requiere algunas integraciones numéricas que corresponden al cálculo de $ S_k $ y $ SS_k $. Ese es un punto clave: si la integración numérica fuera exacta, el resultado final sería perfecto. Pero la integración numérica no es exacta. Esa es una causa de desviación especialmente si son pocos puntos y si los puntos no están bien distribuidos. Como consecuencia, los valores de $ p, q, a, b, c $ obtenidos son generalmente aproximados no lejos de los valores correctos (si las integraciones numéricas son lo suficientemente precisas, lo que requiere algunas condiciones para los datos, especialmente un número de puntos grandes suficiente).

Si el resultado general no es lo suficientemente preciso, no se puede evitar utilizar un proceso iterativo común para mejorar el resultado. Pero la principal ventaja es que no se necesitan valores adivinados: como valores iniciales, se pueden utilizar los aproximados ya encontrados gracias al método anterior. Esto hace que todo el proceso sea robusto.

Además de la teoría dada en el documento de referencia, la ecuación integral utilizada aquí es: $ y (x) = - pq int int y : dx : dx + (p + q) int y : dx + C : x ^ 2 + D : x + E $ Los parámetros $ a, b, c $ y el límite de las integrales definidas aparecen de manera complicada en los coeficientes $ C, D, E $. Es mucho más sencillo hacer una regresión lineal para $ a, b, c $ que tratar de derivarlos de $ C, D, E $. Eso es lo que finalmente se hace con la matriz 3X3.


Crecimiento exponencial y decadencia

Una función exponencial con base b está definida por f (x) = ab x
donde a ≠ 0, b & gt 0, b ≠ 1 y x es cualquier número real.
La base, b, es constante y el exponente, x, es una variable.

Darse cuenta: La la variable x es un exponente. Como tal, las gráficas de estas funciones no son líneas rectas. En línea recta, la & # 8220 tasa de cambio & # 8221 es la misma en todo el gráfico. En estos gráficos, la & # 8220 tasa de cambio & # 8221 aumenta o disminuye en los gráficos.

Observe cómo cambian las gráficas de funciones exponenciales según los valores de ayb:
En el siguiente ejemplo, a = 1 y b = 2.

  • el dominio son todos los números reales.
  • el rango son todos los números reales positivos (no cero).
  • El gráfico tiene una intersección con el eje y en (0,1). Recuerde que cualquier número elevado a cero es 1.
  • cuando b & gt 1, el gráfico aumenta. Cuanto mayor sea la base, b, más rápido aumentará la gráfica de izquierda a derecha.
  • cuando 0 & lt b & lt 1, la gráfica disminuye.
  • tiene una asíntota (una línea a la que el gráfico se acerca mucho, pero que nunca se cruza ni toca). Para este gráfico, la asíntota es el eje x (y = 0).

Crecimiento y decadencia

Muchos fenómenos del mundo real pueden modelarse mediante funciones que describen cómo crecen o decaen las cosas con el paso del tiempo. Ejemplos de tales fenómenos incluyen los estudios de poblaciones, bacterias, virus del SIDA, sustancias radiactivas, electricidad, temperaturas y pagos de créditos, por mencionar algunos.

Se dice que cualquier cantidad que crece o decae en un porcentaje fijo a intervalos regulares posee crecimiento exponencial o Decrecimiento exponencial.

En el nivel de álgebra, hay dos funciones que pueden usarse fácilmente para ilustrar los conceptos de crecimiento o decadencia en situaciones aplicadas. Cuando una cantidad crece en un porcentaje fijo a intervalos regulares, el patrón se puede representar por las funciones,

En crecimiento exponencial, la cantidad aumenta, lentamente al principio y luego muy rápidamente. La tasa de cambio aumenta con el tiempo. La tasa de crecimiento se acelera a medida que pasa el tiempo. Este rápido crecimiento es lo que se entiende por la expresión & # 8220 aumenta exponencialmente & # 8221.

En Decrecimiento exponencial, the quantity decreases very rapidly at first, and then more slowly. The rate of change decreases over time. The rate of decay becomes slower as time passes.

Ejemplo: A bank account balance, b, for an account starting with s dollars, earning an annual interest rate, r, and left untouched for n years can be calculated as b = s(1 + r) n (an exponential growth formula). Find a bank account balance to the nearest dollar, if the account starts with $100, has an annual rate of 4%, and the money left in the account for 12 years.

We will now examine rate of growth and decay in a three step process. We will (1) build a chart to examine the data and “see” the growth or decay, (2) write an equation for the function, and (3) prepare a scatter plot of the data along with the graph of the function.

Consider these examples of growth and decay:

Growth:

Cell Phone Users In 1985, there were 285 cell phone subscribers in the small town of Centerville. The number of subscribers increased by 75% per year after 1985. How many cell phone subscribers were in Centerville in 1994? (Don’t consider a fractional part of a person.)

Therefore, there were 43,871 subscribers in 1994.

Growth by doubling:

One of the most common examples of exponential growth deals with bacteria. Bacteria can multiply at an alarming rate when each bacteria splits into two new cells, thus doubling. For example, if we start with only one bacteria which can double every hour, by the end of one day we will have over 16 million bacteria.
Let’s examine the graph of our scatter plot and function. To the left of the origin we see that the function graph tends to flatten, but stays slightly above the x-axis. To the right of the origin the function graph grows so quickly that it is soon off the graph. The rate at which the graph changes increases as time increases.

When we can see larger y-values, we see that the growth still continues at a rapid rate. This is what is meant by the expression “increases exponentially”.

Nota: In reality, exponential growth does not continue indefinitely. There would, eventually, come a time when there would no longer be any room for the bacteria, or nutrients to sustain them. Exponential growth actually refers to only the early stages of the process and to the manner and speed of the growth.

Decay:

Tennis Tournament Each year the local country club sponsors a tennis tournament. Play starts with 128 participants. During each round, half of the players are eliminated. How many players remain after 5 rounds?

Notice the shape of this graph compared to the graphs of the growth functions.

Decay by half-life:

The pesticide DDT was widely used in the United States until its ban in 1972. DDT is toxic to a wide range of animals and aquatic life, and is suspected to cause cancer in humans. The half-life of DDT can be 15 or more years. Half-life is the amount of time it takes for half of the amount of a substance to decay. Scientists and environmentalists worry about such substances because these hazardous materials continue to be dangerous for many years after their disposal.

For this example, we will set the half-life of the pesticide DDT to be 15 years.
Let’s mathematically examine the half-life of 100 grams of DDT.

Let’s examine the scatter plot and the function. At 0 the y-intercept is 100. To the right of the origin we see that the graph declines rapidly and then tends to flatten, staying slightly above the x-axis. The rate of change decreases as time increases.

When we zoom in on the flattened area of the graph, we see that the graph does stay above the x-axis. This makes sense because we could not have a “negative” number of grams of DDT leftover.

Exponential growth and decay are mathematical changes. The rate of the change continues to either increase or decrease as time passes. In exponential growth, the rate of change increases over time – the rate of the growth becomes faster as time passes. In exponential decay, the rate of change decreases over time – the rate of the decay becomes slower as time passes. Since the rate of change is not constant (the same) across the entire graph, these functions are not straight lines.


Ejemplos de

David owns a chain of fast food restaurants that operated 200 stores in 1999. If the rate of increase is 8% annually, how many stores does the restaurant operate in 2007 ?

Number of years between 1999 and 2007 is 

No. of stores in the year 2007 is 

Substitute P = 200, r = 8% or 0.08, n = 8.

So, the number of stores in the year 2007 is 370 (approximately)

You invest $2500 in bank which pays 10% interest per year compounded continuously. What will be the value of the investment after 10 years ?

We have to use the formula given below to know the value of the investment after 3 years. 

A = Final value of the deposit

So, the value of the investment after 10 years is $6795.70.

Suppose a radio active substance decays at a rate of 3.5% per hour. What percent of substance will be left after 6 hours ?

Because the initial amount of substance is not given and the problem is based on percentage, we have to assume that the initial amount of substance is 100. 

We have to use the formula given below to find the percent of substance after 6 hours. 

A  =  Amount of substance after 6 hours. 

(Here, the value of "r" is taken in negative sign. because the substance decays)

Because the initial amount of substance is assumed as 100, the percent of substance left after 6 hours is 80.75%. 

The number of bacteria in a certain culture doubles every hour. If there were 30 bacteria  present in the culture initially, how many bacteria will be present at the end of 8th hour?

Note that the number of bacteria present in the culture doubles at the end of  successive hours.

Since it grows at the constant ratio "2", the growth is based is on geometric progression. 

We have to use the formula given below to find the no. of bacteria present at the end of 8th hour. 

A  =  No. of bacteria at the end of 8th hour

So, the number of bacteria at the end of 8th hour is 7680.

A sum of money placed at compound interest doubles itself in 3 years. If interest is being compounded annually, in how many years will it amount to four times itself ?

Let 'P' be the amount invested initially. 

From the given information, P becomes 2P in 3 years. 

Because the investment is in compound interest, for the 4th year, the principal will be 2P. 

And 2P becomes 4P (it doubles itself) in the next 3 years. 

Therefore, at the end of 6 years accumulated value will be 4P. 

So, the amount deposited will amount to 4 times itself in 6 years.

Apart from the stuff given above, if you need any other stuff in math, please use or google custom search here. 

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Exponential growth and decay (Part 3): Paying off credit-card debt

The following problem in differential equations has a very practical application for anyone who has either (1) taken out a loan to buy a house or a car or (2) is trying to pay off credit card debt. To my surprise, most math majors haven’t thought through the obvious applications of exponential functions as a means of engaging their future students, even though it is directly pertinent to their lives (both the students’ and the teachers’).

You have a balance of $2,000 on your credit card. Interest is compounded continuously with a relative rate of growth of 25% per year. If you pay the minimum amount of $50 per month (or $600 per year), how long will it take for the balance to be paid?

In yesterday’s post, I showed that the answer to this question was about 7.2 years. To obtain this answer, I started with the differential equation

which, given the initial condition , has solution

Today, I’ll give some pedagogical thoughts about how this problem, and other similar problems inspired by financial considerations, could fit into a Precalculus course… and hopefully improve the financial literacy of high school students.

I’ve read many Precalculus books not many of them include applying exponential functions to the paying off of credit-card debt (or a mortgage on a house or car). Of course, yesterday’s derivation was well above the comprehension level of students in Precalculus. However, there’s no reason why Precalculus students couldn’t be given the general formula

where is the initial amount, is the relative rate of growth, and is the amount paid per year. In other words, students could be given the formula without the full explanation of where it comes from. After all, many Precalculus textbooks give the formula for Newton’s Law of Cooling (the subject of a future post) with neither derivation nor explanation (though its derivation is nearly identical to the work of yesterday’s post), So I don’t see why also giving students the above formula for paying off credit-card debt isn’t more common.

Plugging in , , and into this equation again yields the function

from which we find that it will take years to pay off the debt.

A natural follow-up question is “How much money actually was spent to pay off this debt?” By this point, the answer is quite easy: the lender paid per year for years, and so the amount spent is

When I teach this topic in differential equations, I let that answer sink in for a while. The original debt was only $2000, but ultimately $4300 needs to be paid over 7.2 years in order to pay off the debt.

The natural question is, “Why did it take so long?” Of course, the answer is that the debtor only paid the minimal amount — $50 per month, or $600 per year. It stands to reason that if extra money was paid each month, then the debt will be paid off faster at lesser expense.

To give one example, let’s repeat the calculation if the debtor paid twice as much ($100 per month, or $1200 per year). Then the amount owed as a function of time would be

To find when the credit card will be paid off, we set :

That’s certainly a lot faster! Also, the amount that’s spent over that time is also considerably less:

So, along with being a good way to practice proficiency with exponential and logarithmic functions, this problem lends itself for students discovering some basic principles of financial literacy.


10.6 Exponential Growth and Decay

ex: Timmy drank hot chocolate which has 110 milligrams of sugar. If the sugar was eliminated from the body at a rate of 12% per hour. How long will it take for half of the sugar to be gone from his body?

55 = 110(1 – .12) t Plug in the values for the equations
.5 = (.88) t Divide by 110
log .5= log (.88) t Set both into log form
log .5= t log (.88) Use power property
.30102 / .05551 = t Divide log .5 by log. 88
5.42 ≈ t Round

Exponential decay equation #2 (continuous) – y = ae -kt
y = what’s leftover
a = what you start with
e = e (log)
k = rate
t = time

ex: An investigator finds there is 25% of the blood left on the crime scene than when the crime was first committed. Each day 7% of the blood goes away. How long ago did the crime take place?

.25a = ae -.07t Plug in values of the variables
.25 = e -.07t Divide by a
ln .25 = ln e -.07t Set to ln to get rid of e
ln .25 = -.07t Cancel ln and e
ln .25 / -.07 = t Divide ln .25 by -.07
19.80 ≈ t Round

Exponential growth equation #1 – y = a(1 + r) t

ex: Bob Industries bought a plasma for $2500. It is expected to appreciate at most 4% per year. What will the plasma be worth in 2 years?

y = 2,500(1 + .04) 2 Plug in values
y = 2,500(1.04) 2 Add the numbers in the parenthesis
y = 2,500(1.0816) Square the number in the parenthesis
y ≈ 2,704 Multiply

Exponential growth equation #2 (continuous) – y = ae kt

ex: A family bought a house 16 years ago for $130,000, now the house is worth $176,000. Assuming there is a steady rate of growth, what is the yearly rate of appreciation?

176000 = 130000e 16t Replace the variables with their values
ln 176000 = ln 130000 + ln e 16t Set everything to ln
ln 176000 = ln 130000 + 16k ln and e cancel
12.0782 / 11.7752 = 16k Divide by ln 130000 (the 11.7752)
1.0257 = 16k Simplify
.0641 ≈ k Divide by 16
6.41% ≈ k Convert to a percentage


Exponential growth and decay (Part 7): Paying off credit-card debt via recurrence relations

The following problem in differential equations has a very practical application for anyone who has either (1) taken out a loan to buy a house or a car or (2) is trying to pay off credit card debt. To my surprise, most math majors haven’t thought through the obvious applications of exponential functions as a means of engaging their future students, even though it is directly pertinent to their lives (both the students’ and the teachers’).

You have a balance of $2,000 on your credit card. Interest is compounded continuously with a rate of growth of 25% per year. If you pay the minimum amount of $50 per month (or $600 per year), how long will it take for the balance to be paid?

In previous posts, I approached this problem using differential equations. There’s another way to approach this problem that avoids using calculus that, hypothetically, is within the grasp of talented Precalculus students. Instead of treating this problem as a differential equation, we instead treat it as a first-order difference equation (also called a recurrence relation):

The idea is that the amount owed is multiplied by a factor (which is greater than 1), and from this product the amount paid is deducted. With this approach — and unlike the approach using calculus — the payment period would be each month and not per year. Therefore, we can write

Notice that the meaning of the 25% has changed somewhat… it’s no longer the relative rate of growth, as the 25% has been equally divided for the 12 months.

A full treatment of the solution of difference equations belongs to a proper course in discrete mathematics. In the previous posts, I demonstrated how this difference equation could be solved by directly finding and looking for a pattern.

In this post, I’d like to present an alternative method for deriving the solution. I’ll let the reader decide for him/herself as to whether this technique is pedagogically superior to the previous method. We will attempt to find a solution of the form

where and are unknown constants.Why do we guess the solution to have this form? I won’t dive into the details, but this is entirely analogous to constructing the characteristic equation of a linear differential equation with constant coefficients as well as using the method of undetermined coefficients to find a particular solution to a inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients.

Substituting instead of , we find that

So we plug both of these into the difference equation:

We also use the fact that :

Combining these, we obtain the solution of the difference equation:

Unsurprisingly, this matches the solution that was obtained in the previous two posts (though the terms have been rearranged).


Ver el vídeo: 10. Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Harrison

    Esta maravillosa idea acaba de grabar

  2. Pierce

    El mensaje inteligible

  3. Votaxe

    Puedo esperar una mejor calidad

  4. Chadwik

    que gran frase

  5. Berend

    En mi opinión, se cometen errores. Tratemos de discutir esto. Escríbeme en PM, habla.

  6. Micaiah

    Pido disculpas, pero no viene a mi manera.

  7. Gardakinos

    los felicito, que palabras tan adecuadas..., la idea genial



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