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3.5: Resumiendo, mirando hacia el futuro - Matemáticas

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Hemos probado un par de teoremas difíciles en este capítulo y, al comprender la demostración del Teorema de completitud, ha captado un argumento intrincado con una idea maravillosa en su núcleo. Nuestros resultados se han dirigido a las estructuras: ¿Qué tipo de estructuras existen? ¿Cómo podemos (o no podemos) caracterizarlos? ¿Qué tan grandes pueden ser?

El próximo capítulo comienza nuestra discusión de los famosos teoremas de incompletitud de Kurt Gödel. En lugar de discutir la fuerza de nuestro sistema deductivo como lo hemos hecho en los dos últimos capítulos, ahora discutiremos la fuerza de los conjuntos de axiomas. En particular, veremos la cuestión de cuán complicado debe ser un conjunto de axiomas para probar todos los enunciados verdaderos sobre la estructura estándar ( mathfrak {N} ).

En el capítulo 4 presentaremos la idea de codificar los enunciados de ( mathcal {L} _ {NT} ) como términos y mostraremos que cierto conjunto de axiomas no lógicos es lo suficientemente fuerte como para probar algunos hechos básicos sobre los números. codificando esas declaraciones. Luego, en los capítulos 5 y 6, reuniremos esos hechos para mostrar que el poder expresivo que hemos ganado nos ha permitido expresar verdades que no se pueden demostrar a partir de nuestro conjunto de axiomas.

Alternativamente, después del Capítulo 4, puede pasar directamente al Capítulo 7 y abordar el tema de la demostrabilidad desde otra dirección. ¡Pero por ahora, pasemos al Capítulo 4!