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6.3: Factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c - Matemáticas

6.3: Factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c - Matemáticas


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Objetivos de aprendizaje

  • Factoriza trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c ).
  • Factoriza trinomios con un factor común.

Factorizar trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c )

Factorizar trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) puede ser un desafío porque el término medio se ve afectado por los factores de (a ) y (c ). Para ilustrar esto, considere el siguiente trinomio factorizado:

(10x ^ {2} + 17x + 3 = (2x + 3) (5x + 1) )

Podemos multiplicar para verificar que esta es la factorización correcta.

( begin {alineado} (2x + 3) (5x + 1) & = 10x ^ {2} + 2x + 15x + 3 & = 10x ^ {2} + 17x + 3 quad color {Cerúleo} { marca de verificación} end {alineado} )

Como hemos visto antes, el producto de los primeros términos de cada binomio es igual al primer término del trinomio. El término medio del trinomio es la suma de los productos de los términos externos e internos de los binomios. El producto de los últimos términos de cada binomio es igual al último término del trinomio. Visualmente, tenemos lo siguiente:

En general,

( begin {align} color {Cerulean} {a} color {black} {x ^ {2} +} color {Cerulean} {b} color {black} {x +} color {Cerulean} { c} & = (px + m) (qx + n) & = pqx ^ {2} + pnx + qmx + mn & = color {Cerúleo} {pq} color {negro} {x ^ { 2} +} color {Cerúleo} {(pn + qm)} color {negro} {x +} color {Cerúleo} {mn} end {alineado} )

Esto nos da

[a = pq quad text {y} quad b = pn + qm, quad text {donde} quad c = mn ]

En resumen, cuando el coeficiente principal de un trinomio es diferente de (1 ), habrá más que considerar al determinar los factores utilizando el método de prueba y error. La clave está en comprender cómo se obtiene el término medio. Multiplica ((2x + 5) (3x + 7) ) y sigue cuidadosamente la formación del término medio.

( begin {array} {ccc} {( color {Cerulean} {2x} color {black} {+} color {OliveGreen} {5} color {black} {) (3x + 7) = color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 3x}}} & { underbrace {+ color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 7 +} color {OliveGreen} { 5} color {black} { cdot 3x}}} & {+ color {OliveGreen} {5} color {black} { cdot 7}} {} & { color {Cerulean} {middle : term}} & {} end {matriz} )

( begin {alineado} & = 6x ^ {2} + 14x + 15x + 35 & = 6x ^ {2} + 29x + 35 end {alineado} )

Si pensamos en el método FOIL para multiplicar binomios, entonces el término medio resulta de la suma del producto interno y el producto externo. En este caso, (14x + 15x = 29x ), como se ilustra a continuación:

Por esta razón, necesitamos buscar productos de los factores del primer y último término cuya suma sea igual al coeficiente del término medio. Por ejemplo, para factorizar (6x ^ {2} + 29x + 35 ), observa los factores de (6 ) y (35 ).

( begin {array} {ccc} {6 = 1 cdot 6} & { quad} & {35 = 1 cdot 35} {= color {Verde oliva} {2 cdot 3}} & { quad} & {= color {Verde oliva} {5 cdot 7}} end {matriz} )

La combinación que produce el coeficiente del término medio es (2⋅7 + 3⋅5 = 14 + 15 = 29 ). Asegúrese de que los términos externos tengan coeficientes (2 ) y (7 ), y que los términos internos tengan coeficientes (5 ) y (3 ). Utilice esta información para factorizar el trinomio:

( begin {align} 6x ^ {2} + 29x + 35 & = (2x quad color {Cerulean} {?} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {?} color {negro} {)} & = (2x + 5) (3x + 7) end {alineado} )

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Factor:

(3x ^ {2} + 7x + 2 ).

Solución:

Dado que el coeficiente principal y el último término son primos, solo hay una forma de factorizar cada uno.

(3 = 1 cdot 3 quad text {y} quad 2 = 1 cdot 2 )

Comience escribiendo los factores del primer término, (3x ^ {2} ), de la siguiente manera:

(3x ^ {2} + 7x + 2 = (x quad color {Cerúleo} {?} Color {negro} {) (3x} quad color {Cerúleo} {?} Color {negro} { )} )

El término medio y el último son ambos positivos; por lo tanto, los factores de (2 ) se eligen como números positivos. En este caso, la única opción es en qué agrupación colocar estos factores.

((x + 1) (3x + 2) quad text {o} quad (x + 2) (3x + 1) )

Determina qué agrupación es la correcta multiplicando cada expresión.

( begin {alineado} (x + 1) (3x + 2) & = 3x ^ {2} + 2x + 3x + 2 & = 3x ^ {2} + 5x + 2 quad color {rojo} {x} (x + 2) (3x + 1) & = 3x ^ {2} + x + 6x + 2 & = 3x ^ {2} + 7x + 2 quad color {Cerúleo} { marca de verificación} end {alineado} )

Tenga en cuenta que estos productos difieren solo en sus términos intermedios. Además, observe que el término medio es la suma del producto interno y externo, como se ilustra a continuación:

Respuesta:

((x + 2) (3x + 1) )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Factor:

(12x ^ {2} + 38x + 20 ).

Solución:

Primero, considere los factores del primer y último término.

( begin {array} {ccc} {12 = 1 cdot 12} & { quad} & {20 = 1 cdot 20} {= 2 cdot 6} & { quad} & {= 2 cdot 10} {= 3 cdot 4} & { quad} & {= 4 cdot 5} end {array} )

Buscamos productos de factores cuya suma sea igual al coeficiente del término medio, (38 ). Para abreviar, el proceso de pensamiento se ilustra comenzando con los factores (2 ) y (6 ). La factorización comienza en este punto con el primer término.

(12x ^ {2} + 38x + 20 = (2x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (6x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

Buscamos factores de 20 que junto con los factores de 12 produzcan un término medio de 38x

( begin {array} {lll} {Factores : de : 20} & {Posible} & {factorización} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 1) ( 6x + 20)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 46x}} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 20) (6x + 1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 122x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 2) (6x + 10)} & { color { Cerúleo} {medio : término Flecha derecha 32x}} { color {Cerúleo} {2 cdot 10}} & {(2x + 10) (6x + 2)} & { color {Cerúleo} {medio : term Rightarrow 64x}} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & {(2x + 4) (6x + 5)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow 34x }} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & { color {OliveGreen} {(2x + 5) (6x + 4)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Flecha derecha 38x} quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

Aquí la última combinación produce un término medio de (38x ).

Respuesta:

((2x + 5) (6x + 4) )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Factor:

(10x ^ {2} −23x + 6 ).

Solución

Primero, considere los factores del primer y último término.

( begin {array} {ccc} {10 = 1 cdot 10} & { quad} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 5} & { quad} & {= 2 cdot 3} end {matriz} )

Buscamos productos de factores cuya suma sea igual al coeficiente del término medio, (- 23 ). La factorización comienza en este punto con dos conjuntos de paréntesis en blanco:

(10x ^ {2} -23x + 6 = ( quad) ( quad) )

Dado que el último término es positivo y el término medio es negativo, sabemos que ambos factores del último término deben ser negativos. Aquí enumeramos todas las combinaciones posibles con los factores de (10x ^ {2} = 2x⋅5x ).

(10x ^ {2} -23x + 6 = (2x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

( begin {array} {ll} {(2x-1) (5x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -17x}} {(2x-6) (5x -1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -32x}} {(2x-2) (5x-3)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -16x}} {(2x-3) (5x-2)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -19x}} end {array} )

No existe una combinación que produzca un término medio de (- 23x ). Luego pasamos a los factores de (10x ^ {2} = 10x⋅x ) y enumeramos todas las combinaciones posibles:

(10x ^ {2} -23x + 6 = (10x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

( begin {array} {ll} {(10x-1) (x-6)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -61x}} {(10x-6) (x -1)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -162x}} {(10x-2) (x-3)} & { color {Cerulean} {middle : term Rightarrow -32x}} { color {OliveGreen} {(10x-3) (x-2)}} & { color {OliveGreen} {middle : term Rightarrow -23x} quad color {Cerulean} { marca de verificación}} end {matriz} )

Y podemos escribir

Respuesta:

((10x-3) (x-2) ). La verificación completa se deja al lector.

Podemos reducir gran parte de las conjeturas involucradas en la factorización de trinomios si consideramos todos los factores del primer y último término y sus productos.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Factor:

(5x ^ {2} + 38x-16 ).

Solución:

Comenzamos con los factores de (5 ) y (16 ).

( begin {array} {cc} {} & {16 = 1 cdot 16} {5 = 1 cdot 5} & {= 2 cdot 8} {} & {= 4 cdot 4 } end {matriz} )

Dado que el coeficiente principal es primo, podemos comenzar con lo siguiente:

(5x ^ {2} + 38x-16 = (x quad color {Cerúleo} {?} Color {negro} {) (5x} quad color {Cerúleo} {?} Color {negro} { )} )

Buscamos productos de los factores de 5 y 16 que posiblemente podrían sumar 38.

( begin {array} {lll} {Factores : de : 16} & {Posible} & {productos} { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color { Cerulean} {1} : color {black} {y : 5} cdot color {Cerulean} {16}} & { color {Cerulean} {productos Rightarrow : 1 : y : 80} } { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color {Cerulean} {16} : color {black} {y : 5} cdot color {Cerulean} { 1}} & { color {Cerulean} {productos Rightarrow : 16 : y : 5}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {2} : color {black} {y : 5} cdot color {Cerulean} {8}} & { color {OliveGreen} {products Rightarrow : 2 : y : 40} quad color {Cerulean} { checkmark}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {8} : color {black} {y : 5 } cdot color {Cerulean} {2}} & { color {Cerulean} {productos Rightarrow : 8 : y : 10}} { color {Cerulean} {4 cdot 4}} & {1 cdot color {Cerulean} {4} : color {black} {y : 5} cdot color {Cerulean} {4}} & { color {Cerulean} {productos Rightarrow : 4 : y : 20}} end {matriz} )

Dado que el último término es negativo, debemos buscar factores con signos opuestos. Aquí podemos ver que los productos 2 y 40 suman 38 si tienen signos opuestos:

(1 cdot ( color {Cerúleo} {- 2} color {negro} {) + 5 cdot} color {Cerúleo} {8} color {negro} {= - 2 + 40 = 38} )

Por lo tanto, use (- 2 ) y (8 ) como factores de (16 ), asegurándose de que los productos internos y externos sean (- 2x ) y (40x ):

Respuesta:

((x + 8) (5x-2) ). La verificación completa se deja al lector.

Después de mucha práctica, el proceso descrito en el ejemplo anterior se puede realizar mentalmente.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Factor:

(12x ^ {2} -31x-30 )

Respuesta

((3x-10) (4x + 3) )

Cuando se dan trinomios con múltiples variables, el proceso es similar.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Factor:

(9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} ).

Solución:

Busque factores del primer y último término de modo que la suma de los productos internos y externos sea igual al término medio.

( begin {array} {cc} {9x ^ {2} = 1x cdot 9x} & {25y ^ {2} = 1y cdot 25y} {= 3x cdot 3x} & {= 5y cdot 5y} end {matriz} )

Suma los siguientes productos para obtener el término medio: (3x⋅5y + 3x⋅5y = 30xy ).

( begin {alineado} 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} & = (3x quad) (3x quad) & = (3x + 5y) (3x + 5y) & = (3x + 5 años) ^ {2} end {alineado} )

En este ejemplo, tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Cheque.

( begin {alineado} (3x + 5y) ^ {2} & = 9x ^ {2} +2 cdot 3x cdot 5y + 25y ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} quad color {Cerúleo} { marca de verificación} end {alineado} )

Respuesta:

((3x + 5y) ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Factor:

(16x ^ {2} −24xy + 9y ^ {2} ).

Respuesta

((4x-3y) ^ {2} )

Factorizar trinomios con factores comunes

Es una buena práctica descartar primero el GCF, si lo hay. Hacer esto produce un factor trinomial con coeficientes más pequeños. Como hemos visto, los trinomios con coeficientes más pequeños requieren mucho menos esfuerzo para factorizar. Vale la pena identificar temprano este paso que comúnmente se pasa por alto.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Factor:

(12x ^ {2} -27x + 6 ).

Solución:

Empiece por factorizar el MCD.

(12x ^ {2} -27x + 6 = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) )

Después de factorizar 3, los coeficientes del trinomio resultante son más pequeños y tienen menos factores.

( begin {array} {cc} {4 = color {Verde oliva} {1 cdot 4}} & {2 = color {Verde oliva} {1 cdot 2}} {= 2 cdot 2} & {} end {matriz} )

Después de pensarlo un poco, podemos ver que la combinación que da el coeficiente del término medio es (4 (−2) +1 (−1) = - 8−1 = −9 ).

( begin {alineado} 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 3 (4x quad color {Cerulean} {?} color {black} {) (x} quad color {Cerulean } {?} color {negro} {)} & = 3 (4x-1) (x-2) end {alineado} )

Cheque.

( begin {alineado} 3 (4x-1) (x-2) & = 3 (4x ^ {2} -8x-x + 2) & = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 12x ^ {2} -27x + 6 quad color {Cerúleo} { marca de verificación} end {alineado} )

El factor (3 ) es parte de la forma factorizada de la expresión original; asegúrese de incluirlo en la respuesta.

Respuesta:

(3 (4x-1) (x-2) )

Es una buena práctica trabajar consistentemente con trinomios donde el coeficiente principal es positivo.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Factor:

(- x ^ {2} + 2x + 15 ).

Solución

En este ejemplo, el coeficiente principal es (- 1 ). Antes de comenzar el proceso de factorización, factorice (- 1 ):

(- x ^ {2} + 2x + 15 = -1 (x ^ {2} -2x-15) )

En este punto, factoriza el trinomio restante como de costumbre, recordando escribir (- 1 ) como factor en tu respuesta final. Como (3 + (−5) = −2 ), usa (3 ) y (5 ) como factores de (15 ).

( begin {alineado} -x ^ {2} + 2x = 15 & = - 1 (x ^ {2} -2x-15) & = - 1 (x quad) (x quad) & = - (x + 3) (x-5) end {alineado} )

Respuesta:

(- 1 (x + 3) (x-5) ). El cheque se deja al lector.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Factor:

(- 60a ^ {2} -5a + 30 )

Solución

El MCD de todos los términos es (5 ). Sin embargo, en este caso factorizar (- 5 ) porque esto produce un factor trinomial donde el coeficiente principal es positivo.

(- 60a ^ {2} -5a + 30 = -5 (12a ^ {2} + a-6) )

Concéntrese en los factores de (12 ) y (6 ) que se combinan para dar el coeficiente medio, (1 ).

( begin {matriz} {cc} {12 = 1 cdot 12} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 6} & {= color {Verde oliva} {2 cdot 3} } {= color {Verde oliva} {3 cdot 4}} & {} end {matriz} )

Después de pensarlo mucho, encontramos que (3⋅3−4⋅2 = 9−8 = 1 ). Factoriza el trinomio restante.

( begin {alineado} -60a ^ {2} -5a + 30 & = - 5 (12a ^ {2} + a-6) & = - 5 (4a quad) (3a quad) & = -5 (4a + 3) (3a-2) end {alineado} )

Respuesta:

(- 5 (4a + 3) (3a-2) ). El cheque se deja al lector.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Factor:

(24 + 2x − x ^ {2} ).

Respuesta

(- 1 (x − 6) (x + 4) )

Factorizar usando el método AC

En esta sección, factorizamos trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) usando el método AC descrito anteriormente.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Factorizar utilizando el método AC:

(18x ^ {2} −21x + 5 ).

Solución:

Aquí (a = 18, b = −21 ) y (c = 5 ).

( begin {alineado} ac & = 18 (5) & = 90 end {alineado} )

Factoriza (90 ) y busca factores cuya suma sea (- 21 ).

( begin {alineado} 90 & = 1 (90) & = 2 (45) & = 3 (30) & = 5 (18) & = color {Verde oliva} {6 (15 )} quad color {Cerúleo} { marca de verificación} & = 9 (10) end {alineado} )

En este caso, la suma de los factores (- 6 ) y (- 15 ) es igual al coeficiente medio, (- 21 ). Por lo tanto, (- 21x = −6x − 15x ), y podemos escribir

(18x ^ {2} color {Verde oliva} {- 21x} color {negro} {+ 5 = 18x ^ {2}} color {Verde oliva} {- 6x-15x} color {negro} {+ 5 } )

Factoriza la expresión equivalente agrupando.

( begin {alineado} 18x ^ {2} -21x + 5 & = 18x ^ {2} -6x-15x + 5 & = 6x (3x-1) -5 (3x-1) & = ( 3x-1) (6x-5) end {alineado} )

Respuesta:

((3x-1) (6x-5) )

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Factoriza usando el método AC: (9x ^ {2} −61x − 14 ).

Solución:

Aquí (a = 9, b = −61 ) y (c = −14 ).

Factorizamos (- 126 ) de la siguiente manera:

( begin {alineado} -126 & = 1 (-126) & = color {Verde oliva} {2 (-63)} quad color {Cerúleo} { marca de verificación} & = 3 (-42 ) & = 6 (-21) & = 7 (-18) & = 9 (-14) end {alineado} )

La suma de los factores (2 ) y (- 63 ) es igual al coeficiente medio, (- 61 ). Reemplaza (- 61x ) con (2x − 63x ):

( begin {align} 9x ^ {2} -61x-14 & = 9x ^ {2} + 2x-63x-14 quad color {Cerulean} {Reorganizar : los : términos.} & = 9x ^ {2} -63x + 2x-14 quad color {Cerulean} {Factorizar : por : agrupación.} & = 9x (x-7) +2 (x-7) & = (x -7) (9x + 2) end {alineado} )

Respuesta:

((x-7) (9x + 2) ). El cheque se deja al lector.

Conclusiones clave

  • Si un trinomio de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) factoriza en el producto de dos binomios, entonces el coeficiente del término medio será la suma de ciertos productos de factores del primer y último término.
  • Si el trinomio tiene un factor común máximo, entonces es una mejor práctica factorizar primero el MCD antes de intentar factorizarlo en un producto de binomios.
  • Si el coeficiente principal de un trinomio es negativo, entonces es una buena práctica factorizar ese factor negativo antes de intentar factorizar el trinomio.
  • Factorizar trinomios de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) requiere mucha práctica y paciencia. Es extremadamente importante tomarse el tiempo para dominarlo haciendo muchos ejercicios.

Ejercicio ( PageIndex {4} ) Factorizar trinomios

Factor.

  1. (3x ^ {2} −14x − 5 )
  2. (5x ^ {2} + 7x + 2 )
  3. (2x ^ {2} + 5x − 3 )
  4. (2x ^ {2} + 13x − 7 )
  5. (2x ^ {2} + 9x − 5 )
  6. (7x ^ {2} + 20x − 3 )
  7. (7x ^ {2} −46x − 21 )
  8. (3x ^ {2} + x − 2 )
  9. (5x ^ {2} + 34x − 7 )
  10. (5x ^ {2} −28x − 12 )
  11. (9x ^ {2} −12x + 4 )
  12. (4x ^ {2} −20x + 25 )
  13. (49x ^ {2} + 14x + 1 )
  14. (25x ^ {2} −10x + 1 )
  15. (2x ^ {2} + 7x + 16 )
  16. (6x ^ {2} −19x − 10 )
  17. (27x ^ {2} + 66x − 16 )
  18. (12x ^ {2} −88x − 15 )
  19. (12y ^ {2} −8y + 1 )
  20. (16y ^ {2} −66y − 27 )
  21. (9x ^ {2} −12xy + 4y ^ {2} )
  22. (25x ^ {2} + 40x + 16 )
  23. (15x ^ {2} −26xy + 8y ^ {2} )
  24. (12a ^ {2} −4ab − 5b ^ {2} )
  25. (4x ^ {2} y ^ {2} + 16xy − 9 )
  26. (20x ^ {2} y ^ {2} + 4xy − 7 )
  27. El área de un rectángulo está dada por la función (A (x) = 3x ^ {2} −10x + 3 ), donde (x ) se mide en metros. Reescribe esta función en forma factorizada.
  28. El área de un rectángulo está dada por la función (A (x) = 10x ^ {2} −59x − 6 ), donde (x ) se mide en metros. Reescribe esta función en forma factorizada.
Respuesta

1. ((x − 5) (3x + 1) )

3. ((x + 3) (2x − 1) )

5. ((x + 5) (2x − 1) )

7. ((x − 7) (7x + 3) )

9. ((x + 7) (5x − 1) )

11. ((3x − 2) ^ {2} )

13. ((7x + 1) ^ {2} )

15. Prime

17. ((3x + 8) (9x − 2) )

19. ((6y − 1) (2y − 1) )

21. ((3x − 2y) ^ {2} )

23. ((3x − 4y) (5x − 2y) )

25. ((2xy − 1) (2xy + 9) )

27. (A (x) = (3x − 1) (x − 3) )

Ejercicio ( PageIndex {5} ) Factorizar trinomios con factores comunes

Factor.

  1. (6x ^ {2} −20x − 16 )
  2. (45x ^ {2} + 27x − 18 )
  3. (20x ^ {2} −20x + 5 )
  4. (3x ^ {2} + 39x − 90 )
  5. (16x ^ {2} + 26x − 10 )
  6. (54x ^ {2} −15x + 6 )
  7. (45x ^ {2} −45x − 20 )
  8. (90x ^ {2} + 300x + 250 )
  9. (40x ^ {2} −36xy + 8y ^ {2} )
  10. (24a ^ {2} b ^ {2} + 18ab − 81 )
  11. (6x ^ {2} y ^ {2} + 46xy + 28 )
  12. (2x ^ {5} + 44x ^ {4} + 144x ^ {3} )
  13. (5x ^ {3} −65x ^ {2} + 60x )
  14. (15a ^ {4} b ^ {2} −25a ^ {3} b − 10a ^ {2} )
  15. (6a ^ {4} b + 2a ^ {3} b ^ {2} −4a ^ {2} b ^ {3} )
  16. (20a ^ {3} b ^ {2} −60a ^ {2} b ^ {3} + 45ab ^ {4} )
Respuesta

1. (2 (x − 4) (3x + 2) )

3. (5 (2x − 1) ^ {2} )

5. (2 (8x ^ {2} + 13x − 5) )

7. (5 (3x − 4) (3x + 1) )

9. (4 (5x − 2y) (2x − y) )

11. (2 (xy + 7) (3xy + 2) )

13. (5x (x − 12) (x − 1) )

15. (2a ^ {2} b (3a − 2b) (a + b) )

Ejercicio ( PageIndex {6} ) Factorizar trinomios con factores comunes

Factoriza (- 1 ) y luego factoriza más.

  1. (- x ^ {2} −4x + 21 )
  2. (- x ^ {2} + x + 12 )
  3. (- x ^ {2} + 15x − 56 )
  4. (- x ^ {2} + x + 72 )
  5. (- y ^ {2} + 10y − 25 )
  6. (- y ^ {2} −16y − 64 )
  7. (36−9a − a ^ {2} )
  8. (72−6a − a ^ {2} )
  9. (32 + 4x − x ^ {2} )
  10. (200 + 10x − x ^ {2} )
Respuesta

1. (- 1 (x − 3) (x + 7) )

3. (- 1 (x − 7) (x − 8) )

5. (- 1 (y − 5) ^ {2} )

7. (- 1 (a − 3) (a + 12) )

9. (- 1 (x − 8) (x + 4) )

Ejercicio ( PageIndex {7} ) Factorizar trinomios con factores comunes

Primero, factoriza un factor común negativo y luego factoriza más si es posible.

  1. (- 8x ^ {2} + 6x + 9 )
  2. (- 4x ^ {2} + 28x − 49 )
  3. (- 18x ^ {2} −6x + 4 )
  4. (2 + 4x − 30x ^ {2} )
  5. (15 + 39x − 18x ^ {2} )
  6. (90 + 45x − 10x ^ {2} )
  7. (- 2x ^ {2} + 26x + 28 )
  8. (- 18x ^ {3} −51x ^ {2} + 9x )
  9. (- 3x ^ {2} y ^ {2} + 18xy ^ {2} −24y ^ {2} )
  10. (- 16a ^ {4} + 16a ^ {3} b − 4a ^ {2} b ^ {2} )
  11. La altura en pies de un proyectil lanzado desde una torre viene dada por la función (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 80 ), donde (t ) representa el número de segundos después del lanzamiento. Reescribe la función dada en forma factorizada.
  12. La altura en pies de un proyectil lanzado desde una torre viene dada por la función (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 192 ), donde (t ) representa el número de segundos después del lanzamiento. Reescribe la función dada en forma factorizada.
Respuesta

1. (- (2x − 3) (4x + 3) )

3. (- 2 (3x − 1) (3x + 2) )

5. (- 3 (2x − 5) (3x + 1) )

7. (- 2 (x − 14) (x + 1) )

9. (- 3y ^ {2} (x − 4) (x − 2) )

11. (h (t) = - 16 (t + 1) (t − 5) )

Ejercicio ( PageIndex {8} ) Factorizar usando el método AC

Factoriza usando el método AC.

  1. (2x ^ {2} + 5x − 7 )
  2. (3x ^ {2} + 7x − 10 )
  3. (4x ^ {2} −25x + 6 )
  4. (16x ^ {2} −38x − 5 )
  5. (6x ^ {2} + 23x − 18 )
  6. (8x ^ {2} + 10x − 25 )
  7. (4x ^ {2} + 28x + 40 )
  8. (- 6x ^ {2} −3x + 30 )
  9. (12x ^ {2} −56xy + 60y ^ {2} )
  10. (20x ^ {2} + 80xy + 35y ^ {2} )
Respuesta

1. ((x − 1) (2x + 7) )

3. ((x − 6) (4x − 1) )

5. ((2x + 9) (3x − 2) )

7. (4 (x + 2) (x + 5) )

9. (4 (x − 3y) (3x − 5y) )

Ejercicio ( PageIndex {9} ) Temas del tablero de discusión

  1. Crea tu propio trinomio de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) que factoriza. Compártelo, junto con la solución, en el panel de discusión.
  2. Escriba su propia lista de pasos para factorizar un trinomio de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) y compártala en el tablero de discusión.
  3. Cree un trinomio de la forma (ax ^ {2} + bx + c ) que no factorice y compártalo junto con la razón por la que no factoriza.
Respuesta

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar


6.3: Factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c - Matemáticas

Factorizar trinomios de la forma a x 2 + b x + c puede ser un desafío porque el término medio se ve afectado por los factores de ambos a y C. Para ilustrar esto, considere el siguiente trinomio factorizado:

Podemos multiplicar para verificar que esta es la factorización correcta.

Como hemos visto antes, el producto de los primeros términos de cada binomio es igual al primer término del trinomio. El término medio del trinomio es la suma de los productos de los términos externos e internos de los binomios. El producto de los últimos términos de cada binomio es igual al último término del trinomio. Visualmente, tenemos lo siguiente:

En resumen, cuando el coeficiente principal de un trinomio es distinto de 1, habrá más que considerar al determinar los factores mediante el método de prueba y error. La clave está en comprender cómo se obtiene el término medio. Multiplica (2 x + 5) (3 x + 7) y sigue cuidadosamente la formación del término medio.

Si pensamos en el método FOIL para multiplicar binomios, entonces el término medio resulta de la suma del producto interno y el producto externo. En este caso, 14 x + 15 x = 29 x, como se ilustra a continuación:

Por esta razón, necesitamos buscar productos de los factores del primer y último término cuya suma sea igual al coeficiente del término medio. Por ejemplo, para factorizar 6 x 2 + 29 x + 35, observe los factores de 6 y 35.

La combinación que produce el coeficiente del término medio es 2 ⋅ 7 + 3 ⋅ 5 = 14 + 15 = 29. Asegúrese de que los términos externos tengan coeficientes 2 y 7, y que los términos internos tengan coeficientes 5 y 3. Utilice esta información para factorizar el trinomio:

Ejemplo 1: Factoriza: 3 x 2 + 7 x + 2.

Solución: Dado que el coeficiente principal y el último término son primos, solo hay una forma de factorizar cada uno.

Comience escribiendo los factores del primer término, 3 x 2, de la siguiente manera:

El término medio y el último son ambos positivos, por lo tanto, los factores de 2 se eligen como números positivos. En este caso, la única opción es en qué agrupación colocar estos factores.

Determina qué agrupación es la correcta multiplicando cada expresión.

Tenga en cuenta que estos productos difieren solo en sus términos intermedios. Además, observe que el término medio es la suma del producto interno y externo, como se ilustra a continuación:

Ejemplo 2: Factoriza: 12 x 2 + 38 x + 20.

Solución: Primero, considere los factores del primer y último término.

Buscamos productos de factores cuya suma sea igual al coeficiente del término medio, 38. Por brevedad, el proceso de pensamiento se ilustra comenzando con los factores 2 y 6. La factorización comienza en este punto con el primer término.

Buscamos factores de 20 que junto con los factores de 12 produzcan un término medio de 38X.

Aquí la última combinación produce un término medio de 38X.

Ejemplo 3: Factoriza: 10 x 2 - 23 x + 6.

Solución: Primero, considere los factores del primer y último término.

Buscamos productos de factores cuya suma sea igual al coeficiente del término medio, −23. La factorización comienza en este punto con dos conjuntos de paréntesis en blanco:

Dado que el último término es positivo y el término medio es negativo, sabemos que ambos factores del último término deben ser negativos. Aquí enumeramos todas las combinaciones posibles con los factores de 10 x 2 = 2 x ⋅ 5 x.

No existe una combinación que produzca un término medio de - 23 x. Luego pasamos a los factores de 10 x 2 = 10 x ⋅ x y enumeramos todas las combinaciones posibles:

Respuesta: (10 x - 3) (x - 2). La verificación completa se deja al lector.

Podemos reducir gran parte de las conjeturas involucradas en la factorización de trinomios si consideramos todos los factores del primer y último término y sus productos.

Ejemplo 4: Factoriza: 5 x 2 + 38 x - 16.

Solución: Comenzamos con los factores de 5 y 16.

Dado que el coeficiente principal es primo, podemos comenzar con lo siguiente:

Buscamos productos de los factores de 5 y 16 que posiblemente podrían sumar 38.

Dado que el último término es negativo, debemos buscar factores con signos opuestos. Aquí podemos ver que los productos 2 y 40 suman 38 si tienen signos opuestos:

Por lo tanto, use −2 y 8 como factores de 16, asegurándose de que los productos internos y externos sean - 2 x y 40 x:

Respuesta: (x + 8) (5 x - 2). La verificación completa se deja al lector.

Después de mucha práctica, el proceso descrito en el ejemplo anterior se puede realizar mentalmente.

¡Prueba esto! Factoriza: 12 x 2 - 31 x - 30.

Solución de video

Cuando se dan trinomios con múltiples variables, el proceso es similar.

Ejemplo 5: Factoriza: 9 x 2 + 30 x y + 25 y 2.

Solución: Busque factores del primer y último término de modo que la suma de los productos internos y externos sea igual al término medio.

Suma los siguientes productos para obtener el término medio: 3 x ⋅ 5 y + 3 x ⋅ 5 y = 30 x y.

En este ejemplo, tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Cheque.

¡Prueba esto! Factoriza: 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2.

Solución de video


Factorizar trinomios cuadrados perfectos

A medida que hagas más preguntas que requieran que hagas factorización de trinomios, es posible que te encuentres con trinomios cuadrados perfectos. Estos son trinomios en los que los términos "a" y "c" son cuadrados perfectos y la "b" del medio es el doble del producto del primer término y el último. Por lo tanto, después de factorizar, obtendrá una respuesta en forma de (a + b) ^ 2 o (a-b) ^ 2.

Hay buenos ejemplos para que practiques aún más la factorización de trinomios. Nosotros & aposve encontramos algunas preguntas de práctica en línea excelentes para que las pruebe y que mantienen las respuestas ocultas hasta que coloque el cursor sobre la palabra "respuesta". También hay una calculadora de trinomios en línea para cuando tienes una ecuación cuadrática. ¡Puede ayudarte a factorizar cualquier trinomio al instante! Úselo para ayudarlo a verificar su trabajo.


Factorizar polinomios: ax² + bx + c

Este paquete ayuda a los estudiantes a comprender cómo factorizar ecuaciones cuadráticas más avanzadas. Los estudiantes usarán la factorización para encontrar las dos soluciones (también llamadas raíces o intersecciones con el eje x) de una ecuación cuadrática (que se representa gráficamente como una parábola). Factorizar es el proceso de encontrar dos términos (para ecuaciones cuadráticas esos términos serán dos binomios) que se pueden multiplicar para obtener la ecuación cuadrática.

Muchos estudiantes están familiarizados con el proceso FOIL para multiplicar binomios. Factorizar ecuaciones cuadráticas es, esencial, lo contrario de usar FOIL para convertir un par de binomios en un polinomio. Por ejemplo:

Si se le da el problema: $ (x-2) (x + 4) $

Usaría FOIL (que significa "multiplica los PRIMEROS términos, luego los términos EXTERIORES, luego los términos INTERIORES, luego los ÚLTIMOS términos") para obtener: $ x ^ 2 + 4x-2x-8 $,

que se puede simplificar a $ x ^ 2 + 2x-8 $

Por otro lado, si le dieran la expresión $ x ^ 2 + 2x-8 $ y le pidieran que la factorizara

(o si le dieron $ x ^ 2 + 2x-8 $ = 0 y le pidieron que lo resolviera),

$ x times x = x ^ 2 $ y $ -2 times 4 = -8 $ tiempo $-2+4=2$,

Cada página comienza con problemas más fáciles que se vuelven más difíciles a medida que los estudiantes trabajan con el paquete. Los problemas más simples están en forma estándar. Los problemas más avanzados requieren que los estudiantes simplifiquen y combinen términos semejantes antes de factorizar el problema.

Después de resolver los 36 problemas, los estudiantes deberían sentirse más cómodos resolviendo estos problemas y tener una comprensión clara de cómo resolverlos.


Factorización

¿Qué sucede cuando queremos cambiar una ecuación de forma estándar a forma factorizada?

Hay varios métodos diferentes que podemos usar para convertir una ecuación de forma estándar a forma factorizada. Ellos son:
1. Factorización común
2. Trinomios simples
3. Diferencia de cuadrados y
4. Trinomios complejos

1. Factorización común
La factorización común debería siempre sea ​​lo primero que busque cuando tenga una ecuación en forma estándar. Debería ver si cada uno de los términos de la ecuación tiene un componente similar en el que cada uno de los términos se puede dividir fácilmente. El factor común puede ser una variable (x) o un coeficiente (cualquier número).

Ejemplo 1: Factoriza la expresión 6x - 12.

Puede notar que cada término se puede dividir fácilmente por el número 6.
6x - 12 = 6 (x - 2)

Ejemplo 2: Factoriza la expresión 7a & # 178 - 6a.

Ahora, cada término tiene una variable común, a.
7a y # 178 - 6a = a (7a - 6)

Ejemplo 3: Factoriza la expresión 3x & # 178 + 9x.

Ahora, cada uno de los términos tiene dos cosas en común: tienen un factor común de 3, así como un factor común de x.
3x & # 178 + 9x = 3x (x + 3)

2. Trinomios simples
Los trinomios simples tienen 3 términos y se pueden escribir en la forma y = ax & # 178 + bx + c, donde x = 1. Ejemplos de trinomios son y = x & # 178 + 2x + 1, y = x & # 178- 6x + 9, ey = p & # 178 + 2p - 15.

Al resolver un trinomio simple, debemos encontrar dos números que SE MULTIPLICEN al último término y dos números que SUMA al término medio. Uno de los métodos más comunes para resolver un trinomio simple se llama prueba y error, en el que sustituimos diferentes valores en nuestro trabajo hasta que obtengamos la respuesta correcta.

Ejemplo 1: Evalúe y = x & # 178 + 2x + 1.

Debemos encontrar un conjunto de números que se multiplicarán para darnos 1 (el último término), y que se sumarán para darnos 2 (el término medio). ¿Qué dos números se multiplican para obtener el número 1?

Nuestras opciones son 1 x 1 y -1 x -1.
Probemos 1 x 1.
y = x & # 178 + 2x + 1
y = (x + 1) (x + 1)
Ahora, usemos FOIL para ver si hemos usado los números correctos.

y = x & # 178 + x + x + 1
y = x & # 178 + 2x + 1
Debido a que nuestra ecuación es la misma que nos dieron, hemos encontrado la respuesta correcta. Si hubiéramos usado -1 y -1, habríamos encontrado x & # 178 - 2x + 1 para ser nuestra respuesta, que NO es la misma que la que nos dieron.

Ejemplo 2: Evalúe y = x & # 178 - 3x - 4.
Nuevamente, debemos encontrar factores que se multipliquen a -4 y sumen -3.
Los factores de -4 son 2 x -2, 1 x -4 y -1 x 4.

Debido a que usamos prueba y error, no importa qué conjunto de factores usemos primero. Probemos 2 y -2.
y = (x + 2) (x - 2)
Usando FOIL para verificar nuestra solución, obtenemos y = x & # 178 - 4, que es no la misma expresión que se dio en la pregunta.

Debemos probar otro conjunto de factores. Probemos 1 y -4.

y = (x + 1) (x - 4) Usando FOIL para expandir, obtenemos y = x & # 178 - 3x - 4, que es la misma que la expresión que nos dieron originalmente.
Por lo tanto, y = (x + 1) (x - 4) es la forma factorizada de la expresión y = x & # 178 - 3x - 4.

3. Diferencia de cuadrados Cuando trabaje con una diferencia de cuadrados, debe verificar que
1. Cada término es un término al cuadrado y
2. Hay una menos firmar entre los dos términos.

Al factorizar una diferencia de cuadrados, coloca la raíz cuadrada del primer término al comienzo de cada uno de los corchetes y la raíz cuadrada del segundo término al final de cada uno de los corchetes. Los signos entre ellos son positivos en el primer grupo de corchetes y negativos en el segundo grupo de corchetes.
Es muy importante que las señales son diferente en cada uno de los corchetes.

Ejemplo 1: Factoriza x & # 178 - 9.

Primero, verifique para asegurarse de que cada uno de los términos sean cuadrados perfectos (x & # 178 y 3 & # 178 en este caso), y también verifique que el signo entre los dos sea negativo. Debido a que esta expresión cumple con cada una de las dos comprobaciones, sabemos que es una diferencia de cuadrados.

Observe que el primer término en cada uno de los corchetes es la raíz cuadrada del primer término, y el último término en cada uno de los corchetes es la raíz cuadrada del último término, y que hay diferentes signos en cada uno de los corchetes.

Ejemplo 2: Factor 4p & # 178 - 64q & # 178

Nuevamente, la raíz cuadrada del primer término es 2p y la raíz cuadrada del segundo término es 8q. Además, hay un signo de resta entre ellos.

4p & # 178 - 64q & # 178 = (2p + 8q) (2p - 8q)

Los trinomios complejos siguen las mismas reglas que los trinomios simples (ver arriba), sin embargo, el término "a" en un trinomio complejo es no 1. Eso hace que sea un poco más complicado y, más a menudo, el método prueba y error o adivinar y comprobar tendrá que ser utilizado.

Ejemplos de trinomios complejos son 9n & # 178 - 6n + 1, 5x & # 178 + 17x + 6 y 2m & # 178 + 5m - 3. Observe que el término "a" no es igual a 1 en cada caso.

Ejemplo 1: Factoriza 6x & # 178 + 13x - 5.

Nuevamente, debemos buscar factores de -5.
-5 x 1 y -1 x 5.

Además, debemos encontrar los factores del primer término (el término "a").
1 x 6, 2 x 3 [Si el término "a" fuera negativo, tendríamos que factorizar un negativo de cada término en el trinomio. In other words, do not factor a complex trinomial until the "a" term is positive.]

Now we must randomly choose any two sets of numbers - we are performing guess and check.

Let's try -5 and 1 for the last term, and 1 and 6 for the first term.
(x - 5)(6x + 1)
=6x² - 29x - 5 ---> which is NOT what we want. Try new numbers.

Let's try 2 and 3 for the first term, and 5 and -1 for the second term. (2x + 5)(3x - 1)
=6x² + 13x - 5 ---> which is what we want. This is the solution.

Example 2 :Factor -3x² + 10x - 7.

First, we must rewrite the equation so that the "a" term is positive.

-3x² + 10x - 7
= - [3x² - 10x + 7] ---> notice that the negative is removed, and that brackets are put around the rest of the equation.

Now, find the factors of 3 (1 x 3) and the factors of 7 (7 x 1, and -7 x -1)

Let's use 1 x 3 for the first term (our only choice!), and -7 x -1 for the second term.
- 3x² + 10x - 7
= - [(3x - 7)(x - 1)]
If we were to expand the inside of the square brackets, we would get:
- [3x² - 10x + 7]
and if we were to expand the entire expression, we would get
- 3x² + 10x - 7 --->which is what we want.

Preguntas de práctica
Page #307 #2(column 1), 3(column 2), 4(column 3), 6(odd), 8 a,c, 12.


Trinomials

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of a y B and the last term is the product of a y B.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

Perfect Square Trinomials

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Authors:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Helena


A trinomial is a quadratic polynomial (or a polynomial of degree 2) which generally consists of three terms:
$a< x >^ < 2 >+ bx + c,$

where (a eq 0). In many cases a trinomial can be factored or represented as a product of two binomials:
$a< x >^ < 2 >+ bx + c = (px + q)(rx + s).$

The process of factoring of polynomials is essential to the simplification of many algebraic expressions and is a useful tool in solving higher degree equations. This process is widely used in the case of polynomials with integer coefficient. So our online calculator deals with trinomials with integer coefficients only.

The algorithm, used in our factoring trinomials calculator, assumes representation of the trinomial in the form:
$a< x >^ < 2 >+ bx + c = a< x >^ < 2 >+ mx +nx + c,$

where integers (m) and (n) satisfy the following conditions: (m + n = b), (mn = ac.)

Once (m) and (n) are found, we use grouping and the distributive property to finally factor the trinomial.

Related calculators

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Elementary algebra

Preface -- pt. I. Foundations : getting ready for algebra -- 1. Operations on real numbers and algebraic expressions -- 1.1. Success in mathematics -- 1.2. The number systems and the real number line -- 1.3. Adding, subtracting, multiplying, and dividing integers -- 1.4. Adding, subtracting, multiplying, and dividing rational numbers expressed as fractions and decimals -- Putting the concepts together (sections 1.2-1.4) -- 1.5. Properties of real numbers -- 1.6. Exponents and the order of operations -- 1.7. Simplifying algebraic expressions -- Chapter 1 activity : the math game -- Chapter 1 review -- Chapter 1 test

pt. II. Developing algebraic skills using one unknown -- 2. Equations and inequalities in one variable -- 2.1. Linear equations : the addition and multiplication properties of equality -- 2.2. Linear equations : using the properties together -- 2.3. Solving linear equations involving fractions and decimals classifying equations -- 2.4. Evaluating formulas and solving formulas for a variable -- Putting the concepts together (sections 2.1-2.4) -- 2.5. Introduction to problem solving : direct translation problems -- 2.6. Problem solving : direct translation problems involving percent -- 2.7. Problem solving : geometry and uniform motion -- 2.8. Solving linear inequalities in one variable -- Chapter 2 activity : pass to the right -- Chapter 2 review -- Chapter 2 test -- 3. Exponents and polynomials -- 3.1. Adding and subtracting polynomials -- 3.2. Multiplying monomials : the product and power rules -- 3.3. Multiplying polynomials -- 3.4. Dividing monomials : the quotient rule and integer exponents -- Putting the concepts together (sections 3.1-3.4) -- 3.5. Dividing polynomials -- 3.6. Applying exponent rules : scientific notation -- Chapter 3 activity : what is the question? -- Chapter 3 review -- Chapter 3 test -- Cumulative review chapters 1-3 -- 4. Factoring polynomials -- 4.1. Greatest common factor and factoring by grouping -- 4.2. Factoring trinomials of the form x² + bx + c -- 4.3. Factoring trinomials of the form ax² + bx + c, a [not equal] 1 -- 4.4. Factoring special products -- 4.5. Summary of factoring techniques -- Putting the concepts together (Sections 4.1-4.5) -- 4.6. Solving polynomial equations by factoring -- 4.7. Modeling and solving problems with quadratic equations -- Chapter 4 activity : which one does not belong? -- Chapter 4 review -- Chapter 4 test -- 5. Rational expressions and equations -- 5.1. Simplifying rational expressions -- 5.2. Multiplying and dividing rational expressions -- 5.3. Adding and subtracting rational expressions with a common denominator -- 5.4. Finding the least common denominator and forming equivalent rational expressions -- 5.5. Adding and subtracting rational expressions with unlike denominators -- 5.6. Complex rational expressions -- Putting the concepts together (sections 5.1-5.6) -- 5.7. Rational equations -- 5.8. Models involving rational equations -- Chapter 5 activity : correct the quiz -- Chapter 5 review -- Chapter 5 test -- Cumulative review chapters 1-5 -- 6. Roots and radicals -- 6.1. Introduction to square roots -- 6.2. Simplifying square roots -- 6.3. Adding and subtracting square roots -- 6.4. Multiplying expressions with square roots -- 6.5. Dividing expressions with square roots -- Putting the concepts together (sections 6.1-6.5) -- 6.6. Solving equations containing square roots -- 6.7. Higher roots and rational exponents -- Chapter 6 activity : working together with radicals -- Chapter 6 review -- Chapter 6 test -- 7. Quadratic equations -- 7.1. Solving quadratic equations using the square root property -- 7.2. Solving quadratic equations by completing the square -- 7.3. Solving quadratic equations using the quadratic formula -- Putting the concepts together (sections 7.1-7.3) -- 7.4. Problem solving using quadratic equations -- 7.5. The complex number system -- Chapter 7 activity : the math game -- Chapter 7 review -- Chapter 7 test -- Cumulative review chapters 1-7

pt. III. Developing algebraic skills using two unknowns -- 8. Introduction to graphing and equations of lines -- 8.1. The rectangular coordinate system and equations in two variables -- 8.2. Graphing equations in two variables -- 8.3. Slope -- 8.4. Slope-intercept form of a line -- 8.5. Point-slope form of a line -- 8.6. Parallel and perpendicular lines -- Putting the concepts together (sections 8.1-8.6) -- 8.7. Variation -- 8.8. Linear inequalities in two variables -- Chapter 8 activity : graphing practice -- Chapter 8 review -- Chapter 8 test -- 9. Systems of linear equations and inequalities -- 9.1. Solving systems of linear equations by graphing -- 9.2. Solving systems of linear equations using substitution -- 9.3. Solving systems of linear equations using elimination -- Putting the concepts together (sections 9.1-9.3) -- 9.4. Solving direct translation, geometry, and uniform motion problems using systems of linear equations -- 9.5. Solving mixture problems using systems of linear equations -- 9.6. Systems of linear inequalities -- Chapter 9 activity : find the numbers -- Chapter 9 review -- Chapter 9 test -- Cumulative review chapters 1-9 -- 10. Graphs of quadratic equations in two variables and an introduction to functions -- 10.1. Quadratic equations in two variables -- 10.2. Relations -- Putting the concepts together (sections 10.1-10.2) -- 10.3. An introduction to functions -- Chapter 10 activity : discovering shifting -- Chapter 10 review -- Chapter 10 test -- Appendix A. Fractions, decimals, and percents -- Appendix B. Table of square roots -- Appendix C. Geometry review -- Answers to quick check exercises -- Answers to selected exercises -- Applications index -- Subject index -- Photo credits

Access-restricted-item true Addeddate 2019-11-21 07:44:53 Associated-names Struve, Katherine R Boxid IA1701014 Camera Sony Alpha-A6300 (Control) Collection_set printdisabled External-identifier urn:oclc:record:1153322044 Foldoutcount 0 Identifier isbn_9781256135166 Identifier-ark ark:/13960/t75v1qv81 Invoice 1652 Isbn 0131467662
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Class 2 trinomial characteristics

Perfect box

In general, the trinomial of the ax 2 + bx + c is a perfect square if the discriminant is zero that is, if b 2 -4ac = 0, because in this case it will only have one root and can be expressed in the form a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , where d is the root already mentioned.

The polynomial root is a number where the polynomial becomes zero in other words, a number that, by replacing it with x in the polynomial expression, produces zero.

Solvent Formula

The general formula for calculating the second degree polynomial root of the 2 + bx + c form ax is the resolver formula, which states that this root is given by (-b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, where b 2 -4ac is known as discriminant and usually denoted by Δ. From this formula following the ax 2 + bx + c has:

– Two different real roots if Δ> 0.

– Original single root if Δ = 0.

In the following we will consider only trinomials of the form x 2 + bx + c, where obviously c must be a nonzero number (otherwise it will be binomial). This type of Trinomial has certain advantages when factoring and operating it.

Geometric Interpretation

Geometrically, trinomial x 2 + bx + c is a parabola that opens upward and has a point at the point (-b / 2, -b 2 /4 + c) of the Cartesian plane as x 2 + bx + c = (x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.

This parabola crosses the Y axis at points (0, c) and the X axis at points (d 1 , 0) and (d) 2 , 0) then, d 1 yd 2 they are the roots of the trinomial. It can happen that the trinomial has one d root, in this case the only chunk with the X axis is (d, 0).

It could also happen that the trinomial has no real roots, in this case it will not cut the X axis at any point.

For example, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 is a parabolic node at (-3.0), which intersects the Y axis at (0.9) and the axis X at (-3.0).

Trinomial Factorization

A very useful tool when working with polynomials is factoring, which is to express polynomials as a product of factors. In general, given trinomial in the form of x 2 + bx + c, does this have two different roots d 1 yd 2 , can be factored as (xd) 1 ) (xd) 2 ).

If you only have one root d, you can factor it as (xd) (xd) = (xd) 2 , and if it doesn’t have a real root, it remains the same in this case it does not support factorization as a product of factors other than itself.

This means that, knowing the roots of a trinomial from an established form, factorization can be easily expressed, and as already stated, these roots can always be determined using solutions.

However, there are a large number of types of trinomy that can be factored without having to know the roots beforehand, which simplifies the work.

The root can be determined directly from factorization without the need to use the resolver formula this is the polynomial of the form x 2 + (a + b) x + ab. In this case you have:

x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

From this it is easily observed that the roots are -a and -b.

In other words, given trinomial x 2 + bx + c, if there are two numbers u and v such that c = uv and b = u + v, then x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).

That is, given a trinomial x 2 + bx + c, first verify whether there are two numbers multiplied by the independent term (c) and added (or subtracted, depending on the case), give the term that accompanies x (b).

Not with all trinomials in this way this method can be applied where you can’t, you go to resolvent and apply the above mentioned.


Factoring trinomials

Ever have a fit when attempting to understand the different methodologies used to explain factoring trinomials. Well, here is another method that someone came up with and it has been a godsend in my quest to improve successful outcomes. AX² + BX + C

For example: 3x ² + 11x + 8 is a simple but complicated problem which uses a number of trials an error combination.

Let me try to explain how to make this and all other trinomials a less complicated and more enjoyable experience.

Step 1 Take the leading coefficient (3) and multiply it by the constant (8) which gives you 24.
Step 2 get the factors of 24 (the numbers you multiply to get 24)
1 24
2 12
3 8
4 6
Step 3 Now using the last mathematical symbol in the trinomial (+), as yourself….which of these pair of numbers do I add (+) to get the middle term 11? So does 1 + 24 = 11? Does 2 + 12 = 11? Does 3 + 8 = 11? Does 4 + 6 = 11? The solution is 3 and 8 and they must both be positive in order to get a positive 11.

Step 4 Now write the following using the factors 3 and 8.
( X + 3 ) ( X + 8 )
Step 5 Now if we multiply X * X we get X² and we want a 3X² which is the leading term of the trinomial. Now rewrite the expression in step 4 however now we will include the leading coefficient 3.
( X + 3/3 ) ( X + 8/3) the denominator 3 is the leading coefficient of the trinomial.
Step 6 Next ask yourself if the first and last fraction can be reduced to lowest terms? The answer to the first is yes because 3/3=1 but the second fraction cannot be reduced because 8/3=2.66666666 and we don’t want decimals. So the next step requires you to re-write the expression on step 5 and make it look like this: ( X + 1 ) ( 3x + 8 ). Notice that the denominator 3 in the second factor has now become the leading coefficient of the factor. And viola, your solution has been completed.


Ver el vídeo: Quadratische Gleichungen lösen - Einführung (Julio 2022).


Comentarios:

  1. Anyon

    Desafortunadamente, no puedo ayudarte. Creo que encontrarás la solución adecuada.

  2. Rexlord

    interesante. sólo el nombre es algo frívolo.

  3. Kendrew

    De acuerdo, una pieza notable

  4. Kyle

    Tema asombroso ....



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