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10.5: Una aplicación a la aproximación de Fourier - Matemáticas


Si (U ) es una base ortogonal de un espacio vectorial (V ), el teorema de expansión (Teorema [thm: 030904]) presenta un vector (v en V ) como una combinación lineal de los vectores en (U ). Por supuesto, esto requiere que el conjunto (U ) sea finito ya que, de lo contrario, la combinación lineal es una suma infinita y no tiene sentido en (V ).

Sin embargo, dado un conjunto ortogonal infinito (U = { vect {f} _1, vect {f} _2, dots, vect {f} _n, dots } ), podemos usar el teorema de expansión para ( { vect {f} _1, vect {f} _2, dots, vect {f} _n } ) para cada (n ) para obtener una serie de "aproximaciones" ( vect {v} _n ) para un vector dado ( vect {v} ). Una pregunta natural es si estos ( vect {v} _n ) se están acercando cada vez más a ( vect {v} ) a medida que (n ) aumenta. Esta resulta ser una idea muy fructífera.

En esta sección investigaremos un conjunto ortogonal importante en el espacio ( vectspace {C} [- pi, pi] ) de funciones continuas en el intervalo ([- pi, pi] ), usando el producto interior. [ langle f, g rangle = int _ {- pi} ^ { pi} f (x) g (x) dx ] Por supuesto, se necesitará cálculo. El conjunto ortogonal en cuestión es [ {1, sin x, cos x, sin (2x), cos (2x), sin (3x), cos (3x), dots } ]

Las técnicas estándar de integración dan [ begin {align} vectlength 1 vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} 1 ^ 2 dx = 2 pi vectlength sin kx vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} sin ^ 2 (kx) dx = pi quad mbox {para cualquier} k = 1, 2, 3, dots vectlength cos kx vectlength ^ 2 & = int _ {- pi} ^ { pi} cos ^ 2 (kx) dx = pi quad mbox {para cualquier} k = 1, 2, 3, puntos end {alineado} ] Dejamos las verificaciones al lector, junto con la tarea de mostrar que estas funciones son ortogonales: [ langle sin (kx), sin (mx) rangle = 0 = langle cos (kx), cos (mx) rangle quad mbox {if} k neq m ] y [ langle sin (kx), cos (mx) rangle = 0 quad mbox {para todos} k geq 0 mbox {y} m geq 0 ] (Tenga en cuenta que (1 = cos (0x) ), por lo que la función constante (1 ) está incluida).

Ahora defina el siguiente subespacio de ( vectspace {C} [- pi, pi] ): [F_n = func {span} {1, sin x, cos x, sin (2x) , cos (2x), dots, sin (nx), cos (nx) } ] El objetivo es utilizar el teorema de aproximación (Teorema [thm: 031150]); entonces, dada una función (f ) en ( vectspace {C} [- pi, pi] ), defina el Coeficientes de Fourier de (f ) por [ begin {alineado} a_0 & = frac { langle f (x), 1 rangle} { vectlength 1 vectlength ^ 2} = frac {1} {2 pi } int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx a_k & = frac { langle f (x), cos (kx) rangle} { vectlength cos (kx) vectlength ^ 2} = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) cos (kx) dx quad k = 1, 2, dots b_k & = frac { langle f (x), sin (kx) rangle} { vectlength sin (kx) vectlength ^ 2} = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) sin (kx) dx quad k = 1, 2, dots end {alineado} ] Entonces el teorema de aproximación (Teorema [thm: 031150]) da el Teorema [thm: 032777] .

032777 Sea (f ) cualquier función continua de valor real definida en el intervalo ([- pi, pi] ). Si (a_ {0} ), (a_ {1} ), ( puntos ) y (b_ {0} ), (b_ {1} ), ( puntos ) son los coeficientes de Fourier de (f ), entonces dado (n geq 0 ), [f_n (x) = a_0 + a_1 cos x + b_1 sin x + a_2 cos (2x) + b_2 sin (2x) + dots + a_n cos (nx) + b_n sin (nx) ] es una función en (F_ {n} ) que está más cerca de (f ) en el sentido de que [ vectlength f - f_n vectlength leq vectlength f - g vectlength ] se aplica a todas las funciones (g ) en (F_ {n} ).

La función (f_ {n} ) se llama (n ) th Aproximación de Fourier a la función (f ).

032790 Encuentra la quinta aproximación de Fourier a la función (f (x) ) definida en ([- pi, pi] ) de la siguiente manera: [f (x) = left { begin {array} {ll} pi + x & mbox {if} - pi leq x <0 pi - x & mbox {if} 0 leq x leq pi end {array} right . ]

l5cm

La gráfica de (y = f (x) ) aparece en el diagrama superior. Los coeficientes de Fourier se calculan de la siguiente manera. Se omiten los detalles de las integraciones (generalmente por partes).

[ begin {alineado} a_0 & = frac {1} {2 pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = frac { pi} {2} \% fila 2 a_k & = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) cos (kx) dx = frac {2} { pi k ^ 2} [ 1 - cos (k pi)] = left { begin {array} {ll} 0 & mbox {if} k mbox {es par} frac {4} { pi k ^ 2 } & mbox {if} k mbox {es impar} end {matriz} right. \% fila 3 b_k & = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) sin (kx) dx = 0 quad mbox {para todos} k = 1, 2, puntos end {alineado} ]

Por tanto, la quinta aproximación de Fourier es [f_5 (x) = frac { pi} {2} + frac {4} { pi} left { cos x + frac {1} {3 ^ 2} cos (3x) + frac {1} {5 ^ 2} cos (5x) right } ] Esto está trazado en el diagrama del medio y ya es una aproximación razonable a (f (x) ). En comparación, (f_ {13} (x) ) también se traza en el diagrama inferior.

Decimos que una función (f ) es una incluso función si (f (x) = f (-x) ) se cumple para todo (x ); (f ) se llama Función impar si (f (-x) = -f (x) ) es válido para todo (x ). Ejemplos de funciones pares son funciones constantes, las potencias pares (x ^ {2} ), (x ^ {4} ), ( dots ) ​​y ( cos (kx) ); estas funciones se caracterizan por el hecho de que la gráfica de (y = f (x) ) es simétrica con respecto al eje (y ). Ejemplos de funciones impares son las potencias impares (x ), (x ^ {3} ), ( dots ) ​​y ( sin (kx) ) donde (k> 0 ), y la gráfica de (y = f (x) ) es simétrica con respecto al origen si (f ) es impar. La utilidad de estas funciones se debe al hecho de que [ begin {array} {ll} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 0 & mbox {if} f mbox {es impar} int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 2 int_ {0} ^ { pi} f (x) dx & mbox {if} f mbox {es par } end {array} ] Estos hechos a menudo simplifican los cálculos de los coeficientes de Fourier. Por ejemplo:

  1. Los coeficientes del seno de Fourier (b_ {k} ) desaparecen si (f ) es par.
  2. Los coeficientes del coseno de Fourier (a_ {k} ) todos desaparecen si (f ) es impar.

Esto se debe a que (f (x) sin (kx) ) es impar en el primer caso y (f (x) cos (kx) ) es impar en el segundo caso.

Las funciones (1 ), ( cos (kx) ) y ( sin (kx) ) que ocurren en la aproximación de Fourier para (f (x) ) son todas fáciles de generar como un voltaje eléctrico (cuando (x ) es el tiempo). Sumando estas señales (con las amplitudes dadas por los coeficientes de Fourier), es posible producir una señal eléctrica con (la aproximación a) (f (x) ) como voltaje. De ahí que estas aproximaciones de Fourier jueguen un papel fundamental en la electrónica.

Finalmente, las aproximaciones de Fourier (f_ {1}, f_ {2}, dots ) ​​de una función (f ) mejoran cada vez más a medida que (n ) aumenta. La razón es que los subespacios (F_ {n} ) aumentan: [F_1 subseteq F_2 subseteq F_3 subseteq cdots subseteq F_n subseteq cdots ] Entonces, porque (f_n = proj {F_n} {f} ), obtenemos (ver la discusión que sigue al Ejemplo [exa: 031164]) [ vectlength f - f_1 vectlength geq vectlength f - f_2 vectlength geq cdots geq vectlength f - f_n vectlength geq cdots ] Estos números ( vectlength f - f_ {n} vectlength ) se acercan a cero; de hecho, tenemos el siguiente teorema fundamental.

032829 Sea (f ) cualquier función continua en (C [- pi, pi] ). Entonces [f_n (x) mbox {se acerca a} f (x) mbox {para todo} x mbox {tal que} - pi

Muestra que (f ) tiene una representación como una serie infinita, llamada series de Fourier de (f ): [f (x) = a_0 + a_1 cos x + b_1 sin x + a_2 cos (2x) + b_2 sin (2x) + cdots ] siempre que (- pi

Por tanto, la serie de Fourier para la función (f ) en el Ejemplo [exa: 032790] es [f (x) = frac { pi} {2} + frac {4} { pi} left { cos x + frac {1} {3 ^ 2} cos (3x) + frac {1} {5 ^ 2} cos (5x) + frac {1} {7 ^ 2} cos (7x ) + cdots right } ] Dado que (f (0) = pi ) y ( cos (0) = 1 ), tomar (x = 0 ) conduce a la serie [ frac { pi ^ 2} {8} = 1 + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {5 ^ 2} + frac {1} {7 ^ 2} + cdots ]

032840 Expandir (f (x) = x ) en el intervalo ([- pi, pi] ) en una serie de Fourier, y así obtener una expansión en serie de ( frac { pi} {4} ).

Aquí (f ) es una función impar, por lo que todos los coeficientes del coseno de Fourier (a_ {k} ) son cero. En cuanto a los coeficientes del seno: [b_k = frac {1} { pi} int _ {- pi} ^ { pi} x sin (kx) dx = frac {2} {k} (- 1 ) ^ {k + 1} quad mbox {para} k geq 1 ] donde omitimos los detalles de la integración por partes. Por tanto, la serie de Fourier para (x ) es [x = 2 [ sin x - frac {1} {2} sin (2x) + frac {1} {3} sin (3x) - frac {1} {4} sin (4x) + puntos] ] para (- pi

Ejercicios para 1

soluciones

2

[ej: 10_5_1] En cada caso, encuentre la aproximación de Fourier (f_ {5} ) de la función dada en ( vectspace {C} [- pi, pi] ).

  1. (f (x) = pi - x )
  2. (f (x) = | x | = left { begin {array} {rl} x & mbox {if} 0 leq x leq pi -x & mbox {if} - pi leq x <0 end {matriz} right. )
  3. (f (x) = x ^ 2 )
  4. (f (x) = left { begin {array} {rl} 0 & mbox {if} - pi leq x <0 x & mbox {if} 0 leq x leq pi end {matriz} right. )
  1. ( Displaystyle frac { pi} {2} - frac {4} { pi} leftB cos x + frac { cos 3x} {3 ^ 2} + frac { cos 5x} { 5 ^ 2} rightB )
  2. ( Displaystyle frac { pi} {4} + leftB sin x - frac { sin 2x} {2} + frac { sin 3x} {3} - frac { sin 4x} { 4} + frac { sin 5x} {5} rightB )

    ( Displaystyle - frac {2} { pi} leftB cos x + frac { cos 3x} {3 ^ 2} + frac { cos 5x} {5 ^ 2} rightB )

  1. Encuentra (f_ {5} ) para la función par (f ) en ([- pi, pi] ) satisfaciendo (f (x) = x ) para (0 leq x leq pi ).
  2. Encuentra (f_ {6} ) para la función par (f ) en ([- pi, pi] ) satisfaciendo (f (x) = sin x ) para (0 leq x leq pi ).

    [Insinuación: Si (k> 1 ), ( int sin x cos (kx) = frac {1} {2} leftB frac { cos [(k - 1) x]} { k - 1} - frac { cos [(k + 1) x]} {k + 1} rightB ).]

  1. ( Displaystyle frac {2} { pi} - frac {8} { pi} leftB frac { cos 2x} {2 ^ 2 - 1} + frac { cos 4x} {4 ^ 2 - 1} + frac { cos 6x} {6 ^ 2 - 1} rightB )
  1. Demuestre que ( int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 0 ) si (f ) es impar y que ( int _ {- pi} ^ { pi} f (x) dx = 2 int_ {0} ^ { pi} f (x) dx ) si (f ) es par.
  2. Demuestre que ( frac {1} {2} [f (x) + f (-x)] ) es par y que ( frac {1} {2} [f (x) - f (-x )] ) es impar para cualquier función (f ). Tenga en cuenta que suman (f (x) ).

Muestre que ( {1, cos x, cos (2x), cos (3x), dots } ) es un conjunto ortogonal en ( vectspace {C} [0, pi] ) con respecto al producto interno ( langle f, g rangle = int_ {0} ^ { pi} f (x) g (x) dx ).

( int cos kx cos lx dx )
(= frac {1} {2} leftB frac { sin [(k + l) x]} {k + l} - frac { sin [(k - l) x]} {k - l} rightB_0 ^ { pi} = 0 ) siempre que (k neq l ).

  1. Demuestre que ( frac { pi ^ 2} {8} = 1 + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {5 ^ 2} + cdots ) ​​usando el ejercicio [ej: 10_5_1 ](B).
  2. Muestre que ( frac { pi ^ 2} {12} = 1 - frac {1} {2 ^ 2} + frac {1} {3 ^ 2} - frac {1} {4 ^ 2} + cdots ) ​​usando el ejercicio [ej: 10_5_1] (c).

  1. El nombre honra al matemático francés J.B.J. Fourier (1768-1830), quien utilizó estas técnicas en 1822 para investigar la conducción de calor en sólidos.

Una introducción interactiva a las transformadas de Fourier

Las transformadas de Fourier son una herramienta que se utiliza en un montón de cosas diferentes. Esta es una explicación de lo que hace una transformada de Fourier y algunas formas diferentes en que puede ser útil. Y cómo puedes hacer cosas bonitas con él, como esta cosa:

¡Voy a explicar cómo funciona esa animación y, a lo largo del camino, explicaré las transformaciones de Fourier!

Al final, deberías tener una buena idea sobre

  • Que hace una transformada de Fourier
  • Algunos usos prácticos de las transformadas de Fourier
  • Algunos usos inútiles pero geniales de las transformadas de Fourier

Dejaremos las matemáticas y las ecuaciones fuera de esto por ahora. Hay un montón de matemáticas interesantes detrás, pero es mejor comenzar con lo que realmente hace y por qué querrías usarlo primero. Si desea saber más sobre el cómo, ¡hay algunas sugerencias de lectura adicionales a continuación!


10 ensayos matemáticos sobre aproximación en análisis y topología

Este libro recopila 10 ensayos matemáticos sobre aproximación en Análisis y Topología de algunos de los matemáticos más influyentes del último tercio del siglo XX. Además de que los artículos contienen los últimos resultados en cada uno de sus respectivos campos, muchos de ellos también incluyen una serie de comentarios históricos sobre el estado de las matemáticas en el momento en que encontraron sus resultados más celebrados, así como algunas de las circunstancias personales que los originaron. , lo que hace que el libro sea especialmente atractivo para todos los científicos interesados ​​en estos campos, desde principiantes hasta expertos. Estas gemas de la intrahistoria matemática deberían deleitar a muchas generaciones futuras de matemáticos, quienes disfrutarán de algunas de las matemáticas más fructíferas del último tercio del siglo XX presentadas por sus propios autores.

Este libro cubre una amplia gama de nuevos resultados matemáticos. Entre ellos, las caracterizaciones más avanzadas de versiones muy débiles del principio máximo clásico, los últimos resultados sobre la teoría de la bifurcación global, las multiplicidades algebraicas, las dependencias generales de las soluciones de los problemas de valores en la frontera con respecto a las variaciones de los dominios subyacentes, los resultados más profundos disponibles. en esquemas rápidos monótonos aplicados a la resolución de problemas de valores de frontera no lineales, la intrahistoria de la génesis de la primera continuación global general resulta en el contexto de soluciones periódicas de sistemas periódicos no lineales, así como la génesis de la coincidencia grado, algunas aplicaciones novedosas del grado topológico para determinar la estabilidad de las soluciones periódicas de algunas familias clásicas de ecuaciones periódicas de segundo orden,
la resolución de una serie de conjeturas relacionadas con algunos problemas de aproximación muy celebrados en topología y problemas inversos, así como una serie de aplicaciones a la ingeniería, una discusión extremadamente aguda del problema de aproximación de espacios topológicos por poliedros utilizando diversas técnicas basadas en sistemas inversos , así como expansiones de homotopía, y el teorema de Bishop-Phelps.

- Contiene una serie de contribuciones fundamentales de algunos de los matemáticos más destacados del mundo de la segunda mitad del siglo XX.

- Los trabajos cubren una gama completa de temas, desde la intrahistoria de las matemáticas involucradas hasta los últimos desarrollos en Ecuaciones Diferenciales, Problemas Inversos, Análisis, Análisis No Lineal y Topología.

- Todos los artículos aportados son trabajos independientes que contienen una lista bastante completa de referencias sobre cada uno de los temas cubiertos.

- El libro contiene algunos de los últimos hallazgos sobre el principio máximo, la teoría de esquemas monótonos en problemas no lineales, la teoría de multiplicidades algebraicas, teoría de bifurcación global, dinámica de ecuaciones y sistemas periódicos, problemas inversos y aproximación en topología.

- Los artículos están muy bien redactados y dirigidos a una amplia audiencia, desde principiantes hasta expertos. Una excelente ocasión para comprometerse con algunas de las matemáticas más fructíferas desarrolladas durante las últimas décadas.

Este libro recopila 10 ensayos matemáticos sobre aproximación en Análisis y Topología de algunos de los matemáticos más influyentes del último tercio del siglo XX. Además de que los artículos contienen los últimos resultados en cada uno de sus respectivos campos, muchos de ellos también incluyen una serie de comentarios históricos sobre el estado de las matemáticas en el momento en que encontraron sus resultados más celebrados, así como algunas de las circunstancias personales que los originaron. , lo que hace que el libro sea especialmente atractivo para todos los científicos interesados ​​en estos campos, desde principiantes hasta expertos. Estas gemas de la intrahistoria matemática deberían deleitar a muchas generaciones futuras de matemáticos, quienes disfrutarán de algunas de las matemáticas más fructíferas del último tercio del siglo XX presentadas por sus propios autores.

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- Los artículos están muy bien redactados y dirigidos a una amplia audiencia, desde principiantes hasta expertos. Una excelente ocasión para comprometerse con algunas de las matemáticas más fructíferas desarrolladas durante las últimas décadas.

Características clave

· Contiene una serie de contribuciones fundamentales de algunos de los matemáticos más destacados del mundo de la segunda mitad del siglo XX.

· Los trabajos cubren una gama completa de temas, desde la intrahistoria de las matemáticas involucradas hasta los últimos desarrollos en Ecuaciones Diferenciales, Problemas Inversos, Análisis, Análisis No Lineal y Topología.

· Todos los artículos aportados son trabajos independientes que contienen una lista bastante completa de referencias sobre cada uno de los temas cubiertos.

· El libro contiene algunos de los últimos hallazgos sobre el principio máximo, la teoría de esquemas monótonos en problemas no lineales, la teoría de multiplicidades algebraicas, teoría de bifurcación global, dinámica de ecuaciones y sistemas periódicos, problemas inversos y aproximación en topología.

· Los artículos están muy bien redactados y dirigidos a una amplia audiencia, desde principiantes hasta expertos. Una excelente ocasión para comprometerse con algunas de las matemáticas más fructíferas desarrolladas durante las últimas décadas.

· Contiene una serie de contribuciones fundamentales de algunos de los matemáticos más destacados del mundo de la segunda mitad del siglo XX.

· Los trabajos cubren una gama completa de temas, desde la intrahistoria de las matemáticas involucradas hasta los últimos desarrollos en Ecuaciones Diferenciales, Problemas Inversos, Análisis, Análisis No Lineal y Topología.

· Todos los artículos aportados son trabajos independientes que contienen una lista bastante completa de referencias sobre cada uno de los temas cubiertos.

· El libro contiene algunos de los últimos hallazgos sobre el principio máximo, la teoría de esquemas monótonos en problemas no lineales, la teoría de multiplicidades algebraicas, teoría de bifurcación global, dinámica de ecuaciones y sistemas periódicos, problemas inversos y aproximación en topología.

· Los artículos están muy bien redactados y dirigidos a una amplia audiencia, desde principiantes hasta expertos. Una excelente ocasión para comprometerse con algunas de las matemáticas más fructíferas desarrolladas durante las últimas décadas.


MATERIALES Y MÉTODOS

El propósito de los experimentos es doble. Primero, estudiar numéricamente el problema de recuperar una imagen de la señal de RM cuando el campo principal es cuadrático y los gradientes son lineales. En segundo lugar, demostrar que nuestra reconstrucción es útil como algoritmo de corrección de inhomogeneidad de campo para imágenes adquiridas en sistemas tradicionales y cuando la inhomogeneidad tiene un componente cuadrático importante. Todas las imágenes de resonancia magnética de este trabajo se adquirieron con un escáner Philips Intera 1.5T. El calce lineal se desactivó durante todas las adquisiciones y no se utilizó ningún calce activo de orden superior. Las imágenes se adquirieron utilizando en su mayoría parámetros predeterminados de secuencias precargadas en el sistema. Las reconstrucciones de imágenes de valor complejo se realizaron fuera de línea.

Fantasma numérico

En nuestro primer experimento, la señal de RM para un fantasma de magnetización analítica de valor real 2D se simuló mediante la evaluación de la ecuación. A1 usando cuadratura adaptativa en MATLAB (44), anidando una evaluación unidimensional para cada dimensión. El fantasma fue diseñado como una versión simplificada de un fantasma de referencia real con las mismas dimensiones. El tiempo de adquisición de cada muestra y k-Las ubicaciones del espacio se determinaron considerando gradientes 2DFT de una adquisición estándar. Se simuló una matriz cartesiana de 256 × 256 muestras con un campo de visión de 25,6 × 25,6 cm y un tiempo de eco (TE) = 56 ms. Cada lectura completa de la secuencia tarda 28 ms.

Se simularon dos señales de RM, la primera con un uniforme B0 campo y el segundo con un campo cuadrático con coeficientes pag2X = −2,149 Hz / cm 2, pag2y = −2,3846 Hz / cm 2, pag1X = 0 Hz / cm, pag1y = 0 Hz / cm, y pag0 = 0 Hz. Se eligió la desviación cuadrática para que fuera aproximadamente el doble del componente cuadrático medido de un fantasma real para mejorar el efecto (mientras se mantiene dentro de un rango físico válido). Estos parámetros definen las ubicaciones de muestreo de la trayectoria ρ – α, de las cuales se muestran ángulos de dominio fraccional para la dirección. y en la Fig. 3 con una línea continua. La imagen reconstruida con FT estándar y uniforme B0 fue la imagen de referencia que incorpora todas las distorsiones inherentes al muestreo del k-espacio y la reconstrucción discreta. Los datos de RM simulados bajo un campo cuadrático se reconstruyeron con la FT inversa estándar, la FrFT inversa, la VO-FrFT inversa y la CP.

Ángulo fraccional α (t) a lo largo de la lectura de trayectorias experimentales. El eje horizontal muestra el tiempo en ms, con el tiempo de eco en el origen. Las líneas continua, discontinua y punteada representan el fantasma numérico, el fantasma de MRI y los experimentos in vivo, respectivamente. [La figura de color se puede ver en la edición en línea, que está disponible en wileyonlinelibrary.com.]

Para estudiar el desempeño de estos métodos cuando existe error en la estimación del componente cuadrático, se repitió la reconstrucción utilizando diferentes valores de pag2X y pag2y (de 0 × a 2 × en pasos de 0,125 ×). Consulte el Apéndice para obtener una estimación teórica de las incertidumbres.

Fantasma de resonancia magnética

En un segundo experimento, se escaneó un fantasma con una secuencia EPI de eco de campo rápido (FFE), con una matriz de escaneo de 128 × 128 muestras, FOV de 24 × 24 cm, grosor de corte de 5 mm, ángulo de giro de 23 ° y repetición de pulso. tiempo / TE = 650/41 ms. Estos datos se adquirieron con una serie de promedios de muestra de 16 utilizando una bobina Q-body. El factor EPI en esta secuencia fue 63. Cada lectura completa en esta secuencia tomó 76 ms. Estos parámetros producen una secuencia de lectura larga en la que hay un efecto notable de las inhomogeneidades de campo que son inherentes al sistema y al objeto de RM. Para el FrFT se utilizó un ángulo constante por eco. El enfoque FrFT y el VO-FrFT utilizaron un ajuste cuadrático para el mapa de campo medido, mientras que la reconstrucción CP utilizó el mapa de campo medido.

Estudio in vivo

Se realizó un estudio in vivo escaneando el cerebro de un voluntario, las imágenes se adquirieron usando la misma secuencia, excepto por el número de muestra promedio que ahora era 8 y de la bobina receptora que ahora era una bobina de cabeza en cuadratura estándar. Se seleccionó un corte transversal del cerebro ligeramente angulado donde el campo mostraba un componente cuadrático importante.

Mapas de campo

En cada experimento, se adquirieron imágenes estructurales con secuencias de tiempo de lectura cortas para minimizar el efecto de la falta de homogeneidad del campo. El campo magnético se midió a partir de estas imágenes con diferentes TE (45).

Para ajustar funciones cuadráticas a los mapas de campo, se utilizó un método de máxima verosimilitud que minimiza el error cuadrático ponderado entre el mapa de campo medido y un polinomio paramétrico separable de segundo orden. Los pesos fueron la magnitud media de los píxeles correspondientes. Esto asegura que la información del mapa de campo se incorporó correctamente dependiendo de la intensidad local de la señal y su relación señal / ruido.

En el estudio fantasma, el mapa de campo se determinó a lo largo de una imagen de referencia estructural utilizando ΔTE = 3 ms y tiempo de repetición de pulso y TE igual a 14 y 6,1 ms, respectivamente. Para este estudio se seleccionó un corte transversal del fantasma físico.

Para el estudio in vivo, la anatomía provoca más desviaciones de campo que no pueden ser aproximadas por la función ajustada para todo el campo de visión. Se seleccionó una región elíptica de interés.

Reconstrucción de imágenes

Los cálculos de FT se realizaron utilizando FFT y tomaron menos de 1 s en todos los casos. Las reconstrucciones de FrFT y VO-FrFT se realizaron calculando la Ec. A2, que tomó 10 minutos para una matriz de 256 × 256 y 1,5 minutos para una matriz de 128 × 128, con una CPU de cuatro núcleos a 2,4 GHz. La reconstrucción de FrFT utilizó un valor de ángulo constante para cada eco, utilizando el valor del ángulo cuando ρtu = 0. Esto es equivalente a calcular la FrFT inversa 1D en la dirección de lectura, a lo largo de la cual se supone que los ángulos son constantes pero no en la dirección de fase, donde el ángulo es diferente para cada muestra. Por simplicidad de implementación, en este trabajo, no aprovechamos la rápida implementación del FrFT que lo aceleraría considerablemente. La reconstrucción de VO-FrFT tuvo en cuenta la posición exacta en ρ – α de cada muestra. Las unidades de distancia de los resultados se escalaron usando la Ec. 11 para mapear el objeto estimado en las coordenadas dimensionales. Las reconstrucciones de CP se calcularon utilizando la extensión 2D de la ecuación. 10, con pag(tu) la desviación de frecuencia exacta medida o simulada y se encontró que requieren esencialmente el mismo tiempo de cálculo que las reconstrucciones VO-FrFT.


EE261 - La transformada de Fourier y sus aplicaciones

Los objetivos del curso son aprender a utilizar la transformada de Fourier, tanto técnicas específicas como principios generales, y aprender a reconocer cuándo, por qué y cómo se usa. Junto con una gran variedad, la asignatura también tiene una gran coherencia, y la esperanza es que los estudiantes lleguen a apreciar ambas.

Los temas incluyen: La transformada de Fourier como herramienta para resolver problemas físicos. Serie de Fourier, la transformada de Fourier de señales continuas y discretas y sus propiedades. El delta de Dirac, distribuciones y transformaciones generalizadas. Convoluciones y correlaciones y aplicaciones distribuciones de probabilidad, teoría de muestreo, filtros y análisis de sistemas lineales. La transformada discreta de Fourier y el algoritmo FFT. Transformada de Fourier multidimensional y uso en imágenes. Otras aplicaciones a la óptica, cristalografía. El énfasis está en relacionar los principios teóricos con la resolución de problemas prácticos de ingeniería y ciencia.


Transformada de Fourier - 4 resultados encontrados.

Demostramos que para grupos abelianos auto-duales localmente compactos, generados de forma compacta (G ), hay operadores integrales unitarios canónicos en (L ^ 2 (G) ) análogos a la transformada de Fourier pero que tienen órdenes 3 y 6. Para ello, establecemos la existencia de un cierto carácter proyectivo en (G ) cuya multiplicación de fase con la FT da lugar a la transformada Cúbica (de orden 3). (Por lo tanto, aunque la transformada de Fourier tiene el orden 4, ¡uno puede & ldquomake & rdquo tener el orden 3 (o 6) por medio de un factor de fase!)

Soit (G ) un groupe localement compact, engendré par un sousensemble compact, et isomorphe à son groupe dual. Sobre construit desoperadores integrales unitaires canoniques qui sont analogues à la transformée de Fourier, mais qui sont d'ordres trois et six.

Informamos sobre los resultados recientes sobre la existencia de transformadas integrales cúbicas y hexicas en grupos auto-duales localmente compactos (órdenes 3 y 6 análogos de la transformada de Fourier clásica) y su aplicación en la construcción de una sección continua canónica de proyecciones suaves ( mathcal E (t) ) del campo continuo de rotación C * -álgebras (_ <0 le t le 1> ) que es invariante bajo el automorfismo de transformada hexa no conmutativa. Esto conduce a proyecciones matriciales invariantes (puntuales) del tori (A_ theta ) irracional no conmutativo. También presentamos un método rápido para calcular los invariantes topológicos (cuantificados) de tales proyecciones utilizando técnicas de la teoría clásica de la función Theta.

En décrit des résultats récents sur l'existence d'une transformación intégrale d'ordre trois (ou d'ordre seis) sur un groupe localement compact abélien self-dual. En étudie l’application posible à la construction d'un champs continu de projecteurs invariants sous l’automorphisme associé du champs de C * -algèbres de rotación. Sobre el cálculo, ciertas invariantes topologiques de ces projecteurs.

Demostramos, de una manera bastante cuantitativa, la existencia de obstrucciones topológicas para aproximar la rotación irracional C * -álgebra (A_ theta ) por las subálgebras unitales C * invariantes invariantes de Fourier de cualquiera de las formas [M oplus B oplus sigma (B), qquad M oplus N oplus D oplus sigma (D) oplus sigma ^ 2 (D) oplus sigma ^ 3 (D), ] donde (M, N ) son álgebras matriciales invariantes de Fourier (sobre ( mathbb C )), (B ) es una subálgebra C * cuya proyección unitaria es invariante y ortogonal a su transformada de Fourier, y (D ) es una C * -subálgebra cuya unidad de proyección es ortogonal a su órbita bajo la transformada de Fourier. Aquí, ( sigma ) es el automorfismo de transformada de Fourier no conmutativa de (A_ theta ) definido por ( sigma (U) = V ^ <-1>, sigma (V) = U ) en los generadores unitarios canónicos (U, V ) obedecen a la relación de conmutación unitaria de Heisenberg (VU = e ^ <2 pi i theta> UV ).

En montre l’existence d'obstructions topologiques à l’approximation du tore non-commutatif par sous-algèbres de ciertos tipos qui sont invariantes sous l’automorphisme de Fourier.


Definición de la serie de Fourier

La serie de Fourier es una forma particular de reescribir funciones como una serie de funciones trigonométricas. Siga leyendo para saber cómo se construye esta serie.

Los factores de normalización frente a los coeficientes provienen del hecho de que las funciones coseno y seno, tal como se definen, son ortogonales pero no ortonormales. El factor de 1 2 frac12 2 1 multiplicando a 0 a_0 a 0, por lo tanto, proviene del hecho de que la normalización para 0 a_0 a 0 es diferente, ya que

es el doble del valor medio de la función f f f sobre [0, T) [0, T) [0, T).

Encuentre la serie de Fourier del ola cuadrada, for which the function over one period is

f ( x ) = < 1 if 0 ≤ x < 1 2 − 1 if 1 2 ≤ x < 1. f(x) = egin 1 quad & ext

0leq x<frac12 -1 quad & ext

k ext< is even>, end end b k ​ ​ = 2 ∫ 0 1 ​ f ( x ) sin 2 π k x d x = 2 ∫ 0 1 / 2 ​ sin 2 π k x d x − 2 ∫ 1 / 2 1 ​ sin 2 π k x d x = 2 [ − 2 π k cos 2 π k x ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ x = 0 x = 2 1 ​ ​ + 2 π k cos 2 π k x ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ x = 2 1 ​ x = 1 ​ ] = 2 [ − 2 π k cos π k ​ + 2 π k 1 ​ + 2 π k cos 2 π k ​ − 2 π k cos π k ​ ] = π k 2 ​ ( sin 2 2 π k ​ − 2 1 ​ cos π k + 2 1 ​ cos 2 π k ) = < π k 4 ​ 0 ​ if k is odd if k is even , ​ ​

where in the last line the fact that k k k is a positive integer was used. Therefore, the Fourier series for the square wave is

f ( x ) = 4 π ∑ k = 1 , 3 , 5 , … 1 k sin ⁡ 2 π k x . □ f(x) = frac<4> sum_ frac<1> sin 2pi k x. _square f ( x ) = π 4 ​ k = 1 , 3 , 5 , … ∑ ​ k 1 ​ sin 2 π k x . □ ​

Note that near the jump discontinuities for the square wave, the finite truncations of the Fourier series tend to overshoot. This is a common aspect of Fourier series for any discontinuous periodic function which is known as the Gibbs phenomenon.

Find the Fourier series of the triangle wave which is defined by

Insinuación: Try plotting the given function first.


Fourier Series Calculator, On-line Application

On-Line Fourier Series Calculator is an interactive app to calculate Fourier Series coefficients (Up to 10000 elements) for user-defined piecewise functions up to 5 pieces, for example.

Note that function must be in the integrable functions space or L 1 on selected Interval as we shown at theory sections.

FourierSeries Calculator calculates Fourier Coefficients, analytic and numeric integrals and it is usefull to plot 1-variable functions and its Fourier series on a generic user-defined interval.

Extended Theory

Calculations accuracy depends largely of size-interval introduzed and number of selected coefficients to calculate.
Use it is as follows.

1) Write the lower end of the range in the text box labeled Limit inf.
2) Enter the upper range in the text box labeled Limit Sup.
3) Write the function in the text box with the label function

In the piecewise function case, operate as follows
1) Write the lower end of the range in the text box labeled Limit inf.
2) Enter the upper range in the text box labeled Limit Sup.
3) Write the first function in the text box with the label function .
4) Enter the upper sub-range in the text box labeled Subinterval 1.
5) Write the function as defined in the first sub-interval in the text box labeled subinterval 1 .

For example suppose we have the piecewise function

Then the fields are filled as

After the A n , B n calculations, is possible to plot the function and its Fourier Series by clicking "Show Graph". At this case

By default, the problem begins with the continuous function and the interval following

How it works?
To calculate Fourier coefficients we apply integration methods seen in the numerical methods section, with which we can approximate the integrals given by the Fourier Series formulae:

In Fourier coefficients case, there are several methods to make the calculations programmed here by the owners of Mathstools .

To calculate the derivative of the function: uses severeal numerical methods to derivate.

To calculate the primitive function: numerical integration methods seen in the numerical methods section are applied.

Note that in numerical analysis, errors are obtained due to the particular methods and the limitation of arithmetic computer as well.

In the Fourier coefficients calculations case, it depends on the function and size of the chosen integration interval. In default problem the error in calculating the Fourier coefficients is O (1e-8). For the numerical integration is O (1e-11) and in the derivative it is O (1e-14).


Input Arguments

F — Input symbolic expression | symbolic function | symbolic vector | symbolic matrix

Input, specified as a symbolic expression, function, vector, or matrix.

Var — Independent variable x (default) | symbolic variable

Independent variable, specified as a symbolic variable. This variable is often called the "time variable" or the "space variable." If you do not specify the variable, then fourier uses the function symvar to determine the independent variable.

TransVar — Transformation variable w (default) | v | symbolic variable | symbolic expression | symbolic vector | symbolic matrix

Transformation variable, specified as a symbolic variable, expression, vector, or matrix. This variable is often called the "frequency variable." By default, fourier uses w . If w is the independent variable of f , then fourier uses v .


10.5: An Application to Fourier Approximation - Mathematics

Over the last few sections we’ve spent a fair amount of time to computing Fourier series, but we’ve avoided discussing the topic of convergence of the series. In other words, will the Fourier series converge to the function on the given interval?

In this section we’re going to address this issue as well as a couple of other issues about Fourier series. We’ll be giving a fair number of theorems in this section but are not going to be proving any of them. We’ll also not be doing a whole lot of in the way of examples in this section.

Before we get into the topic of convergence we need to first define a couple of terms that we’ll run into in the rest of the section. First, we say that (fleft( x ight)) has a jump discontinuity at (x = a) if the limit of the function from the left, denoted (fleft( <> ight)), and the limit of the function from the right, denoted (fleft( <> ight)), both exist and (fleft( <> ight) e fleft( <> ight)).

Next, we say that (fleft( x ight)) is piecewise smooth if the function can be broken into distinct pieces and on each piece both the function and its derivative, (f'left( x ight)), are continuous. A piecewise smooth function may not be continuous everywhere however the only discontinuities that are allowed are a finite number of jump discontinuities.

Let’s consider the function,

We found the Fourier series for this function in Example 2 of the previous section. Here is a sketch of this function on the interval on which it is defined, i.e. ( - L le x le L).

This function has a jump discontinuity at (x = 0) because (fleft( <<0^ - >> ight) = L e 0 = fleft( <<0^ + >> ight)) and note that on the intervals ( - L le x le 0) and (0 le x le L) both the function and its derivative are continuous. This is therefore an example of a piecewise smooth function. Note that the function itself is not continuous at (x = 0) but because this point of discontinuity is a jump discontinuity the function is still piecewise smooth.

The last term we need to define is that of periodic extension. Given a function, (fleft( x ight)), defined on some interval, we’ll be using ( - L le x le L) exclusively here, the periodic extension of this function is the new function we get by taking the graph of the function on the given interval and then repeating that graph to the right and left of the graph of the original function on the given interval.

It is probably best to see an example of a periodic extension at this point to help make the words above a little clearer. Here is a sketch of the period extension of the function we looked at above,

The original function is the solid line in the range ( - L le x le L). We then got the periodic extension of this by picking this piece up and copying it every interval of length 2(L) to the right and left of the original graph. This is shown with the two sets of dashed lines to either side of the original graph.

Note that the resulting function that we get from defining the periodic extension is in fact a new periodic function that is equal to the original function on ( - L le x le L).

With these definitions out of the way we can now proceed to talk a little bit about the convergence of Fourier series. We will start off with the convergence of a Fourier series and once we have that taken care of the convergence of Fourier Sine/Cosine series will follow as a direct consequence. Here then is the theorem giving the convergence of a Fourier series.

Convergence of Fourier series

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval ( - L le x le L). The Fourier series of (fleft( x ight)) will then converge to,

    the periodic extension of (fleft( x ight)) if the periodic extension is continuous.

The first thing to note about this is that on the interval ( - L le x le L) both the function and the periodic extension are equal and so where the function is continuous on ( - L le x le L) the periodic extension will also be continuous and hence at these points the Fourier series will in fact converge to the function. The only points in the interval ( - L le x le L) where the Fourier series will not converge to the function is where the function has a jump discontinuity.

Let’s again consider Example 2 of the previous section. In that section we found that the Fourier series of,

We now know that in the intervals ( - L < x < 0) and (0 < x < L) the function and hence the periodic extension are both continuous and so on these two intervals the Fourier series will converge to the periodic extension and hence will converge to the function itself.

At the point (x = 0) the function has a jump discontinuity and so the periodic extension will also have a jump discontinuity at this point. That means that at(x = 0) the Fourier series will converge to,

At the two endpoints of the interval, (x = - L) and (x = L), we can see from the sketch of the periodic extension above that the periodic extension has a jump discontinuity here and so the Fourier series will not converge to the function there but instead the averages of the limits.

So, at (x = - L) the Fourier series will converge to,

and at (x = L) the Fourier series will converge to,

Now that we have addressed the convergence of a Fourier series we can briefly turn our attention to the convergence of Fourier sine/cosine series. First, as noted in the previous section the Fourier sine series of an odd function on ( - L le x le L) and the Fourier cosine series of an even function on ( - L le x le L) are both just special cases of a Fourier series we now know that both of these will have the same convergence as a Fourier series.

Next, if we look at the Fourier sine series of any function, (gleft( x ight)), on (0 le x le L) then we know that this is just the Fourier series of the odd extension of (gleft( x ight)) restricted down to the interval (0 le x le L). Therefore, we know that the Fourier series will converge to the odd extension on ( - L le x le L) where it is continuous and the average of the limits where the odd extension has a jump discontinuity. However, on (0 le x le L) we know that (gleft( x ight)) and the odd extension are equal and so we can again see that the Fourier sine series will have the same convergence as the Fourier series.

Likewise, we can go through a similar argument for the Fourier cosine series using even extensions to see that Fourier cosine series for a function on (0 le x le L) will also have the same convergence as a Fourier series.

The next topic that we want to briefly discuss here is when will a Fourier series be continuous. From the theorem on the convergence of Fourier series we know that where the function is continuous the Fourier series will converge to the function and hence be continuous at these points. The only places where the Fourier series may not be continuous is if there is a jump discontinuity on the interval ( - L le x le L) and potentially at the endpoints as we saw that the periodic extension may introduce a jump discontinuity there.

So, if we’re going to want the Fourier series to be continuous everywhere we’ll need to make sure that the function does not have any discontinuities in ( - L le x le L). Also, in order to avoid having the periodic extension introduce a jump discontinuity we’ll need to require that (fleft( < - L> ight) = fleft( L ight)). By doing this the two ends of the graph will match up when we form the periodic extension and hence we will avoid a jump discontinuity at the end points.

Here is a summary of these ideas for a Fourier series.

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval ( - L le x le L). The Fourier series of (fleft( x ight)) will be continuous and will converge to (fleft( x ight)) on ( - L le x le L) provided (fleft( x ight)) is continuous on ( - L le x le L) and (fleft( < - L> ight) = fleft( L ight)).

Now, how can we use this to get similar statements about Fourier sine/cosine series on (0 le x le L)? Let’s start with a Fourier cosine series. The first thing that we do is form the even extension of (fleft( x ight)) on ( - L le x le L). For the purposes of this discussion let’s call the even extension (gleft( x ight)) As we saw when we sketched several even extensions in the Fourier cosine series section that in order for the sketch to be the even extension of the function we must have both,

[gleft( <<0^ - >> ight) = gleft( <<0^ + >> ight)hspace<0.25in>hspace<0.25in>gleft( < - L> ight) = gleft( L ight)]

If one or both of these aren’t true then (gleft( x ight)) will not be an even extension of(fleft( x ight)).

So, in forming the even extension we do not introduce any jump discontinuities at (x = 0) and we get for free that (gleft( < - L> ight) = gleft( L ight)). If we now apply the above theorem to the even extension we see that the Fourier series of the even extension is continuous on ( - L le x le L). However, because the even extension and the function itself are the same on (0 le x le L) then the Fourier cosine series of (fleft( x ight)) must also be continuous on (0 le x le L).

Here is a summary of this discussion for the Fourier cosine series.

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval (0 le x le L). The Fourier cosine series of (fleft( x ight)) will be continuous and will converge to (fleft( x ight)) on (0 le x le L) provided (fleft( x ight)) is continuous on (0 le x le L).

Note that we don’t need any requirements on the end points here because they are trivially satisfied when we convert over to the even extension.

For a Fourier sine series we need to be a little more careful. Again, the first thing that we need to do is form the odd extension on ( - L le x le L) and let’s call it (gleft( x ight)). We know that in order for it to be the odd extension then we know that at all points in ( - L le x le L) it must satisfy (gleft( < - x> ight) = - gleft( x ight)) and that is what can lead to problems.

As we saw in the Fourier sine series section it is very easy to introduce a jump discontinuity at (x = 0) when we form the odd extension. In fact, the only way to avoid forming a jump discontinuity at this point is to require that (fleft( 0 ight) = 0).

Next, the requirement that at the endpoints we must have (gleft( < - L> ight) = - gleft( L ight)) will practically guarantee that we’ll introduce a jump discontinuity here as well when we form the odd extension. Again, the only way to avoid doing this is to require (fleft( L ight) = 0).

So, with these two requirements we will get an odd extension that is continuous and so we know that the Fourier series of the odd extension on ( - L le x le L) will be continuous and hence the Fourier sine series will be continuous on (0 le x le L).

Here is a summary of all this for the Fourier sine series.

Suppose (fleft( x ight)) is a piecewise smooth on the interval (0 le x le L). The Fourier sine series of (fleft( x ight)) will be continuous and will converge to (fleft( x ight)) on (0 le x le L) provided (fleft( x ight)) is continuous on (0 le x le L), (fleft( 0 ight) = 0) and (fleft( L ight) = 0).

The next topic of discussion here is differentiation and integration of Fourier series. In particular, we want to know if we can differentiate a Fourier series term by term and have the result be the Fourier series of the derivative of the function. Likewise, we want to know if we can integrate a Fourier series term by term and arrive at the Fourier series of the integral of the function.

Note that we’ll not be doing much discussion of the details here. All we’re really going to be doing is giving the theorems that govern the ideas here so that we can say we’ve given them.

Let’s start off with the theorem for term by term differentiation of a Fourier series.

Given a function (fleft( x ight)) if the derivative, (f'left( x ight)), is piecewise smooth and the Fourier series of (fleft( x ight)) is continuous then the Fourier series can be differentiated term by term. The result of the differentiation is the Fourier series of the derivative, (f'left( x ight)).

One of the main condition of this theorem is that the Fourier series be continuous and from above we also know the conditions on the function that will give this. So, if we add this into the theorem to get this form of the theorem,

Suppose(fleft( x ight)) is a continuous function, its derivative(f'left( x ight)) is piecewise smooth and (fleft( < - L> ight) = fleft( L ight)) then the Fourier series of the function can be differentiated term by term and the result is the Fourier series of the derivative.

For Fourier cosine/sine series the basic theorem is the same as for Fourier series. All that’s required is that the Fourier cosine/sine series be continuous and then you can differentiate term by term. The theorems that we’ll give here will merge the conditions for the Fourier cosine/sine series to be continuous into the theorem.

Let’s start with the Fourier cosine series.

Suppose(fleft( x ight)) is a continuous function and its derivative(f'left( x ight)) is piecewise smooth then the Fourier cosine series of the function can be differentiated term by term and the result is the Fourier sine series of the derivative.

Next the theorem for Fourier sine series.

Suppose(fleft( x ight)) is a continuous function, its derivative(f'left( x ight)) is piecewise smooth, (fleft( 0 ight) = 0) and (fleft( L ight) = 0) then the Fourier sine series of the function can be differentiated term by term and the result is the Fourier cosine series of the derivative.

The theorem for integration of Fourier series term by term is simple so there it is.

Suppose(fleft( x ight)) is piecewise smooth then the Fourier sine series of the function can be integrated term by term and the result is a convergent infinite series that will converge to the integral of (fleft( x ight)).

Note however that the new series that results from term by term integration may not be the Fourier series for the integral of the function.


Ver el vídeo: P05h - Aproximación de funciones - Transformada de Fourier (Diciembre 2021).