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5.1.1: Operadores pseudodiferenciales - Matemáticas

5.1.1: Operadores pseudodiferenciales - Matemáticas



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Las propiedades de la transformada de Fourier conducen a una teoría general para ecuaciones integrales o diferenciales parciales lineales. En esta subsección definimos

$$ D_k = frac {1} {i} frac { parcial} { parcial x_k}, k = 1, ldots, n, ]

y para cada multi-índice ( alpha ) como en la Subsección 3.5.1

$$ D ^ alpha = D_1 ^ { alpha_1} ldots D_n ^ { alpha_n}. ]

Por lo tanto

$$ D ^ alpha = frac {1} {i ^ {| alpha |}} frac { parcial ^ {| alpha |}} { parcial x_1 ^ { alpha_1} ldots parcial x_n ^ { alpha_n}}. ]

Dejar

$$ p (x, D): = sum_ {| alpha | le m} a_ alpha (x) D ^ alpha, ]

ser un diferencial lineal parcial de orden (m ), donde (a_ alpha ) reciben funciones suficientemente regulares.

De acuerdo con el Teorema 5.1 y la Proposición 5.3, tenemos, al menos para (u in { mathcal {S}} ( mathbb {R} ^ n) ),

$$ u (x) = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} widehat {u} ( xi) d xi, ]

lo que implica

$$ D ^ alpha u (x) = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} xi ^ alpha ancho {u} ( xi) d xi. ]

como consecuencia

begin {ecuación}
etiqueta {pseudo1} etiqueta {5.1.1.1}
p (x, D) u (x) = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} p (x, xi ) widehat {u} ( xi) d xi,
end {ecuación}

dónde

$$ p (x, xi) = sum_ {| alpha | le m} a_ alpha (x) xi ^ alpha. ]

El lado derecho de ( ref {pseudo1}) tiene sentido también para funciones más generales (p (x, xi) ), no solo para polinomios.

Definición. La función (p (x, xi) ) se llama símbolo y

$$ (Pu) (x): = (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} p (x, xi) widehat {u} ( xi) d xi ]

se ha dicho operador pseudodiferencial.

Una clase importante de símbolos para los que se define el lado derecho en esta definición de un operador pseudodiferencial es (S ^ m ) que es el subconjunto de (p (x, xi) en C ^ infty ( Omega times mathbb {R} ^ n) ) tal que

$$ | D ^ beta_xD_ xi ^ alpha p (x, xi) | le C_ {K, alpha, beta} (p) left (1+ | xi | right) ^ {m - | alpha |} ]

para cada compacto (K subconjunto Omega ).

Anteriormente hemos visto que los operadores diferenciales lineales definen una clase de operadores pseudodiferenciales. Incluso los operadores integrales pueden escribirse (formalmente) como operadores pseudodiferenciales.

Dejar

$$ (Pu) (x) = int _ { mathbb {R} ^ n} K (x, y) u (y) dy ]

ser un operador integral. Luego

begin {eqnarray *}
(Pu) (x) & = & {(2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} K (x, y) int _ { mathbb {R} ^ n } e ^ {ix cdot xi} xi ^ alpha widehat {u} ( xi)} d xi
& = & (2 pi) ^ {- n / 2} int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {ix cdot xi} left ( int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {i (yx) cdot xi} K (x, y) dy right) widehat {u} ( xi).
end {eqnarray *}

Entonces el símbolo asociado al operador integral anterior es

$$ p (x, xi) = int _ { mathbb {R} ^ n} e ^ {i (y-x) cdot xi} K (x, y) dy. ]


Ver el vídeo: Operadores Matemáticos - Nivel 1 (Agosto 2022).