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3.2: Ecuaciones cuasilineales de segundo orden - Matemáticas

3.2: Ecuaciones cuasilineales de segundo orden - Matemáticas



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Aquí consideramos la ecuación
begin {ecuación}
label {quasilin}
sum_ {i, j = 1} ^ na ^ {ij} (x, u, nabla u) u_ {x_ix_j} + b (x, u, nabla u) = 0
end {ecuación}
en un dominio ( Omega subset mathbb {R} ), donde (u: Omega mapsto mathbb {R} ^ 1 ). Suponemos que (a ^ {ij} = a ^ {ji} ).

Como en la sección anterior, podemos derivar la ecuación característica
$$
sum_ {i, j = 1} ^ na ^ {ij} (x, u, nabla u) chi_ {x_i} chi_ {x_j} = 0.
$$
A diferencia de las ecuaciones lineales, las soluciones de la ecuación característica dependen de la solución considerada.


3.2: Ecuaciones cuasilineales de segundo orden - Matemáticas

Ecuaciones de la forma begin Lu = f ( mathbf) etiqueta final donde $ Lu $ es una expresión diferencial parcial lineal con respecto a la función desconocida $ u $ se llama ecuación lineal (o sistema lineal). Esta ecuación es ecuación lineal homogénea si $ f = 0 $ y ecuación lineal no homogénea de lo contrario. Por ejemplo, begin Lu: = a_ <11> u_ + 2a_ <12> u_+ a_ <22> u_+ a_1u_x + a_2 u_y + a u = f ( mathbf) etiqueta final es lineal si todos los coeficientes $ a_$, $ a_j $, $ a $ son constantes, lo llamamos ecuación lineal con coeficientes constantes de lo contrario hablamos de coeficientes variables.

De lo contrario, la ecuación se llama no lineal. Sin embargo, existe una clasificación más sutil de tales ecuaciones. Ecuaciones del tipo ( ref), donde la expresión de la derecha $ f $ depende de la solución y sus derivadas de orden inferior, se denominan semilineal, las ecuaciones en las que tanto los coeficientes como la expresión de la derecha dependen de la solución y sus derivadas de orden inferior se denominan cuasilineal. Por ejemplo begin Lu: = a_ <11> (x, y) u_ + 2a_ <12> (x, y) u_+ a_ <22> (x, y) u_ = f (x, y, u, u_x, u_y) etiqueta final es semilineal y begin Lu: = a_ <11> (x, y, u, u_x, u_y) u_ + 2a_ <12> (x, y, u, u_x, u_y) u_+ a_ <22> (x, y, u, u_x, u_y) u_ = f (x, y, u, u_x, u_y) etiqueta final es cuasilineal, mientras que begin F (x, y, u, u_x, u_y, u_, u_, u_) = 0 etiqueta final es general no lineal.

Ecuaciones elípticas, hiperbólicas y parabólicas

General

Considere la ecuación de segundo orden ( ref): empezar Lu: = sum_ <1 le i, j le n> a_ u_ + texto = f ( mathbf) etiqueta final donde l.o.t. medio términos de orden inferior es decir, términos con $ u $ y sus derivados de orden inferior) con $ a_= a_PS Cambiemos las variables $ mathbf= mathbf( mathbf& # 39) $. Entonces el matriz de coeficientes principales
empezar A = begin a_ <11> & amp dots & ampa_ <1n> vdots & amp ddots & amp vdots a_& amp dots & amp a_finalfinal en el nuevo sistema de coordenadas se convierte en $ A & # 39 = Q ^ * AQ $ donde $ Q = T ^ <* , - 1> $ y $ T = left ( frac < partial x_i> < partial x & # 39_j > derecha) _$ es una matriz de Jacobi. La prueba se sigue fácilmente del cadena de reglas (Cálculo II).

Por lo tanto, si los coeficientes principales son reales y constantes, mediante un cambio lineal de variables, la matriz de los coeficientes principales podría reducirse a la forma diagonal, donde los elementos diagonales podrían ser $ 1 $, $ -1 $ o $. Multiplicando la ecuación por $ -1 $ si es necesario, podemos asumir que hay al menos tantos $ 1 $ como $ -1 $. En particular, para $ n = 2 $ la parte principal se convierte en $ u_+ u_$, o $ u_-u_$, o $ u_$ y esas ecuaciones se llaman elíptico, hiperbólico, y parabólico respectivamente (siempre habrá una segunda derivada ya que de lo contrario sería la ecuación de primer orden).

Esta terminología proviene de las curvas de segundo orden. secciones cónicas: si $ a_ <11> a_ <22> -a_ <12> ^ 2 & gt0 $ ecuación $ a_ <11> xi ^ 2 + 2a_ <12> xi eta + a_ <22> eta ^ 2 + a_1 xi + a_2 eta = c $ define genéricamente una elipse, si $ a_ <11> a_ <22> -a_ <12> ^ 2 & lt0 $ esta ecuación define genéricamente una hipérbole y si $ a_ <11> a_ <22> -a_ <12> ^ 2 = 0 $ define una parábola.

Consideremos ecuaciones en diferentes dimensiones:

Si consideramos solo ecuaciones de orden de $ 2 $ con coeficientes reales constantes, entonces en las coordenadas apropiadas se verán como begin u_+ u_+ texto = f etiqueta final o comenzar u_-u_+ texto = f, etiqueta final donde l.o.t. significar términos de orden inferior, y llamamos a tales ecuaciones elíptico y hiperbólico respectivamente.

¿Qué hacer si falta una de las 2ª derivadas? Obtenemos ecuaciones parabólicas empezar u_-cu_+ texto = f. etiqueta final con $ c ne 0 $ (no consideramos $ cu_y $ como un término de orden inferior aquí) y IVP $ u | _= g $ está bien posicionado en la dirección $ y & gt0 $ si $ c & gt0 $ y en la dirección $ y & lt0 $ si $ c & lt0 $. Podemos descartar $ c = 0 $ como no interesante.

Sin embargo, esta clasificación omite la muy importante ecuación de Schrödinger begin u_ + i c u_y = 0 etiqueta final con $ c ne 0 $ reales. Para ello IVP $ u | _= g $ está bien posicionado en ambas direcciones $ y & gt0 $ y $ y & lt0 $ pero carece de muchas propiedades de las ecuaciones parabólicas (como principio máximo o apaciguamiento, pero tiene propiedades interesantes por sí mismo).

Nuevamente, si consideramos solo ecuaciones de orden de $ 2 $ con coeficientes reales constantes, entonces en las coordenadas apropiadas se verán como begin u_+ u_+ u_+ texto = f etiqueta final o comenzar u_+ u_-u_+ texto = f, etiqueta final y llamamos a tales ecuaciones elíptico y hiperbólico respectivamente.

También obtenemos ecuaciones parabólicas como empezar u_+ u_-cu_z + text = f. etiqueta final ¿Qué pasa con begin u_-u_-cu_z + text = f? etiqueta final Algebraista-formalista lo llamaría parabólico-hiperbólico, pero dado que esta ecuación no exhibe propiedades analíticas interesantes (a menos que uno considere interesante la falta de tales propiedades en particular, el PVI está mal planteado en ambas direcciones) sería una perversión.

Sí, habrá una ecuación de Schrödinger begin u_ + u_+ i c u_z = 0 etiqueta final con $ c ne 0 $ reales pero $ u_ -u_+ i c u_z = 0 $ también tendría IVP $ u | _= g $ bien posicionado en ambas direcciones.

Aquí obtendríamos también elíptico empezar u_+ u_+ u_+ u_+ texto = f, etiqueta final hiperbólico empezar u_+ u_+ u_-u_+ texto = f, etiqueta final pero también ultrahiperbólico empezar u_+ u_-u_-u_+ texto = f, etiqueta final que exhibe algunas propiedades analíticas interesantes, pero estas ecuaciones son mucho menos importantes que las elípticas, hiperbólicas o parabólicas.

Parabolic y Schrödinger también estarán aquí.

Observación 1. Las nociones de ecuaciones elípticas, hiperbólicas o parabólicas se generalizan a dimensiones superiores (trivialmente) y a ecuaciones de orden superior, pero la mayoría de las ecuaciones escritas al azar no pertenecen a ninguno de estos tipos y no hay razón para clasificarlas.

No hay clasificaciones completas de PDE y no puede ser porque cualquier clasificación razonable no debe basarse en cómo se ve la ecuación sino en las propiedades analíticas razonables que exhibe (qué IVP o BVP están bien planteados, etc.).

Ecuaciones del tipo de variable

Para complicar aún más las cosas, hay ecuaciones que cambian de tipo de un punto a otro, p. Ej. Ecuación de Tricomi begin u_+ xu_= 0 etiqueta final que es elíptica como $ x & gt0 $ e hiperbólica como $ x & lt0 $ y en $ x = 0 $ tiene una & quot degeneración parabólica & quot. Es un modelo de juguete que describe el flujo transónico estacionario de gas. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones del tipo variable (también conocido como ecuaciones de tipo mixto).

Nuestro propósito no era dar definiciones exactas sino explicar una situación.


3.2: Ecuaciones cuasilineales de segundo orden - Matemáticas

El control óptimo de los flujos equipotenciales cuasi-lineales de segundo orden

Victor Onomza WAZIRI y Kayode Rufus ADEBOYE

Departamento de Matemáticas / Ciencias de la Computación, Federal Universidad de Tecnologia , Nigeria

Esta investigación estudia el control óptimo del grupo laplaciano de ecuaciones de segundo orden diferencial y ecuaciones cuasilineales o de primer grado en la naturaleza. El estudio categoriza la investigación en casos de una a una dimensión n-ésima como puntos de generalización. Los valores numéricos y las simulaciones físicas dan concepciones visuales de los flujos equipotenciales de uno a tres dimensiones.

Flujos equipotenciales Ecuaciones de Laplace Simula un control óptimo Función hamiltoniana Epicentro

El grupo de ecuaciones de Laplacia se clasifica generalmente como ecuaciones de flujo equipotencial. Estas ecuaciones dan lugar a ecuaciones diferenciales parciales elípticas de varios casos dimensionales (Hobson et al, 2002). La ecuación laplaciana de la forma cuasilineal de segundo orden se define como:

La ecuación tridimensional (1.1) es válida para la temperatura constante en un medio isotrópico, que caracteriza los potenciales gravitacionales o electrostáticos en puntos de espacio vacío y describe el potencial de velocidad del flujo de fluido irrotacional y / o incompresible. La ecuación (1.1) es el prototipo de una ecuación singular de la ecuación de Laplace tridimensional. Otros casos de ecuaciones dimensionales singulares son:

Las ecuaciones (1.2), (1.3) y (1.4) son respectivamente ecuaciones de flujo equipotencial de segundo orden cuasilineales de una, dos y n-ésima dimensión. Pretendemos obtener en esta investigación el control óptimo de estas ecuaciones de flujo equipotencial de primer grado utilizando el principio de máximo.

Las condiciones necesarias para el control óptimo

Las condiciones necesarias para las óptimas están claramente eliminadas en (Gottfried y Weisman, 1973) y (Singh y Titli, 1978) bajo exposiciones variacionales, pero estas condiciones necesarias para adquirir el control óptimo están simplificadas en detalle por (Rao, 1978). En pocas palabras, describimos este método vis- -vis, aunque en resumen como lo hicieron Singh y Titli (ibid):

Considere el problema de minimizar

sujeto a la ecuación de restricción dinámica:

con condición inicial y de contorno

Este conjunto de ecuaciones (2.1) y (2.2) producen el funcional hamiltoniano en una forma más compacta:

de donde se derivan las condiciones necesarias para las óptimas mediante estas declaraciones de expresiones:

Además, el estado de aproximación variacional se define como:

Singh et al (ibid) vieron las ecuaciones (2.5), (2.6) y (2.7) como las condiciones necesarias para la optimalidad y contenían 2n ecuaciones diferenciales de primer orden (es decir, constan de n ecuaciones de estado y n ecuaciones) y m relaciones algebraicas (para la ecuación de control 2.7) que deben satisfacerse durante el período de optimización [t0, tF ]. Para resolver estas ecuaciones, necesitamos 2n condiciones de contorno, n de estas están dadas por las condiciones iniciales en el estado de la ecuación (2.3) y no adicionales o (n + 1) relaciones dependiendo de si tF está especificado. Si se especifica y la naturaleza del objetivo dado se define como en la ecuación (2.1) entonces, el adicional (n + 1) La relación se puede expresar como se indica en este conjunto de ecuaciones combinadas (2.9) a continuación:

La ecuación (2.4) da la raíz a las formulaciones de las condiciones necesarias para la optimalidad de un funcional objetivo cuadrático integral dado. La condición necesaria para la optimalidad definida por la ecuación de control (2.7) da lugar al celebrado principio máximo.

Declaraciones de los problemas

En esta sección, tenemos este conjunto de problemas de optimización para varios casos dimensionales cuasilineales equipotenciales de segundo orden. Obtendremos sus controles óptimos individuales en la siguiente sección utilizando la teoría de la sección anterior:

con condiciones iniciales y de contorno

El conjunto de ecuaciones (3.1), (3.2) y (3.3) da el problema de optimización de flujo equipotencial unidimensional mientras que en (3.2), el término adicional se refiere al control en el punto xy en el tiempo t a un flujo de trayectoria unidimensional del problema.

con condiciones iniciales y de contorno:

El conjunto de ecuaciones (3.4), (3.5) y (3.6) da el problema de control de optimización de flujo equipotencial bidimensional.

con condiciones iniciales y de contorno

z (0, y, w, t) = z (x, 0, w, t): 0 & # 8804 t & # 8804 1

z (x, y, w, 0) = z (x, y, w): 0 & # 8804 x & # 8804 1, 0 & # 8804 y & # 8804 1

El conjunto de ecuaciones (3.7), (3.8) y (3.9) da el problema de optimización del flujo equipotencial tridimensional.

Luegoth-El problema de optimización dimensional es:

con condiciones iniciales y de contorno

z (0, y, w, , p, t) = z (x, 0, w, , p, t) = z (x, y, w, , 0, t)

Obtendremos las soluciones óptimas de los problemas definidos en la siguiente sección utilizando los procedimientos computacionales teóricos descritos en la sección tres anterior.

Las soluciones computacionales para los problemas anteriores.

Dividimos esta sección en subsecciones de acuerdo con los problemas que tenemos ante nosotros.

El problema equipotencial cuasilineal unidimensional de segundo orden

Recuerde las ecuaciones (3.1) y (3.2), el funcional hamiltoniano es una ecuación no restringida penalizada de la forma:

H (x, u, & # 955, t) = z 2 (x, t) + u 2 (x, t) + & # 955 (t) [zxx (x, t) + u (x, t)]

Las condiciones necesarias para los lazos óptimos se definen en este orden secuencial:

Al diferenciar la ecuación (4.4) y comparar su salida con la de la ecuación (4.2), se obtiene una ecuación diferencial parcial de primer orden de la forma:

En un procedimiento característico como en Zachmann y Duchateau (1986), si la ecuación (4.5) tiene una solución en serie de Fourier, entonces establezca

Diferenciar (4.6) con respecto a t da:

Por tanto, la ecuación de restricción (3.2) podría expresarse como:

tal que la ecuación característica (4.10) se define como

por lo tanto, la raíz característica & # 955 es comparable como:

El objetivo funcional cuadrático (3.1) se puede expresar como:

sujeto a las soluciones de características secuenciales generales:

La ecuación 4.13 produce las expresiones características generales:

El correspondiente problema de minimización sin restricciones se define sucintamente como:

Ahora, resolviendo la ecuación (4.13) suprimiendo la variable independiente x se obtiene

Luego se deduce de las ecuaciones (4.6) y (4.17) y con, que:

Por tanto, con la ecuación (4.17) y con las consideraciones de las ecuaciones (4.11) y (4.18), la solución general de la ecuación (4.13) es:

Además, de las derivaciones computacionales anteriores, observamos que la derivada parcial del control u (x, t) con respecto a t es el estado z (x, t). Por tanto, a partir de la ecuación (4.19), la ecuación de estado se define en este orden:

Por lo tanto, para la ecuación de flujo equipotencial cuasilineal unidimensional, el control y el estado son las ecuaciones (4.19) y (4.20) respectivamente.

El problema de optimización del flujo equipotencial cuasilineal de segundo orden bidimensional

De una manera sistemática como antes, no sería difícil derivar el control y el estado óptimos para el problema bidimensional.

H = z 2 (x, y, t) + u 2 (x, y, t) + & # 955 T (zxx (x, y, t)) + zaa (x, y, t) + u (x, y, y)

Las condiciones necesarias para la optimización se dan como:

Comparando las ecuaciones (4.22) y (4.23), tenemos la ecuación cuasilineal de primer orden:

Como en lo anterior, asumiendo una solución de la serie de Fourier:

con el estado definido como:

De las ecuaciones (4.26) y (4.27), tenemos la ecuación de restricción (3.5) transformada en:

La ecuación (4.28) puede simplificarse y escribirse en una formulación característica como:

Sin seguir la necesaria reescritura de los procedimientos de minimización, tenemos:

Resolviendo la ecuación (4.28), tenemos el control óptimo como

De la misma manera que en el caso unidimensional, el estado se define como:

Las ecuaciones (4.31) y (4.32) son el control óptimo deseado y el estado funcional respectivamente.

El control y el estado óptimos para el flujo equipotencial tridimensional

Sin mucho preámbulo, no nos confundirá generalizar a partir de las dos subsecciones de esta sección que las ecuaciones de estado y control óptimos se definen secuencialmente como:

Las ecuaciones (4.33) y (4.34) son las respectivas soluciones funcionales de control óptimas tridimensionales.

El control y el estado óptimos para el flujo equipotencial n-dimensional

Siguiendo el mismo patrón que las tres subsecciones, llegamos a la conclusión de que el control óptimo y el problema de optimización del estado m-ésimo se invocan fácilmente como en estas observaciones:

Con las diversas soluciones funcionales de estado y control óptimas derivadas, ahora obtenemos los valores numéricos de cada espacio dimensional. Prevemos una tremenda dificultad para simular el control físico óptimo y el estado para la concepción visual de cualquier espacio de dimensión superior mayor que el caso tridimensional. Por lo tanto, nuestro análisis se encuentra en los casos de derivaciones tridimensionales de uno a tres.

El análisis numérico óptimo

Obtenemos los siguientes valores numéricos para los siguientes problemas dimensionales:

Las salidas del programa de problemas unidimensionales son

Las salidas de solución numérica óptimas que utilizan el código de programa para el caso unidimensional son: u (x, t) = 3.927 & # 872910 -4 y z (x, t) = 1.591 & # 872910-6 para el control óptimo respectivamente. Estos se logran cuando x = -0,019 a t = 1.943 y # 872910 4 .

Las salidas óptimas numéricas bidimensionales

Las salidas de valores numéricos óptimos utilizando códigos de programa son las siguientes:

El control óptimo u (x, y, t) = 2,468 & # 872910-9 y estado z (x, y, t) = 1,25 & # 872910-10 se obtienen cuando n = 1, x = 2.5 & # 872910-5 , y = 5 & # 872910-5 , y t = 2.5 & # 872910 -4 .

Los valores óptimos numéricos tridimensionales

El caso tridimensional es bastante revelador, como se muestra a continuación, ya que a medida que aumenta el espacio dimensional, tanto el control óptimo como la salida de estado se vuelven progresivamente pequeños, como se demuestra en esta salida numérica. El control óptimo en este espacio es u (x, y, w, t) = 1.938 & # 872910-11 mientras que la trayectoria del estado es z (x, y, w, t) = 6.545 & # 872910-13 .

Estos valores numéricos óptimos se obtienen cuando n = 1, x = 2.5 & # 872910-5, y = 5 & # 872910-5, w = 6.25 & # 872910-5, y t = 5 y # 872910-5 .

Comentarios sobre observaciones numéricas

Las observaciones realizadas hasta el momento, manifiestan un aumento de la energía potencial con el consiguiente avance en el espacio dimensional. La analogía es significativa si comparamos las longitudes de onda numéricas en el control y el estado en relación con los casos unidimensionales y bidimensionales o las observaciones de resultados óptimos bidimensionales y tridimensionales. Por lo tanto, se observarían manifestaciones de frecuencias más altas con presencia de longitudes de onda más cortas.

Este estudio reveló algunas verdades teóricas fundamentales de que cuanto mayor es la concentración de materia en el centro (en adelante denominado epicentro), el epicentro se excita más en las agitaciones debido a la enorme experiencia de energía potencial superior.

Siguiendo esta adquisición tradicional de los valores numéricos óptimos, podemos ir adinifinitum para obtener el control de varios flujos equipotenciales dimensionales y establecer valores numéricos en varias variables crecientes secuencialmente a medida que las dimensiones aumentan paso a paso.

Sin embargo, notamos de pasada que los valores numéricos óptimos (que representan valores de longitudes de onda) se vuelven infinitesimales a medida que se amplían los espacios dimensionales. Además, indicamos de pasada que los valores numéricos de longitud de onda exhibidos varían con un aumento en el perfil del plano m.

Las simulaciones de los espacios unidimensionales a tridimensionales

Aquí, proporcionamos las simulaciones físicas de los tres espacios de solución funcional como se derivan en las subsecciones de la sección 4 anterior cuando n = 1.

La simulación unidimensional para los estados y controles es la siguiente:

El caso unidimensional

Las Figuras 1 y 2 son el control óptimo y las Simulaciones de estado para los flujos equipotenciales unidimensionales respectivamente. Ambos exhiben regiones centrales de llanuras, pero los bordes están bastante abrumados con muchas turbulencias de olas en formas separadas. Las amplitudes son más visibles hacia afuera en nuestro pecho y en variadas amplificaciones hacia la derecha para un control óptimo y hacia la izquierda por el estado óptimo.

Figura 1. Simulación de control óptimo en n = 1

Figura 2. simulación de estado óptimo en n = 1

El caso bidimensional

Las Figuras 3 y 4 representan los Simulados para el espacio bidimensional. Las perturbaciones de las olas son más turbulentas que los casos unidimensionales anteriores. La llanura relativamente pacífica en el caso unidimensional ha desaparecido visiblemente aquí. Esto puede atribuirse a sus diferencias en las longitudes de onda, sus comparaciones numéricas óptimas refuerzan esta afirmación.

Figura 3. Control óptimo en n = 1

Figura 4. Estado óptimo en n = 1

Los simula para tridimensional

En exámenes similares a los anteriores, tenemos el control y el estado Simula en las figuras 5 y 6 respectivamente para el caso tridimensional. Las formas de onda son más compactas y con longitudes de onda más cortas aquí que en las observaciones anteriores. Esta espectacular observación presagia mayores diferencias de potencial energético que las dos evaluaciones anteriores.

Figura 5. Control óptimo en n = 1

Figura 6. Estado óptimo en n = 1

El trabajo de investigación ha sido bastante esclarecedor. Los valores numéricos computacionales muestran que cuanto mayor es el espacio dimensional, menores son los valores de control y estado óptimos numéricos. Estos valores numéricos decrecientes demuestran hasta cierto punto que los paquetes de energía en los espacios dimensionales superiores son más significativos que en los espacios inferiores. Es decir, la energía experimentada por una ecuación de espacio de flujo equipotencial unidimensional es menor que la experimentada por un caso bidimensional y así sucesivamente. Los Simulados observados claramente dan peso a las observaciones antes mencionadas. A medida que aumentan los espacios dimensionales de Simula, sus observaciones físicas exhiben algunos patrones de onda compactos con controles óptimos más cortos y estados de longitud de onda. Lo que representa esta compacidad es que cuanto mayor es el espacio dimensional de un flujo equipotencial, mayor es el nivel de energía que simboliza una alta asistencia de observaciones de frecuencias.

Otra observación destacada que se ha hecho es que el perfil m cambia en el espacio. El valor m-ésimo que se describe aquí simplemente se refiere al estrato del plano m t h. Estos estratos dan lugar a diferencias en los niveles de energía equipotencial incluso en el mismo espacio dimensional. Por lo tanto, los niveles de energía en el epicentro de cualquier flujo equipotencial son más altos que los de su vecindario. Esto explica la creencia teórica de que el centro de la Tierra tiene mucho más paquete de energía que su vecindad, que se reduce en cantidad a medida que uno se aleja de su epicentro.

Debemos afirmar que la aplicación de nuestros hallazgos al discurso analítico abandonado presupone un espacio de gravitación libre dentro del interior de la Tierra.

1 Duchateau P., Zachmann D. W., ecuaciones diferenciales parciales, McGraw-Hill Publishing Company, 1986.

2 Gottfried B. S., Weisman J., Introducción a la teoría de la optimización, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1973.

3 Hobson M. P, Riley K. F., Bence S. J., Métodos matemáticos para la física y la ingeniería, Cambridge University Press, 2002.

4 Hughes F. W., Brighton J. A., Fluid Dynamics con una introducción al flujo subsónico y supersónico incompresible Flujo turbulento Flujo hipersónico de la capa límite Magnetodrodinámica Fluidos no newtonianos, International Editions Schaum's Outline series, 1991.

5 Ibiejugba M. A., Sobre la desigualdad de momento de Krassnoselskiii, Avances en modelado y simulaciones 1987, 6 (3), pág. 1-17.

6 Lambert J. D., Métodos numéricos para sistemas diferenciales ordinarios, John Wiley and Sons, 1993.

7 Rao S. S., Teoría y aplicación de la optimización, Wiley Eastern Limited, 1978.

8 Reju S. A., Optimización Computacional en Matemáticas, Ph.D. Tesis, Universidad de Ilorin, Ilorin, Nigeria, 1995.

9 Reju S. A., Ibiejugba M. A., Evans D.J., Resultados computacionales del control óptimo de la ecuación de difusión con el problema de gradiente conjugado extendido, Avances en modelado y análisis de amplificadores 1999, 3 (2), pág. 1-22.

10 Reju S. A., Ibiejugba M. A., Evans D. J., Control óptimo del problema de propagación de ondas con el método de gradiente conjugado extendido, Enterrar. J. Computación matemática., 2001, 77 (3), pág. 425-439.

11 Singh M. A., Titli A. J., Descomposición, optimización y control del sistema, Pergason Toulouse, Francia, 1978.

12 Smith G. D., Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales: métodos de diferencias finitas, Oxford University Press, 1985.


MATEMÁTICAS (MATEMÁTICAS)

Funciones polinomiales, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas (énfasis en el cálculo, la representación gráfica y la ubicación de raíces) líneas rectas y secciones cónicas. Principalmente un curso de precálculo para el estudiante sin una buena formación en funciones trigonométricas y gráficas y / o geometría analítica. No está disponible para estudiantes con crédito para MATH 121 o MATH 125. Prerrequisito: Tres años de matemáticas de la escuela secundaria.

MATEMÁTICAS 121. Cálculo para Ciencias e Ingeniería I. 4 Unidades.

Funciones, geometría analítica de líneas y polinomios, límites, derivadas de funciones algebraicas y trigonométricas. Integral definida, antiderivadas, teorema fundamental de cálculo, cambio de variables. Preparación recomendada: Tres años y medio de matemáticas de secundaria. El crédito por como máximo uno de MATH 121, MATH 123 y MATH 125 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Cuenta para el requisito de razonamiento cuantitativo de CAS. Prerrequisito: MATH 120 o una puntuación de 30 en la prueba de diagnóstico de matemáticas o exento de la prueba de diagnóstico de matemáticas.

MATEMÁTICAS 122. Cálculo para Ciencias e Ingeniería II. 4 Unidades.

Continuación de MATH 121. Exponenciales y logaritmos, crecimiento y decaimiento, funciones trigonométricas inversas, tasas relacionadas, técnicas básicas de integración, área y volumen, coordenadas polares, ecuaciones paramétricas. Polinomios de Taylor y teorema de Taylor. El crédito por como máximo uno de MATH 122, MATH 124 y MATH 126 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 121, MATH 123 o MATH 126.

MATEMÁTICAS 123. Cálculo I. 4 Unidades.

Límites, continuidad, derivadas de funciones algebraicas y trascendentales, incluidas aplicaciones, propiedades básicas de integración. Técnicas de integración y aplicaciones. Los estudiantes deben tener 31/2 años de matemáticas de la escuela secundaria. El crédito por como máximo uno de MATH 121, MATH 123 y MATH 125 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Cuenta para el requisito de razonamiento cuantitativo de CAS.

MATEMÁTICAS 124. Cálculo II. 4 Unidades.

Revisión de la diferenciación. Técnicas de integración y aplicaciones de la integral definida. Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Teorema de Taylor. Secuencias, series, series de potencias. Aritmética compleja. Introducción al cálculo multivariable. El crédito por como máximo uno de MATH 122, MATH 124 y MATH 126 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 121 y colocación por departamento.

MATEMÁTICAS 125. Aplicaciones de las matemáticas y el cálculo para la vida, la gestión y las ciencias sociales I. 4 unidades.

Diferencial de probabilidad discreto y continuo y cálculo integral de gráficas de una variable, tasas relacionadas, máximos y mínimos. Técnicas de integración, métodos numéricos, volúmenes, áreas. Aplicaciones a las ciencias físicas, de la vida y sociales. Los estudiantes que planean tomar más de dos semestres de introducción a las matemáticas deben tomar MATH 121. Preparación recomendada: Tres años y medio de matemáticas de secundaria. El crédito por como máximo uno de MATH 121, MATH 123 y MATH 125 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Cuenta para el requisito de razonamiento cuantitativo de CAS. Prerrequisito: MATH 120 o una puntuación de 30 en la prueba de diagnóstico de matemáticas o exento de la prueba de diagnóstico de matemáticas.

MATEMÁTICAS 126. Aplicaciones de matemáticas y cálculo para las ciencias de la vida, de gestión y sociales II. 4 Unidades.

Continuación de MATH 125 que cubre ecuaciones diferenciales, cálculo multivariable, métodos discretos. Derivadas parciales, máximas y mínimas para funciones de dos variables, regresión lineal. Ecuaciones diferenciales ecuaciones de primer y segundo orden, sistemas, métodos de series de Taylor Método de Newton ecuaciones en diferencias. El crédito por como máximo uno de MATH 122, MATH 124 y MATH 126 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 121, MATH 123 o MATH 125.

MATEMÁTICAS 150. Matemáticas desde la perspectiva de un matemático. 3 unidades.

Se desarrolla un tema matemático interesante y accesible que no se cubre en el plan de estudios estándar. Los estudiantes están expuestos a métodos de razonamiento matemático y progresión histórica de conceptos matemáticos. Introducción a la forma de trabajar de los matemáticos y su actitud hacia su profesión. Debe tomarse en el primer año para contar para una especialización en matemáticas. Prerrequisito: Tres años y medio de matemáticas de secundaria. Cuenta para el requisito de razonamiento cuantitativo de CAS.

MATH 201. Introducción al álgebra lineal para aplicaciones. 3 unidades.

Operaciones con matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, subespacios, bases e independencia lineal, autovalores y autovectores, diagonalización de matrices, transformaciones lineales, determinantes. Menos teórico que MATH 307. Apropiado para especializaciones en ciencias, ingeniería, economía. Prerrequisito: MATH 122, MATH 124 o MATH 126.

MATEMÁTICAS 223. Cálculo para Ciencias e Ingeniería III. 3 unidades.

Introducción a las líneas y planos del álgebra vectorial. Funciones de varias variables: derivadas parciales, gradientes, regla de la cadena, derivada direccional, máximos / mínimos. Múltiples integrales, coordenadas cilíndricas y esféricas. Derivadas de funciones con valores vectoriales, velocidad y aceleración. Campos vectoriales, integrales de línea, teorema de Green. El crédito por como máximo uno de MATH 223 y MATH 227 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 122 o MATH 124.

MATEMÁTICAS 224. Ecuaciones diferenciales elementales. 3 unidades.

Un primer curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones y aplicaciones de primer orden, ecuaciones lineales con coeficientes constantes, sistemas lineales, transformadas de Laplace, métodos numéricos de solución. El crédito por como máximo uno de MATH 224 y MATH 228 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227.

MATEMÁTICAS 227. Cálculo III. 3 unidades.

Álgebra y geometría de vectores. Mapas y matrices lineales. Cálculo de funciones con valores vectoriales. Derivadas de funciones de varias variables. Múltiples integrales. Campos vectoriales e integrales de línea. El crédito por como máximo uno de MATH 223 y MATH 227 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 124 y colocación por parte del departamento.

MATEMÁTICAS 228. Ecuaciones diferenciales. 3 unidades.

Ecuaciones diferenciales ordinarias elementales: ecuaciones de primer orden sistemas lineales aplicaciones métodos numéricos de solución. El crédito por como máximo uno de MATH 224 y MATH 228 se puede aplicar a las horas requeridas para la graduación. Prerrequisito: MATH 227 o colocación por parte del departamento.

MATEMÁTICAS 301. Curso de Lectura de Pregrado. 1-3 Unidades.

Los estudiantes deben obtener la aprobación de un profesor supervisor antes de la inscripción. Más de una hora crédito debe ser aprobada por el comité de pregrado del departamento.

MATEMÁTICAS 302. Seminario Departamental. 3 unidades.

Un seminario dedicado a comprender la formulación y solución de problemas matemáticos. Seminario Departamento SAGES. Los estudiantes investigarán, desde diferentes puntos de vista posibles, a través de estudios de casos, cómo avanzan las matemáticas como disciplina, qué hacen los matemáticos. El curso tendrá en gran parte un formato de seminario. Habrá dos asignaciones que involucren escritura en el estilo de la disciplina. Matrícula con permiso (limitada a mayores según demanda). Cuenta como Seminario Departamental SAGES.

MATEMÁTICAS 303. Teoría elemental de números. 3 unidades.

Primas y divisibilidad, teoría de congruencias y funciones teóricas de números. Ecuaciones diofánticas, teoría de residuos cuadráticos y otros temas determinados por el interés de los estudiantes. Énfasis en la resolución de problemas (formular conjeturas y justificarlas). Prerrequisito: MATH 122 o MATH 124.

MATEMÁTICAS 304. Matemáticas discretas. 3 unidades.

Una introducción general a la terminología matemática básica y las técnicas de las matemáticas abstractas en el contexto de las matemáticas discretas. Los temas introducidos son razonamiento matemático, conectivos booleanos, deducción, inducción matemática, conjuntos, funciones y relaciones, algoritmos, gráficos, razonamiento combinatorio. Se ofrece como CSDS 302, ECSE 302 y MATH 304. Prerrequisito: MATH 122 o MATH 124 o MATH 126.

MATEMÁTICAS 305. Introducción a las matemáticas avanzadas. 3 unidades.

Un curso sobre teoría y práctica de la escritura y lectura de matemáticas. Los temas principales son la lógica y el lenguaje matemático, técnicas de prueba, teoría de conjuntos y funciones. Los temas adicionales pueden incluir introducciones a la teoría de números, teoría de grupos, topología u otras áreas de matemáticas avanzadas. Prerrequisito: MATH 122, MATH 124 o MATH 126.

MATEMÁTICAS 307. Álgebra lineal. 3 unidades.

Un curso de álgebra lineal que estudia los fundamentos de los espacios vectoriales, los espacios de productos internos y las transformaciones lineales sobre una base axiomática. Los temas incluyen: soluciones de sistemas lineales, álgebra matricial sobre números reales y complejos, independencia lineal, bases y dimensión, autovalores y autovectores, descomposición de valores singulares y determinantes. Otros temas pueden incluir mínimos cuadrados, producto interno general y espacios normativos, proyecciones ortogonales, teorema espectral de dimensión finita. Este curso es obligatorio para todos los estudiantes que se especializan en matemáticas y matemáticas aplicadas. Más teórico que MATH 201. Prerrequisito: MATH 122 o MATH 124.

MATEMÁTICAS 308. Introducción al álgebra abstracta. 3 unidades.

Un primer curso de álgebra abstracta, estudiado sobre una base axiomática. Las principales estructuras algebraicas estudiadas son grupos, anillos y campos. Los temas incluyen homomorfismos y estructuras de cocientes. Este curso es obligatorio para todos los estudiantes que se especializan en matemáticas. Es útil, pero no necesario, que un estudiante haya tomado MATH 307 antes de MATH 308. Prerrequisito: MATH 122 o MATH 124.

MATEMÁTICAS 319. Probabilidad aplicada y procesos estocásticos para la biología. 3 unidades.

Aplicaciones de probabilidad y procesos estocásticos a sistemas biológicos. Los temas matemáticos incluirán: introducción a espacios de probabilidad discretos y continuos (incluida la generación numérica de muestras pseudoaleatorias a partir de distribuciones de probabilidad especificadas), procesos de Markov en tiempo discreto y continuo con espacios de muestra discretos y continuos, procesos puntuales que incluyen procesos de Poisson homogéneos y no homogéneos y Markov cadenas en gráficos y procesos de difusión que incluyen el movimiento browniano y el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Los temas biológicos serán determinados por los intereses de los estudiantes y del instructor. Los temas probables incluyen: canales iónicos estocásticos, motores moleculares y trinquetes estocásticos, polimerización de actina y tubulina, modelos de caminata aleatoria para trenes de picos neurales, quimiotaxis bacteriana, redes reguladoras de señalización y genética, y dinámica estocástica depredador-presa. Se hará hincapié en la simulación práctica y el análisis de fenómenos estocásticos en sistemas biológicos. Los métodos numéricos se desarrollarán utilizando una combinación de MATLAB, el paquete estadístico R, MCell y / o URDME, a discreción del instructor. Los proyectos de los estudiantes constituirán una parte importante del curso. Se ofrece como BIOL 319, ECSE 319, MATH 319, SYBB 319, BIOL 419, EBME 419, MATH 419, PHOL 419 y SYBB 419. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 223 y BIOL 300 o BIOL 306 y MATH 201 o MATH 307 o consentimiento del instructor.

MATEMÁTICAS 321. Fundamentos del Análisis I. 3 Unidades.

Razonamiento matemático abstracto en el contexto del análisis en el espacio euclidiano. Introducción al razonamiento formal, conjuntos y funciones, y los sistemas numéricos. Secuencias y series Secuencias de Cauchy y convergencia. Obligatorio para todas las carreras de matemáticas. Se requiere trabajo adicional para estudiantes graduados. (No puede ser tomado como crédito de posgrado por estudiantes de posgrado en el Departamento de Matemáticas). Se ofrece como MATH 321 y MATH 421. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227.

MATEMÁTICAS 322. Fundamentos del análisis II. 3 unidades.

Continuación de MATH 321. Topología de conjunto de puntos en espacios métricos con atención a la integridad, compacidad, conectividad y continuidad de las funciones del espacio n-dimensional. Temas en sucesiones, series de funciones, convergencia uniforme, series de Fourier y aproximación polinomial.Desarrollo teórico de la diferenciación e integración de Riemann. Obligatorio para todas las carreras de matemáticas. Se requiere trabajo adicional para estudiantes graduados. (No se puede tomar como crédito de posgrado por estudiantes graduados en el Departamento de Matemáticas). Se ofrece como MATH 322 y MATH 422. Prerrequisito: MATH 321.

MATEMÁTICAS 324. Introducción al análisis complejo. 3 unidades.

Propiedades, singularidades y representaciones de funciones analíticas, integración compleja. Teoremas de Cauchy, residuos de series, mapeo conforme y continuación analítica. Superficies de Riemann. Relevancia para la teoría de los problemas físicos. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 327. Convexidad y Optimización. 3 unidades.

Introducción a la teoría de conjuntos y funciones convexas y a los extremos en problemas en áreas de las matemáticas donde la convexidad juega un papel. Entre los temas tratados se encuentran propiedades básicas de conjuntos convexos (puntos extremos, estructura facial de politopos), teoremas de separación, dualidad y polares, propiedades de funciones convexas, mínimos y máximos de funciones convexas sobre conjuntos convexos, diversos problemas de optimización. Se ofrece como MATH 327, MATH 427 y OPRE 427. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227.

MATEMÁTICAS 330. Introducción a la Computación Científica. 3 unidades.

Una encuesta introductoria a la Computación Científica desde los principios hasta las aplicaciones. Los temas que se cubrirán en el curso incluyen: solución de sistemas lineales y mínimos cuadrados, aproximación e interpolación, solución de sistemas no lineales, integración y diferenciación numérica y solución numérica de ecuaciones diferenciales. Los proyectos donde se utilizan los métodos numéricos para resolver problemas de diversas áreas de aplicación se asignarán a lo largo del semestre. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 332. Ecuaciones que cambiaron el mundo. 3 unidades.

Este curso presentará a los estudiantes algunas de las ecuaciones fundamentales que cambiaron los mundos. Una ecuación a la semana, los estudiantes investigarán las matemáticas detrás de algunas de las ecuaciones o ideas más influyentes, por ejemplo, la Transformada de Fourier, las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de Schrödinger y la ecuación de onda. Los estudiantes investigarán el clima científico y social en el que surgieron las ecuaciones e informarán el impacto que las ecuaciones han tenido en la forma en que vemos el mundo y vivimos nuestras vidas hoy. La clase alternará entre conferencias, donde el instructor presentará los antecedentes matemáticos necesarios para enunciar y comprender la ecuación, y presentaciones, en las que los estudiantes presentarán los resultados de sus investigaciones. Se requerirá que los estudiantes escriban un trabajo final relacionado con una ecuación en particular y que hagan una presentación final. La calificación abordará tanto la madurez matemática de los estudiantes como la organización y presentación del trabajo. Cuenta como Seminario Departamental SAGES. Prerrequisito: (MATH 223 o MATH 227) y (MATH 224 o 228).

MATEMÁTICAS 333. Matemáticas y Cerebro. 3 unidades.

Este curso está dirigido a estudiantes de pregrado de nivel superior en Matemáticas, Ciencias Cognitivas, Ingeniería Biomédica, Biología o Neurociencia que tengan interés en la investigación cuantitativa del cerebro y sus funciones. Se introducirá a los estudiantes a una variedad de técnicas matemáticas necesarias para modelar y simular diferentes funciones cerebrales y analizar los resultados de las simulaciones y de los datos medidos disponibles. La exposición matemática será seguida - cuando corresponda - por la implementación correspondiente en Matlab. El curso cubrirá algunos temas básicos en los aspectos matemáticos de ecuaciones diferenciales, electromagnetismo, problemas inversos e imágenes relacionadas con las funciones cerebrales. Se abordará la validación y falsificación de los modelos matemáticos a la luz de los datos experimentales disponibles. Este curso será un primer paso hacia la organización de las diferentes modalidades de investigación del cerebro dentro de un marco matemático unificado. Las conferencias incluirán una parte de discusión. Una presentación final y un informe escrito son parte de los requisitos del curso. Cuenta como Seminario Departamental SAGES. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 338. Introducción a los sistemas dinámicos. 3 unidades.

Sistemas dinámicos discretos no lineales en una y dos dimensiones. Dinámica caótica, teoría de la bifurcación elemental, hiperbolicidad, dinámica simbólica, estabilidad estructural, teoría de la variedad estable. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227.

MATEMÁTICAS 343. Informática Teórica. 3 unidades.

Introducción a diferentes clases de autómatas y su correspondencia con diferentes clases de lenguajes y gramáticas formales, computabilidad, complejidad y diversas técnicas de prueba. Se ofrece como CSDS 343 y MATH 343. Prerrequisito: MATH 304 y EECS 340.

MATH 351. Proyecto Senior del Programa de Matemáticas y Física. 2 unidades.

Un curso de dos semestres (2 créditos por semestre) en el B.S. en el programa de Matemáticas y Física. Proyecto basado en investigación numérica y / o teórica bajo la supervisión de un miembro de la facultad de matemáticas, posiblemente en conjunto con un miembro de la facultad de física. Estudio de las técnicas utilizadas en un área de investigación específica y de la literatura reciente asociada al proyecto. Trabajo que conduzca a resultados significativos que se presentarán como un trabajo final y un informe oral al final del segundo semestre. La facultad supervisora ​​revisará el progreso con el estudiante de manera regular, incluidos los informes de progreso detallados realizados dos veces cada semestre, para garantizar la finalización exitosa del trabajo. Cuenta como SAGES Senior Capstone.

MATEMÁTICAS 352. Capstone de las matemáticas. 3 unidades.

Proyecto Capstone de Matemáticas. Los estudiantes realizan investigaciones teóricas, experimentales o de enseñanza bajo la supervisión de un Asesor Capstone, generalmente un miembro del cuerpo docente del Departamento de MAMS. Los resultados y las conclusiones del proyecto se resumen en forma escrita y en una presentación pública, por ejemplo, en el Simposio Capstone anual de MAMS, o en el Simposio de Intersecciones de CWRU y en las Sesiones de Carteles. Para registrarse, un estudiante primero debe obtener el consentimiento de un Asesor Capstone. Se recomienda encarecidamente a los estudiantes que comiencen mucho antes de la inscripción para iniciar conversaciones con un posible asesor de Capstone. Antes de otorgar la aprobación, un asesor puede requerir una propuesta final que describa los objetivos, los antecedentes esperados, la metodología y el marco de tiempo del proyecto. La determinación de si se han cumplido las expectativas para el Proyecto Capstone y para el Requisito Capstone de SAGES es responsabilidad exclusiva del Asesor Capstone. Cuenta como SAGES Senior Capstone.

MATEMÁTICAS 357. Modelado matemático a través de las ciencias. 3 unidades.

Un curso de tres créditos sobre modelado matemático aplicado a las ciencias de los orígenes. Los estudiantes obtienen experiencia práctica en una amplia gama de técnicas para modelar preguntas de investigación en cosmología y astrofísica, biología evolutiva integradora (incluida la antropología física, ecología, paleontología y ciencia cognitiva evolutiva) y ciencia planetaria y astrobiología. Se ofrece como ORIG 301, ORIG 401 y MATH 357. Prerrequisito: ORIG 201, ORIG 202, BIOL 225, MATH 122, CHEM 106 y (PHYS 122 o PHYS 124).

MATEMÁTICAS 361. Geometría I. 3 Unidades.

Una introducción a las diversas geometrías bidimensionales, incluidas las euclidianas, esféricas, hiperbólicas, proyectivas y afines. El curso examinará la base axiomática de la geometría, con énfasis en las transformaciones. Los temas incluyen el postulado paralelo y sus alternativas, isometría y grupos de transformación, teselaciones, el plano hiperbólico y sus modelos, geometría esférica, transformaciones afines y proyectivas, y otros temas. Examinaremos el papel de los números complejos e hipercomplejos en la representación algebraica de transformaciones. El curso es autónomo. Cuenta como Seminario Departamental SAGES. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 224.

MATEMÁTICAS 363. Teoría de los nudos. 3 unidades.

Una introducción a la teoría matemática de nudos y eslabones, con énfasis en los métodos combinatorios modernos. Reidemeister se mueve en proyecciones de enlaces, isotopías ambientales y regulares, tricolorabilidad de números de enlace, enredos racionales, trenzas, nudos en toro, superficies seifert y género, los polinomios de nudos (corchete, X, Jones, Alexander, HOMFLY), cruzando números de nudos alternos y anfiqueiralidad . Las conexiones con la física teórica, la biología molecular y otras aplicaciones científicas se buscarán en proyectos de término, según corresponda a los antecedentes e intereses de los estudiantes. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227.

MATH 365. Introducción a la geometría algebraica. 3 unidades.

Esta es una primera introducción a la geometría algebraica, el estudio de soluciones de ecuaciones polinómicas, para estudiantes universitarios avanzados. Las aplicaciones recientes de esta amplia e importante área incluyen teoría de números, combinatoria, física teórica, robótica, criptología y teoría de codificación. El contenido del curso puede variar de un semestre a otro, y puede incluir, por ejemplo: la teoría clásica de curvas algebraicas en el marco de planos afines y proyectivos sobre los campos reales o complejos equivalencia afín y proyectiva invariantes tangentes singularidades intersección multiplicidades resultantes y el teorema de Bezout, sistemas lineales, curvas racionales, flexiones y estructura de grupo en un cúbico. Prerrequisito: MATH 307 y Coreq: MATH 308.

MATEMÁTICAS 376. Análisis matemático de modelos biológicos. 3 unidades.

Este curso se centra en los métodos matemáticos utilizados para analizar modelos biológicos, con ejemplos extraídos principalmente de la ecología, pero también de la epidemiología, la biología del desarrollo y otras áreas. Los temas matemáticos incluyen equilibrio y estabilidad en tiempo discreto y continuo, algunos aspectos de la dinámica transitoria y ecuaciones de reacción-difusión (estado estacionario, inestabilidades difusivas y ondas viajeras). Los temas biológicos incluyen varios modelos "clásicos", como el modelo Lotka-Volterra, el modelo Ricker y las respuestas de saturación de Michaelis-Menten / tipo II /. El énfasis está en las aproximaciones que conducen a soluciones analíticas, no en el análisis numérico. Un aspecto importante de este curso es la traducción entre descripciones verbales y matemáticas: el objetivo no es solo resolver problemas matemáticos, sino extraer significado biológico de las respuestas que encontramos. Se ofrece como BIOL 306 y MATH 376. Prerrequisito: BIOL 300 o MATH 224 o consentimiento del instructor.

MATEMÁTICAS 378. Neurociencia Computacional. 3 unidades.

Simulaciones por computadora y análisis matemático de neuronas y circuitos neuronales, y las propiedades computacionales de los sistemas nerviosos. A los estudiantes se les enseña una variedad de modelos para neuronas y circuitos neuronales, y se les pide que implementen y exploren las propiedades computacionales y dinámicas de estos modelos. El curso introduce a los estudiantes a la teoría de sistemas dinámicos para el análisis de neuronas y aprendizaje neuronal, modelos de sistemas cerebrales y su relación con redes neuronales y artificiales. Se requiere proyecto a término. Los estudiantes inscritos en MATH 478 harán arreglos con el instructor para asistir a conferencias adicionales y completar tareas adicionales que aborden temas matemáticos relacionados con el curso. Preparación recomendada: MATH 223 y MATH 224 o BIOL 300 y BIOL 306. Se ofrece como BIOL 378, COGS 378, MATH 378, BIOL 478, CSDS 478, EBME 478, ECSE 478, MATH 478 y NEUR 478.

MATEMÁTICAS 380. Introducción a la probabilidad. 3 unidades.

Análisis combinatorio. Permutaciones y combinaciones. Axiomas de probabilidad. Espacio muestral y eventos. Resultados igualmente probables. La probabilidad condicional. Fórmula de Bayes. Eventos y juicios independientes. Variables aleatorias discretas, funciones de masa de probabilidad. Valor esperado, varianza. Bernoulli, binomial, Poisson, geométricas, variables aleatorias binomiales negativas. Variables aleatorias continuas, funciones de densidad. Valor esperado y varianza. Variables aleatorias uniformes, normales, exponenciales y gamma. El teorema del límite de De Moivre-Laplace. Funciones y densidades de masa de probabilidad conjunta. Variables aleatorias independientes y distribución de sus sumas. Covarianza. Expectativas y distribuciones condicionales (caso discreto). Funciones generadoras de momentos. Ley de los grandes números. Teorema del límite central. Temas adicionales (si el tiempo lo permite): el proceso de Poisson, el espacio de estados finitos, las cadenas de Markov, la entropía. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227.

MATEMÁTICAS 382. Probabilidad dimensional alta. 3 unidades.

Comportamiento de vectores aleatorios, matrices aleatorias y proyecciones aleatorias en espacios de alta dimensión, con miras a aplicaciones a las ciencias de datos. Los temas incluyen desigualdades de cola para sumas de variables aleatorias independientes, normas de matrices aleatorias, concentración de medidas y límites para procesos aleatorios. Las aplicaciones pueden incluir estructura de gráficos aleatorios, detección de comunidades, estimación y agrupación de covarianzas, reducción de dimensiones aleatorias, procesos empíricos, aprendizaje estadístico y problemas de recuperación dispersa. Se requiere trabajo adicional para los estudiantes de posgrado. Se ofrece como MATH 382, ​​MATH 482, STAT 382 y STAT 482. Prerrequisito: MATH 307 y (MATH 380 o STAT 345 o STAT 445).

MATEMÁTICAS 383. Temas de probabilidad. 3 unidades.

Este es un segundo curso de pregrado en probabilidad. Los temas pueden incluir: procesos estocásticos, cadenas de Markov, movimiento browniano, martingalas, fundamentos teóricos de la medida de la probabilidad, teoría del límite cuantitativo / tasas de convergencia, métodos de acoplamiento, métodos de Fourier y teoría ergódica. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 380.

MATEMÁTICAS 394. Introducción a la Teoría de la Información. 3 unidades.

Este curso pretende ser una introducción a la teoría de la información y la codificación con énfasis en los aspectos matemáticos. Es adecuado para estudiantes avanzados de pregrado y posgrado en matemáticas, matemáticas aplicadas, estadística, física, informática e ingeniería eléctrica. Contenido del curso: Medidas de información: entropía, entropía relativa, información mutua y sus propiedades. Conjuntos y secuencias típicos, propiedad de equipartición asintótica, compresión de datos. Capacidad y codificación de canales: teorema de codificación de canales. Entropía diferencial, canal gaussiano, teorema de Shannon-Nyquist. Desigualdades de la teoría de la información (nivel 400). Temas adicionales, que pueden incluir detección comprimida y elementos de la teoría de la información cuántica. Preparación recomendada: MATH 201 o MATH 307. Ofrecido como MATH 394, CSDS 394, ECSE 394, MATH 494, CSDS 494 y ECSE 494. Prerrequisito: MATH 223 y MATH 380 o requisitos no cumplidos con permiso.

MATEMÁTICAS 401. Álgebra abstracta I. 3 unidades.

Propiedades básicas de grupos, anillos, módulos y campos. Teoremas de isomorfismo para grupos Teorema de Sylow nilpotencia y solubilidad de grupos Teorema de Jordan-Holder Lema de Gauss y criterio de Eisenstein módulos generados finitamente sobre dominios ideales principales con aplicaciones a grupos abelianos y formas canónicas para categorías de matrices y tensor de functores producto de módulos, campo de formas bilineales y cuadráticas Extensiones del teorema fundamental de la teoría de Galois, resolviendo ecuaciones por radicales. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 308.

MATEMÁTICAS 402. Álgebra abstracta II. 3 unidades.

Una continuación de MATH 401. Prerrequisito: MATH 401.

MATEMÁTICAS 405. Análisis matricial avanzado. 3 unidades.

Un curso avanzado en álgebra lineal y teoría de matrices. Los temas incluyen caracterizaciones variacionales de valores propios de matrices hermitianas, normas matriciales y vectoriales, caracterizaciones de matrices definidas positivas, descomposición y aplicaciones de valores singulares, perturbación de valores propios. Este curso es más teórico que MATH 431, que enfatiza los aspectos computacionales del álgebra lineal. Prerrequisito: MATH 307.

MATEMÁTICAS 406. Lógica matemática y teoría de modelos. 3 unidades.

Cálculo proposicional y teoría de la cuantificación Teoremas de coherencia y completitud Resultados de incompletitud de Gödel y su importancia filosófica Introducción a los conceptos básicos de la teoría de modelos Problemas de formulación de argumentos en filosofía y ciencias. Ofrecido como PHIL 306, MATH 406 y PHIL 406.

MATEMÁTICAS 408. Introducción a la Criptología. 3 unidades.

Introducción a la teoría matemática de la comunicación segura. Los temas incluyen: sistemas criptográficos clásicos funciones unidireccionales y trampilla RSA, DSA y otros sistemas de clave pública Algoritmos de primalidad y factorización problema de cumpleaños y otros métodos de ataque criptosistemas de curva elíptica introducción a la teoría de la complejidad otros temas según lo permita el tiempo. Preparación recomendada: MATH 303.

MATEMÁTICAS 413. Teoría de grafos. 3 unidades.

Bloques de construcción de un gráfico, árboles, conectividad, emparejamientos, coberturas, planaridad, problemas NP-completos, gráficos aleatorios y gráficos de expansión de diversas aplicaciones y algoritmos. Prerrequisito: MATH 201 o MATH 307.

MATEMÁTICAS 419. Probabilidad aplicada y procesos estocásticos para la biología. 3 unidades.

Aplicaciones de procesos estocásticos y probabilísticos a sistemas biológicos. Los temas matemáticos incluirán: introducción a espacios de probabilidad discretos y continuos (incluida la generación numérica de muestras pseudoaleatorias a partir de distribuciones de probabilidad especificadas), procesos de Markov en tiempo discreto y continuo con espacios de muestra discretos y continuos, procesos puntuales que incluyen procesos de Poisson homogéneos y no homogéneos y Markov cadenas en gráficos y procesos de difusión que incluyen el movimiento browniano y el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. Los temas biológicos serán determinados por los intereses de los estudiantes y del instructor. Los temas probables incluyen: canales iónicos estocásticos, motores moleculares y trinquetes estocásticos, polimerización de actina y tubulina, modelos de caminata aleatoria para trenes de picos neurales, quimiotaxis bacteriana, redes reguladoras de señalización y genética, y dinámica estocástica depredador-presa. Se hará hincapié en la simulación práctica y el análisis de fenómenos estocásticos en sistemas biológicos. Los métodos numéricos se desarrollarán utilizando una combinación de MATLAB, el paquete estadístico R, MCell y / o URDME, a discreción del instructor. Los proyectos de los estudiantes constituirán una parte importante del curso. Se ofrece como BIOL 319, ECSE 319, MATH 319, SYBB 319, BIOL 419, EBME 419, MATH 419, PHOL 419 y SYBB 419.

MATEMÁTICAS 421. Fundamentos del Análisis I. 3 Unidades.

Razonamiento matemático abstracto en el contexto del análisis en el espacio euclidiano. Introducción al razonamiento formal, conjuntos y funciones, y los sistemas numéricos. Secuencias y series Secuencias de Cauchy y convergencia. Obligatorio para todas las carreras de matemáticas. Se requiere trabajo adicional para estudiantes graduados. (Los estudiantes graduados del Departamento de Matemáticas no pueden obtener créditos de posgrado). Se ofrece como MATH 321 y MATH 421.

MATEMÁTICAS 422. Fundamentos del análisis II. 3 unidades.

Continuación de MATH 321. Topología de conjunto de puntos en espacios métricos con atención a la integridad, compacidad, conectividad y continuidad de las funciones del espacio n-dimensional. Temas en sucesiones, series de funciones, convergencia uniforme, series de Fourier y aproximación polinomial. Desarrollo teórico de la diferenciación e integración de Riemann. Obligatorio para todas las carreras de matemáticas. Se requiere trabajo adicional para estudiantes graduados. (No se puede tomar como crédito de posgrado por estudiantes de posgrado en el Departamento de Matemáticas). Se ofrece como MATH 322 y MATH 422. Prerrequisito: MATH 321 o MATH 421.

MATEMÁTICAS 423. Introducción al Análisis Real I. 3 Unidades.

Teoría general de medida e integración. Medidas y medidas exteriores. Medida de Lebesgue en el espacio n. Integración. Teoremas de convergencia. Medidas del producto y teorema de Fubini. Medidas firmadas. Descomposición de Hahn-Jordan, teorema de Radon-Nikodym y descomposición de Lebesgue. Función SpaceP-integrable. Teorema de diferenciación de Lebesgue en el espacio n. Prerrequisito: MATH 322 o MATH 422.

MATEMÁTICAS 424. Introducción al análisis real II. 3 unidades.

Medidas en espacios localmente compactos. Teorema de representación de Riesz. Elementos de análisis funcional. Espacios lineales normativos. Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, mapeo abierto, teoremas de grafos cerrados. Topologías débiles. Teorema de Banach-Alaoglu. Espacios funcionales. Teoremas de Stone-Weierstrass y Ascoli. Teoría básica del espacio de Hilbert. Aplicación a la serie de Fourier. Temas adicionales: Medida de haar en grupos compactos localmente. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 423.

MATEMÁTICAS 425. Análisis complejo I. 3 unidades.

Funciones analíticas. Integración sobre trayectorias en el plano complejo. Índice de un punto con respecto a un camino cerrado Teorema de Cauchy y fórmula integral de Cauchy Representación de series de potencia Teorema de mapeo abierto singularidades Expansión de Laurent Cálculo de residuos funciones armónicas Fórmula de Poisson Teorema de mapeo de Riemann. Más teórico y de mayor nivel que MATH 324. Prerrequisito: MATH 322 o MATH 422.

MATEMÁTICAS 427. Convexidad y Optimización. 3 unidades.

Introducción a la teoría de conjuntos y funciones convexas y a los extremos en problemas en áreas de las matemáticas donde la convexidad juega un papel. Entre los temas tratados se encuentran propiedades básicas de conjuntos convexos (puntos extremos, estructura facial de politopos), teoremas de separación, dualidad y polares, propiedades de funciones convexas, mínimos y máximos de funciones convexas sobre conjuntos convexos, diversos problemas de optimización. Se ofrece como MATH 327, MATH 427 y OPRE 427.

MATEMÁTICAS 431. Introducción al Análisis Numérico I. 3 Unidades.

Álgebra lineal numérica para científicos e ingenieros. Normas matriciales y vectoriales, aritmética informática, condicionamiento y estabilidad, ortogonalidad. Problemas de mínimos cuadrados: factorización QR, ecuaciones normales y descomposición de valores singulares. Solución directa de sistema lineal: eliminación de Gauss y factorización de Cholesky. Autovalores y autovectores: el algoritmo QR, cociente de Rayleigh, iteración inversa. Introducción a los métodos iterativos. Se presentará a los estudiantes a MATLAB. Prerrequisito: MATH 201 o MATH 307.

MATEMÁTICAS 432. Ecuaciones diferenciales numéricas. 3 unidades.

Solución numérica de ecuaciones diferenciales para científicos e ingenieros. Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante métodos multipaso y de un solo paso. Estabilidad, consistencia y convergencia. Ecuaciones rígidas. Esquemas de diferencias finitas. Introducción al método de los elementos finitos. Introducción a las técnicas de multirredes. La ecuación de difusión: esquemas numéricos y análisis de estabilidad. Introducción a las ecuaciones hiperbólicas. En este curso se utilizará MATLAB. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 433. Soluciones numéricas de sistemas no lineales y optimización. 3 unidades.

El curso proporciona una introducción a los métodos de solución numérica para sistemas de ecuaciones no lineales y problemas de optimización. El curso es adecuado para estudiantes de pregrado y posgrado con cierta experiencia en cálculo y álgebra lineal. El conocimiento del álgebra lineal numérica es útil. Entre los temas que se tratarán en el curso se encuentran Sistemas no lineales en una variable Método de Newton para ecuaciones no lineales y minimización sin restricciones Métodos cuasi-Newton Convergencia global de los métodos de Newton y búsquedas de líneas Enfoque de región de confianza Métodos secantes Mínimos cuadrados no lineales. Prerrequisito: MATH 223 o MATH 227 y MATH 431 o permiso.

MATEMÁTICAS 434. Optimización de sistemas dinámicos. 3 unidades.

Fundamentos de optimización dinámica con aplicaciones a controlar. Tratamiento variacional de problemas de control y Principio Máximo. Estructuras de reguladores de sistemas óptimos, controladores de terminales, controladores de tiempo óptimo. Condiciones suficientes para la optimización. Controles singulares. Aspectos computacionales. Aplicaciones seleccionadas. Preparación recomendada: EECS / ECSE 408. Se ofrece como ECSE 421 y MATH 434.

MATEMÁTICAS 435. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 3 unidades.

Un segundo curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. Existencia, singularidad y continuación de soluciones de EDO. Sistemas lineales, matriz fundamental, métodos cualitativos (plano de fase). Dependencia de datos y parámetros iniciales (desigualdad de Gronwall, variación no lineal de parámetros). Estabilidad para ecuaciones lineales y no lineales, linealización, teoría de Poincaré-Bendixson. Los temas adicionales pueden incluir métodos de perturbación regulares y singulares, oscilaciones autónomas, arrastre de osciladores forzados y bifurcaciones. Prerrequisito: MATH 224 y MATH 201 o MATH 307.

MATEMÁTICAS 439. Computación científica bayesiana. 3 unidades.

Este curso incorporará métodos numéricos en un marco bayesiano. El marco estadístico permitirá integrar una información prori sobre las incógnitas y el error en los datos directamente en los métodos numéricos más eficientes. Se pondrá mucho énfasis en comprender el papel de los priors, su codificación en solucionadores numéricos rápidos y cómo traducir información cualitativa o basada en muestras, o la falta de ella, en un esquema numérico. La confianza en los resultados calculados también se discutirá desde una perspectiva bayesiana, a la luz de los datos proporcionados y de la información a priori. El curso debería ser de interés para cualquiera que trabaje en estadísticas de procesamiento de señales e imágenes, análisis numérico y modelado. Preparación recomendada: MATH 431. Se ofrece como MATH 439 y STAT 439.

MATEMÁTICAS 440. Problemas de computación inversa. 3 unidades.

Este curso presentará varios métodos computacionales para resolver problemas inversos en diferentes condiciones. En primer lugar, se introducirán los métodos clásicos de regularización y se abordarán los desafíos computacionales que plantean. A continuación, se estudiarán los métodos estadísticos para la resolución de problemas inversos y se discutirá su implementación informática. Combinaremos los dos enfoques para aprovechar mejor sus potenciales. Las aplicaciones que surgen de diversas áreas de la ciencia, la ingeniería y la medicina se discutirán a lo largo del curso.

MATEMÁTICAS 441. Modelado matemático. 3 unidades.

Las matemáticas son un lenguaje poderoso para describir fenómenos del mundo real y proporcionar predicciones que de otra manera serían difíciles o imposibles de obtener. El curso brinda a los estudiantes los requisitos previos para traducir descripciones cualitativas dadas en el lenguaje profesional no matemático al lenguaje cuantitativo de las matemáticas. Si bien la variedad en el tema es amplia, algunos principios y metodologías generales que puede seguir un modelador son similares en muchas aplicaciones. El curso se centra en estas similitudes. El curso se basa en estudios de casos representativos que se discuten y analizan en el aula, con énfasis en los principios generales de desarrollo y análisis de modelos matemáticos. Los ejemplos se tomarán de diferentes campos de la ciencia y la ingeniería, incluidas las ciencias de la vida, las ciencias ambientales, la ingeniería biomédica y las ciencias físicas. El modelado se basa cada vez más en la computación, por lo que los estudiantes deben tener habilidades básicas para usar computadoras y programas como Matlab o Mathematica. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 444. Matemáticas de Minería de Datos y Reconocimiento de Patrones. 3 unidades.

Este curso dará una introducción a una clase de métodos matemáticos y computacionales para la solución de problemas de reconocimiento de patrones y minería de datos. Al comprender los conceptos matemáticos detrás de los algoritmos diseñados para extraer datos e identificar patrones, los estudiantes podrán modificarlos para que sean adecuados para aplicaciones específicas. Se hará especial hincapié en las técnicas de factorización matricial. Los requisitos del curso incluirán las implementaciones de los métodos en MATLAB y su aplicación a problemas prácticos. Prerrequisito: MATH 201 o MATH 307.

MATH 445. Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. 3 unidades.

Método de características para ecuaciones lineales y cuasilineales. Ecuaciones de segundo orden de problemas elípticos, parabólicos, de tipo inicial y de valor de frontera. Método de separación de variables, expansiones de funciones propias, teoría de Sturm-Liouville. Fourier, Laplace, Hankel transforma funciones de Bessel, polinomios de Legendre. Funciones de Green. Los ejemplos incluyen: difusión de calor, ecuación de Laplace, ecuaciones de onda, dinámica de gas unidimensional y otros. Apropiado para estudiantes de último año y graduados en ciencias, ingeniería y matemáticas. Prerrequisito: MATH 201 o MATH 307 y MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 446. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales. 3 unidades.

Este curso es una introducción a los métodos numéricos de las PDE y, en particular, a los métodos de elementos finitos (FEM), enfatizando la interconexión entre el punto de vista analítico funcional de las PDE y el cálculo práctico y efectivo de las aproximaciones numéricas. En particular, el énfasis está en mostrar que muchas de las ideas útiles y elegantes en el álgebra lineal de dimensión finita tienen una contraparte natural en el escenario de dimensión infinita de los espacios de Hilbert, y que las mismas técnicas que garantizan la existencia y unicidad de las soluciones de hecho también proporcionan métodos computacionales estables para aproximar las soluciones. Los temas cubiertos en este curso incluyen análisis de Fourier, derivadas débiles, formas débiles, funciones generalizadas, espacios de Sobolev, teorema de trazas, teoremas de incrustación compacta, desigualdades de Poincaré, teoría de Riesz, teoría de Fredholm, método de elementos finitos (FEM): generación de cuadrículas, existencia, estabilidad y convergencia de soluciones para problemas elípticos. Semi-discretización de ecuaciones parabólicas e hiperbólicas. Rigidez Solución numérica de sistemas lineales por métodos iterativos. Una parte esencial de este curso comprende la implementación numérica del método de elementos finitos. Matlab se utiliza como herramienta de programación tanto en demostraciones y ejemplos en la clase como en tareas domésticas. Preparación recomendada: álgebra lineal, cálculo multivariado y ecuaciones diferenciales ordinarias.

MATEMÁTICAS 449. Modelos dinámicos para biología y medicina. 3 unidades.

Introducción a modelos dinámicos discretos y continuos con aplicaciones a la biología y la medicina. Los temas incluyen: dinámica poblacional y modelos ecológicos de enfermedades infecciosas genética poblacional y evolución movimiento biológico (reacción-difusión y quimiotaxis) Biología molecular y celular (cinética bioquímica, vías metabólicas, inmunología). El curso introducirá a los estudiantes a los conceptos y técnicas matemáticos básicos de la teoría de sistemas dinámicos (equilibrios, estabilidad, bifurcaciones, dinámica discreta y continua, difusión y propagación de ondas, elementos de la teoría y control de sistemas). La exposición matemática se complementa con una introducción a las herramientas y técnicas informáticas (Mathematica, Matlab). Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228, o BIOL / EBME 300 y MATH 201.

MATH 461. Introducción a la topología. 3 unidades.

Espacios métricos, espacios topológicos y funciones continuas. Compacidad, conectividad, conectividad de caminos. Variedades topológicas grupos topológicos. Poliedros, complejos simples. Grupos fundamentales. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 462. Topología algebraica. 3 unidades.

El grupo fundamental y los espacios de cobertura teorema de van Kampen. Los grupos de homotopía más altos son una secuencia larga y exacta de un par. Teoría de la homología, complejos de cadenas, secuencias exactas cortas y largas, secuencia de Mayer-Vietoris. Homología de superficies y aplicaciones de complejos. Prerrequisito: MATH 461.

MATEMÁTICAS 465. Geometría diferencial. 3 unidades.

Colectores y geometría diferencial. Campos vectoriales Métricas de Riemann Curvatura intrínseca y extrínseca geometría de superficies y curvas ecuaciones estructurales de geometría de Riemann el teorema de Gauss-Bonnet. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 321.

MATEMÁTICAS 467. Colectores diferenciables. 3 unidades.

Variedades y estructuras diferenciables sobre variedades. Campos vectoriales de paquetes tangentes y cotangentes formas diferenciales integración del cálculo tensorial y teorema de Stokes. Puede incluir sistemas hamiltonianos y su formulación en múltiples estructuras simplécticas, conexiones y foliaciones de curvatura e integrabilidad. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 322.

MATEMÁTICAS 471. Ingeniería Avanzada en Matemáticas. 3 unidades.

Análisis vectorial, series de Fourier e integrales. Transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales parciales separables y problemas de valores de frontera. Funciones de Bessel y Legendre. Énfasis en técnicas y aplicaciones. Prerrequisito: MATH 224 o MATH 228.

MATEMÁTICAS 473. Introducción al Procesamiento Matemático de Imágenes y Visión por Computador. 3 unidades.

Este curso presenta técnicas matemáticas fundamentales para el procesamiento de imágenes y visión por computadora (IPCV). Es accesible para estudiantes de pregrado y posgrado de nivel superior de matemáticas, ciencias, ingeniería y medicina. Los temas incluyen, entre otros, eliminación de ruido de imágenes, mejora del contraste, compresión de imágenes, segmentación de imágenes y reconocimiento de patrones. Las herramientas principales son análisis discretos de Fourier y ondículas, además de algunas estadísticas, optimización y un pequeño cálculo de variación y ecuaciones diferenciales parciales si el tiempo lo permite. Los estudiantes obtienen una sólida formación teórica en modelado y computación de IPCV, y dominan las experiencias prácticas de aplicación. Al finalizar el curso, los estudiantes tendrán una comprensión clara de los métodos clásicos, lo que les ayudará a desarrollar nuevos enfoques metódicos para los problemas de imágenes que surgen en una variedad de campos. Preparación recomendada: algunos cursos de informática científica y capacidad para programar (o voluntad de aprender) un idioma como Matlab o C / C ++. Prerrequisito: MATH 330 o MATH 431 o equivalente.

MATEMÁTICAS 475. Matemáticas de la imagen en la industria y la medicina. 3 unidades.

Las matemáticas de las propiedades de reconstrucción de imágenes de la transformada de radón, la relación con los métodos de inversión de la transformada de Fourier, incluida la convolución, la retroproyección, el diagrama de capas filtrado por rho, la técnica de reconstrucción algebraica (ART) y las expansiones polinomiales ortogonales. Reconstrucción a partir de la geometría del haz de abanico, técnicas de ángulo limitado utilizadas en el levantamiento de aplicaciones por resonancia magnética. Preparación recomendada: PHYS 431 o MATH 471.

MATEMÁTICAS 478. Neurociencia Computacional. 3 unidades.

Simulaciones por computadora y análisis matemático de neuronas y circuitos neuronales, y las propiedades computacionales de los sistemas nerviosos. A los estudiantes se les enseña una variedad de modelos para neuronas y circuitos neuronales, y se les pide que implementen y exploren las propiedades computacionales y dinámicas de estos modelos. El curso introduce a los estudiantes a la teoría de sistemas dinámicos para el análisis de neuronas y aprendizaje neuronal, modelos de sistemas cerebrales y su relación con redes neuronales y artificiales. Se requiere proyecto a término. Los estudiantes inscritos en MATH 478 harán arreglos con el instructor para asistir a conferencias adicionales y completar tareas adicionales que aborden temas matemáticos relacionados con el curso. Preparación recomendada: MATH 223 y MATH 224 o BIOL 300 y BIOL 306. Se ofrece como BIOL 378, COGS 378, MATH 378, BIOL 478, CSDS 478, EBME 478, ECSE 478, MATH 478 y NEUR 478.

MATEMÁTICAS 482. Probabilidad dimensional alta. 3 unidades.

Comportamiento de vectores aleatorios, matrices aleatorias y proyecciones aleatorias en espacios de alta dimensión, con miras a aplicaciones a las ciencias de datos. Los temas incluyen desigualdades de cola para sumas de variables aleatorias independientes, normas de matrices aleatorias, concentración de medidas y límites para procesos aleatorios. Las aplicaciones pueden incluir estructura de gráficos aleatorios, detección de comunidades, estimación y agrupación de covarianzas, reducción de dimensiones aleatorias, procesos empíricos, aprendizaje estadístico y problemas de recuperación dispersa. Se requiere trabajo adicional para los estudiantes de posgrado. Se ofrece como MATH 382, ​​MATH 482, STAT 382 y STAT 482. Prerrequisito: MATH 307 y (MATH 380 o STAT 345 o STAT 445).

MATEMÁTICAS 491. Probabilidad I. 3 Unidades.

Conceptos probabilísticos. Probabilidad discreta, distribuciones elementales. Medir el marco teórico de la teoría de la probabilidad. Espacios de probabilidad, álgebras sigma, expectativas, distribuciones. Independencia. Resultados clásicos sobre la convergencia casi segura de sumas de variables aleatorias independientes. Ley de Kolmogorov de los grandes números. Recurrencia de sumas. Débil convergencia de medidas de probabilidad. Inversión, teorema de continuidad de Levy. Teorema del límite central. Introducción al problema del límite central. Prerrequisito: MATEMÁTICAS 322.

MATEMÁTICAS 492. Probabilidad II. 3 unidades.

Expectativas condicionales. Martingalas de parámetros discretos. Tiempos de parada, parada opcional. Procesos estacionarios de parámetros discretos y teoría ergódica. Procesos de Markov en tiempo discreto. Introducción a los procesos estocásticos de parámetros continuos. Teorema de consistencia de Kolmogorov. Procesos gaussianos. Teoría del movimiento browniano (propiedades de la trayectoria de la muestra, propiedad de Markov fuerte, martingalas asociadas al movimiento browniano, teorema del límite central funcional). Prerrequisito: MATEMÁTICAS 491.

MATEMÁTICAS 494. Introducción a la Teoría de la Información. 3 unidades.

Este curso pretende ser una introducción a la teoría de la información y la codificación con énfasis en los aspectos matemáticos. Es adecuado para estudiantes avanzados de pregrado y posgrado en matemáticas, matemáticas aplicadas, estadística, física, informática e ingeniería eléctrica. Contenido del curso: Medidas de información: entropía, entropía relativa, información mutua y sus propiedades. Conjuntos y secuencias típicos, propiedad de equipartición asintótica, compresión de datos. Capacidad y codificación de canales: teorema de codificación de canales. Entropía diferencial, canal gaussiano, teorema de Shannon-Nyquist. Desigualdades de la teoría de la información (nivel 400). Temas adicionales, que pueden incluir detección comprimida y elementos de la teoría de la información cuántica. Preparación recomendada: MATH 201 o MATH 307. Se ofrece como MATH 394, CSDS 394, ECSE 394, MATH 494, CSDS 494 y ECSE 494.

MATEMÁTICAS 497. Modelos estocásticos: series de tiempo y cadenas de Markov. 3 unidades.

Introducción al modelado estocástico de datos. Énfasis en modelos y análisis estadístico de datos con una estructura temporal y / o espacial significativa. Este curso analizará fenómenos aleatorios dependientes del tiempo y el espacio desde dos perspectivas: Serie de tiempo estacionaria: Representación espectral de señales deterministas, autocorrelación. Espectros de potencia. Transmisión de señales estacionarias a través de filtros lineales. Diseño de filtro óptimo, relación señal / ruido. Señales gaussianas y matrices de correlación. Representación espectral y simulación por ordenador de señales estacionarias. Cadenas de Markov discretas: matrices de transición, recurrencias y análisis del primer paso. Ritmo constante. Recurrencia y ergodicidad, promedios empíricos. Comportamiento a largo plazo, convergencia al estado estacionario. Tiempo de absorción. Autovalores y cadenas de Markov no homogéneas.Introducción a los campos de Gibbs y Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Este curso está relacionado con STAT 538 pero se puede tomar independientemente de él. Se ofrece como: MATH 497 y STAT 437. Prerrequisito: STAT 243/244 (como una secuencia) o STAT 312 o STAT 312R o STAT 313 o STAT 332 o STAT 333 o STAT 345 o MATH 380 o MATH 491 o permiso de Requisitos no cumplidos.

MATEMÁTICAS 499. Temas especiales. 3 unidades.

Temas especiales en matemáticas.

MATEMÁTICAS 528. Seminario de análisis. 1-3 Unidades.

Seminario continuo sobre áreas de análisis actual de interés. Permite a los estudiantes graduados y de pregrado avanzados involucrarse en la investigación. Los temas reflejarán los intereses y la experiencia de la facultad y pueden incluir análisis funcional, teoría de la convexidad y sus aplicaciones. Puede tomarse más de una vez como crédito. Se requiere el consentimiento del departamento.

MATH 535. Seminario de Matemática Aplicada. 1-3 Unidades.

Seminario continuo sobre áreas de interés actual en matemáticas aplicadas. Permite a los estudiantes graduados y de pregrado avanzados involucrarse en la investigación. Los temas reflejarán los intereses y la experiencia de la facultad y pueden incluir temas de probabilidad aplicada y procesos estocásticos, mecánica del continuo, análisis numérico, física matemática o biología matemática. Puede tomarse más de una vez como crédito.

MATEMÁTICAS 549. Seminario de Ciencias Matemáticas de la Vida. 1-3 Unidades.

Seminario continuo sobre áreas de interés actual en las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias de la vida. Permite a los estudiantes graduados y de pregrado avanzados involucrarse en la investigación. Los temas reflejarán los intereses y la experiencia de la facultad y pueden incluir biología matemática, neurociencia computacional, modelado matemático de sistemas biológicos, modelos de enfermedades infecciosas, biología celular computacional, ecología matemática y biomedicina matemática en términos generales. Puede tomarse más de una vez como crédito.

MATEMÁTICAS 598. Modelos estocásticos: fenómenos difusivos y ecuaciones diferenciales estocásticas. 3 unidades.

Introducción al modelado estocástico de datos. Énfasis en modelos y análisis estadístico de datos con estructura temporal y / o espacial significativa. Este curso analizará fenómenos aleatorios dependientes del tiempo y el espacio desde dos perspectivas: movimiento browniano y procesos de difusión: clasificación de procesos estocásticos, distribuciones de dimensión finita, paseos aleatorios y sus límites de escala, movimiento browniano y propiedades de sus trayectorias, procesos de difusión general, Fokker-Planck. -Ecuaciones de Kolmogorov, procesos de Poisson y puntuales, difusiones de cola pesada, procesos de Levy, difusiones estables templadas. Cálculo estocástico y ecuaciones diferenciales estocásticas: integrales aleatorias de Wiener, teoría del cuadrado medio, integrales estocásticas brownianas y fórmula Ito, integrales estocásticas para procesos de Levy, propiedad de martingala, teoría básica y aplicaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas. Este curso está relacionado con STAT 437 pero se puede tomar independientemente de él. Se ofrece como MATH 598 y STAT 538.

MATEMÁTICAS 601. Problemas de lectura e investigación. 1 - 18 Unidades.

Presentación de trabajos de investigación, discusión e investigación individuales de trabajos de investigación en un campo especializado de las matemáticas.


3.2: Ecuaciones cuasilineales de segundo orden - Matemáticas

Descripción del curso: Aritmética y determinantes de matrices de álgebra lineal básica. Espacios vectoriales espacios interiores de productos. Autovalores y autovectores transformaciones lineales matrices simétricas y SVD. Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales.

Instructor: Nikhil Srivastava, correo electrónico: primer nombre en math.obvious.edu

Acérquese al horario de oficina o consulte con su GSI antes de enviándome un correo electrónico sobre preocupaciones logísticas. En la medida de lo posible, utilice Piazza para preguntas matemáticas.

Conferencias: TTh 5: 00-6: 30pm, en Zoom (enlace en bCourses).

Sección: MWF, consulte la lista de horarios

Horas de oficina: De 1 a 2 p. M. O de 4 a 5 p. M. En Zoom

Número de control de curso: 25957

Gradescopio: Si aún no ha sido agregado, el código de entrada para el Gradescope de este curso es D5K2Y6 en GradeScope.com. Para obtener instrucciones sobre cómo escanear y cargar su hw en Gradescope, vea este video y folleto.

Problemas de inscripción: Desafortunadamente, no tengo control sobre los problemas de inscripción. Si tiene alguna inquietud sobre la lista de espera, el cambio de secciones, etc., comuníquese con el registrador o con la asesora de pregrado de Matemáticas Jennifer Sixt, 964 Evans, [email protected]

Libro de texto: Álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, Segundo Tercero Edición personalizada para UC Berkeley, de Lay, Nagle, Saff y Snider (incluye 5e de Lay y 9e de NSS). imagen de la portada

Calificación: 5% HW, 15% cuestionarios, 20% x 2 exámenes parciales, 40% final. Se eliminarán las dos calificaciones inferiores de HW y Quiz, y la calificación intermedia más baja se reemplazará por la final, si ayuda. Todos los cuestionarios y exámenes son de libro abierto y se basan en un código de honor. Las puntuaciones no serán curvas, por lo que no tendrá que preocuparse por competir con otros y podrá concentrarse en aprender el material y mostrarme a mí y a los GSI que lo comprende. La nota media será por lo menos a B-. Esto no es un límite si a todos les va muy bien, estaré feliz de darles a todos una A +.

Exámenes: Habrá dos exámenes parciales de 36 horas para llevar a casa en Gradescope, el Jueves, 2/18, y Martes, 4/6. No habrá exámenes de recuperación, excepto para emergencias médicas documentadas.

Para llevar a casa las 24 horas Cuestionarios se llevará a cabo en Gradescope cada miércoles. Cubrirán material hasta el jueves anterior. Los cuestionarios tendrán aproximadamente la misma dificultad que los exámenes y son la mejor manera de comprobar su comprensión del material.


Andy qingyun Zeng

Este es un segundo curso de análisis funcional, que cubre aproximadamente las partes I y III de Rudin Análisis funcional y Ch 3-7 de Allan Introducción a los espacios y álgebras de Banach. Los temas incluyen
1. Teorema de Hahn-Banach sobre la extensión de funcionales lineales. Espacios localmente convexos. Duales de los espacios L ^ p (μ) y C (K).
2. El teorema del radón-Nikodim y el teorema de la representación de Riesz. Topologías débiles y débiles *. Teoremas de Mazur, Goldstine, Banach – Alaoglu. Reflexividad y reflexividad local. Teorema de Hahn-Banach sobre separación de conjuntos convexos. Puntos extremos y teorema de Kerin-Milman. Conversión parcial y el teorema de Banach-Stone.
3. Álgebras de Banach, teoría espectral elemental. Álgebras conmutativas de Banach y teorema de representación de Gelfand.
4. Cálculo funcional holomórfico. Operadores espaciales de Hilbert,
5. C ∗ -álgebras. El teorema de Gelfand-Naimark. Teorema espectral para C ∗ -álgebras conmutativas. Teorema espectral y cálculo funcional de Borel para operadores normales.
6. Algunos temas adicionales. Por ejemplo, el teorema de Fr ́echet-Kolmogorov, subconjuntos débilmente compactos de L1 (μ), los teoremas de Eberlein-Sˇmulian y de Kerin-Sˇmulian, la construcción de Gelfand-Naimark-Segal

Análisis de ecuaciones diferenciales parciales

Instrucción: Profesor Clément Mouhot

El propósito de este curso es introducir algunas técnicas y metodologías en el tratamiento matemático de Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE). La teoría de la PDE es hoy en día un área enorme de investigación activa, y se remonta al nacimiento mismo del análisis matemático en los siglos XVIII y XIX. Se encuentra en una encrucijada con la física y muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas.
El curso comienza con una introducción a cuatro prototipos de ecuaciones lineales: la ecuación de Laplace, la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Schr ̈odinger. Se dará énfasis a las técnicas analíticas funcionales modernas que se basan en la noción de problema de Cauchy y estimaciones en lugar de soluciones explícitas, aunque se discutirá la interacción con los métodos clásicos (por ejemplo, la solución fundamental, representaciones de Fourier). Se estudiarán los siguientes conceptos unificadores básicos: buena posición, estimaciones de energía, regularidad elíptica, características, propagación de singularidades, principio de máximo. El curso terminará con una discusión de algunos de los problemas abiertos en PDE.
1. Introducción: de las EDO a las PDE
2. El teorema de Cauchy-Kovalevskaya
3. Ecuaciones elípticas de segundo orden
4. Hiperbolicidad: ecuaciones de transporte y ecuaciones de onda

Hojas de ejemplo

PDE elípticas

Instrucción: Dr. Brian Krummel

Este curso pretende ser una introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Las ecuaciones elípticas juegan un papel importante en el análisis geométrico y una sólida formación en ecuaciones elípticas lineales proporciona una base para comprender otros temas, incluidos subvariedades mínimas, mapas armónicos, y relatividad general. Discutiremos las soluciones clásicas y débiles de las ecuaciones elípticas, considerando cuándo existen soluciones al problema de Dirichlet y son únicas y considerando la regularidad de las soluciones. Esto implica establecer principios máximos, estimaciones de Schauder y otras estimaciones sobre soluciones. Si el tiempo lo permite, discutiremos otros temas, incluido el Teoría de De Giorgi-Nash, que se puede utilizar para probar la desigualdad de Harnack y establecer la continuidad de Hölder para soluciones débiles y ecuaciones elípticas cuasilineales.
Este curso cubre esencialmente los primeros 8 capítulos de Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden por David Gilbarg y Neil S. Trudinger.

Aquí hay notas un poco más elementales (involucra una discusión sobre ecuaciones de Laplace / Poisson, funciones armónicas, etc.): PDE elípticas (Michealmas 2007) dada por el Prof. Neshan Wickramasekera, quien también es mi Director de estudios en el Churchill College

Otra buena referencia es Ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Notas de la conferencia de Courant, vol. 1 (2011) de Qing Han y Fanghua Lin.

Ecuaciones de ondas no lineales

instrucor: Dr. Jonathan Luk

Discutimos las teorías locales y globales para las ecuaciones de onda cuasilineales y sus aplicaciones a las teorías físicas, incluida la mecánica de fluidos y la relatividad general. Se cubrirán los siguientes temas:
1. Comportamiento cuantitativo de soluciones a la ecuación de onda lineal en el espacio-tiempo de Minkowski
2. Métodos energéticos y teoría local para ecuaciones de onda cuasilineales
3. Aplicación en la relatividad general: posicionamiento local de las ecuaciones de Einstein
4. Ejemplos de ecuaciones de onda no lineales subcríticas
5. La condición nula y la teoría global de datos pequeños para ecuaciones de onda cuasilineales 6. Aplicación en mecánica de fluidos: formación de choques en simetría esférica
7. Aplicación en la relatividad general: estabilidad del espacio-tiempo de Minkowski


Primero, factorice el operador diferencial de la izquierda. Dado que $ a ^ 2 + 4ab + 4b ^ 2 = (a + 2b) (a + 2b) $, el operador factoriza como $ frac < parcial ^ 2> < parcial t ^ 2> + 4 frac < parcial ^ 2> < parcial x parcial t> + 4 frac < parcial ^ 2> < parcial x ^ 2> = izquierda ( frac < parcial> < parcial t> +2 frac < parcial> < parcial x> derecha) izquierda ( frac < parcial> < parcial t> +2 frac < parcial> < parcial x> derecha) $ Los factores son derivadas direccionales de 1er orden. Lamentablemente, están en la misma dirección, del vector $ (2,1) $ en el plano $ (x, t) $. Esto significa que solo tenemos una característica a través de cada punto, a saber, una línea de la forma $ x = 2t + C $. La ecuación es algo degenerada, en comparación con ecuaciones hiperbólicas honestas como $ frac < partial ^ 2u> < partial t ^ 2> + 4 frac < partial ^ 2 u> < partial x ^ 2> = 0 $ .

De todos modos, vemos que a lo largo de cada línea de la forma $ x-2t = C $ la solución es lineal (ya que su segunda derivada es cero). Por tanto, podemos escribir la solución general como $ u (x, t) = f (x-2t) + t , g (x-2t) $ donde $ f $ y $ g $ son funciones arbitrarias. (Compruebe que esto funcione: la restricción de $ u $ a cualquier característica es lineal).

Si conoce el valor inicial y la velocidad inicial en $ t = 0 $, puede encontrar $ f $ y $ g $, y con ellos $ u $.


Ecuaciones elípticas no lineales de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales elípticas no lineales son un tema diverso con aplicaciones importantes para las ciencias físicas y sociales y la ingeniería. También surgen naturalmente en la geometría. En particular, gran parte del progreso en el área en el siglo XX fue impulsado por aplicaciones geométricas, desde el problema de Bernstein hasta la existencia de métricas de K & aumlhler & ndashEinstein.

Este libro, diseñado como un libro de texto, proporciona una discusión detallada de los problemas de Dirichlet para ecuaciones diferenciales elípticas cuasilineales y completamente no lineales de segundo orden con énfasis en las ecuaciones de curvatura media y en las ecuaciones de Monge & ndashAmp & egravere. Ofrece una introducción fácil de usar a la teoría de ecuaciones elípticas no lineales con especial atención a los resultados básicos y las técnicas más importantes. En lugar de presentar los temas en toda su generalidad, el libro tiene como objetivo proporcionar pruebas independientes, claras y "elementales" de los resultados en casos especiales importantes. Este libro servirá como un recurso valioso para los estudiantes graduados o cualquier persona interesada en este tema.

Número de lectores

Estudiantes de posgrado y matemáticos de investigación interesados ​​en PDE no lineal y aplicaciones a la geometría diferencial.

Reseñas y respaldos

[E] l libro de Han servirá como un recurso valioso para los estudiantes de posgrado y para cualquier persona interesada en el tema de las PDE elípticas de segundo orden no lineales.


Resultados de oscilación

En esta sección, obtenemos condiciones suficientes para la oscilación de todas las soluciones de Eq. (1.1). Debido a los supuestos y la forma de nuestra ecuación, solo necesitamos dar pruebas para el caso de una solución eventualmente positiva, ya que las pruebas para soluciones eventualmente negativas serían similares.

Por conveniencia, para cualquier secuencia positiva real ( < mu_> ) que está disminuyendo a cero, establecemos

para (n ge n_ <1> ), donde (n_ <1> in mathbb (n_ <0>) ) es lo suficientemente grande.

Lema 2.1

Dejar ( >) ser una solución positiva de Eq. (1.1) para todos (n in mathbb (n_ <0>) ). Entonces existe un (n_ <1> in mathbb (n_ <0>) ) tal que para todos n ( ge n_ <1> )

Prueba

La prueba del lema se puede encontrar en [3] y, por lo tanto, se omiten los detalles. □

Lema 2.2

Dejar ( >) ser una solución positiva de Eq. (1.1) para todos (n in mathbb (n_ <0>) ) y supongamos que Eq. (2.1) sostiene. Entonces existe un (n_ <1> in mathbb (n_ <0>) ) tal que


Estimaciones de Carleman para aplicaciones y operadores diferenciales parciales de segundo orden

Este libro proporciona una breve introducción autónoma a las estimaciones de Carleman para tres ecuaciones diferenciales parciales típicas de segundo orden, a saber, ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas, y sus aplicaciones típicas en control.

Editor: Springer Nature

Categoría: Matemáticas

Este libro proporciona una breve introducción autónoma a las estimaciones de Carleman para tres ecuaciones diferenciales parciales típicas de segundo orden, a saber, ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas, y sus aplicaciones típicas en control, continuación única y problemas inversos. Hay tres características novedosas e importantes del libro. Primero, solo se necesita algún cálculo básico para obtener los resultados principales presentados, aunque algunos conocimientos elementales de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales serán útiles para comprenderlos. En segundo lugar, todas las estimaciones de Carleman en el libro se derivan de una identidad fundamental para un operador diferencial parcial de segundo orden; la única diferencia es la elección de funciones de ponderación. En tercer lugar, solo se necesitan condiciones de suavidad y / o integrabilidad bastante débiles para los coeficientes que aparecen en las ecuaciones. Las estimaciones de Carleman para aplicaciones y operadores diferenciales parciales de segundo orden serán de interés para todos los investigadores en el campo.


Ver el vídeo: Resolviendo EDPs Cuasi Lineales (Agosto 2022).