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8.4: Sustituciones trigonométricas - Matemáticas

8.4: Sustituciones trigonométricas - Matemáticas


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Hasta ahora hemos visto que a veces ayuda reemplazar una subexpresión de una función por una sola variable. Esto parece una sustitución "inversa", pero en realidad no es diferente en principio a la sustitución ordinaria.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Evaluar

[ int sqrt {1-x ^ 2} , dx. ]

Solución

Sea (x = sin u ) entonces (dx = cos u , du ). Luego

[ int sqrt {1-x ^ 2} , dx = int sqrt {1- sin ^ 2 u} cos u , du = int sqrt { cos ^ 2 u} cos u , du. ]

Nos gustaría reemplazar ( sqrt { cos ^ 2 u} ) por ( cos u ), pero esto es válido solo si ( cos u ) es positivo, ya que ( sqrt { cos ^ 2 u} ) es positivo. Considere nuevamente la sustitución (x = sin u ). También podríamos pensar en esto como (u = arcsin x ). Si lo hacemos, entonces por la definición del arcoseno, (- pi / 2 le u le pi / 2 ), entonces ( cos u ge0 ). Luego continuamos:

[ eqalign { int sqrt { cos ^ 2 u} cos u , du & = int cos ^ 2u , du = int {1+ cos 2u over2} , du = {u over 2} + { sin 2u over4} + C cr & = { arcsin x over2} + { sin (2 arcsin x) over4} + C. cr} ]

Esta es una respuesta perfectamente buena, aunque el término ( sin (2 arcsin x) ) es un poco desagradable. Es posible simplificar esto. Usando la identidad ( sin 2x = 2 sin x cos x ), podemos escribir

[ sin 2u = 2 sin u cos u = 2 sin ( arcsin x) sqrt {1- sin ^ 2 u} = 2x sqrt {1- sin ^ 2 ( arcsin x)} = 2x sqrt {1-x ^ 2}. ]

Entonces la antiderivada completa es

[{ arcsin x over2} + {2x sqrt {1-x ^ 2} over4} = { arcsin x over2} + {x sqrt {1-x ^ 2} over2} + C. ]

Este tipo de sustitución generalmente se indica cuando la función que desea integrar contiene una expresión polinomial que podría permitirle usar la identidad fundamental ( sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 ) en una de estas tres formas:

[ cos ^ 2 x = 1- sin ^ 2x, ]

[ sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x, ]

o

[ tan ^ 2x = sec ^ 2x-1. ]

Si su función contiene (1-x ^ 2 ), como en el ejemplo anterior, intente (x = sin u ); si contiene (1 + x ^ 2 ) intente (x = tan u ); y si contiene (x ^ 2-1 ), intente (x = sec u ). A veces, necesitará probar algo un poco diferente para manejar constantes distintas de una.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Evalúe [ int sqrt {4-9x ^ 2} , dx. ]

Solución

Comenzamos reescribiendo esto para que se parezca más al ejemplo anterior:

[ int sqrt {4-9x ^ 2} , dx = int sqrt {4 (1- (3x / 2) ^ 2)} , dx = int 2 sqrt {1- (3x / 2) ^ 2} , dx. ]

Ahora sea (3x / 2 = sin u ) entonces ((3/2) , dx = cos u , du ) o (dx = (2/3) cos u , du ). Luego

[ eqalign { int 2 sqrt {1- (3x / 2) ^ 2} , dx & = int 2 sqrt {1- sin ^ 2u} , (2/3) cos u , du = {4 over3} int cos ^ 2u , du cr & = {4u over 6} + {4 sin 2u over12} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {2 sin u cos u over3} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {2 sin ( arcsin (3x / 2)) cos ( arcsin (3x / 2)) over3} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {2 (3x / 2) sqrt {1- (3x / 2) ^ 2} over3} + C cr & = {2 arcsin (3x / 2) over3} + {x sqrt {4-9x ^ 2} over2} + C, cr} ]

usando parte del trabajo deExample ( PageIndex {1} ),

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Evalúe [ int sqrt {1 + x ^ 2} , dx. ]

Solución

Sea (x = tan u ), (dx = sec ^ 2 u , du ), entonces

$$ int sqrt {1 + x ^ 2} , dx = int sqrt {1+ tan ^ 2 u} sec ^ 2u , du = int sqrt { sec ^ 2u} sec ^ 2u , du. ]

Dado que (u = arctan (x) ), (- pi / 2 le u le pi / 2 ) y ( sec u ge0 ), entonces ( sqrt { sec ^ 2u} = sec u ). Entonces $$ int sqrt { sec ^ 2u} sec ^ 2u , du = int sec ^ 3 u , du. $$ En problemas de este tipo, con frecuencia surgen dos integrales: ( int sec ^ 3u , du ) y ( int sec u , du ). Ambos tienen expresiones relativamente agradables, pero son un poco difíciles de descubrir.

Primero hacemos ( int sec u , du ), que necesitaremos calcular ( int sec ^ 3u , du $ ):

$$ eqalign { int sec u , du & = int sec u , { sec u + tan u over sec u + tan u} , du cr & = int { sec ^ 2 u + sec u tan u over sec u + tan u} , du. cr} ]

Ahora sea (w = sec u + tan u ), (dw = sec u tan u + sec ^ 2u , du ), exactamente el numerador de la función que estamos integrando. Por lo tanto

$$ eqalign { int sec u , du = int { sec ^ 2 u + sec u tan u over sec u + tan u} , du & = int {1 over w } , dw = ln | w | + C cr & = ln | sec u + tan u | + C. cr} ]

Ahora para ( int sec ^ 3 u , du ):

$$ eqalign { sec ^ 3u & = { sec ^ 3u over2} + { sec ^ 3u over2} = { sec ^ 3u over2} + {( tan ^ 2u + 1) sec u más de 2} cr & = { sec ^ 3u over2} + { sec u tan ^ 2 u over2} + { sec u over 2} = { sec ^ 3u + sec u tan ^ 2u over 2} + { sec u over 2}. cr} ]

Ya sabemos cómo integrar ( sec u ), por lo que solo necesitamos el primer cociente. Esto es "simplemente" una cuestión de reconocer la regla del producto en acción: $$ int sec ^ 3u + sec u tan ^ 2u , du = sec u tan u. ]

Así que juntando esto obtenemos

$$ int sec ^ 3u , du = { sec u tan u over2} + { ln | sec u + tan u | over2} + C, ]

y volviendo a la variable original (x ):

$$ eqalign { int sqrt {1 + x ^ 2} , dx & = { sec u tan u over2} + { ln | sec u + tan u | over2} + C cr & = { sec ( arctan x) tan ( arctan x) over2} + { ln | sec ( arctan x) + tan ( arctan x) | over2} + C cr & = {x sqrt {1 + x ^ 2} over2} + { ln | sqrt {1 + x ^ 2} + x | over2} + C, cr} ]

usando ( tan ( arctan x) = x ) y ( sec ( arctan x) = sqrt {1+ tan ^ 2 ( arctan x)} = sqrt {1 + x ^ 2} ).


Sustitución trigonométrica

Usamos la sustitución trigonométrica en los casos en que es útil aplicar identidades trigonométricas. En particular, la sustitución trigonométrica es excelente para deshacerse de los molestos radicales. Por ejemplo, si tenemos ( sqrt) en nuestro integrando (y (u ) -sub no funciona) podemos dejar (x = tan theta. ) Entonces obtenemos

En este caso, usamos la identidad (1+ tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ).

Estos son los tres tipos de sustituciones trigonométricas:

SUSTITUCIÓN IDENTIDAD UTILIZAR CUANDO
(x = a sin theta ) ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 ) ( sqrt)
(x = a tan theta ) (1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ) ( sqrt)
(x = a sec theta ) (1 + tan ^ 2 theta = sec ^ 2 theta ) ( sqrt)


8.4: Sustituciones trigonométricas - Matemáticas

Ya hemos visto que reconocer la regla del producto puede ser útil, cuando notamos que $ int sec ^ 3u + sec u tan ^ 2u , du = sec u tan u. $ Al igual que con la sustitución, no Hay que confiar en la perspicacia o la inteligencia para descubrir tales antiderivadas. Existe una técnica que a menudo ayudará a descubrir la regla del producto.

Comience con la regla del producto: $f (x) g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x). $ Podemos reescribir esto como $ f (x) g (x) = int f '( x) g (x) , dx + int f (x) g '(x) , dx, $ y luego $ int f (x) g' (x) , dx = f (x) g ( x) - int f '(x) g (x) , dx. $ Esto puede no parecer particularmente útil a primera vista, pero resulta que en muchos casos tenemos una integral de la forma $ int f (x ) g '(x) , dx $ pero ese $ int f' (x) g (x) , dx $ es más fácil. Esta técnica para convertir una integral en otra se llama integración por partes, y generalmente está escrito en una forma más compacta. Si dejamos $ u = f (x) $ y $ v = g (x) $ entonces $ du = f '(x) , dx $ y $ dv = g' (x) , dx $ y $ int u , dv = uv- int v , du. $ Para usar esta técnica, necesitamos identificar candidatos probables para $ u = f (x) $ y $ dv = g '(x) , dx $.

Ejemplo 8.4.2 Evalúe $ ds int x sin x , dx $. Sea $ u = x $ entonces $ du = dx $. Entonces debemos dejar $ dv = sin x , dx $ entonces $ v = - cos x $ y $ int x sin x , dx = -x cos x- int - cos x , dx = -x cos x + int cos x , dx = -x cos x + sin x + C. $

Ejemplo 8.4.4 Evalúe $ ds int x ^ 2 sin x , dx $. Sea $ u = x ^ 2 $, $ dv = sin x , dx $ luego $ du = 2x , dx $ y $ v = - cos x $. Ahora $ ds int x ^ 2 sin x , dx = -x ^ 2 cos x + int 2x cos x , dx $. Esto es mejor que la integral original, pero necesitamos hacer la integración por partes nuevamente. Sea $ u = 2x $, $ dv = cos x , dx $ luego $ du = 2 $ y $ v = sin x $, y $ eqalign < int x ^ 2 sin x , dx & = - x ^ 2 cos x + int 2x cos x , dx cr & = - x ^ 2 cos x + 2x sin x - int 2 sin x , dx cr & = - x ^ 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C. cr> $

Este uso repetido de la integración por partes es bastante común, pero puede ser un poco tedioso de realizar y es fácil cometer errores, especialmente los errores de signo que involucran la resta en la fórmula. Existe un buen método tabular para realizar el cálculo que minimiza la posibilidad de error y acelera todo el proceso. Lo ilustramos con el ejemplo anterior. Aquí está la tabla:

Para formar la primera tabla, comenzamos con $ u $ en la parte superior de la segunda columna y calculamos repetidamente la derivada comenzando con $ dv $ en la parte superior de la tercera columna, calculamos repetidamente la antiderivada. En la primera columna, colocamos un "$ -

8.4: Sustituciones trigonométricas - Matemáticas

Como hemos hecho en las últimas secciones, comencemos con un par de integrales que ya deberíamos poder hacer con una sustitución estándar.

Ambos usaron la sustitución (u = 25 - 4 ) y en este punto debería ser bastante fácil de hacer. Sin embargo, echemos un vistazo a la siguiente integral.

En este caso, la sustitución (u = 25 - 4 ) no funcionará (no tenemos (x , dx ) en el numerador que necesita la sustitución) y, por lo tanto, tendremos que hacer algo diferente para esta integral.

Sería bueno si pudiéramos reducir los dos términos de la raíz a un solo término de alguna manera. La siguiente sustitución lo hará por nosotros.

No se preocupe de dónde vino esto en este momento. A medida que trabajamos el problema, verá que funciona y que si tenemos un tipo similar de raíz cuadrada en el problema, siempre podemos usar una sustitución similar.

Sin embargo, antes de realizar la sustitución, verifiquemos la afirmación de que esto nos permitirá reducir los dos términos de la raíz a un solo término.

Ahora reduzca los dos términos a un solo término, todo lo que tenemos que hacer es recordar la relación,

Usando este hecho, la raíz cuadrada se convierte en,

Entonces, no solo pudimos reducir los dos términos a un solo término en el proceso, ¡también pudimos eliminar fácilmente la raíz!

Sin embargo, tenga en cuenta la presencia de barras de valor absoluto. Estos son importantes. Recordar que

Siempre debe haber barras de valor absoluto en esta etapa. Si supiéramos que ( tan theta ) siempre es positivo o siempre negativo, podríamos eliminar las barras de valor absoluto usando,

Sin límites no podremos determinar si ( tan theta ) es positivo o negativo, sin embargo, necesitaremos eliminarlos para hacer la integral. Por lo tanto, dado que estamos haciendo una integral indefinida, asumiremos que ( tan theta ) será positivo y, por lo tanto, podemos eliminar las barras de valor absoluto. Esto da,

Entonces, pudimos reducir los dos términos debajo de la raíz a un solo término con esta sustitución y en el proceso eliminar también la raíz. Eliminar la raíz es un buen efecto secundario de esta sustitución, ya que ahora el problema será algo más fácil de resolver.

Hagamos ahora la sustitución y veamos qué obtenemos. Al hacer la sustitución, no olvide que también necesitaremos sustituir la (dx ). Esto es bastante fácil de obtener mediante la sustitución.

[x = frac <2> <5> sec theta hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> , , , , , dx = frac <2> <5> sec theta tan theta , d theta ]

Usando esta sustitución, la integral se convierte en,

Con esta sustitución pudimos reducir la integral dada a una integral que involucra funciones trigonométricas y vimos cómo resolver estos problemas en la sección anterior. Terminemos la integral.

Entonces, tenemos una respuesta para la integral. Desafortunadamente, la respuesta no está en (x ) como debería ser. Entonces, necesitamos escribir nuestra respuesta en términos de (x ). Podemos hacer esto con un triángulo rectángulo. De nuestra sustitución original tenemos,

Esto da el siguiente triángulo rectángulo.

De esto podemos ver que,

Podemos tratar con ( theta ) de una de las diversas formas. De nuestra sustitución podemos ver que,

Si bien este es un método perfectamente aceptable para tratar con ( theta ), podemos usar cualquiera de las seis posibles funciones trigonométricas inversas y dado que el seno y el coseno son las dos funciones trigonométricas con las que la mayoría de la gente está familiarizada, usualmente usaremos el seno inverso o coseno inverso. En este caso usaremos el coseno inverso.

Entonces, con todo esto, la integral se convierte en,

Ahora tenemos la respuesta en términos de (x ).

¡Guau! Eso fue mucho trabajo. Sin embargo, la mayoría de estos no tardarán tanto en funcionar. Este primero necesitó mucha explicación ya que fue el primero. Los ejemplos restantes no necesitarán tanta explicación y, por lo tanto, no tardarán tanto en funcionar.

Sin embargo, antes de pasar a más problemas, abordemos primero el tema de las integrales definidas y cómo difiere el proceso en estos casos.

Los límites aquí no cambiarán la sustitución, por lo que seguirá siendo la misma.

Usando esta sustitución, la raíz cuadrada aún se reduce a,

Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, no podemos simplemente eliminar las barras de valor absoluto. En este caso, tenemos límites en la integral y, por lo tanto, podemos usar los límites y la sustitución para determinar el rango de ( theta ) en el que estamos. Una vez que lo tenemos, podemos determinar cómo para eliminar las barras de valor absoluto.

Aquí están los límites de ( theta ) y tenga en cuenta que si no es bueno resolviendo ecuaciones trigonométricas en términos de secante, siempre puede convertir a coseno como lo hacemos a continuación.

Ahora, al resolver ecuaciones trigonométricas, sabemos que, de hecho, hay un número infinito de respuestas posibles que podríamos usar. De hecho, la respuesta más "correcta" para el trabajo anterior es,

[ theta = 0 + 2 pi n = 2 pi n hspace <0.25in> & amp hspace <0.25in> theta = frac < pi> <3> + 2 pi n hspace < 0.25 pulg.> N = 0, pm 1, pm 2, pm 3, ldots ]

Entonces, ¿cuáles deberíamos usar? La respuesta es simple. Al usar una sustitución trigonométrica secante y convertir los límites, siempre asumimos que ( theta ) está en el rango de la secante inversa. O,

Tenga en cuenta que tenemos que evitar ( theta = frac < pi> <2> ) porque la secante no existirá en ese punto. También tenga en cuenta que el rango de ( theta ) se dio en términos secantes a pesar de que en realidad usamos coseno inverso para obtener las respuestas. Esto no será un problema porque aunque el coseno inverso puede dar ( theta = frac < pi> <2> ) nunca lo obtendremos en nuestro trabajo anterior porque eso requeriría que comenzáramos con la secante siendo undefined y eso no sucederá al convertir los límites, ya que eso a su vez requeriría que uno de los límites también sea indefinido.

Entonces, para encontrar los nuevos límites no necesitamos todos los valores posibles de ( theta ), solo necesitamos las respuestas de coseno inverso que obtuvimos cuando convertimos los límites. Por lo tanto, si estamos en el rango ( frac <2> <5> le x le frac <4> <5> ) entonces ( theta ) está en el rango de (0 le theta le frac < pi> <3> ) y en este rango de la tangente de ( theta ) es positiva, por lo que podemos eliminar las barras de valor absoluto.

Hagamos la sustitución. Tenga en cuenta que el trabajo es idéntico al ejemplo anterior y, por lo tanto, la mayor parte se omite. Retomaremos la integral final y luego haremos la sustitución.

Tenga en cuenta que, debido a los límites, no tuvimos que recurrir a un triángulo rectángulo para completar el problema.

Echemos un vistazo a un conjunto diferente de límites para esta integral.

Nuevamente, la sustitución y la raíz cuadrada son las mismas que en los dos primeros ejemplos.

A continuación, veamos los límites ( theta ) para este problema.

Recuerde que al convertir los límites usamos los resultados de la secante / coseno inversa. Entonces, para este rango de (x ) tenemos ( frac << 2 pi >> <3> le theta le pi ) y en este rango de ( theta ) la tangente es negativa y, por lo tanto, en este caso podemos eliminar las barras de valor absoluto, pero necesitaremos agregar un signo menos al hacerlo. En otras palabras,

Entonces, el único cambio que esto hará en el proceso de integración es poner un signo menos delante de la integral. La integral es entonces,

En los dos últimos ejemplos vimos que debemos tener mucho cuidado con las integrales definidas. Necesitamos asegurarnos de determinar los límites en ( theta ) y si esto significará o no que podemos eliminar las barras de valor absoluto o si necesitamos agregar un signo menos cuando las eliminamos.

Antes de pasar al siguiente ejemplo, obtengamos la forma general de la sustitución de trigonometría secante que usamos en el conjunto de ejemplos anterior y los límites supuestos en ( theta ).

Trabajemos con un tipo de ejemplo nuevo y diferente.

Ahora, los términos bajo la raíz de este problema parecen ser (casi) los mismos que los anteriores, así que intentemos el mismo tipo de sustitución y veamos si también funciona aquí.

Usando esta sustitución, la raíz cuadrada se convierte en,

Entonces, al usar esta sustitución, terminaremos con una cantidad negativa (la tangente al cuadrado siempre es positiva, por supuesto) debajo de la raíz cuadrada y esto será un problema. El uso de esta sustitución dará valores complejos y no queremos eso. Entonces, usar secante para la sustitución no funcionará.

Sin embargo, la siguiente sustitución (y diferencial) funcionará.

[x = 3 sin theta hspace <0.5in> hspace <0.25in> dx = 3 cos theta , d theta ]

Con esta sustitución, la raíz cuadrada es,

[ sqrt <9 - > = 3 sqrt <1 - << sin> ^ 2> theta> = 3 sqrt <<< cos> ^ 2> theta> = 3 left | < cos theta> right | = 3 cos theta ]

Pudimos eliminar las barras de valor absoluto porque estamos haciendo una integral indefinida y, por lo tanto, asumiremos que todo es positivo.

En la sección anterior vimos cómo tratar con integrales en las que el exponente de la secante era par y dado que las cosecantes se comportan muchísimo como secantes, deberíamos poder hacer algo similar con esto.

Ahora tenemos que volver a (x ) usando un triángulo rectángulo. Aquí está el triángulo rectángulo para este problema y las funciones trigonométricas para este problema.

No vamos a hacer un ejemplo integral definido con una sustitución de trigonometría sinusoidal. Sin embargo, si lo tuviéramos, necesitaríamos convertir los límites y eso significaría eventualmente tener que evaluar un seno inverso. Entonces, al igual que con la sustitución trigonométrica secante, los valores de ( theta ) que usaremos serán los del seno inverso o,

Aquí hay un resumen de la sustitución de trigonometría de seno.

Hay un caso final que debemos analizar. La siguiente integral también contendrá algo con lo que debemos asegurarnos de poder lidiar.

Primero, observe que realmente hay una raíz cuadrada en este problema aunque no esté escrito explícitamente. Para ver la raíz, reescribamos un poco las cosas.

Estos términos debajo de la raíz no están en la forma que vimos en los ejemplos anteriores. Aquí usaremos la sustitución de esta raíz.

Con esta sustitución, el denominador se convierte en,

Ahora, debido a que tenemos límites, tendremos que convertirlos a ( theta ) para que podamos determinar cómo eliminar las barras de valor absoluto.

Como en los dos casos anteriores al convertir límites aquí, usaremos los resultados de la tangente inversa o,

Entonces, en este rango de ( theta ) secante es positivo y entonces podemos eliminar las barras de valor absoluto.

Hay varias formas de proceder desde este punto. Normalmente, con un exponente impar en la tangente, quitaríamos uno de ellos y lo convertiríamos en secantes. Sin embargo, eso requeriría que también tengamos una secante en el numerador que no tenemos. Por lo tanto, parece que la mejor manera de hacer esto sería convertir el integrando en senos y cosenos.

Ahora podemos usar la sustitución (u = cos theta ) y también podríamos convertir los límites.

[empezar theta & = 0 & hspace <0.75in> & u = cos 0 = 1 theta & = frac < pi> <4> & hspace <0.75in> & u = cos frac < pi> <4> = frac << sqrt 2 >> <2> end]

Aquí hay un resumen de este tipo final de sustitución de trigonometría.

Antes de continuar con algunos ejemplos más, analicemos cómo supimos usar las sustituciones que hicimos en los ejemplos anteriores.

La idea principal era determinar una sustitución que nos permitiera reducir los dos términos bajo la raíz que siempre estuvo en el problema (más sobre esto en un momento) en un solo término y al hacerlo también pudimos eliminar fácilmente el raíz. Para ello utilizamos las siguientes fórmulas.

[empezar25 - 4 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> < sec ^ 2> theta - 1 = < tan ^ 2> theta 9 - & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> 1 - < sin ^ 2> theta = < cos ^ 2> theta 36 + 1 & hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> < tan ^ 2> theta + 1 = < sec ^ 2> theta end]

Si retrocedemos un poco, podemos notar que los términos que redujimos se parecen a las identidades trigonométricas que usamos para reducirlos de una manera vaga.

Por ejemplo, (25 - 4 ) es algo al cuadrado (es decir. el (25)) menos un número (es decir. el 4) y el lado izquierdo de la fórmula que usamos, (< sec ^ 2> theta - 1 ), también sigue esta forma básica. Entonces, debido a que los dos se parecen de una manera muy vaga, eso sugiere usar una sustitución secante para ese problema. También podemos notar similitudes vagas similares en los otros dos casos.

Si tenemos esta idea en mente, no necesitamos las "fórmulas" enumeradas después de cada ejemplo para decirnos qué sustitución de trigonometría usar y dado que tenemos que conocer las identidades de trigonometría de todos modos para resolver los problemas teniendo en cuenta esta idea, no realmente agregue algo a lo que necesitamos saber para los problemas.

Entonces, en el primer ejemplo, necesitábamos “convertir” el 25 en un 4 mediante nuestra sustitución. Recordando que eventualmente vamos a cuadrar la sustitución, lo que significa que necesitamos dividir entre 5 para que el 25 se cancele al elevar al cuadrado. Del mismo modo, necesitaremos agregar un 2 a la sustitución para que el coeficiente se "convierta" en un 4 al elevar al cuadrado. En otras palabras, necesitaríamos usar la sustitución que hicimos en el problema.

La misma idea se aplica a las otras dos sustituciones trigonométricas.

Observe también que podríamos haber usado cosecante en el primer caso, coseno en el segundo caso y cotangente en el tercer caso. Entonces, ¿por qué no lo hicimos? Simplemente por el trabajo diferencial. Si hubiéramos utilizado estas funciones trigonométricas en su lugar, habríamos detectado un signo menos en el diferencial del que tendríamos que realizar un seguimiento. Por lo tanto, si bien estos podrían usarse, generalmente no lo son para evitar signos negativos adicionales de los que debemos realizar un seguimiento.

A continuación, abordemos rápidamente el hecho de que todos estos problemas tenían una raíz. Tenga en cuenta que la raíz no es necesaria para utilizar una sustitución de trigonometría. En cambio, la sustitución de trigonometría nos dio una gran ventaja al eliminar la raíz del problema. En esta sección siempre tendremos raíces en los problemas y, de hecho, nuestros resúmenes, sobre todo las raíces asumidas, las raíces no son realmente necesarias para usar una sustitución de trigonometría. Veremos un ejemplo o dos de sustituciones trigonométricas en integrales que no tienen raíces en la sección Integrales que involucran cuadráticas.

Finalmente, resumamos todas las ideas con las sustituciones trigonométricas que hemos discutido y nuevamente usaremos raíces en el resumen simplemente porque todas las integrales en esta sección tendrán raíces y esas tienden a ser los lugares más probables para usar sustituciones trigonométricas pero de nuevo, no son necesarios para utilizar una sustitución de trigonometría.

Ahora, tenemos un par de ejemplos finales para trabajar en esta sección. No todas las sustituciones de trigonometría nos saltan a la vista. A veces tenemos que trabajar un poco en el integrando primero para ponerlo en la forma correcta y ese es el punto de los ejemplos restantes.

En este caso, la cantidad debajo de la raíz no encaja obviamente en ninguno de los casos que analizamos anteriormente y, de hecho, no está en ninguna de las formas que vimos en los ejemplos anteriores. Sin embargo, tenga en cuenta que si completamos el cuadrado en la cuadrática podemos hacer que se parezca a las integrales anteriores.

Recuerde que completar el cuadrado requiere un coeficiente de uno delante de (). Una vez que tenemos eso, tomamos la mitad del coeficiente de (x ), lo elevamos al cuadrado y luego lo sumamos y restamos a la cantidad. Aquí está el completar el cuadrado para este problema.

[2 left (<- 2x - frac <7> <2>> right) = 2 left (<- 2x + 1 - 1 - frac <7> <2>> right) = 2 left (<<< left ( right)> ^ 2> - frac <9> <2>> right) = 2 < left ( right) ^ 2> - 9 ]

Ahora, esto se ve (muy) vagamente como (< sec ^ 2> theta - 1 ) (es decir. algo al cuadrado menos un número) excepto que tenemos algo más complicado en el término al cuadrado. Está bien, todavía podremos hacer una sustitución secante y funcionará prácticamente de la misma manera.

[x - 1 = frac <3> << sqrt 2 >> sec theta hspace <0.25in> x = 1 + frac <3> << sqrt 2 >> sec theta hspace <0.25in> dx = frac <3> << sqrt 2 >> sec theta tan theta , d theta ]

Usando esta sustitución, la raíz se reduce a,

[ sqrt <2- 4x - 7> = sqrt <2 << left ( right)> ^ 2> - 9> = sqrt <9 << sec> ^ 2> theta - 9> = 3 sqrt <<< tan> ^ 2> theta> = 3 left | < tan theta> right | = 3 tan theta ]

Tenga en cuenta que podríamos eliminar las barras de valor absoluto ya que estamos haciendo una integral indefinida. Aquí está la integral.

Y aquí está el triángulo rectángulo para este problema.

Esto no parece ser nada parecido a los otros problemas de esta sección. Sin embargo lo és. Para ver esto, primero debemos notar que,

Al notar esto, podemos usar la siguiente sustitución estándar de Cálculo I.

Sin embargo, debemos tener un poco de cuidado con el trabajo diferencial. No tenemos solo un (<< bf> ^ x> ) frente a la raíz. En su lugar, tenemos un (<< bf> ^ <4x>> ). Entonces, tendremos que quitar uno de esos para el diferencial y luego usar la sustitución en el resto. Aquí está el trabajo de sustitución.

Esta es ahora una sustitución de trigonometría bastante obvia (con suerte). La cantidad debajo de la raíz se ve casi exactamente como (1 + < tan ^ 2> theta ), por lo que podemos usar una sustitución de tangente. Aquí está ese trabajo.

[u = tan theta hspace <0.25in> du = < sec ^ 2> theta , d theta hspace <0.5in> sqrt <1 + > = sqrt <1 + << tan> ^ 2> theta> = sqrt <<< sec> ^ 2> theta> = left | < sec theta> right | ]

Debido a que estamos haciendo una integral indefinida, podemos suponer que la secante es positiva y eliminar las barras de valor absoluto. Aplicando esta sustitución a la integral se obtiene,

Terminaremos esta integral en un momento. Antes de llegar a eso, hay una forma "más rápida" (aunque no muy obvia) de hacer las sustituciones anteriores. Cubramos eso primero, luego regresaremos y terminaremos de trabajar la integral.

Podemos notar que (u ) en la sustitución de Cálculo I y la sustitución de trigonometría son iguales (u ) y entonces podemos combinarlos en la siguiente sustitución.

Entonces podemos calcular el diferencial. Solo recuerda que todo lo que hacemos es diferenciar ambos lados y luego virar en (dx ) o (d theta ) en el lado apropiado. Hacer esto da,

Con esta sustitución, la raíz cuadrada se convierte en,

Nuevamente, podemos eliminar las barras de valor absoluto porque estamos haciendo una integral indefinida. La integral entonces se convierte en,

Entonces, la misma integral con menos trabajo. Sin embargo, requiere que pueda combinar las dos sustituciones en una sola sustitución. La forma de resolver este tipo de problema depende de usted, pero si no se siente cómodo con la sustitución única (¡y no hay nada de malo si no lo hace!), Simplemente haga las dos sustituciones individuales. El método de sustitución única se proporcionó solo para mostrarle que se puede hacer para que aquellos que se sientan realmente cómodos con ambos tipos de sustituciones puedan hacer el trabajo un poco más rápido.

Ahora, terminemos el trabajo integral.

Aquí está el triángulo rectángulo de esta integral.

Este fue un problema complicado, pero ocasionalmente veremos algo de este tipo de integral en secciones posteriores, por lo que debemos asegurarnos de que haya visto al menos uno similar.

Entonces, como hemos visto en los dos ejemplos finales de esta sección, algunas integrales que no se parecen en nada a los primeros ejemplos pueden convertirse en un problema de sustitución de trigonometría con un poco de trabajo.


Ejercicios

Integre cada una de las funciones dadas:

Esta pregunta tiene la forma de la primera sugerencia de sustitución en esta sección, es decir,

Entonces tenemos `a = 4`,` x = 4 sin & theta`, y `dx = 4 cos & theta d & theta`.

Sustituyendo y simplificando la parte de la raíz cuadrada primero:

`raíz cuadrada (16-x ^ 2) = raíz cuadrada (16-16 sin ^ 2 theta)`

Sustituyendo en la integral da:

`intsqrt (16-x ^ 2) dx = int4 cos theta (4 cos theta d theta)`

`= 16int1 / 2 (cos 2 theta + 1) d theta`

`= 8 (sin theta cos theta + theta) + K`

El penúltimo paso proviene de dibujar un triángulo, usando `sin theta = x / 4` en este caso, de la siguiente manera:

Triángulo para encontrar `theta`,` sin theta` y `cos theta` en términos de` x`.

¡Muy a menudo podemos obtener diferentes formas de la misma respuesta final! Es decir, el software matemático (u otro ser humano) puede producir una respuesta que en realidad es correcta, pero en una forma diferente a la que se da aquí desde entonces. Si esto sucede, ¡que no cunda el pánico! Simplemente verifique su solución quizás sustituyendo varios valores por `x`, o (mejor), dibujando el gráfico usando software.

Esto contiene un término `sqrt (a ^ 2-x ^ 2)`, así que usaremos una sustitución de `x = a sin theta`.

Entonces, `a = 2`, y dejamos que` x = 2 sin & theta`, entonces `dx = 2 cos & theta d & theta`.

Sustituyendo y simplificando la raíz cuadrada se obtiene:

Esta vez nuestro triángulo usará `sin theta = x / 2`, como sigue:

Triángulo para encontrar `csc theta` y` cot theta` en términos de `x`.

Sustituir todo en la integral da:

`int (3 dx) / (xsqrt (4-x ^ 2)) = int (3 (2 cos theta d theta)) / ((2 sin theta) (2 cos theta))`

`= 3 / 2int (d theta) / (sin theta)`

`= 3 / 2intcsc theta d theta`

`= 3 / 2ln | csc theta-cot theta | + K`

`= 3 / 2ln | 2 / x- (raíz cuadrada (4-x ^ 2)) / x | + K`

`= 3 / 2ln | (2-sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

Si ponemos `u = x + 1`, entonces` du = dx` y nuestra integral se convierte en:

Ahora, usamos `u = sec & theta` y entonces` du = sec & theta tan & theta d & theta`

El triángulo en este caso comienza con `x + 1 = sec theta` (es decir,` cos theta = 1 / (x + 1) `), y es el siguiente:

Triángulo para encontrar `sec theta` y` tan theta` en términos de `x`.

Volviendo a nuestra integral, tenemos:

`int (dx) / (raíz cuadrada (x ^ 2 + 2x)) = int (du) / (raíz cuadrada (u ^ 2-1))`

`= int (sec theta tan theta d theta) / (tan theta)`

`= int sec theta d theta`

`= ln | sec theta + tan theta | + K`

`= ln | x + 1 + raíz cuadrada (x ^ 2 + 2x) | + K`


Ejercicios de sustitución trigonométrica

Ejercicio. Evalúa las siguientes integrales.

$ (1) quad Displaystyle int sqrt <1-9t ^ 2> , dt $

$ (4) quad Displaystyle int x ^ 3 sqrt <4-x ^ 2> , dx $

$ (5) quad Displaystyle int sqrt <25-t ^ 2> , dt $

$ (6) quad displaystyle int (4-x ^ 2) ^ <3/2> , dx $

$ (8) quad Displaystyle int e ^ x sqrt <4-e ^ <2x>> , dx $

$ (9) quad displaystyle int frac <1> <(1 + x ^ 2) ^ <3/2 >> , dx $

$ (10) quad Displaystyle int frac <1> < sqrt <16 + 4x ^ 2 >> , dx $

Ejercicio. Evalúa las siguientes integrales.

$ (1) quad Displaystyle int_1 ^ 2 frac < sqrt>, dx $

$ (2) quad displaystyle int_4 ^ 6 frac< sqrt> , dx $

$ (3) quad Displaystyle int_0 ^ 1 x sqrt, dx $

$ (5) quad Displaystyle int_0 ^ a x ^ 2 sqrt, dx $

$ (6) quad Displaystyle int_0 ^ <3/5> sqrt <9-25x ^ 2> , dx $

Ejercicio. Encuentre el área de la región limitada por la hipérbola $ <9x ^ 2-4y ^ 2 = 36> $ y la línea $ x = 3 $.

Ejercicio. Encuentre la longitud del arco de la curva sobre $ y = frac <1> <2> x ^ 2 $ en el intervalo $ [0,4] $.

Ejercicio. Evalúa las siguientes integrales.

$ (1) quad displaystyle int frac <1> <2u ^ 2-12u + 36> , dx $

$ (5) quad Displaystyle int_1 ^ 2 frac <1> < sqrt <4x-x ^ 2 >> , dx $

$ (6) quad Displaystyle int_0 ^ 4 sqrt, dx $

Ejercicio. Verifique las fórmulas de integración especiales ($ a & gt 0 $).

$ (2) quad Displaystyle int sqrt, du = frac <1> <2> left (u sqrt -a ^ 2 ln | u + sqrt | right) + C $, $ u & gt a $

$ (3) quad Displaystyle int sqrt, du = frac <1> <2> left (u sqrt + a ^ 2 ln | u + sqrt| derecha) + C $.


Cuando era estudiante, intenté derivar la tabla completa de integrales en la parte posterior de mi libro de Thomas Calculus. Descubrí que la sustitución trigonométrica me ayudó, o fue útil para resolver algo como 30 de las 141 integrales, por lo que llamaría a la técnica bastante útil, aunque estaba sesgado porque realmente amaba el método y tenía habilidades trigonométricas muy sólidas, por lo tanto, no temor. Terminé escribiendo un trabajo de clase sobre la técnica para mi seminario de salida junior.

En general, una sustitución funciona cuando se completa el cambio de variables y la integral resultante se presta a una inversión del proceso en las variables originales. La mejor manera de comprender cuándo funcionarán los subs trigonométricos es hacer muchos de ellos y ver cómo funcionan, por así decirlo.

Empiece por integrar todas las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Proceda a varias integrales sobre expresiones racionales que involucren polinomios de grado 2 o menos (con y sin radicales anidados en varios lugares). Puede fallar o, en ocasiones, descubrir que no es la mejor técnica. Aquí hay uno entretenido para usted: considere $ int x , dx $. Sea $ x = tan theta $. This is clearly a ridiculous method to use for this particular integral, but try it and see that you do not get the solution! Silly things like this will help you to spot when the technique is viable.

You need not necessarily have terms in the form $a^2-x^2$, $x^2-a^2$, and $x^2+a^2$. For example, $int frac<1> , dx$ lends itself to trig sub. You need to complete the square on the quadratic, to get $x^2+3x+5=left( x+frac<3> <2> ight)^2+frac<11><4>$, then let $left(x+frac<3><2> ight)=frac><2> an heta$. So here we are forcing the integrand to have the desired form.

You need not necessarily have quadratic polynomials to apply trig subs, for example, consider $int frac<1><1-e^<2x>>, dx$. Let $e^x = sin heta$. Do your implicit differentiation and see that the technique will work beautifully here.

The question of learning "when" to apply a technique boils down to experience. You really have to just apply the techniques you know as much as possible and see what happens. When you are learning the answer to your very question by application, and you find that the application was a bad idea, I wager that you have learned as much as you would if you had applied a technique and found it appropriate.

If you are really interested in the technique, after learning the three standard trig subs you find in any calculus book (the only three you should ever need), try going crazy and applying say a cosine substitution in place of a sine substitution, a cosecant instead of a secant and other such silliness just to see what happens. You will sometimes find you hit a brick wall when doing such things, and sometimes you will get to the end. In general doing these sorts of rebellious things just to see what happens will only make your skills stronger and help you to truly understand what is going on with your methods.


Absolute value in trigonometric substitutions

In general, when we are trying to remove radicals from integrals, we perform a trigonometric substitution (either a circular or hyperbolic trig function), but often this results in a radical of the form $sqrt<(f(x))^2>$, with $f$ being an arbitrary trigonometric function.

What most texts tend to do is simply take $sqrt <(f(x))^2>= f(x)$, without the absolute value of |f(x)|, and the texts do not offer any motivation as to why $sqrt <(f(x))^2>= f(x) eq |f(x)|$. I would have assumed the correct way to proceed would be $sqrt <(f(x))^2>= |f(x)|$. Why is this the case?

I'll give an example to show further explain what I'm trying to ask :

What most texts do is omit the absolute value in the last starred step. Thus the denomitor of the integral becomes $ 4sec heta $ instead of $4cdot|sec heta |$ and there is no need to break the integral up into cases. Why is that so? We have not assumed $sec heta > 0$, so how can $|sec heta | = sec heta$?


Cálculo temprano trascendental: cálculo integral y multivariable para ciencias sociales

So far we have seen that it sometimes helps to replace a subexpression of a function by a single variable. Occasionally it can help to replace the original variable by something more complicated. This seems like a “reverse” substitution, but it is really no different in principle than ordinary substitution.

Example 2.26 . Sine Substitution.

Evaluate (dsint sqrt<1-x^2>,dx ext<.>)

Let (x=sin u) so (dx=cos u,du ext<.>) Then

We would like to replace (ds sqrt) by (cos u ext<,>) but this is valid only if (cos u) is positive, since (ds sqrt) is positive. Consider again the substitution (x=sin u ext<.>) We could just as well think of this as (u=arcsin x ext<.>) If we do, then by the definition of the arcsine, (-pi/2le ulepi/2 ext<,>) so (cos uge0) and so we are allowed to continue and perform the simplification:

This is a perfectly good answer, though the term (sin(2arcsin x)) is a bit unpleasant. It is possible to simplify this. Using the identity (sin 2x=2sin xcos x ext<,>) we can write

Then the full antiderivative is

This type of substitution is usually indicated when the function you wish to integrate contains a polynomial expression that might allow you to use the fundamental identity (ds sin^2x+cos^2x=1) in one of three forms:

If your function contains (ds 1-x^2 ext<,>) as in the example above, try (x=sin u ext<>) if it contains (ds 1+x^2) try (x= an u ext<>) and if it contains (ds x^2-1 ext<,>) try (x=sec u ext<.>) Sometimes you will need to try something a bit different to handle constants other than inverse substitution, which is described next.

In a we let (u=u(x) ext<,>) i.e., our new variable is defined in terms of (x ext<.>) In an we let (x=g(u) ext<,>) i.e., we assume (x) can be written in terms of (u ext<.>) We cannot do this arbitrarily since we do NOT get to “choose” (x ext<.>) For example, an inverse substitution of (x=1) will give an obviously wrong answer. However, when (x=g(u)) is an invertible function, then we are really doing a (u)-substitution with (u=g^<-1>(x) ext<.>) Now the Substitution Rule applies.

Sometimes with inverse substitutions involving trig functions we use ( heta) instead of (u ext<.>) Thus, we would take (x=sin heta) instead of (x=sin u ext<.>)

We would like our inverse substitution (x=g(u)) to be a one-to-one function, and (x=sin u) is not one-to-one. In the next few paragraphs, we discuss how we can overcome this issue by using the restricted trigonometric functions.

The three common are the restricted sine, restricted tangent and restricted secant. Thus, for sine we use the domain ([-pi/2,

pi/2]) and for tangent we use ((-pi/2,

pi/2) ext<.>) Depending on the convention chosen, the restricted secant function is usually defined in one of two ways.

One convention is to restrict secant to the region ([0,

pi/2)cup(pi/2,pi]) as shown in the middle graph. The other convention is to use ([0,

3pi/2)) as shown in the right graph. Both choices give a one-to-one restricted secant function and no universal convention has been adopted. To make the analysis in this section less cumbersome, we will use the domain ([0,

3pi/2)) for the restricted secant function. Then (sec^<-1>x) is defined to be the inverse of this restricted secant function.

Typically trigonometric substitutions are used for problems that involve radical expressions. The table below outlines when each substitution is typically used along with their restricted intervals.


Contenido

Examples of Case I Edit

Example 1 Edit

Alternatively, fully evaluate the indefinite integrals before applying the boundary conditions. In that case, the antiderivative gives

Example 2 Edit

may be evaluated by letting x = a sin ⁡ θ , d x = a cos ⁡ θ d θ , θ = arcsin ⁡ x a , >,>

For example, the definite integral

On the other hand, direct application of the boundary terms to the previously obtained formula for the antiderivative yields


Integration by trigonometric substitution Calculator

Ejemplo

Solved Problems

Difficult Problems

Solved example of integration by trigonometric substitution

We can solve the integral $intsqrtdx$ by applying integration method of trigonometric substitution using the substitution

Differentiate both sides of the equation $x=2 anleft( heta ight)$

The derivative of a function multiplied by a constant ($2$) is equal to the constant times the derivative of the function

The derivative of the tangent of a function is equal to secant squared of that function times the derivative of that function, in other words, if $$, then $$

The derivative of the linear function is equal to $1$

Now, in order to rewrite $d heta$ in terms of $dx$, we need to find the derivative of $x$. We need to calculate $dx$, we can do that by deriving the equation above

Substituting in the original integral, we get

Factor by the greatest common divisor $4$

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

Applying the power of a power property

Applying the trigonometric identity: $ an(x)^2+1=sec(x)^2$

The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function

When multiplying exponents with same base you can add the exponents: $secleft( heta ight)secleft( heta ight)^2$

Subtract the values $3$ and $-2$

Any expression to the power of $1$ is equal to that same expression

Rewrite $secleft( heta ight)^<3>$ as the product of two secants

We can solve the integral $intsecleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta$ by applying integration by parts method to calculate the integral of the product of two functions, using the following formula

Taking the derivative of secant function: $fracleft(sec(x) ight)=sec(x)cdot an(x)cdot D_x(x)$

First, identify $u$ and calculate $du$

Now, identify $dv$ and calculate $v$

The integral of $sec(x)^2$ is $ an(x)$

When multiplying two powers that have the same base ($ anleft( heta ight)$), you can add the exponents

Now replace the values of $u$, $du$ and $v$ in the last formula

Solve the product $4left( anleft( heta ight)secleft( heta ight)-int anleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta ight)$

Apply the formula: $intsecleft(x ight) anleft(x ight)^2dx$=intsecleft(x ight)^3dx-intsecleft(x ight)dx$, where $x= heta $

The integral of the secant function is given by the following formula, $displaystyleintsec(x)dx=lnleft|sec(x)+ an(x) ight|$

Rewrite $secleft( heta ight)^3$ as the product of two secants

We can solve the integral $intsecleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta$ by applying integration by parts method to calculate the integral of the product of two functions, using the following formula

First, identify $u$ and calculate $du$

Now, identify $dv$ and calculate $v$

The integral of $sec(x)^2$ is $ an(x)$

Now replace the values of $u$, $du$ and $v$ in the last formula

Solve the product $-4left( anleft( heta ight)secleft( heta ight)-int anleft( heta ight)^2secleft( heta ight)d heta ight)$

Apply the formula: $intsecleft(x ight) anleft(x ight)^2dx$=intsecleft(x ight)^3dx-intsecleft(x ight)dx$, where $x= heta $

The integral of the secant function is given by the following formula, $displaystyleintsec(x)dx=lnleft|sec(x)+ an(x) ight|$

Cancel like terms $-4lnleft(secleft( heta ight)+ anleft( heta ight) ight)$ and $4lnleft(secleft( heta ight)+ anleft( heta ight) ight)$

Simplify the integral $intsecleft( heta ight)^3d heta$ applying the reduction formula, $displaystyleintsec(x)^dx=frac>+fracintsec(x)^dx$


Ver el vídeo: 100 integrales por Sustitución Trigonométrica ejemplo 4 (Mayo 2022).